А.В. Морозов

Домашняя работапо алгебре за 9 класс

К учебнику «Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /

[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.]. — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2010»

Издание восьмое, переработанное и исправленное

Издательство^ Э К З А М Е Н »

МОСКВА2012

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА II. Степень с рациональным показателем......................................... ................4

ГЛАВА III. Степенная функция......................28

ГЛАВА IV. Прогрессии................................ ... 54

ГЛАВА V. Случайные события.......................76

ГЛАВА VI. Случайные величины................. 82

ГЛАВА VII. Множества, логика..................... 89

3

Глава IIСтепень с рациональным показателем

62. 1)2^ + ( - 3 ) ’ - ( - 2 ) ^ + ( - 1 ) ’ = 8 + ( - 2 7 ) - ( 4 ) + ( - 1) = -24 ;2) ( - 7 ) ^ - ( - 4 ) ^ - 3 “ = 4 9 - ( - 6 4 ) - 8 1 =32;3) 1 3 -2 ^ -9 •2^ + 2’ = 2’ (1 3 -9 + 1) = 8 - 5 = 40;4 ) 6 ( - 2 У - 5 - ( - 2 ) ^ - ( - 2 ) ^ — 2 ^ - ( 6 - 5 - 1 ) = 0 - ( - 2 ’) = 0.« .4 7^•7‘ 7' - 7” „ д . . . 5^5'”-5 5'° ^ ' 5‘ 1 И У .

• ) у и у 13 7 I 3 > ) 5 4 . 5 IS J 1S + 4 J 19 j S ( 5 ) >

а’ -ЬГ а .Ь а% ’ ^ c ' V c ' V '

6 4 . 1 ) Г ' = ^ = 1 ;2 )4 -’ = ^ = ; 3 ) ( - 1 0 ) “=1;Г 4 64

4 -1

3) (0.2)-^= f i r = (5 /= 625;

5 ) - ( - 1 7 ) - ' = ± ;

4 ) ( 0 , 5 ) - ' = ЦТ 'UJ

-5

3) (0,2)'^ + (0,5)-’ = 5 + 2’ = 25 + 32 = 57;

4 ) ( -0 ,1 ) - '- ( -0 Д ) - ’ = - ^ ^f J _ r , r _ LU 0 0 0 J U25

-1

= -1000+ 125 =-875.

68. 1 ) 1 2 * ' = у ^ < 1 ; 2) 21°= 1;

4

3) (0 .6 )-'= (11 >1;к. J ^

f 5 \ f l9 V4) — = >119. , 5 .

(х - уУ (х + уУ; 3 ) 3 6 - ' c * = ^ ;

4) 9a’ 5) a"'6^c‘ = - ^ ; 6) a^b-'c-*b ac be

70. 1) -!- . 1 = 1 =7^=49;J . .7, J .

2) i r = f - i rsj I s , (-5Г = -125;

4) 17’ ’ -17’ 17 = 1 7 ''= ^ .

71. 1) 9’ :9'® = 9-’ = .^ = : ^ ; 2 ) (0,2) :(0,2Г^ = (0.2)''=0.0016 ;

3) Ш ' :f—1 "*=f—4 l 3 j I n j U3j

U J ‘U j 5" 625 ■

72. 1) (a’ )’’ = a-*^

3)(aO’ =a- ‘;73.1) (ab'^f = a ’b ' * = . ^ ;

2)ИГ=Л*;4 ) ( 6 ’ ) - ^ = « - “ .

2 ) ( a V 'f = a V “ =

3) (2a^)-* =2-<>a-'^64a'

74. 1)-2

3)

V* /

<7

6-' ■;2)

4 , t - T - j f r8ia

mv»-%

w

2jc'>

I3y-^j

2 \ ' Y 4 jc 'V .; 4 )

4>a- 5\ 3

64/;c-'' _ 6 4 /z’ zV^

еслид: = 5, = 25 и 25 - 4 = 21;

2) \аЧ-^У-аЧЛ-.^\ у

( а * - 6 * ) г.- _ (а“ - 6 ‘'](о‘*+ Ь ‘' ) _ 0 “ + * “'' ( а * - Ь ^ ) ~ b ^ Y - b * ) Ь^ '

еслиа = 2, 6 = -3 , тоо‘'= 16, Л‘*=81,6^=9и = ~ =

76. 1) 200000“ = (2 • 10У = 2“ • 10 " = 16 • 10“ = 1,6 • 10 ';2) 0,0003^ = (3 • 10‘V = 3 • 10" ' = 27 • 10 ' = 2,7 • 1 0 ''';3)4000"^ = (4 - 10^)- = 0,0625 - 10-*' = 6.25 • Ю'*;4) 0,002’ = (2 - 10-’)-^ = 2 - ’ - 10’ = 0,125 • 10’ = 1,25 • 10*.77. 1) 0,0000087 = 8,7 ■ 10 ^ 2) 0,00000005086 = 5,086 10

3 ) — = 0,008 = 8 10“^; 4) — = 0,0016 = 1.6•10■^125 625

78,79,80. 3 • Ю'^мм = мм = 0,003мм; 0,00000000001с = 1000

= 10-"с; 10''мм = 0,0001мм.

а , если а = 0,8, то а = 0,512;

ч2._1_32

82. 1) ((-20)’ ) '’ ;((-20)-')^ +2'^ = ((-20)““’ :(-20)-“* )+ i

= - — 1 _ -1 + 5 _ » .20"^4 20 5 ’

2 ) ( ( - 1 7 Г Г ^ ( ( - 1 7 Г ) - ^ - [ 1 ) = ( - 1 7 Г :( -1 7 Г\-2

0._ '± t =Г—lT - f-T LJ 7 J t I7 J t n j 17 17

83. 1)(1,3)-"*- (1,3)'” = (1,3)’ Й 10,6;2)(0,87)-’“: (0,87)-” = (0,87)-” '‘” = (0,87)-'’ = 10,67; 6

3 ) f i z r ’ . f i z r ' ' - r i z v "I 1 9 J 1 1 9 j l l 9 .

1121

4)56 -25 , 2 3 ^ 3 .

, 2 1 ,*16,78.

И I f 23L2iJ U u

84.1) (786‘Y ; ( 1 S 6 Y = 786'“ • 786“ = 786 = 6,17796 • lO’;2) (923’)-* • (923*)" = 923-'* • 923“ = 923 = 8,51929 • lO’.85.1) V = (1,54 • 10-Y = 3,65 • 10- мм’;2) V = (3,18 • 10^ = 3,21 • 10” km’.

86. 1) («-’ + * -’ ).(a -2 -* -^ )-'.(a -^ -a -'* -'+ 6 -')''= f-!5 -+ -V Vva b J

( J .____i_ y ' / J ____l + j l T ' =lo^ \a' ab b^) b^-a^ b^-ab + a

{b^+a^)a*b^ ab(b^+a^) _ ab _

a^b^-{b-a^b+aifp- -ab+a^) (b-a^a^+b^) b - a '

2){a-^b-ab-^).{a-^ +а-'Г' =

d b {b-a% ^+ab+(f) ^b^+ab+o^ b^+ab + a^

87. l)V r = l; V0=0; Vi6 = -n/ ? = 4; -,Яб9 = > ^ = 13;

-LT =iU 7 j 17

2)VT = I; V0=0; V lM = V ? = 5; ^ = ^ = i ;

V o ^ = V ( 0 ^ = 0,3; V ^ = V(0.4)’ =0,4

116 .1(2)^ 2

I =7’ V o;^ = t / ^ = o.2.

88.. l ) V ^ = v(6^y = ^ 6 ^ = 6; 2 ) = ‘\ / 2^ = 2;

3) fi-Г Jfr^125

89

3)

4) VH?" = l i o ^ = ^ = 15.

2) V ^ = 3“ =81;

1 18 ’ 4)^lt _1_^J_

3“ "81

90. 1) V ^ = -2 ;2 ) ' f T l = - V , 3 ) ^ = - ^ = - i ;

4) V - 1 0 2 4 = - ^ = -4 ; 5) V-34^ = -3 4 ; 6) = - 8 .91. 1 ) / = 81;ж= ± ^ = ±3;x, = 3 ;x , = -3 ;

2 ) x ' = - — ; = = = " 2 ’

3)5х’ = -160;д:’ = - 3 2 ; л = ^ / ^ = - 2 .4)2;с‘ =128;;с‘ = 64;л:= = + 2;л:, = 2 ,^2 = - 2 .

92.1) Щ2х - 3 — имеет смысл, если 2х - 3 ^ О, тогда 2х > 3 , д:> —,

;с> 1,5. Ответ: дг е [1.5; + оо).2) Ух +3 — имеет смысл для любого х.

3) ^2х^ - х - 1 — имеет смысл для любого х.

j 2 - 3 x 2 - З х\ 2 x - 4

4) имеет смысл, если:2 -З л :> 0

> О , т.е. I или2JC-4 2 л :-4 > 0

2 -З д :< 02 л : - 4 < 0 ’

2 2JC < — л: > -3 или 3 , поэтому

jc>2 x < 2

х > 2 2-З .О т в ет :л :б [-;2 ) .л <2

93.1) V - 1 2 5 + i ^ = V(-5)^ + i - ^ = -5 + -i-2 = - 5 + - = - 4 - : 8 8 8 4 4

2) V 3 2 - 0 . 5 - V ^ = V ? ’ - i V ( ^ = 2 + | = 5;

3) - iV 8 T + V625 = - iV 3 ^ + = - j - 3 + 5 = - l + 5 = 4;

4) V -1 0 0 0 --V 2 5 6 =V(-10)^ - i V ^ = - 1 0 - l = - l l ;4 4

9 4 . 1) V 9 + Vn -V -Vn =V 81-17 =V64 =8;

2) fV3 + >/5-у/з-л /?! =3 + V 5 - 2 V ^ + 3 - V 5 = 6 - 4 = 2;

3) |V 5 + '/n + V 5 - > ^ ) '= 5 + V2r+2V25-21 + 5->/2T = 10 + 4= 14;

4) + (Уз+У2)^-(л/з-л/2)УV3 -V 2 ■Л+Тг 3 -2

3 + 2л/б + 2 - 3 + 2 Т б -2 2V6 + 21/6 /т3 - 2 1

9 5 . l ) ^ ( x - 2 f = x - 2 ----ДЛЯ любого X.

2)т.к. V (3 -x )^ > 0 ,топрих<3 =(3-;с)^

и при X > 3 = -(3 -;с )’ = (;с -зУ .

9 6 . 1987 < л / й < 1988; 1987 < и < 1988^, отсюда 3948169 < Ж 3952144.Найдем, сколько натуральных чисел между ними3952144 - 3948169 = 3975, а т.к. «<3952144, то таких чисел 3974.Ответ: 3974 числа.

97. 1) ф 43 0,125 =^7’ -(0,5)’ =^(7 0,5)’ =^(3,5)’ =3,5;

2) ^512-216 =-VS’ -6’ =V(8-6)’ =48;

3) ^256 0,0081 =^2* (0,3)‘' = 2^-0.3 = 4 0,3 = 1,2;

4) V32 100000 =V 2’ l0 ' = 2 1 0 = 20.

98.1) Vs’ -7’ =V(5-7)’ = V ^ = 35;

2) Vll'' -З'' =^(11-3)“ = ^ = 33;9

3) = ^ /(о 5 1 7 = ^ = 1,6;

4)^1 ■2\' =||[|-2' = ^ = 7-

99.1) V2 - V ^ = V iM = Vi0^ = 10;

2) ^ 0 ^ -V ^ = Vo. 008 = = 0,2;

3) ЦП4-^=Ц»\ \6=^3‘' ■2‘' =6; 4) ^ -У !? = ^ = ^2^ = 2.

100. 1) ^310.215 =3^-2’ =9-8 = 72; 2) V ? ^ = 2-5^ = 2-25 = 50;

3) = 3 ^ ( i J = f = 3; 4) '||4 ^ » -[lJ“ =4^ n ч2 64

(101-102). 1) V64-x^ -z ‘ =4xr^ 2) Va*-b'^ =a^b^

3 ) ^

1 2 ;

= a l

4 )C V = a V .

= 16.

102. 1) 2ab - V ^ = ^2’ a’b =2al

2) ^3a^b’ •^27a^b=^3‘' a V =3ab;

1 16a _ 2[2аЬ b

23 ’

4)

104.1) V ^ : V 4 = ^ ^ = ^ = l/j^ = 3;

1 = 1 '1 0 0 0 vuoj 1 0 " 5 '

2) ^:^200Ь=з|^^=^

5)(Л5-Л5):^?-^Н-Л!.Л-Л.г-з.-1;10

V 125 V 5’ V 5’

2) = У54-24=^27-2-8-3=л/2‘' з‘' =2-3 = 6;

3) Щ - + ^ - ^ Щ м = Щ + г - ^ = ‘Ц й + г - 2 = 2-^\ = г

5) V ll—»/57 Vn + Vs? =Vl 1^-57 =^121-57 =^64 = 4 ;

6) ^17-л/зЗ-^17-)--Лз = ^17--33 = ^ / « 6 = ^ = 4.

i i i b b ’ V2s ^ , j ^ p : . v 77. *

У г ^ - У 4 ^ _ 1 , | 2 ^ а У _ л ^ 2a a.2 * V ^ 26 \ 26 26 6 ’

5) = «^6^ 6) : ( V ^ 'ab^

112. 1) -\l4a-b \ 1 ш = ^2^ a^b^ -3^ =2-3-6a = 6o6;12

2) ifabc • ila^b^c • = ^a^b^c^ = ab^c;

5 Г Т 1 Т3 ) --------- 7 = ------- - — = = — - ^ a b ;^3ab УЗаЬ

3 18 12

3 _______ я 6 8

+2x® =jc + 2x = 3x;

4 8 6 12

113.1) УУа + V V = a 9 + 6 = 2 2 ^ 2a ;V /

2) =

\ /

3) 2 > / V ^ - = 2 a V - овб"* = 2 a b ^ - a6^ = a b ^;\

4) = V - y = 0;

V i^ T -f = V ^ - V5)

= x V -J O '‘';

(a - l )V aV«

6) ^ a \ f a - V a : ' ^ ^ = (aVa-V^):

114.1) V? Vi4 : V 3 = . ^ = 5.72;

2) V 6j V23-Voj7 =V6,7-23 0,37 = ^57,017 » 7,55;

115.1 ) : ! ^ ^ = б | ^ ^ = ^ = 3;

2 ) ^ = # - - 7 ^ - ^ = 7;712

3) (V 4 -V i0 + ^ )(V 2 + V 5 )= (V 2 )’ + (V5]f = 2 + 5 = 7;

4) (V 9 + ^ + V4)(V3-V2)=(V3^-(V2]f = 3 - 2 = 1.

116. yj4 + 2yli- ^ 4 - 2 ^ =2; (4 + 27з)(4-2-Уз) = 4;

^(4+2лЯ)(4-2л/3)=2;

4 + 2л /3-2^(4+2л/3)(4-2л /3)+4-2г/^ = 4;

д/4+ 2>/з- 1/4 - 2 7 3 ') = 2 ^ Тогда ^A + l S ~ 4 ^ - 2 S = 2. \ >

= ^ + ^ - i f a = i f b ;

a - b a + b _ (V a -V fc )(V ^ + V ^ + V ^ )I f a - i f b Va+Vb I f a - ^

n9.\)x^^aZ-, 2) > /5= ^; 3)0*

4) b ’ ; 5) (2л:) = -Л Г ; 6) (Зб)т

120.1) 6 4 2 = ^ 6 4 = 8 ;2

3) 83 =V64 = 4;

5) 16“7 = ^ /l6 ^ = 4 - = r ;

2) 2 ? J = V ^ = 3;

4) 8Й = > ^ = 33=27;

6) 9 2 =VF^ = ^ = — .2' в З’ 27

1 1 1 1 Ё 1 1 i l l l 121. 1) 25 -25 =25 =2^=8; 2) 5 ’ -5’ =5; 3) 9’ :9« = 9 ‘ =9^ =

= 8 3 = | .- - 1 / \ ^ Г -

4) 4 3 :4 « = -i; 5) (7'’ ) 3 = ? 2 = 4 9 ;б ) 8‘2

2 2 1 6 10122 .1) 9 5 .2 7 5 = 3 5 -3 5 = 3 5 =3^=9;

2 2 2 4 6

2 ) 7 3 -4 9 3 = 7 3 -7 3 = 7 3 = 7 = 4 9 ;3 3 3

3)144‘' : 9 ‘'= • = - Г = 1 6 ‘'= 2 3 = 8 ;\ /

3 3 3

4) 1502 ;б2 = ( i ^ P =252 = 53= 125.V 6 У3 _4 .

123. l ) f —l ‘• + Ш 3 = 2 4 2 “ =8-н16 = 24;V 16у ч 8у

-- -- Г л Г \ \ - ~ I 12) (0,04) ’ -(0,125) ’ = [ — I - [ - ] ’ =252 _g3 =53 . 3 2 =

v25y \ S J= 125-4 = 121;

1 1 1 13) 87 :87 -3 5 .35 = 8 -3 ^ = 8 - 9 = -1 ;

4) (5 5 )-5+ ((о,2)4)-“ = 52+j^ ij =25-+-125 = 150.

124. 1 ) ^ -V a = V ? -Va = = -Уа , при о=0,09, = -j0,09

2 ) V * : V 6 = V ? : ^ = ^ = V6,npH6 = 27, VF = V ^ = 3;

3) = 6=1.3;

1 1 5 I 1 5 I 6

125.1) a ’ •Va = o3"2 = a ^ 2) . ^ = = b ;i i - i 1 - i i 1 1_L

3) V b :b 6 = b 3 '6 = b * '6 = b * ; 4) : Va = = a ;

5) x'-’ • : V 7 = = ;c';

TO •> -. I— Г -3 ,8 + 2 ,3 + —6) y - ^ ’ : y - - ' ^ - 4 ^ - y ^ = y " = \ .

126. 1) 2 "’’ •8 '^ = 22-3'/5+3Vs = 2 ^ = 4 ;3 I+2V2 . 9 V2 ^ 3 l+2V I - 2V2 ^ 3 .

3 ) 6 '"-'^ : (4''3.9 '^ j = 6‘"2V3 . g2VJ ^ 6i+2V3-2, ^ g .

4) ( 5 '^''^)I-V2

5 « = 5 - ' = l .5

/"/ A \4127. 1) (a^)’ 4 (6 3)-6 =a-3.^,'*;2)

/ I " ~ \ 1 0 / \l /Ч3) U x " - ^ - y ' A = ( / ’ - / ' ^ r = x ^ / ;

\ /

- 2VI4 )^

1 2 8 . 1)

-л/2 -1v;c

a + a ‘ a {a + \)U I - П 1.1 1-1 a + l a + \

+ a + a ^= a

2 )i+1 1-1

63

Z>5 5 _ ^ ,5 5

1Д 2_23 _ / , 3 3

1 ;

16

L\

j9 + fOz z у

/ N / \

z 9 = zi9- zi9 = = _яяT T 7 1 T I к I >

и Ч = ^ Я Ц иЧ (£I -------- I

‘q ^ + =

= г<?+ £*’ = £<?• s'’ 9 9, '’+ £ 9 £ » | - »_{9»)+ t-9'’Д )(3T I г 1 V T" I Z \ J ------ ' VI -' /

6" = f/t”A-6” (roci/ \ / N

• £ » = 6 6 =T г Т 9U J

6 =T 9

^DD

J >

•9 = г - 8 = rt'I e-^

ГгT = l^ ro -t ' ) - |(S‘o) (t'I у о ' s-\£ у

= 6 + ^ = ,£ + ,г = , г ^ ( ^ г ) (e

iOl: £ = £ 0 1 ~ = £1Д - V £

л »sVI I у

= oooiA- fS: »S (гV£ T T T

' i _ q f ^1 I

✓ \= U f l ] i \ z i - i Z ) i S - i J = ^ - i Z - d - i i - i Z ( \ '6Z \

1 1 \ I 5 ! 5 /

l A l f A99+9^^ I 1

/ > ^Де< ?+^ с»9 ^ + 9 Я 1 е_г^+£ г? £ 9t'’ 1 1

U 1 J 1 1 , 1 1 Г 1 VI 1

. 9 г “ Г‘ D /

'I(e

I

Y 1 l Y ~X- +y ^ jc2 -^2

- y _ V A

x ^ +y ^I

y f a - ^ _ ^ 1 1 “

1- 1- “< 1- 1-

a ^ - b ^ \a*+b*s . )У J

3)

- b ^

m' +n^ m + 2-Jmn + n

I

}_ Iw2+«2

i i +«2

\2 1 1 ’

4 ) ^ Z 2 £ 1 ± 1 - AC2-1

V ? - iC2-1

= C2-1.

132. 1) 1 - 2 . | А Дa a

- - V ( fT ' a ^ - b ^ = l - J -

(V ^ -V F f _I

2)Jl

2 + 3 ,-+ 3 /A = Va+V6

_ y fa b i ^ + ljb) _ y f ^

3)

'3 ^ + V 6 r V ^ + V b ’

~a^ b 2~^?2 (l-6^)?) ^1 1 1 - 1 ” JL

b ^ + b ^ {}-a)a^ {[ + b)b ^

\ + a - ( \ - b ) = a-\-b\

18

12 • У

+ 2 l / ^ + ifab

_i __ _i _i .1‘J a - a Vflf - a { a - b ) a ^ ( a - b ) a ^

1 - V t i^ лГ“ Ч /г yla--Jb ^[a+4bVa+flf "— 7=— — 77=—

^|a yja

_ flf-6 a-Z) _ (flr~Z?)(Va + V&) - 4 b \ a —b)•yfa—ylb ^[a+^fb a — b a — b

- 4 a + 4 b - 4 a + ^ = l 4 b .

133. 1)

1 1 1 1 AT- 2a^-4ab b^a

4a-\-4b 4 b - ^ a - b 4a-^4b ^fa~^[b

2a^-4ab a^{ya~yfb^ + ab^(yfa+yfb^~2a~+4ab

(Va+>/ )(V ~V6) (Va+V j(Va->/6)11 1

_ -a^b^ -i-a^-Jb +ab-2a^ +4aZ> _ 5ab-a^a - b a - b

2) З л у -у ^

-Jx ~ -J y л /Г+У у

" F ^ ^ " V 7 - V 7 "yVT _ Зду- - у4 у У х + 4 у ) ~ У■Jx{^^x -

л/1 + 771 1

_ г х у - у - - у ' ^ 4 х - у ^ - у х + у '^4х _ 2ху-2у'^ _ 2 у { х - у )JC->» JC- ' х - у

Vo + Vft a ^ --V ^ + 6^-(V a + ) ( ^ + V6)3) '

_ -3V^.+ а + 6

19

4)a - b

(V^-Vb)* Уа + lfab + y [ ^\ /

134. 1)

yfa + V ^ +

{a-b) a + b

v ^ - v ^ " T U "

= V^ + V 6-V ^+V ^ =2^^.

+ \fab + y f ^ i ^ - У ь )

Уа ~Уь

^ 2 1 ’ ^ 1 INa} ~a^b^ +b^

2)a + b a - b

1 l Y - -дЗ 4. ,3

_______ A ________ ,1 1 1 2 2 J ^ j ^ 2

a^ - a ^ b ^ +b ^ дЗ 4_д3 з 4. ,32 1 i 2

а ^ - а Ч ^ + Ь ^

( 2 I I 2 Y 1 1^fl3 + дЗ^З ^^3 3 _^3

_________________ /V ________2 1 1 2

дЗ +^3^3 +^3

I 1- = дЗ +^3 _

1 1= 263

3)

2 2

д з + б з 1a - 6 1 1

a ^ - b ^

2 2

дЗ +632 1 1 2

«3 +^3^3 +63

flf-6 6-^?’

1 1 a ^ ~ b ^

4 ) ^ T T -

1 1 1 1 <3f3 -6 3 + 3 + 63 2Уа

2 1 1 2 <3f3 —a^b^ +63

a + 6 <7 + 6

135. 1)^3 + ^ 4»3,02; 2)^7 + Vlo « 2,04; 3) 5' *16,24; 20

,>/54) »1,49; 5) re” «36,46.

I I136. 1) 23 <33;

3 ) 5 ^ <7^^;

~ 1 12)5 5 <3 5, т .к .- 7 = < - 7 = ;

4 ) 2 Г ^ > 3 1 " ^ , T . K . - ^ > - V -2 jV2 3j/2

8811 100 11

, J l l V ' ^ f l 2 '4) — > —J 2 , J 3 .

f . ^Уг ( - Ч3 ) ( 4 ,0 9 Г < |4 ^ 1 , т .к .к 0 9 < 4 — J;

-Vs 12 13 ri2)''^ fl3 '\'^т.к. — > — и — > —

и 12 ,11, .12,

138.1) =6^ .Тогда 2jc = i . Отсюда

2) З"" = 27; З"" = 3 ^ x = 3.

3) 7* = 7 '*. Поэтому 1 - Зх = 10, X = - 3.

4) 2^* ‘ = 32, 2^'‘*' = 2 ’ . Тогда 2ж + 1 = 5, д: = 2.5) 4~*^ =1; 4^^* =4*". Поэтому 2 + х = 0, jc = - 2 .

' I 1^ i j = 5 , 5 ’-'"‘ = 5 ,3 - 4 х = 1 , ;c = i .6)

139. 1)

|нГ-НП 7 6,

21 7

1 1 2 . 7 (1 Ч 7(1 1Т.К. —> — , а —>0, то J I-------> 7 / -----------6 12’ 7 V.2 3. V .3 4

21

2)

140.1) 3г-у П , г ' = Ъ ,Т огда2-;/ = З и у = - 1.

2) 3 = 1; 3 = 3**. Поэтому 5 - 2 х = 0ил- = 2,5.

-х-с i»-i 2fi*-i3 )92 _ з = 0 ;9 2 = 3 ;3 '-2 = 3. Т огдах-2 = 1 и jc = 3.

з'^-81 = 0 ; 3 ^ 3 ] =3^ Тогда9-^> = 4ид' = 5.4) 27 3i x - i 51-8

Тогда 10 - % = 5л: - 8, 9х = 18 и л: = 2.JC-4

. 3-4Х+Ю ^з5х-8

2 ) 2 Ах-9

Поэтому 4л:-9 = -л: + 4, 5л:=13ид: = 2,6.

3) 8" •4 ''" '’ = — ; 23*.22’‘"^‘ = 2 -".16

Тогда Зл: + 2д: + 26 = - 4, 5л: = - 30; д: = - 6.

4)25 л -2

Г ьla:

142. 1)

15

2х-А-;5 2 = 5 -х+7,5

1 ЪхТогда 2л: - 4,5 = - д: + 7,5, Зл: = 12 и дс = 4.

/ ч2дг+1 2. 1 _ "4 - =(3V 3f , (3‘ 2)2«1 =32^, з'"'2 = 3 2 .v3 j

Т огда-л :-—= —д:, - 2,5л: = 0,5 и л: = ~ —.2 2 5

22

2) (V2 )"" = ^ , 2 3 = 2 3 .Поэтому =

JC - 1 = 4х, Зд: = - 1 и JC = - - J .

3) 9^ ' " “ -л/з = ^ , ( з ^ . 3 = ( 3’ ■ = З’ ^ - ’V3

Т0гда6л: + 9 = 3лс-3,3х = - 12ид: = - 4 .

4) = 4'"- V2 , 4 - = • 2^ .{>/2f 2^^

Тогда i - j x = 2 (3 x - 2 )+ j,6 ^ x = 6 j их = \ .

143.1) log, 49 = log, 7^ =2 ; 2) logj 64 = logj 2* = 6;✓ 1 N-2 J ^

3) logj 4 = logj - = -2 ; 4) »ogj — = log, 3’’ = -3

144. I^g23 = 1A 2) lgl31 Й2,1; 3) 401g2 = 12; 4) 571g3 = 27,2.

14«. 1) 10^ - ' = 7 ,2x- 1 = lg7, X = X » 0,92;

2) 10‘-3' = 6 , 1 -3 jt = lg6,x= X « 0,07.

146.1) (0.175)®+(0,36)-'- l 3 = l+ [ ^ M j '_ i = [^ ^ j'

2) I-""’ -(0,008)5 +(15,1)“ = 1 +1 = 2 - = 2 - Y =

'_L'.27, 27 16 3

25 11 251 ^11= --- + --- = ------= 5 ---- ;16 3 48 48

4) (0.125) ’ + f - l -(1,85)* = - p i = + — -1 = — + — -1 U ; ' ' V0ii25 16 0,5 16

147.1) 9,310’*:(з,110'’ ) = - ^ : 1 |^ = 3 10-‘ =0,3;

2) 1,7 • 10-* • 3 • lO’ = 5,1 • 10 = 51; 3) 8,1 • lO'* ■ 2 ■ 10“''' = 16,2 • 10 = 1620;

4)6,4.10^(.,6.10’ ) = M i 2 i = 4 = o,04;' ' 1,6 10’ 10^

5) 2-10-' +f6« - l y ' - f i l " ■{i-V . f - l T ' = i + A .3 l .( _ 4 ) =V 6 j U j U ; I, 4 j 5 5 3 ' ' '

Л . 1 ± ± 1 Л Л = _ 1 = 1,4;5 5-3 5 5 5

. 3 4 -1

^71

10 7*4 53 2 _ 3 - 410 5 10

148. 1)

I 5jc3.^6

n -2

-0 ,1.

2 5

J.v6

П H J C = — = 1— •9 x ^ ~ 4 9 ~ 4 9 ’

2)" 2a ’ 1

7

^ 6 1 " «9. ^9

1 u>1 f a9.«9VI -2

a ^\ / \ У \ /= ( « r = 4 .

при о = 0,1, = 0,001, ^ = 1000.

149. 1) =

2) (VT + V i6 l) + (W iI --V 6 2 5 l) = ^ + 2 V x+ 3 V x -5 V x = V I;

3)

24

VT+aVi a : 3 +

V iT o (^ 3 + V b V '= 1;

150.1) = 49; = ? \ Тогда 5 х - 1 = 2; 5x = 3 и х =

2) (0,2)'“-' = 0,04; (0,2)''^ = (0,2)' . Поэтому 1-л- = 2ил: = - 1 .3JC+3

3) ^ = 7^^

Значит, - З х - 3 - 2 х ; - 5х = 3 и х = -----.

/ - \ 2 д с

4) = - ; з ’"'"’ =3'^\О геюда,5д:-7=-2х;7л: = 7 и х - 1 .у

l.l)3-^3-’ -2-^2^

Проверь себя

.3.= з' _ 2 Ч | = 9-4+з| = 8|;

2) V3'®- 3 2 - - ^ ^ = 3 ^ -2 -^ 8 = 1 8 -2 = 16;V2-^

3) 25^-25''+(5')^:5’ -48^:6^ = >/25+5"'-8’ =5 + i - 4 = l,2.

2. 8600 = 8,6 • 10’; 0.0078 = 7,8 • 10’ ’;

1)8 ,6-10’ -7,8 - 10-’ = 67,08; 2) 8,6 • lO’ : 7,8 • 10"’ = ^ 1 о ‘ .

3. 1)Зх-’-2х’ = 6 ; 2) (

.ху] ху(х^4х+у)ху-

5 2 34. = а ^ - д ^ в . ‘ = д - а ' * = а при от = 81, то а"* = 3.

5. а) (0,78)з > (0,67)з, т.к. 0,78 > 0,67, и показатель степени у ^

б) (З,09)"з < (3,08)“з , т.к. 3,09 > 3,08, и показатель

151. 1) f —1 Ч ю о о с -Г ^ — У = ( l6 ) j + 1 0 - f ^ V = 2 4 ю - ^ , Vi6; V 32; V 3 2 ; 2

= 8 + 1 0 - | = 16,5;

2 1 1 1

2) (o,ooi)’i - 2 - ' - 6 4 3 - g " ’’ = 1 0 0 0 3 =4 V 8,

= = 1 0 - 4 - L = 5 i l ;4 V. s j 16 16

3) 2 7 ^ - ( - 2 ) - 4 f 3 ^ V = ^ - i + ^ l = 9 - ! - + ^ = 9 i - . I, 8j 4 \2 7 4 3 12’

4) (-0.5)"^-625- ' i

1 4j

609—27

= 1 6 -6 2 5 -J

= 1 6 -6 2 5 - —27

152. 1) V ? - 4 — имеет смысл, если выполнено - 4 > 0, т.е. (х - 2)(х + 2) > 0.Ответ: л: е (-оо; - 2]U [2; + оо). 2

2) V ? - 5jc + 6 - имеет смысл для любого х. Ответ: х е ( - о о ;+ о о ) .

х - 23)

iх - 2 имеет смысл, если

JC + 3> О, при этом X + 3 5* О

х-ьЗ т.с ,х^-3 .Ответ: х g (-оо; - 3)U [2; + оо).

4) V ? - 5jc + 6 — имеет смысл, если jc - 5jc + 6 > О, тогда ( x -3 ) (x -2 )> 0 .Ответ: х е (-оо;+ 2]U[3;+оо). 2

5) ^ /7^ :7 — имеет смысл, еслих ^ - х > О, поэтому х(л:-1)(д:+1)>0.Ответ: х е [-1; 0]U[l; + оо)26

6) - + бдг — и м е е т с м ы с л , е с л и - 5 х ^ + 6х > О,

т о г д а х { х - 3)(л: - 2 ) ^ 0 .

О т в е т : х е [ 0 ; 2 ] U [З; + о о ) .

1 -I I153 п ^{a^-l)_ a-\a + lXa-l) _ а + \ 1 .

1 - 1 -1, , ( 7-1) а- а а { а - \ )

2 ) ^л - = - 5 Г П Г ' " ' -

- а а ^ {a - i )

- - - ~ ( \. , . , + 2 6 ^ + 6 4 6 4^2^26 + 11 (6 + 1) 6 + 1.

I — ' - д а - ж '6 “(b + l)

4 4 2 2 1 1 1 1а ^Ь~^~а~^Ь 3 _ а~^Ь~^{а^ - Ь ^ ) {а^ +Ь^)(а^ - Ь ^ ) _

~ Т ----------1 1 1 Iа ^Ь~^-а~^Ь 3 а~^Ь~^(а^ - Ь ^ ) -Ь ^1 \_

= а^ +6^ =^\fa+lfb;

л /7 4 7 - 4 ^_ S _ ^ 4 ^ J 7 - 4 ^ _

4 а _ 4 1 = = V 7 - > / ^ ■

^ - 1 Т ~а ^ - Ь ^ (а+Ь){а-Ь)

а - Ь а~ЬI I

а + Ь\

а Ч ' ' ' - а Ч ^ _ а * Ь * { а - Ь ) [ ■ J a + - l b ) [ - I a S ]I I I I Г - г г

+ -ylab^

‘[л[ь - yfa)

va

-2

1 + J ~

8)a + 6 ^ -yla^l . 6/-_6i

У а - ^ \ f a - \ f b

: f ^ - V ^ ) =_ V ^ - 2 V ^ + V ^ /бГ" 6/r^_

_ l j a - l j b ( ^ + V *)(V o-V *) 6 Г 6fZ = V aW /> .

154. K* = a ; F„ = |л - - л ’ , если К* = К„ = lOOcm’;

а = ^ = V i ^ » 4,64 см; Л = = з | ^ = ^ » 2,88;

2R = 5,74, 2R > а, следовательно, шар не поместится в куб, т.к. диа­метр шара больше ребра куба.

155. г = 2 л ^ « 2 ; r J ^ « 2 • 3,14 • « 0,86с.

Глава 1П, Степенная функция156. а) у(х) = х ^ - 4 х + 5, у ( - 3) = (-3)(-3) - 4(-3) + 5 = 9 + 1 2 + 5 = 26, Я -1 ) = (-1 )(-1 )-4 (-1 ) + 5=1 + 4 + 5= 10,Х0) = 0 - 0 + 5 = 5,Я2) = 2^-4-2 + 5 = 4 - 8 + 5=1;б) пусть Хх) = 1, значит - 4х + 5 = 1,д; - 4х + 4 =0; (дг - 2)’ = О, тогда дг - 2 = О, х = 2, пусть у(х) = 5,28

значит - 4д: + 5 = 5; - 4л: = О, дс(д[: - 4) = О, тогда Х\ = 4; хг = О,еслиу(х) = 10, то л: - 4дс + 5 = 10, - 4д: - 5 = О, тогда jci = 5, Х2 =-1,если><^)= 17,тод:^-4л-5= 17, jc -4 jc- 12 = О, тогдадС]=6, дг2=-2.

