(01~29)유형해설1,2-1단원.ps 2014.9.24 08:54 pm 페이지1...

1

Ⅰ.실수와그연산

유형편파워

유형편Ⅰ.실수와그연산

파워

1 제곱근과실수

유형 1~4 P. 6~7

1 ⑤ 2 ④ 3 ⑴ —12 ⑵ — ⑶ —0.5

4 ④

5 ⑴ —4 ⑵ —3 ⑶ —7 ⑷ —'3 ⑸ — ⑹ —'5

6 ⑴ 3 ⑵ 5 ⑶ -25 ⑷ -2 7 ④ 8 ⑤

9 ②, ③ 10 ① 11 ④ 12 ④ 13 ③ 14 "≈3¤

23

94

x는 5의제곱근이므로 x¤ =5 또는 x=—'5이다.

x는양수 a의제곱근이므로 x¤ =a또는 x=—'a이다.

13의제곱근이 a이므로 a¤ =13

49의제곱근이 b이므로 b¤ =49

∴ a¤ +b¤ =13+49=62

⑵ 3¤ =9의제곱근은 —3

⑶ (-7)¤ =49의제곱근은 —7

⑷ '9=3의제곱근은 —'3

⑸ Æ… = 의제곱근은 —

⑹ "√(-5)¤ =5의제곱근은 —'5

⑴ 25의양의제곱근 m=5

4의음의제곱근 n=-2

∴ m+n=5+(-2)=3

⑵ (-2)¤ =4의양의제곱근 a=2

9의음의제곱근 b=-3

∴ a-b=2-(-3)=2+3=5

⑶ (-10)¤ =100의음의제곱근 a=-10

의양의제곱근 b=

∴ ab=-10_ =-25

⑷ '1å6=4의양의제곱근 m=2

"(√-36≈)¤ =36의음의제곱근 n=-6

∴ 2m+n=2_2+(-6)=-2

52

52

254

6

23

49

1681

5

4

2

1

① —1 ② —5 ③ —10 ⑤ —

④ 0.001= = 은제곱인수가아니므로 —'ß0.001

은근호를사용하지않고나타낼수없다.

①, ②, ③, ④ —5 ⑤ 5

① 0의제곱근은 0의 1개이다.

④ 제곱근 64는 8이다.

⑤ -4는음수이므로제곱근은없다.

ㄴ. "√(-4)¤ =4의제곱근은 —2이므로 2+(-2)=0

ㄷ. -5는음수이므로제곱근은없다.

ㄹ. 0.09의제곱근은 —0.3이다.

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.

①, ②, ③, ⑤ 2 ④ -2

④ æ≠{- }2=

a>0이므로

① ('a)¤ =a ② (-'a)¤ =('a)¤ =a

④ "√(-a)¤ ="≈a¤ =a ⑤ -"√(-a)¤ =-"≈a¤ =-a

"≈3¤ =3, -"≈5¤ =-5, -('7)¤ =-7, -(-'1å0)¤ =-10,"(√-13)¤ =13이므로작은것부터차례로나열하면

-(-'1å0)¤ , -('7)¤ , -"≈5¤ , "≈3¤ , "(≈√-13)¤따라서네번째인수는 "≈3¤이다.

14

13

916

91612

11

10

9

8

110‹

11000

5127

유형 5 ~ 8 P. 8~10

1 ⑴ 3 ⑵ 9 ⑶ 11 2 ② 3 - 4 19

5 ⑤ 6 2a+3b 7 ④ 8 ③

9 ⑴ 1 ⑵ 2 ⑶ 2a 10 ③ 11 4a-b 12 ③ 13 ③

14 ③ 15 ③ 16 ② 17 ②

18 15, 과정은풀이참조 19 21

52

⑴(주어진식)=5-2=3

⑵(주어진식)=3+4-(-2)=3+4+2=9

⑶(주어진식)=6-4÷2+7=6-2+7=11

1

(01~29)유형해설1,2-1단원.ps 2014.9.24 08:54 PM 페이지1 MAC3

(주어진식)='1å6- ÷

=4- _

=4-2=2

(주어진식)=5-4- -3=-

A=12+5-9=8

B=4+11-7_ =4+11-4=11

∴ A+B=8+11=19

a<0에서 -a>0이므로

"≈a¤ +"√(-a)¤ =-a+(-a)=-2a

a>0, b<0에서 2a>0, -3b>0이므로

"ç4a Ω¤ -"(√-3b≈)Ω¤ ="(≈2a)¤ -"(√-3b)¤

=2a-(-3b)

=2a+3b

ab>0에서 a, b는서로같은부호이다.

이때 a+b<0에서 a<0, b<0이므로 a<0, -b>0

∴ "≈a¤ +"(√-b)¤ =-a+(-b)=-a-b

ab<0에서 a, b는서로다른부호이다.

이때 a>b에서 a>0, b<0이므로 -a<0, 3b<0

∴ (-'a)¤ -"(√-a)¤ +"ç9b¤

=(-'a)¤ -"(√-a)¤ +"(√3b)¤

=a-a+(-3b)=-3b

⑴ a<1에서 a-1<0이므로

"√(a-1)¤ =-(a-1)=-a+1

a>0에서 -a<0이므로

"√(-a)¤ =-(-a)=a

∴(주어진식)=-a+1+a=1

⑵ x>1에서 x-1>0이므로

"√(x-1)¤ =x-1

x<3에서 x-3<0이므로

"√(x-3)¤ =-(x-3)=-x+3

∴(주어진식)=x-1-x+3=2

⑶ a>-2에서 a+2>0이므로

"√(a+2)¤ =a+2

a<2에서 a-2<0이므로

"√(a-2)¤ =-(a-2)=-a+2

∴(주어진식)=a+2-(-a+2)=2a

9

8

7

6

5

47

4

52

123

;3$;;2#;

;4#;322

2

정답과해설_ 유형편파워

a<2에서 2-a>0이고 4-2a=2(2-a)>0이므로

"(√4-2ça)¤ =4-2a

a>1에서 1-a<0이므로

"(√1-a ≈)¤ =-(1-a)=-1+a

∴(주어진식)=4-2a-(-1+a)=-3a+5


이때 a>b에서 a>0, b<0이므로 -2a<0, b-a<0

∴(주어진식)=a+{-(-2a)}+{-(b-a)}=a+2a-b+a

=4a-b

a>b>c>0에서 a-b>0, b-a<0, c-a<0이므로

(주어진식)=(a-b)-{-(b-a)}-{-(c-a)}=a-b+b-a+c-a

=c-a

n>0, 17-n>0에서 0<n<17이므로

'1ƒ7-n이자연수가되려면 17-n은제곱수 1, 4, 9, 16이어야한다.

∴ n=1, 8, 13, 16

n>0, 14-næ0에서 0<n…14이므로

'1ƒ4-n이정수가되려면 14-n은 0 또는제곱수 1, 4, 9이어야한다.

∴ n=5, 10, 13, 14

따라서모든자연수 n의합은 5+10+13+14=42

'∂20+x가정수가되려면 20+x는 0 또는제곱수이어야한

다.

이때 x가자연수이므로 20+x는 20보다큰수중가장작은

제곱수이어야한다.

즉, 20+x=25 ∴ x=5

따라서구하는가장작은자연수 x의값은 5이다.

'1 ∂08 ßx="2 √ ¤ _3‹ _x가 자연수가 되려면 소인수의 지수가

모두짝수이어야하므로구하는가장작은자연수 x의값은

3이다.

'ß48a="√2› _3_a가 자연수가 되려면 소인수의 지수가 모

두짝수이어야하므로 a=3_(자연수)¤ 의꼴이어야한다.

① 12=3_2¤ ② 18=3¤ _2 ③ 27=3_3¤

④ 48=3_4¤ ⑤ 75=3_5¤

17

16

15

14

13

12

11

10


유형편파워

3


Æ¬ =æ≠ 가자연수가되려면소인수의지수가모

두짝수이어야하므로

a=3_5 또는 a=3_5_2¤ 이다. y`⁄

따라서구하는가장작은자연수 a의값은 15이다. y`¤

Æ¬ =æ≠ 가 자연수가 되도록 하는 가장 작은

자연수 x의값은 x=3_5=15

'ƒ150y="√2_3_5¤ _y가 자연수가 되도록 하는 가장 작은

자연수 y의값은 y=2_3=6

∴ x+y=15+6=21

2¤ _3‹ _5x

540x19

2¤ _3_5a

60a18

⁄ Æ¬ 이자연수가되도록하는 a의조건구하기60a

¤ 가장작은자연수 a의값구하기

채점기준

40%

60%

배점

한걸음더연습~ 유형 10 P. 10~11

1 ③ 2 ② 3 ⑤ 4 ② 5 ②, ⑤

6 ⑤ 7 ② 8 30 9 ③

10 1, 과정은풀이참조 11 3

Æ¬ =æ≠ 이므로구하는가장작은자연수 x의

값은 x=2_5=10

n=3_(자연수)¤ 의꼴이어야하고, 10<n<50이므로

n=3_2¤ , 3_3¤ , 3_4¤

따라서구하는자연수 n은 12, 27, 48의 3개이다.

a+b의값이최소이려면 a, b의값이모두최소이어야한다.

'∂360a="√2‹ _3¤ _5_a이므로

a의최솟값은 a=2_5=10

이때 b의최솟값은

b='∂360a='3ƒ60_10

='3∂600=60

따라서 a+b의최솟값은

a+b=10+60=70

'2ƒ40xy="2√› _3_5_xy이므로

xy=3_5=15

이때 1<x<y이므로 x=3, y=5

따라서구하는 x, y의순서쌍 (x, y)는 (3, 5)이다.

4

3

2

2‹ _3¤ _x5

72x51

① 3(='9)>'8

② 4(='1å6)>'1å5

③ '2å4<5(='2å5)

④ '8>'7이므로 -'8<-'7

⑤ Æ >Æ 이므로 -Æ <-Æ

⑤ 0.5='0∂.25이고 '0ß.5>'0∂.25이므로

'0ß.å5>0.5

① 5='2å5

③ (-'7)¤ =7='4å9

④ "(√-5.5)¤ ="√5.5¤ ='ƒ30.25따라서 '1 å0<'1 å6<'2 å5<'ƒ30.25<'4 å9이므로 가장 작은

수는 ② '1å0이다.

3='9이고 '∂0.5<'9<'1å1이므로

-'∂0.5>-3>-'1å1

∴ a=-'1å1

"(√-4)¤ ='1å6이므로 Æ <"(√-4)¤ <'1å9

∴ b='1å9

∴ a¤ +b¤ =(-'1å1)¤ +('1å9)¤

=11+19=30

2(='4)>'3이므로 2-'3>0

1(='1)<'3이므로 1-'3<0

∴(주어진식)=(2-'3)+{-(1-'3)}=2-'3-1+'3=1

'1å0-2>0에서

"(√'1å0-2)¤ ='1å0-2 y`⁄

3-'1å0<0에서

"(√3-'1å0)¤ =-(3-'1å0) y`¤

∴(주어진식)=('1å0-2)-{-(3-'1å0)}='1å0-2+3-'1å0=1 y`‹

'5>2(='4)이므로

'5-2>0, 2-'5<0

∴(주어진식)=('5-2)+(2-'5)-2+5=3

11

10

9

72

8

7

6

13

12

13

12

5

⁄ "(√'1å0-2)¤ 을간단히하기

¤ "(√3-'1å0)¤을간단히하기

‹ 주어진식간단히하기

채점기준

35%

35%

30%

배점


4


틀리기쉬운유형~̀유형 11 P. 12~13

1 ⑴ 21개 ⑵ 7개 2 ② 3 ⑤ 4 ② 5 ③

6 ② 7 2, 3 8 13 9 ③ 10 ④ 11 ③

12 ㄴ, ㅇ 13 ③ 14 ④

⑴ 2<'x…5에서 "≈2¤ <'ßx…"≈5¤이므로 4<x…25

따라서 자연수 x의개수는 25-4=21(개)이다.

⑵ -3<-'x<-1에서 1<'x<3이므로

"≈1¤ <'ßx<"≈3¤ ∴ 1<x<9

따라서 자연수 x의개수는 9-1-1=7(개)이다.

3…'2åx<4에서 "3Ω¤ …'2åx<"≈4¤이므로

9…2x<16 ∴ …x<8

따라서구하는자연수 x의값은 5, 6, 7이다.

7<'6ßx…9에서 "7Ω¤ <'6åx…"≈9¤이므로

49<6x…81 ∴ <x… , 즉 8 <x…13

따라서구하는자연수 x의값은 9, 10, 11, 12, 13이다.

3<'ƒa+2<4에서 "≈3¤ <'ƒa+2<"≈4¤이므로

9<a+2<16 ∴ 7<a<14

따라서두자리의자연수 a는 10, 11, 12, 13의 4개이다.

-5<-'2ƒx-1<-4에서 4<'ƒ2x-1<5이므로

"≈4¤ <'ƒ2x-1<"≈5¤ , 16<2x-1<25

17<2x<26 ∴ 8 <x<13

따라서자연수 x의값은 9, 10, 11, 12이므로

구하는합은 9+10+11+12=42

'6<x<'3å1에서 '6<"≈x¤ <'3å1이므로

6<x¤ <31

이때 x는자연수이므로 x¤ =9, 16, 25

따라서구하는자연수 x는 3, 4, 5의 3개이다.

5<3'x+1<7에서 4<3'x<6이므로

<'x<2

즉, Æ{… }2<'x<"≈2¤이므로 <x<4

따라서구하는자연수 x의값은 2, 3이다.

169

43

43

7

6

12

5

4

12

16

816

496

3

92

2

1

5='2å5<'3å0<'3å6=6이므로

'3å0 이하의자연수의개수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.

∴ a=5

8='6å4<'7å5<'8å1=9이므로

'7å5 이하의자연수의개수는 1, 2, 3, y, 8의 8개이다.

∴ b=8

∴ a+b=5+8=13

14='1ß9å6<'2ß2å4<'2ß2å5=15이므로

f(224)=('2ß2å4 이하의자연수의개수)=14

12='1ß4å4<'1ß6å8<'1ß6å9=13이므로

f(168)=('1ß6å8 이하의자연수의개수)=12

∴ f(224)-f(168)=14-12=2

'9=3, '1å6=4, '2å5=5이므로

N(10)=N(11)=N(12)=N(13)

=N(14)=N(15)

=3

N(16)=N(17)=N(18)=N(19)=N(20)=4

∴ N(10)+N(11)+y+N(20)=3_6+4_5

=38

④ '4å9=7

⑤ 0.H45H5=

ㄱ. '0ß.01=0.1

ㄷ. '4=2

ㄹ. ø∑0.H4=Æ =

ㅁ. "√(-5)¤ =5

ㅂ. '9-'4=3-2=1

ㅅ. 1-'0ß.25=1-0.5=0.5

따라서무리수인것은ㄴ, ㅇ이다.

소수로나타내었을때, 순환하지않는무한소수인것은무리

수이다.

, '4(=2), -'1ß0å0(=-10)：유리수

p, - , '2+1：무리수

'a가무리수가되려면 a는제곱수가아니어야한다.

16보다작은자연수중제곱수는 1, 4, 9의 3개이므로제곱

수가아닌수는 15-3=12(개)이다.

따라서구하는자연수 a의개수는 12개이다.

14

'33

1100

13

23

49

12

455999

11

10

9

8


유형편파워

5


유형 12~14 P. 14~15

1 ② 2 ③, ⑤ 3 ③, ④ 4 ② 5 ③

6 ⑴ '2 ⑵ '2

7 A(-'2), B('2), C(4-'2), D(3+'2)

8 ②, ⑤ 9 ⑴ 2+'5 ⑵ '1å0

10 A(-'5), B(5-'1å3), C('5), D(5+'1å3)

11 1-'5, 1+'5 12 8

①, ②무한소수중순환소수는유리수이고, 순환하지않는무

한소수는무리수이다.

③ 유리수이면서동시에무리수인수는없다.

④ 무리수는순환하지않는무한소수이다.

⑤ 근호를사용하여나타낸수가모두무리수인것은아니다.

예⃝ '4=2：유리수

③ 무한소수중순환소수는유리수이다.

⑤ 0은 0= = = =y으로 나타낼 수있으므로 유

리수이다.

① 제곱근 3은 '3이다.

② 3='9이므로 '3<3 ∴ -'3>-3

③ 3은제곱수가아니므로 -'3은근호를사용하지않고나

타낼수없다.

⑤ -'3은유리수가아니므로 의꼴로나

타낼수없다.

안에해당하는수는무리수이므로② 'ƒ0.02이다.

유리수와무리수를통틀어실수라하고유리수이면서동시에

무리수인 수는 없으므로 실수의 개수에서 유리수의 개수를

뺀것은무리수의개수와같다.

1.333y=1. H3= = , -'3å6=-6, æ– =

따라서주어진수중무리수는 -'∂4.9, 'ƒ0.001, '1å5의 3개

이므로 a-b=3이다.

⑴ □ABCD= _(2_2)=2이므로

AB”='2

⑵ AB'”=AB”='2이므로점 B'에대응하는수는 '2이다.

왼쪽정사각형의넓이는 2이므로한변의길이는 '2이다.

따라서두점 A, B의좌표는각각

A(0-'2), B(0+'2),즉 A(-'2), B('2)

7

126

49

1681

43

13-19

5

4

(정수)

(0이아닌정수)

3

03

02

01

2

1

오른쪽정사각형의대각선의길이는왼쪽정사각형의한변

의길이와같으므로 '2이다.

따라서두점 C, D의좌표는각각 C(4-'2), D(3+'2)

② PC”=AC”='2이므로 P(-1-'2)③ BQ”=BD”='2이므로 Q(-2+'2)⑤ PB”=PC”-BC”='2-1

⑴ □ABCD=3_3-4_{ _2_1}=9-4=5

따라서 BC”='5이므로점 P에대응하는수는 2+'5

⑵ □ABCD=4_4-4_{ _3_1}=16-6=10

따라서 BC”='1å0이므로점 P에대응하는수는 '1å0

왼쪽정사각형의넓이는 5이므로한변의길이는 '5이다.

따라서두점 A, C의좌표는각각

A(0-'5), C(0+'5),즉 A(-'5), C('5)오른쪽정사각형의넓이는 13이므로한변의길이는 '1å3이다.따라서두점 B, D의좌표는각각

B(5-'1å3), D(5+'1å3)

정사각형 ABCD의넓이는 5이므로한변의길이는 '5이다.PB”=AB”='5이므로점 P에대응하는수는 1-'5

BQ”=BC”='5이므로점 Q에대응하는수는 1+'5

정사각형 ABCD의넓이는 10이므로한변의길이는 '1å0이다.

AP”=AD”='1å0이므로 a=4-'1å0

AQ”=AB”='1å0이므로 b=4+'1å0

∴ a+b=(4-'1å0)+(4+'1å0)=8

12

11

10

12

129

8

유형 15~17 P. 16~17

1 ② 2 ㄱ, ㄴ, ㄷ 3 해련, 혜나 4 ④

5 ③ 6 ② 7 ⑴ '5+2>4 ⑵ 3-'7<3-'6

8 ④ 9 ③ 10 ① 11 ③ 12 a<b<c

13 2-'5, '6-'5, '6+1

② 수직선은유리수와무리수에대응하는점들로완전히메

울수있다.

ㄱ. '2=1.___, '5=2.___이므로 '2와 '5 사이의정

수는 2의 1개뿐이다.

ㄹ. 무리수는모두수직선위에나타낼수있다.

2

1


6


① ('7-1)-2='7-3<0 ∴ '7-1<2

② '2<'3이므로 '5+'2<'5+'3

③ (4-'8)-(3-'8)=1>0 ∴ 4-'8>3-'8

④ (2-'2)-('5-'2)=2-'5<0∴ 2-'2<'5-'2

⑤ (5-'1å0)-(7-'1å0)=-2<0

∴ 5-'1å0<7-'1å0

ㄱ. 4-('3+2)=2-'3>0 ∴ 4>'3+2

ㄴ. '2<'3이므로 2+'2<2+'3

ㄷ. '9<'1å1이므로 3<'1å1

ㄹ. Æ >Æ 이므로 Æ >

ㅁ. 3>'8에서 -3<-'8이므로

'1å0-3<'1å0-'8

따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

a-b=2-(3-'2)=-1+'2>0 ∴ a>b

c-a='1å0-2='1å0-'4>0 ∴ c>a

∴ b<a<c

a-b=3-('5+2)=1-'5<0

∴ a<b y`⁄

2<'7이므로 '5+2<'5+'7

∴ b<c y`¤

따라서 a<b<c이다. y`‹

'6-'5, '6+1에서

-'5<1이므로 '6-'5<'6+1

'6-'5, 2-'5에서

'6>2이므로 '6-'5>2-'5∴ 2-'5<'6-'5<'6+1따라서세점 A, B, C에대응하는수는차례로

2-'5, '6-'5, '6+1이다.

13

12

11

13

12

19

12

10

9해련：1과 '2 사이에는무수히많은무리수가있다.

혜나：수직선은유리수에대응하는점만으로는완전히메울

수없다.

④ '6-0.3=2.449-0.3=2.149

즉, '5=2.236이므로 '6-0.3은 '5보다작은수이다.

2='4이고 3< <4이므로 '3<Æ¬ <2

'3+0.02=1.732+0.02=1.752이므로 '3<'3+0.002<2

= = =1.366이므로

<'3

는 '3과 2의평균이므로 '3< <2

<3이므로 Æ <'3

따라서 '3과 2사이에있는수는 Æ¬ , '3+0.02,

의 3개이다.

① '3+0.5=1.732+0.5=2.232② '5-1=2.236-1=1.236이므로 '5-1<'3④ '3=1.732, '5=2.236이므로 '3과 '5 사이에는 1개

의정수가있다.

⑴ ('5+2)-4='5-2>0

∴ '5+2>4

⑵ '7>'6에서 -'7<-'6이므로

양변에 3을더하면 3-'7<3-'6[다른풀이]

(3-'7)-(3-'6)=-'7+'6<0

∴ 3-'7<3-'6

① '2+2=1.___+2=3.___이므로 3<'2+2

② (5-'3)-3=2-'3>0

∴ 5-'3>3

③ '3<'5이므로 '3+2<'5+2

④ 3>'5이므로 3-'2>'5-'2

⑤ 3+'5=3+2.___=5.___

2+'6=2+2.___=4.___

∴ 3+'5>2+'6

8

7

6

'3+22

185

52

52

'3+22

'3+22

'3+12

2.7322

1.732+12

'3+12

185

1855

4

3

⁄ a, b의대소비교하기

¤ b, c의대소비교하기

‹ a, b, c의대소비교하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

틀리기쉬운유형 P. 18

1 ③ 2 ⑴ '2-3 ⑵ 8-'3 ⑶ '5

3 '7, 과정은풀이참조 4 ⑤ 5 ② 6 ②

7 ①


유형편파워

7


1<'3<2이므로

'3의정수부분 a=1,

소수부분 b='3-1

∴ 2a+b=2+('3-1)=1+'3

⑴ 1<'2<2에서 2<1+'2<3이므로

⑴ 1+'2의정수부분 a=2,

1+'2의소수부분 b=(1+'2)-2='2-1

∴ b-a=('2-1)-2='2-3

⑵ 1<'3<2에서 -2<-'3<-1, 2<4-'3<3이므로

4-'3의정수부분 a=2,

4-'3의소수부분 b=4-'3-2=2-'3

∴ 3a+b=6+(2-'3)=8-'3

⑶ 2<'5<3에서 1<'5-1<2이므로

'5-1의정수부분 a=1,

'5-1의소수부분 b='5-1-1='5-2

∴ 2a+b=2+('5-2)='5

2<'7<3에서

-3<-'7<-2, 2<5-'7<3이므로

5-'7의정수부분 a=2 y`⁄

7<5+'7<8이므로

5+'7의소수부분 b=(5+'7)-7='7-2 y`¤

∴ a+b=2+('7-2)='7 y`‹

3<'n<4에서 '9<'n<'1å6이므로

'n (n은자연수)의꼴로나타낼수있는가장큰수는 '1å5이다.

이때 3<'1å5<4이므로 p=3, q='1å5-3

∴ p-q=3-('1å5-3)=6-'1å5

'ß2x의정수부분이 4이므로 4<'ß2x<5

'1å6<'ß2x<'2å5, 16<2x<25

∴ 8<x< {=12 }

따라서자연수 x는 9, 10, 11, 12의 4개이다.

2<'5<3이므로 '5의소수부분 a='5-2

∴ '5=a+2

-3<-'5<-2에서 2<5-'5<3이므로

5-'5의소수부분은

(5-'5)-2=3-'5=3-(a+2)

=1-a

6

12

252

5

4

3

2

1 '1=1, '4=2, '9=3이므로

f(1)=f(2)=f(3)=1

f(4)=f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=2

f(9)=f(10)=3

∴ f(1)+f(2)+y+f(10)

=1_3+2_5+3_2=19

7

⁄ a의값구하기

¤ b의값구하기

‹ a+b의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

1 ⑤ 2 ⑤ 3 16 4 ② 5 ④

6 a-2b 7 ② 8 -b 9 ③ 10

11 ④ 12 ④ 13 '1å3-2, 과정은풀이참조 14 ④

15 ③ 16 ④ 17 1-'1å0, 5+'2 18 ④ 19 ④

20 ⑤ 21 8+'3, 과정은풀이참조 22 6, 7

23 a=4, b=81, c='7 24 95 cm¤ 25 22

26 풀이참조

19

P. 19~22중단원마무리

"≈4¤ =4의양의제곱근 a=2

"√(-9)¤ =9의음의제곱근 b=-3

∴ a-b=2-(-3)=5

① -1은음수이므로제곱근이없다.

② 제곱근 4는 '4=2이다.

③ '2å5=5의제곱근은 —'5이고제곱근 5는 '5이다.

④ (-3)¤ =9의제곱근은 —3이다.

⑤ "√(-7)¤ =7의제곱근은 —'7이다.

1.H6= = = , 0.H3= = 이므로

æ≠1.H6_ =0.H3에서 æ≠ _ = , _ =

∴ = _ =

따라서 m=15, n=1이므로

m+n=15+1=16

(주어진식)=-15÷3+ _8

=-5+2=-3

①, ② a<0이므로 "≈a¤ =-a, -"≈a¤ =-(-a)=a

③, ⑤ -a>0이므로

"√(-a)¤ =-a, -"√(-a)¤ =-(-a)=a

5

144

115

35

19

nm

19

nm

53

13

nm

53

nm

13

39

53

159

16-193

2

1


8



이때 a-b>0에서 a>b이므로 a>0, b<0

따라서 -2a<0, b-a<0, 3b<0이므로

(주어진식)="√(-2a)¤ -"√(b-a)¤ +"√(3b)¤

=-(-2a)-{-(b-a)}-3b

=2a+b-a-3b

=a-2b

ㄱ. x<-1이면 x+1<0, x-1<0이므로

A=-(x+1)-{-(x-1)}=-x-1+x-1=-2

ㄴ. -1<x<1이면 x+1>0, x-1<0이므로

A=x+1-{-(x-1)}=x+1+x-1=2x

ㄷ. x>1이면 x+1>0, x-1>0이므로

A=x+1-(x-1)

=x+1-x+1=2

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.

a<0<b에서 a-b<0이므로

"√(a-b)¤ =-(a-b)=-a+b

0<b<1에서 b- <0이므로

æ≠{b- }2=-{b- }=-b+

b>0에서 b+ >0이므로

æ≠{b+ }2=b+

a<0에서 -a>0이므로

"√(-a)¤ =-a

∴(주어진식)=-a+b+{-b+ }-{b+ }-(-a)

=-a+b-b+ -b- +a=-b

Æ… =æ≠ 이자연수가되도록하는자연수 n의

값은 n=7, 7_2¤ , 7_3¤ , 7_2¤ _3¤

따라서구하는가장작은자연수 n의값은 7이다.

'ƒ180ab="√2¤ _3¤ _5_ab이므로 ab=5_(자연수)¤의꼴이

어야하고, a, b는주사위의눈의수이므로 1…ab…36

∴ ab=5, 5_2¤

⁄ ab=5일때, a, b의순서쌍 (a, b)는 (1, 5), (5, 1)

의 2가지

¤ ab=5_2¤ 일때, a, b의순서쌍 (a, b)는 (4, 5),

(5, 4)의 2가지

10

2¤ _3¤ _7n

252n9

1b

1b

1b

1b

1b

1b

1b

1b

1b

1b

1b

8

7

6 따라서 ⁄, ¤에의해 'ƒ180ab가자연수가되는경우의수

는 2+2=4(가지)이고, 주사위를던질때일어나는모든경

우의수는 36가지이므로구하는확률은 = 이다.

