02- mec sol ii- trac_comp_cisalha

8/17/2019 02- MEC SOL II- Trac_Comp_Cisalha

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Universidade Federal do Pará - UFPAInstituto de TecnologiaFaculdade de Engenharia Civil

Prof.: Bernardo Moraes Neto 1/63Disciplina: Mecânica dos Sólidos 02

Mecânica dos Sólidos 02:

Conteúdo Programático:

1. Introdução à mecânica;

2. Tração, Compressão e Cisalhamento;

3. Flexão;

4. Cisalhamento em vigas;

5. Torção.


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Mecânica dos Sólidos 02:

Conteúdo Programático:

1. Introdução à mecânica;

2. Tração, Compressão e Cisalhamento;

3. Flexão;

4. Cisalhamento em vigas;

5. Torção.


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2. Tração, Compressão e Cisalhamento:

● Os conceitos de tensão e deformação são definiçõesfundamentais da mecânica;

● A definição de tensão e deformação pode serapresentada de forma elementar a partir da análise deuma barra prismática sujeita a forças axiais de tração oucompressão.

2.1. Introdução:

Nota 1: Barra prismática é um elemento estrutural de eixo retocom seção transversal constante ao longo do seu comprimento;

Nota 2: Força axial é uma carga aplicada ao longo do eixo dabarra.


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L

P

P L+∆L

A

P A

P'=Pσ


● Para discutir o conceito de tensão, analisa-se o efeito deuma força axial P (tração) aplicada a uma barra prismáticaem equilíbrio com seção transversal A (seção perpendicularao eixo da barra). Neste contexto, têm-se:

- O comprimento inicial L da barra aumenta ∆ L;

- Admitindo que a barra seja seccionada, observa-se que aação entre as partes seccionadas é dada por uma forçadistribuída continuamente sobre toda a seção transversal;

- A intensidade da força por unidade de área é denominadatensão σ ;

2.2. Tensão normal e deformação normal:

Nota: Nesta análise o peso da barra é desconsiderado.


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- Assumindo que σ é distribuída uniformemente sobre aseção transversal, obtém-se a resultante da tensão P’ , édada por P’= σ·A;

- A partir do equilíbrio da barra, tem-se que P’=P , logo atensão pode ser dada por:

2.2. Tensão normal e deformação normal:L

P

P L+∆L

A

P A

P'=Pσ

P=σ

Nota: A análise é valida para forças de tração e compressão, logo, têm-se tensõesde tração e compressão.

onde A é a área da seção transversal.

● Visto que as tensões atuam em uma direção perpendicularao plano de corte, são denominadas de tensões normais.


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P

P

A

P

P

A


●

A unidade de tensão é uma unidade deforça por área (N/m 2 =Pa , N/mm 2 =MPa , etc).

● Convenção de sinal:


Tração: (+)

Compressão: (-)

Nota 1: A relação σ =P/A é válida somente se atensão for distribuída uniformemente sobre aseção transversal;

Nota 2: A distribuição uniforme é verificada se alinha de ação da força axial P atuar no centróide

da seção transversal;Nota 3: A condição de tensão uniforme não éválida próximo ao ponto de aplicação da carga,pois nesta região há concentrações de tensões.


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●

O conceito de deformação também será discutido avaliando-se o efeito de uma forçaaxial (tração) atuando em uma barra prismática;

● Conforme observado anteriormente, o comprimento inicial L da barra aumenta ∆ L;

● O alongamento ∆ L é proveniente do estiramento cumulativo do material da barra aolongo do seu volume;

● A razão ∆ L/L é chamada de deformação ε ou alongamento por unidade decomprimento. Desta forma, a deformação é dada por:


L L∆=ε

L

P

P L+∆L

Nota: A análise é valida para forças de tração ecompressão.


