CNICAS V1.40Julho/2011Prof. Maro Aurlio P. CabralDepartamento de Matemtia ApliadaInstituto de Matemtia UFRJ1 IntroduoA histria das nias se iniia na Gria antiga. Menaehmus (350 A.C.) foi um dos pioneirosno estudo das nias, estudando-as sob o ponto de vista da interseo de one e plano utilizando aexentriidade. Eulides (300 A.C.) esreveu um livro sobre as sees nias que se perdeu. Apolnio(225 A.C.) esreveu sete livros sobre as nias, om os primeiro quatro livros baseados no de Eulides.Apolnio riou os nomes elipse, parbola e hiprbole (ver [Bu p. 197198 e [Bo).Kepler (1604) desobriu pela anlise de observaes astronmias e Newton (1670) provou ma-tematiamente baseado na lei da gravitao universal, que os planetas se movem em elipses. AGeometria antiga (aparentemente intil) dos gregos se tornou a base da astronomia moderna (ver[Cx).O estudo moderno de nias fornee um belo exemplo de omo mudanas de oordenadas podemsimpliar o tratamento de problemas. Mostra tambm omo o mesmo problema pode ser abordadode formas distintas. 2 Trs DefiniesPodemos denir as nias de trs modos distintos: por Geometria Espaial, Plana e Analtia.2.1. Sees de um one por um plano (Geometria Espaial)ELIPSE: plano orta somente um dos ramos do one e no paralelo geratriz (forma uma guranita).HIPRBOLE: plano orta os dois ramos do one; a parte de baixo e de ima (forma uma gurainnita).PARBOLA: plano orta somente um dos ramos do one e paralelo geratriz (forma uma gurainnita).

Figura 1: Sees do Cone: Crulo, Elipse, Parbola e Hiprbole [MAOExerio 1: Utilizando a denio aima, omo obter as nias degeneradas (observe aFigura 1):(a) Um ponto; (b) Duas retas; () Uma reta;(d) Conjunto vazio; Dia: onsidere um one degenerado em reta.(e) Todo o plano; Dia: onsidere um one degenerado em plano.2.2. Lugar geomtrio (Geometria Plana)ELIPSE: Lugar geomtrio dos pontos do plano uja soma das distnias at dois pontos F1 e F2 1

onstante.HIPRBOLE: Lugar geomtrio dos pontos do plano uja diferena, em valor absoluto, das distniasat dois pontos F1 e F2 onstante.PARBOLA: Lugar geomtrio dos pontos do plano uja distnia at um ponto F igual a distniaat uma reta r.Seja um plano, d(P,Q) a distnia entre os pontos P,Q e d(P, r) a distnia entre o pontoP e a reta r. Com esta notao:ELIPSE = {P ; d(P,F1) + d(P,F2) = C}HIPRBOLE = {P ; |d(P,F1) d(P,F2)| = C}PARBOLA = {P ; d(P,F ) = d(P, r)}Exerio 2: Utilizando a denio aima, omo obter as nias degeneradas:(a) Conjunto vazio. (b) Um ponto. Dia: Elipse.() Uma reta. Dia: Parbola. (d) Todo o plano. Dia: hiprbole.2.3. Solues de equao polinomial do segundo grau (Geometria Analtia)CNICA = {(x, y) R2 tais que ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0}.A lassiao das solues deste polinmio do segundo grau em x e y feita em dois estgios:eliminao de bxy (por rotao) e dos termos lineares (por translao).Exerio 3: Considere a(x2 + y2) + dx+ ey + f = 0 om a 6= 0.(a) Prove que representa uma irunfernia se, e somente se, d2 + e2 > 4af .(b) Determine entro e raio. R: entro C(d/(2a),e/(2a)) e raio r = d2 + e2 4af/2|a|.2.3.1 Eliminao de bxy. Fazemos isto rodando o sistema de oordenadas por um ngulo esolhido adequadamente. Para isto introduzimos novas variveis (x, y), denidas por:

{x = x cos + y sen ,y = x sen + y cos , ou, matriialmente, [ xy ] = [ cos sen sen cos ] [ xy ] .Como (uma matriz a inversa da outra verique!)

