Н КОВАЛЬНОГОВvenec.ulstu.ru/lib/disk/2010/kovalnogov.pdf · пространства...
TRANSCRIPT
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н. Н. КОВАЛЬНОГОВ
Ульяновск 2010
УДК 629.7.015:533.6 ББК 22.253.3
К56
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Фафурин А.В. (Казанский государственный технологический уни-верситет); д-р техн. наук, профессор Щукин А.В. (Ка-занский государственный технический университет им. А.Н. Туполева)
УДК 629.7.015:533.6
Ковальногов, Н. Н. Прикладная механика жидкости и газа / Н. Н. Ковальногов. –
Ульяновск УлГТУ, 2010. – 219 с. Дано систематизированное изложение физических основ механики жидко-
сти и газа, рассмотрены описание, методы моделирования и расчета процессов движения потоков, а также их взаимодействия с обтекаемыми поверхностями. Содержание монографии и распределение материала по разделам определены ее приложением к теплоэнергетике и теплотехнике.
Книга предназначена для инженерно-технических работников. Она может оказаться полезной студентами старших курсов и аспирантам теплотехнических и теплоэнергетических специальностей.
© Ковальногов Н. Н., 2010 ISBN 978-5-9795–0629-6 © Оформление. УлГТУ, 2010
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................................................................................................... 6 Основные обозначения ....................................................................................... 7 Введение ............................................................................................................... 8 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА ..................................................................................................................... 9
1.1. Подходы к изучению движущихся потоков и модельные представления .............................................................................................. 9 1.2. Основные физические свойства и параметры течения жидкостей и газов ..................................................................................... 11
2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ .......................................................................... 15 2.1. Методы кинематического исследования движения жидкости и газа ......................................................................................... 15
2.1.1. Метод Лагранжа ...................................................................... 15 2.1.2. Метод Эйлера .......................................................................... 16
2.2. Линии и трубки тока .......................................................................... 16 2.3. Скорости деформации жидкой частицы .......................................... 18 2.4. Понятие о вихревом и безвихревом течениях ................................. 21 2.5. Циркуляция скорости ........................................................................ 22
3. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ............................................................................... 24 3.1. Силы, действующие на частицу сплошной среды. Напряженное состояние элементарного объема ............................................................ 24 3.2. Содержание математической формулировки задачи движения потоков жидкости и газа ........................................................................... 26 3.3. Дифференциальное уравнение неразрывности ............................... 28 3.4. Дифференциальное уравнение движения ........................................ 29 3.5. Важнейшие частные формы уравнения движения ......................... 35
3.5.1. Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя ............................................................................ 36 3.5.2. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости ............................................................................................ 39
3.6. Дифференциальное уравнение энергии ........................................... 42 4. ОСНОВЫ АЭРОГИДРОСТАТИКИ ............................................................ 49
4.1. Уравнения равновесия. Гидростатический закон ........................... 49 4.2. Равновесие и устойчивость тел, погруженных в жидкость ........... 50 4.3. Равновесие земной атмосферы ......................................................... 52
5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ..................................................................................... 54 5.1. Возникновение турбулентности. Режимы течения потока ............ 54 5.2. Особенности турбулентного течения ............................................... 56 5.3. Важнейшие статистические характеристики турбулентности ...... 58
5.3.1. Интенсивность турбулентного движения ............................ 58
4
5.3.2. Масштаб турбулентности ....................................................... 60 5.3.3. Частотный спектр турбулентных пульсаций ....................... 63
5.4. Дополнительные турбулентные напряжения в движущемся потоке. Уравнения движения и энергии для осредненных параметров ................................................................................................. 66 5.5. Моделирование процессов турбулентного переноса ..................... 69
5.5.1. Прямое численное моделирование турбулентных течений ............................................................................................... 69 5.5.2. Дифференциальные модели турбулентности ...................... 71 5.5.3. Модель пути смешения Прандтля ......................................... 76
5.6. Обобщение модели пути смешения на сложные газодинамические условия ....................................................................... 78
5.6.1. Длина пути смешения в пограничном слое с пространственно-временной перестройкой профиля скорости ............................................................................................. 79 5.6.2. Длина пути смешения в пограничном слое с неоднородным полем давления .................................................... 82 5.6.3. Длина пути смешения в потоке с периодическим изменением параметров.................................................................... 85
6. ПОДОБИЕ ГИДРОГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ .................. 88 6.1. Основы подобия физических процессов ......................................... 88 6.2. Выявление обобщенных переменных из математической формулировки задачи ............................................................................... 93 6.3. Выявление чисел подобия на основе анализа размерностей ......... 97 6.4. Моделирование технических устройств .......................................... 99
7. ГИДРОГАЗОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ ......................... 105 7.1. Одномерное движение несжимаемой жидкости ........................... 105 7.2. Одномерное движение сжимаемой жидкости ............................... 106 7.3. Распространение слабых возмущений в потоке. Скорость звука .......................................................................................................... 107 7.4. Максимальная и критическая скорости течения газа ................... 111 7.5. Газодинамические функции параметров состояния ..................... 114 7.6. Связь между скоростью движения потока и площадью проходного сечения канала .................................................................... 116 7.7. Газодинамическая функция расхода .............................................. 118 7.8. Расчетные режимы течения газа в канале, имеющем горло ........ 120 7.9. Нерасчетные режимы течения газа в канале, имеющем горло ... 123
8. ГАЗОДИНАМИКА СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ ............................ 129 8.1. Обтекание выпуклой поверхности с изломом контура ................ 129 8.2. Пересечение и отражение слабых волн ......................................... 136 8.3. Скачки уплотнения .......................................................................... 140
5
8.4. Изменение параметров потока при прохождении прямого скачка уплотнения ................................................................................... 141 8.5. Изменение параметров потока при прохождении косого скачка уплотнения ................................................................................... 145
9. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ПОТОКА. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ............... 150 9.1. Математическая формулировка задачи расчета пограничного слоя ................................................................................... 150 9.2. Численный метод решения системы дифференциальных уравнений пограничного слоя ............................................................... 153 9.3. Интегральные уравнения пограничного слоя ............................... 160 9.4. Структура турбулентного пристеночного пограничного слоя ... 162 9.5. Профили касательного напряжения и скорости в пристеночном пограничном слое ....................................................... 163 9.6. Структура струи ............................................................................... 167 9.7. Решение интегрального уравнения пограничного слоя ............... 169
10. СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОТОКА С ПОВЕРХНОСТЬЮ. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ .................................................. 173
10.1. Сопротивление пластины .............................................................. 173 10.2. Лобовое сопротивление поперечно обтекаемого цилиндра и шара ....................................................................................................... 176 10.3. Потери давления при внутреннем течении в каналах ................ 179
11. МАКРО- И МИКРОСТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА С ИНТЕНСИВНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ................................................ 185
11.1. Стационарный турбулентный поток в конфузорах с большим отрицательным продольным градиентом давления ............................ 185 11.2. Турбулизированный поток в конфузорах с большим отрицательным продольным градиентом давления ............................ 192 11.3. Пульсирующее течение в трубе .................................................... 197 11.4. Пульсирующее течение в конфузоре ........................................... 201
12. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА ... 206 12.1. Периодическое изменение параметров потока ........................... 207 12.2. Ламинаризация пограничного слоя на перфорированной поверхности с глухими демпфирующими полостями ........................ 209
Заключение....................................................................................................... 218 Библиографический список ............................................................................ 219
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Специалисту-теплоэнергетику часто приходится иметь дело с движе-нием потоков жидкости и газа в различных элементах тепловых машин, механизмов и систем. Поэтому для выполнения расчетов и оптимизации гидрогазодинамических процессов ему необходима комплексная, компакт-ная и отражающая современные достижения науки информация о законах и закономерностях движения потоков жидкости и газа и их силового взаи-модействия с обтекаемыми поверхностями. Существующая в настоящее время литература по механике жидкости и газа [1–15] либо имеет солид-ный возраст и не отражает последних достижений науки, либо не ориенти-рована на специалистов-теплоэнергетиков, либо отражает лишь некоторые ее разделы.
Предлагаемая монография в определенной степени призвана воспол-нить этот пробел. В ней отражены актуальные результаты исследований автора (в части моделирования турбулентного переноса, дифференциаль-ных методов анализа пограничного слоя, исследования высокоскоростных течений, исследования турбулентной структуры стационарного и неста-ционарного пограничных слоев в потоках с интенсивными воздействиями, управление турбулентным переносом), а также систематизированы и пере-работаны (с учетом современных достижений классической механики жидкости и газа и возможностей компьютерного моделирования гидрога-зодинамических процессов) известные результаты исследований в смеж-ных разделах. Автор стремился создать компактный и достаточно авто-номный источник систематизированной информации по механике жидко-сти и газа в приложении к теплоэнергетике и теплотехнике. Это определи-ло структуру и содержание монографии.
Книга предназначена для инженерно-технических работников. Она может оказаться полезной студентами старших курсов и аспирантам соот-ветствующих специальностей.
7
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
zyx ,, – координаты декартовой системы; zr ,, – координаты цилиндрической системы;
ZYX ,, – проекции вектора внешней массовой силы на координатные оси zyx ,, соответственно;
wvu ,, – проекции вектора скорости потока на координатные оси zyx ,, ; – время, касательное напряжение; – нормальное напряжение; – плотность; p – давление; T – температура; i – энтальпия; s – энтропия; – потенциал скорости; – функция тока; – циркуляция скорости; – динамический коэффициент вязкости, молекулярная масса; – кинематический коэффициент вязкости; – коэффициент теплопроводности, приведенная скорость;
vp cc , – удельные изобарная и изохорная теплоемкости соответственно;
– толщина пограничного слоя; k – показатель адиабаты; R – газовая постоянная;
R – универсальная газовая постоянная;
a – скорость звука; Kn – число Кнудсена; Re – число Рейнольдса; Eu – число Эйлера; M – число Маха;
Nu – число Нуссельта; Pr – число Прандтля; St – число Стантона; Sh – число Струхаля; Fo – число Фурье.
8
ВВЕДЕНИЕ Механика жидкости и газа представляет собой часть механики и изу-
чает законы и закономерности движения потоков жидкости и газа, а также силового взаимодействия движущейся или покоящейся жидкости (или га-за) с телами и поверхностями. Она включает в себя гидравлику, гидродина-мику, аэродинамику, газовую динамику. В гидравлике и гидродинамике рассматриваются задачи механики несжимаемой жидкости, например, во-ды. Причем в гидравлике акцент делается на изучении вязкой жидкости, а в гидродинамике – на изучении идеальной жидкости, лишенной вязкости. В аэродинамике изучается движение воздуха, причем до тех пор, пока рас-смотрение ограничивается областью невысоких скоростей, воздух пред-ставляют как несжимаемую жидкость. При переходе к большим скоростям необходим учет сжимаемости, подвода и отвода тепла. Газовая динамика изучает движение газовых потоков в широком диапазоне скоростей.
Механика жидкости и газа – наука, во многом базирующаяся на экс-периментальных данных. Многие законы и закономерности движения по-токов жидкости и газа установлены экспериментально. Прежде всего это относится к турбулентным течениям. Строгая и полная теория турбулент-ности не создана до настоящего времени, поэтому все методы расчета тур-булентных течений (а именно турбулентный режим течения реализуется в большинстве технических устройств) базируются на экспериментально ус-тановленных закономерностях.
9
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
1.1. Подходы к изучению движущихся потоков и модельные представления Движение жидкости и газа можно изучать на микроскопическом и
макроскопическом уровнях, отличающихся степенью детализации процес-сов. Микроскопический уровень познания предполагает получение инфор-мации о положении и скорости отдельных молекул потока в интересующие моменты времени. Такой подход оправдан при исследовании разреженных сред и свободномолекулярных потоков. Он базируется на молекулярно-кинетической теории (см., например, [9]) и уравнениях Больцмана.
Степень разреженности среды характеризуется числом Кнудсена Kn LlKn , (1.1)
где l – длина свободного пробега молекул; L – характерный размер иссле-дуемого объекта.
При 1Kn газ называют разреженным, а при 1Kn реализуется свободномолекулярный поток.
При 1Kn длина свободного пробега молекул оказывается много меньше характерного размера объекта, поэтому в этих условиях при изу-чении движения потоков жидкости и газа можно отвлечься от молекуляр-ного строения вещества и считать среду сплошной. Молекулярное строе-ние вещества учитывается в этом случае через теплофизические свойства среды (вязкость, теплопроводность, диффузию и др.). Такой подход к изучению называют макроскопическим. Он предполагает получение ин-формации о скорости, давлении и других параметрах потока в интересую-щих точках в интересующие моменты времен. При решении большинства гидрогазодинамических задач применительно к наземным теплоэнергети-ческим установкам может быть использован макроскопический подход.
В теплоэнергетике широко используется понятие рабочего тела. Рабо-чее тело – это движущаяся среда (поток жидкости или газа), которая слу-жит в качестве посредника в процессе преобразования теплоты в механи-ческую работу или в процессе передачи энергии из одного места в другое. Наибольшее применение в теплоэнергетике находят такие рабочие тела, как воздух, продукты сгорания углеводородов или других топлив, водяной пар, а в гидромашинах – вода или минеральные масла. Все эти вещества обладают различными свойствами. Если гидрогазодинамический анализ производить, принимая во внимание все свойства рабочего тела, то задача неоправданно усложняется. Если же принимать во внимание только те из них, которые оказывают значимое влияние на интересующие параметры потока, то задача существенно упрощается без заметного ущерба для точ-
10
ности. В этой связи в механике жидкости и газа пользуются понятиями мо-дельных жидкостей. Модельная жидкость – это воображаемая жидкость, лишенная некоторых свойств реальной жидкости. Так, например, изучая движение жидкости вдали от обтекаемой поверхности, часто оказывается возможным пренебречь ее вязкостью.
Рассмотрим модели жидкости, получившие наиболее широкое приме-нение.
Идеальная жидкость – это жидкость, лишенная вязкости. Несжимаемая жидкость – это жидкость, не изменяющая плотности
при изменении давления. Совершенная жидкость – это несжимаемая жидкость, в которой си-
лы сцепления между молекулами отсутствуют, а собственный объем моле-кул равен нулю.
Совершенный газ – это сжимаемая жидкость (газ), в которой силы сцепления между молекулами отсутствуют, а собственный объем молекул равен нулю.
Совершенный газ, лишенный вязкости, называют идеальным газом. Бароклинная жидкость – это газ, плотность которого является функ-
цией давления и температуры. Баротропная жидкость – это газ, у которого плотность зависит толь-
ко от давления. В механике жидкости и газа различают установившееся (стационар-
ное) и неустановившееся (нестационарное) движение потока. В установившемся движении все параметры потока (скорости wvu ,, ,
давление p , температура T , плотность ) зависят только от координат рассматриваемой точки zyx ,, , но не зависят от времени . Таким образом, в любой точке пространства параметры стационарного потока не изменя-ются с течением времени.
Если хотя бы один из параметров потока хотя бы в одной из точек пространства меняется с течением времени, то движение будет неустано-вившимся.
В общем случае изменение параметров потока происходит в направ-лении всех трех координатных осей. Такое течение называют пространст-венным или трехмерным. Если изменение параметров происходит по двум направлениям, то такое движение называют двумерным. Частным случаем двумерного движения является плоское, в котором течение происходит в одной плоскости. Другим частным случаем двумерного движения является осесимметричное течение, при котором параметры не изменяются в ок-ружном направлении ( – угловая координата цилиндрической системы координат). Примерами осесимметричного потока могут служить движе-ние в круглом канале или продольное обтекание тела вращения. Нако-
11
нец, если изменение параметров потока происходит только в одном на-правлении, то движение называется одномерным.
1.2. Основные физические свойства и параметры течения жидкостей и газов Газ в состоянии покоя характеризуется термодинамическими пара-
метрами состояния: давлением p , температурой T и плотностью . Для идеального газа связь между этими параметрами выражается уравнением состояния (уравнением Менделеева-Клапейрона)
RTp
. (1.2)
Газовая постоянная R выражается через универсальную газовую по-
стоянную Ккмоль
Дж3,8314
R и молекулярную массу газа г
гRR . (1.3)
Значения молекулярной массы и газовой постоянной некоторых газов приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Молекулярная масса и газовая постоянная
Газ Химическая формула
г , кмолькг
R , КкгДж
Водород 2H 2,016 4124,5
Гелий He 4,003 2077,3 Метан 4CH 16,043 518,3
Водяной пар OH2 18,016 461,5
Азот 2N 28,016 296,8
Кислород 2O 32,0 259,9
Диоксид углерода 2CO 44,01 188,9
Воздух – 28,97 287,0
Уравнение состояния идеального газа (1.2) позволяет получать удов-летворительные результаты при решении многих задач механики жидкости и газа. Заметные отклонения от свойств идеального газа наблюдаются при высоких давлениях и низких температурах. При высоких давлениях кон-центрация молекул увеличивается, и пренебрежение их взаимодействием в рамках модели идеального газа приводит к существенным погрешностям. При понижении температуры газ приближается к состоянию насыщения и
12
переходу в жидкое состояние. Чем ближе находится газ от состояния на-сыщения, тем больше отклоняются его свойства от свойств идеального га-за.
Для реальных газов (в том числе паров, близких к состоянию насыще-ния) рекомендуется использовать полуэмпирические уравнения состояния реальных газов. Широкое применение нашло уравнение Ван-дер-Ваальса
RTbap
12 . (1.4)
Это уравнение отличается от уравнения Менделеева-Клапейрона дву-мя поправками: поправкой b на объем самих молекул и поправкой a на их силовое взаимодействие. Значения поправок a и b зависят от вида газа и определяются на основе эксперимента.
Параметры несжимаемой жидкости p , T , а для газа – еще и , в об-щем случае зависят от координат и времени:
.,,,;,,,;,,, zyxzyxTTzyxpp (1.5) При движении потока наряду с зависимостями (1.5) должны быть оп-
ределены и проекции вектора скорости wvu ,, .,,,;,,,;,,, zyxwwzyxvvzyxuu (1.6)
Для установившегося течения выражения (1.5), (1.6) принимают вид .,,;,,;,, zyxzyxTTzyxpp (1.7) .,,;,,;,, zyxwwzyxvvzyxuu (1.8)
На основе выражений (1.5), (1.6) или (1.7), (1.8) в последующем опре-деляются напряжения в потоке, а также его силовое и тепловое взаимодей-ствие с обтекаемой поверхностью.
К важнейшим свойствам реальной жидкости (или газа) относится вяз-кость. Вязкость обусловлена взаимодействием молекул и проявляется че-рез возникновение касательных напряжений в движущемся потоке с по-перечными (относительно направления движения) градиентами скорости (в потоке с поперечным сдвигом).
В плоском потоке с поперечным сдвигом касательное напряжение вы-ражается законом трения Ньютона
y
u
, (1.9)
где – динамический коэффициент вязкости, сПа . Динамический коэффициент вязкости реальных жидкостей и газов за-
висит от температуры и давления. Однако зависимость от давления являет-ся слабой, и в инженерных расчетах ею обычно пренебрегают.
Зависимость величины от температуры выражается формулами, полученными на основе молекулярно-кинетической теории или на основе эксперимента. Среди таких зависимостей широкое применение находит
13
формула Сатерленда, полученная на основе молекулярно-кинетической теории:
s
s
TT
TT
T
T
0
5,1
00
. (1.10)
Здесь 0 – динамический коэффициент вязкости при некоторой тем-пературе 0T ; sT – постоянная Сатерленда.
Значения 0 (при К2730 T ) и постоянной sT для некоторых газов приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Коэффициенты в формуле Сатерленда
Газ 6
0 10 , сПа
sT ,
К Водород 0,87 75 Гелий 1,91 80 Водяной пар 0,92 650 Азот 1,73 107 Кислород 1,99 138 Диоксид углерода 1,45 250 Воздух 1,78 122
Для газов при проведении инженерных расчетов может быть реко-
мендована более простая эмпирическая зависимость n
T
T
00
, (1.11)
где n – эмпирический коэффициент, зависящий от вида газа и температур-ного диапазона.
Кроме динамического коэффициента вязкости при анализе потоков жидкости и газа используется кинематический коэффициент вязкости
. Кинематический коэффициент вязкости газов (в отличие от ко-эффициента ) существенно зависит от давления.
Движение неизотермичных потоков, температура которых претерпе-вает изменение в пространстве, сопровождается переносом теплоты по-средством теплопроводности. Плотность теплового потока q (тепловой поток через единицу площади), передаваемого теплопроводностью, опре-деляется законом Фурье
n
Tq
, (1.12)
14
где – коэффициент теплопроводности, КмВт ; n – нормаль к изо-термической поверхности.
Коэффициент теплопроводности реальных жидкостей и газов, как и динамический коэффициент вязкости, зависит от температуры и давления. Однако зависимость от давления является слабой, и в инженерных расче-тах ею обычно пренебрегают. Значения динамического коэффициента вяз-кости и коэффициента теплопроводности некоторых веществ приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Теплофизические свойства некоторых веществ
Вещество ,T К
410 , сПа
, КмВт
Вода 293 10,04 0,599 Трансформаторное масло 293 198,20 0,111 Воздух 293 0,181 0,0259 Дымовые газы 473 0,245 0,0401
Для идеальной жидкости 0 .
15
2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ Кинематика изучает движение потоков без анализа сил, действием ко-
торых оно обусловлено. 2.1. Методы кинематического исследования движения жидкости и газа Существуют два метода исследования, предложенные Лагранжем и
Эйлером. Этим обстоятельством определяются и их названия – метод Ла-гранжа и метод Эйлера.
2.1.1. Метод Лагранжа Суть метода заключается в том, что по известному исходному поло-
жению каждой выделенной частицы движущейся среды отслеживается ее положение в последующие моменты времени. При этом наблюдатель как бы перемещается вместе с частицей.
Выделим некоторую частицу ,M исходное положение которой 0M определяется координатами 000 ,, zyx (см. рис. 2.1). Положение частицы в произвольный момент времени определяется координатами zyx ,, .
Рис. 2.1. Выделенная частица потока и траектория ее движения
y0
y
y
xx0
M0(x0,y0,z0)
M(x,y,z) Траектория
x
z
z
z0
16
Координаты zyx ,, , определяющие положение частицы, можно выра-зить соотношениями
.,,,
;,,,
;,,,
0003
0002
0001
zyxfz
zyxfy
zyxfx
(2.1)
Переменные ,,, 000 zyx , входящие в правые части выражений (2.1), называют переменными Лагранжа.
С помощью соотношений (2.1) определяются проекции вектора ско-рости на координатные оси.
.
,,,
;,,,
;,,,
0003
0002
0001
zyxfw
zyxfv
zyxfu
(2.2)
Геометрическое место точек пребывания частицы в пространстве в различные моменты времени называют траекторией.
2.1.2. Метод Эйлера Суть метода заключается в том, что отслеживается изменение во вре-
мени параметров движущихся частиц в конкретной точке исследуемой об-ласти. В отличие от метода Лагранжа здесь рассматриваются не отдельные частицы среды, а отдельные точки пространства, через каждую из которых проходит множество частиц. При этом наблюдатель остается неподвиж-ным.
Распределение скорости потока в исследуемой области называют по-лем скоростей. Поле скоростей может быть описано уравнениями вида
.,,,
;,,,
;,,,
3
2
1
zyxFw
zyxFv
zyxFu
(2.3)
Переменные ,,, zyx , входящие в правые части выражений (2.3), на-зывают переменными Эйлера.
2.2. Линии и трубки тока Выделим некоторую область пространства, заполненную сплошной
средой. Пусть в каждой точке пространства в данный момент времени из-вестны направление и величина скорости. Выберем некоторую точку 1
17
(рис. 2.2), вектор скорости в которой обозначим 1V
. Возьмем точку 2, рас-
положенную на векторе скорости 1V
вблизи точки 1. Вектор скорости в
точке 2 обозначим 2V
. На векторе 2V
возьмем точку 3, расположенную
вблизи точки 2, с вектором скорости 3V
и т. д.
Отрезки между точками 1, 2, 3 образуют некоторую ломаную линию.
Если провести огибающую векторов скорости, то получим линию, которая называется линией тока. Следовательно, линия тока представляет собой геометрическое место точек, в которых в данный момент времени различ-ные частицы имеют скорости, направленные по касательным к ней.
Различие между линией тока и траекторией заключается в том, что на линии тока скорости различных частиц среды в данный момент времени направлены по касательным к ней, а на траектории скорость одной и той же частицы в разные моменты времени направлена по касательной к ней.
При установившемся движении линии тока совпадают с траектория-ми. При неустановившемся движении линии тока с течением времени мо-гут изменять свою форму и не совпадают с траекториями (см. рис. 2.3).
Выделим на линии тока элементарный отрезок ds . Его проекции на координатные оси zyx ,, обозначим соответственно dzdydx ,, . Выразим
косинусы углов между отрезком ds (или вектором скорости V
, имеющим общее начало с отрезком ds ) и осями координат:
.сos;сos;сosds
dz
V
w
ds
dy
V
v
ds
dx
V
uVzVyVx
(2.4)
Выражение (2.4) можно представить в виде
.w
dz
v
dy
u
dx
V
ds (2.5)
Выражение (2.5) называют уравнением линии тока.
Линия тока
1
2V
3
1V
3V
V
2
Рис. 2.2. Линия тока
1V
2V
Линия тока
Траектория
Траектория
2 1
Рис. 2.3. Линия тока и траектории
18
Выделим в движущейся жидкости замкнутый элементарный контур (см. рис. 2.4) и проведем через каждую его точку линию тока.
Совокупность всех линий тока образу-ет некоторую замкнутую поверхность, ко-торая называется трубкой тока. Жидкость,
движущаяся внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Из определения линии тока следует, что трубка тока является непро-
ницаемой для жидкости, поэтому при установившемся движении в любом сечении элементарной струйки массовый расход жидкости остается неиз-менным.
const VG . (2.6)
Уравнение (2.6) называют уравнением массового расхода в элемен-тарной струйке.
Для несжимаемой жидкости const , поэтому уравнение (2.6) может быть представлено в виде
constV . (2.7) Уравнение (2.7) называют уравнением объемного расхода в элемен-
тарной струйке. 2.3. Скорости деформации жидкой частицы Каждый элементарный объем движущейся жидкости участвует в
сложном движении. Это сложное движение складывается из поступатель-ного движения по траектории, вращательного движения относительно собственных осей, деформационного движения, обусловленного подвиж-ностью частиц жидкости и возможностью их смещения относительно друг друга. Соответственно и скорость перемещения элементарного объема складывается из скоростей поступательного, вращательного и деформаци-онного движений.
Определим скорости деформаций и вращения частицы. Для этого рас-смотрим элементарный объем жидкости, взятый в форме прямоугольного параллелепипеда. Проекции этого объема на координатную плоскость x0y в моменты времени, разделенные элементарным промежутком d , показа-ны на рис. 2.5.
Здесь ABCD – исходное положение элементарного объема; DCBA – его положение по истечении времени d .
Для решения поставленной задачи совместим точки A и A , наложив на объем DCBA исходную конфигурацию анализируемой частицы
Рис. 2.4. Трубка тока
19
ABCD (на рис. 2.5 наложенная исходная конфигурация изображена пунк-тирной линией).
В точке A , имеющей координаты x, y, z, составляющие скорости жидкости могут быть выражены соотношениями
.,,;,,;,, zyxwwzyxvvzyxuu AAA (2.8)
Разложением функций (2.8) в ряд Тейлора с сохранением двух первых
членов выразим продольную u и поперечную v составляющие скорости жидкости в точках B и D :
.; dyy
vvvdy
y
uuu ABAB
(2.9)
.; dxx
vvvdx
x
uuu ADAD
(2.10)
Скорости линейной деформации частицы в направлении оси x – x , оси y – y и оси z – z представляют собой изменение в единицу времени
ее линейных размеров в направлении соответствующих осей, отнесенное к исходному размеру. Для координатных осей x и y, в плоскости x0y имеем
.;
y
v
dyd
dvv
x
u
dxd
duu ABy
ADx
(2.11)
По аналогии получим выражение для скорости деформации z
.z
wz
(2.12)
Найдем углы 21, dd . Учитывая малость каждого из них, имеем
;tg 11 d
dy
du
dy
duudd AB
(2.13)
А
B С
D
0 х
у
dу
Рис. 2.5. Деформация частицы в процессе движения
u v
А, A’
B С
D u
v
B'
С'
D'
E E'
Du
D vBu
Bv
d2
d1 d
dx
20
.tg 22 d
dx
dv
dx
dvvdd AD
(2.14)
Скорость угловой деформации частицы yx, в плоскости x0y пред-
ставляет собой изменение полусуммы углов 21, dd в единицу времени.
.
2
1
221
,
x
v
y
u
d
ddyx
(2.15)
Аналогичные рассуждения для плоскостей y0z и x0z позволяют полу-чить выражения для скоростей угловых деформаций zy , и zx, :
.2
1;
2
1,,
x
w
z
u
y
w
z
vzxzy (2.16)
Совокупность всех скоростей деформации можно представить в виде матрицы M, которую называют тензором скоростей деформации:
zzyzx
zyyyx
zxyxx
M
,,
,,
,,
. (2.17)
Угловая скорость вращения частицы вокруг оси z представляет собой изменение в единицу времени угла поворота d биссектрисы AE. Угол d принято считать положительным, если поворот биссектрисы из положения AE в положение EA осуществляется против часовой стрелки и отрица-тельным – в противном случае.
С учетом принятой системы знаков составим очевидные равенства для определения угла d (см. рис. 2.5).
.4
;4
2
1
dEADd
dEABd (2.18)
Учитывая, что EADEAB , из решения системы (2.18) получаем .212 ddd (2.19)
С помощью выражений (2.13), (2.14), (2.18) определим угловую ско-рость z .
.2
1
y
u
x
v
d
dz
(2.20)
Аналогично определяются угловые скорости yx , :
.2
1;
2
1
x
w
z
u
z
v
y
wyx (2.21)
Вектор угловой скорости вращения можно выразить соотношением
zyx kji
, (2.22)
21
где kji
,, – единичные орты, направленные вдоль осей zyx ,, соответст-венно.
Вектор направлен по нормали к плоскости вращения. Удвоенное значение вектора называют вихрем скорости и обозна-
чают символом
. Vrot
. (2.23)
Связь между величинами
, , а также их проекциями на координат-ные оси выражается соотношениями
.2
1;
2
1;
2
1;
2
1zzyyxx
(2.24)
Выразим скорости 111 ,, wvu в некоторой точке 1 с координатами zzyyxx ,, через скорости 000 ,, wvu в точке 0 с координатами
zyx ,, . Разложив функции wvu ,, в ряд Тейлора в окрестности точки 0 (огра-
ничившись членами первого порядка), получим
.
;
;
01
01
01
zz
wy
y
wx
x
www
zz
vy
y
vx
x
vvv
zz
uy
y
ux
x
uuu
(2.25)
Выражения (2.25) с помощью зависимостей (2.15), (2.16), (2.20), (2.21) можно преобразовать к виду
.
;
;
,,01
,,01
,,01
xyzyxww
zxzyxvv
yzzyxuu
yxzzyzx
xzzyyyx
zyzxyxx
(2.26)
Формулы (2.26) выражают скорость в произвольной точке 1 потока через скорости поступательного, деформационного и вращательного дви-жений.
2.4. Понятие о вихревом и безвихревом течениях В зависимости от значения вектора угловой скорости вращения час-
тиц различают вихревое и безвихревое (потенциальное) течения. Вихревое течение имеет место при 0 ( 0
), а безвихревое – при 0 ( 0
).
Движение вязкой среды всегда является вихревым: из-за внутреннего трения в вязкой жидкости образуются вихревые области, однако при тече-
22
нии вдали от обтекаемой поверхности поток по свойствам приближается к потенциальному.
Для вихревого течения по аналогии с линией тока можно ввести поня-тие вихревой линии. Вихревая линия представляет собой геометрическое место точек, в которых направление вектора угловой скорости вращения частиц (вектора вихря) совпадает с направлением касательной.
Дифференциальное уравнение вихревой линии можно представить в виде
.zyx
dzdydx
(2.27)
Замкнутую поверхность, образованную вихревыми линиями, называ-ют вихревой трубкой. Жидкость внутри вихревой трубки образует вихре-вой шнур.
Для безвихревого течения из условия 0 следует 0 zyx
или
.0;0;0
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w (2.28)
Соотношения (2.28) можно представить в виде
.;;y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
(2.29)
Равенства (2.29) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы дифференциальный трехчлен вида wdzvdyudx был полным дифференциалом некоторой функции ,,, zyx :
.wdzvdyudxdzz
dyy
dxx
d
(2.30)
Из (2.30) следует
.;;z
wy
vx
u
(2.31)
Функцию ,,, zyx называют потенциалом скорости. 2.5. Циркуляция скорости Внутри конечных объемов жидкости различные частицы вращаются с
разными скоростями и могут вращаться даже в разные стороны. Поэтому, в отличие от твердого тела, во всех точках которого угловая скорость одина-кова, вращательное движение жидкости нельзя характеризовать вектором угловой скорости. Для этой цели вводится специальная величина, назы-ваемая циркуляцией скорости.
Циркуляцию скорости можно вычислять по любому участку произ-вольной кривой, проведенной в жидкости, или по замкнутой кривой.
23
В первом случае ее называют циркуляцией скорости по дуге, во втором – циркуляцией по замкнутому контуру.
Выделим в движущей-ся среде некоторый замк-нутый контур C (рис. 2.6) и выберем на нем точку M, в которой вектор скорости равен V
.
Циркуляция скорости
AB по дуге AB определя-ется выражением
ABAB
AB dsVsdV .cos (2.32)
Циркуляция C по замкнутому контуру С определяется выражением
. wdzvdyudxsdVС (2.33)
При вычислении циркуляции по выражениям (2.32) и (2.33) направле-ние интегрирования считается положительным, если ограниченная конту-ром область интегрирования остается слева.
Между циркуляцией скорости и потоком вихря существует взаимо-связь, которая определяется теоремой Стокса.
Теорема Стокса. Циркуляция скорости по замкнутому контуру, про-веденному в однородной жидкости, равна полному потоку вихря через площадь, охваченную контуром.
Из теоремы Стокса вытекают два следствия. 1. Если внутри некоторой области движение жидкости является без-
вихревым, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, про-веденному в этой области, равна нулю. И наоборот, если по любому кон-туру циркуляция равна нулю, то эта область является безвихревой.
2. Если контур охватывает несколько вихревых областей, то циркуля-ция по этому контуру равна алгебраической сумме циркуляций по конту-рам, охватывающим каждую вихревую область.
Особенности вихревого движения и эволюции циркуляции в вихревых образованиях отражаются теоремами Гельмгольца и Томсона.
Теорема Гельмгольца. Циркуляция скорости в идеальной жидкости по всей длине вихревого шнура остается постоянной.
Теорема Томсона. Если действующие на жидкость силы имеют потенциал, поле скоростей непрерывно, а термодинамический процесс одинаков по всему объему, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, выделенному в этой жидкости и движущемуся вместе с ней, не изменяется с течением времени.
А
М
В
sd
V
С
Рис. 2.6. К определению циркуляции скорости
24
3. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ Динамика изучает движение потоков с учетом сил, действием кото-
рых оно обусловлено. 3.1. Силы, действующие на частицу сплошной среды. Напряженное состояние элементарного объема Среди сил, действующих на анализируемый объем сплошной среды,
можно выделить силы массовые (объемные) и поверхностные. Массовые силы действуют на каждую частицу выделенного объема. К их числу отно-сятся гравитационные (силы тяжести), инерционные, электромагнитные силы и т. п. Поверхностные силы действуют только на частицы, располо-женные на поверхности анализируемого объема.
Отношение силы к площади поверхности, на которую она воздейству-ет, называют напряжением. Напряжение называется нормальным, если оно направлено по нормали к анализируемой поверхности. Напряжение называется касательным, если оно направлено по касательной к анализи-руемой поверхности.
Составляющие нормального напряжения, направленные вдоль коор-динатных осей zyx ,, , принято снабжать соответствующим нижним ин-дексом. Например, нормальное напряжение, направленное вдоль оси x (и действующее на площадку, перпендикулярную той же оси x ), обозначают
x . Касательные напряжения снабжаются двумя индексами, например,
xy . Здесь первый индекс указывает, какой оси перпендикулярна анализи-
руемая площадка, а второй индекс – в направлении какой координатной оси действует рассматриваемое касательное напряжение. Нетрудно заме-тить, что в направлении каждой координатной оси действуют нормальное и две касательных составляющих напряжения. Так, в направлении осей
zyx ,, действуют следующие составляющие напряжения соответственно:
zyzxz
zyyxy
zxyxx
. (3.1)
Совокупность девяти скалярных величин (3.1), определяющих напря-женное состояние выделенного объема, называют тензором напряжений.
Из условий равновесия выделенного объема следует, что касательные напряжения с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке ин-дексами, равны между собой. Отсюда следует свойство: тензор напряже-ний симметричен относительно главной диагонали.
С учетом этого свойства матрицу (3.1) можно представить в виде
25
zyzxz
yzyxy
xzxyx
. (3.2)
В невязкой жидкости касательные напряжения равны нулю 0 zyxzxy . (3.3)
Равенство (3.3) остается справедливым и для вязкой, но покоящейся жидкости. Для этих случаев можно записать
pzyx , (3.4)
где p – давление (давление, действующее на выделенный элемент проти-воположно по знаку напряжениям , поскольку давление создает напря-жение сжатия, а положительными принято считать растягивающие напря-жения).
Из (3.4) следует
zyxp 3
1. (3.5)
Таким образом, в вязкой покоящейся или невязкой (движущейся или покоящейся) жидкости силы трения не возникают, и напряжения опреде-ляются гидростатическим давлением. Для этих случаев тензор напряжений (3.2) принимает вид
p
p
p
00
00
00
. (3.6)
Нормальные напряжения в движущейся вязкой жидкости можно вы-разить зависимостями:
.;; zzyyxx pppppp (3.7)
Здесь zyx ppp ,, – дополнительное давление в направлении коор-
динатных осей zyx ,, , обусловленное влиянием вязкости. Для изотропной жидкости, у которой вид связи между составляющи-
ми тензора напряжений (3.2) и тензора скоростей деформаций (2.17) оди-наков для всех направлений, закон трения Ньютона (1.9) для плоского по-тока можно обобщить на пространственное течение. Для ньютоновской жидкости, у которой связь между напряжением и скоростью деформации линейна, такой обобщенный закон трения можно представить в виде
26
.2;2div3
2
;2;2div3
2
;2;2div3
2
y
w
z
v
z
wVp
x
w
z
u
y
vVp
x
v
y
u
x
uVp
yzyzz
xzxzy
xyxyx
(3.8)
Здесь z
w
y
v
x
uV
div – дивергенция вектора скорости.
Уравнения (3.8) предложены в 1845 г. Стоксом и носят название зако-на трения Стокса.
Для несжимаемой жидкости 0div V
, и выражения (3.8) упрощаются. Закон трения Стокса, записанный в цилиндрических координатах zr ,, , для несжимаемой жидкости имеет вид
,;1
;1
;2;1
2;2
r
V
z
VV
rz
VV
rr
V
rr
z
Vp
r
VV
rp
r
Vp
zrzr
zz
rr
zz
rrr
(3.9)
где zr VVV ,, – проекции вектора скорости на координатные оси zr ,, со-
ответственно. 3.2. Содержание математической формулировки задачи движения потоков жидкости и газа Математическая формулировка задачи движения потоков жидкости
и газа включает, как и математическая формулировка любой другой зада-чи, систему уравнений, описывающих процесс, и краевые условия.
Система уравнений, описывающих процесс движения жидкости и га-за, выводится на основе законов сохранения. К их числу относятся закон сохранения вещества, который используется обычно в частной форме за-кона сохранения массы; закон сохранения количества движения; закон со-хранения энергии, который часто используется в частных формах закона сохранения теплоты или закона сохранения механической энергии.
На основе закона сохранения массы получают дифференциальное уравнение неразрывности (сплошности) для потоков жидкости и газа.
На основе закона сохранения количества движения получают диффе-ренциальное уравнение движения. Система уравнений движения и сплош-ности для потоков несжимаемой жидкости позволяет выразить проекции
27
wvu ,, вектора скорости V
на координатные оси zyx ,, , а также давление потока p . При этом плотность потока считается известной величиной.
При анализе потоков сжимаемого газа плотность заранее неизвест-на и для ее определения часто используют уравнение состояния идеально-го газа (1.2).
Для расчета плотности по уравнению (1.2) нужно определить темпе-ратуру потока T . Температура T в расчетах неизотермических потоков необходима также и для определения вязкости среды . Поэтому при ана-лизе неизотермичных потоков система уравнений движения и неразрывно-сти должна быть дополнена дифференциальным уравнением энергии, кото-рое выводится на основе закона сохранения энергии и описывает распре-деление температуры в движущемся потоке.
Наличие системы уравнений не позволяет еще отыскать интересую-щие параметры течения. Для этого нужно дополнить систему уравнений краевыми условиями (условиями однозначности), которые характеризуют частные особенности изучаемого явления.
Различают следующие виды краевых условий: геометрические, физи-ческие, граничные, начальные, динамические. Геометрические условия од-нозначности характеризуют форму и размеры исследуемой области тече-ния. Например, при изучении движения потока в трубе в качестве геомет-рических условий должны быть заданы диаметр проточной части трубы и ее длина.
Физические условия однозначности предполагают задание значений теплофизических свойств потока: плотности (задается при анализе по-токов несжимаемой жидкости), газовой постоянной R (задается при ана-лизе сжимаемых газовых потоков), динамического (или кинематическо-го ) коэффициента вязкости, коэффициента теплопроводности (задает-ся при изучении неизотермических потоков), а также их зависимостей от параметров состояния.
Граничные условия однозначности характеризуют распределение ис-комых (или однозначно связанных с ними) параметров на границах иссле-дуемой области.
Начальные условия однозначности необходимы при анализе неста-ционарных процессов и характеризуют распределение искомых парамет-ров во всех точках исследуемой области в исходный (начальный) момент времени.
Динамические условия однозначности характеризуют поле внешних массовых сил, которые оказывают влияние на исследуемое явление. На-пример, при анализе движения в гравитационном поле массовых сил необ-ходимо задать значение ускорения свободного падения; при изучении про-цессов на вращающихся объектах нужно задать угловую скорость их вра-
28
щения, которая позволит определить центробежные и кориолисовы массо-вые силы.
3.3. Дифференциальное уравнение неразрывности Выделим в движущемся потоке элементарный объем в форме прямо-
угольного параллелепипеда (рис. 3.1) и определим изменение массы dm жидкости в выделенном объеме за элементарный промежуток времени d . Это изменение массы определяется разностью между втекающей и выте-кающей массой жидкости через грани элементарного объема.
Поскольку объем выделенного элемента dzdydxV остается неиз-менным с течением времени, то изменение массы жидкости dm может быть обусловлено лишь измерением ее плотности d
dxdydz
d
d
d
dV
d
Vd
d
dm
. (3.10)
Определим массу жидкости, втекающую в выделенный объем за еди-
ницу времени. Жидкость втекает через грани ABFE, AEHD и EFGH в сле-дующих количествах (за единицу времени):
через грань ABFE – udydz ; через грань AEHD – vdxdz ; через грань EFGH – wdxdy . Вытекает жидкость через грани DCGH, BCGF и ABCD в количествах:
через грань DCGH –
dydzdxx
uu
;
х
z
у
A
B C
D
Е
F G
H
dх
dz
dy
u u +
x
u
dx
v +
y
v
dy
v
w
w +
z
w
dz
Рис. 3.1. К выводу уравнения неразрывности
29
через грань BCGF –
dxdzdyy
vv
;
через грань ABCD –
dxdydzz
ww
.
Просуммировав количества втекающей и вытекающей жидкости по всем граням, найдем изменение массы жидкости в выделенном объеме
dxdydz
z
w
y
v
x
udxdydz
d
d
. (3.11)
После несложных преобразований выражения (3.11) получаем
0
z
w
y
v
x
u
d
d
. (3.12)
Уравнение (3.12) называют дифференциальным уравнением нераз-рывности, или сплошности. Название уравнения отражает факт отсутствия внутри выделенного объема пустот и разрывов.
Уравнение неразрывности может быть представлено в более компакт-ной форме
0div Vd
d
. (3.13)
Для потоков несжимаемой жидкости (стационарных и нестационар-ных) уравнения (3.12), (3.13) принимают вид
0
z
w
y
v
x
u; (3.14)
0div V
. (3.15) Для стационарных потоков газа (сжимаемой жидкости) уравнения не-
разрывности (3.12), (3.13) приводятся к виду
0
z
w
y
v
x
u ; (3.16)
0div V
. (3.17) Уравнение неразрывности (3.12), записанное в цилиндрических коор-
динатах zr ,, , имеет вид
0
11
z
VV
rr
rV
rd
d zr
, (3.18)
где zr VVV ,, – проекции вектора скорости на координатные оси zr ,, со-
ответственно.
3.4. Дифференциальное уравнение движения Процедура вывода дифференциального уравнения движения анало-
гична используемой при выводе уравнения неразрывности. В движущемся
30
потоке также выделяется элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.1). К выделенному объему применяется закон со-хранения количества движения, в соответствии с которым изменение за определенный промежуток времени количества движения жидкости в эле-ментарном объеме равно импульсу внешних сил, действующих на этот объем.
Изменение количества движения в выделенном объеме происходит как за счет изменения плотности жидкости и ее скорости, так и за счет раз-ницы между втекающим и вытекающим количеством движения через гра-ни этого объема.
Уравнение движения удобно рассматривать в проекциях на коорди-натные оси zyx ,, . Для получения проекций уравнения движения на каж-дую координатную ось применим закон сохранения количества движения к граням выделенного объема, перпендикулярным соответствующей оси.
Рассмотрим сначала грань ABFE, перпендикулярную оси ,x и опреде-лим составляющие потока количества движения через нее
xIxIxI xzxyxx ,, за время d в направлении координатных осей zyx ,,
соответственно. .
;
;
dydzdiuwdydzdxI
dydzdiuvdydzdxI
dydzdiuudydzdxI
xzxz
xyxy
xxxx
(3.19)
Здесь xzxyxx iii ,, – составляющие потока импульса через грань, имею-
щую площадь, равную 1 и перпендикулярную оси x , за единицу времени в направлении координатных осей zyx ,, соответственно.
Соответствующие потоки количества движения через грань DCGH можно выразить зависимостями
.
