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SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS Y FRACTALES

GILBERTO ARENAS, RAFAEL ISAACS, HÉCTOR MÉNDEZ Y SONIA SABOGAL

Índice

1. Prefacio 22. Sistemas dinámicos discretos 32.1. Los dos ingredientes 32.2. El ejemplo clásico: la Tienda 32.3. Comentarios sobre el Teorema de Sharkovskii 62.4. De regreso a la Tienda 103. Transitividad topológica 143.1. Sucesiones, cubiertas abiertas y espacios completos 153.2. Las órbitas densas sí existen 204. La definición de caos según R. L. Devaney 235. El espacio (H(X) ,h): el espacio donde viven los fractales 265.1. El conjunto H(X) y la métrica de Hausdorff 265.2. Completez del espacio H(X) 325.3. Algunos resultados utilizados 406. La función de direccionamiento 417. El conjunto de los puntos atrapados y la Dinámica Simbólica 498. Equivalencia topológica 559. El omega conjunto límite 5610. Hiperespacios y funciones inducidas 5910.1. Propiedades dinámicas de la función inducida 6010.2. La función inducida en el hiperespacio de los subcontinuos 6811. Un espacio simbólico hiperconexo 7311.1. Preliminares 7311.2. Los elementos de X 7311.3. La topología de X 7511.4. Elementos distingidos de X 7711.5. Preguntas 7812. Breve introducción a la entropía topológica 79Referencias 88

Date: 14 de septiembre de 2011.1

2 GILBERTO ARENAS, RAFAEL ISAACS, HÉCTOR MÉNDEZ Y SONIA SABOGAL

1. Prefacio

Durante el segundo semestre de 2007 se realizó, en la Escuela de Matemáticas de la Uni-versidad Industrial de Santander, UIS, (Bucaramanga, Colombia), el Seminario de SistemasDinámicos Discretos y Fractales. A sus sesiones semanales asistieron los profesores GilbertoArenas, Claudia Inés Granados, Rafael Isaacs, Carolina Mejía y Sonia Marleni Sabogal, to-dos ellos de la Escuela de Matemáticas. De la Escuela de Economía asistió el profesor HéctorAlirio Méndez, y de la Escuela de Ingeniería Electrónica asistió el estudiante Luis AntonioGómez. Finalmente, de la Universidad Nacional Autónoma de México asistió el profesorHéctor Méndez (que en ese semestre se encontraba como profesor visitante en la Escuela deMatemáticas de la UIS).

El interés principal que animó este seminario fue el estudio de los distintos puentes queconectan la teoría de los sistemas dinámicos discretos con la teoría de los conjuntos fractales.Los Conjuntos de Julia, además de su atractivo visual, dan clara muestra de la relación entreestas dos teorías. En muchas ocasiones el correspondiente conjunto de Julia de una funciónf : C → C es un conjunto fractal y es, también, un conjunto invariante bajo f donde sedesarrolla un sistema dinámico discreto caótico.

En este trabajo se hace un recuento de los temas tratados en el seminario. Presentamosuna breve introducción a los sistemas dinámicos discretos. Definimos puntos periódicos yhacemos algunos comentarios sobre el importante Teorema de Sharkovskii. Seguimos con ladefinición de caos dada por R. L. Devaney en 1985. Seguimos con una presentación de losconjuntos fractales. Aparece la métrica de Hausdorff y los Sistemas Iterados de Funciones. Ladinámica simbólica nos da oportunidad de presentar otro ejemplo muy conocido de sistemacaótico, el desplazamiento en dos símbolos. Más adelante definimos los hiperespacios y lasfunciones inducidas. Estudiamos propiedades dinámicas de este tipo de funciones. En lapenúltima sección presentamos un espacio hiperconexo. Y en la última sección ofrecemos allector una breve introducción al concepto de entropía topológica.

El texto cuenta con una buena cantidad de preguntas y ejercicios. Nos parece una excelenteidea que el lector o la lectora dedique un poco de su tiempo a la solución de la mayoría deellos.

En la parte final de estas notas viene una lista de referencias. En ella se encuentranlos artículos y libros donde nos basamos. La mayoría de los elementos de esta lista sontambién textos donde el lector, la lectora, puede seguir el estudio de los temas que más lehayan interesado. A lo largo de estas notas le haremos saber al lector, a la lectora, nuestrassugerencias sobre los caminos que puede seguir en caso de estar interesado(a) en continuarsus estudios en los tópicos aquí tratados.

Agradecemos a todos los que de una forma u otra hicieron posible este seminario y laedición de estas notas. Muy en especial queremos agradecer a la estudiante de la licenciaturade matemáticas de la UIS Leidy Velasco por su ayuda en la realización de varias de lasgráficas que aquí aparecen, y por la captura en Latex de gran parte de este material.

SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS Y FRACTALES 3

2. Sistemas dinámicos discretos

2.1. Los dos ingredientes. Para obtener un sistema dinámico discreto necesitamos tansólo dos ingredientes.

El primero es un espacio métrico, X. El conjunto de los números reales, R, el plano, R2,el conjunto de los números complejos, C, y el intervalo cerrado [0, 1], en la recta real, (cadauno de ellos junto con su métrica usual), son ejemplos de espacios métricos. La métrica enel conjunto X la representaremos con la letra d.

El segundo ingrediente es una función continua del espacio X en sí mismo, f : X → X.Una vez que tenemos estos ingredientes podemos definir, para cada punto x ∈ X, una

sucesión de puntos en X conocida como la órbita de x bajo f ,

o (x, f) =x, f (x) , f 2 (x) , f 3 (x) , . . .

.

Aquí el símbolo fn representa una función de X en sí mismo. Esta función la obtenemosmediante el proceso de componer f consigo misma varias veces: f 0 es la función identidad,f 1 = f , f 2 = f f , f 3 = f f f , y así sucesivamente.

La interpretación que le damos a la sucesión o (x, f) es la siguiente: En el tiempo t = 0 unobjeto se encuentra en la posición x; en el tiempo t = 1 el objeto ha cambiado de posicióny ahora se encuentra en f(x); en el tiempo t = 2 el objeto vuelve a cambiar de posición yahora se encuentra en f(f(x)) = f 2(x); etcétera.

Posiciones: x f (x) f 2 (x) ... fn (x) ...Tiempos: 0 1 2 ... n ...

Desde este punto de vista la pareja X y f nos da un modelo matemático del movimiento.Esto es, nos da un sistema dinámico discreto. La palabra discreto se refiere a que conocemosla posición del objeto que se mueve sólo cuando el tiempo asume un valor entero mayor oigual a cero.

La meta es estudiar todas las posibles sucesiones o (x, f). De manera muy especial nosinteresa su comportamiento cuando n tiende a infinito.

Decimos que x0 ∈ X es punto fijo de f si f (x0) = x0. En este caso la órbita de x0 bajo fes un conjunto muy sencillo, o (x0, f) = x0, x0, ... = x0. Es claro, además que cuando ncrece la o(x0, f) tiende a x0.

De aquí en adelante todas las funciones consideradas son funciones continuas. La letrasX, Y, . . ., representan espacios métricos. La letra N representa el conjunto de los númerosnaturales, es decir, el conjunto de los enteros positivos.

2.2. El ejemplo clásico: la Tienda. Sean X = [0, 1], y T : [0, 1] → [0, 1] la funcióndada por:

T (x) =

2x si x ∈

[0, 1

2

],

2 − 2x si x ∈(

12, 1].

En la figura 1 se puede ver la gráfica de la función T.Busquemos los puntos fijos de T . Si x es elemento del intervalo

[0, 1

2

]y es punto fijo de

T , entonces, por un lado, T (x) = x y, por el otro, T (x) = 2x. Por lo tanto, 2x = x, y x = 0.Si x ∈

[12, 1]

y x es un punto fijo de T , entonces 2 − 2x = x, x = 23. Observemos que estos

puntos son los únicos dos puntos fijos de T .


1

1

Figura 1. Gráfica de T .

Observación 1. Si A ⊂ R, f : A → A, y x0 ∈ A es un punto tal que f (x0) = x0, entonces(x0, f (x0)) = (x0, x0). Por lo tanto este punto, (x0, f (x0)), se encuentra en la intersecciónde la gráfica de f y la diagonal (x, y) : x = y. En la figura 2 se muestra la gráfica de unafunción con exactamente tres puntos fijos: x0, x1 y x2.

x0 x1 x2

Figura 2. Puntos fijos de f .

Damos a continuación una herramienta que nos ayudará a encontrar puntos fijos.Sea [a, b] ⊂ R un intervalo cerrado y acotado.

Proposición 2. Sea f : [a, b] → R.a) Si f ([a, b]) ⊂ [a, b], entonces f tiene un punto fijo en [a, b].b) Si f ([a, b]) ⊃ [a, b], entonces f tiene un punto fijo en [a, b].

Demostración. a) Como f ([a, b]) ⊂ [a, b], entonces f (a) ≥ a y f (b) ≤ b. Sea h : [a, b] → Rdada por h (x) = f (x) − x.

La función h es continua en [a, b] y h (a) ≥ 0, h (b) ≤ 0. Por lo tanto existe x0 ∈ [a, b] talque h (x0) = 0. En consecuencia, f (x0) = x0.b) Como f ([a, b]) ⊃ [a, b], entonces existen α, β ∈ [a, b] tales que f (α) = a y f (β) = b.

Notemos que f (α) ≤ α y β ≤ f (β). Consideramos ahora, como antes, una función auxiliarh : [a, b] → R, h (x) = f (x)−x. Tenemos h (α) ≤ 0 y h (β) ≥ 0. Por tanto, existe x0 ∈ [α, β],o existe x0 ∈ [β, α], tal que h (x0) = x0 y con ello, x0 ∈ [a, b] y f (x0) = x0.

Sea f : X → Y . Decimos que f es:


i) Inyectiva si para todo par de puntos en X, x 6= y, se tiene que f (x) 6= f (y).ii) Suprayectiva si para todo punto y ∈ Y , existe x ∈ X tal que f (x) = y.iii) Biyectiva si f es inyectiva y suprayectiva.iv) Un homeomorfismo si f es biyectiva y continua, y su inversa, f−1 : Y → X es continua

también.

Ejercicio 1. Sea f : [0,∞) → [0,∞). Demuestra que si f es suprayectiva, entonces f tiene,al menos, un punto fijo.

Ejercicio 2. Muestra, si es que existe, un homeomorfismo, f : (0, 1) → (0, 1) sin puntosfijos.

Ejercicio 3. Muestra, si es que existe, un homeomorfismo, f : [0, 1) → [0, 1) sin puntosfijos.

Sean f : X → X y x0 ∈ X. Decimos que x0 es un punto periódico de f si existe n ∈ N talque fn (x0) = x0. Al conjunto de todos los puntos periódicos de f lo denotamos con Per (f).

Sea x0 ∈ Per (f). Decimos que x0 tiene periodo k si k = mın n ∈ N : fn (x0) = x0.Observación 3. Si x0 es punto fijo de f , entonces x0 ∈ Per (f) y x0 tiene periodo 1.

En la figura 3 se muestra la gráfica de una función f : R → R con un punto periódico deperiodo 5. En la figura 4 se muestra lo que se conoce como el retrato fase de esta órbita deperiodo 5.

-1 0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

3

4

5

6

Figura 3. Gráfica de una f : R → R con un punto periódico de periodo 5.

0 1 2 3 4 50

1

2

Figura 4. Retrato fase de la órbita.


Ejercicio 4. Sea f : R → R. Demuestra que si Per (f) = ∅, entonces una de las siguientesdos opciones se cumple:

a) Para todo x ∈ R, se tiene que lımn→∞

fn (x) = ∞, o

b) para todo x ∈ R, lımn→∞

fn (x) = −∞.

Regresemos a la función Tienda. Mostramos a continuación la existencia de un puntoperiódico de periodo 2 para T .

Recordemos que los puntos fijos de T son los puntos 0 y 23. Observemos que

12, 1∩

Per (f) = ∅. Buscamos x0 ∈(0, 1

2

)tal que T (x0) 6= x0 y T 2 (x0) = x0. Obsérvese que si un

punto x0 cumple estas dos condiciones, entonces T (x0) >12

(¿por qué?).

0 x0 12

T (x0) 1

Como x0 ∈(0, 1

2

), entonces T (x0) = 2x0. Como T (x0) ∈

(12, 1), entonces T 2 (x0) =

2− 2 (2x0). Por tanto, T 2 (x0) = x0 implica 2− 4x0 = x0, x0 = 25. Como T

(25

)= 4

5, la órbita

bajo T de este punto es el siguiente conjunto:

o

(2

5, T

)=

2

5,4

5,2

5,4

5,2

5, ...

=

2

5,4

5

.

Por lo tanto, 25∈ Per (T ) y su periodo es 2.

Ejercicio 5. Muestra que T tiene un punto periódico de periodo 3.

Ejercicio 6. Si x0 ∈ Per (f) entonces cada punto y ∈ o (x0, f), es también un punto perió-dico de f del mismo periodo de x0.

2.3. Comentarios sobre el Teorema de Sharkovskii. Un intervalo en R es un conjuntoque tiene alguna de las siguientes formas: (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], (a,∞), [a,∞), (−∞, b),(−∞, b], (−∞,∞), donde a y b son dos números reales tales que a ≤ b. Sea A un intervaloen R y sea f : A → A. Consideremos dos números n, m en N. El teorema de Sharkovskiiresponde al siguiente tipo de preguntas: ¿Si f tiene puntos periódicos de periodo n, será estosuficiente para concluir que f tiene puntos periódicos de periodo m?, ¿Qué relación debentener n y m para que una implicación de este tipo sea válida? Dado que hay una infinidadde parejas de números naturales, el camino hacia la solución de todas las posibles preguntasde este tipo se ve difícil. Lo sorprendente es que en 1965 el matemático ucraniano A. N.Sharkovskii dio una respuesta completa a este problema. En esta sección presentaremos allector algunos resultados parciales. Éstos nos permitirán darnos una idea aproximada delcamino seguido por Sharkovskii.

Proposición 4. Sea n ≥ 2. Si f tiene un punto periódico de periodo n, entonces f tiene unpunto fijo.

Demostración. Sea x ∈ A tal que x ∈ Per (f) y x tiene periodo n, n ≥ 2. La o (x, f) tiene nelementos que podemos ordenar así:

x1 < x2 < ... < xn.


Esto no quiere decir f (x1) = x2, sino simplemente que x1 es el mínimo de los elementos deo (x, f) y xn es el máximo de o (x, f). Ver figura 5.

x1 x2 x3 xn

Figura 5. Órbita periódica de periodo n ≥ 2.

Como n es mayor o igual a 2, f (x1) > x1 y f (xn) < xn. De aquí se sigue que f tiene unpunto fijo en el intervalo [x1, xn] ⊂ A.

Lema 5. Sean A y B dos intervalos en R, y f : A→ B. Sean [a, b] ⊂ A y [c, d] ⊂ B tales quef ([a, b]) ⊃ [c, d]. Entonces existe un intervalo cerrado [α, β] ⊂ [a, b] tal que f ([α, β]) = [c, d].

Demostración. Sean s, t en [a, b] tales que f (s) = c y f (t) = d. Ver figura 6.Caso 1. Supongamos que s < t. Considera los siguientes puntos:

α = sup x ∈ [s, t] : f (x) = cy

β = ınf x ∈ [α, t] : f (x) = d .Como f es continua, f(α) = c y f(β) = d. Por la forma en que fueron definidos α y β,y utilizando el teorema del valor intermedio, se tiene que si α < x < β, entonces f(α) <f(x) < f(β). Así el intervalo [α, β] cumple la condición deseada.

d

c

a bαs β t

Figura 6. El intervalo [α, β].

Caso 2. La demostración para la desigualdad s > t, es análoga al caso anterior.

Proposición 6. Sean A ⊂ R un intervalo, y f : A → A. Si f tiene un punto periódico deperiodo 3, entonces f tiene puntos periódicos de todos los periodos.


Demostración. Sea a ∈ A, a ∈ Per (f), de periodo 3. Sin pérdida de generalidad podemossuponer que a es el mínimo de o(a, f) (ver ejercicio 6).

Observemos que la órbita de a tiene dos opciones de recorrido. En el primero, b = f (a) yc = f 2 (a); en el segundo, c = f (a) y b = f 2 (a):

i):

a b c

ii):

a b c

Demostraremos el primer caso, con la convicción de que la demostración para el otroposible recorrido de la órbita es análoga.

La figura 7 puede ser de ayuda en lo que sigue.

b

c

a

b

c

a

Figura 7. Dibujo que ayuda.

Ya sabemos que f tiene puntos periódicos de periodos 1 y 3.Paso 1: La función f tiene puntos periódicos de periodo 2.Demostración del paso 1. Como f ([b, c]) contiene a [a, b], existe un intervalo cerrado [α1, β1]

contenido en [b, c] tal que f ([α1, β1]) = [a, b]. Como f ([a, b]) ⊃ [b, c], entonces existe otrointervalo cerrado [α2, β2] ⊂ [a, b] tal que f ([α2, β2]) = [α1, β1]. Así:

f 2 ([α2, β2]) = [a, b] .

Como [α2, β2] ⊂ [a, b], entonces f 2 tiene un punto fijo en [α2, β2] . Sea x0 ∈ [α2, β2] tal quef 2 (x0) = x0.

Ahora, comof ([α2, β2]) = [α1, β1] ⊂ [b, c] ,

se tiene que f (x0) ∈ [b, c] . Ya que b es de periodo 3, f (x0) 6= b. Por lo tanto:

x0 ≤ β2 ≤ b < f (x0) ,

y con ello, x0 < f (x0) . Así, x0 ∈ Per (f) y su periodo es 2.Paso 2: Sea n > 3 (fijo). Entonces f tiene un punto periódico de periodo n.Demostración del paso 2. Análogo a lo hecho en el paso 1, existe un intervalo [α1, β1] ⊂ [b, c]

tal que f ([α1, β1]) = [a, b] . Ahora como: f ([b, c]) contiene a [b, c], existe otro intervalo


[α2, β2] ⊂ [b, c] tal que f ([α2, β2]) = [α1, β1] . Siguiendo este argumento varias veces podemosencontrar n− 1 subintervalos de [b, c],

[α1, β1] , [α2, β2] , ..., [αn−1, βn−1] ,

tales que, para 1 ≤ i ≤ n− 2,

f ([αi+1, βi+1]) = [αi, βi] ;

y tales que para cada 1 ≤ i ≤ n− 1,

f i ([αi, βi]) = [a, b] .

Finalmente, como f ([a, b]) ⊃ [b, c], existe un último intervalo cerrado [αn, βn] ⊂ [a, b], talque f ([αn, βn]) = [αn−1, βn−1]. Así,

fn ([αn, βn]) = [a, b] .

Por tanto, existe x0 ∈ [αn, βn] tal que fn (x0) = x0.Obsérvese que para cada i, 1 ≤ i ≤ n− 1, se tiene que

f i (x0) ∈ [αn−i, βn−i] ⊂ [b, c] .

Ahora, si x0 = f i (x0) para alguna i, 1 ≤ i ≤ n− 1, entonces se tendría que x0 = b, ya quex0 ≤ b ≤ f i (x0). En este caso la órbita de x0 = b tendría n − 1 elementos en el intervalo[b, c], con n− 1 ≥ 3, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto para cada i ∈ 1, 2, ..., n− 1, se tiene que f i (x0) 6= x0. Como fn (x0) = x0,entonces x0 ∈ Per (f) y tiene periodo n.

El resultado que acabamos de demostrar es realmente muy interesante. Observe el lectorque a partir de un conjunto de hipótesis muy pequeño, f : A → A, continua en el intervaloA, f tiene un punto de periodo 3, obtenemos muchísima información sobre la función f :ella tiene puntos periódicos de todos los periodos posibles. Agreguemos que la demostraciónsólo utiliza herramientas que aprendemos en nuestros primeros cursos de cálculo diferenciale integral.

Para darnos una idea de la importancia del trabajo realizado por Sharkovskii debemosinformar al lector que el resultado anterior es sólo una pequeña parte de un resultado másgeneral obtenido por este matemático. Presentamos a continuación lo que se conoce ennuestros días como el Teorema de Sharkovskii.

El siguiente arreglo de los números naturales es conocido como el orden de Sharkovskii.

3 ⇒ 5 ⇒ 7 ⇒ 9 ⇒ 11 ⇒ 13 ⇒ ...

2 · 3 ⇒ 2 · 5 ⇒ 2 · 7 ⇒ ...

22 · 3 ⇒ 22 · 5 ⇒ 22 · 7 ⇒ ...

23 · 3 ⇒ 23 · 5 ⇒ 23 · 7 ⇒ ...

· · · · · · · · · · · · · · ·· · · ⇒ 24 ⇒ 23 ⇒ 22 ⇒ 2 ⇒ 1

En el primer renglón aparecen todos los números impares mayores que 1. En los siguientesrenglones aparecen todos los números que se expresan como un producto de una potenciade 2 y un impar mayor que 1. En el último renglón aparecen todas las potencias de 2.


Teorema 7. (Sharkovskii, 1964). Sean A un intervalo en R y sea f una función de A enA. Sean m y n en N. Consideremos el orden de Sharkovskii. Si f tiene un punto periódicode periodo m y sucede alguna de las siguientes dos condiciones:

i) m está en algún renglón arriba del renglón que ocupa n, oii) m y n están en el mismo renglón, pero m está a la izquierda de n,

entonces f también tiene un punto periódico de periodo n.

Teorema 8. (Sharkovskii, 1964). Sea A un intervalo en R. Sean m y n en N. Si m y ncumplen la condición i) o la condición ii) del teorema 7, entonces existe una función continuaf : A → A tal que f sí tiene puntos periódicos de periodo n y f no tiene puntos periódicosde periodo m.

No presentaremos en estas notas la demostración de estos teoremas. Parte de la demostra-ción se puede consultar en el libro de R. L. Devaney: An Introduction to Chaotic DynamicalSystems, ver [9].

Ejercicio 7. Considera de la función g : [0, 1] → [0, 1], lineal a pedazos, definida por lossiguientes datos: g (0) = 1

2, g(

14

)= 1, g

(12

)= 1

2y g (1) = 0 (ver figura 8).

Figura 8. Gráfica de g.

1. Dibuja la grafica de g2 = g g.2. ¿Tiene g un punto de periodo 3?3. ¿Tiene g2 un punto de periodo 3?4. ¿Cuáles son todos los posibles periodos de los puntos periódicos de g?

Ejercicio 8. Muestra una función f : R2 → R2 tal que sí tenga puntos periódicos de periodo2 pero no tenga puntos fijos.

Ejercicio 9. Sea n ∈ N (n fijo). Muestra una función f : R2 → R2 tal que sí tenga puntosperiódicos de periodo n y no tenga puntos periódicos de periodo j, si j 6= n.

Pregunta 10. Verdadero o falso. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Supongamos que f es un homeo-morfismo. Entonces si x0 ∈ Per (f), el periodo de x0 sólo puede ser 1 ó 2.

2.4. De regreso a la Tienda. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la función Tienda.Por el ejercicio 5, sabemos que la Tienda tiene al menos un punto periódico de periodo

3. Por tanto esta función tiene puntos periódicos de todos los periodos. Como cada órbitaperiódica modela o representa un movimiento periódico, entonces la función Tienda pre-senta todos los movimientos periódicos posibles, sólo hay que partir de la condición inicialadecuada.


Ejercicio 11. Para la función Tienda, T , encuentra un punto periódico tal que su periodosea exáctamente 763.

La riqueza dinámica presente en la Tienda no se limita a lo observado hasta ahora. Elsiguiente lema nos permitirá descubrir otras muy interesantes propiedades de la funciónT : [0, 1] → [0, 1].

Lema 9. Para todo n ∈ N y para cada ℓ ∈ 0, 1, 2, ..., 2n − 1 se tiene que:

(1) T n|[ ℓ2n , ℓ+1

2n ] :

[ℓ

2n,ℓ+ 1

2n

]→ [0, 1]

es un homeomorfismo.

Demostración. Nuestro argumento utiliza inducción matemática.Veamos que la afirmación es cierta para n = 1. En este caso, ℓ ∈ 0, 1.Es inmediato que T :

[0, 1

2

]→ [0, 1] es homeomorfismo, ya que en este intervalo T (x) = 2x.

De manera análoga, es inmediato que T :[

12, 1]→ [0, 1] es homeomorfismo ya que en este

conjunto, T (x) = 2 − 2x.Suponemos válida la afirmación para n = k, y demostramos el caso n = k + 1.Sea ℓ ∈

0, 1, 2, ..., 2k+1 − 1

. Observemos que

[ℓ

2k+1 ,ℓ+12k+1

]⊂[0, 1

2

]si ℓ ≤ 2k − 1, y[

ℓ2k+1 ,

ℓ+12k+1

]⊂[

12, 1]

si ℓ ≥ 2k.Si ℓ ≤ 2k − 1, entonces la función T k+1 se puede expresar así:

[ℓ

2k+1,ℓ+ 1

2k+1

]T−→[ℓ

2k,ℓ+ 1

2k

]T k

−→ [0, 1] .

Ambas funciones son homeomorfismos (la segunda de ellas, T k, por hipótesis de inducción).Por tanto

T k+1∣∣[ ℓ

2k+1, ℓ+1

2k+1 ]:

[ℓ

2k+1,ℓ+ 1

2k+1

]→ [0, 1]

es un homeomorfismo.Si ℓ ≥ 2k, entonces

[ℓ

2k+1,ℓ+ 1

2k+1

]T−→[2k+1 − ℓ− 1

2k,2k+1 − ℓ

2k

]T k

−→ [0, 1] .

Es inmediato que la primera función es un homeomorfismo. Y como

2k ≤ ℓ ≤ 2k+1 − 1,

entonces−2k ≥ −ℓ ≥ 1 − 2k+1,

2k+1 − 2k − 1 ≥ 2k+1 − ℓ− 1 ≥ 0,2k − 1 ≥ 2k+1 − ℓ− 1 ≥ 0.

Así la segunda función, gracias a la hipótesis de inducción, también es un homeomorfismo.

De manera similar se puede demostar la siguiente proposición:


Proposición 10. Sean n ∈ N y ℓ ∈ 0, 1, 2, ..., 2n − 1. Si x ∈[ℓ

2n,ℓ+ 1

2n

], entonces existe

µ ∈ Z, µ par, tal queT n (x) = µ+ (−1)ℓ 2nx.

Ejercicio 12. Demuestra la proposición 10.

Corolario 11. Sea (a, b), a < b, un subintervalo de (0, 1). Entonces existe N ∈ N tal queTN(a, b) = [0, 1].

Demostración. Como a < b, existe N ∈ N tal que 12N < b−a

2. Se sigue que existe un valor ℓ en

el conjunto0, 1, 2, ..., 2N − 1

tal que

[ℓ

2N ,ℓ+12N

]⊂ (a, b). Ahora, gracias al lema 9, tenemos

que TN(a, b) = [0, 1].

Definición 12. Sea A un intervalo en R. Sea B ⊂ A. Decimos que B es denso en A si paratodo subintervalo abierto de A, digamos (α, β), existe b ∈ B tal que b ∈ (α, β).

Corolario 13. El conjunto Per (T ) es denso en [0, 1].

