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1/32 平成 29 年 3 月 24 日(金)午前 11 時 25 分第四章電磁量子場：ベクトル場（次元あり）

【安江正樹＠東海大学理学部物理学科】

第四章電磁量子場：ベクトル場

マックスウエルの電磁理論

電磁場は古くから波として知られており、

( )xE ：電場、 ( )xB ：磁場

の２つで記述され、マックスウエルの方程式

, , , 0t t

r¶ ¶Ñ´ = + Ñ´ = - Ñ = Ñ =

¶ ¶D BH j E D B (4.1)

としてまとめられている。ここで、 ( )xB と ( )xH の違いは、 ( )xH は 0=D の時には、真性電流

jのみから決定されることであり

( ) ( )

( )0

0

0

magnetization,

Mt

M

x q q

mm

¶=

¶

= ´

= Ñ´æ öç ÷Ñ´ = + ÞÑ´ = ç ÷= -ç ÷è ø

の時

：：電荷磁場中で受ける力を通じて導入される。

：磁性体からの電流

：磁化場

D

B F B

j MB j j H j BM H M

v

(4.2)

のようにまとめることができる。同様に、 ( )xD と ( )xE の違いを、

( ) ( )0

0

0

porlarization,

Pt

P

x q q

ee

¶=

¶

=

= Ñ´æ öç ÷Ñ´ = ÞÑ´ = ç ÷= -ç ÷è ø

0の時

：：電荷電場中で受ける力を通じて導入される。

：誘電体からの電流

：偏極場

B

E F E

j PD j E DP E P

(4.3)

のようにまとめることができる。（問題０）

さて、力に関係するのは、 ( )xE や ( )xB であるが、これらは、ベクターポテンシャル

0 01,2,3 1,2,3

, , ,c

Ac

Am m

m mm

mf f= =

= =æ ö æ öç ÷ ç ÷= = -ç ÷ ç ÷è ø è ø

A A (4.4)

を用いても導入できる。4 元ベクトルの Am が、光子場を表すので

ベクトル場

という。これを用いると、

, ct c tc

ff ¶ ¶æ ö= Ñ´ = -Ñ - = -Ñ -ç ÷¶ ¶è øA AB A E (4.5)

である。(4.5)を 4 次元微分：

, , ,x c t x c t

mm m

m

¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ ö¶ = = Ñ ¶ = = -Ñç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø(4.6)

を用いて表す。まず、Ñ´ Aを成分で表すために、ベクトルの外積をレビ・チビタの記号とい



われる

( )123 231 312

213 321 132

1 0

1e e ee e e

= = =ìí = = = -î

それ以外は、 (4.7)

3 3

1 , 1, 2ijk ij k jj kk jk kj ijk ijk kk

i i je e d d d d e e d¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

= =

= - =å å (4.8)

を用いて、

( )

( )( )

1 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 1 2 231 3 1 123 2 33 32 3 2 12 1 2 21 2 13 1 3 3

1 2 3

, ,

, ,

, , jkjk j k

i i i

i

ijk j kjk k j kj

e e e e e e

e e e e

= = =æ ö´ = - - -ç ÷è ø

= + + +

= =

A B A B A B A B A B A B A B

A B A B A B A B AB A B

A B A B A B A B

(4.9)

と表す。1 従って、

( ) ijk j kie´ =A B A B (4.10)

である。Ñ´ Aに用いると

( ) ( ) , , ,jjijk k ijk k ijki j k x c t x c t

mm m

m

e e e ¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ öÑ´ = = = Ü ¶ = = ¶ = =ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶Ñ ¶ -¶ Ñ -

è ø è øÑA A A A (4.11)

と表せる。 ( )ii

= Ñ´B A に適用し

( ) ( ) ( )

( ) ( )00 0 0

12k k

ii

i ijk ijk ijk j k k ji

ii

j

i

j

i i

A A

A A Ac c c t

A

A

e e e

f

Ñ ¶

Ñ ¶

= Ñ´ = = = - ¶ - ¶

¶= - - = - - ¶ -- = - ¶

-

¶¶

AB A

E A(4.12)

を得る（問題１、問題２）。(4.12)から示唆される組み合わせとして

( )F A A Fmn m n n m nm= ¶ -¶ = - (4.13)

とすると、4 元に拡張したレビ・チビタの記号

01230 0123

11jki jki

ee e

e

=ì= Þ í

= -î(4.14)

を用いて、(4.12)より

( ) ( ) 01 12 2i ijk jk jkj k k j ijk j ki i jk i ii

A FA Fe e e e= Ñ´ = - ¶ - ¶ = - Þ = - = -B A B B

( )0 0 0i

i iiA FAc= - ¶ - ¶ = -

E (4.15)

なので（問題３）、

1添え字の重複は和をとる約束なので、 3

, 1ijk k ijk k

j jj ke e

=¶ = ¶ =åA A ( )3 1 2 3

1 2 31i k k i k k i k k

ke e e

=¶ + ¶ + ¶å A A A のことである。



( )

0 00

1

0 0 0

0

ii jj

i ii ii

ij ii jjijk k ijk k i j k k ijk k ijki k

i

j

F F Fc c

F

F

Fh h

e e h h e e e

¢ ¢==-

¢ ¢¢ ¢

æ ö= - = = - = -ç ÷è ø

æ öç ÷= - = - = - = - = -ç ÷ç ÷è ø

E E

B B B B B(4.16)

従って、

1 2 3 1 2 3

1 13 2 3 2

2 23 1 3 1

3 32 1 2 1

0 0

0 0

0 0

0 0

c c c c c c

c cF F

c c

c c

mnmn

æ ö æ ö- - -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- - -ç ÷ ç ÷

= Û ==ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- - -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- - -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

E E E E E E

E EB B B B

E EB B B B

E EB B B B

(4.17)

がわかる。また、

( )01231 12

F Fmn mnrsrse e= = - (4.18)

とすると、

1 2 3 1 2 3

3 2 3 21 1

3 1 3 12 2

2 1 2 13 3

0 0

0 0

0 0

0 0

c c c cF F

c c c c

c c c c

mnmn

- - -æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- - -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷= Û =- - -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- - -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

B B B B B BE E E EB B

E E E EB B

E E E EB B

(4.19)

がわかる（問題４）。つまり、

1 2 31 2 3

3 21 1

3 2

3 12 2

3 1

2 13 3

2 1

00

00,

00

00

c c c

c ccF Fc cc

c cc

mn mn

æ ö - - -æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷-ç ÷- - ç ÷ç ÷ ç ÷= =ç ÷ -ç ÷ç ÷- - ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ -ç ÷- -ç ÷ è øè ø

E E E B B BE EE BB B

E EE BB BE EE BB B

(4.20)

である。ここで、EとBの入れ替え

by ,F Fc cmn mn

æ ö® ® - ®ç ÷è ø

E EB B (4.21)

で互いに入れ替わるので、

互いに双対（dual）である

といわれる。



真空中でのマックスウエルの方程式をFmn を使って書き換えてみる。そこで、

0 00 0i i

i iF F F F Fmn n n n nm¶ = ¶ + Ñ+¶ = ¶ (4.22)

を考えると、

( )

000

0

0

00 00 0 0

0

00 0

2

ii

jj

ijijk k

F cFi i i

i i i

F cF

jj j iji i ijk k

jc t j

ijk i k ijk i k

F F F Fc

F F Fc

cc t c t

mm

em

m e

e e

==

=-=-

¶¶ =

¶

¶ = ¶ + Ñ = Ñ = Ñ

æ ö¶ = ¶ +Ñ = ¶ - +Ñ -ç ÷

è ø

¶ ¶= - - Ñ = - - Ñ

¶ ¶

E

EB

E

EB

EE

B B

(4.23)

i jk kie Ñ B を(4.11)を参考にして

( ) ( ) ( ), i j j i

k k ki j k j j ik j i jk ii i je e e

® ®

Ñ = Ñ´ Þ - Ñ = Ñ´ Þ - Ñ = Ñ´

名前の付け替え

B B B B B B (4.24)より

( )2 2j jj

ijk i k jF

c t c tm

m e¶ ¶

¶ = - - Ñ = - + Ñ´¶ ¶E E

B B (4.25)

以上から

( )02, jji

i jF F

c c tm m

m m

¶¶ = Ñ ¶ = - + Ñ´

¶EE B (4.26)

ここで、真空中では、

0 00 0

1, , t c

e mm e

¶ æ ö= = = - +Ñ´ =ç ÷¶ è øB D DH E j H (4.27)

に注意すると、 rÑ =D を考慮して、

0 00

0

, jjF Fm m

m mm r me

¶ = ¶ = j (4.28)

