00 onsoz 12 snf mat mizanpaj 1murat-koc.com/matematik/integral.pdfa=x0 x1 x2 x3... xn–2 xn–1...

a=x0 x1 x2 x3 ... b=xnxn–1xn–2x

yy=f(x)

x

y

e0

32

1x

y=

1

x

y

x=f(y)0

c

d

x=g(y)

Belirsiz İntegral ..........................................................................................................415

İntegral Alma Yöntemleri .......................................................................................... 425

Değişken Değiştirme Yöntemi ..................................................................... 425

Biçimindeki İntegraller ........................................................... 439

Biçimindeki integraller ....................................................... 443

Kesirli Fonksiyonların İntegrali ..................................................................... 448

Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali ......................................................... 451

Parçalı (Kısmi) İntegral ................................................................................ 460

Riemann Toplamı Olarak Belirli İntegral .................................................................. 466

Belirli İntegral ........................................................................................................... 469

Tek ve Çift Fonksiyonların Simetrik Aralıkta İntegrali ................................... 470

İntegral İşareti Altında Türev (Leibnitz Kuralı) .............................................. 470

Mutlak Değer İçeren İfadelerin İntegrali ....................................................... 473

Düzlemsel Bölgelerin Alanları ...................................................................... 481

Hacim Hesapları .......................................................................................... 487

Hareket Problemleri ..................................................................................... 494

ax bx cdx

2+ +

#

ax bx cAx B dx2+ +

+#

4 İNTEGRAL

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

415

BELİRSİZ İNTEGRAL

F'(x) = f(x) ise yazılır.

Burada f(x)'e integrant, F(x)'e f(x) fonksiyonunun integrali, C'ye de integral sabitidenir. f(x) belli iken F(x)'i bulma işlemine integral alma işlemi, F(x) + C ifadesinef(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir.

Aşağıda bazı fonksiyonlar ve integralleri verilmiştir. İntegrallerin doğru olduğunu gör-mek için sağ taraftaki fonksiyonların türevlerini alarak solda aynı satırda bulunanfonksiyonla karşılaştırınız.

( ) ( )f x dx F x C= +#

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

F(x) türevli bir fonksiyon ve F(x) ile f(x) arasında F'(x) = f(x) ilişkisi varsa,

f(x) fonksiyonuna F(x) fonksiyonunun türevi denir.

TANIM

Fonksiyon ‹ntegral

2x

x2

1x

cosx

1x + 3

x3 +3x2

x

e x

sin2 x.cosx

tanx

x1 + x2

x2 + C

x3

3 + C

lnx + C

sinx + C

ln(x + 3) + C

x4

4 + x3 + C

(x + 1)3 + C23

2e + Cx

sin3x3 + C

–ln(cosx) + C

12 ln(1 + x2) + C

x + 1

Ters Türevler

Bir fonksiyonun türevinin nasıl bulunacağını öğ-

rendiniz. Ancak birçok problem türevi bilinen

fonksiyonun kendisinin bulunmasını gerektirir.

Bir F(x) fonksiyonunu, türevi olan f fonksiyo-

nundan bulmak istiyoruz. Böyle bir F fonksiyonu

varsa F ye f nin ters türevi f nin tüm ters tü-

revlerinin kümesine f nin belirsiz integrali denir.

f(x) = sinx in F(0) = 5 eşitliğini sağlayan bir

ters türevini (belirsiz integralini) bulalım.

"Hangi fonksiyonun türevi sinx?" sorusunu sor-

malıyız.

Cevabımız F(x) = –cosx +C dir.

F(0) = 5 –cos0 + C = 5

–1 + C = 5

C = 6

olup F(x) = –cosx + 6 bulunur.

&

A(1, –2) noktasından geçen ve (x, y) noktasın-

daki eğimi 6x2 olan eğrinin denklemini bulalım.

Problemde verilen eğrinin fonksiyonu f(x) olsun.

Problemden

f'(x) = 6x2 ve f(1) = –2

eşitliklerini yazabiliriz.

f'(x) = 6x2 f(x) = 2x3 + C

ve f(1) = –2 ise

2 + C = –2 C = –4 tür.

O halde f(x) = 2x3 – 4 bulunur.

&

&

ETKİNLİK

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

416

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4 TEMEL İNTEGRAL FORMÜLLERİ

Diferensiyel hesapta, türev almak için genel kurallar vardır. Fakatintegral hesapta, bir ifadenin integralini bulmada genel bir kuralyoktur. Her integral problemi özel bir işlemi gerektirir. İntegrallemeaslında deneme türünden bir işlemdir.

İntegral problemlerinde, sonuca daha çabuk ulaşmak amacıyla birdizi integral formülleri hazırlanmıştır. Bu formüllere temel integralformülleri denir. İntegrallemede kolaylık sağladıklarından bu for-müller aşağıda verilmiştir.

a ve c sabit sayılar ve u, x in bir fonksiyonu olmak üzere,

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. (a > 0 ve u2 < a2)

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ

i. F'(x) = f(x) tanımından

tir.

ii. eşitliğinin her iki yanının diferansiyeli

alınırsa,

= d(F(x) + C) = dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx olup

elde edilir.

iii.

iv. dir.

v.

vi. ise

a)

b)

c)

adu au C= +#

; ≠ –u du nu C n1 1n

n 1= + +

+#

e du e Cu u= +y

; \ { , }lna du aa C a R 0 1u

u!= + +y

,

(– ) ,

ln

lnudu u C u ise

u C u ise

0

0

>

<=

+

+*y

–sin cosudu u C= +y

cos sinudu u C= +y

–tan lncos lnsecudu u C u C= + = +y

–cot lnsin lncosecudu u C u C= + = +y

( )sec ln sec tanudu u u C= + +y

( – )cosec ln cosec cotudu u u C= +y

sec tanudu u C2 = +y

–cosec cotudu u C2 = +y

.sec tan secu udu u C= +y

. –cosec cot cosecu udu u C= +y

––sin cos

a udu

au C a

u C– –2 2

1 11= + = +y

–– ;ln

u adu

a u au a C u a2

1 >2 22 2= + +y

– – ;lna u

dua a u

a u C u a21 <2 2

2 2= + +y

–;sec

u u adu

a au C u a1 >–

2 21 2 2= +y

tana u

dua a

u C1 –2 2

1+

= +y

( )lnu a

du u u a C2 2

2 2

+= + + +y

–( – ) ;ln

u adu u u a C u a>2 2

2 2 2 2= + +y

– – sina u du u a u aau C2 2

–2 2 2 22

1= + +y

( )lnu a du u u a a u u a C2 22 2 2 2

22 2! ! ! != + +y

( ) ( )f x dx F x C+ = +y

( ) ' ( ( ) ) ' ' ( ) ( )f x dx F x C F x f x&= + =_ iy

( ) ( )f x dx F x C= +y

( )d f x dx_ iy

( ) ( )d f x dx f x dx=8 By

( ) ' ( ) ( ) .dF x F x dx F x C dir= = +yy

( ) ( ) ... ( ) ( ) ...f x g x dx f x dx g x dx" " " "=^ h yyy

, ( ) ( ) .a R af x dx a f x dx tir! = yy

( ) ( )f x dx F x C= +y

( ) ( )f ax dx a F ax C1= +y

( ) ( )f x a dx F x a C+ = + +y

( ) ( )f ax b dx a F ax b C1+ = + +y

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

417

1. Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.

a)

b)

c)

+ C

d)

e)

f)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

r)

2. Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.

a)

b)

c)

d)

e)

( )x dx x x C3 2 32

+ = + +c my

x dx x dx x C32/ /1 2 3 2= = +yy

xx x dx

xx dx

xx dx

xdx1

3 3 3 3+ = + ++ yyyy

xdx

xx dx

xdx1 /

2 3

1 2

3= + +yy y

x dx x dx x dx– – / –2 5 2 3= + + yyy

– – –x x x2 1

25 1 3 1

– – –2 1 25 1 3 1

= + ++

+ ++ + +

– – . –x x xC1

32 1

21

/3 2 2= +

( – ) ( – )x x dx x x dx4 4 16 4 2= yy

–xdx x dx16 4 2= yy

– . –xdx x dx x x C16 4 16 2 4 32

2 3= = +yy

–x x C8 342

3= +

( )x x x dx x dx x dx xdx2 2– –2 2 2 2+ + = + + yyyy

–x x x C3 2 1

–3 2 12= + + + +

+

–xx x C313

2= + +

( )( ) ( – )

xx dx x

x x xdx1

11

1 13 2

++ = +

+ +yy

( – ) –x x dx x x x C1 3 22

3 2= + = + +y

lnx x dx xdx x dx x x C1 122

+ = + = + +b l yyy

e dx e dx e dx e C/x x x x2 2 2= = = +yyy

–( )

( ) ( – )x

x dxx

x xdx

11

11 1

+=

++yy

( – ) –x dx dx x dx1= = yyy

– –x x dx x x C32/ /1 2 3 2= = +y

ee e dx

ee dx

ee dx3 3

x

x x

x

x

x

x

2

3

2

3

2+ = + yyy

e dx e dx3 –x x= + yy

–e e C3 –x x= +

( – ) ( – )x dx x x dx2 1 4 4 12 2= +yy

–x x x C4 3 4 23 2

= + +

–x x x C34 2

32= + +

( ) ( ) ( ( ) )x x a x b dx x a b x abx dx3 2+ + = + + +yy

( )x dx a b x dx ab xdx3 2= + + + yyy

( )x a bx ab x C4 3 2

43 2= +

++ +

– ( – )y y dy y dy2 2 4+ =_ _i iy y

–yy

C4 2

2= +

( )dxd x x dx x x10 102 2+ = +y

( ) ' ( )sin tan sin tanx dx x2 2=8 By

sin sind x dx x dx3 3=y

( )ln lnd x x C= +y

( ) ( ) ( )dxd x x dx x dx x x C2 3 2 23 2 3+ = + = + +: Dy y

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYARI

ü ,–

n olmak zerex

dxxdx x dx

n

x C0 1 1> /

– /–

n nn n

11

1 1= = =

++

+yyy

–nn C

1

–n

n 1x= +

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

418

3. in eşiti nedir?

Çözüm

dir.

4. in eşiti nedir?

Çözüm

5. integralini bulunuz.

Çözüm

olduğundan

bulunur.

6. integralini bulunuz.

Çözüm

olduğundan

bulunur.

7. f'(x) = 8x3 – 3X2 + 2 ve f(–1) = 3 ise, f(2) kaçtır?

Çözüm

f(x) = 2x4 – X3 + 2X + C2 – C1

f(x) = 2x4 – x3 + 2x + C olur.

(C2 – C1 = C diyelim.)

f(–1) = 3 ise f(–1) = 2(–1)4 – (–1)3 + 2(–1) + C

3 = 2 + 1 – 2 + C

C = 2 bulunur.

f(x) = 2x4 – x3 + 2x + 2 olup f(2) = 2.24 – 23 + 2.2 + 2

= 32 – 8 + 6 = 30 olur.

8. ve f(–1) = olduğuna göre,

f(1) kaçtır?

Çözüm

eşitliğinde her iki tarafın türevini

alalım.

x.f'(x) = .3x2 – 4x

x.f'(x) = x2 – 4x f'(x) = x – 4

f(x) =

f(x) =

olur.

bulunur.

– . . – .x x x x C3 1 4 2 1 3 1 1 2 0 13 1 2 1 1 1 0 1

= + + + + + ++ + + +

– –x x x x C4 34

23 2

43 2= + +

( – )x x x dx5 3y

. –x x2= + C

3+

( – ) ( – )

–

–

. –

. . –

x x x dx x x x dx

x x dx

x dx x dx

x x C

x x C

x x

5 5

5

5

5

23 1 2

7 1

5 52

92

92

/3 1 2 3

21 1 2

1

23

27

23 1 2

7 1

25

29

2 4

=

=

=

=+ +

+

= +

+

+ +

a k

yy

y

yy

' ( )f x dxy

( ) ' ( )d f x f x dx=^ h' ( ) ( ( ) ) ( )f x dx d f x f x C= = +yy

'' ( )f x dxy

' ( ) '' ( )d f x f x dx=^ h'' ( ) ' ( ) ' ( )f x dx d f x f x C= = +^ hyy

' ( ) ( – )f x dx x x dx8 3 23 2= +yy

( ) . – .f x C x x x C8 4 3 3 21

4 32+ = + +

. ' ( ) –x f x dx x x C3 23

2= +y21

. ' ( ) –x f x dx x x C3 23

2= +y

31

&

& ( – )x dx4y

& – .x x C2 42

+

(– ) (– )(– )

– . (– )f f C1 21 1 2

14 1 2

12&= = + =

–C C21 4 2

1 4&+ + = =

'. ' ( ) –x f xx

x C3

23

2= +f p

( ) – – ( ) – – –f x x x ise f2 4 4 1 21 4 4 2

152= = =

( – – ) – –x x x dx x dx x dx xdx dx4 3 2 4 3 23 2 3 2+ = + yyyyy

( – – )x x x dx4 3 23 2 +y

&

UYGULAMA ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

419

9. f''(x) = x2 – 4 olmak üzere, y = f(x) eğrisi x + 3y – 2 = 0

doğrusuna T(–1, 2) noktasında teğet olduğuna göre,

f(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm

f''(x) = x2 – 4 ise eşitliğinde her iki yanın i

ntegrali alınırsa

Eğrinin T(–1, 2) noktasındaki teğeti x + 3y – 2 = 0 olup

teğetin eğimi tür.

O halde f'(–1) = tür.

f'(–1) =

olur.

O halde f'(x) = olup her iki tarafın integrali

alınırsa

ve eğri T(–1, 2) noktasından

geçtiğinden

dir.

O halde f(x) = bulunur.

10. y = f(x) fonksiyonunun herhangi bir T(x, y) noktasındaki

teğetinin eğimi m = 2x ve f(–1) = 3 olduğuna göre,

f(2) kaçtır?

Çözüm

T(x, y) noktasındaki teğetin eğimi m = 2x ise f'(x) = 2x dir.

x2 + C2 = f(x) + C1

f(x) = x2 + C2 – C1��

f(x) = x2 + C

f(–1) = 3 ise f(–1) = (–1)2 + C = 3

C = 2 dir.

f(x) = x2 + 2 ise f(2) = 22 + 2 = 6 bulunur.

11. f: R → R, y = f(x) fonksiyonu için f''(x) = 6 ve f(x) in T(0, –2)noktasındaki teğetinin eğimi –4 olduğuna göre, f(2) kaçtır?

Çözüm

olup

f'(x) = dir. f nin T(0, –2) noktasındaki

teğetinin eğimi –4 ise f'(0) = –4 tür.

f'(x) = 6x + C1

f'(0) = 6.0 + C1 = –4 C1 = –4 tür.

ve f(x)

eğrisi T(0, –2) noktasından geçtiğinden f(0) = –2 dir.

f(0) = 3.(0)2 – 4.0 – C2 = –2

C2 = 2 dir.

O halde f(x) = 3x2 – 4x – 2 ise f(2) = 3.22 – 4.2 – 2 = 2

bulunur.

' ( ) –dxd f x x 42=

' ( ) –dxd f x dx x dx42=b ^l hy y

' ( ) –f x x x C3 43

1= +

–m 31=

– 31

(– )– (– ) –C3

14 1 3

13

1+ =

– 4 – –4C C31

31

1 1&+ + = =

– –x x3 4 43

' ( ) – –f x dx x x dx3 4 43

= c myy

( ) – 2 – 4f x x x x C124

22= +

(–1) 2(– )

– 2(–1) – 4. (–1) 2f C121 4

22&= + =

– 2 4 2C121

2+ + =

–C 121

2 =

– – –x x x12 2 4 1214

2

' ( ) ( ) 2 ( )f x dx f x C olup xdx f x C1 1= + = +yy

'' ( ) ' ( ) ' ( )f x dx df x f x C= = +yy

6 6dx x C1= +y

&

' ( ) ( )f x dx f x C2= +y

(6 – 4) ( ) 3 – 4 – ( )x dx f x C x x C f x22

2&= + =y

&

&

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

420

1. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.



4. integralinin eşiti nedir?



)c

)b

) 3 )

)

)

a xdx dx

dx

x dx e x dx

e dx f x dx

1

2

–

–x

3

2 4

2

yy

yy

yy

)

) )

) )

) ( – )

–

–

a x

b x dx e x

c x dx f x

dx d x x dx

x dx

x dx

3

34 3

23^^

hh

y

y y

y y

y

) – )

) ) –

a y y ydy c

xx dx

b x xx x

dx dx

x dx

1 1

2 1 1

2

3

2 3 2+

d

c

n

m

yy

y y

–x x x dx6 4 53 2 + +^ hy

yy

dy34 +y

–x

x x dx2 32 +d ny

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

–x x x x C41

2 2 54 3 2+ + +

y y C92

629

21

+ +

– Cx x x52

34

625

23

+ +

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

421







x xx dx1

23

2 +y

–2e–x + 2x + C

e n dx2 2 2–x x,+^ hy

e4x – sinx – 2cosx + C

– cos sine x x dx4 2x4 +^ hy

d n x4,^ hy

–ex + 3x + C

–e n dx3 3x x,+^ hy

–xx x dx4 4 12

2 +c my

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

.x x C136

6613

61

+ +n x C4, +

x x nx C34 43 ,+ + +

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

422


14. f'(x) = 4x2 – 3x + 2 ve f(–1) = olduğuna göre,

f(1) kaçtır?

15. olduğuna göre, f(2) kaçtır?

16. olmak üzere f fonksiyonunun grafi-

ğine x = 2 apsisli noktadan çizilen teğetin denklemi,

x + 2y – 1 = 0 doğrusuna paralel olduğuna göre, m kaçtır?

17. y = f(x) eğrisinin yerel ekstremum noktalarından biri K(–2, 3)

noktasıdır. f''(x) = 4x – 3 olduğuna göre, f(–3) kaçtır?

18. f: R → R, y = f(x) fonksiyonunda f'(x) = x2 ve f(1) = 2

olduğuna göre, f(7) kaçtır?

x – sinx + C

( – )cosx dx1y

– 617

14

( )x

f xdx x x3 12= + +y

–15

( )f x xx x m dx4

42= +

+ +y

116

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

623

– 619

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

423

1. integralinin değeri nedir?





















x dxy

–x x dx3^ hy

x x dxy

x xdx1 1

2 3+c my

sinx dxy

( – )cosx x dxy

x dx3x 3+^ hy

tan x dx2y

cot x dx2y

–cos

xx

dx132c my

x dx1+y

x dx33 +y

( – )cos sinx x dx2 2y

coscos

xx dx2 1+y

( )x x dx1 2+y

( )x x dx12 3+y

xdx

1 2+y

– xdx

11

2y

– xx dx1

44

3y

–– x

xdx1 4

y

xx dx1 4

3

+y

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

ALIŞTIRMALAR

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

424





















––

xx dx1

16y

tt t dt1+

+y

dt2t 1+y

–e e dx–x x^ hy

dx3log x9y

dx4 log x1 2+y

– dx3 2log logx x32

8^ hy

––

t tt t dt

23 3

2 3f py

( – )–t

t dt113

y

––

zz dz

z1

34 4d ny

– zdzy

––

xx dx

11

2

6y

xx dx1

1 3

++y

.sin cosx x dxy

(– )sin x dxy

e dx3 x3y

–sinsin

xx

dx2 12c my

e dxxy

–x

e ne dx1 x x,+c my

––

xx

dx113

#

ALIŞTIRMALAR

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

425

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ

Bu yöntem bir bileşke fonksiyonun diferensiyelinin bulunması ilkesine dayanır. Ve-

rilen bir integralinde, x = u(t) dönüşümü yapılırsa dx = u'(t)dt olur.

Burada u(t) sürekli bir fonksiyon ve tanımlı olduğu aralıkta u'(t) türevi vardır.

x = u(t) için f(x) = f(u(t)) olup integral,

biçimini alır. Bu yönteme değişken değiştirme veya yerine koyma

yöntemi denir. Değişken değiştirme yapılıp integral hesaplandıktan sonra sonuç ilk

değişken türünden yazılmalıdır. Bu yöntemde önemli olan neyi yeni değişken olarak

göstereceğimizi bilmektir. Dönüşüm uygun yapıldığı sürece verilen bir belirsiz in-

tegral kolayca hesaplanacaktır.

ÖRNEK

integralinin değerini bulalım.

ÇÖZÜM

u = f(x) değişken değiştirme işlemi yapılır.

Diferensiyel alınırsa du = f'(x)dx olur.

O halde ve u = f(x) yazılarak,

bulunur.

ÖRNEK

olduğunu gösterelim.

ÇÖZÜM

u = ax + b denilir ve iki tarafın diferansiyelini alırsakdu = d(ax + b)

du = a.dx olur.

bulunur.

( )f x dxI = y

( ( )) . ' ( )f u t u t dtI = y

( ) . ' ( )f x f x dxnI = 6 @y

( ) . ' ( )f x f x dx u du nu C1

n nn 1

= = + ++6 @ yy

( ) . ' ( )( )

f x f x dx nf x

C1n

n 1

= + ++6 6@ @y

| |ax b

dxa

n ax b1,

+= +#

dxa

du& =

| |ax b

dxa u

dua

n u C1 1

,+

= = +##

| |a

n ax b C1,= + +

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYARI

Belirsiz integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandıktan sonra sonucunilk değişken türünden yazılması gerekir.

integralini bulunuz.

u = f'(x) değişken değiştirmesi yapalım ve her

iki tarafın diferansiyelini alalım.

du = d(f'(x))

du = f''(x)dx olur.

u = f'(x) yerine yazılarak

bulunur.

| |n u C,= +

| ' ( ) |n f x C& , +

' ( )'' ( )f xf x#

' ( )'' ( )f xf x

dx udu

u

du

=

EX# #

a) integralini hesaplayınız.

b) integralini hesaplayınız.

c) integralini hesaplayınız.

xdx

x1+ +#

cossin

xx dx

1+#

sincos

xx dx2#

ETKİNLİK

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

426

1. integralini hesaplayınız.

Çözüm

x2 + 1 = t denilirse

d(x2 + 1) = dt 2xdx = dt olur.

t = x2 + 1 yerine yazılırsa,

elde edilir.


Çözüm

dönüşümü yapılırsa

olur.

yazılırsa,

olarak bulunur.


Çözüm

t = 1 + ex yazılırsa

dt = d(1 + ex) dt = exdx olur.

olup t = 1 + ex yazılıp

elde edilir.


Çözüm

Burada x3 = t denilirse

d(x3) = dt 3x2dx = dt olur.

x2dx = olup

=

t = x3 yazılırsa

olarak bulunur.


Çözüm

Bu integralde pay ve paydayı e–x ile çarparsak değişken

değiştirme daha kolay olacaktır.

olup

integralinde

t = e–x + 1 denilirse dt = d(e–x + 1) dt = –e–xdx ve

e–xdx = –dt dir.

olup

t = e–x + 1

yazıldığında elde edilir.

( ) .x xdx1 22 3I = +y

&

( ) .x xdx t dt t C1 2 42 3 3

4I = + = = +yy

( )( )

x xdxx

C1 2 412

2 43I = + =

++y

lnx

x dx4

I = y

nx t, =

( )d nx dt xdx dt&, = =

xn x dx t dt t C5

44

5,I = = = +yy

t nx,=

xn x dx n x C5

4 5, ,I = = +y

ee dx

1 x

xI =

+y

&

| |e

e dxt

dt n t C1 x

x,

+= = +yy

| |e

e dx n e C1

1x

xx,I =

+= + +y

.x e dxx2 3I = y

&

dt3

x e dx e dt e dt3 31x t t2 3

I = = = yyy

e C31 t +

x e dx e C31x x2 3 3

I = = +y

edx

1xI =+

y

e ee

11

1–

–

x x

x

+=

+

edx

ee dx

1 1–

–

x x

xI =

+=

+yy

&

– – | |e

dxe

e dx tdt n t C

1 1–

–

x x

x,I =

+=

+= = +y yy

– | |e

dx n e C1

1–x

x,I =+

= + +y

UYGULAMA ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

427


Çözüm

t = sin2x diyelim.

dt = d(sin2x) dt = 2sinx.cosxdx

dt = sin2xdx olur.

t = sin2x olduğundan

elde edilir.


Çözüm

t = cosx dt = d(cosx)

dt = –sinxdx

–dt = sinxdx

olup ve

dir.


Çözüm

t = cosx dt = –sinxdx

–dt = sinx dx olur. Ve integral biçimini alır.

Bu integrali 5. örnekte çözdüğümüzden

ve

t = cosx = n |e–cosx + 1| + C elde edilir.