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●

A deformação ε é denominada de deformação normal, pois está associada à tensãonormal;

● A deformação normal é uma quantidade adimensional (sem unidade);

● Convenção de sinal:


Nota: Na prática, as unidades originais de ∆ L e L podem acompanhar o valor da deformação ε (porexemplo: mm/mm, mm/m, µm/m, etc.). Alternativamente, as deformações também podem serexpressas em porcentagem (por exemplo: % e ‰).

Tração: (+) Compressão: (-)


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●

As equações de tensão normal e deformação normal são válidas para qualquermagnitude de carga e para qualquer material, uma vez que as definições de tensão edeformação foram baseadas em considerações estáticas e geométricas;

● Linha de ação para uma distribuição de tensão uniforme:


P

P

σ=P/A

x

y

x

y

x1

y 1

P1

A

dA


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x

y

x

y

x1

y 1

P1

A

dA


●

Linha de ação para uma distribuição de tensão uniforme:

- Momento devido à força P :


1 yPm P , x ⋅= 1 xPm P , y ⋅−=

- Momento devido à tensão σ :

∫ ⋅⋅= A

, x dA ym σ σ ∫ ⋅⋅−= A

, y dA xm σ σ

- Visto que σ =P/A, têm-se m x,P =m x,σ e m y,P =m y,σ , logo:

A

dA y

y A∫ ⋅

=1

A

dA x

x A∫ ⋅

=1

Nota: A distribuição uniforme é verificada se alinha de ação da força axial P atuar no centróideda seção transversal.


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Pd1d2

L

2.3. Exemplo 1: Aplicação didática

● Dada a barra comprimida apresentada na figura, determinar a tensão normal σ e adeformação normal ε do trecho vazado da barra. Sabe-se que P =240 kN, L=1000 mm,d 2 =127 mm, d 1=90 mm e ∆ L=0,55 mm (∆ L corresponde ao trecho vazado).

(a) Cálculo da tensão normal σ :

⇒⋅

⋅

== 3

3

103066

10240

, A

P

σ

Pa ,05938=

( )

⋅=

−⋅=23

2

1

2

2

103066

4

mm , A

d d A

:Sendo

π

(b) Cálculo da deformação normal ε :

⇒=∆

=1000

550 ,

L

Lε 41055

−⋅= ,ε Nota: A deformação também poderia serapresentada como: ε =5,5·10-4 mm/mm ouε =0,55 ‰.


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1

1,02

1,04

1,06

1,08

1,1

1,12

1,14

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

P

L

d

d


● Dada a haste apresentada na figura, analisar a influência do pesopróprio da haste W (W= γ

haste

·Volume haste

) no cálculo da tensão normalmáxima σ max . Adotar: L=40 m, d =8 mm, P =1,5 kN e γ haste =77 kN/m3.

(a) σ max sem considerar o peso da haste:

⇒== P

max 1σ σ

(b) σ max considerando o peso da haste:

⇒+== W P

max 2

σ σ

⇒⋅

⋅=

21

4

d

P

π

σ

⇒⋅+⋅

⋅= L

d

P

haste

γ π

σ 22

4

MPa ,8291 =σ

MPa ,9322 =σ

)m( L

12 σ σ /

Nota: σ max acontece na extremidade superior da haste.


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P1q

2

d1d2


● A barra composta é solicitada pela carga concentrada P 1 e pela cargauniformemente distribuída q

2

como mostra a figura. Desta forma, determinar: (a) Atensão normal σ 1 na barra de menor diâmetro d 1 e (b) O valor da resultante da carga q 2 para que σ 2 = σ 1, sendo σ 2 a tensão normal na barra de maior diâmetro d 2 . Dado: P 1=7 kN,d 1=30 mm, d 2 =60 mm.

(a) Tensão normal σ 1:

⇒⋅⋅==

2

1

1

1

1

14d P

AP

π σ MPa ,9039

1 =

(b) Resultante da carga q 2 sendo σ 2 = σ 1.