Demostración. Sea (a, b) ⊂ [0, 1], a < b. Procediendo como en el corolario 11, tomamosN ∈ N tal que 1

2N < b−a2

. Entonces existe ℓ ∈ 0, 1, 2, ..., 2n − 1 tal que[

ℓ2N ,

ℓ+12N

]⊂ (a, b).

Como TN([

ℓ2N ,

ℓ+12N

])= [0, 1], podemos aplicar la proposición 2 a la función TN . Así

concluimos que existe x0 ∈[

ℓ2N ,

ℓ+12N

]⊂ (a, b) tal que TN (x0) = x0.

La demostración de la siguiente afirmación se sigue directamente de la proposición 10 ydel ejercicio 12.

Corolario 14. Per (T ) ⊂ Q ∩ [0, 1] .

Ejercicio 13. Muestra que Per (T ) 6= Q ∩ [0, 1] .

Ejercicio 14. Demuestra que para cada x0 ∈ [0, 1] se tiene que el conjunto ∪∞n=1T

−n (x0) esdenso en el intervalo [0, 1].

Ejercicio 15. Sean A = [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 y F : A → A la función dada por F (x, y) =(T (x), T (y)). Demuestra que Per(F ) es denso en A.

¿Cuántas órbitas periódicas de periodo 3 tiene F?

Ejercicio 16. Sea g : [0, 1] → [0, 1] la función definida en el ejercicio 7. Demuestra quePer(g) es denso en [0, 1].

0 1 2 3 40

1

2

3

4

0 1 2 3 40

1

2

3

4


Ejercicio 17. El conjunto 1, 2, 3, 4 es una órbita de periodo 4 en cada una de las dosgráficas que aparecen en la figura anterior. Una de ellas es la gráfica de una función quetiene órbitas periódicas de todos los periodos y la otra es la gráfica de una función que sólotiene órbitas periódicas de periodos 1, 2 y 4. Identifica cuál es cuál.


3. Transitividad topológica

Dados x ∈ X y ε > 0 definimos la bola de radio ε con centro en x así:

BX(x, ε) = y ∈ X : d(x, y) < ε .Si no hay confusión, respecto al espacio del que estamos hablando, escribiremos B(x, ε)

en lugar de BX(x, ε).Sean A ⊂ X, y x ∈ X. Decimos que x es punto interior de A si existe ε > 0 tal que

B(x, ε) ⊂ A; decimos que x es punto exterior de A si existe ε > 0 tal que

B(x, ε) ⊂ X \ A = x ∈ X : x /∈ A;

decimos que x es punto frontera de A si para toda ε > 0 se tiene que

B(x, ε) ∩ A 6= ∅ y B(x, ε) ∩ (X \ A) 6= ∅.Al conjunto de todos los puntos interiores de A le llamamos el interior de A, al conjunto

de todos los puntos exteriores de A le llamamos el exterior de A, y al conjunto de todos lospuntos frontera de A le llamamos la frontera de A. Denotamos estos conjuntos por int(A),ext(A) y fr(A) respectivamente.

Decimos que A es un conjunto abierto en X si todo punto a ∈ A es punto interior de A,y decimos que A es cerrado en X si el conjunto X \ A es abierto.

Decimos que x es punto de adherencia de A si para toda ε > 0 se tiene que

B(x, ε) ∩ A 6= ∅;y decimos que x es punto de acumulación de A si para toda ε > 0 se tiene que

(B(x, ε) \ x) ∩A 6= ∅.Al conjunto de todos los puntos de adherencia de A le llamamos la cerradura, o clausura,

de A, y lo denotamos con cl(A) o con A.Decimos que x ∈ A es punto aislado de A si existe ε > 0 tal que (B(x, ε) \ x) ∩ A = ∅

Observación 15. Los conjuntos ∅ y X son abiertos y cerrados a la vez. Para cada A ⊂ X, losconjuntos fr(A) y cl(A) son siempre cerrados. Además A es cerrado si y sólo si A = cl(A).

Definición 16. Sea f : X → X. Decimos que f es topologicamente transitiva en X si paratodo par de conjuntos abiertos no vacíos de X, U y V , existe n ∈ N tal que fn (U) ∩ V 6= ∅.

Hemos interpretado, a lo largo de estas notas, a la función f : X → X como la que define elmovimiento: Un objeto que está en la posición x ∈ X, estará, una unidad de tiempo después,en la posición f(x), y así sucesivamente. Bajo esta óptica una función transitiva da vida auna dinámica muy interesante. Hablando de manera intuitiva, una función que es transitivamueve puntos de cualquier región U de X a cualquier otra región V de X. No lo hace demanera inmediata, es decir, no necesariamente a la primera aplicación de f hay puntos de Uque van a dar a V . Pero lo que sí es seguro es que aplicando f una cantidad suficiente de vecessí habrá puntos de U que viajen a V . Como esto es válido para cualesquiera dos conjuntosabiertos de X, entonces f está revolviendo, mezclando, moviendo a todos los puntos de X.

Proposición 17. La función T : [0, 1] → [0, 1] es transitiva en [0, 1].


Demostración. Sean U y V dos subconjuntos de [0, 1] abiertos y no vacíos. Entonces existeun intervalo abierto (a, b), a < b, contenido en U y, por el corolario 11, existe N ∈ N tal queTN(a, b) = [0, 1]. De aquí se sigue que TN(U) ∩ V 6= ∅.

Ejercicio 18. Recordemos la función g : [0,1] → [0, 1] definida en el ejercicio 7. Demuestraque g es transitiva en [0, 1].

Ejercicio 19. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función transitiva en [0, 1]. Demuestra lo siguiente:i) f es suprayectiva,ii) Existe x0 en el intervalo abierto (0, 1) tal que f (x0) = x0.

Definición 18. Sea X un espacio métrico y sea D ⊂ X. Decimos que D es denso en X sipara todo conjunto abierto U de X, U 6= ∅, se tiene que U ∩D 6= ∅.Ejercicio 20. Demuestra que si X es un intervalo en R, entonces la definición 12 es equi-valente a la definición 18.

Ejercicio 21. Sean X un espacio métrico, f : X → X una función transitiva en X y U ⊂ X

un conjunto abierto no vacío. Demuestra que la siguiente unión infinita∞⋃

n+1

f−n (U) es un

conjunto abierto y denso en X.

Ejercicio 22. Sean X un espacio métrico y f : X → X una función transitiva en X. SeaN un número natural fijo. Considera, en X, N conjuntos abiertos no vacíos, U1, . . . , UN ,que sean ajenos por parejas. Demuestra que existe un punto x0 en X tal que su órbita visitatodos estos conjuntos.

Sean A un subconjunto de X y ε un número positivo. Decimos que A es un conjuntoε− denso en X si para todo x ∈ X, existe a ∈ A tal que d(x, a) < ε.

Ejercicio 23. Sean X un espacio métrico, f : X → X una función transitiva en X y ε > 0.Demuestra que existe x0 ∈ X tal que la o (x0, f) es un conjunto ε− denso en X.

Ejercicio 24. Sean X un espacio métrico y f : X → X una función transitiva en X. SeaU y W dos conjuntos abiertos en X y no vacíos. Demuestra el conjunto de puntos x ∈ Xtales que su órbita visita estos dos conjuntos es denso en X.

De alguna manera los ejercicios 22 y 23 nos dicen que la condición de transitividad implicala existencia de puntos en X cuya órbita bajo f recorre casi todo el espacio. A partir deeste hecho, suena interesante discutir la posible relación entre el concepto de transitividad yla existencia de al menos un punto cuya órbita forme un conjunto denso en X. Demostrarque para ciertos espacios X la transitividad sí implica la existencia de una órbita densa esla meta principal de esta sección.

Pero primero necesitamos recordar algunas propiedades presentes en los espacios métricosen los que estamos trabajando.

3.1. Sucesiones, cubiertas abiertas y espacios completos. Una sucesión en X esuna función de N en X, a : N → X. Es común denotar a los elementos de la imagen de a,a(n), con an, y referirse a la sucesión usando los símbolos: an∞n=1 y (an)∞n=1, o simplementean y (an).


Decimos que la sucesión an∞n=1 es convergente a a0 ∈ X,

lımn→∞

an = a0, o (an) → a0,

si para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ N , entonces d(an, a0) < ε.Es tradicional presentar la definición de la continuidad de una función f : X → Y , en un

punto a de X, en términos de bolas de radio ε, con centro en f(a), y de radio δ, con centroen a. En esta notas haremos también uso de la siguiente conocida equivalencia:

Proposición 19. Sean f : (X, d) → (Y,m) y a ∈ X. La función f es continua en a si ysólo si (xn)n → a implica (f (xn))n → f (a), para cada sucesión (xn)n en X.

Ejercicio 25. Sean an∞n=1 y bn∞n=1 dos sucesiones en X convergentes a a0 y b0 respecti-vamente. Demuestra que

lımn→∞

d (an, bn) = d (a0, b0) .

Sea an∞n=1 una sucesión en X. Decimos que an es una sucesión de Cauchy si para todoε > 0, existe N ∈ N tal que si m,n ≥ N , entonces d (an,am) < ε.

Ejercicio 26. Sea an∞n=1 una sucesión en X. Si an∞n=1 es convergente, entonces es deCauchy.

Decimos que un espacio métrico X es completo si toda sucesión de Cauchy en X esconvergente a un punto de X.

Ejemplos de espacios métricos completos son los siguientes: R, R2, el intervalo [0, 1], losnúmeros complejos C, la circunferencia S1 = z ∈ C : |z| = 1.

Ejemplos de espacios métricos que no son completos son los siguientes: Q, Q × Q, elintervalo abierto (0, 1), Q ∩ [0, 1], R \ Q, C \ S1.

Los conceptos de compacidad y completez están muy relacionados. Recordemos la defini-ción de conjunto compacto.

Una cubierta abierta de X es una colección de conjuntos abiertos cuya unión es X. SiY ⊂ X, una cubierta abierta de Y es una colección de conjuntos abiertos de X cuya unióncontiene a Y .

Ejemplo 20. La colecciones:

α =

[0,

1

2

),

(1

3,2

3

),

(1

2, 1

], y

β =

(q − 1

4, q +

1

4

)∩ [0, 1] : q ∈ Q ∩ [0, 1]

,

son cubiertas abiertas de X = [0, 1].

Sean α y β dos cubiertas abiertas de X. Decimos que β es una subcubierta de α si todoelemento de β es elemento de α, es decir, si β ⊂ α.

Decimos que el espacio X es compacto si toda cubierta abierta de X tiene una subcubiertacon una cantidad finita de elementos.

Ejercicio 27. Sean A y B dos subconjuntos de X. Supongamos que ambos son compactos.Demuestra que tanto A ∪B como A ∩ B son conjuntos compactos.


Ejercicio 28. Sea (X, d) un espacio métrico, entonces:

(i) La unión finita de compactos es un conjunto compacto;(ii) La intersección arbitraria de compactos es un conjunto compacto.

Ejercicio 29. Sean A y B dos subconjuntos de X. Supongamos que ambos son compactos yno vacíos. Demuestra que si A ∩ B = ∅, entonces existen dos puntos a0 ∈ A y b0 ∈ B talesque para toda pareja de puntos a ∈ A y b ∈ B se tiene que d(a, b) ≥ d(a0, b0). Sugerencia.Define δ = ınf d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B y observa que para cada n ∈ N, existen an ∈ A ybn ∈ B tales que δ ≤ d (an, bn) < δ + 1

n.

Ejercicio 30. Sean X un espacio compacto y Y ⊂ X un conjunto cerrado. Demuestra queY es compacto.

Sean n ∈ N y sea X ⊂ Rn. Decimos que X es acotado si existe M > 0 tal que X ⊂BRn(0,M), donde 0 = (0, 0, . . . , 0) es el origen en Rn.

La afirmación contenida en el siguiente teorema es un resultado muy conocido. Su demos-tración se puede consultar en [24].

Teorema 21. Sea n ∈ N y sea X ⊂ Rn. Entonces X es compacto si y sólo si X es cerradoy acotado.

Dada una sucesión an∞n=1 en X, decimos que bj∞j=1 es una subsucesión de an∞n=1 sise cumplen las siguientes dos condiciones:

i) para todo j, existe nj tal que bj = anj, y

ii) si j < k, entonces nj < nk.

Ejercicio 31. Sea an∞n=1 una sucesión en X. Si an∞n=1 es convergente a a0 ∈ X, entoncestoda subsucesión de an∞n=1 es también convergente a a0.

Ejercicio 32. Sean X un espacio y an∞n=1 una sucesión contenida en él. Sea x0 un puntoen X tal que para cada k ∈ N se tiene que la cardinalidad del conjunto

Ak =

n ∈ N : an ∈ B

(x0,

1

k

)

es infinita. Demuestra que existe una subsucesión de an∞n=1 que es convergente a x0.

Ejercicio 33. Sean X un espacio y an∞n=1 una sucesión contenida en él. Supongamosque la sucesión an∞n=1 es de Cauchy y que tiene una subsucesión convergente a a0 ∈ X.Demuestra que la sucesión an∞n=1 converge a a0 también.

Proposición 22. Toda sucesión an∞n=1 en un espacio métrico y compacto X, tiene unasubsucesión convergente.

Demostración. Sean X un espacio métrico compacto y an∞n=1 una sucesión contenida enél.

Caso 1. Existe x0 en X tal que para cada k ∈ N se tiene que la cardinalidad del conjunto

Ak =

n ∈ N : an ∈ B

(x0,

1

k

)

es infinita. Entonces, gracias al ejercicio 32, existe una subsucesión de an∞n=1 que es con-vergente a x0.


Caso 2. Supongamos ahora que para todo x ∈ X existe un radio δx > 0 tal que lacardinalidad del conjunto

A (x, δx) = n ∈ N : an ∈ B (x, δx)es finita.

Es inmediato que la colección B (x, δx) : x ∈ X forma una cubierta abierta de X. ComoX es compacto existen k ∈ N, x1, x2, . . . , xk en X, y δx1

> 0, δx2> 0, . . . , δxk

> 0, tales que

X = ∪kj=1B

(xj , δxj

).

De aquí se sigue que N = ∪kj=1

n ∈ N : an ∈ B

(xj , δxj

). Pero esto es una contradicción ya

que la cardinalidad de cada conjunton ∈ N : an ∈ B

(xj , δxj

)es finita. Por lo tanto este

segundo caso no es posible.

Corolario 23. Todo espacio métrico y compacto X es completo.

Demostración. Sean X un espacio métrico y compacto, y an∞n=1 una sucesión de Cauchy.Por la proposición anterior la sucesión an∞n=1 tiene una subsucesión convergente, digamosa x0. Por el ejercicio 33 la sucesión an∞n=1 también converge al mismo punto.

El siguiente teorema es conocido como el Teorema de Baire. La demostración que presen-tamos se basa en la que ofrece H. L. Royden en el libro: Real Analysis, ver [21].

Teorema 24. Sea X un espacio metrico completo. Consideremos una colección An∞n=1 deconjuntos no vacíos, abiertos y densos en X. Entonces:

⋂∞n=1An 6= ∅.

Demostración. Sea x1 ∈ A1 y sea r1 > 0 tal que S1 = B (x1, r1) ⊂ A1.

••x2

x1

Como A2 es denso en X, entonces existe x2 ∈ A2 ∩S1. Como A2 ∩S1 es abierto, existe r2,

0 < r2 <1

2(r1 − d (x1, x2)) ≤

r12,

tal que S2 = B (x2, r2) ⊂ Cl (S2) ⊂ A2 ∩ S1.Como A3 es denso en X, existen x3 ∈ A3 ∩ S2, y r3,

0 < r3 <1

2(r2 − d (x2, x3)) ≤

r22,

tales que S3 = B (x3, r3) ⊂ Cl (S3) ⊂ A3 ∩ S2.


Siguiendo este procedimiento obtenemos una sucesión xn∞n=1, una colección de conjuntosabiertos Sn∞n=1, y una sucesión de números positivos rn∞n=1 tales que para todo n ∈ N,se tiene que las siguientes condiciones se cumplen:

0 < rn ≤(

1

2

)n−1

r1, xn ∈ Sn

yCl (Sn+1) ⊂ An+1 ∩ Sn ⊂ Sn ⊂ Cl (Sn) .

Sea N ∈ N. Observemos que si n y m son mayores o iguales a N , entonces xn, xm ∈ SN .Por lo tanto, d (xn, xm) ≤ 2rN . Así la sucesión xn∞n=1 es una sucesión de Cauchy (ya quelım

n→∞rn = 0).

Sea x0 ∈ X tal que lımn→∞

xn = x0.

Sea N ∈ N, fijo. Observemos que para toda n > N se tiene que xn ∈ SN+1. Esto implicaque x0 ∈ Cl (SN+1) ⊂ SN ⊂ AN .

Por lo tanto, para toda n ∈ N, x0 ∈ An, es decir, x0 ∈∞⋂

n=1

An.

Sea B ⊂ X. Decimos que B es denso en ninguna parte si int (Cl (B)) = ∅.Corolario 25. Sea X un espacio métrico completo y sea Bn∞n=1 una colección numerable

de conjuntos, en X, densos en ninguna parte. Entonces∞⋃

n=1

Bn 6= X.

Demostración. Como para todo n ∈ N se tiene que int (Cl (Bn)) = ∅, entonces los conjuntosAn = X \ Cl (Bn) forman una colección de conjuntos abiertos y densos en X.

Por el teorema 24, existe x0 ∈∞⋂

n=1

An. De aquí se sigue que para todo n ∈ N, x0 /∈ Bn. Por

tanto x0 /∈∞⋃

n=1

Bn.

Ejercicio 34. Demuestra que en el intervalo unitario [0, 1] hay al menos un número irra-cional. Sugerencia: Sea q ∈ Q ∩ [0, 1]. El conjunto q es denso en ninguna parte.

Ejercicio 35. Verdadero o falso. Sea An∞n=1 una colección de conjuntos abiertos y densos

en [0, 1]. Entonces∞⋂

n=1

An es un conjunto no numerable.

Ejercicio 36. Verdadero o falso. Sea An∞n=1 una colección de conjuntos abiertos y densos

en [0, 1]. Entonces∞⋂

n=1

An es un conjunto denso en [0, 1].

Ejercicio 37. Dar una colección An∞n=1 de abiertos y densos en [0, 1] tales que∞⋂

n=1

An no

sea abierto.

Ejercicio 38. El intervalo [0, 1] no es numerable.

Decimos que una función f : X → X es una contracción si existe un valor, 0 ≤ r < 1, talque para toda pareja de puntos, x, y, en X se tiene que d (f(x), f(y)) ≤ rd(x, y).


El siguiente resultado es conocido y es muy importante. La demostración se puede con-sultar el el libro de H. L. Royden (ver [21]).

Teorema 26. Sea X un espacio métrico completo. Si f : X → X es una contracción,entonces f tiene un único punto fijo, digamos x0, tal que para todo punto x ∈ X se tieneque lımn→∞ fn(x) = x0.

Ejercicio 39. Muestra una función f : R → R tal que para toda pareja de puntos x, y enR, x 6= y, se tenga que |f (x) − f (y)| < |x− y|, y f no tenga puntos fijos.

Ejercicio 40. Muestra un espacio métrico X y una contracción f : X → X tal que f notenga puntos fijos en X.

3.2. Las órbitas densas sí existen. La siguiente afirmación relaciona la transitividadtopológica con la existencia de órbitas densas en un sistema dinámico discreto dado.

Teorema 27. Sea X un espacio métrico compacto y sea f : X → X una función transitivaen X. Entonces existe x0 ∈ X tal que la o(x0, f) es densa en X.

Demostración. Como X es compacto, dado ε1 = 1, existe una cantidad finita de puntosx11, x21, ..., xn11 en X, y una colección finita de bolas abiertas, tales que:

X =

n1⋃

j=1

B (xj1, 1) .

De hecho, para cada k ∈ N, fijo, existe una cantidad finita de puntos x1k, x2k, ..., xnkk, y suscorrespondientes bolas, tales que:

X =

nk⋃

j=1

B

(xjk,

1

k

).

Sea Ui∞i=1 la colección formada por todas estas bolas abiertas,

U1 = B (x11, 1) , U2 = B (x21, 1) , . . . , Un1= B (xn11, 1) , Un1+1 = B

(x12,

1

2

), . . .

Por cada i ∈ N consideremos el conjunto:

Ai =∞⋃

m=1

f−m (Ui) .

Observemos que cada Ai es un conjunto abierto y denso en X (ver ejercicio 21).Entonces, por el Teorema de Baire, se tiene que:

A =

∞⋂

i=1

Ai 6= ∅.

Sea x0 ∈ A. Afirmamos que o (x0, f) es densa en X.Sea U ⊂ X un conjunto abierto y distinto del vacío. Sean y0 ∈ U y ε0 > 0 tales que

B (y0, ε0) ⊂ U .


Sea k ∈ N tal que 1k< ε0

2. Observemos que en la colección Ui∞i=1 una de las bolas de

radio 1k

contiene a y0, por lo tanto existe 1 ≤ j ≤ nk tal que:

y0 ∈ B

(xjk,

1

k

)⊂ B (y0, ε0) ⊂ U.

Como x0 ∈ A, entonces x0 ∈∞⋃

m=1

f−m(B(xjk,

1k

)).

Por lo tanto, existe n ∈ N tal que:

fn(x0) ∈ B

(xjk,

1

k

)⊂ U.

Es decir, la o (x0, f) tiene un elemento en U y, por lo tanto, ella forma un conjunto densoen X.

Si el espacio X no es completo, entonces la transitividad de f : X → X no implica laexistencia de una órbita densa. Convencer al lector que esta afirmación es cierta es la metadel siguiente ejercicio.

Ejercicio 41. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la función Tienda.a) Demuestra que si 0 ≤ a < b ≤ 1 y 0 ≤ c < d ≤ 1, entonces existen x0 ∈ Per (T ) y

n ∈ N tales que a < x0 < b y c < T n (x0) < d.b) Sean X = [0, 1] ∩ Q y f : X → X dada por f (x) = T (x) para cada x ∈ X. Demuestra

que f es transitiva en X y que f no tiene órbitas densas.

Ejercicio 42. Sea f : R → R transitiva en R. Demuestra que existe x0 ∈ R tal que o (x0, f)es densa en R.

Ejercicio 43. Sea A =x ∈ R : x = 1

n, n ∈ N

∪ 0. Sea f : A → A dada por f (0) = 0 y

para cada n ∈ N, f(

1n

)= 1

n+1.

a) Muestra una función F : R → R, continua en R, tal que para todo x ∈ A, se tenga queF (x) = f (x).

b) Demuestra que existe x0 ∈ A tal que la o (x0, f) es densa en A.c) ¿Es f topológicamente transitiva en A?

Ejercicio 44. Sea X un espacio métrico tal que todos sus elementos son puntos de acumu-lación. Sea f : X → X. Demuestra lo siguiente:

a) Sean A ⊂ X, y a ∈ A. Si A es denso en X, entonces B = A \ a es denso en X.b) Sea x0 ∈ X tal que o (x0, f) es densa en X. Entonces para cada k ∈ N, fijo, la órbita

o(fk (x0) , f

)es densa en X.

c) Si existe x0 ∈ X tal que o (x0, f) es densa en X, entonces f es transitiva en X.

d) Si f tiene una órbita densa, entonces el conjunto de puntos con órbita densa bajo fforma un conjunto denso en X.

Ejercicio 45. Sean X un espacio de cardinalidad infinita y f una función de X en X. Seax0 ∈ X tal que la o(x0, f) forma un conjunto denso en X. Demuestra que la cardinalidad deo(x0, f) también es infinita.


Proposición 28. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la función Tienda. Sea x0 ∈ [0, 1] tal que la o (x0, T )es un conjunto denso en [0, 1]. Entonces x0 /∈ Q.

Demostración. Sea x0 tal que su órbita bajo T es densa en [0, 1]. Si x0 ∈ Q y x0 6= 0, existenp, q ∈ N tales que x0 = p

q, p ≤ q. Consideremos el conjunto

A =

0,

1

q,2

q,3

q, ...,

q − 1

q, 1

.

Tenemos que x0 ∈ A, y como T (A) ⊂ A, la cardinalidad de la o (x0,T ) es finita, lo cual esuna contradicción (ver ejercicio 45). Por lo tanto, x0 /∈ Q.

Quedaría ahora la pregunta de si todo punto x /∈ Q ∩ [0, 1] tiene órbita densa en [0, 1]bajo la función T . La respuesta es: no. Pero necesitamos más herramientas para convenceral lector de que nuestra respuesta es cierta.


4. La definición de caos según R. L. Devaney

Sea f : X → X, y sea x0 ∈ X tal que f (x0) = x0.Decimos que x0 es un punto fijo atractor si existe un conjunto abierto U tal que x0 ∈ U ,

f (U) ⊂ U , y para toda x ∈ U se tiene que: lımn→∞ fn (x) = x0.Decimos que x0 es un punto fijo repulsor si existe un conjunto abierto U tal que x0 ∈ U

y para cada x ∈ U , x 6= x0, existe n ∈ N, n = n (x), tal que fn (x) /∈ U .

Ejercicio 46. Los puntos fijos de la función Tienda, 0 y 23, son ambos repulsores.

Decimos que el punto fijo x0 es estable (o tiene órbita estable) si para toda ε > 0, existeδ > 0 tal que si x ∈ B (x0, δ), entonces para toda n ∈ N, se tiene que d (fn (x) , x0) < ε.

La siguiente es una definición más general.Decimos que y0 ∈ X tiene órbita estable si para toda ε > 0, existe δ > 0, tal que para

toda x ∈ B (y0, δ) y para toda n ∈ N se tiene que d (fn (x) , fn (y0)) < ε.

δ ε ε ε

y0

f (y0) f 2 (y0) f 3 (y0)

Las órbitas estables son, en cierto sentido, fáciles de seguir con un error pequeño. Supon-gamos que la órbita de y0 es estable. Si queremos seguir la órbita de y0 con un error menorque un valor positivo ε, entonces tomemos la condición inicial x con un error menor queδ > 0. Es decir, tomemos x tal que d (x, y0) < δ y sigamos la o(x, f). La estabilidad de laórbita de y0 nos asegura que dada cualquier ε positiva, sí podemos encontrar la δ positivaque cumpla la condición.

Observación 29. Si la órbita de x0 ∈ X no es estable, entonces existe ε0 > 0 tal que paratodo δ > 0, podemos encontrar un punto y ∈ B (x0, δ) y un número natural n, que dependede y, tales que d (fn (x0) , f

n (y)) ≥ ε0.

Ejercicio 47. Sea f : A → A, donde A ⊂ R es un intervalo. Sea x0 ∈ A. Supongamos quef es derivable en x0, y que f (x0) = x0.

Demuestra lo siguiente:a) Si |f ′ (x0)| < 1, entonces x0 es un punto fijo atractor.b) Si |f ′ (x0)| > 1, entonces x0 es un punto fijo repulsor.c) En el caso a), la órbita de x0 es estable. En el caso b), la órbita de x0 no es estable.

Ejercicio 48. Sea f : [0, 1] → [0, 1] dada por f(x) = x2. Encuentra todos los puntos conórbita estable bajo f .

Observación 30. Los puntos fijos de la función Tienda, 0 y 23, son ambos puntos fijos no

estables.

Ejercicio 49. Demuestra que la órbita de x0 = 12

bajo T no es estable.