Çözüm

t = sinx diyelim.

dt = d(sinx) dt = cosxdx

t = sinx

Bu integralde t = cosx dönüşümü yapılarak da sonuca ulaşılabilir.


Çözüm

t = x4 + 4 diyelim.

dt = d(x4 + 4) dt = 4x3dx olur.

elde edilir.


Çözüm

Verilen integral

biçiminde yazılıp x2 = t dönüşümü

yapılırsa, d(x2) = dt 2xdx = dt ve xdx = olur.

Bu son integral, 21. formülde u = t, a = 1 alınıp

olarak bulunur.

&

. sine xdx2sin x2I = y

&

sine xdx e dt e C ve2sin x t t2I = = = +yy

. sine xdx e C2sin sinx x2 2I = = +y

.cos sinx xdx2I = y

&

&

&

. – –cos sinx xdx t dt t C32 2

3I = = = +yy

–cos sin cosx xdx x C32

3I = = +y

sine

x dx1 cosxI =

+y

&

–e

dt1 tI =

+y

–[– | |]n e C1–t,I = + +

& ,

.sin cosx xdxI = y

&

.sin cosx xdx tdt t C22

I = = = +yy

& .sin cos sinx xdx x C22

I = = +y

xx dx

44

3I =

+y

&

| |x

x dx tdt n t C

4 41

41

4

3,I =

+= = +y y

| |n x C41 44,I = + +

xxdx1 4

I =+

y

( )xxdx

1 2 2I =

+y

&dt2

xx dx

tdt

1 21

14 2I =

+=

+yy

I

x dxdt4

3& =

n t t C21 1 2,I = + + +^ h

n x x C21 12 4,I = + + +^ h

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

428


Çözüm

Verilen integrali

biçiminde yazabiliriz.

t = sin–1x dt = d(sin–1x) dt = olur.

bulunur.


Çözüm

dir.

= –2cost + C

= –2cos olur.


Çözüm

Önce integrali iki parçaya ayıralım.

integralinde u = 1 – x2

dir.

integralinde

olduğundan

dir.

C1 + C2 = C olmak üzere,

elde edilir.


Çözüm

dönüşümü yaparsak

x – 4 = t2 x = t2 + 4 dx = d(t2 + 4) dx = 2tdt dir.

elde edilir.

–sin

xx dx

1

–

2

1I = y

–sin

xx dx

1

–

2

1I = y

& &– x

dx1 2

–sin

xx dx t dt t dt t C

1 32–

/ /2

11 2 3 2I = = = = +yyy

( )sin x C32 –1 3I = +

sinx

x dxI = y

( )x t d x dtx

dx dt2

& &= = =

xdx dt2& =

sin sin sinx

x dx tdt tdt2 2I = = = yyy

x C+

–– cos

xx x dx

1

–

2

1I = y

––

––

–cos cos

xx x dx

xx dx

xx dx

1 1 1

– –

2

1

2 2

1I = = yyy

––

–cos

xx dx ve

xx dx

1 1

–

1 2 2 2

1I I= =y y

1I –du xdx2& =

– du xdx2& =

– x

x dx

11 2I = #

––

u

duu du

21

21 2

1

=–= ##

– –u u C21

2 1= = +

– – –u x x C1 121

21& I= = +

––

cosxx dx

1

–

2 2

1I = y

( ) '––cos x

xdx

11–1

2=

––

cost x dtx

dx1

1–12

&= =

, costdt t C t x2–

2

2

21I = = + =y

( )cos xC ve2

–

2

1 2

2& I = +

–– cos

xx x dx

1

–

1 2 2

1I I I= + = y

– – cosx x C1 2–

21 2

= + +c m

–x x dx4I = y

–x t4 =

&&&

( ) . . . ( )t t tdt t t dt4 2 2 82 4 2I = + = +yy

t dt t dt2 84 2= + yy

t t C2 5 8 35 3

= + +

– –t x olup x x dx4 4I= = y

52

38

523

2( – ) ( – )x x C4 4= + +

UYGULAMA ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

429


Çözüm

u = cost du = –sintdt –du = sintdt

olur.


Çözüm

u = tanx du = sec2xdx

dir.

18. integralini hesaplayınız. (n ∈ N+)

Çözüm

olur.


Çözüm


Çözüm


Çözüm

bulunur.


Çözüm

cossin

tt dt

4 2I =+

y

& &

–cos

sint

t dtu

du4 42 2I =

+=

+yy

– – tanu

du u C2 2

12

–2 2

1=+

= +y

– tan cos t C21

2–1= +b l

– tansec

xx dx

9 2

2I = y

&

– – –tansec

xx dx

udu

udu

9 9 32

2

2 2 2I = = = yyy

( )sin sin tanu C x C31

3 31– –1 1& + = +

xx dx1

–

n

n

2

1I =

+y

t x dt nx dx ndt x dx– –n n n1 1& &= = =

xx dx n t

dt1

11

–

n

n

2

1

2I =

+=

+yy

n n t t C1 12,= + + +^ h

n n x x C1 1n n2,= + + +^ h

. –x nx n xdx

12, ,I = y

u nx du x dx1&,= =

– –( ) .

sec

secx nx n x

dxu u

du u C

nx C dir1 1

–

–

2 21

1, ,

,

I = = = +

= +

yy

z nzdz,

I = y

t nz dt z dz1&,= =

.

z nzdz

tdt t dt t C

nz C olur

2

2

– /1 2,

,

I

I

= = = = +

= +

yyy

sinx x dx1 1

2I = y

– –u x dux

dx dux

dx1 1 12 2& &= = =

– sin cosudu u CI = = +y

cos x C1I = +

sinx x dx2I = y

u x du xdx du xdx2 22 & &= = =

–

– .

sin sin cos

cos

x x dx udu u C

x C dir

21

21

21

2

2

I = = = +

= +

yy

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

430


Çözüm

u = tanx du = sec2xdx = (tan2x + 1)dx


Çözüm

u = sinx du = cosxdx

dir.


Çözüm

u = sinx

du = cosxdx

C1 + C2 = C

bulunur.


Çözüm

bulunur.


Çözüm

u = eX + 1 du = exdx ve ex = u – 1

dir.


Çözüm

dir.


Çözüm

bulunur.

tan tanx x dx4 2I = +^ hy

1tan tan tantanx x x dxdx x 24 2 2I = + +=^ ^h hy y

&

( )

.

tan tan

tan

x x dx u du u C

x C dir

1 3

3

2 2 23

3

I = + = = +

= +

yy

.sin cosx xdx4 3I = y

. . . .sin cos sin sin cos cosx xdx x x x xdx4 3 2 2 2I = = yy

. . ( – )sin sin sin cosx x x xdx12 2 2= y

&

. ( – ) ( – ) –u u u du u u du u u C1 5 72 2 2 4 6

5 7I = = = +yy

–sin sinx x C5 75 7

I = +

coscos

xx dx1I = +

y

. ––

––

coscos

coscos

coscos cos

xx

xx

xx x

1 11

1 2

2

+ =

––

coscos

coscos cos

xx dx

xx x dx1 1 2

2I = + = yy

– ( – )sin

cos sinx

x xdx

12

2= y

–sincos

sinxx dx

xdx dx1

2 2I = + yyy

sincos cot

xx dx x x C2 1

1

= + + +

I\y

–sincos

xx dx

udu

u C11 2 2 2I = = = +yy

– sinx C12= +

cotx x C1I I= + + +

– sin cotx x x C1I = + + +

.tan secx x dx3 4I = y

. . ( )tan sec tan tan secx x dx x x xdx13 4 3 2 2I = = +yy

( )tan secu x du xdx u u du12 3 2& I= = = +y

( )u u du u u C4 63 5

4 6I = + = + +y

tan tanx x C4 64 6

I = + +

ee dx

1x

x3I =

+y

. ( ) .ee dx

ee e dx

ee e dx

1 1 1x

x x x

x

x x

x

3 2 2I =

+=

+=

+yyy

&

( – ) –u

udu

uu u du

1 2 1/

2

1 2

2I = = +yy

–u du u du u du2/ / – /3 2 1 2 1 2= +y yy

– .u u u C52 2 3

2 2/ /5 2 3 2= + +

( ) – ( )e e e C52 1 3

4 1 2 1/ /x x x5 2 3 2I = + + + + +

tanx

x dx1

–

2

1I =

+y

tanu x dux

dx1

1–12&= =

+

( )tan tanx

x dx udu u Cx

C1 2 2

– –

2

1 2 1 2I =

+= = + = +yy

cossin

xx dx

12

4I =+

y

–cos sinu x du xdx22 &= =

( )– –

cossin tan

xx dx

udu u C

12

1–

2 2 21I =

+=

+= +yy

– ( )tan cos x C–1 2I = +

UYGULAMA ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

431


Çözüm

= cosu + C = cos(cos2x) + C bulunur.


Çözüm

u = arcsinx x = sinu

dx = cosu du olur.

olduğundan

u = arcsinx dir.


Çözüm

bulunur.


Çözüm

u = 2x2 + 4x + 1 du = (4x + 4)dx


Çözüm

bulunur.


Çözüm

u =

bulunur.


Çözüm

dir.


Çözüm

( ) .sin cos sinx xdx22I = y

–cos sinu x du xdx22 &= =

( ) –sin cos sin sinx xdx udu22I = = yy

( )cos arcsin x dxI = y

&

.cos cos cosu udu udu ve2= yy

. sinu u C2 21

21 2I = + +

& ( )arcsin sin arcsinx x C21

41 2I = + +

cos cosu u2

1 22 = +

cos cosudu du u du21

21 22 = + yyy

( )e x dx1x x22I = ++y

( ) ( )u x x du x dx du x dx2 2 2 2 12 & &= + = + = +

( )e x dx e du e du1 2 21x x u u22

I = + = =+ yyy

e C e C21

21u x x22

& + = ++

( )

x x

x dx

2 4 1

123I =

+ +

+y

&

( ) ( )du x dx du x dx4 1 4 1&= + = +

( )

.

( ) .

x x

x dxu

du u du

u C

x x C olur

2 4 1

141

41

41

23

83 2 4 1

– /

/

/

23 31 3

2 3

2 2 3

I =+ +

+= =

= +

= + + +

yyy

xnx dx4

34 ,I = +y

nx u xdx du3 &,+ = =

xnx dx u du u du4

341

41 /

44 1 4,

I = + = =yy y

. ( )u C nx C41

54

51 3/ /5 4 5 4& ,= + = + +

sincotn x

x dx,

I = y

sin sincos cotn x du x

x dx xdx&, = =

| |sincotn x

x dx udu n u C

,,I = = = +yy

| |sinn n x C, ,I = +

–x x dx12I = y

– – – –x t x t x t dx tdt1 1 1 22 2& & &= = = =

– – ( – ) . .x x dx t t tdt1 1 22 2 2I = =y y

– ( – )t t t dt2 1 22 2 4= +y

– ( – )t t t dt2 22 4 6= +y

– –t t t C2 3 52

73

57

I = + +c m–

–– – –

xx x C2 3

152 1 7

1 13

5 7I = + +

^ ^ ^h h h= G

( )cos sinx xdx1 26I = +y

cos sinx xdx1 22 3I = + ^ h8 By

( ) .sin cos sinxdx x xdx2 22 3= + yy

, ( )sin cos sinxdx I x xdx2 21 22 3I = = yy

çi in x u dx du dx du2 2 21 & &I = = =

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

432

t = cos2 x dt = 2cosx.(–sinx)dx

C1 + C2 = C

bulunur.

38. integralini hesaplayınız. (n ∈ N+)

Çözüm

u = sin2x du = 2sinx.cosxdx = sin2xdx

bulunur.


Çözüm

bulunur.


Çözüm

dir.


Çözüm

dir.


Çözüm

dir.

– cosI x C21 21 1= +

–sin sin cosxdx udu u C2 21

21

1 1I = = = +yy

( ) çcos sinx xdx i in222 3I = y

&

–sindt xdx2& =

– –

–( )

–

cos sin

cos

cos

x xdx t dt t C

xC

x C

2 4

4

4

22 3 3

4

2

2 4

2

2

8

2

I

I

= = = +

= +

= +

^ h yy

– –cos cosx x C21 2 41 2

8&I I I I= + = +

.sin sinx xdx2n2I = y

. ( ) .sin sin sin sinx xdx x xdx2 2n n2 2I = = yy

&

. .sin sinx xdx u du nu C2 1

n nn

21

I = = = + ++

yy

( )sinn

xC1

n2 1& I = + +

+

xx dx

1I =

+y

–x t x t x t1 1 12 2& &+ = + = =

dx tdt2& =

– . ( – ) –tt tdt t dt t t C1 2 2 1 3

22

222

3 2I = = = +yy

( )– ( )

xx C2 3

11

3I =

++ +

( )x xdx

1 4I =+

y

–x t dxt

dt1 12&= =

( )

––

x xdx

t t

t dtt

t dt1 1 1 1

1

144

2

4

3I =

+=

+=

+c m yyy

u t du t dt du t dt1 4 43 34 & &= + = =

– – – | |t

t dt udu n u C

1 41

41

4

3,I =

+= = +yy

– | | –n t C nx

C41 1 4

1 1 144, ,I = + + = + +

–xdx

1y

x t dx tdt22 &= =

– –( – )

–xdx

ttdt

tt

dt12

12 2 2

1I = = =

+yyy

– | – |dt t dt t n t C2 2 11 2 2 1,I = + = + +yy

| – |x n x C2 2 1,= + +

( )costan

n xx dx

42

2,I =

+y

( ) –cos tanu n x du xdx&,= =

– – . tanu

du u C42 2 2

12

–2

1I =+

= +y

–| |

tancosn x

C2–1 ,

= +c m

UYGULAMA ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

433


Çözüm

bulunur.


Çözüm

u = 1 – x2

bulunur.


Çözüm


Çözüm

u = cosx + sinx du = (–sinx + cosx)dx

dir.


Çözüm

dir.

48. integralinde x = et dönüşümü yapılırsa

hangi integral elde edilir?

Çözüm

yerine yazılırsa

bulunur.

49. integralinde dönüşümü yapılırsa hangi

integral elde edilir?

Çözüm

olur.

bulunur.

u nx du x dx1&,= =

–x dx8

2 4nx nxI =

, ,y

– –x dx du82 4

81 2 4

nx nxu uI = =

, , ^ hyy

. 22 – 4

4n n C8

1 u u

, ,= +b l

–n n C8 22

16 22nx nx2

, ,= +

, ,

–n C8 21 2 2

2nxnx2

,I = +,

,c m

– x dxx dx

112

I = +y

– – –xx dx

xx dx

xdx

11

1 12 2 2I = + = + yyy

1 2I I I= +

– xx dx

11 2I = y

– –du xdx du xdx2 2& &= =

– – – –u

du u xC C21 11

21= = + = +y

–( )sin

xdx x C C CC

1–

2 21

2 1 2I = = + + =y

– – sinx x C1 –2 1I = + +

–cos sincos sin

x xx x dxI = +

y

&

– | |cos sincos sin

x xx x dx u

du n u C,I = + = = +yy

| |cos sinn x x C,I = + +

( )xdxx 1

I =+

x t dx tdt22 &= =

( ).

tan

tant t

tdtt

dt t C

x C dir1

2 21

2

2

–

–

2 21

1

I

I

=+

=+

= +

= +

yy

secx x dx2I = y

u x du xdx du xdx2 22 & &= = =

sec cos coscosudu u du

uu du2

121 1

21

2I = = = yyy

– –sincos

uu du

tdt

21

1 21

12 2& I= = yy

sin cost u dt udu&= =

. – – sinsinn t

t C n xx C2

121

11

41

11

, ,I = + + = + +

–x

n x nxdx

2, ,^ hy

x e dx e dtt t&= =

x e t nxt & ,= =

––

et t e dt

t t dtt

t22=

^ ^h hy y

– xx dx

11+y u x=

u x ise dux

dx2

1= =

du u dx dx udu21 2&= =

– . –( )

uu udu u

u udu1

1 2 2 11+ =

+yy

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

434









'' ( ) . ' ( )f x f x dxy

�n |f'(x)| + C

' ( )'' ( )f xf x

dxy

–e1/x + C

xe dx

/x

2

1y

– xdx4

y

( ) –x x x dx1 2 72 6+ +^ hy

e dxx6y

( – )sin x dx3 1y

( )cos x dx2 3+y

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

– –x C2 4 +

–x x C141

2 72 7+ +^ h

e C61 x6 +

( )sin x C21

2 3+ +

– ( – )cos x C31

3 1 +

[ ( )]f xC2

1 2+

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

435









x x dx3 6 123 +y

x xx x dx

13 23 2

2

+ ++y

– sinsin

xx dx

72

2y

( ) .e e dx2x x3+y

sincos

xx dx1 2+

y

tanx dxy

x nxdx2,

y

–cosex+C

. sine e dxx xy

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

( )x C163

6 12 43 + +b l

n x x C13 2, + + +

– – sinn x C7 2, +

( )eC4

2x 4++

– cosn x C, +

n nx C2, , +

| |sinn x C21

1 2, + +

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

436

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

tan xC4

4+ sin x C3

1 –1 3 +

–( )x x

C2

12 2+

+

( )tan nx C, +n e C2

11x2, + +

( )sinn xC4

4,+









.tan secx x dx3 2y

etanx+C

cos xe dx

tanx

2y

. ( )cosx nxdx

2 ,y

–xdx

16 2y

–xx dx1 6

2y

( )x xx dx

24 42 3+

+y

ee dx

1x

x

2

2

+y

( )tan

sinx

n xdx

3,y

sinx

C4–1 +

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

437





















.x e dxx2y

( )x x dx9 18 9 5+y

x x dx2 1 2+y

x x dx42 33 +^ hy

sinx x dx2y

( ) . ' ( )f x f x dxy

xnx dx,y

.sin cosx x dx3y

. cose x dxsinxy

. xdx3 nx,y

xx dx

1 2+y

xx dx

12

2+y

sinx

x dxy

.sin cosx x dxy

x x dx1+y

.e e dxx x3y

( )sinx

nxdx

,y

tane e dxx xy

xnx dx

3 ,y

xnx n x dx

3 25, ,+c my

ALIŞTIRMALAR

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

438















35. değeri nedir?







–

( )arcsin

x

xdx

1 2

2y

sinx

x dx23

3y

xe dx

xy

. sine x dx2sin x2y

sine x dx2cos x2y

( )cotx

arc xdx

1 2

3

+y

' ( ) . ( )sin sin cosf x f x x dxy

1nxx dx, +

b ly

– xx dx

1 2y

–x nxdx1 ,

y

–xdx

x1y

.cos sinx x dx5y

( )cot sinx n x dx,#

tanx dx#

( )tan sin cosx x dx#

( )tanx

nxdx

2 ,#

–x

n x n xdx

23 3, ,f p#

( ) .

sin

sin cos

x

arctan x xdx

1 2+

#

– ( )cos tann x x dx3,#

. sin x dx3 2sin x1 2+#

arctanx

x dx1 2+

y

ALIŞTIRMALAR

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

I. BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER

Δ = b2 – 4ac olmak üzere, bu tür integraller, Δ nın işaretine göreincelenir.

1. Durum:

Δ < 0 olsun. Bu durumda

ax2 + bx + c = (mx + n)2 + p2 gibidir. O halde

olur. Son integrale dikkat edildiğinde integrant, arctanjant'lı bir ifadenin türevine benzemektedir. O halde

değişken değiştirmesi yapılırsa, arctanjant'lı bir sonuç

elde edilir.

2. Durum:

Δ = 0 olsun. Bu durumda

ax2 + bx + c = (mx + n)2 gibidir. O halde integral

u = mx + n denilirse

du = mdx olur.

u = mx + n bulunur.

3. Durum

Δ > 0 olsun. Bu durumda

ax2 + bx + c = (mx + n)2 – p2

= (mx + n + p)(mx + n – p) olup yerine yazılırsa,

olur.

biçiminde basit kesirlere ayrılırsa

integralinde u = mx + n + p denilirse

du = mdx

integralinde v = mx + n – p denilirse

dv = mdx olup yerine yazılırsa

bulunur.

ax bx cdx

2 + +y

( )ax bx cdx

mx n pdx

pp

mx ndx1

12 2 2 2 2+ +

=+ +

=+ +b ly yy

u pmx n= +

( )( )

ax bx cdx

mx ndx

mx n dx olup–

2 2

2

I =+ +

=+

= +

yy

y

dx m du1& =

. .–u m du mu C1 1

1–

–2

1I = = +y

.–m u C1 1= +

.– ( )m mx n C1 1& I = + +

( ) ( – )ax bx cdx

mx n p mx n pdx

2 + += + + +yy

( ) ( – ) –mx n p mx n p mx n pA

mx n pB1

+ + + = + + + +

1I

dx m du1& =

2I

dx m dv1& =

ax bx cdx

mA

udu

mB

vdv

2 + += + yyy

mA nu m

B nv C, ,= + +

( ) – ( – )mA n mx n p m

B n mx n p C, ,= + + + +

439

KAVRAMSAL ADIM

( ) ( – ) – .mx n p mx n pdx

mx n pA dx mx n p

B dx olur

1 2

+ + + = + + + +I I

1 2 344 44 1 2 344 44yyy


olur.

dir.

–x xdx

2 8

12

I=+

#

x u dx du1 3 3&+ = =

– ( ) –x xdx

xdx

2 8

1

1 9

12 2

I=+

=+

##

1

–u9 92= . du3#

–.

1– 1

udu n

uu

C31

1

131

21

2,= =

++#

31

1

31

– 1

4– 2

nx

x

C nxx

C61

61

, ,=+

+

+

+ =+

+

ETKİNLİK

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

440

UYGULAMA ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4 1. integralini hesaplayınız.

Çözüm

x2 – 10x + 29 ifadesindeΔ = 100 – 116 = –16 < 0 olupx2 – 10x + 29 = x2 – 10x + 25 + 4

= (x – 5)2 + 4 tür.O halde

olup

denilirse

olur.

bulunur.


Çözüm

x2 + x + 1 ifadesinde Δ = 1 – 4 = –3 < 0 olduğundan 1. ör-nekte olduğu gibi integrantın paydası iki kare biçimine getiri-lir. Buna göre

x2 + x + 1 = olduğundan

denilirse

olup

ve

yazılırsa

bulunur.


Çözüm

Önce t = sinx değişken değiştirmesi yapılırsa

dt = cosxdx olur. O halde integral

biçimine dönüşür.

2t2 – 3t + 2 ifadesinde Δ = 9 – 16 = –7 < 0 olduğundan

2t2 – 3t + 2 yazılırsa

integralinde denilirse

olur.

arctanu + C

olduğundan

yazılırsa

elde edilir.

–x xdx

10 292I =+

y

– ( – )x xdx

xdx

10 29 5 42 2I =+

=+

yy

( – ) –xdx

xdx

4 1 45 4

1

1 252 2=

+=

+ b l; E yy

–u x2

5=

du dx dx du21 2&= =

–.

xdx

udu

udu

41

1 25 4

112

21

12 22+

=+

=+b l

yyy

arctanu C21= +

– –arctanu x x C25

21

25

& I= = +b l

x xdx

12I =+ +

y

x 21

432

+ +b l

x xdx

x

dx1

43

212 2I =

+ +=

+ +b lyy

x

dx

43 1

4321 2=

++b lR

T

SSSS

V

X

WWWW

y

x

dx34

1

2321 2=

++

R

T

SSSS

V

X

WWWW

y

x

dx34

13

221 2=

+ +b l; Ey

u x3

221= +b l du dx

32=

dx du23=

arctanu

duu C3

4123

32

2I =+

= +y

u x3

221= +b l

21arctan

x xdx x C

1 32

32

2I =+ +

= + +b l; Ey

–sin sincosx x

xdx2 3 22I =

+y

–t tdt

2 3 22I =+

y

–t t2 23 12= +b l –t2 4

31672

= +b l; E

– –t

dt

t

dt

2 43 2

1

167 1

16743

1672 2I = =

++b bl lR

T

SSSS

; V

X

WWWW

E yy

.–t

dt21

716

1

4743 2=

+

J

L

KKKK

N

P

OOOO

y

–t

dt78

17

443 2=

+ b l; Ey –u t

74

43= b l

du dt dt du7

447

&= =

udu7

81

47

72

2I =+

=y

– sinu t ve t x7

443= =b l

–sinu x7

443= b l

–arctan sinx C7

27

443

I = +b l; E

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

441

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –


Çözüm

x2 – 4X + 4 ifadesinde

Δ = 16 – 16 = 0 olduğundan

x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 dir. Yerine yazılırsa

dir.

v = x – 2 denilirse dv = dx olup

v = x – 2 yazılırsa

bulunur.


