02 equilibrio dos corpos rigidos
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Equilíbrio dos corpos rígidosTRANSCRIPT
EQUILÍBRIO DOS CORPOS
RÍGIDOS2
Prof. Engº Civil Igor Faro Dantas de Sant'Anna
RESISTENCIA DOS MATERIAIS
CONTEÚDO
Introdução
Diagrama de Corpo Livre
Reações em Apoios e Conexões para
uma Estrutura Bidimensional
Equilíbrio de um Corpo Rígido em
Duas Dimensões
Reações Estaticamente
Indeterminadas
Problema Resolvido 4.1
Problema Resolvido 4.3
Problema Resolvido 4.4
Equilíbrio de um Corpo Sujeito à Ação
de Duas Forças
Equilíbrio de um Corpo Sujeito à Ação
de Três Forças
Problema Resolvido 4.6
Equilíbrio de um Corpo Rígido em Três
Dimensões
Reações em Apoios e Conexões para
uma Estrutura Tridimensional
Problema Resolvido 4.8
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INTRODUÇÃO
• As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio estático de um
corpo são que a força e o binário resultantes de todas as forças
externas formam um sistema equivalente a zero:
00 FrMF O
000
000
zyx
zyx
MMM
FFF
• Decompondo cada força e cada momento em seus componentes
retangulares, podemos indicar as condições necessárias e suficientes
para o equilíbrio por meio de 6 equações escalares:
• Para um corpo rígido em equilíbrio estático, as forças e momentos
externos estão balenceadas e não impõem movimento de translação
ou de rotação ao corpo.
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DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
O primeiro passo na análise do equilíbrio estático
de um corpo rígido é identificar todas as forças que
atuam no corpo com um diagrama de corpo livre.
• Selecionamos a extensão do corpo livre e o
destacamos do solo e de todos os outros corpos.
• Incluimos as dimensões necessárias ao
cálculo dos momentos das forças.
• Indicamos o ponto de aplicação e as direções e
sentidos arbitrados para as forças desconhe-
cidas. Estas geralmente consistem nas reações
de apoio por meio das quais o solo e os outros
corpos se opõem a um possível movimento do
corpo rígido.
• Indicamos o ponto de aplicação, intensidade,
direção e sentido das forças externas, incluindo
o peso do corpo rígido.
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REAÇÕES EM APOIOS E CONEXÕES PARA UMA ESTRUTURA
BIDIMENSIONAL
• Reações equivalentes a
uma força com linha de
ação conhecida.
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REAÇÕES EM APOIOS E CONEXÕES PARA UMA ESTRUTURA
BIDIMENSIONAL
• Reações equivalentes a uma
força de direção, sentido e
intensidade desconhecidos
• Reações equivalentes a
uma força de direção,
sentido e intensidade
desconhecidos e a um
binário de intensidade
desconhecida
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EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM DUAS
DIMENSÕES
• Para todas as forças e momentos aplicados a
uma estrutura bidimensional:
Ozyxz MMMMF 00
• As equações de equilíbrio se reduzem a:
000 Ayx MFF
sendo A qualquer ponto no plano da
estrutura.
• As 3 equações podem ser resolvidas para no
máximo 3 incógnitas.
• As 3 equações não podem ser ampliadas com
equações adicionais, mas qualquer uma delas
pode ser substituída por outra equação:
000 BAx MMF
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• Estrutura com menos
incógnitas do que
equações: parcialmente
vinculada
REAÇÕES ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
• Estrutura com mais
incógnitas do que
equações
• Estrutura com número de
incógnitas igual ao número
de equações mas
impropriamente vinculada
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.1
Um guindaste fixo tem massa de 1.000
kg e é usado para suspender um caixote
de 2.400 kg. Ele é mantido no lugar por
um pino em A e um suporte basculante
em B. O centro de gravidade do
guindaste está localizado em G.
Determine os componentes das reações
em A e B.
SOLUÇÃO:
• Traçamos um diagrama de corpo livre do
guindaste.
• Determinamos a reação em B resolvendo
a equação para a soma dos momentos de
todas as forças em relação a A. Observa-
mos que as reações em A não geram
momento em relação àquele ponto.
• Determinamos as reações em A
resolvendo as equações para a soma
dos componentes horizontais e
verticais de todas as forças.
• Conferimos se os resultados obtidos
estão corretos verificando se a soma
dos momentos de todas as forças em
relação a B é zero.
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.1
• Traçamos um diagrama de
corpo livre do guindaste.
• Conferimos os resultados obtidos.