Ejercicio 50. Verdadero o falso. Ninguna órbita bajo T es estable.


En términos coloquiales podríamos decir que un sistema dinámico discreto, f : X → Xdonde todas sus órbitas son estables es un sistema que se comporta muy bien. A pesar de quepodríamos, al escoger la condición inicial x0, tener un pequeño error y tomar y0, las órbitasde estos dos puntos no se separarían demasiado. Por otro lado, la presencia de algunas omuchas órbitas no estables provocaría, si no escogemos de manera exacta la condición inicial,muchos problemas y haría que el comportamiento del sistema, a la larga, fuera impredecibleo caótico.

La siguiente definición la podríamos entender como una no estabilidad que abarca a todaslas órbitas por igual.

Definición 31. Decimos que f : X → X es sensible a las condiciones iniciales si existe unvalor positivo ε0, fijo, tal que para toda x ∈ X, y para toda δ > 0, existen y ∈ B (x, δ) yn ∈ N tales que:

d (fn (x) , fn (y)) ≥ ε0.

Una función f sensible a las condiciones iniciales no sólo nos dice que todas sus órbitasson no estables. Hay además una suerte de uniformidad en este fenómeno: La ε0 > 0 para lacual falla la estabilidad es la misma para todas las órbitas.

Proposición 32. La función T : [0, 1] → [0, 1] es sensible a las condiciones iniciales.

Demostración. Sea ε0 = 12. Tomemos x ∈ [0, 1] y δ > 0. Por el corolario 11, existe n ∈ N tal

queT n ((x− δ, x+ δ) ∩ [0, 1]) = [0, 1] .

Por lo tanto existen en el intervalo (x− δ, x+ δ)∩ [0, 1] dos puntos, digamos y1 y y2, talesque T n (y1) = 0, T n (y2) = 1. De aquí que:

|T n (x) − T n (y1)| ≥1

2, ó |T n (x) − T n (y2)| ≥

1

2.

La siguiente es la definición de caos dada por R. L. Devaney en 1985 (ver [9]).

Definición 33. Decimos que f : X → X es una función caótica, o genera un sistemadinámico caótico, si se cumplen las siguientes tres condiciones:

a) El conjunto Per (f) es denso en X,c) f es transitiva en X, yd) f es sensible a las condiciones iniciales en X.

Proposición 34. La función T : [0, 1] → [0, 1] es caótica en [0, 1].

Demostración. Se sigue de lo hecho en el corolario 13 y en las proposiciones 17 y 32.

A continuación recordamos algunos resultados importantes relacionados con los concep-tos que hasta ahora hemos visto. Si bien no damos las demostraciones correspondientes, síofrecemos a los lectores las referencias necesarias.

Proposición 35. Sea f : X → X donde X es un conjunto sin puntos aislados. Si f estransitiva en X y el conjunto Per (f) es denso en X, entonces f es sensible a las condicionesiniciales en X.


Demostración. Ver el artículo On Devaney’s Definition of Chaos [5].

Proposición 36. Sea A un intervalo en R. Sea f : A → A una función transitiva en A.Entonces Per (f) es un conjunto denso en A.

Demostración. Ver el artículo On Intervals, Transitivity = Chaos, [25].

Observación 37. De las dos proposiciones anteriores se sigue que si A es un intervalo enla recta real R, y f : A→ A es una función transitiva en A, entonces f es caótica en A.

Proposición 38. Sea A = [a, b] un intervalo compacto en R. Sea f : A → A sensible a lascondiciones iniciales en A. Entonces existen B ⊂ A, conjunto cerrado con int (B) 6= ∅, yN ∈ N tales que fN (B) = B y fN , restringida a B, es caótica en B.

Demostración. Ver el artículo On Intervals, Sensitivity implies chaos, [15].


5. El espacio (H(X) ,h): el espacio donde viven los fractales

En esta sección nos dedicaremos al estudio de un espacio métrico particular el cual ha sidodenominado por M. Barnsley (ver [6]) como el espacio donde “viven los fractales”.

5.1. El conjunto H(X) y la métrica de Hausdorff.

Definición 39. Sea (X, d) un espacio métrico. Notemos H(X) la familia de todos los sub-conjuntos compactos no vacíos de X, es decir:

H(X) := K ⊆ X : K es compacto, K 6= ∅ .Ejemplo 40. Consideremos R2 con la métrica usual. Los conjuntos K1 a K7 que se muestranen la Figura 9(a) pertenecen a H (R2), mientras que los conjuntos S1 a S6 no pertenecen aH (R2) (ver Figura 9(b)).

•

K1K2

K3

••

K4

K5

K6K7

(a) Elementos de H(R2)

S1

S2

S3

S4S5

S6

(b) Elementos que no están en H(R2)

Figura 9

Se quiere ahora definir una métrica en el conjunto H(X). Observe que los “puntos” oelementos de H(X) no son sencillos o “elementales” en cuanto cada elemento es a su vezun conjunto, más exactamente un subconjunto compacto del espacio métrico X. De estamanera, para definir una métrica en el conjunto H(X) procedemos por etapas.

Definición 41 (distancia de un punto a un compacto). Sean (X, d) espacio métrico, a ∈ X

y K ∈ H(X). Se define d (a,K) por:

d (a,K) := mın d (a, x) : x ∈ K . (Ver Figura 10).

Proposición 42. El mínimo de la definición anterior siempre existe.

Demostración. Sea f : K → R definida por f(x) := d(a, x), para todo x ∈ K. Veamos quef es continua.

Sea ε > 0. Observemos que: −d(x, y) ≤ d(x, a) − d(y, a) ≤ d(x, y), por tanto:

|f(x) − f(y)| = |d(x, a) − d(y, a)| ≤ d(x, y).

De esta manera basta tomar δ ≤ ε para tener la continuidad de f .


K

x

a

Figura 10. d(a,K)

Ahora consideremos el conjunto S := d(a, x) : x ∈ K (= f(x) : x ∈ K).Claramente S ⊆ R, S 6= ∅ (pues K 6= ∅) y S es acotado inferiormente. Por el axioma de

completez de R, existe P = ınf S. Como P es la máxima cota inferior de S, para cada n ∈ N,

existe yn ∈ K, tal que f(yn) < P +1

ny se tiene:

−1

n< 0 ≤ f(yn) − P <

1

n,

por lo tanto |f(yn) − P | < 1

n. De lo cual se deduce que

(2) lımn→∞

f(yn) = P.

Como K es compacto, existe (ykn)n subsucesión de (yn)n tal que lım

n→∞ykn

= y, con y ∈ K.

Tenemos: f(

lımn→∞

ykn

)= f(y) y puesto que f es continua, lım

n→∞f (ykn

) = f(y). Pero (f(ykn))n

es una subsucesión de (f(yn))n. Entonces, utilizando el ejercicio 31 y teniendo en cuenta (2)se concluye que P = f(y). De modo que P es en realidad el mínimo de S, como se queríaver.

Definición 43 (distancia de un compacto a otro compacto). Sean (X, d) espacio métrico y

A,B ∈ H(X). Se define d (A;B) por:

d (A,B) := maxd (a,B) : a ∈ A

:= max mın d (a, b) : b ∈ B : a ∈ A . (Ver Figura 11).

BA

Figura 11. d(A,B)

Es de aclarar que d no es métrica, ya que en general, no se cumple que d(A,B) = d(B,A),es decir la propiedad de simetría, lo que se observa en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 44.


1. Considere en H (R2) los siguientes dos conjuntos A = [0, 1]× [0, 1] y B = [1, 7]× [0, 8].Al calcular se obtiene que

d ([0, 1] × [0, 1] , [1, 7] × [0, 8]) = 1.

d ([1, 7] × [0, 8] , [0, 1] × [0, 1]) =√

85.

Claramente d (A,B) 6= d (B,A). Ver figura 12.

2. Considere ahora a R, con la métrica usual. Entonces

d ([0, 1] , [0, 2]) = 0 6= 1 = d([0, 2] , [0, 1]).

Ver figura 13.

p p p p p p p

-

-

-

-

-

-

-

-

A

Bd(

B,A

)

d(A, B)

Figura 12. d(A,B) 6= d(B,A)

p0 1 2

Figura 13. d(A,B) 6= d(B,A)

Para que la Definición 43 quede bien establecida, tenemos que demostrar la siguienteproposición.

Proposición 45. El máximo de la Definición 43 siempre existe.

Demostración. Definamos f : A → R por: f (x) := d (x,B), para todo x ∈ A. Por laProposición 42, f (x) siempre existe. Veamos que f es continua. Sea ε > 0. Tenemos,

|f (x) − f (y)| =∣∣∣d (x,B) − d (y, B)

∣∣∣ = |d (x, b1) − d (y, b2)|para algunos b1, b2 ∈ B; es decir:

d (x,B) = d (x, b1) (= mın d (x, b) : b ∈ B)y

d (y, B) = d (y, b2) (= mın d (y, b) : b ∈ B).Por lo tanto,

d (x, b1) ≤ d (x, b2) ≤ d (x, y) + d (y, b2)


yd (y, b2) ≤ d (y, b1) ≤ d (y, x) + d (x, b1) .

De las desigualdades anteriores se obtiene:

−d (x, y) ≤ d (x, b1) − d (y, b2) ≤ d (x, y)

es decir,|d (x, b1) − d (y, b2)| ≤ d (x, y) ,

y basta entonces tomar 0 < δ ≤ ε para obtener la continuidad de f .Ahora consideremos el conjunto

S :=d (x,B) : x ∈ A

.

Observe que S ⊆ R, y S 6= ∅ (pues A y B son no vacíos). Como A y B son compactos,A∪B también es compacto (ver ejercicio 28). Luego existe r > 0 tal que para cualquier parde puntos x y y en A ∪ B se tiene que d(x, y) < r

Ahora, para cada x ∈ A, existe b ∈ B tal que d (x,B) = d (x, b).Sea z ∈ A ∪ B, de modo que x, b, z ∈ A ∪ B y se tiene:

d (x, b) ≤ d (x, z) + d (z, b) < r + r = 2r

y de esta forma 2r es una cota superior de S. Aplicando entonces el axioma de completez deR podemos afirmar que existe P = supS. Queremos ver que en realidad P es el máximo deS. Para cada n ∈ N, existe yn ∈ A tal que: P − 1

n< f (yn); luego:

−1

n< 0 ≤ P − f (yn) <

1

n.

De donde |P − f (yn)| < 1n

y por tanto

(3) lımn→∞

f (yn) = P.

Ahora, como A es compacto y (yn)n es una sucesión en A, existe (ykn)n subsucesión de

(yn)n tal que lımn→∞

ykn= a para algún a ∈ A. Por tanto: f

(lım

n→∞ykn

)= f (a), y como f es

continua lımn→∞

f (ykn) = f (a). Observando (3) y por el ejercicio 31 se concluye que P = f (a).

De modo que P es el máximo de S como se quería ver.

Lema 46. Si A,B ∈ H(X) y A ⊆ B entonces d(A,B) = 0.

Demostración.

d (A,B) = maxd (a,B) : a ∈ A

= d (a0, B) para algún a0 ∈ A ⊆ B

= mın d (a0, b) : b ∈ B ,pero a0 ∈ B, luego mın d (a0, b) : b ∈ B = 0.

Definición 47. Sean A,B ∈ H(X) se define h (A,B) por:

h (A,B) := maxd (A,B) , d (B,A)

.

Ejemplo 48.


1. En H(R2), h ([0, 1] × [0, 1] , [1, 7] × [0, 8]) = max1,√

85 =√

85.2. En H(R), h ([0, 1] , [0, 2]) = max 0, 1 = 1.

El objetivo ahora es demostrar que h sí define una métrica en H(X), pero para estonecesitaremos de algunos resultados previos.

Lema 49. Sean S ⊆ R y k ∈ R, k constante, entonces

mın k + s : s ∈ S = k + mınS.

Demostración. Notemos H = k + s : s ∈ S. Es claro que k + mınS ∈ H . Sea k + s ∈ H ,como s ∈ S se tiene que mınS ≤ s, por tanto k + mınS ≤ k + s, para todo s ∈ S. Es decir,k + mınS = mınH .

Lema 50. Sean a, b, c, d, e, f ∈ R, tales que cumplen las desigualdades a ≤ b+ c y d ≤ e+f ,entonces

max a, d ≤ max b, e + max c, f .Demostración. Si max a, d = d, entonces

max a, d ≤ e+ f ≤ max b, e + max c, f .Si, por otro lado, max a, d = a, entonces

max a, d ≤ b+ c ≤ max b, e + max c, f .

Lema 51. Sean A,B,C ∈ H(X), a ∈ A, c ∈ C (a, c fijos). Entonces:

mınd(a, b) : b ∈ B ≤ mın d (a, c) + d (c, b) : b ∈ B .Demostración. Sean b0 y b1 elementos de B tales que:

d (a, c) + d (c, b0) = mın d (a, c) + d (c, b) : b ∈ By

d (a, b1) = mın d (a, b) : b ∈ B .Entonces se tiene que d (a, b1) ≤ d (a, b0) ≤ d (a, c) + d (c, b0).

Lema 52. d (A,B) ≤ d (A,C) + d (C,B), para toda tercia de elementos A,B,C ∈ H(X).

Demostración. Para cada a ∈ A se tiene:

d (a,B) = mın d (a, b) : b ∈ B≤ mın d (a, c) + d (c, b) : b ∈ B , para toda c ∈ C (usando el Lema anterior)

≤ d (a, c) + mın d (c, b) : b ∈ B , para toda c ∈ C (usando el Lema 49).

Luego, considerando c0 ∈ C tal que: d (a, C) = d (a, c0) se tendría:

d (a,B) ≤ d (a, c0) + mın d (c0, b) : b ∈ B≤ d (a, C) + max mın d (c, b) : b ∈ B : c ∈ C= d (a, C) + d (C,B) .


Considerando en particular a = a0 donde d (a0, B) = d (A,B) se obtiene:

d (A,B) ≤ d (a0, C) + d (C,B)

≤ maxd (a, C) : a ∈ A

+ d (C,B)

= d (A,C) + d (C,B) .

Proposición 53. La función h es una métrica sobre H(X).

Demostración.(EM1) h (A,B) = 0

?⇔ A = B.

⇒) Sea a0 ∈ A. Como h (A,B) = 0, entonces d (A,B) = d (B,A) = 0. Entonces d (A,B) =

maxd (a,B) : a ∈ A

= 0, lo cual implica que existe a1 ∈ A tal que d (a1, B) = 0.

Por otra parte, se tiene que d (a0, B) ≤ d (a1, B) = 0, en consecuencia d (a0, B) = 0.Luego existe b0 ∈ B tal que d (a0, B) = d (a0, b0) = 0, de modo que a0 = b0. Entoncesa0 ∈ B. Con esto hemos probado que A ⊆ B.

Análogamente se prueba que B ⊆ A.⇐) Supongamos (sin pérdida de generalidad) que

h (A,B) = d (A,B) .

Para cada a ∈ A se tiene que d (a,B) = mın d (a, b) : b ∈ B = 0, pues A ⊆ B,entonces d (A,B) = max 0 = 0.

(EM2) h (A,B)?

≤ h (A,C) + h (B,C) para todo A,B,C ∈ H(X).En efecto, por el Lema 52 se tiene que

d (A,B) ≤ d (A,C) + d (C,B) y d (B,A) ≤ d (B,C) + d (C,A) .(4)

Ahora, usando el Lema 50 se puede ver que

maxd (A,B) , d (B,A)

≤ max

d (A,C) , d (C,A)

+ max

d (C,B) , d (B,C)

.

En consecuencia

h (A,B) ≤ h (A,C) + h (B,C) , para todo A,B,C ∈ H(X) .

Ahora sí estamos en condiciones de formular la siguiente definición.

Definición 54 (Métrica de Hausdorff). Llamaremos al espacio métrico (H(X) ,h) el espaciodonde viven los fractales. La métrica h se llama métrica de Hausdorff.

Como los elementos de H(X) son subconjuntos de X (es decir son elementos que a la vezson conjuntos), también se suele decir que H(X) es un hiperespacio de X.

En la siguiente subsección se demuestra la completez de H(X) a partir de la completez deX, (en realidad se prueba la equivalencia entre la completez de X y la de H(X)). Tambiénse demuestran otros resultados que son importantes en nuestro propósito, el estudio de lossistemas iterados de funciones.


5.2. Completez del espacio H(X). Un objetivo importante en la presente sección esprobar que la completez de (X, d) implica la completez de (H(X) ,h), para esto se debenestablecer antes varios conceptos y resultados.

Definición 55. Sean (X, d) espacio métrico, A ∈ H(X) y ε > 0. Se define la nube de centroA y radio ε, denotada N (A; ε) por:

N (A; ε) :=x ∈ X : d (x,A) < ε

. (Ver Figura 14).

ε

A

N(A; ε)X

Figura 14. Nube N (A; ε).

Es fácil verificar que:

N (A; ε) = x ∈ X : d (x, a) < ε para algún a ∈ A .Lema 56. Sean A,B ∈ H(X) y ε > 0. Entonces: h (A,B) < ε si y sólo si A ⊆ N (B; ε) yB ⊆ N (A; ε).

Demostración. Basta probar que:

(i) d (A,B) < ε si y sólo si A ⊆ N (B; ε), y(ii) d (B,A) < ε si y sólo si B ⊆ N (A; ε) .

Si d (A,B) < ε, entonces maxd (a,B) : a ∈ A

< ε, por lo tanto, d (a,B) < ε, para

toda a ∈ A. Entonces a ∈ N (B; ε), para toda a ∈ A y A ⊆ N (B; ε). Recíprocamente siA ⊆ N (B; ε), entonces para todo a ∈ A se tiene que d (a,B) < ε. Si en particular tomamosa0 ∈ A tal que d (a0, B) = d (A,B), entonces se obtiene d (A,B) < ε.

Análogamente se prueba (ii).

Si A ∈ H(X) y ε > 0, definimos la nube cerrada de centro A y radio ε, notado por p−qN (A; ε)

como sigue:

p−qN (A; ε) :=x ∈ X : d (x,A) ≤ ε

(= x ∈ X : existe a ∈ A, d (x, a) ≤ ε

).

Lema 57. Sean A ∈ H(X) y ε > 0. El conjunto p−qN (A; ε) es cerrado.


Demostración. Veamos que(p−qN (A; ε)

)c

es abierto.

Sea y ∈(p−qN (A; ε)

)c

. Entonces d (y, A) > ε. Sea a0 ∈ A tal que d (y, A) = d (y, a0). Ver

figura 15.

Veamos que B (y; δ) ⊆(p−qN (A; ε)

)c

donde δ = d (y, a0) − ε > 0.

Sea z ∈ B (y; δ). Debemos probar que d (z, a) > ε para toda a ∈ A.Sea a ∈ A. Tenemos

d (y, a0) ≤ d (y, a) ≤ d (y, z) + d (z, a)

< δ + d (z, a)

= d (y, a0) − ε+ d (z, a)

de donde ε < d (z, a), como se quería ver.

ε

A

a0

yδ

p−qN(A; ε)

Figura 15. Nube cerrada de centro A y radio ε.

De manera análoga a como se demostró el Lema 56, se puede demostrar el siguienteresultado

Lema 58. Sean A,B ∈ H(X) y ε > 0.

h (A,B) ≤ ε ⇐⇒ A ⊆ p−qN (A; ε) y B ⊆ p−qN (A; ε) .

Lema 59 (Lema de Extensión). Sea (An)n una sucesión de Cauchy en (H(X) ,h). Sea(nj)

∞j=1 una sucesión creciente de naturales. Suponga que

xnj

∈ Anj: j = 1, 2, . . .

es una

sucesión de Cauchy (en (X, d)). Entonces existe una sucesión de Cauchy xn ∈ An : n ∈ Ntal que xnj

= xnj, para todo j = 1, 2, 3, . . .

Demostración. Se construye la sucesión (xn)n como sigue: para cada n ∈ 1, 2, . . . , n1 − 1escojemos xn ∈ An tal que d (xn1

, An) = d (xn1, xn). Análogamente para cada j ∈ 2, 3, . . .

y cada n tal que nj−1 < n < nj , se escoge xn ∈ An tal que: d(xnj

, An

)= d

(xnj

, xn

)y por

supuesto xnj:= xnj

, para todo j = 1, 2, 3, . . . Veamos que (xn)n así definida es la sucesiónbuscada: claramente (xn)n es una extensión de

(xnj

)j

y xn ∈ An para todo n. Veamos que

(xn)n es de Cauchy. Sea ε > 0. Como(xnj

)j

es de Cauchy, existe N1 > 0 tal que:

(5) nk, nj ≥ N1 −→ d(xnk

, xnj

)< ε/3.


Como (An)n es de Cauchy, existe N2 > 0 tal que:

(6) m,nj ≥ N2 −→ h(Am, Anj

)< ε/3.

La última desigualdad significa, según el Lema 56 que:

Am ⊆ N(Anj

; ε/3)

y Anj⊆ N (Am; ε/3) .

Luego para m,nj ≥ N2, xnj∈ N (Am; ε/3), es decir d

(xnj

, Am

)< ε/3, y por tanto:

(7) d(xnj

, xm

)= d

(xnj

, Am

)< ε/3.

Análogamente, si

(8) n, nk ≥ N2 −→ d (xnk, xn) < ε/3.

Basta entonces tomar N = max N1, N2 y se tendrá: m,n ≥ N implica

d (xm, xn) ≤ d(xm, xnj

)+ d

(xnj

, xnk

)+ d (xnk

, xn)

< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε.

Un resultado central, como ya se había comentado antes, es la obtención de la completezdel hiperespacio H(X), a partir de la completez de X. En realidad se tiene la siguienteequivalencia:

Teorema 60. Sea (X, d) un espacio métrico. (H(X) ,h) es completo si y sólo si (X, d) escompleto.

Demostración. ⇒) Sea (xn)n una sucesión de Cauchy en (X, d). Como claramente cadaconjunto unitario xn es un compacto no vacío, entonces (xn)n es una sucesión en H(X).Además

h (xn , xm) = d (xn , xm) = d (xn, xm) = d (xn, xm) .

De modo que (xn)n es una sucesión de Cauchy en H(X). Por hipótesis, (xn)n → K paraalgún K ∈ H(X). Veamos que K es un conjunto unitario. Sean a, b ∈ K y ε > 0. ExisteN ∈ N tal que n ≥ N implica que h (K, xn) < ε/2. Observemos que

d (K, xn) = maxd (y, xn) : y ∈ K

= max d (y, xn) : y ∈ K .

Ahora, para n ≥ N se tendrá:

d (a, b) ≤ d (a, xn) + d (b, xn) ≤ 2 max d (y, xn) : y ∈ K= 2d (K, xn) ≤ 2h (K, xn) < 2 · ε/2 = ε.

De esta manera para todo ε > 0 se tiene d (a, b) < ε lo que implica a = b y K = a. Portanto

d (xn, a) = h (xn , a) = h (xn , K)

se puede hacer tan pequeña como se quiera, es decir (xn)n → a.⇐) Sea (An)n una sucesión de Cauchy en H(X). Definamos:

A := x ∈ X : existe (xn)n sucesión de Cauchy, con xn ∈ An, ∀n y (xn)n → x .


(a) Probemos que A 6= ∅. Para esto basta probar que existe (an)n sucesión de Cauchy, conan ∈ An, para toda n ∈ N, ya que la completez de X garantiza que en tal caso (an)n → apara algún a ∈ X, y por tanto a ∈ A.

Como (An)n es de Cauchy, podemos escoger una sucesión creciente de naturales:

N1 < N2 < · · · < Nn < · · ·tales que

h (Am, An) <1

2i, para todo m,n ≥ Ni, i = 1, 2, . . .

Sea xN1∈ AN1

. Como h (AN1, AN2

) < 12, implica que AN1

⊆ N(AN2

; 12

), entonces

d (xN1, AN2

) < 12

lo que implica que existe xN2∈ AN2

tal que d (xN1, xN2

) < 12.

Como h (AN2, AN3

) < 122 , entonces AN2

⊆ N(AN3

; 122

), luego d (xN2

, AN3) < 1

22 , dedonde existe xN3

∈ AN3tal que d (xN2

, xN3) < 1

22 , y así sucesivamente se obtiene unasucesión (xNi

)i con xNi∈ ANi

y tal que d(xNi

, xNi+1

)< 1

2i . Tomemos Nm ≤ Nn, entonces:

d (xNm, xNn

) ≤ d(xNm

, xNm+1

)+ d

(xNm+1

, xNm+2

)+ · · ·+ d

(xNn−1

, xNn

)

<1

2m+

1

2m+1+ · · ·+ 1

2n−1−→

n,m→∞0.

De esta manera (xNi)i es de Cauchy y por el Lema de Extensión (Lema 59) existe (xn)n

sucesión de Cauchy tal que xn ∈ An, para toda n y xNi= xNi

, para toda i. Como X escompleto, existe x ∈ X tal que (xn)n → x, de modo que x ∈ A y así A 6= ∅.

(b) Probaremos ahora que A es cerrado. Sea (ai)i sucesión de elementos deA tal que (ai)i → ay probemos que a ∈ A (de esta manera se tendrá que A ⊆ A). Como cada ai ∈ Aentonces, para cada i, existe una sucesión de Cauchy (xi

n)n, con xin ∈ An, para toda n y

(xin)n → ai

(x1n)n = (x1

1 x12 . . . x1

n . . . ) → a1

(x2n)n = (x2

1 x22 . . . x2

n . . . ) → a2...

...(xi

n)n = (xi1 x

i2 . . . xi

n . . . ) → ai...

...(xNk

n

)n

=(xNk

1 xNk

2 . . . xNkn . . .

)→ aNk

... ↓a

Como (ai)i → a es posible encontrar una sucesión creciente de naturales:

N1 < N2 < · · · < Nk < · · ·tal que para cada k,

d (aNk, a) <

1

k.

Como(xNk

n

)n→ aNk

, para k existe mk tal que

d(xNk

mk, aNk

)<

1

k.


Entonces

d(xNk

mk, a)≤ d

(xNk

mk, aNk

)+ d (aNk

, a) <1

k+

1

k=

2

k−→ 0.

Notemos ymk= xNk

mk. Entonces para cada k, ymk

∈ Amky además (ymk

)k → a, luego(ymk

)k es de Cauchy. En estas condiciones aplicamos de nuevo el Lema de Extensiónpara obtener una sucesión (ym)m tal que ym ∈ Am, para toda m, ymk

= ymky (ym)m

de Cauchy. Por la completez de X, (ym)m debe ser convergente y como su subsucesión(ymk

)k converge a a, entonces también (ym)m → a. De esta manera a cumple todos losrequisitos para pertenecer a A, como se quería probar.

