二、有限多重集的 r- 组合数设 多 重 集 S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}, n=n1+n2+…

+nk ，当 r<n ，且存在某个 ni<r 时， S 的 r- 组合数没

有一般的求解方法，但可利用容斥原理予以解决例：求 S={3·a,4·b,5·c} 的 10- 组合数。解：把容斥原理应用到多重集 D={·a, ·b, ·c}

的所有 10- 组合的集合 Y 上，则 S 的 10- 组合全体即为 Y 的子集。令 P1 表示 D 的 10- 组合中多于 3 个 a 这一性质，P2 表示 D 的 10- 组合中多于 4 个 b 这一性质，P3 表示 D 的 10- 组合中多于 5 个 c 这一性质，

令 Ai(i=1,2,3) 表示 D 的具有性质 Pi(i=1,2,3) 的 10- 组合全体。则 S 的 10- 组合数等于 || 321 AAA

考察 A1 ： A1 是 D 的 10- 组合中多于 3 个 a 的组合全体，即 A1 是 D 的 10- 组合中 a 至少出现 4 个的组合全体。对 A1 的任一 10- 组合中拿走 4 个 a ，就是 D 的 6- 组合。对 D 的任一 6- 组合，加入 4 个 a ，就是 a 至少出现4 个的 10- 组合，所以 |A1| 就是 D 的 6- 组合数，即|A1|=C(3+6-1,6)=C(8,6)=C(8,2) ，

考察 A2： A2是 D 的 10- 组合中多于 4 个 b 的组合全体即 A2是 D 的 10- 组合中 b 至少出现 5 个的组合全体对 A2 的任一 10- 组合中拿走 5 个 b ，就是 D 的 5- 组合。对 D 的任一 5- 组合，加入 5 个 b ，就是 b 至少出现 5 个

的 10- 组合， 所以 |A2| 就是 D 的 5- 组合数，即 |A2|=C(3+5-1,5)=C(7,5)=C(7,2) ， 考察 A3： A3是 D 的 10- 组合中多于 5 个 c 的组合全体，即 A3是 D 的 10- 组合中 c 至少出现 6 个的组合全体对 A3 的任一 10- 组合中拿走 6 个 c ，就是 D 的 4- 组合。对 D 的任一 4- 组合，加入 6 个 c ，就是 c 至少出现 6 个

的 10- 组合， 所以 |A3| 就是 D 的 4- 组合数，即 |A3|=C(3+4-1,4)=C(6,4)=C(6,2) ，

考察 A1∩A2 ： A1∩A2 是 D 的 10- 组合中多于 3个 a 和多于 4 个 b 的组合全体，

即 A1∩A2 是 D 的 10- 组合中 a 至少出现 4 个且b 至少出现 5 个的组合全体。

对 A1∩A2 的任一 10- 组合中拿走 4 个 a 和 5 个b 就是 D 的 1- 组合。

对 D 的任一 1- 组合，加入 4 个 a 和 5 个 b, 就是 a 至少出现 4 个且 b 至少出现 5 个的 10- 组合，

所以 |A1∩A2| 就是 D 的 1- 组合数，即 |A1∩A2|=C(3+1-1,1)=C(3,1) ，

考察 A1∩A3 ： A1∩A3 是 D 的 10- 组合中多于 3 个a 和多于 5 个 c 的组合全体，

即 A1∩A3 是 D 的 10- 组合中 a 至少出现 4 个且 c至少出现 6 个的组合全体。

对 A1∩A3 的任一 10- 组合中拿走 4 个 a ， 6 个 c 就是 D 的 0- 组合。

所以 |A1∩A3| 就是 D 的 0- 组合数，即 |A1∩A3|=1 ，考察 A2∩A3 ： A2∩A3 是 D 的 10- 组合中多于 4 个

b 和多于 5 个 c 的组合全体，即 A2∩A3 是 D 的 10- 组合中 b 至少出现 5 个且 c

至少出现 6 个的组合全体，这样的组合是不存在的。

考察 A1∩A2∩A3 ： A1∩A2∩A3 是 D 的 10- 组合中多于 3 个 a 、多于 4 个 b 和多于 5 个 c 的组合全体，即 A1∩A2∩A3 是 D 的 10- 组合中 a 至少出现 4 个 ,b至少出现 5 个且 c 至少出现 6 个的组合全体，这样的组合是不存在的。所以 |A2∩A3|=| A1∩A2∩A3|=0 。因此