• Determinamos a reação em B resolvendo a
equação para a soma dos momentos de todas
as forças em relação a A.
0m 6kN)5,23(
m 2kN)81,9(m 5,1 :0
BM A
kN1,107B
• Determinamos as reações em A resolvendo as
equações para a soma dos componentes
horizontais e verticais de todas as forças.
0:0 BAF xx
kN1,107xA
0kN5,23kN81,9:0 yy AF
kN 3,33yA
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.3
Um vagão de carga está em repouso
sobre um trilho inclinado. O peso
bruto do vagão e sua carga é 24.750 N
e está aplicado em G. O vagão é
mantido no lugar pelo cabo.
Determine a tração no cabo e a reação
em cada par de rodas.
SOLUÇÃO:
• Criamos um diagrama de corpo livre
para o vagão com sistema de
coordenadas alinhado com o trilho.
• Determinamos as reações nas rodas
resolvendo as equações para a soma
dos momentos em relação aos eixos
das rodas.
• Determinamos a tração no cabo
resolvendo a equação para a soma dos
componentes das forças paralelos ao
trilho.• Conferimos os resultados obtidos
verificando se a soma dos componentes
das forças perpendiculares ao trilho é
zero.
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.3
• Traçamos um diagrama de
corpo livre
N 460.10
25sen N 4.7502
N 431.22
25cosN 750.24
y
x
W
W
• Determinamos as reações nas rodas.
0cm 251
cm) 15(N 2.4312cm) 5,62(N 0.4601:0
2
R
M A
N 922.72 R
0cm 251
cm) 15(N 2.4312cm) 5,62(N 0.4601:0
1
R
M B
N 538.21 R
• Determinamos a tração no cabo
0N 431.22:0 TFx
N 431.22T
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.4
A estrutura representada na figura
sustenta parte do teto de um pequeno
edifício. Sabendo que a tração no cabo
é 150 kN, determine a reação na
extremidade E.
SOLUÇÃO:
• Traçamos um diagrama de corpo livre
da estrutura e do cabo BDF.
• Resolvemos as 3 equações de
equilíbrio para os componentes da
força e do binário em E.
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.4
• Traçamos um diagrama de
corpo livre da estrutura e do
cabo BDF.
• Resolvemos as 3 equações de equilíbrio
para os componentes da força e do binário
em E.
0kN1505,7
5,4:0 xx EF
kN 0,90xE
0kN1505,7
6kN204:0 yy EF
kN 200yE
:0EM
0m)5,4(kN1505,7
6
m8,1kN20m6,3kN)20(
m4,5kN)20(m7,2kN)20(
EM
mkN0,180 EM
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EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE
DUAS FORÇAS
• Considere uma placa do tipo cantoneira sujeita à
ação de duas forças F1 e F2
• Se a placa estiver em equilíbrio, a soma dos
momentos em relação a A deve ser zero. Como o
momento de F1 é obviamente zero, o momento de
F2 também deve ser zero, ou seja, a linha de ação
de F2 deve passar por A.
• De forma similar, a linha de ação de F1 deve passar
por B para que a soma dos momentos em relação a
B seja zero.
• Como a soma das forças em qualquer direção deve
ser zero, conclui-se que F1 e F2 devem ter a mesma
intensidade, mas sentidos opostos.
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EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE
TRÊS FORÇAS
• Considere um corpo rígido sujeito a ação de forças
atuando em apenas 3 pontos.
• Assumindo que as linhas de ação das forças F1 e F2
se interceptam, o momento de ambas em relação ao
ponto de interseção representado por D é zero.
• Como o corpo rígido está em equilíbrio, a soma dos
momentos de F1, F2 e F3 em relação a qualquer eixo
deve ser zero. Portanto, o momento de F3 em relação a
D também deve ser zero e a linha de ação de F3 deve
passar por D.
• As linhas de ação das três forças devem ser
concorrentes ou paralelas.
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.6
Um homem levanta uma viga de
10 kg e 4 m de comprimento
puxando-a com uma corda.
Encontre a tração T na corda e a
reação em A.
SOLUÇÃO:
• Traçamos um diagrama de corpo livre da
viga observando que esta é um corpo sob a
ação de 3 forças que são o seu peso, a força
exercida pela corda e a reação em A.
• Para que o corpo esteja em equilíbrio, as
três forças devem ser concorrentes.
Portanto, a reação R deve passar pela
interseção das linhas de ação do peso e da
força exercida pela corda. Dessa forma
determina-se a direção da reação R.
• Utilizamos um triângulo de forças para
determinar a intensidade da reação R.