Çözüm

Önce t = ex değişken değişimi yapılırsa

dt = exdx olduğundan integral

biçimine dönüşür.

t2 – 6t + 9 ifadesinde Δ = 36 – 36 = 0 olduğundan

t2 – 6t + 9 = (t – 3)2 dir. Yerine yazılırsa

t = ex yazılırsa

bulunur.


Çözüm

x2 – 8x + 7 integralinde

Δ = 64 – 28 = 36 > 0 olduğundan

x2 – 8x + 7 = (x – 1)(x – 7) dir.

den

1 = A(x – 7) + B(x – 1) olur.

x = 7 için

x = 1 için

O halde

bulunur.


Çözüm

12x2 – 7x + 1 ifadesinde

Δ = 49 – 48 = 1 > 0 olduğundan

12x2 – 7x + 1 = (3x – 1)(4x – 1) dir.

O halde

1 = A(4x – 1) + B(3x – 1)

yazılırsa

yazılırsa bulunur. O halde,

dir.

– ( – )x xdx

xdx

4 4 22 2I =+

= yy

– –vdv v dv v

vC C11–

–

22

1I = = = + = +yy

– –x C21

I = +

–e ee dx6 9x x

x

2 +y

–t tdt6 92 +

y

– ( – )( – )

– –

t tdt

tdt t dt

t C

6 9 33

31

–2 2

2+

= =

= +

yyy

––

–e ee dx

eC

6 9 31

x x

x

x2 += +y

–I

x xdx8 72=

+y

( – ) ( – ) – –x x xA

xB

1 71

1 7= +

( – ) ( – ) ( – ) ( – )( – ) ( – )

x x x xA x B x

1 71

1 77 1

=+

B B1 6 61

&= =

– – .A A olur1 6 61

&= =

– – –x xdx

xA dx x

B dx8 7 1 72 +

= + yyy

– – –xdx

xdx

61

1 61

7= + yy

– – –n x n x C61 1 6

1 7, ,= + +

––n x

x C61

17

,= +

–x xdx

12 7 12 +y

3x –1

4x –1

– – –x x xA

xB

12 7 11

3 1 4 12 += +

– –( – ) ( – )

x x x xA x B x

12 7 11

12 7 14 1 3 1

2 2+=

++

x 41= – . –B B1 4

1 4&= =

x 31= .A A1 3

1 3&= =

– – –x xdx

xAdx

xBdx

12 7 1 3 1 4 12 += + yyy

– ––

xdx

xdx

3 13

4 14= + yy

. – – . –n x n x C3 31 3 1 4 4

1 4 1, ,= +

– ––

x xdx n x

x C12 7 1 4 1

3 12 ,

+= +y

–I

x xdx4 42=

+y

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ







arctan(x – 3) + C

–x xdx6 102 +

y

x x

dx

432 + +

y

arctan(x – 7) + C

–x xdx

14 502 +y

( )xdx1 92+ +

y

x xdx6 252 + +

y

–x xdx5 42 +

y

PEKİŞTİRME ADIMI

442

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

arctan x C2

12 2

1+ +ab kl

arctanx

C31

31+

+b l

arctanx

C41

43+

+a k

––

n xx

C31

14

, +

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

443

II. BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER

Bu tür integrallerde de Δ = b2 – 4ac nin işaretine bakılarak çözüme gidilir.

1. Durum:

Δ < 0 olsun. Bu durumda ax2 + bx + c nin türevi olan 2ax + b ifadesi payındaoluşturulur. Bunun için sırasıyla kesrin payı A parantezine alınır, 2a ile çarpılır–bö-lünür, sonra da b eklenir–çıkarılır.

Yani;

olur. Son integral I. grupta incelediğimiz türdendir.

2. Durum:

Δ = 0 olsun. Bu durumda kesrin paydası tamkaredir. Yani,

ax2 + bx + c = (mx + n)2 gibidir. Bu durumda integrant,

biçiminde basit kesirlere ayrılır.

3. Durum

Δ > 0 olsun. Bu durumda

ax2 + bx + c = (mx + n)(rx + p) biçiminde çarpanlarına ayrılır. Sonra integrant

biçiminde basit kesirlere ayrılarak integral alınır.

Ax B

ax bx cdx

2+

+ +^ hy

ax bx cAx B dx A

ax bx c

x AB

dx2 2I =+ +

+ =+ +

+yy

aA

ax bx c

ax AaB

dx2

2 2

2=+ +

+y

–

aA

ax bx c

ax b AaB b

dx2

2 2

2=+ +

+ +y

–

aA

ax bx cax b dx a

Aax bx c

AaB b

dx22

2

2

2 2=+ +

+ ++ +

yy

–aA n ax bx c B a

Abax bx c

dx2 2

22,= + + +

+ +b l y

( ) ( )ax bx cAx B

mx nAx B

mx nP

mx nQ

2 2 2+ ++ =

++ = + +

+

( ) ( )ax bx cAx B

mx n rx pAx B

mx nP

rx pQ

2 + ++ = + +

+ = + + +

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

integralini hesaplayınız.

bulunur.

–

x

xdx

4

3 12+

#

––

x

xdx

x

xdx

4

3 13

4

31

2 2+=

+##

–

x

xdx

23

4

232

2=

+#

–x

x

xdx

23

4

232

4

12 2

=+ +

.f p#

–x

xdx

xdx

23

4

2

4

12 2

=+ +

##

( ) –n xx

dx23

4

4 14

122

,= +

+f p#

2 .

( ) – 21

n x dxx2

34

41

12

22

,= +

+ c m#

( ) –n xx

dx23

421

12

21

22

,= +

+ c m#

( ) – arctann xx

C23

421

22,= + +

ETKİNLİK

ETKİNLİK

integralini hesaplayınız.x x

xdx

1

3 22+ +

+#

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

444

UYGULAMA ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –


Çözüm

(x2 – 4x + 6)' = 2X – 4 olduğundan kesrin payında 2x – 4oluşturmalıyız.

Son integraldeki x2 – 4x + 6 ifadesinde

Δ = 16 – 24 = –8 < 0 olduğundan

x2 – 4x + 6 = x2 – 4x + 4 + 2

= (x – 2)2 + 2 dir.

O halde

Böylece

bulunur.


Çözüm

Birinci integralde (2x2 – 5x + 6)' = 4x – 5 olduğundan

dır.

Son integraldeki 2x2 – 5x + 6 ifadesinde

Δ = 25 – 48 = –23 < 0 olduğundan

2x2 – 5x + 6 = 2

dır.

denilirse

bulunur.

–x xx dx4 6

2 32I =

++y

– ––

x xx dx

x xx dx

4 62 3

4 62 4 3 4

2 2I =+

+ =+

+ +yy

––

–x xx dx

x xdx

4 62 4

4 67

2 2I =+

++

yy

––

n x xx x

dx4 6 74 6

22,= + +

+y

– ( – ) –x xdx

xdx

xdx

4 6 2 2 2 1222 2 2+

=+

=+ c m= G

yyy

–

– .

arctan

arctan

u x denilirseudu

du dx u C

dx du olur x C dir

22

21

12

21

22

2 22

22

2= =+

= = +

= = +c m

y

– . –arctann x x x C4 6 7 22

222,I = + + +c m

–x xx dx

2 5 61

2I =+

+y

– –x xx dx

x xx dx

2 5 61

41

2 5 64 4

2 2I =+

+ =+

+yy

––

x xx dx4

12 5 64 5 5 4

2=+

+ +y

––

–x xx dx

x xdx4

12 5 6

4 541

2 5 69

2 2=+

++

yy

––

n x xx x

dx41 2 5 6 4

92 5 6

22,I = + +

+y

–x x25 32 +b l

–x2 45

16232

= +b l; E

– –x

dx

x

dx49

2 45 8

9

1623 1

1623

45

16232 2= =

++b bl lR

T

SSSS

; V

X

WWWW

E yy

.

–x

dx89

2316

1

423

45 2=

+

J

L

KKKK

N

P

OOOO

y

–x

dx2318

1234

45 2=

+ b l; Ey

–u x234

45= b l

du dx dx du234

423

&= =

. arctanu

duu ve23

181423

2318

423

2=+

=y

–u x ise234

45= b l

–arctan x olup2 23

9234

45= b l; E

– –arctann x x x C41 2 5 6

2 239

234

452,I = + + +b l; E

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

445

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –


Çözüm

x2 – 8x + 16 = (x – 4)2 olduğundan

4x – 1 = A(x – 4) + B ise

4x – 1 = Ax + B – 4A olup

polinom özdeşliğinden

A = 4, B – 4A = –1 B – 4.4 = –1

B = 15 bulunur.

O halde;

bulunur.


Çözüm

2x2 – x – 1 ifadesinde

Δ = 1 + 8 = 9 > 0 olduğundan

2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1) dir.

x + 1 = A(x – 1) + B(2x + 1) ve

x = 1 1 + 1 = 0 + 3B

bulunur.


Çözüm

x2 + x – 12 = (x – 3).(x + 4) olduğundan

3x + 5 = A(x + 4) + B(x – 3) tür.

Buradan x = 3 için 14 = A.7 + 0

A = 2,

x = –4 için –7 = 0 + B(–7)

B = 1 bulunur.

Böylece,

bulunur.

––

x xx dx8 16

4 12I =

+y

––

( – )–

– ( – )x xx

xx

xA

xB

8 164 1

44 1

4 42 2 2+= = +

( – )–

( – )( – )

xx

xA x B

44 1

44

2 2=+

&

( – )–

– ( – )xx dx x dx

xdx

44 1

44

415

2 2= + yyy

– ( – )n x x dx4 4 15 4 –2,= + y

– – . –n x x C4 4 15 41

,= +

– –x xx dx

2 11

2+y

( ) ( – ) –x xx

xA

xB

2 1 11

2 1 1++ = + +

( ) ( – ) ( ) ( – )( – ) ( )

x xx

x xA x B x

2 1 11

2 1 11 2 1

++ = +

+ +

& B 32

& =

– – . – –x A21

21 1 2

1 1 0&= + = +b l

– A23

21

& = – .A olur31

& =

– –

–

–x xx dx x dx x dx

2 11

2 131

132

2+ = + + yyy

– . –n x n x C31

21 2 1 3

2 1, ,= + + +

– –n x n x C61 2 1 3

2 1, ,= + + +

–x x

xdx

12

3 52 +

+#

– –x x

xx

Ax

B

12

3 53 42 +

+= +

+

( – ) ( )( ) ( – )

x xA x B x

3 44 3

=+

+ +

&

&

&

– –x x

xdx

x xdx

12

3 53

24

12+

+= +

+c m##

| – | | |n x n x C2 3 4, ,= + + +

| ( – ) . ( ) |n x x C3 42,= + +

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

446

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

( )n x

xC3

2 2, +

++

2 12 – 3

– – – xx Cn x x n88

14 4 3

12, , ++ +^ h

n xx

C21

42

, ++

+

––

arctan Cn x xx

21

4 8 23

222, + + +^ ah k

arctanx

C31

32 1+

+

arctanx

C55

55+

+c m







x xx dx

5 64

2 + ++y

– –( – )x x

x dx4 4 3

12

y

x xdx6 82 + +

y

–x xx dx

4 81

2 ++y

x xdx

2 2 52 + +y

x xdx

10 302 + +y

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

447

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

– arctann xx

C9 37

32, + +^ h

––

arctann x xx

C91

9 12 8 1813

23 22, + + +^ ah k

– ––

arctann x xx

C2 5 21

212, + +a k

– – –x x

x n x n x C3 23

7 1 16 23 2

, ,+ + + +

– – –n x n x C31

1 34

4, ,+ +

– arctanx

x x C23

4 42

+ +







–xx dx

92 7

2 +y

–2 3

x xx dx

9 12 82 ++y

––

x xx dx

2 52

2 +y

–x xx dx3 22

4

+y

–x xx dx5 42 +

y

–x

x x x dx1

3 4 32

3 2

++y

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

KAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIM


Pay derecesi payda derecesinden küçük oldu-

ğundan bölme işlemine gerek yoktur.

x2 – 3x + 2 = 0 da payda kökleri 1 ve 2 olup

payda (x – 1).(x – 2) şeklinde çarpanlara ayrı-

lır.

den 2x – 5 = (x – 2)A + (x – 1)B ve

2x – 5 = (A + B)x – (2A + B) özdeşliği elde edi-

lir. Polinomların eşitliğinden (Belirsiz katsayılar

metodu)

A + B = 2 ve 2A + B = 5 denklemleri ortak çö-

zülerek A = 3 ve B = –1 bulunur.

Böylece

elde edilir.

–

–

x x

xdx

3 2

2 52

I=+

#

( – ) ( – )–

– –x xx

xA

xB

1 22 5

1 2= +

( – ) . ( – )

( – ) ( – )

x x

x A x B

1 2

2 1=

+

––

–xdx

xdx

13

21

I= ##

| – | – | – |n x n x C3 1 2, ,= +

A, B katsayılarını aşağıdaki gibi iki değişik

yoldan bulabiliriz.

I) 2x – 5 = (x – 2)A + (x – 1)B idi:

Şimdi payda köklerini bu eşitlikte kullanalım.

x = 1 için 2.1 – 5 = (1 – 2)A + (1 – 1)B

–3 = –A A = 3

x = 2 için 2.2 – 5 = (2 – 2)A + (2 – 1)B

–1 = B B = –1

&

&

&

&

448448

KESİRLİ (RASYONEL) FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ

BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİ

P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) 0 olmak üzere biçimindeki ifadelere

rasyonel fonksiyon denir. Burada integralinin nasıl alınacağının kuralını

vereceğiz.

Payın derecesinin paydanın derecesinden büyük ya da eşit olması durumu:

Bu tür durumlarda pay, paydaya bölünür, tam kısım ayrılır.

integralinde K(x) in derecesi (K(x) : kalan) Q(x) in derecesinden kü-

çüktür. Burada da üç durum sözkonusu olabilir.

a) Q(x) = (ax + b)(cx + d)(ex + f) ...................... biçiminde çarpanlarına ayrılıyorsa

şeklinde yazıp M, N, P ................

sabitleri bulunur. Sabitler yerine yazılarak integral alınır. integralinin

sonucu logaritmalıdır.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğundan bölme işlemine gerekyoktur.

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) olduğundan

yazılır.

2x + 1 = A(x – 3) + B(x – 2) de

x = 2 ise 2.2 + 1 = A(2 – 3) + 0 A = –5

x = 3 ise 2.3 + 1 = 0 + B B = 7 dir.

olup

dir.

! ( )( )

Q xP x

( )( )

Q xP x

dxy

( )( )

( ) ( )( )

Q xP x

B x Q xK x

ise= +

( )( )

( ) ( )( )

Q xP x

dx B x Q xK x

dx= +; Eyy ( ) ( )( )

.B x dx Q xK x

dx tir= + yy

( )( )

Q xK x

dxy

( )( )

............Q xK x

ax bM

cx dN

ex fP= + + + + + +

( )( )

Q xP x

dxy

–x xx dx5 6

2 12 +

+y

– – –x xx

xA

xB

5 62 1

2 32 ++ = +

– –( – ) ( – )

x xx

x xA x B x

5 62 1

5 63 2

2 2++ =

++

&

&

– ––

–x xx

x x5 62 1

25

37

2 ++ = +

– ––

–x xx dx x dx x dx5 6

2 12

53

72 +

+ = + yyy

– – –n x n x C5 2 7 3, ,= + +

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4 ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ


II)

eşitliğinin birinci tarafının paydasını türev-

leyelim.

dir.

tür.

dir.

( )

( )

–

–– –Q x

P x

x x

xx

Ax

B

3 2

2 51 22

=+

= +

' ( )

( )

' ( )

( )A

Q

PB

Q

P

1

1

2

2= =

' ( )

( )

––

Q x

P x

xx

2 32 5

=

. –

. –––

A2 1 32 1 5

13

3= = =

. –

. – ––B

2 2 32 2 5

11

1= = =


x3 – 3x2 + 2x = x(x – 1).(x – 2) olup

–4x + 2 = (x – 1)(x – 2).A + x(x – 2)B+x(x – 1).C

x = 0 için 0 + 2 = (0 – 1)(0 – 2)A + 0.B + 0.C

A = 1

x = 1 için

–4 + 2 = 0.A + 1.(1 – 2)B + 0.C

B = 2

x = 2 için –8 + 2 = 0.A + 0.B + 2.(2 – 1)C

C = –3

olup

elde edilir.

–

–

x x x

xdx

3 2

4 23 2

I=+

+#

( – ) ( – )–

– –x x xx

xA

xB

xC

1 24 2

1 2+

= + +

&

&

– ––

xdx

xdx

xdx

11

22

3I= + + ###

| | | – | – | – |n x n x n x C2 1 3 2, , ,I= + +

&

449

ÖRNEK


ÇÖZÜM

Payın derecesi paydanın derecesine eşit olduğundan bölme işlemi yapılırsa,

olduğundan

yazılır.

3x – 1 = A(x – 2) + B(x – 1)

x = 2 3.2 – 1 = 0 + B B = 5

x = 1 3.1 – 1 = –A + 0 A = –2 dir.

O halde

bulunur.

b) Payda Q(x) = (ax + b)n biçiminde ise

yazılır.

–x xx dx

3 21

2

2I =

++y

x2 + 1

x2 3x 2! "

x2–3x+2

1

3x – 1

– ––

x xx dx

x xx dx

3 21 1

3 23 1

2

2

2++ = +

+c myy

––dx

x xx dx3 2

3 12= +

+yy

–– .x

x xx dx olur3 2

3 12= +

+y

––

– –x xx

xA

xB

3 23 1

1 22 += +

––

–( – ) ( – )

x xx

x xA x B x

3 23 1

3 22 1

2 2+=

++

& &

& &

––

––

–x xx dx x dx x dx3 2

3 11

22

52 +

= + yyy

– – – .n x n x C dir2 1 5 2, ,= + +

–– – –

x xx dx x n x n x C

3 21 2 1 5 22

2, ,I =

++ = + +y

( )( )

( )..........

( )Q xK x

ax bA

ax bB

ax bD

n2= + ++

+ ++

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

450

ÖRNEK


ÇÖZÜM

x + 2 = x2(A + C) + x(A + B) + B eşitliğinden

O halde

bulunur.

c) Kesrin paydasında çarpanlarına ayrılamayan (Δ < 0 olan) ax2 + bx + c gibi bir

ifade varsa paydadaki bu ifadeye karşılık paya Ax + B çarpanı gelir.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

yazılır.

x2 + 2x – 1 = x2 (A + B) + Cx + A eşitliğinden

x xx dx23 2I =

++y

( )x xx

x xx

xA

xB

xC2

12

13 2 2 2++ =

++ = + + +

( ) ( )x xx

x xAx x B x Cx2 1 1

3 2 3 2

2

++ =

++ + + +

– , .

B

A B

A C

A C olur

2

1

0

1 1&

=

+ =

+ =

= =

_

`

a

bb

bb

–x xx dx x x x dx2 1 2

11

3 2 2I =++ = + + +c myy

– x dxx

dx x dx1 2 11

12I = + + +

yyy – –nx x n x C2 1 1, ,= + + + +b l–n x

xx C1 2

,I = + +

( )–

x xx x dx

12 12

2I =

++y

( )–

x xx x

xA

xBx C

12 1

12

2

2++ = +

++

( )–

( )( )

x xx x

x xA x Bx Cx

den1

2 11

12

2

2

2 2

++ =

++ + +

1

2

–

.

A B

C

A

B dir

1

2&

+ =

=

=

=

_

`

a

bb

bb

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4



Payın derecesi büyük olduğundan payı pay-

daya bölerek bulunur.

dir. Son integral önceki yöntemle hesaplanarak

elde edilir.

–

– –

x x

x x xdx

4 3

4 6 72

3 2I=

+

+#

–

–x

x x

x

4 3

3 72

++

–

–xdx

x x

xdx

4 3

3 72

I= ++

##

–

–x

x x

xdx

2 4 3

3 72

2+

+#

| – | | – |x

n x n x C2

2 1 32

, ,I= + + +

integralini hesaplayınız.–x x

dx

4 2+

#

ETKİNLİK

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

451

O halde

olup

bulunur.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ

Trigonometrik fonksiyonların integralini bulmak için genel bir kural yoktur. Ancak belliyapıdaki trigonometrik integraller için aşağıdaki değişken değiştirme işlemi yapılır.

1) biçimindeki integraller:

Burada integrali alınacak fonksiyon sinx ve cosx in rasyonel bir fonksiyonu ise

değişken değiştirmesi yapılır.

olur.

Bir dar açısı olan dik üçgen çizilirse,

ve

sinx = sin2. olduğundan

cosx = cos2. olduğundan

olur.

Bu değerler verilen integralde sinx ve cosx yerine yazılarak t ye bağlı rasyonel birintegral elde edilir. Bu integral daha önce verilen yöntemle hesaplandıktan sonra

t = tan yazılarak sonuca ulaşılır.

– x dxxx dx1 2

11

2= +++yy

– nxx

x dxx

dx1

2 21

12 2,= +

++

+yy

– arctannx n x x C1 22, ,= + + + +

arctann xx x C1 2

2,I = + + +

( )– –

x xx x dx x x

x dx1

2 1 11

2 22

2

2++ = +

++c myy

( , )sin cosQ x x dxy

tan x t2 =

tan arctanx t x t2 2&= =

arctanx t2& =

dxt

dt1

22& =

+

x2

sin xt

t2 1 2

=+

cos xt2 1

12

=+

.sin cosx x x2 2 2 2=

. .sinxt

tt t

t21 1

11

22 2 2=

+ +=

+

–cos sinx x x2 2 2

2 2=

– –cosxt t

ttt

11

1 11

2

2

2

2

2

2=

+ +=

+d cn m

A

BC 1

x2

t2 +1

t

x2

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4



koyalım.

dir.

Bu sonuç aşağıdaki biçimde de yazılabilir.

elde edilir.

sinxdx#

tanx

t2=

sinxt

t

1

22

=+

dxt

dtve

1

22

=+

sinxdx

t

tt

dt

1

21

2

2

2=

+

+##

| |t

dtn t C,= = +#

| |tannx

C2

,= +

tancos

sinx

x

x

22

2=

sin cos

sin

x x

x

22 2

22

2

=

–

sin

sin

x

x2

21 12

=

+

– ( – )

sin

sin

x

x1 1 2

22

=

––

sincos

sincot

xx

xx

1 1= =

–sin sin

cotx

dxn

xx C

1,= +#

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

452

ÖRNEK


ÇÖZÜM

denilirse

olduğundan yerine yazılırsa

ve yazılırsa bulunur.


Bu integrallerde tanx = t değişken değiştirmesi yapılır.

olup integral

biçiminde rasyonel bir fonksiyonun integraline dönüşür.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

Burada

sinx dx11

I = +y

tan x t2 =

arctan arctanx t x t2 2&= =

sindxt

dt ve xtt

12

12

2 2=+

=+

( ) ( )–

tt

t dt

ttt dt

tdt t C

11

21

2

111

2

12 2 1

1

2

2

2

2

2

2+

+

+ =

+++ =

+= + +yyy

tant x2= –

tan x C21 2

1I =

++

( )tanQ x dxy

tan arctanx t x t&= =

dxt

dt1

12=

+

( ) .Q tt

dt1 2+

y

tantan

xx dx1I = +

y

tan arctanx t x t&= =

dxt

dt1

12& =

+

( ) .( ) ( )

.tt

tdt

t ttdt olur1 1

11 12 2I = + +

=+ +

yy

( ) ( )( )

t tt

tA

tBt C den

t t1 1 1 1

1 1

2 2

2

+ += + +

++

+ +^ h

( ) ( ) ( ) ( )t tt

t tA At Bt Bt C Ct

1 1 1 12 2

2 2

+ +=

+ ++ + + + +

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4


koyalım.

olduğundan,

bulunur.

Bu sonuç aşağıdaki biçimde de yazılabilir.

olduğundan,

elde edilir.

cosxdx#

tanx

t2=

–,cosx

t

tdx

t

dt

1

1

1

22

2

2=

+=

+

–cosxdx

t

t

t

dt

1

1

1

2

2

2

2=

+

+##

– tdt

1

22

= #

–t tdt

11

11

=+

+c m#

| | – | – |n t n t C1 1, ,= + +

–n

tt

C11

,=+

+

n C1

2

–

tan

tan

x

x1

2

,= +

+

––

–tan

tan

cos

sin

cos

cos sin

cos sin

sin

x

x

x

x

x

x x

x x

x

12

12

1

2

2

1

2

2 2

2 2

2

+

=

+

=

+

–cos sin

cos sin

cos

cos sin sin cos

x x

x x

x

x x x x

2 2

2 2 2 22

2 2

2 2

22 2

1

=

+

=

+ +c m 6 7 84444 4444

cossin

costan

xx

xx

1 1=

+= +

cos costan

xdx

nx

x C1

,= + +#

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ


sint = t koyarsak cosx dx = dt ve

koyarsak,

bulunur.

