㈠化归法 ㈡假设法 ㈢逆推法

㈣㈣图解法 ㈤类比法

㈠化归法㈠化归法含义 例题

1例题 2 例题3

练习 1 练习2 练习3

用联系、运动、发展的观用联系、运动、发展的观点看待问题，把有待解决的问点看待问题，把有待解决的问题转化为一类已经解决的问题题转化为一类已经解决的问题或较容易解决的问题或较容易解决的问题

实质是：变形，促使矛盾转化实质是：变形，促使矛盾转化

例例 11 求自然数求自然数 1---1001---100 总不能被总不能被33 整除的所有数的和。整除的所有数的和。

总数和—能被总数和—能被 33 整除的数的和整除的数的和5050-5050- （（ 3+6+…+993+6+…+99 ）） =3367=3367

1—10001—1000 总不能被总不能被 1313 和和 3131整除的数有多少个？整除的数有多少个？

1—10001—1000 共有多少个数？共有多少个数？ 1313 的倍数有多少个？的倍数有多少个？ 3131 的倍数有多少个？的倍数有多少个？ 1313 和和 3131 的公倍数有多少个？的公倍数有多少个？

姐妹俩共养兔姐妹俩共养兔 100100 只，姐姐养只，姐姐养的兔子的的兔子的 1/31/3 比妹妹养的兔子比妹妹养的兔子的的 1/101/10 多多 1616 只。姐妹各养多只。姐妹各养多少只兔子？少只兔子？

妹妹养兔子的妹妹养兔子的 1/101/10

姐姐养的兔子的姐姐养的兔子的 1/31/3

多多1166只只

如果不多 16 只，就简单点

从总数从总数 100100 中去掉中去掉 33 个个 1616 只，那么只，那么姐姐养的兔子的姐姐养的兔子的 1/31/3 是妹妹养兔子的是妹妹养兔子的 1/11/100

姐姐养的兔子姐姐养的兔子

妹妹养的兔子妹妹养的兔子

52 只

也就是说：姐姐养的兔子是妹妹养兔子的也就是说：姐姐养的兔子是妹妹养兔子的 3/103/10

姐姐养的兔子姐姐养的兔子3/103/10

““1”1”

妹妹养的兔子妹妹养的兔子

52 只

52 只占妹妹的（ 3/10+1 ）

已知一个数的（ 3/10+1 ）是 52 ，求这个数 已知妹妹养的兔子的（ 3/10+1 ），是 52 只，求妹妹养的兔子的只数 ?

100-16×3100-16×3 ＝＝ 5252 （只）（只） 妹妹养的兔子只数为：妹妹养的兔子只数为： 52÷52÷ （（ 1+3/101+3/10 ） ） =40 =40 （只）（只） 姐姐养的兔子只数为：姐姐养的兔子只数为： 100-40=60 100-40=60 （只）（只） 答（略）答（略）

2cm

1cm

㈡假设法㈡假设法例题1

例题2含义

练习1 练习2 练习3

先对题目中已知条件或问题先对题目中已知条件或问题做出某种假设，然后按题中做出某种假设，然后按题中已知条件进行推算，根据数已知条件进行推算，根据数据上出现的矛盾，加以适当据上出现的矛盾，加以适当的调整，最后找到正确答案的调整，最后找到正确答案得以解决的解题方法得以解决的解题方法

鸡兔同笼，有头鸡兔同笼，有头 55 只有脚只有脚1616 只，鸡兔各多少？只，鸡兔各多少？

4 4 4 4 4

哇！多了 4 只耶？怎么搞的？假设我们都是兔

子

我们每人 4 条腿

4×54×5 ＝＝ 2020（只）（只）

20-16=420-16=4 （只）（只）4÷2=24÷2=2 （只）（只）

哦，正好 16 条腿，原来有两

只是公鸡！

板凳煎饼烙子板凳煎饼烙子 3333 ，， 100100 条腿朝着条腿朝着天，几条板凳几个烙子天，几条板凳几个烙子 ??