[cos sen

sen cos

] [cos sen sen cos

]=

[1 00 1

],multipliando pela inversa dos dois lados temos que

[xy

]=

[cos sen sen cos

] [xy

].Agora substitumos x = cos x sen y, y = sen x+cos y na equao ax2+ bxy+ y2 e podemoszerar o termo em xy se (exerio) tomarmos tal que tan(2) = b/(a c). Aps esta mudana deoordenadas a equao se transformar em:

Ax2 + Cy2 + d1x+ e1y + f1 = 0.Note que se A ou C for zero obtemos a equao de uma parbola.Exerio 4:(a) Prove que a matriz aima representa uma rotao;(b) Faa a troa de variveis aima e prove que o termo misto xy desaparee se tan(2) = b/(a c);() Se a = c teramos que ter tan(2) = . Isto ser verdade se 2 = 90o e portanto = 45o.Isto pode ser veriado diretamente. Mude oordenadas de ax2 + bxy + ay2 (a = c!) tomandox =

2/2(x y), y =

2/2(x+ y) e mostre que o termo misto xy desaparee.(d) Observe que o ngulo de rotao no nio pois pedimos apenas que tan(2) = C. Quantosngulos distintos podem ser utilizados? Qual a relao entre esses ngulos? Pense algebriamente (emtermos de k + ) e geometriamente (rulo trigonomtrio). Como isto afetar a transformaoaima?(e) Prove que 4ac b2 = 4AC. 2

Exerio 5: Como obter os oeientes da matriz de rotao?(a) Dena k = b/(a c). Prove que (cos(2))2 = 1/(k2 + 1);(b) Agora temos que xar um (dos 4 valores possveis) para . Restringindo 2 ao primeiro (se k > 0)e quarto quadrante (se k < 0), vamos ter que /4 < /4. Nos dois asos podemos xar cos > 0e somente variar o sinal de seno. Nestas ondies prove quecos(2) = 1/

k2 + 1 om k = b/(a c).Assim xe

m = cos(2) =1

k2 + 1=

|a c|b2 + (a c)2

.Se k > 0 prove quesen() =

1m

2e cos() = 1 +m

2.Se k < 0 prove que

sen() =

1m2

e cos() = 1 +m2

.Exerio 6: Suponha que b2 4ac = 0.(a) Mostre que a e c possuem o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).(b) Vamos assumir daqui em diante que a e c so positivos, pois aso ontrrio basta multipliar aequao por 1. Mostre que se k > 0 (ou seja, se b > 0), sen = c/(a + c) e cos = a/(a+ c) ese k < 0 (ou seja, se b < 0), sen = c/(a+ c) e cos = a/(a + c).() Prove que os termos do segundo grau ax2 + bxy + cy2 formam um quadrado perfeito.(d) Utilize o item (b) diretamente (sem utilizar o item (a)) e introduza novas variveis x e y tais quea equao se transforme em Ax2 +Dx+ Ey + F = 0. Dia: x = (ax+cy)/a+ c (se b > 0)ou x = (ax+cy)/a+ c (se b < 0).(e) Disuta as possibilidades quando d = e = 0. R: Continua uma parbola.(f) Disuta as possibilidades quando D = E = 0. R: Dependendo do sinal de F , vazio, duas retasparalelas ou uma reta passando na origem.2.3.2 Eliminao de d1x e e1y. Complete o quadrado e obtenha uma equao da forma:A(x x0)2 + C(y y0)2 = F ou A(x x0)2 + e1y = F ou d1x+ C(y y0)2 = F.Transladamos os eixos introduzindo as variveis X = x x0 e Y = y y0, sendo que no aso deparbola tomamos X = x ou Y = y. Obtemos

AX2 + CY 2 = F ou AX2 + e1Y = F ou d1X + CY 2 = Fque pode ser lassiada, desprezando os asos degenerados (reta(s), ponto, vazio) pelos sinais de Ae C:ELIPSE (A C > 0) sinais iguais, ambos positivos ou ambos negativos;HIPRBOLE (A C < 0) sinais distintos, um positivo e outro negativo;PARBOLA (A C = 0) um dos sinais igual a zero.Observao: Pelo sinal do hamado disriminante b2 4ac, que igual a 4AC por exerioanterior, podemos lassiar a nia sem neessidade de rodar os eixos expliitamente.Mais adiante provaremos que y = ax2 + c uma parbola, (x/a)2 + (y/b)2 = 1 uma elipse e(x/a)2 (y/b)2 = 1 um hiprbole. Estas equaes so hamadas de formas annias (padro) dasnias.Exerio 7: Esreva, utilizando as formas annias, equaes para as nias degeneradas:(a) Conjunto vazio; (b) Um ponto; () Uma reta; (d) Todo o plano;(e) Um par de retas paralelas; (f) Um par de retas onorrentes.Exerio 8: Prove que o gro de grandezas inversamente proporionais uma hiprbole.Exerio 9: Troque variveis e lassique as nias abaixo: Usando o maxima pode-se troarvariveis adaptando os omandos abaixo: 3