を得る。ここで、新たに、４次元電流として、0 1,2,3,j c

m mm r

= =æ ö= ç ÷è ø

j (4.29)

を導入すれば、

10 0

0 00 0 0 1,2,30 0 0 0

0 1,2,30 0 0 0

1 ,1 c

c jc

j j jc

e m

m m m mr r me e e

e me

=

=

= = = = =j (4.30)

を用いて、

0 00 0, j jF j F jm m

m mm m¶ = ¶ = (4.31)

となるので、



0F jmn nm m¶ = (4.32)

とまとめることができる。電磁エネルギーは、

( ) ( ) ( ) ( )12emE d x x x x= +é ùë ûò x D E H B (4.33)

で表わされる。真空中のばあいには、(4.27)が成立するので

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 0

1 1 12 2em

x xE d x x x x d x x

c ce

m mé ù é ù

= + = +ê ú ê úë ûë û

ò òE E

x E E B B x B B (4.34)

が分かる。2これを場の理論で求めることになる。

場の理論では、 Am を電磁場と見做している。そのとき、 0F jmn nm m¶ = は、F A Amn m n m n= ¶ -¶ を

用いると、

( )( ) ( )

0 0

0

F j A A j

A A j

mn n m n n m nm m

m n n m nm m

m m

m

¶ = Þ ¶ ¶ -¶ =

Þ ¶ ¶ -¶ ¶ =(4.35)

になる。特に、自由場（ 0jm = ）に対しては、

( ) ( ) 0A Am n n mm m¶ ¶ -¶ ¶ = (4.36)

になる。これが、電磁場の運動方程式になる。このとき、任意の関数Lを用い、

( ) ( )( ) 0m n n mm¶ ¶ ¶ L -¶ ¶ =L

恒等的に０

(4.37)

を満たしているとすれば、(4.36)に(4.37)を加えて

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

F A A A A

A A

mn m m n n mm

n n m m n n mm m m

m n n mm

n m

¶ ¶ ¶ L¶ = ¶ ¶ - ¶ = - ¶ ¶ L

¶ L

¶ ¶ - ¶ +

= ¶ ¶ + - + ¶¶ L(4.38)

である。このとき、

Am の見かけ上の違い： A A Am m m m¢Û = +¶ Lをもつ Am¢

を用いて光子の運動を記述してもは、同じ運動方程式を与えてしまい、同じ電磁場の物理を与

えるので、物理的に意味が無くなる。このこと電磁場理論のゲージ不変性といい、(4.37)を満た

すLを用いて

A Am m m¢ = + ¶ L (4.39)

を Am から Am¢ へのゲージ変換という。一方、(4.36)より

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0

1 1 12 2emE d x x x x d x x c x c xe e

mé ù

= + = +é ùê ú ë ûë û

ò òx E E B B x E E B B の場合は、(4.4)の Amを

( ),A cm f= A で定義する。



( )0 0A Am m nm m¶ = Þ ¶ ¶ = (4.40)

の場合を考察する事ができ、

0Amm¶ = をローレンツ条件 (4.41)

という。特に、真空中では、 0r = なので、 0Amm¶ = は、

0Ñ =A (4.42)になる。そして、

0AA mm

mm ¶¶ ¢= = を満たすLを用いる場合を、ローレンツゲージ

と呼ぶ。ローレンツ条件より

( )( )

00

A x

x

mì =ïí

L =ïî

(4.43)

が満たされている。

電磁場は横波として知られているように、進行方向に垂直な２つの成分のみ持つ。Am は 0,1,2,3A の

４つの成分を持つが、余分な２つの成分は、２つの拘束条件により消去される。そのときの拘

束条件が

ローレンツ条件： 0Amm¶ = 、ゲージ変換： A Am m m¢ = + ¶ L

である。

生成・消滅演算子

量子場のエネルギーは、「第二章ボーズ量子場：スカラー場」の(2.18)を参考にして

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

34 0 2 2 2 †

0

3†

0

1ˆ

2

H d p p p m c a aK

d a a K KK

c

c

mm

m

mm

m

wq d

ww

=

=

= - -

= - Ü - =

åò

åò に限る

p pp

p p p p pp

pp

p(4.44)

になり、同様に、粒子数は

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3

4 0 2 2 2 † †

0 0

1ˆ2dN d p p p m c a a a a

K Km m

m mm m

q dw= =

= - - = -å åò òpp p p pp

(4.45)

である。ここで、正しくは、Normal Product が必要である。更に、進行方向が 3 軸方向にとっ

た場合に、物理自由度としての２成分が、 ( )1,2am になっていること（(4.179)参照）に注意すると、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

1 † 1 2 † 2†

0a a a a a am

mm=

= - - +å p p p p p p (4.46)

を得るので、 Hと Nの表示として負符号に注意する（問題５）。ところで、電磁場の生成・消



滅演算子は、「Appendix 1:電磁場の解」を用いて、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4

††

1 1, a e a a e al l l l

m m m ml l

*

= =

= =å åp p p p p p (4.47)

で表せる。そこで、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4††

1 1

4†

, 1

4†

, 1

4 † 4 1 † 1 2 † 2 2 † 3

a a e a e a

a a

a a

a

e e

a a a a a a

e

a

e

l m l l lmm m

l l

l l l m l llm

l m lm

ll

l l

l l

l l

*

= =

¢

¢=

¢

¢

¢

=

¢*

¢

¢*

æ öæ ö= ç ÷ç ÷è øè ø

= Ü =

=

= - - -

å å

å

å

p p p p p p

p p

p p

p p p p p p

p

p

p p

p

p g

g

(4.48)

より、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

44 0 2 2 †

1

1 † 1 2 † 24 0 2 2

3 † 3 4 † 4

1 † 1 2 † 2

3 † 3 4 † 4

1ˆ

1

2

H d p p p m a aK

a a a ad p p p m

K a a a a

a a a adK a a a a

c

c

c

l ll

q d

q d

w

w

w

w

=

= - -

æ ö+ç ÷= -ç ÷+ -è ø

æ ö+ç ÷=ç ÷+ -è ø

åò

ò

ò

p p

p p p p

p

p

p

p

p p p

p p p ppp p p p p

(4.49)

である。すなわち、

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 † 1 2 † 2

3 † 3 4 † 4

1ˆ2

a a a adHK a a ac

aw

w

æ ö+ç ÷=ç ÷+ -è ø

òp p p pp

p p p p pp (4.50)

同様に、

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 † 1 2 † 2

3 † 3 4 † 4

1ˆ2

a a a adNK a a a aw

æ ö+ç ÷=ç ÷+ -è ø

òp p p pp

p p p p p(4.51)

を得る（問題６）。ボーズ量子場なので、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )† †ˆ ˆ, , ,N a a N a al l l lé ù é ù= - =ë û ë ûk k k k (4.52)

が要求されるので、[ ] [ ] [ ], , ,AB C A B C A C B= + を用いて

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 † 1 2 † 2 3 † 3 4 † 4

†

ˆ ,

1 ,2

1 ,2

N a a

d a a a a a a a a aK

d a a aK

l l

l

k k lkk

w

w¢¢

é ù = -ë ûé ù

= + + -ê úë û

é ù= - ë û

ò

ò

要請

計算

k k

p p p p p p p p p kp

p p p kp

g



( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

0† †

†

1 , ,2

1 ,2

j id a a a a a aK

d a a aK

k l

k k l kkk

d d

k l kkk

w

w

¢

=

¢¢

µ -

¢¢

æ öé ù é ùç ÷= - +ë û ë ûç ÷

è ø

é ù= - ë û

ò

ò

になるはず

になるはずp k

p p p k p k pp

p p k pp

g

g

(4.53)

kk klk ld¢¢=g g の性質を用いると

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )† , 2a a Kk lkk kl kk klk ld w d¢ ¢¢

é ù= Þ Þ = -ë ûp k p p kg g g g (4.54)

より、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )†, 0 & , 2a a a a Kl l l l llw d¢ ¢ ¢é ù é ù= = - -ë û ë ûp k p k p p k g が導かれる。

( ) ( )†ˆ ,N a lé ùë ûk 等からも同様な条件が導かれ（問題７）、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )†, 2a a Kl l llw d¢ ¢é ù¢ ¢= - -ë ûp p p p p p g (4.55)

が、生成・消滅演算子の基本式になる。同様に、(4.47)を用いて

( ) ( ) ( ) ( ) ( )†, 2a a Km n mnw d¢ ¢é ù = - -ë ûp p p p p p g (4.56)

