La Transformada de Laplace

Definición. a) La transformada de Laplace (TL) de una función causal se define por

medio de:

L 0

stf t F s e f t d t

En todos los valores s para los cuales la integral impropia anterior converja.

b) Si L f t F s diremos que f t es la transformada inversa de Laplace de

F s lo que denotaremos como:

f t L - 1 F s

A esta conexión entre f t y F s se le suele escribir como f t F s .

TL por definición

Ejemplo 1. Calculemos la TL de la función escalón unitario.

0, 0

1 , 0

tu t

t

Solución:

0 0

limR

st st

RU s e u t dt e dt

, entonces:

1

lim 1sR

Re

s

Observamos ahora que el límite anterior existe sólo si 0s . En este caso, 0sR

Re

, en

consecuencia, 1 1

1U ss s

. De esta manera, hemos hallado nuestra primer fórmula

de TL, concretamente 1

u ts

, 0s .

Ejemplo 2. Calculemos la TL de la función atf t e , para 0t .

Solución:

Ahora,

0

st atF s e e dt

0 0

1lim lim

RR a s t a s t

R Re dt e

a s

1

lim 1a s R

Re

a s

Si ahora estudiamos el límite anterior, llegaremos a la conclusión de que éste existirá siempre

y cuando 0a s . En este caso,

0a s R

Re

por lo tanto:

1 1

1 ,F s s aa s s a

Ejemplo 3. Calculemos la TL de las funciones: a) cosf t k t , b) f t sen k t para

0t .

Solución:

Usamos el ejemplo 2 con 𝑎 = 𝑘𝑖𝑡, entonces:

L 0

k i s t k ie e e d t

0

0 0

cos s

cos s

st

st st

e k t i en k t d t

e k t d t i e en k t d t

También,

L 1k ie

s k i

2 2 2 2 2 2

1 s k i

s k i s k i

s k i s ki

s k s k s k

Por lo tanto:

2 2 2 20 0cos sst s t s k

e k t d t i e en k t d t is k s k

.

De aquí, al igualar las partes reales e imaginarias, determinamos que:

a) 2 2cos

sk t

s k

, 0s

b) 2 2s

ken k t

s k

, 0s

Resumen de propiedades de la TL

Resumimos en la siguiente tabla los resultados discutidos anteriormente.

TABLA DE TRANSFOMADAS DE LAPLACE

Función Transformada

)(tf L 1 F s sF L tf

FÓRMULAS BÁSICAS 1 1

s

1

2 t 2

1

s

3 ,2,1; nt n

1

!ns

n

4

t

1

s

1

5 t 1

1

s

6 ate

as

1

7 atn et

1

! nas

n

8 )(cos kt 22 ks

s

9 )(ktsen 22 ks

k

10 )(cos kth 22 ks

s

11 )(kthsen 22 ks

k

12 atu

s

e as

13

at

ase

14 )(btseneat

22bas

b

15 )(cos bteat

22bas

as

PROPIEDADES BÁSICAS

Linealidad 1 a f t b g t a F s bG s

Transformada de una

derivada

2 tf 0fssF

Transformada de una

derivada

3 tf 0´02 fsfsFs

Transformada de una

derivada

4 tf n 00 11 nnn ffssFs

Transformada de una

integral

5

t

duuf0

s

sF

1° Propiedad de

traslación

6 tfeat asF

2° Propiedad de

traslación

7 atfatu )(sFe sa

Teorema de

convolución

8

t

duutguftgf0

* sGsF

Derivada de una

transformada

9 tft sF

Derivada de una

transformada

10 tft n sF nn1

Integral de una

transformada

11 t

tf

sduuF

Transformada de una

función periódica

12 pperiodotf ,

pst

psdttfe

e 01

1

Cambio de escala 13 )(atf

a

sF

a

1

Ejercicios

Ilustraremos en los siguientes ejemplos el uso de los resultados anteriores e indicaremos en

algunas ocasiones la plausibilidad de los resultados. De aquí en adelante, usaremos

intercambiablemente la notación:

L f t F s ó f t F s

Conservaremos la relación entre minúsculas y mayúsculas para relacionar a la transformada

con su transformada inversa. Asimismo, cada una de las funciones involucradas en las

propiedades supondremos que satisfacen las condiciones de suficiencia para la existencia de

la TL.

1. Linealidad

Ejemplo 4. Calculemos:

L - 1 2 2

4 3 5

2 16 4

s

s s s

Solución:

Por linealidad:

L - 1 2 2

4 3 5

2 16 4

s

s s s

= 4 L - 1

1

2s

-3 L - 1

2 16

s

s

+5 L - 1

2

1

4s

2 54 3cos 4

2

te t L - 1 2

2

4s

(*), fórmulas (6) y (8)

2 54 3cos 4 2

2

te t sen t , fórmula (9).

