第四章 解析函数的级数表示(The representation of power series of analytic function) §4.1 复数项级数

§4.2 复变函数项级数§4.3 泰勒（ Taylor）级数

§4.4 洛朗 (Laurent)级数

第一讲§4.1 复数项级数§4.2 复变函数项级数

§4.1 复数项级数一、复数序列的极限二、复数项级数

(Series of complex number ）

,}{ 时的极限当称为复数列那末 nzz n0 记作.lim 0zznn

. }{ 0zzn 收敛于此时也称复数列

, ),,( }{ 其中为一复数列设 21nzn

,nnn yxz i ,y 0为一确定的复数又设 i00 xz

.),(,

0

0zzNn

N

n时，有当

总存在正整数如果对于任意给定

就能找到一个正数 N,

从而有.lim aann

所以 .lim bbnn

同理

的充分必要条件是

则设复数列

nn

nnn babalim

,, ii定理 4.1

0那末对于任意给定证明

反之 , 如果 ,lim,lim bbaa nnnn

从而有

[ 证毕 ]

称为复数项级数 .

称为级数的部分和 .若 {sn}(n=1,2,…,) 以有限复数 s 为极限 ,

二、复数项级数

即

是一复数列，则设 n

则称复数项无穷级数 (4.1) 收敛于 s, 且称 s为 (4.1) 的和 , 写成否则称级数 (4.1) 为发散 .

01

n

nz级数例

,)1(11

z

zzn

zzs

n

nnn

1

1limlim ,1

1z

1n

nS

定理 4.2 复级数

收敛于 s=a+ib(a,b 为实数 ) 的充要条件为 :

bbaan

nn

n

11

nnnnn

n iba

其中211

解（ 1 ）

（ 2 ）

例 3 1 1

12

？是否收敛级数

n

n

ni

.故原级数仍发散

, 1 1发散级数因为

n n,)( 收敛

1

11

n

n

n

1

1n n

1

1)1(n

n

ni解

11

12 )1(11n

n

n

n

ni

ni

定理 4.3 级数 收敛的必要条件是nnn yxz 其中

证明 因为级数 收敛的充分必要条件是

都收敛， 再由实级数 收敛的必要条件是

定理 4.4 若级数 收敛， 则级数 也收敛 .

1nnz

1nnz

为条件收敛。为条件收敛。为条件收敛。为条件收敛。若级数 收敛 , 则称 绝对收敛 . 若级数 收敛 , 发散，则称

: 1 1 1

n n nn n n

a b

定理 绝对收敛 与 绝对收敛

? 收敛是绝对收敛？还是条件

是否收敛，若收敛， !(8i) 判断级数

1

n

n

n例 4

, !

81收敛

n

n

n故原级数收敛 , 且为绝对收敛 .

所以由正项级数的比值判别法知 :

,!!

)(nn

nn 8i8

解：因为

故原级数收敛 .

,)1(1

收敛为条件但

n

n

n

所以原级数条件收敛 .

.

])([

还是条件收敛，若收敛，是绝对收敛

是否收敛，判断级数

1 211

nn

n

in

例 5

; )1( 1

收敛因为

n

n

n,

21

1收敛也

nn解

§4.2 复变函数项级数

一、复变函数项级数二、幂级数

(Series of function of complex variable)

设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2)

的各项均在区域 D 内有定义 , 且在 D 内存在一个函数 f(z), 对于 D 内的每一点 z, 级数（ 4.2 ）均收敛于f(z), 则称 f(z) 为级数 (4.2) 的和函数 , 记为 :

一、复变函数项级数

1n

n zfzf

的复函数项级数称为幂级数 , 其中 a,c0,c1,

c2 ,…, 都是复常数 .

二、 幂级数形如：

以上幂级数还可以写成如下形式

nn

n

nn zczczcczc 2

2100

定理 4.5( 阿贝尔 ) 如果幂级数 (4.3)在某点 z1(≠a) 收敛 , 则它必在圆K:|z-a|<|z1-a|( 即以 a 为圆心圆周通过 z1 的圆 )内绝对收敛 .

a 1z•

收敛 , 它的各项必然有界 , 即有正数 M, 使(n=0,1,2,…),

11 1

| ( ) | | ( ) ( ) | | |n n n nn n

z a z ac z a c z a M

z a z a

因为 |z-a|<|z1-a|, 故级数 收敛

证明 设 z 是所述圆内任意点 . 因为 1

0

nn

n

c z a

0

( )nn

n

c z a

在圆 K 内绝对收敛 .

