応力－ひずみ曲線を表す数式モデル

σ σ

1H' = C

σ

YY Y

εp εp εp

線形硬化塑性体 非線形硬化塑性体完全塑性体

σ = Y σ = Y+Cεp

n乗硬化則加工硬化指数

( )npC εσ =σ

Y

( )npCY ′′+= εσ

ルードウィック型(Ludwik)

εp

非線形硬化塑性体

( )αεεσ pC +′′= 0

スウィフト型(Swift)

弾塑性体 剛塑性体

弾硬化塑性体

ε

σ

Y弾完全塑性体

ε

σ

Y剛完全塑性体

剛硬化塑性体

E = ∞ε = εp

塑性体積一定条件

金属の塑性変形はすべり変形により生じるので、体積は一定に保たれる。

τ

τ

◇塑性体積一定条件

◇非圧縮性条件◇すべり (slip) ← 転位がすべり面を動く

0=++ pzz

pyy

pxx εεε

単純な応力状態における弾塑性問題

◎3本トラス

L ααL

2 3

uL+λ

力の釣り合いから1

( ) 231 cos PPPP ++= α

21 cos2 PP += α

AA 21 cos2 σασ +=

P P1P P3① 2

棒1,3の伸びをλとすると

( ) ( ) 222 )sin(cos ααλ LuLL ++=+P( ) 22222 )sin(cos2cos2 αααλλ LuuLLLL +++=++

( ) 22222 )sin(cos2cos2 αααλλ LuuLLLL +++=++

λとuは微小なので

αλ cosu=

棒1,2,3のひずみは

αε

cos2 Lu

=L

u αεε cos31 == ②

棒1,2,3の応力は

33 εσ E=11 εσ E= 22 εσ E= ③

式①、②、③より

ααα

coscoscos2

LuEA

LuEAP += u

LEA

+=

αα

cos1cos2 2

④

カスチリアノの定理を用いた解法

式②、③よりひずみエネルギーは

αα

α coscos2

cos2

222

ALL

uELAL

uEU

+

=

22

cos1cos2

2u

LAE

+=

αα

カスチリアノの第1定理より

uL

EAuUP

+=

∂∂

=α

α 22

cos1cos2

312 σσσ =>

なので、最初に降伏するのは棒2

棒2が降伏を開始する時点の変位 uyieldは、式②、③より

YLEu

E yield ===α

εσcos22

EYLu yield

αcos=

降伏開始時の荷重Pyieldは、式④より

yieldyield uL

EAP

+=

αα

cos1cos2 2

( )1cos2 3 += αAYE

YLL

EA αα

α coscos

1cos2 2

+=

さらに引張ると（弾完全塑性体を仮定）

LuE ασσ cos

31 == Y=2σ

式①より

+= Y

LEuA α2cos2

YAAL

EuP += αα coscos2

⑤さらに引張ると、棒1,3も降伏する。

Y=== 321 σσσ

このときの変位 uultは

αcosEYLuult =Y

Lu

E ult ===α

σσcos

31

αcosEYLuult =

式①より極限荷重（崩壊荷重）Pultは

( )1cos2 += αAYPult P

Pult

uyield uult

Pyield

O u

◎はりの曲げ

MM hx

y 厚さt-Y -Y -Y

（－）

（＋）

(a)弾性Y

(b)降伏開始Y

(c)弾塑性

c

Y(d)全域塑性

(c)弾塑性yy κ

ρε ==

曲率

y = ±c/2 で σ = Y

2cEY κ=

EcY2

=κ曲率半径(a)弾性

12

3thI =yI

M=σ yEκ= ∫= ytdyM σ

∫∫ +=−

2

2

2

2

2h

c

c

c YytdyytdyEε

2

2

22

2

3

212

31

h

c

c

cyYtyEt

+

=

−

κ

( )223

412chYtcEt −+

= κ

(b)降伏開始

y = ±h/2 で σ = Y

YZthYh

YIM yield ===6

2 2

断面係数

−

= 2

22

311

623

hcYth

Z

−=

34

22 chYtM

−= 2

2

311

23

hcM yield

(d)全断面塑性

2

0

2

212

h

yYt

=

4

2Yth= yieldM

23

=∫= 20

2h

YytdyM

■熱弾塑性問題における残留応力

pet εεεε ++=

熱ひずみ 弾性ひずみ塑性ひずみ

室温TRで両端完全固定

( )