⇒−⋅=⇒⋅=⇒== 1212212

12 P AP AP AP T T σ σ σ σ

⇒−⋅

⋅=1

2

2

124

Pd

P π σ kN P 212 =


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L

h 1

h 2

q

F h 3

A

B

C


● Apresentada a estrutura da figura,determinar a tensão na barra BC σ BC .Dado: F =200 kN, L=3660 mm, h 1=460mm, h 2 =1524 mm, h 3 =2575 mm e b =150mm.

b

b

Seção da barra BC

(a) Cálculo do ângulo α :

h 2

F h

3

RBC

RBC,x

RBC,yα

(b) Cálculo da componente R BC,x :

( ) ⇒−

= L

hhtg 13α °≈ 30

⇒⋅=⇒=∑3

20h

hF R M x , BC A

kN , R x , BC 369118=


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L

h 1

h 2

q

F h 3

A

B

C


(b) Cálculo da força R BC :

b

b

Seção da barra BC

h 2

F h

3

RBC

RBC,x

RBC,yα

( )⇒⋅= α cos R R BC x , BC

kN , R BC 711136=

(c) Tensão na barra BC :

⇒= BC

BC BC

A

Rσ

MPa , BC 0766=

= 2b A

:Sendo

BC


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b

L

L

h

W2.7. Exemplo 5: Aplicação didática

● Apresentada a situação mostrada na figura,determinar a tensão σ nos cabos inclinados(diâmetro d ). Dado: L=3,0 m, h =18 cm, b =1,8 m,d =12,5 mm e γ laje =24 kN/m3.

W

P P

PP

α

(a) Peso da laje W :

⇒⋅⋅=⋅= h LV W lajelajelaje

2

γ γ

kN ,W 8838=

(b) Cálculo do ângulo α :

( ) ⇒⋅

⋅=

b

Ltg

2

2α °= 68449 ,


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b

L

L

h

W2.7. Exemplo 5: Aplicação didática

(c) Cálculo da força P :

W

P P

PP

α

( ) ⇒

⋅=

α cosW P

4kN ,P 02315=

(d) Tensão no cabo:

⇒= P

σ

=⋅

= 22

718122

4

mm ,d

A

:Sendo

π

Pa ,421122=σ


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● Apresentada a estrutura da figura, determinar a tensão σ e a deformação ε (sabendo que ∆ L=5 mm) no caboinclinado (diâmetro d ). Dado: P =15 kN, L1=4 m, L2 =2 m,H=2 m e d=10 mm.

L1 L2

h

P

L1 L2

P

α

F Fy

Fx

(a) Cálculo do ângulo α :

( ) ⇒=1 L

H tg α

°= 56526 ,

(b) Componente vertical do cabo F y :

( )⇒

+⋅=

1

21

L

L LPF y kN ,F y 522=

(c) Força no cabo F :

( ) ⇒=

α sen

F F

ykN ,F 31250=


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(d) Tensão no cabo σ :

L1 L2

h

P

L1 L2

P

α

F Fy

Fx

⇒= F

σ

=⋅

= 22

54784

mm ,d

A

:Sendoπ

Pa640=

(e) Deformação no cabo ε :

⇒+

∆

=

∆

= 221 H L

L

L

Lε

3101181

−⋅= ,ε ou ,1181=ε


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●

Equipamentos:

2.9. Diagramas tensão-deformação:

Máquina de teste Tração

Nota: Os procedimentos para a realização dos testes são estabelecidos por normas.

Compressão


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●

Diagrama σ - ε típico do aço estrutural:


Nota:-Trecho OA: Relação σ - ε linear e proporcional(σ p = limite de proporcionalidade);

-Trecho AB : Relação σ - ε deixa de serproporcional (deformação aumenta mais que a

tensão);-Trecho BC : Inicia o escoamento do material(deformação aumenta e a tensão permanecepraticamente inalterada, comportamentoperfeitamente plástico – σ y = tensão deescoamento);

-Trecho CD : Trecho de recuperação(alteração na estrutura cristalina do material),a tensão aumenta (aumento na resistência domaterial) com o aumento da deformação (σ u =tensão última).