となる（問題８）。

量子場の導入

フーリエ変換を使用して、座標空間での演算子を量子場 ( ) ( ) 0,1, 2,3A xm m = とし

( ) ( )( ) ( ) ( )†exp exp

2A d ipx ipxA x a am m mw

æ öæ ö æ ö= - +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè øò

p pp p

p(4.57)

のフーリエ変換とする。ここで、Aは適当な定数である。3 また、簡単な計算により

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )0

2

2

22 †

0 0 exp exp2p

A x Ad ipx ipxA x a ax xm

m m mw w

w

=

¶ é ùæ ö æ öÑ = = - - +ç ÷ ç ÷ê ú¶ ¶ è ø è øë ûò

pp p pp

(4.58)が成り立つことがわかる（問題１２）。これから、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 22 2 2

0 0 0 0 0 0

3

0

A x A xA x A x A x

x x x x x x

A x A x

m mm m m

n nn m n m

n =

¶ ¶ æ ö¶Ñ = Þ -Ñ = -Ñç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

= ¶ ¶ = ¶ ¶å(4.59)

なので、

( ) ( ) 0A x A xnn m m¶ ¶ º = (4.60)

3 定数の Aと電磁場の A(x)を、同じ文字で表しているが、混乱は無いと思う。



が成り立つ。「第二章ボーズ量子場：スカラー場」の(2.29)と比較すると、 0m = に対応するこ

とが分かる。つまり、

光子の質量は 0 である

と結論できる。実際は、ゲージ不変性により、光子の質量項（ ( )2mc A Am m ）が禁止されてい

るので、質量が 0 になっている。

「第二章ボーズ量子場：スカラー場」の(2.31)の導出過程を参考にして

( ) ( ) ( )( ) ( )2

, exp exp2

ip x x ip x xA KdA x A xm n mn wæ ö¢ ¢- -æ ö æ ö

¢é ù = - - -ç ÷ç ÷ ç ÷ë û ç ÷è ø è øè øò

pp

g (4.61)

を導ける（問題９）。これは、さらに

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 22 0 xp, eA xip x x

A KA x d p p m cpm n mn de¢é¢-æ ö

ù = - -ë - ÷ø

û çè

ò g (4.62)

と整理できる（問題１０）。同時刻（ 0 0x x¢= ）の交換関係を評価すると、

( ) ( ) ( )( ) ( )

0 00

2, exp exp2x x

p

i idA x A x A K im n mnw w¢ ==

æ ö¢ ¢- -æ ö æ ö¢é ù = - - -ç ÷ç ÷ ç ÷ë û ç ÷è ø è øè ø

ò p x x p x xp

pg (4.63)

になる。第２項は ( ) ( ) ( )( ) d f d f f= -ò ò は任意の関数p p p p p に注意して、

( ) ( ) ( )( ) ( )

0 00

2, exp exp 02x x

p

iA K

idA x A xm n mnw w¢ ==

æ ö¢ ¢- -æ ö æ ö¢é ù = - - =ç ÷ç ÷ ç ÷ë û ç ÷è ø è øè ø

ò p x x p x xp

pg (4.64)

である。同様に、「第二章ボーズ量子場：スカラー場」の(2.39)以降の導出過程を参考にして、

電磁場のエネルギー(4.34)比較用の不定要素として、係数 X を用いて

( ) ( ) ( )0 0

0,x x

A xA x i c

xXn

m mnd¢ =

¶é ù¢ ¢= - -ê ú¶ë û

x x g (4.65)

を要請する。係数 X は後ほど、(4.50)の Hが(4.34)の emE を導くように決定される。そのとき、

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )322

3 , 2

1 2 XA A A A K KX cK cKp

p = Þ = - = Ü - =

p p p p p

p(4.66)

である（問題１１）。すなわち、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4*

, 1

4 4††

1 1

††

, diag. 1, 1, 1,1

,

, 2 , , 2

e e e e

a e a a e a

a a K a a K

l l l l mll llm n mn m

l l

l l l lm m m m

l l

l lmn llm n w d w d

¢ ¢¢ ¢

¢=

*

= =

¢ ¢

¢ = = = - - -

= =

é ù¢ ¢ ¢é ù = - - = - -ë û ë û

å

å å

p p

p p p p p p

p p p p p p p p p p

g g g

g g



(4.67)及び

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

†2

2

3

03

4 2 22

23

0

exp exp2 2

, exp exp22

exp 2

A dA x a ipx a ipx A

ip x x ip x xdA x A x p

d

cXK

cX

ip x xcX pp p m c p

m m m

m n mn

mn

w p

ww

de

p

p

= - + Ü =

æ ö¢ ¢- -æ ö æ ö¢é ù = - - - Ü = =ç ÷ç ÷ ç ÷ë û ç ÷è ø è øè ø

= -¢-æ

-ö

çè

Ü- ÷ø

ò

ò

ò

p pp p p

p p

p p pp

g

g ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 0 0

0

0 0

,

, 0, , ,x x

x x x x

A x A xA x A x A x A x i cX

x xn n

m n m m mnd¢=

¢ ¢= =

= -¥ ¥

¢¶ ¶é ù é ù¢ ¢ ¢é ù = = = - -ê ú ê úë û ¶ ¶ë û ë û

x x g

(4.68)がわかった。ここに、係数 X は量子場のエネルギーが電磁場のエネルギー(4.34)を与えるよう

に決められる。また、(2.44)の

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2

24 0 2 2

3

23

, ex

ex

p exp22

p 2

ip x x ip x xc

i

dx x

p x xc d p p p m c

f fwp

pe d

æ öæ ö æ ö¢ = - -é ù ç ÷ç ÷ ç ÷ë û ç ÷è ø è øè ø

¢ ¢- -

¢-æ ö- -ç ÷

è ø=

ò

ò

pp

(4.69)

を用いると

( ) ( ) ( ) ( )0

, ,m

A x A x x xXm n mn f f=

¢ ¢é ù = - é ùë ûë û g (4.70)

が成立している。

生成・消滅演算子と量子場

「第二章ボーズ量子場：スカラー場」に習って、

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0

0

†

0

2

3

†

exp exp2 2

1 exp exp2

p c

p c

A d ipx ipxA x a a A

A x A d ipx ip

c

xi

X

ax

K

a

m m mw

mm m

w

w p=

=

é ùæ ö æ ö= - + Ü =ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û

¶ é ùæ ö æ ö= - - +ç ÷ ç ÷ê ú¶ è ø è øë û

ò

ò

p pp p p

p p

p pp p

(4.71)

より、 ( ) ( )A A- =p p に注意して

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

0

0

††

3

3 0

exp

exp

2

2

p

p

A x ipxa d A x ix

A x ipxa a d A x ix

KcX

KcX

mm m

w

mm m

w

wp

pw

=

=

¶æ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷¶ è øè ø

¶æ ö æ öº = - -ç ÷ ç ÷¶ è øè ø

ò

ò

p

p

pp x

pp p x

(4.72)

である（問題１３）。ここで、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

1e a a al l lm ll llm

l

¢ ¢* ¢ ¢

¢=

æ ö= ºç ÷è øåp p p pg g より、



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0††

0

3

3

2

2

exp

exp

A x i x ie a a d e A x ix

A x i x ie

KcX

Ka a d e A x ic xX

l m l l m mllm m

l m l l m mllm m

p

p

w w

w w

¢* *¢

¢

¶æ ö æ ö-= = +ç ÷ ç ÷¶ è øè ø

¶æ ö æ ö-= = - -ç ÷ ç ÷¶ è øè ø

ò

ò

p pxp p p x p

p pxp p p x p

g

g

(4.73)がわかる。

物理的量子場

物理的電磁場は、いわゆる横波のみの２成分である。そのため、

「ローレンツ条件」と「ゲージ変換」

を用いることになる。ローレンツ条件を用いると、

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

†3

†

4

1

2

exp exp2 2

exp exp 02

0 0


A d ipx ipxi p a p a

p a p e a p e

cXK

m m mm m m

m mm m

l l lm m mm m m

l

w p

w

=

æ öæ ö æ ö¶ = ¶ - + ¶ Ü =ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

æ öæ ö æ ö= - - + =ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

Þ = = Þ =

ò

ò

å

p pp p p

p p

p pp p

p

p p p p

(4.74)

より、

( ) ( ) 0p e lmm =p (4.75)

である。ｚ軸＋向きに進行する電磁波の場合には

3

1 1 01 1, , 02 20 0 1i i

pe p e p e p e pp

, 4

,

0 0 1 , ,0,0, , 0,0,

1,2,3e e p

0

p p p p p p

e p

, 4

,

0 0 1 ,

1,2,3e e

0

p p

e p

(4.76)

