powerlab.fsb.hrpowerlab.fsb.hr/dinamikaprocesa/matmod_uvod_novo.pdf · title: 1 author: nikola...

Nikola Šerman: DINAMIKA I REGULACIJA PROCESA (radni tekst - za internu upotrebu)Poglavlje: Osnove matematičkog modeliranja i simulacije dinamičkih sustavaDatum: 11.11.2002.

2 OSNOVE MATEMATIČKOG MODELIRANJA I SIMULACIJE DINAMIČKIH SUSTAVA

2.1 POJAM MATEMATIČKOG MODELA

Svi tehnički proračuni temelje se na matematičkim formulacijama uzročno-posljedičnih veza koje su značajne s obzirom na svrhu proračuna. Skup matematičkih objekata koji apstraktno reproduciraju učinke neke uzročno-posljedične veze može se smatrati njenim matematičkim modelom.

Područje valjanosti modela i točnost modela unutar tog područja ovisi o pretpostavkama i o aproksimacijama uz koje je model izveden:

� Pretpostavke određuju uvjete pod kojima matematički model vjerno odražava svojstva modelirane uzročno-posljedične veze.

� Aproksimacije su pojednostavljenja koja se pri izvođenju modela uvode sa svrhom da model na željenoj razini točnosti bude što jednostavniji i pogodniji za korištenje, ali često i zbog nepotpunog poznavanja pojedinosti modelirane uzročno-posljedične veze.

Prihvaćanjem različitih pretpostavki i aproksimacija tijekom izvođenja modela fizikalnu se realnost u većoj ili manjoj mjeri idealizira, pa se može reći da izvedeni matematički model točno reproducira uzročno-posljedične veze u nekom idealiziranom, apstraktnom svijetu.

Istu se fizikalnu realnost može modelirati vrlo različitim modelima, a njihova upotrebljivost bitno ovisi o točnosti kojom reproduciraju one uzročno-posljedične veze koje su značajne s obzirom na svrhu modeliranja. Sljedeći prikaz odnosi se prvenstveno na matematičke modele dinamičkih sustava namijenjene rješavanju problema regulacije, ali primjena takvih modela nije ograničena samo na regulaciju.

S obzirom na relativno značenje pojmova "sustav" i "komponenta", promatrani dinamički sustav može biti ili neka prepoznatljiva cjelina ili samo dio takve cjeline.

Simbolikom blok-dijagrama takav je sustav prikazan na slici 2.1.

u1(t)

Promjene ulaza Promjene izlaza

Dinamički sustav

u2(t)

i1(t)

i2(t)

up(t) i r (t)

u i (t) i j(t )

Slika 2.1 Blok-dijagram dinamičkog sustava

Sustav je dinamički ako uzročno-posljedične veze između uzroka i posljedica unutar sustava sadrže spremnike u kojima se u nestacionarnim uvjetima odvijaju procesi


2

akumulacije. U fizikalnim dinamičkim sustavima spremnike predstavljaju dijelovi prostora u kojima se akumuliraju veličine za koje vrijedi zakon očuvanja. Stanje dinamičkog sustava u svakom je trenutku vremena određeno stupnjem ispunjenosti svih njegovih spremnika veličinama koje se u njima akumuliraju.

Veličine koje neposredno ili posredno ovise o stanju sustava a značajne su s obzirom na svrhu modeliranja nazivat će se izlaznim veličinama, odnosno izlazima modeliranog sustava. Veličine koje svojim djelovanjem na sustav uzrokuju promjene njegova stanja, a time i promjene izlaza, nazivat će se ulaznim veličinama, odnosno ulazima sustava.

Broj ulaza i izlaza ovisi o prirodi promatranog sustava, o njegovoj ulozi kao komponente nekog složenijeg sustava, kao i o svrsi njegova modeliranja.

Temeljni oblik ispoljavanja dinamičkih svojstava sustava je oblik promjene izlaza tijekom vremena, a taj ovisi o:

� obliku promjene ulaza;� početnom stanju sustava;� dinamičkim svojstvima sustava;

Početnim stanjem sustava smatrat ćemo njegovo stanje koje je zatečeno u trenutku od kojeg se promatraju promjene ulaza i izlaza.

Od matematičkog modela sustava očekuje se da u nekom obliku sadrži jednoznačnu i dovoljno točnu informaciju o funkcijama i1(t), i2(t),...ir(t) po kojima se izlazi mijenjaju od početnog stanja sustava pa nadalje ako se ulazi od početnog trenutka pa nadalje mijenjaju po proizvoljno zadanim funkcijama u1(t), u2(t),...up(t).

Do matematičkog modela nekog dinamičkog sustava može se doći na dva načelno različita načina:

1. Na temelju funkcija po kojima se tijekom vremena mijanjaju ulazi i izlazi sustava, tj. postupcima eksperimentalne identifikacije .

Primjena eksperimentalne identifikacije nije uvjetovana poznavanjem prirode uzročno-posljedičnih veza unutar sustava, ali:

− sustav mora realno postojati i biti u stanju funkcioniranja;

− promjene ulaza i izlaza tijekom vremena moraju biti dostupne mjerenju;

− funkcije po kojima se mijenjaju ulazi sustava moraju imati određena svojstva ovisna o dinamičkim svojstvima sustava i o željenom području valjanosti modela.

2. Matematičkim formuliranjem uzročno-posljedičnih veza iz kojih proizlazi ovisnost izlaza sustava o njegovim ulazima, tj. postupcima matematičkog modeliranja.

Primjena matematičkog modeliranja nije uvjetovana realnim postojanjem i funkcioniranjem sustava, ali za primjenu tog postupka nužno je dovoljno podrobno poznavati relevantne uzročno-posljedične veze unutar sustava da ih se može matematički formulirati s točnošću koja je primjerena svrsi modela.


3

2.2 OSNOVE MATEMATIČKOG MODELIRANJA FIZIKALNIH DINAMIČKIH SUSTAVA

2.2.1 Uvod u matematičko modeliranje

Ovisnosti izlaza o ulazima u fizikalnim se dinamičkim sustavima uspostavljaju djelovanjem fizikalnih zakona.

Postupak modeliranja takvih sustava obuhvaća:

1. Odabir pretpostavki i aproksimacija koje će rezultirati što jednostavnijim, ali još dovoljno točnim modelom s obzirom na svrhu modeliranja;

2. Razlaganje sustava na elementarne komponente u skladu s polaznim pretpostavkama i aproksimacijama;

3. Matematičko formuliranje fizikalnih zakona koji određuju uzročne veze između ulaza i izlaza elementarnih komponenata, te matematičko formuliranje interakcija između njih.

Komponente sustava smatrat ćemo elementarnim kada se ovisnost izlaza o ulazima može u okviru prihvaćenih pretpostavki i aproksimacija neposredno izraziti matematičkim formuliranjem fizikalnih zakona kojima je ta ovisnost uvjetovana. Fizikalna zbivanja kojima se ostvaruju uzročne veze između ulaza i izlaza elementarnih komponenata nazivat ćemo procesima.

U modeliranju dinamike procesa u uobičajenom djelokrugu strojarskog inženjera polazi se od pretpostavki:

• da su uzročne veze između uzroka i posljedica determinističke, tj. da isti uzroci uvijek izazivaju iste posljedice;

• da tvari imaju svojstvo kontinuuma, tj. da svoja fizikalna svojstva zadržavaju i unutar infinitezimalno malog volumena.

Osim tih pretpostavki koje se najčešće podrazumijevaju i bez posebnog isticanja, u svakom se pojedinačnom slučaju uvodi i niz drugih pretpostavki i aproksimacija kojima se ostvaruje kompromis između točnosti i složenosti modela.

Temeljna znanja potrebna za modeliranje dinamike procesa sadržana su u standardnim kolegijima koji pod različitim nazivima obuhvaćaju mehaniku krutih i deformabilnih tijela, mehaniku fluida te tehničku termodinamiku s prijenosom topline i tvari. Sljedeća razmatranja ne sadrže nikakve nove ili drugačije spoznaje u odnosu na te sadržaje, već im se samo pristupa na nešto drugačiji način nego li je uobičajeno u spomenutim kolegijima.

Pokušat će se izgraditi jedinstveni pristup matematičkom modeliranju, bar do neke mjere primjenjiv na svaki fizikalni dinamički sustav bez obzira na njegovu fizikalnu prirodu. To će olakšati korištenje već stečenih znanja na putu do matematičkog modela prikladnog za rješavanje problema regulacije procesa u nekom zadanom tehničkom sustavu.


4

2.2.2 Priroda fizikalnih dinamičkih sustava

2.2.2.1 Temeljni dinamički proces - proces akumulacije

Fizikalnu veličinu za koju vrijedi zakon očuvanja - npr. masu, energiju, količinu gibanja, moment količine gibanja - u ovom ćemo prikazu označit oznakom G, količinu te veličine oznakom Γ, a njen tok oznakom γ.

Promjena količine Γ veličine G u nekom omeđenom dijelu prostora kao spremniku veličine G uvjetovana je tokovima te veličine kroz granice koje prostor spremnika odvajaju od njegove okoline. Pretpostavit ćemo da granice spremnika mogu biti stvarne ili zamišljene, njihov oblik može se tijekom vremena mijenjati, a kao posljedica promjene oblika granica može se mijenjati i volumen spremnika.

Neposredni uzrok promjene količine Γ u spremniku je razlika između ulaznih i izlaznih tokova veličine G kroz granice spremnika, pri čemu je tok γ veličine G definiran količinom te veličine koja u jedinici vremena prođe kroz granicu spremnika.

Ulazni i izlazni tokovi mijenjaju se tijekom vremena po funkcijama γu(t) i γi(t), a kao posljedica tih promjena mijenja se i količina akumulirane veličine po funkciji Γ(t) – slika 2.2.

Ako proces akumulacije promatramo kao komponentu nekog sustava, ulaz te komponente je razlika ukupnog ulaznog toka γu i ukupnog izlaznog toka γi kao uzrok, a izlaz je količina Γ kao posljedica.

Spremnik

ΓΓΓΓ(t)γu(t)

γi(t) ΓΓΓΓ(t) –promjena količine veličine G u spremniku tijekom vremena t

γu(t) – promjena ukupnog ulaznog toka veličine G u spremnik tijekom vremena

γi(t) – promjena ukupnog izlaznog toka veličine G iz spremnika tijekom vremena

Proces akumulacije veličine G

γu(t) - γi(t) ΓΓΓΓ(t)

ulaz izlaz

Slika 2.2 Proces akumulacije veličine G u spremniku

Matematički model procesa akumulacije dobivamo matematičkim formuliranjem uzročne veze između ulaza i izlaza koja je definirana polaznom pretpostavkom da za veličinu G vrijedi zakon očuvanja, tj. da vrijedi tvrdnja:

Razlika između količine veličine G koja u nekom intervalu vremena uđe u spremnik i količine koja iz njega u tom istom intervalu izađe mora se u spremniku akumulirati, tj. za vrijednost te razlike mora se promijeniti količina Γ veličine G u spremniku.