'∂225-a-'∂81+b를계산한결과가가장큰정수가되려면

'∂225-a는가장큰정수, '∂81+b는가장작은정수이어야

한다.

'∂225-a가가장큰정수가될때,

225-a=196 ∴ a=29

'∂81+b가가장작은정수가될때,

81+b=100 ∴ b=19

∴ a+b=29+19=48

[주의] a, b가 자연수이므로 225-a=225, 81+b=81로

식을세우지않고 225-a=196, 81+b=100으로식을세

운다.

0<a<1이므로 a¤ <a<'a< <

[다른풀이]

a= 이라하면

a= , a¤ ={ } 2= , 'a=Æ = , =4,

=2이므로가장큰것은 ④ 이다.

'1å3>'9에서 '1å3>3이므로 '1å3-3>0

∴ "(√'1å3-3)¤ ='1å3-3 y`⁄

'1å3<'1å6에서 '1å3<4이므로 '1å3-4<0

∴ "(√'1å3-4)¤ =-('1å3-4)=-'1å3+4 y`¤

'2å5>'1å3에서 5>'1å3이므로 5-'1å3>0

∴ "(√5-'1å3)¤ =5-'1å3 y`‹

∴(주어진식)=('1å3-3)-(-'1å3+4)+(5-'1å3)='1å3-3+'1å3-4+5-'1å3='1å3-2 y`›

'7< <'1å5에서 '7<æ– <'1å5이므로

7< <15 ∴ 63<x¤ <135

따라서구하는자연수 x는 8, 9, 10, 11의 4개이다.

x¤9

x¤9

x314

13

1a

1'a

1a

12

14

116

14

14

14

1a

1'a12

11

19

436

⁄ "(√'1å3-3)¤ 을간단히하기

¤ "(√'1å3-4)¤ 을간단히하기

‹ "(√5-'1å3)¤을간단히하기

› 주어진식간단히하기

채점기준

25%

25%

25%

25%

배점


유형편파워

9


'0ß.å1, p, - ：무리수

'1(=1), '1ß4å4(=12), "2≈⁄ ‚ (="(ç2fi ≈)¤ =2fi )：유리수

안의수에해당하는것은무리수이다.

① 0.1, '4(=2)는유리수이다.

② -'1å6(=-4)은유리수이다.

③ øπ0. H4{=Æ = }, "√(-5)¤ (=5)은유리수이다.

⑤ Æ… {= }은유리수이다.

□ABCD=4_4-4_{ _3_1}=16-6=10이므로

AP”=AD”='1å0따라서점 P에대응하는수는 1-'1å0이다.

□BEFG=2_2-4_{ _1_1}=4-2=2이므로

EQ”=EF”='2따라서점 Q에대응하는수는 5+'2이다.

1<'3<2에서 -2<-'3<-1이므로

3<5-'3<4

따라서 5-'3에대응하는점이있는곳은④이다.

② '2=1.414___이므로 '2+1=2.414___

'3=1.732___이므로 '3-1=0.732___

∴ '2+1>'3-1

④ 4>'1å5이므로 '3+4>'3+'1å5

'1å1=3.___-1+'3=-1+1.732___=0.732___1-'2=1-1.414___=-0.414___-'1å0=-3.___-'2-1=-1.414___-1=-2.414___∴ -'1å0<-'2-1<1-'2<-1+'3<'1å1따라서 작은 수부터 차례로 나열하였을 때, 두 번째인 수는

-'2-1이다.

1<'3<2에서 3<2+'3<4이므로

2+'3의정수부분 a=3, y`⁄

소수부분 b=2+'3-3='3-1 y`¤

∴ 3a+b=3_3+('3-1)=8+'3 y`‹

21

20

19

18

12

1217

16

136

23

49

16

'3415

4…'a<5이므로 '1å6…'a<'2å5 ∴ 16…a<25

5…'b<6이므로 '2å5…'b<'3å6 ∴ 25…b<36

∴ 16+25≤a+b<25+36, 즉 41…a+b<61

따라서 '4å1…'ƒa+b<'6å1에서

'4å1=6.___, '6å1=7.___이므로

'ƒa+b의정수부분이될수있는수는 6, 7이다.

정육면체를만들었을때,

a가적힌면과마주보는면에적힌수는 16이고,

0…a…10이므로

a='1å6=4

b가적힌면과마주보는면에적힌수는 3¤ =9이고,

10…b…100이므로

b=9¤ =81

c가적힌면과마주보는면에적힌수는 '4å9=7이고,

0…c…10이므로

c='7

A 부분의한변의길이는 '∂48n cm,

B 부분의한변의길이는 'ƒ37-n cm이다.

'∂48n="√2› _3_n이 자연수가 되려면 n=3_(자연수)¤의꼴이어야한다.

즉, n=3, 12, 27, 48, y y`㉠

또 '3ƒ7-n이자연수가되려면 37-n은제곱수이어야하므로

37-n=1, 4, 9, 16, 25, 36에서

n=1, 12, 21, 28, 33, 36 y`㉡

㉠, ㉡에서자연수 n의값은 12이다.

즉, A 부분의한변의길이는

'ƒ48n='ƒ48_12='∂576=24(cm),B 부분의한변의길이는

'ƒ37-n='ƒ37-12='2å5=5(cm)따라서 C 부분의넓이는

5_(24-5)=5_19=95(cm¤ )

부등식 n…'x<n+1을만족하는자연수 x의개수는

n=2일때 5개, n=3일때 7개,

n=4일때 9개, n=5일때 11개, y

따라서부등식 n…'x<n+1을만족하는자연수 x의개수

는 (2n+1)개이므로

2n+1=45, 2n=44 ∴ n=22

'1å7="√3¤ +4_2에서한변의길이가 3인정사각형 1개와

넓이가 2인직각삼각형 4개를이어붙이면한변의길이가

'1å7인정사각형을만들수있다.

26

25

24

23

22


¤ b의값구하기

‹ 3a+b의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점


10


따라서 한 변의 길이가 '1å7인 정사각

형을 모눈종이 위에 그리면 오른쪽 그

림과같다.

유형 1~2 P. 23

1 ⑤ 2 ④ 3 -12'1å4 4 ④ 5 ⑤

6 16

⑤ 5'3_2'7=10'2å1

'7_(-'1å0)_{-Æ }=Æ7…_10_ ='1å4

3'2_4'5_{-Æ }=-12Æ2…_5_ =-12'1å4

④ (-'4å5)÷'5=- =-Æ¬ =-'9=-3

÷ = _ =Æ… _ ='1å0

∴ a=10

=Æ¬ ='1å4 ∴ a=14

÷ = _ =Æ… _ ='2

∴ b=2

∴ a+b=14+2=16

87

3520

'8'7

'3å5'2å0

'7'8

'3å5'2å0

705

'7å0'56

106

183

'1å0'6

'1å8'3

'6'1å0

'1å8'35

455

'4å5'54

75

753

15

152

1

2 근호를포함한식의계산

유형 3~6 P. 24~25

1 ⑤ 2 7 3 ④ 4 ⑤ 5 ㄱ, ㄴ, ㄹ

6 ② 7 '0ƒ.12, æ– , æ– 8 2

9 ⑴ a¤ b ⑵ ab¤ 10 ④ 11 ③ 12 ④ 13 ②

14 ② 15 ③ 16 2

381

349

⑤ -3'2=-"√3¤ _2=-'ß9_2=-'1å8

'2å8å8="1√2¤ _Ω2=12'2 ∴ a=12

'7å5="√5¤ _Ω3=5'3 ∴ b=5

∴ a-b=12-5=7

2'5='2å0이므로 'ƒ17+a='2å0

따라서 17+a=20이므로 a=3

'1å2_'1å5_'4å9='ƒ12_15_49

="√2¤ _3_3_5_7_7

="√2¤ _3¤ _7¤ _5=42'5

∴ a=42

ㄷ. Æ¬ =Æ¬ =

ㄹ. 'ƒ0.02=Æ¬ =

'0∂.24=Æ… =æ≠ = =

∴ a=

Æ¬ = , Æ¬ = ,

'ƒ0.12=Æ… = = 이므로

'∂0.12>Æ¬ >Æ¬

= =Æ¬ =Æ ∴ a=

= =Æ¬ =Æ¬ ∴ b=

∴ 6a+10b=6_ +10_ =1+1=2

⑴ '1å2="2¤ç ç_Ω3="2¤Ω_'3=('2)¤ _'3=a¤ b

⑵ '2ß4å5="5ç_7¤ ='5_"≈7¤ ='5_('7)¤ =ab¤

'8å0="√4¤ _5=4'5=4y

'∂0.6=Æ… =Æ = =

∴ '8å0-'∂0.6=4y-

'ƒ0.00082=Æ¬ = = a100

'8å.å2100

8.21000011

xy

xy

'3'5

35

610

10

9

110

16

110

110

220

'2'2å0

'22'5

16

16

318

'3'1å8

'33'28

381

349

'35

2'310

12100

'39

381

'37

3497

15

'65

2'610

2¤ _610¤

241006

'210

2100

'1å43

149

28185

4

3

2

1


유형편파워

11


'7='ß2+5="√('2)¤ +('5)¤ ="√a¤ +≈b Ω¤

= =

① = =

③ = =

④ = = =

⑤ =Æ… =Æ = = =

③ Æ = = =

= = ∴ a=

= = = = ∴ b=3

∴ ab= _3=223

'35

3'315

3_'35'3_'3

35'3

3'7å5

23

2'1å53

2'5_'3'3_'3

2'5'316

'a åbb

'a_'b'b_'b

'a'b

ab15

'1å05

'2_'5'5_'5

'2'5

25

615

'6'3'5

2'25

4'210

4_'25'2_'2

45'2

'1å510

'3_'52'5_'5

'32'5

3'77

3_'7'7_'7

3'714

'62

'3_'2'2_'2

'3'213

12


1 15배 2 5'3 3 ② 4 5 ③ 6

7 ④, ⑤ 8 9 ④ 10 ① 11 ② 12 ②

13 ③ 14 16'3p cm 15 150'1å0p cm‹

125

23

23

3x=3'5, = = 이므로

3x는 의 3'5÷ =3'5_ =15(배)이다.

4'3：'3∂600=1：x에서

4'3x='3∂600, 4'3x=60이므로

x= = = =5'3

'0ƒ.125=æ≠ =æ = = = = a4

'24

12'2

1'8

18

12510003

15'33

15'3

604'3

2

5'5

'55

1x

'55

1'5

1x1

, = , = , = = ,

'3= = 이므로

< < < <'3

(주어진식)= _ _ = ='6

_æ≠ ÷ = _ _

= = =

∴ a=

① _ = = =

② 4'1å2÷(-2'3)=8'3_{- }=-4

③ 5'2_'2å7÷'3=5'2_3'3_ =15'2

④ 3'1å2÷'6_'2=6'3_ _'2=6

⑤ 3'2÷ _'4å0=3'2_ _2'1 å0=24'2

(주어진식)=5_ _ _ =

정사각형의한변의길이를 x cm라하면

x¤ =6'2_3'2=36

이때 x>0이므로 x=6

따라서구하는정사각형의한변의길이는 6 cm이다.

주어진두정사각형의넓이의합과넓이가같은정사각형의

한변의길이를 xcm라하면

x¤ =4¤ +8¤ =80

이때 x>0이므로 x='8å0=4'5따라서구하는정사각형의한변의길이는 4'5 cm이다.

직육면체의높이를 hcm라하면

(직육면체의부피)=4'3_'5_h=14'3å0에서

4'1å5h=14'3å0

∴ h= =

따라서구하는직육면체의높이는 cm이다.7'22

7'22

14'3å04'1å5

11

10

9

125

3'2'1å5

'1å15'5

4'3'2å28

2'2'5

'5'8

1'6

1'3

12'3

10'67

20'614

20'37'2

4'37

5'27

23

2'1å03

4'1å06

4'53'2

2'6

'1å52'2

4'23

'62

158

4'236

6'6

2'2'1å5

'5'6

3'3'25

2'3

'2'3

23

'23

'2å73

3'33

'1å23

2'33

2'3

'43

23

'63

'2'3

'234


12


(삼각형의넓이)= _4'5_5'2=10'1å0

직사각형의가로의길이를 x라하면

(직사각형의넓이)=x_'2å0='2å0x

따라서 10'1å0='2å0x이므로

x= = = =5'2

정사각형의한변의길이를 xcm라하면

x¤ =96

이때 x>0이므로 x='9å6=4'6(cm)

원의반지름의길이를 rcm라하면

pr¤ =6p, r¤ =6

이때 r>0이므로 r='6(cm)

따라서정사각형의한변의길이는원의반지름의길이의

4'6÷'6=4(배)이다.

주어진두원의넓이의합과넓이가같은원의반지름의길이

를 r cm라하면

pr¤ =p_(4'5)¤ +p_(4'7)¤ =192p, r¤ =192

이때 r>0이므로 r='∂192=8'3(cm)

따라서구하는원의둘레의길이는

2p_8'3=16'3p(cm)

밑면인원의반지름의길이를 r cm라하면

2pr=10'2p

∴ r= =5'2(cm)

따라서구하는원기둥의부피는

p_(5'2)¤ _3'1å0=150'1å0p(cm‹ )

10'2p2p

15

14

13

10'22

10'2

10'1å0'2å0

1212

유형 9~12 P. 28~29

1 4.351 2 22 3 ⑴ 23.71 ⑵ 0.06557 4 ④

5 ㄴ, ㄹ 6 ⑴ 79.38 ⑵ 115.42 7 ⑤ 8 ②

9 ③ 10 ⑤ 11 ⑤ 12 + 13 46'65

'26

a=2.156, b=2.195이므로

a+b=2.156+2.195=4.351

x=73.4, y=71.2이므로

10(x-y)=10(73.4-71.2)=10_2.2=222

1

⑴ '5å6å2='5ƒ.62ƒ_10å0=10'5∂.6å2=10_2.371=23.71

⑵ 'ƒ0.0043=Æ¬ = = =0.06557

① 'ƒ20000='ƒ2_10000=100'2=100_1.414=141.4

② 'ƒ2000='ƒ20_100=10'2å0=10_4.472=44.72

③ 'ß0.2=æ≠ = = =0.4472

④ 'ƒ0.002=æ≠ = = =0.04472

⑤ 'ƒƒ0.0002=æ≠ = = =0.01414

ㄱ. '∂0.034=æ≠ = = =0.1844

ㄴ. '∂0.34=æ≠ =

ㄷ. '∂340='ƒ3.4_100=10'∂3.4=10_1.844=18.44

ㄹ. '∂3400='ƒ34_100=10'3å4

따라서그값을구할수없는것은ㄴ, ㄹ이다.

⑴ '6∂300="7√_3¤ √_100

=30'7=30_2.646=79.38

⑵ 'ƒ13320="√2¤ _33.3_100

=20'3∂3.3=20_5.771=115.42

① '2å4=2'6=2_2.449=4.898

② '5å4=3'6=3_2.449=7.347

③ 'ƒ2400=20'6=20_2.449=48.98

④ = = = =1.2245

⑤ ='6=2.449

'ß0.6=Æ¬ = = = =0.7746

① '0ß.19=Æ¬ =

② '0ß.76=Æ¬ =æ≠ = =

③ 'ƒ0.00019=Æ¬ = 이므로 '1å9의 값을 이용

하여그값을구할수없다.

④ '7ß600="√2¤ _19_100=20'1å9

⑤ 'ƒ190000="√19_10000=100'1å9

'ß1.9100

1.910000

'1åå95

2'1åå910

2¤ _19100

76100

'1å910

191009

3.8735

'1å55

'3'5

6108

6'6

2.4492

'62

3'66

3'6

7

6

'3å410

34100

1.84410

'3å.410

3.41005

1.414100

'2100

210000

4.472100

'2å0100

2010000

4.47210

'2å010

20100

4

6.557100

'4å3100

4310000

3


f(1)='2-'1, f(2)='3-'2,

f(3)='4-'3, f(4)='5-'4,

f(5)='6-'5

∴ (주어진식)=('2-'1)+('3-'2)+('4-'3)

+('5-'4)+('6-'5)

='6-1

다음과같이성립하지않는예가있다.

② '2+(-'2)=0：유리수

③ '2_'2=2：유리수

④ '2÷'2=1：유리수

⑤ 0_'2=0：유리수

⑴ (주어진식)=2'5-6'5+5'3

=-4'5+5'3

⑵ (주어진식)=3'3-2'5-4'3+2'5

=-'3

⑴ (좌변)=4'5-6'5+a'5

=(4-6+a)'5

=(-2+a)'5

⑴ 따라서 -2+a=3이므로 a=5

⑵ (좌변)=3'5+4'5-a'5

=(3+4-a)'5

=(7-a)'5

⑴ 따라서 7-a=0이므로 a=7

7'5+'7å2-'4å5-'3å2=7'5+6'2-3'5-4'2

=(6-4)'2+(7-3)'5

=2'2+4'5 y`⁄

따라서 a=2, b=4이므로 y`¤

3a-b=3_2-4=2 y`‹

⑴ (주어진식)=2'5- =

⑵ (주어진식)= - ='2-'2=0

⑶ (주어진식)=5'2-3+5'2=10'2-3

⑷ (주어진식)=4'3-6'2-3'3+3'2

='3-3'2

42'2

2'2

8'55

2'558

7

6

5

4

3

유형편파워

13



1 '1å5 2 5-'2 3 '6-1 4 ①

5 ⑴ -4'5+5'3 ⑵ -'3 6 ⑴ 5 ⑵ 7

7 2, 과정은풀이참조

8 ⑴ ⑵ 0 ⑶ 10'2-3 ⑷ '3-3'2

9 ⑴ 4 ⑵ - 10 ② 11 ⑤

12 ⑴ 8+'6 ⑵ 2 ⑶ 6-2'2 ⑷ -9

13 ⑴ '3 ⑵ 3'2+3'3 14 ⑤ 15 -8

114

8'55

x+y= + ='5

x-y= - ='3

∴ (x+y)(x-y)='5_'3='1å5

x='2를주어진식에대입하면

x¤ +3x-4'2+3

=('2)¤ +3_'2-4'2+3

=2+3'2-4'2+3

=5-'2

2

'5-'32

'5+'32

'5-'32

'5+'321

⁄ 주어진식간단히하기

¤ a, b의값구하기

‹ 3a-b의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

① '5+'2+'7

② 5'3-2'3=(5-2)'3=3'3+3

③ 4'3+2'2+6'5

④ '1å0-1+3

⑤ 3'6-5'6=(3-5)'6=-2'6

A=(5+2-1)'3=6'3

B=(2-4+5)'7=3'7

∴ AB=6'3_3'7=18'2å1

(주어진식)={ - }'2+{ +1}'6

= +

8'a-9=3'a+1에서

5'a=10, 'a=2

∴ a=2¤ =4

13

6'65

'26

15

43

3212

11

10


14


(주어진식)=1+ -1+

= + =

(주어진식)=4'6-4'2-2'6-

=4'6-4'2-2'6-'2

=2'6-5'2

'5 {2'1å5-"(√-3)¤ }+{ - }÷3

='5(2'1å5-3)+{2'3- }_

=10'3-3'5+ -

= -

(좌변)= =

=4'3+3'2

따라서 a=4, b=3이므로

a-b=4-3=1

x= =

= ='6-1 y`⁄

y= =

= ='6+1 y`¤

∴ x+y=('6-1)+('6+1)

=2'6 y`‹

(주어진식)= +

= +

=6-2'6+2-'6=8-3'6

(주어진식)=(3a-4)+(4+2a)'2

이식이유리수가되려면

4+2a=0, 2a=-4

∴ a=-2

7

4-2'62

18-6'63

(2'2-2'3)'22

6('3-'2)'336

3'6+33

(3'2+'3)'33

3'2+'3'3

2'6-22

(2'3-'2)'22

2'3-'2'25

12'3+9'23

(12+3'6)'334

7'52

32'33

'52

2'33

13

3'52

3'52

6'33

2'22

4'1å55

3'1å55

'1å55

3'1å55

'3'51

유형 16~19 P. 32~33

1 ② 2 2'6-5'2 3 -

4 ④ 5 2'6, 과정은풀이참조 6 ②

7 ② 8 3, 과정은풀이참조 9 -

10 cm¤ 11 ④ 12 9'2 cm5'62

23

7'52

32'33

⁄ x의분모를유리화하기

¤ y의분모를유리화하기

‹ x+y의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

⑴ (좌변)=5'3+'3-2'3=4'3

∴ a=4

⑵ (좌변)= -4'2+

= -4'2+'2=- '2

⑴ ∴ b=-

(좌변)=6'2-4'3-3'2+3'3=3'2-'3

따라서 a=3, b=-1이므로 ab=3_(-1)=-3

+ = + = +

={ + }'2å1=

[다른풀이]

+ = = = =

⑴ (주어진식)='2(2'2+2'2+'3)

='2(4'2+'3)=8+'6

⑵ (주어진식)=2'2-2'2+2=2

⑶ (주어진식)=(6'3+3'6)÷'3-5'2

=6+3'2-5'2=6-2'2

⑷ (주어진식)=6+8-'3 {8'3- }

=6+8-24+1=-9

⑴ (주어진식)='2-'3-'2+2'3='3

⑵ (주어진식)= +6'3-3'3- =3'2+3'3

(좌변)=4'2-4'6-'2-2'6=3'2-6'6

따라서 A=3, B=-6이므로 A-B=3-(-6)=9

'3a-'5b='3('5-'3)-'5('5+'3)='1å5-3-5-'1å5=-8

15

14

3'22

9'22

13

1'3

12

10'2å121

10'2å1

('3)¤ +('7)¤'3'7

a¤ +b¤ab

ab

ba

10'2å121

321

721

'2å17

'2å13

'3'7

'7'3

ab

ba11

10

114

114

'24

63'2

12'2

9


유형편파워

15


(주어진식)=a'2+8-3-3'2=5+(a-3)'2 y`⁄


a-3=0 y`¤

∴ a=3 y`‹

(주어진식)='2+'3å6-'4a+

='2+6-2a+

=(6-2a)+{1+ }'2


1+ =0, =-1

∴ a=-

(넓이)= _{'8+('8+'2)}_'3

= _(2'2+2'2+'2)_'3

= _5'2_'3= (cm¤ )

(모든모서리의길이의합)=4('7å5+'1å2+'2å7)=4(5'3+2'3+3'3)=4_10'3=40'3 (cm)

(정사각형㈎`의한변의길이)='8=2'2 (cm)(정사각형㈏`의한변의길이)='1å8=3'2 (cm)(정사각형㈐`의한변의길이)='3å2=4'2 (cm)∴ AB”=2'2+3'2+4'2=9'2 (cm)

12

11

5'62

12

12

1210

23

3a2

3a2

3a2

3'2a2

3a'29

8


¤ 주어진식이유리수가되도록하는 a의조건구하기

‹ 유리수 a의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

유형 20~23 P. 34~35

1 1-2'2 2 ④ 3 2'5 4 ④ 5 ③

6 5-'5, 3'3-'5, '2å7-2, 과정은풀이참조

7 ⑴ 5+4'2 ⑵ 6 ⑶ 8'6 8 2+6'5 9 ③

10 1 11 ② 12 3, 과정은풀이참조 13 -4

BP”=BD”='2이므로 a=3-'2

AQ”=AC”='2이므로 b=2+'2

∴ a-b=(3-'2)-(2+'2)

=1-2'2

1

PA”=PQ”='2, RB”=RS”='2이므로

a=-2-'2, b=1+'2

∴ 2a-b=2(-2-'2)-(1+'2)

=-4-2'2-1-'2

=-5-3'2

□ABCD=3_3-4_{ _2_1}=5이므로 정사각형

ABCD의한변의길이는 '5이다.

따라서점 P의좌표는 P(1-'5), 점 Q의좌표는 Q(1+'5)

이므로

PQ”=(1+'5)-(1-'5)=2'5

① ('3+1)-('2+1)='3+1-'2-1

='3-'2>0

① ∴ '3+1>'2+1

② 4'2-(1+2'2)=4'2-1-2'2

=2'2-1='8-1>0

① ∴ 4'2>1+2'2

③ 3'2-(5-'2)=3'2-5+'2

=4'2-5='3å2-'2å5>0

① ∴ 3'2>5-'2

④ (2'3-1)-(3'2-1)=2'3-1-3'2+1

=2'3-3'2

='1å2-'1å8<0

④ ∴ 2'3-1<3'2-1

⑤ (4'6-3'5)-('5+2'6)=4'6-3'5-'5-2'6

=2'6-4'5

='2å4-'8å0<0

④ ∴ 4'6-3'5<'5+2'6

a-b=(3'2-2)-1=3'2-3

='1å8-'9>0

∴ a>b

a-c=(3'2-2)-(2'5-2)

=3'2-2'5='1å8-'2å0<0

∴ a<c

∴ b<a<c

(3'3-'5)-(5-'5)=3'3-5

='2å7-'2å5>0

∴ 3'3-'5>5-'5 y`⁄

(3'3-'5)-('2å7-2)=3'3-'5-3'3+2

=-'5+2

=-'5+'4<0

∴ 3'3-'5<'2å7-2 y`¤

6

5

4

123

2


16


따라서 5-'5<3'3-'5<'2å7-2이므로작은것부터차

례로나열하면 5-'5, 3'3-'5, '2å7-2이다. y`‹

⑴ (주어진식)=('2)¤ +(1+3)'2+3

=2+4'2+3=5+4'2

⑵ (주어진식)=(3'2)¤ -(2'3)¤ =18-12=6

⑶ (주어진식)=(2'3)¤ +2_2'3_'2+('2)¤

-{(2'3)¤ -2_2'3_'2+('2)¤ }=(14+4'6)-(14-4'6)=8'6

x+y=('5+3)+('5-3)=2'5

x-y=('5+3)-('5-3)=6

∴(주어진식)=(2'5-3)(2'5+6)

=20+(12-6)'5-18

=2+6'5

(좌변)=3a-(2a+9)'3+18

=(3a+18)-(2a+9)'3

에서 3a+18=15, 2a+9=b이므로

a=-1, b=7

∴ a+b=-1+7=6

('3-2)› ('3+2)› ={('3-2)('3+2)} ›={('3)¤ -2¤ } ›=(3-4)› =(-1)› =1

(주어진식)=2a+(-6+2a)'3-18

=(2a-18)+(-6+2a)'3


-6+2a=0, 2a=6 ∴ a=3

(주어진식)=2a+(3-a)'2-3

=(2a-3)+(3-a)'2 y`⁄


3-a=0 y`¤

∴ a=3 y`‹

12

11

10

9

8

7

유형 24 ~ 까다로운유형 P. 36~37

1 ⑤ 2 ⑴ '1å0-2'2 ⑵ 3'5+2'1å0 3 ④

4 -2-5'3 5 8 6 3'2+3 7 10

8 ④ 9 + 10 ④ 11 ③ 12 16

13 2'3 14 15 ③ 16 '2-1143

2'53

4'23

① = =

② = =

③ =

=2+'3

④ =

=

⑤ =

='5+2

⑴ = ='1å0-2'2

⑵ = =3'5+2'1å0

x=8+3'7이므로

y= = = =8-3'7

∴ x+y=(8+3'7)+(8-3'7)=16

(주어진식)= -

=(4-2'3)-(6+3'3)

=-2-5'3

3(2+'3)(2-'3)(2+'3)

2(2-'3)(2+'3)(2-'3)4

8-3'7(8+3'7)(8-3'7)

18+3'7

1x

3

'5(3+2'2)(3-2'2)(3+2'2)

'53-2'2

'2('5-2)('5+2)('5-2)

'2'5+22

'5+2('5-2)('5+2)

1'5-2

'7-'52

'7-'5('7+'5)('7-'5)

1'7+'5

2+'3(2-'3)(2+'3)

12-'3

'23

2_'23'2_'2

23'2

3'22

3_'2'2_'2

3'21


¤ 주어진식이유리수가되도록하는 a의조건구하기

‹ a의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

⁄ 3'3-'5와 5-'5의대소비교하기

¤ 3'3-'5와 '2å7-2의대소비교하기

‹ 주어진수를작은것부터차례로나열하기

채점기준

35%

35%

30%

배점

(3-2'2)¤ +a(2-3'2)

=9-12'2+8+2a-3a'2

=(17+2a)+(-12-3a)'2


-12-3a=0, 3a=-12

∴ a=-4

13


유형편파워

17


(주어진식)

= +

= +

=(4-'1å5)+(4+'1å5)=8

=

= =

=

=3'2+3

=

= =-5-2'6

따라서 a=-5, b=-2이므로

ab=-5_(-2)=10

(주어진식)