– cos

cos

x

x dx

4 2#

– – ( – )cos

cos

sin

cos

sin

cosI

x

x dx

x

x dx

x

x dx

4 4 1 32 2 2= = =

+

# ##

. tant

dtolur t u

33

2I=

+=#

tan

cos

cos

coscosu

udu

u

udu

udu

3 3

3

1

1

2

2 2I=

+= = ###

costann

uu C

1,= + +

nt t

C3

3

3

2,=

++ +

–n t t C n3 32, ,= + + +

, ( – )sin sinn x x k k C n3 32, ,= + + + =

453

t = t2(A + B) + t(B + C) + A + C eşitliğinden

bulunur.

t = tanx yazılırsa


Bu tür integrallerde tanx = t değişken değiştirimi yapılır.

tanx = t x = arctant

olur.

Bir açısı x olan dik üçgen çizilirse;

olup verilen integralde yerlerine yazılarak t ye bağlı rasyo-nel bir fonksiyonun integrali elde edilir. Bu integral hesap-landıktan sonra t = tanx yazılarak sonuca ulaşılır.

0

1 , , –

A B

B C

A C

C B A

021

21

21

+ =

+ =

+ =

= = =4

( ) ( )

–

t ttdt

t t

tdt

1 1 121

121

21

2 2+ += + +

+

+f pyy

– tdt

tt dt

tdt

21

1 21

1 21

12 2= + ++

++yyy

– . arctann ttt dt t C2

1 1 21

21

12

21

2,= + ++

+ +y

– ( )tan tan arctan tann x n x x C21 1 4

1 1 212, ,I = + + + + +

– tan secn x n x x C21 1 4

1212, ,= + + + +

.tansecn x

x x C olur21

1 21

,= + + +

( , ) ( )sin cosQ x x dx n Zn n2 2 ! +y

&

dxt

dt1

12& =

+

C B

A

t

1

x

1+t2

sinxt

t

1 2=

+

cosxt1

12

=+

– | | | |n t n t21

141

1 2, ,= + + + arctan t C21

+ +

– | | | |tan secn x n x x C21

121

21

, ,= + + + +

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

A

BC

3+t2

t

3

u

EETKİNLİK

integralini hesaplayınız.x x

dx1

12

+^ h#

ETKİNLİK www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

454

ÖRNEK


ÇÖZÜM

tanx = t

ve değerleri yerlerine yazılırsa

bulunur.

IV. BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER: (m, n ∈ Z)

Burada 3 durum söz konusu olabilir.

1. m çift n tek olsun.O zaman n = 2p + 1 biçiminde yazılabilir. Buradan

olur. Bu son integralde sinx = t denilirse cosxdx = dt olur.O halde,

olur.

arctanx t& =

dxt

dt1

12=

+

cosxt1

12

=+

t

t dt

t

t dt

tdt

tdt

11

11

1

11

11

1

2

2 1 2

2

2

2

2

2

2

2I =+

+

+ =+

+

+

=+

=+

c

c

m

m

yy

y

y

tdt

2 12

2I =

+ c m> Hy

u t du dt dt du2 2

1 2& &= = =

arctanu

du u C22

1 22

2I =+

= +y

tan arctan tanu t x x C2 2 2

22

& I= = = +c m

.sin cosx xdxm ny

. .sin cos sin cosx xdx x xdxm n m p2 1= +yy. .sin cos cosx x xdxm p2= y( – )sin sin cosx x xdx1m p2= y

. ( – ) . ( – )sin sin cosx x xdx t t dt1 1m p m p2 2= yy

cos xdx

11

2I =+y

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4


cosxdx

u = sinx olsun.

du = cosx dx tir.

bulunur.

.sin cosx x dx2 3#

. . .sin cos sin cosx x dx x x2 3 2 2= ##

. ( – ) . ( )sin sin cosx x x dx12 2= #

. ( – )sin cosx x dx u u du12 3 2 2= ##

( – ) –u u duu u

C3 5

2 43 5

= = +#

–sin sinx x C31

51 53= +

ETKİNLİK

integralini hesaplayınız..sin cosx x dx4#

ETKİNLİK www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

455

ÖRNEK


ÇÖZÜM

Verilen integrali biçiminde yazalım.

bulunur.

2. m ve n nin ikisi de negatif olmayan çift sayılar olsun.Örneğin, m = 2p, n = 2q olsun.

olup parantezler açılarak elde edilen integralde çift ve tek kuvvetlerin birlikte bulun-duğu terimlerin integrali 1. deki yoldan, çift kuvvetlerin bulunduğu terimlerin integralide

eşitliği yardımı ile hesaplanır.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

yazılırsa

bulunur.


.sin cos cosx x xdx4 4I = y. ( ) –sin cos cos sin sin cosx x xdx x x x xdx14 2 2 4 2 2 2= ^ hyy

sin cost x dt xdx&= =

.( – ) ( – ) ( – )t t dt t t t dt t t t dt1 1 2 24 2 2 2 4 4 6 84I = = + = +yyy

– sint t t C ve t x ise5 72

9

57

9I = + + =

–sin sin sinx x x C5 72

9

5 7 9I = + +

. .sin cos sin cosx xdx x xdxm n p q2 2=y y( ) . ( )sin cosx x dxp q2 2= y

cos cosx x2 21 42 = +


( ) . ( )sin cosx x dx2 2I = y– . –cos cos cosx x dx x dx2

1 22

1 24

1 22I = + =c c cm m my y

– –cos

cosx

dx x dx4

1 21 4

81 4=

+

=y y

– cosdx xdx81

81 4= yy

–.

cos cosx xdx

21 2

21 2p p

=+c cm m

– . sinx x C8 81

41 4= +

– sinx x C8 321 4= +

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

integralini hesaplayınız.cos x dx4#

( ) ( )cos coscos

xdx x dxx

dx2

1 24 2 2 2= = =+###

( )cos cosx x dx41

1 2 2 22= + +#

coscos

dx xdxx

dx41

21

241

21 4

= + ++###

cos cosdx xdx dx xdx4

1

2

12

8

1

8

14= + + + ####

. .sin sinx

xx

xC

41

21

22

81

81

44

= + + + +

sin sinx

x x C83

41

2321

4= + + +


.sin cosx x dx2#

ETKİNLİK

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

ETKİNLİK

456

3. m ve n nin her ikisi de tek sayı olsun.Burada mutlak değerce küçük kuvvetli olan fonksiyon parçalanır. Geriye kalan işlemler 1. deki yoldan sürdürülür.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

Verilen integralin olduğu düşünülürse olduğundan

sin3x fonksiyonu parçalanır.

u = cosx du = –sinxdx olduğundan

u = cosx yazılırsa

bulunur.

V. BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER

Bu integralleri hesaplamak için

eşitlikleri kullanılır.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

sin4x.cos6x =

olduğundan

cossin

xx dx

3

5I = y

.sin cosx xdx–3 5y –3 5<

. ( – )cos

sin sincos

cos sinx

x x dxx

x xdx

15

2 2

5= yy

&

( – ) . (– )–

uu du

uu du

udu1

5

2

5

2

5=y yy

–u du u du– –3 5= yy

– – –u u C2 4

– –2 4= + –

u uC

21

41

2 4= + +

–cos cosx x

C2

14

12 4I = + +

– sec secx x C21

412 4= + +

. , .sin cos cos cosmx nxdx mx nxdxyy

. ( ) ( – )sin cos sin sinmx nx m n x m n x21= + +6 @

. ( ) – ( – )cos cos cos cosmx nx m n x m n x21= +6 @

. – ( ) – ( – )sin sin cos cosmx nx m n x m n x21= +6 @


( ) ( – )sin sinx x21 4 6 4 6+ +6 @

( – )sin sinx x21 10 2=

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4


u = cosx olsun du = –sinx dx tir.

bulunur.

sin x dx3#

. ( )sin sin sinx dx x x dx3 2= ##

( – ) . ( )cos sinx x dx1 2= #

( – ) . (– )sin x dx u du13 2= ##

(– )u du1 2= +#

–uu

C3

3= + +

–cos cosx x C31 3= + +


.sin sinx x dx3 2#

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

457

bulunur.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

sin6x.sin8x =

(cos(–α) = cosα)

bulunur.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

cos6x.cosx =

olduğundan yerine yazılırsa

bulunur.

( – )sin sinx x dx21 10 2I = y

–sin sinxdx xdx21 10 2

1 2= yy

. (– ) – . (– )cos cosx x C21

101 10 2

121 2= +

– cos cosx x C201 10 4

1 2= + +

.sin sinx xdx6 8I = y

– ( ) – ( – )cos cosx x21 6 8 6 8+6 @

– – (– )cos cosx x21 14 2= 6 @

– ( – )cos cosx x21 14 2=

.sin sinx xdx6 8I = y

– ( – )cos cosx x dx21 14 2= y

– ( – )sin sinx x C21

141 14 2

1 2= +

– sin sinx x C281 14 4

1 2= + +

.cos cosx xdx6I = y

( ) ( – )cos cosx x21 6 1 6 1+ +6 @

( )cos cosx x21 7 5= +

.cos cosx x dx6I = y

( ( )cos cosx x dx21 7 5= +y

( )sin sinx x C21

71 7 5

1 5= + +

sin sinx x C141 7 10

1 5= + +

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4


formülü uygulanarak

bulunur.

.cos cosx x dx4 2#

. ( – ) ( )cos cos cos cosa b a b a b21

= + +6 @

.cos cosx x dx4 2 =#

( – ) ( )cos cosx x x x dx21

4 2 4 2+ +6 @#

cos cosx dx x dx21

221

6= + ##

. .sin sinx x C21

21

221

61

6= + +

sin sinx x C41

2121

6= + +

ETKİNLİK


.cos cosx x dx2#

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

458

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

–– –x x x n x x C3

31

3 6 1 13 2 ,+ + + +

arctanx

C331+

+c m

–x

C21+

+

( )–

a ax bn C1

1

–n 1++

– – – ( – )x n x n x x C45

1 41

1 2 11

, ,+ + +

PEKİŞTİRME ADIMI





5. yazılabiliyor.

özdeşliğinde

A, B, C, D katsayılarını bulunuz.


( )xx dx

1 2

4

+y

x xdx2 42 + +

y

x xdx4 42 + +

y

( )( )

ax bdx n 1>n+

y

A = 1, B = –2C = 4, D = 4

( – )– – ( – ) ( )x x x x x1

141

11

11

11

11

2 2 2= + + + ++

; E

( ) ( )x xx

x xAx B

x xCx D

2 2 2 2 2 22 2

3

2 2 2/+ + + +

+ ++ +

+

– –x x xx dx

13 2

3

+y

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

459

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

–sin sinx x C111

13111 13 +

( – – )sin sinx

x x C81

2 241

12 181

63 +

–sin sinx x C31

513 5 +

– sinx

x C8 321

4 +

costanx n

xC

2

12 22,+ +

–cos cos xx C101

8110 8 +







.cos sinx x dx3 32 4y

.sin cosx x dx2 3y

.sin cosx x dx2 2y

.sin cosx xdx

2 23

y

.sin cosx x dx3 7y

sin cosx x dx10 3y

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

460

KAVRAMSAL ADIM

PARÇALI (KISMİ) İNTEGRAL

u ve v x in diferansiyellenebilen fonksiyonu ise u.v fonksiyonunun diferansiyeli

d(u.v) = udv + vdu olur. Her iki tarafın integrali alınırsa

olup böylece

bulunur. Bu formüle parçalı integral formülü denir. Her integral parçalı integral for-

mülü ile hesaplanamaz. Çarpım biçimindeki belli başlı türlerin bu yöntemle integrali

bulunabilir. Burada önemli olan neye u, neye dv diyeceğimizi kestirmektir. Bu seçim

yapılırken şunlara dikkat edilmelidir:

1. integralinden

v = v(x) fonksiyonu kolayca bulunabilmeli,

2. integralini hesaplamak integralini hesaplamaktan daha kolay

olmalıdır.

( . )d u v udv vdu= +y yy

.u v udv vdu= + yy . –udv u v vdu= yy

dv#

vdu# u dv#

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYARI

Kolaylık sağlaması bakımından aşağıdakiler verilebilir:

P(x) bir polinom olmak üzere;

biçimindeki integrallerde

seçimi yapılır.

biçimindeki integrallerde

seçimi yapılır.

( ) ..

cos

sinP xa

mx

mx

dx1

mx* 4y

( ), sin

cos

u P x dva

mx

mx

dx

mx

= = * 4

. ( ).

log

arcsin

arccos

arctan

cot

mx

mx

mx

mx

arc mx

P x dx2

aZ

[

\

]]]

]]]

_

`

a

bbb

bbb

y

( )

log

arcsin

arccos

arctan

cot

u

mx

mx

mx

mx

arc mx

dv P x dx

a

= =

Z

[

\

]]]

]]]

_

`

a

bbb

bbb

–( )

. x nx dx nx nx

nx C1 1

3 nn n1

2

1, ,= + +

++ +

y

( ) . ( ( ) – ( ) '' ( ) ... ). P x e dx e P x P x P x4 'x x= +y


sec3x = secx.sec2x dir.

secx = u, sec2xdx = dv seçelim.

secx.tanxdx = du, tanx = v bulunur.

= secx.tanx –

sec3xdx = [secxtanx + |secx + tanx|] + C

bulunur.

sec x dx3#

. – .sec sec tan tan secxdx x x x xdx3 2= ##

( – )sec secx x dx12#

. – ( – )sec tan sec secx x x x dx3= #

. – ( – )sec tan sec secx x x x dx3= #

. –sec sec tan sec secxdx x x xdx xdx3 3= + ###

sec sec tan secxdx x x xdx2 3 = + ##

21

n,

ETKİNLİK

ETKİNLİK

integralini hesaplayınız.( )x

nxdx

1 2,

+#

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

461


Çözüm

Burada u = dv = xdx seçimi yapılırsa

olur.

O halde

bulunur.


Çözüm

u = x, dv = 32x dx seçimi yapmak uygun olacaktır.

O halde

olacağından

olur.


Çözüm

u = arctanx dv = dx

v = x

= x.arctanx –

= x.arctan

bulunur.


Çözüm

u = xex

du = (1 + x)exdx

bulunur.


Çözüm

u = x

du = dx v = –cotx

bulunur.

x nx dx,I = y

,nx,

,du x dx v xdx1= = y

v x2

2=

. –x nx dx u v vdu, = yy

. – .x nx x x dx2 21 12

2,= y

–x nx xdx2 212

,= y

– .x nx x C2 21

2

2 2,= +

–x nx x C2 4

2 2,I = +

.x dx3 x2y

, .du dx v dx n3 21

33x

x2

2

,= = =y

. – .x dx u v v du3 x2 = yy

. –nx

n dx2 33

2 31 3

xx

22

, ,= y

. – . .nx

n n C2 33

2 31

2 31 3

xx

22

, , ,= +

. –nx

n C2 33 1 2 3

1x2

, ,= +c m

arctan xdxI = y

dux

dx1

12=

+

. – .u v v duI = y

.xx

dx1

12+

y

–xxx dx2

11

22+

y

. – ( )arctanx x n x C21 1 2,I = + +

( )xxe dx

1

x

2I =+

y

( )dv

xdx

11

2=+

–v x11= +

– .uv v duI = y

– 1(1 )

xxe

xx e

dx1

x x= + + +

+y

– xxe e C1

xxI = + + +

sin xx dx2I = y

sindv

xdx1

2=

. – .sin x

x dx u v v du2I = = yy

– cot cotx x xdx= + y– cot sinx x n x C,I = + +

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

462

UYGULAMA ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –


Çözüm

u = ex dv = sinxdx

du = exdx v = –cosx

integralinde de parçalı integral formülü uy-

gulanırsa

p = ex dt = cosxdx

dp = exdx t = sinx

olup yukarıda yerine yazılırsa

bulunur.


Çözüm

bulunur.


Çözüm

diyelim.

integralinde

olur.

bulunur.


Çözüm

Parçalı integral formülünü daha rahat uygulayabilmek içinönce x = t2 değişken değişimi yapalım.

olduğundan

dir.

u = 2t dv = et dt

du = 2dt v = et

bulunur.

. – .sine xdx u v v duxI = = yy

– cos cose x e xdxx x

J= + 1 2 344 44y

cosJ e xdxx= y

. –J p t tdp= y

– –cos sin sine x e x e xx x xI = +I\y

–sin sine x e xdxx x= y

( – )sin cose x x2 xI =

( – )sin cose x x C2

xI = +

xnx dx10,I = y

–

u nx dvx

dx

du x dx vx

1

191

10

9

,= =

= =

. – .xnx dx u v v du10,I = = yy

– .x

nx x xdx

91

91 1 1

9 9,= + y

– . –xnx x C

91

91

9

–

9

9,= + +

–x

nx C91

91

9 ,I = + +c m

–xe

xe dx

x x

2I = c my

–xe dx

xe dx

x x

J

2I = Xyy

Jxe dx

x

2= y

–

u e dvx

dx

du e v x

1

1

x

x

2= =

= =

. – . –J u v v du xe

xe dx

x x= = + yy

–xe dx J

xI = y

– –xe dx x

exe dx C

x x xI = + +; Eyy

–xe dx x

exe dx C

x x x= + +yy

xe C

xI = +

e dxxI = y

dx tdt2=

e dx te dt2x tI = = yy

–uv vduI = y

– –te e dt te e C2 2 2 2t t t t= = +y

. –x e e C2 2x xI = +

( – )e x C2 1x= +

.sine xdxxI = y

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ


Çözüm

Verilen integrali

biçiminde yazalım.

du = dx v = –cos( nx)

integralini de

biçiminde yazarsak

dp = dx t = sin( nx)

bulunur.


Çözüm

Verilen integrali

biçiminde yazalım.

integralini

biçiminde yazıp parçalı integral formülü

uygulanırsa

bulunur.

( )sin nx dx,I = y

.( )sin

x xnx

dx,

I = y( )sin

u x dv xnx

dx,

= =

,

.( )

. – .sin

x xnx

dx u v v du,

I = = yy

– ( ) ( )cos cosx nx nx dxJ

, ,= + 1 2 344 44y

( )cosJ nx dx,= y

.( )cos

J x xnx

dx,

= y( )cos

p x dt xnx

dx,

= =

,

( )–

cosJ x x

nxdx pt tdp

,= = yy

( ) – ( )sin sinJ x nx nx dx, ,=I

1 2 344 44y

– ( )cosx nx J,I = +

( ) – ( )sin cosx nx nx C2 , ,I = +6 @

– ( ) ( ) – ( )cos sin sinx nx x nx nx dx, , ,I = +I

1 2 344 44y

– ( ) ( )cos sinx nx x nx C2 , ,I = + +

( )xdx

1 2 2I =+

y

( )( – )

–( )

–arctan

xx x dx

xdx

xx dx

x J

11

1 1J

2 2

2 2

2 2 2

2I =

++

=+ +

=

1 2 344 44yyy

( )J

xx dx

1 2 2

2=

+y

.( )

J xxx dx2 1

22 2=

+y

( )u x dv

xx dx2 1

22 2= =

+

du dx2= –v

x11

2=+

( )–J

xx dx uv vdu

1 2

2=

+= yy

–( )x

xx

dx2 1 2

112 2=

++

+y

–( )

arctanx

x x2 1 2

12=

++

( ) ( )–arctan arctan

xdx x

xx x

1 2 1 21

2 2 2I =+

= ++

y

( )arctanx

xx C2

12 1 2= +

++

463

UYGULAMA ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

integralini hesaplayınız.sinx x dx32#

ETKİNLİK


www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

464

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

–xe e C21

41x x2 2 +

( )– tanx n x x Arc x C1 2 22, + + +

– – sinx x Arc x C1 2 +

– sin tanxx

nx

C2,+ +

PEKİŞTİRME ADIMI







xsinx + cosx + C

cosx x dxy

ex(x2 – 2x + 2) + C

x e dxx2y

xe dxx2y

( )n x dx12, +y

sincos

xx x dx2y

–

arcsin

x

x xdx

1 2#

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

465

PEKİŞTİRME ADIMI

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

–x nx x C41

1614 4, +

– –ex

x x C423

43

83x

32 2 + +; E

– –sin cosx x

x x C4 12 6 721

62

+

( ) –x n x x x C1 12 2, ++ + +

( )cos sina b

e a bx b bx C1 ax

2 2++ +







nx dxx3,y

–e–x(x2 + 5) + C

( – )x x e dx2 5 –x2 +y

x e dxx3 2y

. sinx x dx32y

( )n x x dx1 2, + +y

cose bx dxaxy

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

466

RİEMANN TOPLAMI OLARAK BELİRLİ İNTEGRAL

y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli olsun.

a = x0 , b = xn olmak üzere x1 , x2 , .... , xn–1 ile [a, b]

aralığını n– eşit parçaya bölelim.

x1 – x0 = x2 – x1 = x3 – x2 = ... = xn–1 – xn–2=xn – xn–1=

Bir köşesi y = f(x) eğrisi üzerinde bulunan ve eğrinin altında kalanşekildeki taralı dikdörtgenlerin alanları toplamına alt toplam denirve An(T) ile gösterilir.

Yani

dır.

Bir köşesi y = f(x) eğrisi üzerinde bulunan ve eğrinin üstüne taşandikdörtgenlerin alanları toplamına üst toplam denir ve Ün(T) ilegösterilir. Yani,

dır.

Alt ve üst toplamlara Riemann toplamı denir.

y = f(x) eğrisi, x = a, x = b doğruları ve x– ekseni arasındakalan alan A dır denir ve

yazılır.

integrali yoktur.

ÖRNEK

integralini Riemann toplamı yardımıyla hesaplayınız.

ÇÖZÜM

olduğundan,

– .nb a dir

( ) – ( ) – ( ) ... – ( )A T nb a f x n

b a f x nb a f x –n n0 1 1= + + +

– ( ) ( ) ... ( )nb a f x f x f x0 1 –1n= + + +" ,

– ( )nb a f x

–k

k

n

0

1=

=/

Ü ( ) – ( ) – ( ) ... – ( )T nb a f x n

b a f x nb a f xn n1 2= + + +

– ( ) ( ) ... ( )nb a f x f x f xn1 2= + + +" ,

– ( )nb a f xk

k

n

1=

=/

( ) Ü ( )lim limA T T A isen n n n= =" "3 3

( )f x dx Aa

b=y

( ) Ü ( )lim limA T T isen n nn!

" "3 3

( )f x dxa

by

x

y

an

2an

3an

(n–1)an

a

(2a/n)2

(a/n)2

(3a/n)2

(n–1)aa

a2

...

2

x dxa 2

0y

( ) ...( – )

A T na

na

na

na

na

nn a2 1

n2 2 2

= + + +a ak k ; E... ( – )n

a n1 2 13 2 2= + + +a k " ,. ( – ) ( – )

na n n n

61 2 1

3

3=

. .( – ) ( – ) –an

n n an

n n6

1 2 16

2 3 13

2

3

2

2= = +

Ü ( ) ...T na

na

na

na

na a2 3

n2 2 2= + + +a ak k

....( ) ( )

–na n

na n n n

2 3 61 2 1

13 2 2 2

3

3= + + + =

+ +a k ; E" ,. –a

nn n ve6

2 3 53

2

2= +

. .( ) –lim limA T an

n n a a6

2 3 16 2 3n n n

3

2

2 3 3= + = =

" "3 3* 4

. .Ü ( ) –lim limT an

n n a a6

2 3 56 2 3n n n

3

2

2 3 3= + = =

" "3 3* 4

ü .x dx a t r3a 2

3

0=y

a=x0 x1 x2 x3 ... b=xnxn–1xn–2x

yy=f(x)

KAVRAMSAL ADIM

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

467

KAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4ETKİNLİK

y = x2 eğrisi, x ekseni ve x = 3 doğrusuyla sınırlanan bölgenin alanını dikdörtgenlerin alan-ları yardımıyla yaklaşık olarak bulalım.

Eğrinin altında kalan dikdörtgenleri ele alalım.

Şekil 2'deki üç dikdörtgenin toplam alanı;

(0)2.1 + (1)2.1 + (2)2.1 = 1.(02 + 12 + 22) = 5 birimkare olur.

Şekil 3'teki altı dikdörtgenin toplam alanı;

(0)2.

birimkare olur.

Eğrinin üstünde kalan dikdörtgenleri ele alalım.