6)1)1,3(())2,6()2,7()2,8(()2,12(|| 321 CCCCCAAA

例：求 x1+x2+x3=5(0x12,0x22,1x35)的整数解个数。

解 : 将约束条件一律改为 0 。令 x3'=x3-1 ，则 原 问 题 即 为 求 在 约 束 条 件 0x12,

0x22,0x3'4 下 x1+x2+x3'=4 的整数解个数。

此问题与多重集 S={2·a,2·b,4·c} 的 4- 组合数相同。

把容斥原理应用到多重集 D={·a,·b,·c}的所有 4- 组合的集合 Y 上，则 S 的 4- 组合全体即为 Y 的子集。

令 P1 表示 D 的 4- 组合中多于 2 个 a 这一性质，P2 表 示 D 的 4- 组 合 中 多 于 2 个 b 这 一 性质， P3 表示 D 的 4- 组合中多于 4 个 c 这一性质 ， 令 Ai(i=1,2,3) 表 示 D 的 具 有 性 质 Pi(i=1,2,3) 的 4- 组合全体。则 4- 组合数等于

|| 321 AAA

考察 A1 ： A1 是 D 的 4- 组合中多于 2 个 a 的组合全体，即 A1 是 D 的 4- 组合中 a 至少出现 3 个的组合全体。对 A1 的任一 4- 组合中拿走 3 个 a ，就是 D 的 1- 组合。 又对 D 的任一 1- 组合，加入 3 个 a ，就是 a 至少出

现 3 个的 4- 组合， 所以 |A1| 就是 D 的 1- 组合数，即 |A1|=C(3+1-1,1)=C(3,1) ， 考察 A2 ： A2 是 D 的 4- 组合中多于 2 个 b 的组合全体，即 A2 是 D 的 4- 组合中 b 至少出现 3 个的组合全体。对 A2 的任一 4- 组合中拿走 3 个 b ，就是 D 的 1- 组合。对 D 的任一 1- 组合，加入 3 个 b ，就是 b 至少出现 3

个的 4- 组合， 所以 |A2| 就是 D 的 1- 组合数，即 |A2|=C(3+1-1,1)=C(3,1) ，

考察 A3 ： A3 是 D 的 4- 组合中多于 4 个 c 的组合全体即 A3 是 D 的 4- 组合中 c 至少出现 5 个的组合全体 ,这样的组合是不存在的。即 |A3|=0考察 A1∩A2 ： A1∩A2 是 D 的 4- 组合中多于 2 个 a 和

多于 2 个 b 的组合全体，即 A1∩A2 是 D 的 4- 组合中 a 至少出现 3 个且 b 至少

出现 3 个的组合全体。这样的组合是不存在的。即 |A1∩A2|=0 ，类似可以知道 |A1∩A3|=|A2∩A3|=| A1∩A2∩A3|=0 。因此 9))1,3()1,3(()2,6(|| 321 CCCAAA

三、错位问题现在考虑这样的问题：在书架上有 5 本书，把它

们全部拿下来，然后再放回去，要使得没有一本在原来位置上，有多少种放法？

这就是错位排列问题。定义：设集合 S={1,2,…,n} ，如果 S 的一个排列，

i1,i2,…,in, 满足 i11,i22,…,inn, 则称该排列是 S的一个错位排列。 S 的所有错位排列数记为 Dn 。

当 n=1 时 ， 只 有 一 个 数 ， 不 存 在 错 位 ， 所 以D1=0 ；

当 n=2 时 ， 1,2 错 位 ， 只 能 排 成 2,1 ， 所 以D2=1 ；

当 n=3 时， 1,2,3 错位，可排成 2,3,1 ，或 3,1,2 ，所以 D3=2 ；

定理：对于 n1 ，有

)!

1)1(

!3

1

!2

1

!1

11(!

nnD n

n

证明：设 S={1,2,…,n} ，用 X 表示 S 的所有排列集合，则 |X|=n! 。对于 j=1,2,…,n ，规定在一个排列中，如果 j 在第 j 个位置上，则该排列具有性质 pj 。令 Aj 表示具有性质 pj 的所有排列集合。则 S 的错位排列全体是：

nAAA 21

例： (1) 重新排列 1,2,…,8,9 ，使得偶数在其自然顺序位置上，而奇数不在其自然顺序位置上，问满足这样要求的排列个数是多少？

(2) 若要求只有 4 个数在原来位置上，又有多少种排列个数？

解： (1) 偶数在原来位置上，因此仅是把 1,3,5,7,9重新排列问题，

现要求奇数错位，因此是 5 个元素错位排列问题，所以 D5=44 。 (2) 在 1,2,…,8,9 中，只有 4 个数在原来位置上，对于确定的 4 个数，实质上是对其余 5 个数的错

