宇宙定数 - 東京大学suto/myresearch/lambda02.pdf第2章 膨張宇宙と宇宙定数...
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宇宙定数
2002年 9月 2日、3日
埼玉大学理学部物理教室 集中講義
http://www-utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp/˜suto/mypresentation 2002j.html
須藤 靖
平成 14 年 9 月 18 日
目 次
第 1章 序: 宇宙定数とは 1
第 2章 膨張宇宙と宇宙定数 3
2.1 一様等方宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 アインシュタイン方程式からフリードマン方程式へ . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 宇宙の状態方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 宇宙論パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.1 ハッブル定数: h = 0.72 ± 0.08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.2 バリオン密度パラメータ: Ωb ∼ 0.02h−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.3 密度パラメータ: Ωm = (0.1 ∼ 0.4) 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.4 宇宙定数: ΩΛ = 1 − Ωm ∼ 0.7 0 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.5 密度ゆらぎの振幅: σ8 ≈ 1 ± 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 宇宙年齢と宇宙定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 アインシュタインの静的宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 ルメートル宇宙モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第 3章 超新星と宇宙定数 18
3.1 遠方天体のハッブル図と宇宙論パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Ia型超新星 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 超新星のモニター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 宇宙定数への制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
第 4章 宇宙マイクロ波背景輻射と宇宙定数 29
4.1 宇宙の晴れ上がりとマイクロ波背景輻射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 COBE (COsmic Background Explorer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 宇宙マイクロ波背景輻射の温度揺らぎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 温度揺らぎの起源と宇宙パラメータ依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 観測プロジェクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.1 BOOMERanG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.2 MAXIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.3 DASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5.4 CBI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6 マイクロ波背景輻射と宇宙論パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7 MAP (Microwave Anisotropy Probe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
4.8 PLANCK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
第 5章 宇宙定数は定数か 50
5.1 実効的な宇宙定数としてのスカラー場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 宇宙の状態方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 最後に . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
付 録A Robertson-Walker 計量とフリードマンモデル 54
A.1 問題：Robertson-Walker 計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A.2 解答例：Robertson-Walker 計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A.3 問題：Friedmann 方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.4 解答例：Friedmann 方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.5 問題：Friedmann 方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.6 解答例：Friedmann 方程式の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
付 録B 宇宙論的距離 65
B.1 共動距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.2 光度距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B.3 角度距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
付 録C 宇宙マイクロ波背景輻射の二重極ゆらぎ 69
2
第1章 序: 宇宙定数とは
いわゆる宇宙定数の問題は、「宇宙、あるいは、空間は何によって満たされているのか」、という極めて根元的な問いかけに密接に結び付いている。そして、Einstein 方程式を通じて、宇宙の進化に大きな影響を与える。詳しくは次章で説明するが、このことは、Einstein 方程式の定性的構造を考えればわか
る。そもそも、Einsteinは、時空間の幾何学的性質とそのなかに存在する物質場とが独立ではなく互いに相手を規定しているという「マッハの原理」を具体的に表わすべく、一般相対論の基礎方程式 (Einstein 方程式)：
Rµν − 1
2R gµν = 8πG Tµν (1.0.1)
を提案した (以下、断らない限り c = 1 の単位系を用いる)。。この方程式の左辺は、時空の計量テンソル gµνだけで計算できるという意味で、時空間の幾何学を定量化する。一方、右辺は、物質の存在形態を定量化するエネルギー運動量テンソルである。したがって、この式は定性的には
(空間の幾何学) = (物質分布) (1.0.2)
という図式を表現しているし、少し誤解を与えやすい言い方ではあるが、
(物理法則) = (初期条件) (1.0.3)
と解釈しても良い。これは重力場に対する方程式ではあるが、宇宙に対しては運動方程式と呼ぶこともでき
る。つまり、右辺の Tµνの形を決めてやれば、（原理的には）どのような幾何学に従う時空が許されるかが、その時間発展をも含めて解として得られるはずである。Einsteinは、空間的に一様な物質分布の場合を考えると、得られる解は動的なものしか許されないことに気づいた。つまり、大きさが変化しない「静的」な宇宙は解として存在しないのである。もちろんこれは大発見である。しかし、今でこそ、「宇宙は膨張している」、「宇宙は進化
する」などという文句を当たり前のように受け止めることができるが、当時それをそのまま認めることの困難さは良く理解すべきである。「Einsteinですら西洋的な哲学的呪縛から逃れるのは難しかった」というような形容も良くされているようであるが、そのように単純に言ってのけることができるような軽い内容のものとは思えない。いずれにせよ、この考察を経て Einsteinは (1.0.1)式に変更を加えることにする。彼は、
左辺をいじることにした。この場合、エネルギー運動量保存に対応する T ;νµν = 0 に矛盾す
ることなく与えられる自由度は、gµνの定数倍しか許されない。そこで、
Rµν − 1
2R gµν + Λ gµν = 8πG Tµν (1.0.4)
1
の左辺に入る定数 Λを導入した。これをアインシュタインの宇宙定数 (cosmological con-
stant)、あるいは、宇宙項 (cosmological term) と呼ぶ。しかし、この方程式をそのまま認めると少し気持悪いことが起る。つまり、Tµν = 0を
「真空」であるとすると、Λ = 0 の場合、Minkowski時空 gµν = ηµνが (1.0.4)式の真空解でなくなるのである。このこと自身は論理的矛盾を引き起こすわけではないが、あまり良い気持はしない。しかし、この自由度のおかげで「静的」宇宙解が存在する事になる（後で示すようにこれはパラメータの値の微調整が必要である上に不安定な解であるのだが、、、）。他の逃げ道としては 、Λを時空のもつ幾何学的な自由度ではなく、物質場の自由度であ
ると解釈する立場もある。つまり、(1.0.4)式を
Rµν − 1
2R gµν = 8πG Tµν ≡ 8πG
(Tµν − Λ
8πGgµν
)(1.0.5)
と書き直し、Tµνを物質場であると見なすわけである。つまりΛの値を物質場（あるいは真空の性質）に責任転嫁させようという考え方である。もちろん、この場合、真空を Tµν = 0
と再定義してやれば、めでたくMinkowski時空は解となる。この (1.0.1)式と (1.0.4)式の関係は単なる “移項”にしか過ぎないが、そこには「真空と
は何か」という大きな命題が控えている。左辺ならば、物理法則として組み入れることになるし、右辺ならば (初期)条件として任意に与えうるものとなる。“真空”はエネルギー密度を持たないのか？粒子に付随しないようなエネルギー密度のゼロレベルがあり得るのか？さらにいったんこのように考えてしまえば、もはや必ずしも定数でなくても良く、Λ(t)であっても差し支えない。というわけで、最近では、暗黒物質 (dark matter)に対応させて、時間的に定数である場合に限らずより広い概念として、暗黒エネルギー (dark energy) と呼ばれたりしている。ここではそのような理論的な考察ではなく、むしろ実証的な立場から宇宙定数の存否と
それが現在の宇宙にどのような痕跡を残すか、という観点から論じることにする。なお、参考文献として、
S.Weinberg: “The cosmological constant problem”,
Rev.Mod.Phys.,61(1989) 1-23
P.J.E.Peebles and B.Ratra: “The cosmological constant and dark energy”,
Rev.Mod.Phys., (2002) in press, (astro-ph/0207347)
を、お薦めする。
2
第2章 膨張宇宙と宇宙定数
宇宙定数が宇宙の進化におよぼす影響を理解するためには、一般相対論的宇宙モデルを説明する必要がある。ここでは、一般相対論の詳細は極力避けて、定性的な流れを説明することに重点を置く。
2.1 一様等方宇宙モデル(意味もなく)複雑な宇宙モデルを考える愚はおかさず、“第０近似”の宇宙を記述するこ
とを目標とする。この場合、
宇宙原理: “第０近似”の宇宙は 大局的には一様かつ等方である
つまり、現実の宇宙に存在する物質はかなり非一様な空間分布を示しているが、十分に大きなスケール ( >∼ 100h−1Mpc)で平均したとき、宇宙の物質分布が並進対称性と回転対称性を持つ
これは我々は決して宇宙の中心ではないという意味で、宇宙論的なコペルニクス原理と呼ぶこともできる。
Robertson – Walker 計量: 一様等方宇宙モデルの幾何学的性質は、
ds2 = −dt2 + a(t)2
(dx2
1 − Kx2+ x2dθ2 + x2sin2θdφ2
), (2.1.1)
を通じて
a(t): スケール因子。宇宙の長さの相似拡大縮小率の時間変化を表す
K: 空間の曲率定数。空間の幾何学を決定する。
の 2つのパラメータのみによる。これらは、宇宙原理によって空間座標 (x、θ、φ)には依存しない
物質: この一様等方性を仮定するとそれに対応して物質場のエネルギー運動量テンソル Tµν
もエネルギー密度 ρ、圧力 pをもつ完全流体に対する以下の形：
Tµν = (ρ + p)uµuν + p gµν (2.1.2)
に定まってしまう。
uµ: 物質の４次元速度。
ρ: 物質の (平均)エネルギー密度
p: 物質の (平均)圧力
3
2.2 アインシュタイン方程式からフリードマン方程式へ一般相対論の基礎方程式は、Einstein 方程式：
Rµν − 1
2R gµν + Λ gµν = 8πG Tµν (2.2.1)
である。すでに序章で述べたように、これは、 (空間の幾何学)=(物質分布) あるいは (物理法則)= (初期条件)と解釈しても良く、マッハの原理の具体的な数学的表現であると見なすことができる。以下しばらくは、Λが時間に依存しない定数の場合だけを考えることにする；アインシュ
タインの宇宙定数 (cosmological constant)、あるいは宇宙項 (cosmological term)。(2.2.1)式に現れるテンソルはすべて対称テンソルであるから、一般には 4 × 4 − 6 = 10
の独立な方程式がある。しかし、一様等方宇宙モデルの場合、具体的に Einstein 方程式を書き下すと独立なものは次の２つしかない。(
1
a
da
dt
)2
=8πG
3ρ − K
a2+
Λ
3, (2.2.2)
1
a
d2a
dt2= −4πG
3(ρ + 3p) +
Λ
3. (2.2.3)
特に、(2.2.2)式は、宇宙膨張を記述するフリードマン方程式と呼ばれている。実は、(2.2.3)式が、一般相対論の効果を具体的に示す式となっていることを注意してお
こう。少し書き換えると
d2a
dt2= −G
a2
4π
3
(ρ + 3p − Λ
4πG
)a3. (2.2.4)
これは Poisson方程式で、右辺第一項が通常の質量の寄与に対応。第二項は、圧力があると、一般相対論では実効的に重力が増すことを示す。最後の項は、正の宇宙項は、負の重力として寄与することを示す。これがまさに、「宇宙定数は万有斥力の役割をする」、と言われている理由である。ところで、(2.2.2)式と (2.2.3)式を少しにらめば、
ρΛ =Λ
8πG, pΛ = − Λ
8πG(2.2.5)
と定義し、ρ → ρ + ρΛ、p → p + pΛと置き換えてやることで、Λの寄与はすべて吸収できる。つまり、負の圧力をもつ物質の存在を認めれば、本来、時空に付随した幾何学的量であったはずの宇宙定数を、何らかの物質場による寄与と再解釈できることになる。ここまでをまとめると、２つの定数、K、Λのもとに、３つの独立な時間の関数 a, ρ, p
に対して、独立な方程式は 2つ: (2.2.2)式と (2.2.3)式→ もう一つ独立な方程式が必要：状態方程式 p = p(ρ)
4
2.3 宇宙の状態方程式ところで、(2.2.2)式を時間に関して微分すると、
a
a=