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.6
• Traçamos um diagrama de corpo livre da
viga.
• Determinamos a direção da reação R.
636,1414,1
313,2tan
m 2,313m515,0m828,2
m 515,020tanm 414,1)2545cot(
m 414,1)(
m828,245cosm445cos)(
21
AE
CE
BDBFCE
CDBD
AFAECD
ABAF
6,58
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.6
• Determinamos a intensidade da reação R.
38,6sen
N 1,98
110sen4,31sen
RT
N 8,147
N9,81
R
T
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EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS
DIMENSÕES
• São necessárias seis equações escalares para expressar as
condições para o equilíbrio de um corpo rígido no caso geral
tridimensional.
000
000
zyx
zyx
MMM
FFF
• Essas equações podem ser resolvidas para no máximo 6
incógnitas que, geralmente, representam reações em apoios
ou conexões.
• As equações escalares serão obtidas convenientemente se
expressarmos, inicialmente, as condições de equilíbrio na
forma vetorial.
00 FrMF O
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REAÇÕES EM APOIOS E CONEXÕES PARA UMA ESTRUTURA
TRIDIMENSIONAL
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REAÇÕES EM APOIOS E CONEXÕES PARA UMA ESTRUTURA
TRIDIMENSIONAL
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.8
Uma placa de massa específica e
uniforme pesa 1.215 N, e é sustentada
por uma rótula em A e por dois cabos.
Determine a tração em cada cabo e a
reação em A.
SOLUÇÃO:
• Traçamos um diagrama de corpo livre
da placa.
• Aplicamos as condições de equilíbrio
para obter equações que possibilitem
o cálculo das reações desconhecidas.
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kjiT
kjiT
EC
ECTT
kjiT
kjiT
BD
BDTT
EC
EC
ECEC
BD
BD
BDBD
72
73
76
32
31
32
1,2
6,09,08,1
6,3
4,22,14,2
PROBLEMA RESOLVIDO 4.8
• Traçamos um diagrama de corpo
livre da placa.
Como há apenas 5 incógnitas, a placa
está parcialmente vinculada. Ela
pode girar livremente em torno do
eixo x. No entanto, ela está em
equilíbrio sob o carregamento dado.
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0N458,1771,08,0:
0514,06,1:
0N 215.1m ,21
0:
0N 215.1:
0:
0N .2151
72
32
73
31
76
32
ECBD
ECBD
ECEBDBA
ECBDz
ECBDy
ECBDx
ECBD
TTk
TTj
jiTrTrM
TTAk
TTAj
TTAi
jTTAF
PROBLEMA RESOLVIDO 4.8
• Aplicamos as condições
de equilíbrio para
desenvolver equações
para as reações
desconhecidas.
kjiA
TT ECBD
N 101,25N 455,4N 1.521
N 5,417.1N 9,455
Resolvemos as 5 equações para as 5 incógnitas e
obtemos:
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ATRITO
• Nas seções anteriores, considerou-se que superfícies que estão em
contato são sem atrito (lisas) ou rugosas (ásperas).
• Na verdade, não existe uma superfície perfeitamente sem atrito.
Quando duas superfícies estão em contato, forças tangenciais,
chamadas forças de atrito, sempre irão aparecer ao tentarmos
mover uma superfície em relação à outra.
• Todavia, essas forças de atrito são de intensidade limitada e não
impedirão o movimento caso sejam aplicadas forças
suficientemente grandes.
• A distinção entre superfícies sem atrito e rugosas é mera questão de
gradação.
• Existem dois tipos de atrito: atrito seco, ou atrito de Coulomb, e o
atrito fluido. Atrito fluido aplica-se aos mecanismos lubrificados. O
presente estudo é limitado a secar o atrito entre as superfícies.
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LEIS DE ATRITO SECO. COEFICIENTES DE ATRITO
• Um bloco de peso W é colocado sobre uma
superfície plana horizontal. As forças que atuam
sobre o bloco são seu peso W e a reação da
superfície N.
• Uma força horizontal P é aplicada sobre o bloco. Se
P for de pouca intensidade, o bloco não se moverá,
portanto alguma outra força horizontal deverá existir
para contrabalançar P. Essa outra força é a força de
atrito estático F.
• Se P aumentar ainda mais logo o bloco estará em
movimento, e a intensidade de F cai de Fm para um
valor menor força de atrito cinético Fk.
NF kk
NF sm
• Se a força P aumentar, a força de atrito F
também aumentará até atingir um certo
valor máximo Fm.
