応用力学研究所研究集会報告No.17ME-S2

「非線形波動および非線形力学系の現象と数理」（研究代表者　梶原健司）

Reports of RIAM Symposium No.17ME-S2

Phenomena and Mathematical Theory of Nonlinear Waves and Nonlinear Dynamical Systems

Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy,Kasuga, Fukuoka, Japan, November 9 - 12, 2005

Research Institute for Applied Mechanics

Kyushu University

May, 2006

Article No. 07

浅水波のモデル方程式の短波長極限

松野 好雅（MATSUNO Yoshimasa）

（Received February 7, 2006）

浅水波のモデル方程式の短波長極限

山口大工 松野　好雅 (MATSUNO Yoshimasa)

E-mail address: matsuno@yamaguchi-u.ac.jp

I. 序論次の非線形偏微分方程式について考察する：

ut + αux − uxxt + (β + 1)uux = βuxuxx + uuxxx, u = u(x, t). (1)

(1)は β = 2のとき Camassa-Holm(CH)方程式 [1, 2]，β = 3の時 Degasperis-Procesi(DP)方程式 [3, 4]に各々還元する．CH, 及び DP方程式のいずれも完全可積分な浅水波のモデル方程式であるが，CH方程式は数学的な議論からすでに導出されていた [5]．また，DP方程式は特異点解析(パンルーベ解析)により完全可積分な方程式の候補として最近提案された [3]．ここでは最初に上記方程式の短波長極限方程式を導出する．次にこれら方程式の解を CH，及び DP 方程式のソリトン解に短波長極限操作を施すことにより構成し，解の性質について議論する．

II. モデル方程式A. 基礎流体系

CH方程式，及びDP方程式は ２次元非粘性，非圧縮, 渦無し流体で,　外力は重力のみで表面張力は無視できる場合，流体の基礎方程式系に特異摂動法を適用することにより導出できる [6]．方程式導出上の仮定として， a) 有限振幅波，弱分散，b) 摂動展開によりオーダー ε, δ2, εδ2の項までを保持，を置く．無次元パラメータは　 a（波の代表振幅），λ（波の代表波長），h（水深）の３つからつくられる ε ≡ a/h, 及び δ ≡ h/λである．

B. CH方程式　

CH方程式は以下のように書ける：

ut + αux − uxxt + 3uux = 2uxuxx + uuxxx, u = u(x, t). (2)

ここで uは 水深 h√2' 0.707h での流体速度の水平方向成分である．

C. DP方程式　DP方程式は以下のように書ける：

ut + αux − uxxt + 4uux = 3uxuxx + uuxxx, u = u(x, t). (3)

ここで uは 水深 13

√113 h ' 0.782h での流体速度の水平方向成分である．uにより流体表面形状 η

は η = c1u + c2u2 + c3uxx のように表せる．ここで, c1, c2, c3は定数．

1

III. 短波長極限A. CH 短波長極限方程式　座標変換

ξ =x

ε, τ = εt　 (4)

及び摂動展開u = ε2(u0 + εu1 + · · ·) (5)

を導入する．(4), (5)を CH方程式 (2)へ代入すると u0は次の方程式を満たす：

u0,τξξ − αu0,ξ + 2u0,ξu0,ξξ + u0u0,ξξξ = 0.

上式を元の変数で書き直すと

utxx − αux + 2uxuxx + uuxxx = 0. (6)

(6)で α = 0と置いた式はHunter-Saxton方程式と呼ばれており，これの初期値問題は厳密に解けることが知られている [7].

B. DP 短波長極限方程式　(6)に対応する方程式は

utxx − αux + 3uxuxx + uuxxx = 0. (7)

(7)を境界条件 u → 0, |x| → ∞のもとで xで１回積分すると

utx − αu + (uux)x = 0 (8)

となるが，これはVakhnenko方程式として知られている物理系から導出された可積分方程式である [8].

IV. 短波長極限方程式の解の構成A. CH短波長極限方程式　方程式 (6)の解を CH方程式の解から極限操作により導く．

1. CH方程式のN -ソリトン解(1)で β = 2, α = 2κ2 と置いた CH方程式の N -ソリトン解は以下のパラメータ表示で書ける

[9]：

u(y, t) =∂

∂t

(ln

f2

f1

)(9)

x(y, t) =y

κ+ ln

f2

f1+ d. (10)

2

ここで

f1 =∑

µ=0,1

exp

N∑

i=1

µi(ξi − φi) +∑

1≤i<j≤N

µiµjγij

(11a)

f2 =∑

µ=0,1

exp

N∑

i=1

µi(ξi + φi) +∑

1≤i<j≤N

µiµjγij

(11b)