ε

σ

A

B C

D

E

E'

F a s e

l i n e

a r

E s c o

a m e n t o

E n d u

r e c i m e n t o

E s t r i

c ç ã o

σp

σy

σu

O

Ensaio de tração sem escala.


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●

Diagramaσ

- ε

típico do aço estrutural:


Nota 1:- Trecho DE : Trecho onde a estricção ficamais pronunciada (próximo ao ponto D ) eocorre a ruptura da barra (a tensão écalculada com a área da barra íntegra);

- Trecho DE’ : Tensão calculada com a áreada barra reduzida.

Nota 2: A estricção influencia pouco astensões que se desenvolvem até o ponto C ;

ε

σ

A

B C

D

E

E'

F a s e

l i n e

a r

E s c o

a m e n t o

E n d u

r e c i m e n t o

E s t r i

c ç ã o

σp

σy

σu

O

Ensaio de tração sem escala.


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● Exemplos de diagramas σ - ε :


a) Aço estrutural (tração) b) Liga de alumínio (tração)

c) Concreto (compressão) d) Concreto (tração)

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ


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● Método da equivalência:

- Este método é aplicado quando o materialnão apresenta o ponto de escoamento bemdefinido e sofre grandes deformações;

- O método consiste em traçar, a partir deuma deformação equivalente ε e , uma linhade referência paralela ao trecho linear dodiagrama σ - ε real do material;

- A tensão de escoamento equivalente σ y édada pela interseção da linha de referênciacom o diagrama σ - ε real do material.


ε

σ

σy

εeLiga de alumínio (tração)

Nota 1: Na prática ε e ≈ 2‰ ;

Nota 2: Deve-se sempre consultar umdocumento normativo a respeito dametodologia de avaliar a tensão deescoamento de um material que nãoapresenta o ponto de escoamento bemdefinido.


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● Diagrama σ - ε em compressão:

- De um modo geral, os diagramas σ - ε àtração e à compressão são diferentes;

- Nos materiais dúcteis os diagramas σ - ε à

tração e à compressão são aproximadosaté o limite de proporcionalidade. Após oescoamento verificam-se as divergências,visto que à tração pode haver a estricção eà compressão pode haver o abaulamento

das faces laterais;- Na compressão, ver diagrama, o corpo deprova oferece resistência ao encurtamentono trecho final de carregamento, resultandoem curvas σ - ε bastante escarpada.


ε

σ


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ε

σ

A

O

c a r g

a

d e s c a

r g a

Elástico Plástico

ε

σA

O

B

Deformaçãoresidual

Recuperaçãoelástica

C D

E


● Elasticidade: Propriedade de um material de retornar àdimensão original quando descarregado. Salienta-se que omaterial não precisa apresentar comportamento linear paraser elástico.

2.10. Elasticidade, plasticidade e fluência:

Nota:

- Trecho OA: Trecho elástico;- Ponto B : Momento em que ocorre o descarregamento;

- Trecho BC : Trajetória do descarregamento, que é paralela aotrecho linear do diagrama σ - ε ;

- Ponto C : Valor da deformação residual ou deformação permanente(trecho OC ), neste momento o comprimento da barra é superior aocomprimento inicial;

- Trecho OD : Corresponde à deformação total durante ocarregamento OB . Ensaio de tração


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ε

σ

A

O

c a r g

a

d e s c a

r g a

Elástico Plástico

ε

σA

O

B

Deformaçãoresidual

Recuperaçãoelástica

C D

E


● Elasticidade:


Nota:- Trecho CD : Deformação recuperada elasticamente (a barra retornaparcialmente ao seu comprimento inicial, o material é denominadoparcialmente elástico);

- Trecho OC : Deformação residual (o alongamento residual édenominado assentamento permanente);

- Ponto E : Representa o limite elástico do material (transição entre ocomportamento elástico e parcialmente elástico;

- Alguns materiais, maioria dos metais, apresentam o limite deproporcionalidade próximo, ou ligeiramente inferior, ao limiteelástico. Na prática essas grandezas são representadas por um únicovalor numérico.

