３－２ 跳水の水理と不連続急拡・急縮水路の流れ Text3.6(上)p91-100(1) 跳水の水理

①跳水現象

落差工

床固工

•射流から常流への遷移過程において生ずる。

•流線の不連続が起きる。したがって、流速、水深、エネルギー水頭の不連続が生じている。ただし、流量、運動量の連続性は一般に維持されている。•フルード数(Fr)によってタイプが分かれる。

豊平川と札幌市

複断面

落差工

落差工

落差工

交互砂州

Flood of Aug. 5, 1981Flood of Aug. 5, 1981

Triangle-shape surface waves

Calculated water surface profile

(a)波状跳水(Undular Jump) Fr=1.0～1.7

水面がわずかに乱れて波状を呈する。エネルギー損失はほとんどない。

(b) 弱跳水(Weak Jump) Fr=1.7～2.5

表面に水平軸をもつ流速の小さな渦が形成される。下流の水面は静穏

(c) 動揺跳水(Oscillating Jump) Fr=2.5～4.5

流入ジェットが間欠的に水路底に沿って流れたり、表面に沿って流れたり時間的に変動。このため大きな波動が下流に伝わる。

(ｄ)定常跳水(Steady Jump) Fr=4.5～9.0

(e) 強跳水(Strong Jump) Fr=9.0～

安定しており、下流水面は比較的静穏

内部における激しい渦動のため波動が下流に伝播する。

(2) 跳水水深

1h2h

1v 2v

連続式 1 1 2 2q h v h v= =

運動量式(比力式)

2 22 2

1 21 2

1 12 2

q qh hgh gh

+ = +2 2

2113

1 1

v q Frgh gh

= =

とおくと運動量式は

32 2 2 2 21

1 2 1 1 12

1 12 2

hFr h Fr h hh

+ = +

21

12

h で割ると両辺を 22 21 2

1 12 1

2 2 1h hFr Frh h

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1/h h X= とおくと、

2 2 21 1

12 2 1Fr X FrX+ = + 3 2 2

1 12 2 0X Fr X X Fr− − + =

2 21( 1) 2 ( 1) 0X X Fr X− − − = 2

1( 1)( 1) 2 ( 1) 0X X X Fr X− + − − =

{ }21( 1) ( 1) 2 0X X X Fr− + − =

1X= すなわち 2 1h h= は意味を持たない

21( 1) 2 0X X Fr∴ + − = 2 2

12 0X X Fr+ − =

{ }21

1 1 8 12

X Fr= − ± + 0X> なので

{ }221

1

1 8 1 12

h Frh= + − 1 2 h h を共役水深という。と 重要

2 22 2

2 12 1

2 2

2 12 22 1

1 12 2

2 2

q qh hgh gh

q qh hgh gh

+ = +

+ = +　

運動量保存（比力保存）

エネルギー保存（比エネルギー）

2 2

2 12 22 12 2

q qh h Egh gh

+ = + −∆　

E−∆

損失エネルギー

2

1 2 2 21 2

1 1( )2qE h hg h h

∆ = − + −　

(3) 跳水によるエネルギー損失

2 222 1

1 2 21 22 ( )

h hqh hg h h

−= − +　

22 1

1 2 21 2

( ) 12 ( )

h hqh hg h h

⎧ ⎫+= − −⎨ ⎬

⎩ ⎭　

22 1

1 21 2 1 2

( ) 12

h hqh hgh h h h

⎧ ⎫+= − −⎨ ⎬

⎩ ⎭　

2

1 22qgh h　

221

31 22

hqgh h

=　　2

1 11

1 2

12

v h hgh h

=　　{ }

2 11

21

112 8 1 12

hFrFr

=+ −

　　

{ }{ }2

121 12 2

1 1

8 1 1

8 1 1 8 1 1

FrFr h

Fr Fr

+ +=

+ − + +　

212

1 121

8 1 18 1 1

FrFr h

Fr+ +

=+ −

　

( )21 1

1 8 1 18

Fr h= + +　 21 1

1 1 18 1 14 2 2

Fr h⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

　2

1

hh

21

1

1 14

h hh

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠　 2 1

11

14

h h hh

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟

⎝ ⎠　 2 1

11

14

h h hh

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟

⎝ ⎠　

( )2 114

h h= +　

22 1

1 21 2 1 2

( ) 12

h hqE h hgh h h h

⎧ ⎫+∆ = − −⎨ ⎬

⎩ ⎭1 2 2 1

1 21 2

( ) 14

h h h hh hh h

⎧ ⎫+ += − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

( )21 2 1 2

1 21 2

4( )

