Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fizikoJadranska 191000 LjubljanaSlovenija

Oddelek za Praktično matematikoPredmet: Komuniciranje v matematikiŠtudijsko leto: 2010/2011Mentor: Prof. dr. Tomaž Pisanski

SUDOKUSeminarska naloga

Alja GligićLjubljana, 20.5.2011

2

Kazalo:1. UVOD ...................................................................................................................... 32.SUDOKU ...................................................................................................................3

2.1.ZGODOVINA SUDOKUJA ................................................................................... 33.IZPELJAVE SUDOKUJA............................................................................................... 54.LOGIKA IN SUDOKU..................................................................................................8

4.1.EDINI KANDIDAT ..............................................................................................84.2.POVEZANE PODMNOŽICE ................................................................................. 94.3.IZKLJUČITEV STOLPCEV/VRSTIC ........................................................................ 94.4.PRAVOKOTNIK (X - WING) ................................................................................104.5.ŠTIRIKOTNIK (XY - WING) ................................................................................. 11

5.VRAČANJE ................................................................................................................12

3

1. UVOD:

Sudoku je logična uganka, katere cilj je zapolniti kvadratno mrežo, običajno velikosti 9 × 9, s števili od 1 do 9, v splošnem pa velikosti n2 × n2 s števili od 1 do n2, ki jim pravimo tudi sudoku reda n. Vsako število se lahko pojavi natančno enkrat v vsakem stolpcu, vsaki vrstici in vsakem manjšem kvadratu ali bloku velikosti 3 × 3, v splošnem pa n × n. V mreži so nekatera števila že podana. Namesto števil lahko nastopajo tudi drugi simboli. Za rešitev uganke je potreben logičen razmislek in malo potrpežljivosti, pri najtežjih pa lahko logika odpove oziroma je sklepanje zelo komplicirano. Takrat uporabimo nadzorovano ugibanje z metodo vračanja.

Slika 1: Sudoku 9 x 9

2. SUDOKU

2.1. ZGODOVINA SUDOKUJA:

številske uganke so se prvič pojavile v časopisih proti koncu 19. stoletja, ko so francoski sestavljavci ugank pričeli eksperimentirati z odstranjevanjem števil iz magičnega kvadrata. Pariški častnik Le Siecle je objavil delno izpolnjen magični kvadrat velikosti 9 × 9 s 3 × 3 bloki v letu 1892, ki je vseboval dvomestna števila, za rešitev pa je bilo potrebno uporabiti aritmetiko. Tri leta kasneje je častnik La France objavil poenostavljen magični kvadrat, tako da je vsaka vrstica in vsak stolpec vseboval števila od 1 do 9, označenih blokov pa ni imel. Do prve svetovne vojne so te uganke izginile iz francoskih časopisov. Ime sudoku je japonsko, ampak uganka je skoraj zagotovo ameriški izum. Sestavil naj bi jo Howard Garns, upokojen arhitekt in sestavljavec križank iz Indianapolisa in ga prvič objavil leta 1979 pod imenom Number Place v reviji Dell Pencil Puzzles and Word Games, ki je izhajala v New Yorku.

4

Slika 2: Prva sudokuja Howarda Garnsa

Na Japonskem je bil sudoku prvič predstavljen v reviji Monthly Nikolist aprila 1984 pod naslovom Suuji wa dokushin ni kagiru, kar lahko prevedemo kot Števke morajo biti edine ali Števke se morajo pojaviti le enkrat. Naslov križanke si je izmislil Kaji Maki, predstavnik Nikolija. Kmalu so ime uganke skrajšali v sudoku, kjer su pomeni številka, doku pa samski. Podjetje Nikoli je zaščitilo znamko sudoku na Japonskem, zato morajo ostala podjetja oziroma revije tamkaj uporabljati angleško ime Number Place, medtem ko se je v zahodnem svetu ime sudoku zelo uveljavilo. Današnjo popularnost sudokuja pa je zakrivil novozelandski sodnik v Hong Kongu Wayne Gould, ki je med obiskom na Japonskem leta 1997 v neki knjigarni zagledal delno izpolnjen sudoku. Več kot šest let je razvijal program za sestavljanje teh ugank in prepričeval londonski The Times, da bi jo objavil. 12. novembra 2004 so jo res objavili pod imenom Su Doku in postala je prava modna muha, saj jo danes objavlja večina največjih časopisov v tiskani izdaji kot tudi v elektronski, nekateri celo na prvih straneh. Prvi televizijski šov so predvajali v Veliki Britaniji na kanalu Sky One 1. julija 2005. Za promocijo tega šova so v hribu blizu Bristola naredili največji sudoku na svetu; 83 metrov velik, za katerega pa se je kmalu izkazalo, da ima več rešitev. 10. in 11. marca 2006 je v Italiji potekalo prvo svetovno prvenstvo v sudokuju, zmagala pa je 31 letna češka računovodkinja Jana Tylova pred Thomasom Snyderjem, diplomantom s Harvarda in Wei-Hwa Huangom, programskim inženirjem v Googlu. Preizkusili so se v klasičnem 9 × 9 sudokuju in v 18 različnih variantah le-tega. V dveh dneh so rešili 45 mrež. V Sloveniji že od leta 1999 to uganko pod imenom Devet redno objavljajo v slovenski ugankarski reviji Modro razvedrilo (v vsaki izdaji objavijo pet ugank). Istega leta se je uganka pod imenom Magićni kvadratpojavila v reviji Logika & razvedrilna matematika. V juniju 2005 se je pojavila v Slovenskih novicah, v avgustu 2006 pa tudi v Nedeljskem dnevniku.