であるので（問題１４）、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

4

00

04 4 40

0

4

0

0

0 OK!!!

p e p e

p e p e

p e e

mm

mm

mm m

w

w w=

ì = - = - = - = -ïïíï

= - = - =ïî

Þ + =

e p

pp p pe p p p pp

p p pe p p p

p p

(4.77)

また



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 0 0 0 0 OK!!!i

ip e p e e p p em mm m± ± ± ± ±= - = ´ - × = - = Þ =

に垂直p

p p p p p e p p (4.78)

従って、

( ) ( ),| ,4 0p em m± =p (4.79)

を自動的に満たすのは、

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

4e e

em m

m±

· +

·

p p

p(4.80)

の組であることが分かる。そこで、(4.200)と(4.201)より

0 34

1

4 4

4 44 4

0 1

2 2

aa a

a e a e a e a e a

e a e a

a a a ae e e e

0

p

p pe pa p

p p p p p p p p p

p p p p

p p p pp p p p

(4.81)

に注意すると、

( ) 0p am m =p (4.82)

の条件を満たすには、(4.80)以外の成分の項：

4

4

2a a

e ep p

p p

(4.83)

が消える必要がある。そのため、

3 4a aa pp p (4.84)

を要求する。4 その結果、

44

3 4

2with

a aa e a e a e e

a a a

p pp p p p p p p

p p p

(4.85)

である。このように、常に 3 4a aa pp pが成立するように電磁場の理論を構成す

るのを「Gupta-Bleuler 法」という。5 残りの１成分：

4

4

2a a

e e

p pp p

(4.86)

は、

4 4a ap p

は、 4,a ap p

が演算子なので、決して成立しない。正しくは、(4.90)のように光子の状態

を表す波動関数 Y を用いて、 4a a p p と読み替える必要がある。

5 S.N. Gupta, Proc. Phys. Soc. (London), A63, 681 (1950); K. Bleuler, Helv. Phys. Acta, 23, 567 (1950).



4

0 0 10 0 1 1 0

, 0 2 01 3 0

e e0

p p

e p(4.87)

なので、

4

1001

pe e

p pp

(4.88)

に気がつくと、ゲージ変換の自由度を用いて

44

4

2

2

a a p

a ae a e a e e p

a ape a e a p

p p

p pp p p p p p

p pp p p p

p

(4.89)

より、に比例する項を 0 にするわけだが、演算子は 0 にできないので、電磁場の状態を Y と

して導入する。このとき、

( ) ( ) ( )†, , 0 , 0a am mm m mY = Y = Y Ü =p p p p p (4.90)

により確率振幅を定義でき、

( ) ( ), 0 amm¢ ¢Y = Yp p (4.91)

である。そして、(4.89)は

( ) ( ) ( ) ( )4012 0

a al

+ Y= -

Yp p

p

(4.92)

のようにlを設定すれば、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 e a e am mm + - - +¢Y = + Yp p p p p (4.93)

と書けることになる（問題１５）。期待したように２成分で電磁波が記述される。電磁理論は、

ゲージの取り方によらずに同じ結果を与えることが保証されているので、好きなゲージを選べ

る。従って、

( ) ( ) ( ) ( )4012 0

a al

+ Y= -

Y

p pp

(4.94)

の特別なパラメータを選んでおけば、 a p を改めて a p とみなすことにより、確率振幅を

はじめから



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 e a e am mm + - - +Y = + Yp p p p p (4.95)

と与えてよいことになる。また、この定義では、ローレンツ条件は

( ) ( ) ( ) ( )4a aY = Y p p (4.96)

になる。

量子場のエネルギー

量子場のエネルギーは、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 † 1 2 † 2 3 † 3 4 † 41ˆ2dH a ac a a a a a a

Kw

w= + + -ò

p p p p p p p pp pp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )†1 diag. 1, 1, 1,12

cd a aK

l lll ll

ww ¢¢ ¢= - Ü = - - -ò

p pp pp

g g (4.97)

である。ここで、ローレンツ条件

( ) ( ) ( ) ( )3 4a aY = Yp p (4.98)

を課すと、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 † 1 2 † 21ˆ2dH a a a a

Kc

wwY Y = Y + Yò

p p p p pp

p (4.99)

と与えられることに注意しておこう。さて、 Hは(4.73)の

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0†

3

03

exp

exp

2

2

A x i x ia d e A x ix

A x i x ia d

KcX

KcX

e A x ix

l l m mllm

l l m mllm

p

p

w w

w w

¢*¢

¢

¶æ ö æ ö-= +ç ÷ ç ÷¶ è øè ø

¶æ ö æ ö-= - -ç ÷ ç ÷¶ è øè ø

ò

ò

p pxp x p

p pxp x p

g

g

(4.100)

を用いて書き換えることができ、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )†1ˆ2dH a a

Kc l lll

ww ¢¢= -ò ppp p

pg

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

3 3

0

0

0

0

1 2

exp

2 2

expx x

K KcX cX

dK

A x i x id e A x ix

A x i x

c

id e A x ix

ll

a m mlam

b nl b nn

pw

w

w

p

w

w

w¢

*¢

¢=

= -

æ ö¶æ ö æ ö-- -ç ÷ç ÷ ç ÷¶ è øç ÷è ø× ç ÷¢¶æ ö ¢ ¢æ ö-ç ÷¢ ¢ +ç ÷ ç ÷ç ÷¢¶ è øè øè ø

ò

ò

ò

pp

p pxx p

p pxx p

pg

g

g

(4.101)

である。(4.97)から分かるように、 ( )a p と ( )†a p の時間については、同時刻なので、(4.101)では、示

してあるように 0 0x x¢ = の場合である。従って



( )1ˆ

2dH

Kll la l b

w¢ ¢= -

pp

g g g c ( ) Kwò p( )32 cp

KX ( )32 cp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0

0

exp

x x

A xd d e e A x i

x

A xi

X

iA x

x

a m b n mm

nn

w

w

*

¢ =

æ ö¶æ ö¢ -ç ÷ç ÷¶ç ÷è ø× ç ÷¢ ¢¶ -æ ö æ öç ÷¢ + -ç ÷ ç ÷ç ÷¢¶è ø è øè ø

ò

px x p p

p p x x

(4.102)

ここで、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e e e ell la l ad

a m b n a m b n a m b nll la l b l a l b abd¢ ¢=

* * *¢ ¢ ¢ ¢= =g g

g g g g gp p p p p p

より

( ) ( ) ( ) ( )e ea m b nab mn* =g gp p (4.103)

を用いて

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0

3 0 0

2

2 0

3

0 0 0

1ˆ exp2 2

1 exp2 2

x xX

A x A x iH d d d A x i A x i

x x

A xA x A x i A x ixd d d

AX xA x A xA x i i i

x x x

mmn nm n

mm n n

mn

mn nm

w w

p

w w

wp

¢ =

¢ ¢¶æ ö ¶ -æ ö æ ö¢ ¢= - - + -ç ÷ç ÷ ç ÷¢¶ ¶è ø è øè ø

é ù¶¢ ¢-ê ú ¢-¶ê ú¢= - -

¢ ¢¶¶ ¶ê ú+ -ê ú¢ ¢¶ ¶ ¶ë û

ò

ò

p p p x xp x x

p pp x x

p x xp

g

g

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

2

3 2 0 0

3 0 0

1 exp2 2

1 exp2 2

x x

x x

x x

A x A x id d d A x A x

x x

A x A x id d d i A x A x

xX x

Xmmn n

m n

mmn nn m

w

p

w

p

¢ =

¢ =

¢ =

æ öç ÷è ø

¢ ¢é ù¶ ¶ -æ ö¢ ¢= - + -ç ÷ê ú¢¶ ¶ è øë û

¢ ¢¶é ù¶ -æ ö¢ ¢- - + -ç ÷ê ú¢¶ ¶ è øë û

ò

ò

p p x xp x x

p p x xp x x

g

g

(4.104)ここで第２項は、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 exp 0x x

A x A x id d d i A x A x

x xmmn n

n m

w

¢ =

¢ ¢¶é ù¶ -æ ö¢ ¢- + - =ç ÷ê ú¢¶ ¶ è øë û

ò p p x x

p x xg (4.105)