2. Primera propiedad de traslación.

La propiedad establece entonces que si f t F s , entonces, para cualquier 𝑎 ∈ ℝ:

atf t e F s a

El siguiente diagrama resulta muy sugestivo en este respecto:

at

at

f t F s

e s s a

e f t F s a

Lo que el diagrama dice es que el efecto de multiplicar por ate a la función f t se traduce

en una traslación de s a s a en la TL.

Ejemplo 5. Hallemos:

L - 1 2

1

2 5s s

Solución:

Completamos cuadrados, así

22

1 1

2 5 1 4s s s

. Ahora, pensando en que usaremos la

1° propiedad de traslación, consideramos únicamente a 2

1

4s . De acuerdo con la tabla, la

fórmula (9) nos permite escribir:

2

1 12

2 4sen t

s

.

Por lo tanto:

2

2

1 12

2 4

1

1 12

2 1 4

t

t

sen ts

e s s

e sen ts

En consecuencia, L - 1 2

1 12

2 5 2

te sen ts s

.

Ejemplo 6. Hallemos:

L - 1 2 6 10

s

s s

Solución:

Completamos cuadrados

22 6 10 3 1

s s

s s s

. Consideramos ahora únicamente a

2 1

s

s . De acuerdo con la tabla, la fórmula (8) nos permite escribir:

2cos

1

st

s

.

Por lo tanto:

2

3

3

2

cos1

3

3cos

3 4

t

t

st

s

e s s

se t

s

Claro, nos ha resultado

2

3

3 4

s

s

y no simplemente

2

3 1

s

s . Dicho en otras palabras,

para utilizar esta idea es indispensable que el “corrimiento” de la “s” sea el mismo en todas

partes. Arreglamos esta pequeña dificultad de la siguiente manera.

2 2 2 2

3 3 3 3

3 1 3 1 3 1 3 1

ss s

s s s s

Incorporamos esta idea (“eliminando los corrimientos” en “s”) para hallar:

2 2

3

3

2 2 2

3cos 3

1 1

3

3 3cos 3

3 4 3 4 3 1

t

t

st sen t

s s

e s s

s st sen t e

s s s

En consecuencia, L - 1 3

2cos 3

6 10

tse t sen t

s s

.

Ejemplo 7. Veamos un último ejemplo en este sentido, hallemos:

L - 1 2

1

2s s

Solución:

Nuevamente completamos cuadrados

22 912 4

1 1

2s s s

. Consideramos solamente

2 94

1

s . De acuerdo con la tabla, la fórmula (11) nos da:

323

2 2 29 94 4

2 1 2s

3 3enh t

s s

.

Por lo tanto:

2

2

323

2 2 94

12

323

2 291

2 4

2 2s

3 3

2 2s

3 3

t

t

enh ts

e s s

e enh ts

3. Derivada de una transformada. Antes de establecer esta propiedad, cabe decir que ésta es útil cuando se requiere calcular

transformadas inversas de funciones F s para las cuales resulte “sencillo” obtener su

derivada o su integral indefinida. También, haremos uso de esta propiedad para el cálculo de

TL de funciones trascendentes.

La propiedad establece:

Si f t F s , entonces 1n nnt f t F s , para 1,2,3,...n

Hay una observación que resulta frecuentemente útil: el factor 1n

puede aplicarse en TL

o en la TL inversa, según se requiera.

Ejemplo 8. Hallemos L cosh 2t t .

Solución:

Éste es un ejercicio sencillo, donde sólo debemos identificar que F s es

F s L 2cosh 2

4

st

s

Lo que resta es la aplicación directa de la propiedad de la cual se desprende que:

L 2cosh 2 ( )

4

d d st t F s

ds ds s

2 2 2

2 22 2

2

22

4 2 4 2

4 4

4

4

s s s s s

s s

s

s

Ejemplo 9. Hallemos L - 1 1

arctans

.

Solución:

Primero debemos dejar en claro que estamos buscando f t tal que f t L - 1

1arctan

s

. Para ello, consideraremos ahora un proceso de derivación en

1( ) arctanF s

s

, para utilizar después la propiedad. Al derivar, hallamos:

2

1

2 2

(*)

1

11 1/

sdF s

ds ss

(Donde hemos multiplicado numerador y denominador en (*) por 2s )

Si usamos la propiedad, tenemos:

L 2

1( )

1

dt f t F s

ds s

.

Ya que L 2

1

1sen t

s

, luego t f t sen t , de donde

sen tf t

t .

Ejemplo 10. Calculemos L - 1

2

2 1

s

s

.

Solución:

Un poco de práctica en integración nos dejará apreciar que

2

2 1

s

s tiene una primitiva fácil

de calcular. Así, en primer lugar buscaremos una función F s tal que

22

´1

sF s

s

.