(c) Sea ε > 0. Probaremos que existe N tal que para n ≥ N , A ⊆ p−qN (An; ε). Como (An)n

es de Cauchy, existe N tal que si m,n ≥ N entonces h (An, Am) ≤ ε, luego Am ⊆p−qN (An; ε). (Lema 56). Sea a ∈ A. Entonces existe una sucesión (ai)i tal que cada ai ∈ Ai

y (ai)i → a. Podemos asumir además que N es suficientemente grande para que si

m ≥ N entonces d (am, a) < ε. Entonces am ∈ p−qN (An; ε) pues Am ⊆ p−qN (An; ε). De esta

manera (aN , aN+1, aN+2, . . . ) es una sucesión en p−qN (An; ε) que converge a a, es decir,

a ∈ cl(p−qN (An; ε)

)= p−qN (An; ε) (Lema 57). Hemos probado así que para todo n ≥ N ,

A ⊆ p−qN (An; ε).(d) Probemos ahora que A es compacto. Para esto basta probar que A es totalmente acotado

y aplicar entonces el Teorema 68.Por contradicción, supongamos que A no es totalmente acotado. Entonces existe ε > 0

para el cual no existe una ε−red que recubra a A. Sea x1 ∈ A,

A * B (x1; ε) −→ ∃x2 ∈ A : d (x1, x2) ≥ ε

A * B (x1; ε) ∪ B (x2; ε) −→ ∃x3 ∈ A : d (x3, x1) ≥ ε y d (x3, x2) ≥ ε

...

Se construye de esta manera una sucesión (xi)i de elementos de A tal que d (xi, xj) ≥ ε,para toda pareja i 6= j. Ahora, por (c) existe un n suficientemente grande tal que

A ⊆ p−qN (An; ε/3). Entonces para cada xi, existe yi ∈ An tal que d (xi, yi) ≤ ε/3. ComoAn es compacto, existe una subsucesión (yni

) de (yi)i, convergente en An. Por tanto (yni)

es de Cauchy, así que es posible encontrar yni, ynj

tales que d(yni, ynj

)< ε/3. Por tanto

d(xni

, xnj

)≤ d (xni

, yni) + d

(yni, xnj

)

≤ d (xni, yni

) + d(yni, ynj

)+ d

(ynj

, xnj

)

<ε

3+ε

3+ε

3= ε.

Esto claramente contradice la forma como fue construida (xn)n. De esta manera, A estotalmente acotado y puesto que en (b) se demostró que es cerrado, entonces se concluye(Teorema 68) que A es compacto.

(e) Probaremos ahora quelım

n→∞An = A.


Sea ε > 0. Probaremos que existe N tal que n ≥ N , implica An ⊆ p−qN (A; ε). Esto serásuficiente teniendo en cuenta (c) y el lema 58.

Existe N tal que m,n ≥ N implica h (Am, An) ≤ ε/2. Entonces para m,n ≥ N ,

Am ⊆ p−qN (An; ε/2). Probemos que n ≥ N implica An ⊆ p−qN (A; ε).

Sea y ∈ An. Existe una sucesión creciente de enteros,

n < N1 < N2 < · · · < Nk < · · ·

tal que para l,m ≥ Nj , Al ⊆ p−qN(Am;

ε

2j+1

). Entonces Al ⊆ p

−qN(AN1

; ε2

).

Como y ∈ An, existe xN1∈ AN1

tal que d (y, xN1) ≤ ε/2. Como xN1

∈ AN1existe

xN2∈ AN2

tal que d (xN1, xN2

) ≤ ε/22. De esta manera continuamos y se encuentra una

sucesión xN1, xN2

, xN3, . . . tal que xNj

∈ ANjy d(xNj

, xNj+1

)≤ ε

2j+1. Entonces

d(y, xNj

)≤ d (y, xN1

) + d (xN1, xN2

) + · · · + d(xNj−1

, xNj

)

≤ ε

2+

ε

22+ · · ·+ ε

2j< ε, para todo j.

Además(xNj

)es una sucesión de Cauchy, luego

(xNj

)→ x, para algún x. Esto implica

que x ∈ A.Veamos que d (y, x) ≤ ε. Supongamos que d (y, x) > ε. Entonces d (y, x) − ε > 0 y

como(xNj

)→ x, existe M > 0 tal que Nj > M implica d

(xNj

, x)< d (y, x) − ε, de

donde

ε < d (y, x) − d(xNj

, x)

≤ d(y, xNj

)+ d

(xNj

, x)− d

(xNj

, x)

= d(y, xNj

)< ε.

Se obtendría ε < ε, ¡absurdo! Por lo tanto d (y, x) ≤ ε y, puesto que x ∈ A, se concluye

que y ∈ p−qN (A; ε) luego An ⊆ p

−qN (A; ε) como se quería demostrar.

El teorema anterior cuya demostración es un poco ardua, desempeña un papel muy impor-tante en nuestro camino de acercamiento a los fractales; podríamos decir que este teoremaproporciona la mitad de los “ingredientes” que usaremos para construir nuestros fractales.La otra mitad la constituye un número finito de contracciones que conformarán lo que sedenomina un Sistema Iterado de Funciones. De esta manera los lemas que se presentan acontinuación, se incluyen porque se usarán para garantizar el buen funcionamiento de lossistemas iterados de funciones.

Lema 61. Sean (X, d) y (Y,m) espacios métricos y f : X → Y continua. Si K ∈ H(X),entonces f (K) ∈ H(Y ).

Demostración. Sea (yn)n una sucesión en f (K), donde

f (K) = y ∈ Y : y = f (k) para algún k ∈ K .Debemos probar que (yn)n admite una subsucesión convergente.Para cada n ∈ N, yn = f (kn) para algún kn ∈ K. Dado que (kn)n es una sucesión en K,

y como K es compacto, existe (knt)t subsucesión de (kn)n tal que

(9) (knt)t → k para un k ∈ K.


Así (f (knt))t es una subsucesión de (yn)n y (f (ktn))n → f (k) ∈ f (K) por (9) y porque f

es continua. (ver ejercicio 31).

Lema 62. Sean (X, d) un espacio métrico y f : X → X una contracción. Definimos la

función f : H(X) → H(X) por f (K) = f (K) para todo K ∈ H(X). Entonces f es unacontracción en H(X) .

Demostración. En primer lugar obsérvese que f está bien definida en virtud del Lema 61.Dado que f es una contracción, existe r ∈ [0, 1) tal que para toda pareja x, y ∈ X,

(10) d (f (x) , f (y)) ≤ rd (x, y) .

Sean A,B,∈ H(X). Tenemos

h

(f (A) , f (B)

)= h (f (A) , f (B)) = max

d (f (A) , f (B)) , d (f (B) , f (A))

;

sin pérdida de generalidad, supongamos que

h (f (A) , f (B)) = d (f (A) , f (B))

= max mın d (f (a) , f (b)) : a ∈ A : b ∈ B≤ max mın rd (a, b) : a ∈ A : b ∈ B (por (10)).

Por tanto,

h

(f (A) , f (B)

)≤ rmax mın d (a, b) : a ∈ A : b ∈ B = rd (A,B)

≤ rmaxd (A,B) , d (B,A)

= rh (A,B) .

Lema 63. Sean A,B,C ∈ H(X). Entonces d (A ∪B,C) = maxd (A,C) , d (B,C)

.

Demostración.

d (A ∪B,C) = maxd (x, C) : x ∈ A ∪B

= maxd (x, C) : x ∈ A ∨ x ∈ B

= max

maxd (x, C) : x ∈ A

,max

d (x, C) : x ∈ B

= maxd (A,C) , d (B,C)

.

Lema 64. Sean A,B,C,D ∈ H(X). h (A ∪ B,C ∪D) ≤ max h (A,C) ,h (B,D) .Demostración. Por el Lema 52

d (A,C ∪D) ≤ d (A,C) + d (C,C ∪D) ,

como d (C,C ∪D) = 0 ya que C ⊆ C ∪D (Lema 46), entonces

(11) d (A,C ∪D) ≤ d (A,C) .

De forma análoga,

(12) d (B,C ∪D) ≤ d (B,D) + d (D,C ∪D) ⇒ d (B,C ∪D) ≤ d (B,D) ,


(13) d (C,A ∪ B) ≤ d (C,A) + d (A,A ∪B) ⇒ d (C,A ∪ B) ≤ d (C,A)

y

(14) d (D,A ∪ B) ≤ d (D,B) + d (B,A ∪B) ⇒ d (D,A ∪ B) ≤ d (D,B) .

Por la definición de h, el Lema 63 y las inecuaciones anteriores, se obtiene

h (A ∪ B,C ∪D)

= maxd (A ∪ B,C ∪D) , d (C ∪D,A ∪ B)

= max

maxd (A,C ∪D) , d (B,C ∪D)

,max

d (C,A ∪ B) , d (D,A ∪B)

= maxd (A,C ∪D) , d (B,C ∪D) , d (C,A ∪B) , d (D,A ∪B)

≤ maxd (A,C) , d (B,D) , d (C,A) , d (D,B)

= max

maxd (A,C) , d (C,A)

, max

d (B,D) , d (D,B)

= max h (A,C) , h (B,D) ,esto es

h (A ∪ B,C ∪D) ≤ max h (A,C) , h (B,D) . Los lemas anteriores se usarán para demostrar el siguiente, el cual a su vez constituye un

resultado básico para el estudio de los sistemas iterados de funciones.

Lema 65. Sean (X, d) espacio métrico y fi : X → X una contracción en X, con i =1, 2, 3, . . . , N (N ∈ N, N fijo). Si se define F : H(X) → H(X) por

F (K) := f1 (K) ∪ f2 (K) ∪ f3 (K) ∪ · · · ∪ fN (K) :=N⋃

i=1

fi (K) .

Entonces F es contracción.

Demostración. En primer lugar obsérvese que F está bien definida en virtud del ejercicio 28y del Lema 61.

Para probar que F es contracción basta considerar el caso N = 2 (luego se aplica inducciónmatemática).

Existen r1, r2 en [0, 1) tales que para toda pareja x, y ∈ X,

d (f1 (x) , f1 (y)) ≤ r1d (x, y) ,

d (f2 (x) , f2 (y)) ≤ r2d (x, y) .

Sean A,B ∈ H(X); utilizando los lemas 64 y 62, respectivamente, obtenemos

h (F (A) , F (B)) = h (f1 (A) ∪ f2 (A) , f1 (B) ∪ f2 (B))

≤ max h (f1 (A) , f1 (B)) , h (f2 (A) , f2 (B))≤ max r1h (A,B) , r2h (A,B)≤ rmax h (A,B) , h (A,B) = rh (A,B) ,

donde r = max r1, r2. Por lo tanto F es una contracción.


Con los resultados que hemos presentado en esta sección la demostración del siguientecorolario es inmediata.

Corolario 66. Sean (X, d) espacio métrico completo y fi : X → X, i = 1, 2, 3, . . . , N , unacolección de contracciones en X. Sea F : H(X) → H(X) dada por

F (K) := f1 (K) ∪ f2 (K) ∪ f3 (K) ∪ · · · ∪ fN (K) :=N⋃

i=1

fi (K) .

Entonces existe un único elemento de H(X), digamos Ω, tal que F (Ω) = Ω. Además paratodo B ∈ H(X) se tiene que

lımn→∞

h (F n(B),Ω) = 0.

A la colección de contracciones fi : X → X, i = 1, 2, 3, . . . , N , y a la función F , conside-radas en el lema 65 y el corolario 66, se les suele llamar un Sistema Iterado de Funciones,SIF. Y lo notamos así: X; f1, f2, . . . , fN. Al conjunto Ω mencionado en el corolario 66se le llama el atractor del SIF, X; f1, f2, . . . , fN. Un fractal, en el espacio X, es unsubconjunto de X que se puede expresar como el atractor de un SIF.

5.3. Algunos resultados utilizados. A continuación se recopilan algunos resultadosutilizados en el desarrollo realizado en esta sección. La demostración de estos resultados sepueden encontrar por ejemplo en [21] y en [24].

Proposición 67. Sean (X, d) un espacio métrico completo y S ⊆ X. Entonces S es cerradosi y sólo si S es completo.

Teorema 68. Sean (X, d) espacio métrico completo y S ⊆ X. Entonces S es compacto si ysólo si S es cerrado y totalmente acotado.

Proposición 69. Sean (X, d) un espacio métrico y S ⊆ X. Si S es totalmente acotadoentonces S es acotado.

Lo recíproco, en general no es cierto.


6. La función de direccionamiento

Esta función permitirá, entre otras cosas, asociar a cada punto del atractor de un SIF, uncódigo, es decir un elemento del espacio de los códigos.

En primer lugar veamos cómo el atractor de un SIF determina un espacio de códigos, deacuerdo al número de contracciones del SIF.

Definición 70 (El espacio de códigos asociados a un SIF). Dado un SIF: X; f1, f2, . . . , fNse define su espacio de códigos asociado como el espacio métrico ΣN donde Σ = 1, 2, . . . , N.

Recuerde que la métrica en ΣN está dada por dc (α, β) =∞∑i=1

|αi−βi|(N+1)i , para todo par de

puntos α = α1α2 . . . ; y β = β1β2 . . ..Es sabido que el espacio de códigos aquí definido no es otra cosa que el espacio de Cantor,

es decir(∑

N, dc

)es el único espacio métrico compacto, perfecto y totalmente disconexo

([27], Corollary 30.4).

Ejemplo 71. El espacio de códigos asociados al SIF: R2;w1, w2, w3 donde w1 (z) = 12z;

w2 (z) = 12z+ 1

2; w3 (z) = 1

2z+ 1

4+

√3

4i (y a cualquier SIF con tres contracciones) es 1, 2, 3N.

(1

2,

√3

2

)

(1, 0)(0, 0) 1 2

3

11 12

13

21 22

23

31 32

33

111

133

313

333

332

322

232

222

121 211 221

Figura 16. Espacio de códigos asociado con el triángulo de Sierpiński.

Los siguientes resultados se usarán en la demostración del Teorema 77, el cual a su vezconstituye un resultado central de esta sección.

Teorema 72 (La completez del espacio donde viven los fractales). Si (X, d) es un espaciométrico completo, entonces (H(X) , h) es completo. Además, si (An) es una sucesión deCauchy en H(X), entonces

lımn→∞

An = A, A ∈ H(X)

y A se puede caracterizar como sigue:

A = x ∈ X | existe (an)n sucesión en X, tal que (an)n → x y an ∈ An para cada n .Una demostración de este teorema la presentamos en la sección anterior de estas notas.

Además se puede encontrar en [4].


Definición 73. Un SIF con condensación es de la forma X; f0, f1, f2, . . . , fN dondeX; f1, f2, . . . , fN es un SIF y f0 : H(X) → H(X) es una función constante. En estecaso f0 se llama función de condensación.

Teorema 74 (Atractor de un SIF con condensación). Sea X; f0, f1, . . . , fN un SIF concondensación, (siendo f0 la función de condensación). Entonces la función, F0 : H(X) →H(X) definida por: F0 (K) :=

N⋃i=0

fi (K) es una contracción en el espacio métrico (H(X) , h)

y existe un único A ∈ H(X) tal que,

A = F0 (A) =

N⋃

i=0

fi (A)

Además, para todo K ∈ H(X) se tiene que,

A = lımn→∞

F n0 (K) .

A se llama el atractor del SIF.

La demostración del teorema anterior es totalmente análoga a la que se hace para los SIF’s“tradicionales”.

Lema 75. Sea X;w1, w2, . . . , wN un SIF. Sea K ∈ H(X). Entonces existe K ∈ H(X) tal

que K ⊆ K y para cada i = 1, . . . , N , wi : K → K. En otras palabrasK;w1, . . . , wN

es

un SIF cuyo conjunto subyacente es un compacto.

Demostración. Para construir K considere el SIF con condensación

X;w0, w1, . . . , wNdonde la función w0 es la función de condensación determinada por K, es decir: w0 (B) := K,para todo B ∈ H(X).

Por el teorema 74 existe el atractor de este SIF con condensación, es decir existe K elpunto fijo de la contracción,

W0 : H(X) → H(X)

definida por:

W0 (B) := w0 (B) ∪W (B)︷︸︸︷

w1 (B) ∪ . . . ∪ wNB

= K ∪W (B)

Claramente K es compacto y además cumple W0(K) = K, es decir K ∪W (K) = K dedonde K ⊆ K y W (K) ⊆ K; esta última contenencia implica wi : K → K, para todai = 1, . . . , N .

Lema 76. Sea X;w1, . . . , wN un SIF con factor de contracción λ1. Sea ΣN el espacio decódigos asociados al SIF. Sea,

φ : ΣN × N ×X → X

1Es decir λ = maxλ1, λ2, . . . , λN , donde λi es el factor de contracción de wi, i = 1, 2, . . . , N .


definida por:φ (α, n, x) := wα1

wα2 . . . wαn

(x) .

Sea K ∈ H(X). Entonces existe una constante D tal que:

d (φ (α,m, x1) , φ (α, n, x2)) ≤ Dλmınm,n

para toda α ∈ ΣN, para todo par de números m,n ∈ N, y para todo par de puntos x1, x2 ∈K.

Demostración. Sean α,m, n, x1, x2 como se establecen en el lema. Construya el compacto Kcomo en el Lema 75, de modo que cada wi : K → K. Podemos suponer m < n. Tenemos:

φ (α, n, x2) = wα1 . . . wαm

wαm+1 . . . wαn

(x2)︸︷︷︸x3

= φ (α,m, x3) .

De modo que:

d (φ (α,m, x1) , φ (α, n, x2)) = d (φ (α,m, x1) , φ (α,m, x3))

= d (wα1 . . . wαm

(x1) , wα1 . . . wαm

(x3))

≤ λmd (x1, x3) ≤ λmD

donde D = maxd (x, y) | x, y ∈ K

; D existe puesto que K es compacto.

Establecidos los lemas anteriores podemos ahora sí abordar la función que nos interesa.

Teorema 77 (La función ϕ). Sean X;w1, . . . , wN un SIF y A su atractor. Sea ΣN elespacio de códigos asociado al SIF. Para cada α ∈ ΣN, n ∈ N y x ∈ X. Sea

ϕ (α) := lımn→∞

φ (α, n, x) .

Entonces ϕ (α) siempre existe, pertenece a A, es independiente de x, y la función:

ϕ : ΣN −→ A

α 7−→ ϕ (α)

es continua y sobre.

Demostración. Sean x ∈ X y K ∈ H(X) tal que x ∈ K. Construya K como en el Lema 75.Sabemos que el atractor A se puede obtener como:

A = lımn→∞

W n (K) .

Observe que:

φ (α, 1, x) = wα1(x) ∈W (K) ,

φ (α, 2, , x) = wα1 wα2

(x) ∈W 2 (K) ,...

φ (α, n, x) = wα1 . . . wαn

(x) ∈W n (K) ,...


Por el Lema 76 la sucesión (φ (α, n, x))n es de Cauchy, y aplicando entonces el Teoremade Completez de H(X) (Teorema 72), podemos afirmar que dicha sucesión converge a unelemento del atractor A, es decir:

lımn→∞

φ (α, n, x) ∈ A.

Veamos que ϕ es continua. Sea ǫ > 0. Existe n ∈ N tal que λnD < ǫ. (λ es un factor decontracción del SIF y D es el diámetro de K). Para α, β ∈ ΣN que cumplan:

dc (α, β) <1

(N + 1)n+1

se tiene:

(N + 1)n+1

[n∑

i=1

|αi − βi|(N + 1)i +

∞∑

i=n+1

|αi − βi|(N + 1)i

]< 1

n∑

i=1

|αi − βi| (N + 1)n+1−i

︸︷︷︸||

t∈Z+∪0

+∞∑

i=n+1

|αi − βi| (N + 1)n+1−i < 1.

Luego necesariamente t = 0, de modo que αi = βi, para toda i = 1, . . . , n (es decir α y βcoinciden en sus primeras n cifras). Por tanto, si dc (α, β) < δ = 1

(N+1)n+1

d (φ (α,m, x1) , φ (β,m, x2)) =

d

(wα1

. . . wαn wαn+1

. . . wαm(x1︸︷︷︸), wα1

. . . wαn wβn+1

. . . wβm(x2)︸︷︷︸

),

x3 x4

tomando m ≥ n, x1, x2 ∈ K,≤ λnd (x3, x4) ≤ λnD < ǫ,

d (φ (α,m, x1) , φ (β,m, x2)) = d (wα1 . . . wαm

(x1) , wβ1 . . . wβm

(x2)) , x1, x2 ∈ K

= d (φ (α,m, x1) , φ (α,m, x2)) ≤ λmD < ǫ,

y tomando el límite cuando m→ ∞,

d(

lımm→∞

φ (α,m, x1) , lımm→∞

φ (β,m, x2))< ǫ,

luego d (ϕ (α) , ϕ (β)) < ǫ. Así ϕ es continua.Sólo falta probar que ϕ es sobre. Sea a ∈ A. Claramente x ∈ H(X), de modo que,

A = lımn→∞

W n (x) .


Considere la sucesión de compactos:

W (x) = w1 (x) , . . . , wN (x)W 2 (x) = w1 w1 (x) , . . . , w1wn (x) , w2w1 (x) , . . . , w2wN (x) , . . . , wNwN (x)

...

W n (x) = wα1wα2

. . . wαn(x) | αi ∈ 1, . . . , N , 1 ≤ i ≤ N

...

Claramente es una sucesión de Cauchy (en H(X)), usando el Lema 59 y el Teorema 72 deH(X), debe existir una sucesión de Cauchy (an)n tal que (an)n → a y an ∈W n (x), paratoda n ∈ N. Así, para cada n,

an = wαn1 wαn

2 . . . wαn

n(x) .

Se determina entonces una sucesión de códigos (αn)n donde αn = (αnm)m. Como ΣN es

compacto, (αn)n admite una subsucesión convergente, digamos(αkn)

n→ α, α ∈ ΣN. Por

esta última convergencia, los “segmentos iniciales” de los códigos αkn, coincidentes con losde α, se van haciendo cada vez “más largos”, de modo que

d(φ (α, n, x) , φ

(αkn, n, x

))≤ λt(n)D

dondet (n) = #

j ∈ N | αkn

k = αk, 1 ≤ k ≤ j.

Tomando límite en los dos lados de la desigualdad, se obtiene:

lımn→∞

φ (α, n, x) = lımn→∞

φ(αkn, n, x

),

ϕ (α) = lımn→∞

wαkn1

. . . wαknn

(x) = lımn→∞

akn= a.

De esta manera, para cada punto del atractor de un SIF, podemos ahora definir lo quellamaremos una dirección del punto.

Definición 78 (Función de direccionamiento). Sean X;w1, . . . , wn un SIF, ΣN su espaciode códigos asociado y ϕ : ΣN → A la función definida en el teorema anterior. Sea a ∈ A;llamaremos una dirección de a, a cualquier elemento del conjunto,

ϕ−1 (a) :=α ∈ ΣN | ϕ (α) = a

.

El conjunto ϕ−1 (a) lo llamaremos el conjunto de las direcciones de a y la función ϕ lallamaremos la función de direccionamiento del atractor del SIF.

Ejemplo 79. Consideremos el SIF: [0, 1] ;w1, w2 donde w1 (x) = 13x, w2 (x) = 1

3x+ 2

3. El

atractor de este SIF es el espacio de Cantor C, y su función de direccionamiento,

ϕ : ΣN → C donde Σ = 1, 2 .Calculemos por ejemplo ϕ(1

_

2); (1_

2 = 1222 . . .).

ϕ(1_

2) = lımn→∞

w1 w2 w2 . . . w2 (1)

= lımn→∞

w1 (1) = w1 (1) = 13∈ C


Luego 1_

2 es dirección de 13.

1 2

11 12 21 22

111 112 121 122 211 212 221 222

.

.

.

ϕ(1_

2) = 13

Figura 17. Espacio de códigos asociado con el conjunto de Cantor.

Ejemplo 80. El atractor del SIF:I × I; 1

3z, 1

3zeiπ/3, 1

3ze−iπ/3 + 1

2+

√3

6i, 1

3z + 2

3

, es la

curva de Koch, que notaremos K. Entonces

ϕ : ΣN → K con Σ = 1, 2, 3, 4 .En este caso, por ejemplo ϕ−1

(13

)=

1_

4, 2_

1. (Compruébelo!).

12 3

411

12 13

14

23 32

41 44

. . .

Figura 18. El espacio de códigos asociado con la curva de Koch.

Obsérvese que si F es un subconjunto cerrado de∑

N, y dado que∑

N es compacto,entonces F es también compacto; de esta manera para la función ϕ :

∑N → A definida en el

Teorema 77 , se tiene que ϕ (F ) es un subconjunto compacto de A (la imagen continua de uncompacto es un compacto); además, puesto que A es Hausdorff (por ser un espacio métrico),entonces ϕ (F ) es un cerrado de A (un subconjunto compacto de un espacio Hausdorff, escerrado, [27], Theorem 17.5). De esta manera la función ϕ es cerrada de modo que tendriamosuna función continua, sobre y cerrada, podemos entonces aplicar el Teorema 9.2 de [27] paraconcluir que A es un cociente (topológico) del espacio de Cantor. Por supuesto esta conclusióntambién se puede obtener como una consecuencia directa del Teorema 30.7 de [27], el cualestablece que todo espacio métrico compacto es una imagen continua del espacio de Cantor;sin embargo en el Teorema 77 se está mostrando explícitamente una función de cocienteentre el espacio de Cantor

∑N y el atractor A.

Para finalizar esta sección veamos ahora otro uso interesante de la función de direcciona-miento, y es en la definición de tres clases de SIF´s, las cuales se refieren de alguna maneraal "tamaño" de las zonas de intersección de las çopias maximales" del atractor del SIF , (si


A es el atractor del SIF X; f1, . . . , fN llamamos copias maximales de A a los conjuntosf1 (A) , f2 (A) , . . . , fN (A)).

A manera de motivación pensemos en los siguientes tres ejemplos de SIF´s:

1.[0, 1] ; f1 (x) = 1

3x, f2 (x) = 1

3x+ 2

3

2.C; f1 (z) = 1

2z, f2 (z) = 1

2z + 1

2, f3 (z) = 1

2z + 1

2i

3.[0, 1] ; f1 (x) = 1

2x, f2 (x) = 3

4x+ 1

4

Sabemos ya que el atractor del primer SIF es el espacio de Cantor, notémoslo C, cuyascopias maximales son disyuntas pues claramente f1 (C)∩f2 (C) = ∅. En este caso cada puntodel atractor tiene exactamente una dirección. Este es un ejemplo de una clase de SIF´sllamados totalmente disconexos.

1 2;

11 12 21 22;

111 112 121 122 211 212 221 222 ...

Figura 19. SIF totalmente disconexo.

El atractor del segundo SIF es el triángulo de Sierpiński S, de vértices (0, 0) , (1, 0) y(0, 1).

1

2

3 11

13

31

33

12

32

21

23

22

133 222 (1, 0) = ϕ(2)

(12 , 1

2

)= ϕ

(23)

= ϕ(32)

323

• •

•

Figura 20. SIF totalmente disconexo.

En este caso algunos puntos del atractor tienen exactamente una dirección (como losvértices (0, 0) , (1, 0) y (0, 1)), mientras que otros puntos tienen exactamente dos direcciones(como el punto

(0, 1

2

)cuyas direcciones son 13 y 31, o, análogamente el punto

(12, 1

2

)cuyas

direcciones con 23 y 32 ). Aunque la cantidad de puntos con más de una dirección es infinita,se trata de una cantidad en cierto sentido ”pequeña” en relación con la cantidad total depuntos de S. Obsérvese que ahora, f1 (S)∩f2 (S) , f1 (S)∩f3 (S) y f2 (S)∩f3 (S) son conjuntosunitarios. Este SIF corresponde a un ejemplo de lo que se llamará SIF ”just-touching”.