ξi = ki

(y − 2κ3

1− κ2k2i

t− yi0

), (i = 1, 2, ..., N) (12a)

eγij =(ki − kj)2

(ki + kj)2, (i, j = 1, 2, ..., N ; i 6= j) (12b)

e−φi =1− κki

1 + κki, (0 < κki < 1), (i = 1, 2, ..., N). (12c)

注意f1, f2は浅水波のモデル方程式 [10]

ut + uy − 4uut + 2uy

∫ ∞

yutdy − utyy = 0, u = u(y, t) (13)

のN -ソリトン解を与える τ -関数と本質的に同じである．

2. CH方程式の 1-及び 2-ソリトン解a. 1-ソリトン解　

u =2κc1k

21

1 + κ2k21 + (1− κ2k2

1) cosh ξ1, (c1 = κc1) (14a)

x− c1t− x10 =ξ1

κk1+ ln

((1− κk1)eξ1 + 1 + κk1

(1 + κk1)eξ1 + 1− κk1

)+ d (14b)

ξ1 = k1

(y − 2κ3

1− κ2k21

t− y10

), c1 =

2κ2

1− κ2k21

. (14c)

b. Peakon極限CH方程式（２）は κ = 0の時，以下に示す peakon解 [1, 2]を有する：

u(x, t) = ce−|x−ct−x0|. (15)

この解は極限操作 κ → 0, κk1 → 1により (14)から導かれる．図１に１-ソリトン解，及び peakon解を示す．パラメータは c1 = 1.0で，κの値が 0.71, 0.55, 0.28 の 3ケースに対応するソリトン解が実線で図示してある．κの値が小さくなるとソリトンの幅が狭くなり，それに伴い高さが増加することがわかる．κ → 0の極限で，ソリトンは peakon解（図の波線）に漸近する．

3

c. 2-ソリトン解f1, f2 は

f1 = 1 + eξ1−φ1 + eξ2−φ2 + δeξ1+ξ2−φ1−φ2 (16a)

f2 = 1 + eξ1+φ1 + eξ2+φ2 + δeξ1+ξ2+φ1+φ2 (16b)

と書ける．ここで

e−φi =1− κki

1 + κki, (0 < κki < 1), (i = 1, 2) (17a)

δ = eγ12 =(k1 − k2)2

(k1 + k2)2. (17b)

図２に 2-ソリトン解（c1 = 1.0, c2 = 2.0, κ = 0.5）を示す．

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5X

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

図１：1-ソリトン解，及び peakon解

-50

0

50

100

x

-20

0

20

40

t

051015

u-50

0

50

100

x

051015

u

図２：2-ソリトン解

4

3. 極限操作による方程式 (6)の解の導出a. N -カスプソリトン解最初に便宜上，CH方程式，及びそのN -ソリトン解の表式において uを−uに，tを−tに置き

換える．この操作の後に各変数，及びパラメータに対し次のスケーリングを導入する：

x =x

ε, y =

y

ε, t = εt, u =

u

ε2, ki = εki, yi0 =

yi0

ε, d =

d

ε. (18)

次に ξi → ξi + πi, (i = 1, 2, ..., N) のように位相をずらし，その後 ε → 0の極限をとる．このとき変数，及びパラメータは以下のように εのべきに展開できる：

ξi = ξi = ki(y − 2κ

k2i

− yi0) (19a)

e−φi = −(

1− 2ε

κki

)+ O(ε2) (19b)

eφi = −(

1 +2ε

κki

)+ O(ε2) (19c)

f1 = f − 1κ2

εft + O(ε2) (20a)

f2 = f +1κ2

εft + O(ε2). (20b)

ここで

f =∑

µ=0,1

exp

N∑

i=1

µiξi +∑

1≤i<j≤N

µiµj γij

(21a)

eγij =(ki − kj)2

(ki + kj)2, (i, j = 1, 2, ..., N ; i 6= j). (21b)

(19)，(20)を (9), (10)へ代入すると，方程式 (6)（ただし，u = u, x = x, t = t, α = −2κ2と置いた式）のN -カスプソリトン解のパラメータ表示が得られる：

u(y, t) =2κ2

(ln f

)tt

(22)

x(y, t) =y

κ+

2κ2

(ln f

)t+ d. (23)

b. 1-カスプソリトン解以下各文字に付けた”チルダー”を省略する．N = 1の場合，解 (22)，(23)は 1-カスプソリトン

解となる．実際、解は

u(y, t) =2k2

1

sech2 ξ1

2(24a)

x(y, t) =y

κ− 2

κk1tanh

ξ1

2+ d (24b)