推论 若幂级数 (4.3) 在某点 z2(≠a) 发散 , 则满 足 |z-a|>|z2-a| 的点 z 都是幂级数 (4.3) 发散点 .

a

z1

z2

当 z≠a 有以下三种情况 :

(1) 对所有的复数 z幂级数（ 4.3 ）均收敛 .

幂级数 , 首先它在 z=a 点处总是收敛的，

例如 , 级数 n

n

nzzz 2

2

21

对任意固定的 z, 从某个 n 开始 , 总有 ,21

nz

于是有 ,21 n

n

n

nz

故该级数对任意的 z 均收

敛 .

(2) 对于任意 z≠a 幂级数（ 4.3 ）都发散 .例如 , 级数 nnznzz 2221

, 0 时当 z 通项不趋于零 , 故级数发散 .

(3) 存在一点 z1≠a, 使级数收敛 ( 此时 , 根据定理 4.5 的第一部分知 , 它必在圆周 |z-a|=|z1-

a| 内部绝对收敛 ), 另外又存在一点 z2, 使幂级数（ 4.3 ）

发散 .( 肯定 |z2-a|≥|z1-a|); 根据推论知 ,它必在圆周 |z-a|=|z2-a| 外部发散 .)在这种情况下 , 可以证明 , 存在一个有限正数R, 使得级数 (4.3) 在圆周 |z-a|=R 内部绝对收敛 , 在圆周 |z-a|=R 外部发散 .R 称为此幂级数的收敛半径 ; 圆 |z-a|<R 和圆周 |z-a|=R 分别称为它的收敛圆和收敛圆周 . 在第一情形约定 R=+∞; 在第二情形 , 约定 ,并也称它们为收敛半径 .

R=0

x

y

o

1z .2z.

R

收敛圆收敛半径

幂级数

0n

nnzc 的收敛范围是以 O 点为中心的圆域 .

收敛圆周

一个幂级数在其圆周上的敛散性有三种可能 : (1) 处处发散 . (2) 处处收敛 . (2) 既有收敛点 , 又有发散点 .

lim | | ,( )nnn

c l

柯西Cauchy

1lim ,( 'n

nn

cl D Alembert

c

达朗贝尔 ）

幂级数的收敛半径的求法

则幂级数 的收敛半径为 :

0

)(n

nn azc

R=

1/l (l≠0,l≠+∞);

0 (l=+∞);

+∞ (l=0).

(4.4)

例 1 求下列幂级数的收敛半径 :

(1)

13

n

n

nz ( 并讨论在收敛圆周上的情形 )

(2)

1

)1(n

n

nz ( 并讨论 20 ,z 时的情

形 )解 (1)

n

n

n cc 1lim

3)1

(lim

n

nn

因为 ,1

所以收敛半径 ,1R

即原级数在圆 1z 内收敛 , 在圆外发散 ,

在圆周 1z 上 ,级数 收敛。

1

31

3

1nn

n

nnz

,11

limlim)2( 1

nn

cc

nn

n

n.1R即

,0时当 z ,1)1(1

收敛

n

n

n,2时当 z ,1

1

n n发散

这个例子表明：在收敛圆周上既有级数的收敛点 , 也有级数的发散点 .

所以原级数在收敛圆上是处处收敛的 .

所以 .22

21

R

例 2

0

)1(n

nn zi求 的收敛半径 .

解 )4

sin4

(cos21 ii 因为 ,2 4

ie

nn ic )1( ;)2( 4

inn e

n

n

n cc

l 1

lim

n

n

n )2()2(lim

1

.2

例 3 把函数bz

1 表成形如

0

)(n

nn azc 的幂

级数 , 其中 ba与 是不相等的复常数 .