Ensaio de tração

á


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● Plasticidade: Propriedades do material pela qual ele sofredeformações inelásticas além da deformação no limiteelástico.

● Ciclo Carga-Descarga-Recarga:


ε

σ

A

O

c a r g

a

d e s c

a r g a

Elástico Plástico

ε

σ

A

O

ε

σ

A

O

B

C

EE

- No regime elástico não há alteração significativa no comportamento do material;- No regime plástico a estrutura interna do material é alterada e o seu comportamento muda.

Regime elástico Regime plástico Ensaio de tração

U i id d F d l d P á UFPA


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ε

σ

A

O

E

ε

σ

A

O

B

C

E




Regime elástico

Regime plástico

Nota:- No regime plástico há deformações permanentes;

- Trecho CB : Representa o segundo ciclo de carga (recarga). Este

trecho inicia no ponto C e termina no ponto B , ponto de descarga noprimeiro ciclo de carga;

- Após o ponto B o material segue novamente o diagrama σ - ε originalaté a fratura da barra;

- É possível analisar a recarga como um novo diagrama σ - ε .

Ensaio de tração



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ε

σ

O

BEA

ε

σ

O

σB

C

EA




Nota:- No ciclo de recarga o material apresenta comportamento elásticolinear com inclinação igual ao trecho elástico linear do ciclo único;

- No ciclo de recarga o limite de proporcionalidade (ponto B ) érepresentado por uma tensão maior que o limite elástico do cicloúnico (ponto E );

- Na prática, o estiramento de materiais como o aço e o alumínio atéo regime inelástico ou plástico reflete em alteração naspropriedades do material. Verifica-se que a região elástica é maior,que os limites de proporcionalidade e elasticidade são aumentados eque a ductilidade é reduzida (trecho de escoamento menor).

Ciclo único

Ciclo de recarga

Ensaio de tração



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t

∆L

O t0

∆L0

P

∆ L


● Fluência: Um material quando sujeito a cargas ou tensões constantes por longosperíodos de tempo apresentam deformações permanentes adicionais. Este fenômeno édenominado fluência.


● Exemplo 1 de Fluência:

Nota: Apesar de verificar-se o fenômenoda fluência à temperatura ambiente,usualmente a influência da fluência émais notória em elevadas temperaturas(motores, caldeiras, etc.).

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● Exemplo 2 de Fluência: O fenômeno da relaxação é uma manifestação da fluência. Arelaxação caracteriza-se pela perda de tensão ao longo do tempo sob uma deformaçãoconstante.


t

σ

O t0

σ0



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ε

σ

E


● Material elástico linear: Corresponde aos materiais que se comportam elasticamentee exibem uma relação linear entre a tensão σ e a deformação ε .

2.11. Elasticidade linear, Lei de Hooke e coeficiente de Poisson:

Nota: O comportamento elástico linear é importante na engenharia, pois nos projetos de estruturas emáquinas são evitadas as deformações permanentes devido ao escoamento.

● Lei de Hooke: Expressa a relação linear entre a tensão σ e a deformação ε . A referidarelação é dada por:

ε σ ⋅= E

onde E é a constante de proporcionalidade definida pormódulo de elasticidade ou módulo de Young.

Nota: A unidade de E é a mesma de σ (N/m 2 =Pa , N/mm 2 =MPa , etc).



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P

P

ε (-)

ε' (+)

P

P

ε (+)

ε' (-)


● Coeficiente de Poisson ν : Quando uma barra

é solicitada axialmente a deformação axial ε éacompanhada de uma deformação lateral ε ’ normal à direção da carga aplicada.

● Em qualquer ponto da barra a deformaçãolateral ε ’ é proporcional à deformação axial ε no

mesmo ponto se o material é linearmenteelástico.