Tenemos:

22

2

1 11 2

2 2 1F s s sd s

s

,

Donde, sin pérdida de generalidad (ver el siguiente desarrollo) podemos tomar al “0” como

constante de integración. De esta forma:

L - 1

2

2 1

s

s

= L - 1

2

1

2 1

d

ds s

11

12

t

L - 1 2

1

1s

2

tsen t

(Observemos la posición del factor 1

1 )

Es decir, L - 1

2

2 21

t sen ts

s

.

Ejemplo 11. Calculemos ahora L - 1 ln s .

Solución:

En este ejemplo nos enfrentamos con la disyuntiva de que tanto la derivación como la

integración de ( ) lnF s s son procesos sencillos. Sin embargo, en términos de la tabla de

TL, podremos reconocer que sin duda, la idea más sencilla es aplicar derivación a F s . De

esta manera:

1

lnd d

F s sd s d s s

.

Así, por la propiedad de derivación de una transformada:

L 1

( )d

t f t F sds s

, donde f t F s

Como L 1

1s

(por la fórmula (1) y la propiedad de linealidad), tenemos 1t f t ,

en consecuencia 1

f tt

.

4. Transformada de una integral. Nuestra siguiente propiedad establece que:

Si f t F s , entonces

0

t F sf u d u

s .

Ejemplo 12. Calculemos ahora L - 1 3

1

4s s

.

Solución:

Nuestra primera observación es que:

2

3 2

1

1 1 4

4 4

s

s s ss s

.

Por lo tanto, L - 1 3 0

1

4

t

f u d us s

,

donde:

2

1

4F s

s

& f t L - 1 F s

1

2 L - 1

2

2

4s

12

2sen t

De esta manera:

L - 1 30

1 12

4 2

t

sen u d us s

0

1 1 1cos 2 1 cos 2

2 2 4

t

u t

Ejemplo 13. Resolvamos la ecuación del tipo integro-diferencial:

0

1t

f t f u d u

Solución: Aplicamos TL en ambos miembros y usamos las propiedades de linealidad,

transformada de una integral y la fórmula (1) de la tabla para obtener:

L 0

t

f t f u d u L 1

L f t L 0

t

f u d u L 1

1F s

F ss s

, donde f t F s .

De aquí 1sF s F s (después de multiplicar la última ecuación por “s”) de donde:

1 1F s s por lo cual 1

1F s

s

Observamos que para terminar sólo nos hace falta calcular la transformada inversa, hallamos:

f t L - 1 1

1

tes

5. Integral de una transformada. Establecemos la siguiente propiedad sin demostración.

Si f t F s , entonces L

s

f tF u du

t

Ejemplo 14. a) Hallemos la TL de sen t

f tt

.

El inciso b) nos llevará a una cuestión que de manera colateral resulta interesante desde la

perspectiva del cálculo de algunas integrales no resolubles con las técnicas estándar.

b) A partir del resultado en a), obtengamos el valor de la integral impropia

0

sen td t

t

.

Solución: a) Tenemos:

L

2 1ss

sen t duF u du

t u

lim arctan

lim arctan arctan arctan2

R

sR

R

u

R s s

b) Para dar respuesta al inciso b) relacionamos el resultado en a) con la definición de TL,

hallamos:

L

0

arctan2

stsen t sen t

e dt st t

Si en el resultado anterior tomamos 0s , obtenemos:

0

0

arctan 02

tsen te dt

t

, de donde:

0 2

sen tdt

t

6. Transformada de una función periódica.

Observamos que esta fórmula es en cierto sentido la misma que aparece en la definición de

TL con dos consideraciones. La primera es que sólo se integra a lo largo de un periodo, la

segunda es que se introduce el factor 1

1 p se .

Ejemplo 15. Calculemos la TL de la función f cuya gráfica se muestra en la siguiente figura.

Solución: Antes de comenzar, observamos que la expresión analítica de esta función en el intervalo

0, 2 , una función periódica con periodo 2p , es:

1,0 1

1,1 2

xf x

x

; véase la figura.

Por lo tanto, de acuerdo con el resultado recién expuesto:

L f t 2

21

1 0s

st

ee f t dt

2

1 21

1 0 1

1 2

2 0 1

2

2

22

2 2

2

1 1

1 1 1

1

11

1

11 2

1 1

1 1

1 1 1

s

s t s t

e

s t s t

s

s s s

s

ss s

s s

s s

s s s

e dt e dt

e ee s s

e e es e

ee e

s e s e

e e

s e e s e

Aunque éste es un resultado perfectamente válido, todavía es posible dar una expresión

alternativa; sólo debemos recordar que la función tangente hiperbólica se define por:

tanhx x

x x

e ex

e e

Si en la última expresión multiplicamos numerador y denominador por / 2se hallamos

finalmente que:

L

/ 2

/ 2

1

1

s s

ss

e ef t

es e

/ 2 / 2

/ 2 / 2

1tanh

2

s s

s s

e e s

ss e e

7. Segunda propiedad de traslación.

Ahora presentaremos una propiedad de suma importancia que nos permitirá resolver en breve

ecuaciones diferenciales en las que aparecen funciones discontinuas. Para entender esta

propiedad es indispensable introducir una función con la que está estrechamente relacionada,

a saber, la función escalón unitario de Heaviside.