kill(all);senn: sqrt(2)/2;oss: sqrt(1-senn^2);x: oss*X - senn*Y;y: senn*X + oss*Y;expand(5*x^2 - 6*x*y + 5*y^2 - 1);(a) y2 + 2x y 2y + x2 + 2x = 0. R: A parbola X2 = 2Y .(b) 3 y2 + 2x y + 3x2 + 2 = 0. R: O onjunto vazio 2X2 + Y 2 + 1 = 0.() 5 y2 6x y + 5x2 1 = 0. R: A elipse 8Y 2 + 2X2 = 1.(d) 2x y + 4x2= 0. R: Duas retas (X + 1)2 = (Y + 1)2 (retas X = Y e X = Y 2).(e) 2x y + 2 y + 2x+ 1 = 0. R: A hiprbole (X +2)2 Y 2 = 1.(f) 7 y2 48x y 7x2 = 0. R: Duas retas Y 2 = X2 (retas Y = X) (sen = 3/5).(g) 8 y2 4x y + 5x2 = 1. R: A elipse 4X2 + 9Y 2 = 1 (sen = 5/5).(g) 3 y2 + 23x y + 6 y + 5x2 + 63x+ 4 = 0. R: A elipse 3(X + 1)2 + Y 2 = 1 (sen = 1/2).(h) 9 y2 24x y + 4 y 16x2 = 3x. R: A parbola Y = 5X2 (sen = 3/5).(i) 5 y2 14 y + 5x2 2x+ 5 = 0. R: A elipse (X 1)2 + (Y 1)2 = 1 (sen = 3/5).Exerio 10: Vamos determinar sob que ondies o polinmio P (x, y) = ax2 + bxy + cy2 sempre positivo, ou seja, quando P (x, y) > 0 para todo x, y R\{0}. Dizemos neste aso que P (x, y) uma forma quadrtia positivo denida.(a) Elimine bxy e mostre que ela positivo denida se b2 4ac < 0 e a > 0 (ou c > 0).(b) Determine ondies para que ela seja indenida, i.e., nem positiva nem negativa.() Faa os itens anteriores da seguinte forma. Fatore P (x, y) = x2(a + b(y/x) + c(y/x)2). Dena

w = y/x, g(w) = a+ bw + cw2 e estude o sinal da funo g.3 Apliaes PrtiasMuitas apliaes so baseadas nas propriedades foais das nias (Figura 2):(a) Elipse e Hiprbole: um raio que passe por um foo, aps reexo prosseguir numa reta que passapelo outro foo;(b) Parbola: um raio que passe pelo foo aps reexo ser perpendiular reta diretriz (e vie-versa).Figura 2: Propriedades foais da parbola, elipse e hiprbole [MAONote que embora seja neessrio o oneito de limite para denir a reexo de raios de luz emespelhos urvos, pode-se provar om Geometria Sinttia (vide Seo 10) estes resultados.3.1 Elipse: Galeria sussurrante no apitlio em Washington DC e na Catedral de So Pauloem Roma; tratamento de pedra nos rins (litotripsia): pedra num dos foos e ondas sonoras de altaintensidade. Luminria de dentista, que onentra luz no dente e evita que ofusque o paiente.Trajetrias dos planetas e ometas em torno do sol; Utilizando geometria analtia veremos maisadiante porque surgem elipses no opo d'gua e no bambol da Figura 3.3.2 Parbola: Antena parablia (vide Figura 5), farol dos arros, lanternas, rdio telespio,esuta sereta. Trajetria de projteis (Galileu demonstrou isto, vide Figura 4). Trajetria da gua4

Figura 3: Apliaes da Elipse (opo e bambol [Br; litotripsia [Fr; rbita [MAO)num bebedouro (Figura 4) e o salto de um golnho (Figura 4). Espelho parablio (ver [Kl p. 272para mexer luz no foo), transmisso de sinais (pode ser visto no parque da inia da FundaoOsvaldo Cruz do Rio de Janeiro, para transmitir voz).Figura 4: Apliaes da Parbola [Br3.3 Hiprbole: Zona de esuta do barulho emitido por um avio subsnio, pois a interseodo one de som om o solo forma uma hiprbole (vide Figura 5). Difuso da luz em luminrias deiluminao pblia. Lentes do telespio de Cassegrain (vide Figura 5). Luz de abajur na parede(vide Figura 5 e [Ca).