5

3. IZPELJAVE SUDOKUJA:

Ko je sudoku postal popularna miselna igra, so si ljudje začeli izmišljati drugačne in težje vrste sudokuja:

Slika 3: Sudoku-X (diagonalni sudoku) je sudoku, v katerem se morajo števke od 1 do 9 v diagonalah pojaviti le enkrat. Tako nekateri sudokuji pridobijo enolično rešitev.

Slika 4: Sodo-lihi sudoku (even - odd sudoku) ima določena polja osenčena. Vpisane števke nam povedo, ali v osenčena polja vpisujemo sode ali lihe števke.

6

Slika 5: Med sudokuji z drugačnimi dimenzijami je najpogostejši hexu doku velikosti 16 x 16 (na sliki). Poznamo še shi doku dimenzij 4 x 4, go doku dimenzij 5 x 5, roku dokudimenzij 6 x 6,...

Slika 6: Kvadrat geometrijskega sudokuja (irregular sudoku) je sestavljen iz različnih geometrijskih likov. Razmejeni so z debelejšo črto. Sestavlja jih 9 polj, v katere je potrebno vpisati števke od 1 do 9.

Slika 7: Pri toroidal sudokuju se geometrijski liki lahko na robovih mreže ne končajo, ampak nadaljujejo na drugo stran.

7

Slika 8: Multi-sudoku je prepleten, sestavljen z več sudokuji.

Slika 9: V primerjalnem sudokuju (comparison sudoku) je potrebno upoštevati relacije < in > med sosednjimi celicami.

Slika 10: V vseštevilčnem sudokuju (pandigit sudoku) je potrebno upoštevati predpisane aritmetične operacije.

8

Slika 11: Kombinirani sudoku (combined sudoku) je podoben multi-sudokuju, le da je sestavljen iz različnih variant sudokuja.

4. LOGIKA IN SUDOKU

Poglejmo si nekaj problemov, na katere lahko naletimo pri reševanju sudokuja, in njihove rešitve. Uganke se je najbolje lotiti z logičnim premislekom. Zelo učinkovito pomagalo pri reševanju so tudi manjše oznake s svinčnikom (pencil marks), ki nam povedo, katera števila (kandidate) glede na pravila sploh lahko še vpišemo v okence. Ta način nam pomaga pri nekaterih težjih strategijah reševanja.

4.1. EDINI KANDIDAT

Najbolj osnovna strategija reševanja je preverjanje vsake celice, v katero vpišemo vse možne kandidate, ki niso v nasprotju z osnovnimi pravili. Če obstaja celica, v kateri je možen samo en kandidat, potem ga očitno lahko zapišemo kot pravo vrednost. Podoben pristop je zapis določenega števila v vse celice v vrstici, stolpcu ali bloku, kjer se lahko le-ta pojavi. Če se lahko pojavi le v eni celici, potem jo zapišemo tja. V obeh primerih lahko izbrišemo izbrano število kot kandidata v isti vrstici, stolpcu in bloku.

Slika 12: Število 2 lahko v prvi blok zapišemo samo v tretjo vrstico, saj je v prvi in drugi vrstici že podana. V tretji vrstici pa imamo samo še prazno celico -> edini kandidat.

9

4.2. POVEZANE PODMNOŽICE (GOLI PARI)

Goli par je niz dveh možnih števil, ki se kot kandidata pojavita v natanko dveh istih celicah enega bloka, ene vrstice ali enega stolpca. V takšnem primeru lahko ostale kandidate, ki se pojavijo v teh dveh celicah, izbrišemo.