5

Promjena količine Γ u spremniku tijekom infinitezimalnog intervala vremena dt jednaka je:

tttt d)()()d( iu ⋅−=−+ γγ

Dijeljenjem ove jednakosti s dt njena lijeva strana prelazi u diferencijalni kvocijent, tj. u prvu derivaciju funkcije Γ(t) po vremenu, pa matematički model procesa akumulacije veličine G u spremniku ima oblik diferencijalne jednadžbe prvog reda u kojoj je vrijeme tnezavisna varijabla:

)()(d

)(diu tt

tt γγ −= (2.1)

Po analogiji s fizikalnim značenjem prve derivacije pomaka po vremenu kao brzinegibanja, prvu derivaciju količine Γ po vremenu na lijevoj strani jednadžbe (2.1) smatrat ćemo brzinom promjene količine Γ veličine G u spremniku.

U skladu s time, smisao jednadžbe (2.1) kao matematičkog modela procesa akumulacije bilo koje fizikalne veličine za koju vrijedi zakon očuvanja može se izraziti riječima:

Brzina promjene količine akumulirane veličine u spremniku u svakom je trenutku vremena jednaka trenutnoj razlici ulaznih i izlaznih tokova te veličine kroz granice spremnika.

U uvodnom opisu pojma dinamičkog sustava, kao temeljno obilježje takvih sustava navedeno je svojstvo da njihovo trenutno stanje ne ovisi samo o trenutnom djelovanju okoline na sustav već ovisi i o stanju sustava u prethodnom trenutku vremena.

U fizikalnim dinamičkim sustavima to je svojstvo vezano upravo uz proces akumulacije. Stanje procesa akumulacije u nekom trenutku određeno je količinom akumulirane veličine u tom trenutku, a njenu ovisnost o ulaznim i izlaznim tokovima naći ćemo rješavanjem jednadžbe (2.1) - njenim integriranjem po vremenu:

[ ] )(d)()()( 0iu

0

tttttt

t

+⋅−= ∫ γγ (2.2)

Vidi se da stanje procesa akumulacije u trenutku t ne ovisi samo o intenzitetu ulaznih i izlaznih tokova u tom trenutku, već je određeno:

� stanjem procesa akumulacije u nekom prethodnom trenutku t0, tj. vrijednošću Γ(t0) i

� integralom funkcija po kojima se ulazni i izlazni tokovi mijenjaju u granicama od trenutka t0 do promatranog trenutka t.

Izraz (2.2) upućuje na važan zaključak da se proces akumulacije može shvatiti kao fizikalnu realizaciju matematičke operacije integriranja po vremenu.

Proces akumulacije je temeljni dinamički proces, pa je neki fizikalnu sustav dinamički ako se u njemu odvija najmanje jedan proces akumulacije.

Matematički model procesa akumulacije (2.1) je nezaobilazno polazište u izvođenju matematičkog modela dinamike bilo kojeg fizikalnog dinamičkog sustava. On, međutim, tek iznimno predstavlja konačni oblik modela jer su ulazi modeliranog sustava u tehničkim


6

primjenama najčešće neke veličine koje posredno određuju intenzitet ulaznih i izlaznih tokova, a kao izlazi promatraju se veličine koje su značajne s obzirom na svrhu modeliranja i samo posredno ovise o količini akumulirane veličine u spremniku.

2.2.2.2 Ostvarivanje procesa akumulacije promjenama intenzivnih i ekstenzivnih varijabli

Količinu bilo koje fizikalne veličine u njenom spremniku može se izraziti umnoškom varijable koja odražava kapacitivnost spremnika i varijable koja neposredno ili posredno odražava intenzivnost ispunjenosti spremnika akumuliranom veličinom. Varijable koje odražavaju kapacitivnost spremnika nazivat ćemo ekstenzivnim, a varijable koje odražavaju ispunjenost spremnika nazivat ćemo intenzivnim varijablama.

U sljedećem prikazu koristit ćemo se pojmovima ekstenzivnih i intenzivnih varijabli samo u svrhu ilustracije nekih osnovnih ideja u okviru modeliranja dinamike procesa, dakle samo u načelnom smislu u kojem se ti pojmovi definiraju i koriste u fizici. Ilustrirat ćemo ih s nekoliko primjera.

Količinu gibanja može se izraziti umnoškom mase kao ekstenzivne varijable i brzine gibanja kao intenzivne varijable. Slično se i moment količine gibanja može izraziti umnoškom polarnog momenta inercije rotirajućeg tijela kao ekstenzivne varijable i kutne brzine kao intenzivne.

Ekstenzivne varijable su aditivne - imaju "količinski" karakter - npr. volumen, masa, moment inercije. Intenzivne varijabe ne ovise o veličini spremnika i imaju karakter potencijala u najširem smislu tog pojma - npr. brzina, kutna brzina, tlak, temperatura.

Za ilustraciju aditivnosti i količinskog karaktera ekstenzivnih varijabli zamislit ćemo dva tijela koja se translatorno gibaju istom brzinom. Promatramo li oba tijela zajedno kao cjelinu, količina gibanja te cjeline jednaka je zbroju količina gibanja pojedinačnih tijela. Zbrajanje pojedinačnih količina gibanja posljedica je zbrajanja masa pojedinačnih tijela, tj. ekstenzivnih varijabli, a vrijednost intenzivne varijable - brzine - ostaje ista neovisno o tome promatramo li tijela pojedinačno ili zajedno.

Izražavanje količine mase i količine energije u spremniku funkcijama ekstenzivnih i intenzivnih varijabli nešto je, međutim, složenije jer se pri tome u prvom koraku umjesto intenzivnih varijabli najčešće koriste specifične varijable. Specifične varijable definirane su količinom akumulirane veličine po jedinici ekstenzivne varijable, nemaju karakter potencijala i nisu intenzivne varijable, ali posredno se mogu izraziti funkcijama intenzivnih varijabli.

Masu tvari u spremniku može se izraziti umnoškom volumena spremnika i gustoće tvari. Volumen spremnika je ekstenzivna varijabla, a gustoća je specifična varijabla - definirana je količinom mase tvari po jedinici volumena. Gustoća neke tvari ovisi, međutim, o intenzivnim varijablama koje određuju njeno termodinamičko stanje - u slučaju plina to su npr. tlak i temperatura.

Količinu energije koju sadrži masa neke tvari izražava se umnoškom mase kao ekstenzivne varijable i specifične energije, definirane količinom energije po jedinici mase. Slično kao i gustoća, specifična energija nije intenzivna varijabla ali se takvim varijablama može izraziti ovisno o oblicima u kojima se energija u spremniku akumulira. Ako je npr. spremnik ispunjen kemijski inertnim plinom u kojem se energija akumulira u obliku


7

unutarnje i mehaničke energije, specifična energija određena je vrijednostima temperature, tlaka i brzine kao intenzivnim varijablama.

Promjena količine bilo koje fizikalne veličine u spremniku mora se ispoljiti ili promjenom vrijednosti ekstenzivne varijable kojom je određena kapacitivnost spremnika, ili promjenom intenzivnih varijabli kojima je određena intenzivnost ispunjenosti spremnika akumuliranom veličinom, ili pak istovremenom promjenom i ekstenzivne i intenzivnih varijabli.

Stanje procesa akumulacije u spremniku u svakom je trenutku vremena određeno vrijednostima onih intenzivnih i ekstenzivnih varijabli koje se u promatranom slučaju mijenjaju kao posljedica promjene količine akumulirane veličine u spremniku.

2.2.2.3 Uvjetovanost tokova fizikalnih veličina razlikama intenzivnih varijabli

U prikazu razlike između intenzivnih i ekstenzivnih varijabli u prethodnom poglavlju istaknuto je da intenzivne varijable imaju karakter potencijala, što znači da razlika vrijednosti bilo koje od intenzivnih varijabli u dvije točke prostora ispunjenog kontinuumom potiče tok neke fizikalne veličine od točke s većom vrijednosti intenzivne varijable prema točki s manjom vrijednosti.

Podsjetit ćemo se samo nekih primjera koji ilustriraju ovu tvrdnju.

� Razlika tlakova p1 i p2 koji djeluju na neku površinu A rezultira silom F koju možemo shvatiti kao tok količine gibanja kroz tu površinu:

)( 21xtlaka ppAF −⋅=

� Gradijent brzine gibanja čestica realnog fluida unutar prostora volumena V rezultira silama:

− inercijskom silom čija je gustoća po jedinici volumena fluida proporcionalna gustoći masenog toka xv⋅ρ i gradijentu brzine v u smjeru strujanja x:

xvv

VF

∂∂

⋅⋅= xx

inerc )(ρ

− silom viskoznog trenja između čestica na različitim strujnicama koja je proporcionalna površini granične plohe između čestica Ay, dinamičkom viskozitetu fluida η i gradijentu brzine vx u smjeru y, okomitom na smjer strujanja:

yvAF∂∂

⋅⋅≅ xyvisk η

� Gradijent temperature u kontinuumu izaziva tok energije u obliku toplinskog toka provođenjem čija je gustoća ϕ proporcionalna koeficijentu toplinske vodljivosti tvari λ i gradijentu temperature ϑ u smjeru suprotnom od smjera toplinskog toka x:

x∂∂

⋅−=ϑλϕx

� Razlika temperature dvaju tijela potiče tok energije zračenjem, pri čemu je gustoća tog toka proporcionalna razlici četvrtih potencija temperatura.

Tok bilo koje od fizikalnih veličina za koju vrijedi zakon očuvanja kroz neku graničnu plohu uvjetovan je gradijentom neke od intenzivnih varijabli u smjeru okomitom na tu plohu, odnosno razlikom vrijednosti intenzivne varijable s obiju strana granične plohe.


8

2.2.3 Idealizacije stvarne prirode fizikalnih sustava

2.2.3.1 Fizikalni dinamički sustav s distribuiranim parametrima

Predmet matematičkog modeliranja najčešće su komponente tehničkih sustava u kojima se uzročne veze između ulaza i izlaza ostvaruju procesima unutar nekog konačnog prostora omeđenog realnim granicama. Oblik granica i volumen prostora takve komponente određeni su njenim geometrijskim oblikom – njenom konstrukcijom, a njen prostor ispunjen je masom tvari kojoj se u velikoj većini tehničkih primjena mogu pripisati svojstva kontinuuma.

Ulazi komponente, tj. veličine koje uzrokuju promjenu njenog stanja a time i promjenu njenih izlaza, mogu biti tokovi različitih fizikalnih veličina kroz njene granice ili, češće, neke druge veličine koje te tokove određuju posredno.