Figura 5: Apliaes da Hiprbole 1 (avio e lpis de [Br; abajur [LAB; telespio [MAO)Exerio 11: Onde e porque surge uma hiprbole no lpis da Figura 5?Exerio 12: Porque a sombra do abajur na parede (vide Figura 5) uma hiprbole?Uma apliao militar o LORAN Long Range Navigation: Duas estaes de rdio transmitemsimultaneamente sinais para um baro ou avio. Diferena de tempo loaliza ramo de parbola. Comuma tereira estao pode-se alular interseo das duas parbolas.Torre de refrigerao de usina de energia (termoeltrias e nuleares) neessita dissipar muitoalor e para isto deve ser onstruda om material forte. Partindo de um ilindro, ujas laterais soformadas por arames, rodando uma das bases, obtemos um hiperboloide de revoluo (uma superfiequdria ujos orte formam hiprboles) ujas laterais so segmentos de retas que podem ser feitosde barra de ao, formando uma estrutura bastante resistente (vide Figura 6).5

Figura 6: Apliaes da Hiprbole 2: torre de refrigerao [LAB4 Formas Cannias so Cnias4.1 Parbola: Porque y = aX2 + c uma parbola (para a 6= 0) ?Se denirmos Y = y c e p = 1/(4a) e substituirmos na equao aima obtemosX2 = 4pY.Como (Y + p)2 (Y p)2 = 4pY , obtemos que X2 = 4pY = (Y + p)2 (Y p)2. Logo

X2 + (Y p)2 = (Y + p)2.Denotando P = (X,Y ) e denindo o foo F = (0, p) e a reta diretriz r por Y = p, esta equao equivalente a d(P, r) = d(P,F ). Note que nessas oordenadas o vrtie (X,Y ) = (0, 0). Nasapliaes basta saber o foo, vrtie e diretriz da equao simpliada X2 = 4pY ou, de formaequivalente, Y = aX2 om p = 1/(4a).4.2 Elipse: Porque (x/a)2 + (y/b)2 = 1 uma elipse ?Assuma, sem perda de generalidade, que a > b e dena c2 = a2 b2. Multipliando a equao pora2b2 obtemos b2x2+a2y2 = a2b2. Substituindo b2 = a2 c2 obtemos (a2 c2)x2+a2y2 = a2(a2 c2).Multipliando os termos e rearrumando obtemos a2x2 + a2c2 + a2y2 = c2x2 + a4. Somando 2a2cx emambos os lados podemos reesrever omo (cx+ a2)2 = a2((x+ c)2 + y2). Tirando a raiz quadrada emambos os lados obtemos cx+a2 = a(x+ c)2 + y2. Observe que 4cx = (x+c)2(xc)2. Portanto semultipliarmos ambos os lados por 4 e utilizarmos esta relao obtemos (x+c)24a(x+ c)2 + y2+4a2 = (xc)2. Somando y2 em ambos os lados, (x+c)2+y24a(x+ c)2 + y2+4a2 = (xc)2+y2.Portanto hegamos a equao: (2a (x+ c)2 + y2)2 = (x c)2 + y2. Tirando a raiz quadrada emambos os lados e rearrumando obtemos (x c)2 + y2 + (x+ c)2 + y2 = 2a. Se denotarmos osfoos F1 = (c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y) esta equao equivalente a d(P,F1) + d(P,F2) = 2a.Exerio 13: Seguindo [Av, observe que provamos que se um ponto satisfaz a equao (x/a)2+(y/b)2 = 1 ento este ponto pertene a elipse. Para mostrar a volta temos que tomar uidado poisk = l implia que k2 = l2, mas a reproa no verdadeira. Porm se k, l 0 ento k = l equivalente a k2 = l2. Prove utilizando a deduo aima que todo ponto da elipse satisfaz estaequao (a reproa).4.3 Hiprbole: Porque (x/a)2 (y/b)2 = 1 um hiprbole ?Dena c2 = a2 + b2. Substituindo e fazendo operaes semelhantes ao da elipse obtemos a equao|d(P,F1) d(P,F2)| = 2a.Exerio 14:(a) Prove que se a > b a loalizao dos foos da elipse (x/a)2 + (y/b)2 = 1 ser em (c, 0), (c, 0)om c2 = a2 b2. Dia: Assumindo que os foos esto no eixo-x, estude os pontos extremos daelipse, quando x = 0 e quando y = 0.(b) Prove que a loalizao dos foos da hiprbole (x/a)2 (y/b)2 = 1 ser em (c, 0), (c, 0) omc2 = a2 + b2. Dia: Veja dia do item anterior. 6