4πG
3
(ρa
a+ 2ρ
)+
Λ
3. (2.3.1)
これと (2.2.3)式を等置すると、
ρ = −3a
a(ρ + p). (2.3.2)
これは、物質の平均エネルギー密度の進化を記述する式である。状態方程式は考えている物質の性質に依っては複雑になり得るが、良く用いられるのは
(i) 圧力の無視できる (p = 0)非相対論的物質 (無衝突粒子):
ρ = −3a
aρ → ρ ∝ a−3. (2.3.3)
(ii) p = ρ/3で記述される相対論的物質 (光子、輻射):
ρ = −4a
aρ → ρ ∝ a−4. (2.3.4)
(iii) p = −ρで記述される真空のエネルギー密度 (宇宙定数):
ρ = 0 → ρ ∝定数. (2.3.5)
これを無次元化するために 現在 t = t0の スケール因子 a0、ハッブル定数H0 （次節参照）、物質密度 ρ0 を用いて
R(t) ≡ a(t)
a0, Ω0 ≡ 8πG
3H20
ρ0, λ0 ≡ Λ
3H20
(2.3.6)
を定義する。この場合、曲率定数 Kは
K = a20 H2
0 (Ω0 + λ0 − 1) (2.3.7)
の関係を満たすことが簡単にわかる。さらに観測的宇宙論にとって興味ある現在に近い時期では 物質場の圧力を無視してよく (p ρ)、(2.2.2)式と (2.2.3)式より ρ ∝ a−3が得られる。以上をまとめると、宇宙膨張を記述する基本式は(
dR
dt
)2
= H20
(Ω0
R+ 1 − Ω0 − λ0 + λ0R
2)
(2.3.8)
となり、宇宙論パラメータ H0、Ω0、λ0 を与えればR(t)の進化が決まる。
5
2.4 宇宙論パラメータここで、一様等方宇宙モデルを定量的に特徴づける基本パラメータ（宇宙論パラメータと
呼ばれる事が多い）をまとめておくと、表 2.1のようになる。これらの値を観測的に導き、それらの持つ物理的意味を理論的に考察することが、宇宙論の第１目標である。このような問題意識はいつの時代にも存在したが、実はここ数年の観測の進歩により、ようやく信頼性の高い定量的評価が可能となった。これをさして、精密宇宙論 (precision cosmology)
という言葉が用いられることも多い。
表 2.1: 主な宇宙論パラメータとその観測的推定法
記号 意味 観測的推定法H0 ハッブル定数 HSTを用いたセファイド型変光星
による銀河の距離指標の較正Ωb バリオン密度パラメータ ビッグバン元素合成理論予言値と軽元素存在量の比較Ωm 密度パラメータ 銀河団の個数密度
宇宙マイクロ波背景輻射の温度揺らぎ角度スペクトルΩΛ 宇宙定数 遠方超新星の光度・赤方偏移関係
宇宙マイクロ波背景輻射の温度揺らぎ角度スペクトルσ8 密度ゆらぎの振幅 銀河団の個数密度
宇宙マイクロ波背景輻射の温度揺らぎ角度スペクトル
2.4.1 ハッブル定数: h = 0.72 ± 0.08
ある銀河に対する特定の輝線/吸収線の、実験室系での波長 λiと実際に観測される波長λobsから
z ≡ λobs − λi
λi
(2.4.1)
で定義される量を赤方偏移 (パラメータ)と呼ぶ。厳密には間違っているのだが、宇宙膨張の後退速度によるドップラー効果を考えると、z 1の場合 v0 = czが成り立つ。一方、z
は遠方の天体に対しては 1を超えるが、その場合でも v0 = czで定義される量を「後退速度」と呼ぶことが普通になされている。我々の宇宙が等方的に膨張しているという事実は、遠方に位置する系外銀河の後退速度
v0 がその銀河までの距離 d に比例している:
v0 = cz = H0d (2.4.2)
というハッブルの発見によって確立した。(2.4.2)式のハッブルの法則に現れる宇宙の膨張率に対応する比例係数 H0 (下添字の 0は現在の値であることを意味する)をハッブル定数と呼ぶ。このH0を 100 km/s/Mpcで規格化した無次元のハッブル定数を通常、小文字の h
で表す。h ≡ H0/(100km/s/Mpc). (2.4.3)
6
ちなみに、zは (2.4.2)式を通じて、遠方の天体までの距離を表す量であるが、光速度が有限であるために、これは宇宙の過去にも対応する。したがって、zは宇宙の時間座標としても頻繁に用いられる。ハッブル定数を決定するためには、天体までの距離 dを精度良く知る必要がある。その
前に、天文学で良く用いられる「等級」を定義しておこう。絶対光度Lを持つ等方な輻射源を距離dにおいたとき、観測者の測る強度（フラックス）I
は、
I =L
4πd2. (2.4.4)
天文学では通常この常用対数をとった (みかけの)等級：
m = −2.5 log I + C (2.4.5)
を用いる。この定数Cは、こと座α星 (織女星ベガ)が 0等級となるように選ばれる。(2.4.4)
式と (2.4.5)式から、m = −2.5 log L + 5 log d + C (2.4.6)
となるが、ここで、d = 10pcの距離における等級を、絶対等級M と定義すれば、
m − M = 5 log(d/10pc) (2.4.7)
という関係を得る。つまり、(すでに等級の決まっている他の天体との相対測光を通じて)観測量であるmと、別の何らかの方法でわかっているMを用いれば、その天体までの距離 d
がわかる。
図 2.1: 左：セファイド型変光星の脈動位相と光度変化の概念図。右:セファイド型変光星の周期光度関係。
7
距離決定法のなかでも最も信頼性が高いのは、セファイド変光星を用いる方法である。セファイド変光星は、1日から 100日程度の周期でその半径が振動する。そのため星の光度も周期的に変化するが、その絶対光度と脈動周期の間には規則的な関係が成り立つ事が知られている。この関係式を用いると距離のわかっていない遠方の銀河の中のセファイド変光星の見かけの光度と脈動周期の観測値から、その銀河までの距離がわかる。考えている天体までの距離が近い場合には、こうやってもとめた距離 dをハッブルの法則に代入し、赤方偏移から求められた後退速度を用いればハッブル定数が決まる。
図 2.2: セファイド型変光星を用いて距離が決定された銀河。
図 2.3: 上：銀河の距離と後退速度の関係 (ハッブル図)。異なる記号は距離決定法の違いに対応しているが、HSTのセファイドで較正されたものだけがプロットされている。この線の傾きがハッブル定数で、図の実線は 71 km·s−1·Mpc−1 に対応。下：上図にプロットされた一つ一つの銀河から求められた “ハッブル定数”とその銀河の距離の関係に変換したもの。(W.L.Freedman, Physics Report 333-334(2000)13より転載)
8
1990年 4月 24日に打ち上げられた口径 2.4 mのハッブル宇宙望遠鏡（HST）は、当初光学系の問題により期待された性能を達成できなかったが、その後のスペースシャトルエンデバー号による修理の結果、0.1秒角以下という高角度解像度を実現した。地上からの観測では大気のゆらぎのために、約 4 Mpcより遠方の銀河に対してはセファイド型変光星を同定できなかったが、HSTはさらに 10倍程度遠い銀河のセファイド型変光星を発見し、それに基づいて 18個の近傍銀河の距離を決めた。さらにより遠方の銀河に対しては、他の経験的な距離決定法をセファイドから距離が求められた近傍銀河を用いて較正した結果、HST
グループは 2000年にH0 = 72 ± 8 km/s/Mpc (2.4.8)
という最終報告を行った (図 2.3参照)。
2.4.2 バリオン密度パラメータ: Ωb ∼ 0.02h−2
宇宙に存在する「普通の」物質の質量のほとんどは, クォークからなる複合粒子であるバリオンによって占められている. このバリオンの宇宙での平均質量密度 ρb を, 臨界密度
ρc0 ≡ 3H20/(8πG) ∼ 1.9 × 10−29h2 g/cm3 ∼ 2.8 × 1011h2M/Mpc3 (2.4.9)
の単位で測ったものが, バリオン密度パラメ－タ－Ωb:
Ωb ≡ ρb/ρc0 (2.4.10)
である. H0 ≡ 100hkm/sec/Mpcは宇宙の膨張率を示すハッブル定数で, 観測的には h ∼ 0.7
程度であるとされている. また
1
2v2 =
1
2(H0r)
2 =GM(< r)
r=
4πGρc0r3
3r(2.4.11)
からわかるように, ρc0はハッブル膨張速度を脱出速度としたときの質量密度に対応する. 宇宙の質量密度が十分大きければ重力が強くなり, 現在膨張している宇宙もやがては収縮に転ずる. 一方, もしも質量密度が小さければ宇宙は永遠に膨張を続けることになる. この境目となる値が臨界密度である. したがって, まず重要な問いは「Ωbは 1より大きいか小さいか?」である.
Ωbを推定する最も信頼度の高い方法は, ビッグバン軽元素合成理論の予言と観測される軽元素存在量との比較である. 宇宙初期にはバリオンは, 核子（陽子 p と中性子 n の総称）として存在していたが, その後宇宙の温度が下がるにつれて, 重水素 (D), ヘリウム (4He),
リチウム (7Li), といった質量数の大きい原子核をつくり始める. 核子が複数個同時にぶつかって, 一挙に質量数の大きい元素を形成することは難しいので, 軽元素の合成は, まず, 重水素の生成反応を経由する. ところが, Dはその結合エネルギーがわずか 2.2MeVしかなく,
宇宙を満たしている光子（現在その名残が, CMBとして観測されている）と衝突して容易に分解してしまう. 核子あたりの光子の数が多ければこの光分解反応はより進みやすくなる. その結果, 重水素の生成量が減り, 結局 ヘリウムの存在量が小さくなる (ただし, ヘリウムになりそこねた最終的な重水素の量は逆に大きくなる). 軽元素合成は宇宙誕生後, およ
9
そ 1分後に開始し 3分後にはほぼ終了する. これは, 「The First Three Minutes」というワインバーグの著名な宇宙論啓蒙書のタイトルにもなっている.
このように, 軽元素の存在予言値は, 核子と光子の個数密度比に応じて敏感に変化する.
実は核子と光子の個数密度比は宇宙の保存量であるので, 現在の光子の温度 (2.7K)と組み合わせると, 核子すなわちバリオンの質量密度が推定できる. 図 2.4は, 総バリオンに対する 4Heの質量密度比と, D, 3He, 7Liの水素に対する個数密度比をプロットしたものである.
これら 4つの元素の観測的存在量を同時に満足する領域 (縦に延びた帯状の部分)が存在する事自体ビッグバン理論の大成功と言えるが, さらにそれからΩbh
2 = 0.02程度であることが結論される. ところで, 図 2.6に示してあるように, このバリオンはすべてが星となっているわけではなく, むしろその大半は, 星間ガスや銀河間ガス, さらには, 星になりそこなった小天体などとして分布する. 現在の宇宙で, このバリオンがどのような形態で存在しているかは必ずしも完全にわかっているわけではなく, それ自身興味あるテーマであるが, 軽元素合成理論はそのような詳細には無関係にバリオンの総量が推定できるという意味で強力な方法である.
図 2.4: 軽元素の存在量と理論予言の比較。h = 0.65 を仮定。(D.Tytler et al. astro-
ph/0001318)
注意すべきは、ビッグバン軽元素合成理論の予言はあくまで primordial abundanceであり、現在の観測量から星による production/destructionの効果を補正しなくてはならないことである。例えば、Burles, Nollett and Turner [PRD 63(2001)063512, ApJ 552(2001)L1] は観測値
10
として
(nD/nH)p = (3.0 ± 0.2) × 10−5
(nD/nH)0 = (1.5 ± 0.2 ± 0.5) × 10−5
(n3He/nH)0 = (2.2 ± 0.8) × 10−5
(nD + n3He)/nH|p = (3.7 ± 1) × 10−5
(n7Li/nH) = 1.2+0.35
−0.2× 10−10
Yp = 0.244 ± 0.002 (2.4.12)
を採用して、Tγ0 = 2.725 ± 0.001K, m = 1.6700 × 10−24の場合、
η = (5.5 ± 0.5) × 10−10 (95% confidence)
Ωbh2 = 0.020 ± 0.002 (95% confidence) (2.4.13)
を得た。
2.4.3 密度パラメータ: Ωm = (0.1 ∼ 0.4) 1
では, 「宇宙の主成分はバリオンであるのか」という疑問が湧いてくるが, 答えは「きっぱり否」ということになっている. 最も信頼性の高いのは渦巻銀河の回転曲線の観測を用いた解析である. 渦巻銀河の円盤にある星やガス雲は銀河中心のまわりに全体として回転運動している. したがって, 我々の視線方向が円盤面と平行に近い遠方の銀河を選んでやれば, 可視域 あるいは電波領域での特性線のドップラー効果を利用して円盤の回転速度を中心からの距離の関数として求めることが出来る. これを渦巻銀河の回転曲線と呼ぶ. こうして求められた回転曲線は ほとんどの銀河に対して可視光から定義された光学的銀河半径Roptをはるかに越える距離まで一定である (平坦な回転曲線:図 2.5).
簡単のために球対称分布を仮定すれば, 中心からの距離R内に存在する銀河の質量M(R)
は回転速度 V (R)と
V (R) =
√GM(R)
R(2.4.14)
の関係にある. したがって, V (R) が R > Roptまでも一定であることは, その領域では銀河の質量が, R に比例して増大することを意味する. 銀河のなかで光り輝く成分, すなわち星の分布は, 定義より R < Ropt に強く集中しているのだから, このより広い領域に分布している質量はそれ以外の物質, つまり, 銀河に付随する暗黒物質の存在を示す.
得られた結論は宇宙のあらゆる階層の構造にかなり共通している. すなわち, (i) 天体諸階層で, 光度分布に比べてはるかに広がった質量が分布している. (ii) その存在量は光学的質量より一桁以上大きい. これが観測的立場からの宇宙の暗黒物質の要約である. 後で述べるように, 定量的にはバリオンと暗黒物質をあわせた全質量密度を ρ0としたとき, 無次元の質量密度パラメータ Ω0 ≡ ρ0/ρc0は 0.2 ∼ 0.4程度であるとされている (厳密に言えば、暗黒物質だけの寄与はΩDM = Ωm − Ωbということになる).
11
図 2.5: 渦巻銀河 (左：NGC2403, 右：NGC3198)の表面輝度（Fバンド：上）と, 中性水素の 21cm電波輝線から求められた回転曲線（下）. h = 0.75 を仮定. 記号が観測データで, 下図の実線は, 光っている物質の質量分布だけから予想される回転曲線 (van Albada, T.S. & Sancisi,R. 1986,Phil.Trans.R.Soc.London A320, 447 のデータをもとに改変).
2.4.4 宇宙定数: ΩΛ = 1 − Ωm ∼ 0.7 0 ?
無次元の宇宙定数としてΩΛ ≡ Λ/(3H2
0) (2.4.15)
を定義する。単純なモデルではΩΛ = 0を仮定するが、理論的には 0 でない値を持つとしても何ら不思議ではない。しかも、その値が小さい限り、実際の効果は小さく、観測的に存在を肯定することも否定することもかなり困難である。しかし、ごく最近の遠方の銀河の個数計測、超新星の明るさと距離の関係、マイクロ波背景輻射の温度ゆらぎなどのデータを組み合わせると、ΩΛ ∼ 0.7程度の値を示唆していると解釈され、大きな話題になっている。もちろん、これは本講義の主題なので後で詳しく説明する。
2.4.5 密度ゆらぎの振幅: σ8 ≈ 1 ± 0.5
現在の宇宙の多様性を支えているのは、その中の空間的な非一様性である。宇宙の誕生時あるいはその直後に生成された空間的なゆらぎは宇宙膨張と共に成長し、その結果として星や銀河のような天体さらには生命を生み出してきた。今考えているような宇宙論的な文脈では、この非一様性の度 合いとして、通常、 半径 8h−1Mpcスケールで平均化したときの (ダークマターを含む)全質量ゆらぎの振幅
σ8 ≡√√√√⟨(
δM
M
)2⟩8h−1Mpc
(2.4.16)
12
を採用する。一般に、宇宙論的な理論予言の多くは、ダークマターのつくる重力に起因するものであるため、直接は観測できないはずの σ8の値を理論的に推定することを可能とする。例えば、X線領域で観測される銀河団の個数密度を冷たいダークマターモデルの予言と比較することによって (モデルの他のパラメータの値にも依存するが)、σ8 ≈ 1± 0.5という推定が広く認められている。
図 2.6: 宇宙の組成と、その推定に関する時間的変遷 (http://map.gsfc.nasa.gov/).