4h h h h

h hh h

⎧ ⎫− +⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

2 21 1 2 22h h h h− + − 2 2 2

1 1 2 2 1 2( 2 ) ( )h h h h h h= − − + = − −

( )21 2

1 21 2

( )4h h

h hh h

⎧ ⎫− −⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

( )31 2

1 24h h

h h−

= −

( )32 1

1 24h h

Eh h−

∴∆ = 重要 エネルギー損失を共役水深で表現

2 1 0h h E> ∆ >　　　　ゆえに

【問題１】

1 0.4mh =2h

1 0.4m/sv =

2v

(1) 共役水深 はいくらか？2h

(2) この跳水による損失はいくらか？

(2) 断面急拡・急縮水路における流れ

急拡急縮急拡 急縮

1 2

1

1

1

vhB

2

2

2

vhB

J

J

1 2

cos 1, 0, z A Bhx

θ ∂= = =

∂

開水路の運動量方程式

長方形断面底面水平の急拡幅水路

21 ( ) cos 0Av z hgA x x x

θ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

なので、

21 ( ) 0Bhv hBhg x x∂ ∂

+ =∂ ∂

不連続部分をはさんで1～2で積分する

2 22 2

1 1

1 ( ) 1 02

Bhv hdx B dxg x x

∂ ∂+ =

∂ ∂∫ ∫2 222

11

1 1 02

hBhv B dxg x

∂⎡ ⎤ + =⎣ ⎦ ∂∫ここで 2 22 2 2

1 1

1 1 12 2 2

J

J

h h hB dx B dx B dxx x x

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫22 2

1 21

1 12 2

J

J

h hB dx B dxx x

∂ ∂= +

∂ ∂∫ ∫22 2

1 21

1 12 2

J

JB h B h⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2 2 21 1 2 2

1 12 2J JB h h B h h⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1Jh h≈ とみられるので

2 22 2 1

102

B h h⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

1 2

1h 2h

J

J

1

Jh

2

2 2 2 22 2 2 1 1 1 2 2 1

1 1( ) ( ) 02

B h v B h v B h hg

− + − =

2 2 2 1 1 1B h v B h v Q= = なので1 1

2 12 2

B hv vB h

=

22 2 2 21 1

2 2 1 1 1 1 2 2 122 2

( )1 1 ( ) 0( ) 2B hB h v B h v B h h

g B h⎧ ⎫

− + − =⎨ ⎬⎩ ⎭

2 2 21 11 1 1 2 2 1

2 2

1 11 ( ) 02

B h B h v B h hg B h⎛ ⎞

− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

21 1B h で割って

2 21 1 1 2 2

12 2 1 1 1

11 1 02

B h v B hB h gh B h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

222 2 1

11 1 1

, ,B h vX FrB h gh

η= = =　　 とおいて

2 21

1 11 ( 1) 02

Fr XX

ηη⎛ ⎞

− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 2 21 12

2 21 0X Fr X Frη η⎛ ⎞

− + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

整理して、

X に関する、３次方程式 ３次方程式の根の公式【Cardanoの公式】

３つの根のうち、実数、正の より、 を決定する。X 2

1

hh

各自調べること。【試験に出します】

３－３ 検査断面による運動方程式の誘導

Text 3.6 (上)p91～100

【１】基礎方程式の積分によらずに、直接運動量の出入差と外力の関係式をたてるほうが簡単な場合も多い。

(1)跳水問題 1 2

1 1h v 2 2h v　

検査断面

不連続部分を囲んで検査断面を設ける。

流入運動量は

2 2 2v h vρ= ⋅ ⋅流出運動量は

1 1 1v h vρ= ⋅ ⋅差 2 1( )q v vρ= − 2 2

1 21 12 2

gh ghρ ρ= −

圧力差（外力の合計）は

2 22 2 1 1

1 12 2

qv gh qv ghρ ρ ρ ρ+ = +

2

qh 1

qh

2 22 2

2 12 1

1 12 2

q qh hgh gh

+ = +

比力保存の式に一致する。以下は解法は同じ。

このように

流出運動量－流入運動量＝検査面の表面に働く外力の合計

によって、内部が分からなくても解くことが出来る。

軸方向を正にとる。

（２）急拡問題 1 2

1 1 1, ,v h B 2 2 2, ,v h B

1 2

1P 2P

2 2 2 2 1 1 1 1v B h v v B h vρ ρ⋅ − ⋅

流出運動量－流入運動量＝外力（圧力）

2 21 2 2 2

1 12 2

gh B gh Bρ ρ= −

2 2 2 22 2 2 1 1 1 2 1 2

1 ( )2

B h v B h v B h hρ− = −

以下同様

【2】運動量の適用がふさわしいのは、

1. 流線の不連続部分が存在する場合2. 外力評価が明瞭な場合、または、作用力を求めたい場合3. 損失評価が難しい場合

これに対して、ベルヌイの式を用いた方が良いのは、

1. 流線が連続している場合2. 外力評価が難しい場合3. 損失評価が明瞭な場合、または損失を求めたい場合

【問題】ゲートから流出する流れの単位幅流量を求めよ。

H

hv

流線は連続

外力評価は不明瞭な所あり

ベルヌイの式を用いると2

02vH hg

+ = +21

2qH h

g h⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

22 ( )q g H h h= − ⋅

もし、運動量式を用いると、

検査断面

2 21 10 ( )2 2

vh v gH g H hρ ρ ρ⋅ − = − − 212

ghρ−

???

???

{ }2

2 2 2 21 22

q g H H Hh h hh

ρ ρ= − + − −1 2( )2

g H h hρ= − 2 2( )q g H h h= −

( )q g H h h= − ⋅合わないのは外力評価が不十分なため