解： 把函数 bz 1 写成如下的形式 :

bz1

)()(1

abaz abazab

1

11

代数变形 , 使其分母中出现 )( az

凑出 )(11

zg

时，当 1

abaz

,)()()(11

1 2

n

abaz

abaz

abaz

abaz

bz1故 2

32 )()(

1)()(

11 azab

azabab

n

n azab

)()(

11

,Rab 设 ,时那末当 Raz 级数收敛 ,

且其和为 .1bz

收敛半径另一求法

O x

y

a

b

当 |za|<|ba|=R时级数收敛

(1) 幂级数

0

)()(n

nn azczf

的和函数 f(z) 在其收敛圆 K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析 .

说明：同实变函数幂级数一样，我们有

可以逐项求导至任意阶 .

可以逐项求积分 .

(2) 在收敛圆 K 内 , 幂级数

0

)()(n

nn azczf

(3) 在收敛圆 K 内 , 幂级数

0

)()(n

nn azczf

例 4 求级数

0

)1(n

nzn 的收敛半径与和函数 .

利用逐项积分 ,得 :

解12limlim 1

nn

cc

nn

n

n因为 .1R所以,1

0

000

d)1(d)1(n

z nz

n

n zznzzn

0

1

n

nz .1 z

z

所以 )1

()1(0

zzzn

n

n .)1(

12z

1z

课后作业 一、 思考题： 1 、 2 二、习题四： 1-5

101100P

第二讲§4.3 泰勒（ Taylor）级数

§4.4 洛朗 (Laurent) 级数

一、解析函数泰勒定理二、一些初等函数的泰勒展式

§4.3 泰勒（ Taylor）级数 (Taylor’s series)

一、解析函数泰勒定理 幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数 . 反过来，解析函数能否展开成幂级数 ?

,,,n)(zfn!

c

)z(zcf(z)

RzzD

zD,Rzf(z)

(n)n

n

nn

2101

0

00

0

00

:

(4.4)

,,

其中

时则当,离的边界上各点的最短距到为D在区域 内解析设定理 4.6

.αzR

αf(z)zRz

f(z)f(z)

0

0

0

Talor

即,的距离

之间的最近的一个奇点到于从

等展开式的收敛半径的解析点在那么,有奇点(1)说明： 若

此式称为 在 的泰勒展开式 , 它右端的级数称为 在 处的泰勒级数 .0z zf

zf 0z

.只能在收敛圆周上奇点,因此,大收敛半径还可以扩,不然的话,不可能在收敛圆外

奇点.不可能在收敛圆内 又所以奇点,内解析在收敛圆这是因为,上在收敛圆奇点(2)

α

ααf(z)α 周

.的泰勒展式唯一点）（ 03 zf(z)在

zR

enzzz

ze

nee

z

nz

z

z

z

nz

收敛圆是

所以该级数的收敛半径在复平面上解析而

解：

.

!!!

),,,()( )(

321

210132

00

二、一些初等函数的泰勒展式.展开式

0 Talor的在求1例 z,sinz,coszef(z) z

00 !)(

!)(

21

2sin

n

n

n

nzizi

nzi

nzi

iiee

z

zn

zzz

nz

zz

nn

n

nn

)!(

)(!!

)!()()'(sincos

21

421

21

242

0

2

Rzz 它们的半径在全平面上解析，所以cos,sin

zn

zn

nn

0

12

121

)!()(

例 2 把下列函数展开成 z 的幂级数

111

1)1( 2

zzzzz

n 由解：

1)1(1)(1

11

1

zzz

zznn 得

)1ln()()3()1(

1)()2(1

1)()1( 2 zzfz

zfz

zf

1)1(321

)1(11

1)1(

1)2(

112

122

znzzz

zzzdzd

zdzd

znn

nn

（ 3 ） 求对数函数的主值 ln(1+z)在 z=0 处的幂级数展开式 .

[解 ] ln(1+z) 在从 1 向左沿负实轴剪开的平面内是解析的 , 1 是它的奇点 , 所以可在 |z|<1 展开为 z的幂级数 .