位排列问题。而哪 4 个数在原来位置上，则是从 {1,2,…,8,9} 中

无序选取 4 个数，所以有 C(9,4) 。由乘法原理得所求排列数是 C(9,4)D5=5544

2 、相邻禁位排列问题定义：设集合 S={1,2,…,n} ，如果 S 的一

个排列的任何两个相邻位置上不出现i,i+1(i=1,2,…,n) 的模式 , 则称该排列是 S的一个相邻禁位排列。 S 的所有相邻禁位排列数记为 Qn 。

当 n=1 时，只有一个数，当然不相邻，所以 Q1=1 ；

当 n=2 时，只能排成 2,1 ，所以 Q2=1 ；当 n=3 时，可排成 1,3,2 或 2,1,3 ，或 3,2,

1, 所以 Q3=3 ；

定理：对任意的正整数 n ，有Qn=n!-C(n-1,1)(n-1)!+C(n-1,2)(n-2)!-…+

(-1)n-1C(n-1,n-1)0!证明：设 S={1,2,…,n} ，用 X 表示 S 的

所有排列集合，则 |X|=n! 。对于 j=1,2,…,n ，规定在一个排列中，有

j(j+1) 出现，则该排列具有性质 pj 。令 Aj 表示具有性质 pj 的所有排列集合。则 S 的相邻禁位排列全体是：

121 nAAA

例： 8 人一列行走一天 , 现要变换位置 ,使得第 2 天行走时 , 没有一个人的前面是第一天在他前面的人 , 求变换位置方式数 .

解：把这些人用 1,2,3,4,5,6,7,8 按第一天的位置编号 , 排在最后的为 1, 排在首位的为 8, 则所求问题就是 8 个数的相邻禁位排列问题 , 所以Q8=8!-C(7,1)(7)!+C(7,2)(6)!- C(7,3)(5)!+C(7,4)(4)!-C(7,5)(3)!+C(7,6)(2)!-C(7,7)1! 。

相邻禁位排列与错位排列之间有着密切的联系 :

Qn=Dn+Dn-1

3. 相邻禁位环排列问题定义：设集合 S={1,2,…,n} ，如果 S 的一

个环排列的任何两个相邻位置上不出现i,i+1(i=1,2,…,n) 的模式 , 并且也没有出现n,1 的模式 , 则称该环排列是 S 的一个相邻禁位环排列。 S 的所有相邻禁位环排列数记为 An 。

当 n=1 时，只有一个数，当然不相邻，所以 A1=1 ；

当 n=2 时，无法满足要求 , 所以 A2=0 ；

定理：对任意的正整数 n ，有An=(n-1)!-C(n,1)(n-2)!+C(n,2)(n-3)!-…+(-1)n-

1C(n,n-1)0!+(-1)nC(n,n)1!例： 8 个小孩坐在旋转的木马上 ,, 如果让他

们交换位置 , 使得每个小孩前面都不是原来在他前面的孩子 , 问有多少种变换位置方式 ?

解：把这些孩子用 1,2,3,4,5,6,7,8 编号 , 则所求问题就是 8 个数的相邻禁位环排列问题 , 所以 Q8=7!-C(8,1)(6)!+C(8,2)(5)!-C(8,3)(4)!+C(8,4)(3)!-C(8,5)(2)! +C(8,6)1! -C(8,8)1!=1625 。