（板凳（板凳 1,1, 煎饼烙子煎饼烙子 32.32. ）） 三轮车、自行车共三轮车、自行车共 1010 辆，有轮子辆，有轮子

2929 只，三轮车、自行车各多少？只，三轮车、自行车各多少？ 22 元纸币和元纸币和 55 元纸币共有元纸币共有 99 张，共张，共

有有 2727 元， 元， 22 元纸币和元纸币和 55 元纸币各元纸币各有几个？有几个？

有蜘蛛、蜻蜓、蝴蝶三种动物有蜘蛛、蜻蜓、蝴蝶三种动物 1818只，共有腿只，共有腿 118118 条，翅膀条，翅膀 2020 对蜻蜓对蜻蜓有多少只？有多少只？

假设都有假设都有 66 条腿条腿 6×18=1086×18=108 （条）（条） 共少算（共少算（ 118-108118-108 ），每把），每把 88 条腿条腿

的动物算为的动物算为 66 条腿就少算（条腿就少算（ 8-68-6 ）条）条腿，所以应有腿，所以应有 88 条腿的动物：条腿的动物：

（（ 118-108118-108 ）） ÷÷ （（ 8-68-6 ）） =5=5（只（只 ))

应有应有 66 条腿的动物：条腿的动物： 18-5=1318-5=13 （只（只 ))

蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓蝴蝶是昆虫，

有 6 条腿蜻蜓、蝴蝶共有蜻蜓、蝴蝶共有

1313 只只

假设都有假设都有 11 对翅膀：对翅膀： 1×13=13(1×13=13( 对对 )) 比实际少算（比实际少算（ 20-1320-13 ）对翅膀，每把有）对翅膀，每把有

22 对翅膀的动物算为对翅膀的动物算为 11 对翅膀就少算对翅膀就少算（（ 2-12-1 ）对，所以应有）对，所以应有 22 对翅膀的动物：对翅膀的动物：

（（ 20-1320-13 ）） ÷÷ （（ 2-12-1 ）） =7=7 （只）（只）答：有答：有 77 只蜻蜓。只蜻蜓。

杨老师带领杨老师带领 4545 名同学到名同学到公园划船，共租用公园划船，共租用 1010 只船，只船，大船每只坐大船每只坐 66 人，小船每只人，小船每只坐坐 44 人，大小船各几只？人，大小船各几只？

别忘了算我一个！

一百馒头一百僧，大僧三个一百馒头一百僧，大僧三个便无增，小僧三分一个，大小便无增，小僧三分一个，大小僧人各几个？僧人各几个？

㈢逆推法㈢逆推法含义 例题1

练习 1例题 2练习 2

采用与事情发生过程相反采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题过程的顺序思考的解题过程

某数加上某数加上 1111 ，减去，减去 1212 ，，乘以乘以 1313 ，除以，除以 1414 ，结果是，结果是2626 ，这个数是几？，这个数是几？

+11 -12 ×13 ÷14

26×14÷13 ＋ 12 － 11 ＝ 29

26

29

有甲乙丙三个油桶，各盛油有甲乙丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶的油倒入乙、若干千克。先将甲桶的油倒入乙、丙桶，使它们各增加一倍，再将丙桶，使它们各增加一倍，再将乙桶的油倒入丙、甲桶，使它们乙桶的油倒入丙、甲桶，使它们各增加一倍，最后按同样的规律各增加一倍，最后按同样的规律将丙桶的油倒入甲、乙两桶。这将丙桶的油倒入甲、乙两桶。这时各桶的油都是时各桶的油都是 1616 千克。问原千克。问原来各桶有多少油？来各桶有多少油？

注意，计算时是逆运算！甲甲 乙乙 丙丙

最后有油最后有油 1616 1616 1616

丙倒油前丙倒油前 16÷216÷2 ＝＝ 88 16÷216÷2 ＝＝ 88 1616 ＋＋ 8×28×2＝＝ 3232

乙倒油前乙倒油前 8÷28÷2 ＝＝ 44 88 ＋＋ 44 ＋＋ 16=16=2828

32÷2=1632÷2=16

甲倒油前甲倒油前（原有油）（原有油）

4+14+8=4+14+8=2626

28÷2=1428÷2=14 16÷2=816÷2=8

李白无事街上走，李白无事街上走， 手中提壶去买酒，手中提壶去买酒， 遇店加一倍，见花喝一斗，遇店加一倍，见花喝一斗， 三遇店和花，三遇店和花， 喝光壶中酒。喝光壶中酒。 原有多少酒？原有多少酒？

诗仙喝多少？谁知道

[[ （（ 11÷÷2+12+1 ）） ÷÷2+1]2+1]÷÷22 ＝＝ 7/87/8（斗）（斗）第三次见花前有第三次见花前有 11

第三次遇店前第三次遇店前 1÷2=1/21÷2=1/2

第二次见花前第二次见花前 1/2 +1=1 ½1/2 +1=1 ½

第二次遇店前第二次遇店前 1 ½÷2=3/41 ½÷2=3/4

第一次见花前第一次见花前 3/4+1=1 ¾3/4+1=1 ¾

第一次遇店前第一次遇店前 1 ¾÷2=7/81 ¾÷2=7/8

诗仙海量！

一筐梨，甲取一半又一个，乙一筐梨，甲取一半又一个，乙取剩下的一半又一个，丙取乙取后取剩下的一半又一个，丙取乙取后的一半又一个，结果还剩一个，这的一半又一个，结果还剩一个，这筐梨有多少个？筐梨有多少个？