1 O

R=1

x

y

:)1(,

)1(01

逐项积分得的展开式两边沿将的路径

任意取一条从内在收敛圆

cc

zzz

因为)1(1)1(1

11

zzzz

nn

11

)1(31

2)1ln(

13

2

znz

zz

zzn

n

z nnz zzdzzzdzdz

zdz

00 00)1(

1

.)()()2(

.)(

)()()1(

00

00

幂级数内可展成在内解析在区域函数

数某一邻域内可展成幂级

的在解析在点函数结论：

DzfDzf

zzc

zzfzzf

n

nn

解析的等价条件：在区域函数 Dzf )(

内可导；在区域函数 Dzf )()1(

条件，内可微，且满足在区域 RCDvu ,)2(

关；内连续且积分与路径无在区域函数 Dzf )()3(

内可展开为幂级数在区域函数 Dzf )()4(

推论 2: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点。 ( 即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 )

而如果把函数中的 x换成 z, 在复平面内来看函数2

11 z

1z2+z4…

它有两个奇点 i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上 , 所以这个级数的收敛半径只能等于 1. 因此 , 即使我们只关心 z的实数值 , 但复平面上的奇点形成了限制 .

在实变函数中有些不易理解的问题 , 一到复变函数中就成为显然的事情 , 例如在实数范围内 , 展开式

2 4 22

1 1 ( 1)1

n nx x xx

的成立必须受 |x|<1 的限制 , 这一点往往使人难以理解 , 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的 .

§4.4 洛朗 (Laurent)级数 (Laurent’s series)

一、双边幂级数二、解析函数的洛朗展式

一个以 z0 为中心的圆域内解析的函数 f

(z), 可以在该圆域内展开成 zz0 的幂级数 . 如果 f

(z)在 z0 处不解析 , 则在 z0 的邻域内就不能用zz0 的幂级数来表示 . 本节将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法 .

一、双边幂级数

10 0 1 0

0 1 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

n nn n

n

nn

c z z c z z c z z

c c z z c z z

的级数称为双边幂级数

形如

0双边幂级数 ( )nn

n

c z z

负幂项部分 非负幂项部分主要部分 解析部分同时收敛收敛

nn

nn zzc )( 0

n

nn

n

nn zzczzc )()( 0

00

1

f1(z) f2(z)f(z)

n

nn zzc )( 0

0

n

nn zzc

)( 0

1

10 )( zz令 n

nnc

1收敛半径收敛时,R

0 11

z z RR

收敛域收敛半径 2R

0 2z z R 收敛域

1 2 1( ) :若 R R 两收敛域无公共部分 ,

1 22( ) :R R 两收敛域有公共部分 H: 1 0 2 .R z z R

R

aaR

a r

H

f(z)=f1(z)+ f2(z

z0 R1

R2

例如级数1 0

1 1

0

( )

, 1,

| | | | ,

| | | | . | | | || | | | | | | | | |

.

n n

n nn n

nn

nn n

n

nn

a z a bz b

a a az z z

zz ab

z b a ba z b a b

与 为复常数

中的负幂项级数 当

即 时收敛 而正幂项级数 则当

时收敛所以当 时,原级数在圆环域 收敛;当 时,原级数处处发散

z0 R1

R2

问：在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数 ?

2

1( ) 0 1 ,(1 )

0 | | 1 0 | 1| 1 . 0 | | 11 1 1 1( ) 1 .

(1 ) 1, ( ) 0 | | 1 .

n

f z z zz z

z z z

f z z z zz z z z zf z z

函数 在 及 都不解析 但在圆环域

及 内都是解析的先研究 的情形:

由此可见 在 内是可以展开为z的幂级数

其次 , 在圆环域 :0<|z-1|<1 内也可以展开为 z-1 的幂级数 :

2

1 2 1

1 1 1( )(1 ) 1 1 (1 )1 [1 (1 ) (1 ) (1 ) ]

1(1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 )

n

n

f zz z z z

z z zzz z z z

1O x

y

定理 4.7 设 f (z) 在圆环域 R1< |zz0| < R2 内 解析 , 则0

10

( ) ( )

1 ( ) d . ( 0, 1, 2, )2 π ( )

nn

n

n nC

f z c z z

fc ni z

其中

C 为在圆环域内绕 z0 的任

何一条正向简单闭曲线 .