Şekil–4'te üç dikdörtgenin toplam alanı;

(1)2.1 + (2)2.1 + (3)2.1 = 1.(12 + 22 + 32) = 14 birimkare olur.

( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) .21

21

21

22

21

23

21

24

21

25

212 2 2 2 2+ + + + +

( ) ,81 0 1 2 3 4 5 8

55 6 8752 2 2 2 2 2= + + + + + = =

x

y

9

8

6

4

2

0

y=x2

x

y

9

8

6

4

2

0

y=x2

x

y

9

8

6

4

2

0

y=x2

1 2 1 2 3

fiekil–1 fiekil–2 fiekil–3

3 12

32

52

1 2 3

Parça sayısı

3

6

12

100

1000

10 000

33

Alan hesaplama

[f(0) + f(1) + f(2)] = 1(0 + 1 + 4)

36

[f(0) + f( ) + f( ) + f( ) + f( ) +f( ) ]12

22

32

42

52

5

6,875

7,90625

8,86545

8,9865045

8,998650045

Toplam alan

x

y

7

6

5

4

2

0

y=x2

x

y

9

8

6

4

2

0

y=x2

1 2 12

1 32

fiekil–4 fiekil–5

3 2 52

3

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

468

Şekil–5'teki altı dikdörtgenin toplam alanı;

birimkare olur.

Her iki tabloya bakıldığında parça sayısı arttıkça alt ve üst dikdörtgenlerin alanları

toplamının 9 değerine yaklaştığı görülmektedir.

Etkinlikteki sayısal işlemler aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir.

Alt ve üst dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak için;[0,3] kapalı aralığı, 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xn–1 < xn = 3 olmak üzere

için [xk–1, xk] biçiminde n tane kapalı alt aralığa bölünmüştür.

Δxk = xk – xk–1, f(x) = x2 ve tk [xk–1, xk] olmak üzere bu alanlar toplamı

biçiminde yazılabilir. Bu toplama Riemann toplamı denir.

(Δxk → 0) için toplamına belirli integral denir

ve = biçiminde gösterilir.

, , , ... ,k n1 2 36 ! " ,! ( ) Δf t xk k

k

n

1=/

n"3 ( ) Δf t xk kk

n

1=/

limn "3

( ) Δf t xkk

nk

1=/ x dx2

0

3y

( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) .21

21

22

21

23

21

24

21

25

21

26

212 2 2 2 2 2+ + + + +

Parça sayısı

3

6

12

100

1000

10 000

33

Alan hesaplama

[f(1) + f(2) + f(3)] = 1.(1 + 4 + 9)

36

[f( ) + f( ) + f( ) + f( ) +f( ) + f(3) ]12

22

32

42

52

14

11,375

10,15625

9,13545

9,0135045

9,001350045

Toplam alan

. (1 2 3 4 5 6 ) 11,37581

8912 2 2 2 2 2= + + + + + = =

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

KAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIM

ETKİNLİK

x = 1 , x = 4 doğruları ve x– ekseni ile sınırlanan alanı Riemann toplamı yardımıyla bulunuz.,y x21

=

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

469

BELİRLİ İNTEGRAL

Belirli integral matematik içinde önemli bir yere sahip olan kavramlardan biridir. Bir eğrinin bir parçasının uzunluğu, sınırladığı alan, hacim vb. hesaplar belirli integral yoluyla kolayca yapılabilir.

ifadesine f(x) fonksiyonunun a dan b ye

kadar belirli integrali denir.

olduğundan

dır.

Burada a ya integralin alt sınırı, b ye üst sınırı denir.

BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

1. A sabit ise dir.

2. dir.

3. a, b, c ∈ R için a < c < b dir.

tir.

4. dır.

5.

6. a < b olmak üzere [a, b] aralığında f(x) ≤ g(x) ise

( ) ( ) ( )f x dx F x C ise f x dxa

b

a

b= + yy

( ) ( )f x dx F x C ab

a

bI= +y

( ) ( ( ) ) – ( ( ) )f x dx F b C F a Ca

b= + +y

( ) – ( )F b F a=

( ) ( )Af x dx A f x dxa

b

a

b= yy

[ ( ) ( ) ...] ( ) ( ) ...f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b! " " "= yyy

( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxc

b

a

c

a

b= + yyy

( )f x dx 0a

a=y

( ) – ( )f x dx f x dxb

a

a

b= yy

( ) ≤ ( ) .f x dx g x dx dira

b

a

b yy

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

KAVRAMSAL ADIMKAVRAMSAL ADIM

UYARI

f(x) bir parçalı fonksiyon ve f nin [a, b] aralığındaki kritik noktaları

x1, x2, ..., xn ise integral

biçiminde hesaplanır.( ) ( ) ( ) ... ( )f x dx f x dx f x dx f x dxx

b

x

x

a

x

a

b

n1

21= + + + yyyy

in değerini hesaplayınız.

Önce integralini bulalım.

olsun.

olur.

nx dxe

1,#

n xdx,#

u nx ve dv dx,= =

dux

dx ve v dx x1

= = =#

. – .

. – .

. –

–

–

–

nxdx u v v du

nx x xx

dx

x nx dx

x nx x C

nxdx x nx x

1

e e

1 1I

,

,

,

,

, ,

=

=

=

= +

=

.bulunur1=

( . – ) ( . – )e e1 1 0 1=

&

(( . – ) – . – )e ne e n1 1 1, ,=

6 @

##

#

#

#

ETKİNLİK

ETKİNLİK


f tek fonksiyondur.

Çünkü tir.

O halde dır.

xx dx

1– 14

9

1

1

+y

(– )(– )

(– )– – ( )f x

x

x

xx f x

1 114

9

14

9=

+=

+=

xx dx

10

– 14

9

1

1

+=y

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

470

TEK VE ÇİFT FONKSİYONLARIN SİMETRİK ARALIKTA

İNTEGRALİ

a ∈ IR+ olmak üzere (–a, a) biçimindeki aralıklara simetrik aralık denir.

I. f(x) çift fonksiyon ise

II. f(x) tek fonksiyon ise

dır.

ÖRNEK


ÇÖZÜM

= f(x) olduğundan f tek fonksiyondur.

O halde dır.

ÖRNEK

integralinin P türünden eşiti nedir?

ÇÖZÜM

çift fonksiyon olduğundan

dir.

İNTEGRAL İŞARETİ ALTINDA TÜREV (LEİBNİTZ KURALI)

F'(x) = f[v(x)] v'(x) – f[u(x)].u'(x) tir.

ÖRNEK

nedir?

ÇÖZÜM

F'(x) bulalım.

ÖRNEK

fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki

teğetinin eğimi kaçtır?

ÇÖZÜM

x = 1 apsisli noktadaki teğetin eğimi f'(1) dir.

ÖRNEK

fonksiyonunun x = –1 apsisli noktadaki

teğetinin denklemi nedir?

ÇÖZÜM

x = –1 için

Çünkü bir belirli integralde alt ve üst sınır aynı ise integralin değeri sıfırdır.

Teğetin eğimi m = f'(–1) olduğundan önce f'(x)'i bulalım.

f'(x) = sin(2x + 3)2.(2x + 3)' – sin(–x)2.(–x)'

= 2sin(2x + 3)2 + sinx2

f'(–1) = 2sin1 + sin1 = 3sin1

O halde teğet denklemi: y – f(–1) = m(x – (–1))y – 0 = 3(sin1).(x + 1)y = 3(sin1)(x + 1) dir.

( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx2 2–– a

a

a

a 0

0= = yyy

( )f x dx 0–a

a=y

tanxx dx

1– 24

4

+r

r

y

( ) çtanf xxx i in

1 2=+

(– )(– )(– )

–tan tanf x

xx

xx

1 12 2=+

=+

tanxx dx

10

– 24

4

+=

r

r

y

tan tanxx dx P ise

xx dx

4 4–

– /

2

4

2

4

4

4

0

4

+=

+r

rr yy

tan xx

4 2

4

+

tan tanxx dx

xx dx

42

4–– 2

4

2

2

4

0

4

4

+=

+rr

r

yy

– –tan xx dx P2

42

– /

20

4 4=

+=

ry

( ) ( )F x f t dt ise( )

( )

u x

v x= y

( ) 'sinF x tt dt ise F 2–x

x2

2r= a ky

' ( ) ( ) ' –(– )

(– ). (– ) 'sin sin

F xx

x xx

xx2

22

2

22=

sin sin sinx

xx

xx

x2 2 42 2 2= + =

'.

.sin

F dir22

4 2 4 2rr

r

r= =a k

( )f x e dx–

– x

x

x

1

2 2= y

' ( ) . ( – ) ' – . ( – ) 'f x e x xe2 1( – ) ( – )x x2 12 2=

. (– ) – . (– )e e1 1( – ) ( – )x x2 12 2=

' ( ) – .f x e e dir( – ) ( – )x x1 22 2=

' ( ) – – .f e e e dir1 10= =

( ) sinf x t dt–x

x 22 3=

+y

(– ) .sinf t dt olur1 02

1

1= =y

KAVRAMSAL ADIM

İNT

GE

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

1. belirli integralini Riemann Toplamı yardımıyla

hesaplayalım.

Çözüm

kapalı aralığını her alt kapalı aralığın uzunluğu Δx =

olacak şekilde n eşit parçaya bölelim. Bu durumda

0 = x0 < x1 < x2 < ... < xn–1 < xn = 3 olmak üzere,

elde edilir.

bulunur.

2. integralinin değerini eğri altında kalan alan

yardımıyla bulunuz.

Çözüm

Geometrik olarak yukarıdaki eşitliğin sağındaki birinci integralşekildeki dikdörtgenin alanı ve ikinci integral ise şekildeki üç-genin alanı olur. Buradan,

bulunur.

3. integralinin değerini eğri altında kalan alan

yardımıyla bulunuz.

Çözüm

Dikkat edilecek olursa eşitliğin ikinci tarafındaki birinci integralaşağıdaki şekilde görüldüğü gibi genişliği 4, yüksekliği 2 birimolan dikdörtgenin alanı olup değeri 8 birimkaredir. İkinci in-tegralde integrant simetrik aralıkta tek fonksiyon olduğundandeğeri sıfır olur. Buradan,

bulunur.

4. integralini hesaplayalım.

Çözüm

bulunur.


Çözüm

bulunur.

6. biçimindeki f fonksiyonunun grafiğinin

x = –1 deki teğetinin eğimi kaçtır?

Çözüm

teğetin eğimi f'(–1) dir.

= –1 bulunur.

x dx2

0

3y

,0 36 @ n1

( ) Δ( – )

( – )Alt toplam f x x nk

n nk

3 1 3 27 1–kk

n

k

n

k

n1

1

2

1 32

1= = =

= = =c m/ / /

( – ) . . ( – ) ( – ) . ( – )n

n n nn

n n276

1 2 12

9 1 2 13 2= =c m

Ü ( ) Δ .st toplam f x x nk

n nk3 3 27

kk

n

k

n

k

n

1

2

1 32

1= = =

= = =a k/ / /

.. ( ) ( ) ( ) ( )

nn n n

nn n27

61 2 1

29 1 2 1

3 2=+ +

=+ +

( – ) ( – )≤ ≤

( )Riemann Toplamı

nn n

nn n

29 1 2 1

29 1 2 1

2 2+ +

( – ) ( – )≤ ≤

( ) ( )lim lim

nn n

x dxn

n n2

9 1 2 12

9 1 2 1n n2

2

0

3

2&+ +

" "3 3y

≤ ≤x dx x dx9 9 92

0

3 2

0

3& & =y y

( )x dx20

3+y

( )x dx dx x dx2 20

3

0

3

0

3+ = +y y y

( ) . .x dx2 3 2 23 3

221

0

3+ = + =y

0 3x

y=2

(3,5)

y=x+2

y

( )x dx2 5–2

2+y

( )x dx dx xdx2 5 2 5– – –2

2

2

2

2

2+ = +y y y

( )x dx2 5 8 0 8–2

2+ = + =y

xdx20

1y

( ) ' –xdx x dx x I2 1 0 12 200

1

0

1 2 21

= = = =yy

x dx3

2

5y

' ( ) – ( )x dx x dx x I4 4 41 5 23

4 4

2

5

2

5

2

5 4 4= = =c m 6 @yy

–41 5 2 4

212 2= =^ h

( )f xt

dt

1–x

22

2=

+#

2x

y=2

y

–2

4��

' ( ) . – (– )'

' ( )

f xx

x

f xx

x1

1 24 1

1 2

1

2

4

4

=+ +

=+

' (– )(– )

. (– )f 1

1 1

2 14

=+

471

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ


Çözüm

Türevi cosx olan fonksiyon sinx olduğundan

8. integralinin değerini bulalım.

Çözüm

olduğundan dır.


Çözüm

bulunur.


Çözüm


Çözüm

bulunur.


Çözüm

eşitliği kullanılırsa

bulunur.

sinx I/

0

2=

r

–

–

.

sin sin

bulunur

2 0

1 0

1

r=

=

=

tanx dx5

5y

( )f x dx 0a

a=y

( ) ( )tan tanx dx x dx2 1 12 2

0

4

0

4 + = + +rr 6 @yy

( )tan x dx22

0

4 +r

y

( )tan x dx dx1 12

0

4

0

4= + +rr

yy

( )tand x dx10

4

0

4= +rr

yy

tanx xI I/ /

0

4

0

4= +

r r

– –tan tan4 0 4 0r r= +a ak k

1 4r= +

( )sinx x dx2

1

2r+y

( ) –sin cosx x dx x x I312

3

1

2

1

2r

rr+ = ; Ey

– – –cos cos32 1 2 3

1 13

rr

rr= c cm m

– –38 1

31 1

r r= +c cm m

– .dir37 2r

=

x x x dx1

256y

.x x x x x x x x/ /1 2 3 2= =

.x x x/ /3 4 7 8= =

x dx x x I8

15 158/

/7 8

15 88

15

1

256

1

256

= =y

– ( ) –158 256 1 15

8 2 1/ /15 8 8 15 8= =^ h 6 @( – )15

8 2 115=

cos xdx2

4

2I =

r

r

y

cos cosx x2

1 22 = +

( ) ' ( )cos sin sinx dx x dx d x0

2

0

2

0

2 = =rrr

yyy

cosx dx2

0

r

y

cos cos cosxdx x dx dx x dx21 2

21

222

4

2

4

2

4

2

4

2 = + = +r

r

r

r

r

r

r

r

yyyy

. sinx xI I21

21

21 2

/

/

/

/

4

2

4

2

I = +r

r

r

r

– . –sin sin21

2 4 41 2 2 2 4

r r r r= +a ak k. (– ) –

8 41 1 8

2r r= + =

tanx dx 05

5=#

472

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ


Çözüm

olduğundan

olur.


Çözüm

u = sin2X du = 2sinx.cosxdx

du = sin2xdu

bulunur.


Çözüm

u = x2 du = 2xdx


Çözüm

u = 1 + x.ex denilirse

du = (ex + xex)dx = (1 + x)exdx olur.

bulunur.

MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İNTEGRALİ

integralinin değeri bulunurken,

• f(x) in (a, b) aralığındaki işareti incelenir.

• f(x) in (a, b) aralığının alt aralıklarındaki işaretlerine göre

integral uygun parçalara ayrılır.

• Her parçanın belirli integrali bulunur.


Çözüm

olduğundan

bulunur.

x x dx x dx x dx1 10

1

0

1

0

1+ + = + +^ hy yy

( )x dx x dx1 21

21

0

1

0

1= + + yy

( )x x I32 1 3

2/ /3 2 3 20

1= + +c m

–32 2 1 1/3 2= +^ h6 @

32

34 2/5 2

= =

.sine xdx2sin x

0

4 2r

y

&

&

sine xdx e du e eI I2//

sin sinu u x0 0

4

0

21

0

41 22 2

= = =rr

yy

/sin 4r 02

–e e=

22 2

e= – 1c m

–e 1=

xe dxx

0

1 2y

&

xe dx xe dx e du e I21 2 2

121x x u u

0

1

0

1

0

1

0

12 2= = =y yy

( – )e e eI21

21x 1 0

0

12= =

( – ) .e dir21 1=

( )xex e

dx11

x

x

0

1

++y

( )xex e

dx udu nu n xeI I

11

1x

x e ex

1

1

1

1

0

1

0

1, ,

++

= = = ++ +yy

( ) – ( )n e n n e1 1 1, , ,= + = +

| ( ) |f x dxa

by

x – ∞ + ∞

|x| x–x

0

| | | | | |x dx x dx x dx–– 0

1

2

0

2

1= + yyy

(– )x dx xdx– 0

1

2

0= + yy

| |x dx–2

1y

1– –x x x xx

x

x xx

x

11

11

1

+=

+ + ++

= +

+

+

^ ^h h

–xdx

x10

1

+y

– x x2 2–

2

20 2

01I I= +

– –(– )

–20

22

21

202 2 2 2

= +c cm m

– –0 2 21= +^ h

25=

473

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ


Çözüm

x – 2 = 0 x = 2

bulunur.


Çözüm

x + 2 = 0 x = –2 ve –2 (3, 5) tir.

x ∈ (3, 5) x + 2 > 0 olduğundan

bulunur.


Çözüm

bulunur.


Çözüm

olduğundan

| – |x dx21

4y

&x – ∞ + ∞

|x| x–x

0

| – | | – | | – |x dx x dx x dx2 2 21

2

2

4

1

4= +y yy

(– ) ( – )x dx x dx2 22

4

1

2= + + yy

– –x x x xI I2 2 2 22 2

2

4

1

2

= + +c cm m

– . – – . – . – – .22 2 2 2

1 2 1 24 2 4 2

2 2 22 2 2 2

= + + +c c c cm m m m; ;E E– – – – – –2 4 2

1 2 8 8 2 4= + + +^ c ^ ^h m h h–2 2

3 0 2= + +

–4 23

25= =

| |x dx23

5+y

& g

&

| | ( 2)x dx x dx x x I2 2 22

3

5

3

5

3

5

+ = + = +c myy

. – .25 2 5 2

3 2 22 2

= + +c cm m

– –25 10 2 429= +

–2

25 9 6 14= + =

| – |x x dx22

1

3+^ hy

| – | | – |x x dx x dx x dx2 22

1

3 2

1

3

1

3+ = +^ hy yy

x – ∞ + ∞

|x| x–x

0

| – | | – |x dx x dx x dx2 22

2

3

1

2

1

3= + + yyy

(– ) ( – )x dx x dx x dx2 22

2

3

1

2

1

3= + + + yyy

– –x x x x x3 2 2 2 23

12 2

12 2

23I I I= + + +c cm m

– – . – – .

– . – – .

31 2 1 2

2 2 2 21 2 1

22 2 3 2

2 2 2

3 32 2

3 2

= + + +

+

^ c cc c

h m mm m

;;

EE

– (– ) – ( – )37 2 2

3 2 2 4= + +; E

21

37= +

617=

–x x dx9 6 12

0

2+y

– – | – |x x x x9 6 1 3 1 3 12 2+ = =^ hx – ∞ + ∞

|3x–1| 3x–1–3x+1

13

– | – |x x dx x dx6 9 1 3 10

2

0

2 2 + = yy

| – | | – |x dx x dx3 1 3 1/

/

1 3

2

0

1 3= + yy

474

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

bulunur.


Çözüm

x2 + x = 0 x(x + 1) = 0 x = 0, x = –1

bulunur.

23. integralinin değerini hesaplayalım.

Çözüm

olduğundan

ve

olduğundan

bulunur.

24. biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonu-

nun ekstremum noktaları A(x1, y1), B(x2, y2) ise, x1 + x2kaçtır?

Çözüm

ise

olur.

f(x) in ekstremum noktalarının apsisleri toplamı f'(x) = 0 denkleminin kökleri toplamı olduğundan

dir.

(– ) ( – )x dx x dx3 1 3 131

2

0

31

= + + yy

– –x x x xI I23

232

0

31

2 2

31

= + +c cm m

– – . – – –23

31

31 0 2

3 2 2 23

31

312

22

= + +c c cfm m m p> >H H

– . – .23

91

31 4 2

391

31= + + +

61 4 6

1= + +

313=

| |x x dx–

2

2

3+y

& &

x – ∞ + ∞

|x2+x| x2+x

0

–x2–x x2+x

–1

| | ( ) (– – )

( )

x x dx x x dx x x dx

x x dx

––

–

–

2 2 2

1

0

2

1

2

3

2

0

3

+ = + +

+ +

yyyy

–x x x x x xI I I3 2 3 2 3 2–

–

–

3 2

2

1 3 2 0 3 2

01

3

= + + + +c c cm m m

–61

38 2 6

1 9 29= + + + +

–3 2 9 29= + +

229=

–(– ) (– )

– – – –

–31

21

32

22

0 31

21

33

23 0

3 2

3 2

= + +

+ + +

c cc c

m mm m

>; ;

HE E

cosx x dx0

23

+r

^ hy

,

,

ç 0

ç

cos

cos

x

x

i in x

i in x

0 2

2 23 0

>

<

!

!

r

r r

ac

km

π2

π2π

3π2

+

0

cos cos cosx dx x dx x dx0

23

2

23

0

2= +r

r

rr

y yy

–cos cosxdx x dx2

23

0

2= +r

rr

^ hyy

–sin sinx xI I0

2

2

23

=

r

r

r

^ h

– – –sin sin sin sin2 0 23

2r r r= a ck m; E

– – –1 1 1= ^ h6 @1 2 3= + =

–x dx x I2 21

23 0 8

92

0

23

2 2

0

23

r r= = =

rr

c m> Hy

cosx x dx 3 89

0

23

2r+ = +r

^ hy

( ) –f x t t dx4x

x 22= +^ hy

( ) –f x t t dt4x

x 22= +^ hy

' ( ) – ' – – . 'f x x x x x x x2 2 4 2 42 2= + +^ ^ ^ ^h h h h9 C– ) . – ( –x x x x4 2 4 2 42 2= + +^ h

' –f x x x7 3 42= +^ h

– –x x ab

73

1 2+ = =

475

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

25. Şekilde f' fonksiyonunun grafiğiverilmiştir.

Buna göre,

integralinin değeri kaçtır?

Çözüm

integralinde

olup

= dır. Şekilden

f'(1) = 0 , f'(0) = 1 olup

dir.

26. integralinde x = et dönüşümü yapılırsa

aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Çözüm

integralinde

x = et dx = etdt olur.

olur.

Bu son integralin sınırlarını bulalım.

Verilen integralde;

alt sınır: e yapılan dönüşüm: x = et

üst sınır: e2

Son integralde;

alt sınır e = et t = 1

üst sınır: e2 = et t = 2 dir.

O halde yeni integral olur.

27. integralinin değeri kaçtır?

Çözüm

olur.

28. f(0) = 1, g(0) = 2, f(1).g(1) = 6 olduğuna göre,


Çözüm

f(0) = 1, g(0) = 2 , f(1).g(1) = 6

= f(1).g(1) – f(0).g(0)= 6 – 1.2 = 4

' ( )" ( )f x

f xdx10

1

+y

y

x

1

10

f'

' ( )" ( )f x

f xdx10

1

+y

' ( ) " ( )u f x du f x dx1 &= + =

'( )" ( )f x

f xdx u

du nu I1 2

1

0

1

2

1

,+ = =yy

1 '( ) ' ( )u f x nu n f x I10

1

& , ,= + = +

'( ) – ' ( )n f n f1 1 1 0, ,= + +

'( )' ( )

n ff

1 01 1

, ++

'( )" ( )

–f xf x

dx n n n1 1 11 0

21 2

0

1, , ,+ = +

+ = =y

( )n nx dxe

e2

, ,y

) ) )

) )

A e nt dt B tn t dt C e nt dx

D e nt dx E nte dt–

t t

tt

0

1 2

1

2

0

1

1

2

1

1

,,

,

,,

y yy

yy

( )n nx dxe

e2

, ,y

&

( ) ( ) .n nx dx n ne e dtt t

e

e2

, , , ,= yy

e n tdtt,= y

&

&

.e n tdtt

1

2,y

–x x dx3–

2

1

2y

x

x2–3x +

0

–

3

+

– ( – ) ( – )x x dx x x dx x x dx3 3 3––

2 2 2

0

2

1

0

1

2= + yyy

– –x x x xI I3 23

23

3–

32

1

02

3

0

2

= +c cm m

– – – (– ) . – –0 31

23 1 2

3 2 32 02 2

3= + c m; E

611

310

631= + =

'( ) . ( ) ( ) . ' ( )f x g x dx f x g x dx0

1

0

1+ yy

' ( ) ( ) ( ) . ' ( ) ( ) . ( )f x g x dx f x g x dx f x g x I0

1

0

1

0

1+ =yy

476

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ


Çözüm

dir. Yani

bulunur.