Tração: (+)

Compressão: (-)

Nota 1: O valor de ν é influenciado pelo nível dedeformação imposto à barra. Por exemplo, para oaço estrutural no regime elástico linear ν≈ 0,3 e no

escoamento do material ν≈ 0,5 ;

Nota 2: O coeficiente de Poisson é constanteapenas no regime elástico linear. No regime nãolinear o coeficiente do Poisson é chamado decoeficiente/razão de contração.

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P

P

ε (-)

ε' (+)

P

P

ε (+)

ε' (-)


● A razão entre as deformações ε ’ e ε éuma propriedade do material conhecidacomo coeficiente ou razão de Poisson ν .Sendo assim, ν é dado por:


Tração: (+)

Compressão: (-)

Nota: A equação ν = ε ’/ ε é aplicável apenas a umabarra sob tensão uniaxial. Para outros estados detensão aplicam-se abordagens diferentes paraavaliar a influência de ν .

ε

ε ν ' axial Deformaçãolateral Deformação −=−=



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● Para que a deformação lateral ε ’ seja proporcional (regime elástico linear) àdeformação axial ε em qualquer ponto ao longo do eixo da barra é necessário admitir,além das condições anteriores, as seguintes considerações:

- Material homogêneo: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar a mesmacomposição em todo o volume da barra;

- Material isotrópico.


Nota:- Material isotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar as mesmas propriedadeselásticas em todas as direções em análise;

- Material anisotrópico ou aelotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar diferentespropriedades elásticas nas diferentes direções em análise;

- Material ortotrópico: Este tipo de material caracteriza-se por apresentar diferentes propriedadeselásticas em direções perpendiculares.



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P

L

∆L

d


● Apresentada a estrutura da figura,determinar: (a) O módulo de elasticidade E e

(b) o coeficiente de Poisson ν . Sabe-se queP =3,5 kN, L=15 m, d =3 mm, ∆ L=37,1 mm e∆ d =0,0022 mm.

(a) Módulo de elasticidade E :

⇒⋅= ε σ E

⋅=∆

=

=⋅

⋅==

−3

2

104732

1494954

, L

L

MPa ,d

P

A

P

:Sendo

ε

π σ

⇒= ε

σ

E GPa , E 195200=



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(b) coeficiente de Poisson ν :

⇒−=ε

ε ν

'

⋅−=∆

= −4103337 ,d

d '

:Sendo

ε

2960 ,=ν

P

L

∆L

d



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d1

d2


● Apresentada a estrutura da figura, determinar o valor da carga P para que d 1=d 2 .Dados: d 2 =70 mm, d 1=68 mm, E =3000 MPa e ν =0,4.

(a) Carga P para que d 1=d 2 :

=∆⇒−=∆ mmd d d d :Sendo

21121

⇒∆=⇒∆=⇒∆=1

1

d d '

' L' L'

L L ε ε ε

0290 ,' =ε

(a.1) Deformação lateral ε ’ :



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d1

d2


(a.2) Carga P :

⇒−=ε

ε ν

'

⇒⋅−= ε ν ε '

( )

=

⋅=⇒=⇒⋅=

A / P

A E / P E / E

:Sendo

σ

ε σ ε ε σ

⇒⋅

⋅−= E

P' ν

ε ν

ε A E ' P ⋅⋅−=

kN ,P 106801−=

( )

⋅=

4

2

1d

A

:Sendo

π



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● Apresentada a estrutura da figura, determinar: (a) O encurtamento ∆ L do tubo, (b) Adeformação lateral ε ’ , (c) O aumento nos diâmetros externo ∆ d 2 e interno ∆ d 1 e (d) O

aumento da espessura ∆ t . Dado: P =625 kN, L=1220 mm, d 2 =150 mm, d 1=115 mm,E =207 GPa e ν =0,3.