で消える（問題１６）。従って、

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 2

0 0

0 0

2

3 2 0 0

2

3 2 0 0

3

1ˆ exp2 2

1 exp2 2

1 2 2

x x

x x

A x A x iH d d d A x A x

x x

A x A x id d d A x A x

x x

d d d A x A x i

X

X

X

w

mmn nm n

mmn nm n

mnm n

wp

p

p

=

¢ =

¢ =

é ù¢ ¢¶ ¶ -æ öê ú¢ ¢= - + -ç ÷ê ú¢¶ ¶ è øê úë û

¢ ¢¶é ù¶ -æ ö¢ ¢= - + -ç ÷ê ú¢¶ ¶ è øë û

¢ ¢= - Ñ

ò

ò

ò

p p

p p x xp x x

p x xpp x x

p x x

g

g

g( ) ( ) ( )

0 0

20 0 exp

x x

A x A x ix xm n

¢ =

¢ ¢¶é ù¶ -æ ö+ -ç ÷ê ú¢¶ ¶ è øë û

p x x



(4.106)

ここで、 ( )2iÑ の項を部分積分によって評価すると

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

2

3 2

exp

2

x x

x x

id d d A x A x i

d d i A x A x

m n

m np d

¢ =

¢ =

¢-æ ö¢ ¢ Ñ -ç ÷

è ø

¢ ¢ ¢= - Ñ

ò

ò

p x xp x x

x x x x

(4.107)

と変形できるので（問題１７）、

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0 0

3 23 0 0

20 0

0 0

1ˆ 22 2

1 2

1 2

1 2

x x

A x A xH d d A x A x

x x

A x A xd A x A x

X

X x x

A x A xd A x A x A x A x

x x

d A x

X

A xX

mmn nm n

mmn nm n

mmn nm n m n

mnm n

p dp

¢ =

æ ö¢¶é ù¶¢ ¢ ¢= - - -Ñ +ç ÷ê úç ÷¢¶ ¶ë ûè ø

¶é ù¶= - -Ñ +ê ú¶ ¶ë û

¶é ù¶= - Ñ -Ñ +Ñ Ñ +ê ú¶ ¶ë û

= - -Ñ

ò

ò

ò

ò

x x x x

x

x

S

g

g

g

g ( ) ( ) ( ) ( )0 0

A x A xd A x A x

x xm n

m n

é ù¶æ ö¶+ Ñ Ñ +ê úç ÷¶ ¶ê úè øë ûò x

( ) ( ) ( ) ( )0 0

1 2

A xA xd A x A x

xX x

mmm

m

æ ö¶¶= - Ñ Ñ +ç ÷¶ ¶è ø

ò x (4.108)

以上から、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )†0 0

1 1ˆ2 2

A xA xdH a a d A x AX

c xK x x

ml l mll m

mww

¢¢ æ ö¶¶= - = - Ñ Ñ +ç ÷¶ ¶è øò ò

p p p xp

p g

(4.109)が、電磁場のエネルギーを与える。エネルギーの係数の負符号は見かけ上であり、物理自由度

の A1,2に対しては、( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2 3

0 0 0 0 0 0

A xA x A x A x A x A xx x x x x x

mm æ ö æ ö æ ö æ ö¶¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= - - -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø è ø è ø è øになるので、

( ) ( )2 21 2

0 01ˆ2

A x A xH d

x x

æ öæ ö æ ö¶ ¶ç ÷= + +ç ÷ ç ÷ç ÷¶ ¶è ø è øè øò x として正になっている。

量子場のラグランジアン

さて、エネルギーが求まったので、そのエネルギー密度を ( )xH で表すと、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

1ˆ : : : :2

A xA xH d x d A x A x

x xX

mmm

m

¶¶= º - Ñ Ñ +

¶ ¶ò òx xH (4.110)

とわかる。つまり、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

12

A xA xx A x

XA x

x x

mmm

m

æ ö¶¶= - Ñ Ñ +ç ÷¶ ¶è ø

H (4.111)



になる。このエネルギー密度は、ラグランジアン密度（ ( )xL とする）から、

( ) ( ) ( )0

0

x Ax xxA

x

m

m

¶ ¶= -

¶æ ö¶¶ç ÷¶è ø

LH L (4.112)

と与えられる（「付録：ラグランジアン密度とエネルギー密度」ファイル）。 ( )xL として

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

12

A xA xx A x A x

x xX

mmm

m

æ ö¶¶= Ñ Ñ -ç ÷¶ ¶è ø

L (4.113)

をとればよいことが分かる（問題１８）。この表記は、もう少しコンパクトになり

( ) ( )( ) ( )( )12

x A A xX

xn mn m= - ¶ ¶L (4.114)

である。更に、

( ) ( )1 with 04

FX

x F A xmn mmn m= - ¶ =L (4.115)

と表わせる（問題１９）。この ( )xL を用いると(4.111)と一致することがわかる。以上から、

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0 00

1 with 04

1 1 2 2

12

x F F F A x A x A x

A xA xA x A x A x A x

x x

A xx A xx A x A x A x

x x

X

A

X X

X

mn mn m n n m mmn m

mmm n m

m n m

mmm m

mm

= - = ¶ - ¶ ¶ =

æ ö¶¶= Ñ Ñ - = - ¶ ¶ç ÷¶ ¶è ø

æ ö¶¶ ¶= ¶ - = - Ñ Ñ +ç ÷¶ ¶¶ ¶ è ø

L

LH L

(4.116)

が量子場のラグランジアン密度とエネルギー密度になる。とくに、(4.17)を用いて、ラグランジ

アン密度を ,E Bであらわすと、

( ) 1 14 2X X

x F Fc c

mnmn

æ ö= - = × - ×ç ÷è øE E B BL (4.117)

を得る（問題２０）。

量子場と電磁エネルギー

場の理論で求めたエネルギーが、(4.65)の係数 X をどう調整したら真空中の電磁気学のエネル

ギー(4.34)を与えるかを調べておかないといけない。(4.34)を、

, , ,At c

m ff ¶ æ ö= Ñ´ = -Ñ - = ç ÷¶ è øAB A E A (4.118)

を用いて、 Am を書き換える。物理的な自由度は、(4.93)の場合、 0 0Acfæ ö =ç ÷

è ø= と見做せるので、

( ), , 0,At

m¶= Ñ´ = - =

¶AB A E A (4.119)

である。電磁気学のエネルギー(4.34)より、



0 0

1 12 2emE d d

c c c t c tm m¶ ¶æ ö æ ö= × + × = × + Ñ´ ×Ñ´ç ÷ ç ÷¶ ¶è ø è øò ò

E E A Ax B B x A A (4.120)

になるので、(4.8)と(4.11)より

( ) ( ) ( )

j k j k

j k j k

ijk ij k jj k j k

j k

j k j kj

k j

k ke e d d d d¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢

¢Ñ´ Ñ Ñ

Ñ - Ñ

Ñ´ = Ñ = Ñ

= Ñ Ñ

-A AA

AA A

A A

A

A(4.121)

を用いて、 0x ct= を考慮して

0 00

12em j k j kj k k jE d

x xm¶ ¶æ ö= × + Ñ × Ñ ×Ñ - Ñç ÷¶ ¶è øòA Ax A AAA (4.122)

を得る。ここで、第 3 項は、真空中の光子に適用したローレンツ条件： 0Amm¶ = の 0Ñ =A の結

果消える。つまり、第 2 項は、部分積分を 2 回すると

第 2 項＝ ( )0

1 02emE dm

= Ñ × =Ñò x AA (4.123)

になるからである（問題２１）。従って、(4.122)は、

0 00

12em j k j kE d

x xm¶ ¶æ ö= × + Ñç ÷¶ ¶ ø

Ñèò

A A Ax A (4.124)

を得る。(4.124)は、4 次元ベクトルに書き換えるように、3

0 0

0A A A A A Am m

m mm=

æ ö- × = =ç ÷

è øåA A を参考

にして、 0 0A = を付け加えて

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 00

0

0 00 0

00

12

1 2

em j j j k j kE dx x x x

A xA xd A x A x

x

A A A A

x

mm m

m

m

m

Ñ Ñ Ñ Ñæ ö¶ ¶ ¶ ¶

= - × + -ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è ø¶æ ö¶

= - +Ñ Ñç ÷ø

-

¶ ¶è

ò

ò

A AA Ax

x(4.125)

である。従って、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00

12em

A xA xE d A x A x

x x

mm m

mm¶æ ö¶

= Ü = - + Ñ Ñç ÷¶ ¶è øò x x xE E (4.126)

を得る。比較する量子場のエネルギーは、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

1ˆ2

A xA xX

H d A x A xx x

mmm

m

æ ö¶¶= Ü = - Ñ Ñ +ç ÷¶ ¶è øò x x xH H (4.127)