= + +y+

= +

+y+

=('2-'1)+('3-'2)+y+('2å5-'2å4)

='2å5-'1=5-1=4

-x= -

= -

= +'2+'5

= +

x=2+'3에서 x-2='3이므로

이식의양변을제곱하면

(x-2)¤ =('3)¤ , x¤ -4x+4=3

∴ x¤ -4x+11=(x¤ -4x+4)+7=3+7=10

[다른풀이]

x=2+'3이므로

x¤ -4x+11=(2+'3)¤ -4(2+'3)+11

=4+4'3+3-8-4'3+11=10

10

2'53

4'23

'2-'53

3('2+'5)('2-'5)('2+'5)

'2-'53

3'2-'5

'2-'53

1x9

'2å4-'2å5('2å4+'2å5)('2å4-'2å5)

'2-'3('2+'3)('2-'3)

'1-'2('1+'2)('1-'2)

1'2å4+'2å5

1'2+'3

1'1+'2

8

30+12'6-6

(2'3+3'2)¤(2'3-3'2)(2'3+3'2)

2'3+3'22'3-3'27

3('2+1)('2-1)('2+1)

3'2-1

62'2-2

64'2-2-2'2

62'8-'4-2'26

8+2'1å52

8-2'1å52

('5+'3)¤('5-'3)('5+'3)

('5-'3)¤('5+'3)('5-'3)

5 x= =-3+'1å0

y= =-3-'1å0

∴ x+y=(-3+'1å0)+(-3-'1å0)=-6

x+y=('5+1)+('5-1)=2'5

xy=('5+1)('5-1)=4

∴ x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy=(2'5)¤ -4

=20-4=16

1<'3<2에서 -2<-'3<-1이므로 3<5-'3<4

따라서정수부분 a=3,소수부분 b=(5-'3)-3=2-'3

∴ -a= -3= -3

=2'3+3-3=2'3

+ = =

= = =

x¤ + ={x+ }2 -2=(2'7)¤ -2=26

= =

이때 (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=4¤ -4_2=8이고

x>y에서 x-y>0이므로 x-y='8=2'2

∴(주어진식)= =

= ='2-12-'2'2

4-2'22'2

x+y-2'xåyx-y

x+y-2'xåyx-y

('x-'y)¤('x+'y)('x-'y)

'x-'y'x+'y16

1x

1x¤15

143

8+63

(2'2)¤ +2_33

(x-y)¤ +2xyxy

x¤ +y¤xy

xy

yx14

'3(2+'3)(2-'3)(2+'3)

'32-'3

'3b

13

12

3+'1å0(3-'1å0)(3+'1 å0)

3-'1å0(3+'1å0)(3-'1å0)11

1 ④ 2 ② 3 ③ 4 ⑤ 5 ④ 6 ④

7 ④ 8 ③ 9 ④ 10 -'2 11 ①

12 '2-1, 과정은풀이참조 13 ③ 14 6-'6

15 ③ 16 ④ 17 ② 18 6 19 11 20 ②

21 '2+1, 과정은풀이참조 22 ① 23 ③

24 ㄴ, ㄹ 25 m¤ 26

27 그림은풀이참조, {'5+ }p'1å02

'6-22

7'212



18


제곱하여 2가되는양수는 2의양의제곱근이므로

a='2

제곱하여 8이되는음수는 8의음의제곱근이므로

b=-'8

∴ a+b='2+(-'8)='2-2'2=-'2

(주어진식)=8'3-2'6-2'3+ =6'3-'6

5<'3å2<6이므로 f(32)='3å2-5=4'2-5 y`⁄

4<'1å8<5이므로 f(18)='1å8-4=3'2-4 y`¤

∴ f(32)-f(18)=(4'2-5)-(3'2-4)

=4'2-5-3'2+4='2-1 y`‹

(좌변)= -3'2+2'6= -3'2+2'6

='2- -3'2+2'6=-2'2+

따라서 a=-2, b= 이므로 a+2b=-2+2_ =1

'6\('3|'2)='6\('6-2)='6 {('6-2)+1}='6('6-1)=6-'6

(주어진식)=a'6+2+ -'8å1=a'6+2+'6-9

=-7+(a+1)'6


a+1=0 ∴ a=-1

BD”=BP”='2, AC”=AQ”='2 (③)이므로

① 점 P에대응하는수는 4-'2 ∴ P(4-'2)② 점 Q에대응하는수는 3+'2 ∴ Q(3+'2)④ PA”=PB”-AB”='2-1⑤ PQ”=(3+'2)-(4-'2)=2'2-1

(주어진식)=(3-2'3+1)+(5-4)=5-2'3

(주어진식)=4a+(2a-12)'5-30

=(4a-30)+(2a-12)'5


2a-12=0, 2a=12 ∴ a=6

18

17

16

2'3'215

14

32

32

3'62

'62

2'2-'62

2-'3'213

12

3'6311

10

⁄ f(32)의값구하기

¤ f(18)의값구하기

‹ f(32)-f(18)의값구하기

채점기준

30%

30%

40%

배점

④ '5÷Æ ='5÷ ='5_'2='1å0

(좌변)="√2_5_a_5a_50

="√2500a¤ ="√(50a)¤

이때 a>0에서 50a>0이므로 "√(50a)¤ =50a

따라서 50a=250이므로 a=5

4'3="√4¤ _3='4å8 ∴ a=48

'5å2="√2¤ _13=2'1å3 ∴ b=2, c=13

∴ a+b+c=48+2+13=63

'8å4="√2¤ _3_7=2'3'7=2ab

= = ∴ a=

= ∴ b=

∴ a-b= - = =

(주어진식)=8'3_{- }_

=8'3_{- }_

=- =-3'2

작은정사각형의한변의길이를 xcm라하면

큰정사각형의한변의길이는 xcm이므로

x¤ +{ x} 2=75, x¤ =75

x¤ =75_ =27

이때 x>0이므로 x='2å7=3'3따라서작은정사각형의한변의길이는 3'3cm이다.

① 'ƒ0.3=æ≠ = = =0.5477

② 'ƒ0.003=æ≠ = = =0.05477

③ 'ƒ0.0003=æ≠ = 이므로그값을구할수없다.

④ 'ƒ3000='ƒ30_100=10'3å0=10_5.477=54.77⑤ 'ƒƒ300000='ƒ30_10000=100'3å0

=100_5.477=547.7

= = =1.5813.1622

'1å02

'5'29

'3100

310000

5.477100

'3å0100

3010000

5.47710

'3å010

301008

925

259

43

43

7

6'2

14'3

3'2

12'1å2

3'26

23

46

16

56

16

'36

12'3

56

5'26

53'2

5'1å85

4

3

2

1'2

121


유형편파워

19


(좌변)= +

=2(2+'3)+5(2-'3)

=4+2'3+10-5'3=14-3'3

따라서 a=14, b=-3이므로 a+b=14+(-3)=11

x='2-3에서 x+3='2이므로

이식의양변을제곱하면

(x+3)¤ =('2)¤ , x¤ +6x+9=2

∴ x¤ +6x-2=(x¤ +6x+9)-11=2-11=-9

=

=

= =x+"√x¤ -1 y`⁄

='2+"(√'2)¤ -1='2+1 y`¤

x+y=('5+1)+('5-1)=2'5

x-y=('5+1)-('5-1)=2

∴ - = - = - =

- = - =5'aåb-2'aåb

=3'aåb=3'2å5=3_5=15

한 변의 길이가 2인 정사각형의 대각

선의길이는한변의길이가 4인정사

각형의각변의중점을연결하여만든

정사각형의한변의길이와같다. 오른

쪽 그림에서 색칠한 정사각형의 넓이

는 _4_4=8이므로한변의길이는 '8=2'2이다.

즉, 한변의길이가 2인정사각형의대각선의길이는 2'2이다. 마찬가지방법으로한변의길이가 4인정사각형의대각

선의길이는 2_2'2=4'2, 한변의길이가 6인정사각형의

대각선의길이는 3_2'2=6'2이다.

ㄱ, ㄷ, ㄹ. 10개의점을임의로찍

으면 9개의작은정사각형중

적어도 한 개의 정사각형에는

2개의점이찍힌다. 이때작은

정사각형의 대각선의 길이는

2'2이므로 두 점 사이의 거리 6

6

A

B C

D

12

2'2

4

4

24

2b'a åbb

5a'a åba

2b'a'b

5a'b'a23

'5-510

12

'510

12

12'5

1x-y

1x+y

22

2x+2"√x¤ -12

x+1+2'ßx+1'ßx-1+x-1(x+1)-(x-1)

('ßx+1+'ßx-1)¤('ßx+1-'ßx-1)('ßx+1+'ßx-1)

'ßx+1+'ßx-1'ßx+1-'ßx-121

20

5(2-'3)(2+'3)(2-'3)

2(2+'3)(2-'3)(2+'3)19

⁄ 주어진식의분모를유리화하기

¤ 주어진식의값구하기

채점기준

60%

40%

배점

가 2'2 이하인두점이반드시존재한다.

ㄴ. 한변의길이가 6인정사각형의대각선의길이는 6'2이므로정사각형 ABCD의내부에찍은두점사이의거리

는항상 6'2 미만이다.

따라서옳은것은ㄴ, ㄹ이다.

민이의현재와 5살때의피부의넓이의차는

æ≠ -æ≠ = -

= = (m¤ )

(그릇 A에담긴물의부피)

= _('2)¤ _('2+'3)- _{2('3-'2)}¤ _'2

= ('2+'3)- (5-2'6)

= '2+ '3- '2+ '3

=6'3-6'2(그릇 B에담긴물의부피)

='1å2_'6_(물의높이)=6'2_(물의높이)

이때두그릇 A, B에담긴물의부피는서로같으므로

6'3-6'2=6'2_(물의높이)

∴(물의높이)= = =

넓이가 5인정사각형의한변의길이

는 '5이고, 대각선의길이는한변의

길이가 2'5인정사각형의각변의중

점을연결하여만든정사각형의한변

의 길이와 같다. 오른쪽 그림에서 색

칠한정사각형의넓이는

_2'5_2'5=10이므로한변의길이는 '1å0이다.

따라서점 B가움직인자리는다음그림과같다.

또점 B가움직인거리는

_2p_'5+ _2p_'1å0+ _2p_'5

= p+ p+ p

='5p+ p={'5+ }p'1å02

'1å02

'52

'1å02

'52

14

14

14

lB C C

A D DA

'5

B

10

12

'5

'5 '5

'5

10

27

'6-22

'3-'2'2

6'3-6'26'2

163

203

23

23

4'23

23

13

13

26

7'212

35'260

30'260

65'260

120_153600

169_503600

25


20


유형편Ⅱ.인수분해와이차방정식

파워

⑶ (주어진식)=4(x¤ -2xy+y¤ )

=4(x-y)¤

⑷ (주어진식)=3y(x¤ +4x+4)

=3y(x+2)¤

① x¤ -8x+16=(x-4)¤

② 4x¤ -12x+9=(2x-3)¤

③ 2x¤ +4xy+2y¤ =2(x¤ +2xy+y¤ )

=2(x+y)¤

④ a¤ +5a+ ={a+ }2

ax¤ +12x+b=(2x+c)¤ 에서

ax¤ =(2x)¤ =4x¤ 이므로 a=4

12x=2_2x_c=4cx이므로

12=4c ∴ c=3

b=c¤ 이므로 b=3¤ =9

∴ a+b+c=4+9+3=16

⑴ x¤ +10x+ =x¤ +2_x_5+ 이므로

=5¤ =25

⑵ 16a¤ -4a+ =(4a)¤ -2_4a_ + 이므로

={ }2=

⑶ a¤ + ab+9b¤ =a¤ + ab+(—3b)¤ 이므로

=2_1_(—3)=—6

⑷ 4x¤ + x+ =(2x)¤ + x+{— }2이므로

=2_2_{— }=—

9x¤ +(m-1)xy+16y¤ =(3x)¤ +(m-1)xy+(—4y)¤

이므로

m-1=2_3_(—4)=—24

즉, m-1=24에서 m=25이고,

m-1=-24에서 m=-23이다.

따라서구하는모든상수 m의합은

25+(-23)=2

(주어진식)=4x¤ +4x-3+k

=(2x)¤ +2_2x_1-3+k

이식이완전제곱식이되려면

-3+k=1 ∴ k=4

13

12

23

16

16

136

14

12

12

11

10

52

254

9

81 인수분해

유형 1~4 P. 44~45

1 ⑤ 2 ④ 3 ① 4 ④ 5 ㄱ, ㄹ

6 ⑴ (x-y)(a+b) ⑵ (2a-b)(x+y)

⑶ (a-3b)(x+2)

7 (a+2)¤ , 3(x-1)¤

8 ⑴ (x-3)¤ ⑵ (3a-1)¤ ⑶ 4(x-y)¤ ⑷ 3y(x+2)¤

9 ⑤ 10 ① 11 ⑴ 25 ⑵ ⑶ —6 ⑷ —

12 ② 13 ④

;3@;;4!;

⑤ ab(a-2)의일차이상의인수는 a, b, a-2, ab,

a(a-2), b(a-2), ab(a-2)이다.

x‹ -x¤ y=x¤ (x-y)이므로인수가아닌것은④ x(x+y)

이다.

직사각형의가로의길이는 x+1+1=x+2이고,

세로의길이는 x이다.

세 직사각형을이어붙인직사각형의넓이는각각의직사각

형의넓이의합과같으므로

x(x+2)=x¤ +2x

① 2xy+y¤ =y(2x+y)

② 4a¤ -2a=2a(2a-1)

③ m¤ -3m=m(m-3)

⑤ x¤ y-2xy¤ =xy(x-2y)

ㄱ. ab(z-2)

ㄴ. a¤ (bx-y)

ㄷ. a(ab¤ -c)

ㄹ. ab(x¤ -x+c)

따라서 ab를인수로갖는것은ㄱ, ㄹ이다.

⑴ a(x-y)+b(x-y)

=(x-y)(a+b)

⑵ x(2a-b)-y(b-2a)

=x(2a-b)+y(2a-b)

=(2a-b)(x+y)

⑶ (x+1)(a-3b)+(a-3b)

=(a-3b){(x+1)+1}=(a-3b)(x+2)

6

5

4

3

2

1


x› -16=(x¤ +4)(x¤ -4)

=(x¤ +4)(x+2)(x-2)

따라서인수가아닌것은 ③x¤ +2이다.

-18a¤ +8b¤ =-2(9a¤ -4b¤ )=-2(3a+2b)(3a-2b)

3x› y¤ -12x¤ y› =3x¤ y¤ (x¤ -4y¤ ) y`⁄

=3x¤ y¤ {x¤ -(2y)¤ }=3x¤ y¤ (x+2y)(x-2y) y`¤

a‹ -4a=a(a¤ -4)=a(a+2)(a-2)

따라서인수인것은ㄱ, ㄹ, ㅂ이다.

x° -1=(x› +1)(x› -1)

=(x› +1)(x¤ +1)(x¤ -1)

=(x› +1)(x¤ +1)(x+1)(x-1)

⑷(주어진식)=a(b¤ -12b+27)=a(b-3)(b-9)

x¤ +2x-3=(x-1)(x+3)이므로

a=-1, b=3 또는 a=3, b=-1

∴ a+b=2

x¤ +Ax-6=(x+B)(x+3)=x¤ +(3+B)x+3B

-6=3B에서 B=-2

A=3+B=3+(-2)=1

∴ A+B=1+(-2)=-1

(x+4)(x-6)-8x=x¤ -10x-24=(x+2)(x-12)

따라서두일차식은 x+2, x-12이므로

(x+2)+(x-12)=2x-10

ab=-20에서곱이 -20이되는두정수는

-1과 20, 1과 -20, -2와 10, 2와 -10,

-4와 5, 4와 -5이다.

k=a+b이므로 k의값이될수있는수는

19, -19, 8, -8, 1, -1이다.

(x+3)(x-8)=x¤ -5x-24에서

민이는 x의계수를바르게보았으므로

이차식의 x의계수는 -5이다.

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

유형편파워

21

Ⅱ.인수분해와이차방정식

틀리기쉬운유형~̀유형 6 P. 46~48

1 2a 2 3 3 ④ 4 ④

5 ⑴ (x+5)(x-5) ⑵ (x+7y)(x-7y)

⑶ (2x+y)(2x-y) ⑷ {a+ b}{a- b}

6 14x 7 ① 8 ③ 9 -2(3a+2b)(3a-2b)

10 3x¤ y¤ (x+2y)(x-2y), 과정은풀이참조

11 ㄱ, ㄹ, ㅂ 12 ④

13 ⑴ (x+2)(x+3) ⑵ (y-3)(y+5)

⑶ (x-y)(x+4y) ⑷ a(b-3)(b-9)

14 ④ 15 ② 16 2x-10 17 ②

18 (x-2)(x-3), 과정은풀이참조

13

13

0<a<2에서 a+2>0, a-2<0이므로

(주어진식)="(√a+2 ≈)Ω¤ -"(√a-2 ≈)Ω¤

=(a+2)+(a-2)=2a

0<x<3에서 x-3<0, x>0이므로

(주어진식)="(√x-ç3≈)Ω¤ +"x Ω¤

=-(x-3)+x=3

a<0, b>0에서 a-b<0이므로

"≈a¤ -"√a¤ -2ab+b¤ ="≈a¤ -"(√a-b)¤

=-a+(a-b)=-b

0<2a<1에서 0<a< 이므로

a- <0, a+ >0

∴ (주어진식)=æ{a ≠- }2 -æ{a ≠+ } 2

=-{a- }-{a+ }=-2a

49x¤ -16=(7x)¤ -4¤ =(7x+4)(7x-4)

따라서두일차식은 7x+4, 7x-4이므로

(7x+4)+(7x-4)=14x

ax¤ -25=(bx+5)(3x+c)

=3bx¤ +bcx+15x+5c

=3bx¤ +(bc+15)x+5c

에서 a=3b, 0=bc+15, -25=5c이므로

c=-5, b=3, a=9

∴ a+b+c=9+3+(-5)=7

7

6

12

12

12

12

12

12

124

3

2

1

⁄ 공통인인수로묶기

¤ 주어진식인수분해하기

채점기준

40%

60%

배점


22


(x+2)(x+3)=x¤ +5x+6에서

솔이는상수항을바르게보았으므로

이차식의상수항은 6이다. y`⁄

따라서처음의이차식은 x¤ -5x+6이므로 y`¤

이식을바르게인수분해하면

x¤ -5x+6=(x-2)(x-3) y`‹

⁄ 처음의이차식의 x의계수, 상수항구하기

¤ 처음의이차식구하기

‹ 처음의이차식을바르게인수분해하기

채점기준

40%

20%

40%

배점

유형 7~8 P. 48~49

1 ⑴ (3x+4)(x+2) ⑵ (x+2y)(2x-5y)

⑶ a(2x-1)(x-3) ⑷ 2(2x-3)(3x+5)

2 ④ 3 5x+1, 과정은풀이참조

4 (x-2)(2x+1) 5 ① 6 ② 7 7

8 ①, ④ 9 ② 10 ②

⑶ (주어진식)=a(2x¤ -7x+3)

=a(2x-1)(x-3)

⑷ (주어진식)=2(6x¤ +x-15)

=2(2x-3)(3x+5)

6x¤ -5x-6=(2x-3)(3x+2)이므로

(2x-3)(3x+2)=(2x-A)(Bx+2)

따라서 A=3, B=3이므로

A-B=3-3=0

6x¤ +7x-20=(2x+5)(3x-4) y`⁄

따라서두일차식은 2x+5, 3x-4이므로 y`¤

(2x+5)+(3x-4)=5x+1 y`‹

(주어진식)=3x¤ -x-1-(x¤ +2x+1)

=2x¤ -3x-2

=(x-2)(2x+1)

2x¤ +(3b-2)x-15=(2x-3)(x+5)에서

3b-2=7, 3b=9

∴ b=3

5

4

3

2

1

⁄ 6x¤ +7x-20을인수분해하기

¤ 두일차식구하기

‹ 두일차식의합구하기

채점기준

60%

20%

20%

배점

3=3c에서 c=1, -4=2b에서 b=-2이므로

a=6+bc=6+(-2)_1=4

∴ a+b+c=4+(-2)+1=3

f(x)=6x¤ -x-12=(2x-3)(3x+4)

∴ =

=

=3x+4

따라서 a=3, b=4이므로

a+b=3+4=7

② x¤ y-2xy¤ =xy(x-2y)

③ -y¤ ={ +y} { -y}

⑤ a(x+y)-4(x+y)=(x+y)(a-4)

① 3x¤ -75=3(x¤ -25)

=3(x+5)(x- )

② 4a¤ -49=(2a)¤ -7¤

=(2a+ )(2a-7)

③ 8x¤ -2x-3=(4x- )(2x+1)

④ 3x¤ -18x+27=3(x¤ -6x+9)

= (x-3)¤

⑤ 4ab¤ - ab+a=a(2b-1)¤

① 25- x¤ ={5+ x} {5- x}

③ 2x¤ +3x-2=(x+2)(2x-1)

④ 4x¤ -9x-9=(x-3)(4x+3)

⑤ 9x¤ +3xy+ y¤ ={3x+ y}212

14

23

23

4910

4

3

3

7

5

9

x2

x2

x¤4

8

(2x-3)(3x+4)2x-3

6x¤ -x-122x-3

f(x)g(x)

7

6

유형 9~11 P. 50~51

1 ③ 2 ④ 3 x-5, 과정은풀이참조 4 ③

5 7 6 -12 7 ④ 8 ① 9 ② 10 ④

11 ② 12 ④ 13 ④

x¤ -x-12=(x+3)

2x¤ -5x-12=(2x+3)

따라서두다항식의공통인인수는③ x-4이다.

(x-4)

(x-4)1


유형편파워

23


① x¤ -x-2=(x+1)

② x¤ -4x+4= ¤

③ x¤ +x-6= (x+3)

④ 2x¤ +3x-2=(2x-1)(x+2)

⑤ x¤ -4=(x+2)

x¤ -x-20=(x+4)

2x¤ -11x+5=(2x-1) y`⁄

따라서두다항식의일차이상의공통인인수는 x-5이다.

y`¤

x¤ -Ax-8=(x+2)(x+m)이라하면

-8=2m이므로 m=-4

-A=2+m=2-4=-2

∴ A=2

2x¤ +ax+6=(2x+3)(x+m)이라하면

6=3m이므로 m=2

∴ a=2m+3=2_2+3=7

x¤ -4x+a가 x-6으로나누어떨어지므로

x-6은 x¤ -4x+a의인수이다.

x¤ -4x+a=(x-6)(x+m)이라하면

-4=-6+m이므로 m=2

∴ a=-6m=-6_2=-12

x¤ -x+a=(x+3)(x+m)이라하면

-1=3+m이므로 m=-4

∴ a=3m=3_(-4)=-12

2x¤ +12x+b=(x+3)(2x+n)이라하면

12=n+6이므로 n=6

∴ b=3n=3_6=18

∴ a+b=-12+18=6

6x¤ +7x+2=(2x+1)(3x+2)이고, 가로의길이가

2x+1이므로세로의길이는 3x+2이다.

∴ (둘레의길이)=2{(2x+1)+(3x+2)}=2(5x+3)=10x+6

4x¤ +12x+9=(2x+3)¤ 이고, x>0이므로

구하는한변의길이는 (2x+3)cm이다.

9

8

7

6

5

4

(x-5)

(x-5)3

(x-2)

(x-2)

(x-2)

(x-2)2 새로운직사각형의넓이는

x¤ +x¤ +x+x+x+x+x+1+1

=2x¤ +5x+2이고

2x¤ +5x+2=(2x+1)(x+2)

이므로가로, 세로의길이는각각

2x+1, x+2 또는 x+2, 2x+1이다.

∴(둘레의길이)=2_{(2x+1)+(x+2)}=6x+6

(도형 ㈎의넓이)=(2x+3)¤ -2¤ =4x¤ +12x+5

=(2x+5)(2x+1)

따라서도형㈏의가로의길이가 2x+5이므로세로의길이

는 2x+1이다.

(길의넓이)

=p{ a+3a}2-p{ a}2=p{ a} 2-p{ a} 2

=p[{ a}2 -{ a} 2 ]=p{ a+ a}{ a- a}

=p_10a_3a=30a¤ p (m¤ )

(주문한케이크의부피)-(배달된케이크의부피)

=pa¤ _10-p(a-2)¤ _10=10p {a¤ -(a-2)¤ }=10p {a¤ -(a¤ -4a+4)}=10p(4a-4)

=40p(a-1)(cm‹ )

a cm10 cm (a-2) cm 10 cm

13

72

132

72

132

72

132

72

132

72

72

12

11

x

xx 1

1

1

10

⁄ 두다항식인수분해하기

¤ 일차이상의공통인인수구하기

채점기준

60%

40%

배점

유형 12~13 P. 52~53

1 (5+a+b)(5-a-b) 2 (a+1)¤ 3 ③

4 ① 5 ② 6 3 7 -2(x+4y)(3x-2y)

8 3 9 ① 10 (x¤ +3x-3)(x¤ +3x+5) 11 ⑤

12 ⑴ (a-1)(b+1) ⑵ (a+b)(a-b-c)

⑶ (a-2b)(a+2b-1)

13 (x-a)(y+b) 14 ⑤ 15 ③

a+b=A로놓으면

(주어진식)=25-A¤ =(5+A)(5-A)

=(5+a+b)(5-a-b)

a+3=A로놓으면

(주어진식)=A¤ -4A+4=(A-2)¤

=(a+3-2)¤ =(a+1)¤

2

1


24


x+2=A로놓으면

(좌변)=A¤ -2A-8

=(A-4)(A+2)

=(x+2-4)(x+2+2)

=(x-2)(x+4)

따라서 a=-2, b=4 또는 a=4, b=-2이므로

a+b=2

x-2=A로놓으면

(주어진식)=(x-2)¤ +2(x-2)-24

=A¤ +2A-24

=(A+6)(A-4)

=(x-2+6)(x-2-4)

=(x+4)(x-6)

따라서두일차식의합은

(x+4)+(x-6)=2x-2

x-y=A로놓으면

(주어진식)=A(A-4)+3

=A¤ -4A+3

=(A-1)(A-3)

=(x-y-1)(x-y-3)

따라서다항식의인수인것은② x-y-1이다.

3x-2=A, x+1=B로놓으면

(좌변)=A¤ -B¤

=(A+B)(A-B)

={(3x-2)+(x+1)} {(3x-2)-(x+1)}=(4x-1)(2x-3)

따라서 a=4, b=-1이므로

a+b=4+(-1)=3

x-2y=A, x+2y=B로놓으면

(주어진식)=2A¤ -5AB-3B¤

=(A-3B)(2A+B)

={(x-2y)-3(x+2y)}{2(x-2y)+(x+2y)}=(-2x-8y)(3x-2y)

=-2(x+4y)(3x-2y)

x+1=A, y-1=B로놓으면

(주어진식)=2A¤ -AB-6B¤

=(2A+3B)(A-2B)

={2(x+1)+3(y-1)} {(x+1)-2(y-1)}=(2x+3y-1)(x-2y+3)

따라서 a=2, b=3, c=-2이므로

a+b+c=2+3+(-2)=3

8

7

6

5

4

3 (주어진식)=(x+1)(x+6)(x+2)(x+5)-12

=(x¤ +7x+6)(x¤ +7x+10)-12

=(A+6)(A+10)-12 ← x¤ +7x=A로놓기

=A¤ +16A+60-12

=A¤ +16A+48

=(A+4)(A+12)

=(x¤ +7x+4)(x¤ +7x+12)

=(x¤ +7x+4)(x+3)(x+4)

(주어진식)=x(x+3)(x+1)(x+2)-15

=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-15

=A(A+2)-15 ← x¤ +3x=A로놓기

=A¤ +2A-15

=(A-3)(A+5)

=(x¤ +3x-3)(x¤ +3x+5)

(좌변)=(x-3)(x+1)(x-5)(x+3)+36

=(x¤ -2x-3)(x¤ -2x-15)+36

=(A-3)(A-15)+36 ← x¤ -2x=A로놓기

=A¤ -18A+45+36

=A¤ -18A+81

=(A-9)¤

=(x¤ -2x-9)¤

따라서 a=-2, b=-9이므로

ab=(-2)_(-9)=18

⑴ ab+a-b-1=a(b+1)-(b+1)

=(a-1)(b+1)

⑵ a¤ -ac-b¤ -bc=a¤ -b¤ -ac-bc

=(a+b)(a-b)-c(a+b)

=(a+b)(a-b-c)

⑶ a¤ -4b-a+2b=(a+2b)(a-2b)-(a-2b)

=(a-2b)(a+2b-1)

xy+bx-ay-ab=x(y+b)-a(y+b)

=(x-a)(y+b)

a¤ x-x+ay-y=x(a¤ -1)+y(a-1)

=x(a+1)(a-1)+y(a-1)

=(a-1){x(a+1)+y}=(a-1)(ax+x+y)

a‹ -a¤ -a+1=a¤ (a-1)-(a-1)

=(a¤ -1)(a-1)

=(a+1)(a-1)¤

따라서인수가아닌것은ㄴ, ㄷ이다.

