图书馆 第四章 刚体的转动 rotation of a rigid body rotation of a rigid body
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第四章 刚体的转动 第四章 刚体的转动 rotation of a rigid bodyrotation of a rigid body
本本章章使使用用说说明明
为了培养学生独立获取新知识的能力，这一章先不讲，由学生自学，并要求学生在认真看书的基础上，写出本章小结，并完成老师留的作业，之后老师再总结性地讲解，通过一些例题，消化所学内容。
一、基本概念 一、基本概念 basic conceptionbasic conception
1 、刚体： rigid body 在力的作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体。（组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变）是一种理想模型。
2 、刚体的平动： translation of a rigid body
刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的运动。 ( 刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同）
3 、刚体绕定轴转动： rotation of a rigid body around a
fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。
6 、刚体的转动惯量： rotational inertia (moment of inertia)
O
v
P
×
, α
r
r
定轴
刚体
参考方向
θ
z
222
2
1
2
1 kkkk rmvmE
222
21
21 zkk JrmE
2kkrmJ
dmrJ 2
4 、角速度矢量： angular velocity vector
rrv
5 、刚体的转动动能： rotational kinetic energy of a rigid body
（质量连续分布时）
7 、刚体的角动量： angular momentum of a rigid body
由质点的角动量（对一给定点而言）
O
v
P
×
, α
r
r
定轴
刚体
参考方向
θ
z
vmrprL
定轴转动的角动量
)( 2
iii
iiii
iizz
rm
rvmLL
JLz即：
8 、力矩的功： work done by torque
dMdA z 2
1
dMA z
M
dt
dM
dt
dAp
B 、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对内力矩的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功 相对位移为零 . ）
M
A
p
M
A
p
rdFdA 2
当 与 同方向， 和 为正 当 与 反方向， 和 为负
C 、功率：
A 、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移的积来表示功更为方便而己。
二、基本规律 二、基本规律 basic lawbasic law
1 、转动定律 law of rotation
JM
dtd
JJM z
（在转轴上的分量式）
dt
dL
dtJd
dtd
JM zz
)(
（相当于 ）amF
刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率
或：
说明 ：A 、动能定理也与质点动力学中讲的动能定理相同，只是动能的表示形式不同而己，
2 、转动动能定理 rotational kinetic energy theorem
)2
1( 2 JddJMddA
21
22
2
21
21
)21
(2
1
JJJddMA z
dtd
JJM
dd
Jdtd
dd
JM
12 kk EEA
B 、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。
3 、定轴转动刚体的角动量定理 angular momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis
)( 恒量刚体的 JdtJd
dtd
JM)(
)(
JdLddtM
12
2
1
2
1
)(
JJJdMdt
t
t
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量 ------角动量定理。
所以
由转动定律
4 、定轴转动刚体的角动量守恒定律law of conservation of angular momentum of a rotati
onal rigid body around a fix axis
当物体所受合外力矩等于零时，物体的当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变。角动量保持不变。 -------------- 角动量守恒定律角动量守恒定律
0M
恒矢量
JL
若
则
12
2
1
2
1
)(
JJJdMdt
t
t
由角动量定理
说 明 说 明 1 、 角动量定理和角动量守恒定律，不仅适用
于宏观问题，也适用于原子、原子核等微观问题，因此角动量守定律是比牛顿定律更为基本的定律。
2 、 角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯性系。
3 、 角动量保持不变、恒矢量： ① 不变， 也不变 ② 变， 也变，但 保持不变。
JJ J
4 、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动量，但不能改变系统的总角动量。
应用举例应用举例 1 、花样滑冰，芭蕾舞演员的表演：（绕通过重心的铅直
轴高速旋转，由于外力（重力，支撑力）对轴的矩总为零，角动量守恒，通过改变自身的转动惯量，来改变角速度）。
2 、直升飞机尾部竖直的尾翼（产生一反向角动量，避免在水平面打转）
3 、跳水运动员，跳马（伸直，以初角速度起跳；卷缩，减小 J ，以增大角速度；伸直；入水时 J 增大了，减小角速度以保持竖直入水）
三、解题指导与典型习题分析三、解题指导与典型习题分析
若已知角速度或角加速度及初始条件，求运动方程可用积分 法
1 、运动学问题 Problem of kinematics of a rigid body
刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动的角量描述及角量和线量的关系。
若已知运动方程，求角速度或角 加速度等，可用微分法
解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：
3243 43)( ctbtactbtatdt
d
233 126)43( ctbtctbtadt
d
飞轮作变加速转动
例题①（例 4-2 ）： 一飞轮在时间 t 内转过角度 ，式中 a 、 b 、 c 都是常量，求它的角加速度。
43 ctbtat
三、解题指导与典型习题分析三、解题指导与典型习题分析
例题②：一长为 l ，重为 W 的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙 , 当梯子与地面成角时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。
0iF
0iM
2 、刚体的静力学问题 Problem of statics of a rigid body
刚体静力学问题应注意刚体平衡时应满足两个条件