Izlazi komponente su varijable koje ovise o sveukupnom stanju procesa akumulacije unutar volumena komponente.

Uzročne veze između ulaza i izlaza komponente uspostavljaju se u skladu sa zakonima očuvanja i sa zakonima koji opisuju ovisnost tokove akumuliranih fizikalnih veličina o intenzivnim varijablama. Budući da je prostor modelirane komponente konačnih dimenzija, tokovi pojedinih fizikalnih veličina kroz granice komponente prodiru u njenu unutrašnjost pa se transport i akumulacija fizikalnih veličina istovremeno odvijaju po cijelom volumenu komponente.

Da bismo stvorili jasniju predodžbu o zbivanjima unutar komponente zamislit ćemo da je prostor komponente podijeljen na beskonačno mnogo elementarnih volumena infinitezimalnih dimenzija, međusobno razdvojenih zamišljenim granicama. U svakom od tih volumena odvijaju se procesi akumulacije jedne ili više fizikalnih veličina koji rezultiraju promjenama odgovarajućih intenzivnih varijabli u točki obuhvaćenoj elementarnim volumenom.

Razlike vrijednosti intenzivnih varijabli između susjednih elementarnih volumena potiču tokove fizikalnih veličina kroz njihove zamišljene granice, čime se ostvaruju interakcije između procesa akumulacije u elementarnim volumenima i transporta pojedinih fizikalnih veličina između njih.

Budući da vrijednosti intenzivnih varijabli odražavaju trenutno stanje procesa akumulacije u svakom od beskonačno mnogo elementarnih volumena unutar prostora komponente, stanje sveukupnih procesa akumulacije u cijelom volumenu komponente u svakom je trenutku vremena definirano poljima intenzivnih varijabli – npr. skalarnim poljima tlaka i temperature, vektorskim poljem brzina ili tenzorskim poljem naprezanja.

Kada je za primjenu matematičkog modela neke komponente bitno da model odražava upravo ona svojstva uzročno-posljedičnih veza između ulaza i izlaza koja su uvjetovana poljima varijabli unutar volumena komponente, tada takvu komponentu promatramo kao dinamički sustav s distribuiranim parametrima.


9

Atribut "distribuirani" u tom nazivu ukazuje na činjenicu da se prostor komponente promatra kao skup od beskonačno mnogo infinitezimalnih spremnika raspodijeljenih po cijelom njenom volumenu.

Matematičko modeliranje procesa u dinamičkim sustavima s distribuiranim parametrima predmet je različitih grana tehničke fizike, koje predstavljaju izvor temeljnih inženjerskih znanja.

Podsjetit ćemo se samo nekih primjera takvih modela, izraženih u diferencijalnom obliku:

• Model nestacionarnog provođenja topline kroz kruto tijelo (izotropna tvar, bez unutarnjih izvora ili ponora topline):

∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅=∂∂

2

2

2

2

2

2

zyxa

tϑϑϑϑ

gdje je: ϑ – temperatura u točki s koordinatama (x,y,z) u trenutku t a – koeficijent temperaturne vodljivosti tvari

Rješenje ovog modela je nestacionarno trodimenzijsko polje temperature ϑ(t,x,y,z).

• Model nestacionarnih poprečnih deformacija δ prizmatične elastične grede (vibracije grede u vertikalnoj ravnini):

04

4

2

2

=∂∂

⋅+∂∂

xAEI

tδ

ρδ

gdje je: E – modul elastičnosti materijala I – moment inercije poprečnog presjeka grede s obzirom na horizontalnu os okomitu na

uzdužnu os gredeA – površina poprečnog presjeka gredeρ – gustoća materijala

Rješenje modela je nestacionarno jednodimenzijsko polje poprečnih pomaka uzdužne osi grede δ(t,x).

• Model jednodimenzijskog nestacionarnog strujanja kapljevine u cijevi kružnog poprečnog presjeka izražen je s dvije jednadžbe:

0sin2

=Θ⋅+∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂∂ v

xv

gc

xhv

th

02

=⋅

⋅+∂∂

⋅+∂∂

+∂∂

Dvv

xvv

tv

xhg λ

gdje je: h – piezometrička visina zgph +=ρ

u presjeku x u trenutku t

v – brzina strujanja u presjeku x u trenutku t c – brzina širenja tlačnog poremećaja duž cijevig – ubrzanje gravitacijeΘ – kut između osi cijevi i horizontaleλ – koeficijent otpora trenjaD – promjer cijevix – prostorna koordinata u smjeru osi cijevi

Rješenje ovog modela su nestacionarna jednodimenzijska polja brzine v(t,x) i piezometričke visine h(t,x).

Modeli sustava s distribuiranim parametrima imaju oblik parcijalnih diferencijalnih jednadžbi ili sustava takvih jednadžbi u kojima su nezavisne varijable vrijeme i jedna ili više prostornih koordinata.

Parcijalne derivacije zavisnih varijabli po vremenu odražavaju u tim jednadžbama postojanje procesa akumulacije u svakoj točki volumena komponente, a parcijalne


10

derivacije po prostornim koordinatama odražavaju postojanje tokova fizikalnih veličina unutar tog volumena.

U kontekstu regulacije procesa, dinamički sustavi s distribuiranim parametrima realizirani su u omeđenim prostorima zadanog oblika i dimenzija i predstavljaju komponente nekog složenijeg sustava. Od modela svake od takvih komponenata očekujemo da reproducira uzročno-posljedične veze između njenih ulaza i izlaza, a iz navedenih primjera vidi se da u njima nije definiran niti geometrijski oblik prostora, niti u njima prepoznajemo veličine koje bi mogle biti ulazi ili izlazi neke konkretne komponente.

Kada komponentu promatramo kao sustav s distribuiranim parametrima, geometrijski oblik njena prostora definira granice domene rješenja parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje čine model procesa, a njihovo rješenje mora zadovoljiti rubne uvjete zadane na tim granicama.

Ulazi komponente određuju rubne uvjete, a njeni izlazi su rješenja ili funkcije rješenja modela u zadanim točkama domene.

2.2.3.2 Fizikalni dinamički sustav s koncentriranim parametrima

Prilikom rješavanja tehničkih problema regulacije često nije nužno da model komponenata sustava odražava dinamička svojstva koja su uvjetovana poljima varijabli unutar volumena komponente, već je dovoljno da se stanje procesa akumulacije u komponenti u svakom trenutku vremena definira srednjom vrijednosti tih varijabli. U takvom slučaju komponentu promatramo kao sustav s koncentriranim parametrima.

Stanje elementarne komponente kao sustava s koncentriranim parametrima u svakom je trenutku vremena određeno vrijednostima onolikog broja varijabli koliko se procesa akumulacije, značajnih za uzročnu vezu između izlaza i izlaza, odvija u njenom volumenu.

Pri matematičkom modeliranju takve komponente cijeli se volumen njena prostora smatra jedinstvenim spremnikom. Ako su uzročne veze ulaza i izlaza uvjetovane procesima akumulacije dviju ili više fizikalnih veličina, volumen komponente predstavlja spremnik svake od njih.

Modeliranjem svakog od n procesa akumulacije jednadžbom oblika (2.1), dobiva se polazni model dinamike komponente u obliku sustava običnih diferencijalnih jednadžbi:

)()()()(d

)(di1u1

1 tttt γγ −=

.....................

)()()()(d

)(diu tt

tt

jjj γγ −= uz j=2, ... n-1 (2.3)

.....................

)()()()(d

)(diu tt

tt

nnn γγ −=


11

Konačni model komponente dobiva se izražavanjem količina akumuliranih veličina u pojedinim spremnicima, kao i njihovih tokova, odgovarajućim ulaznim i izlaznim varijablama modeliranog sustava.

Matematički model sustava s koncentriranim parametrima ima oblik obične diferencijalne jednadžbe ili sustava takvih jednadžbi u kojima je jedina nezavisna varijabla vrijeme.

2.2.3.3 Statički sustav

U fizikalnim dinamičkim sustavima često se susreću komponente u kojima su procesi akumulacije obuhvaćeni negativnim povratnim vezama koje djeluju na tokove akumulirane veličine između okoline i spremnika tako da promjena količine akumulirane veličine u spremniku smanjuje razliku između njenih ulaznih i izlaznih tokova. Ako se te povratne veze ostvaruju djelovanjem fizikalnih zakona, bez želje i namjere čovjeka, njihov učinak može se nazvati samoregulacijom.

Kada količina akumulirane veličine u spremniku poprimi upravo onu vrijednost uz koju se izlazni tokovi izjednače s ulaznim, brzina promjene stanja spremnika postaje jednaka nuli injegovo stanje postaje stacionarno (za svaki proces akumulacije vrijedi jednadžba 2.2).

Ako se procesi izjednačavanja ulaznih i izlaznih tokova u spremnicima neke komponente odvijaju neusporedivo brže nego li u ostalim komponentama sustava, takvu se komponentu može promatrati kao statički sustav, a uzročnu vezu između njenih ulaza i izlaza kao kvazistacionarni proces.

Polazni matematički model statičkog sustava proizlazi iz modela (2.3) uz pretpostavku da je razlika između ulaznih i izlaznih tokova svakog pojedinog spremnika u sustavu u svakom trenutku vremena zanemarivo mala, tj. da su brzine promjena količina akumuliranih veličina u spremnicima jednake nuli.

Tako dobivene jednadžbe su algebarske i moraju biti zadovoljene u svakom trenutku vremena t. Njihovo rješenje ne ovisi o rješenju u prethodnom trenutku vremena, pa činjenica da se tokovi γ mijenjaju kao funkcije vremena nema utjecaja na njihovo trenutno rješenje - jednadžbe se mogu napisati u obliku:

0)()( iu =− jj γγ uz j=1, ... n (2.4)

Kada se tokovi fizikalnih veličina u modelu (2.4) izraze funkcijama ulaznih i izlaznih varijabli dobiva se model statičkog sustava u obliku algebarskih jednadžbi ili sustava takvih jednadžbi.

Rješenje tog modela su trenutne vrijednosti izlaznih varijabli koje uz vrijednosti ulaza u tom istom trenutku zadovoljavaju model (2.4), tj. uz koje su ulazni i izlazni tokovi svih spremnika međusobno jednaki. Kako to rješenje ne ovisi o zbivanjima u komponenti u prethodnom vremenu, tako promatrana komponenta nema temeljno obilježje dinamičkog sustava i zato se naziva statičkim sustavom.

Procesi u statičkom sustavu nazivaju se i kvazistacionarnim jer se ulazi takve komponente tijekom vremena mijenjaju pa nisu stacionarni, ali trenutnim vrijednostima ulaza u svakom


12

trenutku vremena odgovaraju one vrijednosti izlaza koje u tom trenutku zadovoljavaju algebarske jednadžbe (2.4).