二、解析函数的洛朗展式

C

z0R1

R2

0

10

( ) ( )

1 ( ) d . ( 0, 1, 2, )2 π ( )

nn

n

n nC

f z c z z

fc ni z

其中

一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正 , 负幂项的级数是唯一的 , 这个级数就是 的洛朗级数 .

zf

称为函数 在以 为中心的圆环域 :

内的洛朗 (Laurent)展开式 , 它右端的级数称为 在此圆环域内的洛朗级数 .

zf

zf

0z201 RzzR

称为洛朗系数nc

常见的特殊圆环域 :

2R

.0z

200 Rzz

1R .0z

01 zzR 00 zz

. 0z

将函数展成洛朗级数常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法

1. 直接展开法利用定理公式计算系数 nc

),2,1,0(d)()(

π21

10

nz

fi

cC

nn

然后写出 .)()( 0n

nn zzczf

缺点 : 计算往往很麻烦 .

根据正、负幂项组成的的级数的唯一性 , 可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .

优点 : 简捷 , 快速 .

2. 间接展开法

典型例题例 1 , 0 内在 z . )( 2 展开成洛朗级数将

zezf

z

解 ,)( n

nnzczf

由定理知 :

d)()(

π21

10

C nn zf

ic

dπ21

3 C n

ei其中

)2,1,0(,)0(: nzC

, 3 时当 n

0nc

, 2 在圆环域内解析ze z

故由柯西–古萨基本定理知 :

, 2 时当 n 由高阶导数公式知 :

02

2

)(dd

)!2(1

z

zn

n

ezn )!2(

1

n

2 )!2()(

n

n

nzzf故

!4!3!2111 2

2zz

zz z0

dπ21

3 C nn

ei

c

另解

!4!3!211 432

22zzzz

zze z

!4!3!2

111 2

2zz

zz

本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点 ,

. 2的奇点也是函数ze z

分别在圆环域 （ 1） 0 < |z| <1; （ 2） 1<| z|

< 2;

（ 3） 2 < |z| < + 内展开成洛朗级数 .

x

y

O 1 x

y

O 1 2 x

y

O 2

2112

zzzf将函数例

zzzf

21

11)(解：

21

121

11)( zz

zf

故

12

110)1( z

zz

0

10

10 2

11

21

n

nn

n

nn

n

n zzz )(

01

101

0 21

211

21

121

11

112

11

1)(

nn

n

nn

nn

n

nn

zz

zzz

zz

zzzzf

12

2 z

z又11121)2( z

zz

1222)3( z

zz

zz

zzzz

zf 21

1111

112

11

1)(

1

1

00

122111n

n

nn

n

n

n zzzzz

0

2

0

12

0)!12(

)1()!12(

)1(1sin

n

nn

n

nn

zn

z

nz

zzz

解：

.0sin3 展开成洛朗级数＋在求例 zzz

y

xo 1 2

)1(11

11

21

11)(

zzzzzf

2

0

)2()1(11

1

)1(1

1

zzz

zz

n

n

解 :(1) 在 ( 最大的 ) 去心邻域 110 z

)(,

))(()(

讨论域内展开成洛朗级数的去心邻在以点

将例

2121

14

zzzz

zf

(2) 在 ( 最大的 ) 去心邻域 内120 z

)2(11

21

21

11)(

zzzzzf

2

0

)2()2(12

1

)2()1(2

1

zzz

zz

n

n

n

注意: 一个函数 f (z)可以在奇点展开为洛朗级数，也

可在非奇点展开。

函数可以在以 z0 为中心的 ( 由奇点隔开的 ) 不同圆环域内解析 , 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式 ( 包括泰勒展开式作为它的特例 ). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆 . 所谓洛朗展开式的唯一性 , 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的 .

特别的，当洛朗级数的系数公式1

0

1 ( ) d . ( 0, 1, 2, )2 π ( )n n

C

fc ni z

1n 时，有 Cdzzf

iC )(

21

1 12)( CidzzfC

（即可利用 Laurent 系数计算积分） 其中 C 为圆环域 R1<|z-z0|<R2 内的任何一条简单闭曲线 ,f(z) 在此圆环域内解析。

例 5

rzz

zz dzzze0

0 30

1

)(求积分

内解析，在 0

30

1

0)()( 0 zzzzezf zz

0Laurent 1C系数其

12 0.iC

解：

例 6 2

1ln 1 .z

dzz

求积分

zznz n

nn

1)1(11ln1

1

11 C

2 .i

解：

课后作业一、 思考题： 3 二、习题四： 6-10

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