13
2.5 宇宙年齢と宇宙定数宇宙論パラメータの現在の値の大きさがわかったところで、具体的に (2.3.8)式を解いて
みよう。 (dR
dt
)2
= H20
(Ω0
R+ 1 − Ω0 − λ0 + λ0R
2)
. (2.5.1)
この式から宇宙年齢は
t0 =1
H0
∫ 1
0
x dx√Ω0x + (1 − Ω0 − λ0)x2 + λ0x4
(2.5.2)
であるから、Ω0を一定としたまま λ0を 0から徐々に増やしていけば t0も増加することがわかる。これは定性的には、宇宙の実サイズが相対的に大きくなることに対応する。初期条件として、t = 0でR = 0をとると、図 2.7のような結果が得られる。
図 2.7: 宇宙のスケール因子の時間発展。宇宙の密度パラメータΩmと宇宙定数ΩΛの代表的な組合わせに対して、R(t)をプロットしたもの。R(t0)は、現在の宇宙でのスケール因子の値。実線：(Ωm, ΩΛ) = (0.3, 1.7)、点線：(0.3, 0.7)、一点鎖線：(0.3, 0.0)、長破線：(1.0, 0.0)、短破線：(3.0, 0.0)。ここでは 現在の宇宙の膨張率をそろえているので t = t0での接線の傾きが一致していることに注意。
ここで、R(t0)は、現在の宇宙 (t = t0)でのスケール因子の値を表す。図2.7では、H0(t−t0)
を横軸に選んでいるので、それぞれのモデルが、R = 0となる点と原点との距離が現在の宇宙年齢に対応する。例えば、アインシュタイン・ドジッターモデルでは、t0 = (2/3)H−1
0
となる。この図からわかるように、Ωmが小さいほど、またΩΛが大きいほど宇宙年齢は長くなる。特にΩ0 = λ0 = 0の場合は t0 = H−1
0であり、また λ0を大きくしていくとある臨界
値で t0が無限大となる。
14
定性的には、宇宙定数がない (λ0 = 0)場合には、アインシュタイン・ドジッターモデル(Ω0 = 1)の場合を境にして、Ω0 > 1ならばやがて収縮する宇宙、Ω0 < 1なら永久に膨張し続ける宇宙となる。また、正の宇宙定数 (λ0 > 0)を持つモデルの場合、R (Ω0/λ0)
1/3となると、宇宙は指数関数的膨張
R(t) ∝ exp(H0λ0t) = exp(t√
Λ/3)
(2.5.3)
を行う (de Sitter モデル)。前節で述べたような宇宙論パラメータの値に対しては、宇宙は永遠に膨張し続け、しかも、現在は指数関数的膨張に向かう前段階の加速的膨張期にあるものと考えられている。最後に代表的な宇宙モデルの場合のR(t)と宇宙年齢 t0をまとめておく。
(a) Einstein – de Sitter モデル (Ω0 = 1, λ0 = 0)
R(t) =(
t
t0
)2/3
, t0 =2
3H0(2.5.4)
(b) 宇宙項のない開いたモデル (Ω0 < 1, λ0 = 0)
R =Ω0
2(1 − Ω0)(cosh θ − 1) , H0t =
Ω0
2(1 − Ω0)3/2(sinh θ − θ) (2.5.5)
H0t0 =1
1 − Ω0− Ω0
2(1 − Ω0)3/2ln
2 − Ω0 + 2√
1 − Ω0
Ω0(2.5.6)
(c) 正の宇宙項を持つ平坦なモデル (Ω0 < 1, λ0 = 1 − Ω0)
R(t) =(
Ω0
1 − Ω0
)1/3[sinh
3√
1 − Ω0
2H0t
]2/3
, (2.5.7)
H0t0 =1
3√
1 − Ω0
ln2 − Ω0 + 2
√1 − Ω0
Ω0(2.5.8)
具体的な値は、表 2.2にまとめておいた。
表 2.2: 宇宙の年齢 （h−1 Gyr を単位としている）Ω0 宇宙定数なし (λ0 = 0) 平坦な宇宙 (λ0 = 1 − Ω0)
1.0 6.5 6.5
0.5 7.4 8.1
0.2 8.3 10.5
0.1 8.8 12.5
0.05 9.1 14.6
0.01 9.6 19.6
15
2.6 アインシュタインの静的宇宙モデルさて、ここままで、アインシュタイン方程式の解としての宇宙モデルは一般には進化す
ることがわかった。では、静的解は存在しないのであろうか。そもそもこれがアインシュタインが宇宙定数を導入した理由であることはすでに述べたが、もう少し詳しく考察してみよう。まずは、(2.2.2)式と (2.2.3)式でΛ = 0とおいた場合を考える。つまり、
Rµν − 1
2R gµν = 8πG Tµν →
(1
a
da
dt
)2
=8πG
3ρ − K
a2, (2.6.1)
1
a
d2a
dt2= −4πG
3(ρ + 3p). (2.6.2)
これらが a =一定という解を持つための必要十分条件は、
ρ = −3p =3K
8πGa2(2.6.3)
である。つまり、密度か圧力のいずれかが負であるような物質を考えざるを得ない。これは物理的には受け入れがたい。つまり、Λ = 0の場合、静的宇宙モデル解は存在しないことが示されたことになる。一方、Λ = 0を導入した場合には、
Rµν − 1
2R gµν + Λ gµν = 8πG Tµν →
(1
a
da
dt
)2
=8πG
3ρ − K
a2+
Λ
3, (2.6.4)
1
a
d2a
dt2= −4πG
3(ρ + 3p) +
Λ
3(2.6.5)
となるから、静的な解を持つための必要十分条件は、
K = 4πG(ρ + p)a2, Λ = 4πG(ρ + 3p), (2.6.6)
→ ρ =1
8πG
(3K
a2− Λ
), p =
1
8πG
(Λ − K
a2
), (2.6.7)
となる。したがってこの場合、
K
a2≤ Λ ≤ 3K
a2(2.6.8)
であれば、ρと pがともに正となる解が存在し得る。さらに圧力が無視できるような非相対論的物質によって宇宙が占められているとすれば、
ρ =Λ
4πG, K = Λa2 (2.6.9)
となる。つまり、曲率Kが正の閉じた (体積が有限)宇宙となる。これは通常、アインシュタインの静的宇宙モデルと呼ばれている。
16
2.7 ルメートル宇宙モデルΛ > 0、K > 0の一様等方宇宙モデルは、特にルメートルモデルと呼ばれている。この特
殊な場合が、アインシュタインの静的宇宙モデルである。以下、特に圧力が無視できるような非相対論的物質によって宇宙が占められている場合に限定して、ルメートル宇宙モデルの振る舞いを考えることで、アインシュタインの静的宇宙モデルが不安定であることを示す。アインシュタインモデルに対応するという意味で、下添字 E をつけることにする：
ρE =Λ
4πG, K = Λa2
E. (2.7.1)
今考えるモデルでは、a = aEで質量密度が ρEの α(> 1)倍だけ大きいものとすれば、p = 0
かつ
ρ = αρE
(aE
a
)3
=αΛ
4πG
(aE
a
)3
. (2.7.2)
これらを (2.6.4)式と (2.6.5)式に代入すると、
a2 =Λ
3
(2αa3
E
a− 3a2
E+ a2
), (2.7.3)
a
a=
Λ
3
[1 − α
(aE
a
)3]. (2.7.4)
a aEでは、(2.7.3)式より a ∝ t2/3。この時期は減速膨張 (a < 0)であるが、a = α1/3aE
で最小値 a2 = Λa2E(α2/3 − 1)をとった後は、加速膨張 (a > 0)に転じ、漸近的には (2.5.3)
式: a ∝ exp(t√
Λ/3) で与えられる指数関数的膨張 (de Sitter モデル)に近づいていく。これからわかるように、αが 1に近ければ近いほど、a2 = 0となり、実質的には宇宙膨張が止ってしまう。この aがしばらく定数でとどまる時期は、coasting periodと呼ばれるが、特にα = 1でこの coasting periodが無限に続く場合がアインシュタインの静的宇宙モデルに対応する。α < 1の場合に同じ考察を行えば、a = 0となる前に a2 = 0 となりそこでバウンス解となる。つまり、膨張から収縮に転ずる。これからわかるように、αの値が 1より大きいか小さいかによってルメートル宇宙モデル
の振る舞いは全く異なり、このことは α = 1であるアインシュタインの静的宇宙モデルが不安定であることを意味する。ところで、(2.6.5)式からもわかるように、一般に
ρ + 3p ≥ Λ
4πG(2.7.5)
であれば、aは常に非負の値をとる。したがって、現在の宇宙が膨張 (a > 0)していれば、必ず有限の時間だけ過去へ遡れば a = 0となってしまう。つまり、Λ ≤ 0の宇宙モデルでは、宇宙の密度と圧力がともに正である限り、(古典論である相対論の枠内では)宇宙には必然的に初期特異点が存在することになる。
17
第3章 超新星と宇宙定数
3.1 遠方天体のハッブル図と宇宙論パラメータ遠方の天体までの距離を決定するためには、ほとんどの場合、あらかじめその天体の真
の明るさ (絶対光度)を知る必要がある。むしろ、明るさを知らなくても良い場合があることに驚くかもしれないが、重力レンズ効果によるクェーサーの多重像間の時間遅延、銀河団のX線と電波観測を組み合わせる方法、などは、天体の明るさとは直接関係しない距離決定法の（まれな）例である。後で説明するように、Ia型に分類される超新星は、その最大光度がほぼ一定であることが知られており、宇宙の距離決定のための標準光源として広く用いられている。考えている天体までの距離が近い場合には、§2.4.1 で説明したようにハッブルの法則を
用いて、赤方偏移から求められた後退速度を用いればハッブル定数が決まる。ここでは、天体までの距離が遠い場合 (z >∼ 1)を考えてみる。この場合も、§2.4.1で用いた基本式 (2.4.4)
と (2.4.7)は同じである：
I =L
4πd2L
, (3.1.1)
m − M = 5 log(dL/1Mpc) + 25. (3.1.2)
ただし、ここで用いた距離 dは厳密には光度距離 dL (luminosity distance)と呼ばれるものであることに注意する必要がある。我々の宇宙は局所的にはユークリッド幾何学に従う空間として近似できるが、遠方の天
体までを含む領域を記述するためには、空間曲率および宇宙膨張の時間発展を正しく考慮する必要がある。例えば、長さ の棒を距離 dAにおいたときの見かけの角サイズ θは
= dAθ (3.1.3)
を満たす。静的なユークリッド空間を考えると、距離の定義として (3.1.1)式と (3.1.3)式とは同値であるが、動的な曲がった空間ではこれらは異なり、後者は角度距離 (angular diameter
distance)と呼ばれている。§2の結果を用いるとこれらを計算することができるが、詳細は付録 §Bに譲り結果だけを示しておく。
dL(z) =c(1 + z)
H0
sin (χ√
Ω0 + λ0 − 1)√Ω0 + λ0 − 1
(Ω0 + λ0 − 1 > 0)
χ (Ω0 + λ0 − 1 = 0)
sinh (χ√
1 − Ω0 − λ0)√1 − Ω0 − λ0
(Ω0 + λ0 − 1 < 0)
. (3.1.4)
18
ただし、
χ(z) =∫ z
0
dz√Ω0(1 + z)3 + (1 − Ω0 − λ0)(1 + z)2 + λ0
. (3.1.5)
また、dA = dL/(1 + z)2の関係が成り立つ (図 3.1参照)。もし明るさがわかっている天体があれば、それを補正した上でハッブル図 (後退速度あるいは見かけの等級と赤方偏移のプロット)を描き、この光度距離を通じて宇宙論パラメータが読み取れるはずであり、この目的に使われているのが Ia型超新星である。
図 3.1: 角度距離 dA(z) および光度距離 dL(z)の宇宙論パラメータ依存性。
図 3.2: distance modulus (m−M)の赤方偏移依存性。仮に、絶対光度が一定の天体があれば、この曲線が直接観測できるはずである。
19
3.2 Ia型超新星超新星は星の進化の最終段階での爆発現象であり、そのスペクトルの性質から、Ia, Ib,
Ic, II型に分類される。実は、超新星爆発の物理メカニズムについては大枠は理解されているものの、定量的な描像が確立しているわけではない。にもかかわらず、Ia型超新星 (連星系中の白色矮星が爆発したものと考えられている) は、その明るさが最大となるときの絶対光度がほぼ一定で、かつ II型 (太陽質量の 8倍以上の重い星が重力崩壊する際に爆発したものと考えられている)の 10倍から 100倍にも達することが経験的に知られており、宇宙の距離決定のための標準光源として本質的な役割を果たしている。
図 3.3: 超新星の分類
20
図 3.4: HST による Ia 型超新星 1994d の画像 (http://cfa-www.harvard.edu/cfa
/oir/Research/supernova/HighZ.html)。
図 3.5: HST 観測による 4つの Ia型超新星とその母銀河 (http://cfa-www.harvard.edu/cfa
/oir/Research/supernova/HighZ.html)。
21
3.3 超新星のモニターIa型超新星の最大光度は、典型的な銀河そのものよりも明るくなるため、まさに宇宙論
的距離にある高赤方偏移を探るためには有利である。一方、その発生頻度は一つの銀河あたりせいぜい 100年に一回程度しかないうえ、数ヶ月程度の短い期間しか輝き続けないため、最適化されたモニター観測をする必要がある。現在、アメリカのローレンスバークレー研究所のグループ (Supernova Cosmology Project)と、アメリカ・オーストラリアのグループ (High-z Supernova Search) の 2つが世界の研究をリードしている。
Perlmutter, et al., in Thermonuclear Supernovae, NATO ASI, v. 486 (1997)
...
Time
Bri
ghtn
ess
...
...50–100 Fields
Lunar Calendar
Scheduled Follow-Up Imaging at Hubble,
Cerro Tololo,WIYN, Isaac Newton
Scheduled Follow-Up Spectroscopy at Keck
Almost 1000Galaxies perField
RESULT: ~24 Type Ia supernovae discovered while still brightening,at new moon
Berkeley Lab
Keck
WIYN
Cerro Tololo
Isaac Newton
Hubble
We developed a strategy to guarantee a group of supernova discoveries on a certain date. Just after a new moon, we observe some 50 to 100 high-galactic lattitute fields—each containing almost a thousand high-redshift galaxies—in two nights on the Cerro Tololo 4-meter telescope with Tyson & Bernstein’s wide-field camera. We return three weeks later to observe the same fields, and then examine the images of all of the tens of thousands of galaxies. On average, some two dozen Type Ia supernovae will thus be discovered just before new moon—and while still brightening, since the three week time baseline is less than the rise time of a Type Ia supernova. We follow the supernovae, with spectroscopy at maximum light at the Keck telescope, and with photometry over the following two months at the CTIO, WIYN, INT, and (particularly for the highest redshifts) the Hubble Space Telescope.
図 3.6: 超新星モニター観測手法。(http://www-supernova.lbl.gov/)
22
Spectraat z = 0.38 . . .+9 days past max observer frame
= +6 days rest frame
. . . at z = 0.83–4 days (before) max observer frame= –2 days rest frame
days rest frame
Wavelength in SN Rest Frame(Angstroms)
Scaled Flux +Constants
Keck 10-m TelescopeSN1994an at z = 0.378
“Nearby” Type IaSN1992A
“Nearby” Type Ia
–5
–1
+3
+6
+7
+11
+16
+17
+24
+28
5000 6000 7000 8000Wavelength Redshifted to z = 0.83
(Angstroms)
Flux
(in
arb
itrar
y un
its)
SN 1990N
SN 1989B
SN 1993O
SN 1981B
SN 1994D
SN 1997apat z = 0.83
Iron Peak Blends Ca II Si II & Co II Fe II & III
Rest-frameDay –7
Day –5
Day –4
Day –2 ± 2
Day 0
Day +2
*
Perlmutter, et al., Nature (1998)
As a Type Ia supernova brightens and fades, its spectrum changes, showing on each day which elements in the expanding atmosphere are passing through the photosphere. This provides a rather tight constraint on the high-redshift supernova spectra: they must show all of the same features on the same day of the explosion as nearby Type Ia supernovae, or else we have evidence that the Type Ia supernovae have evolved over the 4-to-7 billion years that we are studying So far, we have seen no indications of evolution, even as far back in time as the highest redshift Type Ia supernova spectrum, shown on the right plot above in its place in the time sequence of “nearby” Type Ia supernova spectra. Note that the spectra are almost all observed with the Keck 10-m Telescope, a necessity for these very faintest supernovae.