15

14

13

12

11

10

9


유형편파워

25


유형 14 ~̀틀리기쉬운유형 P. 54~55

1 ⑴ (x-2y+3)(x-2y-3)⑵ (x+y+z)(x-y-z)

⑶ (1+x-y)(1-x+y) ⑷ (z+x-2y)(z-x+2y)

2 (a+2b-1)(a-2b+1) 3 ② 4 ⑤

5 x+y+2 6 ④ 7 (x+3y-2)(2x-y+3)

8 ③ 9 ⑴ 680 ⑵ 36 ⑶ 10000 10 4920

11 ② 12 ① 13 14 ③611

⑴ (주어진식)=(x¤ -4xy+4y¤ )-9

=(x-2y)¤ -3¤

=(x-2y+3)(x-2y-3)

⑵ (주어진식)=x¤ -(y¤ +2yz+z¤ )

=x¤ -(y+z)¤

=(x+y+z)(x-y-z)

⑶ (주어진식)=1-(x¤ -2xy+y¤ )

=1-(x-y)¤

=(1+x-y)(1-x+y)

⑷ (주어진식)=z¤ -(x¤ -4xy+4y¤ )

=z¤ -(x-2y)¤

=(z+x-2y)(z-x+2y)

a¤ -4b¤ +4b-1=a¤ -(4b¤ -4b+1)

=a¤ -(2b-1)¤ y`⁄

={a+(2b-1)} {a-(2b-1)}=(a+2b-1)(a-2b+1) y`¤

x¤ -9y¤ +6y-1=x¤ -(9y¤ -6y+1)

=x¤ -(3y-1)¤

=(x+3y-1)(x-3y+1)

x¤ +xy-5x-3y+6=(x-3)y+x¤ -5x+6

=(x-3)y+(x-2)(x-3)

=(x-3)(x+y-2)

x¤ -y¤ +6x+2y+8=x¤ +6x-(y¤ -2y-8)

=x¤ +6x-(y+2)(y-4)

=(x+y+2)(x-y+4)

따라서일차식인다른한인수는 x+y+2이다.

5

4

3

2

1

⁄ 주어진식을 A¤ -B¤의꼴로나타내기


채점기준

50%

50%

배점

(주어진식)=x¤ -(4y+6)x+3y¤ +2y-16

=x¤ -(4y+6)x+(y-2)(3y+8)

=(x-y+2)(x-3y-8)

따라서두일차식은 x-y+2, x-3y-8이므로

(x-y+2)+(x-3y-8)=2x-4y-6

(주어진식)=2x¤ +(5y-1)x-(3y¤ -11y+6)

=2x¤ +(5y-1)x-(3y-2)(y-3)

=(x+3y-2)(2x-y+3)

163¤ -162¤ =(163+162)(163-162)

=163+162

⑴ (주어진식)=(39+29)(39-29)=68_10=680

⑵ (주어진식)= (8¤ -2¤ )= (8+2)(8-2)

= _10_6=36

⑶ (주어진식)=(53+47)¤ =100¤ =10000

A=72.5¤ -2_72.5_2.5+2.5¤

=(72.5-2.5)¤ =70¤ =4900

B="(√52+48)(52-48)

='ƒ100_4='∂400=20

∴ A+B=4900+20=4920

(주어진식)=

= =1

1¤ -2¤ +3¤ -4¤ +y+19¤ -20¤

=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+y+(19+20)(19-20)

=(1+2+3+4+y+19+20)_(-1)=(21_10)_(-1)=-210

{1- }{1- }{1- }y{1- }{1- }

={1- }{1+ }{1- }{1+ }{1- }{1+ }

_y_{1- }{1+ }{1- }{1+ }

= _ _ _ _ _y_ _ _ _

= _ = 611

1211

12

1211

1011

1110

910

34

43

23

32

12

111

111

110

110

14

14

13

13

12

12

111¤

110¤

14¤

13¤

12¤13

12

2014_20162016_2014

2014(2015+1)(2015+1)(2015-1)11

10

35

35

35

9

8

7

6


26


2⁄ fl -1=(2° +1)(2° -1)

=(2° +1)(2› +1)(2› -1)

=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2¤ -1)

=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2+1)(2-1)

=257_17_5_3_1

따라서 2⁄ fl -1의약수가아닌것은③ 11이다.

14

유형 16 ~ 한걸음더연습 P. 56~57

1 ⑤ 2 ② 3 -8'5, 과정은풀이참조

4 2'2-1 5 -1 6 -4 7 2, 과정은풀이참조

8 ④ 9 10 ③ 11 -35 12 ②

13 —112, 과정은풀이참조 14 ⑤

12

a¤ -6a+9=(a-3)¤ =(23-3)¤ =20¤ =400

"√a¤ -b¤ ="(√a+b)(a-b)

="(√12.5+3.5)(12.5-3.≈5)

='1ƒ6_9="√144=12

x= = ='5-2,

y= = ='5+2이므로 y`⁄

x+y=('5-2)+('5+2)=2'5

x-y=('5-2)-('5+2)=-4

xy=('5-2)('5+2)=1 y`¤

∴ x‹ y-xy‹ =xy(x¤ -y¤ )

=xy(x+y)(x-y) y`‹

=1_2'5_(-4)

=-8'5 y`›

x+y=('2+1)+('2-1)=2'2

x-y=('2+1)-('2-1)=2

∴ (주어진식)=(x-1)¤ -y¤

=(x+y-1)(x-y-1)

=(2'2-1)(2-1)

=2'2-1

4

'5+2('5-2)('5+2)

1'5-2

'5-2('5+2)('5-2)

1'5+23

2

1

⁄ x, y의분모를유리화하기

¤ x+y, x-y, xy의값구하기

‹ 주어진식인수분해하기

› 주어진식의값구하기

채점기준

20%

30%

30%

20%

배점

x+2=A로놓으면

(주어진식)=A¤ -2A-3

=(A-3)(A+1)

=(x+2-3)(x+2+1)

=(x-1)(x+3)

=('3-1-1)('3-1+3)

=('3-2)('3+2)

=('3)¤ -2¤ =-1

x+y=A, x-y=B로놓으면

(주어진식)=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)

={(x+y)+(x-y)} {(x+y)-(x-y)}=2x_2y=4xy

=4_ _(1-'5)

=4_ _{-('5-1)}

=-4

1<'2<2이므로 '2의소수부분 x='2-1 y`⁄

x+4=A로놓으면

(주어진식)=A¤ -6A+9=(A-3)¤

=(x+4-3)¤ =(x+1)¤ y`¤

=('2-1+1)¤

=('2)¤ =2 y`‹

9a¤ -4b¤ =15에서

(3a+2b)(3a-2b)=15

이때 3a+2b=3이므로

3(3a-2b)=15

∴ 3a-2b=5

x¤ -xy-12y¤ =(x-4y)(x+3y)

= _

=

(주어진식)=(x¤ -y¤ )-5(x+y)

=(x+y)(x-y)-5(x+y)

=(x+y)(x-y-5)

=11_(5-5)=0

10

12

1'3+1

1'3-1

9

8

7

1'5-1

1'5-1

6

5

⁄ x의값구하기


‹ 주어진식의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점


유형편파워

27


(주어진식)=(a¤ -6a+9)-b¤

=(a-3)¤ -b¤

=(a+b-3)(a-b-3)

=(-2-3)(10-3)=-35

x¤ +2xy+y¤ -5x-5y+6

=(x+y)¤ -5(x+y)+6

=(x+y-2)(x+y-3)

=(4-2)(4-3)=2

(a+b)¤ =(a-b)¤ +4ab에서

(a+b)¤ =5¤ +4_6=49

∴ a+b=—7 y`⁄

∴ 3a¤ -3b¤ +a+b=3(a¤ -b¤ )+(a+b)

=3(a+b)(a-b)+(a+b)

={3(a-b)+1}(a+b) y`¤

=(3×5+1)×(—7)

=—112 y`‹

x¤ y+xy¤ +2x+2y=xy(x+y)+2(x+y)

=(xy+2)(x+y)

=(3+2)(x+y)

=5(x+y)

이때 5(x+y)=20이므로

x+y=4

∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy

=4¤ -2_3

=10

14

13

12

11

⁄ a+b의값구하기



채점기준

30%

40%

30%

배점

1 ⑤ 2 ⑤ 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ③

7 ② 8 ③ 9 ④ 10 3a-1 11 ② 12 ①

13 3x+1, 과정은풀이참조 14 ②

15 (3, 1), (5, 11), (9, 7) 16 ① 17 -200

18 19 -8'3 20 1, 과정은풀이참조

21 ③ 22 ① 23 4x+5, 3x+4 24 10p

25 (72, 84) 26 991

34


xy¤ +5xy=xy(y+5)이므로 인수가 아닌 것은 ⑤ xy+5

이다.

x¤ +ax+36=x¤ +ax+(—6)¤ 에서

a>0이므로 a=2_1_6=12

4x¤ +bxy+ y¤ =(2x)¤ +bxy+{— y} 2에서

b>0이므로 b=2_2_ =

∴ ab=12_ =16

-3<x<4에서 x+3>0, x-4<0이므로

(주어진식)="√(x+3)¤ +"√(x-4)¤

=(x+3)-(x-4)

=7

0<a<1에서 -2a<0, a+ >0, a- <0이고,

{a+ }2-4=a¤ + -2={a- }2 ,

{a- }2+4=a¤ + +2={a+ }2이므로

(주어진식)="√(-2a)¤ +æ≠{a- } 2-æ≠{a+ }2

=-(-2a)-{a- }-{a+ }

=2a-a+ -a- =0

(x+3)(x-2)=x¤ +x-6에서

은실이는상수항을바르게보았으므로

처음의이차식의상수항은 -6이다.

(x+4)(x+1)=x¤ +5x+4에서

수진이는 x의계수를바르게보았으므로

처음의이차식의 x의계수는 5이다.

따라서처음의이차식은 x¤ +5x-6이므로

이식을바르게인수분해하면

x¤ +5x-6=(x-1)(x+6)

8x¤ -10x-3=(2x-3)(4x+1)이므로

A=-3, B=4

∴ A+B=-3+4=1

② -4x¤ +y¤ =y¤ -4x¤ =(y+2x)(y-2x)

=(2x+y)(-2x+y)7

6

5

1a

1a

1a

1a

1a

1a

1a

1a¤

1a

1a

1a¤

1a

1a

1a4

3

43

43

13

13

19

2

1


28


4x¤ -4xy+y¤ -16=(2x-y)¤ -4¤

=(2x-y+4)(2x-y-4)

=(2x+ay+b)(2x+cy+d)

이므로

a=-1, b=4, c=-1, d=-4 또는

a=-1, b=-4, c=-1, d=4

∴ a+b+c+d=-2

ab-6a-4b+24=a(b-6)-4(b-6)

=(a-4)(b-6)

즉, (a-4)(b-6)=5이고 a, b는양의정수이므로 a-4,

b-6의값은다음표와같다.

따라서구하는순서쌍 (a, b)는 (5, 11), (9, 7), (3, 1)이다.

[참고] a-4=-5, b-6=-1인 경우 a=-1, b=5가

되어 a가양의정수라는조건을만족하지않는다.

<x, y, z>+<y, z, x>+<z, x, y>

=x¤ (y-z)+y¤ (z-x)+z¤ (x-y)

=(y-z)x¤ -(y¤ -z¤ )x+y¤ z-z¤ y

=(y-z)x¤ -(y-z)(y+z)x+yz(y-z)

=(y-z){x¤ -(y+z)x+yz}=(y-z)(x-y)(x-z)

1¤ -3¤ +5¤ -7¤ +y+17¤ -19¤

=(1+3)(1-3)+(5+7)(5-7)

+y+(17+19)(17-19)

=(1+3+5+7+y+17+19)_(-2)

=(20_5)_(-2)=-200

f(3)_f(4)_f(5)_f(6)_f(7)_f(8)

={1- } {1- }`y`{1- }

={1- } {1+ } {1- } {1+ }y`{1- } {1+ }

= _ _ _ _ _ _y_ _

= _ =

x= = =2-'3,

y= = =2+'3이므로2+'3

(2-'3)(2+'3)1

2-'3

2-'3(2+'3)(2-'3)

12+'319

34

98

23

98

78

65

45

54

34

43

23

18

18

14

14

13

13

18¤

14¤

13¤

18

17

16

15

14x¤ -2x-15= (x-5)

2x¤ +7x+3= (2x+1)

따라서두다항식의공통인인수는 ③ x+3이다.

x¤ +ax-8=(x-2)(x+m)이라하면

-8=-2m이므로

m=4

∴ a=-2+m=-2+4=2

2x¤ -3x+b=(x-2)(2x+n)이라하면

-3=n-4이므로

n=1

∴ b=-2n=-2_1=-2

∴ a-b=2-(-2)=4

_{(a-3)+(a+7)}_(높이)=3a¤ +5a-2

(a+2)_(높이)=(a+2)(3a-1)

∴(높이)=3a-1

2x-3y=A로놓으면

(주어진식)=A(A+2)-15

=A¤ +2A-15

=(A+5)(A-3)

=(2x-3y+5)(2x-3y-3)

(주어진식)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+k

=(x¤ +x-2)(x¤ +x-12)+k

=(A-2)(A-12)+k ← x¤ +x=A로놓기

=A¤ -14A+24+k

이식이완전제곱식이되려면

24+k={ }2=(-7)¤ =49

∴ k=49-24=25

x‹ +x¤ -9x-9=x¤ (x+1)-9(x+1)

=(x+1)(x¤ -9)

=(x+1)(x+3)(x-3) y`⁄

따라서세일차식은 x+1, x+3, x-3이므로 y`¤

(x+1)+(x+3)+(x-3)=3x+1 y`‹

13

-142

12

11

1210

9

(x+3)

(x+3)8

⁄ 주어진식인수분해하기

¤ 세일차식구하기

‹ 세일차식의합구하기

채점기준

40%

30%

30%

배점

a-4

b-6

1

5

5

1

-1

-5

-5

-1


유형편파워

29


x+y=(2-'3)+(2+'3)=4

x-y=(2-'3)-(2+'3)=-2'3

xy=(2-'3)(2+'3)=1

∴ =

= =-8'3

x= =-(3+2'3)=-3-2'3

y= =2+'3 y`⁄

이때주어진식의분모를인수분해하면

x¤ +3xy+2y¤ +x+2y=x¤ +(3y+1)x+2y(y+1)

=(x+y+1)(x+2y) y`¤

∴(주어진식)= =

= =1 y`‹

x¤ -y¤ -6x+9=(x¤ -6x+9)-y¤

=(x-3)¤ -y¤

=(x+y-3)(x-y-3)

=(5-3)(x-y-3)

=2(x-y-3)

즉, 2(x-y-3)=10이므로 x-y-3=5

∴ x-y=5+3=8

(a+b)¤ -(a-b)¤ =(a+b+a-b)(a+b-a+b)

=2a_2b=4ab

즉, 4ab=12이므로 ab=3

(a-2)(b-2)=ab-2(a+b)+4=-1에서

3-2(a+b)+4=-1, 2(a+b)=8 ∴ a+b=4

∴ -2a¤ b-2ab¤ =-2ab(a+b)

=-2_3_4=-24

큰색종이의넓이는 16x¤ +40x+25이고,

16x¤ +40x+25=(4x+5)¤ 이므로

큰색종이의한변의길이는 4x+5이다.

두색종이가겹쳐지지않은부분의넓이는 7x¤ +16x+9이

므로작은색종이의넓이는

(16x¤ +40x+25)-(7x¤ +16x+9)=9x¤ +24x+16

이때 9x¤ +24x+16=(3x+4)¤ 이므로

작은색종이의한변의길이는 3x+4이다.

23

22

21

1-3-2'3+2(2+'3)

1x+2y

x+y+1(x+y+1)(x+2y)

2+'3(2-'3)(2+'3)

3(3+2'3)(3-2'3)(3+2'3)20

4_(-2'3)1

(x+y)(x-y)xy

x¤ -y¤xy

⁄ x, y의분모를유리화하기

¤ 주어진식의분모인수분해하기


채점기준

30%

40%

30%

배점

AB”를지름으로하는원의반지름의길이를 R, CD”를지름으로하는원의반지름의길이를 r라하자.

AC”+BD”=1에서 2R-2r=1이므로

2(R-r)=1 ∴ R-r=

새로그린원의지름의길이는

+2r=R-r+2r=R+r이므로

반지름의길이는 이다.

이때새로그린원의둘레의길이는 20p이므로

2p_ =20p ∴ R+r=20

따라서색칠한부분의넓이는

pR¤ -pr¤ =p(R¤ -r¤ )=p(R+r)(R-r)

=p_20_

=10p

출발한지 12일후로봇의위치의 x좌표는

11¤ -9¤ +7¤ -5¤ +3¤ -1¤=(11+9)(11-9)+(7+5)(7-5)+(3+1)(3-1)=2(11+9+7+5+3+1)=2_36=72출발한지 12일후로봇의위치의 y좌표는

12¤ -10¤ +8¤ -6¤ +4¤ -2¤

=(12+10)(12-10)+(8+6)(8-6)+(4+2)(4-2)

=2(12+10+8+6+4+2)

=2_42

=84

따라서 출발한 지 12일 후 로봇의 위치를 좌표로 나타내면

(72, 84)이다.

연속하는네자연수를 n, n+1, n+2, n+3이라하면

n(n+1)(n+2)(n+3)+1

=n(n+3)(n+1)(n+2)+1

=(n¤ +3n)(n¤ +3n+2)+1

=A(A+2)+1 ← n¤ +3n=A로놓기

=A¤ +2A+1

=(A+1)¤

=(n¤ +3n+1)¤

즉, n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n¤ +3n+1)¤ 에서

n=30을대입하면

30_31_32_33+1=(30¤ +3_30+1)¤

=991¤

따라서주어진수는 991의제곱이된다.

26

25

12

R+r2

R+r2

2R-2r2

12

24


30


2 이차방정식

유형 1~4 P. 62~63

1 ④ 2 ④ 3 ③ 4 ③ 5 ④ 6 ④

7 x=-2 또는 x=1 8 ③ 9 ④

10 24, 과정은풀이참조 11 5 12 ②

13 -5 14 ④

② x¤ + x+4=x¤ 에서

x+4=0 ⇨ 일차방정식

④ (x-1)(x-2)=0에서

x¤ -3x+2=0 ⇨ 이차방정식

ㄴ. x¤ =x-2에서 x¤ -x+2=0

ㄷ. x(x-1)=x¤ 에서 x¤ -x=x¤ , -x=0

ㄹ. x=(x-1)¤ 에서 x=x¤ -2x+1, x¤ -3x+1=0

ㅁ. x¤ (1+x)=4에서 x¤ +x‹ =4, x‹ +x¤ -4=0

따라서이차방정식이아닌것은ㄷ, ㅁ이다.

ax¤ +5x+b=3x¤ +1에서 (a-3)x¤ +5x+b-1=0

이때 x¤의계수가 0이아니어야하므로

a-3+0 ∴ a+3

ax¤ +4x=(2x+1)(x-2)에서 (a-2)x¤ +7x+2=0


a-2+0 ∴ a+2

주어진식에 x=1을대입하면

① (1-1)¤ +1

② 1_(1-1)+1

③ (1+1)¤ +0

④ (1-1)(1-2)=0

⑤ (1+1)(1-2)+0

따라서등식이성립하는것을찾으면 ④이다.

① x=-2를대입하면 (-2)¤ -2_(-2)+3+0

② x=-1을대입하면 (-1)¤ +3_(-1)-4+0

③ x=-7을대입하면 (-7)¤ -3_(-7)-28+0

④ x=4를대입하면 (4-2)¤ -4=0

⑤ x=-2를대입하면 (-2)¤ -2_(-2)+0

x=-2를대입하면 (-2)¤ +(-2)-2=0

x=-1을대입하면 (-1)¤ +(-1)-2+0

x=0을대입하면 0¤ +0-2+0

x=1을대입하면 1¤ +1-2=0

x=2를대입하면 2¤ +2-2+0

따라서주어진이차방정식의해는 x=-2 또는 x=1이다.

7

6

5

4

3

2

12

121

x¤ +5x+a=0에 x=-2를대입하면

(-2)¤ +5_(-2)+a=0

4-10+a=0 ∴ a=6

ax¤ -(a-3)x+a-17=0에 x=-3을대입하면

a_(-3)¤ -(a-3)_(-3)+a-17=0

9a+3a-9+a-17=0

13a=26 ∴ a=2

x¤ +ax-3=0에 x=-1을대입하면

(-1)¤ +a_(-1)-3=0

∴ a=-2 y`⁄

x¤ +x+b=0에 x=-4를대입하면

(-4)¤ +(-4)+b=0

∴ b=-12 y`¤

∴ ab=-2_(-12)=24 y`‹

x¤ +3x-1=0에 x=a를대입하면

a¤ +3a-1=0 ∴ a¤ +3a=1

∴ a¤ +3a+4=1+4=5

2x¤ +8x+3=0에 x=a를대입하면

2a¤ +8a+3=0 ∴ 2a¤ +8a=-3

2x¤ +8x+3=0에 x=b를대입하면

2b ¤ +8b+3=0 ∴ 2b¤ +8b=-3

∴ (2a¤ +8a-3)(2b¤ +8b+5)+4

=(-3-3)(-3+5)+4

=-6_2+4=-12+4=-8

x¤ +5x-1=0에 x=a를대입하면

a¤ +5a-1=0

a+0이므로이식의양변을 a로나누면

a+5- =0

∴ a- =-5

x¤ -'2x-3=0에 x=a를대입하면

a¤ -'2a-3=0

a+0이므로이식의양변을 a로나누면

a-'2- =0

∴ a- ='2

∴ a¤ + ={a- }2+6=('2)¤ +6=83a

9a¤

;a#;

;a#;

14

;a!;

;a!;

13

12

11

10

9

8


¤ b의값구하기

‹ ab의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

(30~46)유형해설2-2단원-OK.ps 2014.9.24 08:55 PM 페이지30 MAC3

유형편파워

31


유형 5~한걸음더연습 P. 64~65

1 ⑤ 2 ④ 3 ①, ⑤

4 ⑴ x=1 또는 x=4 ⑵ x=-1 또는 x=10

⑶ x=-1 또는 x=-

5 ⑴ x=1 또는 x=3 ⑵ x=-4 또는 x=3

⑶ x=1 또는 x=5 6 ④ 7 ⑤ 8 ①

9 4 10 x=-4 또는 x=-1, 과정은풀이참조

11 ⑤ 12 ④ 13 8

45

(x+4)(x+1)=0에서

x+4=0 또는 x+1=0

∴ x=-4 또는 x=-1

① x=0 또는 x=3 ˙k 0+3=3

② x=-2 또는 x=-1 ˙k -2+(-1)=-3

③ x=-4 또는 x=1 ˙k -4+1=-3

④ x= 또는 x=2 ˙k +2=

⑤ x= 또는 x= ˙k + =3

⑴ x¤ -5x+4=0에서 (x-1)(x-4)=0

∴ x=1 또는 x=4

⑵ x¤ -9x-10=0에서 (x+1)(x-10)=0

∴ x=-1 또는 x=10

⑶ 5x¤ +9x+4=0에서 (x+1)(5x+4)=0

∴ x=-1 또는 x=-

⑴ x¤ +2x-3=6(x-1)에서 x¤ +2x-3=6x-6

x¤ -4x+3=0, (x-1)(x-3)=0

∴ x=1 또는 x=3

⑵ (x+3)(x-2)=6에서 x¤ +x-6=6

x¤ +x-12=0, (x+4)(x-3)=0

∴ x=-4 또는 x=3

⑶ (x-2)¤ =2x-1에서 x¤ -4x+4=2x-1

x¤ -6x+5=0, (x-1)(x-5)=0

∴ x=1 또는 x=5

x¤ -8=2x에서 x¤ -2x-8=0

(x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4

이때 a>b이므로 a=4, b=-2

∴ a-b=4-(-2)=6

6x¤ -11x-30=0에서 (2x+3)(3x-10)=0

∴ x=- 또는 x=

따라서두근사이에있는정수는 -1, 0, 1, 2, 3의 5개이

다.