第十二章 生成函数与递推关系

生成函数 ( 称为母函数 ) 是组合数学中的一个重要内容，可用来求解组合计数问题。

在 前 面 讨 论 多 重 集 S={n1·a1,n2·a2,…, nk·ak}(n=n1+n2+…+nk}) 的 r- 组合数时，

当对一切 i=1,2,…,k 有 nir 时，有计算公式 N=C(k+r-1,r) ；

当 r<n ，且存在某个 ni<r, 利用容斥原理予以解决。

12.1 幂级数型生成函数

利用下面的组合模型来模拟多重集的 r- 组合数设 有 n 个 标 志 为 1,2,…,n 的 网 袋 ， 第 i 个

(i=1,2,…n) 网袋里放有 ni 个球 ( 不同网袋里的球是不同的，同一网袋里的球

则是没有差别的，认为是相同的 ) 。因此多重集 S 的一个 6- 组合 {a1a1a3a3a3a4} 就相

应于从第 1 个网袋里取 2 个球，第 3 个网袋里取 3 个球，第 4 个网袋里取 1 个球。

反之，从第 1 个网袋里取 2 个球，第 3 个网袋里取 3 个球，第 4 个网袋里取 1 个球。就对应了 S 的一个 6- 组合 a1a1a3a3a3a4 。

一般地，多重集 S 的 r- 组合数就等于从 n 个网袋里取 r 个球的取法数。

现在用 x 代表球， xi1 代表从第 1 个网袋里取 i1 个球， xi2 代表从第 2 个网袋里取 i2 个球，… , xik 代表从第 k 个网袋里取 ik 个球。

i1,i2,…,ik 个 满 足 条 件 i1+i2+…+ik=r (ijnj,j=1,2,…,k) 。

故 xi1xi2…xik= xi1+i2+…+ik=xr 就对应了多重集 S的一个 r- 组合。

因为给出 1 个 xr 的构成就等于给出了多重集 S的一个 r- 组合，

所以 xr 的系数就是多重集 S 的 r- 组合数。利用上述方法就得到了求组合数的方法，就称

为生成函数法。

定义 12.1 ：设 a0,a1,…,an,… 是一个数列，构 造 形 式 幂 级 数 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+ anxn+…, 称 f(x) 是数列 a0,a1,…,an,… 的生成函数，且两个形式幂级数

00 i

ii

i

ii xbxa 和

相等当且仅当对每个 i ，有 ai=bi 。对于有限序列，可看成自某项后全为 0 的无穷序列。为什么称为形式幂级数？作为幂级数要讨论它们的收敛范围，即当 x 在收敛范围内取值时，幂级数才会收敛于某个函数 f(x) 。而这里， x 仅是记号，并不需要赋值，也不需要考虑收敛范围，故称为形式幂级数，而 x也称为形式变元。

定理 12.1 ：设数列 {an},{bn},{cn} 的生成函数分别是 f(x),g(x) 和 h(x) ， r 为常数。

(1) 如果 bn=ran ，则 g(x)=rf(x) 。(2) 如果 cn=an+bn ，则 h(x)=f(x)+g(x) 。

)()()(

)3(0

xgxfxh

bacn

iinin

则

如果

)()(

0

)4(

xfxxg

lna

lnb

l

lnn

则

如果

l

l

n

nn

lnn

x

xaxf

xg

ab

1

0

)(

)(

)5( ，则如果

)1(

)()()6(

0 x

xfxgab

n

iin

，则如果

x

xxffxg

afabn

nniin

1

)()1()(

)1()7(0

收敛，则，且如果

(8) 如果 bn=rnan ，则 g(x)=f(rx) 。(9) 如果 bn=nan ，则 g(x)=xf '(x) 。

xn

n dxxfx

xgn

ab

0)(

1)(

1)10( ，则如果

证明略。

例： (1) 设有质量分别为 n1克， n2克，… ,nk克的 k个砝码。现要用天平称 i 克的物体，物体放在左边，砝码放在右边，共有多少种不同称法 ?

解：设有 ai 种方法称 i 克物体。则 {ai} 的生成函数为 (1+xn1)(1+xn2)…(1+xnk) 。 该展开式中的 xi 幂来源于 xm1xm2…xmk=xi ，m1+m2+…+mk=i,mj{0,nj} 。 其中第一个括弧提供 m1次幂， 第二个括弧提供 m2次幂，…，第 k 个括弧提供 mk次幂，mj=0 表示 nj克砝码没有用上， mj=nj 表示 nj克砝码

用上了， 因此展开式中 xi 的系数恰好是称 i 克物体的方法数，故有：

0ii

nnn a)x(1)x)(1x(1 k21 ix

(2) 用质量分别为 1克， 2克， 4克， 8克， 16克的 5 个砝码，在天平上能称几种质量的物体？每种质量的物体有几种不同的称法 ?

解 : 设质量 r 克物体有 ar 种称法，则数列 {ar} 的生成函数是 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16),

(1+x) 表示砝码为 1 克的或者不取或者取 , 取了就是 1克 ,

1+x16 表示砝码为 16 克的或者不取或者取 , 取了就是 16克 )

(1-x)f(x)=(1-x)(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16) =1-x32。

所以 f(x)=(1-x32)/(1-x)=1+x+x2+…+x31。 因为 xi 前面系数都是 1 ，这表明凡是不超过 31 克

的物体都能用给定的 5 个砝码称出，且每个恰有一种称法。

(3) 用 2 个质量为 1 克， 3 个质量为 2 克， 2 个质量为 5 克的砝码在天平上能称几种质量的物体 ? 且每种质量的物体有几种不同的称法 ?