図 3.7: Ia型超新星のスペクトル (http://www-supernova.lbl.gov/)。
23
0.6 0.70.5 0.8 0.90.40.30.20.10.0
2
1
3
5
7
9
10
11
12
13
14
8
6
4
0
Dec
. 199
5 SN
eM
ar. 1
996
SNe
Redshift
NSN
Redshifts
-20 0 20 40 60-17
-18
-19
-20
-20 0 20 40 60-17
-18
-19
-20
V Band
as measured
light-curve timescale“stretch-factor” corrected
days
MV
– 5
log(
h/65
)
days
MV
– 5
log(
h/65
)
Calan/Tololo SNe Ia
Low Redshift Type Ia Template Lightcurves
We have discovered well over 50 high redshift Type Ia supernovae so far. Of these, approximately 50 have been followed with spectroscopy and photometry over two months of the light curve. The redshifts shown in this histogram are color coded to show the increasing depth of the search with each new “batch” of supernova discoveries. The most recent supernovae, discovered the last week of 1997, are now being followed over their lightcurves with ground-based and (for those labeled “HST”) with the Hubble Space Telescope.
Type Ia supernovae observed “nearby” show a relationship between their peak absolute luminosity and the timescale of their light curve: the brighter supernovae are slower and the fainter supernovae are faster (see Phillips, Ap.J.Lett., 1993 and Riess, Press, & Kirshner, Ap.J.Lett., 1995). We have found that a simple linear relation between the absolute magnitude and a “stretch factor” multiplying the lightcurve timescale fits the data quite well until over 45 restframe days past peak. The lower plot shows the “nearby” supernovae from the upper plot, after fitting and removing the stretch factor, and “correcting” peak magnitude with this simple calibration relation.
Mar
. 199
7 SN
e
Dec. 1997 SNe
Jan.
199
7 SN
e
Firs
t 7 S
Ne
HST
HSTHST
HSTHST
図 3.8: 観測された Ia 型超新星の赤方偏移分布とその光度曲線 (http://www-
supernova.lbl.gov/)。
24
Analysis Steps
=
–
=
–
-50 0 100 150 200 250 300-0.2
0.0
0.6
0.8
1.0
1.2
500
3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
log (host galaxy redshift)
observed days
14
16
18
20
22
24
26
1. Photometry
of SN – galaxy(2 colors)
2.Fit to
low-z SNlight curves(K-corrected
& time-dilated)
3.Fit
cosmology(Ω, Λ) on
Hubble diagram
mag
nitu
de
mag
nitu
dere
lativ
e fl
ux
0.4
0.2
width
50
The supernovae are analyzed in the following three steps: F irst, the final image of the host galaxy alone is subtracted from the many images of each supe rnova spanning its lightcurve. The resulting R- and I-band photometry points are then fit to K-corrected (see Kim, Goobar, & Perlmutter, P.A.S.P. 1996) and (1+z)-time-dilated B- and V-band template SN Ia lightcurves. This fit yields the apparent magnitude at peak and the best fit “stretch factor” that indicates the timescale (and hence the intrinsic luminosity) of each super nova. Finally, all of the supernova magnitudes—corrected for the stretch-luminosity relation—are plotted on the Hubble diagram as a function of their host galaxy redshift (when available, or supernova redshift, when not). The magnitudes vs. redshifts can then be fit to various alte rnative cosmologies. We fit the two “favorite” one-dimensional cases, the flat (ΩM + ΩΛ = 1) universe, and the Λ = 0 universe, as well as solving for a confidence region in the ΩM-vs-ΩΛ plane.
図 3.9: Ia型超新星のデータ解析法 (http://www-supernova.lbl.gov/)。
25
3.4 宇宙定数への制限さて、いよいよこれらのデータを用いて宇宙論パラメータに対する制限を得ることにな
る。Ia型超新星のハッブル図は、図 3.10のような感じである。この図のなかにプロットされている曲線はすでに図 3.2 で示したものと同じであり、これから最も良く合うΩm とΩΛの組を探すことになる。もちろん、これはあくまで (天文学では必ずそうであるが)統計的な議論となるため、様々な系統誤差を考慮する必要がある。例えば、図 3.11に示すように、当初 7つの Ia型超新星のデータからΩΛ = 0であることを主張していた Supernova Cosmology
Projectのグループはその後 42 個のデータをもとにΩΛ ∼ 0.7という全く正反対の結論を得るに至ったことは教訓的である。
図 3.10: 超新星の光度赤方偏移関係。
宇宙定数が 0でない（正の値をもつ）、という重大な結論の基礎となっているのは、近傍のデータからの予想に比べて遠方の超新星が暗い、という観測事実である。これを、宇宙の幾何学的性質に因るものと解釈すれば、“相対的に大きな” 宇宙が必要となり、まさに、万有斥力の役割を果たす (正の)宇宙定数の存在により実現できる。他方、遠方の超新星はそもそも系統的に暗くなっている（intrinsicに、あるいは銀河間空間での吸収のために）という可能性も簡単には否定できない。この２つの可能性は、さらにより遠方の観測データの蓄積によって区別できる。宇宙定数によって説明するモデルの場合、Ωm とΩΛの値を指定すれば絶対光度が一定とした場合の超新星の見かけの光度は正確に予言でき、赤方偏移z = (2ΩΛ/Ωm)1/3 − 1 を境にして、光度が暗くなる度合いが弱くなることが示される。例えば、Ωm = 0.3、ΩΛ = 0.7の場合、この値は z = 0.67となる。一方、宇宙定数以外で説明するモデルでは、このような zの値に特別な意味はなく、暗くなる度合いは単調であるほうが自然である。このため、zの大きな、つまり、より遠方の超新星を発見することは、宇宙定数の決定という観点からも大きな意味を持つ。
26
Perlmutter, et al., Nature (1998)
Results: Ω vs Λfrom 6 supernovae
Results: Ω vs Λfrom 40 supernovae
These two plots show the best-fit confidence regions on the ΩM-vs-ΩΛ plane for the 6-supernova fit presented in the Nature (1998) paper and for a more extensive 40-supernova fit (preliminary analysis). The left plot demonstrates that with a range of redshifts from 0.4 to 0.85, the approximately straight slope of the confidence region at a given redshift begins to rotate, allowing an intersection region (shown in green) to isolate measurements of ΩM and ΩΛ separately, not just in linear combination (see Goobar & Perlmutter, Ap.J. 1995). With the larger sample of supernovae shown on the right plot, the statistical uncertainty is now small enough—and the confidence regions narrow enough—that the systematic uncertainty is the dominant source of error. The dashed-line confidence region on the right plot shows our preliminary estimate of this systematic uncertainty (shown in the direction of 0.2 lower apparent magnitudes for the high redshift supernovae). Further analysis should reduce this uncertainty. The best-fit confidence region (in green on the right plot) is centered at ΩM = 0.5, ΩΛ = 1.0. This confidence region lies along the line of ΩΛ = ΩM + 0.5, which is not parallel to the lines of constant deceleration q0 = ΩM/2 – ΩΛ. Note that the confidence regions do not include the “standard model” inflationary universe with no cosmological constant (shown as a green circle at the intersection of the flat-universe line and the Λ = 0 line). The confidence regions do suggest that we live in a universe that will expand forever.
ΩΜ
No Big Bang
ΩΜ 1 2 0 1 2 3 1 2 0 1 2 3
Preliminary Analysis
Λ
expands foreverΩ
Λ
=
Λ /(
3H02 )
Age < 9.6 Gyr
(H0=50 km/s/Mpc)
Age < 9.6 Gyr
(H0=50 km/s/Mpc)
5 sup
ernov
ae
at z ~
0.4
1 su
pern
ova
at z
= 0.
83
FlatΛ = 0
Universe
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
2
3
ΩΛ
= Λ
/(3H
02 )
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
2
3No Big Bang
flat
closedopen
68%
90%
90%68%
recollapses eventually
図 3.11: Ia型超新星のハッブル図から得られた制限 (http://www-supernova.lbl.gov/)。
27
Supernova Cosmology Project
34
36
38
40
42
44
ΩΜ=0.3, ΩΛ=0.7
ΩΜ=0.3, ΩΛ=0.0
ΩΜ=1.0, ΩΛ=0.0
m-M
(m
ag)
High-Z SN Search Team
0.01 0.10 1.00z
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
∆(m
-M)
(mag
)
図 3.12: 超新星の光度赤方偏移関係から得られた Ωm と ΩΛ への制限。Ωm + ΩΛ > 1
が、閉じた空間、Ωm + ΩΛ < 1 が、開いた空間をもつ宇宙に対応し、その境であるΩm + ΩΛ = 1は平坦な宇宙と呼ばれる。ΩΛ > (<)Ωm/2は、現在の宇宙 (z = 0)が加速(減速)膨張している条件に対応する。この条件は一般には ΩΛ = Ωm(1 + z)3/2であり、過去 (z > 0)に減速膨張していた宇宙が、最近加速膨張に転ずる場合もある (http://cfa-
www.harvard.edu/cfa/oir/Research/supernova/HighZ.html)。
0.1 1.0z
-1.0
-0.5
0.0
0.5
∆(m
-M)
(mag
)
Coasting (Ω=0)Grey Dust or EvolutionΩM=0.35, ΩΛ=0.65ΩM=0.35, ΩΛ=0.0ΩM=1.0, ΩΛ=0.0
SN 1997ff Red
deni
ng
図 3.13: 超新星の見かけの光度の変化を z の関数として図示したもの。Ωm = 0.35かつΩΛ = 0.65というモデルと、ΩΛ =で超新星自身が系統的に暗くなるというモデルはともにz < 1までのデータを説明できるが、後者は z = 1.7の超新星のデータとは矛盾する。
28
第4章 宇宙マイクロ波背景輻射と宇宙定数
4.1 宇宙の晴れ上がりとマイクロ波背景輻射• T 1MeV: γ, ν, e± のすべてが熱平衡
• T < 1MeV: γと直接熱平衡になっている粒子はなくなったが、以前 γは熱分布を保つ
• T >∼ 4000K: 宇宙の水素は完全電離:
γ + e− → γ + e− (4.1.1)
したがって、自由電子とのトムソン散乱のために宇宙は電磁波に対して不透明。
• T ∼ 4000K: 水素の再結合 (recombination):
p + e− → H + γ (4.1.2)
が急速に進行し、宇宙が中性化する。
• T ∼ 3000K: 再結合反応は宇宙を完全に中性化するまえに凍結 (decoupling) して実質的に終了。ただし、凍結した宇宙の電離度は 10−5程度なので、宇宙は電磁波に対して透明になる (宇宙の晴れ上り)。この時期は赤方偏移にして
1 + zdec ≡ a0
adec
=Tdec
T0
∼ 1000 (4.1.3)
現在観測されているCMBはこの zdecの時期の宇宙を直接見ていることになる。
• T ∼ 20K: 形成された天体からの紫外線輻射によって宇宙が再電離される。以降現在まで宇宙の電離度は xe ∼ 1
• T0 = 2.7K: Wienの変位則: λpeakT ∼ 0.3cm·Kより、λpeak ∼ 1mm, νpeak ∼ 300GHz
(マイクロ波)に対応。
あらゆる元素を宇宙初期につくってしまおうとするガモフのアイディアの過程で考察された、熱い輻射に満ちた火の玉状態、という描像がホットビッグバン理論である。ガモフらはさらに、この火の玉状態の名残である光子は宇宙膨張とともに温度を下げながら、絶対温度にして数度から数十度の黒体輻射として現在の宇宙を満たしているはずである、とまで予言していた。この予言は、1965年、米国ベル研究所のペンジアス (A.Penzias)とウィルソン (R.Wilson) によって観測的に確かめられた。これは現在、宇宙マイクロ波背景輻射(CMB: Cosmic Microwave Background radiation)と呼ばれている。
29
図 4.1: 宇宙の年譜.
図 4.2: Arno Penzias と Robert Wilson。
30
4.2 COBE (COsmic Background Explorer)
なかでも、1989年 11 月 18日、米国航空宇宙局が打ち上げた宇宙マイクロ波背景輻射観測衛星 COBE(COsmic Background Explorer)は、観測的宇宙論に大きなブレイクスルーをもたらした。その衛星の主目的は、1964年にペンジアス・ウィルソンが発見した CMB
を、大気や地上からの雑音が低い衛星軌道上で高精度に観測し、その周波数スペクトルおよび天球上の温度分布地図を作成することである。その目的のための観測機器として、DIRBE (Diffuse Infared Background Experiment: 拡散赤外背景輻射実験装置)、FIRAS
(Far-Infrared Absolute Spectrometer: 遠赤外絶対分光計)、DMR (Differential Microwave
Radiometer: 差動型マイクロ波測定器)の３種類が搭載されている (図 4.3参照)。DMRは、衛星の中心軸に対して 30度ずつ傾いた２つのアンテナからなっている。この
60度離れた方向からの輻射のエネルギーの差を調べることで、宇宙の構造の種となるゆらぎを見つけようとするわけである。とはいっても何しろ、対象としているゆらぎの大きさは、温度にして δT ∼ 3 × 10−5K という微小なものであるから、温度の絶対測定で可能な精度 (例えばFIRASでは ±0.06Kの誤差範囲がある)の千分の一の測定が要求される。このため、DMRでは 7 度のビームサイズを持つ 2つの指向性アンテナの差だけに注目して、それらの異なる方向から来る信号の温度差だけを精度良く検出する仕組みになっている。また、CMBにとっては雑音源となる銀河からの輻射 (高エネルギー電子の銀河磁場内で発するシンクロトロン輻射、陽子による制動輻射、星間塵からの熱輻射)が、CMB自身の強度の千分の一以下であるような周波数 31 GHz、53 GHz、90 GHz が観測に使われている (波長に直すと、それぞれ 9.5mm, 5.7mm, 3.3 mm)。COBEはこれら 3つの周波数帯で 2つの独立な検出器を備えており、それらの相互の比較解析によって、銀河からの輻射、あるいは、検出器自身の雑音から CMBの信号だけを分別できるように考えられている。
図 4.3: COBE衛星 (http://space.gsfc.nasa.gov/astro/cobe/ed resources.html)。
31
表 4.1: 宇宙マイクロ波背景輻射観測衛星COBEの成果
項目 結論エネルギースペクトル (0.05 ∼ 0.5)cm の波長域にわたって、
10−4の精度でプランク分布と一致することを確認CMBの温度 Tγ,0 = 2.728 ± 0.002 K
太陽系の運動 速度 371 ± 1 km·s−1
方向 (l, b) = (264.14 ± 0.15, 48.26 ± 0.15)
温度ゆらぎの発見 7度角と 10度角スケールで平均した時の値が、∆Trms(7
) = 33 ± 2µ K、∆Trms(10) = 29 ± 1µ K
表 4.1の初めの 3項目はCOBEが初めて発見したものというわけではないが、従来の測定精度を格段に上回る信頼性を持つ結果を得た。COBEの最大の業績は最後の項目で、CMB
発見以降 30年近くにわたり上限値しか得られていなかった 温度ゆらぎの角度非等方性を∆T/T ∼ 10−5のレベルで検出したことである (1992年 4月 23日発表)。このCOBEの観測結果は、13章で述べる冷たい暗黒物質モデルの予言と良い一致を示す。この意味では、ガモフ以来構築されて来たビッグバン宇宙進化の描像が基本的に正しいことを証明し、特に宇宙の構造形成の標準理論である重力不安定説を確立したものと位置付けられる。
図 4.4: COBE衛星の成果 (http://space.gsfc.nasa.gov/astro/cobe/ed resources.html)。
32
図 4.5: COBE衛星、ロケット、気球、地上観測のデータから決定されているCMBスペクトル。D.E. Groom et al, The European Physical Journal C15, 1 (2000) のG.F.Smoot and
D.Scott の記事より転載。
図 4.6: COBE の観測から得られた全天温度地図 (銀河座標)。上より順に、単極（一様）成分、双極子成分、双極子ゆらぎを取り除いた後の温度ゆらぎを表わす。赤 (青) が温度が高い (低い) 領域であることを示す。下図の真中の赤い帯上の部分は銀河面からの輻射であり、CMBのゆらぎとは関係ない(http://space.gsfc.nasa.gov/astro
/cobe/ed resources.html)。
33
4.3 宇宙マイクロ波背景輻射の温度揺らぎ(i) 一様成分 : 宇宙の温度:
T0 = 2.725 ± 0.001K (4.3.1)
(ii) 二重極成分 : 我々のCMB系に対する相対運動
|∆T |dipole = (3.343 ± 0.016)mK,
| V − VCMB| = (369 ± 11)km/s (4.3.2)
(, b) = (264.4 ± 0.3, 48.4 ± 0.5),
(α, δ) = (11h12.2m ± 0.8m,−7.06 ± 0.16)
これから局所銀河群の運動を推定すると、
VLG = 627 ± 22km/s (4.3.3)
(, b) = (276 ± 3, 30 ± 3)(α, δ) = (10h.5,−26)
(iii) 多重極成分 : 宇宙の原始密度揺らぎを反映。通常、球面調和関数に展開:
δT
T(θ, φ) =
∞∑l=2
l∑m=−l
almYlm(θ, φ) (4.3.4)
alm =∫ 2π
0dφ
∫ 1
−1d(cos θ)
δT
T(θ, φ)Y ∗
lm(θ, φ). (4.3.5)
球面調和関数は
Ylm(θ, φ) ≡√√√√2l + 1
4π
(l − m)!