() Na equao da hiprbole (x/a)2 (y/b)2 = 1 esreva y em funo de x e determine as retas quese aproximam dela para x grande, as hamadas assntotas. Dia: para x grande, x2 + a |x|.(d) Na equao da parbola y = ax2, sabendo que o foo est no eixo-y e que a reta diretriz paralelaao eixo-x, determine diretamente (sem usar o que foi desenvolvido no texto) o foo e a reta diretrizem funo de a.Exerio 15: Para ada uma das nias abaixo, determine o foo (ou foos), reta diretriz (sefor parbola) e assntotas (se for hiprbole). Dia: Transforme na equao padro aps translaoe/ou rotao de eixos.(a) 2x = y2 + 8y + 22. R: parbola, F (7/2,4), x = 5/2.(b) 4x2 + y2 = 16. R: elipse, F (0,23).() y2 x2 = 4. R: hiprbole, F (0,22), y = x.(d) x2 = 4y 2y2. R: elipse, F (1, 1).(e) 9x2 18x+ 4y2 = 27. R: elipse, F (1,5).(f) x2 + 4x+ 28 = 8y. R: parbola, F (2, 5), y = 1.(g) y2 + 2y = 4x2 + 3. R: hiprbole, F (0,1 5), y + 1 = 2x.(h) y2 + 2y + 12x+ 25 = 0. R: parbola, F (5,1), x = 1.(i) 2y2 3x2 4y + 12x+ 8 = 0. R: hiprbole, F (215, 1), y = 16/2(x 2).Exerio 16: Enontre uma equao para a nia que satisfaa as ondies abaixo:(a) parbola: vrtie (0, 0); foo (0,2). R: x2 = 8y.(b) parbola: foo (4, 0); diretriz x = 2. R: y2 = 12(x+ 1).() elipse: foos (2, 0); vrties (5, 0). R: x2/25 + y2/21 = 1.(d) elipse: foos (0, 2) e (0, 6); vrties (0, 0) e (0, 8). R: x2/12 + (y 4)2/16 = 1.(e) hiprbole: foos (0,3); vrties (0,1). R: y2 x2/8 = 1.(f) hiprbole: foos (1, 3) e (7, 3); vrties (2, 3) e (6, 3). R: (x 4)2/4 (y 3)2/5 = 1.(g) hiprbole: vrties (3, 0); assntotas y = 2x. R: x2/9 y2/36 = 1.Exerio 17:(a) Verique que x(t) = a cos t e y(t) = b sen t a equao paramtria de uma elipse.(b) Verique que x(t) = a cosh t e y(t) = b senh t a equao paramtria da hiprbole (justiandoo nome das funes seno e osseno hiperblio), onde cosh t = (et + et)/2 e senh t = (et et)/25 Interseo de Cone om Plano Gera Cnia5.1. Equao do ConeVamos deduzir a equao do one. Dado um one qualquer introduzimos o seguinte sistema deoordenadas: O eixo-z ser o eixo de simetria do one, a origem o vrtie do one e o plano x-yperpendiular ao eixo-z.Cortando o one om um plano paralelo ao plano x-y obtemos um rulo de raio r. Dado umponto (x, y) deste rulo, pelo Teorema de Pitgoras o raio r = x2 + y2 (veja Figura 7). Como aoordenada z deste ponto diretamente proporional a r pelo exerio abaixo, temos que z = r.Portanto z2 = 2r2 = 2(x2 + y2). Logo a equao do one : z2 = 2(x2 + y2).Exerio 18: Utilizando semelhana de tringulo prove que z = r.Exerio 19:(a) Como obter uma reta (one degenerado) igual ao eixo-z? R: Quando temos quer/z = 1/ 0, o que implia r = 0. Logo x2 + y2 = 0 o que implia em x = 0 e y = 0.(b) Como obter o plano x-y (one degenerado)? R: Quando 0 temos que z/r = 0, o queimplia z = 0, o plano x-y.() Para estes dois asos imagine geometriamente um one se transformando em uma reta e depoisem um plano (num aso o one aumenta de tamanho e no outro diminui).7

r

z

(x,y)

