投影组态相互作用方法（ Projected Configuration Intera

ction(PCI) method

报告人：高早春

北京 中国原子能科学研究院核物理所 12 室。

第十三届全国核核结构大会 内蒙古 赤峰

核结构的基本问题

核力问题

量子多体问题

壳模型哈密顿量

壳模型计算方法

主要内容1. 壳模型哈密顿量中的多极相互作用。（高早春，王韩奎，陈永寿，郭建友）

2. 投影组态相互作用方法。（高早春， M. Horoi ，陈永寿）

一、壳模型哈密顿量中的多极相互作用

壳模型哈密顿量的一般表达形式

JTutsr

JTJTJT

rstur

rr tuZrsZVnH,,

)()(),,( rrr jlnr

MeV6466.1

MeV1636.3

MeV9478.3

2/3

2/1

2/5

d

s

d

33 + 30 = 63

一个具体例子：USD 相互作用[ Brown and Wildenthal, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 38, 29 (1988).]

All values are in MeV

rzr

szssrzrrZm

mjmjzszrzssrrrsMTJT aaTTJMmjmjrsZ

2/12/1)1()( 2

1

,

rzr

rzrrrzrrm

mjmjr aan

哈密顿量的多极相互作用（或张量力）形式

)...()(

2s.p.

QQPPGPPGHH QQQM

JTutsr

JTJTJT

rstur

rr tuZrsZVnH,,

)()(

将壳模型哈密顿量转换成多极相互作用形式，并与各类张量力矩阵元比较，可以了解哪些张量力是壳模型哈密顿量的重要组成。

优点：物理意义明确。

缺点：不能罗列所有的张量力

优点：包含所有可能的张量力。能较全面系统地描述原子核的各种特性：如结合能，能谱，电磁性质，beta 衰变，谱因子等等。缺点：物理图像不直观。

哈密顿量的一般形式与多极形式之间的转换公式 [Dufour&Zuker PRC54 1641(1996)]

Mm HHH

Monopole:Bulk

Properties

Multipole:Spectroscopic

properties.

,,

, )()(utsr

tursM tuZrsZWH

,

0,

2/12/12/1 )]()([

4

)1()1(][

rstusurt

tursM suSrtSH

一般形式

多极形式

的对角化

bsuart ,

,

0,

2/12/12/1 )]()([

4

)1()1(][

rstusurt

tursM suSrtSH

多极相互作用（张量力）形式

12

,

rt

rtkrt

k

tMr

utMrMu

0

2/1

02/1

)()(][)1(

)(][)1(

surt

suSuMsrtStMr

MMMM

zz

rtttrr

ttrrzz rtStMraattMrrMz

zz

zzzz)(][ 2/1

,

MM

张量算符的种类 Tensor operators

, l, [l ]1, [r2Y2 ]1 ，… rY1, [rY1 ]1, …

, l, [l ]1 , [r2Y2 ]1 ，… rY1, [rY1 ]1 , …

r2Y2, [l ] ２ , [r2Y2 ] ２，… r2Y2 , [l ] ２ , [r2Y2 ] ２， …．．． ．．．

USD 相互作用的张量力构成

=1=0

2 Muk

Gamow-Telle

r

=

=1=1

USD 相互作用的张量力构成

2 Muk

？ ？

=

=2=0

=2=1

GXPF1A 相互作用的张量力构成

2 Muk

Gamow-Telle

r

=

=1=0

=1=1

GXPF1A 相互作用的张量力构成

2 Muk

？

=

=2=0

=2=1

小结：一些重要的张量力

按 |e | 由大到小排列（不完全统计）

USD: r2Y2 ， ，， [r2Y2 ]1 ， l ， [r2Y2 ]2, ……

GXPF1A: r2Y2 ， ， [r2Y2 ]1 ， [r2Y2 ]2 ，，……

壳模型哈密顿量多极形式到一般形式的转换

e1=0.00, e2= 0.77, e3=1.11, e4= 2.50

r s t u J T V(rstu:JT)

1 1 1 1 0 1 -0.87238

1 1 1 1 1 0 -1.42812

1 1 1 1 2 1 0.21849

1 1 1 1 3 0 -1.42812

1 2 1 1 1 0 -0.17128

1 2 1 1 2 1 -0.11213

。。。 。。。

1=2P3/2, 2=1F5/2, 3=2P1/2, 4=1G9/2 Interaction taken from: K. Kaneko, M. Hasegawa, and T. Mizusaki, Phys. Rev. C 70, 051301(R) (2004).