157. у(х) = ; 1) у{-2) = ^ = -1, у(0) = ^ = -5, х - \ -3 ~1

= у(3) = ^ = ^ = 4;^ \ 2 1 -0.5 ’ ’ 3 -1 2 ’

2) если^лс) = -3 , то = -3 ; д: + 5 + Здс - 3 = О, при этом х - 1 О,Л--1

4jc = -2 1 / ч л + 5 .• ,тогда jt = —-,есл и Х ^ ) = - 2 ,т о -----г = -2 ,

х ф \ 2 х - \х + 5 + 2дс-2 = 0, при этом х - 1 О, Здс = -3, 1, значит, jc = -1 ,

еслиХ-^) == 13, то = 13 , д: + 5 - 13jc +13 = О, при этом дг - 1 О, дг-1

-12д: = -1 8 , 1, значит, дс= 1,5, если = 19, то * ^ = 19,JC-1

дс + 5 - 19дс+19 = 0, при этом дс- 1 О,-18дг = -24, дс? 1,4поэтому,

158.1) у = 4 х ^ - 5 х + 1, xs ( -x . ;oo) ;2 )y = 2 - x - x \ хе(-оо;<ю);

3 ) у = ^ ^ , х / 3 , ле(-оо;3)и(3;+со);дс-3

4) >- = J - , х^ * 5, X в (-oo;-Vs) U (~л^;V s) U (Vs ;оо);

5) у = Ц б - х , 6 - х ^ О , хе(-оо;6];

6) х + 7>0, хе(-7;со) .

159.1) у = ^ г ^ ----- ,х ^ -2 ;с -3 9 ‘ 0;дг^-2л:-3

Т.е. (л:-1)(дс-3) 0; значит л: 1, х 3, дг е (-оо; l)u(l;3)u(3;c3o);

2) у = ^ х ^ - 7 х + 10, тогда - 7л: + 10 > О, (д:-2)(д:-5) S О,..гб(-оо;2]о[5; + оо);

29

3)\у = ^ З х '-2 х + 5 ,значит,Зх^-2ж + 5> 0.Найдем корни уравнения Зд: - 2л: + 5 = 0:

— = I -15 = -14 < О, корней нет, поэтому т.к. 3>0 - ветви вверх,4

значит, Зх^ - 2х + 5 > О, для любого х х е (-оо; о о ) ,

при этом 3-Jc O; х^З; - 2 < х < 3 , х е (-2; З ). Ш .у{х )= ^ \2 -х \ - 2 ;1)Х-3) = |2 + 31-2 = 5 - 2 = 3 ,Х -1) = 12+11-2 = 3 - 2 = 1 ,

Х1) = | 2 - 1 | - 2 = 1 - 2 = -1,><3) = | 2 - 3 | - 2 = 1 - 2 = -1,2) если><д:) = -2 , то |2 - л:| - 2 = -2, |2 - х| = О и д: = 2, еслиХ-^) = О, то 12 - jc| - 2 = О, |2 -х1 = 2,2 - X = 2 или -2 + дг = 2, тогда х\ = 4; хг = О, еслиХ^с) = 2, то |2 - jc| - 2 = 2, |2 - д:| = 4,2 - д: = 4 или -2 + X = 4, значит ДС| = -2; Х2 = 6, если у{х) = 4, то |2 - х1 - 2 = 4,12 - д:| = 6,2 - х = 6 или-2 + X = 6, поэтому,Xi = 8;Хг =

тогда2л: + 4 3 - х -2 3

> О, х+3^0; хФ-3; х е (-оо; - 3) U 2; оо);

-3 2

2) y = i j { x - l X x - 2 ) i x - ^ ) ;

( х - 1 ) ( х - 2 ) ( х - 3 ) > 0 , дсб[1;2]и[3; + оо);

тогда 1+х 0; X - 1, х е (-оо; -1 ) и (-1; оо);

4 ) y = V(x + l X x - l X . v - 4 ) ;(д г + 1 )(х -1 )(х -4 )> 0x e [- l; l]u [4 ;+ o o );

х - 2S 0 , x ^ 2 , хб [-5 ;1]и (2; + оо);

Х -2

6Г~ I-------- f x > 0 f j c > 06) > = v x + v l + Jc , т о г д а \l + j c>0 [л:>-1

дге[0;+оо).162. 1) у = + 2дг + 29. Подставим коорди-натыА/(-2; 1),1 = 3 • 4 - 4 + 29, 1 ^ 37, значит, не принадлежит;2) д; = |4 - 3jc| - 9, А/(-2; 1), 1 = |4 + 6| - 9,1 = 1, значит, принадлежит;

+3 4+3 73) у = -------- ,Л/(-2; 1); 1 = ---------; 1 — , значит, не принадлежтJ C -1 - 2 - 1 3

4) > = |V 2 ^ - 5 |- 2 ,M { - 2 ; 1 ) ,1 = | V ^ - 5 | - 2 , 1 == 12 - 5 1 - 2 , 1 = 3-2,1 = 1, значит, принадлежит.

. , 1-х, х>:0= - И . y = L2)У х<0

_ fjc + 5, jcS -3 ^ \ - J C - l , j t < - 3 ’

3)у = 2\х\ + \,

_ |2дг+1, ^ “ 1-2дг+1, д :< 0’

4 ):у = 1 -|1 -2 д с |, у =2х, х < -

1 ’-2Х + 2, J O -

31

5)у = \х\+\х-2\,-2л:+ 2, х < 0 2, 0 < л < 2 ;2л- 2 , л > 2

У =

у возрастает, если л е (-оо;+оо); 3)у = х^ + 2,

У возрастает, если л е (0; +оо;), у убывает, если л е 0);5)>. = ( 1 - х Л

У

6 ) > ; = | л + 1 | - | л | ,-1, л < -12л + 1, 1 < л < 0 .1, л > О

у убывает, если л е (-оо; оо); 4)>' = 3 -л ^

у возрастает, если л е (-оо; 0), у убывает, если л е (0; +оо);6); = (2 + л)^

‘4

у возрастает, если л е (1; +оо;), у возрастает, если л е (-2; +оо), у убывает, если л е (-оо; 1); убывает, если л е (-оо; -2);32

Ответ: возрастает. 3 ) у = х - ' ^ .

У

1 L0 i ^

Ответ: убывает.I

167. 1) = 3 ; л = 3^=9;1

5) х^ = 3 2 ; л = ^ ^ = 2*=64;- - I------ / 1''^4 /о 1 -5 16) д: 5 =81;;с=‘

Ответ: возрастает.I

2) д:" = 2 ; ж = 2“=16;

4 ) / ^ = 2 ; х = 2 -^ = -1 ;16

1243

168. у ^ Ц х ;а) приД' = 0,5; х»0,6, приу = \ ; х - \, приу = 4;х = 256, при = 2,5; д:«39;б) ^ « 1 , 2 , ^2«1,3 ,

V 2 j « l , 4 , V 3 » l ,5 .4

1 jc3 = 625;3 3

169.1)^ ;с = (625)4 =(5^)4 = 5^ Ответ: М (125, 625).> = 625;х = 125.

2-12297 33

2)

3)

1 л:5 =64;У = х^; 5 5

л: = 64‘ = (2‘ )^ = 2’ ;Ответ: М (32,64).> = 64; х = 32.

3

1 ^2=216;У = Х - ; 2 2

л = 216’ =(6^)3 =6^ Ответ: М (36,216). у = 216; х = 36.

6

4)

1 = 128;У = х'>; 3 3

д: = 128’ = (2’ ) ’ = 2^ Ответ: М (8, 128). у = т ; x = S.

170. 1) y = x:+—;пустъх| <Xi, у, = x + — = '*‘ - *X Х] Х]

У2 ^Х 2+ —1 х |+ 1

У1 - У 2x f + \ Х2 + 1 Xi - Х 2 + Х 2 - Х 1 ^х^-х^

Х\ ^2 Xi 'X2_ Xj ■X2{X - х 2)-{ху - Х 2) (Х|- Х 2)\Х X; - l )

X, -Х2 X -Х2при Xj, Х2 > о, но Хь 2 < 1, имеем X\-Xi<Q,X\ ' Х2 >(^,Х\ Xi~ \ <0

{ х х -Х2\ х у Х 2 -\ )тогда > О, п о э т о м у >угX, 2

Тогда т.к. JC, < 2, г.у\ >угу функция убывает на интервале О < х < 1 . >'

2)Д'х Ч Г

У возрастает при л: е ( - о о ; 0 ] ,

у убывает при л: е [ 0 ; + о о ) .

34

3)у = х^~3х.Пусть Xi<Xi и Х\, Х2^ - 1, значит y^ = Xf - Зх, ; У2 - -3X2

Тогда у , - У 2 = л? - З х , -3x2= -Хг) == (^1 - .< 2 )( ? +х,Х2 + xj ) - 3{х, - ДГ2 ) = (л| - л i x f + Л, jCj + лг| - з)< О

прих| < - 1,Х2^~ I, имеем х, +х , х 2 +х1 >3,

поэтому X, + х , х 2 + х 1 ~ 3 > 0 , значит, т.к. Xi<X2 и У1<У2, то у возрастает при д: < - 1, и > 1 и убывает при - 1 < д: < 1.4) у = х - 2 ^ х ; пусть Xi<X2 ИХ\,Х2^1, тогда

У\ ~У2 ~ [' \ V ^ ) “- 2 [ у 1 ^ у 1 ^ ) = [ у 1 ^ + -2)<0, прих! > h x 2 > 1, имеем:

■yfj^> 1, ‘y f x ^ > 1 ,значит, + л[ ^ ^ 2 , поэтому,т.к.д:1 <Х2 иу\<у 2, то;; возрастает при д: > I, убывает при О < д: < 1.

Гд: + 2, .г<-1 17 1.1 ) ; .= 2 ;

[д: , х > - \у возрастает прид- е ( - 00 , - 1] и [О, + 00 ),у убывает при д: е [ - 1,0].

2 - х ^ , х > 1 у возрастает при х е [0,1],

убывает придс ( - оо,0] и [1, + 00 ).

172. 1)>; = 2х -

четная, т.к. у ( - х ) = 2 ( - x f = 2х‘*= у{х);5 _ ^2)у = Зх — нечетная , т.к. у ( - х ) = 3(~ хУ = - З х - -

3)у = х^ + 3 — четная, т.к. у { - х)= { - x f + 3 = х^ 3 = у{х);4 ) у = х^ - 2 — не является ни четной, ни нечетной, т.к. y { - x ) = { - x f - 2 = - x ‘ - 2 * - x ^ + 2=-y (x) ,У ( - х) = - х^ - 2 фх^ - 2 = ^ А х).173. \ ) у = х~'^ — четная; 2 ) у - х — нечетная;3)у = х‘ + х^ — четная; 4) у = х^ + х"* — нечетная;5)у = х -д :+1 — ни чётная ни нечётная;

6) у = -------ни чётная ни нечётная.х + 1

35

\14Л)у = х \ 2)^ = х';

7A ) y = i [ i

y{x)i^ - у ( - х ) у поэтому ни четная, ни нечетная.

2)у{х)х ^ + х - 1 ; у ( х ) М - х % А ~ х ) = х ^ - х - \ х ^ - х - \

х + 4 - х + 4 - ( х - 4 )у(х)^ - у ( - х ) , значит Хх) ни четная, ни нечетная.176. \ ) у = х^ + 2х^ + Ъ — четная;2);/ = + 2jc + 1 — ни четная, ни нечетная;

3 . 33) y = - ^ + V x , у ( - х ) =

Т.е. нечетная;4) у - х" + \х\ — четная;177. 1);^=д:^-2М+ 1;

х ^ - 2 х + 1 х > 0 1X +2х + \, х < 0

-X

2)> = х^-2М;X - 2 х , х > 0

х “ +2х, х < 0

Ш . \ ) у = х ^ \ - 1 х \ - 2 х x>Q

2) у = х ^ \ + 7х-,

У =-X -2 х , jc<0

I 5 Xопределена при дг - 5 > О, х ^ 5; у = •Jx-5 — ни четная, ни нечетная; у возрастает, если дс > 5;Ъ)у = х‘ + 2-,определена при любом дс;

= дс" + 2 - четная; у убывает, если a:g( - оо; 0); у возрастает, если дге(0; + оо);

дс + 2дс, дг > О

-дс^+2дг, х < 0

у=Л^+3

I Xопределена при д: > 0; у = >[х+3 — ни четная, ни нечетная; у возрастает, если дс > 0;4 ) у = \ - х \определена при дсе( - оо; оо); у = \ - х ^ - четная; у возрастает, если дге( - оо; 0); у убывает, если л:е(0; + оо);

37

5);; = (л:+1)';определена при хе{ - сю; оо);7 = (jc + 1) — ни четная, ни нечетная; у возрастает при Bcejc jc;

а) > > О, если jc > 0;

6)у = х -2 ;определена при jce( - оо; оо);

jc - 2 — ни четная, ни нечетная;V возрастает при всел: х.

2 ) у ^JC ,если ;с> О

X ,если jc<0

а ) > О, если х^О;б) у возрастает, если х е ( - оо; оо); б) у убывает, если .ve( - оо; 0);V возрастает, если xe(0; + оо).181. l)>’ = jc;jc>0;

а) пусть у — четная, тогда у = \х\; б) пусть у — нечетная,тогда > = х;

2)у = х^;х>0;

а) пд'сть у - четная, тогда у = х^; б) пусть у - нечетная, тогда у=^х\х\;3)у = х^-^х;х>0;

1а) пд'сть у - четная,тогда;^ = л: + [х|;4) у = Х ^ - х ; х > 0;

б) пусть у - нечетная, тогда = х\х\ + х;

а) п> сть у - четная, тогда> = дс -|дс:|;182.1) у = (х + 1) ; ось симметрии: х = - 1;2) у - х^ + 1; ось симметрии: jc = 0.

б) пд'сть у - нечетная, тогда у ^ х \ х \ - х .

183. 1)>; = д:"+ 12)y = ( x + \ f

\)у{х) = 4, еслих=

2)у{х)=-- -^,еслих = -4 ;

3)Х-= ) > 1» если 0 < х < 2 ;4) у(х) й 1, если д: < О и л: > 2.

центр симметрии: т.М (0,1); центр симметрии: т.М ( - 1,0).

185..V=-;> ' = х;X

1) В точках A(l; 1 ) и В ( - 1;- 1);

2) график функции;» = --

лежит выше, чем график;; = х, если д:<-1иО <л :<1 ,и ниже, если - 1 < л : < 0 и л : > 1 .

8186.

' 12!)■

у = 3х

' 23) X ,7нII

^ X , точки (2;-4); (-2;4); ,>' = -2х

63) дг , точки (2;1); (-1;-2); 4) •{ л: + 1 , точки (1;3); ( -4 ;-2 ) .

j = x+ 2

т . \ ) у = - ; у = х + \ ; ^X

у

Z]

у = х + 1

А(1,2;2,2)В ( - 2 ,2 ;-1 ,2 )

3) у = - ; у = х^ + 2;X

1) V (4) = Н = 3 (л.); V (5) = у = 2 | (л.); V (10) = J (л );

40

тт_ IZ Н , ч15= р = — , р = -(атм ).

р 15 5

1)R= — =0,6(Om) ; R = - =1-!-(Om) ;R = -:^ = 5 (О м);10

2 ) i = r = i(A);

1= ± = 2 . (A). 20 10

190.1) :f = - - 2 ;X

1,2

41

V.2 60^

а, = — = 24000 км/ч-, ^ 0 , 1 5

191. ау гGy уменьшится, если увеличится радиус.192. 1)л-’ > 1, тогда д:> 1.Ответ: х е (1; оо).3 ) / > 6 4 ;У > 4^ поэтомд у >4.Ответ: у g [4; + оо).5 ) / < 1 6 ;(х^-4)(х^ + 4) <0, значит, (х -2) (х + 2){х^ + 4)<0.

2) х^ < 27, значит, x ^ 3 ' , j c < 3 .Ответ: х е ( - оо; 3].4 ) / < 1 2 5 ;/ < 5 , значит,3 '<5.Ответ: е ( - оо; 5).6)х^>625;(х--25)(x^ + 25) >0, тогда {x-5)(x + 5)(x + 25)>0.

-2 2Ответ: х е [ - 2 ; 2].

-5 5Ответ: хе( - оо; - 5)и(5; + оо).

193. l )S = a^иa^>361а - сторона квадрата, ►значит, а > 0; а - 361 > О,(а - 19)(а + 19) > О, а > 0. Ответ: а > 19(см).2) V = а т.е. а > 343; а - ребро f<y6a, а > 7 ; тогда а > О а > 7, значит а>7(см). Ответ: а > 7(см).194. 1) у1х - 3 = 2; V 7 -3 = 2; 2, значит, 7 — корень;

2) -13 ~>/2х-5 = 3 ; V 4 9 -1 3 -V l4 -5 = 6 - 3 = 3, поэтому 7 — корень.

195.1) л/х=3;л- = 3 = 9; лг = ; 2 ) yfx =7 ;х^ = 1 = 49;

3) л/2х - 1 = 0 ; 2 х - 1 = 0 ; х = - | . 4 ) л х+2 = О ; Зх + 2 = 0;

196. 1) Vx + 1 = 2 п о О . Д . З . х + 1 = 4 ; х > - 1 , х = 3 аходитвО.Д.З.;

2) V x - l = 3 по О.Д.З. х - 1 = 9 ; х ^ 1 , х = 1 0 входит в О.Д.З.;

3)л/1-2х=4,поО.Д.З. 1 - 2 х = 16; x S - i ; - 2 x = 15;х = -7 ,5

ВХОДИТ в О.Д.З.;

4) V 2x-1 = 3, по О.Д.З.; 2х - 1 = 9 ; д:>-^;2х:=10;л: = 5 аходит в О.Д.З.

42

197. I) VT+T = V2;c-3 no О .Д.З.]*" * x> 1,5;[x > 1,5

д: + 1=2дг-3;дс = 4 входит в О.Д.З. Ответ: jc = 4.2) V 7 ^ = V Sx-6 поО.Д.З.д:г:2■Jx-2 = ■\1'3{х — 2) ',х — 2 входит в О.Д.З. Ответ: х = 2.

3) V x 4 2 4 = V r ix поО.Д.З.л:^0;д^ + 24=11д:/х^-11х + 24 = 0,= 3 И дг2 = 8 входят в О.Д.З. Ответ: = 3; дгг = 8.

4) ^ х ^ +4х = л / \ 4 - хх < \ 4 л:€(-оо;-4]и[0;14] , . ^по О.Д.З. V » J L’ ^;х^ + 4 х + х - \ 4 = 0;

[д:^4-4д:>0|+ 5л: - 14 = О, д:1 = 2 и ДГ2 = - 7 входят в О.Д.З. Ответ: х \ = 2 ; х 2 - - 7.

198. 1) л: + 2 = д: по О.Д.З д: > 0; д: - дг - 2 = 0; дг, = 2; д:2 = - 1;ДС2 = - 1 — не входит в О.Д.З. Ответ: х = 2.

2) Зх + 4=;с^по 0.д.3,д:>0, S = > ^ c > 0 ; x ^ - 3 x - 4 = 0;jc,=4;jc>0

X2 = -1;X2 = - 1 — не входит в О.Д.З., т.к. - 1 < 0. Ответ: д: = 4.

3) h o - x ^ ^2 х ; О.Д.З.Г^~-^^ хе\о;2у[5] 20~х^ = 4х ;[д: > О ^ ^

5д: = 20; ДС1 = 2; д:2 = >- 2 , д:2 = - 2 — не входит в О.Д.З., т.к. - 2 < 0. Ответ: дс = 2.

4) ^ ]0A-x^ = Зх; О.Д.З.Г’'^"'* ^ л € fo;2Jojl 0,4- х ^ = 9х^[л: > О

10* = 0,4; Х = 0,04; л: = 0,2; х = - 0,2 , Хг = - 0,2 - не входит в О.Д.З., Т.к. - 0,2 < 0. Ответ: х - 0,2.

199.1) > / д г ^ - л : - 8 = л : - 2 ; О .Д .З .Р " ^ “ * - ® +; дсех - 2 ^ 0

,+с»

х^ - x - S = x^ -4д: + 4; Зд:= 12, д: = 4 входит в О.Д.З. Ответ: д: = 4.

2 ) л 1 х ^ + х - 6 = х - 1 ; О.Д.З. р + ^ хе[2,-их>^[ ; с - 1 > 0

х^ +д:-6 = дг -2дс + 1 ; Зд: = 7, д: = 2 , входит в О.Д.З. Отверг: д: = 2 ^ .

43

200. 1) (x - 1) > 1, тогда х ~ \ > \ и х > 2 . Ответ: х е (2;+оо).2) (х + 5) > 8, значит,JC + 5 > 2 и х > - 3 . Ответ: х g (-3;+qo) .3) (2х - 3) > 1, поэтому 2 х - 3 > 1 и л : > 2 . Ответ: х е [2;+оо).4) (Зх-5)^< 1 ,отсюда З х - 5 < 1 и;с<2. Ответ: x g ( - qo;2).

5) (3 - хУ > 256; ((3- x f б\{3 - 1б)> О ( 3 - Х - 4)(3 - X + 4) > О, т.к. (3 - л:) + 16>0 при любом х, тогда ( - д: - 1)(7 - л-) > 0.Ответ: jc g ( - оо; - l)u(7; + оо).6) (4 - л / >81;((4 - ;с ) '-9 )((4 -д р )Ч 9 )> 0 , т.к.(4-х)^ + 9>0,то ' '(4 3)(4-д: + 3) > О, тогда (1 - х ) { 7 - х ) > 0.Ответ: х е ( - оо; 1)и(7; + оо).201. 1) VT = -8 - не имеет смысла, т.к. ^ > 0 ;

2) уГх + ^Jx-4 = -3 - не имеет смысла, т.к. слева стоит сумма неотрицательных слагаемых, а справа отрицательное число;

3) у1 - 2 - х =12 - не имеет смысла, т.к. - 2 - д:“ < О для любогох;

4) ^llx-x^ - 63 = 5 не имеет смысла, т.к. 7л: - - 63 < О для любых х.

.1 ) V ? 7 ^ = 2 .- 5 ; 0 .Д .З .К -" " -^ ^ ^ " ; х М ; Л[2д: -5>0 12 I

возводим в квадрат х^-Лх+ 9 = 4х^- 20х + 25

Зх^- 16д:+ 16 = 0. Решим: — = 8 - 3 16 = 6 4 -4 8 = 16 ;4

8± 4 12 = —^ , Х| = 4 входит в О.Д.З.; Х2 = 1— не входит в О.Д.З.

Ответ: д: = 4.

2) у[^~+3х + 6 =3x + S; О.Д.З.-^ +3д: + 6_0^ _2~;+оо];[Зд: + 8> 0 L 3 I

возведем в квадрат д:"+3д: + 6 = 9д: + 48д: + 64;8д: + 45д: + 58 = 0. Решим: D = 2025 - 1856 = 169 > О,

-45 + 13 -58 29 ^1^1.2 = — Г7— ’ = ТГ' = — Г = Т входит в О.Д.З.;16 16 4 4

202

3) 2х = 1 + V T T s ; О.Д.З. 2х - 1 > о, л е 1;-н» j ;

+5 = 2л:-1 . Возводим в квадрат + 5 = 4jc - 4х + 1

- 4jc - 4 = 0. Решим: — = 4 + 12 = 16; jc, = 2 — входит4 3

в О.Д.З.; Х2 - ~ — не входит в О.Д.З. Ответ: jc = 2.

4) x + y l l3 - 4x =4; О.Д.З.Г^ х е ( - с о ; 3 ^ ;[4-дг>0 V 4

У \ 3 - 4 х = 4 - JC, Возведем в квадрат 13 - 4д: = 16 - 8л: + х^; л: + 4л: = = 3 = 0. Решим: jci = 3, JC2 = 1 входят в О.Д.З. Ответ: jci = 3; л:2 = I.

203.1) Vx+12 = 2 + л/1; О.Д.З. > О’ ^

возводим в квадрат jc +12 = 4 + 4Vjc + х ; 4>/jc = 8 ; л1х = 2; л: = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х - 4.

2) V4 + JC + Vjc = 4; О.Д.З.' jce[0;+oo); V4 + jc =4->/jc .[4 + л:>0

Возводим в квадрат 4 + jc = 16 - 8л/Г + jc ; -8>/1 = -12;Vjc = 1,5 , X = 2,25 входит в О.Д.З. Ответ: х = 2,25.

I------- I------- Г2л:+1>0204. 1) V2JC + l+VЗл: + 4= 3; О.Д.З. ; л:е

[3jc + 4 > 0

>/Зл: + 4 = 3 - л / 2 7 Г 1 , возводим в квадрат

Зх + 4 = 9 - 6л/2х + 1 + 2 х + l ; j c - 6 = - 6л/2*+Т;

6>/2х + 1 = 6 - х ; О . Д .3 .6 -х > 0 , ВОЗВОДИМ в к в а д р а тР у

36(2x + 1) = 36 -1 2 х + д^;д:<6,т.е. -^ ;6

72л: + 36 = 36 - 12л: + - 84 л: = 0. Решим: л(л: - 84) = О, л, = Овходит в О.Д.З.; л:г = 84 не входит в О.Д.З. Ответ: л: = 0.

2) л/4л-3+л/5л: + 4 =4; О.Д.3.1^* дге5л: + 4 > 0 _4 у

>/5л: + 4 = 4 - ^ 4 х - 3 , возводим в квадрат5л: + 4 = 16 - 8V4JC-3 + 4 л : - 3 , л : - 9 = - 8V4jc- 3 запишем ещеодин О.Д.3.9 - л: > О, возводим в квадрат л: - 18х + 81 = 64(4х + 3);

45

общая О.Д.З.;

/ - 274л: + 273 = 0. Решим: = 273, Хг = 1; Xi = 273 - не входит вО.Д.З., л:1 = 1 - входит в О.Д.З. Ответ: д: = 1.

I------ I------- Гл:-7>0 ч3) 7 7 Г у ^ 7 7 П 7 = - 4 ; О.Д.З. ; л:е 7;+оо>,

л: + 17 > О

Vx + 17 = V x - 7 4- 4, возводим в квадрат л: + 17 = 16 + 8л/х - 7 + л: - 7;

8 = 8л/л--7 ,1 = у1х - 1 , л: - 7 = 1, дс = 8 входит в О.Д.З. Ответ: дс = 8.х + 4 > 0

4) л /Г Г 4 -л /1 ^ = 1; О.Д.З.-С^_1>0; -te[l;+oo);

л/х + 4 =1 + 7д:-1 , возводим в квадрат

л: + 4 = 1 + 2 л /х ^ +л:- 1;4= 2 л / ^ ;2 = Vx-1 , д:- 1 = 4, л: = 5 входит в О.Д.З. Ответ: х = 5.

205Л ) V 4 + ^ = Vi9^^V?; 0 .Д .З .Г " ^ ^ ; jcg[19-2VX >0

возводим в квадрат 4+ yfx = 19 - l 4 x ; ъ4х = 15, тогда 4 х = 5; л: = 25 - входит в О.Д.З. Ответ: л: = 25.

2) т/7 + V^ О .Д .З.Г“ ° _ ; д:б[0;121}[11-V jc >0

возводим в квадрат 7 + VI = 1 1 - 7 7 2л/х =4; Vx = 2; д: = 4 - входит в О.Д.З. Ответ: д: = 4.206. 1) л/х-2 > 3; О.Д.З. и возведем в квадрат

х - 2 > 0

0 ;9 0 i];

л : -2 > 9 х>11

2) V x - 2 S 1; ^ ; 2 < х < 3. Ответ: д: е [2; 3].дг-2<1 [д:<3

3) - J 2 ^ > x2-Х-2.02 - х > х ^

2 - х > 04) ^ 2 - х < х \ х > 0 ;

2 - х <

х < 2 х < 2л:>0 ; х > 0х ^ + х - 2 > 0 X < -2 или X > 1

. Ответ: X е (1; 2].

5) V S x + ll > jc+ 3 ;'Злг^О jxi :2,2

5х + 11> ;сЧ бд: + 9 [ д : Ч ж - 2 < 0 Ответ:X е ( - 2 ; 1)6) л/х+3^л:+1;

JC + 3 S 0 [ л ^ -Злг+1^0 : х ^ - 1

х + 3< х^ +2х+1 х ^ + х - 2 ^ 0Ответ: X € [1;+ оо).207. В С - А С <0,02.

Если АС =х, то ВС = f 4 -Получим - х < 0,02; < 0,02 + х ; О.Д.З.;

0,02 + х ^ 0- 1 5 Возведём В квадрат

л:‘ + 4 < 0 ,0004 + 0,04л: + х \4

л: ^-0,02 0,04л: >0,2496’

л: >-0,020,04л: >0,2496 jc^6,24

. Ответ: на расстоянии > 6,24 (м).

208. I) у =2х + 1

, значит, 2х + 1 О,

f О Г 1 1_оо;_~ и ;< 2у V 2 ^

2) >; = (3 - 2х) “ тогда 3 - 2г О, jc 1,5, значит х е (-оо; 1,5)и (l,5; оо);

3) = V -5-3JC , значит - 5 - 3jc ^ 0; - Зх > 5;47

4) у - V ? - 3 jc , имеет смысл для любого х, т.е. х е (-о о ; оо)

209. 1) ^2/7 < ^ 2 ^ , т.к. 2,7<2,9 aifx — возрастает;

2) , т.к. —> — и у/х — возрастает;V 7 V 8 7 8

3) ( - 2) > ( - 3) т.к. у = х^ — возрастает и - 2 > - 3;Г 2V

210. 1)у = -2х";

f 3 2 3< 2 — т.к. у = х^ — возрастает и 2*~ < 2— . V 4У 3 4

2);; = - х ^

у — четная;у возрастает, если х е ( - оо; 0), у убывает, если л: е (0; + оо);3) y = 2i f^ ;

У — нечетная; у возрастает для любого х;

у — нечетная;у — ни чётная, ни нечётная; — возрастает при всех значения.г х.у — возрастает при всех х;

k211. у - — , если к = - 4 расположены во II и IV квадрантах, т.к. — 4 < 0;X

у = — , если к = Ъ расположены в I и III квадрантах, т.к. 3 > 0.

Тогда jc - = 0;д: (jc- l) = 0;xi =0; хг= 1. Точки A (0; 0);В(1; I),1

2) JC ; — = 2x Тогда------- = 0 ; \ - 2 x = 0 ; x = ~ ;^ X X 2y = 2x

Xi = - J - ; ^2 = — J - , точки M

3)

4)

; -Jx =\x\. Значит,x\ = 0 ;^2 = 1,точки Af(0; 0 ),N( l ; 1); У = k l

y = ^ 1 11 ; \/x = - ; =1.

y = ~ ^X

Получим = 1;X2 = - 1, точки Л/(1; 1),Л^(- 1 ; - 1). 214. 1 ) / < 8 1 ; 2)д:’ >32;

т.к. + 9>0, то х^ > 2’, значит (л--3)(л + 3)^0 . х> 2 .

Ответ: л: е [ - 3; 3].3 )дг‘ >64;х^>4;х ^ - 4 > 0 , тогда {х-2) (х + 2)>0; х>2 или jc< - 2,

-3 3Ответ: х е (2; + оо),4 ) j c ^ < -3 2 ;jc < ( - 2) , получимх < - 2 .Ответ: д: б ( - оо; - 2].

-2Ответ: х € ( - оо; - 2)и(2; + оо).

49

215. 1) У З - х =2 поО.Д.З. ;3-х = 4;д:<3;х = - 1 входит в О.Д.З. Ответ: х = - I.

2) л/Зх + 1 = 7 поО .Д .З.;Зх+ 1 = 49 3д:+1 > 0 ,j c > - |; 3 .r = 48;

JC = 16 входит в О.Д.З. Ответ: х= 16.' х > 0

3) V 3 - l l x = 2х поО.Д.З.3 - 1 1 х > 0

; возводим в квадрат

3 - 11х = 4 х ^ 0 < х < ^ ; 4 х ^ + 11х-3 = 0.

Решим: х, 2 = х, = i ; входит в О.Д.З. Х2 = -3 не входит в

1

4) V 5x - l + 3x^ =3ж поО.Д.3.[3jc4 5 x -1SO

; возводим в квадрат:

Зх + 5х - 1 = 9х ; X е (0,2; оо); 6х - 5х + 1 = 0. Решим:

0 = 25 - 24= 1 > 0 ; х ,.2 = ^ ; x , = i и = | входят в О.Д.З.

^ 1 >Ответ: X, = - ; х 2

5) ■ j l x - \ = x - 2 П0 О .Д .З .

6) - j 2 - 2 x = x + 3 П0 О .Д .З .

X - 2 > О, X > 2 2 х - 1 ^ 0

Возведем в квадрат: 2х - 1 = х - 4х + 4; х > 2; х - 6х + 5 = 0.Решим: Х] = 5; Х2 = 1 не входит в О.Д.З. Ответ: х = 5.

х + 3 > 0 f x > - 32 - 2 х > 0 ’ | х < 1

Возводим в квадрат: 2 - 2х = х + 6х -н 9; х + 8х + 7 = 0. Решим: Х] = - 7не входит в О.Д.З.; Х2 = - I - входит в О.Д.З. Ответ: - 1.

216. 1) у = Ух~ + 2х-15 , при всех х имеет смысл х е ( - оо;оо);

2) y = i l l 3 x - 2 2 - x ^ ; - х - + 1 3 x - 22S 0; x^ -13 x + 22<0.Решим уравнение х - 13х + 22 = 0.Корни xi = 11; Х2 = 2, тогда 2 < х < 11. -----Ответ: X € [2; 11]. 2 И50

3) ^ . Значит, ^ — > 0 . Решим + 6x + 5 = 0;V хл-1 хл-1

X i= - l ' jX 2 = - 5 ; значит.(;c + l)(^ + 5) >0. -7 -5 -1

x + 1Ответ: jc e ( - 7; - 5]u[ - 1; + oo).

4 ) у = ^ S 0. Решим {x^ - 9 Y / + 8.x + 7) = 0;\(д:^+8х + 7 x^+8x + 7

x\ = 3; JC2 = - 3; хз = - 7; ДГ4 = - 1 исключая x и x .

-7 -3 -I 3Ответ: ;c g ( - oo; - 7)u[ - 3; - 1) u [3; + oo),

1217. I) y =

2 ) y ^

(х-ЗУ

(Х-2У,x < 2 .

Если JCi = 0, == 1, X\<X2y

Я 0) = - -TO 8 ; :fi >^'2 . тогдаЯ1) = -1

Т.К. Xi < Х2 у У\ > Уг, то у - убывает, если х<2;------ V, = ^ 8 = 2

3) y = Vx + l уХ>0. ПустьXI = 1,Х2=^26\ — ; у^ <; ;2=V27=3

и т.к. Х\ < Х2 , ТО получим, что у - возрастает, если д: > 0;

4) у = ^7=i=T 1-Пусть:^, = - 8 , д:2 = -2 7 ,; с1>Х2;

У\ =

У2

'х + 11 1

2 1 1 ^ ^J J ^,получим, что>1 < У ъ Х 1 > Х 2 ,

V-27 3значит;;- убывает,.еслих < ~ I.218. I ) у = х^-3х"^ + х ^ - 2; четная; 2)у = х ^ -х ^ + х ; нечетная;

219. I) у = 2 ) > - = Л ;

51

2. у возрастает, если л: G ( - оо; 0);3. д^ывает, если л: е (0; + оо);

3 ) у = ± + 2 ;

У

2

Л’г

1

У — ни четная, ни нечетная; 2. у убывает, если X е ( - о о ; 0)и (0; + оо);

\ . у — нечетная; 2.>^>^ывает,если X е ( - оо; 0)и (0; + оо);

4 ) у = 3 - ^ ;

у — четная;2. у возрастает, если д: > О у убывает, если л: < 0;

ид:>1;Ь)у — ни четная, ни нечетная.

у убывает, если л: > 3; б) — ни четная, ни нечетная;220. 1)(3д:+ 1)^>625;(3;с + 1) - 25 > О, т.к. (3;с + 1)2 + 25 > 0; ( З х + 1 -5 ) (З д :+ 1 + 5 )> 0 ; получим (3jc - 4)(3л: + 6) > 0.