;
;
dydzddxx
uwuwdydzddx
x
iidxxI
dydzddxx
uvuvdydzddx
x
iidxxI
dydzddxx
uuuudydzddx
x
iidxxI
xzxzxz
xyxyxy
xxxxxx
(3.20)
Разница между втекающим (положительным) и вытекающим (отрица-тельным) количеством движения через грани, перпендикулярные оси x , в направлениях осей zyx ,, определяется так
31
.
;
;
dxdydzdx
uwdxxIxII
dxdydzdx
uvdxxIxII
dxdydzdx
uudxxIxII
xzxzxz
xyxyxy
xxxxxx
(3.21)
Аналогично определяются изменения составляющих количества дви-жения через грани, перпендикулярные осям y и z .
.
;
;
dxdydzdy
vwdyyIyII
dxdydzdy
vvdyyIyII
dxdydzdy
uvdyyIyII
yzyzyz
yyyyyy
yxyxyx
(3.22)
.
;
;
dxdydzdz
wwdzzIzII
dxdydzdz
vwdzzIzII
dxdydzdz
uwdzzIzII
zzzzzz
zyzyzy
zxzxzx
(3.23)
Изменение за время d количеств движения в выделенном объеме
zux III ,, в направлении осей zyx ,, , происходящее за счет изменения плотности жидкости и ее скорости, выразим соотношениями
dxdydzd
wIdxdydzd
vIdxdydzd
uI zyx
;; . (3.24)
На выделенный объем действуют внешние массовые (гравитационные или инерционные) и поверхностные силы. Найдем проекции импульса I массовых сил на оси zyx ,, за время d .
Для внешней массовой силы ZkYjXiR
, отнесенной к единице объема, имеем
.;; ZdxdydzdIYdxdydzdIXdxdydzdI zRyRxR (3.25)
Проанализируем поверхностные силы. На грань ABFE , перпендику-лярную оси x , действует внешняя поверхностная сила xPx
, а на проти-
воположную грань DCGH (и в противоположном направлении) – сила dxxPx
.
.; dydzdxx
ppdxxPdydzpxP x
xxxx
(3.26)
32
Здесь xp
– вектор результирующего напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную оси x .
Вектор импульса результирующей поверхностной силы, действующей на перпендикулярные оси x грани выделенного объема, xPI
определяется
выражением
dxdydzdx
pI x
xP
. (3.27)
Заметим, что направление результирующей поверхностной силы, дей-ствующей на перпендикулярные оси x грани, так же, как и направление ее импульса, не совпадает с осью x .
Аналогично получаются выражения для импульсов zPyP II
, результи-
рующей поверхностной силы, действующей на грани, перпендикулярные осям y и .z
.; dxdydzdz
pIdxdydzd
y
pI z
zPy
yP
(3.28)
Векторы напряжений zyx ppp
,, , действующих на перпендикулярные
осям zyx ,, соответственно грани, которые входят в выражения (3.26) – (3.28), можно выразить через составляющие тензора напряжений (3.2):
.
;
;
zyzxzz
yzyxyy
xzxyxx
kjip
kjip
kjip
(3.29)
Суммарный импульс PI
поверхностных сил, включающий состав-
ляющие xPI
, yPI
, zPI
, определяется выражением
.
dxdydzd
zyxk
zyxj
zyxiI zyzxzyzyxyxzxyx
P
(3.30)
Используя выражения (3.21) – (3.25), (3.30) и учитывая принятую сис-тему знаков для различных составляющих закона сохранения количества движения, получаем
33
.
;
;
dxdydzdzyx
IIIII
dxdydzdzyx
IIIII
dxdydzdzyx
IIIII
zyzxzzRzzyzxzz
yzyxyyRzyyyxyy
xzxyxxRzxyxxxx
(3.31)
После несложных преобразований уравнений (3.31) получаем проек-
ции на координатные оси zyx ,, уравнения движения в напряжениях
.
;
;
zyxZ
z
ww
y
vw
x
uww
zyxY
z
vw
y
vv
x
uvv
zyxX
z
uw
y
uv
x
uuu
zyzxz
yzyxy
xzxyx
(3.32)
Левые части уравнений (3.32) могут быть упрощены. Проанализируем левую часть первого уравнения:
.
z
w
y
v
x
uu
z
uw
y
uv
x
uu
u
z
wu
z
uw
y
vu
y
uv
x
uu
x
uu
uu
z
uw
y
uv
x
uuu
(3.33)
Заключенный в квадратные скобки член в правой части выражения (3.33) в соответствии с уравнением неразрывности (3.12) равен 0, а член в круглых скобках представляет собой субсанциальную производную dDu от проекции скорости .u
z
uw
y
uv
x
uu
u
d
Du
. (3.34)
Первый член в правой части выражения (3.34) представляет собой ме-стное ускорение (изменение скорости по времени в рассматриваемой точке пространства), а оставшиеся члены – конвективное ускорение (изменение скорости по времени при перемещении частицы жидкости из одной точки в другую). Заметим, что при установившемся движении местное ускорение равно нулю, а конвективное ускорение может быть и отличным от нуля.
Аналогично преобразуются левые части второго и третьего уравнений (3.32). Учитывая сказанное и раскрывая входящие в правые части уравне-
34
ний (3.32) напряжения в соответствии с законом Стокса (3.8), получим проекции на координатные оси zyx ,, уравнения движения в форме Навье-Стокса
.div3
22
;div3
22
;div3
22
Vz
w
zy
w
z
v
yx
w
z
u
xz
pZ
d
Dw
y
w
z
v
zV
y
v
yx
v
y
u
xy
pY
d
Dv
x
w
z
u
zx
v
y
u
yV
x
u
xx
pX
d
Du
(3.35)
Система уравнений (3.35) описывает движение вязкой сжимаемой жидкости (газа). Для несжимаемой жидкости 0div V
(см. уравнение не-
разрывности (3.17)) и уравнения Навье-Стокса упрощаются. Для несжи-маемой жидкости с постоянной вязкостью система уравнений (3.35) принимает вид
.
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
pZ
d
Dw
z
v
y
v
x
v
y
pY
d
Dv
z
u
y
u
x
u
x
pX
d
Du
(3.36)
Уравнения (3.36) получены с использованием очевидных (следующих из уравнения неразрывности) равенств
.0
;0
;0
2
222
2
2
22
22
2
2
z
w
y
v
x
u
zz
w
zy
v
zx
u
z
w
y
v
x
u
yzy
w
y
v
yx
u
z
w
y
v
x
u
xzx
w
yx
v
x
u
(3.37)
В цилиндрических координатах zr ,, уравнения (3.36) принимают вид
35
.11
;211
;211
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
222
2
2
2
22
2
222
2
z
VV
rr
V
rr
V
z
pR
d
DV
z
VV
r
V
rr
V
r
V
rr
VpR
d
DV
z
VV
r
V
rr
V
r
V
rr
V
r
pR
d
DV
zzzzz
z
r
rrrrrr
r
(3.38)
Здесь zr RRR ,, – проекции вектора внешней массовой силы R
на ко-
ординаты zr ,, соответственно. Входящие в уравнения (3.38) субстанциальные производные выража-
ются зависимостями
.
;
;2
z
VV
V
r
V
r
VV
V
d
DV
z
VV
r
VVV
r
V
r
VV
V
d
DV
z
VV
r
VV
r
V
r
VV
V
d
DV
zz
zzr
zz
zr
r
rz
rrr
rr
(3.39)
Заметим, что полное ускорение вдоль радиуса dDVr включает цен-
тростремительное ускорение ( rV 2 ), а полное ускорение в тангенциаль-
ном направлении – кориолисово ускорение ( rVVr ).
3.5. Важнейшие частные формы уравнения движения Уравнения Навье-Стокса оказываются весьма сложными для анализа
процессов движения потоков жидкости и газа. Математически эти уравне-ния представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения второ-го порядка в частных производных. Аналитическое решение уравнений Навье-Стокса даже для несжимаемого потока с постоянной вязкостью по-лучить не удается. Значительных затрат времени и ресурсов компьютерной техники требует реализация их численного решения. В этой связи очень плодотворной оказалась идея, предложенная Прандтлем в 1904 г., суть ко-торой заключается в разделении анализируемого течения на две области: тонкий слой, примыкающий к обтекаемой поверхности (пограничный слой), в котором существенную роль играют силы вязкости, и область те-чения, расположенную на некотором удалении от обтекаемой поверхности (потенциальное ядро потока), в которой влияние вязкости незначительно. Для каждой из этих областей оказывается возможным упростить получен-ные ранее уравнения движения. Поэтому анализ течения в каждой из этих
36
областей в отдельности (с последующей увязкой решений на общей грани-це) оказывается значительно проще. Получим частные формы уравнений движения применительно к движению в пограничном слое и в потенци-альном ядре потока.
3.5.1. Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя Тонкий слой, в котором происходит интенсивное изменение скорости
потока в направлении нормали к обтекаемой поверхности, называют дина-мическим пограничным слоем. Под толщиной динамического пограничного слоя понимают расстояние от обтекаемой поверхности до точки в перпен-дикулярном скорости u сечении, в которой отличие этой скорости от ее значения в потенциальном ядре составляет 1%. Таким образом, в динами-ческом пограничном слое на толщине происходит изменение скорости u от 0 на поверхности стенки до u99,0 на его внешней границе, где u – скорость в потенциальном ядре.
Толщина обычно много меньше характерного размера L обтекае-мой потоком поверхности ( L ). В таких условиях некоторые члены в уравнении движения оказываются пренебрежимо малыми, что позволяет упростить эти уравнения.
Для вывода уравнений пограничного слоя произведем оценку отдель-ных членов уравнений Навье-Стокса. Для этой цели воспользуемся урав-нениями в форме (3.36) и уравнением неразрывности (3.14), ограничив-шись для упрощения анализа двухмерной (плоской) постановкой задачи.
Направим ось x вдоль обтекаемой поверхности, а ось y – по нормали к ней. Проанализируем сначала проекцию уравнения движения на ось x .
Производная xu имеет порядок Lu . Этот порядок примем за единицу. В математических символах это положение можно выразить сле-дующим образом:
1 LuxuO . (3.40) Пусть 1;1;1;1 OLOxpOuO , тогда с учетом
(3.40) имеем 1uO ; 1pO ; 1O . Из уравнения неразрывности имеем 1 xuOvOyvO или vO .
С учетом сказанного найдем последовательно порядок каждого из членов проекции уравнения движения на ось :x
1
1
11
O
uOOuO ; (3.41)
1
1
111
LO
uOuOO
x
uuO
; (3.42)
37
1
11
O
uOvOO
y
uvO ; (3.43)
1
1
1
LO
pO
x
pO ; (3.44)
OO
LOLO
uOO
x
uO
11
12
2
; (3.45)
222
2 1
OO
OO
uOO
y
uO
. (3.46)
Из сопоставления выражений (3.45), (3.46) следует, что член уравне-ния движения 22 yu на два порядка превышает член 22 xu , поэто-му этим последним членом можно пренебречь. Кроме того, как это видно из (3.46), член 22 yu будет иметь одинаковый порядок с оставшимися членами уравнения движения при условии
OO . (3.47) Последнее условие выполняется при достаточно малых значениях
толщины . Аналогично определим порядок каждого из членов проекции уравне-
ния движения на ось y :
1
1
O
OOvO ; (3.48)
1
11
LO
vOuOO
x
vuO ; (3.49)
1
O
vOvOO
y
vvO ; (3.50)
1
O
pO
y
pO ; (3.51)
32
2
11
OvOO
LOLO
vOO
x
vO ; (3.52)
222
2 OO
OO
vOO
y
vO . (3.53)
При записи выражений (3.52), (3.53) принималось во внимание равен-ство (3.47).
Как следует из выражений (3.48) – (3.53), в проекции уравнения дви-жения на ось y всеми членами, кроме yp , можно пренебречь, посколь-ку они на 2 – 4 порядка меньше указанного.
38
Таким образом, для рассматриваемых условий проекции уравнения движения на координатные оси x и y можно представить в виде
.0
;2
2
y
p
y
u
x
p
y
uv
x
uu
u
(3.54)
Из второго уравнения (3.54) следует, что давление по толщине погра-ничного слоя не меняется, и вместо системы двух уравнений для описания течения в плоском пограничном слое достаточно иметь одно уравнение
2
2
y
u
dx
dp
y
uv
x
uu
u
. (3.55)
Обобщая проведенный анализ на трехмерное движение сжимаемой жидкости с переменной вязкостью в поле внешних массовых сил, окон-чательно получим систему дифференциальных уравнений динамического пространственного пограничного слоя в виде
.
;
y
w
yz
pZ
d
Dw
y
u
yx
pX
d
Du
(3.56)
Уравнение неразрывности для течения в пограничном слое сохраняет свой обычный вид (см., например, выражение (3.12)).
Система уравнений осесимметричного пограничного слоя в цилинд-рической системе координат имеет вид (поток с постоянной вязкостью , влияние внешних массовых сил во внимание не принимается)
.11
;11
;11
2
2
222
2
222
2
r
Vr
rrz
p
r
V
rr
V
z
p
d
DV
r
V
r
Vr
rrr
V
r
V
rr
V
d
DV
r
V
r
Vr
rrr
p
r
V
r
V
rr
V
r
p
d
DV
zzzz
rrrrrr
(3.57)
Входящие в уравнения (3.57) субстанциальные производные выража-ются зависимостями
39
.
;
;2
z
VV
r
VV
V
d
DVz
VV
r
VV
r
VV
V
d
DVz
VV
r
V
r
VV
V
d
DV
zz
zr
zz
zr
r
rz
rr
rr
(3.58)
В выражениях (3.58), в отличие от (3.39), отсутствуют производные по координате , что обусловлено осесимметричностью течения.
3.5.2. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости Вязкость идеальной жидкости равна 0, поэтому система уравнений
движения (3.35) упрощается и принимает вид
.;;z
pZ
d
Dw
y
pY
d
Dv
x
pX
d
Du
(3.59)
Уравнения (3.59) получены в 1755 г. Эйлером и носят название урав-нения Эйлера.
Уравнения Эйлера в цилиндрической системе координат имеют вид
.;;z
pR
d
DVpR
d
DV
r
pR
d
DVz
zr
r
(3.60)
Другая форма уравнений движения идеальной жидкости предложена профессором Казанского университета И. С. Громекой в 1881 г. Получим уравнения в форме Громеки.
Выразим входящие в левые части уравнений Эйлера субстанциальные производные в соответствии с выражением (3.34). Прибавляя и вычитая из
правой части (3.34) двучлен x
ww
x
vv
, получим
.
y
u
x
vv
x
w
z
uw
x
ww
x
vv
x
uu
u
x
ww
x
vv
x
ww
x
vv
z
uw
y
uv
x
uu
u
d
Du
(3.61)
С учетом соотношений (2.20), (2.21) выражение (3.61) можно предста-вить в виде
.22
222
2222
vwV
x
uvw
wvu
x
u
d
Duzyzy
Аналогично преобразуем субстанциальные производные dDvdDv , . В результате получаем уравнения движения в форме Гро-
меки:
40
.22
1
;22
1
;22
1
2
2
2
uvV
z
w
z
pZ
wuV
y
v
y
pY
vwV
x
u
x
pX
yx
xz
zy
(3.62)
В Англии Лэмбом несколько позднее были получены аналогичные уравнения, поэтому иногда уравнения (3.62) называют уравнениями дви-жения в форме Лэмба-Громеки.
Если поле внешних массовых сил имеет потенциал U , то есть выпол-няются условия ,;; ZzUYyUXxU то для несжимае-мой жидкости уравнения (3.62) можно представить в форме
.22
;22
;22
2
2
2
uvwVp
Uz
wuvVp
Uy
vwuVp
Ux
yx
xz
zy
(3.63)
Рассмотрим далее частные случаи движения идеальной несжимаемой жидкости, для которых можно получить аналитическое решение системы (3.63).
Безвихревое движение При безвихревом (потенциальном) течении 0 zyx , поэтому
в правых частях уравнений (3.63) остаются только первые слагаемые. Ум-ножим обе части каждого из уравнений (3.63) соответственно на dxdydx ,, и сложим левые и правые части. В результате получим
.
222
222
dzw
dyv
dxu
dzVp
Uz
dyVp
Uy
dxVp
Ux
(3.64)
Левая часть (3.64) представляет собой полный дифференциал
.2
2
wdzvdyudxVp
Ud
(3.65)
С учетом выражения (2.36) имеем
41
.
ddwdzvdyudx (3.66)
Заменив в соответствии с (3.36) правую часть выражения (3.65), полу-чим
.02
2
Vp
Ud (3.67)
Интегрирование выражения (3.67) позволяет получить
СVp
U
2
2
, (3.68)
где константа интегрирования С определяется из начальных условий. Выражение (3.68) называют интегралом Лагранжа. Установившееся движение Для установившегося движения, в котором 0 wvu ,
после умножения обеих частей каждого из уравнений (3.63) соответствен-но на dxdydx ,, , сложения их левых и правых частей получаем
.2
2222
2
wvu
dzdydx
dzuvdywudxvwVp
Ud
zyx
yxxzzy
(3.69)
Уравнение (3.69) упрощается для условий течения, при которых его правая часть обращается в 0. Его интегрирование для этих случаев дает решение в виде
const2
2
Vp
U
. (3.70)
Решение (3.70) носит название интеграла Бернулли (уравнения Бер-нулли).
Проанализируем, при каких условиях определитель в правой части уравнения (3.69) обращается в 0. Это имеет место в следующих случаях.
1. 0 zyx .
В этом случае реализуется потенциальное течение жидкости. Кон-станта интегрирования в уравнении (3.70) сохраняет одинаковое значение во всей анализируемой области.
2. .w
dz
v
dy
u
dx
42
Записанное условие представляет собой уравнение линии тока (2.5). Таким образом, при вихревом течении уравнение Бернулли выполняется на каждой из линий тока. При этом константа интегрирования сохраняет свое значение в пределах каждой линии, но при переходе от одной линии к другой ее значение изменяется.
3. .zyx
dzdydx
Записанное условие представляет собой уравнение вихревой линии (2.27). Таким образом, уравнение Бернулли соблюдается не только на каж-дой из линий тока, но и на каждой вихревой линии.
4. .zyx
wvu
Записанное условие соответствует случаю, когда векторы линейной и угловой скоростей движения параллельны друг другу. При этом поступа-тельное движение частицы сопутствует ее вращательному движению в плоскости, перпендикулярной направлению поступательного перемеще-ния. Такое движение потока подобно движению винта или штопора.
3.6. Дифференциальное уравнение энергии При анализе процессов движения неизотермических потоков газа для
определения плотности на основе уравнения (1.2) или (1.4) необходимо знать распределение температуры в исследуемой области течения. Распре-деление температуры необходимо иметь и для определения зависящих от нее теплофизических свойств газа или жидкости, прежде всего, вязкости . Температурное поле в движущемся потоке описывается дифференци-альным уравнением энергии, которое получают на основе закона сохране-ния энергии и закона Фурье (1.12).
Вывод дифференциального уравнения энергии аналогичен выводу дифференциального уравнения движения. В движущемся потоке выделим элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.1). К выделенному объему применим закон сохранения полной энергии E , включающей его внутреннюю e и кинетическую 22V энергию (энергия отнесена к единице массы среды). Изменение за определенный промежу-ток времени полной энергии жидкости в элементарном объеме равно рабо-те A внешних сил, действующих на этот объем, подведенного к нему ко-личества теплоты Q и выделившегося количества теплоты
vQQAdxdydzdd
DE
. (3.71)
Работу мA внешних массовых сил выразим формулой dxdydzdZwYvXuAм . (3.72)
43
Определим далее работу нормальных и касательных сил (напряже-ний), действующих на грани выделенного объема. Работа нормальных на-пряжений, xA x действующих на перпендикулярную оси x грань ABFE, может быть определена выражением
udydzdxA xx . (3.73) Работа нормальных напряжений dxxA x , действующих на перпен-
дикулярную оси x грань DCGH, может быть определена выражением
dydzddxx
uudxxA x
xx
. (3.74)
Заметим, что работа сжимающих напряжений считается отрицатель-ной, а растягивающих – положительной.
Найдем результирующую работу xA нормальных напряжений, дейст-вующих на грани, перпендикулярные оси x :
dxdydzd
x
udxxAxAA x
xxx
. (3.75)
Аналогично определяются работы xzxy AA , касательных напряжений,
действующих на грани, перпендикулярные оси x :
.;
dxdydzdx
wAdxdydzd
x
vA xz
xzxy
xy
(3.76)
Проводя аналогичные рассуждения применительно к граням, перпен-дикулярным осям y и ,z получим выражение для определения работы пA поверхностных сил
.
dxdydzdwvuz
wvuy
wvux
A
zyzxz
yzyxyxzxyxп
(3.77)
С учетом (3.72), (3.77) работа A определяется равенством
пм AAA . (3.78) Определим далее количество теплоты xQx , подведенной к выделен-
ному объему через грань ABFE, перпендикулярную оси ,x и количество теплоты dxxQx , отведенное через грань DCGH, перпендикулярную той же оси:
.; dydzddxx
qqdxxQdydzdqxQ x
xxxx
(3.79)
Здесь xq – плотность теплового потока через грань, перпендикуляр-ную оси x (и направленного вдоль той же оси).
Результирующее количество теплоты xQ , подведенное через грани, перпендикулярные оси x :
44
dxdydzdx
qdxxQxQQ x
xxx
. (3.80)
Результирующее количество теплоты Q , подведенное к выделенному объему через все грани, определяется суммированием по всем граням:
dxdydzdz
q
y
q
x
qQ zyx
. (3.81)
С учетом закона Фурье (1.12) выражение (3.81) можно представить в виде
dxdydzdz
T
zy
T
yx
T
xQ
. (3.82)
Выделившееся количество теплоты vQ : dxdydzdqQ vv , (3.83)
где vq – мощность внутренних источников теплоты (внутренние источни-ки теплоты имеют место, например, в потоке токопроводящей жидкости при пропускании через нее электрического тока, в химически реагирую-щей среде и т. п.).
Подставив выражения (3.72), (3.77), (3.82), (3.83) с учетом (3.78) в ба-лансовое соотношение (3.71), получим дифференциальное уравнение энер-гии в общей форме
.
22
wvuz
wvuy
wvux
ZwYvXu
qz
T
zy
T
yx
T
xd
VeD
zyzxz
yzyxyxzxyx
v
(3.84)
Выразив в уравнении (3.84) компоненты тензора напряжений в соот-ветствии с законом Стокса (3.8), приняв во внимание уравнение (3.32) и зависимости (3.33), (3.34), после промежуточных преобразований получим
vqz
T
zy
T
yx
T
xVp
d
De div . (3.85)
Здесь – диссипативная функция. При const функция определяется выражением
.3
2
2
22
22222
z
w
y
v
x
u
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
(3.86)
45
Внутренняя энергия e для несжимаемой жидкости выражается зави-симостью
,cTe (3.87) где c – удельная теплоемкость жидкости.
С учетом сказанного и имея в виду то, что для несжимаемой жидкости 0div V
(см. уравнение неразрывности (3.15)), запишем уравнение энер-
гии для несжимаемой жидкости в виде
vqz
T
zy
T
yx
T
xd
cTD. (3.88)
Для потоков жидкости значения функции обычно невелики и ими в большинстве случаев оказывается возможным пренебречь. В таких усло-виях для потока несжимаемой (капельной) жидкости с постоянными теп-лофизическими свойствами без внутренних источников теплоты уравнение (3.88) существенно упрощается и принимает вид
Tz
T
y
T
x
T
d
DTc 2
2
2
2
2
2
2
,
где 2 – оператор Лапласа. (3.89) Для совершенного газа внутренняя энергия и энтальпия определяются
выражениями
p
k
kTc
peiTce pv 1
;
. (3.90)
Из уравнения неразрывности для газа (3.13) получаем
d
D
z
w
y
v
x
uV
1div
. (3.91)
С учетом (3.91) преобразуем первый и второй члены уравнения (3.85)
d
Dp
d
Di
d
Dp
d
pD
d
DiVp
d
De
div . (3.92)
Окончательно уравнение энергии для газа запишем в виде
vqz
T
zy
T
yx
T
xd
Dp
d
Di. (3.93)
Для потоков газа с постоянными теплофизическими свойствами без внутренних источников теплоты уравнение (3.93) принимает вид
2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
d
Dp
d
DTcp . (3.94)
Для потоков газа, движущихся с небольшими дозвуковыми скоростя-ми, членами dDp и можно пренебречь, уравнение (3.94) упрощается и принимает вид, сходный с уравнением энергии (3.89) для несжимаемой (капельной) жидкости:
46
Tz
T
y
T
x
T
d
DTcp
22
2
2
2
2
2
. (3.95)
Уравнение энергии нетрудно представить в цилиндрических коорди-натах, имея в виду записанные в этих координатах выражения для суб-
станциальных производных d
Dp
d
DT, и оператора Лапласа T2 :
.11
;
;
2
2
2
2
22
22
z
TT
rr
T
rr
TT
z
pV
p
r
V
r
pV
p
d
Dp
z
TV
T
r
V
r
TV
T
d
DT
zr
zr
(3.96)
В окрестности стенки температура неизотермичного потока, так же как и его скорость, претерпевает интенсивное изменение в поперечном (перпендикулярном обтекаемой поверхности) направлении. Область с ин-тенсивным изменением температуры потока вблизи стенки называют теп-ловым пограничным слоем. Проводя анализ членов уравнения энергии для теплового пограничного слоя аналогично тому, как это было сделано в пункте 3.5.1 для динамического пограничного слоя, и пренебрегая малыми членами, получим уравнение теплового пограничного слоя для несжимае-мой жидкости и газа:
– для несжимаемой (капельной) жидкости
;
2
vqy
u
y
T
yd
cTD
(3.97)
– для газа
vqy
u
y
T
yz
pw
x
pu
p
d
Di
2
. (3.98)
Рассмотрим далее установившееся движение идеального газа ( 0;0 ) без внутренних источников теплоты. Уравнение энергии (3.84) в рассматриваемых условиях примет вид
.
222 222
z
pw
y
pv
x
puZwYvXu
z
Vew
y
Vev
x
Veu
(3.99)
Если поле внешних массовых сил имеет потенциал U и выполняются условия ,;; ZzUYyUXxU то уравнение (3.99) пре-образуется к виду
47
.
222 222
z
pw
y
pv
x
pu
z
w
y
v
x
up
z
Uw
y
Uv
x
Uu
z
Vew
y
Vev
x
Veu
(3.100)
Преобразуем уравнение (3.100) и представим его в форме
.
222 222
zw
yv
xu
pp
zw
p
yv
p
xu
z
w
y
v
x
up
z
Uw
y
Uv
x
Uu
z
Vew
y
Vev
x
Veu
(3.101)
В соответствии с уравнением неразрывности (3.16) имеем
.0
z
w
y
v
x
up
zw
yv
xu
p
z
w
y
v
x
up
(3.102)
С учетом (3.102) уравнение (3.101) можно представить в виде
.0222
222
UpV
ez
wUpV
ey
vUpV
ex
u
(3.103) В векторной форме уравнение энергии (3.103) имеет вид
02
2
U
pVe
ds
dV
, (3.104)
где s
– вектор, касательный к линии тока. Если 0V
, то из (3.104) следует
02
2
U
pVe
ds
d
. (3.105)
Интегрирование (3.105) вдоль линии тока позволяет получить уравнение
const2
2
UpV
e
. (3.106)
Численное значение const в общем случае сохраняется постоянным лишь на рассматриваемой линии тока, а при переходе к другой линии тока принимает новое значение. Однако для энергоизолированного течения численное значение const остается одинаковым во всей области.
Для совершенного газа с учетом (3.90) имеем
48
const2
2
UV
i . (3.107)
При 0U решение (3.107) можно представить в формах:
const.12
const;2
2
2
p
k
kV
c
VT
p (3.108)
Заметим, что в соответствии с (3.70) для несжимаемой жидкости в рассматриваемых условиях справедлива зависимость
const.2
2
pV
(3.109)
Выражения (3.106) – (3.108) представляют собой решения уравнения энергии для частных условий течения.
Уравнение энергии потоков идеальной жидкости и газа с постоянной теплоемкостью без внутренних источников теплоты может быть представ-лено также в формах:
– для несжимаемой (капельной) жидкости
;0d
DT (3.110)
– для газа
d
Dp
d
DTcp . (3.111)
Уравнениями (3.110), (3.111) описывается распределение температуры в потенциальном ядре потока.
49
4. ОСНОВЫ АЭРОГИДРОСТАТИКИ
Аэрогидростатика изучает условия равновесия сплошной среды. Со-стояние равновесия среды можно рассматривать как частный случай ее движения при равенстве нулю скорости и ускорения.
4.1. Уравнения равновесия. Гидростатический закон Пусть скорость и ускорение сплошной среды равны 0, иначе говоря,
пусть выполняются условия 0;0 wvuwvu . (4.1)
При этих условиях уравнения движения (3.35) примут вид
z
pZ
y
pY
x
pX
;; . (4.2)
Уравнения (4.2) представляют собой уравнения равновесия сплошной среды. При отсутствии массовых сил ( 0;0;0 ZYX ) уравнения равно-весия принимают вид
0;0;0
z
p
y
p
x
p. (4.3)
Выражения (4.3) представляют собой математическую запись закона Паскаля. Из этих соотношений следует, что при отсутствии массовых сил давление жидкости или газа остается постоянным во всех точках анализи-руемой области.
Пусть массовые силы представляют собой силы тяжести. Тогда, вы-брав ось x , совпадающей с нормалью к поверхности Земли и направлен-ной вертикально вверх, получим
0;0; ZYgX , (4.4) где g – ускорение свободного падения.
Знак «–» в первом из соотношений (4.4) отражает противоположное направление вектора g и координатной оси x .
С учетом (4.4) уравнение равновесия можно представить в виде
gdx
dp . (4.5)
Интегрируя уравнение (4.5) для несжимаемой жидкости, получаем 00 xxgpp , (4.6)
где 0p – давление жидкости в сечении 0xx . Выражение (4.6) можно представить в форме
const00 gxpgxp . (4.7) Если за исходное сечение принять поверхность уровня жидкости
( 00 x ), то получим
50
ghpp 0 , (4.8) где xxh 0 – расстояние от анализируемого сечения до поверхности жидкости (глубина).
Из (4.8) следует, что давление p жидкости на глубине h равно внеш-нему давлению на ее поверхности 0p , сложенному с весом gh столба жидкости высотой h .
Соотношение (4.8) называют гидростатическим законом. Следует отметить, что соотношение вида (4.8) имеет место не только в
поле сил тяжести. Оно справедливо при условии, что поле внешних массо-вых сил имеет потенциал U . В этом случае, учитывая равенства
ZzUYyUXxU ;; , уравнения (4.2) можно представить в форме
z
p
z
U
y
p
y
U
x
p
x
U
;; . (4.9)
После интегрирования уравнений (4.9) получим
00 ppUU . (4.10) Последнее выражение можно представить в виде
constUp . (4.11) В частном случае, когда gXgxU ; , из соотношения (4.11)
получается уравнение (4.7). Уравнение (4.11) называют основным уравнением равновесия сплош-
ной среды. 4.2. Равновесие и устойчивость тел, погруженных в жидкость В соответствии с законом Архимеда на тело, погруженное в жидкость,
действует направленная вертикально вверх выталкивающая сила P , чис-ленно равная весу вытесненной телом жидкости
gVP пж . (4.12) Здесь ж – плотность жидкости; пV – объем погруженной в жидкость
части тела. Сила P является поверхностной и называется архимедовой силой.
Точка, к которой приложена поверхностная сила P , называется центром давления.
На погруженное в жидкость тело действует и массовая сила веса G . Точка, к которой приложена массовая сила, называется центром масс.
Таким образом, на тело, погруженное в жидкость, действуют две силы P и G , направленные по одной прямой, но в разные стороны (см. рис. 4.1, а). При PG тело опустится на дно, при PG – всплывет на поверхность, а при PG будет находиться в равновесии.
51
Если центр давления D полностью погруженного в жидкость и находяще-гося в равновесии тела располагается выше центра масс С , то равновесие является устойчивым (рис. 4.1, б). В этом случае, если вывести тело из равновесия, например повернуть его по часовой стрелке, то пара сил P и G создает момент, возвращающий тело в исходное положение. Если же центр давления располагается ниже центра масс С (рис. 4.1, в), то равновесие является неустойчивым. При малейшем отклонении тела от положения равновесия возникающая пара сил создает опрокидывающий момент, что способствует дальнейшему отклонению тела от этого положения.
Рассмотрим равновесие тела, пла-вающего на поверхности жидкости (рис. 4.2).
Линия пересечения поверхности тела плоскостью уровня жидкости называют ватерлинией, а плоскость, в которой рас-положена ватерлиния – плоскостью пла-вания. Нормаль к плоскости плавания, проходящая через центр масс C и центр давления D , называется осью плавания.
Необходимым условием равновесия плавающего на поверхности жидкости тела является равенство его веса архимедовой силе ( PG ). Условия устойчивости равновесия в этом случае несколько отличаются от тех, которые имели место для полностью погруженного в жидкость тела. Так, устойчивое равновесие здесь возможно и в случае, когда центр давления расположен ниже центра масс.
Для определения условий устойчивого равновесия рассмотрим тело (рис. 4.3), отклонившееся от положения равновесия на угол . В этом случае на затопленную часть тела BBO действует дополнительная архимедова сила R , а на осушенную часть – равная по величине силе R , но противоположно направленная ей сила веса этой части. В результате на выведенное из положения равновесия тело будут действовать две пары сил: пара сил GP, , создающая в рассматриваемых условиях опрокидывающий момент, и пара сил RR , , создающая восстанавливающий момент. Равновесие будет устойчивым, если восстанавливающий момент окажется больше момента опрокидывающего.
GG G
Р Р Р
CD
D D C
Рис. 4.1. Равновесие тела, погруженного в жидкость
а б в C
G
C
D
Р
Рис. 4.2. Равновесие тела,плавающего на поверхностижидкости
52
Условия устойчивого равновесия можно сформулировать и иначе.
Рассмотрим тело, плавающее на поверхности и выведенное из положения равновесия (рис. 4.4). При отклонении тела от исходного положения центр давления переместится из точки D в некоторую точку D . При этом на тело действует пара сил PG , , где P – архимедова сила, действующая на выведенное из равновесия тело. Если прямая, в направлении которой действует сила P , пересечет ось плавания в точке, расположенной выше центра масс C , то возникшая пара сил создает восстанавливающий момент, и равновесие будет устойчивым.
Точка M называется метацентром, а отрезок CM – метацентриче-ской высотой. Для устойчивого равновесия плавающего на поверхности тела необходимо и достаточно, чтобы метацентр располагался выше центра масс. Метацентрическая высота при этом принимает положитель-ное значение.
4.3. Равновесие земной атмосферы Выберем направление координатной оси x совпадающим с нормалью
к поверхности Земли. Тогда уравнение равновесия атмосферы Земли можно представить в
виде зависимости (4.5). Полагая воздух идеальным газом, выразим связь между его давлением
p и плотностью уравнением состояния (1.2). Подставив (1.2) в (4.5) и разделив переменные, получим
T
dx
R
g
p
dp. (4.13)
Для изотермического процесса ( constT ) интегрирование (4.13) дает
G
Р’
D’ C
М
О D
G
Р
C О
D A
BA
B
R
R
Рис. 4.3. К определению устойчивого равновесия плавающего тела
Рис. 4.4. К определению метацентраи метацентрической высоты
53
00
ln xxRT
g
p
p . (4.14)
Здесь 0p – давление на высоте 0x . Из (4.14) получаем зависимость давления p от координаты x для
изотермических условий
00 exp xx
RT
gpp . (4.15)
Для адиабатного процесса имеем
kp1
. (4.16) Подставив (4.16) в (4.5) и разделив переменные, получим
gdx
p
dp
k
1 . (4.17)
Интегрируя уравнение (4.17), получаем зависимость давления p от координаты x для адиабатных условий
1
0
1
01
k
k
k
k
xxk
kgpp . (4.18)
Для определения зависимости давления от координаты x при условиях, отличных от изотермических или адиабатных, в уравнении (4.13) необходимо выразить зависимость температуры воздуха T от высоты x .
54
5. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 5.1. Возникновение турбулентности. Режимы течения потока В 1842 г. Пуазейль, а позднее в 1855 г. Хаген впервые обнаружили
существование двух различных режимов течения жидкости и газа: ламинарного и турбулентного. Первое систематическое исследование этих режимов выполнил английский физик Рейнольдс (1883 г.). С тех пор над решением проблем турбулентных течений интенсивно работают ученые всего мира. В 20-е годы XX века Прандтлем были разработаны основы полуэмпирической теории турбулентности, которая получила развитие в трудах Кармана, Дж. Тейлора, Ван-Дрийста, Ротта, Сполдинга, Иевлева, Лойцянского, Кутателадзе, Леонтьева, Федяевского, Лапина и др. Статистическая теория турбулентности развивалась в трудах Колмогорова, Миллионщикова, Седова, Монина, Яглома, Кармана, Бэтчелора и др.
Исследованиями Рейнольдса было установлено, что при относительно небольших скоростях движения потока (рис. 5.1, а) каждая частица
жидкости движется по своей траектории, не перемешиваясь с другими частицами. Такое течение было названо слои-стым, или ламинарным. При достаточно большой скорости (рис. 5.1, б, в, г) характер тече-ния существенно меняется. На основное движение здесь на-кладываются хаотические по-перечные перемещения (пуль-сации) частиц, приводящие к перемешиванию жидкости. Та-кое течение называют турбу-лентным.
Исследования показали, что с возрастанием скорости ламинарное течение теряет ус-тойчивость. При этом случай-ные возмущения, которые вна-чале вызывают лишь колеба-ния струек около их устой-
чивого прямолинейного движения, быстро развиваются, что в конечном итоге приводит к возникновению турбулентного режима течения. Сказанное иллюстрирует рис. 5.2, где на снимках (расположенных сверху вниз) показано развитие случайного возмущения.
Рис. 5.1. Ламинарное (а) и турбулентные (б), (в), (г) течения
а
б
в
г
55
Перемешивание жидкости при ее турбулентном движении существенно влияет на распределение скорости в сечении канала. На рис. 5.3 показаны профили скорости в сечении трубы при ламинарном и турбулентном режимах течения. Как видно, профиль скорости турбулентного потока является более заполненным по сравнению с потоком ламинарным.
Рейнольдсом впервые было установлено, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при достижении безразмерным комплексом duRe , названным впоследствии числом Рейнольдса, некоторого предельного значения крRe .
Число Re включает в себя среднерасходную скорость в трубе u , диаметр ее проточной части d и кинематический коэффициент вязкости потока . Значение крRe называют критическим числом
Рейнольдса. Опытами установлено, что для труб 2300Re кр . Таким
образом, при крReRe в трубе реализуется ламинарный режим течения, а
при крReRe происходит постепенный (на некотором более или менее
протяженном участке) переход к турбулентному режиму. Дальнейшие исследования пока-
зали, что значения критического числа Рейнольдса зависят от условий на входе в трубу. Тщательным устранением возмущений потока на входе удавалось сохранить ламинарное течение вплоть до
00040Re . Опытами установлено так-же, что при 2300Re даже самые силь-ные возмущения потока на входе со вре-менем затухают, и течение остается ла-минарным.
Полностью развитое турбулентное течение в трубе имеет место при
410Re . В диапазоне изменения числа 000102300Re режим течения в
трубах является переходным. Переходный режим течения носит неустойчивый, перемежающийся характер. Это означает, что в анализируемой точке пространства
Рис. 5.2. Возникновение турбулентности
б
а
Рис. 5.3. Профиль скорости в трубе при ламинарном (а) и турбулентном (б) режимах течения
56
ламинарный и турбулентный режимы течения чередуются с некоторым периодом времени п . Для характеристики переходного режима используется коэффициент перемежаемости пТ , где Т – продолжительность существования турбулентного режима в течение периода п . Коэффициент перемежаемости изменяется в диапазоне
10 ; при 0 имеет место ламинарный режим течения, а при 1 – турбулентный.
Рис. 5.4 иллюстрирует изменение коэффициента перемежаемости по длине трубы x в зависимости от числа Re .
Аналогичные результаты получены при внешнем обтекании тел. Так, Драйден, исследуя переход ламинарного течения в турбулентное в погра-ничном слое плоской пластины с острой передней кромкой, установил, что критическое число Рейнольдса для пластины xuкрx Re находится в
диапазоне 6100,135,0Re крx . Здесь u – скорость невозмущенного
потока (за пределами пограничного слоя); x – расстояние от передней кромки до рассматриваемого сечения.
5.2. Особенности турбулентного течения Характерным свойством турбулентного течения является наличие
пульсационного движения, которое накладывается на основное движение потока. Параметры турбулентного потока (скорость, давление, температу-ра) в каждой фиксированной точке претерпевают хаотическое изменение во времени (см. рис. 5.5). При математическом описании турбулентного движения его разлагают на осредненное и пульсационное движение. Так, мгновенное (актуальное) значение скорости потока u представляют в виде суммы осредненной по времени скорости u и ее пульсационной состав-ляющей u .
.uuu (5.1)
dx
Рис. 5.4. Изменение коэффициента перемежаемости по длине трубы
57
Аналогично представляют мгновенные значения давления p , температуры T и других парамет-ров.
TTTppp ; . (5.2) Следует отметить, что
элементы жидкости, пульсирующие в потоке, представляют собой не отдельные молекулы, а крупные макроскопические образования. Эти образования называют турбулентными молями.
Турбулентное движение не является абсолютно неупорядоченным, и его можно определить как течение, содержащее элемент неупорядоченно-сти, в котором различные параметры претерпевают хаотическое изменение во времени и по пространственным кооординатам, но при этом могут быть выделены статистически точные их осредненные значения.
Осреднение параметров осуществляется в соответствии с выражениями
TdTpdpudu
1;
1;
1. (5.3)
Период осреднения выбирается достаточно большим по сравнению с периодом турбулентных пульсаций, но достаточно малым по сравнению с периодом изменения осредненных параметров. При правильном выборе его дальнейшее увеличение не должно приводить к изменению значений осредненных параметров.
Из понятия осредненных параметров следует, что: – осредненные значения турбулентных пульсаций равны 0
0;0;0 Tpwvu ; (5.4) – повторное осреднение не изменяет результата
TTppuu ;; ; (5.5) – осредненные произведения средней величины и пульсационной также равны 0, например
0;0;0 TTppuu . (5.6) Осредненные произведения различных пульсационных составляющих
в общем случае не равны 0
0;0;02 wuvuu . (5.7) Соотношения (5.7) имеют место в случае, когда между пульсацион-
ными величинами существует статистическая связь, которую называют
u
u
u’
u
τРис. 5.5. Изменение во времени параметров турбулентного потока
58
корреляцией. Осредненные произведения пульсационных составляющих будут равны 0 только в том случае, если они совершенно не связаны друг с другом, т. е. если отсутствует корреляция между ними.
С учетом сказанного осредненное произведение мгновенных параметров можно выразить соотношениями вида
vuvuvuuvvuvuvvuuuv ))(( . (5.8) Турбулентное движение обусловлено наличием вязкости и трением
между слоями жидкости. Следовательно, турбулентность может возникать лишь в потоках с неоднородным полем скоростей или, как говорят, в потоках со сдвигом. Турбулентность называют пристенной, если она возбуждена силами трения, возникающими при обтекании потоком поверхности стенки. Турбулентность называют свободной, если она возбуждена относительным перемещением (продольным или поперечным) слоев жидкости (например, струй), а твердая граница раздела отсутствует.
Турбулентность называют однородной, если ее характеристики остаются неизменными во всех точках пространства.
Турбулентность называют изотропной, если пульсационные характеристики в направлении всех трех координатных осей одинаковы.
Следует заметить, что изотропная турбулентность может иметь место лишь в модельных условиях, когда поля осредненных скоростей однородны. В реальных турбулентных потоках, как показано выше, поля осредненных скоростей всегда неоднородны, а турбулентность в таких условиях является анизотропной.
5.3. Важнейшие статистические характеристики турбулентности
Можно выделить три основные группы характеристик турбулентно-сти, которые характеризуют интенсивность турбулентного движения, масштаб турбулентности, частотный спектр турбулентных пульсаций.
5.3.1. Интенсивность турбулентного движения
Интегральной характеристикой интенсивности турбулентного движе-ния является степень турбулентности Tu, которую называют еще интен-сивностью турбулентности:
.3
1 222
u
wvu Tu (5.9)
Здесь 222 ,, wvu – дисперсии пульсации wvu ,, соответственно (ось х принята совпадающей с направлением осредненного движения).
Интенсивности турбулентного движения в направлении координат-ных осей x, y, z характеризуются степенями турбулентности zyx ,, :
59
,;;222
u
w
u
v
u
uzyx
(5.10)
где 222 ,, wvu – среднеквадратичные пульсации скорости вдоль ко-ординатных осей x, y, z соответственно.
Следует заметить, что иногда при определении величин Tu, zyx ,, в
знаменатели выражений (5.9), (5.10) подставляют не местное значение ос-редненной скорости u , а значение осредненной скорости U на внешней границе пограничного слоя.
Распределение турбулент-ных характеристик потока по толщине пограничного слоя, по-лученное на основе эксперимен-тов П. С. Клебанова, приведено на рис. 5.6. Здесь же показан профиль осредненной скорости.
Как видно, максимальных значений величины zyx ,, дос-
тигают в пристенной зоне. При этом интенсивность x продоль-ных пульсаций оказывается наи-большей, а интенсивность y по-
перечных (в нормальном к обте-каемой поверхности направлении) пульсаций – наименьшей.
При внутреннем течении в каналах значение Tu на оси составляет не-сколько сотых долей (несколько процентов). В аэродинамических трубах cтепень турбулентности Tu изменяется в диапазоне от 0,0002 до 0,01.
Несмотря на то, что турбулентные пульсации составляют небольшую долю от осредненной скорости потока, они вносят существенные измене-ния в турбулентный поток. При этом их влияние проявляется не в том, что они изменяют значения скорости (или других параметров) потока, а в том, что молекулярные механизмы переноса вещества, импульса и теплоты за-меняются на конвективные. В результате турбулентные пульсации приво-дят к существенной интенсификации процессов тепло- и массообмена, к увеличению трения. Кроме того, турбулентность повышает устойчивость потока к внешним воздействиям и препятствует его отрыву от стенки.