103

32

7

6

5

;5$;

4

;2%;;2!;;2%;;2!;

;3&;;3!;;3!;

3

2

2x¤ -21=x(x+4)에서

2x¤ -21=x¤ +4x, x¤ -4x-21=0

(x+3)(x-7)=0

즉, a=3, b=-7 또는 a=-7, b=3이므로

a+b=-4

x¤ +3x=6k+4에 x=k를대입하면

k¤ +3k=6k+4, k¤ -3k-4=0

(k+1)(k-4)=0

∴ k=-1 또는 k=4

그런데 k>0이므로 k=4

x¤ =3x+10에서 x¤ -3x-10=0

(x+2)(x-5)=0

∴ x=-2 또는 x=5

이때 a>b이므로 a=5, b=-2 y`⁄

즉, x¤ +5x+4=0에서 y`¤

(x+4)(x+1)=0

∴ x=-4 또는 x=-1 y`‹

x：(2x-3)=4：x에서 x¤ =4(2x-3)

x¤ -8x+12=0, (x-2)(x-6)=0

∴ x=2 또는 x=6

따라서모든 x의값의합은 2+6=8

(x+1)≠(x-2)=0에서

(x+1)(x-2)-(x+1)+(x-2)-1=0

x¤ -x-2-x-1+x-2-1=0

x¤ -x-6=0

(x+2)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=3

⁄ 3A=2B에서

3(x¤ -3x-18)=2(x¤ -2x-15)

3x¤ -9x-54=2x¤ -4x-30

x¤ -5x-24=0, (x+3)(x-8)=0

∴ x=-3 또는 x=8

¤ A+0에서 x¤ -3x-18+0

(x+3)(x-6)+0

∴ x+-3 그리고 x+6

‹ B+0에서 x¤ -2x-15+0

(x+3)(x-5)+0

∴ x+-3 그리고 x+5

따라서 ⁄~‹에의해 x=8

13

12

11

10

9

8

⁄ a, b의값구하기

¤ 이차방정식 x¤ +ax-2b=0 구하기

‹ 이차방정식의해구하기

채점기준

50%

10%

40%

배점


32


유형 7~9 P. 66~67

1 ④ 2 a=24, x=4, 과정은풀이참조 3 ③

4 ⑤ 5 ③ 6 ② 7 ① 8 ② 9 -3

10 11 ⑴ -1 ⑵ 12 ①, ④ 13 ①

14 a=-36, x=-1

49

12

x¤ +ax-6=0에 x=3을대입하면

9+3a-6=0, 3a=-3 ∴ a=-1

즉, x¤ -x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=3

따라서다른한근은 x=-2

x¤ -10x+a=0에 x=6을대입하면

36-60+a=0 ∴ a=24 y`⁄

즉, x¤ -10x+24=0에서 (x-4)(x-6)=0

∴ x=4 또는 x=6

따라서다른한근은 x=4 y`¤

3x¤ -10x+2a=0에 x=3을대입하면

27-30+2a=0, 2a=3 ∴ a=

즉, 3x¤ -10x+3=0에서 (3x-1)(x-3)=0

∴ x= 또는 x=3 ∴ b=

∴ ab= _ =

x¤ -ax+a(a-2)=0에 x=2를대입하면

4-2a+a(a-2)=0, a¤ -4a+4=0

(a-2)¤ =0 ∴ a=2

즉, x¤ -2x=0에서 x(x-2)=0

∴ x=0또는 x=2 ∴ b=0

∴ a+b=2+0=2

(a-2)x¤ +a¤ x+4=0에 x=-1을대입하면

(a-2)-a¤ +4=0, a¤ -a-2=0

(a+1)(a-2)=0 ∴ a=-1 또는 a=2

그런데주어진식은이차방정식이므로 a+2 ∴ a=-1

즉, -3x¤ +x+4=0에서 3x¤ -x-4=0

(x+1)(3x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=

따라서다른한근은 x= ;3$;

;3$;

5

4

12

13

32

13

13

32

3

2

1

x¤ +x-42=0에서 (x+7)(x-6)=0

∴ x=-7 또는 x=6

즉, x¤ -ax-12=0의한근이 x=6이므로

36-6a-12=0⋯⋯∴ a=4

이때 x¤ -4x-12=0에서 (x+2)(x-6)=0

∴ x=-2 또는 x=6

따라서다른한근은 x=-2

① x¤ =1에서 x¤ -1=0, (x+1)(x-1)=0

∴ x=-1 또는 x=1

② x¤ =14x-49에서 x¤ -14x+49=0, (x-7)¤ =0

∴ x=7(중근)

③ x¤ +10x=-25에서 x¤ +10x+25=0, (x+5)¤ =0

∴ x=-5(중근)

④ -8x+16=-x¤ 에서 x¤ -8x+16=0, (x-4)¤ =0

∴ x=4(중근)

⑤ x¤ -16x=-64에서 x¤ -16x+64=0, (x-8)¤ =0

∴ x=8(중근)

ㄱ. x¤ -4=0, (x+2)(x-2)=0

∴ x=-2 또는 x=2

ㄴ. x(x-2)=-1, x¤ -2x+1=0, (x-1)¤ =0

∴ x=1(중근)

ㄷ. x¤ =-3(2x+3), x¤ +6x+9=0, (x+3)¤ =0

∴ x=-3(중근)

ㄹ. 2x¤ +2x=(x-3)¤ , 2x¤ +2x=x¤ -6x+9

x¤ +8x-9=0, (x+9)(x-1)=0

∴ x=-9 또는 x=1

중근 x=-3을갖고 x¤ 의계수가 1인이차방정식은

(x+3)¤ =0이므로 x¤ +6x+9=0

즉, m=6, n=9이므로 m-n=6-9=-3

x¤ -4xy+4y¤ =0에서 (x-2y)¤ =0 ∴ x=2y

이때 에 x=2y를대입하면

= = =

⑴ x¤ +8x+15=a에서 x¤ +8x+15-a=0

이이차방정식이중근을가지므로

15-a={ }2 , 15-a=16 ∴ a=-1

⑵ a={ _ }2={ } 2=

x¤ +2ax-7a+18=0이중근을가지므로

-7a+18={ }¤ , a¤ +7a-18=0

(a+9)(a-2)=0⋯⋯∴ a=-9 또는 a=2

2a2

12

49

23

12

43

82

11

12

3y¤6y¤

(2y)¤ -y¤3_2y_y

x¤ -y¤3xy

x¤ -y¤3xy

10

9

8

7

6


¤ 다른한근구하기

채점기준

50%

50%

배점


유형편파워

33


x¤ -10x+a=0이중근을가지므로 a={ }2=25

즉, x¤ -10x+25=0에서

(x-5)¤ =0 ∴ x=b=5

∴ a-3b=25-3_5=10

(x+7)(x-5)=a에서 x¤ +2x-35-a=0


-35-a={ }2=1 ∴ a=-36

따라서주어진이차방정식은 x¤ +2x+1=0이므로

(x+1)¤ =0 ∴ x=-1(중근)

22

14

-10213

유형 10~13 P. 68~69

1 3 2 ⑤ 3 ③ 4 x=5 5 bæ0 6 ④

7 x=5—'3 8 ② 9 ③

10 A=5, B=- , C= , D=21, E=-9 11 9

12 x=2— 13 0

14 ㈎ x¤ + x+ =0 ㈏ x¤ + x=-

㈐ x¤ + x+{ } ¤ =- +{ }¤

㈑ {x+ }¤ ㈒

15 ⑴ x= ⑵ x= 16 ④ 17 ①

18 ② 19 x= 20 4개2—'2

2

1—'23

-1—'2å12

-b—"√b¤ -4ac2a

b2a

b2a

ca

b2a

ba

ca

ba

ca

ba

'1å42

910

35

x¤ +3x-18=0에서 (x+6)(x-3)=0

∴ x=-6 또는 x=3

2x¤ -9x+9=0에서 (2x-3)(x-3)=0

∴ x= 또는 x=3

따라서두이차방정식을동시에만족하는 x의값은 3이다.

2x¤ +5x+2=0에서 (x+2)(2x+1)=0

∴ x=-2 또는 x=-

x¤ -x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=3

따라서공통인근은 x=-2이므로

x¤ +ax+2=0에 x=-2를대입하면

4-2a+2=0, 2a=6⋯⋯∴ a=3

12

2

32

1

x¤ +x=2, 즉 x¤ +x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0

∴ x=-2 또는 x=1

2x(x+1)=x+3, 즉 2x¤ +x-3=0에서

(2x+3)(x-1)=0 ∴ x=- 또는 x=1

x¤ -6x+5=0에서 (x-1)(x-5)=0

∴ x=1 또는 x=5

따라서세이차방정식의공통인근은 x=1이다.

x¤ +6x+k=0이중근을가지므로 k={ }¤ =9

x¤ +(1-k)x+15=0에서 x¤ -8x+15=0

(x-3)(x-5)=0 ∴ x=3 또는 x=5

2x¤ -(2k-9)x-5=0에서 2x¤ -9x-5=0

(2x+1)(x-5)=0 ∴ x=- 또는 x=5

따라서공통인근은 x=5이다.

제곱한수는음수가될수없으므로 bæ0이어야한다.

x¤ -16=0에서 x¤ =16 ∴ x=—4

(x-5)¤ =3에서 x-5=—'3 ∴ x=5—'3

3(x+2)¤ -15=0에서 3(x+2)¤ =15

(x+2)¤ =5 ∴ x=-2—'5

이때 A=-2, B=5이므로

A+B=-2+5=3

(x+A)¤ =B에서 x+A=—'ßB ∴ x=-A—'ßB

이때 A=-3, B=10이므로 A+B=-3+10=7

[다른풀이]

x=3—'1å0에서 x-3=—'1å0, (x-3)¤ =10


A+B=-3+10=7

5x¤ +9x+3=0에서

양변을 로나누면 x¤ + x+ =0

상수항을우변으로이항하면 x¤ + x=

x¤ + x+{ }2= +{ }2

{x+ }2=- + =

x+ =—Æ¬ =—ø∑

∴ x=—ø∑

D 21E-910

D 2110

21100

C

;1ª0;

D 21100

81100

60100

C

;1ª0;

910

B

-;5#;910

95

B

-;5#;95

35

95

A 5

10

9

8

7

6

5

12

624

32

3


34


x¤ +4x-3=0에서

x¤ +4x=3

x¤ +4x+4=3+4

(x+2)¤ =7

∴ a=2, b=7

∴ a+b=2+7=9

2x¤ -8x+1=0에서

x¤ -4x+ =0

x¤ -4x=-

x¤ -4x+4=- +4

(x-2)¤ =

x-2=—Æ {=— }

∴ x=2—

x¤ -4x+b=0에서 (x¤ -8x)+b=0

(x¤ -8x)=-b

(x¤ -8x+16-16)=-b

(x-4)¤ =-b+8

이식이 (x+a)¤ =4와같으므로

a=-4, b=4

∴ a+b=-4+4=0

⑴ x= =

⑵ x=

= = =

x= =

이때 a>b이므로 a= , b=

∴ a-b= - ='7

x= =


A-B=-3-5=-8

-3—'52

-3—"3√¤ -4_1_12_117

3-'72

3+'72

3-'72

3+'72

3—'72

-(-3)—"√(-3)¤ -2_1216

1—'23

3—3'29

3—'1å89

-(-3)—"(√√-3)¤ -9_(-1)9

-1—'2å12

-1—"√1¤ -4_1_(-5)2_115

12

12

12

12

12

1213

'1ß42

'1ß42

72

;2&;

;2!;

;2!;

;2!;

12

11 상수항을우변으로이항하기

양변에 { }2을더하기

좌변을완전제곱식으로고치기

x의계수2

x=

= =

이때 q=2, 4-3p=13에서

p=-3

∴ p+q=-3+2=-1

x¤ +2x-k=0이중근을가지므로

-k={ }2 ∴ k=-1

따라서 (1-k)x¤ -4x+1=0에 k=-1을대입하면

2x¤ -4x+1=0

∴ x= =

x= =

그런데 '3å6<'3å7<'4å9에서 6<'3å7<7이므로

-4+6<-4+'3å7<-4+7

2<-4+'3å7<3

< <

∴ < <1 y㉠

또 -7<-'3å7<-6이므로

-4-7<-4-'3å7<-4-6

-11<-4-'3å7<-10

∴ - < <- y㉡

따라서 ㉠, ㉡에의해 두근사이에있는정수는 -3, -2,

-1, 0의 4개이다.

103

-4-'3å73

113

-4+'3å73

23

33

-4+'3å73

23

-4—'3å73

-4—"√4¤ -3_(-7)320

2—'22

-(-2)—"√(-2)¤ -2_12

22

19

q—'1å33

2—'ƒ4-3p3

-(-2)—"(√-2)√¤ -3≈_p318


1 ⑴ x= ⑵ x=

⑶ x=-4 또는 x=5 ⑷ x=- 또는 x=

2 22 3 3 4

5 x=-2 또는 x=8 6 ⑤ 7 4 8 ⑤

9 ② 10 3개, 과정은풀이참조 11 -1

2'∂1033

15

12

5—'1å03

3—'33


유형편파워

35


⑴ 양변에 6을곱하면 3x¤ -6x+2=0

∴ x= =

⑵ 양변에 10을곱하면 10x-3x¤ =5

3x¤ -10x+5=0

∴ x= =

⑶ 양변에 10을곱하면 x¤ -x-20=0

(x+4)(x-5)=0 ∴ x=-4 또는 x=5

⑷ 양변에 10을곱하면 10x¤ +3x-1=0

(2x+1)(5x-1)=0

∴ x=- 또는 x=

양변에 2를곱하면 x¤ -8x=6

x¤ -8x-6=0

∴ x=-(-4)—"√(-4)¤ -1_(-6)=4—'2å2

∴ k=22

양변에 15를곱하면 3x¤ -6x-5=0

∴ x=

= =

이때 A=3, B=6이므로

B-A=6-3=3

양변에 4를곱하면

4(x+1)(x-3)-(x¤ +1)=12(x-1)

4x¤ -8x-12-x¤ -1=12x-12

3x¤ -20x-1=0

∴ x= =

따라서두근의차는

- =

x-2=A로놓으면 A¤ -2A-24=0

(A+4)(A-6)=0

∴ A=-4 또는 A=6

즉, x-2=-4 또는 x-2=6

∴ x=-2 또는 x=8

x+3y=A로놓으면

A(A+10)+25=0, A¤ +10A+25=0

(A+5)¤ =0 ∴ A=-5

∴ x+3y=-5

6

5

2'1∂033

10-'1∂033

10+'1∂033

10—'1∂033

-(-10)—"√(-10)¤ -3_(-1)3

4

3—2'63

3—'2å43

-(-3)—"(√-3)√¤ -3√_(-5)3

3

2

15

12

5—'1å03

-(-5)—"(√-5)¤ -3_53

3—'33

-(-3)—"(√-3)¤ -3_23

1 (x-y)¤ -2x+2y=8에서

(x-y)¤ -2(x-y)-8=0

x-y=A로놓으면

A¤ -2A-8=0

(A+2)(A-4)=0

∴ A=-2 또는 A=4

그런데 x>y이므로 A=x-y>0

∴ x-y=4

x¤ -2xy+y¤ -x+y-12=0에서

(x-y)¤ -(x-y)-12=0

x-y=A로놓으면

A¤ -A-12=0

(A+3)(A-4)=0

∴ A=-3 또는 A=4

그런데 x<y이므로 A=x-y<0

∴ x-y=-3

a-b=A로놓으면 A¤ -5A-6=0

(A+1)(A-6)=0

∴ A=-1 또는 A=6

그런데 a<b이므로 A=a-b<0

∴ a-b=-1

∴ a¤ +b¤ =(a-b)¤ +2ab

=(-1)¤ +2_12=25

x+y=A로놓으면 A(A-3)=4 y`⁄

A¤ -3A-4=0

(A+1)(A-4)=0

∴ A=-1 또는 A=4 y`¤

그런데 x, y는자연수이므로 x+y=4 y`‹

따라서 x+y=4를만족하는순서쌍 (x, y)는

(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3개이다. y`›

㈐에서 a-b=A로놓으면 A¤ +6A-16=0

(A+8)(A-2)=0

∴ A=-8 또는 A=2

이때㈎에서 a>b이므로 A=a-b>0

∴ a-b=2 y`㉠

㈏에서 a+b=8이므로이식과㉠을연립하여풀면

a=5, b=3

∴ a-2b=5-2_3=-1

11

10

9

8

7

⁄ 공통부분을 A로놓기

¤ A의값구하기

‹ x+y의값구하기

› 순서쌍 (x, y)의개수구하기

채점기준

20%

30%

20%

30%

배점


36


① x¤ =4에서 x¤ -4=0이므로

b¤ -4ac=0¤ -4_1_(-4)=16>0

∴서로다른두근

② b¤ -4ac=(-5)¤ -4_1_(-3)=37>0


③ x(x-6)=9에서 x¤ -6x-9=0

b'¤ -ac=(-3)¤ -1_(-9)=18>0


④ b'¤ -ac=(-6)¤ -1_0=36>0


⑤ b'¤ -ac=4¤ -1_17=-1<0

∴ 근이없다.

ㄱ. b¤ -4ac=0¤ -4_9_(-4)=144>0


ㄴ. b¤ -4ac=3¤ -4_2_(-1)=17>0


ㄷ. b'¤ -ac=(-5)¤ -1_25=0

∴중근

ㄹ. b¤ -4ac=(-5)¤ -4_1_8=-7<0

∴근이없다.

따라서서로다른두근을갖는것은ㄱ, ㄴ의 2개이다.

① b¤ -4ac=(-1)¤ -4_2_0=1>0


② b'¤ -ac=(-2)¤ -1_1=3>0


③ b'¤ -ac=2¤ -3_(-2)=10>0


④ x¤ =6x-9에서

x¤ -6x+9=0

b'¤ -ac=(-3)¤ -1_9=0

∴중근

⑤ b¤ -4ac=(-1)¤ -4_1_3=-11<0

∴근이없다.

중근을가지므로

k¤ -4(3+k)=0에서

k¤ -4k-12=0

(k+2)(k-6)=0

∴ k=-2 또는 k=6

4

3

2

1

유형 16~18 P. 72~73

1 ⑤ 2 ② 3 ⑤ 4 ③

5 -4, 2, 과정은풀이참조 6 ④ 7 ④ 8 ③

9 ① 10 ⑤ 11 14 12 ⑤ 13 ①

[다른풀이]

좌변이완전제곱식이되려면

(상수항)={ }2이어야하므로

3+k={ }2에서 k¤ -4k-12=0

(k+2)(k-6)=0 ∴ k=-2 또는 k=6

x¤ +2m(x-1)+8=0에서 x¤ +2mx-2m+8=0

중근을가지므로

m¤ -(-2m+8)=0 y`⁄

m¤ +2m-8=0, (m+4)(m-2)=0

∴ m=-4 또는 m=2 y`¤

중근을가지므로 (-m)¤ -4_4_16=0

m¤ =16¤ ∴ m=—16

⁄ m=-16일때,

4x¤ +16x+16=0, 4(x¤ +4x+4)=0

4(x+2)¤ =0 ∴ x=-2(중근)

¤ m=16일때,

4x¤ -16x+16=0, 4(x¤ -4x+4)=0

4(x-2)¤ =0 ∴ x=2(중근)

따라서양수인중근을갖도록하는 m의값은 16이다.

서로다른두근을가지므로 (-2)¤ -2k>0

2k<4 ∴ k<2

서로다른두근을가지므로

2¤ -(2k-4)>0, -2k+8>0

-2k>-8 ∴ k<4

따라서정수 k의값중가장큰수는 3이다.

근을갖지않으므로

3¤ -4(6-m)<0, 9-24+4m<0

4m<15 ∴ m<

해가없으므로

(2k-1)¤ -4(k¤ +3)<0

-4k-11<0 ∴ k>-

따라서상수 k의값이될수있는것은⑤ -2이다.

근을갖지않으므로

(-4)¤ -2(m-5)<0, 16-2m+10<011

114

10

:¡4∞:

9

8

7

6

5

;2K;

x의계수2

⁄ 중근을가질조건을이용하여 m에대한식세우기

¤ m의값구하기

채점기준

50%

50%

배점


유형편파워

37


2m>26 ∴ m>13

따라서정수 m의값중가장작은수는 14이다.

(3x+1)¤ =a-3에서 9x¤ +6x-a+4=0

이이차방정식이해를가지므로

3¤ -9(-a+4)æ0, 9+9a-36æ0, 9aæ27∴ aæ3

x¤ -4x+m+3=0이서로다른두근을가지므로

(-2)¤ -(m+3)>0

1-m>0 ∴ m<1 y`㉠⋯

(m¤ +1)x¤ +2(m-3)x+2=0이중근을가지므로

(m-3)¤ -2(m¤ +1)=0

m¤ -6m+9-2m¤ -2=0, m¤ +6m-7=0

(m+7)(m-1)=0

∴ m=-7 또는 m=1 y`㉡⋯

따라서㉠, ㉡에의해 m=-7

13

12

유형 19~까다로운유형 P. 74~75

1 ③ 2 ⑤ 3 ③ 4 ⑤ 5 ②

6 16, 과정은풀이참조 7 8 ⑤

9 6, 과정은풀이참조 10 ⑴ 6 ⑵ 5 11 8

12 ⑤ 13 ③

32

a+b=- =

(x-3)¤ =5에서 x¤ -6x+9=5, x¤ -6x+4=0

∴(두근의합)=- =6, (두근의곱)= =4

양변에 2를곱하면 2x-(x¤ +1)=6(x-1)

2x-x¤ -1=6x-6, x¤ +4x-5=0

따라서두근의합은 a=-4, 두근의곱은 b=-5이므로

a-b=-4-(-5)=1

두근의합이 -6이므로 - =-6 ∴ a=4

두근의곱이 -10이므로 =-10 ∴ b=4

∴ ab=4_4=16

x¤ -2x-k=0이중근을가지므로

(-1)¤ -1_(-k)=0 ∴ k=-1

즉, (1-k)x¤ -kx-6=0에서 2x¤ +x-6=0이므로

두근의곱은 =-3-62

5

-5b2

3a24

3

41

-61

2

16

-161

x¤ -5x+2=0에서

a+b=- =5, ab= =2 y`⁄

x¤ +9x+m=0의두근이 a+2, b+2이므로

m=(a+2)(b+2) y`¤

=ab+2a+2b+4=ab+2(a+b)+4

=2+2_5+4=16 y`‹

a+b=- , ab=-1이므로

+ = = =

a+b=3(①), ab=-1(②)이므로

③ + = = =-3

④ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=3¤ -2_(-1)=11

⑤ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

=3¤ -4_(-1)=13

a+b=4, ab=2이므로 y`⁄

+ = = y`¤

= =6 y`‹

⑴ 양변에 5를곱하면

x¤ -2x=8, x¤ -2x-8=0

이때 a+b=2, ab=-8이므로

(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=2¤ -4_(-8)=36

∴ |a-b|='3å6=6

⑵ 양변에 12를곱하면

3x(x+1)-4x(x-2)=2(2x+3)

3x¤ +3x-4x¤ +8x=4x+6

x¤ -7x+6=0

이때 a+b=7, ab=6이므로

(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=7¤ -4_6=25

∴ |a-b|='2å5=5

10

4¤ -2_22

(a+b)¤ -2abab

a¤ +b¤ab

ab

ba

9

3-1

a+bab

1b

1a

8

32

-;2#;

-1a+bab

1b

1a

327

21

-51

6

⁄ a+b, ab의값구하기

¤ m을 a+2, b+2를이용하여나타내기

‹ m의값구하기

채점기준

40%

20%

40%

배점


¤ + 를 a+b, ab를이용하여나타내기

‹ + 의값구하기ab

ba

ab

ba

채점기준

40%

40%

20%

배점


38


+ =

=

=

이때 a+b=3, ab=-2이므로

(주어진식)= = =8

p+q=a, pq=1이므로

p¤ q+pq¤ =pq(p+q)=1_a=4 ∴ a=4

Ax¤ -2x+3=0이중근을가지므로

(-1)¤ -A_3=0 ∴ A=

즉, x¤ - x-2=0에서

a+b= , ab=-2이므로

+ = = =- 16

;3!;

-2a+bab

1b

1a

;3!;

;3!;

;3!;

13

12

162

3¤ -2_(-2)+3-2+3+1

(a+b)¤ -2ab+(a+b)ab+(a+b)+1

a¤ +b¤ +(a+b)ab+(a+b)+1

b(b+1)+a(a+1)(a+1)(b+1)

ab+1

ba+111

유형 20~22 P. 76~77

1 ② 2 99, 과정은풀이참조 3 -12 4 15

5 -3x¤ +9x+30=0 6 ④ 7 ② 8 -2

9 ① 10 ② 11 ② 12 x¤ +2x-8=0 13 ②

14 2x¤ +x-6=0, 과정은풀이참조

두근을 a, a+5라하면

두근의합에서 a+(a+5)=3

2a+5=3 ∴ a=-1

즉, 두근이 -1, 4이므로두근의곱에서

-1_4=m ∴ m=-4

두근을 a, a+1이라하면 y`⁄

두근의합에서 a+(a+1)=19

2a+1=19 ∴ a=9

즉, 두근이 9, 10이므로 y`¤

두근의곱에서 9_10=k ∴ k=90 y`‹

∴ (작은근)+k=9+90=99 y`›

2

1

두근을 2a, 3a라하면

두근의합에서 2a+3a=10, 5a=10

∴ a=2

즉, 두근이 4, 6이므로

두근의곱에서 4_6=-2n, 2n=-24

∴ n=-12

두근을 a, 3a라하자.

두근의차는 6이고, 3a가큰근이므로

3a-a=6, 2a=6 ∴ a=3

따라서두근은 3, 9이므로

두근의합에서 3+9=-m ∴ m=-12

두근의곱에서 3_9=n ∴ n=27

∴ m+n=-12+27=15

-3(x+2)(x-5)=0, -3(x¤ -3x-10)=0

∴ -3x¤ +9x+30=0[다른풀이]

두근의합은 -2+5=3, 두 근의곱은 -2_5=-10이

므로 x¤의계수가 -3인이차방정식은

-3(x¤ -3x-10)=0 ∴ -3x¤ +9x+30=0

6{x+ } {x- }=0, 6{x¤ + x- }=0

∴ 6x¤ +x-1=0[다른풀이]

두근의합은 - + =- ,

두근의곱은 {- }_ =- 이므로

x¤ 의계수가 6인이차방정식은

6{x¤ + x- }=0 ∴ 6x¤ +x-1=0

두근이 -2, 3이고, x¤ 의계수가 1이므로

(x+2)(x-3)=0, x¤ -x-6=0

∴ a=-1, b=-6[다른풀이]

두근의합에서 -2+3=-a ∴ a=-1

두근의곱에서 -2_3=b ∴ b=-6

두근이 , - 이고, x¤ 의계수가 10이므로

10{x- } {x+ }=0

10{x¤ + x- }=0

10x¤ +3x-1=0

따라서 a=-3, b=1이므로

a+b=-3+1=-2

;1¡0;;1£0;

;2!;;5!;

;2!;;5!;8

7

;6!;;6!;

;6!;;3!;;2!;

;6!;;3!;;2!;

;6!;;6!;;3!;;2!;6

5

4

3

⁄ 두근을 a, a+1로놓기

¤ 두근구하기

‹ k의값구하기

› 답구하기

채점기준

20%

30%

30%

20%

배점


유형편파워

39


[다른풀이]

두근의합에서

+{- }= ∴ a=-3

두근의곱에서

_{- }= ∴ b=1

∴ a+b=-3+1=-2

(x-2)(x-3)=0에서 x=2 또는 x=3

즉, 두근이 2, 3이고, x¤ 의계수가 2인이차방정식은

2(x-2)(x-3)=0

2(x¤ -5x+6)=0

2x¤ -10x+12=0

따라서 a=-10, b=12이므로

a+b=-10+12=2[다른풀이]

(x-2)(x-3)=0에서 x=2 또는 x=3

두근의합에서

2+3=- ∴ a=-10

두근의곱에서

2_3= ∴ b=12

∴ a+b=-10+12=2

두근이 -1, 5이고, x¤ 의계수가 1이므로

(x+1)(x-5)=0, x¤ -4x-5=0

∴ a=-4, b=5

즉, x¤ +5x+4=0에서

(x+4)(x+1)=0

∴ x=-4 또는 x=-1[다른풀이]

두근의합에서

-1+5=-a ∴ a=-4

두근의곱에서

-1_5=-b ∴ b=5

즉, x¤ +5x+4=0에서

(x+4)(x+1)=0

∴ x=-4 또는 x=-1

a+b=A로놓으면

(A-1)(A+2)-10=0

A¤ +A-12=0

(A+4)(A-3)=0

∴ A=-4 또는 A=3

그런데 A>0이므로

A=a+b=3

11

10

b2

a2

9

-b10

12

15

a10

12

15

이때 a, b는자연수이므로 a=1, b=2 또는 a=2, b=1

즉, 두근이 1, 2이고, x¤의계수가 1이므로

(x-1)(x-2)=0

∴ x¤ -3x+2=0

a+b=-4, ab=2이므로 a+b, ab를두근으로하고

x¤ 의계수가 1인이차방정식은

(x+4)(x-2)=0

∴ x¤ +2x-8=0

a+b=4, ab=3이므로

+ = =

_ = =

즉, , 을두근으로하는이차방정식은

a{x¤ - x+ }=0(a+0)의 꼴이므로 구하는 이차방정

식은 ② 3x¤ -4x+1=0이다.

a+b=- , ab=- 이므로 y`⁄

(a+1)+(b+1)=(a+b)+2

=- +2=- y`¤

(a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1

=- +{- }+1=-3 y`‹

따라서 a+1, b+1을두근으로하고, x¤ 의계수가 2인이

차방정식은

2{x¤ + x-3}=0 ∴ 2x¤ +x-6=0 y`›;2!;

52

32

12

52

32

5214

13

43

1b

1a

13

1ab

1b

1a

43

a+bab

1b

1a

13

12

유형 23~25 P. 78~79

1 ③ 2 2 3 x¤ +2x-2=0 4 ③ 5 1

6 x=-1 또는 x=4, 과정은풀이참조 7 ① 8 ③

9 ② 10 ③ 11 3, 4 12 24

13 9, 과정은풀이참조 14 4개


¤ 두근 a+1, b+1의합구하기

‹ 두근 a+1, b+1의곱구하기

› 이차방정식구하기

채점기준

30%

20%

20%

30%

배점


다른한근은 3-'2이므로

두근의곱에서

k=(3+'2)(3-'2)=3¤ -('2)¤ =7

다른한근은 1+'2이므로

두근의합에서

a=(1-'2)+(1+'2)=2

다른한근은 -1-'3이므로

두근의합은 (-1+'3)+(-1-'3)=-2

두근의곱은 (-1+'3)(-1-'3)=-2

따라서이차항의계수가 1인이차방정식은

x¤ +2x-2=0

1<'2<2에서 -2<-'2<-1, 3<5-'2<4이므로

5-'2의소수부분은 (5-'2)-3=2-'2

즉, 주어진이차방정식의근은 2—'2이므로

두근의합에서

- =(2+'2 )+(2-'2)=4

∴ b=-16

두근의곱에서

=(2+'2 )(2-'2)=2

∴ c=8

∴ b+c=-16+8=-8

호영이는상수항을바르게보았으므로

(x+2)(x-1)=0, x¤ +x-2=0에서 b=-2

선화는일차항의계수를바르게보았으므로

(x+5)(x-2)=0, x¤ +3x-10=0에서 a=3

∴ a+b=3+(-2)=1

(x+4)(x-1)=0, x¤ +3x-4=0에서 상수항을 바르게

보았으므로처음의식의상수항은 -4 y`⁄

(x+3)(x-6)=0, x¤ -3x-18=0에서일차항의계수를

바르게보았으므로처음의식의일차항의계수는 -3 y`¤

따라서처음의이차방정식은 x¤ -3x-4=0 y`‹

(x+1)(x-4)=0

∴ x=-1 또는 x=4 y`›

지우는상수항을바르게보았으므로

c=(1+'3 )(1-'3)=-27

6

5

c4

b4

4

3

2

1

40


예나는일차항의계수를바르게보았으므로

-b=(-2+'3)+(-2-'3)=-4

∴ b=4

∴ b+c=4+(-2)=2

=27

n¤ -3n-54=0

(n+6)(n-9)=0

∴ n=-6 또는 n=9

그런데 n>0이므로

n=9

따라서구하는다각형은구각형이다.