A=68

二、投影组态相互作用方法

一种壳模型方法

Ab initio methods with NN and NNN.优点：最基本的理论。缺点：只适合于很轻的核。波函数复

杂。

(SM) Shell ModelConfiguration interaction (CI)优点：适用于更多的核区。波函数很

好，可以给出各种与实验相近的可观测量。

缺点：维度数限制，只能应用于有限的核区。单体及两体矩阵元的确定对结果好坏至关重要。

(DFT) Density functional theory Self consistent Mean Field 优点：适用于所有核区。缺点：主要适用于基态。

其他理论：如 Cluster models ， Group theoretical models. ……优点：对于特定现象能给出简洁的解释。缺点：描述一些特定类型的核态。

From www.unedf.org

unedf 子项目： DFT extensions:

壳模型（ SM ）方法（或组态互作用（ CI ））

如何减少组态空间（壳模型空间） , 近似求解 H 的本征值。有多种方法，例如：

Exponential convergence method (Horoi, et al , Phys. Rev. Lett. 82 ，2064(1999))

Monte Carlo shell model （ Review:T. Otsuka et al., Prog. Part. Nucl. Phys. 47 (2001) 319)

Vampir Approach (Petrovici et al., Prog. Part. Nucl. Phys. 43, 485(1999)

Projected Shell Model (Hara& Sun, Int. J. Mod. Phys. E 4, 637(1995))

SD paired shell model ( 赵玉民，罗延安等 ) Projected Configuration Interaction (Gao,Horoi and Chen, PRC 79,014311(2009), PRC 80, 034325(20

09) )

组态相互作用(Configuration Interaction, CI)

HFH

,...22,11, hphpHF 基矢

...2211 210 hpchpcHFc

体系波函数

在所选取空间里满足

EH

PCI 理论框架

Fock Space HamiltonianUSD, GXPF1A, …

K

IMK

IKIM Pf

,...21 niii bbb

jjiji cBb

Deformeds.p. state

Spherical H.O. |Nljm>

Intrinsic deformation:

1. Axial Symmetry: 1D spin projection, present work.2. Triaxial deformation: 3D spin projection, future work3. Octupole deformation: parity projection, more orbits, future work.

IKKHP '' I

KKP ''

0)( ,'',''

K

IK

IKK

IIKK fNEH

Generalized Eigenvalue Problem,Lanczos method

HI,NI are denseDim:104→105,6

M.E.: 90%Diag: 10%

Yrast 态基矢的选取• 步骤 1 ，对于每一个形变点 =( 2, 4), 计算其变形

单粒子能级 (Nilsson 能级 ) 。• 步骤 2 ，组建各种可能的组态（ s) ，找出其中投影

能量最低的组态 (s0).

,,

,,),,(

sPPs

sPHPssIE

IKK

π

IKK

ππ

• 步骤 3 ，取遍所有的形变 , 得到基态投影能量位能面 E(I,s0, ), 记能量最低点对应的 Slater 行列式为

min01 ,0, s

Yrast 态基矢的选取• 步骤 4 ，激发被选中的 ，可以产生很多的粒子

空穴激发态。选取其中对 Yrast 态有较大贡献的部分态，记为 . 要求满足

0,1

j,1 j,1

cutEE j

22

00 4)(2

1VEEEEE jjj

0,0, 110 HE

jHjE j ,, 11 jHV ,0, 11

控制 数目的参量j,1

PCI calculation of the g-band in 28Si

keV2.0cut E

)20.0,40.0( 42

j,1107 SDs are selected

Total dimension 1081071 D

Deformation

A.M.projection

PCIConclusions:The projected Energies Epj(I) from a single SD can not reproduce the full CI energies.Energies of PCI (D=108) are very close to the full CI energies.

0,0,

0,0,)(

1001

1001pj

I

I

P

HPIE

28Si

Full CI : D=93710

0,10I

非 Yrast 态基矢的选取• 步骤 1 ，假设我们已找到 。则选取某组态 ,• 步骤 2 ，建立如下两维本征方程

0,1 ,s

iii BxAx 0,1 1

,2 s

• 步骤 3 ，求解方程本征值得 1和 2 ，记• 步骤 4 ， S2 最低所对应的 记为 则取

212 S

,s bbs ,

bbs ,0,2

Improved basis choice of PCI

n

iinS

1

Main Idea: Minimize Sn

iii BxAx

0,ii

jPiN IMKij jHPiH I

MKij

Choice of 0,i

0,jj

General Structure of PCI basis(Basis states are deformed

Slater determinants)Choice of

ji ,

cutEE

22

00 4)(2

1VEEEEE jj

0,0,0 ii HE

jHjE iij ,,

jHV ii ,0,

Condition:

68Sen=20, Ecut=1keV

Conclusions:

1, The physics of shape coexistance in 68Se can be clear seen from the PCI basis.

2, With new method of basis choice, PCI energies are very close to those of full CI for both positive parity and negative parity states.

Interaction taken from: K. Kaneko, M. Hasegawa, and T. Mizusaki, Phys. Rev. C 70, 051301(R) (2004).

壳模型空间： {0f5/2 ， 1p3/1 ， 1p1/2 ， 0g9/2}

70Sen=20, Ecut=1keV

Time of calculation:

Full CI: 20 cpu days for each ．．． PCI: 1-2 cpu days for each ．．．

结论：

维度数和计算时间不会成为PCI 的严重问题。

Interaction taken from: K. Kaneko, M. Hasegawa, and T. Mizusaki, Phys. Rev. C 70, 051301(R) (2004).

壳模型空间： {0f5/2 ， 1p3/1 ， 1p1/2 ， 0g9/2}

小 结•PCI 采用维度数小得多的投影 SD 基 ,

相当好地近似再现了体系哈密顿量的本征值。

•我们期望， PCI 能够突破现有原子核壳模型的维度数困难，采用现实相互作用，在较重的核区开展大规模理论计算。

谢 谢！