(l + m)!P m
l (cos θ)eimφ, (4.3.6)
P ml (x) ≡ (−1)m(1 − x2)m/2 dm
dxmPl(x), (4.3.7)
Yl,−m(θ, φ) = (−1)mYlm(θ, φ). (4.3.8)
で定義され、∫ 2π
0dφ
∫ 1
−1d(cos θ)Ylm(θ, φ)Y ∗
l′m′(θ, φ) = δll′δmm′ (4.3.9)
l∑m=−l
Y ∗lm(θ, φ)Ylm(θ′, φ′) =
2l + 1
4πPl(cos θ12), (4.3.10)
を満たす。ただし、
cos θ12 ≡ sin θ sin θ′ cos(φ − φ′) + cos θ cos θ′. (4.3.11)
34
これらの関係を用いると、CMBの２次元パワースペクトル:
Cl = a2l ≡ 1
2l + 1
l∑m=−l
|alm|2 = 〈a2lm〉 (4.3.12)
と、温度角度相関関数:
w(θ12) ≡⟨
δT
T(θ, φ)
δT
T(θ′, φ′)
⟩(4.3.13)
は、
Cl = 2π∫ 1
−1d(cos θ)Pl(cos θ)w(θ), (4.3.14)
w(θ) =∑
l
2l + 1
4πClPl(cos θ) (4.3.15)
の関係を満たす。
COBEのアンテナビームパターンをガウシアン:
R(θ) = exp(−θ2/2θ2c ) ≡ 2−(2θ/θFWHM)2 (4.3.16)
で近似すれば、θFWHMは約 7で、
θc = θFWHM/√
8 ln 2 ≈ 0.425 θFWHM. (4.3.17)
これより、COBEの観測した 4重極およびそれ以上の多重極ゆらぎは、(δT
T
)2
Q
≡ 5
4πC2 exp(−2θ2
c ) ≈ [(0.48 ± 0.15) × 10−5]2, (4.3.18)
(δT
T
)2
rms
≡∞∑l=2
2l + 1
4πCl exp(−l2θ2
c/2) ≈ [(1.1 ± 0.2) × 10−5]2 (4.3.19)
と表される。一方、Clは宇宙論モデル、原始密度ゆらぎの形とその振幅を与えれば、線形理論によって極めて正確に予言できる。COBEのデータは、ゆらぎの振幅がまさに現在の構造を重力不安定によって形成される条件を満たしていることを示した。その後の気球観測をはじめとするより小角度スケールの観測データにより、詳細な宇宙論パラメータの推定が可能になっている。さらに、現在観測遂行中のMAP (Microwave
Anisotropy Probe)衛星によって、精密宇宙論が可能となることが期待されている。
角度 θと の関係は
≈ π
θ≈ 200
θ[degree](4.3.20)
なので、COBEはおよそ ∼ 20までを観測できるがそれより小さな角度スケールはビームサイズによる減衰のため分解できない。
35
4.4 温度揺らぎの起源と宇宙パラメータ依存性CMBの温度ゆらぎとして観測されるスペクトルには、z ≈ 1000における宇宙がもってい
た重力ポテンシャルのゆらぎ (空間的非一様性)、光子・バリオン系のゆらぎの成長にしたがって現れる弾性振動および Silk 減衰と呼ばれる現象を通じて、それらに特徴的なスケールが出現する。これらは、宇宙の原始密度ゆらぎの形と振幅 (通常その空間スペクトルとして、波数に関する single power-law：Pinit(k) = Ainitk
nという仮定が用いられる)、Ωb、Ωm、ΩΛ, hなどに依存する。さらにこれらは実距離ではなく、角度として観測されるわけであるから、その変換係数である角度距離を通じてさらに別の宇宙論パラメータ依存性も現れる。これらの詳細な取り扱いはかなり複雑であるが、ここでは主要な結果だけを定性的に与えておく。
Sachs–Wolfe効果 ( 100): 因果律から考えて z ≈ 1000における地平線の (宇宙年齢かかって光速で伝わる距離)を超えるような大角度スケールでは、それ以前の物理過程によってゆらぎが変形されることなく、そもそも宇宙の初期条件に対応する原始密度ゆらぎの情報をそのまま伝えているはずである。CMBはの最終散乱面 (last scattering
surface)は z ≈ 1000に対応し、その面上での重力ポテンシャルのゆらぎが重力赤方偏移効果として現在観測される。これを Sachs–Wolfe効果と呼ぶ。zでの地平線の長さLH(z)は
LH(z) ≈ 1
H(z)=
1
H0
√Ω0(1 + z)3 + (1 − Ω0 − λ0)(1 + z)2 + λ0
≈ Ω−1/20 H−1
0 z−3/2 (z 1). (4.4.1)
一方、角度距離は
dA(z) =xc(z)
1 + z≈
2Ω−10 H−1
0 z−1 (λ0 = 0)
2Ω−1/20 (1 + ln Ω0.085
0 )H−10 z−1 (λ0 = 1 − Ω0)
(z 1)(4.4.2)
であるから、z( 1)での地平線を現在見込む角度は
θH,z =LH(z)
dA(z)≈
Ω
1/20 z−1/2
2∼ 0.5
√Ω0
0.3
103
z(λ0 = 0)
z−1/2
2(1 + ln Ω0.0850 )
∼ 1√
103
z(λ0 = 1 − Ω0)
(4.4.3)
したがって、θ θH,zではCMBを通して宇宙の原始ゆらぎを直接観測することになる。詳しい計算によれば、このスケールでは(
δT
T
)= −1
3Gρ0
∫d3x′ δm(x′, t0)
|x − x′| (4.4.4)
となり、これを角度パワースペクトルに直すと
C =AHn+3
0
16
Γ(3 − n)
Γ2(2 − n/2)
Γ( + (n − 1)/2)
Γ( + (5 − n)/2)(4.4.5)
36
が得られる。特に、Harrison – Zel’dovich スペクトル (n = 1)の場合には
C ∝
+ 2∝ 1
( + 1)(4.4.6)
となる。このため、観測データを ( + 1)Cを縦軸としてプロットすることが多い。
弾性振動 (100 < < 1000): 重力的に密度ゆらぎが成長できるスケールには下限がありそれをジーンズ長さと呼ぶ。これは、あるスケールのゆらぎがコヒーレントに重力成長しようとしたときに、その成長時間スケール内に音波が伝わり、圧力勾配を生成してこの重力成長を阻止することによる。したがって、この音波が伝わることのできるスケールよりも大きなサイズのゆらぎの重力成長は阻止できない。一方、このジーンズ長さ以下のスケールのゆらぎは、光子とバリオンが一流体として振る舞っている限り弾性振動をすることになる。これに対応するスケールは、ゆらぎの成長が開始される時期 (非相対論的物質の密度ゆらぎが無視できなくなるためには、非相対論的物質の平均密度が輻射のエネルギー密度を上回るようになる必要がある)までに音速 csが伝わるスケール (sound horizon)と近似できる。このスケールは、近似的に (4.4.3)式に等しい（少し小さくなる）。再び詳しい計算の結果だけを述べれば、これによるCMB
の温度ゆらぎは、光子流体の振動の項と重力ポテンシャルの和の形に書けるが、その2つの項の振幅、およびそれらの比が、バリオンと光子の密度の比：
R ≡ 3ρb
4ργ≈ 30Ωbh
2(
z
103
)(4.4.7)
に依存する。そのため、温度ゆらぎの振幅の絶対値の２乗である角度パワースペクトルは、もともとの光子流体の振動の偶数番目のピークであるか、あるいは奇数番目のピークであるかに応じて高さが変化する。このピークは、基本的には (4.4.3)式とその高調波で与えられるので、 ≈ 200程度に現れるはずである。
Silk 減衰 ( > 1000): ジーンズ長さに比べてずっと小さいスケールのゆらぎは、もはや光子とバリオンが一流体として振る舞っている近似が悪くなり、多数回の振動によって光子がエネルギーを運びさり拡散することで減衰振動となる (Silk 減衰)。このスケールは、z ≈ 1000までに、光子がトムソン散乱によってランダムウォークを繰り返し拡散できる長さに対応し、
damping =π
θdamping≈ 2000Ω
−1/40
√Ωbh
0.025×
Ω−1/20 (λ0 = 0)
1 + ln Ω0.0850 (λ0 = 1 − Ω0)
(4.4.8)
で与えられる。
これらをまとめると、l 100でのCの傾きから原始ゆらぎのスペクトル指数 nが、弾性振動ピークの位置から、Ω0と λ0 (より正確には主として、宇宙の曲率ΩK = Ω0 −λ0 − 1)
が、弾性振動ピークの振幅の値、および偶数と奇数ピークの振幅の比からΩbh2が推定でき
ることになる。
37
COBEQMAPPYMSAMTOCO97TOCO98SKRINGCAT2CAT
10 100 1000Multipole l
0
50
100
ΛCDM
SCDM
OCDM
TCDM[l (
l+1)
Cl /
2π]
1/2
(µK
)
図 4.7: CMBゆらぎのスペクトルの理論モデルと観測データの予想。の小さい領域の誤差は cosmic varianceで決まり、の大きい領域は、観測のビームサイズと感度で決まる (Hu,
Sugiyama & Silk 1997, Nature 386, 37)。右は、1999年時点での観測データとの比較 (Bahcall,
Ostriker, Perlmutter, & Steinhardt 1999, Science, 284,1481)。
図 4.8: ΛKと eq は、Sachs-Wolfe効果が効く波数の範囲、Aは音波振動のピークのスケール、D は散逸による減衰の特徴的スケール。ΩK ≡ 1 − ΩΛ − Ω0。Hu, Sugiyama & Silk,
Nature 386 (1997) 37
38
4.5 観測プロジェクト
4.5.1 BOOMERanG
図 4.9: The BOOMERanG(Baloon Observation Of Millimetric Extragalactic Radiation
ANd Geophysics) instrument consists of a 1.3-m off-axis telescope that feeds a bolometric
array receiver. The receiver is housed inside a long duration liquid helium cryostat. A
sorption pumped 3He refrigerator maintains the detectors at 280 mK. Observations are
made in 4 spectral bands centered at 90, 150, 240, and 410 GHz (3mm, 2mm, 1.3mm,
and 750 µm) with angular resolutions of 18′, 10′, 14′, and 13′ FWHM respectively. A test
flight of the payload in a different configuration flew in a 6 hour engineering flight from
Palestine, Texas in 1997, and the second flight flew in a 252 hour flight from McMurdo
Station, Antarctica in 1998-1999. (http://www.physics.ucsb.edu/˜boomerang/)
39
4.5.2 MAXIMA
図 4.10: MAXIMA (Millimeter Anisotropy eXperiment Imaging Array) is a balloon-borne
millimeter-wave telescope designed to measure the angular power spectrum of fluctuations
in the CMB over a wide range of angular scales. MAXIMA is sensitive from 4 degrees to
the telescope’s beam size of 10’, which is an ideal range for probing the acoustic peaks.
This angular scale is significantly smaller than the one explored by COBE (> 7degrees).
The MAXIMA receiver has a 16-pixel array of bolometers cooled to a temperature of 100
mK to achieve high sensitivity. During our first overnight flight (MAXIMA-1, 1998) we
observed 124 deg2 of the sky which corresponds to > 4, 500 beam-size pixels, 6 times as
many as the COBE-DMR satellite data set using the same pixelization scheme. Data from
the second flight (MAXIMA-2, 1999) have nearly twice the area of sky coverage (230 deg.2)
of the first flight. (http://cosmology.berkeley.edu/group/cmb/)
40
4.5.3 DASI
図 4.11: DASI is a 13-element interferometer designed to measure anisotropy of the Cos-
mic Microwave Background (CMB) Radiation over a large range of scales with high sen-
sitivity. The instrument uses cooled HEMT amplifiers running between 26-36GHz, in
ten 1 GHz channels and operates from the NSF Amundsen-Scott South Pole station.
(http://astro.uchicago.edu/dasi/)
41
4.5.4 CBI
図 4.12: The Cosmic Background Imager
(CBI) is an instrument designed to make im-
ages of the cosmic microwave background ra-
diation and to measure its statistical proper-
ties on angular scales from 5 arc minutes to
one degree (spherical harmonic scales from l
= 3000 down to l = 300). The CBI is a 13-
element interferometer mounted on a 6 meter
platform operating in ten 1-GHz frequency
bands from 26 GHz to 36 GHz. The instan-
taneous field of view of the instrument is 44
arcmin and its resolution ranges from 4.5 to
10 arcmin. The spectral capabilities of the
CBI can be used to look for and separate
diffuse foreground synchrotron, free-free, and
dust emission from the interstellar medium in
our Galaxy. Unresolved extragalactic sources
are measured with the 40 meter telescope at
the Owens Valley Radio Observatory, and
subtracted from the CBI images. The CBI
is also a powerful instrument for observing
the Sunyaev-Zel’dovich scattering of back-
ground radiation photons by the hot elec-
trons in clusters of galaxies. Measurements
of this effect can be used to study the prop-
erties of the hot cluster gas and the evolu-
tion of clusters, and to measure the Hubble
constant directly. The CBI is located at an
altitude of 5080 meters near San Pedro de
Atacama, in northern Chile. A high, dry site
is essential in order to reach the required sen-
sitivity levels in a reasonable observing time.