Рис. 5.6. Интенсивность турбулентногодвижения и профиль осредненнойскорости в пограничном слое
60
5.3.2. Масштаб турбулентности В турбулентном потоке одновременно присутствуют турбулентные
образования (моли) различных размеров. Поэтому при решении разных за-дач используются разные пространственные масштабы турбулентности. Наибольшее распространение при анализе турбулентных потоков нашли следующие группы масштабов: интегральный масштаб iL , называемый
еще макромасштабом, масштабом крупных вихрей, «большим» масшта-бом; микромасштаб i , называемый еще диссипативным масштабом;
масштаб диссипирующих вихрей , называемый еще масштабом Колмо-
горова. Интегральный масштаб iL зависит от вида пульсирующей величи-
ны ( wvu ,, и т. п.) и от выбранного направления i (вдоль осей yx, или z ). Таким образом, к группе интегральных относятся масштабы
,,, wxvxux LLL wzvzuzwyvyuy LLLLLL ,,,,, и др. Масштаб iL характеризует про-
странственные размеры наибольших в рассматриваемых условиях турбу-лентных образований (молей).
Микромасштаб i характеризует пространственные размеры наи-
меньших длительно существующих в рассматриваемых условиях турбу-лентных образований. Индексы и i имеют здесь тот же смысл, что и у масштаба iL .
Масштаб диссипирующих вихрей характеризует размеры наи-
меньших вихрей, энергия которых под действием сил вязкости переходит в теплоту.
Для определения масштабных характеристик широко используются понятия корреляционной (статистической) связи между различными пуль-сирующими величинами. Пусть ni ,,,, 21 некоторые пульсацион-ные составляющие турбулентного потока. Количественной мерой корреля-ционной связи между этими n пульсирующими величинами является ко-эффициент корреляции R .
2222
21
21
ni
niR
. (5.11)
В зависимости от количества анализируемых пульсационных величин различают коэффициенты двойной (для двух величин), тройной (для трех величин) и т. д. корреляции. При анализе турбулентных течений наиболее часто применяются коэффициенты двойной корреляции вида
22
21
21
R .
61
Если между пульсирующими величинами корреляционная связь от-сутствует, то числители выражения (5.11) обращаются в 0 и соответст-вующие коэффициенты корреляции будут также равны 0. Если же эти ве-личины связаны функционально, то коэффициент корреляции принимает значение 1 или –1. Таким образом, коэффициент корреляции может при-нимать значения из диапазона от –1 до 1.
В турбулентном потоке различают одноточечные, пространствен-ные, временные и пространственно-временные корреляции. Одноточеч-ные корреляции характеризуют связь между пульсационными величинами в анализируемой точке в один и тот же момент времени. Примеры одното-
чечных корреляций: wuvuu ,,2 и т. п. Одноточечные корреляции опре-деляют дополнительный перенос теплоты, количества движения и вещест-ва в турбулентном потоке.
Пространственные корреляции характеризуют связь между пульса-ционными величинами (в частном случае между одной и той же величи-ной) в двух точках турбулентного потока. Примеры пространственных корреляций: zyxxvzyxuzyyxuzyxuzyxxuzyxu ,,,,,,,,,,,,,, и т. п.,
где yx , – расстояния между анализируемыми точками в направлении координатных осей x и y соответственно.
Пространственные корреляции позволяют определить интегральные пространственные масштабы турбулентности iL .
0
diRL ii , (5.12)
где iR – коэффициент пространственной корреляции для пульсирующей
величины в направлении i . Например, макромасштаб uxL определяется выражением
0
dxRL uxux , (5.13)
где коэффициент корреляции uxR выражается зависимостью
zyxxuzyxu
zyxxuzyxuRux
,,,,
,,,,22
.
С помощью пространственных корреляций можно определить также микромасштабы i .
0
22
2
ii
i iR
. (5.14)
Например, микромасштаб ux определяется выражением
62
022
2
xuxux xR . (5.15)
Временные корреляции характеризуют связь между пульсационными величинами в рассматриваемой точке в различные моменты времени. Примеры временных корреляций: ,, vuuu
wu . Если анализируется связь между одной и той же пульси-рующей величиной, то такая корреляция называется автокорреляцией. Примером автокорреляции является величина uu .
Временные корреляции позволяют определить интегральные времен-ные масштабы турбулентности L .
0
dRL , (5.16)
где R – коэффициент автокорреляции для пульсирующей величины . Например, макромасштаб uL определяется выражением
0
dRL uu , (5.17)
где коэффициент автокорреляции uR выражается зависимостью
22 uu
uuRu . (5.18)
По найденному значению L можно рассчитать продольный (в на-
правлении осредненной скорости) интегральный масштаб xL .
LuL x . (5.19)
Например, макромасштаб uxL определяется выражением
uux LuL . (5.20) Автокорреляция позволяет также определить временной и про-
дольный пространственный x микромасштабы турбулентности:
0
22
2
R; (5.21)
ux . (5.22)
Пространственно-временные корреляции характеризуют связь между пульсирующими величинами в разных точках пространства в различные моменты времени.
На рис. 5.7 показаны результаты измерений коэффициента простран-ственно-временной корреляции R для продольных пульсаций скорости u в пограничном слое на пластине, выполненных А. Ж. Фавром.
63
Смещение m максимума каждой кривой обусловлено уносом турбу-лентных образований, движущихся вместе с потоком. Уменьшение макси-мального значения коэффициента корреляции R при увеличении расстоя-ния xr между анализируемыми точками в направлении продольной коор-динаты x объясняется постепенным разрушением турбулентных молей из-за их перемешивания с окружающей средой.
5.3.3. Частотный спектр турбулентных пульсаций Одновременно присутствующие в турбулентном потоке турбулентные
моли различных размеров пульсируют в широком диапазоне. Частотный спектр пульсаций дает представление о распределении энергии пульсаци-онного движения по частотам.
Пусть n – частота турбулентных пульсаций параметра . Энергию E пульсаций во всем диапазоне частот от 0 до можно выразить со-отношением
2
2E . (5.23)
Энергия ne пульсаций , происходящих в узком диапазоне частот от n до dnn , определяется аналогичным выражением
2
2 nne
. (5.24)
Функция dnEnenF , определенная для всего интересующего
диапазона частот n , представляет собой функцию распределения энергии пульсаций по частотам, называемую еще частотной функцией. Она ха-рактеризует частотный спектр турбулентных пульсаций.
, мс
rx m U
r
m
x
Рис. 5.7. Коэффициент пространственно-временной корреляциипродольных пульсаций скорости в пограничном слое на пластине
64
Из сказанного следует равенство
10
dnnF . (5.25)
Д. Тейлором было показано, что функция nF представляет собой
результат преобразования Фурье соответствующей автокорреляции. При анализе частотного спектра турбулентных пульсаций вместо час-
тоты n иногда используют волновое число unk 2 , а вместо частотной функции nF – волновую функцию kF .
На рис. 5.8 приведен волновой спектр kFu продольных пульсаций скорости u в пограничном слое на пластине, полученный эксперимен-тальным путем П. С. Клебановым.
Как видно из рис. 5.8, наибольшее значение спектральная (частотная или волновая) функция принимает при низких час-тотах (волновых числах). С возрастанием частоты n или волнового числа k спектральная функция бы-стро уменьшается.
Обычно существует некоторая область средних частот, в которой в соот-ветствии с теорией А. Н. Колмогорова функция
nFu изменяется пропор-
ционально 35n (см. линию 1 на рис. 5.8).
В области больших частот функция nFu из-меняется пропорционально
7n (см. линию 2 на рис. 5.8), что соответствует теории В. Гейзенберга.
С помощью спектральных функций могут быть определены продоль-ные масштабы турбулентности:
kFnFu
Lnn
x
lim2
lim4 00
; (5.26)
Рис. 5.8. Волновой спектр продольныхпульсаций скорости в пограничном слое напластине
k, см-1
Fu(k), см
65
0
2
0
2
1
dkkFkdnnFn
ux
; (5.27)
4
13
, (5.28)
где – скорость диссипации рассматриваемой пульсационной величины
.
dx
du
d
d
22
22
. (5.29)
Скорость диссипации обычно определяется по соотношениям для
изотропной турбулентности с использованием спектральной функции на участке так называемого «закона 35 », характеризуемого линией 1 на рис. 5.8:
2335
c
kkF . (5.30)
Коэффициент c в формуле (5.30) зависит от вида пульсирующей ве-личины и функции kF . Так, например, для одномерного спектра про-
дольной пульсации скорости u 48,0c , для пульсаций v и w – 63,0c , для трехмерного спектра кинетической энергии турбулентного движения –
1,1c [10]. С помощью спектральных функций могут быть определены и мас-
штабы так называемых энергосодержащих вихрей. Поясним процедуру определения этих масштабов. Из рис. 5.8 видно, что с увеличением волно-вого числа k функция kF уменьшается. Но произведение kFk в за-
висимости от числа k меняется по кривой с максимумом, и этот максимум достигается при некотором значении mkk . Величина, обратная волно-
вому числу mk , и представляет собой продольный масштаб xl энергосо-
держащих вихрей для пульсирующей величины :
mx kl 1 . (5.31)
В пограничном слое продольный масштаб xvl энергосодержащих вих-
рей для поперечной пульсации скорости v совпадает с так называемой длиной пути смешения, играющей важную роль при моделировании тур-булентных течений.
66
5.4. Дополнительные турбулентные напряжения в движущемся потоке. Уравнения движения и энергии для осредненных параметров Рассмотрим турбулентное течение несжимаемой жидкости в прямо-
угольной системе координат. Найдем составляющие потока импульса
xzxyxx dIdIdI ,, через элементарную площадку xdF , перпендикулярную оси
x , за единицу времени:
xxzxxyxxx uwdFdIuvdFdIuudFdI ;; . (5.32)
Поскольку мгновенные скорости wvu ,, изменяются во времени, то и величины xzxyxx dIdIdI ,, будут переменными. Определим их осредненные
во времени значения xzxyxx dIdIdI ,, :
.
;
;2 2222
xxxxz
xxxxy
xxxxx
dFwuwudFwuuwwuwudFwwuudI
dFvuvudFvuuvvuvudFvvuudI
dFuudFuuuudFuuuudI
(5.33) Величины xzxyxx dIdIdI ,, характеризуют составляющие потока им-
пульса в единицу времени и имеют размерность силы. Разделив каждую из этих величин на площадку xdF , получим напряжения, действующие со стороны площадки на окружающую среду. Напряжения со стороны окру-жающей среды на площадку будут такими же по значению, но противопо-ложными по знаку. Таким образом, на выделенную площадку xdF дейст-вуют следующие напряжения:
– нормальное, вдоль оси x 22 uux ;
– касательное, вдоль оси y vuvuxy ;
– касательное вдоль оси z wuwuxz . Проводя аналогичные рассуждения для площадок ydF , zdF , перпен-
дикулярных осям y и z соответственно, получим еще 6 составляющих на-пряжения:
– для площадки ydF
wvwvvvvuvu yzyxyyx ;; 22 ;
– для площадки zdF
.;; 22 wwwvwvwuwu zyzzyxzzx
Таким образом, наложение пульсационного движения на осредненное приводит к появлению 9 дополнительных напряжений:
67
2
2
2
wwvwu
wvvvu
wuvuu
zyzxz
yzyxy
xzxyx
. (5.34)
Совокупность этих девяти дополнительных напряжений, возникаю-щих в турбулентном потоке, называют тензором «кажущихся» напряже-ний, или напряжениями Рейнольдса.
Как видно из соотношения (5.34), напряжения Рейнольдса выражают-ся одноточечными корреляциями пульсационных составляющих скорости, которые называют еще вторыми моментами.
Рассмотрим уравнение движения, которое для анализируемых усло-вий может быть представлено в форме (3.36). Если параметры, содержа-щиеся в уравнении движения, считать мгновенными (актуальными), то оно будет справедливо и для турбулентного течения. Однако часто оказывается предпочтительным выразить уравнение движения через осредненные па-раметры.
Подставив в уравнение (3.36) вместо мгновенных значений pwvu ,,, соответствующие суммы их осредненных и пульсационных составляющих (см. (5.1), (5.2)), выполнив несложные преобразования и операцию осред-нения по времени, получим уравнение движения для осредненных пара-метров:
.
;
;
2
2
2
wz
w
zwv
y
w
ywu
x
w
xz
pZ
d
wD
wvz
v
zv
y
v
yvu
x
v
xy
pY
d
vD
wuz
u
zvu
y
u
yu
x
u
xx
pX
d
uD
(5.35) Уравнения (5.35) впервые были получены Рейнольдсом и называются
уравнениями Рейнольдса. Как видно, заключенные в круглые скобки выражения в правой части
уравнения (5.35) содержат компоненты тензора напряжений Рейнольдса. По аналогии с первыми слагаемыми этих выражений, воспользовавшись идеей Ж. Буссинеска, выразим компоненты тензора напряжений соотно-шениями
zwywxw
zvyvxv
zuyuxu
zzТyzТxzТ
yzТyyТxyТ
xzТxyТxxТ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
. (5.36)
68
Здесь ijТ – коэффициенты турбулентного переноса количества дви-
жения. Из выражений (5.34), (5.36) получаем соотношения для коэффициен-
тов турбулентного переноса количества движения ijТ :
zw
w
yw
wv
xw
wu
zv
wv
yv
v
xv
vu
zu
wu
yu
vu
xu
u
zzТyzТxzТ
yzТyyТxyТ
xzТxyТxxТ
2
2
2
. (5.37)
В отличие от динамического коэффициента вязкости коэффициент турбулентного переноса ijТ не является физическим свойством потока.
С учетом (5.36) уравнение Рейнольдса можно представить в виде
.
;
;
z
w
zy
w
yx
w
xz
pZ
d
wD
z
v
zy
v
yx
v
xy
pY
d
vD
z
u
zy
u
yx
u
xx
pX
d
uD
zzТyzТxzТ
yzТyyТxyТ
xzТxyТxxТ
(5.38) Дифференциальное уравнение неразрывности, записанное для осред-
ненных параметров, имеет тот же вид, что и для мгновенных параметров. В нем необходимо только мгновенные параметры заменить на осреднен-ные.
Аналогично уравнению движения выводится дифференциальное уравнение энергии для осредненных параметров. Так, например, уравнение (3.95) приводится к виду
z
T
zy
T
yx
T
xd
TDc zТyТxТp
. (5.39)
Здесь коэффициенты турбулентного переноса теплоты iТ определя-
ются выражениями
zT
Twc
yT
Tvc
xT
Tuc pТz
pyТ
pxТ
;; . (5.40)
Коэффициент турбулентного переноса теплоты iТ , так же, как и ко-
эффициент турбулентного переноса количества движения ijТ не является
физическим свойством потока.
69
Для пограничного слоя уравнения (5.38), (5.39) упрощаются. Так, для плоского пограничного слоя эти уравнения принимают вид
y
u
yx
pX
d
uDТ
; (5.41)
y
T
yd
TDc Тp
. (5.42)
Здесь xyТТ , yТТ – коэффициенты турбулентного переноса
количества движения и теплоты в пограничном слое. Коэффициенты турбулентного переноса количества движения (и ком-
поненты тензора напряжений Рейнольдса) так же, как и коэффициенты турбулентного переноса теплоты в задачах движения и теплообмена тур-булентного потока, являются величинами неизвестными. Поэтому система уравнений для осредненных параметров турбулентного течения является незамкнутой, так как число неизвестных больше числа уравнений.
5.5. Моделирование процессов турбулентного переноса Создание полной и строгой теории турбулентности является одной из
сложнейших и нерешенных к настоящему времени научных проблем. От-сутствие такой теории привело к появлению различных подходов к замы-канию математической формулировки задач движения турбулентных по-токов, к разработке большого числа эмпирических и полуэмпирических моделей турбулентности.
5.5.1. Прямое численное моделирование турбулентных течений Один из подходов к моделированию процессов турбулентного обмена
основан на прямом численном решении системы дифференциальных урав-нений движения и неразрывности, записанных для мгновенных (актуаль-ных) значений параметров турбулентного потока. Так, например, движе-ние потока несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью описывается системой уравнений, включающих уравнение движения в форме Навье-Стокса (3.36) и уравнение неразрывности (3.14).
Система уравнений (3.14), (3.36) является замкнутой, поскольку име-ется 4 уравнения для определения 4 искомых величин pwvu ,,, . Однако математическая формулировка задачи в целом остается незамкнутой из-за неопределенности начальных и граничных условий однозначности. Про-блема состоит в том, что при формировании начальных и граничных усло-вий должна быть учтена пространственно-временная структура турбулент-ности, которая заранее неизвестна. Сложность этой проблемы иллюстри-рует рис. 5.9, где показаны полученные Н. И. Михеевым эксперименталь-
70
Рис. 5.9. Пространственно-временноеполе турбулентных пульсаций давления
= 0 = 1 мс = 2 мс = 3 мс
z
= 4 мс
ным путем мгновенные поля пульса-ций давления потока на стенке в сле-де за поперечно обтекаемым цилин-дром. Эти поля дают представление о пространственно-временной структу-ре турбулентности.
Формирование начальных усло-вий упрощается лишь при анализе случаев, когда в исходном состоянии среда неподвижна.
На пути практической реализа-ции указанного подхода моделирова-ния турбулентных течений возника-ют и проблемы, обусловленные чрез-вычайно большим объемом вычисли-тельной работы. Это связано с нали-чием в турбулентном потоке молей самых разных размеров. При этом, чем больше число Рейнольдса пото-ка, тем более широким является спектр размеров, которые могут от-личаться на много порядков.
Частота пульсаций этих турбу-лентных образований также отлича-ется на много порядков, поэтому для получения в результате расчета фи-
зически верной картины турбулентного движения требуется использовать расчетную сетку с очень малыми шагами по времени и пространственным переменным. Сама же область исследования во времени и пространстве, определяемая размерами и временем существования крупномасштабных образований, оказывается очень большой по отношению к шагам сетки.
Таким образом, прямое численное моделирование турбулентных те-чений в настоящее время возможно для ограниченного круга задач и при сравнительно небольших числах Рейнольдса.
Для расширения диапазона чисел Рейнольдса привлекаются дополни-тельные гипотезы и модели, определяющие взаимодействие крупномас-штабных и мелкомасштабных образований. Использование таких моделей, которые называют подсеточными, позволяет на несколько порядков уве-личить размеры разностной сетки и численно моделировать крупномас-штабное движение. Поведение мелкомасштабных молей определяется при этом на основе подсеточных моделей.
71
5.5.2. Дифференциальные модели турбулентности На основе рассмотренного в пункте 5.5.1 подхода получены важные
научные результаты, однако наиболее плодотворным в научном и при-кладном отношениях в настоящее время является другой подход к анализу турбулентного переноса, основанный на установлении связи между осред-ненными и пульсационными составляющими турбулентного движения.
Использование системы уравнений для осредненных параметров от-крывает возможность однозначной формулировки начальных и граничных условий, но при этом сама система становится незамкнутой из-за появле-ния дополнительных неизвестных. Так, в задачах движения турбулентного потока несжимаемой жидкости появляются 6 дополнительных неизвест-
ных. Это – компоненты тензора напряжений Рейнольдса ,,,, 222 vuwvu
wvwu , . Решение проблемы замыкания здесь сводится к установлению количественных соотношений для определения составляющих тензора ка-жущихся напряжений. Такого рода количественные соотношения получа-ют в результате анализа экспериментальных данных и создания модельных представлений о механизме турбулентного обмена, называемых моделями турбулентности.
К настоящему времени создано большое число моделей турбулентно-сти, отличающихся степенью сложности и широтой области применения. Рассмотрим так называемые дифференциальные модели, в которых состав-ляющие тензора кажущихся напряжений (вторые моменты) определяются соответствующими дифференциальными уравнениями, получаемыми из уравнений Рейнольдса. При анализе будем пренебрегать влиянием внеш-него поля массовых сил (иначе говоря, примем 0 ZYX ).
Умножим первое из уравнений (5.35) на v , а второе – на u , сложив полученные результаты и выполнив операцию осреднения во времени, по-лучим
.2
2
2
2
2
2
22
xyvuz
vuy
vux
y
pu
x
pvwvu
zwvu
ywvu
x
z
vwu
y
vvu
x
vu
z
uwv
y
uv
x
uvu
d
vuD
(5.43)
Здесь скорость диссипации xy корреляции vu определяется соотно-
шением
z
v
z
u
y
v
y
u
x
v
x
uxy 2 . (5.44)
72
Аналогично выводятся уравнения для других составляющих тензора кажущихся напряжений.
Каждое уравнение содержит дополнительные неизвестные члены. На-пример, в уравнении (5.43) таких дополнительных неизвестных членов че-
тыре ( xyy
pu
x
pvwvu ,,,
). Эти неизвестные члены определяются на ос-
нове различных гипотез и экспериментальных данных. Полная система 6 уравнений для 6 составляющих тензора напряжений
Рейнольдса содержит очень много неизвестных членов, которые должны быть смоделированы, поэтому число уравнений обычно ограничивают 1–3. Недостающие связи между составляющими тензора кажущихся напряже-ний и параметрами, определяемыми из решения уравнений, также устанав-ливаются на основе гипотез и эмпирической информации.
В зависимости от числа используемых уравнений различают одно-, двух-, трехпараметрические и т. д. модели турбулентности.
В качестве одного из параметров, определяемых дифференциальным уравнением, часто выбирается кинетическая энергия e турбулентного движения, приходящаяся на единицу массы среды:
2225,0 wvue . (5.45) Дифференциальное уравнение для величины e выводится из уравне-
ний (5.35). Умножив первое из уравнений (5.35) на u , второе – на v , третье – на w , сложив полученные результаты, выполнив операцию ос-реднения, получим
.2
2
2
2
2
22
22
z
e
y
e
x
ee
pw
ze
pv
ye
pu
xz
ww
y
wwv
x
wwu
z
vwv
y
vv
x
vvu
z
uwu
y
uvu
x
uu
d
De
(5.46) Здесь – скорость диссипации энергии турбулентности e .
.222222222
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
(5.47) При определении неизвестных членов, содержащих пульсации давле-
ния, используется модель градиентной диффузии турбулентной энергии. Неизвестные члены при этом определяются соотношениями
.;;
z
e
ze
pw
zy
e
ye
pv
yx
e
xe
pu
x eee
(5.48)
73
Здесь e – коэффициент диффузии турбулентной энергии (определя-ется эмпирическим путем).
Для моделирования других неизвестных, входящих в уравнение (5.46), используются различные гипотезы и эмпирические соотношения. Так, на-пример, для моделирования корреляции vu используются гипотезы Таун-сенда, Колмогорова, Джонса-Лаундера и др.
В соответствии с гипотезой Таунсенда связь между величинами vu и e определяется выражением
cevu , (5.49) где c – эмпирический коэффициент ( 3,0c ).
Исследованиями установлено, что связь (5.49) применима лишь для тех областей потока, где порождение кинетической энергии турбулентно-сти компенсируется ее диссипацией, а сама энергия сохраняется неизмен-ной.
Более широкую область применения имеют соотношения, отражаю-щие гипотезу Колмогорова
y
ueLcvu
0 (5.50)
и гипотезу Джонса-Лаундера
y
uefcvu
2
. (5.51)
Здесь cc ,0 – эмпирические константы; L – интегральный масштаб
турбулентности; f – функция, отражающая влияние молекулярной вязко-
сти на турбулентный обмен вблизи стенки.
202,01
5,2exp
ef . (5.52)
Зависимости (5.50), (5.51) пригодны для использования в случаях, ко-
гда вклад пульсационных составляющих 222 ,, wvu в энергию e сохраня-ется одинаковым во всей области исследования или меняется незначитель-но. Численное значение константы c обычно принимается равным 0,09.
Модели, основанные на соотношениях (5.50), (5.51), должны включать до-полнительные соотношения для определения величин ,L .
Применительно к плоскому пограничному слою уравнение (1.24) зна-чительно упрощается и принимает вид
x
uvu
y
uvu
y
e
y
Dee
22
. (5.53)
Здесь член, стоящий в левой части уравнения, характеризует конвек-цию величины e ; первый член в правой части – диффузию кинетической энергии турбулентности; второй член – ее генерацию за счет касательных
74
напряжений; третий – диссипацию; четвертый – генерацию за счет нор-мальных напряжений.
Неизвестная величина может быть найдена из дифференциального уравнения, сходного по структуре с уравнением (5.53):
e
cy
u
evuc
yy
D 2
21
. (5.54)
Здесь – коэффициент диффузии для скорости диссипации ;
21, cc – эмпирические коэффициенты. Система уравнений (5.53), (5.54) совместно с эмпирическими зависи-
мостями для расчета величин 22 ,,, vue позволяет определить коэффи-циенты турбулентного переноса количества движения Т в пограничном слое:
yu
vuТ
. (5.55)
Для потоков с небольшими значениями продольного градиента скоро-сти (давления) генерацией турбулентной энергии за счет нормальных на-
пряжений пренебрегают, что позволяет исключить величины 22 , vu из числа неизвестных и упростить задачу.
При численном решении системы (5.53), (5.54) возникают трудности с формированием граничных условий на поверхности стенки для величины ( ,0y ). Кроме того, уравнения (5.53), (5.54) не приспособлены для расчета обменных процессов в непосредственной близости от стенки (в пределах вязкого подслоя). С целью преодоления этих трудностей Джонсом и Лаундером предпринята модификация этих уравнений. Моди-фицированные уравнения имеют вид
.exp3,01
)56.5(;2
2
2
2
3
222
21
2
y
u
y
uvuc
e
ec
y
u
evuc
yy
D
x
e
y
uvu
y
e
y
Dee
Модели турбулентности, базирующиеся на использовании уравнений типа (5.56) для энергии e и скорости диссипации , называют « e » (иногда – « k ») моделями турбулентности.
С помощью системы (5.56) можно проводить сквозной расчет коэф-фициентов турбулентного переноса Т по всей толщине пограничного слоя, а также рассчитывать непрерывный переход от ламинарного течения к турбулентному. При этом граничные условия на стенке для величины формируются в виде 0,0 y .
75
В тех случаях, когда моделирование неизвестных членов в уравнениях для составляющих тензора напряжений Рейнольдса или для энергии e приводит к большим отклонениям от действительности, может быть пред-принято моделирование более высоких порядков. С этой целью выводятся уравнения для тройных и смешанных корреляций, которые в свою очередь содержат неизвестные члены, подлежащие моделированию.
Следует отметить, что рассмотренные модели турбулентности опери-руют величинами, осредненными по всему диапазону частот пульсаций. Они становятся неприменимы в случаях, когда в исследуемой области те-чения происходит существенное перераспределение энергии и других ха-рактеристик турбулентности по частотам пульсаций.
В этом случае одно и то же значение осредненной по всем частотам энергии e , скорости диссипации и других характеристик может быть получено при разных законах их распределения по частотам, а, следова-тельно, и разных закономерностях турбулентного обмена. Однако рас-смотренные модели могут быть приспособлены и для таких условий. Для этого весь диапазон частот пульсаций разбивается на ряд диапазонов. Для каждого диапазона частот составляется своя система уравнений для опре-деления параметров, осредненных в пределах этого диапазона. Для замы-кания системы используется гипотеза и соответствующее соотношение, связывающие коэффициенты турбулентного переноса Т с составляющи-ми энергии e (или другими параметрами), вычисленными на различных участках частотного спектра.
Дополнительные трудности возникают при определении коэффициен-тов турбулентного переноса теплоты Т и вещества ТD , которые необхо-димы при анализе процессов тепло- и массообмена в потоках. В этих слу-чаях система уравнений, определяющих процессы турбулентного переноса количества движения, дополняется уравнениями для пульсационных ха-рактеристик потока, полученными из дифференциальных уравнений энер-гии (например, (5.39)) и массообмена, которые характеризуют процессы турбулентного переноса теплоты и вещества.
Другой (упрощенный) способ определения величин Т и ТD при из-вестном значении Т базируется на допущении о единстве механизмов турбулентного переноса теплоты, вещества и количества движения.
При этом выполняется равенство 1ScPr ТТ , (5.57)
где ТpТТ с Pr – турбулентное число Прандтля; ТТТ DSc – тур-
булентное число Шмидта. Результаты имеющихся исследований показывают, что число ТPr в
потоках жидкости и газа может отличаться от 1. Это же относится и к чис-
76
лу ТSc . Поэтому при определении величин Т и ТD на основе соотно-шений
ТТТТpТТ Dс Sc;Pr (5.58)
следует подставлять в них средние в пристенной зоне опытные значения
ТPr и ТSc .
5.5.3. Модель пути смешения Прандтля
В 1925 г. Прандтль предложил простую модель, позволяющую выра-зить связь между компонентом тензора напряжений Рейнольдса ( vuxy ) и осредненными параметрами потока ( dyud ). Эта связь по-
лучена Прандтлем для идеализированного стационарного плоского тече-ния, в котором скорость изменяется лишь в нормальном к обтекаемой по-верхности направлении (вдоль оси y ).
Анализ течения около поверхности в таких условиях позволил Пран-дтлю предположить, что среднеквадратичные пульсации скорости
22 , vu пропорциональны градиенту осредненной скорости потока.
dy
udlv
dy
udlu vu 22 ; , (5.59)
где vu ll , – некоторые линейные размеры. С учетом соотношений (5.59) и понятия коэффициента одноточечной
корреляции uvR выражения для величины xy можно представить в виде 2
22
dy
udllRvuRvu vuuvuvxy . (5.60)
Произведение vuuv llR можно заменить на квадрат некоторого линей-
ного размера 2l . С учетом сказанного выражение (5.60) можно представить в форме
22
dy
udlvuxy . (5.61)
Длина l , входящая в выражение (5.61), названа Прандтлем длиной пу-ти смешения (перемешивания). Эта длина представляет собой расстояние, на которое турбулентный моль может переместиться в поперечном на-правлении, сохраняя свое избыточное (положительное и отрицательное) количество движения. Как было отмечено в пункте 5.3.3, длина l тождест-венна масштабу xvl энергосодержащих вихрей для поперечной пульсации
скорости v . Иногда, желая указать знак напряжения xy , формулу Прандтля (5.61)
представляют в виде
77
dy
ud
dy
udlxy 2 . (5.62)
Из соотношения (5.62) получается выражение для коэффициента тур-булентного переноса количества движения xyТТ .
dy
udlxyТТ 2 . (5.63)
Формула Прандтля (5.62), несмотря на ее простоту, до настоящего времени успешно применяется для расчета турбулентных течений в при-стенной области как при внешнем обтекании тел, так и при внутренних те-чениях в трубах и каналах.
На поверхности стенки напряжение xy обращается в 0, поскольку
стенка препятствует турбулентным пульсациям скорости. Поэтому допус-тимо предположить, что длина пути смешения вблизи стенки пропорцио-нальна расстоянию y от обтекаемой поверхности:
yl æ . (5.64) Коэффициент æ , называемый константой Прандтля-Кармана, опре-
деляется из эксперимента. Для сравнительно простых условий течения (стационарные однородные потоки с небольшими продольными градиен-тами давления) 0,4æ .
На рис. 5.10 показано найденное из эксперимента распределение дли-ны пути смешения по толщине пограничного слоя на пластине. Как видно, уравнение (6.64) удовлетворительно соответствует действительно-сти при 1875,0y . Однако по-скольку именно в этой области происходит наиболее существен-ное изменение скорости потока, то неточности в определении длины пути смешения во внешней части пограничного слоя ( 1875,0y ) не слишком сильно влияют на ре-зультаты расчета профиля скоро-сти.
Тем не менее, различными ис-следователями предложены и дру-гие зависимости, дающие более точное распределение длины пути смешения во внешней части по-граничного слоя. Рассмотрим не-которые из них.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
y/
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
l/
1
Рис. 5.10. Изменение длины пути сме-шения по толщине пограничного слоя [11]: – эксперимент; 1 – расчет по формуле (5.64)
78
Сполдинг рекомендует (см. [11]) при 1875,0y использовать зави-симость (5.64), а при 1875,0y принять
075,0l
. (5.65)
Прандтлем на основе обобщения опытных данных Никурадзе в глад-ких трубах предложена следующая зависимость:
42
106,0108,014,0
yyl
. (5.66)
Вблизи стенки формула (5.66) дает результат, близкий к предсказы-ваемому зависимостью (5.64), а на внешней границе пограничного слоя –
14,0l . Кутателадзе С. С. и Леонтьев А. И. [12] предложили формулу
32
2æ3æ2æ
yyyl
. (5.67)
Здесь 14,0 – эмпирический коэффициент. Вблизи стенки формула (5.67) так же, как и формула (5.66), дает результат, близкий к предсказы-ваемому зависимостью (5.64), а на внешней границе пограничного слоя – предсказываемый зависимостью (5.66).
В непосредственной близости стенки (внутри вязкого подслоя) турбу-лентные пульсации интенсивно затухают, и формулы (5.64), (5.66), (5.67) нуждаются в уточнении. Такое уточнение предложил Ван Дрийст. Попра-вочный множитель к указанным формулам, полученный Ван Дрийстом, имеет вид
yv
A*1
exp1 . (5.68)
Здесь 26A – эмпирический коэффициент; xyv * – динамиче-
ская скорость. 5.6. Обобщение модели пути смешения на сложные газодинамические условия Классическая модель пути смешения (см. пункт 5.5.3) разработана
Прандтлем для стационарного пограничного слоя в однородном безгради-ентном потоке, поэтому она не позволяет прогнозировать влияние на ко-эффициенты турбулентного переноса внешних воздействий (продольного градиента давления, кривизны и вращения обтекаемой потоком поверхно-сти и пр.), а также различных форм нестационарности. В рамках этой мо-дели коэффициент æ считается постоянным (æ = 0,4).
В потоке, подверженном воздействиям факторов динамической не-стационарности, продольного градиента давления, кривизны и вращения
79
обтекаемой потоком поверхности и т. п., имеет место пространственно-временная перестройка профиля скорости, а также изменение давления во времени и по пространственным переменным. Поэтому возникает необхо-димость в обобщении модели пути смешения на такие условия.
5.6.1. Длина пути смешения в пограничном слое с пространственно-временной перестройкой профиля скорости Проанализируем влияние пространственно-временной перестройки
профиля скорости в пограничном слое на длину пути смешения l и важ-нейшую фундаментальную характеристику турбулентности æ (см. пункт 5.5.3). Найдем соотношение между длинами l и 0l , а также между харак-теристиками æ и 0æ , где величины, снабженные нижним индексом 0 , от-носятся к «эталонному» пограничному слою. В качестве «эталонного» принимается такой пограничный слой, в котором поле давлений однород-но, а пространственно-временная перестройка профиля скорости отсутст-вует. Именно для такого пограничного слоя разработана классическая мо-дель пути смешения.
По своим свойствам близок к «эталонному» пограничный слой на не-проницаемой пластине при ее безградиентном обтекании стационарным изотермическим потоком несжимаемой жидкости, в котором имеет место лишь незначительная пространственная перестройка профиля скорости.
Поскольку в «эталонном» пограничном слое длина пути смешения 0l и коэффициент 0æ не зависят от профиля скорости и ее поперечных гради-ентов, то в качестве базы для сравнения примем такой гипотетический «эталонный» пограничный слой, профиль скорости во всех сечениях кото-рого совпадает с мгновенным профилем скорости в анализируемом сече-нии исследуемого пограничного слоя.
В «эталонном» пограничном слое турбулентный моль 1 (см. рис. 5.11,а), получивший под влиянием случайных факторов избыточную про-дольную скорость u , сможет ее погасить в результате поперечного пере-мещения в точку 2 на расстояние 0ly .
0ldy
duy
dy
duu . (5.69)
При этом избыточная скорость комка u , определяемая отрезком 1,1' на рис. 5.11, а, целиком расходуется на его турбулентное перемещение ( uu , где u – турбулентная среднеквадратичная пульсация скорости потока вдоль обтекаемой поверхности).
Здесь и в дальнейшем, если это особо не оговаривается, для упроще-ния записи верхнюю черту осреднения у параметров потока будем опус-кать, а среднеквадратичные пульсации параметров обозначать упрощенно (u , v , p и т. п.).
80
В пограничном слое с пространственно-временной перестройкой про-филя скорости избыточная скорость u не совпадает по значению с тур-булентной пульсацией u (см. рис. 5.11, б, в). Это обусловлено тем, что за время перемещения турбулентного образования в пределах длины пути смешения l из точки 1 в точку 2 профиль осредненной скорости потока претерпевает изменения. При этом пульсация скорости u определяется проекцией линии 1,3 на ось абсцисс (см. рис. 5.11), а длина пути смешения l отличается от своего значения 0l в «эталонном» пограничном слое.
Для рассматриваемых условий можно записать
yy
ux
x
uuu
. (5.70)
Выражение (5.70) можно представить в виде
ly
u
x
uu
uu
. (5.71)
С учетом равенства lyuu соотношение (5.71) примет вид
ux
uu
uu
. (5.72)
Из соотношения (5.72) следует, что при положительном значении за-ключенной в скобки суммы пульсация u меньше избыточной скорости
u . В таких условиях только часть избыточной энергии выделенного ком-ка жидкости затрачивается на поддержание турбулентного движения, а ос-тавшаяся часть передается осредненному движению. Такую ситуацию, со-ответствующую случаям ламинаризации пограничного слоя, иллюстрирует рис. 5.11, б. При отрицательном значении заключенной в скобки суммы в
1 1
у u 3
u
l
2
u
2
1 1
v
у u 2
u = u
y =
l
1 1
у u 2
u
l
u
2 3
а б в
Рис. 5.11. К определению длины пути смешения в пограничном слое с пространствен-но-временной перестройкой профиля скорости: а – «эталонный» пограничный слой; б, в – пограничные слои с пространственно-временной перестройкой профиля скорости
81
выражении (5.72) на поддержание турбулентного движения помимо всей избыточной энергии моля затрачивается часть энергии осредненного дви-жения, а uu . Эту ситуацию иллюстрирует рис. 5.11, в.
Форму связи между длиной пути смешения l в пограничном слое с пространственно-временной перестройкой профиля скорости и соответст-вующей характеристикой 0l в «эталонном» пограничном слое получим из выражений (5.69), (5.71), полагая значения u и поперечного градиента скорости одинаковыми для сопоставляемых вариантов:
1
0
1
yuv
xuuu
l
l . (5.73)
Здесь турбулентная среднеквадратичная пульсация скорости в попе-речном направлении v определяется соотношением
l
v . (5.74)
Из выражения (5.73) видно, что соотношение между величинами l и
0l изменяется по толщине пограничного слоя. Принимая во внимание, что вблизи стенки длина пути смешения про-
порциональна расстоянию от обтекаемой поверхности (см. выражение (5.64)), и заменяя местные значения параметров в правой части выражения (5.73) на значения, характерные для пристеночной области, получим
1
0max0
1æ
æ
yyuv
xpс
. (5.75)
Здесь c – поправочный множитель; maxv – максимальное значение турбулентной среднеквадратичной пульсации скорости в сечении погра-ничного слоя; индекс относится к параметрам на внешней границе по-граничного слоя.
Продольный градиент давления можно выразить соотношением, по-лученным из (3.54):
x
uu
u
x
p
. (5.76)
Из выражения (5.75) с учетом (5.76) следует в частности, что влияние на коэффициент æ фактора динамической нестационарности проявляется через изменение продольного градиента давления, а также через изменение значения пульсации maxv .
Выражение (5.75) остается непригодным для количественного анали-за, поскольку содержит неизвестную величину maxv . Полагая пульсации
maxv пропорциональными масштабному значению скорости потока 0u , представим выражение (5.75) в форме
82
1
001
0
1æ
æ
yyuu
xuuuс
. (5.77)
Здесь 1c – эмпирический коэффициент. На основе зависимости (5.77) автором [14] предпринято обобщение
собственных и известных из литературы данных по значениям æ в неста-ционарном пограничном слое в каналах, а также в стационарном погра-ничном слое с продольными положительным и отрицательным градиента-ми давления. В результате найдено значение эмпирического коэффициента
4,211 c . При этом за масштабное значение скорости 0u принята ско-рость потока в исходном сечении за пределами пограничного слоя в анали-зируемый момент времени.
Полученное значение коэффициента 1c подтверждается весьма про-стым анализом. В соответствии со своим смыслом коэффициент 1c можно выразить соотношением
maxmax
01
1
yv
uc
, (5.78)
где maxy – максимальное в сечении пограничного слоя значение величины
y .
Если принять 04,0max y , что имеет место в стационарном погра-
ничном слое на пластине (см. рис. 5.6), то получим близкое к найденному из опыта значение 251 c .
5.6.2. Длина пути смешения в пограничном слое с неоднородным полем давления В рамках рассмотренной в пункте 5.6.1 модели пути смешения для по-
граничного слоя с пространственно-временной перестройкой профиля ско-рости не проявляется, как это видно из выражения (5.77), влияние на ко-эффициент æ производных p и yp , характеризующих неоднород-ное поле давления. Обобщим рассмотренную в пункте 5.6.1 модель на слу-чаи, когда имеет место существенное изменение давления во времени и по поперечной координате y .
Заметим, что поперечный градиент давления yp в пограничном слое имеет место, например, при обтекании криволинейных или вращаю-щихся поверхностей. Однако его влиянием на осредненные параметры те-чения в рамках модели пограничного слоя пренебрегают (см. (3.54), (3.56), (5.41)). Здесь же рассматривается влияние производных p и yp на интенсивность турбулентного переноса количества движения.
Длину пути смешения l и коэффициент æ представим в виде
83
uvuvu llllll / ; (5.79)
uvuvu æ/æææææ , (5.80)
где коэффициенты uæ и væ определяются выражениями 00 æ;æ yvvyuu ylyl . (5.81)
Пульсационные составляющие скорости vu , выразим соотношения-ми, идентичными (5.59):
y
ulv
y
ulu vu
; . (5.82)
Для рассматриваемых условий соотношения (5.73) и (5.77) остаются справедливыми, если в них произвести замены l на ul , æ на uæ и соот-ветственно – 0l на 0ul , 0æ на 0æu .
Связь между длинами vl и ul , а также между коэффициентами væ и
uæ может быть найдена, если установить соотношение между продольной u и поперечной v пульсациями скорости. Взаимодействие пульсаций u и v осуществляется через пульсации давления p . Пульсация p может быть определена соотношением
21 ppp , (5.83) где 1p – изменение давления, обусловленное избыточной скоростью тур-булентного образования u ; 2p – изменение давления за время переме-щения турбулентного образования в пределах длины пути смешения.
Для идеальной жидкости при отсутствии сил вязкости из уравнения Бернулли, пренебрегая малыми членами, получаем
uup 1 . (5.84) Для вязкой жидкости, введя коэффициент преобразования up , можно
записать uup up 1 . (5.85)
Изменение давления 2p выражается зависимостью
yy
px
x
ppp
2 . (5.86)
С учетом равенств vluxly uu ,, зависимость (5.86) можно представить в виде
y
p
x
pu
p
vlp u
12 . (5.87)
Подставив значения 1p , 2p , определяемые выражениями (5.85), (5.87), в соотношение (5.83) и учитывая зависимость (5.72), получим
84
y
pl
p
v
l
x
p
x
uu
u
v
luup u
u
up
uup
1
. (5.88)
Пульсация давления p порождает пульсацию скорости v: vup pv , (5.89)
где pv – коэффициент преобразования.
Из выражений (5.88), (5.89) получаем
y
pp
vu
l
x
p
x
uu
u
v
luv
pv
u
up
uuv
pv
up
11
. (5.90)
Здесь uv – коэффициент, учитывающий знаки величин u и v в при-нятой системе координат (положительному значению u соответствует от-рицательное значение v , поэтому 1uv ).
Скорость v , направленная к стенке, считается отрицательной, а на-правленная от стенки – положительной.
Используя соотношения (5.80), (5.82), (5.90), приняв во внимание пропорциональность вблизи стенки длины пути смешения расстоянию до ее поверхности ( ylyl vvuu æ,æ ) и заменяя местные значения входящих в указанные соотношения параметров на их значения в характерных точ-ках сечения пограничного слоя, после некоторых преобразований получаем
00
max00
2
0 4,211
1
æ
æ
y
y
yuu
xp
y
p
u
p
yuu
c
. (5.91)
Здесь 2с – эмпирический коэффициент; maxyp – максимальное в
сечении пограничного слоя значение поперечного градиента давления. Численное значение коэффициента 9,42 с определено обработкой
результатов выполненных автором исследований [14] турбулентной струк-туры динамически нестационарного пограничного слоя ( 0 p ), полу-ченных в условиях однородного поля статического давления в каждом его сечении ( 0 yp ), а также обработкой известных из литературы резуль-татов исследований, полученных для стационарного ( 0 p ) погранич-ного слоя около криволинейных поверхностей ( 0 yp ).
Из выражения (5.91) получаются частные зависимости для практиче-ски важных случаев.
1. Стационарный пограничный слой с продольным градиентом давле-ния ( 0 p ; 0 yp ):
85
1
000
4,211æ
æ
yyuu
dxdp
. (5.92)
При сравнительно небольших значениях производной p ( xpup ) зависимость (5.92) пригодна и для нестационарных условий, если в нее подставлять значения параметров, соответствующих рассматриваемому моменту времени (см. пункт 5.6.1).
2. Стационарный пограничный слой на криволинейной поверхности ( 0 p ; 0 xp ):
00
9,41
yyuR
u
ææ
, (5.93)
где R – радиус кривизны поверхности ( 0R для выпуклой поверхности, 0R для вогнутой поверхности). 3. Стационарный пограничный слой на вращающейся поверхности:
00
9,41æ
æ
yyu
, (5.94)
где – угловая скорость вращения; знак «+» соответствует внутренней поверхности, обращенной в сторону центра вращения; «–» – наружной по-верхности.
5.6.3. Длина пути смешения в потоке с периодическим изменением параметров Турбулентные пульсации в произвольной точке пограничного слоя
реагируют на внешние воздействия с запаздыванием. Поэтому при исполь-зовании выражений (5.77), (5.91) – (5.94) для анализа турбулентного пере-носа в потоках с периодическим изменением параметров такого рода за-паздывание должно быть учтено.
Введем время релаксации * , представляющее собой время распро-странения энергии турбулентных пульсаций из зоны их зарождения (вяз-кого подслоя) до рассматриваемой точки. Время * можно выразить при-ближенным соотношением
wvl ** , (5.95) где wv* – динамическая скорость на обтекаемой поверхности.
Соответствующая времени * длина релаксации x* определяется вы-ражением
x u . (5.96) Определение коэффициента æ , в рассматриваемых условиях осуще-
ствляется тоже по выражениям (5.77), (5.91) – (5.94), но в их правые части подставляются не текущие (соответствующие рассматриваемому моменту
86
времени) и локальные (соответствующие рассматриваемому сечению), а осредненные за время * или на длине x* значения влияющих параметров.