Çözüm

u = cos2x x = 0 u = cos20 = 1

du = 2cosx(–sinx)dx

du = –sin2x dx

olur.

olduğundan

bulunur.


Çözüm

bulunur.


Çözüm

u = sinπx

du = π.cosπx dx


Çözüm

u = 1 + arcsinx x = 0 u = 1 + arcsin0 u = 1

bulunur.


Çözüm

x = 0 u = 0

xnx nx

1

2 , ,+y

u nx x u n

du xdx x e u ne

1 1 0

1

&

&

, ,

,

= = = =

= = = =

.xnx nx dx u u du olur

e

0

1

1

, ,+ = +^ hyy

u du u du0

1

0

1= +y y

32

2u u I32 1

0= +c m

–32

21 0 6

7= + =c m

( )sin cos sinx x dx22 2

0

2I =

r

y

( ) –sin cos sin sin sinx x dx u du u du22 2

0

2 2 2

0

1

1

0I = = =

r

y yy

&

cosx u2 2 02&

r r= = =

–sin cosx x2

1 22 = – cos x dx21 2

0

1I = y

– . – 2sin sinx x I2 41 2 2

141

0

1

I = =c m

( – )e e dx–

x x

n

n 1 2

2

2

,

, +y

– –e e dx e e I21

– –x x x x

n

n

n

n1 2 1 2

2

2

2

2=

,

,

,

,

+ +^ ch my

– – –e e e e21

21– –n n n n2 1 2 2 2 1 2 2= , , , ,+ +c cm m

– – –e e2 2 2 81= ^ ch m

– –e e23

815

812 15= =

.sin cosx x dx2

4121

r rI = ^ hy

x u41

22

&= =

x u21 1&= =

( ) .

. –

–

sin cosx x dx

u du u I1 13 3

1 1 22

31 1 4

2

2

4121

23

22

13

3

22

1

r r

r r r

r

I=

= = =

=

c

c

m

m

> Hy

y

–

arcsin

x

x dx1

12

3

0

22

I = +y

&

–du

xdx

1

12

= arcsinx u22 1 2

2&= = +

u 1 4r= +

–

arcsin

x

x dx u du1

12

33

1

1 4

0

22

I = + =r+

yy

–u I43

43 1 4 143

1

1 443 3r= = +

r+

a k; E

cosdu x dx1r

r=

&

x/2

u1+u2

1

cosxdx

10

2+

r

y

tan arctanu x x u2 2&= =

dxu

du1

22=

+&

,sin cosx

u

u x

u2 1 2 1

12 2

=+

=+

x u2 1&r= =

&

477

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

olduğundan

olur.

olur.

Son integralde u = tan dönüşümü yapılırsa

du = sec2 d

ve integral

bulunur.

35. integralinde x = et dönüşümü yapılırsa hangi

integral elde edilir?

Çözüm

x = et dx = etdt

x = 1 et = 1 t = 0

x = e et = e t = 1 dir.

O halde

integrali elde edilir.

36. integralinde x = cos dönüşümü yapılırsa

hangi integral elde edilir?

Çözüm

x = cosα x = 0 cosα = 0

dx = –sinα dα olup

integrali elde edilir.

37. y = f(x) fonksiyonunun x1 = 3 ve x2 = 5 apsisli noktaların-daki teğetlerinin eğim açıları sırasıyla 60° ve 120° dir.

Buna göre, integralinin değeri kaçtır?

Çözümx1 = 3 apsisli noktasındaki teğetinin eğim açısı 60° ise

x2 = 5 apsisli noktasındaki teğetinin eğim açısı 120° ise

f'(5) = tan120° = tür.

O halde olduğundan

u = f'(x) du = f"(x) dx tir.

bulunur.

38.

fonksiyonu için

Çözüm

= 2[3 – (–2)] –2. (4 – 3) + 4.(6 – 4)= 10 – 2 + 8 = 16 dır.

. –cos cos cosx x x2 2 2 2 12= =a k.cos cosx x1 2 2

2+ =

.u

21

12=

+

( ) ( ).

cosxdx

u udu

1 1 12 2

2 20

1

0

2+ =

+ +

r

yy

( )udu

14

2 2

1

0=

+y

i

i

tanu 0 0 0& &i i= = =

tanu 1 1 4& &i ir= = =

( ).

( )tansec

secsecd d

14 4

2 2

2

2 2

2

0

4

0

4

i

i i

i

i iI =

+=

rr

yy

secd4

20

4

ii=

r

y

. cos d4 2

0

4i i=

r

y

. cos d4 21 2

0

4 ii= +

r

c my/

0

44 sin2 4

1 2rii= +; E

.4 8 41 1r= +c m

2 1r= +a k

–n xn x dx

11e

2

2

1 ,

,

+y

&

& &

& &

– –.

n xn x dx

ne

nee dt

11

1

1t

tte

2

2

2

2

0

1

1 ,

,

,

,

+=

+ ^^

hhyy

–tt e dt

11 t

2

2

0

1=

+f py

–x x

dx

1 20

23

y a

& & x 2r=

cosx 23

23

6& &a ar= = =

– . –

– –.cos cos

sin

cos sin

sin

x

dx d dx 1 12 2 2

6

2

6

2

0

23

a a

a a

a a

aa= =

r

r

r

r

yyy

– cosd

6

2aa=

r

r

y

' ( ) " ( )f x f x dx3

5 2^ hy

' ( ) ° ü .tanf t r3 60 3= =

'( ) . ' ( ) 'f x f x dx2

3

5 ^ ^h hy&

[ ' ( )]– –u du u f xI I3 2 2

1 3 3–

–2

3

3

3 3

3

5

3

3 3 3= = = ^ ^h h9 Cy

– – –21 3 3 3 3 3 3= =^ h

( )

, – ≤

– , ≤

, ≤

f x

x ise

x ise

x ise

2 2 3

2 3 4

4 4 6

<

<

<

=

Z

[

\

]]

]]

( ) ?f x dx–2

6=y

( ) (– )f x dx dx dx dx2 2 4–– 2

3

3

4

4

6

2

6= + +y y yy

2 –2 4x x xI I I–2

3

3

4

4

6

= +

i

– 3

478

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ




4. f(x) = 2x – 1 olmak üzere,


5. f(x) = x2 + 1 olmak üzere,



–x dx32

5y

x x dx–2

4y

xdx

20

2

+y

( )f x dx–1

1

2y

48

( ) . ( )f x d f x1

3 ^ hy

2

nxd nxe

1

2

, ,^ hy

479

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

25

356

n2,

45

PEKİŞTİRME ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ







xnx d nx

e

e2

3 ,,^ hy

cosx x dx2r

ry

2

sinx dx10

2 +r

y

– xdx20

2y

3

sin x dx–

2

r

r

y

–xx dx1

12

3 +y

480

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

–e e

3 42 3

– 1 2r

+a k

2 2

n1 2 2,+

PEKİŞTİRME ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

481

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI

1. f: [a, b] → IR fonksiyonu için [a, b] aralığında

f(x) ≥ 0 ise y = f(x) eğrisi x = a ve x = b doğru-

ları ile x– ekseni arasında kalan düzlemsel bölge-

nin alanı

tir.

2. [a, b] aralığında f(x) ≤ 0 ise y = f(x) eğrisi

x = a ve x = b doğruları ve x– ekseni arasında

kalan düzlemsel bölgenin alanı

3. f: [a, b] → IR fonksiyonu [a, b] aralı-

ğında işaret değiştiriyorsa, y = f(x) eğrisi,

x = a ve x = b doğruları ile x– ekseni ta-

rafından sınırlanan düzlemsel bölgelerin

alanları A1 , A2 , A3 ise

4. y = f(x) ve y = g(x) eğrileri ile x = a ve x = b

doğrularının sınırladığı taralı alana A diyelim. Ta-

ralı bölgede üst ucu y = g(x), alt ucu y = f(x) eğri-

leri üzerinde bulunan KL şeridini çizelim. KL şeridi

kendine paralel olarak kaydırılıp bölgeyi taradı-

ğında üst ucu hep y = g(x) üzerinde, alt ucu hep

y = f(x) üzerinde kalıyorsa bölgenin alanı

4. x = f(y), x = g(y) eğrileri ile y = a ve y = bdoğrularının sınırladığı alana A diyelim. Taralıbölge içinde uçları x = f(y), x = g(y) eğrileriüzerinde olan ve x– eksenine paralel olan KLşeridini çizelim. Bu şerit kendisine paralel ola-rak kaydırıldığında sol ucu hep x = f(y) eğrisiüzerinde, sağ ucu hep x = g(y) eğrisi üzerindekalıyorsa taralı alan

( )A f x dxa

b= y x

y

y=f(x)

a b0

A

– ( ) .A f x dx tira

b= y

( ) .A A A f x dx tira

b1 2 3+ + = y

( ) – ü .f x dx A A A t ra

b1 2 3= +y

( ) – ( ) .A g x f x dx olura

b= " ,y

x

y

y=f(x)

a b0

A

x

y

a

y=f(x)

b

A1

A3A2

x

y

y=f(x)

a b0

y=g(x)K

L

x

y

x=g(y)

a

b

K L

x=f(y)

( ) – ( ) .A g y f y dy dira

b= " ,y

x2 + 3x – y – 1 = 0 parabolü ile x – y + 2 = 0

doğrusunun sınırladığı bölgenin alanı

birimkare ise, "k" sayısı kaçtır?

x2 + 3x – y – 1 = 0 y = x2 + 3x – 1 ve

x – y + 2 = 0 y = x + 2'dir.

Baradan

x2 + 3x – 1 – (x + 2) = 0

x1 = –3, x2 = 1 bulunur.

birimkare

bulunur.

k38

&

&

S ( 2 – 3) –x xx

x x I3

3––

23

2

3

1

3

1= + = +; E#

– – (– )S31

1 3 9 9 9= + + +

– – ––

S31

2 931

11332

332

= = = =

k k k332

38

32 8 4& &= = =

y2 = 4ax parabolü ile x = a doğrusu arasında

kalan bölgenin alanını bulunuz.

EETKİNLİK

ETKİNLİK www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

482

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

ÖRNEK

Şekilde y = x2 + 1 parabolünün bir parçası çizil-

miştir. Taralı alan kaç birimkaredir?

ÇÖZÜM

Alanı bulunacak bölgede y– eksenine paralel bir şerit çizelim. Bu şerit kendisine pa-

ralel olarak kaydırıldığında üst ucu hep y = x2 + 1 parabolü üzerinde, alt ucu da hep

y = 0 (x– ekseni) üzerinde olur. O halde taralı alan

birimkaredir.

ÖRNEK

Şekilde verilenlere göre, taralı alan kaç

birimkaredir?

ÇÖZÜM

y = ex eğrisi y– eksenini x = 0 için y = e0 = 1' de keser. Taralı alanı iki parçaya

ayırırsak

birimkaredir.

ÖRNEK

Şekilde verilenlere göre, taralı alan kaç

birimkaredir?

ÇÖZÜM

Taralı alanı şekildeki gibi A ve B diye ikiye ayıra-

lım. K noktasının ordinatı olup A böl-

gesinin alanı;

birimkare (yamuğun alanı)

birimkare olup taralı alan

birimkaredir.

– 3A x dx x x1 0 327 3 9 3 12

32

03

0

3I= + = + = + = + =^ ch my

x

y

1

30

y=x2+1

.

– –

Alan e dx

e e e eI

21 1

21

21 1 1

21

–( )

––

üçgenin alan›

x

x

1

0

1

00 1

= +

= + = + = +

c cm my

– e br23 1 2=

x

y

–1 0 1

y=ex

x

y

e0

32

1x

y=

1

y 11 1= =

.A 2

23 1 1

45=

+=

c m

– –B x dx nx ne nI1 1 1 0 1e

e

11, , ,= = = = =y

A B 45 1 4

9+ = + =

x

y

e0

32

1x

y=A

1B

K(1,1)1

doğruları ile f(x) = sinx

g(x) = cosx eğrileri arasında kalan alanı bulunuz.

bulunur.

x ve x4 4

5r r= =

( – )sin cosS x x dx

4

45

4

45

– –cos sinx x= =r

r

r

r

6 @#

––

––

S2

22

222

22

24 2

= = + =f fp p

S 2 2=

x = y2 ve y = x2 parabolleri arasında kalan

bölgenin alanını bulunuz.

y

x0

–1

+1

π4

x= 5π4

x=

g(x)=cosx

f(x)=sinx

ETKİNLİK

ETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

1. x = y2 – 4y eğrisi ile x = 0doğrusu arasında kalan böl-genin alanı kaç birimkare-dir?

Çözüm

Taralı alan x = 0, x = y2 – 4yile y = 0, y = 4 doğrularıarasında kalan bölge oldu-ğundan

birimkaredir.

2. Şekildeki taralı alan

birimkare ise a kaçtır?

Çözüm

y = x2 + 1 parabolünün si-metri ekseni x = 0 doğrusu(y– ekseni) olduğundanalanlar simetriktir.

x = –a için

y = (–a)2 + 1 = a2 + 1

olduğundan doğrunun denklemi,

y = a2 + 1 dir. O halde

3. f: IR → IR, y = f(x) fonksi-yonunun grafiği şekilde ve-rilmiştir.

S1 = 10 birimkare

S2 = 6 birimkare

olduğuna göre,


Çözüm

Parçalı integral formülü kullanılırsa,

u = –x dv = f'(x)dx

du = –dx v = f(x)

= 0.f(0) – 3.f(–3) + S1= S1 = 10

= –1.f(1) + 0.f(0) + S2

= (–1).(–2) + S2 = 2 + 6 = 8 olup

I = I1 + I2 = 10 + 18 olur.

4. Şekildeki taralı alan

kaç birimkaredir?

Çözüm

x = 0 y = 1

y = 0 x = 1

Taralı alan =

birimkaredir.

– ( –Alan y y dy0 42

0

4= 6 @y

( – ) 2 – 3 –y y dy yy I4 32 3

6423

20

4

0

4= = =c my

332=

x

y

0

x=y2–4y4

332

( ) – ( )a x dx1 1 332

–a

a 2 2+ + =6 @y

( ) – ( ) ( – )a x dx a x dx2 1 1 2a a2 2

0

2 2

0+ + =6 @y y

– –a x x a aI2 3 2 3 332

a2

3

03

3= = =c cm m

.a a a dir34

332 8 2

33

& & &= = =

x

y

0

y=a2+1

–a a

y=x2+1

x

y

0

x=y2–4y4

– . ' ( )x f x dx–3

1I = y

. – . – . ( ) ( )u v v du x f x f x dxI– –3

0

3

01I = = + yy

. – – . ( ) ( )u v vdu x f x f x dxI2 0

1

0

1I = = + yy

x

y

–2

y=f(x)

–3

S1

S2

1

–x y y x1&+ = =

–y x x1 2& = +

&

&

( ) – –A AOB x x dx1 20

1+^ h& y

x

y

0

x+ y = 1

x

y

0

A

B

1

1y= 1 x – 2 x

. – –x x x I21 1

223

22 23

0

1

= +f p

x

y

0

y=x2+1

–a

–34 1 3

1= =– –21 1 2

134= +c m

483

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

5.

integralinin değeri nedir?

Çözüm

Verilen integralin değeri x2 + y2 = 16 çemberi ile y = x + 4 doğrusunun sınırla-dığı şekildeki taralı alandır.

O halde taralı alan, yarıçapı r = 4 olan dairenin alanının

çıkarılarak bulunur.

Taralı alan =

= 4π – 8 = 4(π – 2) olur.

6. Şekilde verilenlere göre, taralıalan kaç birimkaredir?

Çözüm

birimkaredir.

7.

Şekildeki taralı alan kaç birimkaredir?

Çözüm

x3 = x x(x2 – 1) = 0

x = 0, x = –1 x = 1

olup eğri ile doğru bu nokta-larda kesişirler. 1. bölgedekialan ile 3. bölgedeki alan birbi-rine eşit (Neden?) olduğundan

Taralı Alan =

birimkaredir.

8.

Şekilde y = 2x2 parabolü ile d doğrusunun kesim noktalarıA(–1, 2), B(2, 8) gösterilmiştir. Taralı bölgenin alanı kaç birim-karedir?

Çözüm

Şekilde ACDB yamuğunun alanı

birimkare

Taralı bölgenin alanı ise 15 – 6 = 9 birimkare bulunur.

– – –x x dx16 4–

2

4

0 6 @y

ünden A AOB41 ^ h&

. – .44

24 42r

x

y

0

A

B

–4

4y=x+4

–A A KLO B= ^ h&

. – – –x dx x I21 1

21

3 21

31

612

3

0

1

0

1= = = =y

x

y

y=x2

1

x

y

y=x2

1

A B

K(1,1)

0L

&

–x x dx2 3

0

1 ^ hy

–x x I2 2 4

2 2

0

1

= ; E

– .2 21

41 2 8

221= = =c m

x

y

0

y=x3

y=x

x

y

y=x3

y=x

1–1

.S2

2 83 15=

+=

x dx23

1632

6––

2

1

2

1

2 x3

2 3= = + =E#

y

x0

y=2x2

B

A

y

x0

B(2,8)

A(–1,2)

C(–1,0) D(2,0)

484

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

1. y = x2 parabolü x = 1 ve x = 3 doğruları ve x– ekseni

arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

2. eğrisi x = 2 ve x = 4 doğruları ve x– ekseni ile

sınırlanan alan kaç birimkaredir?

3.

Şekilde y = f(x) fonksiyonu ile x– ekseni arasında kalan

taralı bölgelerin alanları S1 = 6 birimkare ve S2 = 10 birim-

karedir.

Buna göre, a)

b)

c) integrallerinin değerini bulunuz.

4.

Şekilde y = f(x) fonksiyonu ile x– ekseni arasında kalan

taralı bölgenin alanları S1 = 4 birimkare ve S2 = 13 birimka-

redir.

Buna göre, a) b) c)

integrallerinin değerini bulunuz.

5. Analitik düzlemde y = –2x + 6 , x = –2, x = 1

doğruları ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç

birimkaredir?

6. Şekilde taralı bölgenin alanı

kaç birimkaredir?

y x10=

( )f x dx–3

0y

( )f x dx0

5y

( )f x dx–3

5y

x

y

–3 5S20

S1

y=f(x)

a) 6b) –10

c) –4

( )f x dx–

–

4

1y ( )f x dx–1

6y ( )f x dx–4

6y

x

y

–4 6

S2

0S1

y=f(x)

–1

a) 4b) 13c) 17

21

y

xO 1 3

f(x)=3x2

26

485

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

326

n10 2,

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

7.

Şekilde y = x3 eğrisi ile x = –1, x = 2 doğruları ve x ekse-

ninin sınırladığı bölgeler veriliyor.

Buna göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

8.

Analitik düzlemde y = –x3 eğrisi ile y = –x doğrusunun sı-

nırladığı alanların toplamı kaç birimkaredir?

9. Analitik düzlemde y = 2x2 – 3 ve y = x2 + 1

parabolleri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

10. Analitik düzlemde y = x2 ve x = y2

parabolleri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

11. Şekildeki S1 ve S2 içinde

bulunduğu bölgenin alanını

göstermektedir. S1 = S2 ise

a kaçtır?

12. integralinin değerini bulunuz.

x

y

–1

x=2x=–1

0 2

x

y

y=–xy=–x3

0

– –x x dx36 32

0

3 ^ hy

y

x0 1

S2

y2=x

S1

x=a x=4

3π

486

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

417

21

332

31

.2 23

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

HACİM HESAPLARI

DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ

1. y = f(x) eğrisi, x = a, x = b doğ-ruları ve x– ekseni ile sınırlanan şe-kildeki taralı bölgenin x– ekseni et-rafında 360° döndürülmesi ileoluşan dönel cismin hacmi şöylebulunur.

Cismin x– eksenine dik düzlemlerlekesiti daima bir çember olduğundankesitin alanı

A = πy2 =

olup dönel cismin hacmi olarak bulunur.

2. x = f(y) eğrisi, y = c ve y = ddoğruları ile y– ekseni arasındakalan şekildeki taralı bölgenin y–ekseni etrafında 360° döndürül-mesi ile oluşan cismin hacmi

3. y = f(x) ve y = g(x) eğrileri ile x = a ve x = b doğruları tarafındansınırlanan şekildeki bölgenin x– ek-seni etrafında döndürülmesi ile olu-şan cismin hacmi

tir.

( )f x 2r6 @

( )V y dx f x dxa

b

a

b 2 2r r= = 6 @yy

( ) .V x dy f y dy dirc

d

c

d 2 2r r= = 6 @yy

( ) – ( )V f x g x dxa

b 2 2r= 6 6@ @% /y

x

y

b

y=f(x)

0 a

x

y

0

x=f(y)

x

y

b

y=g(x)

0 a

y=f(x)

487

KAVRAMSAL ADIM

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

1) x2 + y2 = R2 çemberinin oluşturduğu küre-

nin hacmini bulunuz.

Birinci bölgedeki çember yayının Ox etrafında

döndürülmesi ile yarım küre hacmi elde edilir.

bulunur.

( – )v

y dx R x dx2

R R20

2 20r r= =# #

R

0–R x

x3

23

r= ; E

( . – ) – ( – )R RR R3

0 03

223 3

rr

= => H

v Rv

R2 3

23

43 3&

r r= =

y

xO

–R R

R

2) y = nx eğrisi Oy ekseni, y = 0 ve y = 1

doğruları arasında kalan bölgenin sınırladığı

alanın Oy ekseni etrafında dönmesi ile elde

edilen cismin hacmini bulunuz.

dir.

bulunur.

y nx x ey&,= =

.v x dy e dyyy2

01 2

01

r r= =# #

–( – )e e

2 21

2

1

0

1 2 2e2

y2r r

r= = =>; HE

,

x

yy=�nx

0 1

1

EETKİNLİK

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

1. y = ex eğrisi, x = –1 ve x = 0 doğruları ile x– ekseninin sı-nırladığı bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ileoluşan cismin hacmi kaç birimküptür?

Çözüm

birimküptür.

2. x = y2 – 4y eğrisinin y– ekseni ile sınırladığı bölgenin y– ek-seni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacminedir?

Çözüm

birimküp olur.

3. y = x2 eğrisi ile y = x doğrusunun sınırladığı bölgenin y– ek-seni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacminedir?

Çözüm

birimküptür.

4. a > 0, b > 0 olmak üzere doğrusu ile x– ekseni-

nin sınırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürül-

mesi ile oluşan cismin hacmi birimküp ise b nin a türünden

eşiti nedir?

Çözüm

Taralı bölgenin y– ekseni et-rafında 360° döndürülmesi ileoluşan cisim; taban; yarıçapıa, yüksekliği b olan konidir.

O halde

x

yy=ex

0–1

1

V y dx–

2

1

0r= y

( )e dx e dx e I2 –––

x x x2 2 21

0

1

0

1

0r r

r= = =yy

( – )e2 1 –2r=

x

yx = y2–4y

4

0–4

2

4

( – )V x dy y y dy42 2 2

0

4

0

4r r= = yy

( – )y y y dy8 164 3 2

0

4r= +y

. –y

y y I5 2 3165

4 30

4

r= +c m– . .

54 2 4 3

16 6415

51254r

r= + =c m

( ) – ( )V f y g y dy0

1 2 2r= 6 6@ @% /y

– ( )y y dy0

1 2 2r= ^ h9 Cy

–y y dy2

0

1r= ^ hy

– –y y

xI2 3 21

31

6

2 3

0

1

rr= = =c m; E

ax

by

1+ =

3r

x

y

(1,1)

04

y=x

y=x2

x

y

0a–a

xa

yb

+ =1b

. . . .V r h a b3 3 3

2 2r r r= = =

. .a b ba

olur1 122& &= =

488

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

x = f(y), x = g(y) eğrileri iley = c ve y = d doğruları-nın sınırladığı şekildekialanın y– ekseni etrafında360° döndürülmesi ile olu-şan cismin hacmi

x

y

x=f(y)0

c

d

x=g(y)

( ) – ( ) .V f y g y dy dirc

d 2 2r= 6 6@ @% /y

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

5. y = |x| doğrularının y– ekseni ve y = 1 doğruları ile sınırladığıbölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cis-min hacmi nedir?

Çözüm

Taralı bölgenin y– eksenietrafında 360° döndürülme-siyle taban yarıçapı r = 1birim, yüksekliği h = 1 birimolan koni oluşur. O halde

birimküp olur.

6. Şekildeki taralı alanın x– eksenietrafında 360° döndürülmesi ile

oluşan cismin hacmi birim-

küp ise, k sayısı kaçtır?