=120

n¤ +n-240=0

(n+16)(n-15)=0

∴ n=-16 또는 n=15


n=15

따라서 1부터 15까지의자연수를더해야한다.

=190, n¤ -n-380=0

(n+19)(n-20)=0

∴ n=-19 또는 n=20


n=20

따라서모임에참석한학생수는 20명이다.

연속하는두자연수를 x, x+1(x는자연수)이라하면

x¤ +(x+1)¤ =25

2x¤ +2x-24=0

x¤ +x-12=0

(x+4)(x-3)=0

∴ x=-4 또는 x=3

그런데 x는자연수이므로

x=3

따라서연속하는두자연수는 3, 4이다.

연속하는두홀수를 x, x+2(x는홀수)라하면

x(x+2)=143

x¤ +2x-143=0

(x+13)(x-11)=0

∴ x=-13 또는 x=11

그런데 x>0이므로 x=11

따라서연속하는두홀수는 11, 13이다.

∴ 11+13=24

12

11

n(n-1)210

n(n+1)29

n(n-3)28

⁄ 처음의식의상수항구하기

¤ 처음의식의일차항의계수구하기

‹ 처음의이차방정식구하기

› 처음의이차방정식의해구하기

채점기준

30%

30%

10%

30%

배점


유형편파워

41


[다른풀이]

연속하는두홀수를 2x-1, 2x+1(x는자연수)이라하면

(2x-1)(2x+1)=143, 4x¤ =144

x¤ =36 ∴ x=—6

그런데 x는자연수이므로 x=6

따라서연속하는두홀수는 11, 13이다.

∴ 11+13=24

연속하는세자연수를 x-1, x, x+1(x는 1보다큰자연

수)이라하면 y`⁄

(x+1)¤ =(x-1)¤ +x¤ -32 y`¤

x¤ +2x+1=x¤ -2x+1+x¤ -32

x¤ -4x-32=0

(x+4)(x-8)=0

∴ x=-4 또는 x=8 y`‹

그런데 x는 1보다큰자연수이므로 x=8

따라서가장큰수는 9이다. y`›

<x>¤ +5<x>-14=0

(<x>+7)(<x>-2)=0

∴<x>=-7 또는<x>=2

그런데<x>는자연수이므로

<x>=2이때 약수의 개수가 2개인 자연수는 소수이므로 한 자리의

자연수 x는 2, 3, 5, 7의 4개이다.

14

13

⁄ 세자연수를 x를이용하여나타내기

¤ x에대한이차방정식세우기

‹ 이차방정식풀기

› 가장큰수구하기

채점기준

20%

20%

40%

20%

배점

유형 26~28 P. 80~82

1 ④ 2 9명 3 ③ 4 ① 5 ② 6 ③

7 11m 8 ③ 9 ③ 10 6m, 과정은풀이참조

11 ③ 12 1cm 13 -1+'5 14 10초후

15 250보

언니의나이를 x살이라하면유리의나이는 (x-3)살이므로

x¤ =2(x-3)¤ -7

x¤ -12x+11=0

(x-1)(x-11)=0

∴ x=1 또는 x=11


따라서유리의언니의나이는 11살이다.

1

탐험대원의수를 x명이라하면각대원이가진보물의수는

(x-3)개이므로

x(x-3)=54, x¤ -3x-54=0

(x+6)(x-9)=0

∴ x=-6 또는 x=9


따라서탐험대원의수는모두 9명이다.

셋째주토요일을 x일이라하면첫째주토요일은

(x-14)일이므로

x(x-14)=51

x¤ -14x-51=0

(x+3)(x-17)=0

∴ x=-3 또는 x=17


따라서다음달셋째주토요일은 17일이다.

30+25t-5t¤ =50

t¤ -5t+4=0

(t-1)(t-4)=0

∴ t=1 또는 t=4

따라서물체를쏘아올린지 1초후또는 4초후이다.

25t-5t¤ +80=110

t¤ -5t+6=0

(t-2)(t-3)=0

∴ t=2 또는 t=3

따라서처음으로 110m의높이에도달하는것은던진지 2초후이다.

물체가지면에떨어질때의높이는 0m이므로

65t-5t¤ =0, t¤ -13t=0

t(t-13)=0

∴ t=0 또는 t=13

따라서지면에떨어질때까지걸리는시간은 13초이다.

세로의길이를 xm라하면가로의길이는 (x+5)m이므로

x(x+5)=176

x¤ +5x-176=0

(x+16)(x-11)=0

∴ x=-16 또는 x=11


따라서세로의길이는 11m이다.

가로의길이를 xcm라하면세로의길이는 (13-x)cm이

므로

x(13-x)=40, x¤ -13x+40=0

(x-5)(x-8)=0

∴ x=5 또는 x=8

8

7

6

5

4

3

2


42


따라서가로의길이가 5cm일때세로의길이는 8cm이고,

가로의길이가 8cm일때세로의길이는 5cm이므로

가로의길이와세로의길이의차는

8-5=3(cm)

△AED에서∠A=45˘이고

∠AED=90˘이므로△AED는직각이등변삼각형이다.

이때 BF”=xcm라하면

AE”=ED”=BF”=xcm즉, BE”=(10-x)cm이므로

x(10-x)=21

x¤ -10x+21=0

(x-3)(x-7)=0

∴ x=3 또는 x=7

그런데 BF”>BE”이므로 x=7

∴ BF”=7cm

직사각형모양의밭의넓이는

(x+2)(x-1)=40 y`⁄

x¤ +x-42=0, (x+7)(x-6)=0

∴ x=-7 또는 x=6 y`¤


따라서처음의정사각형모양의밭의한변의길이는 6m이다.

y`‹

CD”=xcm라하면사다리꼴의넓이는

_{2+(x+2)}_x=16이므로

x¤ +4x-32=0

(x+8)(x-4)=0

∴ x=-8 또는 x=4


따라서 CD”의길이는 4cm이다.

OP”=xcm라하면

AO”=BO”=3cm이므로

AP””=(3+x)cm, PB”=(3-x)cm즉, (3+x)¤ =4(3-x)¤

x¤ +6x+9=4x¤ -24x+36

x¤ -10x+9=0, (x-1)(x-9)=0

∴ x=1 또는 x=9

그런데 0<x<3이므로 x=1

따라서 OP”의길이는 1cm이다.

12

;2!;

A D

CB

2 cm

2 cm45˘

x cm x cm

x cm

11

10

(10-x)cm

x cm

x cm

x cm

A

D

CFB

E

9

⁄ 이차방정식세우기

¤ 이차방정식풀기

‹ 정사각형모양의밭의한변의길이구하기

채점기준

30%

40%

30%

배점

□AEFD는정사각형이므로

AE”=AD”=x

∴ BE”=2-x

□ABCDª□BCFE이므로

AB”：AD”=BC”：BE”에서

2：x=x：(2-x)

x¤ =2(2-x)

x¤ +2x-4=0

∴ x=-1—'5

그런데 0<x<2이므로

x=-1+'5

두점 P, Q가출발한지 t초후에

CP”=BC”-BP”=40-2t(cm)

CQ”=3tcm

이때 △PCQ= _CP”_CQ”=300에서

_(40-2t)_3t=300

3t¤ -60t+300=0

t¤ -20t+100=0

(t-10)¤ =0

∴ t=10

따라서 10초후에 △PCQ의넓이가 300cm ¤가된다.

오른쪽 그림과 같이 성벽

을 정사각형 DEFG, 북문을 H, 북문에서북쪽으

로 20보거리에있는나무

를 A, 남문을 I, 남문에

서남쪽으로 14보거리에

있는 곳을 C, C에서 직

각으로꺾어서쪽으로 1775보거리에있는곳을 B라하자.

DH”=x보라하면

AC”=(2x+34)보이때△ADHª△ABC(AA 닮음)이므로

AH”：AC”=DH”：BC”에서

20：(2x+34)=x：1775

x(2x+34)=35500

x¤ +17x-17750=0

(x+142)(x-125)=0

∴ x=-142 또는 x=125

그런데 x>0이므로

x=125

따라서성벽의한변의길이는

2_125=250(보)

B C

E

D

A

G

FI

Hx보

1775보

20보

북문

남문

서문 동문

14보

15

;2!;

;2!;

14

13


유형편파워

43


유형 29~31 P. 82~83

1 96pcm‹ 2 ② 3 6 4 10m

5 4, 과정은풀이참조 6 ① 7 ③

원기둥의높이를 3xcm, 밑면의반지름의길이를 2xcm라

하면이원기둥의옆넓이는

(2p_2x)_3x=48p

x¤ =4

∴ x=—2


따라서이원기둥의높이는 6cm, 밑면의반지름의길이는

4cm이므로부피는

(p_4¤ )_6=96p(cm‹ )

AB”=xcm라하면

OA”=(x+1)cm이므로

색칠한부분의넓이는

p {(x+1)+x} ¤ -p(x+1)¤ =40p

4x¤ +4x+1-(x¤ +2x+1)=40

3x¤ +2x-40=0

(x+4)(3x-10)=0

∴ x=-4 또는 x=

그런데 x>0이므로 x=

따라서 AB”의길이는 cm이다.

AC”=x라하면

CB”=20-x이므로

(색칠한부분의넓이)

=(AB”를지름으로하는반원의넓이)

-(AC”를지름으로하는반원의넓이)

-(CB”를지름으로하는반원의넓이)

21p= _p_{ }2 - _p_{ }2 - _p_{ }2

21=50- -

+ -29=0

x¤ +(20-x)¤ -232=0

x¤ +400-40x+x¤ -232=0

2x¤ -40x+168=0

x¤ -20x+84=0

(x-6)(x-14)=0

∴ x=6 또는 x=14

그런데 AC”<CB”이므로 x=6

∴ AC”=6

(20-x)¤8

x¤8

(20-x)¤8

x¤8

20-x2

12

x2

12

202

12

3

:¡3º:

:¡3º:

:¡3º:

2

1

처음의꽃밭의세로의길이를 xm라하면가로의길이는 2xm

위의그림의두직사각형에서색칠한부분의넓이는같으므로

x(2x-2)=40

x¤ -x-20=0

(x+4)(x-5)=0

∴ x=-4 또는 x=5

그런데 x>1이므로

x=5

따라서처음의꽃밭의가로의길이는

2_5=10(m)

위의그림의두직사각형에서색칠한부분의넓이는같으므로

(30-x)(24-x)=520 y`⁄

x¤ -54x+200=0

(x-4)(x-50)=0

∴ x=4 또는 x=50 y`¤

그런데 0<x<24이므로

x=4 y`‹

물받이의단면은세로의길이가 xcm, 가로의길이가

(40-2x)cm인직사각형이므로그넓이는

x(40-2x)=200

40x-2x¤ =200

∴ x¤ -20x+100=0

처음의정사각형모양의종이의한변의길이를 xcm라하면

(x-4)¤ _2=128

(x-4)¤ =64

x-4=—8

∴ x=-4 또는 x=12


따라서처음의정사각형모양의종이의한변의길이는 12cm이다.

7

6

xm

xm

30m

24m

xm

xm30m

24m

5

xm

2xm

2m

xm

2m

2xm

4

⁄ 이차방정식세우기

¤ 이차방정식풀기

‹ x의값구하기

채점기준

30%

40%

30%

배점


44


1 ③ 2 ② 3 6 4 ④

5 x= 또는 x=2 6 ④ 7 4

8 a=-2, b=5, 과정은풀이참조 9 ⑤ 10 2

11 ① 12 11 13 ③ 14 x=2—'1å3 15 ②

16 ③ 17 k… 18 ⑤ 19 ③ 20 ②

21 2x¤ +5x-3=0, 과정은풀이참조 22 ③

23 (2, 6) 24 30 25 26 1

27 14단계 28 5개

1+'52

;3$;

;2#;


3x¤ +7x=2x(ax+1)에서

(3-2a)x¤ +5x=0


3-2a+0 ∴ a+

x=-2를대입하면 (-2)¤ +4_(-2)+3+0

x=-1을대입하면 (-1)¤ +4_(-1)+3=0

x=0을대입하면 0¤ +4_0+3+0

x=1을대입하면 1¤ +4_1+3+0

x=2를대입하면 2¤ +4_2+3+0

따라서주어진이차방정식의해는 x=-1이다.

x¤ +x-1=0에 x=a를대입하면

a¤ +a-1=0

즉, a¤ +a=1

∴(주어진식)=a‹ (a¤ +a-1)+(a¤ +a)+5

=a‹ _0+1+5=6

2x+3=0 또는 x-3=0이므로

2x+3=0에서 x=-

x-3=0에서 x=6

∴ x=- 또는 x=6

(x-3)(x-4)=-x¤ +6에서

2x¤ -7x+6=0

(2x-3)(x-2)=0

∴ x= 또는 x=2

x¤ +3x-10=0에서

(x+5)(x-2)=0

∴ x=-5 또는 x=2

5x¤ -7x=6, 즉 5x¤ -7x-6=0에서

(5x+3)(x-2)=0

6

;2#;

5

;2#;

;2!;

;2#;

;2!;4

3

2

;2#;

1

∴ x=- 또는 x=2

따라서공통인근은 x=2이다.

3x¤ -ax-6=0에 x=-3을대입하면

3_(-3)¤ -a_(-3)-6=0

3a=-21

∴ a=-7

x¤ +14x+3b=0에 x=-3을대입하면

(-3)¤ +14_(-3)+3b=0

3b=33

∴ b=11

∴ a+b=-7+11=4

x¤ +ax-3=0에 x=3을대입하면

3¤ +3a-3=0, 3a=-6

∴ a=-2 y`⁄

즉, x¤ -2x-3=0에서

(x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

이때 x=-1이 3x¤ +8x+b=0의근이므로 y`¤

3_(-1)¤ +8_(-1)+b=0

∴ b=5 y`‹

ㄱ. 9x¤ -4=0, 9x¤ =4, x¤ =

∴ x=—

ㄴ. x¤ -2x+1=0

(x-1)¤ =0

∴ x=1(중근)

ㄷ. 3x¤ -12x+12=0

x¤ -4x+4=0

(x-2)¤ =0

∴ x=2(중근)

ㄹ. x¤ =0

∴ x=0(중근)

2x¤ +8x+10-k=0에서

x¤ +4x+5- =0


5- ={ } 2 , =1

∴ k=2

;2K;;2$;;2K;

;2K;

10

;3@;

;9$;9

8

7

;5#;


¤ 다른한근구하기

‹ b의값구하기

채점기준

30%

40%

30%

배점


유형편파워

45


2x¤ -8x+5=0, x¤ -4x+ =0

x¤ -4x=- , x¤ -4x+4=- +4

(x-2)¤ = ∴ a=-2, b=

∴ ab=(-2)_ =-3

x=

= =

따라서 A=4, B=7이므로

A+B=4+7=11

x¤ +(a-1)x-a=0에서

x=

=

=

=

∴ x=-a 또는 x=1

a는자연수이므로 a=4일때두근사이의정수는 -3, -2,

-1, 0의 4개가된다.

∴ a=4

양변에 4를곱하면

12x-(x¤ -1)=8(x-1)

12x-x¤ +1=8x-8

x¤ -4x-9=0

∴ x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-9)=2—'1å3

양변에 10을곱하면

x¤ +4x-10a=0

∴ x=-2—"√2¤ -1_(-10a)

=-2—'ƒ4+10a

=-2—'3

이때 4+10a=3이므로

10a=-1 ∴ a=-

2x+1=A로놓으면

A¤ +2A-35=0

(A+7)(A-5)=0

∴ A=-7 또는 A=5

즉, 2x+1=-7 또는 2x+1=5

∴ x=-4 또는 x=2

16

;1¡0;

15

14

(-a+1)—(a+1)2

(-a+1)—"√(a+1)¤2

-(a-1)—"√a¤ -2a√+1+4a2

-(a-1)—"√(a-1)¤ -4 √_1_(-a)2_1

13

4—2'73

4—'2å83

-(-4)—"√(-4)¤ -3_(-4)312

;2#;

;2#;;2#;

;2%;;2%;

;2%;11근을가지므로 2¤ -3kæ0

3k…4 ∴ k…

a=- = , b= =-2이므로

3a-b=3_ -(-2)=4

x¤ +x-k=0에서두근이정수이고, 그합이 -1이므로두

근을 n, -(n+1)(n은정수)로놓자.

두근의곱에서 -k=n_{-(n+1)}, k=n(n+1)

이때 1<k<20이므로

k=1_2, (-2)_(-1), 2_3, (-3)_(-2),

3_4, (-4)_(-3)

따라서정수 k는 2, 6, 12의 3개이다.

두근이 -4, 2이고, x¤의계수가 2이므로

2(x+4)(x-2)=0

2(x¤ +2x-8)=0

∴ 2x¤ +4x-16=0

따라서 b=4, c=-16이므로

b+c=4+(-16)=-12[다른풀이]

두근의합에서

-4+2=-

∴ b=4

두근의곱에서

-4_2=

∴ c=-16

∴ b+c=4+(-16)=-12

a+b=- , ab= =-3이므로 y`⁄

(a-1)+(b-1)=(a+b)-2

=- -2=-

(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1

=-3-{- }+1=- y`¤

따라서구하는이차방정식은

2{x¤ + x- }=0

∴ 2x¤ +5x-3=0 y`‹

;2#;;2%;

;2#;;2!;

;2%;;2!;

-62;2!;21

;2C;

;2B;

20

19

;3@;

-63;3@;

-2318

;3$;

17


¤ 두근 a-1, b-1의합과곱구하기

‹ 이차방정식구하기

채점기준

30%

40%

30%

배점


46


어떤자연수를 x라하면

2x=x¤ -15, x¤ -2x-15=0

(x+3)(x-5)=0

∴ x=-3 또는 x=5


따라서어떤자연수는 5이다.

점 P(a, b)는 y=-x+8의그래프위의점이므로

b=-a+8

즉, OQ”=a, OR”=b=-a+8

이때 □OQPR의넓이가 12이므로

a(-a+8)=12

a¤ -8a+12=0

(a-2)(a-6)=0

∴ a=2 또는 a=6

즉, a=2일때 b=6이고, a=6일때 b=2이다.

그런데 a<b이므로점 P의좌표는 (2, 6)이다.

(판매금액)=5000{1+ }{1- }

=5000{1- }=5000- (원)

이때 450원의손해를보았으므로

(판매금액)-(원가)=-450(원)

{5000- }-5000=-450

x¤ =900 ∴ x=—30


오른쪽그림에서 AC”=x라하자.

△ABC에서 AB”=BC”이고

∠ABC=

=108˘이므로∠BCA=∠BAC=36˘마찬가지로△EAB에서

∠ABE=36˘∴△ABCª△APB(AA 닮음)

또∠CBP=∠CPB=72˘이므로

CP”=CB”=1에서 AP”=x-1AB”：AP”=AC”：AB”에서

1：(x-1)=x：1

x(x-1)=1, x¤ -x-1=0

∴ x= =

그런데 x>0이므로 x=

따라서선분 AC의길이는 이다.1+'5

2

1+'52

1—'52

-(-1)—"√(-1)¤ -4√_1_(-1)2

180˘_(5-2)5

A

B E

C D

136˘

36˘

36˘

72˘1 xP72˘

25

x¤2

x¤2

x¤10000

x100

x10024

23

22 가로, 세로, 대각선에있는세수

의합이모두같으므로

(x-2)+B+{(x-2)¤ +2}=B+(x+1)+(x-1)

x¤ -5x+4=0

(x-1)(x-4)=0

∴ x=1 또는 x=4


이때 x=4를대입하면오른쪽과같으므

로

4+5+6=4+3+C

∴ C=8

4+3+8=6+A+8

∴ A=1

사용된바둑돌의개수는

1단계에는 (1_2)개,

2단계에는 (2_3)개,

3단계에는 (3_4)개,

4단계에는 (4_5)개, y

이므로 n단계에는 n_(n+1)개이다.

따라서 210개의바둑돌이사용된단계는

n_(n+1)=210, n¤ +n-210=0

(n+15)(n-14)=0

∴ n=-15 또는 n=14

그런데 n>0이므로 n=14

따라서 210개의바둑돌이사용된직사각형모양은 14단계

이다.

십자모양에서가로로놓인돌의개수를 x개라하면돌전체

의개수는 (2x-1)개이다.

이때돌의반지름의길이는 1m이므로연못의반지름의길

이는 xm이고, 연못전체의넓이는 px¤ m¤또돌 1개의넓이는 pm¤이므로돌전체의넓이는

p(2x-1)m¤즉, 연못에서돌이놓이지않은부분의넓이는

px¤ -p(2x-1)= _px¤

x¤ -2x+1= x¤

x¤ -2x+1=0, 5x¤ -18x+9=0

(5x-3)(x-3)=0

∴ x= 또는 x=3

그런데 x는자연수이므로 x=3

따라서돌전체의개수는

2_3-1=5(개)

35

59

49

49

28

27

B

6 A C

3

4

5

2

B

(x-2)™+2 A C

x+1 x-1

x-2 x26


47

Ⅲ.이차함수

유형편파워

유형편Ⅲ.이차함수

파워

1 이차함수와그그래프

유형 1~3 P. 90~91

1 ③ 2 ㄷ, ㅂ

3 ⑴ y=2x¤ +9x+9 ⑵이차함수이다. 4 ③ 5 ⑤

6 ⑤ 7 ④ 8 6 9 ④ 10 ② 11 ③

12 ③ 13 1, 과정은풀이참조

① y=2x+1 ˙k 일차함수

② (x+2)¤ =x+3에서 x¤ +3x+1=0 ˙k 이차방정식

③ y=5+x¤ ˙k 이차함수

④ y=x¤ -x(x+1)=-x ˙k 일차함수

⑤ y= ˙k 이차함수가아니다.

ㄱ. y=3x(x+1)=3x¤ +3x ˙k 이차함수

ㄴ. y=2x¤ -5x+1 ˙k 이차함수

ㄷ. y=x(x-4)-x¤ =-4x ˙k 일차함수

ㄹ. y=(x-2)(x+7)=x¤ +5x-14 ˙k 이차함수

ㅁ. y= = x¤ - ˙k 이차함수

ㅂ. x¤ +3x=0 ˙k 이차방정식

⑴ x분후직사각형의가로와세로의길이는각각

(3+x)cm, (3+2x)cm따라서직사각형의넓이는

y=(3+x)(3+2x) ∴ y=2x¤ +9x+9

⑵ 이차함수이다.

ㄱ. y=3x ˙k 일차함수

ㄴ. y=p_{ x}¤= px¤ ˙k 이차함수

ㄷ. y=x‹ ˙k 이차함수가아니다.

ㄹ. y=px¤ _10=10px¤ ˙k 이차함수

ㅁ. y= ˙k 이차함수가아니다.

y=3x¤ -ax(x+2)+5=3x¤ -ax¤ -2ax+5

=(3-a)x¤ -2ax+5

따라서이차항의계수가 0이아니어야하므로

3-a+0 ∴ a+3

y=k¤ x¤ +k(x-4)¤ =(k¤ +k)x¤ -8kx+16k

따라서이차항의계수가 0이아니어야하므로

k¤ +k+0, k(k+1)+0

∴ k+-1이고 k+0

6

5

5x

14

12

4

3

12

12

x¤ -12

2

5x¤

1

f(-1)=2_(-1-1)¤ +1

=2_4+1=9

f(2)=-2¤ -5_2+7=-7

f(-2)=-(-2)¤ -5_(-2)+7=13

∴ f(2)+f(-2)=-7+13=6

f(-2)=2_(-2)¤ -a_(-2)+1=-1이므로

2a+9=-1, 2a=-10

∴ a=-5

즉, f(x)=2x¤ +5x+1이므로

f(1)=2_1¤ +5_1+1=8

∴ b=8

∴ a+b=-5+8=3

f(a)=2a¤ -3a-1=1이므로

2a¤ -3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0

∴ a=- 또는 a=2

그런데 a는정수이므로 a=2

y=-2x¤ 에주어진점의좌표를각각대입하면

① -8=-2_(-2)¤

② -2=-2_(-1)¤

③ -2+-2_0¤

④ -2=-2_1¤

⑤ -18=-2_3¤

y= x¤ 의그래프가점 (6, k)를지나므로

k= _6¤ =12

y=ax¤ 의그래프가점 (4, 8)을지나므로

8=a_4¤

∴ a= y`⁄

즉, y= x¤의그래프가점 (-2, b)를지나므로

b= _(-2)¤ =2 y`¤

∴ ab= _2=1 y`‹;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

13

;3!;

;3!;12

11

12

10

9

8

7


¤ b의값구하기

‹ ab의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

(47~64)유형해설3단원-OK.ps 2014.9.24 08:55 PM 페이지47 MAC3

48


y=-3x¤ 과 y=3x¤ , y=- x¤과 y= x¤의 2쌍이다.

y=x¤ 의그래프가점 (m, m+2)를지나므로

m+2=m¤ , m¤ -m-2=0

(m+1)(m-2)=0

∴ m=-1 또는 m=2

그런데 m>0이므로 m=2

y=ax¤ 의그래프가점 (2, -2)를지나므로

-2=a_2¤ ∴ a=-

따라서 y=- x¤의그래프와 x축에서로대칭인그래프

의식은 y= x¤이다.

x¤ 의계수의절댓값이클수록그래프의폭이좁아지므로

ㄷ－ㄴ－ㄱ－ㄹ

y=-3x¤ 의그래프는위로볼록하면서 y=-x¤ 의그래프보

다폭이좁으므로㉢이다.

a가양수이고, y=ax¤ 의그래프가 y= x¤의그래프보다

폭이좁고 y=4x¤ 의그래프보다폭이넓으므로

<a<4

⑤ y= x¤에 x=3을대입하면 y= _3¤ =6

따라서점 (3, 6)을지난다.

② x¤의계수가음수이면그래프가위로볼록하므로ㄹ, ㅁ,

ㅂ이다.

④ x¤의계수의절댓값이작을수록그래프의폭이넓어지므

로ㅂ이다.

① 꼭짓점이좌표는 (0, 0)이다.

② a>0이면아래로볼록한포물선이다.

④ a의절댓값이클수록그래프의폭이좁아진다.

⑤ a= 일때, 점 (2, 2)를지난다.;2!;

9

8

23

237

14

146

5

4

12

12

12

3

2

13

131

포물선의꼭짓점이원점이므로 y=ax¤ 으로놓자.

그래프가점 (6, -12)를지나므로

-12=a_6¤ ∴ a=-

∴ y=- x¤

포물선의꼭짓점이원점이므로 y=ax¤ 으로놓자. y`⁄

그래프가점 (-1, 4)를지나므로

4=a y`¤

즉, y=4x¤ 의그래프가점 (2, m)을지나므로

m=4_2¤ =16 y`‹

㈎에서 y=ax¤ 으로놓자.

㈏에서그래프가점 (3, 6)을지나므로

6=9a ∴ a=

∴ y= x¤23

23

12

11

;3!;

;3!;

10

유형 8~9 P. 94~95

1 풀이참조 2 (0, 7) 3 ① 4 19

5 -1, 과정은풀이참조 6 ④ 7 ⑤ 8 ②

9 ⑤ 10 ④ 11 a=-1, p=2 12 ①, ④


y=-2x¤ +k의그래프가점 (2, -1)을지나므로

-1=-2_2¤ +k

∴ k=7

즉, y=-2x¤ +7의그래프의꼭짓점의좌표는 (0, 7)이다.

평행이동한그래프의식은

y= x¤ -5

이그래프가점 (6, m)을지나므로

m= _6¤ -5=1923

23

4

2

y=x¤+1

y

O x

2

-2 2 4-4

41

⁄ 이차함수의식을 y=ax¤으로놓기

¤ a의값구하기

‹ m의값구하기

채점기준

20%

40%

40%

배점

유형 4~7 P. 92~93

1 2쌍 2 ③ 3 ③ 4 ④ 5 ㉢ 6 ⑤

7 ⑤ 8 ②, ④ 9 ③ 10 y=- x¤

11 16, 과정은풀이참조 12 y= x¤23

13


y=ax¤ +q의그래프가두점 (1, -3), (-2, 3)을지나

므로

-3=a+q y`㉠, 3=4a+q y`㉡ y`⁄

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=2, q=-5 y`¤

∴ 2a+q=2_2+(-5)=-1 y`‹

④ x¤의계수가다르므로평행이동하여완전히포갤수없다.

① a>0일때, 아래로볼록하다.

② y축에대칭이다.

③ 축의방정식은 x=0이다.