Осреднение каждого из параметров ,,,, max Rypup
по времени осуществляется по выражению
,
*
1d (5.97)
где – значение любого из вышеперечисленных параметров в рассматри-ваемый момент времени; – усредненное значение, которое подставляет-ся в выражения (5.77), (5.91) – (5.94).
Осреднение каждого из параметров Rypxuxp ,,, max на
длине x* осуществляется по выражению
x
xxdx
x*
,*
1 (5.98)
где – локальное значение любого из вышеперечисленных параметров; – усредненное значение, которое подставляется в выражения (5.77), (5.91) – (5.94).
В зависимости от соотношения между временем релаксации * (или длиной l ) и периодом 0 (или длиной «волны» 0*0* fvvL ww , где 0f – частота колебаний управляющего параметра) изменения влияющего пара-метра в сечении пограничного слоя можно выделить три характерные об-ласти.
Непосредственно к стенке примыкает равновесная область, для кото-рой справедливо неравенство 0* ( Ll ). Внутри равновесной облас-ти турбулентные пульсации потока реагируют на изменение влияющих па-раметров практически мгновенно. По мере увеличения длины L (или уменьшения частоты 0f ) влияние периодического изменения параметров на интенсивность турбулентного переноса уменьшается, а толщина равно-весной области увеличивается. При wvf 20 равновесная область рас-
пространяется практически на всю толщину пограничного слоя . К внешней границе равновесной области примыкает неравновесная
(релаксационная) область течения с сопоставимыми значениями масшта-бов l и L . Внутри релаксационной области турбулентные пульсации реа-гируют на изменение влияющих параметров с заметным запаздыванием, а степень влияния этих параметров на интенсивность турбулентного перено-са по сравнению с равновесной областью уменьшается.
К внешней границе релаксационной области примыкает область «за-мороженной» турбулентности, в которой 0* ( Ll ), а турбулент-ные пульсации не успевают реагировать на периодические изменения влияющего параметра. Коэффициент æ (а также турбулентные числа
87
Прандтля ТPr и Шмидта ТSc ) соответствует здесь стационарным условиям при средних за период значениях влияющего параметра. Внутренняя гра-ница области «замороженной» турбулентности с увеличением частоты 0f (или уменьшением длины L ) приближается к поверхности стенки. При
20 wvf , где – кинематический коэффициент вязкости потока, эта
внутренняя граница попадает в пределы вязкого подслоя. В таких условиях влияние изменяющегося параметра на интенсивность турбулентного пере-носа становится пренебрежимо малым по всему сечению пограничного слоя.
88
6. ПОДОБИЕ ГИДРОГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Изучение подобных явлений составляет предмет теории подобия.
В приложении к физическим явлениям и процессам теория подобия при-меняется как средство обобщения результатов эксперимента (в том числе математического) и как теоретическая основа для моделирования техниче-ских устройств и протекающих в них процессов. Таким образом, теория подобия позволяет на основе отдельных опытов или расчетов получить обобщенную зависимость и открывает возможность изучения гидрогазо-динамических процессов на моделях.
6.1. Основы подобия физических процессов У геометрически подобных фигур пропорциональны сходственные
линейные элементы (длины сторон треугольника, граней призмы и т. п.). Из условия подобия двух геометрических фигур следует
li
i Cl
l
l
l
l
l
2
2
1
1 , (6.1)
где illl ,,, 21 – линейные размеры, характеризующие геометрию первого объекта (фигуры, области исследования и т. п.); illl ,,, 21 – сходственные линейные размеры второго объекта; lC – константа геометрического подобия.
Для реализации подобия физических процессов необходима пропор-циональность не только геометрических элементов систем, в которых эти процессы протекают, но и других физических характеристик, определяю-щих эти процессы (скоростей, давлений, плотностей и т. п.).
При изучении подобных процессов используются понятия одноимен-ных величин, сходственных точек и сходственных моментов времени. Од-ноименными называются величины, имеющие одинаковый физический смысл и одинаковую размерность. Сходственными называются такие точ-ки систем, координаты которых удовлетворяют геометрическому подобию. Сходственные моменты времени наступают по истечении периодов вре-мени и , имеющих общее начало отсчета и связанных между собой константой подобия по времени C :
C . (6.2)
Подобными называют физические процессы (явления) одинаковой природы, протекающие в геометрически подобных системах, у которых во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа. Эти постоянные числа на-зывают константами подобия.
89
Так, гидрогазодинамические процессы определяются распределением давления, скорости движения потока, его физическими свойствами, фор-мой и размерами обтекаемой поверхности и т. д. Следовательно, для подо-бия двух гидрогазодинамических процессов необходимо выполнить усло-вия:
;;;;; lVp Cl
lCCC
w
w
v
v
u
uC
p
p
(6.3)
Следует подчеркнуть, что подобными могут быть только процессы одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналитическими за-висимостями. Так, формулы для плотности теплового потока при тепло-проводности (закон Фурье) и для плотности массового потока при молеку-лярной диффузии (закон Фика) имеют одинаковую структуру. Но процес-сы теплопроводности и диффузии качественно различны и потому не мо-гут быть подобными. Процессы, описываемые одинаковыми по форме уравнениями (или системой уравнений), но имеющие различную физиче-скую природу, называются аналогичными.
Константы подобия связаны между собой, поскольку определяющие физический процесс параметры также взаимосвязаны. Связь между пара-метрами выражается математической формулировкой анализируемого процесса. Она включает в себя уравнение или систему уравнений, описы-вающих изучаемый процесс, и краевые условия (условия однозначности), отражающие его частные особенности. Уравнения, входящие в математи-ческую формулировку задачи и отражающие внутренние связи между су-щественными для изучаемого процесса параметрами, могут быть преобра-зованы к безразмерному виду. В такой форме они будут отражать связь между безразмерными комплексами, характеризующими процесс.
Представим уравнение, входящее в математическую формулировку анализируемого процесса, в виде
021 ni DDDD , (6.4) где iD – некоторые операторы (обычно дифференциальные), каждый из которых определяет какой-либо физический эффект, существенный для изучаемого процесса, и представляет собой комбинацию из физических параметров ( ni ,,3,2,1 ).
Для приведения этого уравнения к безразмерному виду умножим и разделим каждый из параметров, входящих в оператор, на его масштабное значение и выявим масштабы каждого эффекта iП . Например, если
x
pDi
, (6.5)
где p – давление среды, а x – координата, то, выбрав в качестве масштаба для p давление 0p , а для координаты – линейный размер системы, урав-нению (6.5) можно придать вид
90
iii dПx
p
l
pD
0
0 . (6.6)
Здесь 00 ; lxxppp – безразмерные величины; 00 lpПi – мас-штаб эффекта; xpdi – безразмерный оператор.
Таким образом, уравнение (6.4) можно записать в форме 02211 nnii dПdПdПdП . (6.7)
Все члены уравнения, а следовательно, и масштабы эффектов имеют одинаковую размерность. Поэтому, разделив уравнение (6.7) на один из масштабов iП , приведем его к безразмерному виду
02211 nni dddd . (6.8) Здесь n ,,, 21 – безразмерные (относительные) комплексы физи-
ческих величин, число которых меньше числа операторов, входящих в уравнение, на единицу.
Среди относительных параметров, которые входят в приведенные к безразмерному виду уравнения, имеются независимые переменные (отно-сительные координаты zyx ,, и относительное время ) и зависимые пе-ременные ( ).
Краевые условия задачи также должны быть приведены к безразмер-ному виду. При этом могут появиться новые безразмерные комплексы. Так, из геометрических условий может появиться комплекс, представляю-щий собой соотношение двух геометрических размеров системы (напри-мер, отношение длины трубы к диаметру), из физических условий – соот-ношения физических параметров при двух значениях температуры (на-пример, отношение динамических коэффициентов вязкости жидкости, взя-тых при температуре стенки и температуре потока) и т. д.
Совокупность численных значений безразмерных комплексов опреде-ляет множество подобных явлений, так как одному и тому же численному значению комплекса соответствует бесконечное множество сочетаний входящих в него конкретных параметров процесса. Поэтому относитель-ные переменные (независимые и зависимые) и безразмерные комплексы представляют собой обобщенные переменные.
Заданной конкретной совокупности численных значений безразмер-ных комплексов соответствуют тождественные поля распределения отно-сительных параметров, определяющих процесс. Если на основе информа-ции о конкретном состоянии системы определить совокупность численных значений этих комплексов, то распределения относительных переменных, найденные в этом конкретном состоянии, будут такими же для бесчислен-ного множества других процессов с иными числовыми значениями пара-метров, но с теми же значениями безразмерных комплексов. Это множест-во образует группу подобных процессов.
91
Безразмерные комплексы, конкретная совокупность численных значе-ний которых выделяет группу подобных между собой процессов, называ-ют числами подобия. Числа подобия принято называть именами крупных ученых, например: Re – число Рейнольдса.
Безразмерные комплексы представляют собой соотношения масшта-бов эффектов и в итоге определяются совокупностью масштабов парамет-ров, определяющих процесс. Следовательно, конкретные процессы, вхо-дящие в группу подобных, отличаются только масштабами определяющих их параметров.
Числа подобия могут содержать линейный размер. Линейный размер, по которому определяются значения чисел подобия, называется опреде-ляющим. В некоторые числа подобия входят теплофизические свойства среды, которые обычно зависят от температуры. Температура, по которой определяются теплофизические свойства, подставляемые в числа подобия, называется определяющей. В качестве определяющей может использовать-ся температура потока fT , температура обтекаемой поверхности wT , сред-
няя температура 2wfm TTT и др. При написании числа подобия вид
определяющей температуры указывается в его нижнем индексе. Например, запись fRe означает, что теплофизические свойства, входящие в число
Рейнольдса, выбираются по определяющей температуре fT .
Числа подобия могут содержать зависимые переменные и величины, входящие в условия однозначности (масштабы). Из уравнения, записанно-го в обобщенных переменных, видно, что зависимая обобщенная перемен-ная однозначно определяется совокупностью чисел подобия, которые со-ставлены из параметров, входящих в условия однозначности, а также чи-сел подобия, полученных из анализа самих условий однозначности. Числа подобия, составленные из условий однозначности, называют критериями подобия. Критерии подобия, представляющие собой соотношения одно-именных величин (такие критерии получаются из анализа условий одно-значности), называют параметрическими.
Группа подобных между собой процессов характеризуется одинако-выми значениями одноименных чисел подобия (включая и критерии подо-бия). Поэтому произведения чисел подобия или частное от их деления бу-дут в подобных процессах также иметь одинаковые значения и также бу-дут представлять собой числа подобия.
Решение системы уравнений анализируемого процесса, согласованное с краевыми условиями, можно представить в виде функциональной зави-симости, определяющей поле исследуемой величины:
,P,P,,,,,,, 21211 zyxf , (6.9) где i – критерии подобия; iP – параметрические критерии подобия.
При приведении уравнения к безразмерному виду искомую перемен-ную не всегда удается представить в виде соотношения одноименных ве-
92
личин, так как иногда в краевых условиях не содержится масштаб ее вели-чины. Например, при исследовании гидравлического сопротивления коэф-фициент трения не входит в краевые условия и не известен ни в одной точке системы. В этом случае зависимая переменная вместе с масштабами других величин образует безразмерный комплекс, который представляет собой число подобия, но не является критерием подобия, так как содержит величину, не входящую в краевые условия, и не известен ни в одной точке системы. В этом случае решение представляется в форме
,P,P,,,,,,, 21211 zyxf , (6.10) где – число подобия, содержащее зависимую переменную, которая яв-ляется предметом исследования.
Связи между числами подобия, выражаемые функциональными зави-симостями (6.9), (6.10), называют уравнениями подобия. Следует заметить, что результаты единичного опыта или расчета, представленные в виде чи-сел подобия, позволяют судить не только об исследованном процессе, но и обо всех процессах, подобных исследованному. Обработка результатов эксперимента в виде уравнения подобия позволяет описать множество не-подобных между собой групп процессов. Уравнение подобия может при-меняться только в том диапазоне изменения критериев подобия, который наблюдался в опытах или использовался в расчетах, послуживших основа-нием для получения этого уравнения.
Теория подобия позволяет выявить только форму чисел подобия, вхо-дящих в уравнение подобия. Строго вид функциональной зависимости может быть выявлен только при аналитическом решении задачи. Если ис-следование выполняется экспериментальным или численным путем, то форма зависимости принимается исследователем и не имеет теоретическо-го обоснования, а числовые коэффициенты функции определяются путем согласования ее с полученными результатами.
Наличие зависимостей вида (6.9), (6.10) позволяет утверждать, что достаточным условием для подобия физических процессов является оди-наковость критериев подобия. При этом одинаковость чисел подобия, со-держащих зависимую переменную, будет обеспечиваться автоматически в силу зависимостей (6.9), (6.10). Этот вывод свидетельствует о том, что для обеспечения подобия процессов достаточно обеспечить подобие краевых условий. При этом подобное распределение параметров (скорости, давле-ния и др.) во всей системе будет следствием подобного распределения их на границах системы. Условия, достаточные для существования подобия физических явлений, были впервые сформулированы в 1930 г. М. В. Кир-пичевым и А. А. Гухманом. Эти условия необходимы при моделировании технических устройств и при использовании на практике уравнений подо-бия, обобщающих результаты исследований. В последнем случае пользо-ватель по краевым условиям задачи определяет критерии подобия и по их
93
значению выбирает уравнение подобия, которое включает в себя результа-ты исследования явления, подобного анализируемому.
Таким образом, для анализа подобных процессов используются кон-станты подобия и числа подобия. Константы подобия сохраняют числовое значение только для пары подобных процессов, но они остаются одинако-выми для всех сходственных точек рассматриваемых систем. Числа подо-бия сохраняют свое значение в сходственных точках всех подобных между собой систем, но в различных точках одной и той же системы числа имеют разные значения. Поэтому константами подобия удобно пользоваться при моделировании технических устройств или процессов, когда необходимо получить подобие только между двумя явлениями, а числами подобия – при обработке опытных данных или численных расчетов, когда на основа-нии изучения единичных явлений необходимо получить обобщенную за-висимость, пригодную для всех подобных между собой процессов.
6.2. Выявление обобщенных переменных из математической формулировки задачи Надежным способом выявления перечня и структуры обобщенных
переменных является анализ математической формулировки задачи. Неза-висимые переменные и числа подобия могут быть получены из уравнений и краевых условий, входящих в математическую формулировку задачи, путем приведения их к безразмерному виду или с помощью констант по-добия. Воспользуемся первым из указанных способов.
Процедуру выявления чисел подобия на основе математической фор-мулировки рассмотрим на примере стационарного изотермического дви-жения несжимаемой жидкости с постоянными (не зависящими от парамет-ров состояния) свойствами в условиях, когда влиянием массовых сил на течение можно пренебречь. Для таких условий уравнения движения и не-разрывности, записанные в прямоугольной системе координат (см. подраз-делы 3.3, 3.4), принимают вид (к анализу привлечем только уравнение движения в проекции на координату x )
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
z
uw
y
uv
x
uu ; (6.11)
0
z
w
y
v
x
u. (6.12)
Выберем в качестве масштабов скорости, линейного размера и давле-ния значения 000 ,, plw и введем обозначения безразмерных величин
0000000
;;;;;;p
pp
l
zz
l
yy
l
xx
w
ww
w
vv
w
uu . (6.13)
Заменим в уравнении движения (6.11) размерные переменные на про-изведения из безразмерных величин и масштабов в соответствии с выра-
94
жениями (6.13), имея в виду, что преобразование производных выполняет-ся по схеме
2
2
20
02
2
0
0 ;x
u
l
w
x
u
x
u
l
w
x
u
. (6.14)
После преобразования уравнение движения принимает вид
2
2
2
2
2
2
20
0
0
0
0
20
z
u
y
u
x
u
l
w
x
p
l
p
z
uw
y
uv
x
uu
l
w . (6.15)
Разделив обе части уравнения (6.15) на 020 lw , получаем
2
2
2
2
2
2
0020
0
z
u
y
u
x
u
lwx
p
w
p
z
uw
y
uv
x
uu
. (6.16)
Преобразуем первое слагаемое в правой части уравнения (6.16)
20
20
0
w
p
xx
p
w
p
. (6.17)
Представим уравнение (6.16) в окончательной форме
2
2
2
2
2
2
Re
1Eu
z
u
y
u
x
u
xz
uw
y
uv
x
uu p . (6.18)
Здесь 20
Euw
pp – число Эйлера по давлению;
0000Re
lwlw –
число Рейнольдса. Давление p , содержащееся в числе Эйлера pEu , входит в уравнение
движения под дифференциальным оператором, поэтому при const0 p его можно заменить на разность 0ppp . Если под p понимать давление в произвольном сечении канала, а под 0p – давление на входе в канал, то ве-личина p может использоваться как характеристика гидравлического со-противления канала. В этом случае число Эйлера записывается в форме
20
Euw
p
. (6.19)
Из уравнения неразрывности (6.12), после его приведения к безраз-мерному виду, числа подобия не получаются. Из условий однозначности выявляются параметрические критерии iP . Их количество может быть раз-личным. Например, для потока в круглой диафрагмированной трубе из геометрических условий однозначности получаются параметрические кри-терии dl и ddд ( l – длина трубы; d – ее внутренний диаметр; дd – диа-метр свободного сечения диафрагмы). Для трубы без диафрагмы остается только первый критерий, а если ограничить задачу только гидродинамиче-ски стабилизированными потоками, то из геометрических условий пара-метрические критерии не получаются.
95
Таким образом, при изучении процессов движения жидкости в рас-сматриваемых условиях результаты исследования следует представлять в виде уравнений подобия, характеризующих сопротивление движению и распределение скоростей:
.,P,PRe,,,,
;,P,PRe,,,,
;,P,PRe,,,,
;,P,PRe,Eu
21
21
21
21
zyxfw
zyxfv
zyxfu
f
(6.20)
На практике часто встречаются системы, в которых движение жидко-сти обусловлено не только внешним градиентом давления, но и массовыми силами, которые могут иметь гравитационную или инерционную природу. Инерционные массовые силы являются следствием ускоренного, замед-ленного или вращательного движения системы, а также криволинейного движения жидкости.
Анализ уравнения движения для этого случая позволяет выявить до-полнительный критерий подобия, влияющий на характеристики течения жидкости
20
00Kw
lF
. (6.21)
Здесь 0F – разность между максимальным и минимальным значе-ниями массовой силы в системе.
Критерий K используется при исследовании потоков жидкости наря-ду с критериемRe, в который также входит скорость 0w . Поэтому часто вместо критерия K используется критерий
2
3002ReKP
lF
, (6.22)
не содержащий скорости 0w . При анализе процессов, протекающих в поле гравитационных массо-
вых сил, используется критерий Архимеда ( Ar )
2
300Ar
lg , (6.23)
где – максимальная разность плотностей среды в системе. В однофазных неизотермических потоках T , где – коэф-
фициент объемного расширения жидкости; T – максимальная разность температур в системе (температурный напор). В таких условиях критерий Архимеда принимает форму критерия Грасгофа (Gr )
Tlg
2
300Gr . (6.24)
96
При исследовании неизотермических систем физические свойства жидкости изменяются в соответствии с изменением температуры, которая описывается дифференциальным уравнением энергии. Анализ этого урав-нения позволяет установить, что поле безразмерной температуры зависит от безразмерных скоростей и критерия Пекле ( Pe )
a
lw 00Pe , (6.25)
где c
a
– коэффициент температуропроводности; c – удельная тепло-
емкость жидкости. Вместо критерия Ре обычно используется критерий Прандтля ( Pr ), не содержащий скорости и линейного размера:
c
aPr . (6.26)
В системах с высокой степенью неизотермичности развитие тепловых и гидродинамических процессов зависит от диапазона изменения всех фи-зических свойств в системе. Анализ физических условий однозначности для уравнений движения и энергии показывает, что в этом случае появля-ются дополнительные параметрические критерии вида
w
fn n
nP , (6.27)
где n – физические свойства жидкости: вязкость , теплопроводность, плотность , теплоемкость c при температуре жидкости (индекс f ) и
стенки (индекс w ). В ограниченном диапазоне температуры соотношение физических
свойств при температуре жидкости и стенки можно выразить через соот-ношения температур
nk
w
f
w
f
T
T
n
n
. (6.28)
Таким образом, при высокой степени неизотермичности в уравнение подобия необходимо дополнительно ввести параметрические критерии или температурный фактор wf TT . Такая форма учета влияния неизотермично-
сти используется для газов, причем показатель степени при температурном факторе в уравнении подобия, строго говоря, зависит от природы газа. Для жидкостей вместо температурного фактора используется отношение кри-териев Прандтля при температуре жидкости и стенки ( wf PrPr ).
При исследовании неизотермических систем физические свойства ра-бочего тела, входящие в числа подобия, отыскиваются по определяющей температуре. Физические параметры при определяющей температуре иг-рают роль масштабов этих величин.
97
При течении газа с большой скоростью (околозвуковой или сверхзву-ковой) энтальпия потока изменяется в результате не только теплообмена, но и изменения кинетической энергии. В этом случае из анализа уравнения энергии появляется дополнительный критерий подобия, характеризующий сжимаемость среды – критерий Маха ( M )
0
0Ma
w , (6.29)
где 0a – скорость звука в той же точке потока, в которой выбран масштаб скорости 0w .
При анализе динамически и термически нестационарных процессов из соответствующих уравнений движения и энергии выявляются дополни-тельные критерии. Динамическая нестационарность процессов характери-зуется критерием гомохронности ( Ho ) или критерием Струхаля (Sh )
00
0
0
00
Ho
1Sh;Ho
w
l
l
w , (6.30)
где 0 – масштаб времени (например, период изменения параметров). Тепловую нестационарность процессов характеризует критерий Фу-
рье ( Fo )
20
020
0Focll
a
. (6.31)
Рассматривая различные случаи движения жидкости, мы не делали различия между ламинарным и турбулентным течениями, так как уравне-ния, описывающие ламинарные и турбулентные потоки, одинаковы, если они включают мгновенные (актуальные) значения входящих в них пара-метров, а из анализа уравнений движения и энергии турбулентного потока, записанных для осредненных параметров, получаются те же критерии.
Заметим, что в числа подобия всегда входят масштабы величин, со-держащихся в условиях однозначности, но индексом 0 отмечены масшта-бы только тех величин, которые претерпевают изменения. Иногда при за-писи чисел подобия индекс 0 опускается для всех масштабных величин.
6.3. Выявление чисел подобия на основе анализа размерностей Математическая формулировка задачи является надежным основани-
ем для выявления перечня и структуры чисел подобия, определяющих ис-следуемое явление. Однако нередко возникает необходимость изучения процесса, который не имеет математического описания. В этом случае пе-речень и структуру чисел подобия можно выявить на основе анализа раз-мерностей. Сущность метода состоит в том, что составляется перечень размерных величин, которые могут влиять на протекание исследуемого процесса, и из этих величин формируются безразмерные комплексы.
98
Надежность полученных этим методом результатов зависит от правильно-сти и полноты составленного перечня влияющих на процесс величин.
Количество безразмерных комплексов, которое получается на основе анализа размерностей, определяется на основе -теоремы. Рассмотрим ее содержание.
Величины, характеризующие явление, связаны между собой элемен-тарными соотношениями (например, скорость выражается через расстоя-ние и время). Поэтому независимые единицы измерения можно выбрать только для некоторых основных величин, а для остальных величин они бу-дут производными. Принятые для основных величин размерности называ-ют первичными (или основными), а для остальных – вторичными (или про-изводными). Если общее количество физических параметров, характери-зующих процесс, обозначить символом m , количество первичных размер-ностей – n , то количество независимых безразмерных комплексов z , ко-торое можно образовать из m параметров, определяется равенством
nmz . (6.32) Это выражение и отражает содержание -теоремы. В задачах механики используются три первичные размерности: дли-
на – L , время – T , масса – M . В теплотехнических задачах к перечислен-ным первичным размерностям добавляется еще размерность температу-ры – .
Для получения чисел подобия на основе анализа размерностей ис-пользуют различные методы. Остановимся на одном из наиболее простых и удобных – методе Рэлея. В соответствии с этим методом искомая вели-чина выражается через влияющие на нее параметры с помощью степенно-го многочлена, включающего безразмерный коэффициент и все влияющие параметры в различных степенях.
Выявим, например, перечень и структуру чисел подобия, которые можно использовать для обобщения опытных данных по сопротивлению трения стационарного изотермического потока несжимаемой жидкости в длинной трубе. Искомая величина в рассматриваемой задаче – напряжение трения на стенке w . Анализ процесса показывает, что если не учитывать влияния массовых сил и других усложняющих факторов, то напряжение
w должно определяться линейным размером системы (диаметром проточ-ной части трубы) 0l , скоростью жидкости 0w , плотностью , динамиче-ским коэффициентом вязкости , средним линейным размером элементов шероховатости на поверхности проточной части.
Связь искомой величины с влияющими параметрами в соответствии с методом Рэлея представим в виде
edcba
w wCl 00 . (6.33) Выразим производные размерности параметров, характеризующих
анализируемый процесс, через основные:
99
1131
00
12 ;;;; TMLMLLTwLlLMTw . (6.34) Размерности правой и левой частей уравнения (6.33) одинаковы.
С учетом (6.34) имеем edcba LTMLMLLTLLMT 113112 . (6.35)
Приравняв показатели степени при каждой размерности в правой и левой частях равенства (6.35), найдем
edcbadbdc 31;2;1 . (6.36) С помощью уравнений (6.36) из пяти неизвестных показателей степе-
ни три можно выразить через два остальных. Выразим, например, эти три показателя степени через d и e . Из (6.36) следует
edadbdc ;2;1 . (6.37) Подставляя эти показатели степени в уравнение (6.33), получаем
edddedw wCl 12
00 . (6.38) Объединяя в правой части (6.38) параметры с одинаковыми показате-
лями степени, находим ed
w
l
lwC
w
0
0020
. (6.39)
Здесь 82
0
ww ( – коэффициент сопротивления трения);
Re00
lw – число Рейнольдса; 0l – относительный размер элемен-
тов шероховатости. Объединив числовой коэффициент «8» с константой C , представим
уравнение (6.38) в окончательном виде edC Re . (6.40)
Число безразмерных комплексов, полученных при анализе уравнения (6.33), соответствует -теореме, так как 3,6 nm и, следовательно,
3z . 6.4. Моделирование технических устройств В инженерной практике применяются различные виды моделирова-
ния: математическое, аналоговое, физическое. Первые два вида модели-рования подробно рассматриваются в специальных источниках (см., на-пример, [16]), поэтому на их рассмотрении останавливаться не будем. Фи-зическое моделирование представляет собой разновидность эксперимен-тального исследования, при котором изучаются характеристики рабочего процесса конкретной машины или аппарата на модельной установке.
100
Основное требование, которое предъявляется к модели, состоит в том, чтобы обеспечить подобие протекающих в ней процессов соответствую-щим процессам в натурном образце. Следовательно, процессы в модели и образце должны иметь одинаковую физическую природу, протекать в гео-метрически подобных системах, иметь подобные распределения режимных параметров на границах системы и численно одинаковые значения крите-риев подобия, характеризующих процесс. Следствием подобия процессов в модели и натурном образце будет одинаковость чисел подобия, включаю-щих зависимые переменные, во всех точках с одинаковым значением от-носительных координат zyx ,, и относительного времени .
При исследовании рабочих процессов на моделях упрощается разме-щение измерительных устройств на объекте исследования, а главное – по-является возможность трансформировать объект исследования или харак-тер протекания изучаемого процесса так, чтобы упростить постановку ис-следования. Так, на основе моделирования можно увеличить или умень-шить размеры исследуемого объекта, изменить вид рабочего тела, замед-лить или ускорить протекание процесса. Однако возможности этих изме-нений ограничены требованиями подобия образца и модели.
Критерии подобия составлены только из величин, входящих в крае-вые условия. Поэтому требование одинаковости одноименных критериев подобия в образце и модели равносильно требованию подобия условий однозначности в них.
Требование геометрического подобия сводится к необходимости иметь у модели и образца одинаковую форму элементов, определяющих протекание рабочего процесса, и одинаковые одноименные параметриче-ские критерии, включающие геометрические размеры. Например, для круглой цилиндрической трубы необходимо, чтобы выполнялось равенство
dldl . (6.41) Здесь штрихом отмечены параметры натурного образца, а двумя
штрихами – параметры модели. Равенство (6.41) перепишем в форме
lClldd , (6.42) где lC – константа геометрического подобия.
Если геометрия системы характеризуется несколькими параметриче-скими критериями, то они могут иметь различные числовые значения, а константа геометрического подобия будет иметь одно и то же значение для всех сходственных размеров. Поэтому при моделировании технических устройств удобно использовать константы подобия.
Требования подобия по физическим условиям однозначности могут иметь различную форму. Если свойства жидкости в системе не изменяют-ся, то физические условия не содержат параметрических критериев. В этом
101
случае каких-либо условий на выбор физических параметров рабочей жид-кости (кроме их постоянства) физические условия однозначности не на-кладывают. При изучении процессов, протекающих в неизотермических условиях, когда их развитие зависит от температурного поля системы, не-обходимо, чтобы число Прандтля для образца и модели было одинаковым
rPrP . (6.43) Это условие выполняется автоматически, если в образце и модели ис-
пользуется одна и та же жидкость, а процессы протекают при одинаковой температуре.
Требование равенства критериев Прандтля в образце и модели накла-дывает дополнительные условия на выбор констант подобия по физиче-ским параметрам. Действительно, из (6.43) получаем
0
00
0
00
cc
. (6.44)
Равенство (6.44) удобно представить в виде
1
C
CC c , (6.45)
где 000000 ;; CccCC c – константы подобия по физическим
параметрам. Физические свойства, входящие в число Прандтля, в неизотермиче-
ской системе выбираются по определяющей температуре. Поэтому одина-ковость критерия Pr в образце и модели не затрагивает вопроса о характе-ре изменения физических свойств в системе. Для строгого соблюдения по-добия процессов в образце и модели должны быть подобными поля всех физических параметров, влияющих на процесс. Это требование автомати-чески выполняется при использовании в образце и модели одинаковой жидкости и при одинаковых температурных полях ,,, zyxTT . В дру-гих условиях это требование реализовать практически невозможно.
Для реализации подобия граничных условий однозначности в образце и модели необходима одинаковость критериев подобия и подобное рас-пределение входящих в граничные условия режимных параметров. На-пример, при изучении движения жидкости в образце и модели должно быть одинаковым число Рейнольдса, включающее скорость потока, кото-рая входит в граничные условия задачи. Из условия равенства чисел Re для образца и модели имеем
0000 lwlw
. (6.46)
Из равенства (6.46) выражаем связь между константами подобия
102
1C
CC lw , (6.47)
где CwwCw ;00 – константы подобия по скорости и кинемати-ческой вязкости.
Равенство (6.46) обеспечивает подобие скоростей в образце и модели для какой-либо характерной точки системы (например, на оси входного сечения) или средних скоростей для систем в целом или их отдельных уча-стков. Кроме того, должно обеспечиваться подобие скоростей на всех уча-стках системы. Обычно для этого достаточно обеспечить подобие распре-деления скоростей на входе и выходе модели и образца, так как на поверх-ностях стенок скорости одинаковы и равны нулю.
При анализе подобия нестационарных (в частности, периодически по-вторяющихся) процессов появляются критерии подобия, содержащие вре-мя. Например, уравнение движения, записанное в нестационарной форме, содержит критерий гомохронности ( Ho ). Из условия равенства чисел Ho для образца и модели, необходимого для обеспечения подобия граничных условий в нестационарных процессах, имеем
0
00
0
00
l
w
l
w
. (6.48)
Из равенства (6.48) выражаем связь между константами подобия
1l
w
C
CC , (6.49)
где 00 C – константа подобия по времени. Для реализации подобия начальных условий однозначности в образце
и модели необходимо обеспечить подобное распределение параметров в исследуемой области в начальный момент времени. В некоторых случаях это обеспечивается автоматически. Это имеет место, например, при моде-лировании гидрогазодинамических процессов, когда в начальный момент времени жидкость в натурном образце и модели находится в состоянии покоя. Тогда во всей исследуемой области 0;0;0 wwvvuu и подобие начальных условий обеспечивается автоматически.
При моделировании систем с неоднородным полем массовых сил воз-никает необходимость обеспечения подобия динамических условий одно-значности. Для этого модель и образец должны иметь одинаковые значе-ния критерия P . В соответствии с (6.22) имеем
2
3
00
2
3
00
lFlF
. (6.50)
Из равенства (6.50) выражаем связь между соответствующими кон-стантами подобия
103
12
3
CC
CC lF , (6.51)
где 00 FFC F – константа подобия по избыточной массовой силе.
Связи между константами подобия, выражаемые уравнениями типа (6.45), (6.47), (6.49) и (6.51), определяют возможное число степеней свобо-ды при моделировании технического устройства. Например, если при мо-делировании в однородном поле массовых сил выбран вид жидкости в со-ответствии с равенством (6.45) (следовательно, известны CCC c ,, ) и ли-
нейный масштаб lC , то константа wC определяется равенством (6.47). При этом константа подобия по времени C также не может быть выбрана про-извольно, так как она определится равенством (6.49).
Строгое соблюдение всех условий подобия процессов в натурном об-разце и модели связано с большими трудностями, а иногда вообще оказы-вается невозможным. Поэтому широкое применение получили приемы приближенного моделирования.
При моделировании неизотермических систем практически невоз-можно осуществить подобное распределение физических свойств жидко-сти в модели и образце. Особенно это относится к случаям, когда неизо-термический процесс в натурном образце предполагается изучать на изо-термической модели. В этом случае процесс моделируется при средней температуре образца.
Для некоторых процессов соблюдение условий подобия в образце и модели облегчается благодаря свойству автомодельности. Степень воз-действия критериев подобия на характеристики процесса различна. В не-которых условиях это влияние ослабевает настолько, что им можно пре-небречь. В этом случае говорят о вырождении критериев подобия и прояв-лении свойства автомодельности. Например, при течении жидкости в тру-бе за пределами начального участка распределение скоростей перестает зависеть от длины трубы, и, следовательно, параметрический критерий dl (или dx ) вырождается. При небольшом значении критерия Маха процес-сы течения и теплообмена не зависят от явления сжимаемости, которое этот критерий отражает, они становятся автомодельными по отношению к этому критерию.
Следует заметить, что при создании моделей существует опасность выйти за пределы автомодельности по какому-либо параметру. Например, при достаточно больших размерах системы влиянием шероховатости сте-нок на течение жидкости обычно пренебрегают. При уменьшении разме-ров системы параметрический критерий, характеризующий влияние шеро-ховатости на процесс и равный отношению средней высоты выступов ше-роховатости к характерному размеру системы ( 0l ), увеличивается, и влияние шероховатости на течение возрастает. Поэтому если в натурном
104
образце влиянием шероховатости на процесс можно пренебречь, то выбор размеров модели необходимо ограничить условием, чтобы это влияние не проявилось и в модели.
В ряде случаев приемы приближенного моделирования не позволяют преодолеть трудности, возникающие при создании технического устройст-ва. Тогда используется местное моделирование, при котором подобие про-цессов, протекающих в модели и образце, реализуется не во всей модели, а только в отдельном ее элементе. В процессе испытания модели местное подобие последовательно обеспечивается в различных ее элементах, и та-ким образом после ряда опытов получается информация о работе натурно-го образца в целом.
105
7. ГИДРОГАЗОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ При анализе идеального течения не учитывается влияние вязкости
среды. Закономерности идеального течения с удовлетворительной точно-стью распространяются на реальное течение за пределами пограничного слоя, где влиянием сил вязкости зачастую оказывается возможным пре-небречь.
7.1. Одномерное движение несжимаемой жидкости Для анализа параметров потенциального (безвихревого) движения не-
сжимаемой жидкости применимо уравнение (3.68), называемое еще инте-гралом Лагранжа
const2
2
Vp
U .
Здесь U – потенциал поля внешних массовых сил; p – давление по-тока; – плотность жидкости; V – скорость движения; – потенциал скорости; – время.
Для установившегося движения уравнение (3.68) принимает вид урав-нения Бернулли (3.70)
const2
2
Vp
U
.
Уравнение Бернулли справедливо не только для потенциального те-чения (где константа сохраняет свое значение во всех точках), но и для не-которых областей вихревых течений. Так, оно справедливо для каждой ли-нии тока и вихревой линии (константа сохраняет свое значение в пределах каждой линии, но при переходе от одной линии к другой ее значение из-меняется), а также для области течения, в которой векторы линейной и уг-ловой скоростей движения параллельны друг другу.
Для жидкости, движущейся в поле гравитационных массовых сил, уравнение Бернулли можно представить в виде
const2
2 gh
Vp
, (7.1)
где g – ускорение свободного падения; h – высота расположения анали-зируемой точки над уровнем моря.
Первое слагаемое в левой части уравнения (7.1) называют статиче-ским давлением движущегося потока, второе слагаемое – динамическим давлением, или скоростным напором, третье – гидростатическим давле-нием (напором). Константа в правой части (7.1) представляет собой полное давление движущегося потока.
106
В случаях, когда вклад гидростатического напора становится пренеб-режимо малым, уравнение (7.1) принимает вид
*2
2p
Vp
, (7.2)
где *p – давление заторможенного потока ( const* p ).
Давление *p называют еще давлением торможения. 7.2. Одномерное движение сжимаемой жидкости Связь между параметрами потенциального течения сжимаемой жид-
кости выражается уравнением, получающимся из уравнений (3.62), (3.66)
.02
2
dpVUd (7.3)
Для интегрирования этого уравнения необходимо иметь зависимость плотности жидкости от ее давления. При адиабатном течении эта зависи-мость имеет вид
constkp , (7.4) где vp cck – показатель адиабаты; pc , vc – изобарная и изохорная теп-
лоемкость соответственно. Интегрирование уравнения (7.3) с учетом (7.4) позволяет получить
СUVp
k
k
21
2,
где константа интегрирования С определяется из начальных условий. Для установившегося движения полученное уравнение принимает вид
const21
2
U
Vp
k
k
. (7.5)
Выражение (7.5) называют уравнением Бернулли для сжимаемой жидкости.
Пренебрегая влиянием на течение жидкости поля внешних массовых сил, уравнение (7.5) можно представить в виде (3.108), полученном из уравнения энергии
*
*2
121 p
k
kVp
k
k
, (7.6)
где * – плотность заторможенного потока; const1 *
*
p
k
k.
Выражая связь между параметрами сжимаемой жидкости уравнением состояния идеального газа
107
RTp (7.7) и учитывая формулу Майера
Rcc vp , (7.8)
преобразуем уравнение (7.6) к виду (3.107) при 0U
const2
2
Vi . (7.9)
Выражение (7.9) можно представить в виде
*2
2i
Vi , (7.10)
где *i – энтальпия заторможенного потока ( const* i ). Для случая неизменной теплоемкости ( constpc ) уравнение (7.10)
может быть преобразовано к виду (3.108)
*2
2T
c
VT
p , (7.11)
где *T – температура заторможенного потока ( const* T ). Температуру заторможенного потока называют еще температурой
торможения. Уравнение Бернулли для несжимаемой и сжимаемой жидкостей
положено в основу пневмометрического метода измерения скорости потока (см. [16]).
Заменой в уравнениях (7.4) – (7.6) показателя адиабаты k на показатель политропы n можно распространить их применение на политропные процессы.
7.3. Распространение слабых возмущений в потоке. Скорость звука В жидкости слабые возмущения распространяются в виде волн давле-
ния, посредством которых передается звук. Скоростью звука называют скорость распространения слабых возмущений в среде. Скорость звука имеет большое значение при анализе процессов движения жидкости и осо-бенно – жидкости сжимаемой (газа). Закономерности изменения свойств газа и параметров течения существенно зависят от соотношения скорости движения потока и скорости звука.
Рассмотрим механизм распространения слабых возмущений, генери-руемых поршнем, движущимся в цилиндре с малой скоростью u . Схема анализируемого процесса показана на рис. 7.1. Давление поршня передает-ся жидкости в цилиндре последовательно: вначале избыточное давление dp воспринимает жидкость, непосредственно примыкающая к поверхно-сти поршня, затем это давление передается близлежащему слою и т. д.
108
В результате в цилиндре распространяется слабая волна уплотнения, фронт которой m – n отделяет область, возмущенную движением поршня, от невозмущенной области.
Фронт m – n распространяется в невозмущенной среде со скоростью
звука a и за малый промежуток времени d переместится в новое поло-жение m1 – n1. Справа от фронта волны жидкость неподвижна. Масса не-возмущенной жидкости dm , которую проходит фронт волны за время d , можно определить выражением
Fdadm , (7.12) где – плотность невозмущенного потока; F – площадь сечения цилинд-ра.
Определим массу жидкости, которая за этот же промежуток времени окажется в возмущенной области
Fdduadm . (7.13) Из условия неразрывности течения эти массы будут равны. Прирав-
нивая правые части (7.12) и (7.13), выразим скорость u
d
adu
. (7.14)
Применим закон сохранения количества движения к жидкости, нахо-дящейся между поршнем и фронтом волны
udmdFpdppF . (7.15) Из (7.15) с учетом (7.13), пренебрегая значением d по сравнению с
и значением u по сравнению с a , найдем изменение давления dp во фронте волны
uadp . (7.16) Из (7.16) с учетом (7.14) получаем
Рис. 7.1. Схема распространения слабых возмущений в канале
p+dp u
+d T+dT
p+dp dp
p
n
m
n1
m1
a
p
109
ddadp
1
2
. (7.17)
Пренебрегая вторым слагаемым в знаменателе правой части (7.17), получим выражение для скорости звука
ddp
a . (7.18)
Выражение (7.18) справедливо как для газа, так и для капельной жид-кости. Для газа это выражение может быть упрощено, если считать про-цесс распространения слабых возмущений в нем близким к адиабатному. Тогда, используя уравнение адиабаты (7.4), из выражения (7.18) получим
p
ka . (7.19)
С учетом уравнения состояния (7.7) выражение (7.19) можно преобра-зовать к виду
kRTa . (7.20) Таким образом, скорость звука в газах зависит от их физических
свойств ( k , R ) и температуры. Для воздуха, приняв k =1,4 и R =287 Дж/(кгК), получим
Ta 04,20 . (7.21)
При температуре T =293 К (20 ͦ С) скорость звука в воздухе составляет 343 м/c.
Учитывая выражение (7.19), уравнение Бернулли (7.6) можно пред-ставить в виде
121
222
k
aV
k
a, (7.22)
где a – скорость звука в заторможенном потоке. Скорость a определяется зависимостями, аналогичными (7.19),
(7.20)
**
*kRT
pka
. (7.23)
Отношение скорости потока V к скорости звука a в рассматриваемой точке представляет собой число подобия Маха (см. раздел 6).
Число Маха М является числом подобия и может изменяться в диапа-зоне от 0 до . Заметим, что впервые число М было введено и использо-вано в 1868 г. профессором Петербургской артиллерийской академии Н. В. Маиевским, поэтому иногда в отечественной литературе число М называ-ют числом Маиевского. Позднее (1887 г.) число М использовал австрий-ский физик Э. Мах, и в иностранной (прежде всего немецкой) литературе за ним закрепилось название числа Маха. Позднее это название нашло ши-
110
рокое применение и в отечественных источниках. В английской литерату-ре для числа М встречается название числа Бэрстоу.
В движущемся потоке распространение слабых возмущений характе-ризуется рядом особенностей (по сравнению с неподвижной средой). В та-ких условиях источник возмущений непрерывно перемещается относи-тельно среды, в которой распространяются волны. Поскольку это относи-тельное движение, то безразлично, перемещается ли обтекаемое тело в не-подвижной среде или неподвижный объект обтекается потоком жидкости.
На рис. 7.2 изображены четыре схемы распространения волн: одна – в неподвижной среде и три – в потоке, движущемся с дозвуковой, звуковой и сверхзвуковой скоростями (скорость потока обозначена символом V ).
В неподвижной среде (рис. 7.2, а) слабые возмущения распространя-ются во все стороны в виде волн давления сферической формы, в центре которых находится источник возмущения.
В движущемся потоке при aV ( 1M ) возмущения также распро-
страняются во все стороны, в том числе и вверх по течению (рис. 7.2, б). Однако вниз по течению абсолютная скорость распространения волн ока-
Рис. 7.2. Схемы распространения слабых возмущений в неподвижной среде (а), дозвуковом (б), звуковом (в) и сверхзвуковом (г) потоках
V=а
V
а
Vu
г
б
V
а
V
V
а
в
а
V>а
V<аV=0
111
зывается большей, так как скорость волны складывается со скоростью по-тока. При обтекании различных тел несжимаемой жидкостью или дозвуко-вым потоком газа жидкость, как показывают наблюдения, начинает оги-бать препятствие, еще находясь от него на некотором расстоянии. Это от-клонение потока вызвано теми возмущениями (волнами давления), кото-рые от обтекаемого тела распространяются вверх по течению.
Если скорость потока равна скорости звука (рис. 7.2, в), то центр каж-дой образовавшейся волны движется вниз по течению с той же скоростью, с которой волна перемещается относительно потока. Поэтому возмущения распространяются только вниз по течению и в боковых направлениях, но не проникают выше места образования волны. В этом месте волны кон-центрируются, образуя звуковой барьер, препятствующий распростране-нию слабых возмущений вверх по течению.
При aV ( 1M ) волны давления, скорость распространения кото-рых равна скорости звука, сносятся вниз по течению сверхзвуковым пото-ком. В таких условиях формируется возмущенная зона, ограниченная не-которым конусом (рис. 7.2, г), за пределами которого поток остается не-возмущенным. Этот конус называют конусом слабых возмущений, конусом влияния или конусом Маха. Образующие конуса носят название линий сла-бых возмущений, или линий Маха. В плоском потоке вместо конуса форми-руется угол малых возмущений, или угол Маха.
Анализируя схему течения на рис. 7.2, г, можно заметить, что синус угла слабых возмущений равен отношению скорости звука a к скорости потока V , а проекция uV скорости потока V на нормаль к линии слабых возмущений равна местной скорости звука
M
1sin
V
a . (7.24)
Заметим, что линии слабых возмущений существуют только в сверх-звуковом потоке.
7.4. Максимальная и критическая скорости течения газа В гидрогазодинамике кроме скорости звука широкое применение на-
ходят и другие характерные скорости: максимальная скорость течения по-тока и критическая скорость.