Çözüm

bulunur.

7. y = x doğrusu, x = 0 ve x = 1 doğruları ile x– ekseninin sınırladığı bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ileoluşan cismin hacmi nedir?

Çözüm

Taralı bölgenin x– ekseni et-rafında 360° döndürülmesiile oluşan cisim yarıçapı r = 1 birim, yüksekliği h = 1birim olan bir konidir.

O halde;

olduğundan

birimküp olur.

8. y = ex eğrisi x = 0 ve x = 1 doğruları ve x– ekseni tarafın-dan sınırlanan bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürül-mesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

Çözüm

Oluşan cismin hacmi

birimküp olur.

9. y = x2 parabolünün x = 0 ve x = 2 apsisli noktaları arasındakalan yayının Ox ve Oy etrafında döndürülmeleri ile elde edi-

len hacimler vx ve vy ise, oranının değeri nedir?

Çözüm

= π [8 – 0] = 8π

bulunur.

. . . .V r h3 3

1 13

2r r r= = =

20r

x

y

0 1

y=kx2

( )kx dx202 2

0

1rr= y

.k x kI201

5 5 2012

0

1 24&= =

k 412

& =

k 21

& =

x

y

y=kx2

10

x

y

0

y=xy=–x

1

1

x

y

0 1

–1

1y=x

. .V r h3koni

2r=

. .V 3 1 1 3koni2r r= =

x

y

0

1

1

( )V y dx x e dx e dx– –x x2 2 2

0

1

0

1

0

1r r= = = yyy

– – –V e eI21

2 1– –x20

12r

r= =c ^m h– e2 1 –2r= ^ h

v

v

x

y

v y dx x dx5

32x 0

2 202 4 x

I5

5

0

2r r

r= = = =r; E# #

y

x0

4

y=x2

2

4

v x dy Iy2

4

04

04

0ydy

y

2

2r r= = r= > H##

v

v

5328

45

x

y

r

r= =

489

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

10. y = x2 eğrisi x = 0 ve x = 1 doğruları ile x– ekseninin sınır-ladığı bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile olu-şan cismin hacmi kaç birimküptür?

Çözüm

birimküptür.

11. y = x2 + 1 eğrisi, x = 0 ve x = 1 doğruları ile x– eksenininsınırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ileoluşan cismin hacmi nedir?

Çözüm

Oluşan dönel cismin hacmi

birimküptür.

12. eğrisi, x = 2 ve x = 4 doğruları ile x– ekseni tarafın-

dan sınırlanan bölgenin y– ekseni etrafında döndürülmesi ileoluşan cismin hacmi nedir?

Çözüm


13. doğrusu, x = 0 ve

x = 2 doğruları ile x– ek-seni tarafından sınırlananbölgenin y– ekseni etra-fında 360° döndürülmesiile oluşan cismin hacmikaç birimküptür?

Çözüm


birimküp olur.

( ) . ( )V xf x dx x x dx2 2 12

0

1

0

1r r= = +yy

–V x x I2 4 2 2 41

21 0

4 2

0

1

r r= + = +c m; E

.2 43

23

rr= =

y x3=

. ( )V x f x dx22

4r= y

( ) ( – )x x dx x I2 3 2 3 6 4 2

122

4

2

4r r r

r

= = =

=

y

x

yy=x2

10

V y dx x dx x dx2 2 4

0

1

0

1

0

1 2r r r= = =^ h yyy

x I5 5

5

0

1

rr= =

x

y

–2 2

y=x3

23

y x3=

( ) .V x f x dx x x dx2 2 30

2

0

2r r= = yy

. ( – )x I32

3 92 8 0

3

0

2r r= =

b916r=

x

y

–4 4–2 2

490

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

x

y

–1 1

y=x2+12

1

y = f(x) eğrisi, x = a, x = bdoğruları ve x– ekseni ile sı-nırlanan şekildeki taralı böl-genin y– ekseni etrafında360° döndürülmesi ile oluşancismin hacmi

tir.( )V xydx xf x dx2 2a

b

a

br r= =y y

x

y

a b

y=f(x)

birimküptür.

UYGULAMA ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

14. y = cosx eğrisi, x = 0 ve doğruları ile x– ekseninin sı-

nırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesi ileoluşan cismin hacmi nedir?

Çözüm


Parçalı integral formülü ile

u = x dv = cosxdx

du = dx v = sinx

= π2 – 2π birimküptür.

15. f(x) = nx eğrisi, x = 1 ve x = e doğruları ile x– ekseninin

sınırladığı bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürülmesiile oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?

Çözüm

Parçalı integral formülüne göre

u = nx dv = xdx

birimküptür.

x–1 e1–e

f(x)=lnx

( ) .V xf x dx x nxdx2 2e e

1 1,r r= =y y

du x dx v x12

2= =

– –V uv vdu x nx xx dxI2 2 2

12

ee2 2

11,r r= =; >E Hy y

– .lnx x x I2 2 21

2

e2 2

1r= ; E

– – –e e2 2 4 0 412 2

r= c cm m> He e2 4

12

12 2r

r= + = +c ^m h

,

,

x 2r=

x

y

0

–1

1

π2

π2

. ( ) . cosV x f x dx x xdx2 20

2

0

2r r= =r r

y y

– . –sin sinV uv vdu x x xcdxI2 2/ /

0

2

0

2r r= =

rr; >E Hy y

sin cosx x x I2/

0

2

r= +r6 @

. – –2 2 1 0 0 1 2 2 1rr

rr= + + =a ^ ak h k9 C

491

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

UYGULAMA ADIMI


ETKİNLİK

r cm yarıçaplı üstü açık bir yarım kürede h cm derinliğinde su vardır. Suyun hacmi kaç cm3 tür?

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

1. y = x3 eğrisi, x = 2 doğrusu ve x ekseni ile sınırlanan bölge

x– ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi

kaç birimküptür?

2. y = sinx eğrisi x = 0, x = π doğruları ve x ekseni arasında

kalan alanın Ox ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle

oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?

3. y = cosx ve y = sinx eğri-

leri ile x = 0 doğrusu ara-

sındaki bölgenin Ox ek-

seni etrafında 360°

döndürülmesiyle oluşan

cismin hacmi kaç birim-

küptür?

4. eğrisi, x = 2 ve x = 4 doğruları ve x– ekseni ara-

sında kalan bölgenin y– ekseni etrafında 360° döndürül-

mesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.

5. y2 = 4x eğrisi ile x = 1 doğrusu arasındaki bölge x ek-

seni etrafında 360° döndürüldüğünde oluşan cismin

hacmi kaç birimküptür?

6. y2 = x ve x2 = y parabollerinin sınırladığı düzlemsel

bölge y– ekseni etrafında 360° döndürüldüğünde oluşan

cismin hacmi kaç birimküptür?

4π

y x1=

2π

x

y

0y=sinx

y=cosx

π2

492

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

7128r

2

2r

2r

103r

PEKİŞTİRME ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

7. elipsi x– ekseni etrafında 180° döndürüldü-

ğünde oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?

8. Şekilde y = cotx eğrisi

doğrusu ve x– ekseni arasın-

daki taralı bölge x– ekseni etra-

fında 360° döndürülüyor.

Oluşan dönel cismin hacmi kaç

birimküptür?

8. Şekilde y = x2 parabolü ve

y = –x + 2 doğrusunun grafiği

veriliyor. Taralı bölgenin x ek-

seni etrafında 360° döndürül-

mesiyle oluşan dönel cismin

hacmi kaç birimküptür?

10. Şekilde y = ex ve y = e–x eğri-leri ve y = e doğrusunun grafiğiveriliyor.

Taralı bölgenin y ekseni etra-fında 180°döndürülmesiyle olu-şan dönel cismin hacmi kaçbirimküptür?

11. y = lnx eğrisi Ox ekseni ve x = e doğrularının sınırladığıalanın Ox etrafında 360° dönmesi ile elde edilen hacimkaç birimküptür?

12. y = lnx eğrisine orijinden çizilen teğetin, orijin ile değmenoktası arasında kalan parçasının Ox etrafında 360° dön-mesi ile elde edilen hacim kaç birimküptür?

16π

x y4 19

2 2+ =

x 4r=

x

y

0

y=cotx

ππ4

π2

x

y

0

y=x2

y=–x+2

x

y

0

y=e–x y=ex

y=e

π(e – 2)

π(e – 2)

493

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

– 4

2rr

158r

e

3

r

PEKİŞTİRME ADIMI

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

494

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4 HAREKET PROBLEMLERİ

Bir parçacığın hız fonksiyonu t zamanına bağlı olarak V = f(t)

olsun. a ≤ t ≤ b için f(t) nin pozitif ve sürekli olduğunu varsaya-

lım. Yalnız bir yönde hareket eden bu parçacığın [a, b] zaman ara-

lığında aldığı yol

dir. f(t) hız fonksiyonu (a, b) aralığında işaret değiştiriyorsa alınan

toplam yol

ile bulunur.

Örneğin, bir hareketli 16 km ileri 7 km geri gelmiş ise toplam 16 +

7 = 23 km yol almıştır. Ancak ilk formül ile bu yol bulunmak isten-

seydi, 16 – 7 = 9 km elde edilirdi.

Hareketlinin (a, b) aralğındaki ortalama hızı

dır.

Benzer şekilde hareketlinin ivmesi a(t) = g(t) gibi zamanın bir

fonksiyonu olsaydı herhangi bir andaki hız

a(t) =

Burada V0 hareketlinin ilk hızıdır.

ÖRNEK

Hız denklemi V = 3t + 2 olan bir hareketlinin 0 ≤ t ≤ 3 aralığında

aldığı toplam yol kaç birimdir?

ÇÖZÜM

0 ≤ t ≤ 3 için V = 3t + 2 > 0 olduğundan

birimdir.

ÖRNEK

İvme denklemi a = 1 – 2cost m/sn2 olan bir hareketlinin t = 0

anındaki hızı V0 = 0 dır. t = 0 dan t = 3'e kadar alınan toplam

yol kaç metredir?

ÇÖZÜM

t = 0 için V = 0 olacağından

0 = 0 – 2.sin0 + C C = 0 olur.

V = t – 2sint ve

metredir.

ÖRNEK

Bir parçacığın hız denklemi V = 2.cos2t m/sn ise 0 ≤ t ≤ π aralı-

ğında aldığı toplam yol kaç metredir?

ÇÖZÜM

V = 2.cos2t hız fonksiyonu 0 ≤ t ≤ π aralığındaki

değerlerinde sıfır olmaktadır. Yani hız işaret de-

ğiştirmektedir.

0 < t < ve için cos2t > 0

için cos2t < 0 olduğundan, alınan toplam yol

metre bulunur.

( ) ( )

( )

V dtds f t ds f t dt

s f t dta

b

&= = =

= y

( )s f t dta

b= y

–

( )V b a

f t dta

b

=y

( ) ( )dtdv g t dv g t dt&= =

( )V g t dt Va

b0= +y

S Vdt t dt t t I3 2 23 2

0

3

0

3 2

0

3

= = + = +^ ch my y

. .23 3 2 3 2

392= + =

– – .cos sinV t dt t t C dir1 2 2= = +^ hy

&

– sinS t t dt20

3= ^ hy

cost t I2 22

0

3

= +c m– .cos cos2

9 2 3 0 2 0= + +c ^m h–cos2

9 2 3 2= +

cos25 2 3= +

t ve t4 4

3r r= =

4r

t4<r

| |cosS t dt2 20=r#

2 2cos cos cost dt t dt t dt2 2//

//0

44

3 43 4= + +

r

r

r rr

9 C# # #

2 – 2 2sin sin sint t tI I I221

21

21

/

/

/

/

4

4

3 4

3 40= +

r

r

r

r

r> H

– –sin sin sin sin2 2 2

32

3r r r r= +; E

– (– ) – (– )1 1 1 1 4= + =6 @

t43

< <r

r

KAVRAMSAL ADIM

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

495

1. ise, f(3) değeri kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 12 D) 13 E) 16

2. ifadesinin eşiti nedir?

A)

B) 3 In(In5 + ex) + C

C)

D)

E) 3 (In5 + ex)–2 + C

3. ifadesinin eşiti hangisidir?

A) x arctanx + In (x2 + 1) + C

B) x arctanx – In (x2) + C

C) x arctanx – In (x2 + 1) + C

D) x arctanx – In|x2 – 1| + C

E) In (1 + x2) + C

4. olarak tanımlanıyor.


A) 10 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36



A) B) C) D) E)

7. integralinin sonucu nedir?

A) B)

C) D)

E)


A) 0 B) 1 C) D) E)

f ( 4x 1 ) dx x 13+ = +6 @#

In5 e3e

dxx

x

+#

In (In5 e )+In53 x

In (e ) C+In53 x

In (e ) In5 C+ +In53 x

arctanxdx#

rctanxxa –21

f (x)3x x ≥ 1

4x – 1 x < 1

,

,

2

= *–1

f (x) dx3#

0x 1

x dx8

3

+

1

#

d2x 1x 2

–1

3

++a k#

25

35

712

37

34

3 – x

dx#

3 – x C+ 2 3 – x C+

– 3 – x C+ – 2 3 – x C+

– 3 3 – x C+

dt

x 0lim

x

t 1

t

0

x

3

4

2

+

"

#

61

31

21

) ) ) ) )A B C D E16 12 8 4 3r r r r r

SINAMA ADIMI1

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

1. C 2. B 3. E 4. D 5. A 6. C 7. D 8. D

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

496

9. f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

fonksiyonunun A(2, 1) noktasındaki eğimi 1 dir.

olduğuna göre,

a + b + c + d toplamı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

10. f : R → R, y = f(x) fonksiyonunda,

f(–2) = –1 ve f(4) = 2 olduğuna göre,


A) 24 B) C) 12 D) E) 3


A) In |x – 1| – In |x – 2| + C

B) 2In|x – 2| – In|x + 1| + C

C) In|x – 2| + In|x – 1| + C

D) 2In|x – 1| – In|x – 2| + C

E) 2In|x – 2| – In|x – 1| + C


A) sin(Inx) + C B)

C) D)

E) sin(Inx) + x + C


A) B)

C) – 3sin3x + 2cos2x + C D) 3sin3x – 2cos2x + C

E)

14. olduğuna göre, f(2) kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15.

y = x2 parabolü ile [AB] doğru parçasının sınırladığı bölgenin

alanı , AOB üçgeninin alanı kaçtır?

A) 1 B) C) D) E)

16. y = x2 ve y = 3x

eğrileri ile sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) B) C) D) E) 6

f (x) 6x – 2=ll

dxx – 3x 2

x2 +#

xcos (Inx)dx#

+x

sin (Inx)C

+x

sin (Inx)C2 +

esin (Inx)

C

(cos3x – sin2x)dx#

sin3x cos2x+ +31

21

C sin3x cos2x+ +–31

21

C

sin3x cos2x +– –31

21

C

y

x0

B=(–a,a2) A=(a,a2)

S1 a 0S ise limSS

21

2"

21

32

43

54

617

29

37

623

x .f (x)dx x 4x – 12 3= +#f (x) . d ( f (x) )

–2

4

2#

329

37

SINAMA ADIMI

9. C 10. E 11. E 12. A 13. A 14. D 15. D 16. B

1

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

497


A) x + C B) –x + C C) In|tanx| + C

D) In|cotx| + C E) In|sinx| + C


A) In9 B) In3 C)

D) E)

3. integrali neye eşittir?

A) 2 B) C) 1 D) E)


A)

B)

C)

D)

E)

5. Şekilde y = x2 + 1 parabolü ve

parabolün üzerinde ordinatı 10

olan A noktası ile başka bir B

noktası verilmiştir.

taralı alanları için

bağıntısı olduğuna göre, B noktasının apsisi kaçtır?

A) B) C) 1 D) E)

6. f(x) = 2x19 + 3x9 – 1 ise,


A) B) 4 C) –1 D) E)


A) π B) In3 C)

D) E)

8.

neye eşittir?

A) 10 B) 9 C) 7 D) 3 E) 1

(tanx – 1)dx–cotxdx ##

1 2ee dx

0

In13

x

x

+#

In1521

In2121 In25

21

23

21

–21

x 4 – x dx2#

+–31 (4 – x ) C

2 3

+–21 4 – x C

2

+–21 (4 – x ) C

2 2

+21 4 – x C

2

+21 (4 – x ) C

2 2

S1 S2

y

x0 x1 x2

BA

y=x2+1

10

S ve S1 2

8S S1 2=

x1

31

32

34

35

f (1 – x) dx0

1

#

58

–53

–57

dx1 e

e

0

In 3

2x

x

+#

In321

f (x) dx –7, f (x) dx 4 ve3

8

0

3

= =##

g (x) dx –5 ise, [ 2f (x) – 3g (x) ] dx0

8

0

8

=# #

x

cos xdx

36

42

2

r

r

#

12r

6r

SINAMA ADIMI

1. A 2. B 3. C 4. A 5. C 6. D 7. D 8. B

2

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

498

9. olmak üzere,

y = f(x) eğrisinin yerel ekstremum noktalarından biri A(1, 2) olduğuna göre, f(–1) kaçtır?

A) 4 B) C) 3 D) E)

10. integralinin eşiti hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

11. ifadesi neye eşittir?

A) –1 B) 0 C) 1

D) E)


A) 2 B) 1 C) cos1

D) –cos1 E) –2

13. denklemini sağlayan x sayılarının çarpımı

kaçtır?

A) 6 B) 3 C) –2 D) –3 E) –6

14. olmak üzere;

y = f(x) fonksiyonunun (0, 1) noktasındaki teğetinin eğimi 1 olduğuna göre, f(–1) değeri kaçtır?

A) –1 B) C) D) –2 E) –3

15. Şekilde y = –x2 parabolü, A(2, –4)noktasından çizilen teğet ve xekseni arasında kalan bölge-nin alanı kaç birimkaredir?

A) 2 B) C) 1 D) E)


A) tanx + C B) cotx + C

C) D)

E)

310

38

314

9 4x

dx2+

#

arctan ( ) C+21

32x arctan ( ) C+

61

32x

arctan ( )132x

3arctan ( ) C+

32

32x

arctan ( ) C+121

32x

43

3 3

3=t

dt

e

e

2x

x2

#

f (x) x – 3=ll

–34

–35

y

0 x

23

32

31

1 cosxdx

+#

tanx +21

C cot +21

2x

C

tan +21

2x

C

cosx 2sinx

dx– //33

+r

r#

( )sin lnx

xdxe

1

r

#

f (x) 4x=ll

SINAMA ADIMI

9. E 10. B 11. B 12. A 13. D 14. C 15. D 16. E

2

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

499

1. integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B)

C) D)

E)

2. integralinin sonucu kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6


A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2


A) 1 – In2 B) C) In4 D) E) In10

5. y = sinx eğrisi, Ox ekseni, x = 0 ve doğruları arasında

kalan alan x = c doğrusu ile iki eşdeğer kısma ayrıldığına

göre c = ?

A) B) C)

D) E)


A) –1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

7. y = x2 parabolü ile y = mx doğrusu arasında kalan alanın 36birimkare olması için m kaç olmalıdır?

A) –2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

8.

integralinin sonucu kaçtır?

A) –5 B) –3 C) 1 D) 7 E) 9

f (2x)dxa

b

#

2 f (x)dx2a

2b

# f (x)dx21

a

b

#

f (x)dx

2a

2b

# 2 f (x)dx

2a

2b

#

f (x)dx21

2a

2b

#

|x – 2 | dx–1

3

#

dx2 – 3x

3

–1

0

#

In25 In

52

arc sin31

arc cos31

(| x–1 | – | x – 3 | | x |) dx2

4

+#

(| sinx | | cosx |)dx2

+r

r#

x 2r

=

3r

4r

6r

| |sin x dx–

2

r

r

#

SINAMA ADIMI

1. E 2. D 3. E 4. B 5. A 6. D 7. D 8. E

3

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

500


A) B)

C) D)

E)

10. olduğuna göre,


A) 9 B) 7 C) 6 D) 5 E) 3



A) B) 1 C) D) 0 E) –1



A) In2 B) C)

D) –1 + In4 E) In4

15.


A) –6 B) –4 C) –2 D) 2 E) 3


A) 0 B) 1 C) D) π E)

–5.In3.3

81C5x + . 3 C+

5In33 –5x 4+

3 C+In51 –5x 4+ e C+

5In3–3 –5x

C+In3

3–5x 4+

f(x)3, x < 0

2x–3, x 0≥= *

f (x – 2)dx–1

3

#

x –2x 4

dx

1

4

2 +#

23

21

x –2x 5

dx

1

3

2 +#

x Inx dx1

2

#

In4+–43 In4+–

41

sin x dx0

2r

#

2r

42 – 1r

) ) ) ) )A B C D E2 4 43

3 3 3r r r r r

2 sinxcosx dx

0

2

+

r#

) ) ) ) )A B C D E3 2 3 6 3 3 8r r r r r

3 dx–5x 4+#

f (x) .cosx – f (x) . sinx dx/3r

r

ll l6 @#

f 4 ve f ( ) 2 i= =r se(3) ,rl l

SINAMA ADIMI

9. A 10. B 11. E 12. D 13. E 14. B 15. B 16. C

3

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

501

1. integralinin neye eşittir?


A) B)

C) D)

E)


A) 2 arctan(x2) + C B) arctan(x2) + C

C) 4 arctan(x2) + C D)

E)


A) B)

C) D)

E)


A) arctan e2x + C B) arctan ex + C

C) arccot ex + C D) arcsin ex + C

E) arccot e2x + C


A) B) C) 1 D) 2 E)

7. integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B)

C) D)

E)

8. ise, f(x) in eşiti nedir?

A) 2x2 + 3x B) x2 + 2x

C) x + 3 D) x2 + 3x + 1

E) x2 + 3x

cos 2x dx0

/2

2r

#

5 x

dx2+

#

arctan x +51

C arctan +51

5x

C

arctan +5x

C arctan x c+5

1

arctan +5

1

5

xC

1 x

4xdx4+

#

arctan +2x

C

arctan (x ) +41

C2

x – 4

dx2#

In +x 2x – 2

C+

In +21

x 2x – 2

C+

In +31

x 2x – 2

C+

In +41

x 2x – 2

C+

In +81

x 2x – 2

C+

dx1 e

e2x

x

+#

|x – 1 | dx–1

1#

2–1

21

23

x . Inxdx2#

Inx +3x

C3

(Inx) +6x

C3

2

(Inx – ) +3x

31

C3

(Inx 1)+ +3x

C3

(Inx – 1) +3x

C3

dx x 3x C= + +x

f (x) 2#

) ) ) ) ) –A B C D E2 2 4 2 1r rr r r

SINAMA ADIMI

1. D 2. E 3. A 4. D 5. B 6. D 7. C 8. A

4

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

502

9. integralinin sonucu aşağıdakilerden hangi-

sine eşittir?

A) B)

C) D)

E)

10. a > 0 olup y2 = ax parabolü y = 1, y = 2 doğruları ve Oy ile sınırlı alanın 14 birimkare olması için a kaç olmalıdır?

A) 1 B) C) D) E)

11. Şekilde

ise, b kaçtır?

A) 3 B) C) D) E)


A) e–x (x2 + 2x + 2) + C

B) –e–x (x2 + x + 1) + C

C)

D) –e–x (x2 + 2x + 2) + C

E)


A) ex – x + C B) ex + x + C

C) x.ex + ex + C D) x.ex –ex + C

E)

14. y2 = x parabolü ile x = |y| arasında kalan alan kaç birim-karedir?

A) B) C) D) 1 E)

15. A = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1 ≤ x + y, x, y ∈ R}

bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

16. f fonksiyonunun eğrisi A(1, 4) noktasında yerel ekstremumyapmaktadır.

olduğuna göre, f(2) kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

e x+ +–3x

2x

Cx

3 2a k e x –2x – 2) C(x 2 +

e (x – x 2) Cx 2 + + e (x 2x 2) Cx 2 + + +

e (x –2x 2) Cx 2 + +

21

31

41

61

y

0–1b x

S1S2

y=ax5

S 27.S2 1=

34 275 3 93

x . e dx2 –x#

(x 2x 2) C+ + +–2

e–x2

(x 2x 1) C+ + +2

e–x2

e dxx Inx+#

e e +–2x

C2

x x

21

31

41

23

f (x) 12x 8= +ll

) – ) – ) –

) – ) –

A B C

D E

8 161

83

21

4 81

2 81

4 21

r r r

r r

x e dx2 x#

SINAMA ADIMI

9. E 10. E 11. D 12. D 13. D 14. B 15. E 16. D

4

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

503


A) B)

C) D)

E)


A) B) C) D) E)


A) –2 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

4. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B) x–1 + Inx + C

C) x–1 – Inx + C D)

E)

5. ise, in eşiti kaçtır?