Para el SIF del tercer ejemplo se observa que el atractor resulta ser el mismo intervaloI = [0, 1] pues f1 (I) ∪ f2 (I) =

[0, 1

2

]∪[

14, 1]

= [0, 1]. La cantidad de puntos con más deuna dirección es ”grande” en algún sentido (por ejemplo todos los puntos del intervalo

[14, 1

2

]

tienen más de una dirección). En este caso f1 (I) ∩ f2 (I) =[

14, 1

2

]. Se trata de un tipo de

SIF denominado ”overlapping”.Finalizamos formalizando lo anterior:


10 ; 0 112

14

;f2(I)

f1(I)

...

Figura 21. SIF ”overlapping ”.

Definición 81. Si A es un atractor de un SIF X; f1, f2, . . . , fN y ϕ :∑

N → A sucorrespondiente función de direccionamiento,

i) Se dice que el SIF es totalmente disconexo si para todo a ∈ A, el conjunto ϕ−1 (a)es unitario (es decir si cada punto del atractor tiene exactamente una dirección, oequivalentemente si ϕ es inyectiva).

ii) Se dice que el SIF es just-touching si no es totalmente disconexo pero existe unconjunto abierto O ⊆ A tal que:i) fi (O) ∩ fj (O) = ∅, ∀i, j ∈ 1, 2, . . . , N , i 6= j, y

ii)N⋃

i=1

fi (O) ⊆ O

iii) Diremos que el SIF es overlapping si no es totalmente disconexo, ni es just-touching.


7. El conjunto de los puntos atrapados y la Dinámica Simbólica

La siguiente definición es muy útil cuando estudiamos funciones definidas en el espacioRn. La redactamos para funciones en R sólo por comodidad.

Definición 82. Dada f : R → R, el conjunto de todos los puntos x cuya órbita está acotadalo llamamos el conjunto de los puntos atrapados o el conjunto de los puntos prisioneros.Este conjunto lo denotamos con J(f). Es decir,

J(f) = x ∈ R : o(x, f) está acotada .Observemos que si x ∈ J(f), entonces f(x) también está en J(f) ya que la o (f(x), f) está

contenida en la o(x, f). De aquí se sigue que f(J(f)) ⊂ J(f).Por otro lado, sea x en J(f). Si existe y tal que f(y) = x, entonces y también está en J(f)

ya queo(y, f) = y ∪ o(x, f).

Así, si se tiene que J(f) ⊂ f(R), entonces J(f) ⊂ f(J(f)), y con ello estos dos conjuntosson iguales, J(f) = f(J(f)). Es decir, J(f) es un conjunto invariante bajo f .

Tal vez la importancia de este conjunto de puntos atrapados se vea si recordamos que parala función Tienda se tiene que J(T ) = [0, 1]. Y es precisamente en este conjunto donde Ttiene una dinámica caótica, y fuera de él su dinámica es muy sencilla.

Observación 83. Si la función f está definida en los números complejos, f : C → C, y laregla de correspondencia de f se expresa de forma polinomial,

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ aNz

N ,

con N ≥ 2 y aN 6= 0, entonces J(f) es conocido como el conjunto de Julia lleno de f y lafrontera de J(f) es el conjunto de Julia de f .

Sea P : R → R la función dada por

P (x) =

3x si x ≤ 1

2,

3 − 3x si x ≥ 12.

Estudiaremos a continuación algunas propiedades dinámicas de esta función. En primerlugar nos interesa descubrir la estructura del conjunto J(P ). En particular demostraremosque este conjunto es un fractal. Una vez cumplida esta tarea demostraremos que P restringidaa J(P ) es caótica. De aquí en adelante la letra P sólo la utilizaremos para designar estafunción.

Las gráficas de P y T son muy parecidas. La única diferencia es la altura que alcanza elpico que ambas tienen en el punto x = 1

2. Sin embargo, el conjunto de los puntos atrapados

de una y otra es muy distinto.Las demostraciones de las siguientes cuatro observaciones son casi inmediatas.i) Para todo x < 0 se tiene que P (x) < x. Más aún, para toda n ∈ N se tiene que

P n(x) = 3nx. Así, lımn→∞ P n(x) = −∞.ii) Si x > 1, entonces P (x) < 0. Por lo tanto para estos puntos también se concluye que

lımn→∞ P n(x) = −∞.iii) Los únicos puntos fijos de P son 0 y 3

4, y ambos son repulsores.

iv) Si x ∈(

13, 2

3

), entonces P (x) > 1 y, nuevamente, lımn→∞ P n(x) = −∞.


Sobre el conjunto J(P ) hasta ahora sabemos lo siguiente:

J(P ) ⊂[0,

1

3

]∪[2

3, 1

], y

0,

3

4

⊂ J(P ).

Llamamos A1 a la unión de los intervalos[0, 1

3

]y[

23, 1].

La función P transforma al intervalo[0, 1

3

]en el intervalo [0, 1] de manera lineal haciendo

crecer las distancias por un factor de 3. El intervalo abierto(

19, 2

9

)es transformado bajo P

en el intervalo(

13, 2

3

). Así J(P ) ∩

(19, 2

9

)= ∅. Algo similar le sucede al intervalo

[23, 1].

Sea A2 la unión de los 22 intervalos[0, 1

9

],[

29, 3

9

],[

69, 7

9

]y[

89, 1]. Cada uno de estos

intervalos es transformado bajo P 2 en el intervalo unitario. Este hecho provoca que el terciode enmedio de cada uno de ellos esté formado por puntos que no están en J(P ). Con estainformación podemos definir A3 como la unión de 23 intervalos cerrados de longitud

(13

)3,

tal que P 3 transforma a cada uno de ellos en el intervalo unitario, y tal que el conjunto J(P )está contenido en A3.

Podemos continuar el proceso anterior indefinidamente, quitando en cada paso puntos cuyaórbita no está acotada. Los conjuntos An que se van formando son precisamente los que seutilizan en la construcción del conjunto de Cantor clásico. A este conjunto lo denotaremoscon la letra C. Como para toda n ∈ N se tiene que J(P ) ⊂ An, entonces J(P ) ⊂ C.

Por otro lado, si x ∈ C entonces para toda n ∈ N, x ∈ An y por ello P n(x) ∈ [0, 1]. Estoimplica que la órbita entera de x está en [0, 1], así x ∈ J(P ). Por lo tanto J(P ) = C.

Como J(P ) está contenido en la imagen de R bajo P , entonces J(P ) es un conjuntoinvariante de P .

Así nuestra función P nos ha proporcionado un conjunto invariante que es a su vez unconjunto fractal. Haremos algunos comentarios sobre este interesante hecho un poco másadelante. Por lo pronto nos interesa convencer al lector de que P , restringida a J(P ), es unafunción caótica. Así el conjunto de Cantor clásico es el escenario donde se lleva a cabo unsistema dinámico discreto caótico.

Ejercicio 51. Encuentra un punto en el intervalo [0, 1] tal que sea periódico de periodo 3bajo la función P .

A cada punto de J(P ) le vamos a asignar, mediante la función ϕ, una sucesión infinitaformada solamente por ceros y unos.

Sea x0 un punto en J(P ). Observemos que para toda n ∈ N se tiene que P n (x0) está enel intervalo

[0, 1

3

]o en el intervalo

[23, 1]. La idea es asignar un 0 o un 1 según P n(x0) se

encuentre en el primer o en el segundo intervalo.Sean I0 =

[0, 1

3

]e I1 =

[23, 1]. Entonces

ϕ (x0) = t = (t0, t1, t2, . . .) ,

donde las coordenadas de t se definen de la siguiente manera: Para cada n ≥ 0

tn =

0 si P n(x0) ∈ I0,1 si P n(x0) ∈ I1.

SeaΣ2 =

t = (t0, t1, t2, . . .) : para cada n ≥ 0, tn ∈ 0, 1

.


Ya habíamos visto este espacio antes, es el espacio de los códigos. Como sólo utilizamosdos símbolos, el 0 y el 1, la métrica está dada por la siguiente igualdad:

d(t, s)

=

∞∑

n=0

|tn − sn|3n

,

donde t = (t0, t1, t2, . . .) y s = (s0, s1, s2, . . .).A la sucesión ϕ (x0) = t = (t0, t1, t2, . . .) se le llama, también, el itinerario de x0. Si

lo pensamos un poco este nombre tiene mucho sentido. El punto x0 sólo puede viajar, alaplicarle P varias veces, a dos ciudades: I0 e I1. El valor que asuma tn nos dirá de manerainmediata en cual de estos dos destinos se encuentra el punto P n (x0).

Las siguientes cuatro proposiciones contienen las propiedades más importantes de la fun-ción ϕ : J(P ) → Σ2. La meta es mostrar que ϕ es en realidad un homeomorfismo.

Proposición 84. ϕ : J(P ) → Σ2 es una función inyectiva.

Demostración. Sea x0 y y0 dos puntos en J(P ) tales que t = ϕ (x0) = ϕ (y0) = s. Entoncespara toda n ≥ 0 se tiene que tn = sn. De aquí se sigue que para cada n ∈ N, P n−1 (x0) yP n−1 (y0) están ambos en I0 o ambos en I1. Entonces

|P n (x0) − P n (y0)| = 3∣∣P n−1 (x0) − P n−1 (y0)

∣∣ .

Y como para cada i, 0 ≤ i ≤ n− 2, se tiene que P i (x0) y P i (y0) están ambos en I0 o ambosen I1, entonces tenemos que

|P n (x0) − P n (y0)| = 3n |x0 − y0| .De aquí se sigue que para toda n ∈ N, |x0 − y0| ≤ 1

3n . Por lo tanto x0 = y0.

Proposición 85. ϕ : J(P ) → Σ2 es una función suprayectiva.

Demostración. Observemos primero que si E = [a, b] es un intervalo contenido en [0, 1],entonces existen dos intervalos E0 ⊂ I0 y E1 ⊂ I1 tales que P (Ei) = E, i = 0, 1. Además lalongitud de cada Ei es un tercio de la longitud de E.

Para los intervalos I0 e I1 existen dos intervalos en I0, que llamaremos I00 e I01, tales queP (I00) = I0 y P (I01) = I1, y existen dos intervalos en I1, que ahora llamaremos I10 e I11,tales que P (I10) = I0 y P (I11) = I1. La longitud de cada uno de estos cuatro intervaloscerrados es

(13

)2. La unión de los cuatro intervalos nos da el conjunto A2.

En el siguiente paso existen cuatro intervalos en I0, llamados I000, I001, I010 e I011, talesque la función P transforma de la siguiente manera:

I000 → I00, I001 → I01,I010 → I10, I011 → I11.

De manera análoga existen cuatro intervalos en I1 que se comportan de modo similar alos cuatro anteriores.

En este paso ya tenemos 23 intervalos de la forma Is0s1s2, si ∈ 0, 1 para 0 ≤ i ≤ 2, tales

que P (Is0s1s2) = Is1s2

, y la longitud de cada uno de ellos es(

13

)3.

Obsérvese que si x ∈ Is0s1s2, entonces x ∈ Is0

, P (x) ∈ Is1y P 2(x) ∈ Is2

.


En el paso n de esta construcción obtenemos 2n intervalos de la forma Is0s1s2...sn−1, donde

si ∈ 0, 1 para 0 ≤ i ≤ n− 1, tales que

P(Is0s1s2,...,sn−1

)= Is1s2,...,sn−1

,

y la longitud de cada uno de ellos es(

13

)n.

Además si x ∈ Is0s1s2,...,sn−1, entonces x ∈ Is0

, P (x) ∈ Is1, P 2(x) ∈ Is2

, y así hasta queP n−1(x) está en Isn−1

.Ahora sí demostraremos que ϕ es suprayectiva.Sea t = (t0, t1, t2, . . .) un punto en Σ2.Sea n ∈ N y consideremos el intervalo It0t1t2,...,tn .Observemos que si x es un punto en J(P ) tal que x ∈ It0t1t2,...,tn, entonces ϕ(x) y t tienen

iguales las primeras n+ 1 coordenadas.Como para cada n ∈ N se tiene que el intervalo It0t1t2,...,tn está contenido en el intervalo

It0t1t2,...,tn−1, la colección It0t1t2,...,tn∞n=0 forma una sucesión de intervalos cerrados encajados,

cada uno de ellos distino del vacío. Sabemos también que la longitud del intervalo It0t1t2,...,tn

tiende a cero cuando n tiende a infinito. Entonces la intersección∞⋂

n=0

It0t1t2,...,tn

es exáctamente un punto, que llamaremos x0.Por la forma en que encontramos a x0 se sigue que x0 ∈ J(P ) y que ϕ (x0) es t.

Proposición 86. ϕ : J(P ) → Σ2 es una función continua.

Demostración. Sean x0 ∈ J(P ), ϕ (x0) = t = (t0, t1, t2, . . .) y ε > 0.Existe N ∈ N tal que

∑∞n=N+1

13n < ε.

Consideremos el intervalo It0t1t2,...,tN . Este es uno de los 2N intervalos que componen AN .

Su longitud es(

13

)N+1. Además es inmediato que x0 ∈ It0t1t2,...,tN .

Observemos que si x y y son dos puntos de J(P ) tales que también están en It0t1t2,...,tN ,entonces ϕ(x) y ϕ(y) coinciden desde la primera hasta la coordenada N . Así

d(ϕ(x), ϕ(y)) ≤∞∑

n=N+1

1

3n< ε.

Sea δ > 0 tal que(x0 − δ, x0 + δ) ∩ AN ⊂ It0t1t2,...,tN .

Si |x0 − x| < δ y x ∈ J(P ), entonces x ∈ It0t1t2,...,tN y d(ϕ (x0) , ϕ(x)) < ε.

Proposición 87. ϕ−1 : Σ2 → J(P ) es una función continua.

Demostración. Sean t = (t0, t1, t2, . . .) ∈ Σ2 y ε > 0.Como la longitud del intervalo It0t1t2,...,tn tiende a cero cuando n tiende a infinito, existe

N ∈ N tal que la longitud de It0t1t2,...,tN es menor que ε.Sea δ = 1

3N . Observemos que si s ∈ Σ2 es tal que d(t, s)< δ, entonces para cada i,

0 ≤ i ≤ N se tiene ti = si. Esto implica que ϕ−1 (s) también está en el intervalo It0t1t2,...,tN .Por ello la distancia entre ϕ−1

(t)

y ϕ−1 (s) es menor que ε.


La demostración del siguiente resultado es inmediata a partir de las proposiciones 86 y 87.

Corolario 88. La función ϕ : J(P ) → Σ2 es un homeomorfismo.

La siguiente observación nos permitirá definir una función del espacio Σ2 en sí mismo.Sea x en J(P ). La idea es encontrar una relación entre los itinerarios de x y de P (x).

Supongamos que ϕ(x) = (t0, t1, t2, t3, . . .). Entonces, como la órbita de P (x) siempre va unpaso adelante de la órbita de x, es inmediato que ϕ(P (x)) = (t1, t2, t3, . . .).

Es natural, entonces, definir la siguiente función σ : Σ2 → Σ2,

σ ((t0, t1, t2, t3, . . .)) = (t1, t2, t3, . . .) .

El punto σ(t)

tiene una infinidad de coordenadas. Para encontrarlas sólo quitamos laprimera coordenada de t, t0, y desplazamos todas las demás un lugar hacia la izquierda. Asíσ : Σ2 → Σ2 es conocida como la función desplazamiento o como la función corrimiento.

La demostración de que esta función es continua no es tan difícil y el lector es invitado ahacerla en el ejercicio 53.

Para cada punto x ∈ J(P ) se tiene que ϕ(P (x)) = σ(ϕ(x)). Esta igualdad es la clavepara decifrar la dinámica de P restringida al conjunto de los puntos atrapados. Este hechoes tan importante que merece una definición que tome en cuenta a muchos posibles casossemejantes.

Definición 89. Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones continuas definidas ensendos espacios métricos. Decimos que las funciones f y g son topológicamente conjugadas,o simplemente conjugadas, si existe un homeomorfismo h : X → Y tal que para todo puntox ∈ X se tiene que h(f(x)) = g(h(x)).

La condición de conjugación a veces se expresa diciendo que el siguiente diagrama esconmutativo:

Xf−→ X

h ↓ ↓ hY

g−→ Y.

Si f : X → X y g : Y → Y son dos funciones conjugadas, entonces las propiedadesdinámicas de f son esencialmente iguales a las propiedades dinámicas de g. Dedicaremos lasiguiente sección a la tarea de darle cuerpo a esta afirmación. En particular demostraremosque, bajo esta hipótesis, la función f es caótica en X si y solamente si la función g es caóticaen Y .

Las funciones P : J(P ) → J(P ) y σ : Σ2 → Σ2 son conjugadas bajo el homeomorfismo ϕ.Para demostrar que P es caótica en J(P ), demostraremos primero que σ es caótica en Σ2.

Proposición 90. El conjunto de puntos periódicos de σ es denso en Σ2.

Demostración. Sean t = (t0, t1, t2, . . .) ∈ Σ2 y ε > 0.Existe N ∈ N tal que

∑∞n=N+1

13n < ε. Considera el siguiente punto en Σ2:

s = (t0, t1, t2, . . . , tN , t0, t1, t2, . . . , tN , t0, t1, t2, . . .)

donde la cadena finita de coordenadas t0, t1, t2, . . . , tN se repite indefinidamente.Es inmediato que σN+1 (s) = s y que la distancia de t a s es menor que ε.


Proposición 91. La función σ : Σ2 → Σ2 es transitiva.

Demostración. Sean t = (t0, t1, t2, . . .) y s = (s0, s1, s2, . . .) dos puntos en Σ2 y ε > 0.Sea N ∈ N tal que

∑∞n=N+1

13n < ε. Considera el siguiente punto en Σ2:

u = (t0, t1, t2, . . . , tN , s0, s1, s2, . . . , sN , u2N+2, . . .) .

Por la forma que le hemos asignado al punto u sus coordenadas, las siguientes desigualdadesson inmediatas:

d(t, s)< ε, y d

(s, σN+1 (s)

)< ε.

Por lo tanto σ : Σ2 → Σ2 es transitiva.

Proposición 92. La función σ : Σ2 → Σ2 es sensible a las condiciones iniciales.

Demostración. Toma ε0 = 1. Esta va a ser nuestra constante de sensibilidad.Sean t = (t0, t1, t2, . . .) ∈ Σ2 y δ > 0. Demostraremos que existen un punto s, que está a

distancia menor que δ de t, y N ∈ N tales que d(σN(t), σN (s)

)≥ ε0.

Sea N ∈ N tal que∑∞

n=N13n < δ. Consideramos ahora un punto s tal que sus primeras N

coordenadas coincidan con las primeras N coordenadas de t,

s = (t0, t1, t2, . . . , tN−1, sN , sN+1, . . . , ) ,

y tal que el valor de sN sea distinto de valor de tN .Obsérvese que la distancia de t a s es menor que δ. Además, como σN

(t)

y σN (s) difierenen la primera coordenada, d

(σN(t), σN (s)

)≥ 1.

De las tres proposiciones anteriores se sigue que la función σ es caótica en Σ2.

Ejercicio 52. Sea f : R → R. Si J(f) 6= ∅, entonces f tiene al menos un punto fijo.

Ejercicio 53. Demuestra que la función corrimiento σ : Σ2 → Σ2 es continua.


8. Equivalencia topológica

Varias son las propiedades dinámicas que se preservan a través de la equivalencia topoló-gica. Dedicaremos por entero esta sección al estudio de algunas de ellas.

La hipótesis para todos los resultados contenidos en esta sección es la siguiente: Los espa-cios X y Y son compactos y las funciones f : X → X y g : Y → Y son conjugadas bajo elhomeomorfismo h : X → Y .

Proposición 93. Para todo n ∈ N y para todo x ∈ X se tiene que h (fn(x)) = gn(h(x)).

Demostración. Procederemos por inducción. Como f y g son conjugadas, la afirmación escierta para el caso n = 1.

Sea k ∈ N. Supongamos que para todo x ∈ X se tiene que h(fk(x)

)= gk(h(x)).

Entonces

h(fk+1(x)

)= h

(fk (f(x))

)= gk(h(f(x)))

= gk(g(h(x))) = gk+1(h(x)).

Proposición 94. Las funciones g : Y → Y y f : X → X son conjugadas bajo el homeo-morfismo h−1 : Y → X.

Demostración. Demostraremos que para todo y ∈ Y se tiene que h−1(g(y)) = f (h−1(y)).Sea y un punto en Y . Entonces

g(y) = g(h(h−1(y)

))= h

(f(h−1(y)

)).

Aplicando el homeomorfismo h−1 a los extremos de la expresión anterior obtenemos laigualdad siguiente: h−1(g(y)) = f (h−1(y)) .

Proposición 95. El conjunto Per(f) es denso en X si y sólo si el conjunto Per(g) es densoen Y .

Demostración. Gracias a la proposición 94 es suficiente demostrar que si Per(f) es denso enX, entonces Per(g) es denso en Y .

Sea U ⊂ Y un conjuto abierto y distinto del vacío. Entonces h−1(U) es un subconjunto deX que es también abierto y distinto del vacío. Como Per(f) es denso en X, existe x0, puntoperiódico de f , en h−1(U).

Sea N ∈ N tal que fN (x0) = x0. Entonces h (x0) = y0 es un punto en U y

gN (y0) = gN (h (x0)) = h(fN (x0)

)= h (x0) = y0.

Así y0 es un punto periódico de g que está en U .

Proposición 96. La función f es transitiva en X si y sólo si g es transitiva en Y .

Demostración. Es suficiente demostrar que si f es transitiva en X, entonces la función g estransitiva en Y .

Sean U y W dos conjuntos abiertos, no vacíos, en Y . Entonces los conjuntos h−1(U) yh−1(W ) son conjuntos no vacíos y abiertos en el espacio X.

Como f es transitiva en X, existen x0 en h−1(U) y N , un número natural, tales que fN (x0)está en h−1(W ). Entonces h (x0) ∈ U y gN (h (x0)) = h

(fN (x0)

)∈W . De aquí se sigue que

gN(U) ∩W 6= ∅.


Proposición 97. La función f es sensible a las condiciones iniciales en X si y sólo si g essensible a las condiciones iniciales en Y .

Demostración. Nuevamente es suficiente demostrar sólo una de las implicaciones.Supongamos que f es sensible a las condiciones iniciales en X. Sea ε0 > 0 una constante

de sensibilidad para f .Como Y es un espacio compacto y h−1 : Y → X es continua, entonces h−1 es uniforme-

mente continua en Y . Para el valor ε0, existe δ0 > 0 tal que para toda pareja de puntos y1

y y2 en Y tales que dY (y1, y2) < δ0 se tiene que dX (h−1 (y1) , h−1 (y2)) < ε0.

Demostraremos que δ0 es una constante de sensibilidad para g : Y → Y .Sean y0 un punto en Y y γ > 0. Sea U = B (y0; γ). El conjunto U es abierto en Y . Sea

x0 = h−1 (y0).El conjunto h−1(U) es abierto enX y contiene al punto x0. Por lo tanto existen x1 ∈ h−1(U)

y N ∈ N tales que

dX

(fN (x0) , f

N (x1))≥ ε0.

Los correspondientes puntos h (x0) = y0 y h (x1) están en U .Además, como

dX

(h−1

(gN (y0)

), h−1

(gN (h (x1))

))= dX

(fN (x0) , f

N (x1))≥ ε0,

se tiene que

dY

(gN (y0) , g

N (h (x1)))≥ δ0.

Ahora la demostración del siguiente corolario es inmediata.

Corolario 98. La función f es caótica en X si y sólo si g es caótica en Y .

Otra afirmación que ya podemos fácilmente demostrar es la siguiente:

Corolario 99. La función P es caótica en el conjunto de los puntos atrapados J(P ).

Demostración. Las funciones P : J(P ) → J(P ) y σ : Σ2 → Σ2 son conjugadas. Como σ escaótica en Σ2, entonces P es caótica en J(P ).

Ejercicio 54. Sea g : [0, 1] → [0, 1] la función lineal a pedazos definida en el ejercicio 7.Demuestra que g es una función caótica en [0, 1].

Ejercicio 55. Sean c y k dos números reales distintos de cero. Sean f : R → R y g : R → Rdadas por f(x) = x + c y g(x) = x + k. Demuestra que f y g son funciones conjugadas.Sugerencia. Supón que el homemorfismo buscado es de la forma h(x) = αx+ β.

9. El omega conjunto límite

Sean f : X → X y x0 ∈ X. Decimos que y0 ∈ X es punto límite de la órbita o (x0, f) siexiste una sucesión ni∞i=1, n1 < n2 < n3 < ..., en N tal que

lımni→∞

fni (x0) = y0.


Todos los puntos límite de o (x0, f) forman el omega conjunto límite de x0 bajo f . A esteconjunto lo denotamos por: ω (x0, f). Es decir,

ω (x0, f) =

y ∈ X : existe ni ⊂ N, lım

ni→∞fni (x0) = y

.

Ejemplo 100. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la función Tienda.

a) Si x0 = 23

, entonces ω (x0, T ) =

23

.

b) Si x0 = 25

, entonces ω (x0, T ) =

25, 4

5

.

c) Sea k ∈ N fijo. Si x0 =(

12

)k, entonces ω (x0, T ) = 0.

Proposición 101. Sea X un espacio compacto. Entonces para todo x ∈ X, ω (x, f) 6= ∅.Demostración. Sea x ∈ X. Como X es compacto, entonces la sucesión fn (x)∞n=1 tiene unasubsucesión convergente, digamos a y ∈ X. Entonces y ∈ ω (x, f).

Proposición 102. Para todo x ∈ X, ω (x, f) es un conjunto cerrado.

Demostración. Sean x0 ∈ X y yn∞n=1 una sucesión contenida en ω (x0, f) tal que lımn→∞

yn =

y0. Demostraremos que y0 ∈ ω (x0, f) y con ello concluimos que ω (x0, f) es cerrado.Como (yn) converge a y0, para ε1 = 1, existe n1 ∈ N tal que d (yn1

, y0) <ε1

2.

Como yn1∈ ω (x0, f), entonces existe k1 ∈ N tal que

fk1 (x0) ∈ B(yn1

,ε1

2

)⊂ B (y0, ε1) .

Para ε2 = 12, existe n2 ∈ N tal que d (yn2

, y0) <ε2

2. Como yn2

∈ ω (x0, f), entonces existek2 > k1 tal que

fk2 (x0) ∈ B(yn2

,ε2

2

)⊂ B (y0, ε2) .

De esta manera encontramos una sucesión de números naturales k1 < k2 < k3 < . . . talesque fkj (x0) ∈ B

(y0,

1j

). Por lo tanto, y0 ∈ ω (x0, f).

Proposición 103. Sea X un espacio compacto. Para todo x ∈ X, f (ω (x, f)) = ω (x, f).

Demostración. Tomemos x0 ∈ X y consideremos su ω (x0, f).Demostraremos primero que f (ω (x0, f)) está contenido en ω (x0, f).Sea y0 ∈ f (ω (x0, f)). Existe z0 ∈ ω (x0, f) tal que f (z0) = y0. Existe además una sucesión

ni contenida en N tal que lımi→∞

fni (x0) = z0.