Из уравнения Бернулли, записанного в формах (7.9), (7.10) или (7.11),
следует, что при постоянной энтальпии *i (или температуре *T ) затормо-женного потока, чем выше скорость движения, тем ниже энтальпия i и термодинамическая температура T . Следовательно, при предельном зна-чении энтальпии 0i и температуры 0T скорость потока достигает своего максимально возможного значения maxV . Это значение называют максимальной скоростью. Заметим, что поскольку температура, равная аб-
112
солютному нулю, недостижима, то невозможно достижение и максималь-ной скорости. Поэтому ее следует рассматривать как теоретический предел скорости течения потока.
Максимальную скорость можно также трактовать как скорость исте-чения в абсолютный вакуум. Действительно, из уравнения Бернулли в форме (7.6) видно, что скорость потока достигает значения maxV при
0p , то есть при истечении в абсолютный вакуум. Используя понятие максимальной скорости, уравнение Бернулли для
газа (сжимаемой жидкости) можно представить в формах
221
2max
2 VVp
k
k
. (7.25)
22
2max
2 VVi ; (7.26)
pp c
V
c
VT
22
2max
2 . (7.27)
С учетом выражения (7.19) уравнение (7.25) можно представить в виде
221
2max
22 VV
k
a
. (7.28)
Из условия равенства правых частей уравнений (7.6) и (7.25), (7.10) и (7.26), (7.11) и (7.27), (7.22) и (7.28) – так как они являются константами – с учетом уравнения состояния (7.7) получаем
1
222
1
2
1
2 ****
*
max
k
aTciRTk
kp
k
kV p
. (7.29)
Как видно из (7.29), максимальная скорость движения газа зависит от его физических свойств и температуры торможения. Для воздуха, приняв k =1,4 и R =287 Дж/(кгК), получим
*max 82,44 TV . (7.30)
При температуре *T =293 К (20 ͦ С) максимальная скорость движения воздуха составляет 767 м/c.
Отношение скорости потока V к его максимальной скорости maxV представляет собой безразмерную скорость , которая так же, как и число М, является числом подобия.
maxVV . (7.31) Число использовал в своих первых работах по газовой динамике
российский ученый С. А. Чаплыгин, поэтому безразмерную скорость иногда называют числом Чаплыгина.
Безразмерная скорость может изменяться в диапазоне от 0 до 1.
113
Остановимся далее на понятии критической скорости. Рассмотрим движение идеального газа, скорость которого возрастает в направлении течения. При этом в соответствии с уравнением Бернулли (7.10), (7.11) уменьшается энтальпия газа i и его температура T , а в соответствии с ра-венством (7.20) – уменьшается и местная скорость звука. Разнонаправлен-ное изменение скорости движения и скорости звука имеет место и при уменьшении скорости потока. Очевидно, что в условиях разнонаправлен-ного изменения скорости потока V и скорости звука a существует сече-ние, в котором скорость потока сравняется со скоростью звука. Сечение, в котором скорость течения газа совпадает со скоростью звука ( aV ), на-зывают критическим сечением. Все параметры потока в критическом се-чении (скорость, скорость звука, температуру, давление, плотность и др.) называют критическими.
Заметим, что критическая скорость движения крV и критическая
скорость звука крa равны друг другу ( кркр aV ), поэтому эти два понятия
являются идентичными, и вместо двух понятий часто используют одно – критическая скорость.
Константу в правой части уравнения Бернулли можно выразить и че-рез параметры в критическом сечении. Тогда это уравнение примет вид
21
1
21
222крa
k
kV
k
a
. (7.32)
Из условия равенства правых частей уравнений (7.6), (7.10), (7.22) и (7.32) получаем
1
2
1
)1(2
1
12
1
2
1
2**
**
*
ka
k
kTc
k
kiRT
k
kp
k
ka pкр
. (7.33)
Для воздуха ( k =1,4; R =287 Дж/(кгК)) имеем *3,18 Taкр . (7.34)
При температуре *T =293 К (20 ͦ С) критическая скорость для воздуха составляет 313 м/c.
Отношение скорости потока V к критической скорости крa представ-
ляет собой безразмерную скорость , которая является числом подобия
крaV . (7.35)
Безразмерную скорость называют еще приведенной скоростью и коэффициентом скорости.
Безразмерная скорость может изменяться в диапазоне от 0 до
1
1
k
k. В критическом сечении 1M кркр .
114
7.5. Газодинамические функции параметров состояния Газодинамические функции параметров состояния , , представ-
ляют собой соотношения между параметрами состояния (давлением p , температурой T , плотностью ) движущегося потока и соответствующи-
ми ( *p , *T , * ) параметрами торможения:
*p
p ;
*T
T ;
* . (7.36)
Для идеального газа функции , , могут быть выражены через безразмерные скорости М, и . Вид безразмерной скорости, используе-мой для вычисления газодинамических функций, содержится в их услов-ном обозначении: М , М , М ; , , ; , , .
Определим сначала газодинамические функции состояния М , М , М . Выразим удельную изобарную теплоемкость pc через показа-
тель адиабаты k и газовую постоянную R
1
k
kRc p . (7.37)
Воспользовавшись уравнением Бернулли в форме (7.11) с учетом (7.37), (7.20), получаем
2
2
222* M
2
11
2
11
2
1
2
kT
a
VkT
T
T
kR
kVT
c
VTT
p. (7.38)
Из (7.38) следует
2M2
11
k
T
T;
12M
2
11М
k . (7.39)
Для адиабатного процесса, используя (7.4), можно записать k
p
p
; 1
k
k
T
T
p
p;
1
1
k
T
T
. (7.40)
С учетом (7.40) имеем
12M2
11
k
kk
p
p; 12M
2
11М
k
kk ; (7.41)
1
1
2M2
11
kk
; 1
1
2M2
11М
kk . (7.42)
Аналогично определим газодинамические функции , , . Из уравнения (7.11) имеем
115
22
max
22* 11
2
T
V
VT
T
T
c
VTT
p; (7.43)
21 ; (7.44)
121 k
k
; (7.45)
1
121 k . (7.46)
Из сопоставления выражений (7.29) и (7.33) следует
1
1max
k
kaV кр . (7.47)
Подставляя в (7.43) вместо maxV выражение (7.47), получим
22
2
1
11
1
11
k
kT
a
V
k
kTT
кр
. (7.48)
Используя (7.48), определяем газодинамические функции , ,
2
1
11
k
k; (7.49)
12
1
11
k
k
k
k ; (7.50)
1
12
1
11
kk
k . (7.51)
Заменяя в выражениях для газодинамических функций показатель адиабаты k на показатель политропы n , можно распространить их применение на политропные процессы.
Определим критические значения газодинамических функций. В кри-тическом сечении безразмерные скорости принимают конкретные значе-ния. Так, например, 1M кркр . Подстановкой значения 1M в форму-
лы (7.39), (7.41), (7.42) получаем выражения для критических значений га-зодинамических функций кр , кр , кр
1
2
kкр ; (7.52)
1
1
2
k
k
кр k ; (7.53)
1
1
1
2
k
кр k . (7.54)
116
Точно такие же выражения получаются и подстановкой значения 1 в формулы (7.49) – (7.51). Для воздуха ( 4,1k ) расчетом по выражениям (7.52) – (7.54) получа-
ем 833,0кр ; 528,0кр ; 634,0кр .
Из выражения (7.44) с учетом (7.52) определяется критическое значе-ние безразмерной скорости
1
1
k
kкр . (7.55)
Для облегчения инженерных расчетов газодинамические функции за-ранее рассчитываются и сводятся в таблицы. Таблицы газодинамических функций составляются для различных значений показателя адиабаты k , соответствующих разным газам.
7.6. Связь между скоростью движения потока и площадью проходного сечения канала При движении несжимаемой жидкости в канале переменного сечения
скорость потока изменяется обратно пропорционально площади. Это сле-дует из уравнения (2.7). При движения газа имеет место одновременное изменение его скорости и плотности, поэтому по изменению площади се-чения нельзя однозначно судить об изменении скорости. Лишь при малых скоростях, когда изменение плотности невелико, можно сделать прибли-женную качественную оценку по аналогии с несжимаемой жидкостью.
Рассмотрим связь между скоростью потока V и площадью поперечно-го сечения F канала с непроницаемыми стенками для адиабатного тече-ния. Из условия постоянства массового расхода в любом сечении канала следует
const VFG . (7.56) После логарифмирования и дифференцирования уравнения (7.56) по-
лучаем
0F
dF
V
dVd
. (7.57)
Проведем некоторые преобразования первого слагаемого в левой час-ти уравнения (7.57), используя соотношение (7.18)
dp
a
dp
dp
dd
21
. (7.58)
Из (7.3) для анализируемых условий получаем
V
dVVVdV
Vd
dp 22
2
. (7.59)
С учетом (7.59) выражение (7.58) преобразуется к виду
117
V
dVd 2M
. (7.60)
Подставляя выражение (7.60) в (7.57), получаем
1M2
FdFVdV
. (7.61)
Зависимость (7.61) называют уравнением Гюгонио. Из этого уравнения следует, что при дозвуковом течении ( 1M ) увеличение площади проход-ного сечения канала ( 0dF ) приводит к уменьшению скорости, поскольку в соответствии с (7.61) получается 0dV . Уменьшение площади ( 0dF ) в этом случае приводит к увеличению скорости потока ( 0dV ). При сверхзвуковом течении ( 1M ) характер изменения скорости в зависимо-сти от изменения площади проходного сечения меняется на противопо-ложный: увеличение площади ( 0dF ) приводит к увеличению скорости ( 0dV ), а ее уменьшение ( 0dF ) – к уменьшению скорости ( 0dV ).
Канал, в котором по длине проточной части происходит увеличение скорости (и уменьшение давления), называют конфузором, или соплом. Канал, в котором происходит уменьшение скорости (и увеличение давле-ния), называют диффузором. В некоторых литературных источниках отли-чительными признаками конфузора и диффузора считают не характер из-менения скорости (давления), а характер изменения площади проходного сечения: сужающийся канал называют конфузором, а расширяющийся – диффузором. Такая трактовка, базирующаяся на геометрических, а не на газодинамических характеристиках, представляется менее удачной.
Если дозвуковой поток требуется разогнать до сверхзвуковой скоро-сти или, наоборот, сверхзвуковой поток затормозить до скорости, меньшей скорости звука, то канал должен иметь более сложную форму. Его входная часть должна быть сужающейся, а выходная – расширяющейся. В сечении, где скорость потока достигает скорости звука ( 1M ), в соответствии с уравнением (7.61) должно быть реализовано условие 0dF . Следователь-но, в этом сечении площадь канала достигает минимума, а канал образует горло. Таким образом, при адиабатном течении потока критическое сече-ние совпадает с горлом канала.
Каналы с сужающейся входной и расширяющейся выходной частью широко применяются в технике. Каналы переменной площади проходного сечения, предназначенные для преобразования дозвукового потока в поток сверхзвуковой, называются соплами Лаваля. Преобразование сверхзвуко-вого потока в дозвуковой осуществляется в каналах, называемых сверхзву-ковыми диффузорами. Каналы, имеющие горло, в которых не происходит перехода через скорость звука и течение сохраняется дозвуковым в преде-лах всей проточной части, называют трубами (соплами) Вентури.
118
7.7. Газодинамическая функция расхода Газодинамической функцией расхода q называют отношение массо-
вой плотности тока V движущегося потока газа в произвольном сечении к массовой плотности тока кркрa в критическом сечении
кркрaV
q
. (7.62)
Массовая плотность тока представляет собой расход газа, приходя-щийся на единицу площади проходного сечения. Для сопла Лаваля, ис-пользуя уравнение неразрывности, можно записать
F
F
a
Vq кр
кркр
, (7.63)
где крF – площадь критического сечения.
Для идеального газа функция q может быть выражена через безраз-мерные скорости , М и . Вид безразмерной скорости, используемой для вычисления функции q , содержится в ее условном обозначении: q , Мq , q .
Определим сначала газодинамическую функцию q . Для этого пре-образуем выражение (7.62), используя зависимости (7.35), (7.36), (7.51), (7.54),
11
211
1
11
2
1
kk
кркркркр k
kk
a
V
a
Vq
. (7.64)
Анализ выражений (7.62) – (7.64) позволяет отметить, что газодина-мическая функция q изменяется в диапазоне от 0 до 1. Своего максималь-ного значения 1q она достигает в критическом сечении, где 1M . Следовательно, наибольшую массовую плотность тока газ имеет в крити-ческом сечении. При 1 плотность тока уменьшается за счет уменьше-ния скорости, а при 1 за счет уменьшения плотности газа.
Типичный график изменения функции q , полученный расчетом по выражению (7.64), показан на рис. 7.3. Расчет выполнен для воздуха ( 4,1k ). Как видно из рис. 7.3, каждому значению функции q , мень-шему единицы, соответствуют два значения безразмерной скорости ( 1 и 1 ). Это означает, что одному и тому же значению относитель-ной площади соответствуют два сечения сопла Лаваля: одно в его сужаю-щейся части, где течение дозвуковое ( 1 ), а другое – в расширяющейся части, где течение сверхзвуковое ( 1 ).
119
Из выражения (7.64) следует также, что свое наименьшее (равное ну-
лю) значение функция q принимает при двух значениях безразмерной скорости :
0 ; (7.65)
11
kk . (7.66)
Заметим, что нулевое значение функции q соответствует бесконечно большой площади проходного сечения, поэтому значение безразмерной скорости , определяемое выражением (7.66), следует рассматривать как предельное или максимальное значение max . Достижение большей скоро-сти невозможно, поскольку невозможно иметь площадь проходного сече-ния, большую бесконечности.
Определим газодинамическую функцию Mq . Для этого преобразуем выражение (7.62), используя зависимости (7.20), (7.33), (7.36), (7.39), (7.42), (7.54),
121
2
121
M2
11
21
MM
kk
kk
кркркркр k
k
a
a
a
V
a
Vq
. (7.67)
Из (7.67) следует, что при 1M (критическое сечение) функция Mq принимает свое максимальное значение, равное единице. Нулевое значе-ние функция Mq принимает при 0M и при M .
Определим далее газодинамическую функцию q . Для этого преоб-разуем выражение (7.62), используя зависимости (7.31), (7.46), (7.47), (7.54),
Рис. 7.3. Газодинамическая функция расхода
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5
q()
120
11
211
max
max1
1
1
2
1
kk
кркркркр k
kk
a
V
V
V
a
Vq
. (7.68)
Из (7.68) следует, что в критическом сечении (см. зависимость (7.55))
при 1
1
k
k функция q принимает свое максимальное значение,
равное единице. Нулевое значение функция q принимает при 0 и при 1 .
Определим, используя соотношение (7.63), массовый расход газа G в произвольном сечении сопла Лаваля
FaqVFG кркр . (7.69)
Выразив критические значения параметров кр и крa с помощью со-
отношений (7.33), (7.36), (7.54) и уравнения состояния идеального газа
(для определения плотности заторможенного потока ), получим
RT
k
k
kRT
pqFRT
k
kqFG k
кр 1
2
1
2
1
2 1
1
. (7.70)
В сопле Лаваля с непроницаемыми стенками массовый расход остает-ся постоянным в любом сечении, в том числе и критическом, где 1q , по-этому выражение (7.70) можно представить в виде
R
k
kT
Fp
R
k
kT
pqFG k
k
крk
k
1
1
1
1
1
2
1
2
. (7.71)
Выражение (7.71) положено в основу метода измерения расхода с по-мощью сопел с критическим перепадом давления.
7.8. Расчетные режимы течения газа в канале, имеющем горло Каналы, имеющие горло (сужение между входным и выходным сече-
ниями), широко применяются в технике. К таким каналам относятся сопла Лаваля, сверхзвуковые диффузоры, трубы Вентури. Последние использу-ются в качестве датчиков измерительных устройств и в системах регули-рования расхода. В зависимости от того, какие условия созданы на входе и выходе один и тот же канал может работать в режиме сопла Лаваля, сверх-звукового диффузора или трубы Вентури.
При движении потока по тракту канала его параметры, в том числе давление, претерпевают непрерывное изменение. Давление потока в вы-ходном сечении канала (на его срезе) может совпадать или не совпадать с давлением окружающей среды, в которую происходит истечение газа. Ре-жимы течения, при которых давление потока на срезе канала сp совпадает
121
с давлением окружающей среды ap , называют расчетными. Режимы те-чения, реализуемые при aс pp , называют нерасчетными.
На расчетных режимах скорости и давления полностью соответствуют площадям поперечных сечений канала. При заданных условиях на входе в канал с определенным соотношением площадей выходного сечения и гор-ла может быть лишь одно вполне определенное значение скорости истече-ния и одно вполне определенное значение давления в выходном сечении.
Рассмотрим расчетные режимы течения более подробно. На рис. 7.4 показаны схема канала, графики изменения скорости и
давления по его длине на расчетных режимах. От входного сечения 1 до горла
Г площадь сечения F уменьшается ( 0dF ), в горле она проходит через минимум ( 0dF ), от горла до сече-ния 2 – увеличивается ( 0dF ). Из анализа уравнения Гюгонио (7.61) следует, что в рассматриваемых усло-виях возможны четыре режима тече-ния.
1. Если поток на входе дозвуко-вой ( 1M ), то согласно уравнению (7.61) в сужающейся части канала скорость должна нарастать ( 0dV ). При этом давление p уменьшается. Если в горле канала скорость (и дав-ление) не достигнет критического значения, то поток на входе в расши-ряющуюся часть останется дозвуко-вым. Движение газа от горла вниз по потоку будет происходить с умень-шением скорости и увеличением дав-ления, как в дозвуковом диффузоре. Этот режим реализуется при
крpp *2 , ему соответствуют кривые 1 на рис. 7.4, а канал в таких ус-
ловиях работает как труба Вентури. Заметим, что при одинаковых площа-дях проточной части в сечениях 1 и 2 ( 21 FF ) для идеального газа будет справедливо равенство 21 pp , а перепад давления между входным и вы-ходным сечениями канала окажется равным 0 (для реального газа этот пе-репад отличен от 0 и затрачивается на преодоление потерь на трение, обу-словленных вязкостью среды). Здесь 1p , 2p – давление потока в сечениях 1 и 2 соответственно ( ас ppp 2 ).
Рис. 7.4. Расчетные режимы течениягаза в канале, имеющем горло
1 2 Г
V
aкр
p
pкр
x
1 2 3
3 4
4
122
2. Условия на входе те же, но в горле скорость и давление потока дос-тигают критических значений (при этом 1M ). Поток, преодолев горло, становится сверхзвуковым. Тогда в соответствии с уравнением (7.61) в расширяющейся части канала при 1M скорость газа должна нарастать.
Этот режим реализуется при крpp *2 , ему соответствуют кривые 2 на
рис. 7.4, а канал в таких условиях работает как сопло Лаваля. На этом ре-жиме по всей длине канала происходит увеличение скорости и уменьше-ние давления. Скорость потока увеличивается от дозвуковой до сверхзву-ковой, а 21 pp .
3. В канал входит сверхзвуковой поток ( 1M ). В соответствии с уравнением (7.61) в сужающейся части скорость должна уменьшаться. Ес-ли в горле скорость и давление достигнут критических значений (при этом
1M ), то поток, преодолев горло, становится дозвуковым. Тогда в соот-ветствии с уравнением (7.61) в расширяющейся части канала при 1M скорость газа должна уменьшаться. Этот режим реализуется при
крpp *2 , ему соответствуют кривые 3 на рис. 7.4, а канал в таких ус-
ловиях работает как сверхзвуковой диффузор. На этом режиме по всей длине канала происходит уменьшение скорости и увеличение давления. Скорость потока уменьшается от сверхзвуковой до дозвуковой, а 21 pp .
4. Условия на входе такие же, как в предыдущем режиме, но в горле скорость газа еще не достигает критической, а остается сверхзвуковой (М>1). Поток, преодолев горло, остается сверхзвуковым. Тогда в соответ-ствии с уравнением (7.61) в расширяющейся части канала при 1M ско-рость газа должна увеличиваться. Этот режим реализуется при
крpp *2 , ему соответствуют кривые 4 на рис. 7.4. Заметим, что при
одинаковых площадях проточной части в сечениях 1 и 2 для идеального газа так же, как и для режима 1, будет справедливо равенство 21 pp , а перепад давления между входным и выходным сечениями канала окажется равным 0.
Для перехода от первого режима течения ко второму необходимо уве-личить перепад давления 211 ppp между входным и выходным сече-
ниями канала настолько, чтобы выполнить условие крpp *2 . При уве-
личении перепада давления 1p увеличивается расход газа через канал. На первом режиме увеличение расхода (при фиксированной темпера-
туре торможения потока *T ) происходит за счет увеличения скорости газа, сопровождаемого некоторым изменением (увеличением или уменьшени-ем) его плотности. Характер изменения плотности (ее увеличение или уменьшение) зависит от того, за счет изменения каких параметров (только
1p , только 2p , одновременно 1p и 2p ) осуществляется изменение 1p .
123
После достижения в горле критического значения скорости дальнейшее увеличение перепада давления не приведет к какому-либо изменению ско-рости в любом сечении канала, а увеличение расхода может происходить исключительно за счет увеличения плотности газа.
Для перехода от четвертого режима течения к третьему необходимо увеличить перепад давления 122 ppp между выходным и входным
сечениями канала настолько, чтобы выполнить условие крpp *2 . При
увеличении перепада давления 2p уменьшается расход газа через канал. На четвертом режиме уменьшение расхода (при фиксированной темпера-
туре торможения потока *T ) происходит за счет уменьшения скорости га-за, сопровождаемого изменением (увеличением или уменьшением) его плотности. Характер изменения плотности (ее увеличение или уменьше-ние) зависит от того, за счет изменения каких параметров (только 1p , только 2p , одновременно 1p и 2p ) осуществляется изменение 2p . После достижения в горле критического значения скорости дальнейшее увеличе-ние перепада давления не приведет к какому-либо изменению скорости в любом сечении канала, а уменьшение расхода может происходить исклю-чительно за счет уменьшения плотности газа.
Заметим, что для газа с конкретными свойствами (конкретными зна-чениями показателя адиабаты k и газовой постоянной R ) при фиксиро-
ванном значении температуры торможения потока *T и фиксированной геометрии канала в сечениях этого канала не могут быть реализованы ско-рости течения, значения которых находятся между линиями 2 и 3 на рис. 7.4.
7.9. Нерасчетные режимы течения газа в канале, имеющем горло Нерасчетные режимы имеют место при aс pp . Первая группа не-
расчетных режимов соответствует условию aс pp , а вторая – условию
aс pp . Нерасчетные режимы первой группы называют режимами непол-ного расширения, или недорасширения, а сопло, работающее в таких усло-виях, – коротким соплом. Нерасчетные режимы второй группы называют еще режимами перерасширения. Сопло, работающее на режиме пере-расширения, называют длинным.
На рис. 7.5 показаны схема канала, графики изменения скорости и давления по его длине на различных режимах.
124
Расчетному режиму течения газа в сопле Ла-валя соответствуют ли-нии 1 на рис. 7.5. На этом режиме скорости и давления полностью со-ответствуют площадям поперечных сечений ка-нала. Газ, проходя через сопло, претерпевает пол-ное расширение, и его давление 2p в выходном сечении 2 понижается до давления окружающей среды ap . Схема исте-чения газа из сопла на расчетном режиме пока-зана на рис. 7.6. Исте-кающая струя в этом случае имеет постоянное сечение с одинаковым давлением appp 2 во всех ее точках. Кром-ки выходного отверстия создают в потоке беско-нечно слабые возмуще-ния. На рис. 7.6 пункти-
ром изображены пересекающиеся характеристики этих возмущений (ха-рактеристикой называют линию, касательная в каждой точке которой совпадает с линией слабых возмущений). Подробнее закономерности сверхзвуковых течений будут рассмотрены в разделе 8.
Рис. 7.6. Схема истечения газа из сопла на расчетном режиме
p=pаp=pа
p=pа
p=pа
Рис. 7.5. Режимы течения газа в канале, имеющем горло
1 2Г
V
aкр
p
pкр
x
A (pа=p2)B (pа<p2)
C (pа>p2)
A
0
1
1
C
D
D
23 4
23
4
5 6
E
E
125
При заданных условиях на входе в сопло с определенным соотноше-нием площадей выходного сечения и горла может быть лишь одно вполне определенное значение скорости истечения и одно вполне определенное значение давления на выходе. Если давление ap среды, в которую проис-ходит истечение, не равно расчетному давлению 2p на срезе сопла, то имеет место нерасчетный режим.
При понижении давления окружающей среды (точка B на рис. 7.5) по-лучаем нерасчетный режим первой группы 2ppа . В этом случае ника-ких изменений параметров потока на срезе сопла (в сечении 2), а также внутри канала не происходит. Не реализованный в пределах проточной части сопла перепад давления appp 2 срабатывается уже в истекаю-щей струе. Схема истечения газа из сопла на нерасчетном режиме первой группы показана на рис. 7.7.
При обтекании выходной кромки среза сопла AA1 реализуется так на-зываемое течение Прандтля-Майера с возникновением волн разрежения ABC и A1B1C1. Пересекая волны A1EF и AEH, поток отклоняется так, что поперечное сечение струи увеличивается. При этом давление понижается от расчетного значения 2p , которое поток имеет в области AA1E, до давле-ния окружающей среды аp в области A1BF. Заметим, что область A1BF от-делена от внешней среды только границей струи A1B, по обе стороны ко-торой давление не может быть разным. При дальнейшем движении поток вторично пересекает волны разрежения BCGF и B1C1GH, а давление ста-новится ниже, чем в окружающей среде ( app ). На участках BC и B1C1
волны разрежения, отражаясь от границы свободной струи, образуют вол-ны сжатия BCD и B1C1D1. При пересечении этих волн давление газа вновь возрастает до значения аpp . Далее поток еще раз пересекает волны сжатия, а давление становится выше, чем в окружающей среде ( app ). В точках D и D1 волны сжатия отражаются от границы струи, образуя вол-ны разрежения, а процесс изменения давления повторяется.
Рис. 7.7. Схема истечения газа из сопла на нерасчетном режиме первой группы
A
p=p2
A1B C
B1 C1
D1
D
E G
F
H
p=pa
p=pa
p<pa p>pa p<pa
p=pa p=pa
126
Заметим, что течение идеального газа в волнах разрежения и сжатия происходит без потерь, поэтому периодические расширения и сжатия струи с соответствующим изменениями давления должны повторяться до бесконечности. В действительности из-за влияния вязкости газа этот про-цесс достаточно быстро затухает.
Рассмотрим вторую группу нерасчетных режимов, возникающих при повышении давления окружающей среды выше расчетного 2ppа (точка C на рис. 7.5). В этом случае можно было бы предположить, что расшире-ние газа будет происходить лишь до некоторого промежуточного сечения, в котором app , а затем струя, оторвавшись от стенок и сохраняя посто-янное поперечное сечение, продолжит движение с постоянной скоростью и давлением. Но в действительности процесс протекает несколько иначе.
При достаточно малом перепаде давлений 2ppp a это противо-давление оказывается не способным преодолеть кинетическую энергию движущегося потока, и возмущение не проникает внутрь канала. При этом в проточной части сопла течение будет происходить так же, как на расчет-ном режиме (см. линии 1 на рис. 7.5), только расширение газа происходит до давления более низкого, чем давление окружающей среды. Несоответ-ствие давлений 2p и ap проявится в этом случае лишь при выходе из со-пла, где образуется слабый косой скачок уплотнения. В этом скачке давле-ние повышается до давления окружающей среды ap , скорость несколько уменьшается, но остается сверхзвуковой (см. точку C на рис. 7.5). Схема истечения газа из сопла на этом режиме показана на рис. 7.8.
В скачках уплотнения АВ и А1В происходит повышение давления от
2p до ap , соответствующее переходу от точки A к точке C (см. рис. 7.5). Заметим, что область А1BC отделена от внешней среды только границей струи A1C, поэтому давления по обе стороны этой границы одинаковы.
Частицы газа, движущиеся выше оси струи и ниже ее, пересекая скач-ки А1В и АВ, поворачиваются по направлению друг к другу, и при слиянии должны повернуться вторично, в обратную сторону. Этот поворот осуще-ствляется во вторичных скачках ВС и ВС1. Поперечное сечение струи на этом участке (A1C, АС1) уменьшается.
Рис. 7.8. Схема истечения газа из сопла на нерасчетном режиме второй группы при небольшом противодавлении
A
p=p2
A1
B
C
C1
D1
D
Fp=pap=pa
p>pa
pa>p2 E1
E F1
G1
G
H1
H
p>pap<pa p<pa
p=pa p=pa
127
Пересекая вторичные скачки, газ претерпевает дополнительное сжа-
тие, и давление становится выше, чем в окружающей среде. В точках С и C1 скачки, отражаясь от границы свободной струи, образуют волны разре-жения CDE и C1D1E1, в которых при первом пересечении давление умень-шается до давления окружающей среды ap , а при втором – до давления
app . В последующих сечениях структура потока имеет точно такой же вид, как и на режиме неполного расширения (см. рис. 7.7).
При повышении давления окружающей среды ap скачки АВ и А1В усиливаются, углы их фронта и углы отклонения потока увеличиваются. При достижении определенного значения ap вторичные скачки ВС и ВС1 уже не могут повернуть поток на требуемый угол, поэтому система косых скачков перестраивается и образует мостообразный скачок.
Схема истечения струи из сопла в условиях формирования мостооб-разного скачка показана на рис. 7.9.
Особенностью течения за мостообразным скачком уплотне-ния CBB1C1 (рис. 7.9) является на-личие центрального ядра, движу-щегося с дозвуковой скоростью, при этом на периферии скорость остается сверхзвуковой.
В точках В и В1 образуются линии тангенциального разрыва скорости (в вязком потоке вместо линий формируются вихревые слои).
Наличие сильного скачка ВВ1 и вихревых слоев существенно увеличивают потери давления в мостообразном скачке по сравнению с косым скачком уплотнения.
По мере дальнейшего увеличения давления окружающей среды ap сильный скачок ВВ1 занимает все большую часть сечения струи, поэтому область дозвукового течения увеличивается, а сверхзвукового – сокраща-ется. Мостообразный скачок постепенно преобразуется в прямой и прони-кает внутрь сопла. На рис. 7.5 точка D соответствует течению с прямым скачком, расположенным на срезе сопла. Скорость на выходе из сопла в этом случае является дозвуковой.
С ростом противодавления ap прямой скачок все глубже проникает внутрь канала, перемещаясь к горлу. Изменение скорости и давления по длине сопла за прямым скачком в этих условиях характеризуется линиями 2 – 4 на рис. 7.5 (изменение указанных параметров на участке до прямого
Рис. 7.9. Схема истечения газа из сопла на нерасчетном режиме второй группы c мостообразным скачком уплотнения
A
A1
B
C
C1
B1
128
скачка по-прежнему характеризуется линиями 1). Когда давление ap дос-тигает значения, соответствующего точке E, скачок входит в горло канала и вырождается в слабую звуковую волну. При этом вся расширяющаяся часть сопла работает как обычный дозвуковой диффузор, а скорость пото-ка в ней остается меньше критической скорости. Распределение скорости и давления в этих условиях характеризуется линиями 5 на рис. 7.5.
Дальнейшее увеличение противодавления ap приводит к тому, что канал начинает работать как труба Вентури, а распределение скорости и давления в этих условиях характеризуется линиями 6 на рис. 7.5.
1
129
8. ГАЗОДИНАМИКА СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ Отличительной особенностью сверхзвукового течения газа является
возможность образования в нем линий и поверхностей слабых возмуще-ний, скачков уплотнения и ударных волн. Такого рода образования в сверхзвуковом потоке возникают при изменении условий течения в ре-зультате взаимодействия с обтекаемыми телами или поверхностями. При прохождении указанных образований происходит непрерывное или скач-кообразное изменение параметров сверхзвукового потока.
8.1. Обтекание выпуклой поверхности с изломом контура Сверхзвуковое обтекание выпуклой поверхности с изломом контура
сопровождается образованием поверхностей слабых возмущений и непре-рывным изменением параметров потока. Рассмотрим особенности этой разновидности течений на примере плоского потока, последовательно об-текающего две смежные пластины, расположенные под некоторым углом друг к другу и образующие выпуклую поверхность с изломом контура. Получающийся при этом вид течения в газодинамике называют течением Прандтля-Майера, а задачу его расчета называют еще задачей сверхзвуко-вого обтекания внешнего тупого угла. Заметим, что любой криволинейный контур обтекаемого тела можно с некоторым приближением заменить ло-маной линией, поэтому расчет сверхзвукового обтекания произвольной выпуклой поверхности может быть сведен к последовательному расчету течения Прандтля-Майера для каждой пары ломаных линий, образующих криволинейный контур.
Схема течения Прандтля-Майера приведена на рис. 8.1. Сверхзвуковой поток движется вдоль поверхности AB. В точке B он
отклоняется на угол и приобретает направление поверхности BC. Этот поворот происходит не одновременно по всему поперечному сечению.
Рис. 8.1. Схема сверхзвукового обтекания внешнего тупого угла
A B
C
DEV0, M0
V1, M1
130
На более удаленных от обтекаемой поверхности линиях тока он начи-нается позднее по сравнению с линиями тока, расположенными вблизи нее. Это происходит потому, что возникшие в точке B и распространяю-щиеся во всех направлениях со скоростью звука возмущения одновремен-но сносятся потоком вниз по течению со сверхзвуковой скоростью (скоро-стью движения потока).
Линия BD слабых возмущений является границей, разделяющей не-возмущенный плоскопараллельный поток и зону его поворота. Пересекая линию BD, поток поворачивается на бесконечно малый угол и изменяет свои параметры на бесконечно малые значения. Если бы угол был бес-конечно малым, то процесс поворота потока сопровождался бы возникно-вением лишь одной линии слабых возмущений BD. При конечном значе-нии угол поворота потока складывается из бесконечного количества бесконечно малых поворотов, каждый из которых совершается при пере-сечении очередной линии слабых возмущений в области DBE. Последняя линия BE отделяет область поворота потока от области, где этот поворот полностью завершен, и поток вновь становится плоскопараллельным.
При повороте потока увеличивается расстояние между соседними ли-ниями тока (см. рис. 8.1), что эквивалентно увеличению площади попереч-ного сечения. В соответствии с уравнением (7.61) увеличение площади се-чения сверхзвукового потока сопровождается увеличением его скорости. Таким образом, при повороте потока увеличивается его скорость ( 01 VV ,
01 MM ), уменьшаются давление, температура и плотность. При этом в соответствии с уравнением (7.24) имеем 01 .
Заметим, что в рассматриваемых условиях линии слабых возмущений являются прямыми и совпадают с характеристиками (это следует из при-веденного в разделе 7.9 определения характеристики). На каждой характе-ристике параметры потока сохраняют постоянные значения. Они изменя-ются при переходе от одной характеристики к другой. В области поворота потока DBE возникает бесконечное множество характеристик, и изменение скорости, давления, температуры и плотности газа происходит плавно без скачков.
При обтекании внешнего тупого угла во всех характерных областях (невозмущенный поток до поворота, область поворота, течение за поворо-том) поток остается безвихревым. Действительно, невозмущенный поток до поворота является заведомо безвихревым. Тогда в соответствии с тео-ремой Стокса циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, про-веденному в этой области, будет равна нулю. Кроме того, из теоремы Томсона следует, что если силы, действующие на жидкость, имеют потен-циал, поле скоростей непрерывно, а термодинамический процесс одинаков во всех анализируемых областях, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, выделенному в этой жидкости и движущемуся вме-
131
сте с ней, не изменяется с течением времени. В рассматриваемом течении все условия теоремы Томсона выполняются, поэтому циркуляция скорости по любому выделенному в жидкости и движущемуся вместе с ней замкну-тому контуру будет сохранять нулевое значение при последовательном пе-ремещении этого контура через области невозмущенного течения, поворо-та и течения за поворотом, а течение в каждой из этих областей останется безвихревым.
Воспользуемся рассмотренными закономерностями для установления взаимосвязи между характеристиками потока до и после поворота. Выде-лим дифференциально малый замкнутый контур в области DBE (рис. 8.1) поворота потока. Пусть этот контур FGHI (рис. 8.2) будет образован отрез-ками FG и IH радиус-векторов, проведенных из угловой точки B (рис. 8.1), и дугами окружности FIH и GH. При этом BF=BI= r ; FG=IH= dr ; FI= rd ; GH= ddrr .
Выразим циркуляцию скорости FGHI по замкнутому контуру FGHI IFHIGHFGFGHI
rdVdrdV
Vddrrdrr
VVdrV r
rr
. (8.1)
Здесь rV и V – радиальная (вдоль радиуса r ) и тангенциальная со-
ставляющие вектора скорости V . При записи выраже-
ния (8.1) для определения составляющих скорости
rV и V в точках G, H и I
использовались разложе-ния соответствующих функций в ряд Тейлора в окрестности точки F с со-хранением двух первых членов ряда.
Выполнив алгебраи-ческие преобразования правой части выражения (8.1), пренебрегая малыми членами и приравняв полученный результат нулю, получим уравнение, ха-рактеризующее изменение параметров в зоне поворота потока
0
rV
Vr
Vr . (8.2)
Так как каждый радиус-вектор в рассматриваемых условиях совпадает с соответствующей характеристикой, то проекция скорости V численно
Рис. 8.2. К установлению взаимосвязи параметровсверхзвукового потока до и после его поворота
A B
F
x
d
r
G
I H
dr y
132
равна местной скорости звука a (см. подраздел 7.3). Кроме того, как было показано выше, вдоль характеристики скорость потока не изменяется, по-этому 0 rV и первое слагаемое в левой части (8.2) обращается в 0.
С учетом сказанного из уравнения (8.2) получаем
ad
dVV r
. (8.3)
Воспользуемся далее уравнением Бернулли в форме (7.28)
221
2max
22 VV
k
a
.
Приняв в этом уравнении Va ; 222VVV r , получаем
2221
2max
222VVV
k
V r
или 2
max22
1
1VVV
k
kr
. (8.4)
С учетом (8.3) уравнение (8.4) преобразуется к виду
2max
22
1
1VV
d
dV
k
kr
r
. (8.5)
Поделив обе части уравнения (8.5) на 2maxV , получаем
11
1 22
rr
d
d
k
k
. (8.6)
Здесь r радиальная составляющая вектора безразмерной скорости (см. подраздел 7.4).
После некоторого преобразования выражения (8.6) получаем
d
k
kd
r
r
1
1
1 2
. (8.7)
Дифференциальное уравнение (8.7) описывает изменение параметров газа в области поворота потока при обтекании внешнего тупого угла. Ин-тегрируя его, получаем
Ck
kr
1
1sin . (8.8)
Здесь C – константа интегрирования, зависящая от выбора начала от-счета угла .
С помощью зависимости (8.3), используя (8.8), найдем тангенциаль-ную составляющую вектора безразмерной скорости
133
Ck
k
k
k 1
1cos
1
1. (8.9)
По найденным составляющим r и определяется значение без-
размерной скорости
2222 cos
1
1sin
k
kr
2222 sin1
2
1
1cossin
1
1sin
1
2
kk
k
k
k
k, (8.10)
где Ckk
11
.
Используя соотношения (7.47), (7.20), (7.35), (7.49), (7.52), получим также выражения для безразмерной скорости и числа Маха M
2sin1
21
k; (8.11)
2
2
cos
sin1
21
M
k . (8.12)
Определим константу интегрирования C , выбрав за начало отсчета угла первую по ходу движения потока характеристику BD (рис. 8.1). Для любой точки, расположенной на этой характеристике, имеем 0 ,
1
10
kk
C , 0 , 0 , 0MM , а положение характеристики
определяется углом 0 , рассчитываемым с помощью выражения (7.24) 00 M1arcsin . (8.13)
Подставляя приведенные значения в любое из выражений (8.10) – (8.12) и разрешая это выражение относительно константы C , получаем за-висимость для ее определения. Так, из выражения (8.11) имеем
12
1arcsin
1
1 20
k
k
kC . (8.14)
Как видно, значение константы C зависит от показателя адиабаты k и безразмерной скорости потока 0 до его поворота. Для 10 из (8.14) по-
лучаем 0C , а для 1
1max0
kk имеем
1
1
2max
k
kCC
. (8.15)
Пользуясь газодинамическими функциями параметров состояния (7.40) – (7.42), (7.44) – (7.46), (7.49) – (7.51), по найденным с помощью
134
выражений (8.10) – (8.12) значениям безразмерных скоростей , , M можно определить параметры состояния газа на каждой характеристике, имея в виду, что для рассматриваемых условий параметры заторможенного
потока остаются постоянными ( const*0
* TT ; const*0
* pp ;
const*0
* ). Зная максимальные значения безразмерных скоростей и
1
1;1 maxmax k
k , можно из выражения (8.10) или (8.11) опреде-
лить максимально возможный угол поворота потока max . Так, из вы-ражения (8.11) имеем
C
k
k
k max2
max 1
1sin
1
21 . (8.16)
Из уравнения (8.16) следует
21
1max
Ck
k. (8.17)
Разрешая (8.17) относительно max , получаем
Ck
k
1
1
2max . (8.18)
Как видно, значение угла max зависит от показателя адиабаты k и безразмерной скорости потока 0 до его поворота. Для 10 из (8.18) с учетом (8.14) получаем
1
1
2max
kk , (8.19)
а для max0 имеем 0max . Между углами , 0 , 1 (рис. 8.1) и углом существует очевидная
связь
01 . (8.20) Если конструктивный угол (рис. 8.1) окажется большим того, кото-
рый определяется зависимостью (8.20), то произойдет отрыв потока от по-верхности BC (рис. 8.1) и его расширение в струе. При этом направление движения струи за областью ее поворота определяется углом , соответст-вующим расчету по уравнению (8.20).
Проанализируем далее линии тока при обтекании внешнего тупого угла. Для этого воспользуемся уравнением линий тока (2.5), записав его для области поворота потока ABC (рис. 8.1) в полярной системе координат
V
dr
V
dr
r . (8.21)
Из (8.21) с учетом соотношений (8.8), (8.9) получаем
135
C
k
k
k
k
dCk
k
ddV
V
r
dr rr
1
1cos
1
1
1
1sin
C
k
k
Ck
kd
k
k
Ck
k
dCk
k
k
k
k
k
1
1cos
1
1cos
1
1
1
1cos
1
1sin
1
1
1
1. (8.22)
После некоторого преобразования уравнение (8.22) представим в форме
Ckk
dkk
rd 11
cosln11
ln . (8.23)
В результате интегрирования дифференциального уравнения (8.23) определяем зависимость от угла значения радиуса-вектора точки, лежа-щей на линии тока
1ln1
1cosln
1
1ln CC
k
k
k
kr
, (8.24)
где 1C – константа интегрирования. Константа 1C определяется из граничного условия:
0 ; 0rr . (8.25) Подставив (8.25) в (8.24), получаем
1
10
1
1
1cos
k
k
k
kC
rC . (8.26)
С учетом (8.26) выражение (8.24) преобразуется к виду
1
1
0 1
1cos
1
1cos
k
k
kk
Ckk
Crr . (8.27)
Если с помощью выражения (8.27) построить серию линий тока и две из них заменить твердыми стенками, то образуется канал, в котором имеет место течение Прандтля-Майера. Таким образом, выражение (8.27) можно применять для профилирования криволинейных каналов, в которых требу-ется получить сверхзвуковое течение с непрерывным увеличением скоро-сти. В тех случаях, когда контур обтекаемой выпуклой поверхности не со-ответствует кривой, построенной по уравнению (8.27), рассмотренный
136
метод расчета также применим. В этом случае криволинейный контур сле-дует заменить ломаной линией и для каждого образовавшегося внешнего тупого угла проводить отдельный расчет. Полученное решение будет при-ближенным.
На практике возникает необходимость определения угла поворота по-тока при течении Прандтля-Майера по заданным давлениям на входе в по-ворот и на выходе из него. Расчет выполняется в следующем порядке.
По известному давлению 0p и скорости невозмущенного потока (без-размерной скорости 0 , 0 или числу 0M ) определяют давление тормо-
жения *p , используя любую из формул (7.41), (7.45), (7.50). Далее для се-чения на выходе из поворота рассчитывается значение газодинамической
функции *11 pp , и с помощью любой из формул (7.41), (7.45), (7.50)
определяется безразмерная скорость 1 , 1M или 1 в этом сечении. Затем с помощью выражений (8.10) – (8.14), (8.20) рассчитываются углы поворо-та и . Так, например, из (8.10) получаем зависимость угла от без-размерной скорости
1
1
2
1arcsin
1
1
2
1arcsin
1
1 20
21 k
kkkkk
kk . (8.28)
Из (8.11) получается зависимость угла от безразмерной скорости
12
1arcsin1
2
1arcsin
1
1 20
21 kk
k
k. (8.29)
Аналогично может быть определен угол поворота потока по заданным значениям температуры газа на входе в поворот и на выходе из него.
8.2. Пересечение и отражение слабых волн На линиях слабых возмущений в сверхзвуковом потоке происходит
изменение параметров течения. Если при пересечении потоком таких ли-ний происходит уменьшение его давления, сопровождаемое увеличением скорости, то линии слабых возмущений называют линиями разрежения.
В случае увеличения давления (и уменьшения скорости) происходит пересечение потоком линий сжатия.
Серия линий разрешения или сжатия представляет собой волну раз-режения или сжатия.
Рассмотрим взаимодействие двух волн разрежения (каждая из кото-рых образована серией линий разрежения) в процессе их пересечения.
На рис. 8.3 изображена упрощенная схема течения газа через плоское расширяющееся сопло, стенки которого образуют два обращенных друг к другу внешних тупых угла.
137
При обтекании этих углов в точках А и А1 обра-зуются волны разрежения. В областях АЕН и A1EF, где поток пересекает пер-вую по ходу волну разре-жения, образуется течение Прандтля-Майера. В об-ластях АНВ1 и A1FB поток не пересекает никаких волн, и там реализуется те-чение без изменения пара-метров состояния. В облас-тях HGC1B1 и FGCB, где поток пересекает вторую по ходу волну разрежения, также образуется течение Прандтля-Майера. В области EFGH пересекаются две волны разрежения: волна, выходящая из точки А, и волна, выходящая из точки А1. Принадлежащие этим волнам ха-рактеристики назовем характеристиками первого и второго семейств.
В нижней части сопла (в области, где все линии тока располагаются ниже точки H) газ при своем движении последовательно пересекает две волны разрежения: сначала характеристики АЕН первого семейства, а за-тем характеристики HGC1B1 второго семейства. В результате дважды уве-личивается скорость и понижается давление газа и дважды осуществляется его поворот: вокруг точки А (при пересечении волны АЕН) и вокруг точки А1 (при пересечении волны HGC1B1). Аналогично происходит движение газа в верхней части сопла (в области, где все линии тока располагаются выше точки F), только здесь пересекаются сначала характеристики второго семейства, а затем первого.