结果结果 11

丙取剩下的梨的一半又一个丙取剩下的梨的一半又一个 1+1=21+1=2

乙取后剩下乙取后剩下 2÷1/2=42÷1/2=4

乙取剩下的一半又一个乙取剩下的一半又一个 4+1=54+1=5

甲取后剩下甲取后剩下 5÷1/2=105÷1/2=10

甲取总数的一半又一个剩甲取总数的一半又一个剩 10+1==1110+1==11

总数是总数是 11÷1/2=2211÷1/2=22

㈣图解法㈣图解法

含义 例题1 例题2练习1

设法将条件、问题以及它设法将条件、问题以及它们的数量关系用线段图、韦恩们的数量关系用线段图、韦恩图、矩形图反映出来，使我们图、矩形图反映出来，使我们能借助图形进行分析推理，寻能借助图形进行分析推理，寻找解题途径。找解题途径。

某班某班 4545 名学生，其中名学生，其中 2020人参加了数学比赛，人参加了数学比赛， 1010 人参人参加了作文比赛。已知全班只加了作文比赛。已知全班只有一人既参加了数学比赛又有一人既参加了数学比赛又参加了语文比赛，求只参加参加了语文比赛，求只参加数学比赛没参加语文比赛的数学比赛没参加语文比赛的人数？两种比赛都没参加的？人数？两种比赛都没参加的？

数学比赛数学比赛 作文比赛作文比赛

20 101

16

19 9

45

有一些数字卡片，上面写有一些数字卡片，上面写

的数都是的数都是 33 或或 44 的倍数。其的倍数。其中中 33 的倍数的卡片占的倍数的卡片占 2/32/3 ，， 44的倍数的卡片占的倍数的卡片占 3/43/4 ，， 1212 的的倍数卡片有倍数卡片有 1515 张，这些卡片张，这些卡片一共多少张？一共多少张？

共多少张？

3 的倍数的卡片占 2/3

4 的倍数的卡片占 3/4

12 的倍数卡片

1/4 1/31- （ 1/4 +1/3 ）

15 张

15÷[1-(1/3+1/4)]=3615÷[1-(1/3+1/4)]=36 （张）（张）

托尔斯泰问题托尔斯泰问题 一组割草人要把两块草地割一组割草人要把两块草地割完，大的一块比小的一块大一倍，完，大的一块比小的一块大一倍，上午所有人在大的一块草地割草。上午所有人在大的一块草地割草。下午一半人仍留在大草地上，到下午一半人仍留在大草地上，到傍晚时割完。另一半人去小草地傍晚时割完。另一半人去小草地割地，到傍晚时还剩一块未割完，割地，到傍晚时还剩一块未割完，这块草地用一个人一天刚好割完。这块草地用一个人一天刚好割完。问这组割草人共有多少人？问这组割草人共有多少人？

大“大“ 1”1”

小 1/2上午

下午

1 人 1天

½-1/3

1/3

1/3

1/3 1/3

所有人一天工作总量为 4/3 ，每人每天 1/6 ，可以求什么？

全组人员一天割全组人员一天割 4/34/3 剩下的一块面积是剩下的一块面积是 1/2-1/3=1/6 1/2-1/3=1/6

是一人一天的工作量是一人一天的工作量 全组人数为全组人数为 4/3÷1/6=84/3÷1/6=8 （人（人 ))

㈤类比法㈤类比法含义 例题1 例题2 例题3

练习1

类比是根据两类事物有某种属类比是根据两类事物有某种属性相同，推测它们的另一些属性也性相同，推测它们的另一些属性也相同的推理。相同的推理。

在解题中，根据题中所求问题与已在解题中，根据题中所求问题与已知条件相类似的关系，利用类比推知条件相类似的关系，利用类比推理，找到模型，从而找到解题途径理，找到模型，从而找到解题途径的方法。的方法。