であるので、比較すれば、(4.126)と同じ、場の理論での光子のエネルギーは、

0X m= (4.128)で与えられる。つまり、(4.65)において

( ) ( ) ( )0 0

00,x x

A xA x i c

xn

m mnm d¢ =

¶é ù¢ ¢= - -ê ú¶ë û

x x g (4.129)

を要請することになる。従って、(4.68)は、(4.129)を用いて



( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

†3

4 4††

1 1

20

30 0

2

exp exp2 2

,

, exp exp22


a e a a e a

ip x x ip x xdA x A x c p

cKm m m

l l l lm m m m

l l

m n mn

w p

wwp

m

m

*

= =

æ öæ ö æ ö= - + Ü =ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø

= =

æ ö¢ ¢- -æ ö æ ö¢é ù = - - - Ü = =ç ÷ç ÷ ç ÷ë û ç ÷è ø è øè ø

ò

å å

ò

p pp p p

p p

p p p p p p

p p pp

g

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0 0

200

0

4 2 2 2 03

0

0 0 0

,2

,

, 0

,

e p

,

x

m

x x

x x x x

d p p m c p

x x

A x A x

A x A x

i

A x

p x xp

A x i cx

c

x

mn

mn

m n

n nm m mn

dp

f f

d

m e

m

m

=

¢=

¢ ¢= =

= - - Ü = -¥ ¥

¢= - é ùë û

¢é ù =ë û

¢¶ ¶é ù é

¢-æ ö-ç ÷è

ù¢ ¢= = - -ê ú ê ú¶ ¶ë û ë

ø

û

ò

x x g

g

g

(4.130)と変更され、更に、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

34 0 2 2 2 †

0

3†

0

1 † 1 2 † 2 3 † 3 4 † 4

0

0

0

00

0

0

1 1ˆ : : : :

1 1 : :2

1 1 : :2

1 : :2

14

H d x d p p p m c a aK

d a aK

d a a a a a a a aK

A xA xd A x A x

x x

x F F F A

c

c

c

x A x

mm

m

mm

m

mmm

m

mn mn m n n mmn

m

m

m

m

w

w

q d

w

w

m

w

=

=

= = - -

= -

= + + -

¶¶= - Ñ Ñ +

¶ ¶

= - = ¶ - ¶

åò ò

åò

ò

ò

p

p

p

x p p

p p pp

p p p p p p p p pp

x

H

L ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 00 0

with 0

1 1 2 2

A x

A xA xA x A x A x A x

x x

mm

mmm n m

m n mm m

¶ =

æ ö¶¶= Ñ Ñ - = - ¶ ¶ç ÷¶ ¶è ø

(4.131)である。6

荷電粒子に働く電磁力とラグランジアン（古典力学）

さて、質量mで電荷 qを持つ荷電粒子が光子から受ける力は、古典力学では

( ) ( )2

2 , , d dm q t q tdt dt

æ ö= + ´ = ºç ÷è ø

x xE x B x xv v (4.132)

である。この運動方程式は、ラグランジュの運動方程式から出すことができ、ラグランジュ関

6 ( ),A cm f= A の場合は、係数

0

1m

が 0e に変わる。



数 L用いて

( ) 1,2,3 for , ,i i

d L L i x y zdtæ ö¶ ¶

= =ç ÷¶ ¶è øx x(4.133)

である。 Lとして

( ) ( ), ,2mL q t q tf= × + × - x x x A x x (4.134)

を用いると、(4.133)から(4.132)が導かれる。つまり、

i

d Ldtæ ö¶ç ÷¶è øx

は・・・

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

1

3

1

, , ,2

,

,

,

,

, ,

,

i ii i

i i ii

i ij

j j

i ii

i

i

j

i

j j

d t

L m q t q t m q t

d L d m q t m qdt dt

t tt

t td L

d

m qdt t

t

d tdt

f

=

=

¶ ¶ æ ö= × + × - = +ç ÷¶ ¶ è ø

ì æ ö¶= + = +ï ç ÷¶ï è øÞ í

¶ ¶ï = +ï ¶ ¶îæ ö¶ ¶æ ö¶

Þ = + +ç ÷ç ÷ ç¶ ¶ ¶è ø è ø

å

å

x x x A x x x A xx x

x A x rx

A x A xx

x

A x A x

x

xx

A x

A

xx ÷

(4.135)

i

L¶¶x

は・・・

( ) ( ) ( ) ( )3

1

, ,, ,

2j

jji i i i

t tL m q t q t q qf

f=

¶ ¶¶ ¶ æ ö= × + × - = -ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è øå

A x xx x x A x x x

x x x x(4.136)

を用いて、(4.133)より

( ) ( ) ( ) ( )3

1

, ,,, i i

ij

j ji

j

i

ttm q q

tq

ttf

=

¶æ ö¶ ¶= - - + -ç ÷ç ÷¶ ¶è ø

¶¶ ¶å

A xx A x A xx

x xx

x(4.137)

と計算される。(4.137)で、成分をベクトルに変更：

( ) ( )

, ,

,,

ii

i

i

t t

¶¶

ì ® ® ®Ñïíï ®î

xx

A x

x x x

A x(4.138)

して、

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), ,,

,mt

tq t q tt

f¶æ ö

é ù= - + + - ÑÑ Ñç ÷ ë û¶è ø r xA A xxx x

A x(4.139)

を得る。ここで、 ( )( ) ( ) ( ), , tt - ÑÑ xA x A xx に

【公式】 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )´ Ñ´ = Ñ × - ×Ñ ×Ñ - ´ Ñ´A B A B A B + B A B A (4.140)



を用いて、 0iÑ =x に注意して、

( )( ) ( ) ( ) ( )( ), ,, t t t- ´ Ñ´Ñ =Ñ A xx x x A xxA (4.141)

を得るので（問題２２）

( ) ( ) ( )( ),,

,m q t qtt

tf¶æ ö

= - +ç ÷¶è´ Ñ´

øÑ + x x

A xx A x (4.142)

を得る（問題２３）。(4.5)より

( ) ( ), ,m q t q t+= ´x xE x B x (4.143)

が得られ、(4.132)と一致する。

(4.143)からハミルトニアン（エネルギー）を計算する事ができて、

( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,2

,H L mt t q t q tfæ ö× + ×= -ç× - = × - ÷è ø

x x x x x x x Ax x xp p p (4.144)

であるが、

( ),0

, tH¶=

¶ x px

(4.145)

より、

( ),m q t= +p x A x (4.146)

を得る。(4.144)から、(4.146)を用いて xを消去し

( ) ( )( ) ( )2 ,2

, 1, ,t q t qm

H tf- +=x p p A x x (4.147)

を得る。或いは、

( ) ( )( )21, ,2

H q t q tm

f- -=x A xp (4.148)

である。

量子力学では、(4.148)で演算子 ˆˆ ˆ, ,Hx p に置き換えて、

( ) ( ) ( )( ) ( )21ˆ ˆ ˆ,2

ˆ ,H q t t q t tm

f y y=é ù- -ë û A xpx (4.149)

を得る。状態 ( )ty に対して、

( ) ( )

( ) ( ) ( )

ˆ

ˆ

,ˆ

i i

i i i

H t ih tt

t t ti i

y y

y y y

¶ì =ï ¶ï

=íïï = Ñ = Ñî

x x x x

x p x x

(4.150)



を用いると、シュレディンガー方程式として

( ) ( ) ( ) ( )21 ˆ, , , ,

2i q t t q t t

t m if y yæ ö= Ñ

¶é ùç- -ê ÷è øú¶ë û

x x A x x (4.151)

を得る。(4.151)は、次の変換

( ) ( ) ( ), , exp ,qt U t U i ty y æ ö¢ = Ü = - Lç ÷è ø

x x x (4.152)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , ,

, , ,

t t tt

t t t

f f ¶ì ¢ = + Lï ¶íï ¢ = -ÑLî

x x x

A x A x x(4.153)

で不変になることが分かる。つまり、

( ) ( ) ( ) ( )21 ˆ, , , ,

2i q t t q

it t

t mf y yæ ö= Ñ

¶é ù¢ ¢ ¢ ¢- -ê ç ÷è øú¶ë û x x A x x (4.154)

に、(4.153)を用いれば、(4.154)から(4.151)が得られることになる（問題２４）。従って、

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, , , , ,, , , , ,t t t

t t t

y f

y f

ìïí ¢ ¢ ¢ïî

x x A x

x x A xのどちらを用いても同じ物理結果

が得られる。(4.153)を 4 元ベクトル表記：

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

0

0

: , : , , , ,

1: , : , , , , ,

1 , ,

,

A t tx c t

A t t tx c

t A tc

t cA t

mm

mm

f

f¶ ¶ì æ ö ì æ öÑ =ç ÷ ç ÷ï ï¶ ¶è øï ï è ø

í í¶ ¶æ ö æ öï ï-Ñ - = -ç ÷ ç ÷ï ï¶ ¶è ø è øîî

x A x A x

x A x A x

x

x(4.155)