(a) Encurtamento ∆ L:

Pd1d2

L⇒∆=

L Lε

⇒⋅=∆ L L ε

( )

=

⋅=⇒=⇒⋅=

A / P

A E / P E / E

:Sendo

σ

ε σ ε ε σ

A E

LP

L ⋅

⋅

=∆

mm , L 5060−=∆

( )

⋅=

−⋅=23

2

1

2

2

102857

4

mm , A

d d A

:Sendo

π



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(b) Deformação lateral ε ’ :

Pd1d2

L

⇒−=ε

ε ν

'

⇒⋅−= ε ν ε '

( )

=

⋅=⇒=⇒⋅=

A / P

A E / P E / E

:Sendo

σ

ε σ ε ε σ

A E

P'

⋅

⋅−= ν

ε

4102431 −⋅= ,' ε



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(c) Aumento nos diâmetros externo ∆ d 2 e interno ∆ d 1:

Pd1d2

L

' L

' L'

L

L ∆=⇒∆= ε ε

⇒⋅=∆ ' L' ' L ε 22 d ' d ⋅=∆ ε

mm ,d 01902 =∆

⇒⋅=∆ 11 d ' d ε mm ,d 01401 =∆



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(d) Aumento da espessura ∆ t :

Pd1d2

L

' L

' L'

L

L ∆=⇒∆= ε ε

⇒⋅=∆ ' L' ' L ε t ' t ⋅=∆ ε

mm ,t 3101762 −⋅=∆

−

= 2

12 d d

t

:Sendo

Nota:O valor de ∆ t poderia ser estabelecido em função de ∆ d 2 e ∆ d 1.

2

12 d d

t ∆−∆

=∆



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● Dada a situação apresentada na figura, determinar a inclinação da diagonal α f após aaplicação da tensão σ (inclinação inicial α i =b/L). Sabe-se que o material tem módulo de

elasticidade E e coeficiente de Poisson ν .

(a) inclinação da diagonal α f após a aplicação da tensão σ :

⇒

∆

= L

Lε

⋅= ε σ E

:Sendo

⇒∆⋅=

L

L E σ

E

L L

⋅+=∆

L

b

αi

σσ

Universidade Federal do Pará - UFPAI i d T l i


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L

b

αi

σσ


(a) inclinação da diagonal α f após a aplicação da tensão σ :

⇒∆=b

b' ε

−= ε ε ν / '

:Sendo

⇒

∆

=⋅− b

bε ν

= E /

:Sendo

σ ε

⇒∆

=⋅−

b

b

E

σ ν

E

bb

⋅⋅−=∆ σ ν

⇒∆+

∆−=

L L

bb f α

+

⋅−⋅=

σ

σ ν α

E

E

L

b f

Universidade Federal do Pará - UFPAI tit t d T l i


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P

A

P

V

A

V2. Tração, Compressão e Cisalhamento:

● O conceito de tensão normal apresenta que σ é dada pela

razão P/A, sendo P a força que atua perpendicularmente àárea da seção transversal A. Semelhantemente, conceitua-setensão de cisalhamento τ como a tensão que atuatangencialmente à área da seção transversal A.

2.16. Tensão e deformação de cisalhamento:

A

V med =τ

Sendo V a força de cisalhamento que atua paralelamente à seçãoA, que é denominada área de corte ou área cortante.

● Não é fácil determinar a distribuição da tensão de cisalhamento τ na seção A.Entretanto, se for admitida uma distribuição uniforme tem-se o conceito de tensão decisalhamento média τ med , que é dada por:

Nota: A unidade de τ é uma unidade de força por área (N/m 2 =Pa , N/mm 2 =MPa , etc).

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● Exemplo de tensão de cisalhamento média τ med :


⇒= A

V med τ

2

4

d

Pmed

⋅

⋅=π

τ

⋅=

4

2d A

:Sendo

π

Nota 1: Neste exemplo diz-se que o parafuso está sujeito à cisalhamento simples;

Nota 2: Neste exemplo não foi considerado o efeito da protensão do parafuso (aperto do parafuso), ouseja, não está sendo considerado o atrito entre os elementos conectados, o qual reduz os esforços noparafuso.

n

m

P

m

n

n

mV=P



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PP

mn

pq

n

q

m

p

V=P/2

V=P/2

nm

τmed


● Exemplo de tensão de cisalhamento média τ med :


⇒=V

med τ 2

2

d

Pmed

⋅

⋅=π

τ

⋅=

4

2d A

:Sendo

π

Nota 1: Neste exemplo diz-se que o parafuso está sujeito à cisalhamento duplo;

Nota 2: Neste exemplo não foi considerado o efeito da protensão do parafuso (aperto do parafuso), ouseja, não está sendo considerado o atrito entre os elementos conectados, o qual reduz os esforços noparafuso.