Funkcije u(t) po kojima se tijekom vremena mijenjaju ulazi statičkog sustava jednoznačno se preslikavaju u funkcije i(t) po kojima se mijenjaju izlazi, pri čemu je način preslikavanja ulaza u izlaze neovisan o obliku promjene ulaza.

2.2.3.4 Pojam linearnog dinamičkog sustava

U uvodu je već spomenuto da se racionalno rasuđivanje o dinamici sustava općenito, pa tako i o dinamičkim problemima regulacije, u velikoj mjeri temelji na spoznajama i pojmovima teorije linearnih dinamičkih sustava.

Pojam linearnih dinamičkih sustava odnosi se na apstraktnu kategoriju dinamičkih sustava koji se odlikuju svojstvom linearnosti.

Svojstvo linearnosti

Svojstvo linearnosti je u matematičkom smislu uvjetovano svojstvima superpozicije i proporcionalnosti, što znači da je operator Φ(x) linearan ako za njega vrijedi:

konstanteisugdje baxbxaxbxa )()()( 2121 Φ⋅+Φ⋅=⋅+⋅Φ

Pojam operator u ovom posve općenitom definiranju svojstva linearnosti označava bilo kakvu matematičku operaciju koja funkciju preslikava u funkciju.

Zbog jednostavnijeg ilustriranja svojstva linearnosti ovaj ćemo uvjet razdvojiti u svojstvo superpozicije:

)()()( 2121 xxxx Φ+Φ=+Φ

i svojstvo proporcionalnosti:

)()( xaxa Φ⋅=⋅Φ

Matematički model dinamičkog sustava može se shvatiti kao operator koji posredno, putem svojeg rješenja, definira preslikavanje promjena ulaza sustava u promjene izlaza. Budući da matematički model predstavlja matematičku formulaciju uzročnih veza između ulaza i izlaza dinamičkog sustava, modelirani sustav može se zamisliti kao materijalnu realizaciju takvog operatora.

Prikaz svojstava superpozicije i proporcionalnosti kao uvjeta linearnosti dinamičkog sustava bit će sažetiji ako promjenu ulaznog signala tijekom vremena nazovemo pobudom, a njome izazvanu promjenu izlaznog signala odzivom sustava na tu pobudu.

Zamislit ćemo sustav s jednim ulazom i s jednim izlazom. U trenutak vremena u kojem je definirano početno stanje sustava položit ćemo ishodište koordinate vremena, tj. vrijednost t = 0. Pretpostavit ćemo da je početno stanje sustava stacionarno, a promjene otklona ulazne i izlazne varijable od njihovih početnih vrijednosti tijekom vremena označit ćemo funkcijama u(t) i i(t).

Neka je: i(t) = i1(t) odziv sustava na pobudu: u(t) = u1(t) (I)i neka je: i(t) = i2(t) odziv sustava na pobudu: u(t) = u2(t) (II)


13

Dinamički sustav posjeduje svojstvo superpozicije, ako je:

i(t) = i1(t)+i2(t) odziv sustava na pobudu: u(t) = u1(t)+u2(t) (III)

Drugim riječima, sustav posjeduje svojstvo superpozicije ako je odziv sustava na zbroj pobuda jednak zbroju njegovih odziva na pojedinačne pobude.

Linearni sustav nužno posjeduje i svojstvo proporcionalnosti koje se može izraziti uvjetom:

ako je: i(t) = i1(t) odziv sustava na pobudu: u(t) = u1(t) (IV)

tada je: i(t) = a i1(t) odziv sustava na pobudu: u(t) = a u1(t) (V)gdje je a – proizvoljna konstanta

Svojstvo superpozicije i svojstvo proporcionalnosti ilustrirano je na slici 2.3 primjerom proizvoljno odabranog linearnog dinamičkog sustava uz proizvoljno zadane pobude.

Slika 2.3 Ilustracija svojstva superpozicije i svojstva proporcionalnosti

Na temelju ovog prikaza svojstva linearnosti nije teško zaključiti da u prirodi ne postoje sustavi koji bi bez ikakvih ograničenja posjedovali to svojstvo - ako ne iz nekog drugog razloga, onda već zbog toga što su promjene fizikalnih veličina unutar svakog realnog

u(t)=u1(t) i(t)=i1(t)

u(t)=u2(t) i(t)=i2(t)

u(t)= u1(t)+u2(t) i(t)= i1(t)+i2(t)

Odziv i(t)

t t

u

u

u

i

i

i

t

t

t

t

(I)

(II)

(III)

Svojstvo superpozicije

Svojstvo proporcionalnosti

t

t

t

t

i

i

u

u

(IV)

(V)

u(t)=u1(t)

u(t)=2u1(t)

i(t)=i1(t)

i(t)=2i1(t)

Linearni dinamički sustav

u(t) i(t)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Pobuda u(t)

Pobuda u(t)

Odziv i(t)


14

fizikalnog sustava ograničene nekim konačnim granicama. Zbog toga je na početku ovog poglavlja i istaknuta činjenica da su linearni dinamički sustavi apstraktna kategorija.

Međutim, veliki broj stvarnih fizikalnih dinamičkih sustava ponaša se pod određenim uvjetima dovoljno točno poput linearnog sustava, pa se izvorni – nelinearni model takvog sustava može u tim uvjetima aproksimirati približnim linearnim modelom. Ta činjenica daje teoriji linearnih dinamičkih sustava posebni značaj u rješavanju problema dinamike sustava, a posebno regulacije.

Postupak kojim se iz nelinearnog modela sustava izvodi njegov aproksimativni linearni model naziva se linearizacijom.

Pozadina linearizacije matematičkog modela dinamičkog sustava

Osnove teorije linearnih dinamičkih sustava s kojima ćemo se kasnije upoznati odnose se na linearne modele dobivene postupkom linearizacije temeljenom na razvoju funkcije u Taylorov red. Osnovnu ideju tog postupka ilustrirat će se na primjeru funkcije jedne varijable y(x) – slika 2.4.

y

x

y(x)

xR

yR∆x

∆y

0

R

Linearni model funkcije y(x) u točki R(xR,yR)

0R

R

R

:jegdje

yyy

xxx

xdxdyy

−=∆

−=∆

∆⋅=∆

Slika 2.4 Načelna ideja na kojoj se temelji postupak linearizacije matematičkog modela dinamičkog sustava

Ako je funkcija y(x) u proizvoljno odabranoj točki R(xR,yR) neograničeno derivabilna, može je se po volji točno izraziti Taylorovim redom:

...)(dd

!31)(

dd

!21)(

dd)()( 3

RR

3

32

RR

2

2

RR

R +−⋅+−⋅+−⋅+= xxxyxx

xyxx

xyxyxy

gdje su: ...,dd,

dd,

dd

R3

3

R2

2

R xy

xy

xy derivacije funkcije y(x) u točki R.

Linearizacija se sastoji u odbacivanju pribrojnika koji sadrže potencije varijable x drugog i višeg stupnja, čime se dobiva linearnu aproksimaciju funkcije y(x) u okolini točke R:

)(dd)()( R

RR xx

xyxyxy −⋅+≈

Budući da je RR )( yxy = , gornji izraz može se napisati u obliku:


15

)(dd

RR

R xxxyyy −⋅≈−

Uvođenjem varijabli ∆x i ∆y s ishodištem u točki R tako da je:

R

R

yyyxxx

−=∆−=∆

linearna aproksimacija funkcije y(x) u okolici točke R dobiva oblik:

xxyy ∆⋅≈∆

Rdd

Zamjenom znaka približne jednakosti u ovom izrazu znakom jednakosti dobiva se linearni model funkcije y(x) u okolici točke R:

xxyy ∆⋅=∆

Rdd

Ako točku R nazovemo referentnom točkom, a varijable ∆x i ∆y nazovemo otklonimavarijabli x i y od njihovih referentnih vrijednosti xR i yR, tada linearni model vjerno reproducira ovisnost otklona ∆y o otklonu ∆x u referentnoj točki i u njenoj neposrednoj okolini.

Geometrijski prikaz funkcije jedne realne varijable je krivulja (slika 2.4), pa je geometrijska interpretacija linearnog modela takve funkcije tangenta na krivulju s diralištem u referentnoj točki.

Ovaj primjer zorno pokazuje da pogreška aproksimacije, tj. razlika između funkcije y(x) i njene linearne aproksimacije raste s porastom otklona od referentne točke R, a kvantitativnu ovisnost te razlike o otklonu varijable x od njene referentne vrijednosti xRodražavaju linearizacijom odbačeni pribrojnici Taylorova reda.

Na načelno isti način može se linearizirati i funkciju od više varijabli. Budući da nas pri tome zanima samo linearni model funkcije a ne i kvantitavni iznos njegove pogreške, umjesto raspisivanja Taylorova reda za funkciju proizvoljnog broja varijabli podsjetit ćemo se pojma totalnog diferencijala.

Uz uvjet da je funkcija f(x1, x2, ..., xn) derivabilna po svim svojim argumentima, ovisnost njene ukupne promjene df o infinitezimalnim promjenama njenih argumenata dx1 , dx2 , ... dxn može se izraziti totalnim diferencijalom:

nn

nnn xx

xxxfxx

xxxfxx

xxxff d)...,,,(...d)...,,,(d)...,,,(d 212

2

211

1

21

∂∂

++∂

∂+

∂∂

=

Linearni model takve funkcije u okolini odabrane referentne točke R dobivamo zamjenom diferencijala funkcije i njenih argumenata u gornjem izrazu njihovim konačnim otklonima od referentnih vrijednosti, a pri tomu se vrijednosti parcijalnih derivacija funkcije po pojedinim argumentima izračunavaju u referentnoj točki:


16

nn

xxfx

xfx

xff ∆⋅

∂∂

++∆⋅∂∂

+∆⋅∂∂

=∆R

2R2

1R1

... (2.5)

Vrijednosti parcijalnih derivacija funkcije u odabranoj referentnoj točki su konstante, pa je u linearnom modelu (2.5) otklon funkcije od njene referentne vrijednosti izražen linearnom kombinacijom otklona argumenata od njihovih referentnih vrijednosti.

Ako se funkciju f(x1, x2, ..., xn) geometrijski interpretira kao hiper-plohu u n+1 -dimenzijskom prostoru, onda je geometrijska interpretacija njenog linearnog modela hiper-ravnina koja tu plohu tangira u točki R.

Na opisanoj ideji linearizacije funkcije temelji se linearizacija matematičkog modela dinamičkog sustava, pri čemu pojmu referentne točke odgovara pojam referentnog stanjasustava.

Referentno stanje mora biti jedno od ostvarivih stanja sustava, što znači da referentne vrijednosti svih varijabli moraju zadovoljavati izvorni, nelinearni model sustava u odabranom referentnom stanju.