Значит, х < - 2 или ^ • Ответ: х g ( - с о ; - 2)и( I j ; + оо).

52

' i

-2

2) (Зд: + 5д:) < 32; (Зд: + 5;с) ^ 2.

Тогда 3jc + 5л: - 2 < 0; JC| = ~ 2; Х2 = j

Поэтому - 2 < JC < ■** 2)(jc - i ) < 0. О т в е т : е [ - 2; i ].

г —о----------- (х + \ > 0 1221. 1) V2jc4 5 ; c- 3 = ; c + 1 поО.Д.З. , ; д : е ( ~ ; + оо).

[ 2 r + 5 j c - 3 > 0 2Возводим в квадрат 2х + 5;с-3=х^ + 2х+1;л:^ + Злс-4 = 0. Решим: X] == 1; ^2 = - 4 - не входит в О.Д.З. Ответ: ;с = 1.

I— Г;с + 4 > 02) >/3;с2 -4 ;с + 2 = д: + 4;О.Д.З.: 2

4jc + 2 > 0; ; г б ( - 4 ; + оо).

Возводим в квадрат 3jc - 4jc + 2 = + 8jc + 16;2 х ^ - \ 2 х - 14==0;jc^-6x-7-0.PemHM:A:i =7;д:2 = - 1 входятвО.Д.3 Ответ: л:| = l \Xi = - 1.

Гх + 11>0 _; л: > 0. Возводим в квадрат

х > 03) Л + 1 1 = 1 + л/^;0.Д.З.:

+ 11 = 1+ 2^[х +л; 10= 2^[х ; 4 х = 5 .Тогдах = 2 5 входитвО.Д.З.

д: + 19>0Ответ: л: = 25.

;х>0. Возводим в квадрат4) ^|x-\■l9 =1 + л/х;О.Д.З.: {[х^О

л + 19= 1 + 2^fx +х; 2-Jx = 18; -/Sc =9;д: = 81 входит в О.Д.З. Ответ: л:= 81.

5) - J x + 3 + - J j x - i = 6; О.Д.З.: ^ ^ M i “ )t

= 6 --Vx+7. Возводим В квадрат 2 х - 3 = 3 6 - 12 >/^Тз +х + 3;

X - 6 - 36 = - 12 л/ + 3 . Возводим в квадрат (х - 42) = - 12 ^Jx + 3 , О.Д.З. д: - 42 ^ О, т.е. х е [1,5; 42]; (х^ - 84л: + 1764) = 144{;с + 3);

- 228х + 1332 = 0. Решим Х\ = 222; Хг = 6, jci = 222 — не входит в О.Д.З. Ответ: х - в .

6) + fЪx-5 = 4; О.Д.З.:7 - х > 0З х - 5 > 0

; .ve

у /Зх-5 = 4 - V ^ .Возводим в квадрат Зл:- 5 = 16 - 8 V7~x + 7 - х;

53

4 л : - 5 - 1 6 - 7 = - 8 л / 7 - х ;4л:-28 = -8л/7-.х: ;

х - 7 = - 2 л / т ^ ; О . Д . З . : х - 7 < 0 , т . е . д:

Возводим в квадрат - 14.V + 49 = 28 - 4л:; - Юх + 21 = 0.Решим Х\==Ъ\Хг = 1 входят в О.Д.З. Ответ: = 3; .V2 = 7.

2 2 2 . 1 ) ^ J x^ - 8 j c > 3 ; x > 9 ш и х < - 1 ;

jx^ -8jc> 0 W x - S ) > 0

x ^ - S x > 9 [ x ^ - ^ x - 9 > 0 '

Ответ: x e l)u(9; + oo).

2) Л ' - З д : < 2;

3 ^- ix>0

}? -3jt<4

х>Ъ или x < 0 -1 <jc<4

x(x-i )S:0

j ^ - 3 x - 4 < 0

. Ответ: ,v€ ( - 1;0M 3;4).

3) - j3 x - 2 > x - 2 \3x-2>0Зл:-2>л^-4д:+4’

' ^ 3 ;;c' - 7 jc + 6 < 0

3 . Ответ: X6 (1; 6).1 < ;c < 6

4) > /2л+Т <х-1 ;

Л’ > I < 0 или x> 4

2x + \>0 д : - 1 > 0

2x + l < x ^ - 2 x + \

Глава IV. Прогрессии223. 1)аз = 9;аб = 36,ап = п^2) a - 4, если к = 2; a = 25, если к = 5; ак = п , если к = п; а = (п + 1) , если к = п + 1.224. 1) Пусть ап = 2п4-3;ai = 2-1 + 3 = 5; аг = 2 -2 + 3 = 7; аз = 2 - 3 + 3 = 9.54

2)Пус1ъап^1+Зп;а, = 1+3 • I = 4 ;з2 = 1 + 3 -2 = 7;аз= 1 + 3 - 3 = 10.3 Пустьа„ = 1 0 0 - 10п : а, = 1 0 0 - 10 • 1 = 1 0 0 -1 0 = 90;а2= 1 0 0 - 1 0 - 4 = 1 0 0 -4 0 = 60; аз= 1 0 0 -1 0 - 9 = 100 - 9 0 = 10.

п - 2 1 - 2 1 2 - 2 „ 3 - 2 14) Пусть а„ = —— ;_а, aj = - — = 0;аз

5) Пусть а„ = — ; 6) Пусть а„ = -п^;П ------------

ai = l ;a2 = i ; a 3 = i . а, = - 1 ; аз = - 8 ; аз = - 2 7 .

225. jCn = п , если х„ = 100, то п = 10; если х„ = 144, то п = 12если Хп = 225, то п = 15,49, 169 - члены последовательности х^ - п , т.к. 49 = 7 , 169 = 13 , 48 - не члены последовательности jc„ = п .226. 1) пусть а„ = - 3, тогда - 3 = - 2п - 6; - 2п - 3 = 0. Решим:Hi = 3; П2 = - 1 — не подходит, т.к. п е N; |аз = - 3| — член а„;2) пусть а„ = 2, тогда 2 = - 2п - 6;п - 2п - 8 = 0. Решим: ni = 4; Пг= - 2 — не подходит, т.к. п € N; |а4 = 2| - член а„;3) пусть а„ = 3, тогда 3 = п — 2п - 6; п - 2п - 9 = 0.

Решим: — = 1 + 9 = 1 0 ; n i 2 = - не подходят, т.к. neN;4 ’ 1

ап = п ^ - 2п - 6 ап = - 3 - н е член а„;4) пусть а„ = 9, тогда 9 = - 2п - 6; - 2п - 15 = 0.Решим: Hi = 5; П2 = - 3 - не подходит, т.к. neN;227.1) а2 = За, + 1 = 3 • 2 + 1 = 6 + 1 = 7;аз = З а 2 + 1 = 3 - 7 + 1 = 2 1 + 1=22;а4 = Заз + 1 = 3 - 2 2 + 1 = 6 6 + 1=67; 2)а 2 = 5 - 2 а , = 5 - 2 - 2 = 5 - 4 = 1 ;аз = 5-2аг = 5 - 2 - 1 = 5 - 2 = 3; а4 = 5-2аз = 5 - 2 - 3 = 5 - 6 = - 1 .228.1) Если а„ = 150, то 150 = (п - 1)(п + 4); 150 = + Зп - 4;

+ Зп - 154 = 0. Решим: D = 9 + 616 = 625 > О, п,_2 = ;

nj = 11, п-> = - 14g N ; не подходит, т.к. neN. Ответ: п = 11.2) Если = 104, то 104 = (п - 1)(п + 4); 104 = + Зп - 4;

п + 3п -1 08 = 0.реш им:0 = 9 + 432 = 441>0, п,,2 =

П| = 9, п? = - 12g N ; не подходит, т.к. neN. Ответ: п = 9.

229. flf2 л/256 = = 16 ; «3 = = Vl6 = V ? = 4;

04 =

230.1) 1,2, V 7 . V i O , V i 3 , 4; 2) I, , j ,

55

231. аз = af - аг 2^-3 1;а4= -аз = 3^-1 =as = flrf - а4 = - 8 = - 7.232. 1) Пусть а„ = - 5п + 4; ап + 1 = - 5 ( п + 1 ) + 4 = - 5 п - 5 + 4 ; ап_1= -5 (п -1 ) + 4 = - 5 п + 5+4; ап 5 = -5(п + 5) + 4 = - 5 п - 2 5 + 4

а „ . 1 = - 5 п - 1|а^_1--5п + 9|;';р п ^5 = -5 п - 2Ц.

2) Пусть а„ = 2(п - 10). Тогда а„ + 1 = 2(п + 1 - 10) = 2п + 2 - 20;а„+, = 2 п - 18;а„_, =2(п - 1 - 10) = 2 п - 2 - 2 0 ;а„ _ , = 2п - 22; а„ 5 = 2(п + 5 - 10) = 2п + 10 - 20; а„ . 5 = 2п - 10.3) Пусть а„ = 2 • 3"’ Тогда а„. , = 2 • 3"’ ^ а„. , = 2 • 3"; а„ +5 = 2 • 3п + 2. >п + 6

4) Пусть ап = 7

ап-1 = 7-

1 п+2.Тогдаап+|=7‘

^2;

п+З

п+1;а„ + 5 = 7- 1

<2>

п+7

К2)233(371). Устный.234. 1) Т.к. а„ = ai + (п - l)d, то аг = 2 + 5 = 7; аз = 7 + 5 = 12; а4= 12+ 5 = 17; as = 1 7 + 5 = 22;2 ) Т.к. a2 = a i + d , т о а 2 = - 3 + 2 = - 1 ; а з = - 1 + 2=1; a 4 = l + 2 = 3;as = 3 + 2 = 5.235. l )a„ . , = 3 - 4 ( n + l ) ; a „ ^ , - a „ = 3 - 4 ( n + l ) - 3 + 4 n == 3 - ^ - 4 - 3 + = -4 , т.к. разность а„ + i - а„ не зависит от п, тоэто — арифметическая прогрессия.2)а„ + , = - 5 + 2 ( п + 1 ) ;ап + 1 -а„ = - 5 + 2(п+1) + 5 - 2 п = - 5 + Ь + 2 + 5-20 = 2 ,т.к. а„ + 1 - а„ не зависит от п, то это — арифметическая прогрессия.3) а„ . ,=3(п + 2) ;ап. ,-ап = 3(п + 2)-3(п4- 1)= ^ + 6 - ^ - 3 = 3, т.к. а„ +1 - а„ не зависит от п, то это — арифметическая прогрессия.4) а„+ I = 2(2 - п); а„+1 - а„ = 2(2 - п) - 2(3 - п) = 4 - ^ - 6 + ^ = -2 ,т.к. а„ +1 - а„ не зависит от п, то это — арифметическая прогрессия236. 1) а„ = aj + (п - l)d, п = 15, поэтомуа|5 = ai + 14d = 2 + 14 • 3 = 2 + 42 = 44. Ответ: ais = 44.2) а„ = ai + (n - l)d, n = 20, тогда аго = ai + 19d; a2o = 3 + 19 . 4 = 3 + 76 = 79. Ответ: аго = 79.3) a„ = ai + (n - l)d, n = 18, тогда aig = ai + 17d; a,8 = - 3 + 1 7 - ( - 2 ) = -37.0твет:а,8 = -37 .4) a„ = ai + ( n - l)d, n = 11, тогда ац = ai + lOd; an = - 2 + 10 • ( - 4) = -42 . Ответ: a,i = -4 2 .237. I)a, = l;a2 = 6;d = 6 - 1 = 5 ;a„ = ai + (n - l)d = 1 + (n - 1) • 5; a„ = 5n - 4;56

2) а, = 25; 32 = 21; d = 2 1 - 2 5 = - 4 ;а„ = а, + (n - l)d=25 + (n - 1) • ( - 4 ) ; а„ = - 4 n + 29;3 ) a , = - 4 ; a 2 = - 6 ; d = - 6 - { - 4 ) = - 2 ;a„ = a ,+ ( n - l)d = - 4 + ( n - l ) - ( - 2 ) ; a „ = - 2 n - 2 ;4)a, = l ;a2 = - 4 ; d = - 4 - l = - 5 ;a„ = a, + ( n - l ) d = l + ( n - l ) - ( - 5 ) ; a „ = - 5 n + 6.238. a, = 44; d = 38 - 44 = - 6;a„ = a, + (n - l)d. Тогда - 22 = 44 + (n - 1) • ( - 6);0 = 6 6 - 6 n + 6;6n=50 + 22;6n = 72;n= 12.239. a, = - 18; 32 = - 15; d = - 15 - ( - 18) = 3; a„ = a, + (n - l)d. Тогда12 = - 1 8 + ( п - 1 ) - 3 ; 3 0 = Зп-3 ;Зп = 33;п= 11.Ответ; 12 является членом а„.240.a, = l;a 2 = - 5 ; d = - 5 - l = - 6 ; а„ = а , + (n - l ) d .Тогда-5 9 = 1 + (n - 1) • ( - 6 ) ; Значит-46= 1 + (n - 1) • ( -6) ;- 6 0 — 6n + 6; 0 = 4 7 - 6 n + 6;6n = 66; 6n = 53;

n = I l ; n = 8 ----- ненатуральное,6

an = - 59 значит, - 46 не являетсяявляется членом а„. членом a„.241. 1) а„ = ai + (п - l)d; ai6 = aj + 15 • d, т.к. ai = 7, ai6 = 67, то67 = 7 + 15d; 15d = 60. Отсюда d = 4.2) 39 = ai + 8d, т.к. ai = - 4, ag = 0, то 0 = - 4 + 8d; 8d = 4.

Тогда ^ •

242.1) ag= 12. Т.к. a9 = ai + 8 • d, то 12 = a, + 8 • 1,5; ai = 12 - 12; a, = 0. 2) ay = - 4. Т.к. a? = ai + 6 • d, TO - 4 = ai + 6 • 1,5; ai = - 4 - 9; ai = - 13. 243. l)d = -3 ;a „ = 2 0 .T .K .a „ =a i + 10d,To20 = ai + 10 ( - 3 ) ;a, = 20 + 30 = 50; a, = 50;2)a2i=-10;a22 = -5 ,5 ;d = a 2 2 - a 2 i = - 5 , 5 - ( - 1 0 ) = 4,5.Т.к. a2i = ai + 20 • d, TO - 10 = ai + 20 • 4,5; ai = - 10 - 90 = - 100.244.1) если аз = 13; a = 22. Т.к. аб = аз + 8d, то 22 = 13 + 3 • d.Тогда 3d = 9 и d = 3; аз = ai + 2d; 13 = ai + 2 • 3; ai = 13 - 6. Получим ai = 7. Значит a„ = ai + (n - l)d; a„ = 7 + (n - 1) • 3. Итак, a*, = 3n + 4.2) если a2 = - 7; ay = 18. Т.к. a? = аг + 5d, to18 = - 7 + 5d.Значит 5d = 25 и d = 5; a2 = ai + d; ai = - 7 *- 5. Получим ai = - 12. Значит a„ = ai + (n - l)d; an = - 12 + (n - I) • 5. Итак, a = 5n - 17.245. ai = 15; аг = 13. Тогда d = 1 3 - 1 5 = - 2 . Т.к. a„ = ai + (n - l)d, t o

a„=15 + ( n - l ) ( - 2 ) ; a „ - - 2 n + 17. Т.к. a„ < 0, t o -2 n + 17 < 0;- 2n < - 17. Тогда n > 8,5, т.е. при n > 9 a„ < 0.

57

246. T.K.an = a , + (n-l)d,Toa„ = - 1 0 + ( n - l > ^ ;

= I n - 10 — . Если a„ < 2, TO i n - 10— < 2;2 2 “n ’ 2 2

n - 21< 4, n<25. I.e. при n < 25; a„ < 2.247. 1) если а» = 126, аю = 146; 2) если а» = - 64, аю = - 50;

а9 = , тогда

126 + 146 272 = 136;

а9 = , тогда

- 6 4 - 5 0 -114ад = -57;

а9 f = - 2 ;

2 2 d = а9 - ag;d = - 5 7 - ( - 6 4 ) = - 5 7 + 64 = 7; 4) если ая = 0,5, am = - 2,5;

_ ag +аю _ 0,5-2 ,5 _ ,,а , - — -------------- ----------- 1,

d = a9- a s = - 1 -0 ,5 = - 1,5.

2 2 d — а9 — а , d= 136- 126= 10;3) если ая = - 7, am = 3;

ag +ato ^ -7 + 3 _2 2 "

d = a 9 - a 8 = - 2 - ( - 7 ) = 5;248. Запишем данные условия: as = ai + 4d.Тогда as = 4,9 + 4 • 9,8 = 44,1 (м).249. Т.к. а„ = а, + (п - l)d, то 105 = 15 + (п - 1) • 10;90 = 10п - 10; 10п = 100, отсюда п = 10. Ответ: 10 дней.250. а„ + ate = aj + (п - l)d + ai + (к - l)d = 2ai + (п + к - 2)d,но a,i_ е + ак + 1 = ai + (n - € - l)d + ai + (к + £ - l)d = 2ai + (n + к - 2)d, тогда a„ + ak = an_i+ak+i, доказано,поэтому аю + as = аю-з + as-3 = a? + ag = 30. Ответ: аю + as = 30.251 n+k ~ n-k _

2 2 2 120

a„ (из предыдущего номера).

10тогда аго = — 302 2

252. l)ai = l,an = 20,n = 50;

60.

S n = !i-n ; S50 = -^ i^ -50 = (I +20)-25 = 21-25 = 525;

2 ) a, = l.a„ = 200.n=100: S,»n = il|® ® .|0 0 = 201-50 = 10050;

3) a, = - 1. a, = -4 0 . n = 20: S,n = ::l::i^.20 = - 4 M 0 = -410;2

2 + 100 50 = 102-25 = 2550.4) a, = 2. a, = 100. n = 50: 5<л

253. a„ = 98; ai = 2; d = 1. Т.к. a„ = ai + (n - l)d, to9 . n o

98 = 2 + ( n - l ) - l ;96 = n - l ; n = 97; S„ = i ^ - 9 7 = 50-97 =4850.

58

254. ai = l;d = 2;a„=133.T.K.a„ = ai + ( n - l ) d . T o B 3 = l + ( n - l ) - 2 ;

132 = 2 n -2 ; n = 67; 5 б 7 = ^ ^ ^ - 6 7 = 67-67 = 4489.

255. n a , - - S ; d = 0.5; S„ = ^ a ,+ (n -l)d ^ .

S„ = ^ Л ?Ц \1 :2 ’1 . п = ( - 10 + 5.5) • 6 = - 27;

2 ) a 3 ^ 1 ; d ^ s „ = 3 5 H ± | L z E . „ ;

2 - i + l l ( - 3 )S|2 = 2 — --------- 12 = ( l - 3 3 ) - 6 = - 192.

256.1) a, = 9; d = az - a, = 13 - 9 = 4;S„ = 2ai±10d ,2 -9 _ .1 ^ 4 (1 8 4 ._ 4 Q ) ^ ^ 3 ^ , ,^ ,3

" 2 - 2 2

2 ) a , = - 1 6 ; d = a 2 - a i = - 1 3 - ( - 1 6 ) = 6 S,2 = =

^ 2 J - l ^ j H ^ j2 = (_32 + 66)• 6 = 6 • 34 = 204.

257.1) a, = 3; d = 3; a„ = 273. Т.к. a„ = a, + (n - l)d, to 273 == 3 + ( п - 1 ) - 3 ; 2 7 0 = З п - 3 ; З п = 273.Тогдап = 91.

S„ = fJ L :^ .9 1 = -^^!^-91 = 138-91 = 12558.

2)a, = 90;d = 8 0 - 9 0 = - 10;a„ = - 6 0 . Т.к. a„ = a , + ( n - l ) d , T O - 6 0 = = 90 - lOn + 10; lOn = 100 + 60 = 160. T.e. n = 16;

S|6 = (9 0 - 60 ) - 8 = 30 - 8 = 240.

258. a) ai = 10; d = 1; a„ = 99. Т.к. a„ = aj + (n - l)d, to 99 = 10 + n - 1.

Тогдап = 90; S90 = - ‘ -90 = 1 ^ 1 ^ .9 0 = 109-45 = 4905.

6) a, = 100; d = 1; a„ = 999. Т.к. a„ = a, + ( n - l)d, to999 = 100 + n - 1. T.e. n = 900;

S900 = -900 = 1 5 ^ 1 ^ - 9 0 0 = 1099-450 =494550.2 2

259.1) a, = 3-1 + 5 = 8; a,» = 3-50 + 5 = 155;

850= 50 = 1 ^ ^ . 5 0 = 163-25 = 4075;

2)a, = 7 + 2 = 9; ajo = 7 + 2-50= 107;59

9 + 107 50 = 116-25 =2900.

260. ai = 7, a = an + i - an = -3, a9 = 7 - 3- 8 = -17.

Тогда S ,= 2 ^ - 9 = -A5.

261. a, = 3; d= 1. T.K. S„ . t o 75 = ;

150 = 6n + - n; + 5n - 150 = 0. Решим:111 = 10, П2 = - 15 — не натуральное. Ответ: 10.

262 .1)a , - 1 0 ; n = 1 4 : 5 ы - 1050. 2) а, = 2-!-: n = 10; S,n = 90^ .

Т.К. S,4

1050 =

2ai +13d2

20 + 13d

14, T O Т.к. Sio =2a 1 +9 'd

10, T O

14. 4 j + 9d •5.

Отсюда 1050 = 7(20 + 13d);

910 = 91dHd = 10.

Тогда ai4 = ai + 13d;

a ,4 = 1 0 + l3 0 = 140;

263. l ) a 7 = 21;S7 = 205.T.K. S7

Отсюда 9 0 - -2 3 i6 3

45d = 6 7 i Hd= 1,5.

Тогда aio = a, + 9d;

45d;

a,„ = 2 i + 13 ! I5 I .6

i L i i L . 7 , T o 205 = ^ . 7 ;

410 = 7ai + 147; 7ai = 263. Тогда ai = 37у . Т.к. ay = ai + 6d,

TO 21 = 3 7 — +6d; 6d = -16 —;d = - — . HTaKd = - 2 ~ .7 ’ 7 ’ 21 21

2) a„ = 92; S„ = 22. т.к. S,, 11,то 22 = ^^i-i^ U;

44 = (a, + 92) • 11; a, + 92 = 4. Тогда a, = -88.Т.к. a,, = a, + lOd, то92 = -88 + lOOd; 180 = lOd. Итак d = 18.264. a„ = 12; d = 1; ai = 1. Т.к. a„ = aj + (n - l)d, то 12 = 1 + n - 1.

Тогдап= 12. S|2 .12; S,, = - ^ 1 2 = 13-6 =78(бравен).

265. аз + B9 = at + 2 + a,i - 2 = ai + aiI = 8 (из предыдущих задач).

s„ =a, +a

11. Тогда S,| = - 1 1 =44.

60

266. Т.К. Sj 2a, +4d 2a, +9d— 1------ 5 , т.к. S,o = — Ц:----- 10,

TO 65 = - ■ 5 , TO 230 = (2a, + 9d) ■ 5.

Тогда 13 = aj + 2d. Тогда 2si + 9d = 46 | : 2 ,

получимU - h i d = 13 [2^1 +9flf = 46'

5d = 20 + 2 i/ = 13’

c/ = 4 flfi =5

267. S,2 = • 12; S ,2 = 6 • (2a, + 1 Id). Тогда

Sg - S 4 = - ^ ^ i ^ H .8 - i i i i ^ .4 = 4-(2a, +7d)-2 (2a, +3d) =

= 8ai + 28d - 4ai - 6d = 4ai + 22d;3(Sg - S4) = 3*(4a, + 22d) = 3-2(2a, + 1 Id) = 6(2ai + 1 Id), получили: Si2 = 3(Sg - S4).268(406). Устный.269. 1) bi - 12, q = 2; bz = b,-q = 12 2 = 24; Ьз = 24-2 = 48; b4 = 48-2==96;b5 = 192;2) b, = -3 , q = -4; Ьг - b,.q - -3 ( -4) = 12; Ьз = 12-( -4) --^ 8 ; b4 = - 4 8 ( -4) = 192; hs = 192( -4) = -768.270. l)bn = 3 -2".

Пусть bn +1 = 3 • 2" Тогдаb"

3-2"*' 3-2"-23-2' 3-2'

2 ,

т.к. не зависит от n то b„ — геометрическая прогрессия.

2)к .=Л 1!.П устьЬ „,, = 5"*‘'.Ь„ ., 5"*“ $” -5* ^ Ь„,Тогда ------- -------- - = 5 т.к. —ь„ 5"* «" -г’ ь„

bn — геометрическая прогрессия.

не зависит от п, то

3 )b j^ [y J .Пусть bn+1>n-l

n+l ({п-1

0 '' р.3 ,

-1

1 1' р п-2 п

<3;

-2

.3 ;

-1 3не зависит от п.

то bn — геометрическая прогрессия.61

n+1

b" _L.5 55"-‘ 5"

5" S" 1

Т.К. bn.x не зависит от n, то b„ — геометрическая прогрессия.

271. 1) Т.к. Ь„ = Ь| • q"'' , то b4 = Ь, • q \ b4 = 3 • 10 = 3000.

2) Т.к. b„ = Ь, • q" - ' . то b, = b, • q“ = 4 •

3) Т.к. b„ = b, •q"-' ,Tob5 = b , - q ' = l - ( - 2 ) ‘'=16.- 3

6 _ P16

4) Т.к. b„ - b, • q ^ T O b« = b, • q ’ = -3 • ( - £-243 81

272 .1 )b ,= 4;q = 3 ;T .K .b „ = b ,q"-' ,T0b„ = 4 - 3 " - ' ;

2)b, = 3 ;q = i ; T .K .b „ = b , q " - ' , T 0 b„ = 4-

3) b| = 4; q = - i ; Т.к. b„ = b, • q"“ ‘ , то b„ = 44

n-1

4)b, = 3;q = - | ; T .K .b„ = b , q " - ' , T 0 b„ = 3-

' - Г 4>

4. 3>

n-1

n-1

2 7 3 .1 ) b , = 6 ; b 2 = 1 2 , . . . . b „ = 1 9 2 ; q = - | - = ^ =2.Ol 6

т.к. b„ = b| • q"'' , T O 192 = 6 • 2”"', но 32 = 2*, значит,32 = 2 " - ' , 2 ’ = 2"-';5 = n - l ; n = 6;

2) b ,^ L b z^. 1.2, ,.. . b„ = 324; q = H = 3. Т.к. b„ = b, ■ q - ' . то4

324 = 4 -3"-'; 81 = 3"' ' , 3‘' = 3"'' , значит, 4 = n - 1; n = 5;= _L- - 2 125 _ 1 .~ 25 ’ Ь 625 5 ’

T.K.b„ = b , q ”- ' , T O ^ =625- 2 _ с 1 - n _ c 5 - n

q y - 1.5.

значит, 5 = 5 - 5 " = 5 ", отсюда - 2 = 5 - пип = 7;

4) b | = - l ; b ; = 2.......b„ = 128; q = ^ = -2; Т.к. b„ = b, • q"“' , то

128 = -1 • ( - 2 ) " - - 128 = (-2 )" '' , получили;( -2 ) ’ = ( - 2 ) " ' ' ,тогда7 = п - 1 ип = 8.62

274. 1) b, = 2; bj = 162, Т.к. bj = b, • q'* ,ro 162 = 2- q“; 81 = q''; S'* = q^ поэтому q, = 3, qj = -3;

2) b| = -128; b7 = -2. Т.к. b7 = b, • q‘, то-2 = 128 • q^, значит q‘ =

‘ - n ‘-n - *------ q ;qi —1

>Ч 2=- т ;64 • 2 23 ) bx = 3:b4==81.Т.к.b4 = bi • q’,TO81 = 3 • q^q’ = 27 поэтомуq = 3;4) Ь.=2 50' ы = -2. Т.к. b4 = b, • q \ to -2 = 250 • q^

3 1 1 q ' — — поэтому q = - j .

275.1) b, = 2; q = 3. Т.к. b, = b, • q \ то bj = 2 • 3’ = 4374;2) T.K. b„ = b, • q""' 162 = 2 • 3"-'; 81 = 3"-' , 3"-' = 3^ значит,4 = п - l,n==5.

276. П Ь .= 1 ;Ц = 81.

T. K. Ь , = ■ Jb g b f , T o

b ,= ^i-81 =V9 =3.

b. 1 T orw q= — = — ■

Oy Z/277.1)Ь4 = 5;Ьб = 20.Т.к. b5= ±V^4 bg ,T0

b5= ±V5-20 =±10.Т.к. Ьб = b4-q , TO

20 = 5 q l

Тогда = 4, qi = 2 или qi = -2;

b4 = brq';5 = br(-2)^

Если q = 2, TO b] = - , bs = 10.8

Если q = -2 , TO bj = - ~ .О

b5 = - 1 0 , b , = - | .о

T.K.b7= Vbgbe , TO

b ,= л / ^ = з 4 з .

_ 3 1 л/зТ „ д . , .

2 ) b , - 9 ; b . - 4 .T.K.b5= ±Vb4 ‘b6 ,T0

bs= ± V ^ = ±6 .т.к. Ьб == b4 -q^, TO

q^= у = 4 ; 4 = 9•q^q^= |

Toraaq= -j nH6oq = —|;

b4 = biV:

9 = br^^j либо 9 - b , -Г2''

b , = - 3 0 | .

63

Ответ: bs = 6, bi = 30 - ;8

b5 = - 10, b , = - f о

b5 = - 6,b, = - 3 0 - .

278. q = 1,2. Ьз = 300000 • 1,2 = 360000.Тогда 300000 + 360000 = 660000 p. 660000 • 1,2 = 792000. Отсюда 660000 + 792000 = 1452000 p. Ответ: 1 452 ООО р.279. ABCD — квадрат, АВ = 4 см,Аь В|, С), D| — середины соответствующих сторон.Докажем, что Зд, Зд,, 8д2, ... — геометрическая прогрессия, и найдем S7 АВ = 4 см, А|В, = 2 V2 см, А2В2 = 2 см,А3В3 = л/2 см.

2л/2 л/2АВ 4 2^1^2 _ 2 _ 1 _ л/2AS, 2л/2 ^ 2

Ь„ = 4

, значит,

*1=4; 9 = — ;

S, =6,'; S„=6„';

5 , = ( 6 , ) \ т о

Г= ' 2 ^ - 2 - ' = 2 - ' = 1 с м 1

4Ь„ = 8 (л/г)"”'. Тогда $7 = 4'-

Ответ: 8 (V lf * > S7 = - (см ).

280(418). Пусть инфузорий первоначально было п. Тогда:п • 2" = 320 <=> п . 64 = 320 <=> п = 5. Ответ: 5.

281. Так как хч^^О и х у / з [- х-у/Зх гг— rzJ— =yjx = --------i=r~ , т о ч и с л а у/Зх , ху/З иy j ^ JC-VJ

ху/Зх я в л я ю т с я т р е м я п о с л е д о в а т е л ь н ы м и ч л е н а м и г е о м е т р и ч е с к о й

п р о г р е с с и и .

282. l )b. = ^ ;q = 2 :n = 6.

Т.к. S„ — ^ , т оbi (l-q")1-q

т.к. S5 = Ь,(1-дЪ1 - q

,то

64

1-2 - 2 32 8 ’

T . K . s , = M z i : ) , , ol - q

T . K . s / = M z s ! l . „l - q

1--5* 1- ^_2^

I 3;

'480-3 2081-4 “*27

- 5 1 +

1 . 23

32

53

27581

6 ) k = ^ ; . q = i ; n.-.ioo,5 ) b . = 6 ; q = l ; n = 200, т.к. q = 1, T O прогрессия вырож- т.к. q = 1, то прогрессия вьфож- дена и S200 = 6*200 = 1200. дена и S200 = - 4 • 100 = -400.

283. l )b| = 5;q = 2.T.K. = \ тоl - q

) = - 5 (1 - 1 2 8 ) = 635;

2 ) b | = 2 ; q = 3.T.K. S, = h £ z 3 l Z ,T ol - q

S , = M z l l ) = y - 1 = 2 1 8 7 - 11-3

2186;

284. 1) Т.к. b7 = bi-q и q = 2, to Т.к. S^ bi ( l -q^)l - q

,T0

b7 = 5 • 64; - 635 = b ,(l - 128). Тогда b? = 320; b, = -635 : (-1 2 7 ) = 5. Ответ: b? = 320, bi = 5.

2) a) Т.к. = Sg, TO 85 • 3 = br (1 - 256).l - q

Тогда b, = (85 • 3) / ( -255) = 255 / ( -255) = -1 .

3-1229765

б) т.к. bg = b, q’ , то bs = ( -1) ( -2 ) ’ = 128. Ответ: Ь, = -1, bg = 128.285. l ) S „ = 1 8 9 , b |= 3 , q = 2.

Т.к. S„ \ то 189= ;-189 = 3(1 -2");1-q 1-2

-63 =1-2" ; -64 = -2"; 2" = 2^, поэтому п = 6;

2) S„ = 635, Ь, = 5, q = 2. Т.к. 635 = - , то -635 = 5-(1 - 2");

-127 = 1- 2"; -128 = 2"; 2’ = 2", поэтому п = 7;

3) Sn= 170. Ь, = 2 5 6 . 0 = - - .

T.k. S „ = ^ , t o 170l - q

256 1- ' _ i V. 2,

510 = 512

512 Iк 2J

1-

= 2;

, тогда 510 = 512-512

1256 ’

p n ' г2 > 2 )

; n - 8 ;

4) S„ = - 99 .b , = - 9 . q = - 2 . Т.к. S„ = M - £ l , tol - q

-9 9 - 9 ( l - ( - 2 ) " ) . 33 = i_(_2)"; l - ( - 2 ), . 32 = -(-2)"; n = 5.

-9 9 = z £ : i z ( z 3 ) j ; ( -2 )5 = ( - 2) " ;

286.1) b, = 7, q = 3, S„ = 847. Т.к. S„ , tol - q

847 = 7 1 2 1 ^ - -- ~ " ; 121( -2) = 1 - 3"; 243 = 3";

3’ = 3", поэтому n = 5; b5 = 7 • 3" = 567;

T . K . S „ = M z i ! 2 , T o 4088 = 8.511 = M z ^ ;l - q 1 - 2

66

- 511 = I - 2" , 512 = 2"; поэтому 2’ = 2"; n = 9; b, = 8 • 2* = 2048; 3)bi = 2.b^= 1458,Sn = 2186.Т.к. b„ = b, q" ■' , T O 1458 = 2-q“ ‘ ; 729 = q" ■', получим q" = 729q; т.к. q" = 729 q, t o 1092 - 1093q + 729q = 0; 1092 - 364q = 0; q = 3, тогдаЗ”" ' = 3^п = 7;

T . K . s „ = M z s : : ) , ^ 2 ,86= i t i : i ;' l - q I-q

1093(1 - q) = 1 - q"; 1093 - 1093q- 1 + q" = 0,4>b, = l.b„ = 2401.S„ = 2801.T.K. b„ = b ,- q " ' T O 2401 = q"‘ q" = 2401q. т.к. q" = 2401q, t o

2801(1 - Ф = 1 - 2401q; 2800 = 2801q - 2401q; 2800 = 400q; q = 7; q"“ = 2401, тогда 7"”' = 1*, значит, n = 5.

T.K. S„ = *’‘. *~‘’° \ то2801=-Ьа1;2801(1 - q) = 1 - q", l -q l -q

287.1) bi = 1; q = 2; b„ = 128. Т.к. b„ = b , - q " - то 128 = 2" ■ 2’ = 2" - значит, п = 8.

Т.к. Sg = М ^ З ! 1 , то Sg =_( i -2 5 6 ) = 255;l- q 1-2

2) b, = 1; b2 = 3; q = 3; b„ = 243. Т.к. b„ = b,-q"‘ ' , T O

243 = 1-3”- 3’ = 3 " - тогда n = 6.

T . , s , = M z 4 ! ) , T 0 S , = l i l l l ! > = ™ =364; l - q 1-3 2

3) b, = -1; q = -2; b„ = 128. Т.к. b„ = b, q"‘ то 128 = -1 •(-2)"'-128 = ( -2)"-’; ( - 2)’ = (-2) " - значитn = 8.