Entonces, gracias a la continuidad de la función f , lımi→∞

fni+1 (x0) = f (z0) = y0. Así y0

está en el ω (x0, f). Por lo tanto f (ω (x0, f)) es subconjunto de ω (x0, f).Ahora demostraremos que ω (x0, f) ⊂ f (ω (x0, f)).Sea y0 ∈ ω (x0, f). Existe una sucesión ni ∈ N tal que lım

i→∞fni (x0) = y0. Podemos

suponer que cada ni es mayor o igual a 2.Como X es compacto y la sucesión fni−1 (x0) está contenida en X, entonces existe una

subsucesión de ni − 1 contenida en N tal que lımj→∞

fnij−1 (x0) = z0.


Así z0 ∈ ω (x0, f) y

f (z0) = f

(lımj→∞

fnij−1 (x0)

)= lım

j→∞fnij (x0) = y0.

Por lo tanto, y0 ∈ f (ω (x0, f)).

Proposición 104. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la función Tienda. Entonces existe x0 ∈ [0, 1] talque ω (x0, T ) = [0, 1].

Demostración. Sabemos que T es transitiva en [0, 1]. Entonces existe x0 ∈ [0, 1] tal queo (x0, T ) es densa en [0, 1]. Afirmamos que ω (x0, T ) = [0, 1].

Sean x ∈ [0, 1], y ε > 0. Como la órbita o (x0, T ) es densa en [0, 1], para todo k ∈ N laórbita o

(T k (x0) , T

)también es densa en [0, 1] (ver ejercicio 44).

Entonces existe una sucesión de números naturales n1 < n2 < n3 < . . . tales que

|T n1 (x0) − x| < 1, |T n2 (x0) − x| < 1

2, . . . , |T nk (x0) − x| < 1

k, . . .

Así obtenemos que lımk→∞

T nk (x0) = x. Por lo tanto x ∈ ω (x0, T ). Esto implica que

[0, 1] ⊂ ω (x0, T ) .

Y así ω (x0, T ) = [0, 1].

Ejercicio 56. Sea x0 ∈ X. Entonces para cada k ∈ N, se tiene que ω (x0, f) = ω(fk (x0) , f

).

Ejercicio 57. Sea f : [0, 1] → [0, 1], y sea x0 ∈ [0, 1]. Verdadero o falso: ω (x0, f) =ω (x0, f

2).

Ejercicio 58. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la función Tienda. Demuestra que si x0 ∈ Q ∩ [0, 1],entonces la cardinalidad de ω (x0, T ) es finita.

Ejercicio 59. Sean f : X → X y x0 un punto en X. Demuestra lo siguiente: Si ω (x0, f) =x1, x2, entonces f (x1) = x2.

Pregunta 60. ¿Existen un espacio métrico X, una función continua f : X → X y un puntox0 en X tales que f (ω (x0, f)) 6= ω (x0, f)?

Ejercicio 61. Sean f : X → X, y x0 y y0 dos puntos en X. Demuestra lo siguiente: Silımn→∞ d (fn (x0) , f

n (y0)) = 0, entonces ω (x0, f) = ω (y0, f).


10. Hiperespacios y funciones inducidas

Sea (X, d) un espacio métrico compacto. La colección de todos los subconjuntos de X esel conjunto potencia de X. Un hiperespacio de X es un subconjunto del conjunto potenciade X junto con una función distancia. En esta sección sólo trataremos con los siguientes doshiperespacios de X:

H(X) = A ⊂ X : A es compacto y A 6= ∅y

C (X) = A ∈ H(X) : A es conexo .Dedicaremos la primera parte de esta sección al hiperespacio H(X).

Observación 105. En algunos libros el hiperespacio H(X) se denota también con el símbolo2X. A lo largo de esta sección utilizaremos este segundo símbolo.

Recordemos lo siguiente: Dados A y B elementos de 2X , la métrica de Hausdorff está dadapor

h (A,B) = max d(A,B), d(B,A) .Dados A ∈ 2X y ε > 0, la nube de radio ε alrededor de A es el conjunto:

N (A; ε) =⋃

a∈A

B (a, ε) = x ∈ X : existe a ∈ A, d (x, a) < ε .

Dados A y B en 2X , sea

j (A,B) = ınf ε > 0 : A ⊂ N (B, ε) y B ⊂ N (A, ε) .Proposición 106. Sean A y B dos elementos de 2X. Entonces h (A,B) = j (A,B).

Demostración. Dados A y B en 2X , sea δ = h (A,B).Como d (A,B) ≤ δ y d (B,A) ≤ δ, entonces para todo ε > δ se tiene que A ⊂ N (B, ε) y

B ⊂ N (A, ε). De aquí que j (A,B) ≤ δ.Por otro lado, y sin pérdida de generalidad, podemos suponer que d (A,B) = δ. Entonces

existe a0 ∈ A tal que d (a0, B) = δ. De aquí que para todo b ∈ B, d (a0, b) ≥ δ. Y así, siA ⊂ N (ε, B), entonces ε > δ. Esto implica que δ ≤ j (A,B).

Por lo tanto j (A,B) = δ = h (A,B).

Sean X y Y dos espacios métricos compactos con métricas d y d′ respectivamente. Seaf una función continua de X en Y . La función f induce una función entre los respectivoshiperespacios que denotaremos así:

2f : 2X → 2Y .

Esta nueva función tiene la siguiente regla de correspondencia: Si A ∈ 2X , entonces

2f (A) = f (A) = y ∈ Y : existe a ∈ A, f(a) = y .Como f : X → Y es continua, entonces 2f está bien definida, es decir, 2f(A) sí es un

elemento de 2Y .La función 2f es conocida como la función inducida por f en el hiperespacio 2X .

Proposición 107. La función inducida 2f : 2X → 2Y es continua.


Demostración. Denotamos con hd la métrica de Hausdorff en 2X y con hd′ la métrica deHausdorff en 2Y . Sea ε > 0. Demostremos que existe δ > 0 tal que si A y B son doselementos de 2X tales que hd (A,B) < δ, entonces hd′

(2f (A) , 2f (B)

)< ε.

Como f : X → Y es continua y X es un espacio compacto, entonces f es uniformementecontinua en X. Existe δ∗ > 0 tal que si x1, x2 ∈ X son tales que d (x1, x2) < δ∗, entoncesd′ (f (x1) , f (x2)) < ε.

Sea δ = δ∗. Sean A,B ∈ 2X tales que:

hd (A,B) < δ.

Para cada z ∈ f (A). Existen a ∈ A y b ∈ B tales que f (a) = z y d (a, b) < δ.Entonces d′ (f (a) , f (b)) < ε, y por tanto,

f (A) ⊂ N (f (B) , ε) .

De manera análoga, se obtiene que:

f (B) ⊂ N (f (A) , ε) .

Por lo tanto,hd′ (f (A) , f (B)) < ε.

10.1. Propiedades dinámicas de la función inducida. La función f : X → X nosda de manera natural una función en el hiperespacio 2X , 2f : 2X → 2X . Al aplicar f variasveces, los puntos de X se van moviendo a lo largo de sus respectivas órbitas. La función 2f seaplica a subconjuntos compactos de X. Podemos intuir que al aplicar 2f varias veces lo que semueve ahora son los subconjuntos compactos de X. Es decir, 2f nos da un sistema dinámicodefinido ahora en el hiperespacio 2X . Esto suena muy bien: ¡Ahora tenemos conjuntos quese mueven!

Dada la relación tan estrecha que existe entre f y 2f , la pregunta obligada es: ¿Cuál es larelación entre las propiedades dinámicas de f y las propiedades dinámicas de 2f?

Haremos en esta sección algunos comentarios sobre la respuesta a esta pregunta. Debemosadvertir al lector, a la lectora, que la pregunta es muy amplia, tan amplia que en estos mo-mentos no se cuenta con una respuesta completa a ella. La búsqueda de una respuesta globalnos lleva directo a terrenos en los que en estos momentos se hace investigación matemática.Es claro que esta pregunta es, en esencia, muchas preguntas. Y muchas de estas pregunticascarecen, hoy día, de respuesta.

Iniciemos con un ejemplo.Sea T : [0, 1] → [0, 1] la función Tienda, y sea

2[0,1] = A ⊂ [0, 1] : A 6= ∅, A es compacto .Dados A y B en 2[0,1], h (A,B) es la distancia de Hausdorff entre A y B, construida a

partir de la distancia usual en R.La función inducida por T en 2[0,1] la denotamos por 2T . Para cada A en 2[0,1],

2T (A) = T (a) : a ∈ A = T (A).

Obsérvese que dado A ∈ 2[0,1], y dado n ∈ N, se tiene que(2T)n

(A) = T n(A). Estaigualdad es muy importante y aparecerá varias veces en esta sección.


Conocemos ya algunas propiedades dinámicas de T : [0, 1] → [0, 1]. En particular, T escaótica en [0, 1]. Mostraremos a continuación algunas propiedades dinámicas de la función2T : 2[0,1] → 2[0,1]. En particular, demostraremos que 2T también es caótica en 2[0,1].

Proposición 108. La función inducida 2T : 2[0,1] → 2[0,1] tiene densidad de puntos periódi-cos.

Demostración. Sean A ∈ 2[0,1] y ε > 0. Demostraremos que existen B ∈ 2T y M ∈ N, talesque h (A,B) < ε y

(2T)M

(B) = B.

Como A es compacto, existen k puntos en A, a1, a2, . . . , ak, tales que A ⊂k⋃

i=1

B(ai;

ε2

).

Como el conjunto de puntos periódicos de T es denso en [0, 1], para cada i, 1 ≤ i ≤ k,existe bi ∈ Per (T ) tal que |ai − bi| < ε

2.

Obsérvese que:

A ⊂k⋃

i=1

B (bi; ε) = N (b1, b2, ..., bk , ε) y b1, b2, ..., bk ⊂ N (A, ε) .

Por tanto, h (A, b1, b2, ..., bn) < ε.Ahora, sea M ∈ N tal que para toda i, 1 ≤ i ≤ k se tenga que TM (bi) = bi. Tal número

M sí existe. Por ejemplo podemos tomar M como el mínimo común múltiplo de los periodosde los puntos bi, 1 ≤ i ≤ k. Sea B = b1, b2, ..., bk. Entonces h (A,B) < ε, B ∈ 2[0,1], y(2T)M

(B) = TM(B) = B.

Los siguientes tres lemas contienen herramientas que nos ayudarán en la demostración dela transitividad de la función 2T : 2[0,1] → 2[0,1].

Lema 109. Sean a1, a2, b1, b2 cuatro puntos en [0, 1], y sea ε > 0. Entonces existen dospuntos c1 y c2 en [0, 1] y existe N ∈ N tales que:

i) h (a1, a2 , c1, c2) < ε, yii) h

(b1, b2 ,

TN (c1) , T

N (c2))

< ε.

Demostración. Consideremos los siguientes dos conjuntos:

[0, 1] ∩ (a1 − ε, a1 + ε) = U , [0, 1] ∩ (a2 − ε, a2 + ε) = V.

Por el corolario 11, existen n1, n2 en N tales que:

T n1 (U) = [0, 1] y T n2 (V ) = [0, 1] .

Sea N = max n1, n2. Como TN (U) = [0, 1], existe c1 ∈ U tal que

TN (c1) ∈ (b1 − ε, b1 + ε) ∩ [0, 1] .

De manera análoga existe c2 ∈ V , c2 6= c1, tal que

TN (c2) ∈ (b2 − ε, b2 + ε) ∩ [0, 1] .

Los puntos c1 y c2 cumplen lo prometido.


Lema 110. Sean a1, a2, ..., an1 = A y b1, ..., bn2

= B dos colecciones de puntos en[0, 1] tales que n1, n2 ∈ N, n1 ≥ n2. Sea ε > 0. Entonces existe una colección de n1 puntosc1, c2, ..., cn1

= C y existe N ∈ N tales que

h (A,C) < ε y h

(B,(2T)N

(C))< ε.

Demostración. De forma análoga a la demostración del lema enterior, podemos encontar n1

puntos, c1, ..., cn1, tales que

c1 ∈ (a1 − ε, a1 + ε) ∩ [0, 1] ,

c2 ∈ (a2 − ε, a2 + ε) ∩ [0, 1] ,...

cn1∈ (an1

− ε, an1+ ε) ∩ [0, 1] ,

y

TN (c1) ∈ (b1 − ε, b1 + ε) ∩ [0, 1] ,

TN (c2) ∈ (b2 − ε, b2 + ε) ∩ [0, 1] ,...

TN (cn2−1) ∈ (bn2−1 − ε, bn2−1 + ε) ∩ [0, 1] ,TN (cn2

) , ..., TN (cn1)

⊂ (bn2− ε, bn2

+ ε) ∩ [0, 1] .

La colección C = c1, c2, ..., cn1 cumple la condición del lema.

Lema 111. Sean a1, a2, ..., an1 = A y b1, ..., bn2

= B dos colecciones de puntos en [0, 1]tales que n1 < n2. Sea ε > 0. Entonces existe una colección de n2 puntos, c1, c2, ..., cn2

= C

y existe N ∈ N tales que h (A,C) < ε, y h

(B,(2T)N

(C))< ε.

Demostración. Es análoga a la demostración del lema anterior.

Ejercicio 62. Demuestra el lema 111.

Proposición 112. La función inducida 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es transitiva.

Demostración. Sean A,B dos elementos de 2[0,1] y sea ε > 0. Para convencernos que 2T estransitiva es suficiente demostrar que existe un conjunto compacto C, no vacío, y existe una

N ∈ N tales que h (A,C) < ε y h

(B,(2T)N

(C))< ε.

Como A y B son conjuntos compactos, existen dos colecciones de puntos:

a1, a2, ..., an1 ⊂ A, y b1, b2, ..., bn2

⊂ B,

tales que A ⊂n1⋃i=1

B(ai;

ε2

)y B ⊂

n2⋃i=1

B(bi;

ε2

).

Por los lemas anteriores, existe una colección de M puntos, digamos c1, c2, ..., cM, dondeM = max n1, n2, y existe N ∈ N tales que

h (a1, ..., an1 , c1, ..., cM) < ε

2,


y

h(b1, ..., bn2

,TN (c1) , ..., T

N (cM))

<ε

2.

Sea C = c1, c2, ..., cM. Observemos que

h (A,C) < ε y h

(B,(2T)N

(C))< ε.

Por lo tanto la función 2T es transitiva en 2[0,1].

Ya comentamos que la densidad de puntos periódicos y la transitividad, en espacios per-fectos, implican la sensibilidad a las condiciones iniciales. No es difícil de demostrar que2[0,1] es perfecto (ver ejercicio 63). Por tanto la función 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es sensible a lascondiciones iniciales.

Ejercicio 63. Demuestra que el hiperespacio 2[0,1] es un conjunto perfecto.

Daremos a continuación otra demostración de la sensibilidad a las condiciones iniciales dela función 2T : 2[0,1] → 2[0,1].

Proposición 113. La función inducida 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es sensible a las condicionesiniciales.

Demostración. Sabemos que la función T tiene dos puntos fijos: 0 y 23. Gracias al ejercicio

14 podemos concluir que los siguientes dos conjuntos son densos en [0, 1]:

A =∞⋃

n=1

T−n (0) y B =∞⋃

n=1

T−n

(2

3

).

Sean C ∈ 2[0,1] y ε > 0. Demostremos que existe F ∈ 2[0,1] y N ∈ N tales que

h (C, F ) < ε y h

((2T)N

(C) ,(2T)N

(F ))≥ 1

3.

Como C es compacto, existe una colección finita de puntos x1, x2, ..., xn en C tal que

C ⊂n⋃

i=1

B(xi;

ε2

).

Dado que los conjuntos A y B son densos en [0, 1] existen dos colecciones de puntos en[0, 1], D = d1, ..., dn y E = e1, ..., en, tales que:

i) D ⊂ A y E ⊂ B yii) Para toda i, 1 ≤ i ≤ n , |di − xi| < ε

2y |ei − xi| < ε

2.

Por lo tanto, existe N ∈ N tal que

TN (d1, ..., dn) = 0 y TN (e1, ..., en) =

2

3

.

Así obtenemos lo siguiente: h (C,D) < ε, h (C,E) < ε. Además

h

((2T)N

(D) ,(2T)N

(E))

= h

(0 ,

2

3

)=

2

3.

Entonces,

h

(((2T)N

(C)),(2T)N

(D))≥ 1

3, ó h

((2T)N

(C) ,(2T)N

(E))≥ 1

3.


En el primer caso tomamos F = D, en el segundo F = E.

Corolario 114. La función 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es caótica en el hiperespacio 2[0,1].

A continuación haremos algunos comentarios sobre las posibles generalizaciones de losresultados anteriores. Sean X un espacio métrico compacto y f : X → X una funcióncontinua. Sea 2f : 2X → 2X la función inducida.

Proposición 115. Si Per(f) es un conjunto denso en X, entonces Per(2f) es un conjuntodenso en 2X.

Demostración. Los argumentos dados en la proposición 108 se pueden seguir aquí paso apaso. Invitamos a los lectores a hacer los ajustes necesarios.

El siguiente ejemplo muestra que si f es transitiva en X, esto no implica necesariamenteque 2f sea transitiva en el hiperespacio 2X .

Ejemplo 116. Sea g : [0, 1] → [0, 1] la función lineal a pedazos definida en el ejercicio 7Las gráfica de g2 se puede ver en la figura siguiente.

Como g([

0, 12

])=[

12, 1]y g([

12, 1])

=[0, 1

2

], se tiene que g2

([0, 1

2

])=[0, 1

2

]y g2

([12, 1])

=[12, 1].

La dinámica de g2 en[

12, 1]

es, en esencia, la misma que la dinámica de T , la Tienda, en[0, 1]. Así, si un intervalo abierto (a, b), a < b, está contenido en

[12, 1], entonces existe N ∈ N

tal que (g2)N

(a, b) =[

12, 1]. Esta información nos permitirá demostrar que g es transitiva

en [0, 1].Sean U y V dos conjuntos abiertos, no vacíos, en [0, 1].Si U ∩

[12, 1]6= ∅, entonces existen a, b en

[12, 1], a < b, tal que (a, b) ⊂ U . De aquí que

existe n0 ∈ N tal que g2n0 (U) ⊃[

12, 1].

Como g2n0 (U) ⊃[

12, 1]

y g2n0+1 (U) ⊃[0, 1

2

], g2n0 (U) ∩ V 6= ∅ ó g2n0+1 (U) ∩ V 6= ∅. Es

decir, existe N ∈ N tal que gN (U) ∩ V 6= ∅.Si U ∩

[12, 1]

= ∅, entonces U ⊂ [0, 12] y g (U) ⊂

[12, 1]. Además int (g (U)) 6= ∅, por

tanto existen a y b en[

12, 1], a < b, tales que (a, b) ⊂ g (U). Como existe n0 ∈ N tal que

(g2)n0 (a, b) =

[12, 1], se sigue que

[12, 1]

= g2n0+1 (U) y g2n0+2 (U) =[0, 1

2

].

Es decir, nuevamente existe N ∈ N tal que:

gN (U) ∩ V = ∅.Por lo tanto g es transitiva en [0, 1].Ahora lo interesante es mostrar que 2g no es transitiva en 2[0,1].


Observemos primero que si A es un subconjunto compacto de [0, 1] tal que A está contenidoen[0, 1

2

], entonces h (A, [0, 1]) ≥ 1

2(ya que d (1, A) ≥ 1

2). De manera análoga, si A es un

conjunto compacto tal que A ⊂[

12, 1], entonces h (A, [0, 1]) ≥ 1

2.

Sean U ,V los siguientes conjuntos abiertos en 2[0,1]:

U =

A ∈ 2[0,1] : h (A, 0) < 1

2

,

V =

A ∈ 2[0,1] : h (A, [0, 1]) <

1

2

.

Observemos que si A ∈ U , entonces A ⊂[0, 1

2

]y para toda n ∈ N, n par, se tiene que

gn (A) ⊂[0, 1

2

]. Además para toda n ∈ N, n impar, gn (A) ⊂

[12, 1]. Por tanto, para toda

n ∈ N, se tiene que h (gn (A) , [0, 1]) ≥ 12. Es decir, fn(A) nunca es elemento de V . De aquí

se concluye que para todo n ∈ N,

(2g)n (U) ∩ V = ∅.Por tanto 2g no es transitiva en 2[0,1].

Observación 117. El ejemplo anterior también nos dice que la siguiente implicación no escierta en general: Si f : X → X es caótica según Devaney, entonces la función inducida2f : 2X → 2X es caótica según Devaney.

Las siguientes proposiciones contienen resultados donde se estudia la influencia de la di-námica de 2f en la dinámica de f .

Proposición 118. Si la función inducida 2f es transitiva en 2X, entonces la función f estransitiva en X.

Demostración. Sean a, b ∈ X, y ε > 0. Como 2f es transitiva, existen A ∈ 2X y N ∈ N tales

que h (a , A) < ε y h

(b ,

(2f)N

(A))< ε.

Tomemos un punto x ∈ A. Entonces d (a, x) < ε y d(b, fN (x)

)< ε. De aquí se sigue que

f es transitiva en X.

Proposición 119. Si la función inducida 2f es sensible a las condiciones iniciales en 2X,entonces f es sensible a las condiciones iniciales en X.

Demostración. Existe ε0 > 0 tal que para todo A ∈ 2X y para todo δ > 0, existen B ∈ 2X y

N ∈ N tales que h (A,B) < δ y h

((2f)N

(A) ,(2f)N

(B))≥ ε0.

Sean a ∈ X y δ > 0. Sean B ∈ 2X y N ∈ N, tales que

h (a , B) < δ y h

((2f)N

(a) ,(2f)N

(B))≥ ε0.

Entonces existe x0 ∈ B tal que d (a, x0) < δ y d(fN (x0) , f

N (a))≥ ε0. Esto muestra la

sensibilidad de f en X.

La última propiedad que nos interesa discutir es la densidad de puntos periódicos. Entérminos generales, la densidad de Per

(2f)

en 2X no implica la densidad de Per(f) en X.Esta situación tiene algo de sorprendente. Supongamos que el espacio X es compacto y elconjunto Per

(2f)

es denso en 2X . Dados un punto en X, digamos x0, y un valor positivo muy


pequeño, ε, existe un conjunto compacto A y un número natural N tales que h (x0 , A) < εy fN(A) = A. Este conjunto compacto A es periódico, está contenido en la bola B (x0, ε) y,aún así, esto no implica la existencia de un punto periódico de f en esa bola.

Antes de ofrecer al lector el ejemplo de un espacio métrico compacto X y una funcióncontinua definida en él, f : X → X, donde densidad de Per

(2f)

en el hiperespacio 2X noimplique la densidad de Per(f) en X, presentamos un resultado en positivo.

Resulta que si el espacio donde estamos trabajando es el intervalo [0, 1] entonces densidadde puntos periódicos en el hiperespacio sí implica densidad de puntos periódicos en la base.

Proposición 120. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función continua. Si 2f tiene densidad depuntos periódicos en 2[0,1], entonces f tiene densidad de puntos periódicos en [0, 1].

Demostración. Sean 0 ≤ a < b ≤ 1. Sean x0 = a+b2

y ε = b−a2

.Como 2f tiene densidad de puntos periódicos, existen A ∈ 2[0,1] y N ∈ N tales que

h (x0 , A) < ε y fN (A) = A.Por tanto, A ⊂ (a, b). Sean α = mınA y β = maxA.Tenemos a < α ≤ β < b. Como fN (A) = A, entonces fN (α) ≥ α y fN (β) ≤ β. Como

fN es una función continua en el intervalo [0, 1], existe c ∈ [α, β], tal que fN (c) = c. Por lotanto Per (f) ∩ (a, b) 6= ∅.

Observación 121. Si 2f : 2[0,1] → 2[0,1] es caótica en el hiperespacio 2[0,1], entonces f :[0, 1] → [0, 1] es caótica en [0, 1]. Este resultado es consecuencia de las proposiciones 118,119 y 120.

Ahora nuestra meta es construir el ejemplo prometido. Mostraremos un espacio X, com-pacto y conexo, junto con una función f : X → X tales que el conjunto de los puntosperiódicos de la función inducida 2f : 2X → 2X sí forma un conjunto denso en 2X , peroPer (f) no es denso en X.

Sea S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1. En notación de números complejos, S1 es el conjuntoz ∈ C : |z| = 1.

Para cada n ∈ N definimos la función fn : S1 → S1 así:

fn (z) = fn

(eiθ)

= ei(θ+ 2πn ).

Es decir, cada fn es una rotación en S1 de ángulo 2πn

. Es inmediato que para cada n ∈ N,Per (fn) = S1, y para todo z ∈ S1, el periodo de z bajo fn es n.

Sea X =∞∏

n=1

S1. Es decir,

X =t = (t1, t2, . . .) : tn ∈ S1, para toda n ∈ N

.

Si d representa la metrica en S1, entonces la metrica en X está dada así:

d(t, s)

=∞∑

n=1

d (tn, sn)

2n.

Sea f : X → X dada por:

f(t)

= f (t1, t2, t3,...) = (f1 (t1) , f2 (t2) , f3 (t3) , . . .) .

Entonces:


i) La función f es continua en X.ii) El espacio X es compacto y conexo.iii) La función f no tiene puntos periódicos.

Las demostraciones correspondientes a los incisos i) e ii) se pueden consultar en el librode Hocking y Young, [13].

Para convencernos que la afirmación iii) es cierta supongamos que existen x ∈ X y N ∈ Ntales que fN (x) = x. Entonces para todo n ∈ N, fN

n (xn) = xn. Como xn es de periodo nbajo fn, n divide a N para todo n ∈ N, lo cual es una contradicción.

En la siguiente proposición demostramos que, a diferencia de f , la función inducida en elhiperespacio, 2f : 2X → 2X , sí tiene muchísimos puntos periódicos, tantos que forman unconjunto denso en 2X .

Proposición 122. El conjunto Per(2f)

es denso en 2X.

Demostración. Paso uno. Sean t = (t1, t2, t3,...), un punto en X, y ε un valor positivo.El conjunto

t

es un elemento de 2X . Demostraremos que existen B ∈ 2X y N ∈ N tales

que(2f)N

(B) = B y h(t, B)< ε.

Como la serie∞∑

n=1

12n es convergente, existe M ∈ N tal que

∞∑n=M+1

diam(S1)2n < ε

2.

Sea N el mínimo común múltiplo de (1, 2, 3, . . . ,M). Observemos que para cada ti, 1 ≤i ≤M se tiene que fN

i (ti) = ti ya que la coordenada ti es un punto periódico de la rotaciónfi.

Como las primeras M coordenadas de t y fN(t)

coinciden, se tiene que d(t, fN

(t))< ε

2.

De hecho tenemos un poco mas: Para todo j ∈ N se tiene que t y f jN(t)

coinciden en lasprimeras M coordenadas, así:

d(t, f jN

(t))<ε

2.

Esto implica que la o(t, fN

)está contenida en la bola B

(a; ε

2

). Así el conjunto ω

(t, fN

)

está contenido en la cerradura de esa misma bola. Sea B = ω(t, fN

). Es inmediato que B es

un subconjunto compacto de X y que fN(B) = B. Además como la distancia de Hausdorffdet

a B es menor o igual a ε2, se concluye que h

(t, B)< ε.

Paso dos. Sean A ∈ 2X y ε > 0.Como A es compacto, existen L puntos en A, a1, . . . , aL, tales que:

A ⊂L⋃

i=1

B(ai;

ε

2

).