④ 꼭짓점의좌표는 (0, q)이다.

y=3(x-1)¤ 의 그래프는 오른쪽 그림

과같으므로구하는 x의값의범위는

x>1

y=(x-p)¤ 의그래프가점 (1, 4)를지나므로

4=(1-p)¤ , 1-p=—2

∴ p=-1 또는 p=3

그런데 p>0이므로 p=3

즉, y=(x-3)¤ 의그래프의축의방정식은 x=3

꼭짓점의좌표가 (2, 0)이므로 p=2

즉, y=a(x-2)¤ 의그래프가점 (̀0, -4)를지나므로

-4=4a ∴ a=-1

②축의방정식은 x=2이다.

③꼭짓점의좌표는 (2, 0)이다.

⑤ y=-4x¤ 의그래프를 x축의방향으로 2만큼평행이동

한것이다.

y=0을대입하면 0= (x-p)¤

∴ x=p ∴ A(p, 0) y`⁄

x=0을대입하면

y= (0-p)¤ = p¤ ∴ B{0, p¤ } y`¤

즉, OB”=2OA”에서 y`‹

p¤ =2p, p¤ -4p=0, p(p-4)=0

∴ p=0 또는 p=4

그런데 p>0이므로 p=4 y`›

12

12

12

12

1213

12

11

10

y

x1

3

x=1

O

증가

9

7

6

5

유형편파워

49

Ⅲ.이차함수

⁄ a, q에대한식세우기

¤ a, q의값구하기

‹ 2a+q의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

⁄ 점 A의좌표구하기

¤ 점 B의좌표구하기

‹ p에대한식세우기

› p의값구하기

채점기준

20%

20%

20%

40%

배점

한번더연습~ 유형 10 P. 96~97

1 ④ 2 -5, 과정은풀이참조 3 ④ 4 ②

5 6 2, 4 7 ㄴ, ㄹ 8 ③ 9 ① 10 ③

11 ① 12 6 13 1 14 ③

12

y=3x¤ -2의그래프가점 (-1, k)를지나므로

k=3_(-1)¤ -2=1

평행이동한그래프의식은 y=- x¤ +a y`⁄

이그래프가점 (-2, -7)을지나므로

-7=- _(-2)¤ +a ∴ a=-5 y`¤

① y축에대칭이다.

②꼭짓점의좌표는 (0, -2)이다.

③ |1|>| |이므로 y=x¤ -2의그래프보다폭이넓다.

⑤ x¤ 의계수가다르므로평행이동하여완전히포갤수없다.

평행이동한그래프의식은 y=a(x+4)¤

이그래프가점 (-2, 2)를지나므로

2=a(-2+4)¤ , 4a=2

∴ a=


y=-3(x-m)¤

이그래프가점 (3, -3)을지나므로

-3=-3(3-m)¤ , (3-m)¤ =1

3-m=—1

∴ m=2 또는 m=4

ㄱ. 점 (-2, 0)을꼭짓점으로한다.

ㄷ. x<-2일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

ㅁ. y=3x¤ 의그래프를 x축의방향으로 -2만큼평행이동

한것이다.

7

6

12

5

12

3

12

122

1

⁄ 평행이동한그래프의식구하기

¤ a의값구하기

채점기준

50%

50%

배점


50


그래프가아래로볼록하므로 x¤의계수는양수이어야한다.

˙k ①, ③, ⑤

꼭짓점의좌표를각각구해보면

① (0, -1) ③ (2, -2) ⑤ (-2, -2)따라서꼭짓점이제4사분면위에있는것은③이다.

그래프가위로볼록하고, 축의방정식이 x=-1이므로

x<-1일때, x의값이증가하면 y의값도증가한다.

꼭짓점이 점 (1, -1)로 제4사분면

위에 있고 위로 볼록한 포물선이므로

그래프는오른쪽그림과같다.

따라서 그래프가 지나지 않는 사분면

은제1, 2사분면이다.


y=2(x-1)¤ -2

이그래프가점 (3, a)를지나므로

a=2(3-1)¤ -2=6

축의방정식이 x=-1이므로 p=-1

즉, y=a(x+1)¤ +3의그래프가점 (2, 12)를지나므로

12=a(2+1)¤ +3, 9a=9

∴ a=1

③꼭짓점의좌표는 (-3, -4)이다.14

13

12

y

xO-1

111

9

8

한번더연습~ 유형 13 P. 98~99

1 ⑤ 2 ③ 3 7 4 ②, ⑤ 5 ⑤

6 x=1, (1, -2) 7 ③ 8 ③ 9 ① 10 ①


12 ⑴ y=(x-2)¤ -3 ⑵ y=-2(x-1)¤ +3

13 -1 14 y= (x-1)¤ +5 15 312

평행이동한그래프의식은 y=- (x-2)¤ +p

이그래프가점 (-1, 2)를지나므로

2=- _(-1-2)¤ +p

2=-3+p ∴ p=5

즉, y=- (x-2)¤ +5의그래프가점 (5, q)를지나므로

q=- _(5-2)¤ +5=2

∴ p+q=5+2=7

13

13

13

133

② 축의방정식은 x=0이다.

④ 꼭짓점이 점 (4, 3)으로 제1사분면 위에 있고, 아래로

볼록한포물선이므로그래프는제3, 4사분면을지나지않

는다.

⑤ 축의방정식이 x=-1이고, 아래로볼록한포물선이므로

x<-1일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

x¤의계수가같으면그래프를평행이동하여완전히포갤수

있다.

y=-(x-2)¤ +1=-x¤ +4x-3에서

x¤의계수는 -1⑤ y=-2(x-2)¤ +1=-2x¤ +8x-7에서

x¤의계수는 -2[참고] 이차함수의그래프를평행이동해도 x¤의계수는변하지않

는다.

y=- (x+1)¤ +3에 x대신 x-2, y대신 y+5를대입

하면

y+5=- (x-2+1)¤ +3

∴ y=- (x-1)¤ -2

따라서축의방정식은 x=1, 꼭짓점의좌표는 (1, -2)

y=-3(x-5)¤ -4에 x 대신 x-k를대입하면

y=-3(x-k-5)¤ -4

=-3{x-(k+5)}¤ -4이때축의방정식은 x=k+5이므로

k+5=3

∴ k=-2

y=(x-3)¤ -1에 x 대신 x-a, y 대신 y-b를대입하면

y-b=(x-a-3)¤ -1

∴ y={x-(a+3)}¤ +b-1

이때꼭짓점의좌표는 (a+3, b-1)이므로

a+3=0, b-1=0

∴ a=-3, b=1

∴ a+b=-3+1=-2

y=3(x+1)¤ +4에 y대신 -y를대입하면

-y=3(x+1)¤ +4

∴ y=-3(x+1)¤ -4

y=-2(x-1)¤ 에 x대신 -x를대입하면

y=-2(-x-1)¤

∴ y=-2(x+1)¤

그래프가점 (1, m)을지나므로

m=-2_(1+1)¤ =-8

10

9

8

7

12

12

126

5

4


y=-3x¤ -a에 y대신 -y를대입하면

-y=-3x¤ -a ∴ y=3x¤ +a y`⁄

이식에 y대신 y-4를대입하면

y-4=3x¤ +a ∴ y=3x¤ +a+4 y`¤

이때 y=3x¤ +a+4가 y=bx¤ +1과일치하므로

3=b, a+4=1

∴ a=-3, b=3 y`‹

∴ a+b=-3+3=0 y`›

⑴ 꼭짓점의좌표가 (2, -3)이므로 y=a(x-2)¤ -3으로

놓자.

그래프가점 (0, 1)을지나므로

1=a(0-2)¤ -3, 4a=4

∴ a=1

∴ y=(x-2)¤ -3

⑵ 꼭짓점의좌표가 (1, 3)이므로 y=a(x-1)¤ +3으로

놓자.


1=a(0-1)¤ +3 ∴ a=-2

∴ y=-2(x-1)¤ +3

꼭짓점의좌표가 (1, 1)이므로 p=1, q=1

즉, y=a(x-1)¤ +1의그래프가점 (2, -2)를지나므로

-2=a(2-1)¤ +1 ∴ a=-3

∴ a+p+q=-3+1+1=-1

축의방정식이 x=1이므로 y=a(x-1)¤ +q로놓자.

그래프가두점 (-1, 7), (5, 13)을지나므로

7=a(-1-1)¤ +q, 13=a(5-1)¤ +q에서

7=4a+q y`㉠, 13=16a+q y`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

a= , q=5

∴ y= (x-1)¤ +5

축의방정식이 x=-1이므로 p=-1

즉, y=a(x+1)¤ +q의그래프가두점 (-3, 0),

(2, -5)를지나므로

0=a(-3+1)¤ +q, -5=a(2+1)¤ +q에서

0=4a+q y`㉠, -5=9a+q y`㉡


a=-1, q=4

∴ q-ap=4-(-1)_(-1)=3

15

12

12

14

13

12

11

유형편파워

51

Ⅲ.이차함수

⁄ 대칭이동한그래프의식구하기

¤ 평행이동한그래프의식구하기

‹ a, b의값구하기

› a+b의값구하기

채점기준

30%

30%

30%

10%

배점

유형 14 P. 100

1 ④ 2 a>0, p<0, q<0, 과정은풀이참조 3 ③

4 ③ 5 ㄱ, ㄷ

그래프가위로볼록하므로 a<0

꼭짓점 (0, b)에서 y좌표가양수이므로 b>0

그래프의모양이아래로볼록하므로 a>0 y`⁄

꼭짓점 (p, q)에서

x좌표가음수이므로 p<0 y`¤

y좌표가음수이므로 q<0 y`‹

a>0이므로그래프의모양은아래로볼록한포물선이고,

p>0, q<0이므로꼭짓점 (p, q)는제4사분면위에있다.

주어진그래프에서 a>0, b<0

b<0이므로 y=bx¤ +a의그래프는위로볼록하다.

또꼭짓점이점 (0, a)이고 a>0이므로꼭짓점은 y축위

에있으면서 x축보다위쪽에있다.

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프가

제1, 2, 3사분면만 지나려면 오른쪽 그

림과같아야한다.

ㄱ. 아래로볼록한포물선이다.

ㄷ. 꼭짓점이제3사분면위에있다.

ㄹ. a>0, p<0, q<0 ∴ apq>0

y

xO

5

4

3

2

1

⁄ a의부호정하기

¤ p의부호정하기

‹ q의부호정하기

채점기준

40%

30%

30%

배점

1 ④ 2 ④ 3 2 4 { , } 5 ④

6 ③, ④ 7 -10<a<- 8 ① 9 81 10 ①

11 7 12 x>2 13 ④ 14 ①, ⑤

15 - <a<0 16 3, 과정은풀이참조 17 ②

18 4 19 y=(x-2)¤ -1 20 -4, 과정은풀이참조

21 ③ 22 kg 23 ⑴ y= x¤ ⑵ 34.44m

24 { , } 2514

43

23

1150

32

54

13

14

14



52


y=ax¤ 의그래프가직사각형 ABCD의둘레위의서로다

른두점에서만나려면그그래프가 AC” 위의한점을지나

야한다.

y=ax¤ 의그래프가점 A(-3, -3)을지나면

-3=a_(-3)¤

∴ a=-

y=ax¤ 의그래프가점 C(-1, -10)을지나면

-10=a_(-1)¤

∴ a=-10

∴ -10<a<-

점 B(3, 3)은이차함수 y=ax¤ 의그래프위의점이므로

3=a_3¤ ∴ a=

이때이차함수 y= x¤의그래프는 y축에대칭이고,

CD”=12이므로점 C의 x좌표는 6이다.

즉, 점 C의 y좌표는

y= _6¤ =12

∴ □ABCD= _(12+6)_(12-3)=81

점 R의좌표를 (k, 0)이라하면

점 P의좌표는 (k, k¤ ), 점 Q의좌표는 (k, ak¤ )이다.

이때 PQ”=2QR”이므로

k¤ -ak¤ =2ak¤ , (3a-1)k¤ =0

그런데 k+0이므로 3a=1

∴ a=

평행이동한그래프의식은 y=ax¤ -2

이그래프가점 (1, 5)를지나므로

5=a_1¤ -2 ∴ a=7

그래프가위로볼록하고축의방정식이 x=2이므로

x>2일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

㈎에서꼭짓점의좌표가 (0, -1)이므로 y=ax¤ -1로놓

자.

㈏에서 -1<a<1, a+0

㈐에서그래프가제1, 2사분면을지나지않으므로그래프의

모양은위로볼록하다.

즉, a<0이므로 -1<a<0

따라서 y=ax¤ -1의꼴중 -1<a<0인것은

④ y=- x¤ -1이다.13

13

12

11

13

10

12

13

13

13

9

13

13

7① y=1600x ˙k 일차함수

② y=35x ˙k 일차함수

③ y=4x ˙k 일차함수

④ y=x_(5-x)

∴ y=-x¤ +5x ˙k 이차함수

⑤ xy=8

∴ y= ˙k 이차함수가아니다.

y=(ax+2)¤ -3a(x-1)(x+3)

=a¤ x¤ +4ax+4-3a(x¤ +2x-3)

=a¤ x¤ +4ax+4-3ax¤ -6ax+9a

=(a¤ -3a)x¤ -2ax+4+9a

이때이차항의계수가 0이아니어야하므로

a¤ -3a+0

a(a-3)+0

따라서 a는 a+0이고 a+3이어야한다.

f(a)=6에서

2a¤ -3a+4=6

2a¤ -3a-2=0

(2a+1)(a-2)=0

∴ a=- 또는 a=2

그런데 a>0이므로 a=2

점 A의좌표를 (a, a)라하면

a=4a¤

4a¤ -a=0

a(4a-1)=0

∴ a=0 또는 a=

이때점 A는원점이아니므로 a=

따라서점 A의좌표는 { , }

그래프가아래로볼록한것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ

이중에서 x¤의계수의절댓값이큰것부터나열하면 ㅁ, ㄱ,

ㄴ이므로

①ㅁ ②ㄱ ③ㄴ

그래프가위로볼록한것은ㄷ, ㄹ

이중에서 x¤의계수의절댓값이큰것부터나열하면 ㄹ, ㄷ

이므로

④ㄹ ⑤ㄷ

y=ax¤ 에서 - <a<0 또는 0<a<1인것을고르면③,

④이다.

126

5

14

14

14

14

4

12

3

2

16x

12

1


유형편파워

53

Ⅲ.이차함수

① y=3x¤ 의그래프를 x축의방향으로 -2만큼, y축의방

향으로 1만큼평행이동한그래프이다.

⑤제3, 4사분면을지나지않는다.

꼭짓점의좌표가 (-2, 5)이므로그

래프가모든사분면을지나려면위로

볼록해야한다.

즉, a<0 y`㉠

또 y축과만나는점이 x축보다위쪽

에있어야한다.

x=0일때, y=a(0+2)¤ +5=4a+5이므로

4a+5>0

∴ a>- y`㉡

따라서㉠, ㉡에서

- <a<0

y= (x-1)¤ +5에 x 대신 x-2, y 대신 y+4를대입하

면

y+4= (x-2-1)¤ +5

∴ y= (x-3)¤ +1 y`⁄

이그래프가점 (a, 1)을지나므로

1= (a-3)¤ +1 y`¤

(a-3)¤ =0

(a-3)¤ =0

a-3=0

∴ a=3 y`‹

y=2(x-2)¤ -6에 y 대신 -y를대입하면

-y=2(x-2)¤ -6

∴ y=-2(x-2)¤ +6

주어진이차함수의그래프가점 (1, 4)를지나므로

4=2(1-p)¤ +q

q=2+4p-2p¤ y`㉠

또주어진이차함수의그래프를 y축에대하여대칭이동하면

y=2(-x-p)¤ +q

∴ y=2(x+p)¤ +q

18

17

32

32

32

32

3216

54

54

O

y

x

5

-2

15

14

⁄ 평행이동한그래프의식구하기

¤ a에대한식세우기

‹ a의값구하기

채점기준

50%

20%

30%

배점

이때꼭짓점의좌표는 (-p, q)이고, 이점이직선

y=-5x+1 위에있으므로

q=5p+1 y`㉡

따라서㉠, ㉡에서

5p+1=2+4p-2p¤

2p¤ +p-1=0

(p+1)(2p-1)=0

∴ p=-1 또는 p=

그런데 p<0이므로

p=-1

∴ q=5p+1

=-5+1=-4

∴ = =4

꼭짓점의좌표가 (2, -1)이므로 y=a(x-2)¤ -1로놓자.


3=a(0-2)¤ -1

4a=4

∴ a=1

∴ y=(x-2)¤ -1

축의방정식이 x=1이므로

p=1 y`⁄

즉, y=a(x-1)¤ +q의그래프가두점 (3, 0), (0, -3)

을지나므로

0=a(3-1)¤ +q, -3=a(0-1)¤ +q에서

0=4a+q y`㉠

-3=a+q y`㉡ y`¤


a=1, q=-4 y`‹

∴ apq=1_1_(-4)

=-4 y`›

그래프의모양이위로볼록하므로

a<0

꼭짓점의 x좌표가음수이므로

-p<0 ∴ p>0

꼭짓점의 y좌표가양수이므로

q>0

21

20

19

-4-1

qp

12

⁄ p의값구하기

¤ a, q에대한식세우기

‹ a, q의값구하기

› apq의값구하기

채점기준

30%

20%

30%

20%

배점


54


E= mv¤ 에 v=2, E=3을대입하면

3= _m_2¤

∴ m=

따라서이물체의질량은 kg이다.

⑴ y는 x¤에정비례하므로 y=ax¤ 으로놓자.

시속 30km로달리는자동차의제동거리가 6m이므로

6=a_30¤

∴ a=

∴ y= x¤

⑵ 시속 54km로달리는자동차의제동거리는

_54¤ =19.44(m)

또 54km/h= m/s=15m/s이므로 자동차가

1초동안달린거리는 15m따라서감독이사인을보낸후부터자동차가완전히멈출

때까지움직인거리는

19.44+15=34.44(m)

점 A의 x좌표를 a(a>0)라하면

A(a, 3a¤ ), B(-a, 3a¤ ), C(-a, 0), D(a, 0)

이때□ABCD는정사각형이므로 CD”=AD”에서

2a=3a¤

a(3a-2)=0

∴ a=0 또는 a=

그런데 a>0이므로

a=

따라서점 A의좌표는 { , }이다.

△OCD= △OAB이므로

2CD”=AB”점 D의 x좌표를 t(t>0)라하면

D(t, t¤ )

이때점 B의 x좌표는점 D의 x좌표의 2배이므로

B(2t, 4at¤ )두점 B, D의 y좌표가같으므로

t¤ =4at¤ , (4a-1)t¤ =0

그런데 t+0이므로

4a-1=0 ∴ a= 14

1225

43

23

23

23

24

540003600

1150

1150

1150

23

32

32

12

1222 2 이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프

유형 1~2 P. 105

1 4, 4, 2, 3 2 ④ 3 ② 4 ④

5 (3, -2), 과정은풀이참조 6 ①

y=2x¤ -12x+3=2(x¤ -6x)+3

=2(x¤ -6x+9-9)+3

=2(x-3)¤ -15

따라서 p=3, q=-15이므로 p-q=3-(-15)=18

y= x¤ -6x+10= (x¤ -18x)+10

= (x¤ -18x+81-81)+10= (x-9)¤ -17

∴ a= , p=9, q=-17

∴ ap+q= _9+(-17)=-14

① (1, 3) ② (1, 3)③ y=x¤ -2x+4=(x-1)¤ +3 ⇨ (1, 3)

④ y=3x¤ -6x+7=3(x-1)¤ +4 ⇨ (1, 4)

⑤ y=- x¤ +x+ =- (x-1)¤ +3 ⇨ (1, 3)

y=x¤ -6x+k의그래프가점 (1, 2)를지나므로

2=1-6+k ∴k=7 y`⁄

∴ y=x¤ -6x+7=(x¤ -6x+9-9)+7

=(x-3)¤ -2 y`¤

따라서꼭짓점의좌표는 (3, -2)이다. y`‹

y=-3x¤ -12x+a=-3(x¤ +4x)+a

=-3(x+2)¤ +12+a

이그래프의꼭짓점의좌표는 (-2, 12+a)이고, 꼭짓점이

x축위에있으므로

12+a=0 ∴ a=-12

6

5

12

52

12

4

13

13

13

13

13

133

2

⁄ k의값구하기

¤ y=a(x-p)¤ +q의꼴로나타내기

‹ 꼭짓점의좌표구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점

한걸음더연습~ 유형 5 P. 106~107

1 ① 2 k>0 3 ⑤ 4 4 5 ⑤ 6 ①

7 ② 8 (2, 0), (6, 0) 9 2, 과정은풀이참조

10 ⑤ 11 ③ 12 1 13 ①


유형편파워

55

Ⅲ.이차함수

y=-x¤ -4x-5=-(x¤ +4x+4-4)-5

=-(x+2)¤ -1

꼭짓점의좌표는 (-2, -1)이고, 그래프의모양은위로볼

록하다.

또 y축과의교점의좌표는 (0, -5)이므로주어진이차함

수의그래프는①이다.

y=-2x¤ +8x-3

=-2(x¤ -4x+4-4)-3

=-2(x-2)¤ +5

꼭짓점의좌표는 (2, 5), y축과의교점

은점 (0, -3)이므로그래프를그리면

오른쪽그림과같다.

따라서제2사분면을지나지않는다.

y=- x¤ +4x-6에 y=0을대입하면

- x¤ +4x-6=0, x¤ -8x+12=0

(x-2)(x-6)=0 ∴ x=2 또는 x=6

따라서구하는두점의좌표는 (2, 0), (6, 0)이다.


3=4¤ +4a+3, 4a=-16 ∴ a=-4 y`⁄

y=x¤ -4x+3에 y=0을대입하면 x¤ -4x+3=0

(x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3

즉, A(1, 0), B(3, 0) 또는 A(3, 0), B(1, 0) y`¤

∴ AB”=2 y`‹

y=x¤ -6x+8에 y=0을대입하면

0=x¤ -6x+8, (x-2)(x-4)=0

∴ x=2 또는 x=4

즉, A(2, 0), C(4, 0)y=x¤ -6x+8=(x-3)¤ -1이므로 B(3, -1)y=x¤ -6x+8에 x=0을대입하면 y=8이므로 D(0, 8)점 D의 y좌표가 8이므로 y=8을 y=x¤ -6x+8에대입

하면 8=x¤ -6x+8, x¤ -6x=0, x(x-6)=0

∴ x=0 또는 x=6 ∴ E(6, 8)

y=x¤ +3x+1={x+ }2-

이식에 x 대신 x-2를대입하면

y={x-2+ }¤ - ={x- }¤ -

=x¤ -x-1

54

12

54

32

54

3211

10

9

12

128

y5

2

-3

xO

7

6y=-x¤ -2ax+6

=-(x¤ +2ax+a¤ -a¤ )+6

=-(x+a)¤ +a¤ +6

이때축의방정식이 x=-a이므로

-a=2 ∴ a=-2

y=x¤ -2kx+k¤ +2k+3

=(x¤ -2kx+k¤ )+2k+3

=(x-k)¤ +2k+3

즉, 꼭짓점의좌표가 (k, 2k+3)이므로꼭짓점이제1사분

면위에있으려면

k>0, 2k+3>0

∴ k>0

y=x¤ -2x+a

=(x¤ -2x+1-1)+a

=(x-1)¤ +a-1

이므로꼭짓점의좌표는 (1, a-1)

y=-x¤ +bx+3

=-{x¤ -bx+ - }+3

=-{x- }2+ +3

이므로꼭짓점의좌표는 { , +3}

즉, 1= , a-1= +3에서

b=2, a=5

∴ a+b=5+2=7

그래프가점 (-2, 3)을지나므로

3=4-4a+b ∴ b=4a-1 y`㉠

y=x¤ +2ax+b=(x¤ +2ax+a¤ -a¤ )+b

=(x+a)¤ -a¤ +b

즉, 꼭짓점의좌표는 (-a, -a¤ +b)이고, 이점이직선

y=-2x 위의점이므로

-a¤ +b=2a ∴ b=a¤ +2a y`㉡

㉠, ㉡에서 4a-1=a¤ +2a

a¤ -2a+1=0, (a-1)¤ =0

∴ a=1

따라서 b=4a-1=4-1=3이므로

a+b=1+3=4

y=x¤ -6x=x¤ -6x+9-9=(x-3)¤ -9

꼭짓점의좌표는 (3, -9)이고, 그래프의모양은아래로볼

록하다.

또 y축과의교점의좌표는 (0, 0)이므로주어진이차함수

의그래프는⑤이다.

5

4

b¤4

b2

b¤4

b2

b¤4

b2

b¤4

b¤4

3

2

1


¤ 두점 A, B의좌표구하기

‹ AB”의길이구하기

채점기준

30%

40%

30%

배점


56


y=ax¤ +bx+c=a{x¤ + x}+c

=a{x+ }¤ - +c

ㄱ. 축의방정식은 x=- 이다.

ㅁ. x 대신 -x를대입하면 y=ax¤ -bx+c

⑴ y=-x¤ +2x+8=-(x-1)¤ +9 ∴ A(1, 9)

⑵ y=-x¤ +2x+8에 y=0을대입하면

-x¤ +2x+8=0, x¤ -2x-8=0

(x+2)(x-4)=0

∴ x=-2 또는 x=4

∴ B(-2, 0), C(4, 0)

⑶ △ABC= _6_9=27

y=x¤ +3x-4에 y=0을대입하면

x¤ +3x-4=0, (x+4)(x-1)=0

∴ x=-4 또는 x=1

∴ A(-4, 0), B(1, 0) y`⁄

y=x¤ +3x-4에 x=0을대입하면 y=-4이므로

C(0, -4) y`¤

∴ △ABC= _5_4=10 y`‹

y=x¤ +2x-3에 y=0을대입하면

x¤ +2x-3=0, (x+3)(x-1)=0

∴ x=-3 또는 x=1

∴ A(-3, 0)y=x¤ +2x-3=(x+1)¤ -4에서 축의 방정식은 x=-1

이므로 B(-1, 0)y=x¤ +2x-3에 x=0을대입하면 y=-3

∴ C(0, -3)

∴ △ABC= _2_3=3

⑴ 그래프가원점을지나므로 n=0

또그래프에서축의방정식이 x=2이고, 원점 O와점 B는직선 x=2에서로대칭이므로 B(4, 0)이때 y=-x¤ +mx의그래프가점 B(4, 0)을지나므로

0=-16+4m ∴ m=4

⑵ y=-x¤ +4x=-(x-2)¤ +4에서 A(2, 4)

∴ △AOB= _4_4=812

8

12

7

12

6

;2!;

5

b2a

b¤4a

b2a

ba4

y=-x¤ +3에 x 대신 x-2, y 대신 y+1을대입하면

y+1=-(x-2)¤ +3

∴ y=-(x-2)¤ +2

이그래프가점 (1, k)를지나므로

k=-(1-2)¤ +2=1

y=2x¤ -4x+3=2(x-1)¤ +1

이식에 x 대신 x-p, y 대신 y-q를대입하면

y-q=2(x-p-1)¤ +1

∴ y=2{x-(p+1)}¤ +q+1

이 그래프가 y=2x¤ -12x+3=2(x-3)¤ -15의 그래프

와완전히포개어지므로

p+1=3, q+1=-15

∴ p=2, q=-16

∴ pq=2_(-16)=-32

13

12


1 ③ 2 ①, ④ 3 ⑤ 4 ②

5 ⑴ A(1, 9) ⑵ B(-2, 0), C(4, 0) ⑶ 27

6 10, 과정은풀이참조 7 ④

8 ⑴ m=4, n=0 ⑵ 8 9 ③

y=x¤ +4x+1=(x+2)¤ -3

① x¤ 의계수가양수이므로아래로볼록한포물선이다.

② 축의방정식은 x=-2이다.

④ y=(x+2)¤ -3에 y 대신 -y를대입하면

-y=(x+2)¤ -3

∴ y=-(x+2)¤ +3

⑤ y=x¤ 의그래프를 x축의방향으로 -2만큼, y축의방

향으로 -3만큼평행이동한것이다.

y=-x¤ +2x+3=-(x¤ -2x+1-1)+3

=-(x-1)¤ +4

① 직선 x=1을축으로한다.

④ x>1일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

y= x¤ -4x+3

= (x¤ -8x+16-16)+3

= (x-4)¤ -5

⑤ y= x¤의그래프를 x축의방향으로 4만큼, y축의방

향으로 -5만큼평행이동한것이다.