0=

+−

+−= pH

RH EYTT εα温度THに上昇

室温に冷却

( )E

YTT HRHp +−−= αε

降伏応力：YR at TRYH at TH

YR>YH

ヤング率：E

熱膨張係数：α

室温まで冷却すると熱ひずみεt は0

pe εεε += 0*

=+= pEεσ

残留応力をσ*とすると

pEεσ −=* ( ) HRH YTTE −−= α

冷却時に再降伏する温度条件

RY=*σしたがって

αEYYTT HR

RH+

=−

降伏条件

単軸 降伏関数

0)( =σF降伏条件

0=− Yσ （単軸引張り）

0=− kτ （純ねじり）

2Y

σ = Yτ =k = Y/2

多軸

0),,,,,()( == zxyzxyzzyyxxij FF τττσσσσ

0),,( 321 =σσσF

降伏は、平均応力（静水応力）には依存せず、偏差応力に依存する。

33321 σσσσσσ

σ++

=++

= zzyyxxm 3

1J=

mxxxxs σσ −=

myyyys σσ −=

mzzzzs σσ −=

xyxys τ=yzyzs τ=

zxzxs τ=

σyy=σ

σxx=σ

σ xx=σyy=σ

σσσ

σ =+

=2

yyxxm

0=−= myyxxs σσ

せん断成分 0

0=−= myyyys σσ

A.ミーゼスの降伏条件

023)( 2 =−= YsssF ijijij

( ) ( ){ } 0223 2222222 =−+++++= Yssssss zxyzxyzzyyxx

3J2応力成分σijで表すと

( ) ( ) ( ){( )} 06

21)(

2222

222

=−+++

−+−+−=

Y

F

zxyzxy

xxzzzzyyyyxxij

τττ

σσσσσσσ

主応力成分σ1 、σ2 、σ3で表示すると

( ) ( ) ( ){ } 021)( 22

132

322

21 =−−+−+−= YF ij σσσσσσσ

B.トレスカの降伏条件

最大主応力 最小主応力

22minmax

maxYk ==

−=

σστ

例題

単軸引張り降伏応力がY=400MPaの鋼が次の平面応力状態で降伏開始する条件をミーゼスの条件を用いて求めよ。

（１）σxx=200MPa, σyy= -100MPa のときの τxy

（２）σxx=100MPa, τxy=50MPaのときのσyy

（１）2222 3 Yxyyyxxyyxx =+−+ τσσσσ

3

222yyxxyyxx

xy

Y σσσστ

+−−±=

3100200100200400 222 ×−−−

±=

312124100

222 ×−−−±= 2.1733100 ±=±=

MPa

（２）2222 3 Yxyyyxxyyxx =+−+ τσσσσ

( )2

34 2222 Yxyxxxxxxyy

−+−±=

τσσσσ

( )2

4005031004100100 2222 −×+−±=

( ){ }

( ) 8.330,8.43058150

8321150 222

−=±=

−+−±=

MPa

降伏曲面 降伏条件式を応力空間（あるいは応力平面）に描いたもの

A.二軸状態の降伏曲面

σzzσθθ P

PzPz

ミーゼスの条件式

( ){ } 2222

21 Yzzzz −+−+ σσσσ θθθθ

トレスカの条件式

Y=− minmax σσ

降伏条件応力状態

Yzz =σY=θθσ

Yzz =−σσ θθ

Yzz −=σY−=θθσ

0>> θθσσ zz

0>> zzσσ θθ

zzσσ θθ >> 0

zzσσ θθ >>0

θθσσ >> zz00222 =−+−= Yzzzz θθθθ σσσσYzz =− θθσσ

θθσσ >> 0zz

1

1

−1

0222 =−+− Yzzzz θθθθ σσσσ応力状態 降伏条件

0>> θθσσ zz

0>> zzσσ θθ

Yzz =σ

zzσσ θθ >> 0

zzσσ θθ >>0

θθσσ >> zz0

θθσσ >> 0zz

Y=θθσYzz =−σσ θθ

Yzz =− θθσσ

Yzz −=σY−=θθσ

①

②

③

④

⑤

⑥

①

②

③

④

⑤

⑥

ミーゼス

トレスカ

σθθ /Y

σzz /Yほとんどの金属の降伏はミーゼスかトレスカの降伏条件式で表される。−1

例題

以下の状態のとき、ミーゼスとトレスカの降伏条件式を導き、それぞれ降伏曲面（曲線）を描け。

PzPzσzz

τzθ

T

ミーゼスの条件式

03 222 =−+= YF zzz θτσ

022

22

2

=

−+

=

YF zzz

θτσ

04 222 =−+= Yzzz θτσ

1/2

Yz /θτ

Yzz /σ

3/1トレスカの条件式

1

B.三軸状態の降伏曲面

π平面

σ1

σ2

σ3ミーゼス

トレスカ

321 σσσ ==

応力状態 降伏条件

Y

Y

①②

③

④ ⑤

⑥

π平面

σ1σ2

σ3

Y

123 σσ >>σ① Y=− 13 σσY=− 23 σσ

Y=− 12 σσ

Y=− 21 σσY=− 31 σσY=− 32 σσ

213 σσ >>σ②

③ σ

④ σ

⑤ σ

⑥ σ

231 σσ >>

321 σσ >>

312 σσ >>

132 σσ >>

弾塑性構成式

応力関数（重調和関数）

変位 u ひずみ ε 応力 σ 表面力 P，p

変位−ひずみ関係

応力−ひずみ関係（構成式）

コーシーの関係

弾塑性弾性

仮想仕事の原理

・ひずみ増分理論 （流れ理論）

「塑性ひずみ増分 dεijpの方向は偏差応力 sijの方向に一致する」

1930年 ロイス

λε dsd ijp

ij = dλ :正のスカラー量

pxx

exxxx ddd εεε +=

( ){ }zzyyxx dddE

σσνσ +−=1

λdsxx

{ } λσσ dmxx −+

3zzyyxx

m

σσσσ

++=xx方向のひずみ増分

( )