T . K . S g = M z 5 ! ) , T 0 S « = ‘:<l2 2 £ ^ = 3 ” =85.l - q 3 3

4) b, = 5; q = -3; b„ = 405. T.k. b„ = b r q " 'to 405 = 5 ( - 3 ) " - (-3)"'' =

= 81 =3‘';n=5.T.K. S5 ,T0 S5 = £ ± 1 3 ^ =5-61=305.l - q 4

288. 1) T.K. Ьз:Ьг = q , T o q = | | = | .

1-

T.K. bs = hrc^ , T O bs = 1 5 ~ = . Т.к. b, = bs'.q , t o bi = 15: | = 9.

62581 544

1-^73

2^_544.3_272_ 2ъ ] 9-2 3 З '

67

2) Т.к. b4 = brq^ , то bi = b2:q, 686:14 = q ; bi = 14:7 = 2;= 49 q = 7, т.к. q > 0; bs = b4*q.

Тогда = = 800;b, = 686.7 = 4802.1-7 - 6 -3

289. 1) b| = 3; q = 2. Т.к. S; = \ to1-q

S5 =-3(1 - 3 2 ) = - 3 (-31) = 93;

2)b, = 3;b2 = -^ .T .K . baibi = q , T o q = ^ .Т .к . Sj = M 1 2 S -2 , to 2 2 1-q

5 , = _ ^ = - 2 { l - _

290. ( x - 1)(д;""' +х"'^+дс"“^+ ... + l) = j" + x"'' +x""^+ ... ++ x - A r " - ' - . v " - ^ - . . . - * - l = J c " - l .

- 2 . “ = - l l i . 64 32

h=biq^ U5 = b,q^ 1291.1) Ч 1 9 5 = M 1 V ) -

l - q 1-9

135 = % '

195 = *,(1 + 9 + 9^)

Поделим 1 на 2 уравнение 135195 1 + q + q

, тогда

— = ---5---- - ; 13 q^ -9q^-9q-9 = 0 ; 4 q ^ - 9 q - 9 = 0.13 1 + q + q'

9 + V81 + 4-4.9 9 + 15 . 3Решим: q = ---------------------= -------- , т.е. q = 3 или q = — .8 8 4

a U 135 . 135 135-16Если q = 3, TO bi = = 15, и b| = -j—^ = — r— 240,

если q = . Ответ: q = 3, bi = 15 или q = -----, bi = 240.4 4

9

2)T.K. S3 = M L ^ , T O 372 = 1 2 ^ 1 I-q 1-q

l+ q + q = 31;q^ + q - 3 0 = 0.Решим: q = -6, q2 = 5. Если qj = -6 , to68

1;

Ьз = 12 (-6)- = 432, и Ьз = 12 • 5 = 300, если qj = 5.Ответ: q = - 6, Ьз = 432 или q = 5, Ьз = 300.292. 1) Т.к. Ьз = b|*q“, hs = b q" и Ьз + bs = 90, то bj-q + brq** = 90, тогда q2 + q4 _ 90 = 0. Обозначим q = t, получим + t - 90 = 0.Решим: t| = 9; t2 = -10. Тогда q = 9 т.к. q = -10 не имеет решения. Поэтому qi = 3; q2 = -3. Ответ: q = 3 или q = -3.2) Т.к. b4 = b2•q Ьб = b2-q' и b4 + Ьб = 60, то b2*q“ + b2-q'‘ = 60, тогда 3q + 3q" ~ 60 = 0; q" + q - 20 = 0. Обозначим q = t, значит + t - 20 = 0. Решим: tj = 4; t2 = -5. Тогда q = 4 т.к. q = -5 — не имеет решения. Поэтому qi = 2; q2 = -2.Ответ: q = 2 или q = -2.

3)6,-^3 =15 b , - b , = 3 0 b,q-b ,q^^30

' b, 15b,g 30 q 2

6, - (1-9^ = 15 6,-(1-9^) = 15

Значит, Sio = —

f b 3 - b .= 2 4 Ibs-bi =624

( l -q '“) - 5 ( 1 - 2 " ’)1-q 1-2

b, q^-b | =24

b, ■q'* -b , =6242

I*,-9(1 - 9 ) = 30

q = 2 6, = - 5

5 (1-1024) =-5115.

b , ( q ^ - l ) = 24

b | ( q ‘' - I ) = 624

Поделим 1 на 2 уравнение -З-—!• = . Тогда ------= — ;q " - l 624 + 26

q H 1 = 26; q '= 25. q, = 5; <b = -5 , b, = | 1 = 1.

Если q = 5, то S5 =

Если q ^ -5, то S5

b r O - q ) 1-5^ 1-31251 -q 1-5 - 4

= 781.

b i ( l - q ^ 1(1 + 3125) 3126 521.I -q 6 6

Ответ: S5 = 781, если q = 5; S5 = 521, если q =-5 .293. 1) a„ = n(n + 3); n = 1, a, = 1-(1 + 3) = 4; n = 2, а2 = 2 ( 2 + 3 ) - 2 - 5 = 10;п = 3,аз = 3- (3+3) = 3 - 8 = 1 8 ;2) a -= 4"; n = 1, a, = 4; n = 2, аг = 16; n = 3, аз = 64;3 )a; = 5-2";n = l . a . = 5 - 2 = 10:n = 2 .a , = 5-2^ = 5 4 = 20: п = 3,аз = 5-2^ = 5 - 8 = 4 0 ;

69

n

n= l,ai = sinTi = 0; n = 2, a2 = sin— = 1; n = 3, аз = sin—= — .2 4 2

14 „ - „ 10-1 9 „ _ 30-1 2 9 .

2) a„ = Л 1 2 .; „ = 10, a,„ = = 1 ; n = 30, а» = = ;2 n - l 2 10-1 19 2 -3 0 -1 59

3)a„ = l n - 1 5 | - 5 ; n = 1 0 , a,o = | 1 0 - 1 5 | - 5 = 0;n = 30,330= |3 0 - 151-5 = 10;4 ) a „ = i a - | n - 2 0 | ;n= 10, ai(,= 1 0 - | 1 0 - 2 0 | = 0;п = 30,азо= 10 - |30 - 20| = 0.

295. 32 = 1 - 0,5 3| = 1 - 0,5-2 = 0; 34 = 1 - 0,5-Зз = - i ; з« = 1 - 0,5

35= 1 - 0,5 4 = 1 - 7 = 7 ; а з = 1 -0,5-32= 1;з5= 1-0,5- 4 8 8

296. 1 ) 4 ; 4 i ; 4 | ; . . ,

a i= 4 ; d = a2-3| = i ; 3 4 = 4 + j - 3 = 5;a5 = 4 + - j - 4 = 5-j;

2 ) 3 i ; 3 ; 2 i ; . . .

а, = з | ; с 1 = а2 - з , . . | ; з 4 = з 1 - 1 - 3 = 2;35 = 2 - i = l i ;

3) 1; 1 -\/з ; 1 + 2ч/з aj = 1; d = Зг - a, . -ч/з ;34=1 + -Уз -3= 1 + 3 - Я ; з 5= 1 + 3 - Я + VI = 1+4-Уз;4) -Я ; л/2 - 3 ; -Я - 6;... а, = л/2 ;d = a2 - a , . _ 3;34=л/2 - 3 - 3 =л/2 - 9;а5=л/2 - 9 - 3 =-У2 - 12 .297. Найдем з„ *, = -2( 1 - (п + 1)) — 2(-п) = 2п;a;, + i - 3 „ = 2 n - ( - 2 ( l - n ) ) = 2n + 2 ( l - n ) = 2n + 2 - 2 n = 2.Т.к. з„ 1 1 - а„ — не зависит от п, то з„ — арифметическая прогрессия.

298. n a , = 6: d = -J.T.K. а, = а, +4d, то Э5 = 6 + 4 - | = б + 2 = 8;

2) 3 ^ 3 1 . ^ 1 .

Т.К. а? = ai + 6d, то а? = -3 j + 6

70

4)ag = sin

= _ 3 i - 2 = - 5 i .

299.1)а ,=-1;а2=1;d = a2 - a , = l - ( - l ) = 2.

T . K . S 3 o = ^ ^ • 20, T O

8 2 0 = ^ ^ - 2 0 = 360;

2 )a ,= 3 ;a 2 = -3 ;d = a2 - ai = -3 - 3 = -6._ ■ 2a, +19dТ.к. S20-------- ------- 20, T O

S2o= -^^111 .2 0 = -1080.

300. 1) a,==-2;a, = -60 ;n = 10. 2) n.= П.

T.K.

S,o = {~ 2 -6 0 ) - 5 = - 3 1 0 ;

T.K. Sn == -* Л - -- 11,т о

j^ + 2 5 ) /S„ = /2 ------^ J3.J1 ^ 143.

301. a, = -38; d = 5; a„ = 12. Т.к. a„ = a, + (n - l)d, то 12 = -38 + (n - 1)5; 50 = (n - 1>5. Значетп- 1 = 10,n= 11;

5„ = 11 = ^ ^ . 1 1 = ^143 . Ответ: Su = -143.

2) ai = -17; d = 3; a„ = 13. Т.к. a„ = a, + (n - l)d, то 13 - -17 + (n - l)-3;

30 = ( n - l ) - 3 ;n -

Ответ: Sii = -22 .

3 0 2 . 1 ) 3 ; l ; i . . . q = bj;b, = i .

30 = ( n - l ) 3 ; n - l = 1 0 ;n = l l 5ц = ■ll = -2 1 1 = -22 .

Тогда b4 = 3 1 > .к - ' • - ' ■ I ’ ”’ " ? I " 2 ? ’

1 P' = * b ,= ' •' Г

4 ’ . 2> ■2. 6 4 ’

3)3; ^/з;l . . . q = b2:b,= V 3/3=4=-^/з

Тогда b4 = 3* VIЧ З ,

, > / з _ - < / з . _ - Я V 3 _ i 3 — = — ;b5= —

4 ) если 5 ;-5 V2 ; 10... q = b2 ibi = -5 V2 :5 = -V 2 . Тогдаb4 = 5 • ( - V I У =-10 V I ; bj = -10 VI ( - V I ) = 20.

71

303. 1) -2; 4;-8;

b , = - 2 ; q = -2.

T.K.b„ = b,-q"-',

b„ = -2-(-2)“- '= ( - 2 ) ”;

304. l ) b , = 2 ; q = 2;n = 6.

Т.к. b6 = b|-q’ ,T0

b« = 2-2’ = 2-35 = 70;

305. 1) b^= ^ : Q^- ^i n = 5.

T.k. S , = M V ) ^ , „I-q

55 =

b , = - i ; q = -2.

Т.к. b„ = bi-q"‘ ' ,T0

b„ = -Y •(-2)"''=(-2)"■^

2) b| = i ; q = 5; n = 4.О

Т.К. b4 = bi*q^, TO

2)

2- p 51-

. 2;

4. 1 -

' 4 1

1024

4-1023 341 ^^85

1 + 4

= 1 ^ = 102,5

3) bx^lO;.q = l;n = 6;

8б = Ьг6=10-6 = 60;

306. l ) 128;64;32;. . .n = 5;b, = 128; q= ^ = \125 2

3 1024 256 256

T.K.1-q

128 1 - - 164

\ - q 1 - i2

2(128-2)1

= 2-126 = 252;

2) i62;54:18: . . .n = 5:b , ^ 1 6 2 ; q = - ^ = ^ - i ;^ iOl j

72

\ - q

162- 1-f )

■-I= -81 1-

243,3^ -81 .(-242):3 ^242

243

^ = ± 1 = 1 . ^ 2-2 4 ’

\ - q

/1 - 3>

А5>

2-4-\ / L 1024J 8-781

1 - 3 3 3-1024

384 384 ’

4 ) i - i i - . . 3 *2 1-4 2n = 4; b |= - ; q = -^ = -----= -6, 2-3

biO-q"*) 4(1^ 4>

I ' - b . Jз-з-

1- q '-I 81*4 36 36 ■

3 0 7 .n = l , a j = • S - ^ = - ^ = l ; n = 2 ,34= ■ ^ 2 _ ^ = ' ^ = 2 ;

n = 3 ,a .= ^ = l ± i = | .

308.T.K.ag = a, + 7d,TO 23i === 2 ^ + 7d и d = 3.

309. 1) 2l\ = 5; аз = 15. Т.к. 3 = ai + 2d, то 15 = 5 + 2d; d = 5; аг = 10; аз = 15; 34 = 20; aj = 25; Ответ: 5; 10; 15; 20; 25.2) аз = 8; as = 2. Т.к. as = аз + 2d, то 2 = 8 + 2d; d = -3; а4 = 5; аг = 11; а, = 14. Ответ: 14; 11; 8; 5; 2.310. Чтобы аь аг, аз были членами арифметической прогрессии, на-

а , + а з -10 + 5 5до, чтобы 32 = , тогда 32 = - 3 = - 2 , 5 .2 2311. 1) 3,3 = 28; 320 = 38. Т.к. З20 = а^ + 7d, то 38 = 28 + 7d.

Значит 10 = 7dHd = l y ; a i 9 = 32o-d;3|9 = 38 - 1 у =36-^.

Т.к. 3 3 = а, + 12d, то а, = 2 8 - 12-11 = 2 8 - 1 2 - 5-i = 1 о | .

Ответ: а, = 1 о | ; а,9 = 36^.

73

2) 3)8 = -6 ; &20 = 6. Т.к. ai9 = ^ — ,то aj9 = = О .

Отсюда d = аго - а|9 = 6. Т.к. аго = ai + 19d, тоб = ai + 19 • 6; ai = 6 - 19 • 6 = -108. Ответ: ai = -108; ai9 = 0.312. 1) Для того, чтобы это была арифметическая прогрессия надо, чтобых + 2 (Ъхл-2х-\) 5;с-1 . . - 3- у - = -5----- ------^ = - ^ - \ х + 2 = 5 х - \ \ А х = Ъ\х=

2) Для того, чтобы это была арифметическая прогрессия надо, чтобыЗдс^+Пх o 2 . l i . п п 2 1 -24 .2 = ------------ ; Зд: + 1 Ijc - 4 = 0. Решим: Xi = — = - ; Хг = ----- == -4.

2 6 3 6

Ответ:

313.<1 = 32-31 = 7 - 5 = 2. Тогда S„ = п ;

252 = + • п ;504 = (8 + 2п)п;252 = (4 + п) - п ; + 4п-252 = 0.

Решим: П1 = 14; П2 = -32 — не натуральное число. Ответ: 14.

31 4 .1 )3 ^ 4 Q ,n = 2Q.S;af ^ Q -

Т.К. S2 0 = ^^—--2 0 ,то

- 4 0 = ( a j+ а2о>10.

Значит = (40 + а2о);

а2о =

Т. К. d = - ^ Q ~ ^ ^ - , T O 19

-4 4 -4 0 -84 , 8d = ----------- = ------ = - 4 — .19 19 19

Т.К. S,6 = ^ ^ 4 ^ - 1 6 , то2

2at +15d 2

16.

Значит -10j 16;

“ 10y = K + l5d*8;

-16=120d;

ai6- = 3 - 2 = - . - .

Ответ: a2o = -44, d = •

Т.К. ai6 = ai + I5d, TO

Ответ: ai6 = - l y , d = - ~

74

315. l)T.K.b, = b, q*, TOb9 = 4 - ( - l )* = 4.

316. I )b 2 = | ,b 7 = 1 6 ;

b7 = b 2 - q \тогда

1 6 = i . q 5 , q ’ = 32,q = 2.

Т .К . b s = Ьг • q \ TO

b 5 = i -8 = 4;

2) Т.к. b7 = b, q‘ , Tob7=l - (V3)‘ = 27.

2)Ьз = -3,Ьб = -81;

Ьб = b, • q \ тогда

- 8 1 = - 3 . q ' ;

= 27, значит q = 3. Т.к. bs = Ьз • q , TO

b5 = - 3 - 9 = -27;

3 ) b2 = 4 ,b^=l .

Т.к. b4 = Ъг • q^, TO

l = 4 - q ^

qi,2 = ± - .

EcnHq=Y>TO

bj = b4 • q,

1. 1 1 1имеем: bs = 1- — = —

EcnHq = —i ,

TO bs = b4 • q, имеем: bs = .

Т.к. Ьб = b4 • q , то

125 5 ^

q ^ = ^ , q . , . = ± }

E cf lH q= j ,

. 1 1 1,o b , =

Ecnnq = - j ,

TO b^ =р 1

. Sj . 5; 25

Ответ: bs = -j или bs = - - j .

317. Чтобы bi; Ьг; Ьз — были членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобыЬг = bj • Ьз, значит, Ьг = 36, Ьг = 6 или Ьг = -6.318. Пусть п — номер дня, а„ — количество минут в п день.Т.к. а„= а, + (п - l)d, то 40 = 5 + (п - 1) • 5; 35 = (п - 1) • 5;п - 1 = 7 значит п = 8. Ответ: Восьмой день от среды — среда.

75

319. Решим систему относительно aj и d:а, +«2 -Ь з =15 йГ] +<3| +б/ + д, +2б/ = 15

(fifj + d){a^ 4- 2d) - 80 ’3ai + 3d = 15; ai + d = 5; ai = 5 - d.Подставим BO второе уравнение системы:(5 - d)(5 - d + d)(5 - d + 2d) = 80; 5(5 - d)(5 + d) = 80; 25 - d'- = 16; d = 9. Значит, d = 3 или d = -3. Тогда ai = 5 - 3 = 2 или aj = 5 + 3 = Ответ: d = 3 , ai = 2; d = -3, ai = 8.

320.a , + f l 2 + ^ ? 3 = 1 5 J3a,+ З б / = 15 a, • «2 • 3 = 80 [a • (flf, + + 2d) = 80

оa, = 5 - da, •5*Ц+2йГ) = 80

d = 3

5 - d(5-d) - i5 + d) = \6

|2 5 -^ /' =16 U = 5 - ^

1 1 =2. Ответ: = -3, ofi = 8 или d = Z , a \ - 2 .

rf = -3 a, =8

3(a,+rf) = 0

a, = - i /

2a,' =50

o, =5 (/ = -5

Л = -5

+ ( a , + 2 ^ / ) ' = 5 0

. Ответ: ai = 5, d ^ - 5 или i?i = -5, d= 5.

У = 5322. b„ = 6; ! • q = 6„_2 • = ... = br^ • q’'b„ = „+1 • q~ = /,-2 • = ... = bn k •^>7'=Z>3*Z>„=225=>b7=±15323. = br^x ♦ • q~ = ... = b^i • q'^bk = 6*_i • ‘ = >it_2 • = ... bk-i •/), - )7 = ^3*^5 = 72324.b o - a , q - 2 => b\o = a''^

=> n+k n~k

b„’ bk - bn¥i' bk-i

q ^ z)^=1,

1024flf326. (1,059Г = 1,331925091729299

Глава V. Случайные события327.1) Случайное; 2) случайное.328.1) Случайное; 2) невозможное.329. 1) Случайное; 2) случайное; 3) невозможное; 4) достоверное. 76

330.1) Невозможное; 2) достоверное.331. 1) Случайное; 2) невозможное; 3) невозможное; 4) случайное;5) достоверное.332.1) Совместные; 2) несовместные.

. 333.1) Несовместные; 2) совместные.334.1) Совместные; 2) совместные; 3) несовместные; 4) несовместные.335. Совместные: 2) и 3). Несовместные: 1) и 3), 1) и 2).336. Совместные: 1) и 2), 1) и 3), 1) и 4), 2) и 4).Несовместные: 2) и 3), 3) и 4).337. Не являются.338.1) Не являются; 2) являются.339.1) Являются; 2) являются;3) являются; 4) не являются;5) являются.340.1) Являются; 2) не являются.341.1) Выпадение орла, выпадение решки.2) Выпадение дюбого из чисел от 1 до 6.3) Выпадение любого из чисел от 1 до 4.4) Попадание стрелки на один из секторов: А, В, С, D, Е.

342Л)/» = 6 ,Д т ) = 3, Я(^) = | = | ; ,О Z

2) п = 6, А(т) = 2. Я(^) = I = i ; 3) п = 28, А(т) = 1 ,Р (А ) = - ^ ;

4)я = 28,^(т) = 7, Р(А) = = j ; 5) п = 8,А(т) = 2, Я(^) = | = 1 ;

6)n = 8,A(m) = 6,F(A) = = j .

343.1) | ; 2) 3)0;4)1.

3 4 4 . 1 ) | ; 2 ) 1 ; 3 ) | ; 4 ) | ; 5 ) | ; 6 ) | .

346. Всего 10 возможных вариантов: О, 1 ... 9.

Следовательно, вероятность успеха — — . Ответ: ^ .

347.1) = 2) '^ ^ '2 0 49

348.

1000 50 ’ ^ 1000 502 5 - 1 ^24

25 25*

77

g351. 1) У 8 кубиков окрашены ровно 3 грани. Р{А) - — ;

12 42) У 12 кубиков окрашены ровно 2 грани. Р{В)

3) У 6 кубиков окрашены ровно 1 грань. Р{С)

4) У 1 кубика нет ни одной окрашенной грани. P{D) = .

3 5 2 .1 ) 1 ; 2 ) 1 = 1

353. 1 ) 1 ; 2 ) 1

м А - 1 . м ± - 1 - 7 ^ А = 1 - 8 ^’ 36 4 ’ Ч б 6 ’ ’ 36 6 ’ ’ 36 1 8 ’

355. Общее число исходов равно 36.2 11) 5 = 5 1 = 1- 5=>—• = — — вероятность;

36 18

2) 4 = 2- 2==>-^ — вероятность;36

3) 10 = 5- 2 = 2- 5= > :^ = -^ — вероятность;36 18

4 14) 12 = 3-4 = 4-3 = 2-6 = 6-2=> — = - — вероятность.

356. Общее число исходов 3 -2 = 6.

1) Вероятность равна ~ . 2) Вероятность равна ^ .

357. Общее число исходов — 4 • 3 • 2 • 1 = 24.

1) Вероятность рабна . 2) Вероятность равна — .

349. Всё равно ^ .

78

358. Общее число исходов — 6 • 6 • 6 = 216.

1) Вероятность равна .2\Ь

2) Возможные исходы: 226,262, 622. Вероятность равна •

359. Общее число исходов — = 3 .

1) Вероятность равна ~ . 2) Вероятность равна у .

360. Общее число исходов — 4 - 3 = 1 2 .

Возможные исходы: 23,32 => Вероятность равна

Ответ:о

4-3361. Общее число исходов: = 6 .

1) Число возможных исходов — 3 => Вероятность равна ~ •Ь 7.

2) Число возможных исходов — 3 => Вероятность равна ~ ~ •о 24*3362. Общее число исходов: ^ .

2 ■ Г)

1) Число возможных исходов — 1 => В^)оятцость равна —.' ■ 64 22) Число возможных исходов — 4 => Вероятность равна -7 = —.о 3

5-4363. Общее число исходов: - ^ = 10.

4-31) Число возможных исходов — ^ Вероятность равна

10 5 *4 22) Число возможных исходов — 4 => Вероятность равна jq ~ у •

364. Общее число исходов: ~ *

1) Число возможных исходов — 1 => Вероятность равна •630

79

2) Число возможных исходов — ^ Вероятность равна

6 ^ 1 630 105'

365. 1) Площадь 1-го сектора равна — = —.S => Вероятность

равна -^5 :S .4 4

2) Площадь 3-го сектора равна ^ = Вероятность равна3 2 о

3) Общая площадь 1-го и 2-го секторов равна —5' + ~5' = —5=> Ве­

роятность равна •

4) Общая площадь 4-го и 5-го секторов равна + S = ^ S => Ве-0 о 3

роятность равна “ "J •

1 1 25) Общая площадь 1-го и 9-го секторов равна

роятность равна у •

3) Д Л 'б Л ^ ) = 1 ^ = ^ = | ;

4-3

4, =

367 .5 „ .= 1 4 '= 1 9 6 cm' ; S , p = я - 2 ^ = 4 т1; ^ = ^ • Ответ:

368. 1)й^(^) = - ^ = 0.52; 2) W(A) = - ^ = 0,9 ;

80

3) fV(A) =

369. fV =

84500

952

= 0,168.

2381000 250

371. W 1 33 67 31 79 62710 50 100 50 125 1000

P « 0 , 6 372. W, 83 169 421 839

100 200 500 1000W2 3 7 18 141

20 50 125 1000/^«0,84; i>2«0,14. 373. Устный.

= J- • 2) P =3 + 4 +5 4 ’ ^ 3 + 4 + 5 3 ’ ^ 3 + 4+5 12’

' ' - З Ж 5 - П '

375.1)

376. Общее число исходов — 10 • 10 = 100 => Р =100 ’

377. Общее число исходов — 2 - 6 = 1 2

378. Общее число исходов — 6 • 6 = 363 - 3 ^ 1 36 4 ’

1 : 2 = 136 4 ’

1 ) Р =

3 )Р = з-з+з-з36

81

1. 1) я =

3 ) Р =

2 1 .

2 + 3 + 5 5 ’2 + 3 1

Проверь себя2) Р =

2 + 3 + 5 10’

2 + 3 + 5 2 ’4 ) Я = - ^ = 1

’ 2 + 3 + 5 52, P = ^ = -L

379.1) р 4 4 ; 2 ) / > 4 4 ; 3 ) р 4 4 ; 4 ) р = =

380. Общее число исходов — 2 • 2 • 2 = 8.

381. Общее число исходов — 5 • 4 = 20.

382. Общее число исходов — 6 • 6 = 36.

Глава VI. Случайные величины383.1) X 1 - 2 3 4 ' 5 6

р 1 1 1 1 1 16 6 6 6 6 6

2)

3)

4)

X 1 2 3Р 1 1 1

3 3 3

X 1 2 3р 1 1 1

2 3 6

X 1 2 3Р 1 1 1

3 2 6

0 1 2Р 1 1 1

4 2 4

384.

82

385. X 2 3 4 5 6 7 8р 1 1 3 1 3 1 1

16 8 16 4 16 8 16

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10Р 1 1 1 1 1 1 1 1 1

24 12 8 6 6 6 8 12 24

386.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9М 5 6 6 3 4 4 3 4 3 3

387.

X 34 35 36 37 38 39 40м 1 3 4 6 3 2 1W 1 3 1 3 3 1 1

20 20 5 10 20 10 20

388.

X 38 40 42 44 46 48 50 52 54М 2 4 5 12 10 6 5 2 1W 1

252

251

106

2515

3•25

110

125

150

389.

390. Устный.

391. Онегин, добрый мой приятель, Родился на брегах Невы,Где, может быть, родились вы Или блистали, мой читатель.

392. 1)

0,2

0,1

--------- ““ТТ

' 1О 1 4 X

83

393.1)

w0,5

0,4

0,3 -

0,2 -

0,1

О 5 X

X 1 2 3 4 5w 1 1 1 4 2

15 10 6 15 5

84

395.1)

2)

X 145- 150- 155- 160- 165- ПО- 17 5 ^ 1 1 ISO-149 154 159 164 169 174 179 184

м 1 IIIII IIIIIII IIIII IIIII IIII III IIIIII IIIIIII III II II 1

1 9 14 8 7 6 3 2

6 ------

3----- -I—2----1 - г - IQ

m i i n i

3)3398. Bo всех случаях выборка не даёт полного представления об ис­следуемом объекте.399. 500 ♦ 0,4 = 200 существительных.

400. 72600 2000 = 240 глаголов.

401.35 размер— '^•1000 = 60 пар; 36 размер— -— -ЮОО = 200пар;

1037 размер — — • 1000 = 120 пар; 38 размер — — -1000 = 240 пар;

30 5085

39 размер— — 4000 = 220пар; 40 размер— -^ 1000 = 140 пар;

41 размер — — • 1000 = 80 пар; 42 размер — -1000 = 40 пар.

402. Чёрный — ^ . 3 0 ООО = 9600 ???;1UU

Красный — щ - 3 0 ООО = 6000 ???;

Синий — 1610014

•30 000 = 4800 ???;

Серый — . 30 ООО = 4200 ???;100

Белый — т ^ -3 0 ООО = 3300 ???; 100

Жёлтый — • 30 ООО = 1500 ???;

Зелёный — • 30 ООО = 600 ???.100

3 + 5403. 1)Л = 9 - 1 =8;Мо|=2;М(н = 6; Ме = = ^ = А

2)Л = 7 - ( - 4 ) = 11;Мо = 2;А/е = 2.404. 1)Я = 5 - 2 = 3;Мо = Ъ\Ме = Ъ

2)Л = 6 - ( - 1 ) = 7;Мох = 3; Ми = 5; А/е = 3

405. l)/? = 4 - ( - 2 ) = 6;Mo = -2;Afe= 1.2) Л = 0,6 - 0,1 = 0,5; Мо| = 0,1; Ми = 0,2; Мт = 0,4;

Мм = 0,5; Me = М ± М = о,35.

406.1) j ^ ^ 3 + 4 + l-t-2 + 5 ^ 3 . ^ ^ ^ ^ 2 - 5 + 4 - 3 - 2 + l ^_P g.5 6

- 2 - 2 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5 . 13 ) Х = -------------- --------------= 2 - ;

86

.. г; 4 + 4 + 4 + 5 + S + 6 + 6+ 6 ,4) X = -------------- ---------------- = 5.

2) X O-^+S-5 + 3-6 + 5-3 + 6 24 + 5 + 6 + 3 + 2

408.

1)409. ^ ^

Ответ: 7,00 г/см^ железо.

« О . ' .

Me 12 + 14 13 лет.

4 U . J r . ^ ° t I 2 5 - 2 . I 3 0 - 2 . 1 3 5 - 3 . 1 4 0 . 3 ^

1 + 2 + 2 + 3 + 3 Мо1 = 135;Мо2=Ш;Ме=135U135 см — высота, наилучшим образом характеризующая спортив­ную подготовку девушек. Ответ: 1365 см.

^ _Ь2 + 2»1 + 4-4 + 5»3 + 7-4 + 10-2 + 1ЬЗ + 121 +2 + 1 + 4 + 3 + 4 + 2 + 3 + 1 + 2 + 5 + 3 + 1 + 1 + 2

+16-2 + 19-5 + 20-3 + 2М + 22-1 + 25-2 «12 лет.

Мо = 19 лет,М е - \ { лет. 413. X 2 3 4 5 6 7 8 9 10

р 1 1 3 1 5 3 7 1 764 32 64 16 64 32 64 8 64

87

11 12 13 14 15 16р 3 5 1 -3 1 1

32 64 16 64 32 64

Размер (X) 42 44 46 48 50 52 54 56 58Кол-во ха­латов (М)

1500 3000 9000 18 000 16 500 10 500 9000 4500 1500

4500 - 3000 - 1500 -

42 44 46 48 50 52 54 56 58 .X

0 = 48; Afe = 50; X ^ 5 0 ; R = ^ 1 6 . \ Проверь себя!

2 3 4 5М 3 7 8 2

3 7 2 120 20 5 10

1.

88

Мо=^Ме^Ъ,

415.1) ^ = = 3.5 ; Mo = 4; Afe = 4 ;/г = 6 - 1 = 52+ 1+3+ 2

,-т -2 . 2+ 0-3+1-2+ 2-2+3-12) Y = 2+3+2 +2+1 0 + 1

= 0,5;

Л/о = 0; Л/е = = 0,5;Л = 3 - ( - 2 ) = 5.

3 ) Z = - ^ ‘ - 4 3 - ^ r 3 - l = -2 .5 ;1+3+3+1

Ю2

Глава УП. Множества, логика

417. 5 € Л/ — неверно; 6 € Л/ — верно; — е Л/ — неверно;4- Ъ ^ М — верно.418. 1 е Л — неверно; 2 ^ А — неверно; 6 ^ А — неверно; 8^v4 — верно.419. 12е 5 — верно; Ъ е В — верно; А ^ В — неверно; 10е 5 — неверно.420. 1) {7; 8}, {7}, {8}, {0}3){1;2;3} , {1;2}, {2;3}, {14) {4; 5; 6}, {4; 5}, {5; 6}, {4; 6}, {4}, {5}, {6}.

2){1;5}, {1} , {5}, {0} ; 3},{1}, {2},{3}, {0} ;

89

421.1)^ = {1;2; 3}; 2 )M= 0; 1; 2; 3};3) C ={3 } ; 4 ) x ={-2; -3} .422.1) Окружность с центром в точке А и радиусом 3.2) Серединный перпендикуляр к отрезку АВ.423.1)Я\^ = {-3}; 2)5V4= {-1; 1;2}.424 .1)^\S={5;6}; SV4 = {-5 ;-3 ;-2};2)A \B ={ 2; i} ; BV4 = {-1;0};3)^\ S= {-1;0}; Ш = 0 ;4)А\В={7}; Ш = {-5 ;-6}.425.1) Л\0 — иррациональные числа;2) ZW — целые отрицательные числа и 0.426.1) А П З = {а;Ь}; A U B = {a;b;c} ;2) А П В = {с}; A U B = {a;b;c,d};3) А П В = 0 ; A i l B = {a;b};4) А П В = : 0 ; A U B = {a;c;d;e}.427.1) А П В = {-4}; A i l B = { - 5 ; - 4 ; - 3 ; - 2 ; 5 ;6 } ;2) А П В = {1}; A\JB = {-1;0;1;2;3};3) А П В = {1;2;3}; АУВ=^ {-1; 0; 1; 2; 3};4) ^ПЯ = {5;6}; .4Ufi = {-5;5;-6;6;7}.428. [2;7]П[4;9] = [4; 7]; [2; 7]U [4; 9] = [2; 9].429. [6; 8]П[5; 7] = [.6; 7]; [6; 8]П[5; 71= [5; 8].

430. л '-4л :-12 = 0<=>(ж-6Хх + 2) = 0 оIX = -2

’х = 1 х = -2

{6; - 2} П {7; - 2} = {-2} — пересечение;{6; - 2} П {7; - 2} = {-2; 6; 7} — объединение.Ответ: {-2}; {-2; 6; 7}.431.Л ={1 ,2 , 3,6,9, 18},Д= {1,3,5,9,15 ,45} ::S> ЛПй = {1;3;9} Наибольшее из чисел, принадлежащих множеству АГ\В — наи­больший общий делитель чисел 18 и 45.432. C = {c:c = m , k ^ N } c f ) D ^ {х : х ^ Ш , к ^ N)

D = { d : d = 45k ,ke N}Наименьшее из чисел, принадлежащих множеству C f] D — наи­меньшее общее кратное чисел 18 и 45.90

л:^-5д:-14 = О <=> (;c-7)(jc + 2) = О о

433.= {х : |х| < 1, X е Z} = {0}

434.

В ^ { х : \ х - \ < 2 , x ^ N } = {\,2}Ответ: {0;1;2}.

^ = { х: - 6 х + 9 < 0} = {д:: (х-3)^ ^ 0} = {3}В = {лг:|д^<1,д:е2} = {-1;0;1} ^

^ и г = Н;0;1;3}. Ответ: 1;3}.435. 1) ^ и в и С = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}; .4П5ПС = {-1; 0; I; 2; 3}.2)^UBUC = { x : x < l } ; / in s n C = { x : - l < x ^ 0 , x e Z } = {-l;0}.436.1) ДПЛ = 4;2) д и ^ = Л ; 3 ) ^ П ^ = Л ; 4 ) 4 П Л = Л;5) A , U A , = A , ; 6 ) 4 U ^ U 4 U ^ = ^ ; 7 ) А , П А П А , П А = А437.1) 79^7; 2)45<3;3) любое натуральное число не является целым числом;4) у Земли не только один спутник.438. 1) и = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}; 2)к= {5;10; 15; 20; 25};

3) { ^ ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 } ; 4 )

439. 1)

{ х - \ У < 0о д: = 1.jc"-2^: + l< 0

^;с>0

х < - 4 х > 2 ’

3) - Зд: + 4 7 О <=> (д: + 4)(л: -1) ;

Л) x ^ - ^ 9 > 0 o x & R .440.1) (Vjc)p (jc) — ложно;(Зх)р{х) — истинно;

3) (Vx)/?(jc) — ложно;(Зх)р{х) — ложно;441. 1) (Уд:)/?(л:) — ложно;(Злг)р(х) — истинно;3) (Vjc)/7(x) — истинно;(Зх)р(х) — истинно;442. 1) Условие: «сумма цифр числа делится на 3».Заключение: «число делится на 3».Если число делится на 3, то и сумма цифр числа делится на 3.2) Условие: «последовательность является арифметической про­грессией».