Linearizacijom dobiveni linearni matematički modeli dinamičkih sustava imaju oblik linearnih diferencijalnih jednadžbi, a ovisno o razini idealizacije spremnika te će jednadžbe biti ili parcijalne u slučaju sustava s distribuiranim parametrima, ili obične u slučaju sustava s koncentriranim parametrima. U linearnom modelu statičkih sustava svaki od izlaza sustava izražen je linearnom kombinacijom ulaza. Sve varijable linearnog modela u svim navedenim slučajevima izražene su otklonima od njihovih referentnih vrijednosti, što treba imati na umu pri interpretaciji rezultata dobivenih primjenom takvog modela.

Koeficijenti u jednadžbama koje čine linearni model sustava ne moraju biti konstante već mogu biti i funkcije nezavisnih varijabli – jednadžbe će i u tom slučaju posjedovati svojstvo linearnosti. No, razmatranja u daljnjim poglavljima ograničit ćemo samo na sustave u kojima su koeficijenti u njihovim linearnim modelima konstantni, odnosno na vremenski invarijantne sustave.

Pojam vremenski invarijantnog linearnog dinamičkog sustava

Osnove teorije linearnih dinamičkih sustava izlagat će se u daljnjim poglavljima na primjeru vremenski invarijantnih sustava s koncentriranim parametrima, čiji linearni modeli imaju oblik običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima.

Obilježje je vremenski invarijantnog sustava da njegov odziv na neku pobudu ne ovisi o trenutku u kojem je pobuda nastupila, što se može izraziti sljedećim uvjetom:

Ako je : i(t) = i1(t) odziv sustava na pobudu u(t) = u1(t)

sustav je vremenski invarijantan ako je:

i(t) =i1(t+a) odziv sustava iz istog početnog stanja na pobudu u(t) = u1(t+a) gdje je a – proizvoljna konstanta.


17

Odnos nelinearnog modela dinamičkog sustava i njegove linearne aproksimacije

Premda samo načelan, prikaz ideje linearizacije omogućuje sljedeće zaključke o odnosu izvornog, nelinearnog modela dinamičkog sustava i njegovog aproksimativnog linearnog modela:

• Nelinearni model dinamičkog sustava moguće je linearizirati na opisani način samo ako su u referentnom stanju sve funkcije u nelinearnom modelu najmanje jednom derivabilne po svim svojim argumentima;

• Linearni model vjerno reproducira svojstva nelinearnog modela u referentnom stanju i njegovoj infinitezimalnoj okolini, a razlike između svojstava linearnog i nelinearnog modela rastu s porastom odstupanja varijabli modela od njihovih referentnih vrijednosti;

• Širina područja promjene varijabli uz koje linearni model još dovoljno točno reproducira svojstva nelinearnog modela bitno ovisi o karakteru nelinearnog modela i o zahtjevanoj točnosti linearnog modela.

2.2.3.5 Zbirni pregled idealizacija u modeliranju dinamike fizikalnih sustava

Sadržaj prethodnih poglavlja pokazuje da se modeliranje dinamike stvarnih fizikalnih sustava temelji na različitim idealizacijama fizikalne realnosti u pojedinim komponentama sustava.

Idealizacije se mogu svrstati u dvije kategorije:

• idealizacije s obzirom na definiranje spremnika u volumenu modelirane komponente;

• idealizacija s obzirom na svojstvo linearnosti modela.

Odraz opisanih idealizacija na oblik matematičkog modela modelirane komponente dinamičkog sustava načelno je prikazan u tablici 2.1.

Tablica 2.1 Odraz osnovnih idealizacija na oblik matematičkog modela komponente dinamičkog sustava

Idealizacija sustava s obzirom na svojstvo linearnosti

Nelinearni model Vremenski invarijantni linearni model

Dinamički sustav s distribuiranim parametrima

Nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba

Linearna parcijalna diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima

Dinamički sustav s koncentriranim parametrima

Nelinearna obična diferencijalna jednadžba

Linearna obična diferencijalna jednadžba s konstantnim

koeficijentima

Idealizacija sustava s

obzirom na karakter

spremnika

Statički sustav Nelinearna algebarska funkcija Linearna algebarska funkcija


18

Pri modeliranju pojedinih komponenata dinamičkog sustava najčešće se primjenjuju različite idealizacije, ovisno o procjeni dinamičkih svojstava pojedine komponente i njihova utjecaja na dinamička svojstva cijelog sustava.

Primjenjivost pojedinih metoda obrade modela ovisi o karakteru modela cijelog idealiziranog sustava pa se postavlja pitanje kako idealizacija pojedinih komponenata utječe na karakter sustava kao cjeline. U svjetlu sadržaja idućih poglavlja odgovor se može sažeti u konstatacije:

• Idealizirani sustav je dinamički ako sadrži najmanje jednu dinamičku komponentu.

• Idealizirani sustav pripada kategoriji sustava s koncentriranim parametrima ako ne sadrži niti jednu komponentu s distribuiranim parametrima. Njegov matematički model može se svesti na običnu diferencijalnu jednadžbu ili na sustav takvih jednadžbi, a jedina nezavisna varijabla u tim jednadžbama je vrijeme.

• Idealizirani dinamički sustav je linearan ako ne sadrži niti jednu nelinearnu komponentu.

Valja napomenuti da ovim prikazom nisu obuhvaćene sve idealizacije, već samo one tipične s kojima se susrećemo u prvim koracima pri ulasku u područje dinamike sustava. U prethodnim je poglavljima, naime, prešutno pretpostavljeno da su uzročne veze između ulaza i izlaza modeliranog sustava određene fizikalnim zakonima na takav način da ih se može matematički jednoznačno izraziti funkcijama, što znači da se sustav smatra determinističkim. U realnosti su te uzročne veze često pod utjecajem slučajnih djelovanja koja im daju vjerojatnostni, probabilistički karakter. Ovdje se takvim sustavima nećemo baviti.

2.2.4 Izbor razine idealizacije pri modeliranju dinamike fizikalnih sustava u analizi regulacije procesa

Temeljnu odluka u pristupu matematičkom modeliranju neke komoponente sustava za potrebe analize regulacije procesa predstavlja izbor razine idealizacije pri definiranju spremnika u volumenu komponente – da li je promatrati kao sustav s distribuiranim parametrima, kao sustav s koncentriranim parametrima ili kao statički sustav.

Svi procesi u komponentama fizikalnih dinamičkih sustava u stvarnosti imaju obilježja sustava s distribuiranim parametrima. Međutim, oblik matematičkog modela takvih sustava - parcijalne diferencijalne jednadžbe - značajno otežava njegovu primjenu u analizi problema regulacije.

Zbog toga se neku komponentu regulacijskog sustava modelira poput sustava s distribuiranim parametrima samo kada je to u konkretnom slučaju nužno s obzirom na potrebnu točnost modela, tj. u slučaju kada na dinamička svojstva cijelog regulacijskog sustava značajno utječu upravo ona dinamička svojstva komponente koja su uvjetovana raspodijeljenošću procesa akumulacije i transporta fizikalnih veličina po volumenu njena prostora.


19

Idealizacija dinamike komponenata stvarnog fizikalnog sustava sustavima s koncentriranim parametrima rezultira modelom u obliku običnih diferencijalnih jednadžbi ili sustava takvih jednadžbi u kojima je vrijeme jedina nezavisna varijabla. Točnost takvih modela zadovoljava potrebe rješavanja većine tehničkih problema regulacije, a postupci njihova korištenja pripadaju uobičajenim inženjerskim alatima.

Poput statičkog sustava modelirat će se komponentu regulacijskog sustava u slučaju kada je zanemariv utjecaj procesa akumulacije u njenom volumenu na dinamiku cijelog sustava. Ova idealizacija značajno doprinosi jednostavnosti modela cijelog sustava kada se izlazi komponente mogu eksplicitno izraziti algebarskim funkcijama ulaza, dok je u slučaju implicitne zavisnosti izlaza o ulazima opravdanost njene primjene često upitna usprkos algebarskom obliku modela kojim ona rezultira.

Idealizaciju s obzirom na linearnost modela provodi se linearizacijom izvornog, nelinearnog modela, pa odluka o linearizaciji ne utječe na postupak izvođenja izvornog modela.

Linearizaciju izvornog modela, tj. izvođenje linearnog modela sustava vrši se u slučaju kada će se pri rješavanju zadanog problema koristiti metode teorije linearnih dinamičkih sustava. Pri tome treba imati na umu da linearni model odražava dinamička svojstva nelinearnog modela samo u okolini odabranog referentnog stanja, pa je i valjanost rezultata analize linearnog modela ograničena samo na okolinu stanja u kojem je izvršena linearizacija izvornog modela.

Bez obzira na način korištenja linearnih modela pri rješavanju konkretnih tehničkih problema, potpuno razumijevanje odnosa između linearnog modela i realnosti modeliranog sustava nužno je za uspješnu primjenu saznanja iz teorije linearnih dinamičkih sustava već i na razini intuitivnog rasuđivanja.

2.3 MODELIRANJE DINAMIČKIH SUSTAVA S KONCENTRIRANIM PARAMETRIMA

2.3.1 Postupak modeliranja

Modeliranje dinamike tipičnih procesa u tehničkim sustavima ostvaruje se primjenom znanja iz temeljnog inženjerskog obrazovanja. Kako bi postupak modeliranja rezultirao matematičkim modelom koji je primjeren svrsi modeliranja, uputno ga je provoditi u sljedećim koracima:

1. Definiranje svrhe modelaDobar matematički model dinamike nekog sustava je model koji na najjednostavniji način, ali dovoljno točno reproducira upravo ona svojstva uzročnih veza između ulaza i izlaza sustava koja su značajna za svrhu primjene modela. Dobar model ne može se izvesti bez jasne predodžbe o njegovoj svrsi.

2. Intuitivna analiza zbivanja u sustavuPodjednaka je opasnost pri modeliranju da se ishitrenim usvajanjem pretpostavki i aproksimacija iz modela nehotice isključe pojave o kojima ovisi upotrebljivost modela za zadanu svrhu, kao i da se pretjeranom težnjom za što vjernijom reprodukcijom svih pojava u sustavu izvede model koji bez potrebe otežava njegovo korištenje.

3. Razlaganje modeliranog sustava na elementarne komponente


20

Pristupi li se modeliranju dinamike nekog složenijeg sustava izravno ispisivanjem jednadžbi, često se zapada u poteškoće – napose ako modelirani sustav sadrži povratne veze. Ta će opasnost biti manja ako se sustav prije izvođenja modela razloži na elementarne komponente, tj. na uzročne veze koje se na odabranoj razini idealizacije može neposredno opisati odgovarajućom matematičkom formulacijom. Rezultat razlaganja korisno je prikazati grafički, npr. u obliku blok-dijagrama, jer takav prikaz omogućuje jednostavnu provjeru polaznih predodžbi o uzročnim vezama u sustavu. Ulazi svih elementarnih komponenata sustava moraju imati svoje izvorište ili u sustavu (kao izlazi komponenata sustava) ili moraju biti vanjski ulazi.