を用いれば

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0

00

0,, ,

,

, , , , 1,2,3

, , , ,

,

,

,

,

,

, ,

ii i i

i i i

i

i

i ii

t tt

c c c t

t t t A ti

t

A t tx

A t t

A t tx

A t t

t

x

xt t A

f fìï¢ ¶ ï= + L = í¶ ïïî

ì ¢ ¢= - Ñ L Þ =ïï =íï ¢ ¢- =

¶+ L¶

¶+

¶+ L¶

¶

- + Ñ L Þ =ïî

+ L

L

¶

¶

x x

x x

xx x

x

A x A x x x

A x A x x x

x

x x(4.156)

と表せるので、結局、

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , ,

, , ,

A t A t tx

A t A t tx

m m

m

m m m

¶ì ¢ = + Lï ¶ïí

¶ï ¢ = + Lï ¶î

x x x

x x x(4.157)

とまとめられる（問題２５）。これは、ゲージ変換(4.39)と一致する。

ゲージ変換と電磁相互作用

電磁相互作用は、相互作用のゲージ不変性により決められている。そのため、(4.152)と(4.157)の変

換が重要になる。ここで、(4.151)より示唆される微分として



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

2

0, , ,

ˆ, , ,

1 ˆ, , , ,2

j jj jj j

ct x x

t

i q t t q t tt m

qi

i i

cA t A t

t A t Ai

i q i iq i c i

q qq i i txx

f y y

f

¶é ù- -ê ú¶ë ûì æ ö- = - = +ç ÷ï

¶ï è øÞ í

æ ö= Ñç ÷è

¶ ¶¶ ¶

ø

æ ö æ

¶¶

Ñ¶

ö=ç¶ï - = - - ÷ ç +

è ø øïî÷¶è

x x x

A x x

A x

x

x x x

(4.158)

より、4 次元表記にまとめられ

( ) ( )

( ) ( )

00

00

: , , : ,

, : , :

,

, ,

qD i A Ax x

qD

A

i A t A Ax x

tx

x

m mm

m m m

m m

mm

¶ ¶ ¶æ ö= + Ü Ñ -ç ÷¶ ¶è ø¶ ¶ ¶æ ö= + Ü -Ñç ÷¶ ¶ ¶è ø

¶

A

x

x

A(4.159)

を用いると良い。(4.159)の

,D Dmm を共変微分

という。従って、(4.151)はの微分演算子は

( ) 00,q t cD ci D

ti if¶

- = =¶ x (4.160)

( ) ( )ˆ, 1,2,3i iii

i iDi

q t D i- =Ñ - = = A x (4.161)

と書き換えられる。場が(4.152)のゲージ変換を受けるとき、

( ) ( )( ) ( )

( ), , ,exp

, ,D t D t iq tD t D t

UU

U

m m

m m

y y

y y

¢ ¢ì = Læ öï Ü = -í ç ÷¢ ¢ = è øïî x x xx x

(4.162)

である（問題２６）。

微分を共変微分におきかえると電磁相互作用がわかる。これを

極小相互作用／ミニマル相互作用（minimal interactions）

という。ここで、 ,D Dmm の空間成分をDとして

( ) ( ) ( )0 0, : , , : ,q t D Di Di D mm= Ñ+ Ü - D A x D D (4.163)

とおけば、 ( )xf や ( )xy にたいして、「第二章ボーズ量子場：スカラー場」の(2.123)と「第三章フ

ェルミ量子場：スピノール場」の(3.92)より

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

22 2

0 00 0

22 2 20

, x xmcx D x x x x

mcx D x x x

mf f f ff f

f f f

**

¶ ¶æ ö= - = ¶ + ¶ -ç ÷ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

æ ö= + + ç ÷è ø

L LL H L

H D

(4.164)



( ) ( )x x i Dy=L ( ) mc x Dyæ ö-ç ÷è ø

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

00

0 00 0

,

D D

x xx x x i q A t

mm

a aa a

g g

y y yy y

= = +

¶ ¶= ¶ + ¶ - = - Ñ -¶ ¶ ¶ ¶

D

xL L

H L

g

g ( )mc xyæ ö+ç ÷è ø

(4.165)

を得る。このとき、

ラグランジアン密度は、ゲージ不変性を満たしている

事が分かる（問題２７）。

さて、 ( )xf や ( )xy の光子との相互作用項（ 0e® で消える項）を取り出し、添え字 int で表し、電

荷をそれぞれ

( )( )

eq x

eq xf

y

f

y

ìïíïî

(4.166)

とすれば、相互作用項として、

( )

22†

int

22† 0 †

int 0

eq eq eqi A A A A

eq eq eqi A A A A A

f f ym mm m

f f ym mm m

f f f y y

f f f f f y y

ì æ ö= - ¶ + -ï ç ÷

ï è øí

æ öï= - ¶ - ¶ - +ç ÷ï

è øî

L

H

(4.167)

を得る。ここで、 m¶

は「第二章ボーズ量子場：スカラー場」の(2.64)で導入された

( ) ( )† † †m m mf f f f f f¶ = ¶ - ¶

(4.168)

である。



Appendix 1:ゲージ変換

電磁場は質量の無い光子であり、 ( )0 0A Am m nm m¶ = Þ ¶ ¶ = で記述される。Am のフーリエ成分を

( ) ( ) ( )†, 0,1, 2,3a am m m = Ü演算子ではないp p (4.169)とすると、 Am は、

( ) ( )( ) ( ) ( )†exp exp

2A d ipx ipxA x a am m mw

é ùæ ö æ ö= - +ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë ûò

p pp p

p(4.170)

と記述できるので、

( ) ( ) ( )2 20 0A E am nm m¶ ¶ = Þ - =p p (4.171)

を得ることになる。ローレンツ条件： 0Amm¶ = とゲージ変換： A Am m m¢ = + ¶ Lはそれぞれ、

0p a p (4.172)

a a p p p (4.173)

で与えられる。ここでは、

( ) ( )( ) ( ) ( )†exp exp

2A d ipx ipxx l lw

é ùæ ö æ öL = - +ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë ûò

p pp p

p(4.174)

とすればよい。ゲージ変換より、 0 0 0 0a a p p p となる

0

0

ap

p

(4.175)

をいつでも取ることができ、7 ゲージ不変性より a p でも a p でも同じ物理であることが保

証されるので、 0 0a p と設定してもよい。このとき、ローレンツ条件より、

1,2,3

0i i

i

p a

p p a p p a p (4.176)

である。対応する Am での表記では

0A x x A (4.177)

である。

Appendix 2:電磁場の解

４つのローレンツベクトル 1,2,3,4e p ：

7 aが演算子の場合には、この関係式は成り立たない。その場合には、光子の状態を記述する確率振幅|Y>を導入

して、a0(p)|Y>)=-p0l|Y>を要請することになる。



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4

4* *

, 1

0 0 0 1 01 0 0 0 1

, , , for 0 1 0 0 20 0 1 0 3

diag. 1, 1, 1,1 ,

e e e e

e e e e

m m m m

l l m l lll llm m n mn

l l

mmmm

¢ ¢¢ ¢

¢=

=æ ö æ ö æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷=ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷= = = =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷=ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

=è ø è ø è ø è ø è ø

Þ = = - - - =å

p p p p

p p p pg g g

(4.178)

を用いると、対応する４つの 1,2,3,4 1,2,3,4 †,a ap p より ( ) ( ) 0,1, 2,3am m =p は、

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

4

14

21

3

a

aa e a

a

a

l m lm

l=

æ öç ÷ç ÷

= = ç ÷ç ÷ç ÷è ø

å

p

pp p p

p

p

(4.179)

と与えることができる。また、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

*

1diag. 1, 1, 1,1e a e e a e el l l m l l l mm ll

m m ml

¢ ¢ ¢* * ¢

¢=

= Ü = = - - -åp p p p p p p g

( ) ( ) ( ) ( )4

1 a al lll ll

l

¢ ¢¢ ¢

¢=

= =åg gp p (4.180)

より、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

1e a a al l lm ll llm

l

¢ ¢* ¢ ¢

¢=

æ ö= ºç ÷è øåp p p pg g (4.181)

このとき、

(4)0

4 3

1 1

0

0 0 1,2,3

a a

a a

p p

p a p p e p p p e p p p e p(4.182)