В каждой точке области EFGH пересекаются две характеристики. Од-на из них относится к первому семейству и выходит из точки А, другая – к второму семейству и выходит из точки А1. Таким образом, частица газа в любой точке области EFGH, одновременно участвует в обтекании точки А, совершая поворот по часовой стрелке, и в обтекании точки А1, поворачива-ясь против часовой стрелки. При каждом повороте скорость нарастает, а давление уменьшается. При этом повороты происходят в разные стороны, а на оси они полностью компенсируют друг друга, и суммарное угловое отклонение потока (на оси) равно нулю.
Рассмотрим взаимодействие характеристик со стенкой. Схема взаи-модействия показана на рис. 8.4.
В точке В падения характеристики разрежения AB на стенку в общем случае возникает отраженная характеристика BC. Механизм ее появления заключается в следующем. Пересекая падающую характеристику разреже-
Рис. 8.3. Схема взаимодействия волн разрежения
A
A1
B
C
B1
C1
F
H
V
EG
138
ния, линия тока отклоняется в на-правлении от стенки, и, если стен-ка в точке B не повернется в ту же сторону на тот же угол, поток нач-нет удаляться от стенки, создавая в ее окрестности разрежение. Одна-ко внешним (по отношению к об-ласти разрежения) давлением по-ток будет немедленно прижат к стенке. Следовательно, поток вы-нужден совершить еще один пово-
рот, но уже в сторону стенки. Для этого необходимо, чтобы он пересек ха-рактеристику. Так возникает отраженная характеристика ВС. Из рис. 8.4 видно, что при пересечении характеристики ВС угол между ней и линией тока газа увеличивается. Это соответствует характеристике разрежения.
Пересекая падающую характеристику сжатия, линия тока газа откло-няется в сторону стенки. Вторичный поворот происходит под действием стенки, и в результате возникает отраженная характеристика. Однако в этом случае она будет характеристикой сжатия, так как при ее пересечении угол между характеристикой и линией тока уменьшается.
Таким образом, можно заключить, что при отражении слабых волн возмущения от твердой стенки тип возмущения сохраняется (линии разре-жения отражаются в виде линий разрежения, а линии сжатия – в виде ли-ний сжатия).
Заметим, что для характеристики угол падения не равен углу отраже-ния. Действительно, (см. рис. 8.4) число Маха М0 потока перед падающей характеристикой АВ меньше числа Маха М1 после прохождения потоком характеристики ВС (при пересечении линий разрежения скорость возрас-тает). Поэтому в соответствии с (7.24), (8.13) угол падения получается больше угла отражения 0 .
Если на стенку падает волна разрежения ABC (рис. 8.5), то она дает отраженную волну разрежения, причем количество характеристик в обеих волнах одинаково. От поверхности BC отраженные характеристики расхо-дятся веером (в случае волны сжатия, наоборот, сходятся), представляя со-бой как бы продолжение падающей волны. В области BCD происходит взаимодействие падающих и отраженных характеристик, в результате чего они искривляются.
Следует отметить, что соответствующим профилированием стенки можно исключить появление отраженных волн. Для этого необходимо, чтобы стенка в точке падения слабой волны поворачивалась в ту же сторо-ну и на тот же угол, на который отклоняется линия тока, пересекая падаю-щую характеристику. Такой метод применяется для профилирования сверхзвуковой части сопла Лаваля.
Рис. 8.4. Схема взаимодействия характеристики со стенкой
A
B
C
VV0
0
D E
139
Слабые волны возму-щения способны отражаться не только от твердой стенки, но и от границы свободной струи. Под границей сво-бодной струи понимают ли-нию, разделяющую поток газа и неподвижную окру-жающую среду. Нужно за-метить, что такая граница возможна только в идеаль-ном газе. В вязком газе вместо линии образуется слой, в котором скорость нарастает от нуля до ее значения в потоке.
На рис. 8.6 показана схема взаимодействия волны разрежения, возни-кающей при обтекании внешнего тупого угла, с границей струи.
Давление в струе до первой характеристики АВ совпадает с давлением окружающей среды, так как граница струи не может удерживать перепады давления. После прохождения потоком линии разрежения АВ давление в струе уменьшается. Однако на границе струи давление должно оставаться равным давлению окружающей среды. Это возможно лишь в случае, если из точки В выйдет отраженная характеристика сжатия.
При пересечении потоком этой характеристики сжатия BD давление
вновь возрастет до давления окружающей среды. Таким образом, по обе стороны границы струи давление сохраняется равным давлению окружаю-щей среды. Во внутренней же части струи оно оказывается более низким. Область низкого давления отделена от окружающей среды линиями сжатия.
Рис. 8.5. Схема взаимодействия волны разрежениясо стенкой
A
B C
V
D
Рис. 8.6. Схема взаимодействия волны разрежения с границей струи
A
B
C
V
D
140
Проанализировав дополнительно взаимодействие с границей струи волн сжатия, можно сделать заключение, что при отражении слабых волн возмущения от границы свободной струи тип возмущения изменяется (линии разрежения отражаются в виде линий сжатия, а линии сжатия – в виде линий разрежения).
8.3. Скачки уплотнения Механизм возникновения скачков уплотнения рассмотрим на примере
обтекания сверхзвуковым потоком газа внутреннего тупого угла (вогнутой поверхности с изломом контура). Схема обтекания показана на рис. 8.7.
Газ, подойдя к угловой точке B, должен повернуться, чтобы продол-жать движение вдоль стенки BC. Начало поворота должно сопровождаться появлением первой характеристики BD, наклоненной под углом 0 , кото-рая отделяет невозмущенный набегающий поток от области поворота. По-следняя характеристика, появившаяся после завершения поворота, имела бы положение BE, характеризуемое углом 1 . При таком повороте потока расстояние между соседними линиями тока должно уменьшиться. При этом в соответствии с уравнением (7.61) при М>1 и dF<0 скорость будет уменьшаться. В результате получаем 01 VV , 01 MM , а, следовательно,
01 . Иначе говоря, получается (см. левую часть рис. 8.7), что послед-няя характеристика области поворота потока (BE) предшествует первой (BD). Поскольку такое течение невозможно, то в действительности вместо серии характеристик EBD образуется одна поверхность разрыва BF (см. правую часть рис. 8.7). Эта поверхность представляет собой фронт косого скачка уплотнения. Фронт образует с набегающим потоком угол 00 , который называют углом фронта скачка.
Пересекая поверхность разрыва, линия тока отклоняется от исходного
направления на угол , называемый углом отклонения, или углом поворо-та потока в скачке.
Рис. 8.7. Схема сверхзвукового обтекания внутреннего тупого угла
A B A B
C C
E D
V0, M0
V1, M1
F
V0, M0 V1, M1
141
При сверхзвуковом течении газа возможно образование и прямого скачка уплотнения. В отличие от косого прямой скачок ориентирован пер-пендикулярно линиям тока газа. Поток, преодолевая прямой скачок, со-храняет первоначальное направление движения, тогда как в косом скачке он отклоняется на угол (см. правую часть рис. 8.7). Скачки уплотнения, перемещающиеся в пространстве относительно наблюдателя, называют еще ударными волнами.
При переходе газа через поверхность разрыва (скачок уплотнения) его давление, температура и плотность увеличиваются, а скорость уменьшает-ся. Эти изменения происходят скачкообразно, и значения параметров по-тока в двух бесконечно близких друг к другу точках, разделенных поверх-ностью разрыва, отличаются на конечную величину.
При математическом моделировании процессов и теоретическом ана-лизе скачки уплотнения обычно полагают бесконечно тонкими. В действи-тельности толщина скачка конечна и составляет несколько длин свободно-го пробега молекул. Так для воздуха по оценкам Томаса [5] толщина скач-
ка составляет от 7107,1 до 8108 м при изменении числа M от 2 до 5. Поскольку толщина скачка пренебрежимо мала, то и путь, проходи-
мый газом при его пересечении, также пренебрежимо мал. Поэтому пре-небрежимо малыми будут механическая работа, количества движения и теплоты, которыми газ обменивается с окружающей средой при прохож-дении скачка. Таким образом, течение газа при переходе поверхности раз-рыва (скачка уплотнения) можно считать энергоизолированным.
8.4. Изменение параметров потока при прохождении прямого скачка уплотнения Установим сначала связь между скоростями потока до и после прямо-
го скачка уплотнения. С этой целью воспользуемся уравнением сохране-ния количества движения потока при пересечении скачка
22
222212
1111 FVFpFVFp . (8.30) Здесь F – площадь поперечного сечения потока; нижний индекс 1 от-
носится к параметрам перед скачком; 2 – к параметрам после скачка. Из-за малой толщины скачка допустимо принять 21 FF . Тогда урав-
нение постоянства расхода газа до и после скачка (уравнения неразрывно-сти) можно представить в виде
2211 VV . (8.31) С учетом (8.31) уравнение (8.30) запишем в виде
2122211112 VVVVVVpp . (8.32) Из (8.32) получаем
142
12211
2211
2
121112 11
VVVV
V
VVVpp (8.33)
или
12
1221
ppVV . (8.34)
Из уравнения (7.32) с учетом (7.19) получаем 222
2
1
2
1V
ka
kpka кр
. (8.35)
С помощью (8.35) выражаем давления 1p и 2p
211
211 2
1
2
1V
k
ka
k
kp кр
; (8.36)
222
222 2
1
2
1V
k
ka
k
kp кр
. (8.37)
Из выражений (8.36), (8.37) найдем разность давлений 12 pp
211
22212
212 2
1
2
1VV
k
ka
k
kpp кр
. (8.38)
Преобразуем заключенный в скобки сомножитель в последнем сла-гаемом в правой части выражения (8.38)
2
11
1
2221
211
222 V
V
V
VVVVV
21211
21
2
1221
VVVV . (8.39)
Из (8.38), (8.39) получаем
212
12
12
2
1
2
1VV
k
ka
k
kppкр
. (8.40)
Используя (8.34), преобразуем (8.40) к виду 2
2121 2
1
2
1крa
k
kVV
k
kVV
. (8.41)
После алгебраических преобразований уравнения (8.41) получаем 2
21 крaVV (8.42)
или 121 . (8.43)
Выражения (8.42) и (8.43) называют кинематическими соотношения-ми для прямого скачка уплотнения. Они устанавливают связь между ско-ростью газа до и после прямого скачка уплотнения.
Из выражения (8.43) следует, что после прохождения прямого скачка сверхзвуковой поток ( 11 ) становится дозвуковым ( 12 ). Скорость за прямым скачком уплотнения не может быть меньше определенного мини-
143
мального значения, так как скорость перед скачком не может превышать
максимальную
1
1max1 k
k .
Установим далее связь между параметрами состояния газа перед и за скачком. Для этого сложим левые и правые части выражений (8.36) и (8.37)
222
21121
221 2
1
2
1VV
k
ka
k
kpp кр
2121212
2
1
2
1
VVk
ka
k
kкр . (8.44)
Из уравнения (8.44) получаем
2121212
21
21
2
1
2
1
2
1
2
1VV
k
kVV
k
kVV
k
ka
k
kppкр
12
1221
11
pp
kVV
k. (8.45)
В процессе преобразований здесь использованы кинематическое со-отношение (8.42) и выражение (8.34).
В результате их выражения (8.45) получаем
12
12
12
12
pp
kpp
. (8.46)
Выражение (8.46) называют динамическим соотношением. Разрешим динамическое соотношение (8.46) относительно 12
2
1
2
1
1
2
1
11
1
1
p
p
k
kp
p
k
k
(8.47)
или
1
1
1
2
2
11
2
11
p
p
k
kp
p
k
k
, (8.48)
где 21 ppp . Уравнения (8.47), (8.48) называют уравнениями ударной адиабаты,
или адиабаты Гюгонио. Заметим, что уравнения ударной адиабаты описывают не термодина-
мический процесс, а состояния газа за скачками уплотнения разной интен-сивности.
144
Изменение плотности газа при переходе через скачок можно выразить и через скорость перед скачком. Действительно, из (8.31) с учетом (8.42) получаем
2
21
2
1
1
2
крa
V
V
V
(8.49)
или 21
1
2
. (8.50)
Из уравнения (7.11) с учетом того, что течение газа при переходе че-рез скачок уплотнения допустимо считать энергоизолированным, следует
*2
*1 TT . (8.51) Используя (8.51), найдем отношение термодинамических температур
потока после и до скачка
2
1
21
1
1
1
2*
11
*22
1
2
1
11
1
1
11
1
k
k
k
k
T
T
T
T. (8.52)
Из (8.50) с учетом (1.2) получаем 21
1
1
2
2 p
RT
RT
p. (8.53)
После несложных преобразований равенства (8.53) найдем отношение давлений 12 pp
21
21
1
221
1
2
1
11
1
1
k
kk
k
T
T
p
p. (8.54)
Найдем далее коэффициент восстановления полного давления в скач-
ке уплотнения *1
*2 pp
1
21
121
21
212
11
1
1
2
2
1
1
2*1
*2
1
1
11
1
11
1
11
1
1
11
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
p
p
p
p
p
p
или
145
1
1
21
21
21 1
1
11
11
1
k
k
kkk
. (8.55)
Из выражения (8.55) следует, что при 11 коэффициент восстанов-
ления давления 1 , а при 11
max1
kk 0 . Иначе говоря, при
малых сверхзвуковых скоростях потери давления в прямом скачке сравни-тельно невелики, но при увеличении скорости они существенно возрастают.
8.5. Изменение параметров потока при прохождении косого скачка уплотнения В косых скачках уплотнения скорость изменяется не только по значе-
нию, но и по направлению. При анализе процессов в косом скачке удобно оперировать проекциями вектора скорости на нормаль n и касательную к фронту скачка BF (рис. 8.8).
Треугольники скоростей показаны в левой части рис. 8.8. Поток газа набегает на фронт косого скачка BF со скоростью 1V . Угол фронта скачка равен 1 . После поверхности разрыва поток движется со скоростью 2V , направленной под углом 2 к фронту.
Анализ нормальных и тангенциальных (относительно фронта скачка) составляющих скорости потока позволяет заключить, что только нормаль-ные составляющие при пересечении скачка претерпевают разрыв ( nn VV 12 ). Тангенциальные же составляющие скорости до и после скачка остаются неизменными ( 12 VV ).
Рис. 8.8. К анализу параметров течения при прохождении косого скачка
A B
C
F
1
2V1 V2
V1n V1
V2nV2
B
F
n
Pn
P1
P1
P1
P2
P2
P2
D
E
G
H
146
Для подтверждения этого заключения выделим вокруг участка косого скачка контрольную поверхность DEGH так, как это показано в правой части рис. 8.8. Проанализируем силы, действующие на эту поверхность.
Из схемы, показанной на рис. 8.8, очевидно, что проекция на ось ре-зультирующей силы давления будет равна нулю, так как силы, действую-щие на грани EG и DH, взаимно уравновешиваются. В то же время проек-ция результирующей силы давления nP на ось n будет отлична от нуля и направлена навстречу потоку. Таким образом, в соответствии с законом сохранения количества движения результирующая сила вызывает умень-шение секундного количества движения только в направлении нормали к фронту скачка. В тангенциальном же направлении количество движения сохраняется неизменным. Поэтому и происходит изменение только нор-мальной составляющей скорости.
Рассмотрим основные уравнения газодинамики применительно к ко-сому скачку уплотнения. Уравнение неразрывности получим, приравнивая массовые расходы газа до и после скачка, приходящиеся на единицу пло-щади его фронта
nn VV 2211 . (8.56) Уравнение количества движения запишем в проекции на координат-
ную ось n (рис. 8.8), поскольку вдоль оси изменений количества движе-ния не происходит
nnnnnn VVVVVVpp 2122211112 . (8.57) Равенство (8.51) остается справедливым и для косого скачка. С учетом разложения вектора скорости V на составляющие nV и V
его можно записать в виде
*2
22
22
21
21
1 2222T
c
V
c
VT
c
V
c
VT
pp
n
pp
n . (8.58)
С учетом равенства 21 VV из (8.58) получаем
*2
22
21
1 22 np
n
p
n Tc
VT
c
VT , (8.59)
где p
nn c
VTT
2
2* – температура частичного торможения.
Таким образом, для косого скачка уплотнения одинаково справедливы уравнения энергии, записанные как в форме (8.58), так и в форме (8.59).
Температура частичного торможения *nT определяет так называемую
критическую скорость косого скачка nкрa
*
12
nnкр RTk
ka
. (8.60)
147
Критическая скорость косого скачка nкрa связана с критической ско-
ростью крa соотношением
1
2
1
21
2
1
2 22**22
k
kRV
T
k
kRV
Tk
kRTT
k
kRaa n
nnкркр
222
1
1
1
1V
k
kVV
k
kn
. (8.61)
При получении (8.61) использовались соотношения (7.38). Из (8.61) получаем
222
1
1V
k
kaa крnкр
. (8.62)
Вывод кинематического соотношения для косого скачка уплотнения производится так же, как и для скачка прямого, только вместо исходных уравнений (8.30), (8.31) берутся уравнения (8.57) и (8.56). Из сопоставле-ния выражений (8.30) и (8.57), а также (8.31) и (8.56) видно, что они отли-чаются только тем, что вместо полных значений скорости, берутся значе-ния ее нормальной составляющей. Поэтому выражение (8.34) для косого скачка уплотнения примет вид
12
1221
ppVV nn . (8.63)
Выражение (8.35) для рассматриваемых условий можно представить в форме
222222
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1V
kV
ka
kV
ka
ka nкркр
222
2
1
1
1
2
1nкр V
kV
k
ka
k
. (8.64)
С учетом (8.62) выражение (8.64) преобразуется к виду 222
2
1
2
1nnкр V
ka
ka
. (8.65)
Выражения (8.36), (8.37) с учетом (8.65) примут вид 2
112
11 2
1
2
1nnкр V
k
ka
k
kp
; (8.66)
222
222 2
1
2
1nnкр V
k
ka
k
kp
. (8.67)
После алгебраических преобразований, аналогичных тем, которые проводились при выводе уравнения (8.42), получаем кинематического со-отношения для косого скачка
221 nкрnn aVV . (8.68)
148
или 121 nn , (8.69)
где nкрnn aV .
Заметим, что безразмерная скорость n не является проекцией векто-ра безразмерной скорости на нормаль к фронту скачка. Так безразмер-ные скорости n1 и 1 связаны соотношением
122
1
122
1
122
12
122
1
22
122
12
212
1cos
1
11
sin
cos1
1sin
1
1sin
k
kV
k
ka
V
Vk
ka
V
a
V
кркрnкр
nn
или
122
1
111
cos1
11
sin
k
kn . (8.69΄)
Из анализа кинематического соотношения для косого скачка (8.69) и его сопоставления с аналогичным соотношением (8.43) для прямого скачка следует, что за косым скачком уплотнения возможно как дозвуковое, так и сверхзвуковое течение.
Динамическое соотношение (8.46) не содержит параметров, связан-ных с углом фронта скачка, оно справедливо как для прямых, так и для ко-сых скачков.
Для получения других зависимостей можно воспользоваться общим правилом перехода от формул прямого к формулам косого скачка.
Для того чтобы получить расчетные формулы для косого скачка, не-обходимо в соответствующих формулах прямого скачка заменить 1V на
nV1 ; 2V на nV2 ; крa на nкрa ; 1 на n1 ; 2 на n2 .
Применяя указанное правило к формулам (8.50), (8.52), (8.54), (8.55), получим соответствующие расчетные зависимости для косого скачка
21
1
2n
; (8.70)
21
21
1
2
1
11
1
1
11
n
n
k
k
k
k
T
T
; (8.71)
21
21
1
2
1
11
1
1
n
n
k
kk
k
p
p
; (8.72)
149
1
1
21
21
21*
1
*2
1
1
11
1
11
k
n
n
n
k
kk
k
p
p
. (8.73)
Из зависимостей (8.70) – (8.73) следует, что при одинаковых скоро-стях набегающего потока изменение параметров состояния газа в косом скачке происходит менее интенсивно, чем в прямом.
Установим далее зависимость между углами в косом скачке уплотне-ния. Из анализа треугольников скоростей в левой части рис. 8.8 следует
21
21
2
1
2
1
1
2
2
1
2 1
tg
tg
nn
nкр
n
n
n
n
V
a
V
V
V
VV
V
(8.74)
или 2112 tgtg n . (8.75)
Между углами 1 , 2 и существует очевидная (см. рис. 8.8) связь
21 . (8.76) Из анализа выражений (8.75), (8.76) следует, что для каждой пары
значений и 1 (или 1M ) в общем случае может существовать два значе-ния угла 1 , соответствующие двум типам возникающих скачков. Боль-шему значению угла 1 соответствуют так называемые сильные скачки, а меньшему – слабые скачки. Исследования показывают, что более устойчи-выми являются слабые скачки, и их реализация является более вероятной. Для реализации сильных скачков необходимы особые условия.
150
9. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ПОТОКА. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Отличительной особенностью вязкого течения является появление ка-
сательных напряжений в потоке с неоднородным полем скорости и на об-текаемой поверхности. Следствием вязкости является возникновение гид-равлического сопротивления трения при движении жидкости в каналах и при внешнем обтекании тел. Гидравлическое сопротивление обусловлива-ет энергетические затраты, необходимые для его преодоления, и приводит к потерям полного давления при внутреннем течении.
Эффективным инструментом анализа вязкого течения и сопротивле-ния трения является теория пограничного слоя. Отсутствие в настоящее время полной и строгой теории турбулентного переноса делает необходи-мым широкое привлечение экспериментальной информации при построе-нии методов расчета течения и гидравлического сопротивления турбу-лентных потоков.
9.1. Математическая формулировка задачи расчета пограничного слоя Математическая формулировка задачи включает систему уравнений
пограничного слоя и соответствующие условия однозначности. Система дифференциальных уравнений динамического пограничного слоя пред-ставлена в пункте 3.5.1. Она включает в себя дифференциальное уравнение движения, записанное в декартовой (3.56) или цилиндрической (3.57) сис-темах координат, и дифференциальное уравнение неразрывности соответ-ственно в виде (3.12) или (3.18). При анализе неизотермического течения необходимо дополнительно использовать дифференциальное уравнение теплового пограничного слоя, которое для декартовой системы координат можно представить в форме (3.98). Этими уравнениями описывается дви-жение вязкого потока вблизи обтекаемой поверхности (в пристеночном пограничном слое), в том числе внутреннее течение в каналах, а также те-чение в струях.
Конкретные условия течения учитываются соответствующей форму-лировкой условий однозначности.
При расчетах турбулентного пограничного слоя система уравнений пограничного слоя дополняется уравнениями или соотношениями, описы-вающими выбранную модель турбулентного переноса. При расчете сжи-маемых потоков для определения плотности используется уравнение со-стояния (часто уравнение состояния идеального газа (1.2)).
Особенности течения в пристеночном пограничном слое и в погра-ничном слое струи учитываются соответствующим выбором системы ко-ординат, модели турбулентного переноса и формулировкой граничных ус-ловий. При расчетах пристеночного пограничного слоя координатную ось
151
x полагают направленной вдоль обтекаемой поверхности, а при расчете струи – совпадающей с осью струи. За начало отсчета оси y при анализе пристеночного пограничного слоя принимают обтекаемую поверхность, а при анализе струи – ее ось.
Систему уравнений для двумерного пограничного слоя представим в виде: уравнение движения
vТn
ns
dx
dp
y
ur
yry
u
x
uu
u
1v ; (9.1)
уравнение энергии
y
Tr
yry
T
x
Tu
Tc Т
nnp
1
v
vТ qdxdp
uyu
2
; (9.2)
уравнение неразрывности
0
1
y
vr
x
ur
r
nn
n
. (9.3)
Здесь n – параметр, численно равный 1 для осесимметричного и 0 для плоского пограничного слоя; vs , vq – члены, характеризующие интенсив-ность внутренних источников количества движения и теплоты соответст-венно.
Внутренние источники присущи, например, химически реагирующе-му и дисперсному пограничным слоям. Методика определения vs , vq за-висит от природы внутренних источников. Так для дисперсного погранич-ного слоя внутренние источники могут быть выражены приближенными зависимостями
TTd
quuuud
cs s
sв
ssvss
sв
fssv
6
;75,0
, (9.4)
где s , fsc – коэффициент теплоотдачи и коэффициент сопротивления
конденсированных частиц дисперсной среды; s – плотность конденсиро-ванной фазы (масса конденсированных частиц, в единице объема среды);
в – плотность вещества частиц; su , sT – скорость и температура частиц. Физические условия однозначности:
RT
p ; (9.5 а)
T ; (9.5 б) TTccT pp ; ; . (9.6)
152
Плотность газового потока выражается уравнением состояния (9.5 а), а для капельной жидкости используется зависимость вида (9.5 б). Зависимости теплофизических свойств от температуры (9.6) считаются за-данными. При расчете пограничного слоя в потоке с постоянным составом зависимости (9.5 б), (9.6) находят по справочным данным. Для потока с переменным составом теплофизические свойства, зависящие не только от температуры, но и от состава смеси, определяются на основе термодина-мического расчета состава и свойств по известным методам.
Начальные условия: xppyxTTyxuu 000 ;, ;, :0 . (9.7)
Граничные условия для пристеночного пограничного слоя: ppyTTyuux ;, ;, 0; :0 ; (9.8)
, ;, ;0 :0 xTTxuy ww vv ; (9.9 a)
,
;, ;0 :0xq
y
Txuy w
w
vv ; (9.9 б)
0;0:
y
T
y
uy . (9.10)
Граничные условия (9.8), (9.10) остаются справедливыми и для струи (с учетом особенностей выбора системы координат).
Граничные условия для струи при 0y (на ее оси) принимают вид:
0;0 ;0 :0
y
T
y
uy v . (9.9 в)
Условие y трактуется как область за пределами пограничного слоя ( ,y где δ – толщина пограничного слоя). Индекс w определяет значения параметров на поверхности стенки (условие 0wv имеет место на проницаемой поверхности); – за пределами пограничного слоя; 0 – в начальный момент времени.
Граничные условия для уравнения энергии (9.2) записаны в двух фор-мах: в виде (9.9 а) и (9.9 б). Условия в форме (9.9 а) и (9.9 б) используются при расчете пограничного слоя на охлаждаемой (или подогреваемой) по-верхности, в результате которого могут быть, например, определены ко-эффициенты теплоотдачи. Условие (9.9 б) используется также при расчете пограничного слоя на теплоизолированной (адиабатной) поверхности (в этом случае 0 ;0 yTqw ). В результате могут быть определены адиабатная температура стенки и эффективность газовой (или тепловой) завесы в различных сечениях.
Давление p , а также скорость u и температура T за пределами по-граничного слоя определяются в результате расчета невязкого идеального течения в ядре потока. Поэтому в задаче расчета пограничного слоя эти
153
параметры считаются известными для каждого сечения x и каждого мо-мента времени .
9.2. Численный метод решения системы дифференциальных уравнений пограничного слоя Аналитического решения системы дифференциальных уравнений по-
граничного слоя не получено, поэтому для ее интегрирования применяют-ся численные методы.
Анализ различных разностных схем для решения системы уравнений пограничного слоя показывает, что наиболее удобными являются неявные шеститочечные схемы. Для составления такой схемы на координатной плоскости x, y выбираются основная и две вспомогательные сетки.
Координаты узлов основной сетки ji yx , определяются соотношениями
.; yjyxix ji (9.11)
Координаты узлов вспомогательных сеток 2
1,j
i yx и ji
yx ,2
1
рассчиты-
ваются по выражениям
;2
1;
2
1 yjyxixj
i
.;
2
1
2
1 yjyxix ji
(9.12)
Здесь i, j – целые числа (0, 1, 2, ...); yx , – шаги сетки вдоль коорди-нат x и y соответственно (в общем случае могут быть переменными по толщине пограничного слоя и от сечения к сечению).
Пересчет параметров пограничного слоя с узлов основной сетки на узлы вспомогательных сеток при необходимости осуществляется путем линейной интерполяции.
Любое из уравнений вида (9.1), (9.2), а также уравнение для диффузи-онного пограничного слоя, пограничного слоя для кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации можно представить в единой форме
hgfy
fm
yd
y
fc
x
fb
fa
. (9.13)
Здесь f – функция, которой может быть придан смысл любой из ве-личин: скорости u , температуры T , кинетической энергии турбулентности e , скорости ее диссипации и т. п.; hgmdcba ,,,,,, – коэффициенты, ко-торым может быть придан смысл коэффициентов в соответствующих уравнениях.
Значения любого из параметров hgmdcbaf ,,,,,,, в узлах основной или вспомогательных сеток в момент времени обозначим следую-щим образом: ;;; ,2121,, jijiji fff 21,211,1 ; jiji ff и т. п.; значения
154
параметра f в расчетных сечениях i и значения координаты y в расчет-ных сечениях j обозначают соответствующими индексами (например,
ji yf ;, ). Значения тех же параметров в момент времени обозначим ана-
логично, но со штрихом ( jijiji fff ,2121,, ;; и т. п.).
Используя метод разностной аппроксимации производных примени-тельно к уравнениям (9.1) – (9.3), получают их разностную схему. Так, на-пример, разностный аналог (разностная схема) уравнения (9.13) имеет вид
1
,1,,21
,1,1,21 2
,,
ii
jijiji
ffjijiji xx
ffb
ffa jiji
11
1,11,11,1,,21
1
jj
jijijijiji yy
ffsffsc
jj
jijijijiji
jj
ji
yy
ffsffsm
yy
d
1
,11,1,1,21,21
11
,21 12
1
1,1,11,,21,21
1
jj
jijijijiji yy
ffsffsm
jijiji
ji hff
g ,21,1,
,21 2
. (9.14)
Здесь s – параметр усреднения, выбираемый из диапазона 0,15,0 . Разностный аналог уравнения неразрывности (9.3) представим в виде
n
jijinji
ji rvr
v 1,211,21,21
,211
njiji
njiji
njiji
ii
jjrururu
xx
yy1,1,,1,1,,
1
1
2
1,,1,
21,211,11,1 4
1jijiji
nyyjin
jijijj
rru
.1,11,,1,1,1
jijijijiji (9.15)
Разностное уравнение (9.14) представим в более компактной форме
jjijjijjij fff 1,,1, , (9.16)
где коэффициенты jjjj ,,, определяются из условия тождественно-
сти выражений (9.14), (9.16).
155
1
21,21,21,21
11
2
jj
jijiji
jjj yy
mdc
yy
s ; (9.17)
1
,21,21
2 ii
jijij xx
ba
2
2 ,21
1
21,21
1
21,21
11
,21 ji
jj
ji
jj
ji
jj
ji g
yy
m
yy
m
yy
ds
; (9.18)
jj
jijiji
jjj yy
mdc
yy
s
1
21,21,21,21
11
2 ; (9.19)
jijiji
j ffa
,1,,21
2
1
21,21,21,21
11
1,1 21
jj
jijiji
jj
ji
yy
mdc
yy
fs
1
21,21
1
21,21
11
,21
1
,21,1
12
jj
ji
jj
ji
jj
ji
ii
jiji yy
m
yy
m
yy
ds
xx
bf
jj
jijiji
jj
jijiji
yy
mdc
yy
fsag
1
21,21,21,21
11
1,1,21,21 21
22
jih ,21 . (9.20)
Система алгебраических уравнений (9.16) совместно с уравнениями (9.15), а также с уравнениями, определяющими значения коэффициентов турбулентного переноса ТТ , (для турбулентного режима течения), и выражениями, определяющими зависимость теплофизических свойств
pс,,, от параметров состояния, решается методом прогонки. При
этом решение уравнений (9.16) ищется в форме
jjijji BfAf 1,, , (9.21)
где jj BA , – прогоночные коэффициенты.
Из выражения (9.21) следует
1,11, jjijji BfAf . (9.22)
Подставив в уравнение (9.16) вместо величины 1, jif ее значение, вы-
раженное зависимостью (9.22), получим jjijjijjjijj ffBfA 1,,1,1 . (9.23)
Из условия тождественности выражений (9.21), (9.23) получаются со-отношения для определения прогоночных коэффициентов
156
jjj
jjjj
jjj
jj A
BB
AA
1
1
1; . (9.24)
Расчет структуры пограничного слоя (распределения его параметров в сечениях) осуществляется последовательно для моментов времени
3,2, и т. д. При этом значения функций ,f во всех узловых точках в момент времени 0 определяются из соответствующих началь-ных условий (в частности, из условий (9.7)). Для каждого момента времени расчет выполняется последовательно, начиная с сечения 2i , при этом все необходимые параметры потока в предыдущем сечении 1i находятся из граничных условий для 0x (например, из условий (9.8)]. Первона-чально по выражениям (9.24) рассчитываются прогоночные коэффициенты
jj BA , во всех внутренних узлах 12 Mj , где M – общее число уз-
лов поперек полосы интегрирования в направлении координаты y . Значения прогоночных коэффициентов 11, BA при 1j находятся из
граничных условий для 0y (из условий (9.9 а), (9.9 б), или (9.9 в)). Граничные условия для 0y , как было сказано выше, могут быть за-
даны в разных формах. Наибольшее распространение получили следую-щие формы:
wffy ;0 ; (9.25)
wy
f
y
fy
;0 . (9.26)
Для граничных условий вида (9.25) прогоночные коэффициенты
11, BA , как это следует из выражения (9.21), принимают значения
wfBA 11 ;0 . (9.27) Так, например, коэффициенты uu BA 11 , для скорости u коэффициен-
ты TT BA 11 , для температуры T , соответствующие граничным условиям (9.9 a), принимают значения
011 uu BA ; ,;0 11 xTBA wTT . (9.28) Для граничных условий вида (9.26) коэффициенты 11, BA принимают
значения wyfyBA 211 ;1 . (9.29)
В частности, прогоночные коэффициенты TT BA 11 , для температуры T , соответствующие граничному условию (9.9 б), принимают значения
/,;1 211 xqyBA wTT . (9.30) При расчете теплового пограничного слоя на теплоизолированной по-
верхности из (9.30) получаем 0;1 11 TT BA . (9.31)
При расчете струи (граничные условия (9.9 в)) коэффициенты ,1uA
157
uB1 , TT BA 11 , принимают значения 111 Tu AA ; 011 Tu BB . (9.32)
При расчете по выражениям (9.17) – (9.20) величин jjjj ,,, ,
необходимых для определения пригоночных коэффициентов в узловых точках 12 Mj , приходится задаваться еще не вычисленными зна-чениями некоторых параметров. Эти значения в первом приближении принимаются равными их известным значениям в предыдущем сечении, а в последующих приближениях уточняются. Процедуру вычисления коэф-фициентов jj BA , с использованием соотношений (9.24) называют прямой
прогонкой. В дальнейшем по уравнению (9.22) во всех узловых точках
12 Mj (если граничные условия заданы в форме (9.25)) или в точ-ках 11 Mj (если граничные условия заданы в форме (9.26)) сечения i находятся значения параметров jif , . При этом расчет начинается с точки
1 Mj . Значение My выбирается таким образом, чтобы оно было заве-домо больше максимальной толщины пограничных слоев в исследуемом диапазоне изменения величины x , поэтому можно записать равенство
,, iMi ff . Значение ,if определяется из решения уравнения (9.13), за-
писанного для внешней границы пограничного слоя, где выполняются гра-ничные условия вида (9.10),
hgfx
fb
fa
. (9.33)
Процедуру определения величины jif , по выражению (9.21) называ-
ют обратной прогонкой. После расчета величины jif , во всех узловых точках рассматриваемо-
го сечения по выражению (9.15) определяется плотность массового потока v и поперечная скорость v . Расчет по выражению (9.15) начинается с уз-
ла 2j , при этом значение jiv ,21 находится из граничных условий
(9.9 а), (9.9 б) или (9.9 в) для скорости v . Указанные операции в рассматриваемом сечении повторяются до по-
лучения требуемой точности (до тех пор, пока разница параметров в одной и той же точке в предыдущем и последующем приближениях, отнесенная к одному из этих параметров, ни окажется меньше наперед заданной малой величины).
После расчета с установленной точностью всех параметров в рассмат-риваемом сечении i осуществляется переход к следующему расчетному сечению 1i и т. д. После расчета пограничного слоя на заданном отрезке L для момента времени все повторяется для следующего временного слоя и т. д. до достижения заданного момента р .
158
Остановимся на вопросах выбора шагов yx ,, разностной сетки. Для рассмотренной разностной схемы на шаг не накладывается иных ограничений, кроме ограничений по условиям точности. Точность реше-ния определяется путем сопоставления результатов, полученных при раз-ных значениях шагов сетки.
Более сложен выбор шагов yx , . Из-за резкого изменения по тол-щине пограничного слоя поперечных градиентов скорости, температуры и других параметров потока использование сетки с постоянным шагом y приводит к необходимости задания чрезвычайно большого числа узлов поперек полосы интегрирования. При этом трудоемкость расчетов и по-требные затраты машинного времени существенно возрастают.
При использовании сеток неравномерных по толщине пограничного слоя открывается возможность обеспечения достаточной точности при сравнительно небольшом числе узлов поперек полосы интегрирования (при расчете турбулентного пограничного слоя как минимум 53 узлов должны располагаться в пределах вязкого подслоя). Однако неравномер-ные сетки усложняют проблему обеспечения устойчивости решения.
На основании серии методических расчетов выявлено соотношение шагов сетки в поперечном направлении, которое применительно к расчету пристеночного пограничного слоя с граничными условиями (9.9 а) близко к оптимальному: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 60,..., 60. Здесь за единицу принят минимальный шаг сетки около обтекаемой поверхно-сти.
На шаг интегрирования x в продольном направлении в общем слу-чае накладываются ограничения по условиям устойчивости разностной схемы. Проанализируем эти условия. Представим уравнение (9.13) в форме
fFGx
f
, (9.34)
где величины G и F определяются выражениями
hy
fm
yd
y
fc
fa
gF
b
gG
1
; . (9.35)
Уравнение (9.34) запишем в разностной форме
.,21,2121,,1 xfFGff jijiijiji (9.36)
Из соотношения (9.36) следует, что функция f в процессе решения будет оставаться ограниченной по значению, а само решение устойчивым при выполнении одного из следующих условий
;0,21 jiG (9.37)
jiGx ,212 . (9.38)
Условие (9.38) накладывает ограничение на шаг x с верхней сторо-
159
ны. На этот шаг имеются ограничения и нижней стороны. Действительно, в процессе расчета пограничного слоя уравнения вида (9.13) решаются со-вместно с уравнением (9.3). Разностный аналог уравнения (9.3) имеет вид (9.15). В правой части уравнения (9.15) перед суммой, заключенной в квадратные скобки, стоит сомножитель 11 iijj xxyy , представ-
ляющий собой соотношение между шагами сетки в поперечном и про-дольном направлениях. При использовании неравномерной в поперечном направлении сетки величина этого сомножителя по мере увеличения коор-динаты y увеличивается, что способствует пропорциональному увеличе-нию погрешности округления при вычислении второго слагаемого в фи-гурных скобках. В свою очередь погрешность округления при вычислении сомножителя, заключенного в квадратные скобки, сама по себе имеет тен-денцию к возрастанию во внешней части пограничного слоя из-за умень-шения поперечных градиентов параметров потока. Поэтому при достаточ-но малом шаге x эта погрешность умножается на большой коэффициент и может увеличиться настолько, что приведет к потере устойчивости ре-шения. Мероприятия по устранению такой неустойчивости сводятся к уве-личению шага x (но не выходя за пределы, установленные соотношением (9.38)), уменьшению степени неравномерности и абсолютных размеров сетки в поперечном направлении.
При численном интегрировании системы уравнений пограничного слоя на адиабатной поверхности с граничными условиями (9.9 б) при
0wq возникают дополнительные особенности. Они обусловлены тем, что в пристенной области оказываются существенно различными попереч-ные градиенты скорости и температуры. Большие градиенты скорости вблизи стенки требуют использования мелкой сетки, чтобы уменьшить по-грешность аппроксимации дифференциальных операторов разностными, а малые градиенты температуры одновременно требуют использования крупной сетки, чтобы уменьшить погрешности округления при вычисле-нии производных по поперечной координате.
При интегрировании системы уравнений пограничного слоя примени-тельно к струе (с граничными условиями (9.9 в)) для уменьшения погреш-ности округления в приосевой области, где поперечные градиенты скоро-сти и температуры малы, следует для этой области выбирать большие ша-ги интегрирования y по сравнению с пристеночным пограничным слоем.
В заключение отметим, что рассмотренный метод решения задач не-стационарного пограничного слоя автоматически сводится к решению ста-ционарных задач, если параметр a , входящий в уравнение (9.13) и в его разностный аналог, и производную в уравнении (9.3) задать равны-ми 0.
160
9.3. Интегральные уравнения пограничного слоя Дифференциальные уравнения пограничного слоя остаются достаточ-
но сложными для анализа, а их численное решение является трудоемким и требует использования компьютерной техники. Для инженерных прило-жений широкое применение нашли более простые для анализа интеграль-ные уравнения пограничного слоя. Упрощение интегральных уравнений достигается за счет того, что они характеризуют не каждую отдельную частицу жидкости, а сечение пограничного слоя в целом. Интегральные уравнения можно получить из дифференциальных уравнений, почленно интегрируя их по сечению пограничного слоя.
Получим интегральное уравнение движения для плоского стационар-ного течения жидкости без внутренних источников количества движения около непроницаемой поверхности.
Дифференциальное уравнение пограничного слоя для рассматривае-мых условий можно представить в виде
ydx
dp
y
u
x
uu
v , (9.39)
где – касательное напряжение в анализируемой точке. На внешней границе пограничного слоя (и за его пределами), где вы-
полняется условие 0 yu , уравнение (9.39) принимает вид
dx
dp
dx
duu . (9.40)
С учетом (9.40) уравнение (9.39) можно представить в форме
ydx
duu
y
u
x
uu
v . (9.41)
Проинтегрируем уравнение (9.41) по координате y от 0y (поверх-ность стенки) до y
dyy
dyx
uudy
y
udy
x
uu
0000
v . (9.42)
Выразим массовую плотность тока в поперечном направлении v из уравнения неразрывности (3.16), записанного для двумерного течения
dy
x
uy
0
v . (9.43)
Подставив (9.43) в (9.42), после преобразований получаем
wdyu
uu
dx
dudy
u
u
u
uu
dx
d
00
2 11 , (9.44)
где w – касательное напряжение на поверхности стенки. Уравнение (9.44) можно представить в более компактном виде
161
2
2****
fc
dx
dHf
dxd
. (9.45)
При записи уравнения (9.45) использованы следующие обозначения:
dx
du
uf
**;
**
*
H ; 2
2
uc w
f
; (9.46)
dyuu
0
* 1 ; dy
uu
uu
0
** 1 . (9.47)
Здесь f – параметр продольного градиента давления; H – формпара-
метр пограничного слоя; fc – коэффициент сопротивления трения; * –
толщина вытеснения; ** – толщина потери импульса. Уравнение (9.45) может быть преобразовано к виду
lf
lc
fHxd
dRe
21Re
Re ** . (9.48)
Здесь **Re – число Рейнольдса, построенное по толщине потери им-пульса; lRe – критерий Рейнольдса, построенный по определяющему раз-меру l ; lxx – безразмерная координата.
**
**Re u
;
lul
Re . (9.49)
Уравнения (9.45) и (9.48) называют интегральными уравнениями ди-намического пограничного слоя, интегральными уравнениями движения пограничного слоя или интегральными соотношениями Кармана.
Заметим, что за пределами динамического пограничного слоя подын-тегральные выражения в соотношениях (9.44), (9.47) принимают нулевые значения, поэтому верхние пределы интегрирования в этих соотношениях без ущерба для точности можно уменьшить вплоть до значения, равного толщине динамического пограничного слоя .
Аналогично выводятся интегральные уравнения энергии пограничного слоя (интегральные уравнения теплового пограничного слоя)
St
******
dx
Td
Tdx
ud
udx
d ТТТ
. (9.50)
При записи уравнения (9.50) использованы следующие обозначения:
dyTT
TT
uu
w
wТ
0
** 1 ; (9.51)
wTTT . (9.52)
162
Здесь **Т – толщина потери энергии; T – температурный напор;
St – число Стантона; wT – температура обтекаемой поверхности. Уравнение (9.50) может быть преобразовано к виду
l
ТТxd
Td
Txd
dReSt
ReRe ****
. (9.53)
Здесь **ReT – число Рейнольдса, построенное по толщине потери энер-гии.
**
**Re ТТ
u . (9.54)
За пределами теплового пограничного слоя подынтегральное выраже-ние в соотношении (9.51) принимает нулевое значение, поэтому верхний предел интегрирования в этом соотношении без ущерба для точности можно уменьшить вплоть до значения, равного толщине теплового погра-ничного слоя Т .
Интегральные уравнения (9.45), (9.48), (9.50), (9.53) применимы для анализа как ламинарного, так и турбулентного пограничного слоя. Каждое из этих уравнений содержит несколько неизвестных. Так, уравнение (9.48)
содержит 4 неизвестных: fc , **Re , f , H . Для замыкания задачи расчета
пограничного слоя с использованием интегральных уравнений необходима дополнительная информация по профилям скорости и температуры в его сечениях. Наличие этих профилей позволяет в частности определить пара-метры f и H , а также установить зависимости коэффициента трения fc
от числа **Re и числа St от числа **ReT .
**1 ReFc f ; (9.55)
**2 ReSt ТF . (9.56)
Зависимость вида (9.55) называют законом трения, а вида (9.56) – за-коном теплообмена.
Профили скорости и температуры зависят от режима течения и струк-туры пограничного слоя. Консервативными к режиму течения являются профили касательных напряжений и тепловых потоков.
9.4. Структура турбулентного пристеночного пограничного слоя В пристеночном пограничном слое можно выделить две (двухслойная
модель течения) или три (трехслойная модель) характерных области, в ко-торых существенно различна интенсивность турбулентного переноса.
В непосредственной близости от поверхности турбулентные пуль-сации скорости интенсивно убывают по мере приближения к стенке.
163
При этом коэффициент турбулентного переноса количества движения Т оказывается много меньше динамического коэффициента вязкости жидко-сти ( Т ). Течение здесь подчиняется закономерностям, присущим ламинарному режиму. Эту область турбулентного пограничного слоя на-зывают вязким подслоем. Толщина вязкого подслоя составляет порядка 1% толщины пограничного слоя, но изменение скорости в нем составляет по-рядка 50% скорости за пределами пограничного слоя. Поэтому течение в вязком подслое характеризуется большими поперечными градиентами скорости.