Por cada punto ai, 1 ≤ i ≤ L consideramos un conjunto compacto Bi y un número naturalNi tales que h (ai , Bi) <

ε2

y fNi(Bi) = Bi.Sea B = ∪L

i=1Bi y sea N igual al mínimo común múltiplo de los números (N1, . . . , NL).Entonces fN(B) = B y h(A,B) < ε.

Ejercicio 64. Demuestra que la función 2f : 2X → 2X descrita en el ejemplo anterior noes transitiva.


Observación 123. Existe un espacio compacto X y una función continua f : X → X donde2f sí tiene densidad de puntos periódicos y es transitiva en 2X, pero f no tiene densidad depuntos periódicos en X (ver [12]). Este ejemplo muestra que es posible que 2f : 2X → 2X sísea caótica en 2X mientras que f : X → X no es caótica en X.

10.2. La función inducida en el hiperespacio de los subcontinuos. Hay otro hi-perespacio interesante que vale la pena conocer: Sea

C (X) =A ∈ 2X : A es conexo

.

A los conjuntos A que son compactos, conexos y no vacíos los llamaremos continuos. Si Aes un continuo y A ⊂ X, diremos que A es un subcontinuo de X. Así C(X) es el hiperespaciode los subcontinuos de X. Como C(X) es un subconjunto de 2X , la métrica en C(X) es laque hereda de 2X , es decir la métrica de Hausdorff.

Como f : X → X es una función continua, entonces si A ∈ C (X), f (A) es compacto yconexo. Así f (A) también es un elemento de C (X). Por lo tanto f induce una función enC (X),

C (f) : C (X) → C (X) ,

dada así: si A ∈ C (X), entonces C (f) (A) = f (A).Claro, ahora nos preguntamos sobre la posible relación entre la dinámica de f y la diná-

mica de C (f). Antes de emprender este estudio, haremos algunas observaciones sobre loshiperespacios 2X y C (X) en el caso de que X = [0, 1]. Nos motiva el deseo de convencer allector de que estos dos hiperespacios son muy distintos, aún en el caso de que el espacio basesea muy sencillo.

Si A ⊂ [0, 1] es un conjunto compacto conexo y no vacío, entonces A sólo tiene dosopciones:

1. A está formado sólo por un punto, A = x0, o2. Existen a y b en [0, 1], a < b, tales que A = [a, b].

Así C ([0, 1]) se puede expresar como esta colección de intervalos:

[a, b] : 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 .

Sea B ⊂ R2, B = (x, y) : 0 ≤ x ≤ y ≤ 1. Definimos la función ϕ : C ([0, 1]) → B dadapor

ϕ (A) = ϕ ([a, b]) = (a, b) .

ϕ

1

0

C ([0, 1])

1

Proposición 124. La función ϕ es un homeomorfismo.


Demostración. i) Veamos primero que ϕ es inyectiva.Sean A, D en C ([0, 1]), A = [a, b], D = [c, d]. Si A 6= D, entonces a 6= c ó d 6= b. En

cualquier caso ϕ (A) 6= ϕ (D).ii) Ahora, ϕ es suprayectiva.Sea (x0, y0) ∈ B. Tomamos A = [x0, y0]. Claramente A ∈ C ([0, 1]) y ϕ (A) = (x0, y0).iii) Por último, ϕ es continua.Sea A = [a, b], D = [c, d] en C ([0, 1]), y sea ε > 0.Si h ([a, b] , [c, d]) < δ, entonces |a− c| < δ y |b− d| < δ. De aquí que

‖ϕ (A) − ϕ (D)‖ = ‖(a, b) − (c, d)‖≤ |a− c| + |b− d| < 2δ

Tomando δ = ε2

finalizamos.De lo anterior se sigue que ϕ : C ([0, 1]) → B es un homemorfismo.

Esta función ϕ nos permite hacernos una idea geométrica de C([0, 1]). El conjunto C([0, 1])y el triángulo B son, en esencia, el mismo objeto.

El hiperespacio 2[0,1] es un poco más extraño que C ([0, 1]) como ahora veremos.Sea N ∈ N. Definimos

[0, 1]N =_x = (x1, x2, ..., xN ) : xi ∈ [0, 1] , 1 ≤ i ≤ N

.

La distancia en [0, 1]N está dada por

d ((x1, ..., xN) , (y1, ..., yN)) = max |xi − yi| : 1 ≤ i ≤ N .

Proposición 125. Para cada N ∈ N, existe A ⊂ 2[0,1] tal que A es homeomorfo a [0, 1]N .

Demostración. Sea N ∈ N fijo. Consideremos la siguiente partición del intervalo [0, 1],

P =

t0 = 0, t1 =

1

2N − 1, t2 = 2

(1

2N − 1

), ..., t2N−1 = 1

.

Sea B =[0, 1

2N−1

]×[

22N−1

, 32N−1

]× ... ×

[2N−22N−1

, 1]

Obsérvese que B es homeomorfo al

conjunto [0, 1]N .Sea ψ : B → 2[0,1] dada por:

ψ (x1, x2, ..., xN ) = x1, ..., xN .

i) La función ψ es inyectiva.Sean

_x = (x1, ..., xN ) y

_y = (y1, ..., yN) dos puntos en B. Si

_x 6= _

y, entonces existe n0,1 ≤ n0 ≤ N tal que xn0

6= yn0. Como para cada i, 1 ≤ i ≤ N , i 6= n0,

yi ∈[2 (i− 1)

2N − 1,2 (i− 1) + 1

2N − 1

]y

[2 (i− 1)

2N − 1,2 (i− 1) + 1

2N − 1

]∩[2 (n0 − 1)

2N − 1,2 (n0 − 1) + 1

2N − 1

]= ∅,

entonces yi 6= xn0. Así xn0

/∈ ψ(y).Por tanto ψ

(_x)6= ψ

(_y).

ii) La función ψ es continua.Sea

_x = (x1, ..., xN) y

_y = (y1, ..., yN) en B Observemos que:

h(ψ(_x), ψ(_y))

= max |xi − yi| : 1 ≤ i ≤ N = d(_x,

_y).


Es decir, ψ es una isometría. Por tanto ψ es continua en B.De lo anterior se deduce que:

ψ : B → ψ (B) ⊂ 2[0,1]

es un homeomorfismo.Tomando A = ψ (B) terminamos la demostración .

Como para cada N ∈ N, 2[0,1] contiene un subconjunto homeomorfo a [0, 1]N , entonces 2[0,1]

no puede ser un conjunto de dimensión finita. Ya que el hiperespacio C([0, 1]) es homeomorfoa un subconjunto de R2, entonces 2[0,1] y C([0, 1]) son en verdad muy distintos.

La definición del concepto de dimensión y muchas de sus propiedades se pueden consultaren el libro Dimension Theory: An Introduction with Exercises escrito por el profesor Sam B.Nadler Jr. (ver [19]).

Se sabe, además, que el hiperespacio 2[0,1] es homeomorfo al Cubo de Hilbert, Q (Ver [23]).Este espacio se define así:

Q =∞∏

n=1

[0, 1] = x = (x1, x2, ...) : xn ∈ [0, 1] , para cada n ∈ N .

La métrica en Q está dada por:

d(t, s)

=∞∑

n=1

|tn − sn|2n

.

Este espacio es compacto, conexo y de dimensión infinita (ver [13]).Regresemos a la función tienda T : [0, 1] → [0, 1]. Veremos ahora algunas diferencias entre

las dinámicas de 2T : 2[0,1] → 2[0,1] y C(T ) : C([0, 1]) → C([0, 1]).

Proposición 126. La función inducida C (T ) : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) no es transitiva.

Demostración. Sean U , V dos subconjuntos abiertos de C ([0, 1]) definidos así:

U =

A ∈ C ([0, 1]) : h (A, [0, 1]) <

1

4

,

V =

A ∈ C ([0, 1]) : h

(A,

1

2

)<

1

4

.

Observaciones.i) Si A ∈ V , entonces 1

4/∈ A y 3

4/∈ A.

ii) Si A ∈ U , entonces el intervalo[

14, 3

4

]está contenido en A.

iii) U ∩ V = ∅.iv) Sea A ∈ U , entonces

[12, 1]⊂ T (A) y [0, 1] = T 2 (A). Por tanto, para todo A ∈ U se

tiene que C (T ) (A) /∈ V . Y como para toda n ≥ 2 se tiene que C (T )n (A) = [0, 1], entoncesC (T )n (A) /∈ V .

De aquí que para toda n ≥ 0, C (T )n (U) ∩ V = ∅.Por lo tanto C (T ) no es transitiva en C ([0, 1]).

Otras dos observaciones interesantes sobre la dinámica de C (T ) son las siguientes:Sea F1([0, 1]) = x : x ∈ [0, 1]. Obsérvese que F1([0, 1]) ⊂ C([0, 1]).


1) C (T ) restringida a F1([0, 1]) se comporta como la función T .2) Si A ∈ C ([0, 1]) y la cardinalidad de A es mayor que 1, entonces A es de la forma

A = [a, b] con a < b. En este caso existe N ∈ N tal que TN (A) = [0, 1].Por lo tanto, para todo A ∈ C ([0, 1]) \ F1 ([0, 1]), se tiene que

lımn→∞

h ([0, 1] , C(T )n (A)) = 0.

Es decir, [0, 1] es un punto fijo atractor de la función C(T ).

Ejercicio 65. El conjunto D = C ([0, 1])\F1 ([0, 1]) es abierto y denso en C ([0, 1]). AdemásD es un conjunto invariante bajo C(T ), C(T )(D) = D.

Ejercicio 66. La función C(T ) : C([0, 1]) → C([0, 1]) no tiene densidad de puntos periódi-cos.

El siguiente resultado muestra que lo que obtuvimos en la proposición 126, para la funciónC(T ), es un hecho más general.

Proposición 127. Para toda f : [0, 1] → [0, 1], se tiene que C (f) : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) noes transitiva.

Demostración. Consideremos dos casos.Primer caso. Existe x0 ∈ (0, 1) tal que f (x0) = x0.Segundo caso. Para todo x ∈ (0, 1) se tiene que f(x) 6= x.Nosotros haremos la demostración del primero y dejaremos al lector la demostración del

segundo.Supongamos que f (x0) = x0 y que 0 < x0 ≤ 1

2. Digamos que este es un subcaso del primer

caso.Sea ε = x0

2, y sean

U = A ∈ C ([0, 1]) : h (A, [0, 1]) < ε ,

V = A ∈ C ([0, 1]) : h (A, 0) < ε .

Observemos que si A ∈ U , entonces x0 ∈ A. Además para toda n ∈ N, x0 ∈ fn (A) ya quex0 es punto fijo de f .

Por otro lado, si B ∈ V , entonces x0 /∈ B. De aquí se sigue que para todo A ∈ U y paratoda n ∈ N,

C (f)n (A) /∈ V .

Como U y V son abiertos de C ([0, 1]), no vacíos, concluimos que C (f) no es transitiva.Si existe x0 ∈ (0, 1) tal que f (x0) = x0 y 1

2< x0 < 1, la demostración es análoga,

utilizando ahora ε0 = 1−x0

2.

Con la ayuda que el lector nos proporcionará en el ejercicio 67 concluimos que la funciónC (f) nunca es transitiva en C ([0, 1]).

Ejercicio 67. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función tal que para todo x ∈ (0, 1) se tiene quef(x) 6= x. Demuestra que C(f) : C([0, 1]) → C([0, 1]) no puede ser una función transitiva.Sugerencia. Estudia primero el caso f(x) < x para toda x ∈ (0, 1).

El lector puede encontrar en [1] el ejemplo de un espacio X compacto y conexo, y unafunción continua en X, tales que C (f) : C (X) → C (X) sí es transitiva.


Dado un conjunto A denotamos con |A| su cardinalidad. Decimos que el conjunto A es nodegenerado si |A| > 1.

Ejercicio 68. Sea X un espacio métrico, compacto y no degenerado. Demuestra que C(X)no forma un subconjunto denso en 2X.

Ejercicio 69. Sea X un continuo. Sea An∞n=1 una sucesión en C(X). Sea A ∈ 2X tal quelımn→∞ h (A,An) = 0. Entonces A ∈ C(X).

Dado n ∈ N fijo definimos el hiperespacio Fn(X) de la siguiente forma:

Fn(X) =A ∈ 2X : |A| ≤ n

.

A este hiperespacio se le conoce como el n producto simétrico de X.

Ejercicio 70. Sea X un espacio métrico compacto. Demuestra que ∪∞n=1Fn(X) es denso en

2X .


11. Un espacio simbólico hiperconexo

Hiperconexos son los espacios topológicos en los que cada par de abiertos se intersectan.Se muestra un curioso espacio de éstos que aparece como cociente del espacio de Cantor. Secaracterizan en términos de decibilidad, sus abiertos y sus cerrados.

11.1. Preliminares. Las palabras.2 = 0, 1.2∗ son las palabras (o cadenas) sobre el alfabeto 0, 1. Más formalmente 2∗ =

⋃∞k=0 2k

donde 2k son las palabras de k letras y 20 = λ siendo λ la palabra sin letras.2+ = 2∗ − λ.Las palabras de 2∗ se yuxtaponen, con esta operación forman un monoide, el monoide

libre sobre 2.Los subconjuntos de 2∗ son llamados lenguajes.Si L ⊆ 2∗, el conjunto de todas las palabras que se pueden formar yuxtaponiendo palabras

de L se nota L∗ o L+ según contenga o no a λ.

Ejemplo 128. Sea L el lenguaje consistente en aquellas palabras que no tienen tres (ni más)1’s seguidos y no empiezan por 11 ni terminan en 11. Aseguramos que:

0, 01, 10, 101∗ ∪ 1 = L

11.1.1. Los bicódigos. Si en 2 = 0, 1 consideramos la topología discreta, entonces 2Z esel conjunto de funciones de Z en 0, 1. Sus elementos son llamados bicódigos.

2Z con la topología producto es una de tantas representaciones del famoso y muy im-portante espacio de Cantor. Hay muchas formas de dar una base para la topología de esteespacio. Sea f : A −→ 2 una función definida sobre A que es un subconjunto finito de Z,difinimos [f ] como el conjunto de todas las funciones que amplían a f a Z es decir:

[f ] = g : Z −→ 2 : g A= f .El conjunto de todas las [f ] forma una base (de abiertos cerrados) para 2Z. Los dominios

de las f también se pueden centrar, así

[f ] : f : −n, . . . ,m −→ 2, n,m ∈ Nes también una base para la topología de 2Z.

Definición 129. Si L ⊆ 2∗ tal que λ /∈ L los bicódigos que se pueden formar con L losnotaremos LZ:

LZ =: f : Z −→ L | f es función .De la topología de 2Z hay que decir lo fundamental del espacio de Cantor: Es un espacio

metrizable, totalmente disconexo, compacto y perfecto, todo espacio con estas característicases isomorfo al espacio de Cantor y además cualquier espacio métrico compacto es imagencontinua de este espacio.

11.2. Los elementos de X. Si f, g ∈ 2Z, se define:

f ∼ g ⇔ ∃k ∈ Z(∀n ∈ Z, f(n) = g(k + n)).

La relación ∼ es de equivalencia sobre 2Z. Las clases de equivalencia son los elementos de X.


Los elementos de X se deben ver como sucesiones que se extienden indefinidamente tantoa derecha como a izquierda, sin interesar donde inician. Cada p ∈ X es un conjunto defunciones f ∈ 2Z, cada una de ellas es representante de p.

Conviene emplear la siguiente notación: subrayar una cadena significa que ésta se extiendeindefinidamente hacia la izquierda y una linea por encima significa que la cadena respectivase extiende indefinidamente hacia la derecha. Así

00 11 01

significa que la cadena 00 se extiende indefinidamente hacia la izquierda, la cadena 11 apareceuna única vez y 01 se repite indefinidamente a la derecha. El “moño” o “widetilde” se utilizarápara indicar que la cadena se extiende indefinidamente tanto a derecha como a izquierda.Estas situaciones se pueden representar con grafos cíclicos etiquetados con 0’s y 1’s. Lossiquientes tres ciclos representan el mismo punto 01

01

10

••

•

•

0

1

0

1

0

10

1•

•

Ejemplo 130. Se tienen muchas igualdades, entre otras:

00 11 01 = 00 1 10

01 = 10

101 = 110 = 011

Además de representar elementos p ∈ X por un elemento de f ∈ 2Z con f ∈ p, tambiénserán representados por elementos de (2+)Z. Así 01 se puede representar por la funciónconstante que a cada n ∈ Z le hace corresponder la cadena 01. A veces se utilizará el símbolode productoria

∏.

Ejemplo 131. Nótense las siguientes igualdades:

00 11 01 =(∏0

i=−∞ 0)1 10 =

(0∏

i=−∞0

)1

∞∏

i=1

10

( ∞∏

i=−∞10

)=

(∏∞i=−∞ 0101

)

00

∞∏

i=0

01i0 = 0∏∞

i=0 001i

Es fácil ver que el cardinal de X es 2ℵ0.

Definición 132. Un grafo 2-etiquetado G es una quíntupla G =< V,E, s,m, e > donde Vy E son conjuntos finitos denominados vértices y aristas respectivamente; s : E −→ V y


m : E −→ V son las funciones salida y meta que a cada arista le hace corresponder susrespectivos vértices de salida y de llegada, mientras e : V −→ 2 es la función de etiqueta queasocia a cada arista un 0 o un 1.

Para efectos prácticos como los que aquí nos interesan, también se pueden ver los grafos2-etiquetados como subconjuntos no vacíos de V × V × 2.

Los grafos 2-etiquetados nos sirven para describir ciertos subconjuntos de puntos de X.Cada camino define una palabra en 2∗. De igual forma al considerar caminos infinitos, queno empiezan ni terminan, le podemos asociar puntos de X.

Ejemplo 133. El siguiente grafo representa a

10110, 10, 0.

0

1

1 1

0

0•

• • ••

11.3. La topología de X. Dada una palabra w ∈ 2∗, digamos w = x1x2 . . . xn, decimosque w está en p ∈ X si para todo f ∈ p existe k tal que

f(k) = x1; f(k + 1) = x2; . . . ; f(k + n− 1) = xn.

Se notará w ⊳ p. A cada palabra w ∈ 2∗ asociamos el conjunto:

[w] = p ∈ X| w ⊳ p .Estos conjuntos forman una base para la topología de X determinada como el cociente 2Z/ ∼.Es claro que [vw] ⊆ ([v]∩ [w]) y como todos estos subconjuntos son no vacíos se concluye quela intersección de dos de ellos es siempre no vacía. Esto nos garantiza que X es hiperconexo.Además, cualquier sub-espacio denso, también será hiperconexo. Por ser “tan conexo” esclaro que los únicos abiertos cerrados de X son los triviales el mismo X y ∅. Por otra parte,por ser X cociente de un compacto es compacto.

Ejemplo 134. Un abierto que no es básico: [10] ∪ [01] = X −

0, 1.

Ejemplo 135. Todo abierto que contiene a 0 contiene a 01, mientras que [01] es un abierto

que contiene a 01 pero que no contiene 0. Por tanto la topología que hereda

0, 01

es la de

Sierpinski donde los únicos abiertos son:

0, 01,01, ∅.

Ejemplo 136. U = [101] ∪ [1001] ∪ [10001] ∪ . . . es un abierto que no es unión finita de

básicos y que no es compacto. El complemento de U es el conjunto01i0

i∈N

∪

0, 1, 10, 01,

aquellos p ∈ X en cuyas representaciones no se encuentran dos 1’s separados por ceros, esdecir todos los 1’s van en bloque.


Ejemplo 137. Se tiene:

[1] = X −

0

[01] = X −

0, 1, 10

[11] ∪ [00] = X −

01

La forma de los abiertos sugiere que detectar si determinado elemento pertenece al abiertosea algorítmicamente seguro siempre y cuando éste sí pertenezca al abierto. Para efectoscomputacionales cada elemento de X lo suponemos colocado en la cinta que se extiende aderecha y a izquierda indefinidamente de una Máquina de Turing. La cabeza lectora de lamáquina se encuentra inicialmente en cualquier lugar de la cinta.

Proposición 138. Dado un abierto U en X existe un algoritmo para que dado p ∈ X sedetenga si p ∈ U . Tal algoritmo no se detiene si p /∈ U .

Demostración. Sea U = [w0]∪ [w1]∪ [w2]∪ . . . donde wi ∈ 2∗. Dado p ∈ X representado porf ∈ 2Z el algoritmo comprueba para cada i ∈ N+ si alguna de las palabras w0, w1, w2 . . . wi

es subpalabra de f(−i)f(−i+ 1) . . . f(i), si éste es el caso, se detiene y concluye que p ∈ U ,si no, pasa al siguiente i.

Buscando los cerrados de X podemos deducir que si V es cerrado debe existir un algoritmoque decida si p /∈ V aunque tal vez no se detenga si p ∈ V .

Introducimos por ahora para cada lenguaje L el subconjunto de X notado [L]Z.

Definición 139. Si L ⊆ 2∗ notaremos:

[L]Z =p ∈ X| ∀f ∈ 2Z(f ∈ p⇒ f ∈ LZ)

.

[L]Z comprende todos los elementos de X cuyas representaciones se pueden formar yuxta-poniendo cadenas de L.

Nota 1. Se evitará la notación [ ]Z y se escribirá solamente [ ]Z.

Si un punto p ∈ X cumple:i: Existe v ∈ L tal que v ⊳ p.ii: Si u ∈ L∗ es tal que u ⊳ p, entonces existen v1, v2 ∈ L+ tal que v1uv2 ⊳ p.

Entonces p ∈ [L].

Ejemplo 140. [0, 10]Z = [01, 0]Z comprende aquellos p ∈ X tales que en sus representacioneslos 1’s van siempre precedidos y antecedidos de un 0, o lo que es lo mismo no contienen 11.Se tiene entonces que [0, 10]Z = X − [11]

Ejemplo 141. [010]Z contiene únicamente a 010. Aunque 010 ⊳ 10 yuxtaponiendo la cadena

010 no se puede formar 10 y por tanto 01 /∈ [010]Z.

Ejemplo 142. Se tiene[01, 10]Z = X − ([111] ∪ [000]).

Nótese además que [01, 10]Z = [1001, 1010, 0101, 0110]Z 6= [1100, 0011]Z. A este conjunto[01, 10]Z se le puede asociar un grafo


0

1

••

•

0

1

Ejemplo 143. [11, 0]Z es el complemento de U formado por aquellos p ∈ X en cuyas repre-sentaciones hay bloques impares de 1’s. U es abierto pues U = [010]∪ [01110]∪ [0111110] . . .por tanto [11, 0]Z es cerrado.

Nótese además que a [11, 0]Z se le puede asociar el grafo

0•

•

1

1

Ejemplo 144. Si L = 1+0 entonces [L]Z comprende aquellos p ∈ X representables con

cadenas de finitos 1’s separadas por 0. No pertenece a [L]Z por ejemplo 01 1, tampoco 1.

Formalizamos a continuación un concepto que ya ha sido esbozado previamente.

Proposición 145. A cada grafo 2-etiquetado G se le asocia L(G) el subconjunto de Xcorrespondiente, conformados por las etiquetas de todos los caminos infinitos a izquierda yderecha.

Demostración. Un punto p ∈ X no está en L(G) si existe w ∈ 2+ con w⊳p tal que para cadavértice de G no hay camino que iniciando en tal vértice esté etiquetado con w.

Corolario 146. Dado G un grafo 2-etiquetado existe un algoritmo para que dado un puntop ∈ X se detenga si y sólo si p no está en L(G).

Corolario 147. Dado G un grafo 2-etiquetado se tiene que L(G) es cerrado en X.

Corolario 148. Si L ⊆ 2∗ es finito entonces [L]Z es cerrado en X.

Demostración. Por ser L finito se puede representar [L]Z como generado por un grafo 2-etiquetado.

Ejemplo 149. Sea L = ww| w ∈ 2∗ entonces [L]Z es denso en X pues para cualquierw ∈ 2∗ se tiene que w ∈ [w] ∩ [L]Z. Como [L]Z no es X, pues por ejemplo 010 /∈ [L]Z, seconcluye que [L]Z no es cerrado en X.

11.4. Elementos distingidos de X. Las palabras de 2∗ son enumerables. Supongamosuna enumeración wi∞i=−∞ entonces

∏∞i=−∞wi es un elemento de X que está en todos los

abiertos no vacíos.

Definición 150. Los ángeles son elementos de X que están en todos los abiertos no vacíos.


Definición 151. Los querubines son elementos p ∈ X tales que p es cerrado.

Ejemplo 152. 010 no es querubín pues no hay una vecindad de 0 que no contenga a 010.

Proposición 153. Si w ∈ 2+, entonces w es un querubín.

Demostración. w es la única palabra generada por el ciclo etiquetado con w.

Ejemplo 154. Consideremos B =01n0 | n ∈ Z+

, entonces B es un sub-espacio infinito

cuya topología es la discreta. En efecto [01n0] ∩ B =01n0

.

Ejemplo 155. 0 y 1 son querubines así como 01 (ejemplo 137). Como podemos garantizarque si w ∈ 2∗ entonces w es un querubín, el subespacio de los querubines es infinito y T1.

Ejemplo 156. Para cada k ∈ N es posible construir un subespacio discreto de n = 2k

puntos. En efecto sean w1, . . . , wn las n palabras de longitud k, entonces A = w1, . . . , wnes subespacio discreto pues para cada i se tiene [wi] ∩ A = wi. Si embargo el subespacio

Y = w | w ∈ 2∗es un subespacio denso enumerable y por tanto hiperconexo.

11.5. Preguntas.

Pregunta 71. ¿Son todos los querubines de la forma w con w ∈ 2∗?

Pregunta 72. ¿Todos los cerrados son de la forma L(G) para algún grafo 2-etiquetado?

Pregunta 73. ¿Si Y es un espacio topológico finito, es isomorfo a algún subespacio de X?

Pregunta 74. ¿Hay alguna copia de R en X?


12. Breve introducción a la entropía topológica

Regresamos en la última sección de estas notas a los sistemas dinámicos discretos. Nuestrameta en esta parte es hacer algunos comentarios a las siguientes preguntas, que tal vez ellector ya se ha planteado: ¿es la definición de caos dada por Devaney la única posible? Sif y g son dos funciones caóticas, ¿tiene sentido preguntarse cuál de las dos es más caótica?Éstas y otras inquietudes similares nos llevan hacia el concepto de entropía topológica.

La entropía es un intento de asignarle una medida, un número mayor o igual a cero, a lacomplejidad de una función definida en un espacio compacto X.

En estas notas daremos la definición de entropía propuesta por Adler, Konheim y McAn-drew en 1965 (ver [2]). Estos autores utilizan de manera esencial el concepto de cubiertaabierta de X.

Si bien sólo estudiaremos la definición de Adler et al, es bueno saber que existe unasegunda definición que fue propuesta por Dinaburg y Bowen. En este segundo enfoque seutiliza fuertemente la métrica de X y el concepto de conjunto generador. Es un resultadoconocido que en espacios métricos compactos ambas definiciones son equivalentes (ver [26]).

De aquí en adelante X y Y representan dos espacios métricos compactos. Las letras grie-gas α, β, γ y η representan cubiertas abiertas (ya sea de X o de Y ). Todas las funcionesconsideradas son funciones continuas.