Figura 7: Deduo da Equao do ConeExerio 20: Porque observamos uma elipse no bambol da Figura 3? Dia: Utilize a equaodo rulo x2+ y2 = c2 e rode sistema de oordenadas om (x, y, z) = (X, cos Y +sen Z, sen Y +cos Z) e interepte om o plano Z = 0.Exerio 21: Porque observamos uma elipse no opo d'gua da Figura 3? Dia: Utilizeequao do ilindro x2 + y2 = c2 e exerio anterior.5.2. Gerando rulo, elipse, hiprbole, parbolaPara esta parte onsidere = 1, de modo que a equao do one aqui ser: z2 = x2+y2. Observenovamente a Figura 1 para ver os planos ortando o one.CRCULO: onsidere o plano z = . Logo obtemos x2+ y2 = 2, a equao do rulo de raio ||.HIPRBOLE: onsidere o plano x = . Logo obtemos (z/)2 (y/)2 = 1, a equao de umahiprbole.PARBOLA: onsidere o plano x z = . Logo obtemos z = (y2/(2) + /2), a equao deuma parbola.ELIPSE: onsidere o plano x = 2z + 1 (ou de forma mais geral x = z + om || < ||). Logoobtemos (

z + 2/3

1/3

)2+

(y

1/3

)2= 1a equao de uma elipse.Exerio 22: O que aontee om o aso geral, quando o plano x = z + ?Observao: O fato que interseo de one om plano gera nia um aso partiular do fatoque a interseo de uma qudria (elipsoide, paraboloide hiperblio, hiperboloide de uma folha,ilindro, one, et.) om plano gera nia. A demonstrao uma simples adaptao da que foi feitaaima.5.3. Cortando o one om um plano arbitrrioUm plano arbitrrio dado por ax+ by + cz + d = 0. Sem perda de generalidade assumimos que

a = 1 (porque ?) e troamos os sinais: x by cz d = 0. Logo x = by + cz + d. Substituindo naequao do one obtemos:2(1 + b2)y2 + 2bc2yz + (2c2 1)z2 + 22d(by + cz) + 2d2 = 0.Esta uma equao quadrtia em yz (polinmio do segundo grau), que a equao geral das nias.Portanto a interseo de um plano e um one gera uma nia.6 Exentriidade e uma Definio Geomtria UnifiadaPodemos denir atravs da Geometria sinttia, de forma uniada, todas as nias.CNICA: Lugar geomtrio dos pontos do plano uja razo entre a distnia at um ponto F e adistnia at uma reta r igual a uma onstante.8

Se denotarmos esta onstante por e (hamada de exentriidade), podemos redenir:CNICA = {P ; d(P,F ) = e d(P, r)}Se introduzirmos um sistema de oordenadas tal que a reta r vire o eixo y e F = (p, 0), a equaoaima se transforma em (x p)2 + y2 = ex2. Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos(1 e2)x2 2px+ y2 + p2 = 0.Para e = 1 obtemos uma parbola. Para e 6= 1, ompletando o quadrado, obtemos (verique !):(x p

1e2 )2

p2e2/(1 e2)2 +y2

p2e2/(1 e2) = 1.Como o sinal do termo em y depende do sinal de 1 e2, onlumos que se e < 1 temos uma elipse ese e > 1 uma hiprbole.

Figura 8: Exentriidade: elipse (e = 1/2), parbola (e = 1) e hiprbole (e = 2) [WiExerio 23:(a) Prove que F = (p, 0) um dos foos da nia (elipse ou hiprbole);(a) Prove que e = c/a.Exerio 24: Como podemos obter um rulo na denio aima?Exerio 25: Note que trs denies utilizam a Geometria Sinttia e que a outra utilizaGeometria Analtia.(a) Quais so as vantagens e desvantagens?(b) Qual a mais elegante?() Questo losa: Qual o melhor mtodo: Geometria analtia ou Geometria Sinttia ? (ver[Ba)(d) So todas equivalentes entre si?7 Desenhando (Esboando) Cnias om Rgua e Compasso7.1 Elipse: ([Fi p. 380)1. Traar segmento AB e marar os dois foos F1 e F2 tais que F1F2 < AB.2. Dividir segmento AB em intervalos om pontos Pi AB.3. Para ada ponto Pi, traar um rulo de raio APi entrado em F1 e um rulo de raio PiBentrado em F2. Os pontos de interseo destes rulos, se existirem, fazem parte da elipse.Exerio 26:(a) Porque este pontos fazem parte da elipse ? 9