と表される。

ここで、射影演算子の

2

i jij ij jiP P

p pp

(4.183)

より

22 2 2

1,2,3 1,2,3 1,2,30

i j i iij j ij j i j j i

j j j

P

p p p pp p p p p p p

p p p(4.184)

なので任意のベクトルを n とすれば

, 1,2,3

0 iij i

i j

P

とは常に直行e p n e p e p e p (4.185)

がわかる。従って 0 p e p を満たす

e p として



( ) ( )

1,2,3 for i ij j

j

P

e p n n (4.186)

とあらわすことができる。以上から、

3

4( )

1 1,2,3 with , 0i ij j

j

a e a P a

p p p e p n p (4.187)

スピン 1 の演算子は

1

21 2 3

3

0 0 0 0 0 0 00 0 , 0 0 0 , 0 0 for 0 0 1 0 0 0 0 0

i iS i S S i

i

a

a

a

(4.188)

であり、進行方向の成分を

pS p Sp

(4.189)

で表すと

3 21 1 2 2 3 3

3 1

2 1

01 0

0p

i iS S SS i i

i i

p pp p p pS p pp p p

p p(4.190)

そこで

3 2 3 2

3 1 3 1

2 1 2 1

3 2

01 0

0p

x i i x x i y i z Sx sxS y i i y S y i x i z Sy sy s S

z i i z z i x i y Sz sz

i ys i i

p p p p pp p p p p p

pp p p p p

p p p

2 1 2 3 2 1 2 2 2

3 1 2 1 2 3 1 2 2 1 1

3 2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 222 2

2 1 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 0

0, =

x i y s x i s i i y s i i x

i xs i i x i y s y i s i i x s i i y

i s i i s i i i s s s ss i i i s i i s i s

s s

p p p p p p p

p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p

p 0, = 1S S

(4.191)

より、固有値は期待通り、 0, = 1S S になる。後ほどのため、

1 2 3

1 0 00 , 1 , 00 0 1

e p e p e p (4.192)

とする。対応する固有状態は・・・

□S=0（縦波成分で運動量に平行）

13 2 3 2

3 1 3 1 2

2 1 2 1 3

0 01 0 0 0

0 0p

xx i i x i y i z xS y i i y i x i z y y

z i i z i x i y zz

比例係数　

pp p p pp p p p p

pp p p p p

p(4.193)

□S=±1（横波成分で運動量に垂直：物理自由度としての２成分を与える）



3 2 3 2

3 1 3 1

2 1 2 1

2 23 2 2 1 2

3 1 2

01 0 1

0

i i x x i y i z S xi i y S y i x i z S y Si i z z i x i y S z

i yS i i x i y S x x

i xS i i x

p p p p pp p p p p

pp p p p p

p p p p p p p

p p p p

23 2 1 2 2

2 2 21 2 3 1 2 1 1

3 1 2 3 1 2 2 11 2

2 2 2 3 31 1

3 1 21 2

2 2 3 3

i S i i y i i x

i y S y y i S i i x i i y

i S i S i x i y iy x x z y xS S

i Siz xS

p p p p p p p

p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p p pp p p p p pp p p

p p p pp p

p p p p p 1 3 1 1 2 2 2 2 3 3

2 2 3 3

21 3 2 1 3 2 1 3 2

2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 31

i Si xS

i S i S S ii ix x xS S S

p p p p p p p p p p pp p p p p

p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p

2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 * i S i S p p p p p p p p p p p p p p (4.194)

以上から、規格化した状態を ,e p

で表すと・・・ 3 3, 0S S e p e p e p

3 1 22 2 3 3

2 2 3 3

1 3 2

2 2 3 3

3 1 22 2 3 3

2 2 3 3

1 3 2

2 2 3 3

1

1

,

iN

i

iN

i

p p p pp p p pe pp p p pp p p pp p p p

p p p pp p p p pe p e pp p p pp p p pp p p p

p

(4.195)

ここに、物理自由度は、 e p であり、

0 p e p を自動的に満たす。規格化因子 Nは

2 2 22 2 3 3 3 1 2 1 3 2

2 2 22 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 3 1 3 2 2

2 22 2 3 3 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

2 22 2 3 3 2 2 3 3 1 1

22 2 3 3 2 2 3 3 1 1

N i i

p p p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p p p p p p

p p p p p p p p p p p

p p p p p p p p + p p p



2 2 22 2 3 3 2 2 3 3 2 p p p p p p p p p p p (4.196)

なので、

1 2 32 2 3 3

2 2 2 3 3

1 3 2

2 2 3 3

1 2 32 2 3 3

2 2 2 3 3

1 3 2

2 2 3 3

1

2

1

, 2

i

i

i

i

p p p pp p p pe pp p p ppp p p pp p p p

p p p pp p p pe pp p p ppp p p pp p p p

pe pp

(4.197)

になる。ここで、進行方向が 3 軸方向になる座標系に移れば、

3

3

1 1 01 1, , 0 12 20 0 1i i

pe p e p e pp

(4.198)

元の 1,2,3e p で表すと・・・

1 2

1 23

1 2 3

112 20

11 , 2 20

, , 2 2

ii

ii

i

e p + e pe p

e p e pe p e p e p

e p + e p e p e pe p e p e p e p

(4.199)

31 2

1

3

1 2 1 23

2 2

2 2

a a ai

a

a i a a i aa

a a a

e p + e p e p e p

a p e p p p p

e p p

p p p pe p e p e p p

e p p e p p e p p

(4.200)

ここで



1 2 1 2

3, , 2 2

a i a a i aa a a a

p p p p

p p p p (4.201)

である。ここに、

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1,2,3 4

1 00 0 0 1

, , for 0 20 3

e em m

mmmm

±

=æ ö æ öç ÷ ç ÷æ ö æ ö =ç ÷ ç ÷= =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷=è ø è ø ç ÷ ç ÷

=è ø è ø

p pe p e p (4.202)

である。



第４章問題

０）ポインティングベクター： = ´S E H は、ある領域から毎秒流出するエネルギー量に関

係する量である。電磁エネルギー： ( ) ( ) ( ) ( )12emE d x x x x= +é ùë ûò x D E H B の時間微分に現

れること（ ( ) ( )( )emdE d x xdt

= - × ´ +ò S E H ）を示せ。（例えば、砂川・電磁気学２２８ペ

ージ参照）

１）3 3

1 , 1, 2ijk ij k jj kk jk kj ijk ijk kk

i i je e d d d d e e d¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

= =

= - =å å を証明せよ。

２）真空中では0m

=BH であるので = ´S E H を(4.16)用いて 4 次元表示にすることができる。

Sは 4 次元 2 階テンソル nms のテンソルの ( )0 1, 2,3i i =s 成分で表せるが、 n

ms を求めよ。こ

こで、 00 0F = に注意するとよい。

３）(4.15)の jk jki iF e= - B を導け。

４）(4.19)の Fmn を導け。

５）(4.46)について「 Hと Nの表示として負符号に注意」は何を意味するか？

６）(4.51)を導け。

７）(4.53)に習って ( ) ( ) ( ) ( )† †ˆ ,N a al lé ù =ë ûk k から(4.55)導け。

８）(4.56)を導け。

９）(4.61)を導け。

１０）(4.62)を導け。

１１）(4.66)を導け。

１２）(4.58)を導け。

１３）(4.72)を導け。

１４）

0 00 0

0 0 0z

iS i

-æ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø

の固有値と固有ベクトルを求め、(4.76)の ,e pと比較せよ。

１５）(4.91)が(4.92)を用いて(4.93)に設定できることを導け。

１６）(4.105)を示せ。ここで、演算子の積は Normal Product で定義されている事に注意す

る。

１７）(4.107)を示せ。

１８）(4.113)から ( )xH を導き、(4.111)に一致することを示せ。

１９）(4.113)が(4.114)と(4.115)に同じである事を示せ。

２０）(4.115)から(4.117)を導け。



２１）(4.123)を証明せよ。

２２）(4.140)より(4.141)を導け。

２３）(4.139)から(4.142)を求めよ。

２４）「(4.153)を用いれば、(4.154)から(4.151)が得られることになる」を確認せよ。

２５）(4.153)から(4.157)を導け。

２６）(4.162)の ( ) ( ), ,D t UD tm my y¢ ¢ =x x を導け。

２７）(4.164)と(4.165)でラグランジアン密度がゲージ変換で不変である事を示せ。

第四章 電磁量子場：ベクトル場（次元あり） 第四 …yasue/ffn/field-sec4.pdf1/32...

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