Definición. Función escalón unitario de Heaviside.

Esta función (considerada como causal) se define para 0a por:

0,0

1,a

t au t u t a

a t

Dicho sin símbolos, a cada 0t la función le asigna el valor “0” si t se encuentra a la

izquierda de a y “1” si t se encuentra a la derecha de a . El efecto que tiene esta función

sobre otras puede apreciarse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 16. Consideremos la función f dada por 2f t t , 0t y comparemos su gráfica

con 2 2g t u t f t , 0a .

Solución:

En primer lugar, para 0 2t : 0g t ; para 2 t tenemos 2g t f t que representa

un corrimiento de 2 unidades de la gráfica de f hacia la derecha. Al emplear estas

consideraciones obtenemos:

En general, el efecto que tiene sobre una función f la multiplicación por u t a es “correr”

la gráfica “a” unidades a la derecha, proyectando al eje “x” aquella parte de la gráfica que se

encuentre a la izquierda de “a”.

Con esto en mente podemos establecer la segunda propiedad de traslación.

Segunda propiedad de traslación.

Para 0a , si f t F s , entonces a su t a f t a e F s . En particular, si

1f t se deduce que a se

u t as

.

Ejemplo 17. Calculemos la TL de la función

1, 2

; 00, de otra forma

th t t

Solución:

Claro que el cálculo de la TL se podría hacer mediante la definición, pero presentamos otra

posibilidad que nos podría ayudar en situaciones más complicadas. La idea que

presentaremos consiste en escribir a la función “h” mediante una combinación lineal de

funciones escalón unitario de Heaviside para las cuales utilizamos los valores “a” como

aquellos valores que aparecen en la propia función seccionada “h”, así escribimos h de la

siguiente manera, donde A y B son factores desconocidos:

2h t Au t Bu t

Ahora, realizamos el siguiente análisis:

i) 2t : 1 1 0 1A B A .

ii) 2 t : 0 1 1 1A B B A .

De esta manera 2h t u t u t . Por lo tanto, a partir de la propiedad de linealidad

y de la 2° propiedad de traslación, hallamos:

L h t L u t L 2u t

2 2s s s se e e e

s s s

Ejemplo 18. Calculemos la TL de la función f cuya gráfica se muestra en la siguiente figura:

Solución: Nuestra primera observación consiste en la determinación analítica de la función f, ésta es:

2 2,1 2

2,2 3

0,de otra forma

t t

f t t

Ahora, escribiremos a f como combinación (no necesariamente lineal) de funciones escalón

unitario. Proponemos, copiando la idea del ejemplo anterior:

1 2 3f t Au t Bu t Cu t

Aclaramos que en este A, B y C no necesariamente son constantes. Analizamos de manera

similar a lo que hizo en el ejemplo anterior, tenemos:

i) 1 2t : 2 2 1 0 0 2 2t A B C A t .

ii) 2 3t : 2 1 1 0 2 4 2A B C B A t .

iii) 3 t : 0 1 1 1 2 2 4 2 2A B C C A B t t

Luego,

2 2 1 4 2 2 2 3

2 1 1 2 2 2 2 3

f t t u t t u t u t

t u t t u t u t

De aquí resulta (por la linealidad de la TL) que:

L f t 2 L 1 1t u t 2 L 2 2t u t 2 L 3u t

Si ahora aplicamos la segunda propiedad de traslación y las fórmulas 2

1t

s &

a se

u t as

, obtenemos:

2 3

2 22 2 2

s s se e eF s

s s s

Hay un asunto importante a considerar en la aplicación de esta 2° propiedad de traslación.

Debe observarse que la propiedad exige que los argumentos de las funciones f t a

y

u t a

sean los mismos, en caso de que esto no ocurra se debe proceder como en el

siguiente ejemplo.

Ejemplo 19. Calculemos la TL de la función f t sen t u t

Solución:

Como podemos observar, los argumentos de las funciones “sen” y escalón unitario “u” no

son los mismos. Debemos hallar el mecanismo adecuado para hacerlos iguales, procedemos

en este caso de la siguiente manera:

2

cos cos

1

s

f t sen t u t

sen t u t

sen t sen t u t

esen t u t

s