5

ξ1 = k1

(y − 2κ

k21

t− y10

)(24c)

のように書ける．図３に k1 =√

2, κ = 1のときの 1-カスプソリトン解 (24)をX(≡ ξ1)の関数として実線で示す．図中の波線は c1 = 1, κ = 0に対する CH方程式の peakon解である．

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5X

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

図３：1-カスプソリトン解

B. DP短波長極限方程式　

1. DP方程式 (3)のN -ソリトン解DP方程式 (3)(ただし，α = −3κ3)のN -ソリトン解は以下のパラメータ表示を有する [11, 12]：

u(y, t) =∂

∂t

(ln

g1

g2

)(25)

x(y, t) =y

κ+ ln

g1

g2+ d (26)

ここで

g1 =∑

µ=0,1

exp

N∑

i=1

µi(ξi − φi) +∑

1≤i<j≤N

µiµjγij

(27a)

g2 =∑

µ=0,1

exp

N∑

i=1

µi(ξi + φi) +∑

1≤i<j≤N

µiµjγij

(27b)

ξi = ki

(y +

3κ4

1− κ2k2i

t− yi0

), (i = 1, 2, ..., N) (28a)

eγij =(ki − kj)2[(k2

i − kikj + k2j )κ

2 − 3](ki + kj)2[(k2

i + kikj + k2j )κ2 − 3]

, (i, j = 1, 2, ..., N ; i 6= j) (28b)

e−φi =

√√√√√(1− κki

2

)(1− κki)(

1 + κki2

)(1 + κki)

, (i = 1, 2, ..., N). (28c)

6

注意τ -関数 g1，g2 は浅水波のモデル方程式 [13]

ut − uy − utyy + 3uut − 3uy

∫ ∞

yutdy = 0, u = u(y, t) (29)

のN -ソリトン解を与える τ -関数と同じ構造を有する．2. 方程式 (7)のN -ループソリトン解

CH極限方程式の解の導出と同様の手続きにより DP極限方程式 (7)(ただし，α = −2κ3) の解は以下のように表せる：

u(y, t) =2κ3

(ln g)tt (30)

x(y, t) =y

κ+

2κ3

(ln g)t + d. (31)

g =∑

µ=0,1

exp

N∑

i=1

µiξi +∑

1≤i<j≤N

µiµjγij

(32a)

ξi = ki

(y − 3κ2

k2i

t− yi0

), (i = 1, 2, ..., N ; i 6= j) (32b)

eγij =(ki − kj)2(k2

i − kikj + k2j )

(ki + kj)2(k2i + kikj + k2

j ), (i, j = 1, 2, ..., N ; i 6= j). (32c)

以下にN = 1, 2の場合について解を書き下す．また，代表的なパラメータの値に対して各々の解を図示する．a. 1-ループソリトン解

u(y, t) =9κ

2k21

sech2 ξ1

2(33a)

x(y, t) =y

κ− 3

κk1tanh

ξ1

2+ d (33b)

ξ1 = k1

(y − 3κ2

k21

t− y10

). (33c)

図４の実線は k1 = 3/√

2に対する 1-ループソリトン解を示す．図中波線は DP方程式の peakon解を表す．b. 2-ループソリトン解2-ループソリトン解を与える τ -関数は

g = 1 + eξ1 + eξ2 + eξ1+ξ2+γ12 (34)

で与えられる．図 5に k1 = 3/√

2, k2 = 2/√

2に対する 2-ループソリトン解を示す．

7

-4 -2 0 2 4X

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u

図４：1-ループソリトン解

-10

-5

0

5

10

x

-5

0

5

t

00.51

1.52u

-10

-5

0

5

10

x

図５：2-ループソリトン解

V. 要約

1. CH，及びDP方程式の短波長極限方程式を導出し，これらの解を前者のN -ソリトン解から極限操作により導いた

2. CH短波長極限方程式に対してはカスプソリトン解を，DP短波長極限方程式に対してはループソリトン解を各々得た．

3. ここで考察した２つの短波長極限方程式の解の性質が異なるのは CH，及びDP方程式の構造の違いを反映しているものと考えられる．

8

参考文献

[1] R. Camassa and D.D. Holm, Phys. Rev. Lett. 71 (1193) 1661.

[2] R. Camassa, D.D. Holm and J.M. Hyman, Adv. Appl. Mech. 31 (1994) 1.

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[5] B. Fuchssteiner and A. Fokas, Physica D4 (1981) 47.

[6] R.S. Johnson, J. Fluid Mech. 455 (2002) 63.

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