91

х > 0

2 )х е [2 ;3 ];

2) (V(jt)) р(х) — истинно; (3(jc))p(jr) — истинно;4) (Ух)р{х) — ложно; (Зх)р(х) — истинно.2) ('^х)р(х) — ложно; (Здс)р(л:) — истинно.4) (Ух)р{х)— истинно; (3a:)/?(jc) — истинно.

Заключение: «каждый член (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов».Если каждый член последовательности (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов, то последовательность является арифметической прогрессией.443. 1) Если сумма противоположных углов четырёхугольника рав­на 180°, то около него можно описать окружность; истинна.2) Если при пересечении двух прямых секущей образовавшиеся на­крест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны; истинна.3) Если в фи17ру можно вписать в окружность, то эта фигура — прямоугольник; ложна.4) Если диагональ четырёхугольника делит его на два равных тре­угольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм; ложна.444.1) Ромб; 2) Равносторонний треугольник;3) Числа «2» и «1»; 4) Равносторонний треугольник.445. 1) Пусть п — натуральное число, тогда {п+ 1) — последующее число, их сумма « + ( « + l ) = 2 w+ l — нечётное число. Высказыва­ние опровергнуто.2) Пусть W, « + 1, W + 2 — три последовательных натуральных числа. Их сумма — п + (« + 1) + (« + 2) = 3 • (л + 1) — делится на 3. Выска­зывание доказано.446.1) Достаточно; 2) необходимо и достаточно; 3) необходимо.

447.1) Лг = .^ { Ц о 7 Т ( 0 ^ ё ^ = >/20 = 275;

2) AB = ^ ( 0 - ( - A ) f + ( 2 - 0 f = л ^ = 2>/5;

3) АВ = ^/(3-(-1))^ + ( 2 - (-З)У = V29 ;

4) АВ = ^ ( - 2 - З У =л/29;

5) АВ = 7 (-3 - 4) + (2 - (-5))' = > /^ = 7 7 2 ;

6) АВ = ^|{3 - (-3))' + (-2 - 6)' = - J m = 10 .448. 1 ) л ^ + / = 36; 2 ) х ^ + / = 49.449.1) (-3)" +4" = 25 ^ принадлежит;(5) + (-1)^ = 26 => 5 не принадлежит;(-2)^ + (-3)- = 13 => С не принадлежит;( I f + (6)“ = 85 => D не принадлежит;0 + (-5)^ = 25 => £■ принадлежит;11 -I- (-2)^ = 125 ^ F не принадлежит. Ответ: А, Е.92

2) (-3 -1)^ + (4 + 2) = 50 => Л не принадлежит;(5 -1)^ + (-1 + l y =26=> В не принадлежит;(-2 -1)^ + (-3 + 2) = 10 С не принадлежит;(7 -1)^ + (6 + 2) = 100 => D принадлежит;(О -1)^ + (-5 + 2) = 10 => £■ не принадлежит;(11 -1)^ + (-2 + 2) = 100 => F принадлежит.Ответ: D, F.450.1) (;с- 0 ) 4 (j-- ( -2 ) ) ' = i ‘ +( y +2 f =9;

2) ( х - (-3))“ + (у-ОУ =2^ ^ { х + З У + / =4;

3) ( x - ( - l ) ) 4 C v - 3 ) ^ =1,5^ o ( x + l f +(^<-3)^ =2,25;

4) ( ; с - ( -2 ) / + (j--4)* =0,5^ о ( х + 2 У +(д»-4)' =0,25 ;

5) ( х - { - 2 ) У + ( у - 4 У = 0,5^ ^ { х + 2У +(у + \У = 2 1 ;

6 ) ( х - ( - 3 ) У + ( > ; - ( - l ) ) * = ( l | ) ' о(дг+3)Ч (>-+2)^ = 3 ^

451. 1)(дг+4)40»-5)^ =36 ( у - 5 У = 3 6

х = -4О у ^ - \

;с = -4Ответ: (-4; -1);(-4;11).

\ х + 4 У + ( у - 5 У = 3 62)

:к = 5 7 = 5

х = 2 д: = -10

>' = 5Ответ: Н О ; 5); (2; 5).452. Без ограничения общности можем считать, что Х2 > Х]. Предпо­ложим, что> 2 >УI- Заметим, что отрезок — часть прямой, причём ко­эффициент к > 0. Предположим, что утверждение неверно. Пусть, к

примеру, X > ■ <^2х> х^+х^.Из этого следует, что 2у>ух+ у 2 ,

т.к. отрезок — это часть прямой и к> 0.Запишем условие того, что С — середина отрезка.

(aTj - х У +(^у , - у У =7(дг, - х У + ( у , - у У о

х1 - 2х,х + + у1 - 2 у , у + У = х^ -2 х , х + +yf - 2 у , у + /

93

х ' - X , ' - 2 х ( х , - х , ) + у^ ~у^ = О <s>f e - ^ i)fc + - 2х) + (У2 - Ji)(V2 - у \ - 2 у ) = 0 — противоречие, т.к.(х2 -х{ ) > О, {Х2 +Х1 - 2л) < О, (У2 -У\) > 0 , ( у 2 - у \ - 2у) < О, а следо­вательно, (Х2 - Х|)(д:2 + х^-2 х) + (у2 - У 1){У2 - У \ - 2у) < 0.

Значит, предположение х > ^ неверно.

Аналогично доказывается ложность предположения х < .

Следовательно, х = , у = — . Случай У2 < У\ сводится к

предыдущему, случай когда Х\ - Х2 или у\ = у 2 очевиден.

453. 1) с ( ^ ; о С(2; - 4 ) ;

2) с ( ^ ^ ; ^ ) < » С ( - 1 , 5 ; 2 , 5 ) ;

,5-1,5. 6 + 53) с ( ^ » С (0 ,5 ; 5,5);

о С ( - 4 ; - 2 , 5 ) .

454. 1) Пусть координаты точки К — (О, у). Запишем условие равно- удалённости:^ ^ 2 - o y + O - y f = ^ ( - г - о у + о - у у

4 + 9 - 6 у + у^ =9 + 1 - 2 у + у^ ■04у = 3 ' 0 у = ^

Ответ: К

2) Пусть координаты точки К — (О, у). Запишем условие равноуда- лённости:^ ( l - 0 y + ( - 2 - y f ^ ^ ( 3 - 0 У + ( 2 - у У <=>

\ + А + А у + у" = 9 л - А - А у - ^ у ^ < ^ ^ у = У = \ .

Ответ: ДО, 1).455. 1) Пусть координаты точки Р — {х, 0). Запишем условие равно- удалённости:^ { - А - х У + ( - 1 - 0 У = ^ ( - 2 - х У + 0 - О У о JC +8jc+ 16 + 1 = +4д: + 4 + 9 <=> Лх = - 4 < ^ х - - \ .Ответ: Д -1 ; 0).94

2) Пусть координаты точки Р — (дг, 0). Запишем условие равноуда- лённости; ^]{2-хУ + ( - \ - 0 У = ^ { - 3 - х У + { - 5 - 0 У о4 - 4л:+ + 1 = 9 + 6л: + 25 о 1 Ол: = - 2 9 о л = -2 ,9Ответ: Р(-2,9; 0).456. 1) (дг-(-5))^ + ( y - i y = . Подставим координаты точкиD-. (1 + 5)' + (-1 - ту = о г' = 45 . Ответ: (х + 5) + (у - 2) = 45.

2) (дг-2)^+(у-(-3))^ = Подставим координаты точкиD:(-1 - 2У + (1+ЗУ = г' о г' = 25 . Ответ: ( x - 2 f + (y + = 25.3) (дс - 3) + O' - 0) = r . Подставим координаты точкиD: ( -3 -3 ) ' + ( -3 -0 ) ' = г ' =45.

4) (х -(-4 ))* +(>'“ (-4))' = . Подставим координаты точкиD: (0+4)' +(2 + 4)' = г' <=> г' = 52. Ответ: (л + 4) + (у + 4) = 52.457.1) Найдём координаты центра окружности:

X = = у У = ~ ^ Найдём диаметр:

ВА = 7 (2 - ( -4 ) ) ' + ( -« -0 ) ' = л/т2 = 6>/2 => г = 6 ^ : 2 = Зл/2

Имеем: (х-1)'+{^и-(-3))' =(з>^)'«»(х ~ 1) + (у + 3) = 18 — уравнение окружности.2) Найдём координаты центра окружности:

== = -3 у = = 2 => <9(--3; 2). Найдём д а а м ^ :

= = ^ Щ = 2 М = > г = 2у1Ш:2 = М

Имеем: (л: - (-3))' + Cv - 2)' = Ш У о(х + зУ + ( у - 2 f = 10 — уравнение окружности.458. 1) jc + У + IOjc- 6у + 18 = О « .х^+10.« + 2 5 + / - 6 у + 9 = 25 + 9 - 1 8 о (д : + 5) + ( у - 3)'= 4 Ответ: окружность с центром в точке С(-5; 3) и радиусом г = 4.2 ) л ' + / - 8 ; с - 1 2 у - 1 2 = 0 <=>л : ^ -8 л : + 1 6 + / -1 2 ; ' + 3 6 = 12+ 16 + 36 «> (л: - 4 )'+ (у - 6) = 8 Ответ: Окружность с центром в точке С(4; 6) и радиусом г = 8.3 ) х ( х - 2 ) + у ( у - 4 ) ^ 0

; с ^ -2 х + 1 4 - / - 4 >; + 4 = 1 + 4 (jc-1)'+ ( / - 2 ) ' = (Vs)'

Ответ: Окружность с центром в точке С(1; 2) и радиусом г = yfs .95

4) х ( х - 6 ) + у( у + 2) = 0 о х - - 6 х ' ^ ^ + у ^ + 2у~^' =0^^ »

« { x - 3 f + (y + i y = i ^ f .

Ответ: Окружность с центром в точке С(3; -1) и радиусом г = ^J^0 .

459. Подставим координаты точек О п М в уравнение ах + by = с, получим:

с = 0

1)Q ' 2 + Ь ' Ъ = с

а О + 6 0 = сх - —у = 0 о 2 х - 2 у = 0 — урав-

с = 0=>-д: + 2у = 0 — уравнение прямой.

а О + ЬО = с |6 = -2а У УУ Р

нение прямой. а ’Л + Ь'2 = с

3)

4)

а ' (-6) + ЬЛ = с а-0 + Ь 0 = с

а ‘2 + Ь-(-5) = с а О + Ь О = с

с = 0 Ь = 6а

с = 0 а = 2,5Ь

JC + 6д = О — уравнение прямой.

=> 2,5jc + у = 0 — уравнение прямой.

460. Подставим координаты точек А к В в уравнение ах + by = с, по­лучим:

1)а '0 + Ь‘2 = с аЛ + Ь ' ( - \ ) - с

уравнение прямой. Ответ: Зх+ у = 2.

\2а + 0-Ь=^с 2) j , <»

\ - а - Ь = с

с “ 2 с Зс- х - — у = с<^ х - З у - ^ 2 —

с Зс 2 2"’ = - ^ - 2 = “

уравнение прямой. Ответ: х - 3 у = 2.

{-5а + 6Ь = с {^а-5Ь = -5а + 6Ь [4а -5Ь = с ^ [4 а -5Ь = с

а ^ - Ь

44.— Ь-5Ь = с

- \ \ c x - 9су = с<»11л: + 9у = -1 — уравнение прямой. Ответ: lLv + 9; = - l .96

а = - \ \ с Ь ^ - 9 с

4)8flf +1 • 6 = с

- 1 а - 1 Ъ ^ с+ С:>4

%ал-Ъ-с Ъс

-27

г? = ~

а =

5с-27

4с27

4с 5с— д:-— д' = с о 4д:-5> = 27 — уравнение прямой.

б) Параллельно Ол: = -7. Параллельно Оу: л: = 4.

Ответ: 4х - 5> = 27.

461. а) Параллельно Оде: > = 6.Параллельно Оу\ jc = -5.

462.1) 7;c-y = 3<=>> = 7jc-3=>;t = 7;2) ^ х - у = 5<^ у ^ А х - 5 = > к = А\

3) Зх + 2>; = 1 о у = - |- jc + i= > ^ = - | ;

4) 5дг+2у = 2 о ; > = - |х + 1 = > * = - | .

4 6 3 .1) Пересекаются; 2) пересекаются; 3) параллельны;4) совпадают; 5) совпадают; 6) параллельны.

464.1)4 x - 3 y = 2 < ^ y = j x ~

^ с 4 5S x - 6 y = 5 <;> У - -гх — 73 6

=> параллельны

2)Ъ х -2 у = 1 < ^ у Л х - 1

6 х - 4 у = 9 < ^ у = х - ^параллельны

3)-2х + 5д = 10 о Д' = ул: + 2

З х - 4 у = S o у = х - 2пересекаются

4)

5)

-4дс + 3д = 6 о у = —х + 2

5 х - 6 у = П ' » у = ^ х - 2 6

6 х - 4 у = 10 о 3jc-2>^ = 53x -2>^ = 5 c5 3;c- 2 jv = 5

4-12297

пересекаются

совпадают

97

Зх - 2> = -7 <=> -Зл: + 2у - 1 - в х + 4; = 14о -Ъх - \ - l y - l

2х + у = \

6)

465. 1)

совпадают

<=>4х + 2у = 2 [3jc = -6 \ х = -2x + 2y = S \ x + 2 y - S U = 5

^2х + 3у = 9<=>

л: + 2 V = 8 Ответ: (-2; 5).

2 х - 4 у = \6 J -7 y = 72х + 3у = 9 ‘ [2д: + 3^ = 9

Ответ: (6; -1).466. 1) Найдём координаты точки М — середи­ны отрезки ВС:

;с = ^ = 0 ,5 , у = ^ = 0,т.е.М (0,5;0).

Подставим в уравнение ах + Ьу = с координаты точек А и М:

а - 2 с

у = - \ х = 6

2а-\-5Ь-с 0,5flf + 0*Z? = с 6 = - | с

2 с х - —су = с <=>

о Юл: -З^ = 5 — искомая прямая. Ответ: Юл: - 3 = 5.2) Найдём координаты точки N — середины отрезка С:

jf = ^ = 0 , у = ^ = Ъ,1Л.Щй-,Ъ).

Подставим в уравнение а х b y - с координаты точек BwN:

Ъа-Ь = с 0-а + 36 = с

* = § 4 с

а = - с

О 4л: + 3> = 9 — искомая прямая. Ответ: 4дг + Зд' = 9.3) Найдём координаты точки L — середины от­резка АВ\

Подставим в уравнение ах + by = с координаты точек С и L:{-2а + Ь = с [2,5а + 2Ь = с

98

-4а + 2Ь = 2с 2,5а + 26 = с

-6,5<ar = с6 = с + 2a

с = -6у 5а ах-4,5ау = -6,5а о 2 х - 9 у - 1 3 —

6 = -4,5а искомая прямая. Ответ: 2л: - 9у = 13.

467. Найдём координаты точек N,M,L — середины сторон АВ, ВС, АС:

N(3;-2),T.K. х = ^ = 3, у = =

М -2; 0). т.к. х = ^ = - 2 , у =

2-4 + 4 = 0;

1(1;2),т.к. х = = 1, у = Ц ^ = 2.

Найдём уравнения средних линий, подставляя координаты N, М, L в уравнение ах + b y - с .

I.NM:Ъа-2Ь-^с -2а = с

сс 5=>- —- j c y = с о 2 х + 5 у - - 4

t 5с 2 46 = - -

[а + 2Ь =

4а - 2с с - а <=>

с^ " 2

* = f

3.LM:а + 2 Ь - с -2а = с

^ х ^ ^ у = \ о { 2 х + у = 4

с ~ 2 с Ъс=> ~ х + ^ у ^ с ^ 2 х - Ъ у ^ - 4

Ответ: 2х +5у = - ^ ; 2 х + у = 4 ; 2 х - З у = -4.

468. 1) С осью Ох:

С осью Оу:х==0

у ^ О2 х - 3 0 = 5

х = 0

у = 0 х = 2,5

О Д 2 ,5 ;0 ) .

2 - 0 - З у = 5 у = - 1 - V з ;

2) С осью Ох:

А*

у ^ О 3jc + 4-0 = 2

<=>3; = 0

2<=>А” 3

(1 »]99

с осью Оу:х = 03-0-4>; = 2

д: = 0 Ь = 0,5

oJ?(0;0 ,5).

469. Подставим координаты точек А и В ъ уравнение ах + by =3 :

1)Ь = -3 а = в

2)-4a + 2Z> = 3

[3о + 0-г> = 3 Ответ: 1;3,5.

2 f l + 3.6 = 3 Ответ: 6; -3.

470.1) Найдём уравнение прямой, содержащей диагональ АС\

0^а + 2Ь = с \b = Q<=> =>

0 а - 4 Ь = с [с = 0ах = 0<=>л: = 0 — искомая прямая.Найдём уравнение прямой, содержащей диагональ BD:

А = 16 = 3,5

с = 0

с = 0-2 f l0 -6 = c Ответ: jc = 0;y = 0.2) Найдём координаты точек M n N — середины сторон АВ и CD:

0 + 4 2 + 0Л/(2; 1),т.к. ;с г, у 1.

А7/ 1 л\ 0 — 2 , —4 + 0 -М(-1;-2),т.к. ;с = - ^ = - 1 , д, = —_ = - 2 ,

Найдём уравнение прямой, содержащей среднюю линию:2а-\-\Ъ-с- 1 а - 26 = с

2с с - аЪ - - а

4а + 2Ь - а - 2 Ь

а х - а у = а о х - у = \ — искомое уравнение. Ответ: х - у = 1.

471.

3)472.1) (>’ + 2 ) '+ ( x - j ' ) '= 0 - »

> = -2

4) I2 ) (х + у У + ( x - i Y = Q o

y + 2 = 0 «■! О

x - y = 0 x = - 2О

x + y = 0

x - 3 = 0у = -3 x = 3

у у

30 X-2

- 3-

0

473. 1) 2)

Ответ: 2 точки с координатами Ответ: 2 точки с координатами «^(5,4; 2,4), 5(-2,4; -5,4). 3,6), 5(3,6; -1,6).3) 4)

Ответ: 2 точки с координатами »Ж -1,5;1,5),В(2,5;2,5).

474. 1)

Ответ; 2 точки с координатами »Ж -2; 2),В(2; 2).

2)

Ответ: 2 точки с координатамиД 0;0),В (1;1).

475. 1) 4 х ' - / = 0 »О (2х - у)(2х + jh) = О <=>

у = 2х у ^ - г х

Д 0;0),В (1;1).

2) л:'- 9 / = 0 « .о (х - З^Хд:+ Зу) = О ■»

х = Ъу x = - i y

X

^ = 3

у = - з

<=> {5х - 2у)(5х + 2у) = О о _ 2

5;с = 2у<=>

102

5jc = - 2 уо

<=> (4л: - 6у){4х + 6у) = О <=>2

^ = - - .

-Лх = 6у 4х = -6;/ 2

^ = - 3 ^

476.

У0

-1

103

477.

1)

3 ;с

2)

4 л:

4)

6)

479. О\2л: + :И^З

480. 1)2 х - у < 1

• * ' + / < 9 f - c 4 / < 1 6, y > 2 x - l | з л - ; ; > 2

лг^+У= 1 6 ^

V + / S16y < i x - 2

3)

y = 2 x - l

\ x - i y + ( y + 2 y > 2 5 3x + y < 2

( x - l f + ( j > + 2Y >25 y < - 3 x + 2

У^ т ш

( x - l f + (y + 2 f = 25

4)

y = 3 x - 2 Ux + 2 y + ( y - i y >36 \2x + y < A

{x + 2 f + { y - \ y >36 y<,-2x-k-4

<=>

.v = -3x + 2(дг + 2)" + (у-1)

у = -2x + 4

481. 1) {8}. {9}, {8; 9}, 0 ; 2) {!}, {2}, {1; 2}, 0 ;3) {а}, {d}, {с}, {а; cf}, {а; с], {d, с}, {а; rf; с}, 0 ;4) {т}, {п}, {р}, {т;п}, {т;р}, {п\р}, {т; п;р}, 0 .482. l)iWW= {1;4}; 2) JWW= {-3; 1};3) iWW = {6; с}; 4) Ш 1 = {к, I; т; р} .483. 1)/<\В= {а;Ьу,В\А={е}; 2)A\B={f}-,B\A = {a;d);Ъ)А\В= {4;6};SV4= {9}; 4) v4\S= {3; 7}; = {2; 4}.484.1) M U /C ={o;fe;c;rf;e}, М Г \ К = {b-,c;d);2) М \ } К = {a-,b-,c-d-,e-,k}, М ^ К = {a-,c-e}-,3) Л /и /:= { -3 ; -2 ; -1 ;0 ;1 } , Л /П ^ = Н ; 0 } ;4) Л /и л := { -5 ;-3 ;-1 ;1 ;2 ;3 } , М ( ^ К - 0 .485.1) [-1; 3]U[0; 4] = [-1; 4]; [-1; 3]П[0; 4] = [0; 3];2) [-6; -2 ]U [-4; 2] = [-6; 2]; [-6; - 2]П И ; 2] = [-4; -2 ] ;3) [-6; -3]Ut-3; 0] = [-6; 0]; [-6; -3]П [-3; 0] = {-3};4) [-5 ;-2 ]U [-2 ;2 ] = [-5;2]; [-5;-2 ]П [-2 ;2]= {-2}.486.1) т|:5 = 5; 2)11:17 9^17;3)г[:23<10 4 ) i i :1 5 ^ 7 .487.1)и={3;6;9;12;13;18}; 2) и = {1; 3; 5; 9; 15; 18};3) 4)я=^{-3;-2;-1;0; 1;2}.

X = -3(д: + ЗУ = 0

\ х ^ + Х - 6

Ответ: х - 3 .

х ^ - 5 х + 4 = 0

(х + 3)(х-2) = 0;с = -3 о X = 3 jc = 2

2);c -8 jc + 16 = 0

3)

4)

Ответ: х ~ 4 ,х ^ - 4 х + 4 < 0 х > 0

Ответ: х ~ 2 .х ^ - 2 х + 1>0 (л: + ЗУ =0

Ответ: д: = -3.489. 1) Ложно, истинно; 3) ложно, истинно;

(;с-4)(;с-1) = 0 (;с-4)^=0

( х - 2 У < 0

х = 4х = \ <=> jc = 4

jc = 4

л:^0

-IV > О{ГЛх = 2

о х = 2Ьс>0

<=> л: = - 3

2) ложно, истинно; 4) ложно, истинно.

107

490.1) Число 2; 2) Число 1;3) Ромб; 4) Треугольник.

491.1) Ш = (~2)У + (-2 - 3)' = V25 + 25 = 5V2 ;

2) JWW = ^(1 - (-5))' + (-5 -1)' = V36+36 = 6V2 ;

3) A4W = V ( 0 - ( - 5 ) ) 4 ( 2 - ( - 4 ) ) ’ =VsT;

4) ш = ^ ( - б - з у + ( - з - о у = y j w = i y / i 0 .492.1) + / = 6,25; 2) ;с + / = 2,25.493. 1) (д: - ( -4 ) )Ч (>< - 5) = 3 о (х + 4) + (у - 5) = 9;

2) ( ; с -2 )^ + (у - ( -6 ) /= 4 = о ( ;г -2 )Ч ( ;< + 6)^=16;

3) (X- 0 , 5 f + ( у - ( - \ ) У =6^ ^ { x - Q , 5 f +{у + \У =36;

4) (х -(-1 ,5 ))Ч (> --(-3 )У =5= о ( х + 1,5)Ч(>- + ЗУ = 2 5 .494. \) \^ + (3 - i f - 2 => А принадлежит;1 + (2 -2 )^ = 1 0 + ( 1 - 2 ) “=1

В не принадлежит; С не принадлежит;

(-1)^ + (1 - 2) = 2 => Z) не принадлежит.2) (1 + 1) + (3 - 3) = 4 => А не принадлежит;(1 + 1) + (2-3)^ = 5 (0+1)^ + (1-3)^ = 5

В принадлежит; С принадлежит;

(-1 + 1) + (1 - 3) = 4 => В не принадлежит.495. Подставим координаты точек М и И в уравнение ах + by = с:

7а + 0 Ь = с1) О а - в Ь - с

с" = 7

мая прямая.

О • а - 4Ь = с2)

‘ = - 1

‘ =-1

“■f

= с о 6 х - 1 у = 42 — иско-7 6

С с—;с— V = с о 4;с- 57 = 20 — иско- 5 4

мая прямая.

Г-8а + 106 = с \ l a - 2 b = c

-8 а + 106 = с Ъ 5 а - Ш = 5с

4

t 15* = 54^

108

4 15=>-г:гсх + — су = с о о 8л : + 15; = 54— искомая прямая.Z

4) 6 а - 9 Ь - с -7 а + 5Ь = с

42а-636 = 7с -42а + 306 = 6 с

. 136 = -3 3 с

14. = - 3 3 с

14 13=> —у ^ с х - ' : ^ с у = с <1> 14jc +13; = -33 — искомая прямая.

496.1) 3x-2>> = 5«:>^ = | j t - | = > * = | ;

2 ) -4*+3j' = l o > ’ = j j c + j = > t = y ;

3) | д с - | = - 1 о ; ; = |д : + 2=;-* = | ;

4 ) | + | > ' = 1 о > = - |д = + |= > Л = - | .

497.*+;»;= 1 и2дс + 2 ; /= 5 ;2 1 -4 у = Зи-дг + 2;/«4.

498.3^+^^ = 2, j+ ;> = 2 .

109

5)

х ^ + / = 2,25

2)

. у i

и

■

-2 0 X

(ЛГ-4Г+ 0 + 1,5Г = 4

111

Проверь себя!1. 1) ^ U 5 = { - 2 ; - l ; 0 ; l ; 2 ; 3 } ; ^ П г = { 0 ; 1 } ;2) [-7; 2]U[-3; 1] = [-7; 2 ] ; [-7; 2]Л[-3; 1] = [-3; 1].2. 1) 100 < 32;2) число 3 не является четным числом.3. (;с-(-2))^ + ( у - 5 У о {х + 2 f + { у - S f = 49.

4. АВ = ^ { - 6 - (-8))' + (-2 -1)^ = л/4 + 9 = -Ju .

2)

501.1)Л - { х \

Щ Л х- л У + {у + гУ = А

5 2 ,д гб 2 }« .{-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 }

2)

3)

5 = {л ::л :'+х-6 ,;се2}<»{-3; 2}^ U 5 = { -3 ; -2 ; - l;0 ; l;2 } , A P i B = {2}.

А = [ х Ц < 3 , х е 2 ) < » { - 2 ; - Ь , 0 ; \ ; 2 }

B = { x ; x ' - 2 x - 3 = 0 ,x e Z } o { 3 ; - l }^U B = {-2 ;-l;0 ;l;2 ;3 } , ^ П 5 = { -1 } .

А = { х : х ^ - 5 х + 6<0} = { х : ( х - 2)(д: - 3) < 0}В = {х:|;с1<2} = { -2 ;-1 ;0 ;1 ;2}

^ U S = [2 ;3 ]U {-2 ;-l;0 ;l} . А ^ В = {2).>4 = { х : |х - 2| < 5} = {jc: л: - 2 < 5 И л: - 2 > -5 } =

= {л::;с<5ид:>-3} = (-3;5)5 = {a::|jc- 1 | < 3 } = {jc: jc- 1 ^ 3 ha: - 1 > - 3 } =

= {jc: x < 4 h ;c> - 2 } = [-2; 4]^ U 5 = (-3;5), ^ П ^ = [-2;4].502. 1) Ложно, истинно; 2) ложно, истинно;3) ложно, истинно; 4) ложно, истинно;112

4)

5) ложно, истинно; 6) ложно, истинно;7) ложно, истинно; 8) ложно, истинно.503. 1) Если число х + у чётно, то числа л: й> чётны. Ложно.2) Если аЬ> 0 , т о а> О и Ь> О, Ложно.3) Если сумма острых углов треугольника равна 90®, то он прямо­угольный. Истинно.4) Если отрезок параллелен одной из сторон прямоугольника, то этот отрезок является средней линией треугольника. Ложно.504. 1) Пусть К, L , M — середины сторон АВ, ВС, АС, тогда:

д - 3 ; 1),Т.К. х = ^ = - 3 , у = =

Ц -А ;-2), Т.К. X = = - 4 , У = = -2 ;

О твег:(-3;1):(-4;-2);(-1;-1).2) Пусть К, L , M — середины сторон АВ, ВС, АС, тогда:

Д -2;3),т .к . ;с = Г ^ = _2 , =

£(1;2),т.к. д : = ^ ^ = 1,^; = ^ = 2;

М -1; -1), Т.К, X = = - 1 , = 2 ^ = -1 .

О твет:(-2;3);(1;2);(-1;-1).

505. Координаты точки М вычисляются по формуле х - ,

У 4* Уу - , где (jfi, jvi), — координаты точек Ам В , имеем:

5 = — — i o x , = 1 31) =>5(13;-15). Ответ: (13;-15).

-7 = -^ < = > У з = -1 5

-5 = ^ < ^ * . = - 1 92) =>В(-19;13).Отвег:(-19; 13).

3 = — i ^ « 7 , = 13

506. Пусть координаты искомой точки (2; у).Запишем условие равноудалённости:^(3-2)^ + (1 - ;;) = V (-2- 2У + (2 - y f о 1 + (1-у)^ =

113

= \6 + ( 2 - уУ <=> 14-1 - 2> + = 16 + 4-4д^ + >" <=> 2> = 18 <=> V = 9=> (2; 9) — искомая точка. Ответ: (2; 9).507. Пусть координаты искомой точки (л:; -3).Запишем условие равноудалённости:

^ (4 - .т Г + ( -3 - (3 ) / = ^ ^ \ - х У о

(-jc) = (I - д:)'+ 36 о д:“ - 8л: +16 = д:'- 2л + 1 + 36 о6х = -21 О л: = -3,5 => (-*3,5; -3 ) — искомая точка. Ответ; (-3,5; 3).508. Координаты центра окружности — середина гипотенузы, ради­ус — половина её длины.14 0 - 2 , 6 - 4 , , ,1) X = = -1 , V = = 1 => (-1; 1) — центр окружности.

r = ^ A B = ^ - ^ ( - 2 - 0 y + i - 4 - 6 f = i ^ / i ^ = ^ ^

Следовательно, (д; + 1) + (у - 1) = 26 — уравнение окружности. О твет;(х+1)Н (у-1)^ = 26.

—6 + 4 - 2 + 0 - / 1 1 \2) х = — - — = - 1 , у = — = 1 => (-1; 1) — центр окружности.

r = j A B = j , J ( - 6 - 4 y + ( 0 - 2 y = i^ /i04= ^ /26

Следовательно, ( х + \ f (у - \ f = 26 — уравнение окружности. Ответ:(х+1)“ + (у -1 ) ' = 26.509. Пусть координаты центра О (О, т). Получим уравнения из ус­ловия задачи:(-2 - 0) + (3 - w) =3^ <=> 4 + 9 - 6w + = 9 о - 6w + 4 = О

£> = 3 6 - 16 = 20 = = г±у[5

Следовательно, (О; 3 - y fs ) , (О; 3 + yfs) — искомые центры.

Ответ: (С; 3 - Vs) ,(0; 3 + Vs) .510. Пусть координаты центра 0(«, 0). Получим уравнение из усло­вия задачи:(4 -w )'+ (-3 -0 )" = 4' <^>16-8w + « 4 9 = 16<=>w^-8w + 9 = 0

D = 6 4 -3 6 = 28; п,, ^ = 4±>/7

Следовательно, (4 - л/т; о), (4 + V?; о) — искомые центры.

Ответ: (4 - V?; о), (4 4->/?; о ) .

114

511.

1)х^+у^ =1x " + y + j c + jv-2 = 0 [1 + х + >>~2 = 0

= 1<=>

2jc + 1 = 1(у = 1 - х

х = 0Х = 1 <=>о

2(х-1)х = 0у=^1-х

Ответ: (0; 1);(1;0).

2) f x 4 / = 4+y^ +x + y - 6 = 0 [4 + x + 7 - 6 = 0

y = 2 - x h = 2 - x ^|2 (л :-2 );с = о'^

х ^ + ( \ - х У ^ \

jc = 0

y = \

x = l y ^ O

y ^ 2 ^ x x ^ + i 2 - x f = 4

x ^ 2jc = 2x = 0 <=>

y = 2 - x

y - 0

x = Q у = 2

Ответ: (0; 2); (2; 0).512. Пусть К, L , M — середины сторон ЛВ, ВС, АС.Найдём их координаты и подставим в уравнение ах-^Ъу-с' .

\)К{-2; 1),т.к. х = ^ ^ = - 2 , у = ^ = 1;

Д-1,5;-Ю,5),т.к. х = ^ ^ = - \ , 5 , у = = -0,5;

М ( 0 , 5 ; 0 , 5 ) , Т.К. х = - ^ = 0 , 5 , ; ; = ^ = 0 ,5

Ж 1 " -^ = " [~2а + Ь = с

а = —2с Ь = -Ъс

-2сх-Ъсу = с<^ 2х'\-Ъу = - \

f-4cf + 0-^ = c ВМ: <{ <:>

[0,5а + 0,56 = с

AL:0 а + 2Ь = с

<=><-1 ,5а-0,5Ь = с

Ответ: 2х + 3у = - \ ; х - 9 у = - 4 ; х - у = 2.

с4

i = 4

С 9с— Х + — у - С С : > Х - 9 у = -4

\ - § х ф = с ^ х - у = 2

115

2)Д 2,5;-1,5),т.к . = 1 ^ = 2 ,5 , j, = 2 = - l ,5 ;

Z(-0,5;-1), т.к. X = = -0 ,5 , = -1 ;

М 2;0 ,5),т.к. х = 1 ^ = 2 , ;; = = 0,5

СК:~а + Ь = с {-Ъа + ЪЬ = Ъс2,5а-1,5/. = с '^ 1 5 а -3 6 = 2с

« = | с

ь Л .

^ с х + ~с>' = с <=> 5л + 7;/ = 2

ВМ:

AL:

0- ЗЬ = с 2^7+0,56 = с

5а + 0 Ь = с -Оу5а-Ь = с

о

^

\ 1 = > ^ - ~ 1 у = с < . Ъ - 4 у ^12

" = Т2

д - £

. 11с 5 10-^* = ” 10

Ответ: 2 х - Н у = 10; 7 х - 4 у - 12; S x ' ^ l y ^ 2.

513.1)

2)

- 3 x - y = \ ^ f - 9 x - 3 y = 3 ^ 5х+3у = 5 l5;c + 3;/ = 5

jc = -2

> = 5

Лх + у = -2 Sx + 2y = -4 х = 1З л -2 у = 15‘ З х - 2 у = \5 ^ у ^ - 6

. Ответ: (-2; 5).

. Ответ: (1;-6).

х = 5514. 1) (д:-5)^+(2>; + 1 )^ = 0 о

Ответ: точка с координатами '

2) (Зх + \ У + { у - 4 У = 0 ^ " = - 3

^ = - 2

Ответ: точка с координатами

116

у = 4

3)(дс + 7 ) (> -6 ) = 0<=>|^ ’[ у = 6

Ответ: две прямые: х = - 1 , у = 6.

4) (jc-8)0; + 9 ) = 0 o

Ответ: две прямые: = -9 .

J jc = 8

\ у = - 9 '

5) З х ^ - 4 у ^ = 0 о { у / 3 х - 2 у ) { у / 3 х + 2 у ) = ^ 0 о

Ответ: две прямые: у » У ~ *

6) 9х^ - 5 у ^ = 0 о { З х - >/5;;)(Зл4-yfSy) = О о

Ответ: две прямые: у = - ^ ; с , у = *

- f

515. 1) 2)

117

5) 6)

Л + 0 ,5 )4 (у-1,5)2 = 9

516.1)

х ‘ + (у + 2У = 4 Ответ: 2 точ1си. 118

}’ = х+1

4 x - 2 , 5 f + (y -0 ,5y = 16

8)

У

Щ 0 Ш 4 jJ

2)

V У у

^ у У = + 2

\ 0 / 2 ^

Jf + 0 - l ) " = 9

Ответ: 2 точки.

3)

0| i 2

( x - l f + f = 4 Ответ: 1 точка.517.

x’ -1 0 ;c 4 2 6 x -1 5

_ - l x ^ + 2 6 x0 - l x ^ + 2\x

J x - \ 55 x - l 5

4)/

V " U

/ > — - ( *--2) '

(;t+ l)4 (y + 2 / =

Ответ: 2 точки6)

У‘

[.