解 : 设质量 r 克物体有 ar 种称法，则数列 {ar} 的生成函数是 f(x)=(1+x+x2)(1+x2+(x2)2+(x2)3)(1+x5+(x5)2))

=1+x+2x2+x3+2x4+2x5+3x6+3x7+2x8+2x9+2x10+3x11+3x12+2x13+ 2x14+x15+2x16+x17+x18 。

这表明凡是质量不超过 18 克的物体都能用给定的砝码称出。

其中质量为 1,3,15,17,18 克的只有一种称法， 质量为 2,4,5,8,9,10,13,14,16 克的物体有 2 种称法，

质量为 6,7,11,12 克的物体有 3 种称法。 从上例中看出用生成函数可比较容易地解决一些计

数问题。 下面用生成函数来求多重集的 r- 组合数。

例：设多重集 S={·a1,·a2,…, ·ak} ， S 的 r- 组合数是 ar=C(r+k-1,r) ，它也是方程 x1+x2+…+xk=r的非负整数解的个数。

现用生成函数的方法求 ar 。设 {ar} 的生成函数为 f(y) ，构造幂级数 (1+y+y2+…)k ， (1+y+y2+…) 表示 ai 可以不取 , 取 1 个 ,2 个… ,把幂级数 (1+y+y2+…)k展开后， yr 幂来源于 yx1yx2…yxk=yx1+x2+…+xk,x1+x2+…+xk=r ，其中 yx1 来自第一个因式 (1+y+y2+…) ， yx2 来自第二个因式 (1+y+y2+…) …， ， yxk 来自第 k 个因式 (1+y+y2+…) ，且 x1,x2,…,xk 为非负整数。

因此展开式中 yr 的系数对应了不定方程 x1+x2+…+xk=r 的非负整数解的个数。故所构造的幂级数就是 {ar} 的生成函数 f(y) 。由推论 11.4 可得 :

0

),1()1(

1)(

r

rk

yrrkCy

yf

所以 ar=C(k+r-1,r)设多重集 S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak} ， S 的 r- 组合数 ar 就相当于方程 x1+x2+…+xk=r(x1n1,x2n2,…,xknk} 的非负整数解的组数。设 {ar} 的生成函数为 f(y) ，类似可以得到：f(y)=(1+y+y2+…+yn1)(1+y+y2+…+yn2)…(1+y+y2+…+ynk) ，则 f(y) 的展开式中 yr 的系数 ar 就是所求的 S 的 r- 组合数。

例 : 设 S={·a1,·a2,…, ·ak} ，求 S 的每个元素只出现偶数次的 r- 组合数 ar 。

解：令 {ar} 的生成函数是 f(y) ，因为要求 S 的每个元素只出现偶数次，则对 a1 来讲，或者不出现，或者是 2 ， 4 ， 6 ，…其他也类似。故生成函数为：

f(y)=(1+y2+y4+…)k=1/(1-y2)k

=1+ky2+C(k+1,2)y4+…+C(k+n-1,n)y2n+… 所以有

),1,0(120

),1,0(2),1( 22

nnr

nnrkCa

rr

r

例：求 S={3·a,4·b,5·c} 的 10- 组合数 a10 。令 {ar} 的生成函数是 f(y) ，则 f(y)=(1+y+y2+y3)(1+y+y2+y3+y4) (1+y+y2+y3+y4+y5)=1+3y+6y2+10y3+14y4+17y5+18y6+17y7+14y8+

10y9+6y10+3y11+y12

所以 10- 组合数是 6 ，事实上我们已求得 S 的所有 r- 组合数。同样，用生成函数的方法也可求解不定方程的整数

解组数。

例：求 x1+x2+x3=5(0x1,0x2,1x3) 的整数解组数。解：令 x3'=x3-1 ，则原问题即为求在约束条件0x1,0x2,0x3‘ 下 x1+x2+x3’=4 的非负整数解组数。解的组数为 a4,{ar} 的生成函数是

03

222

),2()1(

1

)1)(1)(1()(

r

ryrrCy

yyyyyyyf

所以有 a4=C(4+2,4)=15 。

作业 :P238:35, 36(2),37,39,40P253:2,5