4. Definiranje pretpostavki i aproksimacijaPraksa dobrog modeliranja nalaže da se uz model izričito nabroje pretpostavke i aproksimacije uz koje je model izveden. Time se izbjegava opasnost da se od modela prilikom njegova korištenja očekuje da reproducira pojave koje su iz njega isključene nekim pretpostavkama i aproksimacijama. O usvajanju ključnih pretpostavki – onih koje određuju temeljnu razinu idealizacije fizikalne realnosti modeliranog sustava – odlučuje se prije izvođenja modela, a neke se pretpostavke prihvaća i tijekom tog postupka.

5. Izvođenje modelaIzvođenje modela obuhvaća ispisivanje svih potrebnih jednadžbi i funkcija u skladu s prihvaćenim pretpostavkama, te njihovo preoblikovanje do konačnog oblika modela. Mnoga lutanja i uzaludne pokušaje pri izvođenju uštedit će poštivanje sljedećeg redoslijeda:

• ispisivanje jednadžbi očuvanja za sve spremnike u komponenti; • izražavanje pribrojnika u jednadžbama očuvanja funkcijama ulaznih i izlaznih varijabli;• izražavanje ovisnost izlaza o ulazima statičkih komponenata funkcijama koje tu ovisnost opisuju u

stacionarnom stanju;• sređivanje modela, tj. njegovo transformiranje u oblik podesan za daljnje korištenje.

6. Definiranje modela stacionarnog stanja sustavaPri simulaciji nestacionarnih pojava u sustavu najčešće se polazi iz stacionarnog početnog stanja sustava jer je u tom slučaju intuitivna ocjena rezultata simulacije najjednostavnija. Da bi se to postiglo, kao početne uvjete treba zadati one vrijednosti varijabli stanja sustava uz koje je njegovo stanje uz polazne vrijednosti ulaznih varijabli stacionarno. Budući da se i linearizaciju nelinearnog modela u pravilu provodi u okolini stacionarnog referentnog stanja, u okviru postupka modeliranja dinamike poželjno je izvesti i model stacionarnog stanja sustava.Model stacionarnog stanja dobiva se izjednačavanjem s nulom svih derivacija po vremenu u diferencijalnim jednadžbama modela dinamike. Vrijednosti varijabli stanja uz koje je stanje sustava stacionarno izračunavaju se rješavanjem tako dobivenog sustava algebarskih jednadžbi.

7. Provjera modelaNezadovoljavajuća točnost modela može imati svoje uzroke na dvije razine: na jednoj su moguće pogreške u postupku izvođenja modela, a na drugoj su moguće krive procjene utjecaja prihvaćenih pretpostavki i aproksimacija na točnost reprodukcije relevantnih svojstava uzročnih veza između ulaza i izlaza sustava.Premda ne postoji način kojim bi se s potpunom sigurnošću otkrile pogreške pri izvođenju modela, provjera mjernih jedinica npr. otkrit će bar neke od njih. Takvu provjeru modela uvelike olakšava dosljedna primjena izvornih mjernih jedinica SI sustava.Pouzdaniju provjeru modela omogućuje njegova simulacija uz uvjete koji omogućuju dovoljno pouzdanu intuitivnu procjenu ponašanja modeliranog sustava. Usporedba rezultata takvih simulacija s očekivanim ponašanjem modeliranog sustava u istim okolnostima često otkriva pogreške modela.Konačnu, vjerodostojnu provjeru modela, omogućuje tek njegova usporedba s ponašanjem modeliranog sustava u uvjetima koji su relevantni s obzirom na svrhu modeliranja.


21

2.3.2 Postupak linearizacije modela

Izvorni matematički model dinamičkog sustava s koncentriranim parametrima sadrži najmanje jednu diferencijalnu jednadžbu u kojoj je nezavisna varijabla vrijeme ili sadrži sustav takvih simultanih jednadžbi, a uz diferencijalne jednadžbe može sadržavati i algebarske jednadžbe i logičke relacije.

Ako je bilo koja od jednadžbi modela nelinearna i cijeli model je nelinearan, a postojanje logičkih relacija u modelu čini ga apriori nelinearnim. Treba se podsjetiti da atribut "nelinearan" ne označava postojanje nekog svojstva modela, već naprosto činjenicu da model ne posjeduje svojstvo linearnosti.

Na temelju izvornog, nelinearnog modela sustava moguće je dobiti njegove aproksimativne linearne modele, i to na različite načine i u različitim oblicima.

U ovom poglavlju opisat će se postupak linearizacije temeljen na razvoju funkcije u Taylorov red, kako je načelno opisano u poglavlju 2.2.3.4. Taj postupak daje linearni model koji reproducira dinamička svojstva nelinearnog modela u odabranom referentnom stanju i njegovoj okolini, a ima oblik linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima ili oblik sustava takvih jednadžbi.

Linearizacija nelinearne diferencijalne jednadžbe

U okviru linearizacije provode se dva zahvata na izvornom modelu:

1. Transformacija zavisnih varijabli, tj. zamjena varijabli izvornog modela njihovim otklonima od referentnih vrijednosti kojima je definirano referentno stanje;

2. Linearizacija nelinearnih funkcija u modelu.

Transformacija zavisnih varijabli sama po sebi ne umanjuje točnost modela, ali ga niti ne čini linearnim. Kada bi se, naime, otklon svake od funkcija od njene referentne vrijednosti izrazio svim pribrojnicima njena razvoja u Taylorov red, takav bi model u potpunosti reproducirao dinamička svojstva nelinearnog modela.

Prijelaz s varijabli izvornog modela na njihove otklone od referentnih vrijednosti tek je priprema za aproksimaciju nelinearnih funkcija njihovim linearnim modelom, koju u skladu s obrascem (2.5) možemo napisati u obliku:

nn

nnn x

xxxfx

xxxfxxf ∆⋅

∂∂

++∆⋅∂

∂=∆∆∆

R

11

R1

11

),...(...,

),...(),...( (2.6)

Oznaka |R uz parcijalne derivacije u izrazu (2.6) označava da se vrijednosti parcijalnih derivacija izračunavaju u odabranom referentnom stanju.

Takva je linearizacija provediva uz uvjet da su u referentnom stanju sve nelinearne funkcije u izvornom modelu bar jednom derivabilne po svim svojim argumentima.

Linearizaciju bilo kakvog nelinearnog modela koji ispunjava ovaj uvjet moguće je svesti na jednostavan i posve univerzalan postupak, što će pokazati sljedeće razmatranje.


22

Prebacivanjem svih pribrojnika jednadžbe na jednu stranu znaka jednakosti može se svaku od jednadžbi nelinearnog modela dinamičkog sustava s koncentriranim parametrima svesti na oblik:

0,...,...,...,...,... =

= pmnc

pc

bm

b

an

a

xuidtxd

dtud

dtidFF (I)

gdje su: um , in , xp - ulazne, izlazne i druge varijabli sustava, koje sadrži promatrana jednadžba

a, b, c - red derivacije, ovisno o prirodi modela

Jednadžba (I) mora biti zadovoljena u svakom ostvarivom stanju sustava unutar područja valjanosti izvornog modela, pa i u referentnom stanju R:

0),...(),...(),...(,...,... =

= RRR

RRRR pmnc

pc

bm

b

an

a

xuidtxd

dtud

dtidFF (II)

gdje su indeksom R označene referentne vrijednosti funkcije F i svih njenih argumenata.

Ako funkciju F izrazimo zbrojem referentne vrijednosti FR i njenog otklona ∆F od te referentne vrijednosti:

FFF ∆+= R (III)

te s obzirom na činjenicu da su i F i FR u skladu s (I) i (II) jednaki nuli, matematički model sustava možemo napisati u obliku:

0=∆F (IV)

Jednadžba (IV) je po točnosti definiranja dinamičkih svojstava modeliranog sustava ekvivalentna polaznoj jednadžbi (I).

Linearni model nelinearne jednadžbe (IV) u referentnom stanju R dobiva se aproksimacijom otklona ∆F linearnom kombinacijom otklona njenih argumenata prema izrazu (2.6).

Prikaz tog postupka neće izgubiti na općenitosti zaključaka ako ga ilustriramo na primjeru nelinearnog sustava s jednim ulazom u i s jednim spremnikom čije stanje napunjenosti odražava izlazna varijabla i - slika 2.5.

Slika 2.5 Uz primjer postupka linearizacije

Nelinearni model takvog sustava može se napisati posve općenito u obliku:

0,,dd

=

uitiF (V)

Argumente funkcije F izrazit ćemo zbrojem njihovih referentnih vrijednosti i otklona:

Nelinearni dinamički sustav

i(t)u(t)


23

∆+

=

ti

ti

ti

dd

dd

dd

R

(VI-a)

iii ∆+= R (VI-b)

uuu ∆+= R (VI-c)

Referentne vrijednosti argumenata u (VI-a) do (VI-c) moraju zadovoljavati nelinearni model (V) za proizvoljno odabrano referentno stanje sustava:

0,,dd

RRRR

==

FuitiF (VII)

Linearnu aproksimaciju otklona funkcije F od njene referentne vrijednosti nalazi se primjenom izraza (2.6):

uuFi

iF

ti

tiFF ∆⋅

∂∂

+∆⋅∂∂

+

∆⋅

∂

∂=∆

RR

R

dd

dd

Parcijalne derivacije funkcije F u referentnom stanju R su konstante čije ćemo vrijednosti označiti oznakama C1 do C3:

3R

2R

1

R

;;

dd

CuFC

iFC

tiF

=∂∂

=∂∂

=

∂

∂

U skladu s (IV), otklon funkcije ∆F mora biti jednak nuli, pa slijedi:

0dd

321 =∆+∆+

∆ uCiCtiC (VIII)

Da bi se jednadžbu (VIII) svelo na oblik linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima potrebno je razriješiti odnos između otklona derivacije neke varijable i derivacije njenog otklona.

U promatranom slučaju to je odnos između

∆ti

dd i

ti

dd∆ .

Deriviranjem (VI-b) po vremenu nalazimo:

ti

ti

dd

dd ∆

=

Traženi odnos dobivamo uvrštavanjem ove jednakosti u (VI-a) i sređivanjem:

Rdd

dd

dd

−

∆=

∆

ti

ti

ti

(IX)


24

Na sličan način može se pokazati da ovaj odnos vrijedi za bilo koju, npr. za n-tu derivaciju po vremenu bilo koje varijable, s čime bi se mogli susresti pri linearizaciji nekog složenijeg modela:

Rdd

dd

dd

−

∆=

∆ n

n

n

n

n

n

tx

tx

tx

(X)

Aproksimativni linearni model nelinearnog sustava (V) u okolini zadanog referentnog stanja dobivamo uvrštavanjem (IX) u (VIII):

R321 d

dd

d

+∆−=∆+

∆tiuCiC

tiC (XI)

Valja uočiti da se osim pribrojnika koji sadrže otklone varijabli ili derivacije otklona varijabli po vremenu u ovoj jednadžbi pojavljuje i pribrojnik s referentnom vrijednosti brzine promjene izlazne varijable, koji je za zadano referentno stanje konstanta.