Slika 13: Število 2 in 6 se v bloku pojavita natanko v dveh celicah, zato sotale kandidate v teh celicah izbrišemo.

4.3. IZKLJUČITVE STOLPCEV/VRSTIC

Če se število pojavi v nekem bloku v samo eni vrstici ali stolpcu, lahko v tej vrstici ali stolpcu v ostalih blokih izbrišemo to število kot možnega kandidata.

Slika 14: Število 7 se v drugem bloku pojavi samo v zgornji vrstici v celicah A in B. 7 v celici Z v prvem bloku lahko zato izbrišemo.

10

4.4. PRAVOKOTNIK (X - WING)

Strategijo pravokotnika uporabimo, kadar sta za vpis enega števila možni samo dve različni mesti v vsaki od dveh različnih vrstic in hkrati ta mesta ležijo samo v dveh stolpcih. Potem lahko na vseh ostalih mestih v teh dveh stolpcih izbrišemo to število kot možnega kandidata.

Slika 15: Število 6 se pojavi natanko dvakrat v prvi in natanko dvakrat v deveti vrstici. Te celice A, B, C in D ležijo v natanko dveh stolpcih 6 in 9. V ostalih celicah teh dveh stolpcev izbrišemo šestico.

11

4.5. ŠTIRIKOTNIK (XY-WING)

Recimo, da opazimo možna samo po dva kandidata v treh celicah štirikotnika. Sklepajmo: če je AB = A, potem je BC = C, torej v desnem spodnjem oglišču ne more biti C. Če pa je AB = B, potem je AC = C in v desnem spodnjem oglišču ponovno ne more biti C. V tem oglišču lahko torej C izločimo.

Slika 16: V spodnjem desnem oglišču lahko črtamo število C kot možnega kandidata.

Metoda štirikotnika deluje tudi, če kandidati ne ležijo v ogliščih pravokotnika, ampak poljubnega štirikotnika, le AB in BC ter AB in AC morajo biti povezani v isti enoti (vrstici, stolpcu, bloku). V takšnih primerih ponavadi še v več celicah lahko izločimo kandidata.

Slika 17: V petih celicah se število C v nobenem primeru ne more pojaviti. Sklep, zakaj se ravno v teh celicah ne more pojaviti število C, poizkušaj na podoben način kot pri pravokotniku izpeljati sam.

To je le peščica logičnih strategij, s katerimi rešujemo sudoku. Obstaja jih še mnogo dosti zahtevnejših in zelo specifičnih za posamezne postavitve kandidatov po celicah z zanimivimi imeni: simple colouring, multi colouring, jellyfish, broken wings, death blossom, three in bed... njihovo uporabo pa je mogoče najti na internetu. Kadar pa vsi logični postopki in razmisleki odpovejo, se lahko poslužimo metode, ki lahko zahteva več dela in časa, vendar pa nas zagotovo pripelje do rešitve: metoda vračanja.

12

5. VRAČANJE (backtracing, trial and error, nishio, Ariadne's thread)

V grški mitologiji je bila Ariadna hči kretskega kralja Minosa, ki je zavzel Atene, katere so morale vsako leto poslali na Kreto sedem mladeničev in mladenk za žrtvovanje Minotavru, pol človeku pol biku, živečemu v labirintu. Neko leto se je junak Tezej priključil tej skupini s ciljem, da ubije Minotavra. Na Kreti se je Ariadna zaljubila vanj in mu podarila čaroben meč ter klobčič rdeče niti (Ariadnina nit). Tezej je med prodiranjem v labirint odvijal to nit, tako da se je, če je prišel v slepo ulico, lahko vrnil na križišče, kjer se je odločal med različnimi potmi, po uspešno opravljeni nalogi pa je našel pot iz labirinta.

Podobno deluje tudi strategija vračanja pri reševanju sudokuja. V vsaki celici označimo možne kandidate in jih ob vsaki potezi ažuriramo. Ko vsa logična pravila odpovedo, si izberemo celico s čimmanj možnimi kandidati, predpostavimo, da je eden od njih pravilen, in poskušamo rešiti uganko. Če se postopek ustavi zaradi protislovja, se vrnemo nazaj do predpostavke in izberemo novo možnost. Lahko se zgodi, da je potrebno med reševanjem postaviti nove predpostavke ampak postopek slej ko prej pripelje do rešitve (ali pa zagotovi, da ta ne obstaja).