Следует заметить, что турбулентные пульсации периодически прони-кают в вязкий подслой из внешней области. Это приводит к пульсациям толщины вязкого подслоя и касательного напряжения трения на поверхно-сти стенки. Поэтому, строго говоря, ламинарным течение в вязком подслое не является.
Во внешней части пограничного слоя, составляющей порядка 80% его толщины, течение характеризуется высокой интенсивностью турбулентно-го переноса ( Т ) и подчиняется закономерностям, присущим турбу-лентному режиму. Эту область пограничного слоя называют турбулент-ным ядром.
Между вязким подслоем и турбулентным ядром находится переходная (буферная) область, занимающая от 10 до 20% толщины пограничного слоя. В буферной области коэффициент турбулентного переноса количест-ва движения сопоставим по значению с динамическим коэффициентом вязкости жидкости ( Т ). В этой области происходит основная генера-ция турбулентной энергии, и интенсивность турбулентного движения дос-тигает максимальных значений (см. рис. 5.6). Периодически возникающие в буферной области вихревые структуры выбрасываются в турбулентное ядро пограничного слоя.
9.5. Профили касательного напряжения и скорости в пристеночном пограничном слое В практических задачах часто используют предложенную К. К. Федя-
евским [11] аппроксимацию профиля касательных напряжений в погра-ничном слое в виде полинома
33
2210 yayayaa , (9.57)
где w ; yy . Коэффициенты полинома ,,,, 3210 aaaa определяются из граничных
условий на обтекаемой поверхности и на внешней границе пограничного слоя. Степень полинома зависит от количества используемых граничных условий.
164
На непроницаемой поверхности ( 0y ) можно записать следующие условия:
1 ;
y; 0
2
2
y
, (9.58)
где dxdp
w .
Второе условие (9.58) следует из уравнения (9.39), а третье получается дифференцированием уравнения (9.39).
На внешней границе пограничного слоя ( 1y ) выполняются условия
0 ; 0
y
. (9.59)
Второе условие (9.59) отражает требование плавности профиля вбли-зи внешней границы пограничного слоя.
Используя все три условия (9.58) на обтекаемой поверхности и оба условия (3.59) на внешней границе пограничного слоя, получим профиль касательных напряжений в виде
yyyyy 211341 243 . (9.60) При безградиентном обтекании пластины ( 0 ) выражение (9.60)
принимает вид 43 341 yy . (9.61)
Используя два первых условия (9.58) при 0y и первое условие (9.59) при 1y , получаем более простые выражения для профилей напря-жений в градиентном и безградиентном потоках
yyy 11 2 ; (9.62) 21 y . (9.63)
Наиболее простые аппроксимации профилей напряжений получаются при использовании по одному (первому) условию на стенке (9.58) и на внешней границе пограничного слоя (9.59)
y 1 ; (9.64) 1 . (9.65)
По известным профилям касательных напряжений можно найти про-фили скорости в пограничном слое. Для ламинарного пограничного слоя из закона трения Ньютона (1.9) следует
dyu
. (9.66)
Найдем в качестве примера профиль скорости в пограничном слое пластины для изотермического течения (в этом случае const ), восполь-зовавшись профилем напряжений в виде зависимости (9.63). Подставив
165
(9.63) в (9.66) и выполнив интегрирование, получим профиль скорости в ламинарном пограничном слое на пластине
35,05,1 yyu , (9.67) где uuu .
Определим далее профили скорости в характерных областях турбу-лентного пограничного слоя. Как и в случае ламинарного течения, анализ выполним применительно к обтеканию непроницаемой пластины безгра-диентным изотермическим потоком. В таких условиях для вязкого подслоя будет справедливо выражение (9.66).
Для вязкого подслоя (да и для внутренней части турбулентного ядра) можно воспользоваться профилем напряжений в простейшей форме (9.65). Подставив (9.65) в (9.66) и выполнив интегрирование, получим линейный профиль скорости в вязком подслое турбулентного пограничного слоя на пластине
. (9.68) Здесь , – универсальные координаты.
; vu y v , (9.69)
где wv – динамическая скорость.
Для турбулентного ядра касательное напряжение трения можно опре-делить по выражению, аналогичному закону трения Ньютона (1.9)
y
uТ
, (9.70)
где коэффициент турбулентного переноса количества движения Т выра-зим зависимостью (5.63).
Из (9.70) с учетом (5.63) и (5.64) получаем
dyy
u
æ
1. (9.71)
Подставив (9.65) в (9.71) и выполнив интегрирование, после преобра-зований получим логарифмический профиль скорости во внутренней части турбулентного ядра (для которой справедливо выражение (9.65)) погра-ничного слоя на пластине, который иногда называют законом стенки
lnæ1
С . (9.72)
Константы C и æ определяются из эксперимента ( 5,5C ; 0,4æ ). Подставив значения эмпирических констант в (9.72), окончательно полу-чаем
ln5,25,5 (9.73) или
lg75,55,5 . (9.74)
166
Профили скорости, представленные в универсальных координатах, показаны на рис. 9.1. Как видно, профиль скорости в универсальных коор-динатах консервативен к изменению числа Рейнольдса. Этим объясняется название координат и .
Из совместного решения уравнений (9.68), (9.74) определяется без-
размерная толщина вязкого подслоя 5,111 для двухслойной модели турбулентного пограничного слоя. В точке 5,111 (на внешней границе вязкого подслоя) происходит пересечение линий 1 и 3 на рис. 9.1.
Из рис. 9.1 видно, что в буферной области ( 705 ) опытные точки отклоняются от линий 1, 3 и группируются около линии 2, описываемой уравнением
ln505,3 (9.75) или
lg5,1105,3 . (9.76) Поэтому в трехслойной модели пограничного слоя профиль скорости
характеризуется уравнением (9.68) при 5 ; уравнением (9.75) или (9.76) при 705 ; уравнением (9.73) или (9.74) при 70 . Безразмерная тол-щина вязкого подслоя 1 в этом случае принимается равной 5 ( 51 ).
Логарифмический профиль (9.72) представляет собой огибающую ли-нию семейства степенных профилей
nA . (9.77)
Рис. 9.1. Профили скорости в пограничном слое: линия 1 – расчет по уравнению(9.68); 2 – по уравнению (9.76); 3 – (9.74); 4 – (9.78); 5 – (9.79); точки – эксперимен-тальные данные, полученные при разных числах Re (данные взяты из работы [6])
lg
1 2
3
4
5
167
Использование степенных профилей в ряде случаев оказывается удобным, поскольку позволяет получить более простые зависимости для расчета характеристик пограничного слоя. Однако коэффициенты A и n в степенном профиле зависят от числа Re. На рис. 9.1 линиями 4 и 5 пред-ставлены профили, рассчитанные по уравнениям
7174,8 ; (9.78) 1015,11 . (9.79)
Большим значениям числа Re соответствуют большие значения коэф-фициента A и меньшие значения коэффициента n.
Связь между коэффициентами A и n приведена в табл. 9.1.
Таблица 9.1 Связь между коэффициентами A и n
n 1/7 1/8 1/9 1/10 A 8,74 9,71 10,6 11,5
Иногда степенные профили используют в форме
ny
u
u
. (9.80)
Следует заметить, что во внешней части турбулентного ядра, состав-ляющей примерно 50% толщины пограничного слоя, закон стенки (9.72) не соблюдается. В этой области изменение скорости описывается другим универсальным (не зависящим от числа Re) законом, который называется законом дефекта скорости. Закон дефекта скорости выражается зависи-мостью вида
y
fuu
v. (9.81)
Во внешней части турбулентного ядра, как показывают результаты экспериментальных исследований Клебанова П. С., течение имеет переме-жающийся характер. При 5,0y коэффициент перемежаемости уменьшается от 1 до 0.
9.6. Структура струи Для большинства струй, реализуемых в технических устройствах или
в природных условиях, характерным является турбулентный режим тече-ния. Различают струи свободные и стесненные. Струя называется свобод-ной, если она не имеет препятствий для своего развития. Если на развитие струи оказывают влияние какие-либо предметы или поверхности, то струю называют стесненной. У изотермической струи температура во всем ей
168
объеме одинакова и равна температуре окружающей среды. Если темпера-тура в разных точках струи различна, то струя является неизотермической.
Схема развития свободной струи приведена на рис. 9.2. В струе выде-ляют два участка течения: начальный и основной (см. рис. 9.2). В пределах начального участка в поперечном сечении струи существует область c по-стоянной скоростью u0, равной скорости истечения потока из отверстия. На начальном участке скорость на оси струи остается неизменной. На ос-новном участке скорость струи претерпевает изменения как вдоль осевой координаты x, так и по радиусу r поперечного сечения.
За границу струи принимается геометрическое место точек, в которых скорость составляет наперед заданную малую величину (обычно 1% от значения скорости на оси). Угол расширения границ струи и длина на-чального участка x0 зависят от ее разновидности и формы канала, из кото-рого происходит истечение потока. Для свободной осесимметричной изо-термической турбулентной струи, истекающей из цилиндрического пат-рубка, угол расширения примерно равен 30°, а относительная длина на-чального участка 2,40 x , где dxx 00 ; d0 – диаметр выходного отвер-стия (d0 = 2r0).
Экспериментальные и расчетные исследования струй показывают, что
статическое давление во всем ее объеме практически постоянно и равно давлению окружающей среды. Важной особенностью струй является по-добие профилей скорости в поперечных сечениях потока на основном уча-стке. Это позволяет описать единой зависимостью профили скорости в любом поперечном сечении струи. Существует ряд полуэмпирических за-висимостей для профилей скорости на основном участке струи, предло-женных разными исследователями. Среди них можно выделить формулу Г. Шлихтинга
r0
Начальный участокНачальный участок Основной участок
rх
х u0 u0 u0u0
Рис. 9.2. Схема развития струи
r 0
r x
169
,1
25,1
xx r
r
u
u (9.82)
формулу Г. Рейхардта
,2
1exp
2
xx r
r
u
u (9.83)
формулу Г. Гертлера
.2
xx r
r
u
uch (9.84)
Здесь u , xu – скорость струи на расстоянии r от оси и на самой оси в рассматриваемом сечении соответственно; xr – радиус границы струи.
Величины xu , xr для рассматриваемых условий могут быть рассчита-ны по следующим эмпирическим зависимостям для начального и основно-го участков.
Для начального участка
;10
u
ux .5,010
xr
rx (9.85)
Для основного участка
;145,0076,0
48,0
0
xu
ux .5,099,00
xr
rx (9.86)
Здесь 0dxx – относительная координата. Длина пути смешения в пограничном слое струи может быть опреде-
лена соотношением ,18,0 l (9.87)
где δ – толщина пограничного слоя в струе, равная ее радиусу xr в рас-сматриваемом сечении (см. рис. 9.2).
9.7. Решение интегрального уравнения пограничного слоя Для решения интегрального уравнения пограничного слоя (9.48) или
(9.53) нужно установить зависимость (9.55) или (9.56). Кроме того, для
решения уравнения (9.48) необходимо определить толщину вытеснения *
и толщину потери импульса ** , что позволит выразить параметры f и H . При известных профилях скорости в пограничном слое условные
толщины * и ** определяются по формулам (9.47). Так, для ламинарно-го изотермичного ( const ) пограничного слоя на пластине, подставив профиль (9.67) в подынтегральные выражения (9.47), получаем
170
375,05,05,1111
0
31
0
* ydyyydu
; (9.88)
139,05,05,115,05,111
0
331
0
** ydyyyyyduu
; (9.89)
7,2139,0375,0
H . (9.90)
Для турбулентного изотермического пограничного на пластине, ис-пользуя степенной профиль (9.80) и приняв 71n , получаем
125,01
111
0
1
0
*
n
nydyydu n
; (9.91)
0972,0121
111
0
1
0
**
nn
nydyyyduu nn
; (9.92)
29,112
nH
. (9.93)
Остановимся далее на получении закона трения (9.55). Для ламинар-ного пограничного слоя последнее соотношение (9.46) с учетом закона трения Ньютона (1.9) представим в форме
022
22
y
wf y
u
uuc
. (9.94)
Определив производную 0 yyu с использованием профиля ско-
рости (9.67), получаем
uc f
3. (9.95)
Используя соотношение (9.89), преобразуем (9.95) к виду
Re
44,044,0
uc f . (9.96)
Закон трения (9.96), полученный для эталонных условий – безгради-ентного обтекания гладкой непроницаемой пластины изотермичным пото-ком, – называют стандартным законом трения. Коэффициент сопротив-ления трения, полученный для стандартных условий, снабжают нижним индексом 0 , а стандартный закон трения записывают в форме
1Re44,0
0
fc . (9.96΄)
Стандартный закон трения для турбулентного пограничного слоя, по-лученный на основе эксперимента, имеет вид
171
25,0Re0256,0
0
fc . (9.97)
Аналогично получают стандартные законы теплообмена для лами-нарного и турбулентного пограничных слоев
33,110 PrRe22,0St Т ; (9.98)
75,025,00 PrRe0128,0St Т . (9.99)
Законы трения и теплообмена для условий, отличных от эталонных, представляют в формах
0ff cc ; (9.100)
Т0StSt , (9.101) где , Т – функции, отражающие влияние усложняющих протекание процесса факторов (неизотермичности, сжимаемости, продольного гради-ента давления и пр.) на закон трения и теплообмена соответственно.
Функции , Т определяются экспериментально или теоретически. Представим стандартные законы трения и теплообмена в обобщенном
виде
mf Bc Re20
; (9.102)
cmТB PrReSt0 , (9.103)
где B , m , c – коэффициенты, зависящие от режима течения (для лами-нарного режима 22,0B ; 1m ; 33,1c ; для турбулентного –
0128,0B ; 25,0m ; 75,0c ). Совместное решение уравнений (9.48) и (9.102) применительно к
стандартным условиям позволяет получить выражение для расчета коэф-фициента сопротивления трения на непроницаемой пластине, обтекаемой потоком несжимаемой жидкости с постоянными свойствами
mmxf mBBc 1Re12 . (9.104)
Для ламинарного и турбулентного режимов течения уравнение (9.104) принимает соответственно формы
5,0Re33,02 xfc ; (9.105)
2,0Re029,02 xfc . (9.106)
Здесь xux Re – число Рейнольдса, построенное по продоль-ной координате, отсчитываемой от передней кромки пластины.
Совместное решение уравнений (9.53) и (9.103) применительно к стандартным условиям (для тепловой задачи стандартные условия допол-нительно предполагают соблюдение условия constT ) позволяет полу-
172
чить выражение для расчета числа Стантона на непроницаемой пластине, обтекаемой потоком несжимаемой жидкости с постоянными свойствами
mcmmxmBB 11 PrRe1St . (9.107)
Для ламинарного и турбулентного режимов течения уравнение (9.107) принимает соответственно формы
67,05,0 PrRe33,0St x ; (9.108) 6,02,0 PrRe029,0St x . (9.109)
Для сложных термогазодинамических условий течения при решении системы интегральных уравнений пограничного слоя совместно с закона-ми трения и теплообмена может возникнуть необходимость использования методов численного интегрирования.
V0, M0
173
10. СИЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОТОКА С ПОВЕРХНОСТЬЮ. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ На тело, обтекаемое жидкостью, в общем случае действуют силы,
обусловленные касательными напряжениями трения на поверхности и не-однородным распределением по этой поверхности давления потока. Со-ставляющую силы, направленную вдоль вектора скорости набегающего потока, называют силой лобового сопротивления, а нормальную к вектору скорости составляющую – подъемной силой, или силой Жуковского. Учи-тывая источники лобового сопротивления, в нем выделяют сопротивление трения и сопротивление давления. Сопротивление давления в значитель-ной степени определяется формой тела, поэтому его еще называют сопро-тивлением формы. Сила лобового сопротивления позволяет определить мощность нагнетателя или двигателя, необходимую для преодоления этого сопротивления.
При внутреннем течении жидкости в трубах и каналах мощность на-гнетателя затрачивается на преодоление гидравлического сопротивления, включающего сопротивление трения (так же, как и при внешнем обтека-нии) и местные сопротивления (вход в канал, выход из него, поворот, из-менение площади проходного сечения и т. п.).
10.1. Сопротивление пластины При продольном обтекании потоком бесконечно тонкой пластины ее
лобовое сопротивление обусловлено лишь сопротивлением трения. При двустороннем продольном обтекании пластины процессы на каждой сто-роне протекают одинаково, поэтому в дальнейшем анализируется обтека-ние только одной из ее сторон.
Схема обтекания пластины показана на рис. 10.1.
4
xкр1
xкр2
12
3
Рис. 10.1. Схема формирования пограничного слоя на пластине: 1 – ламинарныйрежим течения; 2 – переходный режим; 3 – турбулентный режим (турбулентное ядро); 4 – турбулентный режим (вязкий подслой)
174
В некоторой окрестности передней кромки пластины в пограничном слое реализуется ламинарный режим течения (см. рис. 10.1). Толщина ла-минарного пограничного слоя увеличивается по мере удаления от перед-ней кромки. При этом касательное напряжение трения на обтекаемой по-верхности w и коэффициент сопротивления трения fc уменьшаются.
Увеличение толщины ламинарного пограничного слоя приводит к уменьшению его устойчивости, и на некотором расстоянии от передней кромки 1крx начинается постепенный переход к турбулентному режиму
течения. Координате 1крx соответствует первое критическое число Рей-
нольдса 1кр1кр xuRe .
На участке переходного режима течения (между сечениями 1крx и
2крx ) наличие турбулентных пульсаций приводит к увеличению напряже-
ния w и коэффициента fc , которые достигают здесь своего максимально-
го значения. В сечении 2крx , которому соответствует второе критиче-
ское число Рейнольдса 2кр2кр xuRe , завершается переход к раз-
витому турбулентному режиму течения. На участке турбулентного течения вблизи стенки образуется вязкий подслой. Толщина турбулентного погра-ничного слоя вниз по течению увеличивается, а w и fc монотонно
уменьшаются. Зависимость коэффициента сопротивления трения от числа Рейнольд-
са, построенного по продольной координате, xRe , иллюстрирует рис. 10.2. Линии 1 и 2 на рис.10.2 определяются зависимостями (9.105) и (9.106)
соответственно. Положение линии 3 определяется критическими значе-
-3,2
-3
-2,8
-2,6
-2,4
-2,2
4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
Рис. 10.2. Коэффициент сопротивления трения пластины: 1 – ламинарный режим (расчет по уравнению (9.105)); 2 – турбулентный режим (расчет по уравнению (9.106)); 3 – переходный режим (вероятный характер зависимости)
lg cf
-2,4
-2,6
-2,8
-2,8
-2,8
4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 lg Rex
1
7,5
2
3A
B
175
ниями числа Рейнольдса 1крRe и 2крRe . При этом точка A, принадлежа-
щая линии 3, может перемещаться вдоль линии 1, а точка B – вдоль линии 2.
Значения 1крRe и 2крRe для пластины зависят от степени возмущен-
ности потока, которую можно характеризовать интенсивностью турбу-лентности Tu (см. подраздел 5.3), и от состояния обтекаемой поверхности.
Для гидравлически гладкой поверхности пластины с острой передней кромкой Драйденом [6] экспериментально исследовано влияние Tu на
1крRe и 2крRe (исследования выполнены для низкой турбулентности по-
тока 0,004Tu ). Результаты исследований представлены на рис. 10.3. При 0,005Tu экспериментальные и теоретические (на основе тео-
рии устойчивости ламинарного течения) исследования, результаты кото-рых приведены в работе [6], определяют значения 1крRe диапазоном
6100,135,0Re 1кр .
Интегрированием касательного напряжения трения w по площади обтекаемой поверхности F получают значение силы лобового сопротив-ления xP
F
f
F
wx dFcu
dFP00
2
2
. (10.1)
Мощность N , затрачиваемая на преодоление этой силы, определяется соотношением
uPN x . (10.2)
Rex 10-6
100Tu
5
4
3
2
1
0 0
0,08 0,16 0,24 0,360,300,200,120,04
Reкр1 Reкр2
Ламинарный режим
Переходный режим
Турбулентный режим
Рис. 10.3. Критические числа Рейнольдса
176
Заметим, что под F понимается общая площадь пластины, соприка-сающаяся с потоком, и при двухстороннем обтекании пластины эта пло-щадь определяется удвоением площади любой из ее поверхностей.
10.2. Лобовое сопротивление поперечно обтекаемого цилиндра и шара В отличие от пластины в лобовое сопротивление поперечно обтекае-
мого цилиндра или шара существенный вклад вносит сопротивление дав-ления. При обтекании шара дополнительные особенности обусловлены трехмерным характером течения.
На рис. 10.4 приведены полученные экспериментально (см. работу
[3]) графики распределения безразмерного давления 22 uppp вдоль образующей шара. Здесь p и p соответственно давление в анали-зируемой точке поверхности шара и в невозмущенном потоке; – угол, отсчитываемый от передней критической (лобовой) точки; duRe – число Рейнольдса, построенное по наружному диаметру d обтекаемого тела.
Анализ приведенных на рис. 10.4 результатов позволяет отметить ряд
характерных особенностей по сравнению с обтеканием пластины. В носо-вой части тела (от передней критической точки до точки M) пограничный слой формируется и развивается в условиях продольного (вдоль образую-щей поперечного сечения) отрицательного градиента давления, оказы-вающего влияние на критические значения числа Рейнольдса 1крRe и
Рис. 10.4. Изменение давления вдоль образующей шара:
1 – 51057,1Re ; 2 – 51051,2 ; 3 – 51098,2 ; 4 – 51024,4
o
p
0,8
40
1
0 80 120 160
0,4
0
-0,4
-0,8
-1,2
u
M S T
Z
ZT
T
T
M
M
M
M2
3
4
4
32
1
177
2крRe , на профили скорости и его толщину. В кормовой части тела (за
точкой M) пограничный слой подвергается воздействию продольного по-ложительного градиента давления, который деформирует профили скоро-сти и в конечном итоге приводит к отрыву пограничного слоя в точке S. За точкой отрыва давление вдоль образующей изменяется слабо. Увеличе-ние числа Re приводит к уменьшению давления в точке M и его увеличе-нию в области отрыва потока (за точкой Z). Таким образом, в анализируе-мых условиях лишь на части поверхности тела (от лобовой точки до точки Z) существует пограничный слой, а оставшаяся часть находится в области отрывного течения. Переход от ламинарного течения к турбулентному на-чинается в точке T, а области ламинарного, переходного и турбулентного режимов течения оказываются сопоставимыми по размеру.
Отмеченные особенности сводят к минимуму возможности чисто тео-ретического определения лобового сопротивления тел. Поэтому в настоя-щее время расчеты лобового сопротивления базируются на эксперимен-тальной информации.
В качестве характеристики силового взаимодействия потока с поверх-ностью тела используется коэффициент лобового сопротивления xc
Su
Pc x
x 2
2
, (10.3)
где S – площадь миделева сечения (площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную вектору скорости невозмущенного потока u ).
Сила лобового сопротивления xP определяется интегрированием по площади поверхности тела F проекции wx на ось x касательного напря-жения трения w и проекции xp давления p на ту же ось.
dFpPF
xwxx 0 . (10.4)
Коэффициент лобового сопротивления представляет собой обобщен-ную переменную, являющуюся числом подобия.
На рис. 10.5 приведены полученные экспериментально графики зави-симости коэффициентов лобового сопротивления цилиндра и шара от чис-ла Рейнольдса Re . Как видно, коэффициент xc существенно зависит от числа Re . При этом может быть выделено пять характерных областей из-менения этого коэффициента от числа Рейнольдса, которые на рис. 10.5 обозначены римскими цифрами (у цилиндра и шара одноименные области несколько смещены друг относительно друга). В области I, характеризуе-мой малыми числами Re , реализуется практически безотрывное обтекание тела с формированием ламинарного пограничного слоя. Основной вклад в лобовое сопротивление здесь вносит сопротивление трения.
178
С увеличением числа Re и переходом в область II в кормовой зоне образуются вихревые структуры, в частности за цилиндром при 60Re формируется вихревая дорожка Кармана. В этой области пограничный слой вплоть до точки отрыва остается ламинарным, темп снижения коэф-фициента лобового сопротивления при увеличении числа Re уменьшается, хотя сопротивление давления возрастает.
Область III характеризуется слабым возрастанием коэффициента xc ,
что объясняется интенсификацией вихревого движения в кормовой зоне. В этой области сопротивление трения в пограничном слое невелико. Ос-новную роль играет сопротивление давления. Здесь, как и в области II, по-граничный слой сохраняется ламинарным вплоть до точки отрыва Z.
При дальнейшем увеличении числа Re (область IV) происходит ста-
билизация угловой координаты z точки отрыва (для цилиндра oz 87 ).
В области IV, которую называют еще областью локальной автомодельно-сти по числу Рейнольдса, коэффициент лобового сопротивления xc изме-няется незначительно.
При дальнейшем увеличении числа Re (область V) в пограничном слое реализуется переход к турбулентному режиму течения. При этом ко-ордината z точки отрыва Z смещается в область больших углов (для
цилиндра oz 110 ). Это приводит к резкому снижению сопротивления
давления и общего лобового сопротивления. Явление резкого снижения коэффициента xc называют кризисом сопротивления.
Рис. 10.5. Зависимость коэффициента лобового сопротивления цилиндра (1) и шара (2) от числа Рейнольдса
cx
200
Re
1
2
100
604020
10642
1,00,60,40,20,1
106 10510410310210 1
179
10.3. Потери давления при внутреннем течении в каналах Затраты энергии на транспортировку жидкости и газа в трубах и кана-
лах однозначно связаны с потерями полного давления p движущихся по-токов. Эти потери давления складываются из потерь на преодоление силы трения потока на обтекаемой поверхности (потерь на трение) и потерь в местных сопротивлениях (поворотах, диафрагмах, на входе в канал и вы-ходе из него и др. элементах магистрали, вызывающих уменьшение полно-го давления потока).
мтр ppp . (10.5)
Мощность N , затрачиваемая на преодоление этих потерь, определя-ется соотношением
pGN , (10.6) где G – массовый расход жидкости или газа в канале.
На поверхности трубы, в которой движется поток жидкости или газа, образуется динамический пограничный слой. Схема формирования турбу-лентного пограничного слоя показана на рис. 10.6.
На некотором расстоянии от входного сечения трубы в пограничном
слое сохраняется ламинарный режим течения. Вниз по потоку располага-ется участок с переходным режимом течения в пограничном слое, за кото-рым следует участок с развитым турбулентным режимом течения. Вблизи стенки в турбулентном пограничном слое сохраняется вязкий подслой, в котором интенсивностью турбулентного переноса количества движения и теплоты можно пренебречь.
По мере удаления от входного сечения трубы происходит увеличение толщины пограничного слоя. На некотором расстоянии от входа в трубу
Начальный участок Основной участок
1
2
3
4
5
u0
Рис. 10.6. Схема формирования турбулентного пограничного слоя в трубе: 1 – ядро по-тока; 2 – ламинарный пограничный слой; 3 – переходный пограничный слой; 4 – турбу-лентный пограничный слой; 5 – вязкий подслой турбулентного пограничного слоя
180
толщина динамического пограничного слоя достигает своего максималь-ного значения, равного радиусу трубы, и происходит смыкание погранич-ных слоев. Расстояние от входа в трубу или канал до сечения, в котором происходит смыкание динамических пограничных слоев, называется ди-намическим начальным участком, или участком динамической стабили-зации. Вниз по потоку от начального участка располагается основной уча-сток.
Давление по длине трубы уменьшается. Скорость в ядре потока на на-чальном участке возрастает вдоль оси трубы. Этим отличаются условия формирования пограничного слоя на начальном участке трубы (где имеет место течение с продольным отрицательным градиентом давления и уве-личением скорости u в ядре потока) от его формирования на пластине (где имеет место безградиентное течение с неизменной скоростью u ).
Скорость u в произвольном сечении начального участка выражается через среднее значение скорости на входе в трубу 0u по уравнению
d
uu
4100 . (10.7)
Здесь – толщина вытеснения пограничного слоя, определяемая первым выражением (9.47); d – диаметр проточной части; индекс – от-носится к параметрам в анализируемом сечении за пределами погранично-го слоя; 0 – к среднерасходным значениям параметров в сечениях, совпа-дающим со средними значениями на входе в трубу.
Уравнение (10.7) получено из условия постоянства расхода в любом сечении непроницаемой трубы.
Длина начального участка l для турбулентного режима течения обычно составляет 15…20 калибров ( 2015dl ). Изменение по его длине касательного напряжения трения w и коэффициента сопротивления трения fc происходит в качественном отношении так же, как при обтека-
нии пластины. Расчет коэффициента трения может быть выполнен с при-влечением теории пограничного слоя одним из рассмотренных в разделе 9 методов.
На основном участке реализуется стабильное распределение скорости по радиусу, при этом для любой точки с фиксированным значением этого радиуса скорость потока остается неизменной по длине. Не меняются по длине основного участка и напряжение трения w . В качестве характери-стики силового взаимодействия потока с поверхностью на основном уча-стке принято использовать коэффициент гидравлического сопротивления
2008 uw . (10.8)
181
Коэффициент имеет такой же физический смысл, как и коэффици-ент сопротивления трения fc , только для его масштабирования использу-
ются среднерасходные значения параметров 0 и 0u , а не их значения за пределами пограничного слоя , u .
Распределение скорости по толщине пограничного слоя в трубе со-храняется близким к тому, какое имеет место при внешнем обтекании пла-стины (см. раздел 9.5).
Рассмотрим движение потока на основном участке прямой горизон-тальной трубы постоянного поперечного сечения. Движение на этом уча-стке характеризуется постоянством средней скорости в различных сечени-ях. Из баланса сил, действующих на выделенный объем жидкости, ограни-ченный двумя поперечными сечениями и внутренней поверхностью трубы, имеем
ПLfpp w 21 , (10.9) где 1p , 2p – статическое давление потока в поперечных сечениях 1 и 2 со-ответственно; f – площадь поперечного сечения проточной части трубы; П – периметр проточной части в поперечном сечении; l – расстояние меж-ду выбранными сечениями 1 и 2 вдоль оси трубы.
Из (10.9) следует
Пl
fppw
21 . (10.10)
Имея в виду то, что в рассматриваемых условиях потери полного дав-ления совпадают с потерями статического давления, и учитывая соотно-шение (10.8), получаем
24
200u
f
Пlpтр
. (10.11)
Для труб круглого поперечного сечения с диаметром проточной части d выражение (10.11) принимает вид
2
200u
d
lpтр
. (10.12)
Коэффициент гидравлического сопротивления так же, как и коэф-фициент сопротивления трения fc , определяется числом Рейнольдса по-
тока Re и относительной шероховатостью поверхности df Re, , (10.13)
где – высота элементов шероховатости на поверхности трубы. На рис. 10.7 представлены зависимости для коэффициента , полу-
ченные для различных режимов течения потока в гладких трубах и в тру-бах с так называемой песочной (искусственной плотной однородной рав-номерной) шероховатостью поверхности.
182
При ламинарном режиме течения (Re < 2300) шероховатость поверх-ности, как показывают исследования, не оказывает значимого влияния на коэффициент . Для ламинарного течения в трубе коэффициент подда-ется теоретическому определению, а соответствующая зависимость имеет вид
.Re64 (10.14) График зависимости (10.14) представлен на рис. 10.7 линией 1. Из выражений (10.12), (10.14) следует, что потери давления на трение
в трубе при ламинарном режиме течения потока пропорциональны его скорости.
При турбулентном режиме течения (Re > 104) закон сопротивления получают на основе экспериментов, а форма зависимости для коэффици-ента зависит от соотношения между высотой элементов шероховатости и толщиной вязкого подслоя, сохраняющегося вблизи стенки (законы со-противления для труб с песочной шероховатостью впервые эксперимен-тально исследованы Никурадзе).
При 50
v элементы шероховатости расположены целиком
внутри вязкого подслоя, а сама шероховатость не оказывает влияния на за-кон сопротивления. В этих условиях может быть использован предложен-ный в 1911 г. Блазиусом закон сопротивления для гладких труб
.Re3164,0 25,0 (10.15)
lg-1,0
-1,2
-1,4
-1,6
-1,8 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 4,6 lg Rex
1
5,8
2
9
4,6 5,2 5,4
3
45
6
7
8
Рис. 10.7. Коэффициент гидравлического сопротивления трубы: 1 – ламинарныйрежим (расчет по уравнению (10.14)); 2 – турбулентный режим в гидравлическигладких трубах (расчет по уравнению (10.15)); 3 – турбулентный режим в трубахс песочной шероховатостью /d=0,0004; 4 – то же /d=0,002; 5 – 0,004;6 – 0,0083; 7 – 0,016; 8 – 0,033; 9 – нижняя граница автомодельной области
183
График зависимости (10.15) представлен на рис. 10.7 линией 2.
При 70
v элементы шероховатости имеют размер, существенно
превышающий толщину вязкого подслоя. Коэффициент гидравлического сопротивления в этом случае определяется исключительно относительной шероховатостью /d и не зависит от числа Re (имеет место автомодельный по Рейнольдсу режим сопротивления). Нижняя граница автомодельной об-ласти представлена линией 9 на рис. 10.7. В таких условиях потери давле-ния по длине трубы пропорциональны квадрату скорости потока.
При 705
v размер шероховатости соизмерим с толщиной вяз-
кого подслоя. В таких условиях коэффициент гидравлического сопротив-ления зависит как от числа Re, так и от относительной шероховатости /d.
Графики зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от числа Re для труб с песочной шероховатостью представлены на рис. 10.7 линиями 3…8.
Для приближенного анализа сопротивления трения в трубах с естест-венной шероховатостью могут быть использованы результаты исследова-ния для труб с песочной шероховатостью. С этой целью используется по-нятие «эквивалентная» шероховатость э. Под шероховатостью, «эквива-лентной» анализируемой естественной шероховатости, понимается такая песочная шероховатость, при которой в «квадратичной» области (где по-тери давления по длине трубы пропорциональны квадрату скорости пото-ка) обеспечивается одинаковое с естественной шероховатостью значение коэффициента .
Для расчета коэффициента гидравлического сопротивления в шерохо-ватых трубах А. Д. Альтшулем в 1952 г. предложена следующая эмпири-ческая зависимость
,Re
6811,0
25,0
dэ (10.16)
где э – размер «эквивалентной» шероховатости. Потери давления в местном сопротивлении принято выражать зави-
симостью
2
2upм
, (10.17)
где – коэффициент местного сопротивления. Коэффициент зависит от вида местного сопротивления и его гео-
метрических характеристик. Определяется экспериментально и приводится в справочной литературе (см., например, [17]). Так, например, для входа в трубу имеем 5,0 ; для выхода из трубы – 1 .
184
Определяется коэффициент по параметрам (скорости u и плотно-сти ) в характерном сечении участка с местным сопротивлением (вход-ном, выходном, минимальном). Параметры именно в этом сечении и должны подставляться в формулу (10.17) при расчете мp .
Магистраль обычно имеет несколько местных сопротивлений. Общие потери давления в местных сопротивлениях магистрали определяются суммированием потерь в каждом сопротивлении.
V0, M0
185
11. МАКРО- И МИКРОСТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА С ИНТЕНСИВНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ Форсирование процессов в тепловых машинах сопровождается интен-
сификацией аэромеханических, динамических и тепловых воздействий на поток рабочего тела. При этом повышается теплонапряженность конст-рукции, а организация ее охлаждения и тепловой защиты требует все более точного прогнозирования интенсивности обменных процессов в погранич-ном слое, определяющих тепловой поток к обтекаемой поверхности, и ак-тивного управления ими. Интенсивные воздействия на поток рабочего тела и пристеночный пограничный слой продольного градиента давления, по-вышенной внешней турбулентности, динамической нестационарности и т. п., характерные для высокофорсированных тепловых двигателей и энер-гетических установок, не только существенно деформируют профили на-пряжений, скоростей, тепловых потоков и температур в сечениях погра-ничного слоя, но и оказывают определяющее влияние на закономерности турбулентного переноса.
Таким образом, интенсивные воздействия могут быть обусловлены особенностями протекания процессов в тепловых машинах и энергоуста-новках. Однако такого рода воздействия на поток могут быть реализованы и специально с целью активного управления процессом формирования по-граничного слоя, интенсивностью молекулярного и турбулентного перено-са вещества, импульса и теплоты.
11.1. Стационарный турбулентный поток в конфузорах с большим отрицательным продольным градиентом давления Для обоснованного выбора или разработки модели турбулентного пе-
реноса в пограничном слое с интенсивными воздействиями необходима детальная информация о его турбулентной структуре. Известные исследо-вания характеристик турбулентности выполнены либо для внутренних по-токов в каналах постоянного сечения, где продольные градиенты малы, либо для плоских потоков с умеренным градиентом давления (параметр
ускорения потока dx
du
u
2K
не превышал значения 2,3 10-6).
В настоящем разделе представлены результаты термоанемометриче-ских измерений профилей осредненной скорости и характеристик при-стенной турбулентности в проточной части трех осесимметричных кони-ческих конфузоров с различными углами поджатия потока (угол между образующей и осью конфузоров составлял 45, 30 и 15 ). Входной диаметр конфузоров – 80 мм; минимальный диаметр проходного сечения – 10 мм. При проведении экспериментов перед конфузорами устанавливались
186
сменные цилиндрические предвключенные участки длиной 2,24 и 1,0 м, что обеспечивало получение достаточно толстого пограничного слоя в проточной части рабочих участков и возможность получения достоверных результатов. Число Re , подсчитанное по параметрам потока и диаметру проточной части на входе в конфузоры, в опытах изменялось в диапазоне
4101,235,1 , а на входе в экспериментальный участок имел место раз-
витый турбулентный режим течения в пограничном слое. Температура T
и давление p заторможенного потока на входе в рабочие участки состав-
ляли K294293T ; 126,0110,0 p МПа. Параметр ускорения по-тока K в опытах достигал значений 10-4.
Зондирование потока осуществлялось на выходе из предвключенного участка и в 6 поперечных сечениях конфузоров. Описание методики изме-рений и автоматизированного термоанемометрического комплекса приве-дено в работе [14].
На рис. 11.1 представлены результаты измерений профилей осреднен-ной скорости в сечениях конфузора A (с углом между образующей и осью
45 ). Здесь же показан соответствующий профиль скорости в сечении, расположенном на выходе предвключенного цилиндрического участка, за которым устанавливается конфузор.
Как видно, в исходном сечении 0 (на выходе из предвключенного уча-стка) профиль скорости удовлетворительно соответствует универсальному профилю в безградиентном турбулентном пограничном слое (универсаль-ный профиль на рисунке показан сплошными линиями). Вниз по потоку происходит деформация профиля скорости, обусловленная влиянием про-дольного градиента давления. В сечениях 1, 2 на поток в пристенной зоне воздействует положительный продольный градиент давления, вызванный обтеканием вогнутой поверхности конфузора на участке сопряжения его конической части с цилиндрическим предвключенным участком. В этих сечениях профили скорости принимают форму, характерную для потока с положительным градиентом давления.
В последующих сечениях формирование профилей скорости происхо-дит под действием большого отрицательного продольного градиента дав-ления. Сами профили при этом имеют характерный вид, отличающийся от того, который имеет место при умеренных градиентах давления [11], [14].
На рис. 11.2 представлены результаты измерения турбулентных ха-рактеристик потока в выходном сечении предвключенного цилиндриче-ского участка. Здесь e – кинетическая энергия турбулентного движения, приходящаяся на единицу массы среды, определяемая выражением (5.45). Линиями на рис. 11.2 представлены результаты расчета по соотношениям
67,0;48,0;85,0;3,0 222 eweveuevu . (11.1)
187
Справедливость этих соотношений экспериментально подтверждена
применительно к плоскому пограничному слою в безградиентном потоке и при умеренных продольных отрицательных градиентах давления
( 6-102,3K ). Из рис. 11.2 видно, что результаты измерений на выходе из цилинд-
рического участка соответствуют имеющимся представлениям о турбу-лентной структуре потока в каналах, а исходное распределение пульсаци-онных характеристик (до начала ускорения потока) в пределах точности эксперимента сохранялось стабильным для всех конфузоров.
Рис. 11.1. Трансформация профилей скорости в пограничном слое по длинеконфузора: 0 – опытные значения; 1 – расчет по выражению (9.68); 2 – по выра-жению (9.74)
lg
lg
lg
А
0 13
45
6
lg
25
lg
lg
lg
20
20
188
На рис. 11.3 для различных сечений конфузора B (с углом между об-
разующей и осью 30 ) показано распределение по радиусу r кинетической энергии e , отнесенной к квадрату местной осредненной скорости u . Здесь R – радиус поперечного сечения конфузора. Положение сечений показано на рис. 11.3 стрелками.
Рис. 11.2. Связь между компонентами тензора напряжений Рейнольдса и кинети-ческой энергией турбулентности в турбулентном ядре пограничного слоя трубы:точки – опытные значения; линии – расчет по выражению (11.1)
e, м2/с20,160,120,080,040
2w ,м2/с2
0,04
0,08
e, м2/с20,160,120,080,040
e, м2/с20,160,120,080,040 2v ,м2/с2
0,04
e, м2/с20,160,120,080,040 2u ,м2/с2
0,04
vu , м2/с2 -0,04
-0,02
0,08
Рис. 11.3. Трансформация профилей относительной энергии турбулентностипо длине конфузора
100 2ue
0,25
0
1,0
0,75
0,5
0,250
1,0
0,75
0,5
0,25 0
1,25
B B BI II III
0,2
0,4
0,6
0,8
r/R
189
Как видно, под действием продольного отрицательного градиента давления происходит снижение относительной энергии турбулентности в сечениях конфузора. Однако абсолютные значения энергии e по длине проточной части возрастают. Это видно из рис. 11.4, где в тех же сечениях конфузора B, что и показанных на рис. 11.3, дано распределение по радиу-су проточной части кинетической энергии e , отнесенной к квадрату сред-нерасходной скорости потока срu1 на входе в рабочий участок. Характер-
ным здесь является то, что возрастание абсолютного уровня турбулентной энергии происходит по всей толщине пограничного слоя. При небольших же ускорениях потока во внешней части пограничного слоя энергия турбу-лентности вдоль обтекаемой поверхности уменьшается.
Таким образом, под воздействием большого отрицательного продоль-
ного градиента давления происходит снижение относительной интенсив-ности турбулентного движения по всему сечению пограничного слоя. При этом в потоках с достаточно большим ускорением существует область те-чения, где абсолютный уровень турбулентной энергии возрастает вниз по потоку по всему сечению пограничного слоя. При меньших ускорениях во внешней части пограничного слоя существует участок, где вниз по потоку происходит уменьшение абсолютного уровня турбулентной энергии.
Анализ полученных результатов показывает также, что на участке ин-тенсивного ускорения потока происходит уменьшение толщин динамиче-ского пограничного слоя и пограничного слоя для турбулентной энергии e . Причем толщина динамического пограничного слоя уменьшается по длине проточной части конфузоров быстрее по сравнению с толщиной по-граничного слоя для энергии e . В таких условиях возникает так называе-мый надслой (термин предложен Е. П. Дыбаном и Э. Я. Эпик [10]), в пре-делах которого осредненная скорость потока в поперечном сечении меня-ется незначительно, но интенсивность турбулентного обмена на некотором удалении от внешней границы динамического пограничного слоя сохраня-ется достаточно высокой и изменяется по сечению.
Рис. 11.4. Трансформация профилей энергии турбулентности по длине конфузора
10 21срue
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
r/R
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0
0,1 0
I II III
190
На рис. 11.5 показаны типичные результаты экспериментов, иллюст-рирующие трансформацию по длине конфузоров профилей величин
zyx ,, , определяемых соотношениями (5.10), которые характеризуют
интенсивность пульсационного движения в продольном (вдоль оси x , сов-падающей с направлением осредненной скорости в рассматриваемой точ-ке), поперечном (вдоль оси y ) и окружном (вдоль оси z ) направлениях со-ответственно.
Как видно из рис. 11.5, в пристенной области ( 7,0Rr ) наряду с об-щим снижением относительной интенсивности турбулентного движения происходит изменение соотношения между величинами zyx ,, или,
иными словами, происходит перераспределение вклада пульсаций скоро-сти wvu ,, в кинетическую энергию турбулентности, что приводит к на-рушению соотношений (11.1) и к неоднозначности соотношений (5.49) – (5.53), связывающих корреляцию vu с энергией e .
На рис. 11.6 для конфузоров A и С представлены профили величин
zyx ,, в сечениях с одинаковым значением относительного радиуса R ,
равным его значению в сечении II конфузора B (см. рис. 11.5), и близкими
Рис. 11.5. Трансформация профилей интенсивности турбулентного движения
zyx ,, по длине конфузора B
0
0,2
0,4
0,6
0,8
r/R
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
4 8 12 0 4 8 12 0 4
100 z
100 y
100 x
B B B
I II III
I II III
I II III
191
значениями режимных параметров потока на входе. Здесь 1RRR , где
1R – радиус конфузоров на входе.
Как видно, в пристенной зоне конфузоров величины x принимают близкие значения. В то же время интенсивность пульсационного движения
z в пристенной зоне разных конфузоров существенно различна. Чем больше угол между образующей и осью, тем выше интенсивность турбу-лентного движения z .
На рис. 11.7 представлено изменение по радиусу сечений I, II, III всех конфузоров коэффициента корреляции uvR между продольной и попереч-ной пульсациями скорости
22 vu
vuRuv
. (11.2)
Из рис. 11.7 видно, что в сечении I, где поток движется практически без ускорения, коэффициент корреляции в пристенной зоне достигает зна-чений 0,4...0,5. В последующих сечениях в пристенной зоне коэффициент корреляции увеличивается, приближаясь по абсолютному значению к 1.
Рис. 11.6. Влияние угла поджатия потока в конфузорах на профили величин zyx ,,
С
II
II
А
А
А
С
С
100 z
100 y
100 x
4 8 12 816 20 0 4 0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
r/R
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
192
Приведенные результаты позволяют критически оценить возможность
использования известных подходов к математическому моделированию турбулентного обмена в таких условиях. Так, в связи с неоднозначностью соотношений (5.49) – (5.53) ограничивается возможность использования дифференциальных моделей турбулентности, базирующихся на использо-вании транспортных уравнений для кинетической энергии турбулентности e , а также коммерческих программных продуктов, в которых используют-ся такого рода модели.
Результаты исследований турбулентной структуры потока в конфузо-рах показывают, что в потоках с интенсивными воздействиями аналогия между переносом турбулентной энергии e и компоненты тензора напря-жений Рейнольдса vu не соблюдается. Действительно, энергия e может
возрастать за счет составляющей 2w при одновременном уменьшении ве-
личин 2u , 2v , vu .