12

12

12

123

2

1⁄ 두점 A, B의좌표구하기

¤ 점 C의좌표구하기

‹ △ABC의넓이구하기

채점기준

40%

30%

30%

배점


유형편파워

57

Ⅲ.이차함수

y=-x¤ -4x+k=-(x+2)¤ +4+k

축의방정식은 x=-2이고, AB”=6이므로

축에서로대칭인두점 A, B의좌표는

A(-5, 0), B(1, 0)이때 y=-x¤ -4x+k의그래프가점 B(1, 0)을지나므로

0=-1-4+k ∴ k=5

∴ y=-x¤ -4x+5=-(x+2)¤ +9

∴ C(-2, 9)

∴ △ABC= _6_9=2712

9 축의방정식이 x=4이고, x¤의계수가 1이므로

y=(x-4)¤ +q로놓자. ̀ y`⁄

그래프가점 (0, 5)를지나므로

5=(0-4)¤ +q ∴ q=-11 y`¤

즉, y=(x-4)¤ -11=x¤ -8x+5이므로

b=-8, c=5 y`‹

∴ b+c=-8+5=-3 y`›

축의방정식이 x=-1이므로 y=a(x+1)¤ +q로놓자.

그래프가두점 (1, 15), (2, 0)을지나므로

15=a(1+1)¤ +q, 0=a(2+1)¤ +q에서

15=4a+q y`㉠, 0=9a+q y`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=-3, q=27

∴ y=-3(x+1)¤ +27=-3x¤ -6x+24

따라서 y축과만나는점의좌표는 (0, 24)이다.

y=ax¤ +bx+c로놓으면그래프가점 (0, 1)을지나므로

c=1

또그래프가두점 (-1, 6), (1, 2)를지나므로

6=a-b+1, 2=a+b+1 ∴ a=3, b=-2

∴ y=3x¤ -2x+1


c=8 y`⁄

또그래프가두점 (-1, 11), (4, 16)을지나므로

11=a-b+8 y`㉠, 16=16a+4b+8 y`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=1, b=-2 y`¤

따라서 y=x¤ -2x+8=(x-1)¤ +7이므로꼭짓점의좌표

는 (1, 7) y`‹

f(x)=ax¤ +bx+c로놓으면 f(0)=c=1

f(-2)=4a-2b+1=-5, f(1)=a+b+1=7

∴ a=1, b=5 ∴ f(x)=x¤ +5x+1

그래프가 x축위의두점 (1, 0), (3, 0)을지나므로

y=a(x-1)(x-3)으로놓자.

그래프가점 (0, 3)을지나므로 3=a_(0-1)_(0-3)

즉, a=1이므로 y=(x-1)(x-3)=x¤ -4x+3

∴ b=-4, c=3 ∴ abc=1_(-4)_3=-12

10

9

8

7

6

5

유형 8~11 P. 110~111

1 ⑤ 2 y=-x¤ -4x+1 3 ① 4 1

5 -3, 과정은풀이참조 6 (0, 24)

7 y=3x¤ -2x+1 8 (1, 7), 과정은풀이참조 9 ③

10 -12 11 ⑤ 12 ⑤

꼭짓점의좌표가 (-2, 1)이므로 y=a(x+2)¤ +1로놓자.

그래프가점 (-3, 2)를지나므로

2=a(-3+2)¤ +1, 2=a+1 ∴ a=1

즉, y=(x+2)¤ +1=x¤ +4x+5이므로 b=4, c=5

∴ a-b+c=1-4+5=2

꼭짓점의좌표가 (-2, 5)이므로 y=a(x+2)¤ +5로놓자.


1=a(0+2)¤ +5, 4a=-4 ∴ a=-1

∴ y=-(x+2)¤ +5=-x¤ -4x+1

y=4(x+3)¤ +5의그래프의꼭짓점의좌표가 (-3, 5)이

므로 y=a(x+3)¤ +5로놓자.

y= x¤ -x-4의그래프와 y축과의교점의좌표는

(0, -4)

즉, y=a(x+3)¤ +5의그래프가점 (0, -4)를지나므로

-4=a(0+3)¤ +5, 9a=-9 ∴ a=-1

∴ y=-(x+3)¤ +5=-x¤ -6x-4

축의방정식이 x=3이므로 y=a(x-3)¤ +q로놓자.

그래프가두점 (0, 13), (1, 3)을지나므로

13=a(0-3)¤ +q, 3=a(1-3)¤ +q에서

13=9a+q y`㉠, 3=4a+q y`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=2, q=-5

∴ y=2(x-3)¤ -5=2x¤ -12x+13

따라서 a=2, b=-12, c=13이므로

a-b-c=2-(-12)-13=1

4

13

3

2

1

⁄ c의값구하기

¤ a, b의값구하기

‹ 꼭짓점의좌표구하기

채점기준

30%

50%

20%

배점

⁄ 이차함수의식을 y=a(x-p)¤ +q의꼴로놓기

¤ q의값구하기

‹ b, c의값구하기

› b+c의값구하기

채점기준

30%

30%

30%

10%

배점


58


[다른풀이]

y=ax¤ +bx+c로놓으면그래프가 점 (0, 3)을지나므로

c=3

또그래프가두점 (1, 0), (3, 0)을지나므로

0=a+b+3

0=9a+3b+3

∴ a=1, b=-4

∴ abc=1_(-4)_3=-12

그래프가 x축위의두점 (-2, 0), (3, 0)을지나므로

y=a(x+2)(x-3)으로놓자.

그래프가점 (1, -12)를지나므로

-12=a(1+2)(1-3)

-6a=-12 ∴ a=2

즉, y=2(x+2)(x-3)=2(x¤ -x-6)=2x¤ -2x-12

이므로 b=-2, c=-12

∴ ab-c=2_(-2)-(-12)=8

그래프가 x축위의두점 (1, 0), (5, 0)을지나고, x¤의

계수가 1이므로

y=(x-1)(x-5)=x¤ -6x+5

∴ b=-6, c=5

그래프가점 (4, k)를지나므로

k=4¤ -6_4+5=-3

∴ b+c-k=-6+5-(-3)=2

12

11

y=ax¤ +bx+c에서 a<0, b<0, c>0

즉, y=bx¤ +cx+a에서

b<0이므로그래프는위로볼록하다.

c>0으로 b, c는부호가서로다르므로축은 y축의오른쪽

에위치한다.

a<0이므로 y축과의교점은 x축보다아래쪽에위치한다.

y=ax¤ +bx+c의 그래프에서 a>0,

c<0이므로 y=ax+c의그래프는오

른쪽 그림과 같이 제2사분면을 지나지

않는다.

y=ax+b의그래프에서 a<0, b>0

즉, y=x¤ +ax-b에서

x¤ 의계수가양수이므로그래프는아래로볼록하다.

a<0으로 x¤ 의계수와부호가서로다르므로축은 y축의

오른쪽에위치한다.

-b<0이므로 y축과의교점은 x축보다아래쪽에위치한다.

y=3x¤ -6x+3=3(x-1)¤ 에서 x=1일때최솟값 0을가

지므로 a=0

y=-2x¤ -8x-3=-2(x+2)¤ +5에서 x=-2일때최

댓값 5를가지므로 b=5

∴ a+b=0+5=5

① y=-2x¤ +6

˙k x=0에서최댓값은 6

② y=x¤ +4x+10=(x+2)¤ +6

˙k 최댓값은없다.

③ y=-x¤ -4x+2=-(x+2)¤ +6

˙k x=-2에서최댓값은 6

④ y=2x¤ -8x+14=2(x-2)¤ +6

˙k 최댓값은없다.

⑤ y=- x¤ +2x+4=- (x-2)¤ +6


y=-x¤ +ax+b의그래프가두점 (0, 4), (4, 0)을지나

므로 4=b, 0=-16+4a+b ∴ a=3, b=4 y`⁄

∴ y=-x¤ +3x+4=-{x¤ -3x+ - }+4

=-{x- }¤ + y`¤

따라서 x= 에서최댓값은 이다. y`‹254

32

254

32

94

94

8

12

12

7

6

5

y y=ax+c

xO

4

3

유형 12~한번더연습 P. 112~113

1 ② 2 ⑤ 3 ② 4 ② 5 ② 6 ⑤

7 ⑤ 8 , 과정은풀이참조 9 ④ 10 ①

11 -5 12 ②

254


축이 y축의왼쪽에위치하므로 ab>0 ∴ b<0

y축과의교점이 x축보다위쪽에위치하므로 c>0

그래프가아래로볼록하므로 a>0

축이 y축의오른쪽에위치하므로 ab<0 ∴ b<0

y축과의교점이 x축보다아래쪽에위치하므로 c<0

① ab<0

② ac<0

③ bc>0

④ x=-1일때, y=a-b+c>0

⑤ x=1일때, y=a+b+c<0

2

1

⁄ a, b의값구하기

¤ y=a(x-p)¤ +q의꼴로변형하기

‹ 최댓값구하기

채점기준

50%

30%

20%

배점


유형편파워

59

Ⅲ.이차함수

y=x¤ +6x+11

=(x+3)¤ +2

이므로 x=-3에서최솟값은 2이다.

∴ m=2

y=-3x¤ -6x+2

=-3(x+1)¤ +5

이므로 x=-1에서최댓값은 5이다.

∴ M=5

∴ m+M=2+5=7

① y=-3x¤ +9x-2

=-3 {̀x- }2+

˙k x= 에서최댓값은

② y=-3x¤ +6x+1

=-3(̀x-1)¤ +4

˙k x=1에서최댓값은 4③ y=-2x¤ +2x+3

=-2 {̀x- }2+

˙k x= 에서최댓값은

④ y=-x¤ +2x+3

=-(x-1)¤ +4


⑤ y=- x¤ +3x-1

=- (x-3)¤ +

˙k x=3에서최댓값은

따라서최댓값이가장큰것은①이다.

y= x¤ -3에 x 대신 x-1, y 대신 y-2를대입하면

y-2= (x-1)¤ -3, 즉 y= (x-1)¤ -1이므로

x=1에서최솟값은 -1이다. ∴ m=-1

y=- x¤ +4x-3=- (x-4)¤ +5이므로

x=4에서최댓값은 5이다. ∴ M=5

∴ Mm=5_(-1)=-5

y=2x¤ -8ax+5=2(x¤ -4ax+4a¤ -4a¤ )+5

=2(x-2a)¤ -8a¤ +5

x=4에서최솟값이 m이므로

2a=4 ∴ a=2

∴ m=-8a¤ +5=-8_2¤ +5=-27

12

12

12

12

12

1211

72

72

12

12

72

12

72

12

194

32

194

32

10

9 유형 14~17 P. 114~115

1 ⑤ 2 9 3 6 4 ①

5 - , - 6 , 과정은풀이참조 7 ③

8 ④ 9 -3, 3, 과정은풀이참조 10 ③ 11 ①

12 32cm¤ 13 ②

12

12

14

x=1에서최솟값이 3이고 x¤의계수가 1이므로

y=(x-1)¤ +3=x¤ -2x+4

이식이 y=x¤ +2ax+b와일치하므로

2a=-2, b=4 ∴ a=-1, b=4

∴ 2a+b=2_(-1)+4=2

[다른풀이]

y=(x¤ +2ax+a¤ )-a¤ +b=(x+a)¤ -a¤ +b

이때 x=1에서최솟값이 3이므로

-a=1, -a¤ +b=3 ∴ a=-1, b=4

∴ 2a+b=2_(-1)+4=2

x=1에서최솟값이 -8이고 x¤의계수가 a이므로

y=a(x-1)¤ -8=ax¤ -2ax+a-8

이식이 y=ax¤ -bx-5와일치하므로

-b=-2a, -5=a-8 ∴ a=3, b=6

∴ a+b=3+6=9

그래프가 x축과만나는두점이 (0, 0), (4, 0)이므로

이그래프의축의방정식은 x=2

이때최댓값이 8이므로꼭짓점의좌표는 (2, 8)

y=a(x-2)¤ +8로놓으면그래프가점 (0, 0)을지나므로

0=a(0-2)¤ +8, 4a=-8 ∴ a=-2

즉, y=-2(x-2)¤ +8=-2x¤ +8x에서 b=8, c=0

∴ a+b+c=-2+8+0=6

[다른풀이]

y=ax(x-4)로놓으면 y=a(x¤ -4x)=a(x-2)¤ -4a

이때최댓값이 8이므로 -4a=8에서 a=-2

즉, y=-2x(x-4)=-2x¤ +8x ∴ b=8, c=0

∴ a+b+c=-2+8+0=6

x=-2에서최댓값이 4이므로

y=a(x+2)¤ +4 y`㉠

로놓으면최댓값을가지므로 a<0

따라서그래프가제1사분면을지나

지 않으려면 y축과의 교점이 원점

이거나 x축보다 아래쪽에 있어야

하므로그래프를그리면오른쪽그림과같다.

㉠에 x=0을대입하면

y=a(0+2)¤ +4…0, 4a…-4 ∴ a…-1

O x

y

4

-2

4

3

2

1


60


b=28-a이므로직사각형의넓이 ab는

ab=a(28-a)

=-a¤ +28a

=-(a-14)¤ +196

즉, a=14에서최댓값이 196이다.

따라서 a=14, b=28-a=28-14=14이므로

a-b=14-14=0

새로운직사각형의넓이를 ycm¤ 라하면

y=(10-2x)(3+x)

=-2x¤ +4x+30

=-2(x-1)¤ +32

즉, x=1에서최댓값이 32이다.

따라서구하는넓이의최댓값은 32cm¤ 이다.

부채꼴의 반지름의 길이를 xcm, 넓이

를 ycm¤ 라하면호의길이는

(40-2x)cm이므로

y= x(40-2x)

=-x¤ +20x

=-(x-10)¤ +100


따라서구하는반지름의길이는 10cm이다.

12

x cm x cm

(40-2x) cm13

12

11y=-x¤ +2kx+k=-(x¤ -2kx+k¤ -k¤ )+k

=-(x-k)¤ +k¤ +k

∴ M=k¤ +k=k¤ +k+ - ={k+ } ¤ -

따라서 M은 k=- 에서최솟값이 - 이다.

y=2x¤ -2kx+k=2{x¤ -kx+ - }+k

=2{x- }2- +k y`⁄

∴ m=- +k y`¤

=- (k¤ -2k+1-1)

=- (k-1)¤ + y`‹

따라서 m은 k=1에서최댓값이 이다. y`›

y=-3x¤ +6mx-6m+1

=-3(x¤ -2mx+m¤ -m¤ )-6m+1

=-3(x-m)¤ +3m¤ -6m+1

∴ f(m)=3m¤ -6m+1=3(m-1)¤ -2

따라서 f(m)은 m=1에서최솟값이 -2이다.

두수를 x, 30-x라하고, 두수의곱을 y라하면

y=x(30-x)=-x¤ +30x=-(x-15)¤ +225

즉, x=15에서최댓값은 225이다.

따라서두수의곱의최댓값은 225이다.

두수를 x, x+6이라하고, 두수의곱을 y라하면

y=x(x+6) y`⁄

=x¤ +6x

=(x+3)¤ -9 y`¤

즉, x=-3에서최솟값은 -9이다.

따라서 구하는두수는 -3, 3이다. y`‹

2x+y=8에서 y=8-2x이므로

xy=x(8-2x)=-2x¤ +8x=-2(x-2)¤ +8

따라서 xy는 x=2에서최댓값이 8이다.

10

9

8

7

;2!;

12

12

12

k¤2

k¤2

k2

k¤4

k¤46

14

12

14

12

14

14

5

까다로운유형~ 유형 18 P. 116

1 8 2 ① 3 14cm 4 6초후, 180m

5 100m 6 2950원

점 P의좌표를 (a, -a+8)이라하면

△POA= a(-a+8)

=- a¤ +4a

=- (a-4)¤ +8

이므로 a=4에서최댓값이 8이다.

따라서△POA의넓이의최댓값은 8이다.

점 P의좌표를 (a, -2a+12)라하면

Q(a, 0), R(0, -2a+12)이므로

□ROQP=a(-2a+12)

=-2a¤ +12a

=-2(a-3)¤ +18

즉, a=3에서최댓값이 18이다.

따라서구하는점 P의좌표는 (3, 6)

2

12

12

12

1

⁄ 이차함수의식을 y=a(x-p)¤ +q의꼴로변형하기

¤ m을 k에대한식으로나타내기

‹ a에대한식의꼴변형하기

› m의최댓값구하기

채점기준

30%

20%

30%

20%

배점

⁄ 이차함수의식세우기


‹ 두수구하기

채점기준

30%

40%

30%

배점


유형편파워

61

Ⅲ.이차함수

QC”=xcm라하면

BQ”=(8-x)cm이때△ABCª△PBQ(AA 닮음)이므로

BC”：AC”=BQ”：PQ”8：6=(8-x)：PQ”

∴ PQ”= = (8-x)(cm)

∴ □PQCR=QC”_PQ”

=x_ (8-x)

=- x¤ +6x

=- (x-4)¤ +12

따라서 x=4일때 □PQCR의넓이가최대이므로

(□PQCR의둘레의길이)=2(QC”+PQ”)

=2[x+ (8-x)]

= x+12

= _4+12

=14(cm)

h=60t-5t¤

=-5(t-6)¤ +180

이므로 t=6에서최댓값이 180이다.

따라서이물체는쏘아올린지 6초후에최고높이 180m에도달한다.

y=-5x¤ +40x+20

=-5(x¤ -8x+16-16)+20

=-5(x-4)¤ +100

이므로 x=4에서최댓값이 100이다.

따라서이물체의최고높이는 100m이다.

1kg당판매가격을 (3000-10x)원이라하면

1kg당이익은

(3000-10x)-2400=600-10x(원)

그때의판매량은

(100+2x)kg하루이익을 y원이라하면

y=(600-10x)(100+2x)

=-20x¤ +200x+60000

=-20(x¤ -10x+25-25)+60000

=-20(x-5)¤ +60500

따라서 x=5일때하루이익이최대가되므로 1kg당판매

가격은

3000-10_5=2950(원)

6

5

4

;2!;

;2!;

34

;4#;

;4#;

;4#;

34

6(8-x)8

3

1 ① 2 ② 3 ① 4 ⑤ 5 a<-5

6 - , 과정은풀이참조 7 4 8 ②

9 ①, ⑤ 10 16, 과정은풀이참조 11 36 12 ②

13 -9 14 y=-2x¤ -4x+16 15 제2사분면

16 ④ 17 -1 18 -1, -1 19 ④

20 ③ 21 , 과정은풀이참조 22

23 (4, 12) 24 y=-x¤ +14x-45

25 120m 26 90명

158

32

12


y=3x¤ +6x+5

=3(x+1)¤ +2

이식이 y=3(x-p)¤ +q와일치하므로

p=-1, q=2

∴ p+q=-1+2=1

y=-2x¤ +4x+4

=-2(x-1)¤ +6

따라서축의방정식은 x=1이고, 꼭짓점의좌표는 (1, 6)

이다.

y=x¤ -2ax+a+4

=(x-a)¤ -a¤ +a+4

이때꼭짓점 (a, -a¤ +a+4)가직선 y=4x위에있으므로

-a¤ +a+4=4a

a¤ +3a-4=0

(a+4)(a-1)=0

∴ a=-4 또는 a=1

그런데 a>0이므로 a=1

y= x¤ -x+2

= (x-1)¤ +

x¤의 계수가 양수이므로 그래프는 아래로 볼록하고, 꼭짓점

의좌표는 {1, }으로제1사분면위에있다.

따라서주어진이차함수의그래프로적당한것은⑤이다.

y=-x¤ -4x+a+1

=-(x+2)¤ +a+5

이그래프는위로볼록하고, 꼭짓점의좌표가 (-2, a+5)이

므로그래프가 x축과만나지않으려면 a+5<0이어야한다.

∴ a<-5

5

32

32

12

124

3

2

1


y=2x¤ -3x-2에 y=0을대입하면

2x¤ -3x-2=0

(2x+1)(x-2)=0

∴ x=- 또는 x=2

즉, p+q=- +2= y`⁄

또 y=2x¤ -3x-2에 x=0을대입하면

y=-2

∴ r=-2 y`¤

∴ p+q+r= +(-2)=- y`‹

y=-2x¤ -4x+1=-2(x+1)¤ +3

이식에 x 대신 x-p, y 대신 y-q를대입하면

y-q=-2(x-p+1)¤ +3

즉, y=-2{x-(p-1)}¤ +q+3

이식이 y=-2x¤ +8x-6=-2(x-2)¤ +2와일치하므로

p-1=2, q+3=2

∴ p=3, q=-1

∴ p-q=3-(-1)=4

y=2x¤ +4x-3

=2(x+1)¤ -5

① 축의방정식은 x=-1이다.

④ y=2x¤ +4x-3에 y 대신 -y를대입하면

-y=2x¤ +4x-3

즉, y=-2x¤ -4x+3

⑤ y=2x¤ 의그래프를 x축의방향으로 -1만큼, y축의방

향으로 -5만큼평행이동한그래프이다.

y=ax¤ +4x+6의그래프가점 B(-1, 0)을지나므로

0=a-4+6

∴ a=-2 y`⁄

y=-2x¤ +4x+6=-2(x-1)¤ +8에서

A(1, 8) y`¤

y=-2x¤ +4x+6에 y=0을대입하면

-2x¤ +4x+6=0

x¤ -2x-3=0

(x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

∴ C(3, 0) y`‹

∴ △ABC= _4_8=16 y`›12

10

9

7

12

32

32

12

12

6

62


y=-x¤ +2x+8

=-(x-1)¤ +9

에서 A(1, 9)또 y=-x¤ +2x+8에 y=0을대입하면

-x¤ +2x+8=0

(x+2)(x-4)=0

∴ x=-2 또는 x=4

∴ B(-2, 0)y=-x¤ +10x-16

=-(x-5)¤ +9

에서 C(5, 9)또 y=-x¤ +10x-16에 y=0을대입하면

-x¤ +10x-16=0

(x-2)(x-8)=0

∴ x=2 또는 x=8

∴ D(2, 0) 따라서 □ABDC는평행사변형이므로

□ABDC=4_9=36

꼭짓점이점 (-1, -2)이므로 y=a(x+1)¤ -2로놓자.

그래프가점 (0, -1)을지나므로

-1=a-2

∴ a=1

∴ y=(x+1)¤ -2

=x¤ +2x-1

축의방정식이 x=2이고, x축과만나는두점사이의거리가

6이므로 x축과의교점의좌표는 (-1, 0), (5, 0)이다.

∴ y=(x+1)(x-5)

=x¤ -4x-5

따라서 b=-4, c=-5이므로

b+c=-4+(-5)=-9

[다른풀이]

축의방정식이 x=2이고, x축과만나는두점사이의거리가

6이므로 x축과의교점의좌표는 (-1, 0), (5, 0)이다.

즉, y=x¤ +bx+c의그래프가두점 (-1, 0), (5, 0)을

지나므로

0=1-b+c

0=25+5b+c

∴ b=-4, c=-5

∴ b+c=-4+(-5)=-9

13

12

11

⁄ p+q의값구하기

¤ r의값구하기

‹ p+q+r의값구하기

채점기준

50%

30%

20%

배점


¤ 점 A의좌표구하기

‹ 점 C의좌표구하기

› △ABC의넓이구하기

채점기준

20%

30%

30%

20%

배점


유형편파워

63

Ⅲ.이차함수


16=c

또그래프가두점 (1, 10), (3, -14)를지나므로

10=a+b+16, -14=9a+3b+16에서

a+b=-6 y㉠

3a+b=-10 y㉡


a=-2, b=-4

∴ y=-2x¤ -4x+16

a<0이므로그래프는위로볼록하고, -ab>0으로 a와 -b

는서로같은부호이므로축이 y축의왼쪽에있다.

또 -c>0이므로 y축과의교점은 x축보

다위쪽에있다.

따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로

꼭짓점은제2사분면위에있다.


축이 y축의오른쪽에위치하므로 ab<0 ∴ b>0

y축과의교점이 x축보다위쪽에위치하므로 c>0

① bc>0

② abc<0

③ <0

④ x=- 일때, y= a- b+c>0

⑤ x=2일때, y=4a+2b+c>0

y=-(x-2)¤ +b

=-x¤ +4x-4+b

이식이 y=-x¤ +4ax-7과일치하므로

4a=4, -7=-4+b

∴ a=1, b=-3

∴ 2a+b=2_1+(-3)=-1

[다른풀이]

y=-x¤ +4ax-7

=-(x-2a)¤ +4a¤ -7

이때 x=2에서최댓값이 b이므로

2a=2, 4a¤ -7=b

∴ a=1, b=-3

∴ 2a+b=2_1+(-3)=-1

y=-5x¤ +10kx+9k+4

=-5(x-k)¤ +5k¤ +9k+4

이때꼭짓점의좌표는 (k, 5k¤ +9k+4)이므로

m=k+5k¤ +9k+4=5k¤ +10k+4

=5(k+1)¤ -1

따라서 k=-1에서최솟값은 -1이다.

18

17

12

14

12

ab

16

x

y

O

15

14 y= (x¤ +4kx+4k¤ -4k¤ )+8k

= (x+2k)¤ -2k¤ +8k

∴ m=-2k¤ +8k=-2(k-2)¤ +8

따라서 m은 k=2에서최댓값이 8이다.

x+y=8에서 y=8-x를 x¤ +y¤ 에대입하면

x¤ +y¤ =x¤ +(8-x)¤ =2x¤ -16x+64=2(x-4)¤ +32

따라서 x¤ +y¤ 은 x=4에서최솟값이 32이다.

새로운직사각형의가로의길이는 (8-x)cm, 세로의길이

는 (5+x)cm이므로넓이를 ycm¤ 라하면

y=(8-x)(5+x) y`⁄

=-x¤ +3x+40

=-{x- }2+ y`¤

따라서 x= 에서새로운직사각형의넓이는최대가된다.

y`‹

점 P의 x좌표를 a라하면

P(a, a+7), Q(a, -2a¤ +5)이므로

PQ”=a+7-(-2a¤ +5)=2a¤ +a+2

=2{a+ }¤ +

따라서 a=- 에서 PQ”의길이의최솟값은 이다.

y=x¤ -4x-12에 y=0을대입하면

x¤ -4x-12=0, (x+2)(x-6)=0

∴ x=-2 또는 x=6

∴ A( -2, 0), B(6, 0)y=x¤ -4x-12에 x=0을대입하면 y=-12

∴ C(0, -12)□ACBD가 평행사변형이므로 점 D의 좌표를 (a, b)라

하면

AD”의기울기와 CB”의기울기가같으므로

= , b=2a+4 y`㉠

AC”의기울기와 DB”의기울기가같으므로

= , b=-6a+36 y`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=4, b=12

∴ D(4, 12)

ba-6

-122

126

ba+2

23

158

14

158

14

22

32

1694

32

21

20

12

1219

⁄ 이차함수의식세우기


‹ x의값구하기

채점기준

40%

40%

20%

배점


64


y=-x¤ +2x+3

=-(x-1)¤ +4

이므로점 P의좌표는 (1, 4)y=-x¤ +8x-12

=-(x-4)¤ +4

이므로점 Q의좌표는 (4, 4)다음그림과같이두점 P, Q에서 x축에내린수선의발을

각각 R, S라하면㉠과㉡의넓이는서로같으므로

(색칠한부분의넓이)=□PRSQ=PQ”_PR”=3_4=12

색칠한부분의넓이가 2배가되려면 PQ”, RS”의길이가각

각 2배가되어야하므로 y=-x¤ +8x-12의그래프를 x

축의방향으로 3만큼평행이동해야한다.

즉, y=-(x-4)¤ +4에 x 대신 x-3을대입하면

y=-(x-3-4)¤ +4

=-x¤ +14x-45

y

xO

P Q

y=-x™+2x+3 y=-x™+8x-12

SR

㉠㉡

1 4

4

24 첫번째로튀어오른공의모습을나타내는포물선을그래프

로갖는이차함수의식을 y=a(x-50)(x-90)으로놓자.

이포물선이점 (60, 90)을지나므로

90=a(60-50)(60-90), -300a=90

∴ a=-

∴ y=- (x-50)(x-90)=- (x¤ -140x+4500)

=- (x-70)¤ +120


따라서첫번째로튀어오른공의최고높이는 120m이다.

관광객수를 (80+x)명, 소셜커머스의이익을 y만원이라

하면

(수입)=120(80+x)-x(80+x)

=-x¤ +40x+9600(만원)

(지출)=2000+20(80+x)

=20x+3600(만원)

y=(수입)-(지출)

=(-x¤ +40x+9600)-(20x+3600)

=-x¤ +20x+6000=-(x-10)¤ +6100


따라서관광객이 80+10=90(명)이되어야한다.

26

310

310

310

310

25


(01~29)유형해설1,2-1단원.ps 2014.9.24 08:54 pm 페이지1...

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