(b) Para quais pontos Pi marados a interseo dos rulos orrespondente ser vazia ?R: APi < (AB F1F2)/2 e BPi < (AB F1F2)/2.7.2 Hiprbole: ([Fi p. 397)1. Traar segmento AB e marar os dois foos F1 e F2 tais que F1F2 > AB.2. Marar pontos Pi fora do segmento AB, na semirreta AB.3. Para ada ponto Pi, traar um rulo de raio APi entrado em F1 e um rulo de raio BPientrado em F2. Os pontos de interseo destes rulos, se existirem, fazem parte da hiprbole.Exerio 27:(a) Porque este pontos fazem parte da hiprbole ?(b) Para quais pontos Pi marados a interseo dos rulos orrespondente ser vazia ?R: APi < (F1F2 AB)/2 e BPi < (F1F2 AB)/2.7.3 Parbola: ([Fi p. 408)1. Marar foo F e reta diretriz r.2. Traar uma perpendiular a reta r passando por F , o eixo da parbola. Marar A, o ponto deinterseo do eixo da parbola om r.3. Marar pontos Pi no eixo da parbola na semirreta AF .4. Para ada ponto Pi, traar uma paralela a r passando por Pi e um rulo de raio APi entradoem F . Os pontos de interseo da reta e do rulo, se existirem, fazem parte da parbola.Exerio 28:(a) Porque este pontos fazem parte da parbola ?(b) Para quais pontos Pi marados a interseo ser vazia ? R: APi < (AF )/2.Exerio 29: Esboe ada uma das nias num papel seguindo o proedimento desrito aima.8 Desenhado (Esboando) Cnias om DobradurasNas onstrues a seguir ada dobra gera uma reta. As nias so esboadas omo o envelopedeste onjunto de retas obtidas a partir de ada dobra. Cada reta tangente nia.8.1 Parbola:1. Traar reta diretriz r.2. Marar pontos Pi equiespaados em r e numer-los.3. Na frente e verso do papel marar o foo F .4. Dobrar o papel fazendo oinidir F om os pontos Pi.8.2 Elipse:1. Traar uma irunfernia C.2. Marar pontos Pi equiespaados em C e numer-los.3. Na frente e verso do papel marar um ponto F dentro de C.4. Dobrar o papel fazendo oinidir F om os pontos Pi.8.3 Hiprbole:1. Traar uma irunfernia C.2. Marar pontos Pi equiespaados em C e numer-los.3. Na frente e verso do papel marar um ponto F fora de C.4. Dobrar o papel fazendo oinidir F om os pontos Pi.Na elipse e na hiprbole os foos so os pontos F e O, onde O o entro da irunfernia C.O raio r da irunfernia C a onstante da equao da elipse/hiprbole: |d(P,O) d(P,F )| = r.Observe que na parbola a irunfernia C se transforma na reta diretriz r, que pode ser pensadoomo um rulo om raio r = .Exerio 30: Esboe ada uma das nias num papel utilizando dobraduras seguindo oproedimento desrito aima.Exerio 31:(a) Depois de esboar uma elipse dobrando uma folha de papel, verique que pontos equiespaados10

no so a melhor opo para se obter um bom esboo de elipse. Onde os pontos devem ser maisdensos para se obter um melhor esboo ?(b) O que oorre na onstruo da elipse se F esta no entro da irunfernia?() O que obtemos se F pertene irunfernia?Exerio 32: Prove que o lugar geomtrio dos pontos equidistantes a irunfernia e umponto F :(a) Uma elipse se F pertene ao interior da irunfernia;(b) Uma hiprbole se F pertene ao exterior da irunfernia.Exerio 33: Podemos esboar uma elipse om barbante e alnete. Prenda uma folha de papelnuma plaa de isopor om durex. Prenda dois alnetes (os foos) na folha e amarre ada ponta deum barbante nos alnetes. Com um lpis estique o barbante e movimente o lpis om o barbantesempre estiado, marando pontos na folha de papel. Prove que a urva marada uma elipse.9 MetamorfosesAqui nesta seo queremos observar omo uma nia pode se transformar em outra. Estas me-tamorfoses (transformaes) podem ser vistas analitiamente ou pensando na modiao da posiorelativa entre o plano e one, om plano ortando o one.9.1 Elipse Crulo: Quando os dois foos se transformam em um nio ponto.9.2 Elipse Parbola: Quando um foo vai para o innito (ver [Fi p. 410). Considerey = x2 + 2y2. Esta equao pode ser reesrita omo:

(y 1/(22)1/(22)

)2+

(x

1/(2||)