11.2. Турбулизированный поток в конфузорах с большим отрицательным продольным градиентом давления Повышенная внешняя турбулентность в турбулизированных потоках
дестабилизирует течение, способствуя более раннему переходу к развито-му турбулентному режиму течения, и затрудняет ламинаризацию погра-ничного слоя. В то же время большой отрицательный продольный гради-ент давления способен оказать существенное влияние на эволюцию харак-теристик внешней турбулентности. В этой связи предпринято эксперимен-тальное исследование характеристик внешней турбулентности в осесим-метричных конфузорах.
Схема экспериментального участка показана на рис. 11.8. Турбулизаторы в виде дисков с отверстиями позволяли получить на
входе в конфузоры интенсивность турбулентности 15,0850,0Tu .
Рис. 11.7. Коэффициент корреляции между продольной и поперечной пульсациями скорости
I II III
0
0,2
0,4
0,6
0,8
r/R
uvR1,0 0,5 0 1,0 0,5 0 1,0 0,5
193
Зондирование потока осуществлялось датчиком термоанемометра на
оси в сечении, расположенном на выходе из предвключенного цилиндри-ческого участка и в 6…7 сечениях конфузоров на разном удалении от вхо-да. Эксперименты выполнены в изотермических условиях (температура потока поддерживалась близкой к температуре окружающей среды и по радиусу поперечных сечений не изменялась).
На рис. 11.9 – 11.11 приведены типичные результаты экспериментов для одного из конфузоров (конфузора C).
На рис. 11.9 показаны профиль проточной части конфузора, положе-
ние сечений для зондирования потока и изменение по длине проточной части осредненной скорости u , кинетической энергии турбулентного дви-
жения e , а также симплексов eu 2 , ev 2 , характеризующих вклад раз-личных составляющих пульсационной скорости в кинетическую энергию турбулентности (поскольку измерения проводились на оси конфузоров, то
22 vw ). Как видно, в ядре интенсивно ускоряющегося турбулизированного
потока имеет место существенное перераспределение вклада отдельных
Рис. 11.8. Схема экспериментального участка
Турбулизатор
u
Рис. 11.9. Изменение осредненной скорости и турбулентных характеристик
потока по длине конфузора: 1 – u ; 2 – e ; 3 – eu 2 ; 4 – ev 2
x, мм120 80 40 0
u, м/с
e, м2/с2 e
u 2
e
v 2
20
40
60
80
100
1 2 3 4 5 6 7
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
23
4
194
составляющей пульсационной скорости в энергию турбулентного движе-ния (в подразделе 11.1 было показано, что такого рода перераспределение имеет место и во внутренней части пограничного слоя). При этом в отли-чие от безградиентных и слабо ускоряющихся течений на участке интен-сивного ускорения потока происходит увеличение энергии турбулентности e . Последнее связано с тем, что под действием отрицательного градиента
давления дисперсия 2u продольных пульсаций скорости становится су-
щественно меньше дисперсии 2v поперечных пульсаций, тогда в уравне-нии баланса кинетической энергии турбулентности (5.53), записанном для ядра стационарного потока с учетом нормальных членов тензора напряже-ний Рейнольдса
dx
duvu
dx
deu
22 , (11.3)
второе слагаемое в правой части меняет свой знак и по абсолютному зна-чению превышает скорость диссипации энергии .
На рис. 11.10 для различных сечений конфузора приведены одномер-ные нормированные спектры продольной составляющей скорости kEu по волновым числам k .
Анализ спектров как для продольной, так и для поперечной состав-
ляющих пульсационной скорости позволяет отметить, что по длине конфу-зора происходит перераспределение энергии пульсаций по частотам. В об-ласти интенсивного ускорения максимум энергии пульсаций смещается в область больших частот. Соответствующим образом изменяются масштаб-ные характеристики и скорость диссипации .
Рис. 11.10. Одномерные энергетические спектры продольной составляющей пульсационной скорости
k, м-1103
Сеч. 1
104 104 104 103 102 10 10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
,kEu
м
2 3 4 5 6
-5/3
195
Скорость диссипации в опытах определялась четырьмя способами: непосредственно из уравнения (11.3) путем измерения всех остальных входящих в него величин; из энергетических спектров на участке действия «закона 5/3» по соотношению (см., например, [10])
23352335
63,02
48,0
kkEkkE vu , (11.4)
а также из энергетических спектров с использованием соотношений (см., например, [10])
dkkEk u
0
215 ; (11.5)
dkkEk v
0
230 . (11.6)
Здесь kEukE uu2 , kEvkE vv
2 – одномерные энергетиче-ские спектры для продольной и поперечной составляющих пульсационной скорости соответственно.
На входе в конфузоры все четыре способа давали сопоставимые ре-зультаты, а в последующих сечениях наблюдалось их рассогласование. Последнее обусловлено, по-видимому, отклонением условий течения от моделей изотропной и локально-изотропной турбулентности, для которых справедливы соотношения (11.4) – (11.6), а также снижением точности из-мерения энергетических спектров из-за возрастающего вклада в них энер-гии высокочастотных пульсаций. В этой связи к дальнейшему анализу привлекались результаты расчета величины по уравнению (11.3) как наиболее точные.
Распределение скорости диссипации по длине конфузора, соответ-ствующее тем же условиям, для которых были получены представленные на рис. 11.9 результаты, показано на рис. 11.11.
Как видно, изменение скорости диссипации по длине конфузора носит немонотонный характер. В зоне интенсивного увеличения скорости потока происходит увеличение и скорости диссипации . Такой характер измене-ния величины не отражает ни соответствующее транспортное уравнение (5.54), ни второе уравнение системы (5.56) дифференциальной двухпара-метрической « e » (« k ») модели турбулентности, широко исполь-зуемой для расчета турбулентного пограничного слоя. Так второе транс-портное уравнение системы (5.56) для скорости диссипации , записанное для ядра стационарного потока, имеет вид
222
2 exp3,01
e
ec
dx
du . (11.7)
196
Из уравнения (11.7) следует, что такого рода модели турбулентности всегда предсказывают уменьшение скорости диссипации вдоль координа-ты x , поскольку производная dxd при любых условиях оказывается от-рицательной.
Такое рассогласование с экспериментом обусловлено тем, что в транспортных урав-нениях для величин e и чле-ны, отражающие дополнитель-ную генерацию или диссипа-цию энергии e и скорости дис-сипации из-за влияния нор-мальных составляющих тензора напряжений Рейнольдса, либо исключены, либо при их опре-делении соотношения между
дисперсиями 2u , 2v и энер-гией e полагаются постоянны-
ми. В последнем случае второе слагаемое в правой части уравнения (11.3) моделируется следующим образом:
dx
due
dx
duvu 5,033,022
. (11.8)
Нетрудно заметить, что такая модификация существа картины не ме-няет, поскольку она также предсказывает постоянное уменьшение по дли-не обтекаемой поверхности энергии e и скорости диссипации в ядре по-тока.
Выполненные исследования дают основание для некоторых обобще-ний. Так, по-видимому, возможны два механизма ламинаризации течения под воздействием отрицательного продольного градиента давления. Пер-вый механизм состоит в том, что с ростом отрицательного градиента дав-ления во внешней части пограничного слоя возрастает роль нормальных составляющих тензора напряжений Рейнольдса и увеличивается (при
22 vu ) дополнительная диссипация турбулентной энергии. Таким обра-зом, ламинаризация по первому механизму начинается с внешней части пограничного слоя. По мере увеличения отрицательного градиента давле-ния здесь не только увеличивается дополнительная диссипация турбулент-ной энергии, но и расширяется область пограничного слоя, где эта допол-нительная диссипация имеет место. Однако генерация турбулентной энер-гии за счет касательных напряжений вблизи стенки при этом не только не уменьшается, но еще более возрастает. При этом в пристенной области на-блюдается рост абсолютного уровня турбулентных пульсаций скорости, хотя интенсивность турбулентного обмена в целом снижается.
Рис. 11.11. Изменение скорости диссипации турбулентной энергии по длине конфузора
x, мм120 80 40 0
, м2/с3
103
102
10
197
Как показывает предпринятый анализ известных моделей турбулент-ности, практически все они адаптированы на условия, имеющие место при ламинаризации течения преимущественно по рассмотренному механизму.
Эксперименты свидетельствуют о возможности и другого механизма ламинаризации, при котором происходит снижение генерации турбулент-ной энергии и уменьшение абсолютного уровня турбулентных пульсаций в пристенной области пограничного слоя. Такой механизм имеет место при очень интенсивных воздействиях на пограничный слой отрицательного продольного градиента давления (или других факторов). В таких условиях профили скорости становятся более заполненными, поперечные градиенты скорости вблизи стенки возрастают, но толщина пограничного слоя оказы-вается настолько малой, что близость стенки препятствует генерации тур-булентной энергии за счет касательных напряжений. При этом интенсив-ность турбулентных пульсаций по сравнению с безградиентным потоком уменьшается, а ламинаризация начинается с пристеночной области.
Таким образом, отмеченные особенности обменных процессов в по-токах с большим отрицательным продольным градиентом давления не учитываются в полной мере существующими моделями турбулентности.
11.3. Пульсирующее течение в трубе Экспериментальное исследование турбулентной структуры динамиче-
ски нестационарного (пульсирующего) потока выполнено по методике, рассмотренной в работе [14]. В этой же работе дано описание эксперимен-тальной установки и автоматизированного термоанемометрического ком-плекса. Измерения выполнялись в сечении цилиндрического канала (диа-метр проточной части 80 мм), удаленном от его входа на расстояние 2 м.
Результаты исследования характеристик турбулентного потока, полу-ченные для частоты пульсаций 23,3 Гц, приведены на рис. 11.12 – 11.20. Анализ результатов, приведенных на рис. 11.12, 11.13, позволяет отметить, что во всех точках сечения трубы изменение скорости во времени проис-ходит синфазно (без сдвига по фазе). Амплитуда пульсаций осредненной скорости увеличивается по мере удаления от поверхности стенки. Напря-жение трения меняется по кривой с максимумом, достигая наибольшего значения в середине периода пульсаций осредненных параметров. Коэф-фициент трения в течение большей части периода вынужденных пульса-ций монотонно убывает. Это объясняется деформацией профиля скорости в пограничном слое (см. рис. 11.14) из-за влияния фактора нестационарно-сти. В фазе увеличения скорости ее профиль в пограничном слое оказыва-ется более заполненным, а в фазе уменьшения скорости – менее заполнен-ным по сравнению с универсальным профилем в стационарном турбулент-ном пограничном слое.
198
Интенсивности про-дольных x и простран-ственных y , z пульса-
ций скорости изменяются в противофазе с осред-ненной скоростью, при-нимая минимальные зна-чения в момент достиже-ния максимальных значе-ний последней.
Абсолютное значе-ние кинетической энергии турбулентного движения e , как это видно из рис. 11.18, вблизи стенки из-меняется во времени в со-ответствии с изменением напряжения трения w , достигая максимума при
02,0 с. По мере удале-ния от поверхности стен-ки характер зависимости энергии e от времени претерпевает существен-ные изменения. Это обу-словлено особенностями
переноса энергии e в сечении пограничного слоя. Модуль коэффициента корреляции uvR между продольными и попе-
речными пульсациями скорости уменьшается по мере приближения к по-верхности стенки и к оси канала (см. рис. 11.19). На расстояниях
255y мм от поверхности коэффициент uvR слабо изменяется в тече-ние периода пульсаций осредненной скорости, а его значения оказываются близкими к характерному значению для стационарного пограничного слоя (последнее показано на рис. 11.19 штриховой линией).
На рис. 11.20 приведено изменение во времени комплексов eu 2 ,
ev 2 , ew 2 , evu , измеренных в точке, удаленной от поверхности стен-
ки на расстояние 5y мм. Здесь же представлены значения коэффициента æ модели пути смешения. Штриховыми линиями на рис. 11.20 показаны значения, характерные для стационарного пограничного слоя.
Рис. 11.12. Схема рабочего участка (а) и изменениево времени осредненных значений статическогодавления (б), напряжения трения на стенке (в), ко-эффициента сопротивления трения (г)
, с
а
3
0,02 0
2fc
103
1
б
в
г
w ,
Па
0
1
2
p ,
МПа
0,110
0,112
199
Рис. 11.13. Изменение во времениосредненной скорости потока наразличных расстояниях от стенки
u , м/с
u , м/с
u , м/с u ,
м/с
u , м/с
u , м/с
0
5
10
15
5
10
15
0
5
0 5
10
15
0
5
10
15
5
10
15
, с0,02 , с0,02 0
y=0,05 мм
0,5
5,0
25
40 1,5
Рис. 11.14. Профили скорости в погранич-ном слое пульсирующего потока в трубе: – 0115,0 с; 0 – 0,02; – 0,0317;1 – расчет по выражению (9.68); 2 – по вы-ражению (9.74)
3 lg 2 1
Рис. 11.15. Изменение во времениинтенсивности продольных пульса-ций скорости потока на различныхрасстояниях от стенки
, с0,02 , с0,02 0
y=0,05 мм
0,5
1,5
5
25
x
x
x
x
x
0,3
0,2
0,1
0
0,2
0,1
0
0,1
0,2
0,1
0
0,2
0,1
0
Рис. 11.16. Изменение во времениинтенсивности радиальных пульса-ций скорости потока на различныхрасстояниях от стенки
y
0,2
0
0,1
0y
0,1
y
0,1
0,1
0 y
, с0,02 0 , с0,02
y=0,5 мм
1,5
5
25
200
Значения æ определялись по измеренным в опыте величинам с по-
мощью соотношения 0æ ydydl , где l длина пути смешения
dydu
vul
. (11.9)
Анализ результатов, приведенных на рис. 11.20, позволяет сделать вывод, что динамическая нестационарность потока в рассматриваемых условиях не оказывает существенного влияния на соотношения между
компонентами тензора напряжений 2u , 2v , 2w , vu и энергией e , а также на значение коэффициента æ модели пути смешения в течение большей части периода вынужденных пульсаций потока. Однако в момен-ты наиболее интенсивного уменьшения давления (в начале периода выну-жденных пульсаций) имеется тенденция к увеличению коэффициента æ .
Рис. 11.17. Изменение во времениинтенсивности тангенциальных пульсаций скорости потока на раз-личных расстояниях от стенки
z
0,2
0
0,1
0 z
0,1
, с0,02 0 , с0,02
y=0,5 мм
1,5
5
25
z
0,2
0,1
0 z
0,1
Рис. 11.18. Изменение во временикинетической энергии турбулентно-го движения на различных расстоя-ниях от стенки
0
0,5
, с0,02 0 , с0,02
y=0,5 мм
1,5
5
25
e, м2/с2
e, м2/с2 e,
м2/с2
e, м2/с2
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
0
Рис. 11.19. Изменение во времени коэф-фициента корреляции между продоль-ной и радиальной пульсациями скоро-сти на различных расстояниях от стенки
0
0,5
, с0,020 , с0,02
y=0,5 мм
5
25 uvR
1,5
40 0
-1
0
0,5
0
0,5
0
0,5
uvR uvR
uvR
uvR
Рис. 11.20. Соотношение между тур-булентными характеристиками и ко-эффициент æ в нестационарном по-граничном слое трубы
0 , с0,02 0 , с0,02
æ0,5
eu 2
ev 2
ew 2
evu
0,5
1
1
0
1
0
0
201
11.4. Пульсирующее течение в конфузоре Схема экспериментального участка, в котором поводились измерения,
вместе с устройством для создания вынужденных аэромеханических пуль-саций потока, а также системой съема и обработки измерительной инфор-мации, приведена на рис. 11.21. На этом же рисунке показано положение сечений для зондирования потока. В качестве экспериментального участка использовался конфузор C с углом между образующей и осью 15 . Доста-точная для проведения зондирования толщина пограничного слоя в изме-рительных сечениях рабочего участка создавалась установкой перед его входом цилиндрической трубы длиной 2,24 м.
Эксперименты выполнены для частоты вынужденных пульсаций па-раметров течения 16,7 Гц. Температура потока на входе в рабочий участок поддерживалась постоянной и равной температуре окружающей среды ( C2120 ).
Результаты исследований показаны на рис. 11.22 – 11.26. На рис. 11.22 показано изменение во времени осредненной скорости на различных удалениях от поверхности стенки. Как видно, изменение осредненной ско-рости во всех сечениях и во всех точках каждого сечения происходит син-фазно.
Рис. 11.21. Схема экспериментального участка с системой сбора и обработки данных:1 – рабочий участок; 2 – пульсатор; 3 – датчик термоанемометра; 4 – синхронизатор;5 – термоанемометр; 6 – устройство сопряжения; 7 – персональный компьютер;8 – результаты исследования
2
3
4
5
6
7
8
Поток
Сеч. I II
III IV V
u u
uu ,
1
uu
u
202
На рис. 11.23 приведены профили скорости в одном из сечений погра-ничного слоя конфузора, а на рис. 11.24 – изменение коэффициента трения
fc в двух сечениях. Можно заметить, что в отличие от трубы профиль
скорости в пограничном слое конфузора является более консервативным к влиянию фактора нестационарности. Значительные отличия этого профиля от универсального обусловлены влиянием на пограничный слой в конфу-зоре большого отрицательного продольного градиента давления.
Рис. 11.22. Изменение во времени осредненной скорости пото-ка в сечениях конфузора на различных расстояниях от стенки: – сеч. I; – II; 0 – III; – IV
u , м/с
10
15
, с0,03 , с0,03 0
y=0,1 мм
0,3
2,0
10
5,0
5
0
20
25
u ,
м/с
10
15
5
20
25
u , м/с
10
15
5
0
20
u ,м/с
10
15
5
0
20
25
u ,м/с
10
15
5
0
20
25u , м/с
10
15
5
0
20
203
Характер изменения во времени коэффициента трения в сечениях конфузора также отличается от имеющего место в трубе. Как видно из рис. 11.24, коэффициент трения fc изменяется в противофазе с осредненной
скоростью потока u , и это изменение имеет немонотонный характер. На рис. 11.25, а показано изменение во времени интенсивности тур-
булентных пульсаций скорости в продольном x , поперечном (перпенди-кулярном линиям тока) y и тангенциальном z направлениях, а на рис.
11.25, б – соответствующее изменение кинетической энергии турбулентно-сти e в сечениях конфузора. Анализ приведенных результатов позволяет отметить, что в фазе увеличения осредненной скорости интенсивности турбулентного движения x , y , z уменьшаются, а абсолютные значения
кинетической энергии e возрастают. В фазе уменьшения скорости имеет место обратная картина: величины x , y , z возрастают, а энергия e
уменьшается. Общий уровень величин x , y , z и e уменьшается по ме-
ре удаления от стенки (при 1y мм). Аналогичная картина имеет место и в сечении трубы. В то же время в конфузоре в отличие от трубы происхо-дит уменьшение по длине поточной части общего уровня интенсивности продольных пульсаций x и перераспределение вклада пульсаций wvu ,, в кинетическую энергию турбулентного движения e . Такого рода особен-ности турбулентного обмена в конфузорах, но при стационарном течении, обсуждались в подразделе 11.1.
Рис. 11.23. Профили скорости в пограничном слое пульсирующего потока в конфузоре: – с0115,00 u ;
0 – с0248,00 u ;
– с0527,00 u ;
1 – расчет по выражению (9.68); 2 – по выражению (9.74)
3 lg 2 1
Рис. 11.24. Напряжение трения (а) и коэффициент сопротивления трения (б) пульсирующего потока в сечениях конфузора: 0 – сеч. III; – IV
, с
а
10
0,03 0
2fc
103
6
б
w ,
Па
0
1
3
2
8
4
2
204
Рис. 11.25. Интенсивности турбулентного движения в продольном, поперечноми тангенциальном направлениях (а) и кинетическая энергия турбулентности (б)пульсирующего потока в сечениях конфузора: 0 – сеч. III; – IV
x
0,06
0,04
0,02
0
x
0,06
0,04
0,02
0 x
0,06
0,04
0,02
0 x
0,06
0,04
0,02
0 x
0,06
0,04
0,02
0
y0,06
0,04
0,02
y0,06
0,04
0,02
y0,06
0,04
0,02
0
0 z
0,06
0,04
0,02
z
0,06
0,04
0,02
z
0,06
0,04
0,02
0
0
, с0,020
y=0,1 мм
0,3
, с0,020 , с0,02
, с0,020
y=1 мм
а
б
2 2 2
2
5
10
5 5 5
10 10 10
00,5
e, м2/с2
1,0
e, м2/с2
0,5
0,5
0,5
e, м2/с2
e, м2/с2
205
Эволюцию коэффициента æ в сечениях конфузора ил-люстрирует рис. 11.26. Как видно, в сечениях конфузора значение æ существенно меньше 0,4, что обусловлено ламинаризацией пограничного слоя. При этом коэффициент æ изменяется как по длине проточной части, так и в течение периода вынужденных пульсаций пара-метров потока.
Рис. 11.26. Изменение во временикоэффициента æ в сечениях конфузора
, с0,03 0
æ
0,2
0,1
206
12. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА Проблема эффективного управления обменными процессами в дви-
жущемся потоке, а также взаимодействием потока с обтекаемой поверхно-стью (сопротивлением трения, теплоотдачей, массоотдачей) в элементах энергетических устройств и систем занимает особое место в спектре про-блем энерго- и ресурсосбережения, охраны окружающей среды. Так, уменьшение сопротивления трения потока в теплообменниках, трубопро-водах и транспортных системах позволяет снизить затраты энергии на прокачку теплоносителя. Интенсификация теплоотдачи, позволяющая зна-чительно уменьшить габариты теплообменников, обеспечивает сущест-венное снижение металлоемкости оборудования и затрат природных ре-сурсов (топлива, руд металлов, кислорода атмосферного воздуха и других) на его изготовление. Соответственно уменьшается и загрязнение окру-жающей среды. Ослабление интенсивности теплоотдачи к поверхности проточной части энергетических установок облегчает решение проблемы охлаждения теплонагруженных элементов, открывает возможность повы-шения температуры рабочего тела и КПД тепловой машины.
Известно значительное число методов и устройств как интенсифика-ции теплоотдачи и сопротивления, так и их ослабления. Среди этих мето-дов наиболее эффективными являются те, которые основаны на воздейст-вии на пристенную турбулентность. К ним относятся, например: наложе-ние на движущийся поток акустического поля или ультразвуковых колеба-ний давления; использование каналов с чередующимся конфузорными и диффузорными участками; применение теплообменных поверхностей с поперечными гофрами или элементами дискретной шероховатости, на ко-торых реализуется изменение по длине обтекаемой поверхности продоль-ного градиента давления, кривизны поверхности и пр. Следует подчерк-нуть, что турбулентный перенос в пограничном слое оказывает опреде-ляющее влияние на интенсивность сопротивления трения, теплоотдачи и массоотдачи турбулентных потоков жидкости и газа. При этом кинетиче-ская энергия турбулентного движения мала по сравнению с кинетической энергией осредненного течения, поэтому воздействие на пристенную тур-булентность обычно требует небольших (по сравнению с воздействием на течение в целом) энергетических затрат. Этим и обусловлена высокая эф-фективность тех способов управления интенсивностью обменных процес-сов турбулентного потока с обтекаемой поверхностью, которые основаны на воздействии на пристенную турбулентность.
207
12.1. Периодическое изменение параметров потока Рассмотренная в подразделе 5.6 модель турбулентного переноса в по-
граничном слое с воздействиями позволяет объяснить механизм и оценить эффективность многих известных способов управления интенсивностью обменных процессов (реализация продольного знакопеременного градиен-та давления в каналах с чередующимися конфузорными и диффузорными участками или в каналах с элементами дискретной шероховатости в виде кольцевых вставок, использование поверхности с периодически изменяю-щимся радиусом кривизны в виде поверхности с поперечными гофрами, генерация «бегущей» волны на упругой поверхности, наложение на дви-жущийся поток периодических колебаний расхода, давления и т. п.).
Из анализа выражений (5.91) – (5.94) следует, что на интенсивность турбулентного переноса количества движения в пограничном слое оказы-вают влияние следующие поддающиеся управлению параметры: произ-водные по времени от давления и скорости в ядре потока, продольный гра-диент давления (скорости), радиус кривизны поверхности, угловая ско-рость вращения. Назовем эти параметры управляющими.
При целенаправленном управлении интенсивностью турбулентного переноса в потоке управляющие воздействия должны, как правило, иметь периодический характер, при этом управляющие параметры могут изме-няться во времени или по длине обтекаемой поверхности. Зависимости (5.91) – (5.94) нелинейны относительно управляющих параметров, поэтому при одинаковых по абсолютной величине, но разных по знаку значениях каждого из них их влияние на интенсивность турбулентного переноса бу-дет различным не только по знаку, но и по модулю. Таким образом, при периодическом изменении во времени величин ,,, Rup или при пе-риодическом изменении по длине обтекаемой поверхности величин
Rup ,, среднее за соответствующий период влияние управляющих па-раметров на интенсивность турбулентного переноса не будет нулевым. Это подтверждает принципиальную возможность активного управления турбу-лентным переносом посредством наложенных периодических воздействий перечисленных управляющих параметров.
На рис. 12.1 показаны результаты численного исследования влияния гармонических колебаний давления потока несжимаемой жидкости на со-противление трения пластины. Исследование выполнено на основе рас-смотренной в разделе 5.6 модели турбулентного переноса. Численное ин-тегрирование системы дифференциальных уравнений пограничного слоя выполнялось в нестационарной постановке с определением во всех инте-ресующих сечениях осредненных (за первый период колебания управляю-щего параметра) значений напряжения трения w на обтекаемой поверхно-сти. Начальное распределение параметров в пограничном слое принято
208
соответствующим стационарным условиям течения. Колебания давления во всех сечениях пограничного слоя полагались синфазными, имеющими одинаковую частоту и амплитуду (амплитуда принята равной 10 % от на-
чального значения 0p ). На рис. 12.1 исполь-
зованы следующие обо-
значения: 20Eu upp
– число Эйлера по давле-
нию; 200 uff –
безразмерная частота ко-лебаний давления; ниж-ним индексом 0 отмечены значения w , соответст-вующие стационарным условиям.
Из рис. 12.1 видно, что поток реагирует на пе-
риодические колебания управляющего параметра лишь в определенном частотном диапазоне. Зависимость значения w от безразмерной частоты колебания управляющего параметра является немонотонной. При этом на разных участках частотного диапазона возможно как уменьшение, так и увеличение сопротивления трения. По мере увеличения числа pEu степень
влияния гармонических колебаний давления на сопротивление турбулент-ного потока увеличивается, а экстремум функции w смещается в сторону меньших частот. При уменьшении частоты ниже значения, соответствую-щего минимуму функции w происходит ослабление влияния управляю-щего параметра, что связано с переходом к области квазистационарного режима турбулентного переноса, при котором влияние фактора динамиче-ской нестационарности становится пренебрежимо малым. Ослабление влияния управляющего параметра происходит и при превышении частотой значения, соответствующего максимуму функции w . Это обусловлено переходом на быстроосциллирующий режим (режим «замороженной» турбулентности), при котором турбулентные пульсации в большей части сечения пограничного слоя не успевают реагировать на высокочастотные колебания управляющего параметра.
0lg f
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
-7 -6 -5 -4 -3
0w
w
1
2 3
4
Рис. 12.1. Влияние частоты гармонических колеба-ний давления потока на осредненные за период зна-чения напряжения трения на поверхности пластины:1 – 400Eu p ; 2 – 200; 3 – 100; 4 – 10
209
12.2. Ламинаризация пограничного слоя на перфорированной поверхности с глухими демпфирующими полостями Рассмотренный в подразделе 5.6 подход по учету влияния различных
воздействий на интенсивность турбулентного переноса открывает возмож-ность анализа новых способов управления обменными процессами.
Проанализируем в качестве примера возможности управления сопро-тивлением трения (и интенсивностью теплоотдачи) путем использования перфорированной поверхности с демпфирующими полостями. Фрагмент перфорированной поверхности с демпфирующей полостью приведен на рис. 12.2.
Поток, движущийся со скоро-стью u , взаимодействует с полостью через перфорационные отверстия 2 в обтекаемой поверхности 1. При этом турбулентные пульсации давления (и скорости) вблизи поверхности приво-дят к перетеканию некоторой массы газа в полость 3 и обратно. Из-за демпфирующего эффекта полости турбулентные пульсации ослабляются (происходит частичная ламинариза-ция течения), что приводит к уменьшению интенсивности турбулентного переноса, сопротивления трения и теплоотдачи потока на обтекаемой поверхности.
Каждая полость может сообщаться с потоком посредством нескольких отверстий. Однако, если расстояние между наиболее удаленными отвер-стиями меньше размера турбулентного образования, то механизм взаимо-действия потока с полостью остается таким же, как и при одном отверстии. Если же расстояние между отверстиями существенно больше размера тур-булентного образования, то с полостью будут взаимодействовать разные моли, параметры этих молей изменяются в разных фазах, что должно при-вести к снижению влияния демпфирующей полости на турбулентный пе-ренос в пограничном слое.
Проанализируем влияние демпфирующих полостей на интенсивность турбулентного переноса. Из (5.61), (5.63), (5.64) следует
00000ææ vvuuvuvu . (12.1)
Здесь индекс 0 характеризует параметры в условиях, принятых за эталонные (течение в пограничном слое на непроницаемой поверхности).
Проанализируем поведение турбулентного образования (моля) около перфорированной поверхности с демпфирующими полостями. Пусть объ-ем этого моля равен V , и он сообщается с демпфирующей полостью
u 1
3
2
Рис. 12.2. Схема перфорированнойповерхности с демпфирующими по-лостями: 1 – перфорированная по-верхность; 2 – отверстия; 3 – демп-фирующая полость
210
(имеющей значительно больший объем) через перфорационное отверстие площадью F в стенке трубы.
Пусть турбулентный моль под влиянием случайных факторов получил избыточную продольную скорость u . Пульсация скорости u в соответ-ствии с уравнением Бернулли вызовет изменение 1p давления p
uup 1 . (12.2) Это избыточное давление в турбулентном моле около непроницаемой
поверхности (в эталонных условиях) полностью пошло бы на генерацию турбулентной пульсации скорости 0u . Однако на перфорированной по-верхности с демпфирующими полостями в турбулентную пульсацию u будет преобразована только часть p этого избыточного давления
21 ppp , (12.3) где 2p – изменение давления за время перемещения турбулентного моля на расстояние l , равное длине пути смешения.
С учетом изложенных модельных представлений выражение (12.1) можно представить в виде
00ææ pp , (12.4) где p – среднеквадратичное значение турбулентных пульсаций давления на перфорированной поверхности; 10 pp – среднеквадратичное значе-ние турбулентных пульсации давления на непроницаемой поверхности в тех же условиях.
Выражение (12.4) позволяет по результатам измерения турбулентных пульсаций давления p и 0p определить значение коэффициента æ .
Изменение 2p давления p обусловлено перетеканием части среды из турбулентного моля в демпфирующую полость (или обратно) через перфорационное отверстие площадью F . Это изменение можно выразить зависимостью
GV
ppp
2 , (12.5)
где G – средний за время массовый расход среды через перфорацион-ное отверстие.
Расход G выразим зависимостью
12 pfG , (12.6)
где – коэффициент расхода. С учетом (12.6) выражение (12.5) представим в виде
12 pV
kpfp
, (12.7)
где k – числовой коэффициент. Отношение VF можно выразить следующей зависимостью:
211
lFVf , (12.8)
где F – относительная площадь перфораций (отношение площади перфо-рационных отверстий к площади обтекаемой потоком поверхности).
С учетом (12.8) имеем
Fpku
uFpkp
v
Fkpp
l
Fkpp 2
01112
, (12.9)
где 21, kk – числовые коэффициенты. При записи выражения (12.9) использовано соотношение (5.74), а
также очевидное равенство 0uv v (здесь v – интенсивность попереч-ных пульсаций скорости; 0u – масштабное значение скорости потока).
Среднеквадратичная пульсация скорости v в рассматриваемых усло-виях с учетом выражения (12.9) определяется соотношением
u
Fpkv
u
pp
u
pv
2
021
. (12.10)
Учитывая то, что для изотермического потока отношение p есть
величина постоянная, пропорциональная квадрату масштаба скорости 20u ,
проведем некоторые преобразования выражения (12.10)
u
uFkv
u
pp
up
v202
021
. (12.11)
Заменив в выражении (12.11) местное значение скорости u на мас-штабное значение 0u и подставив его в соотношение (12.1), после некото-рых преобразований получим форму связи между коэффициентом æ и влияющими факторами в виде
,1ææ 0m
FC (12.12) где C и m – эмпирические коэффициенты.
Выражение вида (12.10) применимо в случаях, когда каждая демпфи-рующая полость сообщается с проточной частью посредством одного от-верстия или когда максимальное расстояние между отверстиями меньше размера энергосодержащих вихрей. В иных случаях выражение должно учитывать несовпадение фаз пульсаций параметров в разных молях. Учи-тывая случайный характер турбулентных пульсаций, это несовпадение можно учесть специальным сомножителем в правой части (12.12), полу-ченным из нормального распределения Гаусса
)1(exp1ææ 0 nqFCm , (12.13)
где q – эмпирический коэффициент; n – количество перфорационных от-верстий, приходящихся на каждую демпфирующую полость.
212
Как видно, рассмотренная модель предсказывает снижение интенсив-ности турбулентного переноса (ламинаризацию течения) около перфори-рованной поверхности с демпфирующими полостями. Однако пределы та-кого снижения так же, как и численное значения входящих в выражение (12.13) эмпирических коэффициентов, могут быть определены лишь экс-периментальным путем.
Исследования выполнены на установке, схема которой приведена на рис. 12.3 (демпфирующие полости на рисунке не показаны), а также в аэ-родинамической трубе лаборатории практической аэродинамики и летной эксплуатации воздушных судов Ульяновского высшего авиационного учи-лища гражданской авиации. Исследовались цилиндрический и плоский экспериментальные участки с близкими геометрическими характеристика-ми демпфирующих полостей и перфорационных отверстий.
Экспериментальный участок установки, фрагмент которого показан на рис. 12.4, представляет собой прямую тонкостенную (толщина стенки 1,1 мм) цилиндрическую трубу внутренним диаметром 32 мм и длиной 1 м. В стенке трубы выполнены перфорационные отверстия диаметром 0,8 мм, с помощью которых движущийся в трубе поток взаимодействует с демпфирующими полостями. Общее число отверстий, расположенных по всей поверхности трубы в определенной закономерности, равно 1800.
Отверстия объединены в отдельные компактно расположенные груп-пы. Каждая группа включает 5 отверстий. В каждой из этих групп цен-тральное отверстие располагается в центре окружности диаметром 10 мм, а 4 остальных равномерно распределены по этой окружности. Причем 3 от-верстия располагаются на прямой, параллельной оси трубы, и столько же в плоскости, перпендикулярной оси трубы и проходящей через ось цен-
рд
u
р
1
2
3
4 5 6
7
8 6 6
3
р
Рис. 12.3. Схема экспериментальной установки: 1 – входное устройство; 2 – экспери-ментальный участок; 3 – микроманометр; 4 – приемник полного давления; 5 – коорди-натное устройство; 6 – приемник статического давления; 7 – вентилятор; 8 – настроеч-ный вентиль
213
трального отверстия. Все группы отверстий равномерно расположены по поверхности трубы.
Демпфирующие полости образуются с помощью накладок, устанавли-ваемых на наружной поверхности трубы (см. рис. 12.4). На каждую группу из 5 отверстий приходится 1 демпфирующая полость, а общее их количе-ство на рабочем участке равно 360. Диаметр полости – 12,8 мм, высота – 9,6 мм. За счет относительного перемещения трубы и накладки в окружном направлении обеспечивается изменение количества отверстий n (от 1 до 5), соединяющих проточную часть с каждой полостью.
Второй участок представляет собой трехслойную пластину длиной 1 м. Его схема показана на рис. 12.5. Толщина первого (взаимодействую-щем с потоком) слоя составляет 1 мм. С помощью второго и третьего слоев формируются глухие демп-фирующие полости разного (за счет изменения толщины второго слоя) объема. Изме-нение количества отверстий, соединяющих проточную часть с каждой полостью, осуществляется за счет сме-ны первого слоя эксперимен-тального участка.
Измерение турбулент-ных пульсаций давления на обтекаемой поверхности трубы осуществлялось с по-мощью микрофона. При из-мерениях микрофон устанав-ливался на наружной по-верхности трубы, а его чув-ствительный элемент взаи-модействовал с проточной частью через перфорацион-ное отверстие. Мгновенный сигнал с микрофона поступа-ет в компьютер и обрабаты-вается по заданному алго-ритму. Частота его дискрети-зации составляет около 50 кГц.
Измерение турбулентных пульсаций скорости в пограничном слое на поверхности плоского экспериментального участка осуществлялось с по-мощью комплекта термоанемометрической аппаратуры. Измерения
Рис. 12.4. Цилиндрический экспериментальныйучасток
Рис. 12.5. Схема плоского экспериментально-го участка: 1 – первый слой; 2 – второй слойпеременной толщины; 3 – третий слой
1
3
2
u
214
выполнены для условий, при которых каждая демпфирующая полость со-общалась с проточной частью посредством двух перфорационных отверстий.
Влияние демпфирующих полостей выявлялось путем сопоставления результатов, полученных при их наличии и отсутствии. При этом сама об-текаемая поверхность с перфорационными отверстиями и условия прове-дения экспериментов сохранились одинаковыми (при отсутствии демпфи-рующих поверхностей перфорационные отверстия заглушались с наруж-ной поверхности стенки).
Результаты исследования представлены на рис. 12.6 – 12.10. Рис. 12.6 иллюстрирует влияние демпфирующих полостей на коэффициент гидрав-лического сопротивления трубы. Здесь число Рейнольдса Re подсчитано по среднерасходной скорости 0u потока и диаметру проточной части тру-
бы; 208 uw – коэффициент гидравлического сопротивления в пер-
форированной трубе; 0 – то же в гладкой непроницаемой трубе. Как видно, при отсутствии демпфирующих полостей полученные ре-
зультаты удовлетворительно соответствуют расчету по формуле Блазиуса для гладкой непроницаемой трубы. Наличие демпфирующих полостей приводит к существенному (до 35 %) снижению коэффициентов сопротив-ления трения. При этом имеет место немонотонное изменение степени снижения коэффициента трения в зависимости от количества отверстий, сообщающихся с каждой демпфирующей полостью (см. рис. 12.7). Наи-больший эффект имеет место при 32 n , что соответствует взаимодей-ствию с каждой полостью 3 – 6 соседних энергосодержащих вихрей.
-2,85
-2,80
-2,75
-2,70
-2,65
-2,60
-2,55
4,6 4,7 4,8 4,9
lg Re
lg (/
8)
Рис. 12.6. Сопротивление трения потока в перфорированной трубес демпфирующими полостями: – тестовый эксперимент длягладкой поверхности без полостей; , , , , – экспериментдля перфорированной поверхности с полостями и соответственнос 1, 2, 3, 4, 5 отверстиями; линия – расчет по формуле Блазиуса
25,0Re3164,0
215
Приведенные на рис. 12.7 результаты соответствуют усредненным в
исследованном диапазоне чисел Re значениям относительного коэффици-ента сопротивления.
Математическая обработка результатов исследования сопротивления трения позволила обобщить их в виде уравнения подобия
)]1(87,0exp[15,71)1(14,1
0
nFn
. (12.14)
Таким образом, для достижения максимального снижения сопротив-ления трения на обтекаемой поверхности количество перфорационных от-верстий, приходящихся на каждую демпфирующую полость, и расстояние между отверстиями должно выбираться из условия взаимодействия с каж-дой полостью 3 – 6 соседних энергосодержащих вихрей.
Численные значения коэффициентов qmC ,, в уравнениии (12.13) оп-ределялись путем увязки полученных экспериментальных данных по тре-нию и профилям скорости с результатами численных расчетов погранич-ного слоя с использованием модели пути смешения и выражения (12.13).
В итоге найдены следующие значения коэффициентов: ;510242,1 С .1;2 qm
На рис. 12.8 приведены временные ряды турбулентных пульсаций давления на стабилизированном участке перфорированной трубы без демпфирующих полостей и с полостями. Эксперименты проведены при следующих параметрах течения воздуха: температура 300T К; давление
1015,0p МПа; скорость на оси трубы 6,25u м/с; число Рейнольдса,
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0 1 2 3 4 5
Количество отверстий n
/ 0
Рис. 12.7. Влияние количества отверстий в демпфирующей полости на сопротив-ление трения: – эксперимент; ––– – численный расчет с привлечением модели пути смешения и зависимости (12.13); - - - – расчет по уравнению подобия (12.14)
216
подсчитанное по скорости на оси и диаметру проточной части, 410325,5Re .
Анализ приведенных на рис. 12.8 результатов позволяет отметить, что
глухие демпфирующие полости приводят к уменьшению интенсивности турбулентных пульсаций давления на стенке трубы (среднеквадратичные пульсации давления уменьшаются примерно на 38%). Из рис. 12.8 следует также, что демпфирующие полости влияют и на частотный спектр пульса-ций давления.
Рис. 12.9 иллюстрирует снижение интенсивности продольных пульса-ций скорости в пристенной области пограничного слоя на плоской перфо-рированной поверхности с глухими демпфирующими полостями. Резуль-таты получены для сечения, удаленного от передней кромки пластины на 0,85 м, при следующих параметрах течения воздуха: температура
290T К; давление 101,0p МПа; скорость за пределами пограничного слоя 23u м/с.
Из рис. 12.9 видно, что степень снижения интенсивности турбулент-ных пульсаций скорости увеличивается по мере приближения к стенке (здесь символом обозначена толщина пограничного слоя). Таким обра-зом, ламинаризация течения под действием глухих демпфирующих по-верхностей начинается от обтекаемой поверхности, тогда как ламинариза-ция под действием продольного отрицательного градиента давления начи-нается от внешней области пограничного слоя.
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0 20 40 60 80 100
а
2
02
u
p
, мс
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0 20 40 60 80 100
2
2
u
p
б
, мс
Рис. 12.8. Временные ряды пульсаций давления на поверхности трубы: а – бездемпфирующих полостей; б – с глухими демпфирующими полостями
217
На рис. 12.10 приведены результаты сопоставления относительного коэффициента интенсивности турбулентного переноса 0ææ , найденного расчетом по модели (12.13) и определенного экспериментально по выра-жению (12.4).
Как видно из рис. 12.10, имеет место удовлетворительное (расхожде-
ние лежит в пределах 3,5%) соответствие модели прямым измерениям тур-булентных характеристик потока.
Следует подчеркнуть, что ламинаризация потока около перфориро-ванной поверхности сопровождается снижением коэффициента трения, то-гда как ламинаризация под действием продольного отрицательного гради-ента давления приводит к его увеличению, хотя интенсивность теплоотда-чи при этом снижается. Отметим также, что реализация рассмотренного способа управления интенсивностью процессов турбулентного переноса совершенно не требует дополнительных энергетических затрат, но приво-дит к существенному положительному эффекту.
Рис. 12.9. Снижение интенсивностипродольных пульсаций скорости наперфорированной пластине с демпфи-рующими полостями
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1y/
0uu
Рис. 12.10. Коэффициент интенсив-ности турбулентного переноса: ли-ния – расчет по модели (12.13); – эксперимент
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5
0ææ
n
218
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Механика жидкости и газа – интенсивно развивающаяся наука. Это
развитие побуждается запросами практики. Интенсивно развиваются такие разделы механики жидкости и газа, как турбулентность и турбулентный перенос, отрывные течения, механика неоднородных потоков, механика разреженных газов, аэродинамика больших скоростей, магнитная газовая динамика.
219
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. М. : Наука, 1987. 840 с.
2. Аэрогидромеханика / Е. Н. Бондарев, В. Т. Дубасов, Ю. А. Рыжов и др. М. : Машиностроение, 1993. 608 с.
3. Дейч, М. Е. Техническая газодинамика / М. Е. Дейч. М. : Энергия, 1974. 592 с.
4. Самойлович, Г. С. Гидроаэромеханика / Г. С. Самойлович. М. : Машиностроение, 1980. 280 с.
5. Виноградов, Б. С. Прикладная газовая динамика / Б. С. Виноградов. М. : Ун-т Дружбы народов им. П. Лумумбы, 1965. 348 с.
6. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. М. : Наука, 1974. 711 с.
7. Хинце, И. О. Турбулентность / И. О. Хинце. М. : Физматгиз, 1963. 680 с.
8. Брэдшоу, П. Введение в турбулентность и ее измерение / П. Брэд-шоу. М. : Мир, 1974. 278 с.
9. Гришфельдер, Д. Молекулярная теория газов и жидкостей / Д. Гришфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд. М. : Изд-во иностр. лит, 1961. 929 с.
10. Дыбан, Е. П. Теплообмен и гидродинамика турбулизированных потоков / Е. П. Дыбан, Э. Я. Эпик. Киев : Наукова думка, 1985. 295 с.
11. Федяевский, К. К. Расчет турбулентного пограничного слоя не-сжимаемой жидкости / К. К. Федяевский, А. С. Гиневский, А. В. Колесни-ков Л. : Судостроение, 1973. 256 с.
12. Кутателадзе, С. С. Турбулентный пограничный слой сжимаемого газа / С. С. Кутателадзе, А. И. Леонтьев. Новосибирск : Изд-во СО АН СССР, 1964.
13. Лапин, Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа / Ю. В. Лапин. М. : Наука, 1970.
14. Ковальногов, Н. Н. Пограничный слой в потоках с интенсивными воздействиями / Н. Н. Ковальногов. Ульяновск : УлГТУ, 1996. 246 с.
15. Романенко, П. Н. Гидродинамика и тепломассообмен в погранич-ном слое. Справочник / П. Н. Романенко. М. : Энергия, 1974. 464 с.
16. Теория и техника теплофизического эксперимента / Ю. Ф. Горты-шов, Ф. Н. Дресвянников, Н. Н. Ковальногов и др.; под ред. В. К. Щукина. М. : Энергоатомиздат, 1993. 448 c.
17. Касилов, В.Ф. Справочное пособие по гидрогазодинамике для теп-лоэнергетиков / В.Ф. Касилов. М. : Изд-во МЭИ, 2000. 272 с.
Научное издание
КОВАЛЬНОГОВ Николай Николаевич
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Редактор Н.А. Евдокимова
ЛР № 020640 от 22.10.97. Подписано в печать 12.07.2010.
Формат 6084/16. Усл. печ. л. 13,02. Тираж 100 экз.
Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.
Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.