A) 18 B) 20 C) 24 D) 25 E) 32

6.

eğrisi ile Ox ekseni arasında kalan alan nedir?

A) B)

C) D)

E)


A) In2 B) In3 C) D) E) 1


A) 1 B) –1 C) 0 D) E)

2 – x

dx2#

arcsin C+2

1

2

x arcsin C+2

x

arcsin C+2x arcsin C+

21

2x

(2 – x ) C+32 2 1/2

x x dx0

1

+^ h#

56

37

35

47

67

|cos | dxx0

23r

#

dxx

1 – x2#

Inx C+– –x1

C+x

1 Inx+

x Inx C+–23

x

f (x) (3t 4)dt2

2

= +

x 1+

# f (1)l

y 2 – 16 – x2=

42 – 3r 2–

314 3r

4–3

16 3r 3+3

8 3r

2 –3 r

dx

x nxe

e

2

3

,#

In23 In

32

dx1 sin x

osxc

0

2

2+

r

#

2r

4r

SINAMA ADIMI

1. B 2. E 3. E 4. A 5. D 6. C 7. C 8. E

5

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

504


A) sinx + cosx + C B) sinx – cosx + CC) sinx – xcosx + C D) cosx – xsinx + C

E) sinx + xcosx + C


A) x + 2In|x – 2| + C B) x + In|x – 2| + CC) 2x + In|x – 2| + C D) x2 + In|x – 2| + C

E) 2x2 + In|x – 2| + C


A) B) C) D) E)

12. y2 = x + 4 parabolü ile x – 2y + 1 = 0

doğrusu arasında kalan alan birimkaredir?

A) 9 B) 10 C) D) E) 12


A) (4x – 7)2 + C B) (4x – 7)7 + C

C) (4x – 7)7 + C D) (4x – 7)5 + C

E) (4x – 7)7 + C

14.


A) B)

C) D)

E) sin32xcosx + C

15.

fonksiyonu x = 1 de sürekli olduğuna göre,

integralinin değeri nedir?

A) B) C) D) 0 E)

16. f(x) fonksiyonu için xdf(x) – 2x = 1, f(1) = 2 ise, f(e) nedir?

A) 2e – 1 B) 2e + 1 C) 2e

D) 3e E) e

dxx – 2

x#

x 1 – x dx–1

0

2#

21

41

61

–41

–31

332

335

(4x – 7) dx6#

81

41

281

23

241

sin (2x)sin (4x)dx2#

+3

sin 2xC

3

+4

sin 2xC

4

+3

cos 2xC

3

+4

cos 2xC

4

f (x)kx x < 1 ise

2x – 1 , 1 < x ise

,= '

f (x)dx0

2

#

27

25

21

– 21

x.sinxdx#

SINAMA ADIMI

9. C 10. A 11. E 12. C 13. C 14. B 15. B 16. B

5

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

505

1. belirsiz integralinin eşiti hangisidir?

A) B)

C) 2x + 10 sin5x + C D) 2x + 10 cos5x + C

E)


A) B)

C) D)

E)


A) cos2 (x4 + 5) + C

B) sin2 (x4 + 5) + C

C) cos2 (x4 + 5) + C

D) –3cos2 (x4 + 5) + C

E) cos2 (x4 + 5) + C


A) B) C) D) E)

5.

aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 0 B) m – A C) m + A

D) A E) –A


A) B) C) 3 D) E) 4


A) e2 – 1 B) e + 1 C) e –1

D) e – 2 E) e2 + 1

8. ifadesinin eşiti kaçtır?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

cos 5x dx2#sin10x C+ +

2x

201 sin10x C+ +

2x

51

sin5x C+53

x.Inx dx#Inx +–

2x

21

C2 a k (Inx – 1) +

2x

C2

+Inx–2x

21

Ca k (Inx – 1) +2x

C

Inx + +2x

21

C2 a k

4x sin (x 5) cos (x 5) dx3 4 4+ +#

41

–41

21

|x – x | dx2

–2

2#

317

316

314

311

38

00

f (x) dx A ise f (m – x) . dx=

mm

##

|x – 2 | dx0

3

#

23

25

27

( e )dxdxd x

0

12#

(3t –1)dt

x

limx – 22

2

2

2

x2

"

#

SINAMA ADIMI

1. A 2. A 3. C 4. A 5. D 6. B 7. C 8. A

6

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

506

9. y = x2 parabolü y = 1, y = 4 doğruları ve Oy ile sınırlı alan kaçbirim karedir?

A) 4 B) C) D) 6 E)


A) B) C) D) E)


A) In9 B) In8 C) In6 D) In4 E) In3


A) –1 B) C) D) E)


A) B)

C) D)

E)


A) 1 B) 0 C) –1 D) E) π

15. aşağıdakilerden hangisidir?

A) In |x2 – 1| + C B)

C) D)

E)


A) 3 B) 2 C) In3 D) In2 E) In7

e dxIn2

In

–2x6

#

61

41

31

81

91

x Inxdx

e

e

2

12

#

50

[ sint dt] dxdxd

/3r 2x

##

–21

21

23 2

3r

dx 22x 1

++a k#

+–x 2

3C

++–

2x 11

C+

+x 22x 1

C++ +

2x 11

C+

+2x 1

3C

+

arccosxdx0

1

#

2r

1 – x

2 dx2#

– | x – 1 | n Cn 2 +,

In C+x 1x – 1

+In C+

x – 1x 1+

2 In C+x 1x – 1

+

e 1dx

In2

In5

–x +#

328

316

314

SINAMA ADIMI

9. E 10. E 11. C 12. D 13. A 14. A 15. D 16. D

6

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

507


A) In|x + 1| + C B) InI2x + 1| + C

C) D)

E)


A) 2 B) 16 C) 8 D) E)

3. ise,, f(4) kaçtır?

A) B) C) D) E)

4. değeri kaçtır?

A) 4 – e B) e2 – 1 C)

D) e – 2 E) e


A) π + 2 B) π – 2 C)

D) E)

6. y = 6x – x2 ve y = x2 – 2x

eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 16 B) C) D) E) 17


A) 4 B) 2 C) 0 D) –2 E) –4


A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) –2

dxx 12x 1

++#

2x – InIx 1I C+ + x InIx 1I C+ + +

InIx 1I+ + +2x

C

f (x)dx 4 ise dx=x

f ( x )

0

1

0

1

##

4 2 2 3

f (t) dt x . co xs0

x2

= r#

81

61

41

31

21

(Inx) dx1

e

2#

2–2

e2

–2

[ 4 – x (x 2)] dx–2 +

0

#

2 – 12

r

32+r 2 +r

12

364

380

362

0

(sinx Ico xI )dxs+

r

#

|x | dx–2

2#

SINAMA ADIMI

1. C 2. C 3. C 4. D 5. B 6. B 7. A 8. A

7

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

508


A) sin (e–x) + C B) (x – sine–x) + C

C) –sine–x + C D)

E) –cosex + C

10.


A) B) –1 C) D) 1 E)

11. integralinin değeri neye eşittir?

A) B) C)

D) E)

12. in değeri kaçtır?

A) –1 B) C) 0 D) 1 E)

13. xy = x2 + 1 olduğuna göre,

integralinin sonucu nedir?

A) x + C B) 2x2 + C C)

D) lnx + C E) x + C

14.

integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D) 3xInx(1 + 3x) + C

E)


A) B)

C) D)

E)


A) B)

C) D)

E)

sin2x (cosx sinx)dx

2

0

+

r

#

–34

34

32

0

(tan 2x 9) dx2 +

/8r

#

1 2+ r4r +r

12

13+r 2 +r

12

–2

dxIx 1I

x – x – 22

+

3

#

–21

21

ydx xdx– ##

+3x

C3

dx1 3

3x

x

+#

+In32 1 3 C

x+ +In31 1 3 C

x+

3In3 1 3 Cx+ +

3 In3 1 3 Cx x+ +

sin xdx2#

+3

sin xC

3

sin2x +–41

C

sin2x +21

C +–2x

4sin2x

C

x +–2

sin2xC

dxx 1

2x3

2

3 +#

+35 (x 1) C

3 23 + (x 1) C3 23 + +

+32 (x 1) C

3 23 + +23 (x 1) C

3 23 +

2 (x 1) C3 23 + +

cose C+e1x

x

e cose dx–x –x#

SINAMA ADIMI

9. C 10. C 11. C 12. B 13. D 14. A 15. D 16. B

7

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

509

1.


A) 3x2ex3 + C B)

C) x2ex3 + C D) 3ex3 + C

E)

2.


A) 14e7x + sinx + C B) 14.e7x – sinx + C

C) D)

E) ex + sinx + C

3.


A) B)

C) D)

E)

4.

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 0 B) 1 C) D) x E)

5.

aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B)

C) D)

E)

6. f tek fonksiyondur.

olduğuna göre, integralinin sonucu kaçtır?

A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

7. x > 0 olmak üzere, f(x) = x2 ve g(x) =

eğrileri ile sınırlanan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) B) C) 1 D) E) 2

8. y = 1 – x2

eğrisinin I. Bölgede kalan yayı ile koordinat eksenlerininsınırladığı bölgenin y–ekseni etrafında 360° döndürül-mesi ile oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?

A) 2π B) C) π D) E)

x e dx2 x3#

x e +21

C2 x3

e +31

Cx3

(2e cosx)dx7x +#

e sinx+ +72

C7x e – sinx +

72

C7x

dxxInx#

Inx +21

C (Inx) +21

C2

+32 (Inx) C

3 +32 Inx C

Inx +32

C

log (sinx)dx tdt+dxd

20

x

/6

/12

r

r; E##

2x

2x2

(x 2) xdx2 3+#

+4

(x 2)C

2 4++

8(x 2)

C2 4+

+4

(x 2)C

2 3++

2(x 2)

C2 4+

+4

(x 2)C

2 2+

f (x) 2 f (x) dx 16–5

5

+ =6 @#

| f (x) | dx0

5

#

x

31

21

23

4r

2r3

2r

SINAMA ADIMI

1. E 2. C 3. C 4. D 5. B 6. D 7. A 8. D

8

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

510

9. y = tanx eğrisinin 0 ≤ x ≤ aralığında x ekseni ile sınırla-

dığı bölgenin x–ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile olu-

şan cismin hacmi kaç π birimküptür?

A) B) C)

D) E) 4 – π

10.

integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) cosx + sinx + C B) cos2x + sinx + C

C) –cosx + sinx + C D) sin2x – 1 + C

E) cos2x – 1 + C

11.


A) B) lnx C)

D) Inx + C E)


A) B) C) D) E)

13. integralininn sonucu nedir?

A) 2x2 + C B) x3 + 2

C) D)

E)


A) B)

C) D)

E)


A) 1 – InI1 + sinx| + C B) x – In|1 + sinx| + C

C) x – In|1 + cosx| + C D) tanx + 1 + C

E) tanx + x + C

16.

integralinde tanx = u dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

A) B) C)

D) E)

1 –4r 4 –

3r

–32r

–33r

1 sin2x dx+#

[dxd Inxdx]#

+x1

C x1

+x

InxC

x(Inx)

dxe

e 22

#

37

32 7

5 35

43

f (x 1) x dx3 2+l6 @#

f (x 1)+ +31

C3 +

6f (x 1)

C3 +

81

f (x 1) C3 + +

sin3xcosxdx#

cos 4x cos2x +– –41

21

C cos4x sin2x+ +–41

21

C

cos4x cos2x +– –81

41

C sin4x sin2x+ +41

21

C

cos4x cos2x+ +81

21

C

dx1 cosx

1 cosx sinx+

+ +a k#

2 – sin x

dx2#

udu

2# u 1

2du2 +#

u 2du+

#

u

du

22 +#

du

u 121

+#

3r

SINAMA ADIMI

9. D 10. C 11. B 12. A 13. C 14. C 15. C 16. D

8

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

511

SINAMA ADIMI9

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

41. Şekilde f(x) = e2x eğrisiningrafiği görülüyor.

Bu eğrinin x = –1, x = 1 ve x– ekseni ile sınırladığı alankaç birimkaredir?

2.

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun x– ekseni ile sınırladığı böl-

geler ve alanlar veriliyor. Buna göre, integralinin

değeri kaçtır?

A) –2 B) 1 C) 2 D) 4 E) 18

3. Şekilde y = x2 + 3,y = 0, x = –1 ve x = 2ile sınırlanan bölge gösteriliyor.

Buna göre taralı bölgeninalanı kaç birimkaredir?

4. y = sinx eğrisinin x– ekseni, x =0 ve doğruları ile

sınırladığı alan kaç birimkaredir?

5. y = cosx ve y = sinx eğrilerinin x– ekseni x = 0, ve

doğruları ile sınırladığı alan kaç birimkaredir?

6. Şekildey = x2 parabolü vey = –2x + 3 doğrusunu y = 0 doğrusu ile sınırladığıalan gösteriliyor.Buna göre taralı alanın ölçüsü kaç birimkaredir?

) – ) – ) –

) – ) –

A e Be

e C ee

D e e E e

21 1 2

1 141 1

2 21 1

42

4 2

44

^ f c^

h p mh

y

x0–1 1

e2x=f(x)

y

x0

–43

y=f(x)

10 birimkare

8 birimkare

) ) ) ) )A B C D E12 334

332 10 3

28

x

y

0

y=x2+3

2–1

x 2r=

) ) ) ) )A B C D E61

41

31

21 1

x 2r=

) ) – ) –

) )

–A B C

D E

2 22 1 4

2

22

42

2 2 2

) ) ) ) )A B C D E53

52

31

127

125

y

x0

y=x2

y=–2x+3

( )f x dx–4

3#

1. B 2. C 3. A 4. E 5. A 6. D

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

512

SINAMA ADIMI9

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4 7. y = nx eğrisinin x = e ve x = e3 doğruları ve y = 0 doğ-

rusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 2e4 B) e4 C) 2e3 D) E)

8. y = x2 + 1 parabolü x = 1 doğrusu ve eksenlerle arasındakalan bölgenin x– ekseni etrafında 360° döndürülmesiyleoluşan cismin hacmi kaç birimküptür?

9. Şekildeki taralı bölgenin alanıkaç birimkaredir?

10. Şekildekiy = (x + 1)2 vey = 1 – x2 parabolleri ara-sında kalan taralı bölgeninalanı kaç birimkaredir?

11. y2 = x eğrisi A(1, 1) nokta-sındaki teğeti ve x ekseniarasında kalan taralı alan kaçbirimkaredir?

12. y = x2 parabolü ile y = mx doğrusu arasında kalan ala-nın 36 birimkare olması için m kaç olmalıdır?

A) –2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

,

e3

2 3 e3

3

) ) ) ) )A B C D E1128

1528

1526

1523

1519

r r r r r

)–

) –

) )

) 2A ee

B e

D e e E e

C e1

1

1 1 12

22

+ + +

+^ ^h h

y

x0

y=exy=e–x

x=1

y

x0

y=(x+1)2

y=1–x2

) ) ) ) )A B C D E2 23

43

32

31

y

x0

y2=xA(1,1)

B

) ) ) ) )A B C D E41

31

32 1 2

3

7. C 8. B 9. A 10. E 11. B 12. D

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

513

SINAMA ADIMI10

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

41. y2 = 4x ve y3 = 8x eğrilerinin sınırladığı bölgenin alanıkaç birimkaredir?

2. Şekildeki taralı alanın Ox ekseni etrafında 360° dön-dürülmesi ile elde edilencismin hacmi kaç birim-küptür?

3. Şekilde taranmışp ve q alanları toplamı 23 birim-karedir.

ise,

p alanı kaç birimkaredir?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

4.

Şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. S1 = 2,

S2 = 5, S3 = 3 birimkare ise, nin

eşiti kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 5 D) 7 E) 10

5. eğrisi x = 1, x = 3 doğruları ve x ekseni tarafın-

dan sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında 360° döndü-rülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?

6. y = x2 – 1 eğrisi, y = 0, y = 4 doğruları ve y ekseni ilesınırlı bölgenin y ekseni etrafında 360° dönmesi ile olu-şan cismin hacmi kaç birimküptür?

A) 12π B) 4π2 C) 4π + 5 D) 3π2 E) 16π

) ) ) ) )A B C D E121

91

61

31

21

y

x0

y=3x

y=2x

x=1

) ) ) ) )A B C D E35

34

32

3r r

rr r

( ) –f x dx 3–1

4=y

y

x

y=f(x)

0

–1 4qp

[ ( ) – ( )]f x g x dx1

6y

y

x0

gS1 S2 S3

f

61

y x2=

) ) ) ) )A B C D E6 4 3 2 38r r r r r

1. C 2. A 3. C 4. A 5. E 6. A

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

514

SINAMA ADIMI10

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4 7. a > 0 koşulu ile y = x3 + ax eğrisi, x ekseni ve x = 2 doğ-rusu tarafından sınırlanan bölgenin alanı 8 birimkare ise,a nın değeri kaçtır?

8. Şekilde y = –x2 – 2x parabolüve y = x + 2 doğrusunun gra-fiği verilmiştir. Eğri, doğru ve y– ekseniarasında kalan düzlemselbölgenin alanı kaç birimka-redir?

9. y2 = x + 1 eğrisi ile y ekseni arasında kalan bölgenin alanıkaç birimkaredir?

10. Şekildeki taralı alanın değeri

2 n2 birimkare ise,

k kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Şekilde y = x2 parabolü vex = a doğrusunun grafiğiverilmiştir. Taralı düzlem-sel bölgenin alanı 9 birim-kare ise, a kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. Şekildeki taralı bölgeninalanı kaç birimkaredir?

) ) ) ) 1 )A B C D E21

32

65

67

) ) ) 1 ) )A B C D E21

32

23 2

) ) ) 1 ) )A B C D E32

43

23

34

,

x

y

0

kx

y=

2 4

2x

y=

y

x0

y=x+2

–2

y=–x2–2x

y

x0

y=x2

x=a

y

x0

y=x

1

2

) ) ) ) )A B C D E2519

58

89

712

35

7. E 8. C 9. E 10. D 11. C 12. C

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

515

SINAMA ADIMI11

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

41. Şekilde y = f(x) parabolünün grafiği veriliyor.Buna göre taralı alankaç birimkaredir?

A) 38 B) 36 C) 27 D) 18 E) 9

2. Şekilde y = 6x – x2

parabolünün x– ekseni ile sınırladığı alanın ölçüsükaç birimkaredir?

A) 18 B) 27 C) 32 D) 36 E) 40

3. y2 = x parabolü ile y = 2 – x doğrusunun sınırladığı alankaç birimkaredir?

A) 6,5 B) 6 C) 5 D) 4,5 E) 4

4. x.y = 1 eğrisi; y = 1 ve y = 3 doğruları arasındaki alankaç birimkaredir?

5. y = 4x ve eğrilerinin sınırladığı alan kaç birim-

karedir?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

6. toplamının değeri kaçtır?

A) e2 B) e2 – 1 C) e D) e – 1 E) e3 – 1

x

y

0

y=f(x)

–3 3

9

x

y

0

y=6x–x2

) 5 ) 3 ) 2 ) 2 3 )A n B n C n D n E n21 3, , , , ,

x y3=

e dx nx dxx e

10

1 2,+ yy

1. B 2. D 3. D 4. B 5. C 6. C

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

516

SINAMA ADIMI

7. C 8. B 9. D 10. C 11. B 12. B

11

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4 7. Şekildeki taralı alanın x– ekseni etrafında 360°dönmesiyle oluşan cis-min hacmi 2π birimküpolduğuna göre |OH| kaçbirimdir?

8. Şekilde eğrisi ile

doğrusunun sınırla-

dığı alanlar görülüyor.Taralı alanların toplamı kaçbirimkaredir?

9. Şekildeki O merkezli küre-nin yarıçapı 6 birimdir. Buküre şekildeki gibi merkez-den 3 birim uzaklıktan birdüzlemle kesilmiştir. Ta-ranmış kısmın hacmi kaçbirimküptür?

A) 20π B) 30π C) 36π D) 45π E) 81π

10. Şekildeki y = x3 fonksiyo-nunun grafiği üzerindeki Bnoktasından Ox ve Oy ek-senlerine [BA] ve [BC] dik-meleri iniliyor. Eğri ile [OB]doğru parçasının sınırla-dığı alanın 4 birimkare ol-ması için |OA| uzunluğukaç birim olmalıdır?

11. f(x) = cosx eğrisi x = 0, x = π doğruları ve Ox ile sınırla-nan alanın Ox etrafında 360 derece dönmesi ile oluşancismin hacmi kaç birimküptür?

12. Şekilde y = x3

eğrisi çizilmiştir.

|OA| = k,

|AB| = 2k birimdir.

[AE] ⊥ OX ve

[FB] ⊥ OX tir.

S2 alanı S1 alanının kaçkatıdır?

A) 8 B) 15 C) 26 D) 27 E) 80

) ) ) ) )A B C D E31

21 1 3

2 2

x

y

0

y2=4xA

H

y x3

3=

y x3=

x

y

0

y= x3

y= x3

3

) ) ) ) )A B C D E81

61

41

31

21

x

y

E

O 6

3

x

y

O

y=x3

C B

A

)

)

) ) 2

)

A

C

B C

E

2

2 2

3

2 3

) ) ) ) )A B C D E2 3 222 2

rr r

r r

x

y

O

y=x3

E

F

A B2kk

S1 S2

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

517

SINAMA ADIMI12

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

41. f(x) = tanx eğrisi doğrusu ve Ox ekseni ile sınır-

lanan alanın Ox ekseni etrafında 360 derece dönmesi ileoluşan cismin hacmi kaç birimküptür?

2. a > 0 olup x = a ve y = 3x doğruları ve Ox ekseni ile sı-nırlı alanın Ox ekseni etrafında 360° dönmesi ile oluşanhacmin 24π birimküp olması için a kaç olmalıdır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. y2 = x, y = x2 parabolleri arasında kalan alanın Ox etra-fında 360 derece dönmesi ile oluşan cismin hacmi kaç bi-rimküptür?

4. a > 0 olup y2 = ax parabolü y = 1, y = 2 doğruları ve Oyile sınırlı alanın 14 birimkare olması için a kaç olmalıdır?

5. m > 0 olup y = mx + 2y = 0, y = 3 doğruları ve Oy ekseni ile sınırlı alanın 1/2birimkare olması için m ne olmalıdır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. f(x) = x2 ve g(x) = x3 eğrileri arasındaki kapalı alan kaçbirimkaredir?

x 4r=

) 1 ) ) –

) )

A B C

D E

2 4

34

3

2 2

2 2

rrr

r r r r+ +

) ) ) ) )A B C D E32

43

103

6 35r r r r r

) ) ) ) )A B C D E1 21

31

41

61

) ) ) ) )A B C D E1 21

31

61

121

1. C 2. B 3. C 4. E 5. E 6. E

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

518

SINAMA ADIMI12

İNT

EG

RA

LÜ

NİT

E –

4 7. doğruları ve Oy ile sınırlı alanın

Oy etrafında 360 derece dönmesi ile oluşan cismin hacmikaç birimküptür?

8. eğrisi ile Ox ekseni arasında kalan alan

nedir?

9. Şekilde f(x) fonksiyonunungrafiği görülmektedir.

f'(sinx)dx

ifadesinin eşiti kaçtır?

A) 3 B) 2 C) 0 D) 1 E) –2

10. Şekilde y = x3

eğrisi ile y = adoğrusu ve Oyile sınırlı taralı alan 12 birimkare ise a kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

11. Şekilde y2 = 2xeğrisi ve onun x0 = 2 apsisli noktadaki teğeti ve Oy ekseni arasında kalanalan kaç birimkaredir?

12. |y| = 4 – x2 eğrisinin sınırladığı kapalı alan kaç birimkare-dir?

cosx/

0

2ryx

y

0

f(x)

3

1 2

–2

x

y

0

y=x3

a A

) ) ) ) )A B C D E31

21 1 2

3 2

x

y

O

y2=2x

A

2

) ) ) ) )A B C D E332

338

356

364 21

) – ) – ) –

) ) –

A B C

D E

42 3

314 2 3 3

16 4 3

38 4 3 2 3

r r r

rr+

– –y x2 16 2=

) ) ) ) )A B C D E2 23 2 3r

rr

r r

, ,y x y y1 1 2= = =

7. A 8. D 9. B 10. D 11. A 12. D

www.mura

t-koc

.com

EZGİ

GÜLE

RYÜZ

00 onsoz 12 snf mat mizanpaj 1murat-koc.com/matematik/integral.pdfa=x0 x1 x2 x3... xn–2 xn–1...

Documents