)2= 1.Esta equao representa uma elipse de semi-eixo-x = 1/(2||) e semi-eixo-y = 1/(22), om ponto deenontro dos semi-eixos da elipse (entro da elipse) igual a (0, 1/(22)). Quando 0, pela primeiraequao, obtemos a parbola y = x2 enquanto os semi-eixos e o entro vo para o innito.Exerio 34: De forma anloga analisamos a transformao hiprbole parbola. Mostreque a equao y = 2y2 x2 pode ser reesrita omo:

(y 1/(22)1/(22)

)2

(x

1/(2||)

)2= 1.9.3 Hiprbole duas retas transversais: Quando os dois foos se transformam em umnio ponto.Exerio 35: Repita a anlise feita para o item (2) para a equao x2y2 = 2, quando 0.9.4 Elipse duas retas paralelas: Quando os dois foos vo para o innito. Considere

x2+ 2y2 = 1 = x2+(y/(1/))2. Esta equao representa uma elipse de semi-eixo-x = 1 e semi-eixo-y= 1/, om ponto de enontro dos semi-eixos da elipse (entro da elipse) igual a (0, 0).Quando 0, obtemos a equao x2 = 1, que representa duas retas paralelas: x = 1 e x = 1.9.5 Crulo ponto: Quando o raio vai para zero.9.6 Parbola uma reta: Quando o foo onverge para a reta r.Exerio 36: Para ada uma das transformaes anteriores, omo observ-la atravs de inter-seo de um one por um plano ?10 Propriedades Provadas om GeometriaPodemos demonstrar propriedades das nias atravs da geometria sinttia. Alguns exemplosso a soma das distnias para os foos ([Fi p. 382) e propriedades da tangente elipse ([Fi p.384). Estes resultados podem ser demonstrados om geometria analtia e, no aso da tangente, omlulo. Para ilustrar isto demonstraremos o teorema a seguir:11

Teorema: Uma tangente elipse por um ponto P forma ngulos iguais om os raios ligando Pa ada um dos foos.Prova: Considere uma elipse om foos F e F .1. Considere uma seante qualquer MM .2. Baixemos a perpendiular FC de um dos foos e traemos CF1 = CF .3. Traemos F F1 determinando D MM .4. Ligue D a F e M a F e F1.5. Armo que os ngulos FDM e F DM so ongruentes. Isto verdade pois os ngulos F DM e CDF1 so ongruentes (opostos pelo vrtie) e omo os tringulos CDF1 e CDF so semelhantespor LAL (CF = CF1, CD lado omum e DCF1 = DCF pois so ngulos retos), os ngulos CDF eCDF1 so ongruentes. Como os ngulos CDF e FDM so idntios, hegamos ao resultado.6. Quando M M , a seante vai onvergir para uma tangente. Os ngulos FDM e F DM voonvergir para os ngulos entre os raios ligando P a ada um dos foos e a tangente. Como os ngulosso ongruentes para uma seante qualquer, eles sero ngruos no limite tambm.Exerio 37: Onde foi utilizada a hiptese que a urva uma elipse ?!?!? NO utilizamos estahiptese! Ver refernia ou desobrir diretamente qual o problema om esta demonstrao.11 Bibliografia[Av vila, Geraldo; Como tratar a irunfernia, a elipse e a hiprbole; RPM 35 p.914 (1997).[Ba Barker, Stephen; Filosoa da Matemtia; Zahar 1964.[Bo Boyer, Carl B; A history of mathematis; Prineton University Press 1985.[Br Britton, Jill; pgina da professora do Camosun College in Vitoria, British Columbia, Canada.http://britton.disted.amosun.b.a/jbonis.htm[Bu Bunt, Luas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jak D; The historial roots of elementarymathematis; Dover Publiations 1976.[Ca Carneiro, Jos Paulo Q.; A sombra do meu abajur; RPM 59 (2006).[Cx Coxeter, H. S. M; Introdution to geometry; John Wiley & Sons 1969.[Fr Frantz, Mar; Pgina de Medial Lithotripsy; http://www.math.iupui.edu/m261vis/litho.html[Fi Chaput, Frere; Elementos de Geometria;[Ga Gardner, Martin; Penrose tiles to trapdoor iphers and the return of Dr. Matrix; W. H.Freeman and Company 1989.[Kl Kline, Morris; Mathematis and the physial world. Dover Publiations 1981.[LAB Lye Alain Borne; Frana; http://www.a-grenoble.fr/lyee/LAB/jr2000.[MAO Math Aademy Online; http://www.mathaademy.om/pr/prime/artiles/kepler/.[Pa Pappas, Theoni; The Joy of Mathematis; Wide World Pub 1989.[Wi Wikipedia; http://en.wikipedia.org/; Coni setion.

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