1/131/13 的分子分母同时加上一个的分子分母同时加上一个什么数以后，分数就可以约分为什么数以后，分数就可以约分为1/31/3 。。

妈妈妈妈 2525岁，女儿岁，女儿 22岁，过多少岁，过多少年后妈妈的年龄是女儿的年后妈妈的年龄是女儿的 22 倍？倍？

妈妈妈妈 2525岁，女儿岁，女儿 22岁，岁，

妈妈和女儿的年龄差妈妈和女儿的年龄差过多少年也是固定的过多少年也是固定的不变的不变的

妈妈的年龄是女儿的妈妈的年龄是女儿的 22倍？倍？

过多少年后过多少年后

分母分母 13 13 ，分子，分子 11

未约分时的分子和分未约分时的分子和分母的差在加上同一个母的差在加上同一个数后是固定不变的数后是固定不变的

分数就可以约分为分数就可以约分为 1/31/3（分母是分子的（分母是分子的 33倍）倍）

同时加上一个什么数同时加上一个什么数以后以后

约分以后分子和分母的差变化了约分以后分子和分母的差变化了

约分前后分子和分母倍数没变化约分前后分子和分母倍数没变化

所以先求出未约分的分数所以先求出未约分的分数

妈妈 2份

女儿 1份年龄差 1份，为 23岁

未约分的新分数的分母 3份

分母分子差 2份，

为 13-1=12未约分的新分数的分子 1

份

母女年龄差母女年龄差 25-2=23 25-2=23 （岁）（岁）母女年龄的倍数差母女年龄的倍数差 2-1=12-1=1母亲年龄母亲年龄 2×32=46 2×32=46 （岁）（岁）女儿年龄女儿年龄 23÷1=2323÷1=23 （岁）（岁）过过 23-2=2123-2=21 （年）（年）

原分子分母差原分子分母差 13-1=1213-1=12新分子分母倍数差新分子分母倍数差 3-1=23-1=2未化简的新分母为未化简的新分母为（（ 13-113-1 ）） ÷÷ （（ 3-13-1 ）） =6=6化简的新分母为化简的新分母为（（ 13-113-1 ）） ÷÷ （（ 3-1)×3=183-1)×3=18加上的同一个数为加上的同一个数为 18-13=518-13=5

时钟时钟 66 点整，分针与时针正好在点整，分针与时针正好在一条线上，至少在过多长时间，一条线上，至少在过多长时间，两针重合？两针重合？

甲乙两人在相距甲乙两人在相距 66 千米两地同时千米两地同时同向而行，甲每小时行同向而行，甲每小时行 11 千米，千米，乙每小时行乙每小时行 1212 千米，几小时后千米，几小时后甲追上乙？甲追上乙？

时钟时钟 66 点整，点整，

时针每小时行时针每小时行 11格格

分针每小时行分针每小时行 1212格格

至少在过多长时至少在过多长时间，两针重合？间，两针重合？

甲乙两人在相距甲乙两人在相距66 千米两地千米两地

甲每小时行甲每小时行 11 千千米，米，

乙每小时行乙每小时行 1212 千千米，米，

几小时后甲追上几小时后甲追上乙？乙？

12

6

39

1

2

11

10

8

7

4

5

12 格 / 小时

1格/小时

相距 6格

重合处

66 千米千米

甲甲 1km/h1km/h

乙乙 12km/h12km/h

几小时后甲追上乙？几小时后甲追上乙？

追及地

6÷6÷ （（ 12-112-1 ）） =6/11=6/11 （小时）（小时）

把把 10001000 个个 11立方米的正方体和立方米的正方体和在一起，堆成一个边长是在一起，堆成一个边长是 11 分米分米的正方体。把这个正方体的表面的正方体。把这个正方体的表面涂成红色，问：小正方体中，至涂成红色，问：小正方体中，至少有一面涂红的有多少各？少有一面涂红的有多少各？

把把 100100 个小正方形拼成一个大正个小正方形拼成一个大正方形，将大正方形的四周涂红。方形，将大正方形的四周涂红。问：小正方形中至少有一边被涂问：小正方形中至少有一边被涂红的有多少各？红的有多少各？

100-8×8=36100-8×8=36 （个（个 )) 1000-8×8×8=4881000-8×8×8=488 （个（个 ))

阿米巴繁殖问题阿米巴繁殖问题阿米巴是一种单细胞，繁殖方式是阿米巴是一种单细胞，繁殖方式是

分裂，成倍的增长：一变二，二变分裂，成倍的增长：一变二，二变四…。每次分裂需要四…。每次分裂需要 33 分钟。瓶子分钟。瓶子里放一个阿米巴，里放一个阿米巴， 11 小时候充满瓶小时候充满瓶子。如果开始放子。如果开始放 22 个，多少分钟后个，多少分钟后充满瓶子？充满瓶子？

共分裂共分裂 60÷360÷3 ＝＝ 2020 （次）（次） 放放 22 个时少分裂一次，即个时少分裂一次，即 20-1=1920-1=19

（次）（次） 3×19=573×19=57 （分）（分）