>- = л/дс + 1_

1 -у -2 -1

/\ x + 2 f + i = 9

Ответ: 1 точка.

x - 3

0

- x ^ - 5 x ^ + X + 1 4

- x ^ - 2 x ^ _ - 3 x ^ + x

2) - 3 x ^ - 6 x

x + 2- х ^ - Ъ х + 1

Ix+14 7л:+ 14

119

д :^ З д:^ -5д:'-5х -4'х^+4х^

- х ^ - 5 х ^- х ^ - 4 х ^

х + 4х ^ - х ^ - х - \

3)- х ^ - 5 х ' - х ^ - 4 х

- х - 4- х - 4

О

2х^~ х ^ + х ' ^ - х - 5 2х* + 2х^

х + \2х’ - 2 х ^ + 4 х - 5

- З х '+ х ^'-3х^~3х^

4) 4х^ - X '4х^+4х

- 5 х - 5- 5 х - 5

518. 1)2л: -9л: + 7Л -6 = 02 -9 7 6 Xi=2

=> Х2

1" - - 2

2 2 -5 -3 0

3 2 1 0

2)-6л:^-д:" + 5д: + 2 = 0-6 -1 5 2 X, =1

1 -6 -7 -2 0 1

2

12

-6 0

519. 1)

2)

х + у = -1 Х’у = -72

о

х = 6 у ^ - 1 х = -1 у ~ 6

=50 \х^ -¥у^ + 1 х у ^ 0\х у = -25 ^ ^ > - = -25

(х + у)^ =0 ху = -25

120

\ х - ^ - у<=>i , <=> Ь '= 2 5

;с = 5 >; = -5

д: = -5 j; = 5

520

3)

243 332 ""2

2) f l - & h4) 4 16;t* 2х^

■ n f i - iI 86‘ _ 2b^ ,

\343a^ 7a’ ’ ^ 8 1 / ~ ’

521. 1) (з^/20 + 7^/Г5-лУ5)•^/5=6 + 7^ /3-l = 5 + 7^/3;

2) ( ^ 7 - Ш + ) - ^ 7 = 1 - ^ + = 3 - ^ 2 ;

3) ~ ^ ^ ~ ~ ’

4) 7 ./iJ -> /7 + 0 ,5 > /3 4 3 = — - V 7 + — = 7л/7-Т 7 .V 4 2 2

522.1) ■“ (U j

VЧ[0

Vso 3 ' v 2 V e c T b >

2) (0,3)^ V (0,37)^ <» (0,3)" V (0,37)" => v есть >

523. 1) > / ^ = -3aV ^ ; 2) y f l s T ^ = ;

3) = - l a b ^ 4 ^ ; 4) V l2 1 ^ ' = 1

524. 1) x>/5 = V i 7 ; 2) x>/3 = - > / з 7 ;

3) -ал/з = ->/За" ; 4) -aV s = Vsa" .

525Л) =2<=>x = 4 ;2 ) ;c' = 3 <=> = 3“' <=>;c = | ;

3) = 8<=>jc = ~ ; 4 ) д: = | ' = 0 о ; с = 0 .

526. 1) = -5 Vs = ;/ => принадлежит.

2) Д' => не принадлежит.

121

527. 1) у / \ - 2 х = ^ 1 -^ = = у => принадлежит.

2) ■Jl-2x = ^ l+ -j = -\/2 => не принадлежит.

528. 1) >» = л/-х'-Зд: + 10DO): -д:' -Зл: + 10 > О О (д: + 5)(дг- 2) < О о -5 :£ .г ^ 2

3) y = ^ J ^ ; D ( y ) : 6 - х :а Оо х :^6

4) y = ^ J ^ ^ ^ ^ ; D ( y ) : 2д: + 1 5 > 0 о д :> -7 ,5

5) < = ^ 0 3 ^ ;/>()'): 0,5.г + Ы 0 о ^ ^ - 2

■Jx . (л:_> О ^ 1 х > 0

4 Jf

Л’ - ^ /

6

ч 6 X

- 6 - Ь

к- 6 - 1

530. Нет, т.к. 107 не делится на 3.531. 1)а„ = и, л>1 2)а„ = 3", и>1532.flf2 = (3 - 1 + !)• l= 4 ,a j = (3-2 + 1)-4 = 28,04 = (3-3 + 1)-28 = 280533. l)a„ = a ,+ r f - ( n - l ) = 1 0 + 6 -2 2 = 1 4 2

V = fL±£2-.„ = 1 0 ± ^ .2 3 = 1748 ;

2) o„= a ,+ rf(w -l) = 42 + i n = 47,5

0 |+^ . 2

42 + 47,5

3)о„ = а, + ф - 1 ) = 0 - 2 ' 6 = - 1 2 , 5 „ = - ^ t ^ - n = ^ ^ - 7 = -42;

1 . 2 354 )a ,= a ,+ r f (n - l) = i + | . 1 7 = ^ = l l |

i+ 3 55 = £ l . „ = 3 _ ^ . l g = 108.

534. S. a,+a„ „ . 2+120 20 = 1220

535. a " = i : ; ^ , a, - n _ l-2(w + l) l - 2 n ._ 2 _ .3 3 3

последо­

вательность — арифметическая прогрессия.536. l ) b „ = b r q ^ = 5- (-10)’ = -5000; 2) b, = b„- =-5000 • (-10)'^ = 5

537. = = 3 -2^ = 48; =

1 -^ 1 -5123

3)A„ = i , - 9 ’" ‘= 8( i l

= i . с -M 1 z 5 28 ’ " 1 -a

- a '' 4

= S 5 , i o 2 i8 8 ’

4) b„ = b r gr"-' = 1 • (-3)" = 81; 5„ = = 61.

\ - q 1 -2 4538. S„ =

539. v = > /^ » 1 6 7 9 м/с540. o' =V2,45^-1,78' =1,68 м

_3д:’ -6л:''+ л-Чл^+3 3х’ -2 л " -3 х ’

^ = 1 5 l

-Зд:"+4д:’ +д: ■-Здг"+3х’ +3х'

- х - \З х ^ - З х ^ + х - \

541. 1) У -2 x ^ + 3х^ - Х - X

_ - х ^ +Х + 3 - х ^ +х + \

Ответ: нет._2д:Ч4л:^+Зд:Ч2д:'+4

2х^+2х^+2х^

2

х^ +Х + 12 х ^ + 2 х ^ - х + \

2х"^-^х^+2х^2х^+2х^+2х^

2) У +4х^ - Х - X

_х^ + х + 4 х^ +х + \

Ответ: нет.t, 1)д: - 9 x U 25х^ -- 15jc --26х + 24 = 01

1 -9 25 -15 -26 24 => , = ± 1 ,1 1 -8 17 2 -24 0 JC3 = 2, 4 = 4 JC5 = 3

-1 1 -9 26 -24 02 1 -7 12 04 1 -3 0

124

2) х’ + 3 / - - 1 + 4х + 12 = о1 3 -5 -15 4 => JC,2 =±l,Jf3 = 2,

4 = -3 , Xs - -21 1 4 -1 -16 -12-1 1 3 -4 -12 02 1 5 6 0

-3 1 2 0

V

о

2х+3у + :^ = 3 |2x+3>^ + xv = 3

у - 2 - х J_jc2^jf+3 = 02дс + (3(2-дс)+дс(2-д:) = 3 ^ и = 2-д:

Л = 1+^Яз 2

3 - ^2

1—Лз2

з+>Дз

2)У + 2 /+ 3 ; 0 ; = 28 |3 (л :Ч /+ 2 ;о < ) = 482 * Ч /+ З ; 9 ' = 2 0 ‘ |2 л : '+ /+ З д у = 20 ^

f x + y = 4

| ( х + >) + дс + дсу = 20

jc + > = -4(*+;?)^+д:’ +дЗ» = 20

( х +у У= 1 6 2х^+у^+3ху = 20

у - 4 - х х ^ +х (4 -х ) = 4

Ciу = - х - 4

х ^-х (4+ х) = 4

4х = 4у = 4 - х

M jc = 4 U = -JC-4

I”13

JC = ~1j; = -3

544.1) ^ 1 = Ы = ^ = 1 :Л-£> flf-Z»125

' a - b a - b a - b ’

V _ ^x^+x + l

+Л- + 1

Ix + л: +1

|л:|>У с +JC + 1

4) fx '+ x + lV ? + x + I -Jx + X + 1 |.x|Vat +ЛГ + 1 ■*

545. ф - 4 ^ = ^ (> /3 -2 )' = |> /3-2 | = 2 -л /з ,т .к . 2> ^ /з .

546. Пусть xi > ;С2 > О4 4 4(jCj - a:,)(jCj + a:|) ^2 2 " > 2 2 2 x ; - x ^ <-^2

функция убывает.

547. 1) ( ;с -2 ) (д : -3 )> 0 о 2 3

2) jc - бдг > О о д:(л: - 6) > О о +

3) -2у12х + 2 * 0 < ^ { х —1г^

4) 2 - S - +2 ф О о х ~2у5 х -3 :^0

D = 4 - 3 + 4 - 3 = 2 4 = > x , j = ^ i ^ ^ ^ = > /3±V 6

л:V 3 +V6

V3->/6

a: + 5

6)д:'--2л:

>0<=>

-5(;c-3)(x + 3)

x {x -2 )

0 1

>0C:>

-3

+

2 3126

548.

1)

\

to

У =л: + 1

2) yjx + 3 = 8 о л : + 3 = 64<=>д: = 61;

3) S T T i = > /Г Й «

4) V ? + i2 =x<=>

х > \ =>;cG0 ;

x '= j c 4 l 2jc>0

jc '-jc '-1 2 = 0 л:>0

127

|(лг^-4)(л:ЧЗ) = 0 (л:>0

х = ±2 х > 0 => х = 2;

5) ^6х~х~ =х<=>6х-х~ - х ^ <=> :(jc + ;с-6) = 0 о <=> х(х + 3)(д: - 2) - О <=> X| = О, л:2 = 2, х^ = -3;

'3-л: = 1 + 3д:3 -;с > 0

6) л/З-л: =^1 + Зд: . Л 12 ^ х = ~ .

х < 3 ^

550. Пусть а\ - 800 M,d = -25 м. Составим уравнение:

5'_ = 2 a. + d(n- \ )_ 1 w o 5700 = 2-800-25(л-1) п <=>

-25п^ +1625л- ^ = 0 о п ^ - в 5 п + 456^0=> п = = 114,8 .400Ответ: за 8 ч.

551.а ,+ « 5 = -

72

2 7 + 4с/ = - 3

{a,+2d)(a,+3d) = О

a,+2d=^-

a ,+2d = -

a,+2d = — 12

12 12

» ' - r “1 . 1

/ = - 41

a, = -

. Ответ: 39-j.

552. ^ M l - . ) = 35 ^[b, - 6 , = 560 [6,{ \ - q ) . q ^ = 560

35560

6,(1-9) = 35

q = ±4 *,(1-9) = 35

q = -4 6, = -7

Ответ;-7 ;-28; 112;-448 или - l l | ; - 4 б | ; - 1 8 б |; - 7 4 б | .

128

553. S,l - q

18201-3

<i>6,-364 = 1820oZ^, =5

65 = 5 • (7 = 5 • 3" = 405. Ответ: 5; 405.554. a, a + d, a + 2d — члены арифметической прогрессии a - 4 , a + d - 5 , a + 2 d - 2 — члены геометрической прогрессии

(a + d - S y = { а - 4){а + 2d~2) а + {аа + л?) + (с/ + 2d) - 39

a^^-d^^-25 + 2 a d - \ ( ^ d - \ 0 a ^ a ^ - A a - ¥ 2 a d - ^ - 2 a - ^ ^3(а + с/) = 39

d ^ - 2 d - A a - ¥ \ l \ a ^ n - d a = n - d \ d ^ + 2 d - 3 5 = 0

Ы .-l\а = 20

d = 5 а = 8

20,13,68,13,18

Ответ: 20, 13,6 или 8, 13, 18.

5 5 5 .1 = -L + - L + - L » l = i ± i ± l R 24 12 32 Л 96

Л = ||< » Л = 6 ,4 0 м .

556.1)Я0,5) = 0,125;Я1,5) = 2,375; Х2.5) = 1,625;ХЗ,5) = 3,875;2)Х0,5) = -6,5625;Х1,5) = -2,8125;Я2,5) = 0,9375;ХЗ,5) = -1,3125;3)Я0,5) = 7,5;Я1.5) = 3,7;^2,5) » 2,64,Х3,5) = 2,5;4)Х0,5) » 3,27;Х1.5) « 3,57;у(2.5) » 3,57;^3,5) » 3,27.

557. 1) V5 + V2T = ^5 + 2 - ^ =

2)

' 7 2 * ^

558. 1)7 s

4(a + l) + ^ayfa - 1 j -Л1

5-12297129

1

1T s

J L

\Tss

T s

i I

f - ^ 34(a + l)+ o 2 - l - { 2 ^ )

i4a + 4 + a - 2 a ^ +1-8^2

i ^2 a - 2 a ^ +1 4 4

>/5

0^-1

5a -10e2+ 5

= \ - a ^ ;

= 0’ + a ’6’ + 6 ’ - o ’6’ = a ’ + 6 ’ 559.

130

560. Пусть это числа а\, сц, Лз, <зг4, тогда:

+ ^4= 11,^2 «3

2 2 - ЙГз + 4 = 1 1

flf| +«4= 11,^2 «3 = 2, =< 2 ’ 4

^ + «3=2а.2 = 2-^ 3

а ^ - 1 + Ъаа] + 3arJ + 7^3 = 14 + 6 3 о

«2 = 2-^ 3 7 4 49

4 - З дз+ 7, =11

(7з +«3*04 = 2 4 С:> «2 =2-^3

а, = —

=>а, = 11 -0 4 =

4 3 +Лз-14 = 0 «4 = 7 + 3 3 <=>aj =2-0 ,

1

" з= -2аг4 = 1 (=> а, = 11 - £/4 = 10)flfj = 4 : '■ ..... • I U

561. Пусть ai, ^2» «3— эти три числа, тогда: а\-^ аг-^ а - 78, Д2 = Л| + 2с/, огз = от, + 8i/; = от, • 3

Uл, + <3, + 2с/ + йг, + 8с/ = 78

(a,+2rf)'=(a,+8^/)-a,<=>

d ^ - a , d ^ Q Зл.+10с/ = 78

\d - а .

За, + Юс/= 78

af + 4с7,£/ + 4с/ = flff + 8с/ог,

с/= 6

<=>

13с/= 78 ^ = 0 За, =78

-С

ЙГ, = 6

а, = 26 с/ = 0

о or, = |6, с?2 = 18, с?з = 54

о а, = СЗГ2 = «3 = 26

Ответ: 6,18, 54'^и 26, 26.562.1) 5,4 '• Л Др'З^*': 0,8)(3,14 + 0,86) : 0,25 = 1,855 • 4 : 0,25 = 29,68;2)(20,88: 18 + 45 : 0,36): (19,59 + 11,95) - 126,16 : 31,54 = 4;

,1 8 -7 5 :1 5 2 71 6 3

3) ( 5 i - 3 i i '-’ г 9 12j= /s3 2 _ 3 3 3 \ 18_£7 Ъ_^Т\ I i_ l = o-

\ 36 36/ 71 6 47 36 71 2

4) X .9 + 8 - U . + = = = Д . 36 32 10 18 4 4 4 4 4

5 « . 1) ( , ± + 20,24 2,15+ 5,162516/ 5

= 23,4 • 2,15 + 2,975 • | = 50,31 + 1,19 = 51,5;

2) 0 ,3 6 4 : :^ + A :0 ,125 + 2,5-0,8 = 1,3 + 2,5 + 2 = 5,8; Zd lo

3)(з,25-1)-6,25 (5,5-3j):5(2-0,75):| ( - 2 - 0 ,8 ) - l |

_ 2,5-6.25 1,75:5 _ 15,625 0.35 _ 5 _ » 1 3 .1,25:0,8 -,„ 7 1,5625 4,9 70 1 4 ’-2 ,8 .1

4) ,1_12

277 10

564, 1) ;c:7 = 9 : 3 o ; c = | - 7 o j c = 21;

2) 125:25 = 35:х<=>д: =

3) 144:д: = 36:3<»л: =

35125:25 144

<=>jc = 7;

36:3 12;

4) 9 i : 1 4 i = Ar:0,75«* = ^ : ^ . | o x = i ;

5) J L = M « ; t = 3 9 . 4 i 13.41 6 2 ’

6132

= - ^ < ^ х = 2 , 2 5 .

9 102) = 2 .5 1 2 0 ^

100 100

4) £ 1 £ = 1 1 : М = о,1125 ^ 100 100 ’

100 = 3000 ; 2 ) - 1 0 0 = 100 = 300;Р 3,2

4) А . 100 = . ^ . 1 0 0 = 3600. Р 0,0

2) f 100 = ^ 1 0 0 = 5%;О 90

Д-р ^ 2500 0,2 - .^ 100 100

566. 1) А.100 = - ^ р 23

3) А .100 = ^ . 1 0 0 = 3; р 12э

5 6 7 .1) ^ 1 0 0 = - ^ 100 = 20%;О 120

3) ^ 1 0 0 = ^ 100 = 5000%; 4) ^ 1 0 0 = 1 0 0 = М = 1 б |% .О \Ъ о 0,48 о 5

568.1) (-Зо^6)(-20а6^К-5о*б’) = -30а’б'®;2) 35aV c : (ПаЬ^с) = Sa"* 6;

23) (rSab*cf = - 5 a ' W ;

4) 2 4*3 2——а о с 8 8t7= -•гЛ О .

5 « 9 .1 ) (х -6 ) (5 + л ) -Д * ^ -5 ;с + 1) == + 5л - 6* - 30 - / + 5л - jc = - / + 5** - X - 30;2) (I + 7)(5 - л) - Дд:’ + 2* - 1) == - 7л + 5л: + 35 - X* - 2*’ + = -;с* - 2х* - 2* + 35;

3) (6 -З а )Ч 8 а+4-6

= 6 - баб + 9а + 8в - 26 = 17а - 6 - баб;

4)(З а + б ) ^ + 4 (* -1 а ) (б -1 а ) =

= 9о + Зба + 36 + 46 - 0 = + 46 + Зба + 36.570. 1) (-0,6)’ - 9,4 • (-0,6)2 _ (-0,6)Ч-0,6 - 9,4) = -3,6;2) 10,7 • (- ),7)2 - (0,7)' = (-0,7)2 . _ 0 7) = 4 9.3) (w - 5)(2m - 3) - 2т(ш - 4) =

= Inf' - 13m + 15 - In? + 8ot = -5m + 15 = 12, при m = у ;

4 ) ( 3 a - 2 ) ( a - 4 ) - 3 a ( a - 2 ) = 3a2-14a + 8 -3 a 2 + 6a =

= -8<j + 8 = 2, при a = -у.4

133

I -

571. 1) ( - 1 + 10 / - 25x^): (~5x^) - 3(jc - 3)(дг + 3x + 9)= гх^ - Ъ ^ + 5x-3(x^ - 2 1 ) = -2x^ + 5x + &\;2) Ы Ь ^ - 12 a V ) : З Л - b \2 + З Л ) == 36 - 4a^b^ - 2b^ - 3tjV = b - - la^b\

3) c^- b ^ = ( a - b-)(a + 6'); 4) 6'' - 9 = (6 - 3)(b^ + 3).

573. 1) l - a + = | l - | j ' ; 2) 0,256^ + 6 + 1 = (0,56 + l)^

3) 49a - 14a + 1 = (7 a - 1)^ 4) 1 + 186 + 816 = (1 + 9bf .574. l ) y ^ - x y - y - i - x = y ( y - x ) - ( y - x ) = (}’- l )(y-x) ;2) a ^ - a x - x + a = a ( a - x ) - ( a - x ) = (a - 1 )(o - л);3) 3a^ + 3ab + a + b = 3a(a + 6) + (a+ b) = (3a + l)(a + b);4) 5a - 5o5c - 7 a + 7x = 5a(a - x) - 7 ( a - x) = {5a - 7){a ~ x).575. 1) бт'’/! + 12т^и + Зот и = Ъп?п{2п? + 4m + 1);2) 2а’б - 4я''б + 2а^Ь = 2 а \ а ^ - 2а + 1) = 2а^Ь{а - 13) а - 2аЬ + Ь^-у^ = { a - b f - ^ = { а - Ь - j')(a - Ь + у ) \4) а“ + 2а^Ь^ + Ь*- 4аЧ^ = (а^ + b^ f - 4 a V == (а + Ь^~ 2аЬ)(а^ + Ь + 2аЬ) = ( а - b f (a + b f .576. 1)д: + Зл:-28=х^ + 7 д :-4 х -2 8 = (х + 7 )-л -4 -( ;с + 7) == (x -4 )(x + 7);2) 2х - 12jf + 18 = 2 • (д - 6л: + 9) = 2 • (jc - 33)2х^-5х + 3 = 2х^-2х-3 .г + 3 = 2ж (;с-1 )-3 (л - 1) = ( 2 х - 3 ) ( х - 1); А ) / + х - 2 = х ^ - х + 2 х - 2 = х ( х - 1) + 2 ( х - 1) = (л: + 2 )(х - 1).д „ .. 4-6^ (2-6Х 2 + 6) 2 - 6 .

■ ’ 46 + 26' 26(6 + 2) 26 ’6^ -9 (6-ЗХ 6 + 3) 6 + 3 .

36^-96 36(6-3) 36 ’5а' -10о6 _ 5а(а-26) _ 5а , а 6 -2 б ' 6 (0 -2 6 ) 6 ’

3;р>-21/ _ 3 у { х -7 у ) _Ъу _4х^ -2 Sx y 4х{х - 7 у) 4 х ’х ^ - х - 1 2 _ (д:-4)(д; + 3) _ х + З .

х ^ ~ \ 6 (х -4 )(х + 4) х + 4 ’х ^ - х - 2 0 ... (.У-5)(л:+4) х+4 .

х ^ - 2 5 { х - 5 Х х + 5) х + 5 ’ З х ^ - 2 х - & (х -2)(Зх + 4) Зх + 42 ;с '-З х -2 (х -2) (2х+1) 2х + 1

134

2 £ = 2 7 c1 * i^ 3 £ l . _ . e ’9c jfc> ’

5a a^. 76 5 -8 -7 Л " 2 .5)

n o 14 a ’ . o* 4c’ 2 _2 . T , 9 e \ 6a^ 9e^ m’ _ 3 2 .

' . f = ^ - * = 2 а 6 ; 4)VЗс

U ’ J 8а Ь2

2 8 6 ^ 5<3t’ 4 - 7 - 5 a ’6^ a

_ _______ ; 5 -5 -7 -3aV c ISo14c j \ lO a V j 7-2-5-2a’* V 4c

4х(дс-1) + 1 1-2ДС 4л:^-4л:+1 x - 2 _

6)

4 _ F - ; c -2 4-x^ l - 2 x

( 2 x - \ f { x - 2 ) l - 2 x 2 x - l .(2 -л Х 2 + хХ1-2х) x + 2 x + 2 ’

■У^-4(л-1). 2 - x _лг^-4х+4 l - x l .8) x - l l - x ^ x - 1 2 - x(2 - х У - (1 -х Х 1 + х) ( 2 - x X l + x)

(X-1X2-X) I ( X ).

«70 П ° ~ 3 а Ч 2 7 . 0 - 3 (a^+27)^ 0 + 3 a ^ - 9 a + 3 (a -3X a+ 3)

(a -3 )^ -a ^ -2 7 -6 a 4 -9 -o ^ - 2 7(e-3 X « + 3 ) (а-ЗХ а+3)

_ 6(a+3) _ 6 .(0 -З Х 0 + З) 3 - a ’

2) 0^+12 a + 3 _ a^+1 2-(a + 2Xa + 2) _•’ a ^ -4 a - 2 ( a - 2 X a + 2)

_ a ' + 1 2 - a ' - 5 a - 6 6 - 5 e .

3)

4)

(a -2 X a + 2 ) a ^ - 4 ’a+1 jc + 1 a + 1 x + l

a ^ - a x a { a - x ) {a-x)(a-^x){a-^\){a + x ) - { x + \)a ^ax-\-a + x - a x - a _ a^+x .

a{a - x){a + x) a(a - x)(a + x) a{a^ - д: ) ’Ъ - а Ъ-Ъ _ Ъ -а

ab-cf- a (b -d ) {b- a ) (b^a){Ъ-а){Ь + а)~а{Ъ-Ь) _ ЗЬ + З а - а Ь - а ^ - З а + аЬ _ ЪЬ-а^

а{Ь-а){Ьл-а) а(Ь-а)(Ьл-а) а{Ь^-а^)

135

580. 1) 9 8а _ 4(а + 6) %а-Ь)а - Ь а + Ь -Ь^ {а-Ь)(а + Ь) (а-Ь)(а + Ь)

8а 4a + 46 + 9 a - 9 i - 8 a АЪа-ПЬ 13

2)

(а-Ь) (а + Ь)42 !

{а-Ь)(а + Ь)7 42

(а -6 )(о + 6) а + 6 ’ 8(2а-3)

4а= -9 2о + 3 3 -2 о (2а-3)(2а + 3) (2а-3)(2а + 3)7(2а+3) 42 + 16 а -2 4 -1 4 а -2 1

(2а-3)(2аг + 3) 2 а -3

(2о-3)(2а + 3)

(2а-3)(2о + 3) 2а + 3 ’a ^ + b ^ - l a b

аЬаЬ = (а~ b f ;

4)

581.

I)

,b а ah, ^ b = ° ± t : ± . a b = a + b - \ .

ab

x - 9 x - 9{ x + i f

х - Ъ

1 (:t-3)(;c + 3 )____________( x + 2 f X (;t-3)(x + 3)x ^ - 9 x ^ - 9

x - 9 ( x - 3 f - x ( x - 9 )х(л: + 3) (х-3)(л + 3) x(x-3)(jt + 3)

_ x ^ - 6 x + 9 - x ^ +9x _ 3(jc-h3) __ 34 x -3 )(jc + 3)

2)

x(x-3){x + 3) x{x -3 ) ’a + 6 1 (^ + 2) _ 4 ^ _ 4a - 4 a - 4 a

2( 0-2) _ 2{a^-4) -a

{a~2){a-¥2) a a{a-\-2) ’34 _ a ^ - a + a b - b - a ^ _ a b - a ~ b ,

a - \ a - \ a - \-a ^ - a +a+ \ 1---- - - a + l = ----------------------= ----- r .

a-¥\ a + \ . a + l4)

582.1) ( 2ab b ^ b . ( 2ab -b{ a -2b ) Л- 2ab W - 4 b ^ a + 2b, - 2ab [{aa~2b){a + 2b))

b ia -2b) (a + 2b) a{a-2b) 2b^+ab

b ’{a-2b){a + 2b)

2)

136

2 x - 2 y }

a(a - 2b)b{2b + a)

_

b.9a

JO' Зуx - y

2 x y - y ( x + y) x ^ - y ^ Л х - у Х х + у ) ' 2y^ ( x - y ) { x + y) 2 { x - y ) ^

x y - y ^ ( x - y ) ( x + y) y ( x - y ) _ x - y _( x - y ) { x + y ) ' 3y 3y 3 ’

3) [x^-9y^ x-3yj ' x^+3;^2xy

l ( x - 3 y X x + 3y) x - 3 y jx^ +3xy

_ 2 x y - x y - 3 y ^ (x + 3y)-x y ( x - 3 y ) (x + 3y)x x ./ ( ,x-3yXx+3y)y^ У ’

4)

(x -3y) (x+ 3y )

2a + l 2 a - \2 a - \ 2a + l

lOa-5 .A 2 a + \ f - ( 2 a - l f 5 ( 2 o - l ) _ 4a (2а-1)(2й + 1) ’ 4a

4a^+4 a+ l-4 a^ + 4 a - l 5 8a 10

583.1) ^ +

2a + l 6

4a 2a + \ 4a 2a + l ' a + 3 (a + l)(a + l)-h6- (a-h3) (a- l)

a - 1 ' a + 1a^ + 2 a + 1 + 6 —a^ —2a + 3

a ^ - l10

a ^ - l -1 8= - , при a = -9;

2) b + 5 3 b + l _ ( b + 5 ) ( d - 2 ) - 3 - ( b + l)(d + 2) _ b ^ - 4 b - 2 b ^ ^ 4b + 2

б Ч 3 6 - 1 0 - 3 - * ^ - 3 6 - 2b ^ - 4

^ = - ? ’ "Ри6 = -8;

3) 0 - 2 . f o ^ - 6 o + 1 0 | 2 " 0 - 2 . Г о ' - 6 о + 10 + 2(о-3)']0 - 3 ■ 0 ^ - 9 0+3^ 0 + 3 ' (o + 3)(o-3) J

0 - 2 .

a - 3 ‘a ^ - 4 a + 4 ''

U a + 3 )(a -3 )ja - 2 (a + 3)(g -3 ) _ 0+ 3 a - 3 { a - 2 f a - 2

= - 3 ,

4) fc + l . b - 4 '

+1

b+\ . b - 4 '

&^+9 + 2 (й -4)(6-4X 6 +4)

b - 4 '6 4 26 + 1

^(6-4)(6 + 4);. 6 + 1 (6 -4 )(6 + 4) _ 6 + 4 . . 9

b - 4 ' (6 + 1) b + \ 1 6 ’

при b = 4 ~ .

137

584.1)1^1 - 3 '^ 3 - ’ = 2 - 3 ’ = -2 5 ;

2) (-6)" -8 Г ^ 27’ = 1 = 4 = 3 .(34)2 з«

S8S —____ a + 'j3« ^ -3 (а + л /з)(а -л ^ ) a - S '

3)

4)

X - SХ^-2

1i V2

д,-9д,2

Д:->/2 „ 1 .Щ х + у/2) x + >/2’' i i/" 1 V 1 Л y^-9\ y^-3 y + 3< J _ \ J

/ + 3 JД+3 у^+Ъ1 N

X^+l 1J ^

jc-1 f i V i V ijc^-l x2+l

= Г У - 3

586.1) (б-3>/5)(б+3>/5) = 3 6 -9 -5 = -9 ;

2) (> /5-l)(V 5 + l) = 5 - l = 4;

3) (Зл/5-2>/20)^5=3-5-2-лЯ 00 = 15-20 = -5 ;

4) (1 -г /з )Ч (1 + л/з) = 1-2> Я + 3 + 1 + 2л/3+3 = 8

587.1) 4 > /3 -^ з(7 1 б -л Я ) = 4ч ^ -4л /з+ 3 = 3;

2) б 7 2 -л /2 (> /2 + > /^ ) = 6 л /2 -2 -б 7 2 = - 2 ;

3) > /4 8 -7 2 7 - |> /Г 2 = 4 лД -3-У з -^ -2> /з = 0 ;

4) V 50-V 32r-iV l8 = 5 V 2 -4 > /2 -j-3 > /2 = 0 ;

5) (>/2 + з ) '-З л ^ = 2 + б 7 2 + 9 -6 > /2 = 1 1 ;

6) (2 -^ /з )Ч 2 ^ /i2 = 4 -4 ^ /3 + 3 + 4Vз = 7 .

138

1) (>/4 + V 7+V 4-V 7j =4 + V7+2^(4 + >/7)(4->/7) + 4 -V 7 =

= 16 + 2 V l6 -7 = 1 6 + 6 = 22;

2) (V3 - V 5 - V 3 + V5 ) = 3 -V 5 + 2^ (3-V 5)(3 + >/5) + 3 + V5 =

= 6 + 2 л / ^ = 6 + 4 = 10;34 1 1 _ 5 + >/5-5+>/5 _ 2>/5 _ > /J .^ 5 - Vs 5 +V5 (5 -V 5)(5+> /5) 2 5 -5 1 0 ’

4) 1 1 7-4У з+7^4У з 147 + 4>/3 7 -4 ,Я n/ 4 ^

589 n 1 I 1 3 + л/2 + 3 - л/2 _ 6 _ 6 .• ^ 3 - V 2 3 + >/2 ( з - ^ ) ( з + г Я ) " 9 - 2 " 7 ’

ЛЧ 1 1 _ 5 + > /3-5 + г/з 2Уз^5- ^/ з 5+л/з (5 -Т з )(5 + >^) 2 5 -3 1 1 ’

3H-V2 ( 3 - V 2 f - ( 3 - b ^ y3 + >/2 3 - V 2 9 - 4

9-6>/2 + 2 - 9 - б У 2 - 2 I2V2 .5 . 5 ’

.4 3 3 _Зл^+-Э-»/2-Зл/з + з Л /:7-------------- 3^=2“ ^

590.1)0,00051 =5,1 • 10- ; 2) ^ = 0,002 = 2 10'^500

3)250000 = 2,5 - 10^ 4) ^ ^ = 0,0012 = 1,210-'.2500

588.

(0,25)’ -8‘ _ 2’ (2’)‘ 2’ -г" _ .3 _ о .5 « . l ) ---- ~

Й _

1 6 . 4 - ^ ( | ) ^ 1+ 4-1

fel---------Г Г ^ ^ = - 4 Т Г = т = ‘’2^-

4 +

139

592. 1) ^/8,75’ +8,75^ -7,25 = Vs,75 -(8.75 + 7,25) =

= 8,75->/i6 =8,75-4 = 35;0,625-6,75' -3 ,2 5 ' -0,625 0,625-{6,75' -3 ,2 5 ')

2)^3,5'+7-2 ,75 + 2,75' >/3,5'+2-3,5-2,75 + 2,75=

_ 0,625-(6,75-3,25)-(6,75+ 3,25) _ 0,625-3,5-10 . ,/(3,5 + 2,75)' ’25

593.1) = I , при > 0 ,у > 0;

2) = х ^ у \ п р н х > 0 , у > 0 ;

3 ) ^ 2 W = 3 V ;

4 ) фf;cV»=;rк^1 I

594. 1)1 i >

a ^ - b ^ la^b^Л — T" --------a - b

a-2a^b^ +bал-Ь

I I

+ -7-

1a ^ - b ^

‘ i a ^ - b ^

i

J_ I+ 2 a 4 ^

i • a~^+b'^

I

J j' I Л V a ^ - b ^

а + Ь - 2 а Ч ^ + 2 а Ч ^

a + b

1 ’ a ^ - b ^ I

a ^ - b ^

2)

Г ■"4- 2 (a + b) a

1 1 » 2+Z)2

/ 1 Л I 11 \ - a

I 1 1 1( I > 1+ a\ a^+l / a ^ - l d ^ - \

140

1 + a^

3)

4)

( Ia^+\

l + x'

r I N a ^ - \

Il - x ^ x ^ - x

I i l + JC x2

JC-1 JC-17 --------r> ------ = -“^ ’

l - x ^\ - x

m + 2m^ + lI

2w2 4m2

i . « - 1 -1\ 2 /

+1

2m2

2w2 4m2

-1 m2+l

1 >2 J f ‘ ^w^+l 1 i 1 2w2 m^- l

Ч ✓ 2т + 2т^ -4т^ w^+l \

2/w2f 1 rn^-l

1 > т^+1 2т

( 1 \ -1

Ч уч J ч /

= + 1 .