(http://www.astro.caltech.edu/˜tjp/CBI/)
42
4.6 マイクロ波背景輻射と宇宙論パラメータ
図 4.13: Max Tegmark による 2002 年 7 月時点での観測データのまとめ(http://www.hep.upenn.edu/˜max/cmb/experiments.html)。
図 4.14: CBI、BOOMERANG、DASI および MAXIMA による観測されたCMB温度ゆらぎスペクトル (Sievers et al. astro-ph/0205387)。
43
表 4.2: CMB温度ゆらぎから得られた宇宙論パラメータの制限 Ωtot = Ωm + ΩΛ, Ωm =
Ωcdm + Ωb, the primordial power spectrum of density fluctuations ∝ kn, and τc is the
optical depth to Thomson scattering. (Sievers et al. astro-ph/0205387)。
Prior Probabilities Used in Cosmological Parameter Extraction
1) “weak-h” prior: 0.45 < h < 0.9, t0 > 10 Gyr, Ωm > 0.1.
2) “flat” prior: Ωk ≈ 0 + weak-h
3) The “LSS” prior: σ8Ω0.56m which is a Gaussian (first error) smeared by a uniform
(top-hat) distribution (second error): 0.47+.02,+.11−.02,−.08. Γeff = Γ + (n − 1)/2 with
Γ ≈ Ωmh exp[−ΩB(1 + Ω−1m (2h)1/2)], and Γeff = 0.21+.03,+.08
−.03,−.08.
4) “HST-h” prior: h = 0.71 ± 0.076
5) “SN” prior: a constraint in the Ωm − ΩΛ plane from the SN Ia observations.
Priors Ωtot n ΩΛ Ωm Ωb h
wk-h 1.050.050.05 1.020.06
0.07 0.540.120.13 0.520.15
0.15 0.0800.0230.023 0.550.09
0.09
wk-h+LSS 1.030.030.04 1.000.06
0.06 0.610.090.10 0.420.12
0.12 0.0670.0180.018 0.600.09
0.09
wk-h+SN 1.010.040.03 1.030.06
0.06 0.680.050.07 0.330.07
0.07 0.0550.0140.014 0.670.07
0.07
wk-h+LSS+SN 1.000.030.02 1.030.06
0.06 0.690.040.06 0.320.06
0.06 0.0520.0110.011 0.680.06
0.06
flat+wk-h (1.00) 0.990.080.06 0.640.07
0.38 0.440.200.20 0.0580.015
0.015 0.630.090.09
flat+wk-h+LSS (1.00) 1.030.060.06 0.690.04
0.05 0.310.040.04 0.0500.005
0.005 0.680.050.05
flat+wk-h+SN (1.00) 1.020.060.06 0.700.03
0.04 0.300.030.03 0.0490.005
0.005 0.690.030.03
flat+wk-h+LSS+SN (1.00) 1.030.050.06 0.700.03
0.04 0.300.030.03 0.0490.005
0.005 0.690.030.03
flat+HST-h (1.00) 1.020.060.06 0.690.03
0.06 0.320.070.07 0.0500.007
0.007 0.680.040.04
flat+HST-h+LSS (1.00) 1.030.050.06 0.690.03
0.04 0.300.030.03 0.0500.005
0.005 0.690.030.03
flat+HST-h+SN (1.00) 1.030.060.06 0.700.02
0.03 0.300.020.02 0.0490.005
0.005 0.690.020.02
flat+HST-h+LSS+SN (1.00) 1.040.050.06 0.700.02
0.03 0.300.020.02 0.0490.004
0.004 0.690.020.02
Priors Ωtot n Ωbh2 Ωcdmh2 ΩΛ Ωm Ωb h Age τc
wk-h 1.050.050.05 1.020.06
0.07 0.0230.0030.003 0.130.03
0.02 0.540.120.13 0.520.15
0.15 0.0800.0230.023 0.550.09
0.09 15.01.11.1 0.160.18
0.13wk-h+LSS 1.030.03
0.04 1.000.060.06 0.0230.003
0.003 0.120.020.02 0.610.09
0.10 0.420.120.12 0.0670.018
0.018 0.600.090.09 14.71.2
1.2 0.090.120.07
wk-h+SN 1.010.040.03 1.030.06
0.06 0.0240.0030.003 0.120.02
0.02 0.680.050.07 0.330.07
0.07 0.0550.0140.014 0.670.07
0.07 13.91.01.0 0.140.17
0.11wk-h+LSS+SN 1.000.03
0.02 1.030.060.06 0.0240.003
0.003 0.120.020.02 0.690.04
0.06 0.320.060.06 0.0520.011
0.011 0.680.060.06 13.80.9
0.9 0.130.140.10
flat+wk-h (1.00) 0.990.080.06 0.0230.003
0.003 0.140.030.02 0.640.07
0.38 0.440.200.20 0.0580.015
0.015 0.630.090.09 13.80.5
0.5 0.090.140.07
flat+wk-h+LSS (1.00) 1.030.060.06 0.0230.003
0.003 0.120.010.01 0.690.04
0.05 0.310.040.04 0.0500.005
0.005 0.680.050.05 13.70.5
0.5 0.120.140.09
flat+wk-h+SN (1.00) 1.020.060.06 0.0230.003
0.003 0.120.010.01 0.700.03
0.04 0.300.030.03 0.0490.005
0.005 0.690.030.03 13.70.3
0.3 0.120.150.09
flat+wk-h+LSS+SN (1.00) 1.030.050.06 0.0240.003
0.003 0.120.010.01 0.700.03
0.04 0.300.030.03 0.0490.005
0.005 0.690.030.03 13.60.3
0.3 0.130.130.10
flat+HST-h (1.00) 1.020.060.06 0.0230.003
0.003 0.130.020.01 0.690.03
0.06 0.320.070.07 0.0500.007
0.007 0.680.040.04 13.70.3
0.3 0.120.140.09
flat+HST-h+LSS (1.00) 1.030.050.06 0.0240.002
0.003 0.120.010.01 0.690.03
0.04 0.300.030.03 0.0500.005
0.005 0.690.030.03 13.70.3
0.3 0.130.130.10
flat+HST-h+SN (1.00) 1.030.060.06 0.0230.002
0.003 0.120.010.01 0.700.02
0.03 0.300.020.02 0.0490.005
0.005 0.690.020.02 13.60.2
0.2 0.120.140.09
flat+HST-h+LSS+SN (1.00) 1.040.050.06 0.0240.002
0.003 0.120.010.01 0.700.02
0.03 0.300.020.02 0.0490.004
0.004 0.690.020.02 13.60.2
0.2 0.130.130.10
44
図 4.15: Ia型超新星の観測と、BOOMERANGによるマイクロ波背景輻射の温度ゆらぎの観測データから導かれる (Ωm, ΩΛ)への制限。(P. de Bernardis et al. Nature 404,2000 955)
図 4.16: 超新星の光度赤方偏移関係から得られたΩmとΩΛへの制限. Ωm + ΩΛ > 1が, 閉じた空間, Ωm + ΩΛ < 1が, 開いた空間をもつ宇宙に対応し, その境である Ωm + ΩΛ = 1は平坦な宇宙と呼ばれる. ΩΛ > (<)Ωm/2は, 現在の宇宙 (z = 0)が加速 (減速)膨張している条件に対応する. 左図で右上に伸びた領域が, 超新星観測から示唆される. この図の中心部を拡大して, CMB観測からの制限を組み合わせたものが右図であり, Ωm ∼ 0.3かつΩΛ ∼ 0.7
付近が超新星とCMBの結果を同時に説明できることがわかる。
45
4.7 MAP (Microwave Anisotropy Probe)
米国東部時刻にして, 2001年 6月 30日午後 3時 46分 46秒, いよいよ 21世紀の観測的宇宙論が本格的に始動した. 米国航空宇宙局 (NASA)とプリンストン大学が中心となって計画してきた宇宙マイクロ波背景輻射観測衛星 MAP(Microwave Anisotropy Probe)がフロリダのケネディースペースフライトセンターから打ち上げられたのである.
ペンジアス・ウィルソン、およびCOBEの 2つの発見はいずれも, 我々の宇宙進化に関する描像を確定させたという意味でまさに歴史に残る画期的成果であることは論を待たない.
もちろん研究者は貪欲であるから, その発見を受けて, さらに詳細なデータを渇望するようになる. 実際, COBE の角度分解能は７度角程度しかなく, 理論モデルの詳細を制限するような温度ゆらぎの小角度 (10 分から 1度程度)スケールでの情報は得られない. MAPはまさにそのような精密な宇宙論標準モデル検証 (あるいは否定?)を目的として打ち上げられた衛星である. 1，2 年後には, 1/4度角スケールの分解能を持つCMB全天温度地図が完成するはずである. 2003年１月初めに公開予定のMAPの初期データは, 21世紀宇宙論における最も基礎的なデータベースとなることが期待されている。
図 4.17: デルタ IIロケットによるMAPの打ち上げ (http://map.gsfc.nasa.gov/)
46
表 4.3: MAPの仕様
周波数 [GHz] 22 30 40 60 90
波長 [mm] 13.6 10.0 7.5 5.0 3.3
チャンネル数 4 4 8 8 16
角度分解能 [度] (FWHM) 0.93 0.68 0.53 0.35 < 0.23
感度 [µK] (for 0.3 × 0.3pixel) 35 35 35 35 35
Thermal Passive radiative cooling to < 95 K
Focal plane 3.5 × 3.5 field of view
Pointing accuracy 0.6°control (elevation)
Lifetime 27 months
fuel limit > 3 years
Mass 830 kg
図 4.18: MAP衛星 (http://map.gsfc.nasa.gov/)
47
図 4.19: CMB全天温度地図の感度と角度分解能の比較マップ (http://map.gsfc.nasa.gov/).
図 4.20: MAP衛星軌道想像図 (http://map.gsfc.nasa.gov/).
48
4.8 PLANCK
European Space Agencyが開発している宇宙背景輻射観測衛星。MAP を上回る角度分解能と、サブミリ波までの広い観測バンドを持つ。2007年打ち上げ予定。
図 4.21: PLANCK衛星。(http://astro.estec.esa.nl/SA-general/Projects/Planck)
Detector HEMT arrays Bolometer arrays
Temperature ∼ 20K 0.1K
ν(GHz) 30 44 70 100 100 143 217 353 545 857
∆ν/ν 0.2 0.2 0.2 0.2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
# detector 4 6 12 34 4 12 12 6 8 6
∆θ(′) 33 23 14 10 10.7 8.0 5.5 5.0 5.0 5.0
∆T/T (10−6) 1.6 2.4 3.6 4.3 1.7 2.0 4.3 14.4 147.0 6670
49
第5章 宇宙定数は定数か
5.1 実効的な宇宙定数としてのスカラー場ここまでは、あくまで Λの実体にはふれずに単なる定数であると考えた場合の観測的制
限について考察した。しかし、最近では、この「宇宙定数」は、「真空自身のもつエネルギー密度」であると解釈されることのほうが多い。このような事情もあり、暗黒物質 (dark
matter)に対応して、暗黒エネルギー (dark energy)という名前が一般的になりつつある。このような物理モデルの最も簡単な場合として、次のラグランジアン密度で与えられる
実スカラー場を例として考えてみよう。
L =1
2gµν∂
µφ∂νφ − V (φ). (5.1.1)
対応するエネルギー運動量テンソルは
Tµν = ∂µφ∂νφ − Lgµν (5.1.2)
であるから、空間的に一様であると仮定して対応するスカラー場のエネルギー密度と圧力を読み取れば、
ρφ =1
2φ2 + V (φ), pφ =
1
2φ2 − V (φ) (5.1.3)
が得られる。特にこのスカラー場の時間変化が無視できる (φ2 V (φ))ときには、pφ ≈ −ρφ
となり、まさに宇宙定数たる条件を満たす。この場合、宇宙定数の値は、このスカラー場の持つポテンシャルエネルギーによって決まることになる。このスカラー場の運動方程式は、作用
S =∫
d4x√−gL (5.1.4)
を変分、あるいは、T µν;ν = 0より、
φ + 3a
aφ + Γφφ +
dV
dφ= 0. (5.1.5)
第三項 Γφφは、作用の変分からは直接は出てこないが、このスカラー場と他の場との相互作用のため、このスカラー場が崩壊して他のより軽い粒子生成を起こすことことに対応している。今の場合、この項は重要ではないが、インフレーション宇宙の進化においては、このスカラー場の持つ「真空のエネルギー密度を」熱化し (再加熱)、輻射優勢の標準フリードマン宇宙にする上で本質的となる。
50