Ako se kao referentno stanje odabere neko stacionarno stanje sustava, tj. stanje u kojem su sve derivacije po vremenu svih varijabli nelinearnog modela jednake nuli, tada je otklon derivacije varijable jednak derivaciji otklona varijable, ili kraće:

Za stacionarno referentno stanje: ⇒d

ddd

n

n

n

n

tx

tx ∆

=

∆ (2.7)

U skladu s time, linearni model promatranog nelinearnog sustava u okolini stacionarnog referentnog stanja dobiva oblik:

uCiCtiC ∆−=∆+

∆321 d

d

U ovoj jednadžbi nema konstantnih pribrojnika - svi pribrojnici sadrže ili otklone varijabli ili njihove derivacije. Pokazat će se da takvog oblik linearnog modela pruža značajne pogodnosti u primjeni u odnosu na oblik jednadžbe (XI) pa ćemo u daljnjim razmatranjima linearizacije i linearnih modela pretpostavljati stacionarnost referentnog stanja.

Linearizacija nelinearnog modela u stacionarnom referentnom stanju uvijek bi se odvijala na opisani način, pa se postupak može sažeti u sljedeće korake:

1. Odabire se referentno stanje kao stacionarno stanja sustava koje je ostvarivo unutar područja valjanosti nelinearnog modela i u kojem su sve nelinearne funkcije u modelu bar jednom derivabilne po svojim argumentima;

2. Pribrojnike u jednadžbama modela izražava se njihovim otklonima od referentnih vrijednosti, čime konstantni pribrojnici iz modela isčezavaju;

3. Otklone nelinearnih pribrojnika izražava se linearnom kombinacijom otklona varijabli po obrascu (2.6), a u linearnim se pribrojnicima varijablu naprosto zamijeni njenim otklonom.

Opisanim postupkom dobiva se linearni matematički model sustava u obliku linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima ili u obliku sustava takvih jednadžbi.


25

U njima nema konstantnih pribrojnika, a sve zavisne varijable linearnog modela imaju smisao otklona odgovarajućih varijabli izvornog modela od njihovih referentnih vrijednosti.

2.4 OSNOVE SIMULACIJE DINAMIČKIH SUSTAVA S KONCENTRIRANIM PARAMETRIMA

2.4.1 Osnovna ideja simulacije dinamičkog sustava

Pod pojmom simulacije podrazumijeva se mehanizirano rješavanje modela sustava sa svrhom oponašanja njegova odziva na zadanu pobudu. Kao pobuda mogu djelovati promjene ulaznih veličina, ali i neravnotežno početno stanje sustava.

Kao odziv sustava promatraju se promjene odabranih veličina koje su ili neke od varijabli stanja sustava ili su funkcije tih varijabli. Temeljna zadaća simulacije svodi se stoga na nalaženje funkcija po kojima se mijenjaju varijable stanja sustava od svojih početnih vrijednosti pa nadalje, ako se ulazne varijable sustava od početnog trenutka mijenjaju na zadani način.

Podsjetimo se da varijablama stanja nazivamo varijable čije vrijednosti u svakom trenutku vremena jednoznačno određuju stanje napunjenosti svih spremnika sustava.

Sljedeći prikaz odnosi se na simulaciju sustava s koncentriranim parametrima. Broj procesa akumulacije u takvom sustavu je konačan, a broj varijabli stanja u modelu jednak je broju spremnika u kojima se ti procesi odvijaju. Takav sustav s n spremnika i s pulaznih veličina prikazan je blok-dijagramom na slici 2.6.

u1(t)

Dinamički sustav s n

spremnika

u2(t)

x1(t)

x2(t)

up(t) xn(t)

u i (t) xj(t)

Slika 2.6 Dinamički sustav s n spremnika i s p ulaznih veličina

Funkcija ui(t) na slici 2.6 predstavlja funkciju po kojoj se ulazna veličina ui mijenja tijekom vremena, a funkcija xj(t) funkciju po kojoj se mijenja varijabla stanja xj.

Matematički model takvog dinamičkog sustava može se izraziti u obliku sustava od nsimultanih diferencijalnih jednadžbi prvog reda:


26

( )

( )

( )

( )pnnn

pnjjj

pn

pn

uuuxxxftx

uuuxxxxftx

uuuxxxftx

uuuxxxftx

,...,,,,...,,d

d..................................................

,...,,,,...,,...,,d

d..................................................

,...,,,,...,,d

d

,...,,,,...,,dd

2121

2121

212122

212111

=

=

=

=

(2.6)

što se može napisati i sažetije:

( ) njuuuxxxxftx

pnjjj ,...,2,1za,...,,,,...,,...,,

dd

2121 ==

Funkcije fj u tom sustavu mogu biti bilo kakve funkcije koje za definirane vrijednosti svojih argumenata x1,...,xn i u1,...,up daju jednoznačnu vrijednost derivacije j-te varijable stanja po vremenu.

Nezavisnu varijablu t u sustavu jednadžbi (2.6) nazvat ćemo modelskim vremenom. Ishodištem modelskog vremena t = 0 smatramo trenutak u kojem je zadano početno stanje sustava i od kojeg se promatra promjenu njegova stanja kao posljedicu zadane pobude.

Poštujući taj dogovor, rješenje sustava jednadžbi (2.6) su funkcije xj(t) (j=1,...,n) koje u području t ≥ 0 zadovoljavaju:

• sustav jednadžbi (2.6) uz zadane funkcije u1(t),...,up(t) po kojima se ulazne veličine mijenjaju od trenutka t = 0 pa nadalje;

• početne uvjete definirane vrijednostima varijabli stanja xj u trenutku t = 0:

njxxx nj ,...,2,1)0(),...,0(),...,0(1 =za (2.7)

Budući da se na lijevoj strani sustava jednadžbi (2.6) nalaze derivacije varijabli stanja po vremenu, funkcije xj(t) (j=1,...,n) kao rješenje tog sustava jednadžbi nastaju integracijom funkcija fj(x1,x2,... ,xj ,...,xn, u1,u2,...,up) po vremenu.

Integracija teče od početnog trenutka modelskog vremena t = 0 u kojem je vrijednost varijable stanja xj jednaka njenoj početnoj vrijednosti xj(0) pa do trenutka t:

( )∞<≤

=+⋅= ∫t

njxtuuuxxxxftx j

t

pnjjj

0:uz

,...,2,1za)0(d,...,,,,...,,...,,)(0

2121 (2.8)

Prisjetimo se da su u temelju matematičkog modela (2.6) jednadžbe očuvanja kao modeli procesa akumulacije, pa funkcija fj(x1,x2,...,xj,...,xn,u1,u2,...,up) u izrazu (2.8) predstavlja razliku tokova koja se akumulira u j-tom spremniku, a ona ovisi o trenutnom stanju svih spremnika sustava i o trenutnim vrijednostima vanjskih ulaza.


27

Integracija te funkcije u fizikalnoj se realnosti ostvaruje procesom akumulacije u j-tom spremniku, što je u skladu i s već istaknutom analogijom fizikalnog procesa akumulacije i matematičke operacije integriranja po vremenu (poglavlje 2.2.2.1 - izraz 2.2).

Premda se rješenje matematičkog modela u tehničkoj zbilji traži u želji da se sazna kakav će biti odziv modeliranog sustava na zadanu pobudu, u sljedećem ćemo razmatranju privremeno zamijeniti uloge sustava i njegova modela.

Uz pretpostavku da su sve varijable stanja na stvarnom modeliranom sustavu dostupne mjerenju, rješenje njegova matematičkog modela mogli bismo odrediti mjerenjem odziva varijabli stanja sustava na zadanu pobudu. Drugim riječima, stvarni modelirani sustav možemo zamisliti kao fizikalnu realizaciju njegova matematičkog modela, tj. kao "računalo" koji integrira svoj vlastiti model - slika 2.7.

Blokovi s upisanim znakom integrala ∫∫∫∫()dt na slici 2.7 - nazvat ćemo ih integratorima -predstavljaju procese akumulacije u kojima se integriraju derivacije varijabli stanja kao izlazi funkcija f1,...,fj,...,fn. Zbog preglednosti slike ucrtana su samo tri, a njihov je broj jednak broju procesa akumulacije buhvaćenih modelom.

f1 x1(t)

u1

upxn

x1

xj

fj

u1

upxn

xj

x1

fn

u1

upx1

xn

xj

u1(t)

x1(0)

xj(0)

xn(0)

tx

dd 1

tx j

dd

txn

dd

Početno stanje sustavax1(0),..., xj(0),..., xn(0)

M o d e l i r a n i s u s t a v

up(t)

xj(t)

xn(t)

ui(t)

ui

ui

ui

∫( )dt

∫( )dt

∫( )dt

Slika 2.7 Modelirani sustav kao fizikalna realizacija svojeg matematičkog modela


28

2.4.2 Ideja analogne simulacije i analognog računala

Pogled na fizikalni sustav kao na sredstvo koje "rješava" svoj vlastiti matematički model upućuje na mogućnost da se simulaciju modela jednog dinamičkog sustava ostvari s pomoću nekog drugog dinamičkog sustava, uz uvjet da su im matematički modeli isti.

Na temelju te ideje razvijeno je sredinom dvadesetog stoljeća analogno računalo -elektronički uređaj u kojem su sve varijable izražene električnim veličinama, najčešće naponima istosmjerne struje. Algebarske i logičke operacije, potrebne za realizaciju modelskih funkcija f1,...,fj,...,fn u modelu (2.6) realiziraju se u analognom računalu fizički, prikladnim elektroničkim sklopovima, a operacija integriranja svake od tih funkcija ostvaruje se procesom akumulacije električnog naboja u kondenzatoru pripadnog "integratora". Formiranje fizikalnog sustava prema zadanom matematičkom modelu vršilo se odgovarajućim spajanjem i parametriranjem komponenata računala uz pomoć razvijenih postupaka "programiranja", a izvedba računala i njegove prateće opreme omogućavala je generiranje različitih oblika pobude te mjerenje i grafički zapis vremenskih promjena napona kojima je izražen traženi odziv modela na zadanu pobudu.

Analogna računala utrla su put simulaciji kao djelotvornom alatu u rješavanju najrazličitijih problema iz oblasti dinamike sustava, a kao sredstvo za provođenje eksperimenata odigrala su i značajnu ulogu u razvoju nekih znanstvenih disciplina - posebno dinamike sustava i teorije regulacije.