Sean α y β dos cubiertas abiertas de X. Definimos

α ∨ β = A ∩B : A ∈ α,B ∈ β .Obsérvese que α ∨ β es también una cubierta abierta de X. En esta sección el símbolo

∨ es utilizado sólo en estos términos. De la definición se sigue de manera inmediata que(α ∨ β) ∨ γ = α ∨ (β ∨ γ). Denotaremos a esta última cubierta así: α ∨ β ∨ γ.

Decimos que β es un refinamiento de α, en símbolos α < β, si para todo B ∈ β, existeA ∈ α tal que B ⊂ A.

Ejercicio 75. Sean α, β, γ y η cuatro cubiertas abiertas de X. Entoncesi) α < α ∨ β y β < α ∨ β;ii) α < α ∨ α, y α ∨ α < α;iii) si α < β, entonces α ∨ β < β; yiv) si α < β, y γ < η, entonces α ∨ γ < β ∨ η.

Pregunta 76. Verdadero o falso. α = α ∨ α.

Como X es compacto, entonces la cubierta abierta α tiene al menos una subcubierta finita.Si β es una subcubierta finita de α, |β| denotará la cantidad de elementos de β. Al mínimode estos números le llamaremos N(α), es decir,

N(α) = mın |β| : β es subcubierta finita de α .Obsérvese que N(α) ≥ 1.

Ejercicio 77. Sean α y β dos cubiertas abiertas de X. Si α < β, entoncesi) N(α) ≤ N(β),ii) N(α ∨ β) = N(β), yiii) N(α ∨ α) = N(α).


Ejercicio 78. Sean α y β dos cubiertas abiertas de X de cardinalidad finita. Demuestra que|α ∨ β| ≤ |α| |β|Proposición 157. Sean α y β dos cubiertas abiertas de X. Entonces N(α∨β) ≤ N(α)N(β).

Demostración. Sean γ y η subcubiertas de α y β, respectivamente, tales que |γ| = N(α) y|η| = N(β). Entonces γ ∨ η es una cubierta abierta de X tal que

|γ ∨ η| ≤ |γ| |η| = N(α)N(β).

Como γ ∨ η es una subcubierta de α ∨ β, tenemos que N(α ∨ β) ≤ N(α)N(β).

Sea f : X → Y una función, y sea α una cubierta abierta de Y . Definimos

f−1(α) =f−1(A) : A ∈ α

.

Obsérvese que f−1(α) es una cubierta abierta de X.

Ejercicio 79. Sea f : X → Y , y sean α y β dos cubiertas abiertas de Y . Si α < β, entoncesf−1(α) < f−1(β).

Proposición 158. Sean f : X → Y , y α una cubierta abierta de Y . Entonces N (f−1(α)) ≤N(α). Si además f es suprayectiva, entonces N (f−1(α)) = N(α).

Demostración. Sea γ una subcubierta de α tal que |γ| = N(α), γ =A1, A2, . . . , AN(α)

.

EntoncesY = ∪N(α)

i=1 Ai.

Para cada punto x en X existe 1 ≤ i ≤ N(α) tal que f(x) ∈ Ai. Por lo tanto,

X = ∪N(α)i=1 f−1 (Ai) .

Comof−1 (A1) , f

−1 (A2) , . . . , f−1(AN(α)

)es una subcubierta abierta de f−1(α) con

N(α) elementos, entonces N (f−1(α)) ≤ N(α).Supongamos ahora que f : X → Y es suprayectiva. Sea η una subcubierta de f−1 (α) tal

que |η| = N (f−1(α)). Sean Ai ∈ α, 1 ≤ i ≤ N (f−1(α)), tales que

η =f−1 (A1) , f

−1 (A2) , . . . , f−1(AN(f−1(α))

).

Entonces

Y = f(X) = ∪N(f−1(α))i=1 Ai.

Así, N(α) ≤ N (f−1(α)). Por lo tanto N (f−1(α)) = N(α).

Ejercicio 80. Sean f : X → Y , y α y β dos cubiertas abiertas de Y . Entonces

f−1 (α ∨ β) = f−1(α) ∨ f−1(β).

Dados n ∈ N, f : X → X, y A un subconjunto de X, denotamos por f−n(A) a la imageninversa de A bajo la función fn, es decir,

f−n(A) = (fn)−1 (A) = x ∈ X : fn(x) ∈ A .Ejercicio 81. Sea f : X → X, y sea A ⊂ X. Entonces para toda pareja de números naturalesn y m se tiene lo siguiente:

i) f−n (f−m(A)) = f−n−m(A), yii) (fm)−n (A) = f−mn(A).


Ejercicio 82. Sea f : X → X, y sean α y β dos cubiertas abiertas de X. Entonces paratoda n ∈ N se tiene que

i) f−n (α ∨ β) = f−n(α) ∨ f−n(β), yii) si α < β, entonces f−n(α) < f−n(β).

Sean f : X → X, y α una cubierta abierta de X. Para cada n ∈ N consideremos lacubierta:

∨n−1i=0 f

−i (α) = α ∨ f−1 (α) ∨ f−2 (α) ∨ · · · ∨ f−(n−1) (α) .

A partir de la pareja: f : X → X, función continua, y α, cubierta abierta de X, obtenemosuna sucesión de cubiertas,

α, α ∨ f−1(α), α ∨ f−1(α) ∨ f−2(α), · · · , ∨n−1i=0 f

−i (α) , . . .

Observemos que cada una de ellas refina a la anterior, es decir

α < α ∨ f−1(α) < α ∨ f−1(α) ∨ f−2(α) < · · · < ∨n−1i=0 f

−i (α) < · · ·Obtenemos así la siguiente sucesión de números naturales:

N(α) ≤ N(α ∨ f−1(α)

)≤ N

(α ∨ f−1(α) ∨ f−2(α)

)≤ · · · ≤ N

(∨n−1

i=0 f−i (α)

)≤ · · ·

Obsérvese que, una vez que fijamos la pareja f y α, el valor de N(∨n−1

i=0 f−i (α)

)sólo

depende de n. La idea central es descubrir que tan simple o complicado es el sistema dinámicogenerado por f a través del estudio de la rapidez de crecimiento de esta sucesión cuando ntiende a infinito:

N(∨n−1

i=0 f−i (α)

)∞n=1

.

Intuitivamente una función sencilla, que mueve muy poco a los puntos de X, estaríarelacionada con un crecimiento lento o polinomial (con respecto a n) de N

(∨n−1

i=0 f−i (α)

).

Una función con dinámica más complicada movería tanto los puntos de X que el crecimientosería exponencial.

Para descubrir esta diferencia, entre crecimiento polinomial y crecimiento exponencial,intentaremos calcular el siguiente límite:

lımn→∞

1

nlog(N(∨n−1

i=0 f−i (α)

)).

Observemos que este límite es cero si el crecimiento de la sucesiónN(∨n−1

i=0 f−i (α)

)∞n=1

es polinomial en la variable n (o está acotado por un polinomio en n), y es positivo si éstees exponencial.

Demostraremos primero que el lımn→∞1n

log(N(∨n−1

i=0 f−i (α)

))sí existe. La siguiente pro-

posición contiene el primer paso en esta dirección.

Proposición 159. Sean f : X → X, α una cubierta abierta de X, n y m dos númerosnaturales. Entonces

log(N(∨(n+m)−1

i=0 f−i (α)))

≤ log(N(∨n−1

i=0 f−i (α)

))+ logN

((∨m−1

i=0 f−i (α)

)).


Demostración. Sean n y m dos números en N y sea α una cubierta abierta de X. Entonces

log(N(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m−n+1(α)

))

= log(N(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α) ∨ f−m(α) ∨ · · · ∨ f−m−n+1(α)

)),

y por el ejercicio 82,

= log(N(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α) ∨ f−m

((α) ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

))),

y por la proposición 157,

≤ log(N(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α)

)N(f−m

((α) ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

)))

= log(N(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α)

))+ log

(N(f−m

((α) ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

))),

y por la proposición 158 tenemos,

≤ log(N(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−m+1(α)

))+ log

(N((α) ∨ · · · ∨ f−n+1(α)

)),

con lo cual terminamos nuestra demostración.

Ejercicio 83. Mantenemos la notación de la proposición 159. Sea bn = log(N(∨n−1

i=0 f−i (α)

)).

La proposición mencionada nos dice que para cada pareja de números naturales n y m setiene que bn+m ≤ bn + bm. Demuestra que para todo k ∈ N se tiene lo siguiente:

i) bk ≤ bk+1; yii) bk ≤ kb1.

Obsérvese que del ejercicio anterior se concluye que para todo n en N se tiene que1n

log(N(∨n−1

i=0 f−i (α)

))es menor o igual que log (N (α)).

Dada an∞n=1 una sucesión en R definimos el lım sup (an) y el lım inf (an) de la siguienteforma:

i) si an∞n=1 no está acotada superiormente, entonces

lım sup (an) = ∞,

ii) si an∞n=1 no está acotada inferiormente, entonces

lım inf (an) = −∞,

iii) si an∞n=1 está acotada, entonces

lım sup (an) = max

y ∈ R : existe ni∞i=1 ⊂ N, lım

ni→∞ani

= y

,

y

lım inf (an) = mın

y ∈ R : existe ni∞i=1 ⊂ N, lım

ni→∞ani

= y

.

Ejercicio 84. Sea an∞n=1 una sucesión acotada en R. Sea b ∈ R tal que lım sup (an) < b.Entonces la cardinalidad del conjunto an : an > b es finita.

Ejercicio 85. Sea an∞n=1 una sucesión en R y sea a0 ∈ R. Entonces lımn→∞ an = a0 si ysólo si lım sup (an) = lım inf (an) = a0.


Proposición 160. Sea an∞n=1 una sucesión en R que cumple las siguientes condiciones:i) Para todo n ∈ N, an ≥ 0, yii) para todo par de números n, m en N, se tiene que an+m ≤ an + am.Entonces el lımn→∞

an

nsí existe y su valor es ınf

an

n: n ∈ N

.

Demostración. Sea m ∈ N un número fijo. Para cada n > m podemos escribir n = qm + r,donde 1 ≤ q y 0 ≤ r < m. Entonces

an = aqm+r ≤ aqm + ar ≤ qam + ar.

Observemos que para todo n > m tenemos quean

n≤ q

nam +

ar

n.

Como n = qm+ r, entonces n−rm

= q y qn

= n−rnm

. De aquí se sigue que

lımn→∞

q

n=

1

m.

Así,

lımn→∞

( qnam +

ar

n

)=am

m,

ya que ar sólo toma una cantidad finita de valores, a1, a2, . . . , am−1.Por lo tanto para cada m en N se tiene que

lım supan

n≤ am

m.

De aquí se sigue que

lım supan

n≤ c = ınf

am

m: m ∈ N

.

Por otro lado, como para toda n ∈ N se tiene que c ≤ an

n, entonces c ≤ lım inf an

n. Por lo

tanto, lımn→∞an

n= c.

La demostración del siguiente corolario es ahora inmediata.

Corolario 161. El límite,

lımn→∞

1

nlog(N(∨n−1

i=0 f−i (α)

)).

sí existe. Además su valor es mayor o igual a 0 y menor o igual a log(N(α)).

Definición 162. Sean f : X → X y α una cubierta abierta de X.La entropía de f con respecto a la cubierta α es:

ent (f, α) = lımn→∞

1

nlogN

(∨n−1

i=0 f−i (α)

).

Definimos la entropía topológica de f así:

ent (f) = sup ent (f, α) : α es una cubierta abierta de X .Ejercicio 86. Sea f : X → X la función identidad en X. Entonces ent(f) = 0.

Ejercicio 87. Sean x0 ∈ X y f : X → X la función dada por f(x) = x0 para todo x en X.Entonces ent(f) = 0.


Ejercicio 88. Si la cardinalidad de X es finita, entonces para toda función f : X → X setiene que ent(f) = 0.

En relación al ejercicio anterior es importante señalar el siguiente resultado: Si la cardi-nalidad de X es infinita numerable, entonces para toda función f : X → X se tiene queent(f) = 0.

Así, desde el punto de vista de la entropía, sólo podemos encontrar funciones con compor-tamiento caótico si éstas están definidas en un espacio de cardinalidad infinita no numerable.

Proposición 163. Sean f : X → X, y k ∈ N. Entonces ent(fk)

= k · ent(f).

Demostración. Sean f y k según las hipótesis, sea α una cubierta abierta de X, y sea β lacubierta abierta de X dada por β = α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−k+1(α). Entonces

ent(fk)

≥ ent(fk, β

)

= lımn→∞1n

log(N(β ∨

(fk)−1

(β) ∨ · · · ∨(fk)−n+1

(β)))

= lımn→∞1n

log(N(β ∨ f−k (β) ∨ f−2k (β) ∨ · · · ∨ f−nk+k(β)

))

= lımn→∞1n

log(N(α ∨ f−1 (α) ∨ · · · ∨ f−k+1(α) ∨ f−k (α) ∨ · · · ∨ f−nk+1(α)

))

= lımn→∞ k 1nk

log(N(α ∨ f−1 (α) ∨ · · · ∨ f−nk+1(α)

))

= k · ent(f, α).

La última igualdad se sigue del hecho de que

1nk

log(N(α ∨ · · · ∨ f−nk+1(α)

))es una

subsucesión de

1n

log (N (α ∨ · · · ∨ f−n+1(α))).

Tenemos entonces que ent(fk)≥ k · ent(f, α) para cada cubierta α de X. Por lo tanto

ent(fk)≥ k · ent(f).

Por otro lado, como

α ∨(fk)−1

(α) ∨ · · · ∨(fk)−n+1

(α) < α ∨ f−1 (α) ∨ · · · ∨ f−nk+1(α),

entonces

lımn→∞

(1

nk

)log(N(α ∨

(fk)−1

(α) ∨ · · · ∨(fk)−n+1

(α)))

≤ lımn→∞

(1

nk

)log(N(α ∨ f−1 (α) ∨ · · · ∨ f−nk+1(α)

)).

Y así,

lımn→∞

(1

nk

)log(N(α ∨

(fk)−1

(α) ∨ · · · ∨(fk)−n+1

(α)))

≤ ent(f, α).

Por lo tanto, para cada cubierta α se tiene que

1

k· ent

(fk, α

)≤ ent(f, α) ≤ ent(f).

De aquí se sigue que ent(fk)≤ k·ent(f). Y con ello concluimos que ent

(fk)

= k·ent(f).

Ejercicio 89. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la función dada por f(x) = 1 − x. Demuestra queent(f) = 0.


Ejemplo 164. Sean S1 = z ∈ C : |z| = 1, y k ∈ N. La rotación en S1 de ángulo 2πk

estádada por la siguiente función:

f (z) = zei 2πk .

Como fk(z) = z para toda z en S1, entonces ent(f) = 0.

La demostración que presentamos del siguiente lema sigue, casi al pie de la letra, la de-mostración de un resultado similar que aparece en el capítulo VIII de [7].

Lema 165. Sea f : X → X y sea k ∈ N. Si existen k subconjuntos cerrados de X, novacíos, ajenos dos a dos, A1, A2, . . . , Ak, tales que

(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪Ak) ⊂ (f (A1) ∩ · · · ∩ f (Ak)) ,

entonces ent(f) ≥ log k.

Demostración. Sean O1, O2, . . . , Ok, k subconjuntos abiertos de X, ajenos por parejas, talesque Ai ⊂ Oi, 1 ≤ i ≤ k. Sea O = X \ (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak).

Entonces la colección α = O1, O2, . . . Ok, O es una cubierta abierta de X.Sea n ∈ N. El conjunto

Γ = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ 1, 2, . . . , ktiene cardinalidad kn.

Por cada elemento en Γ, digamos

(x1, x2, . . . , xn) = x,

consideramos el conjunto

Ex =p ∈ X : p ∈ Ax1

, f(p) ∈ Ax2, . . . , fn−1(p) ∈ Axn

.

Este conjunto es no vacío. Cada punto de Ex está contenido en un único elemento de lacubierta α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−(n−1)(α), a saber

Ox1∩ f−1 (Ox2

) ∩ · · · ∩ f−n+1 (Oxn) .

De aquí se sigue que

N(α ∨ f−1(α) ∨ · · · ∨ f−(n−1)(α)

)≥ kn.

Así ent(f, α) ≥ log k y, por lo tanto, ent(f) ≥ log k.

Ejercicio 90. La entropía de σ : Σ2 → Σ2 es mayor o igual a log(2).

Ejercicio 91. La entropía de la tienda T : [0, 1] → [0, 1] es positiva. Sugerencia. Demuestraque ent (T 2) > 0.

Proposición 166. La entropía de σ : Q→ Q es infinita.

Demostración. Sea k ∈ N. Consideremos los siguientes k subconjuntos de Q, A1, A2, . . . , Ak,definidos de esta manera: Para cada 1 ≤ i ≤ k, sea

Ai =

t = (t0, t1, t2, . . .) ∈ Q : t0 =

i

k

.

No es difícil ver que las siguientes condiciones son ciertas:i) Cada Ai es un subconjunto cerrado de Q.


ii) Si i 6= j, entonces Ai ∩ Aj = ∅.iii) Para cada i, se tiene que σ (Ai) = Q.Entonces, por el lema 165, ent (σ) ≥ log (k). Como esto sucede para cada k ∈ N que

tomemos, la entropía de σ es infinita.

La demostración de la siguiente importante proposición se puede consultar en el libro dePeter Walters [26].

Proposición 167. Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones continuas definidas enespacios compactos. Sea h : X → Y una función continua y suprayectiva. Si el siguientediagrama conmuta

Xf−→ X

h ↓ ↓ hY −→g Y

,

entonces ent (f) ≥ ent (g).

A partir de la proposición 167 la demostración del siguiente corolario es inmediata.

Corolario 168. Si en las hipótesis de la proposición 167 se tiene además que h : X → Yes un homeomorfismo, entonces ent (f) = ent (g).

Ejercicio 92. La entropía de la función logística f : [0, 1] → [0, 1], f(x) = 4x(1 − x) espositiva.

Proposición 169. Si f : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto periódico de periodo 3, entonces laentropía de f es positiva.

Demostración. Sea x0 ∈ [0, 1] tal que x0 es un punto periódico de f : [0, 1] → [0, 1] de periodo3. Sea a el elemento más pequeño de la órbita de x0. El punto a es también de periodo 3 ysu órbita se comporta de una de las siguientes dos formas:

Primera: a < f(a) < f 2(a).Segunda: a < f 2(a) < f(a).Consideraremos sólo el primer caso ya que la demostración para el segundo es análoga.Sean b = f(a) y c = f 2(a). Entonces 0 ≤ a < b < c ≤ 1. Como f ([b, c]) ⊃ [a, c], existe

[b1, c1] ⊂ [b, c] tal que f ([b1, c1]) = [a, b]. Como f ([b, c]) ⊃ [b1, c1], existe [b2, c2] ⊂ [b, c] talque f ([b2, c2]) = [b1, c1].

Obsérvese que como a no está en [b1, c1], entonces c no está en [b2, c2].Como f ([b, c]) ⊃ [b2, c2] y f ([a, b]) ⊃ [b2, c2], existen [b3, c3] ⊂ [b, c] y [u, v] ⊂ [a, b] tales

que f ([b3, c3]) = [b2, c2] y f ([u, v]) = [b2, c2].Como c no está en [b2, c2], entonces b no es elemento de [u, v] ni de [b3, c3]. Así los intervalos

cerrados K = [u, v] y J = [b3, c3] son ajenos. Además estos conjuntos cumplen lo siguiente:

f 3 (K) = [a, b], y f 3 (J) = [a, b].

Por el lema 165, obtenemos que la entropía de f 3 es mayor o igual a log(2). Por lo tanto laentropía de la función f es positiva.

Ejercicio 93. Si f : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto periódico de periodo m tal que m noes potencia de 2, entonces la entropía de f es positiva. Sugerencia. Utiliza el teorema de


Sharkovskii para demostrar que existe k ∈ N tal que fk tiene un punto periódico de periodo3.

Proposición 170. Si la función f : [0, 1] → [0, 1] es transitiva en [0, 1], entonces la entropíade f es positiva.

Demostración. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una función transitiva en [0, 1]. Por el ejercicio 19sabemos que existe un punto w0 en el intervalo abierto (0, 1) tal que f (w0) = w0. En nuestrademostración consideraremos varios casos.

Caso 1. Existe w1 ∈ (0, 1), w1 6= w0, tal que f (w1) = w0.Subcaso 1a. 0 < w1 < w0.Como f es transitiva, existen x, w1 < x < w0, y m ∈ N tales que fm(x) < w1. Sea δ > 0

tal que para todo t ∈ (x− δ, x+ δ) se tiene que fm(t) < w1. Obsérvese que fm(x− δ) ≤ w1

y fm(x+ δ) ≤ w1.SeanB1 = [w1, x− δ] yB2 = [x+ δ, w0]. Como f (w1) = w0, se sigue queB1∪B2 ⊂ fm (B1)

y B1 ∪B2 ⊂ fm (B2). Y por el lema 165, la entropía de fm es positiva (ya que B1 ∩B2 = ∅).Así ent(f) > 0.

Subcaso 1b. w0 < w1 < 1.Como f es transitiva, existen x, w0 < x < w1, y m ∈ N tales que fm(x) > w1. Sea

δ > 0 tal que para todo t ∈ (x − δ, x + δ) se tiene que fm(t) > w1. Así, fm(x − δ) ≥ w1 yfm(x + δ) ≥ w1. Sean B1 = [w0, x− δ] y B2 = [x+ δ, w1]. Análogo al subcaso 1a. se tieneque B1 ∩ B2 = ∅.

Como f (w1) = w0 = f (w0), se sigue que B1∪B2 es subconjunto de fm (B1) y de fm (B2).Nuevamente por el lema 165, la entropía de fm y la de f son positivas.

Caso 2. No existe w ∈ (0, 1), w 6= w0, tal que f (w) = w0.Sean I0 = [0, w0] y I1 = [w0, 1]. Observemos que para cualquier par de puntos, s y t, en

I0 no puede suceder que f(s) < w0 < f(t) ya que, por el teorema del valor intermedio, estonos llevaría a concluir la existencia de un punto w, en el intervalo (0,1), tal que f(w) = w0,con w 6= w0, lo que contradice la hipótesis. Por lo tanto f (I0) ⊂ I0 o f (I0) ⊂ I1. Situaciónanáloga se vive en el intervalo I1. Como f es transitiva en [0, 1] concluimos que

f (I0) ⊂ I1, y f (I1) ⊂ I0.

Entonces f 2 (I0) ⊂ I0 y f 2 (I1) ⊂ I1. Observe el lector que para todo número par n setiene que fn (I0) ⊂ I0, y para todo número impar n se tiene que fn (I0) ⊂ I1.

Sean 0 < a < b < w0 y 0 < c < d < w0. Como f es transitiva, existe n tal quefn(a, b) ∩ (c, d) 6= ∅. Como (c, d) ∩ I1 = ∅, entonces n es par, digamos n = 2m. Por lo tanto(f 2)

m(a, b) ∩ (c, d) 6= ∅. Esto implica que la función f 2 es transitiva en I0. Y utilizando

nuevamente el ejercicio 19 concluimos que existe un punto w1 en el intervalo abierto (0, w0)tal que f 2 (w1) = w1.

Observemos que tanto w0 como w1 son ambos puntos fijos de f 2. Si f 2 ([w1, w0]) ⊂ [w1, w0],entonces f 2 no sería transitiva en I0. Por lo tanto existe w2, w1 < w2 < w0 tal que f 2 (w2) =w1. Y así arribamos a una situación análoga al Subcaso 1b.

Entonces existen un número natural N y dos intervalos cerrados en [w1, w2], digamos J yK, tales que J ∩K = ∅, J ∪K ⊂ f 2N(J) y J ∪K ⊂ f 2N(K). De donde se concluye que laentropía de f es positiva.


De la proposición 170 se sigue lo siguiente: Si la función f : [0, 1] → [0, 1] es caótica, segúnla definición dada por Devaney, en [0, 1], entonces la entropía de f es positiva. El siguienteteorema, cuya demostración se puede consultar en el libro Dynamics in One Dimension, [7],muestra la relación que existe para funciones definidas en el intervalo [0, 1] entre entropíapositiva y la presencia de una dinámica caótica según Devaney.

Sea f : X → X y sea B ⊂ X. Si f(B) ⊂ B, decimos que B es invariante bajo f .

Teorema 171. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. La entropía de f es positiva si y sólo si existe unconjunto cerrado B, contenido en [0, 1], invariante bajo f , tal que f restringida a B escaótica en B.

Varios de los libros dedicados a los sistemas dinámicos discretos contienen una presentaciónde la entropía topológica. A los lectores interesados en continuar el estudio de este tema lesrecomendamos ampliamente los siguientes: Dynamics in One Dimension, escrito por L. S.Block y W. A. Coppel (ver [7]), Combinatorial Dynamics and Entropy in Dimension One,escrito por L. Alseda, J. Llibre y M. Misiurewicz (ver [3]), y An Introduction to ErgodicTheory, escrito por P. Walters (ver [26]). Recomendamos también el trabajo de tesis delicenciatura que presentó la estudiante Belén Espinosa Lucio en la Facultad de Ciencias dela UNAM, México. El título de esta tesis es Introducción a la entropía topológica, ver ([11]).

Referencias

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Colombia, 2011.5. J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis y P. Stacey, On Devaney’s Definition of Chaos, American

Mathematical Monthly 99 (1992), 332-334.6. M. F. Barnsley, Fractals Everywhere. Second Edition, Academic Press, Cambridge, 1993.7. L. S. Block y W. A. Coppel, Dynamics in One Dimension. Lecture Notes in Math. 1513, Springer-Verlag,

Berlin, 1992.8. R. Bowen, Topological entropy and axiom A, Global Analysis (1968), Proc. Sympos. Pure Math., XIV,

Berkeley, Calif., Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1970.9. R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Second Edition, Addison-Wesley, Red-

wood City, 1989.10. R. Escobedo, S. Macías y H, Méndez eds., Invitación a la Teoría de los Continuos y sus Hiperespacios.

Aportaciones Matemáticas, Serie Textos, Vol. 31, Sociedad Matemática Mexicana, 2006.11. B. Espinosa, Introducción a la entropía topológica, Tesis de licenciatura, Facultad de Ciencias, UNAM,

2006.12. J. L. García, D. Kwietniak, M. Lampart, P. Oprocha y A. Peris, Chaos on hyperspaces, Nonlinear Anal.

71 (2009), no. 1-2, 1–8.13. J. G. Hocking y G. S. Young, Topology, Dover Publications, New York, 1996.14. R. A. Holmgren, A First Course in Discrete Dynamical Systems, Segunda Edición, Springer-Verlag, New

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20. C. Robinson, Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamics and Chaos, CRC Press Inc., Boca Raton,Florida, 1995.

21. H. L. Royden, Real Analysis, MacMillan Publishing, New York, 1968.22. S. Ruette, Chaos for continuous interval maps. Notas disponibles en la dirección electrónica:

http://www.math.u-psud.fr/∼ruette/abstracts/abstract-chaos-int.html23. R. M, Schori y J. E. West, The hyperspace of the closed unit interval is a Hilbert Cube, Trans. Amer.

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