595. Пусть школьник должен собрать х кг ромашки. Тогда 0,84л кг будет потеряно: х - 0,84л = 16 <=> ОДбдс =16 о д: = 100 кг.Ответ: 100 кг.596. Пусть выпуск щюдукции каждый год увеличивался на дг%, тогда: (1200 + 1200 • X) + (1200 + 1200 • ;с) • jc = 14521200 + 2400* + 1200х = 1452; 1200* + 2400*- 252 = О 100* + 200* - 21 = 0; Z) = 200 - 4 • 100 • (-21) = 48400

-200 + 220 10 . _ -200 - 220 _ л ,^ 2 100 100’ ^ 2100 ’ ■Следовательно, выпуск увеличивали на 10%.597. Пусть процентное содержание цинка в обоих сплавах — х%, тогда второй сплав содержит 100 - 26 - jc = 74 • х% слова.Вес. цинка в новом сплаве — (300 + 500) • 0,3 = 240 кг. Следователь-

240но, в первом сплаве было300 + 500

- 300 = 90 кг цинка, что состав-

141

ляет = 30% . Таким образом, во втором сплаве олово составляло 300

100 - 26 - 30 = 44%. Тогда 0,4 • 300 + 0,44 • 500 = 340 кг олова со­держится в новом сплаве. Ответ: 340 кг.598. 1) 8,8 + 8,8 • 0,25 = 11 (л) — топлива расходуется на 100 км при повышенных скоростях;2) 500 : 100 • 11 = 55 (л) — бензина расходуется на 500 км при по­вышенных скоростях;3) 500 : 100 • 8,8 = 44 (л) — бензина расходуется на 500 КхМ при ско­рости 80 км/ч;4) (55 - 44) • 4 = 44 (р.) — на столько поездка обойдется дороже. Ответ: на 44 р.599. 1; (5а + За - 1)(2о - 4а + 2) = 10a“ - 20а + 10а + 6а^ -- 12а^ + 6а - 2а + 4а - 2 = Юа" - 14а - 4а + 10а - 2;

/2 2 3 _ 4 4 2-2-3 2 9 2 _ 4 4 з . 9 2 .2 ) \ ^ т - - « j - - m - - т - т п ^ - п ,

3) (Зот - 6 т + 1)(~2т + 5от - 1) = -6т* + 15от - Ъп? + 12т’ -- ЗОт + 6 т - 14т^ + 35т - 7 = -бт^ + 27т’ - 47т^ + 41т - 7;4) (а^б - 36 ) = a V - 6 o V + 9г.^600. 1) 4л:* - 8 1 / = {2х* - 9/)(2х* + 9 /) ;2) 16а‘ - 25** = (4а’ - 5б“)(4а’ + 56 ); i ) ( x + y f - z ^ = i x + y - z X x + y + z);4) - { n - k f = { т - п - к ) { т + п - к ) \

5) 2 5 / / - ^ а ‘б‘ =(5;^^/ + | а ’б’ ) ;

1 ) ( x + y f - \ 6 ( x - y f == (х + у - 4 х + 4у)(х +у + 4 х - 4 у ) = (5у - Зх)(5д: -Ъу)\8)(а + 6) + 4(а + г>) + 4 = (а + 6 + 2)1601. 1) 4а'"б* + 4а^б“ + 1 = {2а^Ь* + 1)^2) 4а - 12а6 + 96“ = (2а - 36 );3) 16aV - 8aV + 1 = (4aV - 1);4) 256“ + 40а6^ + 1ба = (56 + 4о).602. 1) 8а’б + За’бу + За^6.)0'+ 8а^6л == 8а^6(а + х) + Ъс^Ьу{а + дс) == (8а^6 + 1>а Ьу)(а + ;с);2) 25дг’ - 15jcV - 2 0 V + 1 2 / == Sx{5/ - 4 / ) - 3/5;r" - 4 / ) = {5x - Ъ у ) Ы3) 5a’c + lOa - 66c - ЪаЬс^ = 5a \ac + 2) - ЪЬс(ас + 2) == (5a^-36c)(ac + 2); .4) 8ду’ - 2 4 / - l a x y + 2\a = Zy\xy - 3) - 7а(лу- 3>- ( 8 / - l)(xy - ’3). Ш

90

f l + 1 ] 0 + 6 - 1 .a + bl a + b

a + b + l \a + b I

a + b - l a + b _ a-i -b- l . a+b a + b+ \ a + b + l '

3 )

2) m - :)(m +m + n

Aab

m + n

a-b-\- \a - ba + b -

(m + w)

Aab

(m + n) (m + n)i2 . A . l \2

a + b,

a + b

{ a - b y +Aab . {a + b y - ^ a b __ a - b a+b

a - b a^ +b^ - 2 a b - 4 a b

(.a + b f a + b (.о+ЬУ .a - b \ а - Ь У ( a - b f '

4 ) a - 2 b - a^ - b 2>a+b

2 a - b + a ^ - ba+b

2>

a^-ab-2a^-a^ +b^^ ( 2a^ -ЪаЬ + Ь +a^ -b^'a + b j '1 a - b j

_ - a b - b ^ a - b _ b{a + b) a - b ^a+b Ъа^-ЪаЬ a + b Ъа{а-Ь) Ъа'

n £ ± 2 . f a^ +a * a - 5 \ a ^ ^

0 + 5 a +4a+4 . ->x2 7

+ 0 + 19 , 325 0 + 5

^ a + 2. a +flT + l 9 + 3 a ~ 1 5~ a - 5 ‘ 1 {a-SXa+Sy j

(0 + 2)

2) a^3 . f o * - 3 o + 3 , 3 I 0 - 3 . 0* - З 0+ З + 6- З 02 +a 4 - 0* 2 + o J 2 + o ' ( 2 - 0X 2 + 0) J

_ 0 - 3 . ( 2 - o ) ( 2 + q ) _ ( 0 - 3 K 2 + 0) _ 2 + o _ j 2+0 ■ o ^ - 6 o + 9 ( 0 - 3 ) * e - 3 ’ 2

605.1) (5 • 10' - 3 • 5-') : 10' = 5 • 10'^: 10' - 3 • 5'‘ : 10' = = 5 - 3 - 20 = -55;

3 . 2- ' - 2 . 3 - ' _ 3 - 2 - ' - 2 - 3 - ' _

(■0= (3-2-' - 2 - 3 - ' ) 4 = ( 9 - 4 ) :5 = 1;

143

4) НГ*ИГ W*(fr „(,,5).--------ГР--------------------- i------------" , й * з ) - Т - ‘ '

11

= i . / i_ iV ' i 1 = 1 - i - i 1 =10 I 8 / 4 5 10 7 4 5 2 5 ’

4 - 1 . 3 -1

6)s - a

13/ . 4 3 \2 / _ 3 ,л _ 3 .5 -3 16' 3 2 ’

7. Vs, 8 ' - 4 ,2' = V(5,8 - 4 ,2)(5,8 + 4 ,2) = 6 • 10 = = 4 ;

8. - J e X - i X = V (6 ,8-3 ,2)(6 ,8 + 3,2) = ^/З.б Ю = n/36 = 6 .

_ L _ ± +fiOfi n 6 /U 6 / _ l 1.

i _ i <7 b

i _ i a b

2)x ^ - / ( x - y ) i x ^ + y x + y ^ ){x - / ) ( x y ) - ^

12 2 ’ д: + д> + у

3) 4 z £ - ^ ^ ^ = ^ a Z ^ R ^ ( a - b ) a b - ,

4)

a-+Z7-

3

- m

m - \

a ba + b

a b

m m ^ - \

-1 +1

m

m 2+l

144

607.1) - ^ ( l -л/з)' +^/3= |^ /3-2 |- | l-^ /з |+^ /з =

= 2 - ^ - y / J + l+yf i = 3+-j3-,

2 ) ^ ^ ^ - ^ / ( r ^ - V F = | V 3 - V 5 | + |l-V 3 |-V 5 =

= ^ f 5 - y | з + ^ l З - \ - ^ ^ 5 = - l ;

3) ^12(^/3-2)^-4^/3 = 2 /3 • |^ /3 -2 |-4 V з= 4 ^ /3 -6 -4 ^ /3 = -6 ;

4 > / 2 _ И ~ ^ | У 2 _ 2 - л Я >/2_ 1V 8 2 2 V2 2 2 Л 2 2-

608.1) | д / 2 , 2 5 У У = - | l , 5 x V = -0,9*’/ ;

2) 0,1 Г у 1 щ х 'У = - 0 , l l f ^ x^ y = - 0 ,2лгV .

609. 1)i i i И-

i 1 ~ i m + m^n^^

i i *

1 < J 2 \г а 2 + и ' 5

I f ‘ Mm 2 m 2 + «15

\ у

2435= —- = ------ = -------= 15;- - 0 2m2 0,042

2)

3)

4)

i , A ni

+w2100

3 I j.

-m^n^ mI

m2+«2i 1 3 ’

0,1'-8И

yia + x a+x 5+ 4 9 9

a +145

+(g^ - x ^ ) + 2a-yla^-x^ -a ^ -(a^ ~ x ‘) + 2 a 4 i^ ~ ^ _

2 a ^ a ^ - x ^ 6 - y J ^ 12 ^2-------- ------ = ------------- = — = 2—.5 5 5

2)e^ + l - I

' i+a*

_ 1 i / 3 1 \+a ^ o = + l

\ / V у

3)m-^n

m + l^Jnm + Л

m + w

Vm+V« Infirm

2 •

m - n

л/т+л/п lyfmn

m + n2 •

fm + vn

m + n

m - n

m - n m^ -n^

4)

1 >4 2~fl2

+2 . U .

16 + 8a + cr

2-^21 1 > ' 1

-------^

2 - a ^ 2 + д2 2 + flf2

\ / Ч ✓ V у

8fl2 +I >

2-fl2

(« + 4V

+4 + 8^2 a

2^72(4- a ) (^ + 4V 2 (4 -0 ) (0 + 4)'

146

а^+2

611.1)

2 + а^

a y f a - l

(а + 4у

f * а^+2 а

к JI >

2-а^- (a + 4 f

7 Г - а - \ у[а~\

^Qyfa -1 +а-у[аЛ >/й-1 4 а - \ , а - \

а - \ а - \

У ^(а-1) + (а -1 ) ^ - 1 (a -l)(^ /^ + l) ^

4 а -\\-\rbyJb

,1+>/62) - 7 б

\+4 ь i + b ^ - ^ / b - b l+^/61 -6 1+V& 1-6

3)

4)

(1- 6)

1 -а

1-6

Wt Г~\ l-flf + ar-av^ У, /—\ , {------ рг + а ♦(1-л/д) = -----------р ------ (l-Vflr) = l-W<ar;

1-W V г - \ W + Vw-W + 1-W + J—W+----- р=г 1 + Vm = ------------ f= — ------- -^ = V ra .w -0

612. 1) 8(3jc - l y - 3(8 -;c) = 5(2x + 1). о ................ :2 4 л :-56 -24 + Зл:=10;с + 5 <=> 17jc = 85 <» дг-5;2) 1 0 (2 л :-1 )-9 (д :-2 ) + 4(5;с + 8) = 71 <i> 2 0 л :-1 0 -9 ;с+ 1 8 + 20д: + 32 = 71 о 31д:- 3 1 о jc = 1;3)3+;c(5-Jc) = (2-x)(;c + 3) <=>3 + 5л:- jc = 2х + 6 - 3jc <=> бх = 3 <=> - 0,5;4 ) 7 - jc(3 + a:) = (jc+ 2 ) (5 - a:) <=>7 -3 ; с- д: = 5л: - ; с2+ 10-2д: о 6л: = -3 о д: = -0,5.

613. 1) ^ ^ - ^ ^ = 2<1>7(5х^7):- 6(д:+2) = 84 ч» .о 7 . ; • '

О 29л - 61 = 84 О 29х = 145 <» X = 5;

2) ^ g ^ -3 (3 + 2х) = 8 о 15 <р

о 20л- 4 0 - 9 -6л^-. 120 о 14х^ 169 о д: = 12— ;141 ■

147

3) i l —i + ^ f ± i = 3 o 5(14-л)+4(Зл+1) = 3-20 о 4 5

<» 70-5x+12jc + 4 = 60 <=> 7;c = - l 4 О x ^ - 2 \

4) 2JC-5 6;c + l = 2<=> 2 ( lx -5 )- (6 ;c + I) = 2 -8 <=>4 8<=> 4jc- 1 0 - 6 ; c- 1 = 16 <=> 2x = -27 jc = -13,5.

4 9614. 1) <=> 4(8д:+11) = 9-3(д: + 2) <=>3(jc + 2) 8JC + 11

<=> 32jc + 44 = 27a: + 54 о 5д: = 10 <=> jc = 2;

2) « . 2(;t + 6) = 3 - 3 - ( ^ - l ) о3 (x - l) 2(x + 6)о 2x+ 12 = 9д:-9<» 7л = 21 <=> л: = 3;

3)

О

5 - л 5 + x (5-л)(5 + л)

л:Ч 5;t+ л' - Юл + 25 = 2(х^ - 25) ±5

-5х = -75jc;«t±5

<=>д: = 15;

(л + 3 )Ч х (л -3 ) л -3 х + 3 (л-3)(л+3)

х^+6х + 9 + х - - З х = 2 ( х ' - 9 ) (Зх = -27V <Z>J <г>д = -9 .д: ±3 [х ±3

615.1) 4 jc-1) = 0 o

2) (х + 2)(л:-3) = 0 о

х = 0 х = 1 ’

■jc = 3 х = - 2 ’

3 ) х 2Х-12

(4 + Зх)==0<=>х = 0 х = 4 ;

^ _ 4 3

4 ) М Х£1 ] ) . 0 од: = 5 д: = -1+1

616.1) jc4 3 x = 0 o (x +3)a: = 0<^

148

д: = 0 ;с = -3

2) 5;с~х" = 0 o x ( 5 - j c ) = 0 o

3) 4х + 5х^ = 0 о х ( Л + 5 х ) ^ 0 < ^

jc = 0 X = 5 ’

jc = 0

X =4 ;

4) -6 jc' - ; c = 0 o - x(6x + 1) = 0 o

5) 2л:'-32 = 0<=>2х(;с-16) = 0 о

■jc = 0

6X=:0x = \6'

x^ 4 - x ^6) 2 ~ y = 0 < : > - ^ ^ = 0c>(2--jcX2 + jc) = 0 ojc = 2

;c = - 2 ’2

~1 = 0<=>/ \

- - ‘1J ; 12 j u j7)

<=>(;с-2)(д: + 2) = 0 о

= 0<»

jc = 2

jc = - 2 ’

8) ^ ' - 8 = 0<=>(;c->/8)(jc + >^) = 0 o

617.-1)2x2 + x - 1 0 = 0

x^ 2 y f2

jc = -2>/2

D = l + 4 - 2 1 0 = 8l

2 )2 x ^ -x -3 = 0 . £ ) = l + 4 - 2 - 3 - = 49

3 )7 x ^ -1 3 x -2 = 0

2-2 l-> /49 3

2-2 2

D = 169 + 4 - 2 - 7 = 225

13 + V ^ ^

13 -V 225 1 ’. 2-7 7

149

II

On tN

<N I

+I

1 7+r-I

TI

Ir-I

100

15CN

CN00 -I

«0 0 f> II II0 11 II 1 1

Q1) »o СЛ 1 0 d

uo + II II II1 N ro 00 <N

J. + + +N

11

Os % 1 СЮ <N11 00 /■*N 0 1 1CM 1—» 1 %II 06 II m

q Q m

+ TII

fOо

ЛCS

+

wo I <N

CO

+NI

«0

1! ^ os I (N00 II II+ H Hё '— —

ON+

11<N III VO

fo I

<N ^ +

s S O

- TII IIH HI-----

0о

+§

I

+

1CN

0

II«N

I

(N+

0\|<N I '

3)(5jc-3)(x: + 2)-(;c + 4) = 0 О + 7 x - 6 - x ^ - & c - 16 = О « -

\ + J353

< » 4 д :^ -л -2 2 = 0 о 1 ) = 1 + 4 - 4 -2 2 = 353 => *___;x =

84 );< ll-6 x ) -2 0 + (2r-5)^ = 0<=> 1 b - - 20 + 4jc - 20;c + 25 - 0 <=><=> -2 x2 - 9 jc+ 5 = 0 2;r + 9;c-5 = 0

- 9 + 11 12о D = 8 1 + 4 - 2 - 5 = l2 1 => 4

- 9 - 1 1 = -5

620.1) H = 1 « • X = ± i ; 2) | x - l | = 4 о x -1 = ±4 о X = 5; -5;

3) |3 -х | = 2<»3-дг = ±2<»дг = 1;,5;

4 ) M - 3 , = 6 c . p ; ; ^ ; ; f ^ « . = - i ;

5) |2,5-л| + 3 = 5 о |2 ,5 -д ^ = 2 о 2 , 5 - х = ± 2 о лг = 0,5;4,56) |3 ,7+л |-2 = 6<»|3,7+л| = 8 0 3 ,7 + дг = ± 8 0 л = 4.3;-11,7.

621.1) : г - Ц - 6 = 5х <=> 7 -6 (2 дс+ 9 )-5 х(2.«:ч-9 )^ д' 1х+9 2JC+9

„ lQjt457j:4-47 _ р 10(х + 1)(х + 4,7) [~х = -12л + 9 2дс+9 л = -4,7'

2)

О

3)

х^-2 л:-2 х - 2

х^ -5JC+6

= 4 <=> ;c " - j c - 2 -4 x + 8 х - 2

= 0 <=>

= 0 о = 0 о х - 3 = 0;JC-2 (л -2 )

: ^ + ^ = 1 ^ +(^ -1)(^ -4)-(j^ -4)(a;+ 4) д-1 6 х + А (jc-4)(;c + 4)

JC + ДГ - 5 jc + 4 - jc + 16 _ - 4 (х - 5 )(;с-4)(;с + 4) { х - Л ) { х ^ А )

= 0 <=> jc= 5 ;

(*+ 6)’ r + б (*+б)'

^ 1 2 ^ х Ч б ; с - . ^ - 1 2 . - 3 6 ^ О ^ : : ; 6 i ^ . o о х = - » . ( ; г + б У ( х + ( , У

151

622. 1) / - 17х + 16 = О <» (;с - 1)(д: - 16) = О <» <=> (;c -I )(x + l)(x -4 )(x + 4) = 0 <» х = ±1; ±4 .2 ) /-3 7 x ^ 4 -3 6 = О О (jc^- 1)(л^-36) = 0 <» cs> (х-1)(д:+1)(х-6)(л + 6) = 0 <» х = ±1; +6.

3)2л‘'-5д:^-12 = 0 о 2(д:'-4)' ■ * 1

= 0 <=>

<:> (х -2){х + 2) = 0 JC = ±2;4 ) / - З л : “- 4 = 0 <=> (x^+l)(jc^-4) = 0 о х ^ - Л = 0 <=> (jc-2)(jc + 2) = 0 <=> х = ±2.623. 1) лУ Гй-5 = 0 С:> Vr+T = 5 <=> л:+ 1 =25 <=> л: = 24;2) 6-yJx + 3 = 0 <=> 7лчГз=6 <=> л: + 3 = 36 <=> х = 33;

3) у / 5 - х - \ = X о - J s - x = х - 1 ^

х ^ - х - 6 = оJC>1

(;с-3)(;с + 2) = 0 х > \

<=> JC = 3;

4 )3 + V r ^ = * - 4 cs> V * ^ = x - 7 <=>

V - 1 5 x + 54 = 0 |(л:-9)(д:-6) = 0■<=>

x > 7 [;c>7

5) 1x - 4 2 x + 2 = 5 x <=> 2jc = ^2jc + 2 <=>

' x - 5 = ( x - 7 f x - l > 0

0 x ^ 9 ;

4x^ =2x + 2 2 x i 0 ^

2 x ^ - x - l = 0x > 0

' 0 x + —, 2 j

2 ( x - l )

[x>0

6) \ 2 x - \ I S x - 4 = l l x О x = y l5x-4 »

= 0 ■ <=> jc= 1;

jc' = 5 jc- 4

x ^ - 5 x + 4 = 0 x > 0

<=>(;c -l)(x -4 ) = 0 x > 0

[x > 0

<=> л:= 1; 4.

624. l);c‘' - 5 x ’ + 8;t='-5^+l=0<t^> л ' - 5 a: + 8 -^ + -V = 0 <=>X

<=>

152

(л :+ 1 |'-5 |л + | - 6 = 0 О |x + i + lj^x + i - 6 j = 0

о (а: + л: + l)(jc^-6jc+1) = 0 О : ^ - 6 х + 1=0

£> = 3 6 - 4 = 32 => j c , j = - ^ ± ^ = 3±2V 2.

2 ) /+ д : ’ -1&г^+л^+1 = 0 о л:Чд:-18 + |- + - ^ = 0 <=>

<=> (^ + “ 1 ^ ^

О (х + 5х+1)(л^-4л+1) = 0

1)£) = 2 5 - 4 = 21 => л,

2 ) £ ) = 1 6 - 4 = 1 2 => ;tj, = - ^ ± ^ = 2±>/з.

6 2 5 .1)л: = Зд: + 2 2);с = - х - 2

3) j = 6 - x

Ответ: л: = -1.

4 ) x ' = 2 * - l

153

5) V? = д: + 3 6)y fx = 6 - x

626. 1) x + y = l2 j 2 x = l4 x - y = 2 \ y = l 2 - x

[ з '-х = 4 p . 3 . = i i [ 2 x - y = 7

4 ) |3 ^ + 5д. = 21

5)

6)

<=>

y = 7

x = l y = 5

2y = Ux = l O - y ^ U = 3 ’

4jv = 4 [2x = l + y

3x = 6

fy = \ [л = 4 ’

6x-i-5y = 27 5;; = 21-3xx = 2у = з'^

3x + 5y = 4 [3x + 5y = 42 x - y = 74;c “ 3> = 1 3x + y = -9

| iOjc- 5>' = 4;c-3>^ = l

35fl3;c = 39 \ y - 2 x - l

9х + Ъу = -2113x = -26 y = - 9 - 3 x

fx = -2

b = - 3

627. 1)^ = ^ - 2

1 1—jc + ~ v = 52 V

8x -9 7 = -24 8jc + 4> = 80

13> = 104

;c = 1 0 - i i;. = 9 x = 6 ’

2)

<=>

154

|(д : + 11) = 1 (у + 13) + 2 ^

5jc = 3>; + 8 '3;c-2>^ = 5

3(x+ll)-2(>^ + 13) = 12 5jc-3>; = 8

5x-3>; = 8<=>

;c = l

b = - l

3)

3 _ 21 ^ fl5x-14>- = 703 1 1 ‘ 1 9 л + 2; = 146

{ \ 5 х - Ы у = П ' ^ { б ъ х + х л у ^ т г ' ^

78x = 1092О

;c = 14 >; = 10’

4)1(д: + 3д.) = 1 (д .ч -2у )^

;c+5>; = 12

by = \2 \ y = 2

\Ay = \ 5 x - 1 0

Ъ{х + Ъу) = А{х + 2у)x + 5y = \2

ду = 18 x ( x - 7 ) ^ l 8628. 1)

y = x - l o < <=>

(;с-9)(л: + 2) = 0

y = x - l л:^-7л:-18 = 0

jc = 9 >' = 2 x = -2 y = -9

2)jc -v = 2 x = y + 2 'x = y + 2x) = 15 (у + 2)у=^15"^' y + 2 y - 1 5

3)

x = y-v2[{ < + 5)(>--3) = 0

x + y = 2

У = г x = 5

4)

xy = - l 5

x = 2 - y ( y - 5 ) ( y + 3) = 0

x + y = -5

x = 2 - y j x = 2 - y( 2 - y ) y = - l s ' ^ [ y ^ - 2 y - 1 5 = 0 ^

ду = -36<=>

> = -3 ;c = 5

y = - 5 - x x( -5 -x ) := -3 6

<=>y = - 5 - x

5^-36 = 0

155

\ у = - 5 - х о \ <=>

l(jc + 9)(;c-4) = 0

5)д :^ + /= 1 3 ху = 6

х + у = 5 ху = 6

х +у = -5 ху = 6

<=>

х = 4 > = -9

х = - 9 ’ у = 4

Ux + y y - 2 x y = l3W = 6

х = 2 7 = 3

х = 3 = 2

х = -2*

х = -3 у = -2

(х + уУ ^25 ху = 6

6)| ; с Ч / = 4 1 |(д: + д>)^-2ду = 41__^|(л + 7 )'= 8 1[ху = 20 ^

х + у = 9 ху = 20

jc + >; = -9 ;0 = 20

W = 20

х = 5 у = 4

fx = 4

b = 5 х = -5 7 = -4 х = -4 у = ^5

[лу = 20

629. I) i^ L -M + 3(4x+l) = i ^ ^ ^ o 8 ( 7 - 8 * ) + 30(4;c+ 1) =

5(12х+17) «> 56 - 64д:+120л: + 30 = 60;с + 85 <=> 4дг=1 о х = ^ ;4х + 16 7JC-2 <=>88(5;с-24)-4(л:+16)=11(7;с-2) о2 )2 (5 д .-2 4 )- ^

О 440л-2 1 1 2 - 4 л - 6 4 = 77л:-2 2 О 359л = 2154 о л = 6; 156

3) 2 ^ ^ + 7j( - ^ 7JC+11+1 О б(2ж + 3) + 3 0 -7 ;с -3

-15(3-х)=10(7х+П ) + 30 О 12*+18 + 210д:-45 + 15д: = = 70л+110 + 30 О 167х=167од:=1;

Юлг + З4 ) ^ 2(&с + 5)-8х-2(2х+1)4= Юх + З о 12*+ 1 0 - 8 х - 4 * - 2 = Юдг + З О 10х=5 О д: = 0,5.

630.1) 2x = \-x> J i< ^{2+ -j3 )x = lct>x = Y ^ - ,

2 ) ; c > / 5 - 1 2 = J t < » ( > / 5 - l ) ; c = 1 2 0 A : = - j ^ ;

3) x^/5+г = x ^ 5 + 5 < ^ [ ^ / 5 - J з ) x = 5-3<i>

[ S S ) x = [ ■ ^ - ^ | 2 ) [ y ^ 5 + S ) < ^ x = ^ f 5 + S ;

4) 2 x S - ^ f з = 2 ^ ^ 6 + x ^ J i ■ » i 2 ^ J 6 - J з ) x = 2^f6 + S<t^>

(2V 6+>/3f (2> /б+л /з/ { 2 ^ + l f

{ 2 S S ) [ 2 - j 6 + ^ J i ) ' ^ ^ ~ 15 ” 5 ■

631.1) V ? = 10 |х| = 1 <3-X = ±1;

2) V(x-1)^ = 1< ^ |х -1 | = 1 о х - 1 = ± 1 о х = 2;0;

3 ) - J ix - i f = x - l o ( x - l | = x - l o x - l S O o x k l ;4) 4 ( x - \ f =1

t4 Jf + 2 Jf(x-4)_ jc-2 4(3 + Jt) _;c^2 ;c^-4 x-^2 4-jc^

-4^ +4x + 4-x^ + 4jc-jc^ + 4 x -4 -1 2 -4 x ^

x^-4^ - x - + 8 x - 1 2 ^ 0 ^ ( x - 6 X x + 2 ) ^

x ' - 4 (x + 2 X x -2 )Ci> jc - 6 = 0 О jf = 6;

157

, ^ _ 2 ______ 6 3 . . х^-1 + 2(х + 1 ) -6 -3 (;с -1 )’ х - \ х ^ - \ х + 1 х ^ - 1

CS> 4 ^ = о «> = о о л: = о ;х ^ - \ (дг-1)(х + 1)

3) — + = +4л’ -1 2х + \ 2 х - \

6 + 3(2х-1 ) -2(2х + У)-4х^ +\ _ - 4 x^+2x + 2 _ q ^4x^-1 4х - -1

2x ^ - x - \ ^ q (2х - .+ .В = 0 о д : + 1 = 0<=>л: = -1 ;4 x ^ - 1 (2х - 1 ) (2 х +1)

4 ) i ± i _ i L ± i = ____ 4---------’ х - 2 х - \ (х - 1 ) ( х - 2 ) х - 2

. . (;с + 1)(х-1)-(л: + 1 ) (л -2 ) -4 + (л -1 )’ ^ „^ (;с-1)(х-2) . ^

о £ ± 1 ^ 4 + ^ г М = О О X +1 = О ;с = - 1 .(л--1)(лг-2)

6 3 3 . 1 ) ^ — ^ = ! — - 2 £ ± 1 _ с > л:+1 х + 2 х ^ + З х + 2

х \ х + 2 ) -4х{х + 1) -(х + 1)(х + 2) + {7х + 6)(х + 1)(* + 2)

х^ +2х^ -4х^ - 4 х - х ^ ~ i x - 2 + l x + 6 = п <=>(;с + 1)(л + 2)

х ^ - З х ^ + 4 _f . x ^ + x ^ - 4 x ^ + 4(х + 1)(х + 2) (,х + 2){х + 2)

;c4jc + 1)-4(;c-1)(;c4-1) (х + \ ){х ^ - 4 х + 4){х + 1)(л: + 2) (л: + 1)(х + 2)

<=> ~ ^ = 0 » x - 2 = Q <» х = 2\JC + 2

2 ) J * L + 3 i : i 2 ___ =^ К ^ - х * х ^ - \ х ^ - х х - 1 х ^ - 1 ^

2 х \ х + \) + х{3х - 2) - Ъ2х(х +1) + 2лг’ д:(х-1)(д: + 1)

„ 2 л г 4 2 л 4 3 л :'^ 2 л :-3 -2 л :'-2 л : + 2 ;г ^ _ п ^ ■ ----------------- ;.(х-1)(х + 1) : - .

458

2 3 -4х-3 . о „ (дг-1Х2х _х(х-1)(х+1) ...................дг(*-1Хх+1)

О (2х+1)(дс+3) л(*+1)

о х = ~ ; -3 .

= 0 о (2х+1)(* + 3) = 0 о

634.1) 73х + 4 - ^ Г + 9 = 1 - » л/з]Гм = 1 + > /1 + 9 о о З д г+ 4 = 1+л:+9 + 2л/л+9 o 2 j t - 6 = 2Vjc+9 «i-

(х-3)= =;с+9 ;г^-7х = 0 JCS3

х( х- 1) = 0 х ^ З

<=> дг = 7;

х - 3 > 0

Гдг = 0;7 jc>3

2) V21+* - V28-3X = 1 V2 I+X = 1+V28-3X о <=>21+х = 1 + 2 8 -З х + 2 л /2 8 -З х о 4 л -8 = 2 , / 2 8 - З х о

|(2х -4 )^ = [2 X -4 S 0

28-Зд: 4;t"-13jc-12 = 0О < о

(д:-4)(4х + 3) = 0 х ^ 2

<=> дг-4 = 0 <=> Jf = 4;

3) = » L o f c 5 № ; f c i i 2 l . „ o>/5д:-3 > /5 ^ 0

гг^— , f(5;c+3)(5x-3) = (3jc+l)^- (5д:+ 3)(5дг - 3) = Здс +1

о

5 ;с-3 > 0

- 6 х - 1 0 = 0fl6 jc '-6x1^^0,6

(л:-1)(8л:+5) = 0 х ^ 0 , 6

5 х - 3 ^ 0 Здг+1^1

S x ^ - 3 x S = 0 <^< о

л ^0,6

о дг- 1 = 0 <=> JC= 1;

^ / ( 2 х Щ 5 х Ш ) - 9= 0 о

V(2;c-3X5jr+12)=9 5JC + 12S0

л/5х+12 (2x -3X5jc+ 12) = 81 5л+12^0

159

<=> 10х^+9;с-117 = 0 5;с + 1 2 > 0 ^

(х-3 )(10х + 39) = 0 10x4-24 > О

<=> х - 3 = 0 с > х = 3;

5, V S T ,: . 4 , „yJ3 + X yj3 + x

/(9 - 5x)(3 + JT) - 2(JC +1) f^ (9 _ 5д )(з + л:) = 2(x + 1) „- " ^ l 3 + ^ > o

(9 -5 .)(3 + . ) = 4 ( . + iy Г 9 ,.,1 4 ,_ 2 з = ол + lSO <=>3 + лг>0 x + lSO

(x-l)(9;t + 23) = 0 , „ o x - 1 = 0 <» x = 1;

9X + 9 S 0

6, 2л^Г+Г >^7+I

_ i j x + \ ) - ^ ( 5 x + 9)(3дс + ! ) _ „ _ f J(5x + 9X3x +1) ^ Ш +1) „" ' ' ^ \ 3 x + lS 0yj3x + \

(5x + 9)(3.t + l) = 9(x + ir , , „x + l> 0 =3 X .I .0

\{}x + l ) x = Q •{ <=>л’ = 0.[3;c + l> l

635. \ ) x ^ ~ i a x - 6a^ = 0 ,D = 25a^ + 2-40^ = 49o^

2) x^~7ax+l0a^ = 0;D = 49a^ - 40a = 9a^

i ) x ^ - 6 a x + 9a^-b^ = 0;D = 36a^-36a^ + 4b^ = Ab^

4) x ^ - 4 a x - b ^ + 4a^ = 0; Z? = 16<7 + 4b^ - I6a^ = 4b^,. _ 4 a + V 4 ^ _ 4 o ± 2 |i• 1.2 ~ О - О = 2a±b.

160

636. 1) - ах = о <=> х{х - а) = О <=> х~ 0 ; а ;

2 ) c v r - x = 0 <=> х (а х- 1) = 0 <=> ;с = 0;а

3)cv^ + Ьх = 0 о х(ах + 6) = О <=> х = 0; ;

4 ) ^ 1 + £ = 0 о х . а о

5) ^ ^ + x = Q o x

(- + 1) = 0 W Ь]

6 ) ^ - £ = 0 о ; с О а

2 у - Ъ х ^ \

^ + 1о

^ _ i Ь а

= 0<^д: = 0 ; - ^ ;а

= 0<=>д: = 0 ;4 --а

637. 1)

J;' = 5L =

3;c + 5j' = 34

' = 5.х = 3 ’

Ту = 35 } х = 2 у - 1

2)

I

10x-3^/ = 38 J30;c-9y = 1146*+ 5 /= 50 '^ |з0л: + 25>' = 250 ‘

34^ = 136 6;с = 50-5^'

, = 46д: = 30 \х = 5 '

| б . - 1 5 , = 1 2 ^ [4х-9;; = 10

I 2 x - i 0 y = 24 \ 2 х - 2 1 у = 30

2у = 6 4х = 9у + \0

638.1)

[X

6-12297

(у = 2 Ъ = 2_\ л х = 2« \ х = 7 ’

{ \ А у - 9 х = 5 { 4 2 у - 2 1 х ^ \ 5 |51д: =[12х + 21;' = 33 |2 4 х + 42 j> = 6 б ' ^ \ 1 4 у =

(х = \ (х = 1| l4 y = 14 ^ |>/ = 1 ■

V - 5 / = - l 1х^+3ху + 2у ^= 0ЪхуЛ-1у^=\ |л :^ -5 У = ~ 1

:Ч ду + 2лу + 2 / =0 \{х + 2у){х + у) = 0

519д: + 5

161

х = - 1 у 4 / - 5 / = - 1

х = - уО

Г;:

у = \х=-гу = -1х = г

1^ = 1

2

У = - ^

1х = —2

2)З у ^ - 2 х у = т 1 3 у ^ -2 х у = т

у^ - З х у - 2 х ^ = s ‘ 120:и '-б О х у - 40х^ =160

|1 7 / - 5 8 д у

1 з/-2 д г и =

-АОх^ =0 160

0 '-4 х )

Зу ^ - 2 х у = Ш

20

у = 4х

48;с^-8х^=16010 О

10 2 о 2■х^+ 2 — х^289

1017

160

jc^=4 у = 4х

410у = -----17

| . = - :

х = 2 > = 8

-2 8

^172

у = -5

17" = - ту = 5

3)

1 1 - ^ 1 ^ 1 _ 3х ^ у 2 У 2

2 <=>1 1 ^ 5 f 1 l ^ 2 _ 5jc' У 4 . U y j д ^ " 4

1 + 1 = ~X 2

162

i + i = -X у 2

i . iлг у

12

2

= 1

о

Л- = 1

У - 2

х ^ 2у ^ \

4)i l = . i

3С:>

i i = i д:‘*‘ у 3

1 i = i3

1 - 1 = 4о

<=> 13

i = H _ 41У 6

о

1 1 ] 1 1,и у ) U % J

л 1 - 1 2н ~3

i - 4 “X

X 6 1 _ 1 у X

6

6 ’ ^ = - -

5) \2х^ +у^ +5ху-^32 [ / - х у . - 2 х ^ ^ О

2 л :'+ /+ 5 д у = 32. (v + x )(7 -2 x ) = 0 ^

2 х ^ + у ^ + 5 х у = 32

у^ + х у - 2 { х у + х ^ ) - 0о

32у ^ - х

2х^+х^-5х^

у = 2х

2д:'+4;с'+10д:'=32

Тд: = -1 6

у = - 2 х

л:'= 2

<=>

6* 1 ‘163

6)х ^ - 2 у ^ + 4 х у = -45 | * 2 - 2 / + 4 д у = -45у ^ - х у - 6 х ^ = 0 [О'-Зх)(;' + 2х) = 0

>- = Здс

x^ - lS x^+ l2 x^ = -4 5

h = -2 x [ x ^ - S x ^ - S x^ -4 5

х = гу = 9

У =9 |дг = -3

> = 3;c Ь = -9о

;c^=3 x = V 3 ’

у = -2x у = - 2 ^

p W 3

у = 2-7з

[ 9 х 4 3 ; 0 '+ /= 1 3

З х - у = 1

9х^+3ху + у^ =13"^

>- = Зд:-1

27л:^-9л:-12 = 0 £> = 36 + 4 -4 -9 = 1 8 0

(3л->’)(9х'+3ду + / ) = 13 9х^+3ху+у^ =13

у = г х - 1

9х^ +9х^ - З х + 9 х ^ - 6 х + \ = П

9 х ^ -6 х -4 = 0о

у = Зх -1

6±УГ80 _ 6±6л/5 _ 1±>/5 “ 3

8)

18 18

x^+Zy^=12xy

1 + л/5 1-лЯ

х + 2у = в

- 2 х у + 4у^ =2лу х + 2у = 6

х=^2у 4у = 6

х - у = 3

у = ^

(х + 2у)(х^-2ху + 4у^) = 12ху х + 2у = 6

3;у = - ,/5

x-i-2y = e

{>' = 1,5 [jc = 3

639. I) i <=>\--2x + 2y = - l 0

164

i x - y = J b - > ' = 5

=>3 = 5 — противоречие;

{ З х - 2 у = 1 \ Ъ х - 1 у ^ 1 , ,2 )i „ . ,,<=>•{, » _=^7 = 7 — противоречие.