U sljedećem će se poglavlju pokazati da se dinamiku sustava može uspješno simulirati i široko dostupnim osobnim digitalnim računalima, koja su u rješavanju problema regulacije procesa gotovo potpuno potisnula analogna računala iz primjene.

2.4.3 Osnove digitalne simulacije

Digitalnom simulacijom naziva se simulaciju dinamičkog sustava uz pomoć digitalnog računala, ali kako je to danas gotovo i jedini način izvođena simulacija u tehničkim primjenama, atribut digitalno najčešće se izostavlja.

U ovom poglavlju izložene su u najkraćim crtama posebnosti digitalne simulacije koje su uvjetovane načinom rada digitalnog računala, a o kojima treba voditi računa u izvođenju zahtjevnijih simulacija.

Premda je i digitalno računalo samo po sebi fizikalni sustav, njegova funkcija kao sredstva za simulaciju ne ostvaruje se neposredno fizikalnim procesima kao u simuliranom ili njemu analognom fizikalnom sustavu, već algoritmom koji je u računalo implementiran odgovarajućim računalnim programom.

Temeljna zadaća tog algoritma u slučaju simulacije dinamičkog sustava s koncentriranim parametrima je rješavanje matematičkog modela (2.6) numeričkim metodama. U matematičkom smislu ta se zadaća svodi na nalaženje funkcija x1(t),...,xn(t) koje uz promjenu ulaznih varijabli po proizvoljno zadanim funkcijama u1(t),...,up(t) zadovoljavaju:

• sustav jednadžbi (2.6);• zadane početne uvjete x1(0),...,xn(0).


29

Osnovnu ideju digitalne simulacije ilustrirat će se na primjeru jednostavnog dinamičkog sustava s dva spremnika i jednom ulaznomu veličinom. Na tom primjeru uočit ćemo i razliku između kontinuiranog karaktera modelskog vremena i njegovih funkcija u fizikalnoj realnosti i njihovog diskretnog karaktera u digitalnoj simulaciji

Model promatranog takvog sustava ima oblik:

( )

( ))(),(),(d

)(d

)(),(),(d

)(d

2122

2111

tutxtxfttx

tutxtxfttx

=

=(I)

Simulacijom želimo naći odziv modeliranog sustava na promjenu ulazne veličine kakva je prikazana na slici 2.8.

Slika 2.8 Zadani oblik promjene ulazne veličine tijekom vremena

Na slici 2.8-a prikazan je oblik promjene ulazne veličine tijekom vremena kao kontinuirana funkcija modelskog vremena t u intervalu od t = 0 do t= tmax.

Ta krivulja izgleda kao da je nacrtana rukom i ne može se opisati analitički - nekom matematičkom funkcijom. Tako zadana funkcija u(t) pripada kategoriji slučajnih funkcija vremena što, međutim, nije zapreka da se odziv modela (I) i na takav oblik promjene ulazne veličine nađe numeričkim putem.

Prije prikaza tog postupka potrebno je uočiti razliku između karaktera modelskog vremena u modelu izraženom diferencijalnim jednadžbama i modelskog vremena u digitalnoj simulaciji tog modela:

t0

u(t)

tk

uk=u(tk)

tmax

u(t)

t0 tmaxa)

b)

Funkcija u(t) - funkcija kontinuiranog vremena

Funkcija u(t) u digitalnoj simulaciji modela

h


30

• Slično kao i vrijeme u fizikalnoj realnosti, modelsko vrijeme t u modelu (I) je kontinuirana varijabla - vrijednost modelskog vremena monotono raste od početne vrijednosti t = 0 do proizvoljno zadane granične vrijednosti tmax;

• Modelsko vrijeme u digitalnoj simulaciji definirano je nizom diskretnih vrijednosti izraženih brojkama s konačnim brojem decimalnih mjesta.

Ta razlika u karakteru modelskog vremena kao nezavisne varijable odražava se i na sve njene funkcije pa tako i na zadane promjene ulazne veličine i na traženo rješenje modela.

U digitalnom računalu sve su funkcije modelskog vremena definirane u diskretnom obliku, kako je na primjeru funkcije u(t) prikazano na slici 2.8-b.

Ako je vremenski korak h između susjednih diskretnih vrijednosti vremena konstantan, tj. ako je za bilo koji k:

.1 consttth kk =−= − (II)

funkcija u(t) je definirana uređenim skupom njenih uzastopnih vrijednosti:

[ ] )(,...,,...,,)( max21 kuuuuutu kk == (III)

Vrijednost modelskog vremena koja pripada svakoj vrijednosti funkcije u skupu (III) određena je njenim rednim brojem, tj. vrijednošću indeksa k:

khtk ⋅= (IV)

U slučaju promjenjivog vremenskog koraka:

1−−= kkk tth

skup vrijednosti funkcije (III) nije dovoljan za njeno definiranje, već uz njega mora biti poznat i skup korespondentnih vrijednosti modelskog vremena:

[ ] )(,...,,...,, max21 ktttttt kk == (V)

Diskretni oblik promjene ulazne veličine u(t) na slici 2.8-b definiran je s konstantnim vremenskim korakom h, pa će se s tim istim korakom u ovom primjeru ilustrirati i postupak numeričkog rješavanja modela (I).

Oblik odziva modela ovisi o obliku promjene ulazne veličine i o početnom stanju modeliranog sustava - o vrijednostima varijabli stanja sustava u trenutku t = 0. Pretpostavit ćemo da je početno stanje zadano vrijednostima:

))

0

0

22

11

()0(()0(xxxx

=

=(VII)

Numeričko rješavanja sustava jednadžbi (2.6) ilustrirat će se primjenom najjednostavnijeg- Eulerovog postupka numeričke integracije. Postupak će se pokazati na prvih nekoliko koraka modelskog vremena obuhvaćenih kružnicom na slici 2.8.

Na slici 2.9-a u povećanom je mjerilu prikazana promjena ulazne veličine i njen diskretni zapis, a na slikama 2.9-b i 2.9-c točkama su prikazane izračunate vrijednosti varijabli stanja x1 i x2:


31

• na slici 2.9-b ucrtana je zadana početna vrijednost (x1)0 i prikazan je postupak izračunavanja vrijednosti x1(t1), x1(t2),..., x1(tk);

• na slici 2.9-c uz zadanu početnu vrijednost (x2)0 ucrtane su i izračunate vrijednosti x2(t1), x2(t2),..., x2(tk), a osim njih ucrtana je i kontinuirana funkcija x2(t)točno kao moguće točno rješenje modela (I).

Uvrštavanjem početnih vrijednosti varijabli stanja (x1)0 i (x2)0 i početne vrijednosti ulazne veličine u(0) u funkcije modela (I) izračunavaju se vrijednosti derivacija varijabli stanja u trenutku t = 0:

( )

( ))0(,)(,)(

)0(,)(,)(

020120

2

020110

uxxftx

uxxftx

t

t

=

=

=

=

dddd 1

(VIII)

Slika 2.9 Načelni prikaz digitalne simulacije modela (I) primjenom Eulerovog postupka numeričke integracije

Uz pretpostavku da se vrijednost ulazne veličine i brzina promjene varijabli stanja tijekom cijelog koraka h ne mijenjaju, tj. da su vrijednosti derivacija varijabli stanja jednake njihovim vrijednostima na početku koraka, vrijednosti varijabli x1 i x2 tijekom prvog koraka prirastaju za:

(∆x1)k

(x1)0

u(t)

t

t

x1(t)

x2(t)

(x2)0

h

(∆x1)1

h

x1(t1)=(x1)0+∆x1

0 t1 tk-1

tktk-1t10

(x1)0

u(0)

u(t2)u(tk-1)

x1(tk-1)

x1(tk-1)

h

tktk-1t10

x2(t1)

x2(tk)

t

x1(tk)

x2(tk-1)

t2

tkt2

t2

a)

b)

c)

x2(t2)

u(t1)

x1(t2)

x2(t)točno


32

( )

( ) huxxfhtxx

huxxfhtxx

t

t

⋅=⋅=∆

⋅=⋅=∆

=

=

)0(,)(,)(d

d)(

)0(,)(,)(dd)(

020120

212

020110

111

(IX)

Izračunate vrijednosti varijabli stanja na kraju prvog koraka, tj. u trenutku t1 iznose:

120212

110111

)()()()()()(xxtxxxtx

∆+=

∆+=(X)

Budući da su sada u trenutku t1 poznate vrijednosti varijabli stanja, a poznata je i nova vrijednost ulazne veličine u(t1), na isti se način mogu izračunati i vrijednosti varijabli stanja u trenutku t2.

Ponavljanjem tog postupka po istom obrascu, koji se npr. za k-ti trenutak može napisati u obliku:

( )( ))(),(),()()(

)(),(),()()(

212122

211111

kkkkk

kkkkk

tutxtxfhtxtxtutxtxfhtxtx

⋅+=

⋅+=

−

− za k=1,2,...,kmax (XI)

izračunavaju se vrijednosti varijabli stanja u uzastopnim točkama modelskog vremena, a tako dobivene točke odziva simuliranog sustava na zadanu promjenu ulazne veličine je traženi rezultat simulacije.

Opisani postupak može se primijeniti i na rješavanje modela s proizvoljnim brojem jednadžbi, tj. modela koji je u općem obliku definiran sustavom jednadžbi (2.6).

Analogno izrazu (XI), vrijednost j-te varijable stanja u k-tom vremenskom koraku izračunava se po obrascu:

( ))(),...,(),(),(),...,(),...,()()( 2111 kpkkknkjkjkjkj tutututxtxtxfhtxtx ⋅+= − (2.9)

za max,...,2,1

,...,2,1kknj

==

Pogled na izračunate točke varijable x2 i na funkciju x2(t)točno (slika 2.9-c) pokazuje da izračunate točke ne pripadaju točnom rješenju modela, već mu se samo više ili manje približavaju. Odstupanje izračunatih točaka od točnog rješenja bit će to manje što je manji vremenski korak h.

Osnovna ideja digitalne simulacije prikazana je ovdje na primjeru najjednostavnije, Eulerove metode numeričkog rješavanja sustava diferencijalnih jednadžbi oblika (2.6). Korisnicima osobnih računala dostupni su brojni matematički usmjereni programski paketi s već ugrađenim algoritmima različitih numeričkih metoda, a neki od njih namijenjeni su simulaciji dinamičkih sustava. Predodžba o simulaciji na razini ovog prikaza dovoljna je za elementarno korištenje takvih simulacijskih programa, a doprinijet će i razumijevanju brojnih ilustracija u idućim poglavljima temeljenim na simulaciji.

powerlab.fsb.hrpowerlab.fsb.hr/dinamikaprocesa/matmod_uvod_novo.pdf · title: 1 author: nikola...

Documents