さて、このように Λをスカラー場のポテンシャルエネルギーと見なす立場から言えば、その特徴的スケ－ルは基本物理定数である、重力定数G、光速度 c、プランク定数 h によって決まるプランクスケールであると考えるのが自然である。良く知られているように、プランク質量、プランク長さ、プランク時間はそれぞれ、
mpl ≡√
hc
G∼ 2.18 × 10−5g, (5.1.6)
pl ≡√
hG
c3∼ 1.62 × 10−33cm, (5.1.7)
tpl ≡√
hG
c5∼ 5.39 × 10−44s, (5.1.8)
であるから、
Λ ∼ mpl
3pl
=c5
hG∼ 5.16 × 1093g · cm−3 ∼ (5.4 × 10−44sec)
−2(5.1.9)
程度の値であると予想される。しかし、これを無次元の λになおすと
λ =Λ
3H20
∼ 1
3
(3.1 × 1017
5.4 × 10−44
)2
h−2 ∼ 10121 (5.1.10)
という、とてつもなく大きな数になってしまう。オーダー 1であると考えられる観測値との 120桁ものずれは、この問題の困難さを実感させるに十分である。素粒子理論においてまだ知られていない何らかの機構によってこの 10121という値が 1以下にまで、言わば “微調整”されているのかもしれないし、あるいは、そもそも、初期宇宙での高エネルギー過程の名残りとして宇宙定数が生み出されたという考え方自体が間違っているのかもしれない。この意味では、「宇宙定数」に対する物理的モデルはまだ存在しないというのが適切であろう。
5.2 宇宙の状態方程式このように、「宇宙定数」をEinstein方程式の左辺から右辺に移す、言い換えれば、物理
法則ではなくその中に存在する物質の一部と見なすことにした途端、もはやそれは「定数」である必然性が失われてしまう。そこで、少し一般化して、
pX = wρX , (5.2.1)
(ただし wは定数)、という状態方程式に従う物質を考えてみることにする。また、宇宙の全物質は、非相対論的物質 ρmと ρX の 2成分からなるものとする。この 2成分が互いに移り変わらないものとすれば、(2.3.2)式より、
ρX = −3(1 + w)a
aρX → ρX ∝ a−3(1+w). (5.2.2)
51
したがって、現在の 2成分の密度パラメータをΩm0、ΩX0とすれば、
ρ =3H2
0
8πG
(Ωm0
a3+
ΩX0
a3(1+w)
), (5.2.3)
また、宇宙膨張の式は (dR
dt
)2
= H20
(Ωm0
R+
ΩX0
R(1+3w)
)(5.2.4)
となる。これは、w = 1/3、w = 0、w = −1の場合、それぞれ、相対論的物質 (輻射)、非相対論的物質、宇宙定数、に帰着する。したがって、今まで単に定数であると仮定してきたΛが本当に定数であるかどうかは、例
えば、このような定式化にしたがって、wとしてどのような値が許されるかを考えれば良いことになる。図 5.1によれば、Ωm0 ∼ 0.3であれば w ∼ −1、つまり、ダークエネルギーは定数であるということが観測的にも好まれていると解釈できる。もちろん、wもまた定数である必要はなく、本来はダークエネルギーに対応する物理的なモデルに依存するわけであるが、このようなパラメータ化によってある程度モデルに依存しない一般的な結論であると考えても良かろう。
90%95%
99%
68%
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1.0
ΩΜ = 1 − Ωu
equa
tion
of s
tate
w =
pu
/ ρu
Supernova Cosmology ProjectPerlmutter et al. (1998)
Unknown ComponentΩu
of Energy Density
Flat UniverseConstant w
cosmologicalconstantw = –1
図 5.1: Ia型超新星の観測データによる宇宙の状態方程式への制限 (Perlmutter et al. 1999,
ApJ, 517, 565 ; http://www-supernova.lbl.gov/)。Garnavich et al. (1998, ApJ, 509, 74)もほとんど同じ結果を出している。
52
5.3 最後に宇宙定数は 80年以上もの歴史をもつ基本的な問題である。Einsteinは、進化する宇宙と
いう概念を受け入れることを拒み、宇宙定数を導入した。ハッブルの膨張宇宙の発見にしたがって、Einstein自身はその導入を撤回したが、その存在は再び大きな注目を浴びている。
1990年以前に考えられていた宇宙定数の存在理由は基本的には年齢問題である。球状星団の年齢から推定された宇宙の年齢の下限値は、150億年～180億年とされ、単純な Einstein -
de Sitterモデルの予言である67h−1億年とは、当時のハッブル定数hの不定性 (0.5 < h < 1.0)
を考慮しても相容れない。宇宙定数の導入によってこれを救おうとするわけである。1990年頃になると、遠方銀河の個数密度のカウントによって宇宙定数の存否を議論する
ことが活発となった。当時の観測データから、宇宙定数の存在を結論した論文も存在したが、その結論の正しさは別として、銀河の進化の効果を考えるとこの方法論から宇宙定数を決定することは極めてモデル依存性が強いと言わざるを得ない。
1990年中頃には、クエーサーが重力レンズによって多重像をつくる頻度分布から宇宙定数に対する制限を課すという方法論が展開され、これはその値に上限値をつけるという意味で興味深いものであった。しかしこれもまた、現在の目でみれば、重力レンズを起こす銀河の高赤方偏移での分布関数、特にその進化にならんで、銀河の重力ポテンシャルの形などの不定性が強く、それらの仮定の妥当性が結論の信頼度を左右している。観測的な意味での本質的なブレイクスルーは、1990年代後半に行われた、高赤方偏移超
新星の系統的サーベイからそのハッブル図を作成するという方法論である。Ia型超新星の明るさがなぜ一定であるのかについてはまだ理論的な理解は完成していないが、経験的には確立していると言って良い。そしてこの方法論は、Ia型超新星が標準光源である、という仮定以外はほとんどモデルに依存しないという意味で極めて強力なものと言える。実際、「超新星を用いた宇宙定数の存在の発見」は、1999年に米国のサイエンス誌の選ぶ今年の科学ニュースの第一位に選ばれている。衛星による宇宙マイクロ波背景輻射および超新星モニターにより、本当に宇宙定数が存
在するのか、またその値がいくつであるのかについては、遅くとも 10 年以内にはほぼ結論が確立するであろう。残された問題はその起源である。そして、この宇宙定数の問題は、宇宙の誕生およびインフレーション期と呼ばれる初期宇宙の重要な段階を通じて、高エネルギー物理学と宇宙論という、微視的・巨視的世界のいずれの極限においても極めて本質的なものであり、その解決の道はまだまだ遠い先のことのようである。
53
付 録A Robertson-Walker 計量とフリードマンモデル
A.1 問題：Robertson-Walker 計量[1.1] 一様等方宇宙モデルの計量を
ds2 = −dt2 + gij dxidxj ≡ −dt2 + a2(t) gij (x)dxidxj
= −dt2 + a2(t) [W (x) dx2 + x2(dθ2 + sin2 θ dϕ2)] (A.1)
とおいたとき、クリストッフェル記号が以下の表式を持つことを示せ。( ˙は tに関する微分とする)
Γ000 = Γ0
0i = Γi00 = 0
Γ0ij =
(a
a
)gij = aagij
Γi0j =
(a
a
)δi
j
Γijk = Γi
jk
ただし、Γijkは、gijに関するクリストッフェル記号で、(A.1)の場合 0でない成分は、
Γxxx =
1
2W
W
∂x, Γx
θθ = − x
W, Γx
ϕϕ = −x sin2 θ
W
Γθθx = Γϕ
ϕx =1
xΓθ
ϕϕ = − sin θ cos θ, Γϕθϕ = cot θ
で与えられる。
[1.2] リッチテンソルの定義式
Rµν = Γαµν,α − Γα
µα,ν + ΓαµνΓ
βαβ − Γα
µβΓβνα (A.2)
を用いて、(A.1)に対するRµν の表式が次式で与えられることを示せ。R00 = −3
a
aR0i = 0
Rij = Rij + (aa + 2a2)gij
54
ここで、Rijは、gij に対するリッチテンソルで、
Rxx =W ′
xW
Rθθ =xW ′
2W 2+ 1 − 1
WRϕϕ = Rθθ sin2 θ
otherwise 0
[1.3] [1.2]の結果からスカラー曲率Rを求めよ。
[1.4] 空間が一様等方であるとすれば、3次元のスカラー曲率 R = gijRijは定数でなければならない。そこで、R = 6Kとおいて、W (x)を具体的に求め、一様等方宇宙モデルの計量が一般に
ds2 = −dt2 + a2(t)
[dx2
1 − Kx2+ x2(dθ2 + sin2 θ dϕ2)
](A.3)
となることを示せ。この計量はRobertson-Walker計量と呼ばれる。
55
A.2 解答例：Robertson-Walker 計量[1.1]
S ≡ −(
dt
dτ
)2
+ a2W
(dx
dτ
)2
+ a2x2
(dθ
dτ
)2
+ a2x2 sin2 θ
(dϕ
dτ
)2
を変分。′ ≡ d/dτ , ˙≡ d/dt とおくと、
(a)∂S∂t
− d
dτ
(∂S∂t′
)= 0 より、
2aa[Wx′2 + x2θ′2 + x2 sin2 θϕ′2] + 2t′′ = 0
→ Γ000 = Γ0
0i = 0, Γ0ij = aagij =
a
agij
(b)∂S∂x
− d
dτ
(∂S∂x′
)= 0 より、
[a2∂W
∂xx′2 + 2a2xθ′2 + 2a2x sin2 θϕ′2
]− 2(a2Wx′)′ = 0
x′′ +1
2W
∂W
∂xx′2 + 2
a
ax′t′ − x
Wθ′2 − x sin2 θ
Wϕ′2 = 0
→ Γx00 = 0, Γx
0x =a
a, Γx
xx =1
2W
∂W
∂x, Γx
θθ = − x
W, Γx
ϕϕ = −x sin2 θ
W
(c)∂S∂θ
− d
dτ
(∂S∂θ′
)= 0 より、
2a2x2 sin θ cos θϕ′2 − 2(a2x2θ′)′ = 0
θ′′ + 2a
aθ′t′ + 2
1
xx′θ′ − sin θ cos θϕ′2 = 0
→ Γθ00 = 0, Γθ
0θ =a
a, Γθ
θx =1
x, Γθ
ϕϕ = − sin θ cos θ
(d)∂S∂ϕ
− d
dτ
(∂S∂ϕ′
)= 0 より,
(a2x2 sin2 θϕ′)′ = 0
ϕ′′ + 2a
at′ϕ′ + 2
1
xx′ϕ′ + 2 cot θ θ′ϕ′
→ Γϕ0ϕ =
a
a, Γϕ
xϕ =1
x, Γϕ
θϕ = cot θ
56
[1.2] 以下では、′ ≡ d/dx の意味とする。(a)
R00 = Γα00,α − Γα
0α,0 + Γα00Γ
βαβ − Γα
0βΓβ0α
= −(Γi0i),0 −
(a
a
)2
δijδ
ji
= −3(
a
a
)− 3
(a
a
)2
= −3aa − a2
a2− 3
(a
a
)2
= −3a
a
(b)
R0i = Γα0i,α − Γα
0α,i + Γα0iΓ
βαβ − Γα
0βΓβiα
= Γj0iΓ
βjβ − Γk
0jΓjik =
(a
a
)Γβ
iβ −(
a
a
)Γj
ij = 0
(c)
Rij = Rij + Γ0ij,0 − Γ0
i0,j + Γ0ijΓ
β0β + Γα
ijΓ0α0 − Γ0
iβΓβj0 − Γα
i0Γ0jα
= Rij + (aa)˙ gij + Γ0ij · 3
(a
a
)− Γ0
ij
(a
a
)−
(a
a
)Γ0
ji
= Rij + (aa)˙ gij +(
a
a
)aagij
= Rij + (aa + 2a2)gij
[1.3]
R ≡ Rαα = gαβRαβ
= g00R00 + gijRij
= −R00 +gij
a2Rij + (aa + 2a2)gij
= 3a
a+ 3
a
a+ 2
(a
a
)2
+1
a2gijRij
= 6a
a+ 6
(a
a
)2
+1
a2R
57
R ≡ gijRij =Rxx
W+
Rθθ
x2+
Rϕϕ
x2 sin2 θ
=W ′
xW 2+
2
x2
(xW ′
2W 2+ 1 − 1
W
)
=2W ′
xW 2+
2
x2
(1 − 1
W
)
[1.4] f ≡ 1
Wとおくと、
−2
xf ′ +
2
x2(1 − f) = 6K
xf ′ + f = 1 − 3Kx2
(xf)′ = 1 − 3Kx2
⇒ xf = x − Kx3 + C
→ W =1
f=
1
1 − Kx2 +C
x
x 1では、局所的にユークリッド的であるべきなのでC = 0。
→ W (x) =1
1 − Kx2
58
A.3 問題：Friedmann 方程式の導出[2.1] Robertson-Walker計量
ds2 = −dt2 + a2(t)
[dx2
1 − Kx2+ x2(dθ2 + sin2 θ dϕ2)
](A.4)
に対して、Einstein tensor
Gµν = Rµν − 1
2R gµν (A.5)
を計算せよ。
[2.2] この座標に対して空間的に静止している (xi =一定)観測者 (comoving observer)を考える。その 4元速度を uµとすれば、その成分は
uµ = (1, 0, 0, 0)
で与えられる。また、物質のエネルギー運動量テンソル Tµν は全部で 10個の独立成分をもつので、具体
的に T00 = ρ
T0i = −qi
Tij = pgij + πij
(ただし、πii = 0とする)とおく。[2.1]の結果と組み合わせると、Einstein方程式
Gµν + Λgµν = 8πGTµν (A.6)
より、一様等方宇宙においては、Tµν は完全流体の形
Tµν = (ρ + p)uµuν + pgµν (A.7)
に決ってしまうことを示せ。
[2.3]これらの結果を用いて、Robertson-Walker 計量における scale factor のみたす２つの独立な式を導け。
[2.4] [2.3]で得られた式を組み合わせて ρの時間発展を記述する式を導け。またこの式はエネルギー保存則に対応していることを示せ。
(ヒント:半径 a の球を考え、熱力学の第一法則を適用すればよい)
59
A.4 解答例：Friedmann 方程式の導出[2.1] 問題 [1.2]に、W (x) = 1
1 − Kx2 を代入すると、
Rij = 2Kgij
となるから、
R00 = −3a
a, R0i = 0
Rij = (aa + 2a2 + 2K)gij
R = 6a
a+ 6
(a
a
)2
+6K
a2
よって、
G00 = R00 +R
2= 3
(a
a
)2
+ 3K
a2
G0i = 0
Gij =
a
a+ 2
(a
a
)2
+ 2K
a2− 3
a
a− 3
(a
a
)2
− 3K
a2
gij
= −
2a
a+
(a
a
)2
+K
a2
gij
[2.2] (0,i)成分G0i + Λg0i = 0 = −8πGgi → qi = 0
(i,j)成分は、Gij ∝ gij より、traceless である πij = 0 とならなくてはならない。
→ T00 = ρ, T0i = 0, Tij = pqij
これを、uµ を用いて共変的に書くと、
Tµν = (ρ + p)uµuν + pgµgν
[2.3] Einstein eq.