+−+ zzyyxxd σσσλ

21

32= 〃

プラントル－ロイスの式

( ){ }zzyyxxxx dddE

d σσνσε +−=1 ( )

+−+ zzyyxxd σσσλ

21

32

( ){ }xxzzyyyy dddE

d σσνσε +−=1 ( )

+−+ xxzzyyd σσσλ

21

32

( ){ }yyxxzzzz dddE

d σσνσε +−=1 ( )

+−+ yyxxzzd σσσλ

21

32

λττ

γ dG

dd zx

zxzx 2+=λτ

τγ d

Gd

d xyxy

xy 2+=

λττ

γ dG

dd yz

yzyz 2+= 弾性成分を除いた式を、レヴィ－ミーゼ

スの式という。

・全ひずみ理論 （変形理論）

「全塑性ひずみ εijpの方向は偏差応力 sijの方向に一致する」

Λ= ijp

ij sε Λ :正のスカラー量

◎実際の材料の変形は、ひずみ増分理論に従うことが多い。

相当応力

ijijij ss23)( =σσ

( ) ( ) ( ){ } ( )222222 321

zxyzxyxxzzzzyyyyxx τττσσσσσσ +++−+−+−=

塑性仕事増分 dwp

λσ d2

32

=λdss ijij=pijijp ddw εσ= p

ijij ds ε=

また、相当応力と相当塑性ひずみを用いると

εσddwp =

相当塑性ひずみεσλσ dd =2

32

( )2

22

σ

λε

dssd ijij= 2

32 λdss ijij=

σελ

23dd =

σσ

Hd

′=

23

pij

pij dd εε

32

=ここで、 H' は加工硬化係数（塑性接線係数）である。

εσ

ddH =′

( ) ( ) ( ){ }222

32 p

zzpyy

pxx dddd εεεε ++=

O

σ

1H'

( ) ( ) ( ){ }222

31 p

zxpyz

pxy ddd γγγ +++

ε

例 題

弾線形硬化塑性体に垂直応力σxxとせん断応力τxyが組み合わさって下図に示すような二つの応力経路Ⅰ（O→A→D）とⅡ（O→B→C→D）に沿う負荷を受ける場合の最終点Dにおけるひずみ（εD, γD）をひずみ増分理論を用いて計算せよ。

O

A

D

CB1.21

11.2

初期降伏曲面Yxy /3τ

Yxx /σ

22 3 xyxx τσσ +=

xyxy

xxxx

ddd ττσσ

σσσ

∂∂

+

∂∂

= ( )xyxyxxxx dd ττσσσ

31+=

xxxxs σ32

= xyxys τ=

①

( )2

3

σ

ττσσσ

H

dd xyxyxxxxxx

′

+=

σσσ

Hd

xx ′=

23

32λε dsd xx

pxx =

②

( )2

33

σ

ττσστ

H

dd xyxyxxxxxy

′

+=λεγ dsdd xy

pxy

pxy 22 ==

経路Ⅰ

xyxx τσ 3= なので

Hd

d xxpxx ′

=σ

ε

HY

′

−=

212.1∫∫ ′

== D

A Hd

d xxpxx

pD

σ

σ

σεε

HAD

′−

=σσ

HY

′= 49.0

Hd

d xypxy ′

=τ

γ3

∫∫ ′== D

A Hd

d xypxy

pD

τ

τ

τγγ

3 ( )H

AD

′−

=ττ3

HY

′

−=

212.13

HY

′= 85.0

経路Ⅱ

τxy= 0 なのでB→C xxσσ =

式②より

HY

HdY

Yxxp

CB ′=

′= ∫→

2.02.1 σε 0=→p

DCγ

( )∫∫ +′==→

D

xyC

xyxyCpxx

pDC H

dd

τ

τσττσ

εε0 22 3

3

( )∫∫ +′==→

D

xyC

xyxypxy

pDC H

dd

τ

τσττ

γγ0 22

2

39

Yxx 2.1=σ 0=xxdσ

HY′

≈42.0

HY′

≈45.0

σc

C→D

よって、

HY

′49.0

HYp

D ′= 62.0ε

HYp

D ′= 45.0γ

HY

′85.0

塑性変形の進行とともに降伏曲面が大きくなる

等方硬化則繰返し変形と硬化則

ひずみ

応力

xyτ3

Y

xxσ

σ

Yε

塑性変形の進行とともに降伏曲面の中心は移動するが、大きさは変化しない

移動硬化 複合硬化則（等方硬化則＋移動硬化則）

xxσ

xyτ3

xxσ

xyτ3

ε

Y 2Y2Y

σ

ε

Y

等方硬化則

移動硬化則

σ

バウシンガー硬化を表現

材料： ステンレス鋼

（複合硬化則）