刚体受合外力等于零
整个刚体受合外力矩等于零
解：刚体平衡同时要满足两个条件：
0iF
0iM
解以上三式，得
列出分量方程：水平方向：竖直方向：
以支点 O 为转动中心，梯子受的合外力矩：
021 Nf
01 NW
0sincos2 2 lNl
w
ctgw
Nf221
O
3 、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia
dm
rm
m
ii
dmrJ
rmJ
)(
)(
连续
分立
2
2
J 由质量对轴的分布决定。
对同一轴 J具有可叠加性
三、解题指导与典型习题分析三、解题指导与典型习题分析
例题③ 均匀圆环 ：
例题④ 均匀圆盘：
24
0
22
21
2
2
mRR
rdrrdmrJR
m i
iiC mRRmJ 22
r
C R
2mRJC
例题⑤ 均匀杆：
CA m
l2
l2
x dx xO
l2
3
0
22
3
1
3ml
l
dxxdmxJl
O
2
2/
2/
22
12
1ml
dxxdmxJl
l
C
例题⑥ 证明平行轴定理2mdJJ CO
i i
iiiiiC yxmrmJ )( 222
i i
iiiiiO yxmrmJ )( 222
iiiiii zzdyyxx ,,
C 为刚体的质心， JC 为通过质心轴的转动惯量
i i
iiiiiO dyxmrmJ ])([ 222
i i i
iiiiiiO ymdmdyxmJ 2)( 222
Cii myym
质心通过坐标原
点， yC=0
=m
=0
例题⑦ 证明垂直轴定理J m r
m x m y
z i i
i i i i
2
2 2
例：已知圆盘 J mRz
1
2
2
求对圆盘的一条直径的 Jx （或 J y）。
由J J J
J J
J J mR
z y x
x y
x y
1
42
y ri
x
z
yi
xi
mi Δ
y
x
z
圆盘
R
C
m
yxz JJJ
（薄板）
三、解题指导与典型习题分析三、解题指导与典型习题分析 4 、定轴转动的动力学问题Problem of dynamics of a rotational rigid body around a fix axi
s
刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解。
第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用应用转动定律求解转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体 列转动定律方程，再 列角量和线量的关联方程，并 联立求解。
第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动量守恒。列方程时， 注意系统始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用角动用角动量守恒定量守恒定。
第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动动能定理求解动能定理求解。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律求解。
另 外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程， 进行求解。
如图，一长为 l , 质量为 M 的杆可绕支点 O 转动，一质量为 m ，速率为 v0 的子弹，射入距支点为a 的杆内，若杆的偏转角 =300 ，求子弹的初速率 v0
例题⑧
解：此题分两个阶段，第一阶段，子弹射入杆中，摆获得角速度，尚未摆动，子弹和摆组成的系统所受外力对 O 点的力矩为零，系统角动量守恒：
)1()3
1(0)( 22
0 maMlmva
第二阶段，子弹在杆中，与摆一起摆动，以子弹、杆和地地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是系统机械能守恒：
由（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）式求得：
)2()3
1(
2
121
222 mghMghmaMl
代入（ 1 ）式，得：
其中： )3()cos1(21 l
h
)4()cos1(2 ah
22
22
3/
)cos1()2(
3/
)cos1(22/)cos1(2
maMl
gmaMl
maMl
mgaMgl
gmaMlmaMlma
v )cos1)(2)(3/(1 22
0
此题可否用动量守恒处理？
解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的速度为 vr ，转盘相对于固定铅直轴的角速度为。当人走动时，系统所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴角动量守恒：
质量为 M 、半径为R 的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为 m 的人，在转盘上从静止开始沿半径为 r 的圆周相对转盘匀速走动，如图。求当人在转盘上走一周回到盘上的原位置时，转盘相对于地面转过了多少角度。
例题⑨
02
1)( 22
MRr
vmr r
所以22
21
MRmr
mrv r
设在 t 内，盘相对于地面转过的角度为
tr
v
MRmr
mrt
MRmr
mrvt rr
22
2
22
21
21
其中 为人相对于盘转过的角度，人走一周， 则 因此盘相对于地面转过的角度为：
2tr
vr
tr
vr
22
2
21
2MRmr
mr
质量为 m ，半径为 b 的小球，由静止从 h 高无摩擦地滚下，并进入半径为 a 的圆形轨道。
求 （ 1 ）小球到达底部时的角速度和质心加速度。
（ 2 ）证明如果 b<<a , 要使小球不脱离轨道而到达 A 点，则 h 应满足：
例题⑾ （ 习题 4-9 ）
ah10
27
解（ 1 ）因无滑动，故摩擦力 f 不作功（无相对位移），支持力 N 与运动方向 垂直，也不作功，只有重力（保守内力）作功，所以机械能守恒：
)1(2
1
2
1 22 Jmvmgh c
)2(5
2, 2 mbJbvc
)3(5
2
2
1
2
1 22
22 mbmbmgh
ghbvghb c 7
10,
7
101
又由于：
有：
整理，得：
（ 2 ）小球到达 A 点不脱离轨道，要求小球在 A 点的速度 vA 和角速度 A满足：
ah10
27
)4(, 22
222
2
b
ag
b
vagvmg
a
vm A
AAA
由机械能守恒：)5(
2
1
2
1
2
1
2
1)2( 2222 JmvJmvamg cAA
:,,, 代入上式后得和将 Jvv AAc
)(2
1)(
2
12: 2222
AAc Jvvmamg 即
ahah70
189,18970
（证毕）
b<<a
长为 l ，质量为 m 的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当夹角为时（见图），求：
（ 1 ）质心的速度 （ 2 ）杆的角速度
例题⑿ （习题 4-11 ）
解：（ 1 ）水平方向不受力， 故质心在水平方向不产生 加速度，质心原来静止，故质心水平方向的速度为零。只有竖直方向的速度。 设任一时刻，质心的位置为： cos
2
lyc
则： 2
sinsin
2
l
dt
dl
dt
dyv c
c
（ 2 ）在杆下滑过程中，只有重力作功，故机械能守恒，对任一夹角，有：
12
2mlJ 由于：
2
sinlvc
22
2
1
2
1)cos1(
2 Jmv
lmg c
代入后 22
222
12sin
4)cos1( ll
gl
)sin31(
)cos1(122
l
g经整理，得：
第四章结束第四章结束