[ -9х + 6у = 2\ \ г х - 2 у = -1640. 1 )З х -7 < 4 (х + 2) о г х - К А х + % о ;t>-15;

2) 7 -6 ^ > |(9 ;c -l)< » 7 -6 x > 3 jc ~ |< = > 9 jc < y < = > х < Щ \

3) l,5(;c-4) + 2,5;c<Jc + 6 <=> 1,5д:-6 + 2,5;с<х + 6 О о З х < 1 2 о х<4;4) l,4(jc + 5) + 1,6 > 9 + X О Зл + 7 > 9 + X <=> 2х > 2 о д: > Ь

641.1) ^ - ^ £ ^ ^ 1 о 2л - 2 - З х +125 6 о -;с^ - 4 о д с ^ 4 ;

2) ^ ^ - ^ > l o 4 j t + 1 6 - 5 x + 5 S 2 0 o - ; t ^ - l c > x < l ;5 4

3) • 2 ^ + - ^ ^ 7 0 3л:-3 + 2;с+ 2 ^ 4 2 « >

о 5 х ^ 4 3 о л > - ^ о л > 8 - | - ;

4) ^ ^ - ^ ^ < 1 о 10х - 2 5 - 1 2 + 8 л <20«>

о 18х < 5 7 о х < | | - о д с <3-7;18 6

5) >3<=>6JC + JC-3> 18<=>7дг>21 о jc>3;6

6) jc + ^ < 3 < = > 4 jc + ;c + 2<12<=>5jc< 1 0 o ^:<2.

Гх + 5 > 5 х -3 J4x<8 \ х < 2642. 1) < о < о л ::^ 2 ;

^ [2 ;с -5 < 0 l2;c<5 1jc<2,52;c>-3 |л :>-1 ,3jc> - 6 ^ [jc> -2

5a:-1<7 + jc |4 л < 8 {x ^ 2-0 ,2 jc>1 '^ [ ; c< - 5 ' ^ V < - 5

t> 12 fjc>3> -2 " ^ U > -

2д: + 3 > 0 x - 7 < 4 ; c - l ' ^

o x > -1 ,5 ;

<=> jc < -5 ;

З л :-2 > 1 0 -х 4л:>._ , ____<^< . <=>< _ о х > Ъ .

-0,5л: >1 [jc

643. 1) ^ ^ - д : ^ ^ о д : - 2 - 6 л ^ 2 * - 1 6 о 7 л < 1 4 о О 3

<=>х<2=> jc= 1;2;

2) 2дс+ 10>л:-5 + 4дс о

<=> Зле < 15 <=> X < 5 => X = 1; 2; 3; 4.

165

х < 1 х > -Ъ

644.1)2(д:4 -1 )< 8 -х 2x + 2 < S - x *—4 <-5 д:~ 9 < 6 -5л: <15

3jc< 6 л: > -3

х = - 2 ; - \ ; 0; 1;

2)'33у + 2 у - \ 3 > 2 2 3 y - 6 y + 4 0 < - \ 2 y + S4

\35у>35 \9у<4Л ■

у > \8=> > = 2;3;4;

>^<4-

ГЗ(;с-1)>;с-73) < о

|-4;с + 7 > - 5З х - 3 > х - 7- 4 х > - \ 2

2 х > - 4х<3

о

4)

' х > - 20 ; 1; 2 ;

л:<3

Z z i _ Z z l > Z z ^ _ „

l - y > i y - 4

3>><10

6 y - 6 - 3 y + 9 > 4 y - S - l 2 y 2 - 2 y > y - S

y > - \1= ^ ^ = -1 ;0 ;1 ;2 ;3 .

645.

3 x - 2 ^ ^ \ ^ 2 x - \ 3x + 2 4 2 ^ 3 6

2 x - 5 3 x - l ^ x ~ 3 2 x - l. 3 2 5 4

9д:-6 + 3 0 > 8 д :-4 -6 д :-4 40x -1 0 0 -9 0 jc + 30>12;c- 3 6 - 3 0 a: + 15

{ l x > - 3 2 <=> < о

[32x< -4 9X = -^ ;_ 3 ;-2 .

166

646. l ) x ^ - 3 x + 2 > 0 о » ( x - l ) ( x - 2 ) > 0

г ) х ^ - 7 х + \ 2 > 0 Оо ( ;с -3 )(х -4 )> 0

2) х " - 2 ; с - 3 ^ 0 о о ( л + 1Х л -3)50

4) -д;’ + 3 1 - 1 ^ 0 о •одс^-Здс+15 О о

^0

5)8х^ + 4х + 3 < 0£ ) = 1 6 - 4 - 8 - 3 = - 8 0 < 0 = > 8дг + 4* + 3 > 0 П р и любом X => р е ш е н и й н е т ;

6 ) jc- a:^-1>0<=>jc - j: + 1 > 0 .Z ) = l - 4 = - 3 < 0 =>

- х + I >0 при любомX => X — любое;7)2;с^-;с~1<0 <=> 8) 3;с + j c - 4 > О о(JC - 1)(2:с + 1) < О (х - 1)(3;с + 4) > О

167

647.1) И > - с >

1JC>-5

Гх< — 5

3) | ; c - l |> 3 oл: > 4 х < - 4 '

2) | х - 1 |< 2 1 о - 2 1 < д : - 1 < 2 - |о - 1 |< л : < з | ;

\ - 1 > 3 х - 1 < - 3

4) | x - l | ^ 2 o - 2 S ; c - l < 2 o - l < x < 3 .648. 1)(д:-1)(д: + 3 )> 0 => Are(-oo;-3)U(l;+<»)2)(х + 4 )(д :-2 )< 0 => х е (-4; 2)3 )(x + l,5 )(;t-2 )x > 0 => ac6(-1 ,5;0)U (2;+«,)4)л(лг-8)(д:-7)>0 => Ace(0;7)U(8;+«))

-3

+-1,5 О

7 8

5) (х -1)

=> х е

6) (^ + 3)

168

i;+ co ) ^ r - J

< 0 o ( x + 3) ( '4 ) <0

;te(-<=o;-3]U l . J .2 ’ 2

-3+ - +

_ i I ^2 2

64 9 .1) 5 > ^ v 7 o 2 5 - 2 v 4 9 , 5 0 > 4 9 => 5 -Д > 7 ;2 ) 9 v 4 > / 5 < » 8 1 v 6 - 5 , 8 1 > 8 0 = > 9>4л/5;3) lO^/Гivll^/io-t:^>lOO•llvl2 1 •IO ,П 0O < 12 1O=> io>/rT <iiV io;4) 5 > / 6 v 6 , / 5 o 2 5 - 6 v 3 6 - 5 , 150<180=> 5л/б<6>/5;5) 3V5v 2 ^ < » 2 7 - 3 v 8 1 0 , 8 1 > 8 0 => 3 ^ 3 > 2 ^ ;6) 2 ^ v V 2 - V 5 o 6 4 - 3 v 8 - 2 5 , 192<200 => 2 ^ < y l 2 - ^

650.

X X X _-------+—>x+58 4 2 |;с-2д: + 4;с>8л: + 40

5л: < -4 0 15;c<-2

jc < -8

2x < -----15

x = -9

651.

Ъ - 2 х ^ 1 х - 5 ,2 ^ 2 * ^ ^ ГЮд:-3 + 2л:>7л:-5 + 2д:

l x - 2 ДГ-2 '^ [2 8 ;c -^ -2 4 jc < 6 0 -3 x + 6 '^

3 x > - 27jc<74

о

2x > —

34

jc< 1 0 -7

10

- | + 3 > 2 , 5 - i > - 0 , 5652. 1) > 2 , 5 0 2 о 2 о

2f + 3 < -2 ,5 X ^- < - 5 , 5

x> -1 л:<-1Г

2) |3jc- 2 | > 1 0 c >3;c-2>103 x -2 < ~ 1 0

3;c>123jc< - 8

x> A

j c < - 2 ~ ’3

3) l5 x -3 |< 7 <=> - 7 < 5 jc- 3 < 7 <» -4< 5д:< 10 о ~0,8<;c<2;

4) 2 + 5x :^0 <=> 2 + 5jf = 0 о x = -0,4.

169

653.1) лУ ?<1<=>|х|<1<=>-Кх<1;

2) > 1 <=> |jc| > 1 о ^ ;JC “ 1

3) y]( .x -\ f < 1 о |х - 1 |< 1 < » - \ < x - \ < \ о 0 < x < 2 ;

4) y ] ( x - l f > 1 о |л ; - 1 |> 1 оx - l > \ x > 2

x < 0654. 1)л’ > -3 2 О x > -2-,2)х’’ < Ш о x< 2;3)х'‘>81 <=> / - 8 1 > 0 о (л^-9Хх^ + 9 )> 0 <=><» (д:-3)(л + 3 )> 0 +=> j t s (^ ; -3 )U (3 ;+ c o ) ; -34 ) / < 6 4 О ;t‘ - 6 4 < 0 <=> (;с^-8Хл^ + 8 )< 0 <» (л: - 2)(:с + 2х + 4)(х + 2)(;с - 2х + 4) < О О О (х-2)(л: + 2 )< 0 +

j c s ( - 2 ; 2 ) ; -2 2 д:

1д:*>1

6)х‘^<1 О л:<1; 7)л"*>1 О О

л>1х < -1

8) л: '“ < 1 <=> — < 1 о

(д.-ьЗ)(д:-7)>2 - х -3 2

=> xe(-oo;-3)U (2;7);

2) (£ ± 1 X 1 -^) < О - , - .JC+5 -5 _1

=> x e (-5 ;-l)U (4 ;+ o o );

3)х + 5 (дг + 5) -5 _з

=> X6 (-5 ;3 ]и [4;+со);4) x ^ - 7 x + l 2 ^ Q ^ i x - ^ x - 4 ) ^ ^ ^ ^ -

л - 1 Х -1 1 3 4=> д г е (-о о ;-1 )и (3 ;4 ) ;

(х-1)(л; + 2)(;^-3) _ + (х -4 )(х + 5 ) T s ^ \ Г Г

=> д: € ( - » ; - 5 ) и (-2; 1) и (3; 4);170

+ - +

(^^7X ^-3) + _ + _ (8 -х )(х + 6)(:с-1) -------- Г Т

=> ;ce(-7;-6)U (l;3)U (8;+oo).

656. 1) Заметим, что { a - b f <=> - 2аЬ + Ь > О <=><=> ~аЬ + Ь >аЬ.

8 Jf

2) Заметим, что при Ь>0 :1>/2 J

> 0 <::>

о ^ —^-Jb + l iO о ^+l>>/26.2 V2 2

3) Заметим, что при а О: ^ О <=><=> > О ол ^ + д'^ > 2 .

3 34) Заметим,, что при а>0: ^ 0 <=>

3 _20 йг - 2а - а > о <=> > 2 .657. Пусть это числа а и тогда:fa + Z =-120 Г2 г = 125 [ 7 = 6 2 ,5 ^ . . . . . с1 1. с юл Ответ: 57,5; 62,5.[а -^ = 5 [6 = 1 20-д [6 = 57,5

658. Пусть — скорость течения реки, тогда:3(25 + JC) = 4,5(25 - л:) о 75 + Зд: = 112,5 - 4,5;с <=><=> 1,5х -~37,5 <=> JC = 5 км/ч. Ответ: 5 км/ч.659. Пусть X —- скорость течения реки, тогда:2,4(16 + д:) = 4 -(16 -д :) <=> 38,4 + 2,4х= 64 - 4л: <=> о 6,4jc = 25,6 <=> JC = 4 км/ч. Ответ: 4 км/ч.660. Пусть X — скорость катера, у — скорость течения, тогда:

15(л: + ;;)-1 = 15 \x-\-y(;с-у)-1,5 = 1 5 ' ^ Ь - у = 10'^

{2у = 5и = 1 0 + .

У = 2,5 (км/ч) JC = 12,5 (км/ч)

. Ответ: 12,5 км/ч; 2,5 км/ч.

661. Пусть длина основания — х см, тогда длина боковой сторо­ны — 13л: см, периметр равен 54 см, имеем: лг + 2-13д: = 54 <=> 27д: = 54 <=> л: = 2смСледовательно, длина основания — 2 см, боковой стороны — 26 см. Ответ: 2 см, 26 см.

171

662. Пусть скорость прежнего трамвая — х км/ч, тогда скорость но­вого — (л + 5) км/ч. Новый трамвай проходит 20 км на 12 минут бы­стрее, имеем:20 20 12 100 + 20х~20д: 1-------------= — о ---------------------- = — <=>JC л: + 5 60 Jc(jc + 5) 5

+ 5х = 500 <=> + 5д: - 500 = о^ = 20 ,=> л: = 20 км/ч — скорость прежнего трамвая.X - -25

Следовательно, скорость нового — 25 км/ч, а расстояние в 20 км он20 4 4проходит за ^ J ч = J - 60 мин = 48 мин.

Ответ: за .48 мин.663. Пусть скорость рейсового автобуса — х км/ч, тогда его ско­рость в режиме экспресса — (jc + 8) км/ч. Время, затраченное на маршрут в 16 км, сокращается на 4 мин, имеем:16 16 ^ 4 16;с + 16»8~16л: . 1X ;с + 8 60 Jc(jc + 8) 15

д: + 8д:== 1920 <=> д + 8л:- 1920 = 0 О

=> д: = 40 км/ч.д: = 40

Следовательно, скорость в режиме экспресса — 48 км/ч, а время, за­трачиваемое на маршрут, составит

^ ч = - 60 мин = 20 мин . Ответ: за 20 мин.

664. Пусть площадь меньшего участка — х га, тогда площадь боль­шего — (jf + 2) га. С 1 га меньшего участка собрали на 5 ц больше, чем с большого, имеем:920 875 ^ с ^ 920JC + 1840-875X с ^

X X +2 х(х + 2)

S.y + 1840 ^ I ^ ^ 2х) = 5{9х + 368) оX +2х 1

<=>д:^-7д:-368 = 0<»;с = -16

920Следовательно, с меньшего участка собрали = 40 га, с больше-

го — - | Ц - = 35 ц. Ответ; 35 ц„ 40 ц.

172

665. Пусть первый насос выполняет работу за;с ч, а второй— зах + 2 ч. Примем всю работу за единицу, тогда производительность первого —

i , второго — . Работая вместе 2 ч 55 мин, они выполнят всю ра-

6orry:(i. 2 41 = 1 « • ~ = 1 ох+21 60 х(л+2) 12

« • 70x+70=12t^ + 24x о 12х^-46*-70 = 0 о 6х^-23ж-35 = 0 £> = 529 + 840=1369

2 1 t ^ = 5 ‘ 12:

Следовательно, первый насос мог бы очистить пруд за 5 ч, а вто­рой — за 7 ч. Ответ: 5 ч, 7 ч.666. Пусть с^час дочке х лет, отцу — 4х лет, пять лет назад отец был спфше дочки в 9 раз:4jc- 5 = 9(x- 5) <=> 4 х - 5 = 9дг-45 о 5дг = 40 <=> х = 8 Следовательно, дочке 8 лет, отцу 32 года.Ответ: 8 лет; 32 года.667. Пусть за 1 мин скорость поезда увеличивается на х м. Тогда че- рез 25 мин скорость поезда составит 25jc м / м и н , имеем:

25jc = 6 0 < = > 25л = 1000 о jc = 40 м/мин — ускорение поезда. 60

Ответ: 40м/мин1668. Пусть за 1 мин скорость поезда увеличивается на х м. Тогда че­рез 10 мин скорость поезда составит \0х м/мин, имеем:

\0х = 30 о IOjc = 500 о дг = 50 м/мин — ускорение поезда, ои

5 = = ^ ^ = 2500 м = 2,5км.

Ответ: 2,5 км.

669. 5(/) = + V : 137,5 = i|^l+3/<=>4,9/^+3/-137,5 = 0

£> = 9 + 4 • 4,9 • 137,5 = 2704 = 52^_ - 3 f 5 2 _ 4 9 _ .Q

4,9 " 4 : 9 " ’°''- 3 - 5 2 = > /= 1 0 с

Ответ: через 10 с.173

670. Пусть скорость велосипедиста — х км/н, пешехода у км/ч., Составим уравнения:

(л: + >;)*2 = 40. ,40 40 <=>— = ------7,5

У

y:=^2Q-x

л: 20 х ~ '

y ^ 2 Q - x800-40д:-40л:

,v(20-jc)= -7,5

у = 2 0 - ху = 2 0 - х

7,5 x ^ - 1 50л: = -80х + 800 ^ j?. 5л:' - 70л: - 800 = О D = 70 + 4 • 7,5 • 800 = 28900 = 170

70 + 170 ^ I Л ^X = 16 ^

. Следовательно, скорость велосипеди-у = 4

1570-170

15< 0

ста — 16 км/ч, пешехода — 4 км/ч. Ответ: 16 км/ч; 4 км/ч.671. Пусть автобус двигался со скоростью х км/ч, после остановки он стал двигаться со скоростью (л: + 15) км/ч. Автобус ликвидировал отставание в 12 мин на перегоне в 60 км, имеем:

60 _ 60 12 60 60 _ 1 JC + 15 ;с 60 ;с + 15 jc 5о бО х-60^-900 ^ ^ ^ 4S 0 0 ^

х(х + 15) 5

о х '+ 15д:-4500 = 0<=5л: = 60х = -75

х = вО — первоначальная скорость автобуса.Следовательно, скорость автобуса на перегоне —^ 75 км/ч.Ответ: 75 км/ч.

672, Пусть длина поезда — х м, тогда скорость ^ Поезд прой-6

дет мимо платформы, когда пройдет путь равный сумме длины платформы и своей собственной, имеем:

15 4 = 150 + JC о 1,5л: = 150 <=>л:= 100 м — длина поезда, о

100 2 2Тогда - ^ = 16—м/с — скорость поезда. Ответ: 100 м; 16 — м/с.6 3 3

673. 1) 1 = 3 - 0,5 • 4 1 = 1 — верно => А принадлежит.Точка пересечения с Ох: 0 = 3 - 0,5jc <=> л: = 6 => (6 Точка пepJeceчeния с Оу: >» = 3 - 0 у = 3 => (0;3) Х - 2 ) = ^ - 0 ,5 ‘ (-2) = 4.174

0).'

\

2) -1 s=—-6-4<=> -1 = -1 — верно A принадлежит.

Точка пересечения с Ох\ О = ~ дс - 4 <=> = 8 => (8; 0);

Точка пересечения с Оу: > = —~ 0-4<=>>^ = -4= > (0 ;~ 4 );

Я -2 ) = | ( - 2 ) - 4 = -5 ;

3) -1,25 = 2,5 ♦ 1 ,5 -5 О -1,25 = -1,25 => А принадлежит.Точка пересечения с Ох\ О = 2,5jc - 5 <=> х = 2 => (2; О).Точка пересечения с Оу\ = О • 2,5 - 5 <=> > - -5 => (0; -5);><-2) = 2 , 5 ( - 2 ) - 5 — 10,4) Ч),5 = -1,5 • 4,5 + 6 <=> -0,5 = -0,75 — неверно ::=> ^ не принад­лежит.Точка пересечения с Ох: О = -1,5х + 6 <=> д: = 4 (4; О).Точка пересечется с Оу\у = -1,5 ♦ О + 6 о ^ = 6 => (0; 6).

674.1) 2)

675. 1)

1-

'У 1

' ' ' ' ' 'о. X

3)

1 \ у ^ ( х + 2 , 5 У -

\ w * 1 • 1 1 1 ►

4-X

5)у = х^ + 2 х ~ г = х^ + 2 х + 1 - 4 = { x + \ f - 4

\У

\ 0 / , , , , ^

4 ) у = х ^ - 4 х + 5 == (х --4 х + 4 )+ 1 = (д :-2 )^ + 1

6)у = - х ^ - З х + 4 == - х ^ - З х - 1,5 + 6,25 = = - ( х + 1,5)= + 6,25

176

676. I ) y = x^-8x+l6- , = | = 4iv, = 4^ -8 -4 + 16 = 0

Ответ: (4; 0).

2)y = X^- 10;

Ответ: (5;-10).

3)y = x + 4 - 3

Ответ: (-2; -7).

2)y = x ^ - l O x + \ 5 ; X, = Y = 5 ;y , = 5^ -10- 5 + 1 5 = -I0

3) у = + 4 - 3; X. = : ^ = - 2 ; j;, = (-2)^ + 4(-2) - 3 = - 7

4 ) y ^ x ^ - 5 x + i; д г .= |; y , =

Ответ: f l . _ n,4 ’ 8 /'

67 7 .1)> = ;с^-7д:-10 = ;с^-7;с + 3,5^-3,5^-10 == (л: - 3,5) - 22,25 > -22,25 — наименьшее значение;2)y = -x^-h8x^7 = -x^ + 8 x -1 6 + 16-h7 == -{д:-4)^ + 23 < 23 — наибольшее значение;

3) у = -х^ - х - 6 = х^ -хч- — - — ~ 6 =4 4

= (л:-^) — наименьшее значение;

4);; = 4-Зл:-л:^ = -;с^-Зд:- 1,5^+ 1,5“ + 4 == -^х~ 1,5) + 6,25 < 6,25 — наибольшее значение;

678.

1)

-5 -2

177

- 4 = 3jc о < ^ х ^ - З х - 4 = 0 <=>

о (х+ 1)(;с-4) = 0 <=>

Ответ: д:= 3; 4.3)у = (х+\ ) (х + 3 ) ^ =;с^4д: + 3=(д: + 2)2-1

(;с+1)(;с + 3) = - х - 3 <=>

<=> (;с + 2)(;с + 3) = 0 о

jc = 3 х = 4

-jc = (jc + 3 )2 + 1 <=><=> + 7д: -ь 10 = О С:>

о (;с + 2)(;с + 5) = 0 <=>

Ответ: х - -2; -5.4);с^+ 1 =д:+ 1 <» <=>jc -jc = 0 <=>

O jc(jc -l)(jc+ l) = 0 <=>

х = -2х ^ - 5

х = \ х = 0

= -1

х = -2 х = -3

178

3) 4)

1) < / 5 ; 3 v ^ « 5 , 3 v 5 i c : > 0 , 3 v i < ^ ^ v i | .

63 63 V 9 7 •

681.1) 2)

rI79

3) 4)

-2

6)

<0

у*-2(х+2)

<0

1

|'11\ Ь-2(*-ЗУ+1

„ V ,' ' ' ' ' 1 ' 'о 1 3

7)у = л + 2 х - !S <=><=> у ^ х ^ + Тх-ь 1 - 9 <=>O y = ( x + \ f - -9

V

>0 1 / >0

\ -> 1 ^

............: f : ' j0 i .................. .....<0

1 "

С:>у = х ^ - 4 х + 4 - \ <=>

<0

6 ^ 2 . у - cv^ + Ь х - 5 U (- l) = flr-b-5 = 0|я 1 )= " 0 + ^ -5 = 6 Ответ: а = 8; 6 = 3. 180

< ^ y = ( x - 2 f - -1

у>;=jr-4x+3/

>0 \ /1

' ' ' ' ' ' ' 'о l \ ^ ^ 3

а - Ь = 5 fl + 6 = l l

2а = 16 Га = 86 = в - 5 ‘ Ь = 3

683.> (-1) = а - 6 + с = 1yiX) = a + b- \ -c -0 o2Z» = -l<=>6 = —

= 16бг + 46 + с = 3

Имеем:а — + с = 0 « I2 2а + 2с = 1

/ <=>! о1, . \ l6 a + c = 51 6 а - 4 —+ с ^ 3

2а + 2с = 1 32i? + 2c = 10

J30a = 9 l2c = l^ 2а

10

= i - - i ^ 2 10

Ответ: а = 0,3; Ь = -0,5; с = 0,2.

684.1)

0 = 0,3 с = 0,2

2)

.....................0

U i - 2 /1 JC у U ?

-2

13)

..................... 0"

4)

L i . ,

X

'2

Л ч ^ , i 1 1 1 1 1 1 ^ / Г . - . i—U-

181

гз1

(г (I -S89

6 8 7 .1) у =6 X y X < \

—, X > 1X 2)y =

2 , x > - \

нечетная.

688. 1)><-х) - 2 ( - ; с) ^ - Н = 2х - W=><Jf) => четная;2) Л-х) - (~ ) + ( - x f = -jc + jc => является четной или нечетной;

3) у{-х) = ^ ( - x f -1 = +1 => не является четной или нечегаой;

689.1) Да, при п = 4; 2) да, при я = 5; 3) нет.

6 9 0 .1 ) a ,= tg ( i .a , ) = t g ( | . ( - l ) ) = - l ;

2 ) « 3 = tg ( f " 2 ) = t g { f ( - l ) = -1;

И tg

tg If--))]I J - - » = -1 ;

= -1 .

3) Oj = tg

4) e,„=tg

5) o„= tg(^ a„.,) = t g ( | . ( - D

691. Д7 = Д | 4- 6d <=> —5 = 7 + 6^ <=> 6i/= —12 <=> i / = —2.692. flfio = <=> 4 = ai + 9 ♦ 0,5 C:> = 4 - 4,5 <=> a \ - -0,5.693. 1) = fli + flf(w - 1) <=> 459 = flfi + 10 • 44 С5»

<» e, =459 - 440 о o, = 19. 5, = f L ^ . „ = 1 2 d ^

Ответ: 19; 10755.

45 = 10755

183

2)a„=^ax 'd{n-\ ) о 121 = - 5 • 16 <=> a, = 121 + 80 <=> a, = 201

5_ = 201 + 121 •17 = 2737.2 2 Ответ: 201; 2737.694. flTs = fli + о -6 = -2 + 4с/ <=> = -1;

= ai + c/(w - 1) <=> -40 = -2 - w + 1 <::> n - 3 9 . Ответ: n = 39.

,695. Найдем^: q = -fiJ- = i , тогда

о. о. 2

1024 fi— ! - ) , 1024/

' 41023

32

682.

Ответ: 682.696. 1) b„ = b f => -5000 = 5 • (-10)"-' => и = 4;

2 )6 ,= 6 ,^ ’ =><7’ = - |= > 9 = i ;

3) *6 =*3-9’ =>?’ = ^ = > 9 = ^ . bj=q^-b, =>6| = - ^ = 64;

4 ) b , : b , = b , : b , ^ b , = ^ = ^ .

697. Из условия следует, что b\ = Z,q = 2.Найдем; 6„ = fc, • ?"■' => 96 = 3 • 2""' « - 2""' = 32 о л = 6.

Найдем: 5«: 5, = = 189.

Ответ: 189.698. 1)сгю = аз + 7с/=> -3 = 25 + 7 с /О 7 с /= -28 <=> с/=-4;оз = с?1 + 2с/ => 25 = с?1 - 8 <=> czi = 332)с?7 = с74 + Зс/=> 19=10 + Зс/<=> Зс/=9 <=> d=3\«4 = C7i + Зс/ => 10 = £?i + 9 => flti = 1.

сг, -fc?, = -гС7, + 2с/ + сзг, + 6</ = 4 С7, +С/ + С7, +13с/ = -8

Г2а,+8с/ = 4 о -s О

[2с7,+14с/ = -8184

6с/= -12 с7, = 4 - 4с/

<=>с/= -2 с?. = 1 2 ’

4)02+^4 =1^Л,-О, = 28

а, =14 a ,+ 4 t/ = 2

а, =2

Ц+4<^ = 14

5)=110

8 «

а , 4 * f l t j = 1 6

а, а, = 28

а, =14 rf = -3

к =2 ’ V = 3

| 2a,+rf-19

^5=2.а, = 2 <75 =14

а, =14

•20 = 110

«15-«5 = 3

2a,+19rf = l l

а, + \ A d — (а, + 4^/) = —

10rf = |о

d = - ^15

11 76 2л = 11------‘ 15

<=>^ = 1

1589 ^2930 30

6)a^+a^+d + a^+ld = 15

U + d

U -5 - '

+ d = 5 (0 |= 5 -£ /О ■ <=> < о

(5 + с/) = 80 \ 2 5 - d ^ = \ 6

d ^ = 9 а, = 5 - d

d - Ъ

а , =2

d - ^ -Ъ а, =8

699. 1) АГ,0 =^9+^ = "п - d ^ ^ { a , + d + a^^-d)==

= { ( « , + « . . ) = | ( - 5 + 7 ) = 1 ;

2) а,о = а, +аГ = а„ -аГ = у (а , +</ + о„ -</) = ^ (а , +а„) = -5 ;

3) 0 ,0 = а, +rf = а„ -< / = i ( o , + rf+ a„rf+ a„) = | ( о , +о,„ + в„) = 4 .

185

700.S, ^ - 3 5

2a,+6d = - l 0

2 f L l i l . 7 = -35

-42 = -1680О

a,+3c/ = -5 2a.+41c/ = -80

2л,+41^/ = -80'35d = -10 a, ^ - 5 - 3 d

_^2(л+1) _22я , 322n }2л

б/ = -2 a, =1

9 => является;

2 ) 9 =

3) 9

23"3

/7 + 12(/1^1) /1

In( - 1 Г '

— зависит от п не является;

я+14) q = - ^ = - l

К ( - 1)i - i y - 2 " 1— = -•-=> является.

(-1)"-2"-2 2

,«2. „ S. . i ^ = . j 7 2 . M z M ± W )

С:> + ^ + 1 = 3 1 О q ^ - ^ q - 3 0 = 0 Оq = -6 q = 5

^)(Я - 5) = О <=>

Ответ: = -6 ; 5.. 4 с _ b , { \ - q ^ ) _ \ . ( y - q X U q ^ q ^ ) _2) 5 з ----- j _ : ^ 1 5 7 - --------- — ---------

О +^ + 1 = 157<=> ^^+^-156 = 0 = 12

<=>( + 13)(^-12) = 0<=>

Ответ: q = 12; -13. = -13

3 ) 5 , = А ^ о 5 з = 4 ^ - 5 з = ¥ ^ - 3 7 2 = 1 -9 q \ \ - q ) q W - q )

_ 300(l-9)(l4-g + > _ 25(1 + 9 + 9^) _9 (1 -9 ) 9 '

186

« > 259Ч 25? + 25 = 3 ^ о 6^ ^ -259-25 = 0

£) = 25 + 4 - 6 - 2 5 = 2 5 -4 9 = 35 ; Я = Щ ^ = 5 \2-6

Ответ: 5;О

4) S, = M z i ! ) ^ ,57 = l l i O z i X l l l l i ! )1 -9 1 -9

■»1 + 9 + 9 ' = Щ - * > 9 ' + 9 - 5 ^ = 0.

( > г в е т : 9 = - ^ ^ ; - 1 | .

1 2 ’ 12 ’

703. 4 =^2 ^ J_

" 2

i 2 _ '. i r .

I 6

-36”-'

3(-6 )-

A = “ = ^ ^ .= -f= + 3 ;^ = Z > ,.^ " -= T 3 .

6

Ответ: 6, = -3 ; 9 = - | ; 6, = - ^

или5, = 3 ;9 = - - | ; * . = ; ^ -

704. b\ = 63-65 =>6, =6-24<»6,^ = 1 4 4 о 6 , =±12;

Ответ: Z4 = 12, = -2 или Z>4 = -12, = 2.

705. Из условия следует, что bj = *|, 65 = 27.

Найдем q: Ъ\ ' -=> Я* = ^ = 81 ^ = ±3 .

Тогда 6, = i , 62 = 1, Ьз = 3, *4 = 9,65 = 27 или 6, = i , *2 = - 1 , 63 = 3, Й4 = - 9 , 65 = 27 .

187

О б , -242 = 484 - 2 « . 6, = 4 ;65 = 6, • 9" = 4 • 3“ = 324. Ответ: b\ = 6; Й5 = 324.

X-q q ^ ( \ - q )

9 (1 -9 )

20? ^ -9 - 1 = 0;D = 1 +80 = 81; 9,j =

0,024

l± 9 = i . _ i40 4 ’ 5

0,25'0,024

0,3840,6

(-0,2)'Ответ: b\ = 0,384^; q = 0,25 или b\ = 0,6, q - -0,2.

707.1)Z>,+Z>2=20

2)

2 + 63 = 60

6,0 + 9) = 20 6. - 9(1 + 9) = 60

6, + 62 = 606 ,+ i j= 5 1

6, + 6, • 9 = 20

6, -9 + 6, -9 =60

6,-(1 + 9) = 2 0 ^ | 9 = 3 ^9-20 = 60 U - 4 = 20

9 = 3 , 6, = 5 ’

+ 6, • = 60

6, + 6, - 9 =51ft, (1 + 9) = 60

6, (1 + 9 ) = 51

= > = I 7 о 17 + 179 = 20 + 2O9- о1 + ^ 51

209^ - 179 + 3 = 0; £> = 289 - 4 - 60 = 49; 9 ,,, = = | ;

Тогда h - 60 1 +

60

- I60

37,548

14-14

Ответ: = 37,5; q = 0,6 или Ь\ = 48; q = 0,25.188

708.1) 6, =-^^=>*1 = ^ = 11q 8

. с. _ 1 1 (1 -2 ’ ) _ з . ,5 , ------ ------------------------ iT 2------Ответ: 341.

2) ft, =г^-9’ =>9’ = ^ = | | « - ? = 2

Oraei: 341.

_ Л ( 1 - < г ^ ) ^ , . . _ > , ( 1 - 2 ^ ) „

о 31*1 = 341 о i , = l l . Отвегг: 11.

4 ) i ,= 6 ,-9 ^ = > 9 ^ = -!^

1 -2

= 4<=> = ±2

^ f c . ( l - g ’) fcig^(l-g’ ) h i l - q ^ )1 - 9 ?^ (l-9) 9Ч1-?)

44(1-(±2)’ )_П 1.31_Г341 4 ( l - (± 2 ) ) " [ l l l l “ [ l 2 r

Ответ: 341 или 121.дг+д/ + г = 25

дс + z709. 2> о

Имеем

(y + \ f =xz

(5 + iy

дс + д/ + г = 25jc + z-4>^ = 0=> 5;/= 25 <=> > = 5

(y + 1) =xz

|д: = 18xz fjc + z = 20 [2 = 2

jc + z - 2 0 = 0 xz = 36 ^ Jx = 2| z = 18

Ответ: лг= 18;^ = 5;z = 2 илих = 2;>^= 5;z = 18,710. X, V 4 -3 jc , 3 - 2x — последовательные члены геометрической

прогрессии о (> /4-3jc] = х(3 -2 дс) <=> 4 - З х = Здг-2х^ <=>

<=> 2х^-6г-Ь4 = 0 <=> x^-3jf + 2 = 0 <=>189

<=> ( х - 1)(х-2) = 0 <=>X = 1 jc = 2

Ответ: д: = 1; 2.711. Пусть в турнире участвовало п шахматистов.Количество игр будет равно (« - I) + (« - 2) + ... + 1

Имеем: = 78 <=> = 156 <=> w" - a7 - 156 = О <=>

<=> (я-13) («+12) = 0 <=> « - 1 3 = 0 л=13Ответ: 13 шахматистов.

.. : ;:i и..-.п190