Gµν + Λgµν = 8πGTµν
の (0,0)成分：
3(
a
a
)2
+ 3K
a2− Λ = 8πGρ
→(
a
a
)2
+K
a2− Λ
3=
8πG
3ρ (A.8)
60
(i,j)成分：
−
2a
a+
(a
a
)2
+K
a2
gij + Λgij = 8πGpgij
→ a
a= −1
2
(a
a
)2
+K
a2
+
Λ
2− 4πGp (A.9)
これらを代入してa
a= −4πG
3(ρ + 3p) +
Λ
3(A.10)
[2.4] 式 (1)に a2をかけてから微分すると、
2aa − Λ
32aa =
8πG
3(ρa2 + 2aaρ)
⇒ a
a− Λ
3=
4πG
3
(ρa
a+ 2ρ
)式 (3)を代入して、
→ ρa
a= −3(ρ + p) (A.11)
熱力学第一法則 dQ = dU + pdV で 断熱過程を考えると、dQ = 0。半径 aの球において、
U =4π
3ρa3, V =
4π
3a3 より、
d
dt(ρa3) + p
d
dt(a3) = 0
これは、式 (4)と同じである。
61
A.5 問題：Friedmann 方程式の解[3.1] open model: (
da
dτ
)2
=Ωm0
a+ 1 − Ωm0 (A.12)
の解が、媒介変数表示で a =
Ωm0
2(1 − Ωm0)(cosh θ − 1)
τ =Ωm0
2(1 − Ωm0)32
(sinh θ − θ)(A.13)
で与えられることを示せ。ただし、τ = 0で a = 0とする。
[3.2] spatially-flat model:
(da
dτ
)2
=Ωm0
a+ (1 − Ωm0)a
2 (A.14)
の解が
a(τ) =(
Ωm0
1 − Ωm0
) 13
sinh
(3√
1 − Ωm0
2τ
)23
(A.15)
であることを示せ。
[3.3] 上の２つの場合、現在 (a = 1)の宇宙年齢 t0がそれぞれ
H0t0 =1
1 − Ωm0
− Ωm0
2(1 − Ωm0)32
ln
(2 − Ωm0 + 2
√1 − Ωm0
Ωm0
)(A.16)
および
H0t0 =1
3√
1 − Ωm0
ln
(2 − Ωm0 + 2
√1 − Ωm0
Ωm0
)(A.17)
で与えられることを示せ。
62
A.6 解答例：Friedmann 方程式の解[3.1]
∫dτ =
∫ √a
Ωm0 + (1 − Ωm0)ada
a =Ωm0
1 − Ωm0f とおくと、
∫dτ =
∫ √√√√Ωm0f/(1 − Ωm0)
Ωm0(1 + f)
Ωm0
1 − Ωm0df
=Ωm0
(1 − Ωm0)32
∫ √f
1 + fdf
f = sinh2
(θ
2
)とすると、
∫ √f
1 + fdf =
∫ √√√√ sinh2(θ/2)
cosh2(θ/2)2 sinh
(θ
2
)cosh
(θ
2
)dθ
2
=∫
sinh2
(θ
2
)dθ =
∫ cosh θ − 1
2dθ =
sinh θ − θ
2
これらをまとめると、a =
Ωm0
1 − Ωm0sinh2
(θ
2
)=
Ωm0
2(1 − Ωm0)(cosh θ − 1)
τ =Ωm0
2(1 − Ωm0)3/2(sinh θ − θ)
[3.2] a =(
Ωm0
1 − Ωm0
) 13
f とおくと、
(Ωm0
1 − Ωm0
) 23
(df
dτ
)2
= Ωm023 (1 − Ωm0)
13
(1
f+ f 2
)
→ df
dτ= (1 − Ωm0)
12
√1 + f 3
f
g ≡ f 3とおくと、
dg
dτ= 3f 2 df
dτ= 3(1 − Ωm0)
12
√g(1 + g)
→∫
dτ =1
3(1 − Ωm0)12
∫dg√
g(1 + g)
63
g = sinh2 θとおくと、 ∫2 sinh θ cosh θ√
sinh2 θ(1 + sinh2 θ)dθ = 2θ
→ τ =2θ
3√
1 − Ωm0
これらをまとめると、
a(τ) =(
Ωm0
1 − Ωm0
) 13
(sinh θ)23 =
(Ωm0
1 − Ωm0
) 13
(sinh
3√
1 − Ωm0
2τ
) 23
[3.3] open model の場合
1 =Ωm0
2(1 − Ωm0)(cosh θ0 − 1)
→ cosh θ0 =2(1 − Ωm0)
Ωm0+ 1 =
2 − Ωm0
Ωm0
⇒ sinh θ0 =√
cosh2 θ0 − 1 =2√
1 − Ωm0
Ωm0
eθ0 + e−θ0
2=
2 − Ωm0
Ωm0(eθ0)2 − 4 − 2Ωm0
Ωm0eθ0 + 1 = 0
eθ0 =2 − Ωm0 + 2
√1 − Ωm0
Ωm0(eθ0 > 0に留意)
→ H0t0 =Ωm0
2(1 − Ωm0)3/2
2√
1 − Ωm0
Ωm0− ln
2 − Ωm0 + 2√
1 − Ωm0
Ωm0
=1
1 − Ωm0
− Ωm0
2(1 − Ωm0)3/2ln
2 − Ωm0 + 2√
1 − Ωm0
Ωm0
spatially-flat model の場合
1 =(
Ωm0
1 − Ωm0
) 13
sinh
3√
1 − Ωm0
2τ0
23
→
sinh3√
1 − Ωm0
2τ0
2
=1 − Ωm0
Ωm0
cosh(3√
1 − Ωm0τ0) − 1
2=
1 − Ωm0
Ωm0
→ cosh θ0 =2(1 − Ωm0)
Ωm0+ 1 =
2 − Ωm0
Ωm0(open model と同じ θ0)
→ H0t0 =θ0
3√
1 − Ωm0
=1
3√
1 − Ωm0
ln2 − Ωm0 + 2
√1 − Ωm0
Ωm0
64
付 録B 宇宙論的距離
B.1 共動距離一様等方宇宙の計量は次の Friedmann-Robertson-Walker 計量で表される：
ds2 = −dt2 + a2(t)
[dr2
1 − Kx2+ x2
(dθ2 + sin2 θdφ2
)](B.1)
ここで a(t) は宇宙のスケールファクター、K は空間曲率定数である。次の式で定義される新たな「動径座標」χ:
χ ≡∫ x
0
dr√1 − Kx2
(B.2)
を用いると計量は次の形に書き直される：
ds2 = −dt2 + a2(t)[dχ2 + f 2(χ)
(dθ2 + sin2 θdφ2
)]. (B.3)
さて、現在から遡って時間 t だけ過去に発射された光が、θ = φ = const. の軌跡を通ってちょうど現在、原点にいる我々の所に到達するとする。光の測地線は null (ds2 = 0) であるから
χ =∫ t
0
dt
a(t)(B.4)
となる。過去に発射される光は宇宙論的赤方偏移を受けて、波長が 1 + z ≡ a0/a(t) だけ引き延ばされるが、この式を用いると、座標 χからやってくる光の赤方偏移を知ることが出来る。この χを通じて、zまでの共動距離 (comoving distance) xC(z) を∫ xC
0
dx√1 − Kx2
=∫ t0
t(z)
dt
a(t)(B.5)
によって定義する。この (B.5)式の左辺の積分は
∫ xC
0
dx√1 − Kx2
=
1√K
sin−1(√
Kxc) (K > 0)
xc (K = 0)
1√|K|
sinh−1(√|K|xc) (K < 0)
(B.6)
65
であることはすぐ示される。また、Friedmann方程式より(
a
a
)2
= H20
[Ω0
a3+
1 − Ω0 − λ0
a2+ λ0
](B.7)
これに、
a =1
1 + z=⇒ a = − 1
(1 + z)2
dz
dt(B.8)
を代入して (dt/dz < 0より)
dt
dz= − 1
H0(1 + z)√
Ω0(1 + z)3 + (1 − Ω0 − λ0)(1 + z)2 + λ0
(B.9)
となる。ただし、K = H20 (Ω0 + λ0 − 1)であることを用いた。
これらをまとめると、
χ(z) =∫ z
0
dz√Ω0(1 + z)3 + (1 − Ω0 − λ0)(1 + z)2 + λ0
(B.10)
を用いて、
xC(z) =c
H0
sin (χ√
Ω0 + λ0 − 1)√Ω0 + λ0 − 1
(Ω0 + λ0 − 1 > 0)
χ (Ω0 + λ0 − 1 = 0)
sinh (χ√
1 − Ω0 − λ0)√1 − Ω0 − λ0
(Ω0 + λ0 − 1 < 0)
. (B.11)
特に、 λ0 = 0の場合には、解析的表式がある (Mattigの式)。Ω0 < 1の場合を考えれば、
1
H0
√1 − Ω0
sinh−1(H0
√1 − Ω0xC
)=
1
H0
∫ z
0
dz
(1 + z)√
Ω0 (1 + z) + 1 − Ω0
(B.12)
ここで、積分公式
∫dx
x√
ax + b=
1√b
ln
∣∣∣∣∣√
ax + b −√b√
ax + b +√
b
∣∣∣∣∣ (b > 0) (B.13)
を用いると、
右辺 =1
H0
√1 − Ω0
ln
∣∣∣∣∣∣√
Ω0 (1 + z) + 1 − Ω0 −√
1 − Ω0√Ω0 (1 + z) + 1 − Ω0 +
√1 − Ω0
∣∣∣∣∣∣z
0
=1
H0
√1 − Ω0
ln
∣∣∣∣∣∣√
Ω0 (1 + z) + 1 − Ω0 −√
1 − Ω0√Ω0 (1 + z) + 1 − Ω0 +
√1 − Ω0
1 +√
1 − Ω0
1 −√1 − Ω0
∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸≡ F
(B.14)
66
この F を計算して
F =(√
Ω0(1 + z) + 1 − Ω0 −√
1 − Ω0)2
Ω0(1 + z)
(1 +√
1 − Ω0)2
Ω0≡ (A − 2
√B)(C + 2
√D)
Ω20(1 + z)
(B.15)
1
F=
(√
Ω0(1 + z) + 1 − Ω0 +√
1 − Ω0)2
Ω0(1 + z)
(1 −√1 − Ω0)
2
Ω0≡ (A + 2
√B)(C − 2
√D)
Ω20(1 + z)
(B.16)
とおくと
xC =1
H0
√1 − Ω0
sinh ln F
=1
2H0
√1 − Ω0
(F − 1
F
)=
1
2H0Ω20(1 + z)
√1 − Ω0
(4A
√D − 4C
√B
)=
2
H0Ω20(1 + z)
2 − Ω0 + Ω0z − (2 − Ω0)
√1 + Ω0z
(B.17)
が最終的な結果となる。
B.2 光度距離光度距離は、次式で定義される：
I =L
4πd2L
(B.18)
ここで L, I は光源の絶対光度、及び観測されるfluxである（単位は例えばそれぞれ [erg/s],
[erg/s/cm2] 等）。動径座標の原点において、（その場所で測定して）δt の間に等方的に光を出し、観測者（我々）が r = f(χ) = f(χ(z)) でその光を受け取るとする。やってくる光が赤方偏移 (1 + z)−1 を受けること、及び、観測者が光を観測する時間は time dilation を受けて δt(1 + z) になっていることを考慮すると、次の関係が成り立つ：
L × δt × 1
1 + z= I × 4π [f(χ(z))]2 × δt(1 + z) (B.19)
⇐⇒ I =L
4π [f(χ(z))(1 + z)]2. (B.20)
これを luminosity distance の定義式と較べて
dL = f(χ(z))(1 + z) = xC(1 + z) (B.21)
67
B.3 角度距離angular diameter distance (dA) は、次式で定義される：
= dAθ (B.22)
ここで , θ は、光源の視線方向に垂直な方向の真の大きさ、及び、それを我々が見込む際の角度、である。視線方向に垂直な大きさ の物体から光が発せられるとする。観測者（我々）のところに光がやってくるときに見込む角度 θ は、光が発せられるときに決定されるから
= a(z)f(χ(z)) × θ =1
1 + zf(χ(z)) × θ (B.23)
angular diameter distance の定義式と較べて
dA =1
1 + zf(χ(z)) =
xC
1 + z=
dL
(1 + z)2. (B.24)
68
付 録C 宇宙マイクロ波背景輻射の二重極ゆらぎ
宇宙マイクロ波背景輻射 (以下、CMB)に対して運動している観測者が観測する分布関数を以下にしたがって計算してみよう。
(t, x)に位置し運動量 pを持ち位相空間体積要素 d3xd3p内に存在する粒子 (群)の、共動系 (図の S系)での分布関数 f を
dN = f(t, x, p)d3x d3p (C.1)
で定義する。ここで、左辺はこの体積要素内の対応する粒子数である ( 粒子のエネルギーp0 = εは、質量と pによって確定するのであらわには書いていない)。
x
y
z
S
x’
y’
z’
S’
k’ θv ’
photon
この S系に対して−x方向に速度 vで運動している観測者の系 (図の S′系参照):
t′ =t + vx√1 − v2
, x′ =x + vt√1 − v2
(C.2)
(以下、光速度 cは 1とする)を例として考える。(C.2)式より、S′系の観測者は
dt′ =dt + vdx√
1 − v2= 0 (C.3)
を満たすので、
dx′ =dx + vdt√
1 − v2=
1 − v2
√1 − v2
dx =√
1 − v2 dx (C.4)
69
(平たく言えばローレンツ収縮)。一方、運動量は dp0 = 0より
dpx ′ =dpx + vdp0
√1 − v2
=dpx
√1 − v2
. (C.5)
S系において、粒子分布の運動量空間成分のひろがり dpiにともなうエネルギーのひろがり dp0 は、2次の微少量であるから無視できるものとする。x方向以外は不変なので、結局d3x′ =
√1 − v2d3x。d3p ′ = d3p/
√1 − v2なので、位相空間体積要素はローレンツ不変であ
る。したがって、(C.1)式から分布関数 f(t, x, p) もまたローレンツ変換 に対して不変:
f ′(t′, x ′, p ′) = f(t, x, p) (C.6)
であることがわかる。この導出は質量を持つ粒子に対するものであるが、この結果は質量に依存していないため光子の場合にも同様に成り立つと考えて良い。そこで、CMBに対して適用してみる。CMB全体に対する静止系での分布関数 (上の定義とは定数倍だけ異なるが) は、温度 T0のプランク分布:
f(ν) =1
exp(hpν/kBT0) − 1(C.7)
であるとする。図のように、S′系の観測者の運動方向に対して角度 θ′ をなして入射する光子の波数ベクトルを
kµ ′ = ε′(1, cos θ′, sin θ′ cos φ′, sin θ′ sin φ′) (C.8)
とする。この光子の S系でのエネルギー ε は、単に (C.2)式の逆変換をすればよいだけなので、
ε =ε′ − vε′ cos θ′√
1 − v2=
1 − v cos θ′√1 − v2
ε′. (C.9)
以上の結果から、CMBの静止系に対して運動する S′系から観測したときのCMBの分布関数は、(C.6)式と (C.9)式より、
f ′(ν ′) = f(ν) =1
exp(hpν/kBT0) − 1≡ 1
exp(hpν ′/kBT ′) − 1, (C.10)
T ′(θ′) =
(ν ′
ν
)T0 =
√1 − v2
1 − v cos θ′T0. (C.11)
S′系の観測者の運動方向に対して角度 θ′をなして入射するCMB は依然熱分布の形をするが、観測される実効的な “温度” T ′(θ′) は、(C.11)式のような方向依存性を持つ。地球の公転運動の速度は
vE =2π × 1.A.U.
365.25日≈ 2π × 1.5 × 108km
365.25 × 24 × 3600秒≈ 30km/s ≈ 10−4c. (C.12)
したがって、地球の太陽のまわりの公転運動だけを考えた場合、T ′(θ′) の相対的変化分:(∆T
T
)E≡ Tmax − Tmin
Tmax + Tmin(C.13)
70
は、Tmax ≈ (1 + v)T0 Tmin ≈ (1 − v)T0 と近似して、(∆T
T
)E≈ v
c∼ 10−4. (C.14)
実際、COBEの観測データからCMBの二重極成分に対して、(∆T
T
)dipole
≈ 1.2 × 10−3 (C.15)
という結果が得られている。観測されているデータ (実は太陽の運動に対するものなのであるが、地球の運動が効かないという意味では同じ)から予想されるCMB 系に対する速度は、v ≈ 360km/s。したがって、この結果は、太陽 (系) 自身がCMB系に対して運動していることを意味する。太陽 (系)の銀河系内での相対運動、銀河系の局所銀河群内での相対運動は比較的良く理解されているので、それらを差し引いた結果として、局所銀河群がCMB
系に対して約 600km/sで運動しているものと解釈されている。
71