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LEIS DE ATRITO SECO. COEFICIENTES DE ATRITO
• Máxima força de atrito estático:
NF sm
• Força de atrito cinético:
sk
kk NF
75,0
• Máxima força de atrito estático e força de
atrito cinético são:
- força proporcional ao componente
normal
- dependentes do tipo e da condição
exata das superfícies
- Independentes da superfície de contato
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LEIS DE ATRITO SECO. COEFICIENTES DE ATRITO
• Quatro situações podem ocorrer quando um corpo rígido está
em contato com uma superfície horizontal:
• Sem atrito,
(Px = 0)
• Sem
movimento,
(Px < Fm)
• Movimento
iminente,
(Px = Fm)
• Movimento,
(Px > Fm)
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ÂNGULOS DE ATRITO
• Convém, às vezes, substituir a força normal N e a força de atrito F
pela sua resultante R.
• Sem atrito • Movimento
iminente
• Sem movimento
ss
sms
N
N
N
F
tan
tan
• Movimento
kk
kkk
N
N
N
F
tan
tan
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ÂNGULOS DE ATRITO
• Consideremos novamente um bloco de peso W em repouso sobre
uma superfície plana ângulo θ
• Sem atrito • Sem
movimento• Movimento
iminente
• Movimento
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PROBLEMAS QUE ENVOLVEM ATRITO SECO
• todas as forças aplicadas
são dadas;
• os coeficientes de atrito
estáticos são conhecidos;
• determinar se o corpo
considerado permanecerá
em repouso ou deslizará.
• são dadas todas as forças
aplicadas;
• o movimento é iminente;
• determinar o valor do
coeficiente de atrito estático.
• é dado o coeficiente de
atrito estático;
• o movimento é iminente;
• determinar a intensidade
ou a direção de uma das
forças aplicadas.
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.11
Uma força de 450 N atua, como mostra a
figura, sobre um bloco de 1.350 N
posicionado sobre um plano inclinado. Os
coeficientes de atrito entre o bloco e o
plano são μs = 0,25 eμk = 0,20. Determine
se o bloco está em equilíbrio e encontre a
força de atrito.
SOLUÇÃO:
• Determinar o valor da força de atrito
necessária para manter o equilíbrio.
• Calcular a força de atrito máxima e
comparar com a força de atrito
necessário para o equilíbrio. Se for
maior, o bloco não deslizará.
• Se a força de atrito máxima é menor
que a força de atrito necessário para
o equilíbrio, o bloco deslizará.
Calcular a força de atrito cinético.
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.11
SOLUÇÃO:
• Determinar o valor da força de atrito necessária
para manter o equilíbrio.
:0 xF 0N .3501 - N 50453 F
N 360F
:0 yF 0N350.1 - 54 N
N 080.1N
• Calcular a força de atrito máxima e comparar com
a força de atrito necessário para o equilíbrio. Se for
maior, o bloco não deslizará.
N 270N .080125,0 msm FNF
O bloco deslizará plano abaixo.
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.11
• Se a força de atrito máxima é menor que a força de
atrito necessário para o equilíbrio, o bloco
deslizará. Calcular a força de atrito cinético.
N .080120,0
NFF kkreal
N 216realF
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.13
O suporte móvel mostrado na figura pode
ser posicionado a qualquer altura sobre o
tubo de 7,5 cm de diâmetro. Sabendo que o
coeficiente de atrito estático entre o tubo e o
suporte é 0,25, determine a distância
mínima x para a qual a carga W pode ser
sustentada. Desconsidere o peso do suporte.
SOLUÇÃO:
• Quando W for aplicada à distância
mínima x do eixo do tubo, o suporte
estará prestes a deslizar e as forças de
atrito, em superiores e inferiores, terão
atingido seus valores máximos.
• Aplicar as condições de equilíbrio
estático para encontrar x no mínimo.
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SOLUÇÃO:
• Quando W for aplicada à distância mínima x do eixo do
tubo, o suporte estará prestes a deslizar e as forças de
atrito, em superiores e inferiores, terão atingido seus
valores máximos.
BBsB
AAsA
NNF
NNF
25,0
25,0
• Aplicar as condições de equilíbrio estático para encontrar
x no mínimo.
:0 xF 0 AB NN AB NN
:0 yF
WN
WNN
WFF
A
BA
BA
5,0
025,025,0
0
WNN BA 2
:0 BM
03,75 2875,126
03,75 25,05,715
0cm 75,3cm ,57cm 51
WWxWW
WWxNN
xWFN
AA
AA
cm.30x
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PROBLEMA RESOLVIDO 4.13