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τ2

τ1

τ3

τ4

a

b

c


● Análise da tensão de cisalhamento média em um elemento: Para que o elemento

esteja em equilíbrio é necessário verificar ∑F x =0 , ∑F y =0 e ∑M=0 . Sendo assim, têm-se:


⇒=∑ 0 xF 21τ =

⇒=∑ 0 yF 43 τ τ =

⇒=∑ 0 M 41 τ τ = ou 32 τ τ =

Nota 1: Tensões de cisalhamento em faces opostas e paralelas são iguais em magnitude e opostas emdireção (τ 1= τ 2 e τ 3 = τ 4 );

Nota 2: Tensões de cisalhamento em faces adjacentes e perpendiculares são iguais em magnitude ecom as direções apresentadas na figura do elemento (τ 1= τ 4 e τ 2 = τ 3 ).



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● Deformação de cisalhamento γ : Para visualizar a deformação proveniente de uma

tensão de cisalhamento, apresenta-se o elemento indeformado e deformado.


Nota:- A tensão de cisalhamento τ não provocaalteração nas dimensões da face do elemento,ou seja, o elemento não apresenta deformação

normal ε (alongamento/encurtamento);

- A tensão de cisalhamento τ distorce o elemento,ou seja, os ângulos inicialmente retos entre as facesdistorcem de π /2- γ e π /2+ γ ;

- A distorção γ também é denominadadeformação de cisalhamento ;

- O elemento apresentado representa um estadode tensão chamado cisalhamento puro (semtensão normal).

τ1

τ1

τ2

τ2

γ /2

γ /2

π /2-γ

π /2+γ

Elementoindeformado

Elementodeformado



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γ /2

γ /2

π /2-γ

π /2+γ τ1

τ1

τ2

τ2


● Convenção de sinal para a tensão e para a deformação de cisalhamento: O

elemento apresentado representa a convenção positiva.


Convenção positiva



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γ

τ

G

T

T

z

yx


● Lei de Hooke em cisalhamento: Expressa a relação linear entre a tensão τ e a

deformação γ . A referida relação é dada por:


τ ⋅=G

onde G é a constante de proporcionalidade definida por módulo de elasticidade paracisalhamento ou transversal.

Nota 1: As propriedades dos materiais sob cisalhamento sãodeterminadas experimentalmente a partir do ensaio decisalhamento direto ou de torção (estado de cisalhamentopuro).

Nota 2: A unidade de G é a mesma de τ (N/m 2 =Pa ,N/mm 2 =MPa , etc).



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gFaculdade de Engenharia Civil



● As grandezas G , E e ν são dependentes, conforme segue:


( )ν +⋅=

12

E G



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● Dada a estrutura da figura, determinar: (a) A tensãode cisalhamento no pino τ pino e (b) A tensão de

cisalhamento no parafuso τ parafuso . Dado: d pino =18 mm,d parafuso =12 mm, P =54 kN e α =40 o.

(a) Tensão de cisalhamento no pino τ pino :

( )( ) ⇒⋅⋅== 224 pino pino

d / P

AV

π τ P

d p i n o

dparafuso

α

MPa , pino 103106=τ

(b) Tensão de cisalhamento no parafuso τ parafuso :

( )

( ) ⇒⋅⋅⋅⋅

== 24

4

parafuso

parafusod cosP

AV

π τ

MPa , parafuso 4491=τ



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● Apresentado o sistema da figura, determinar: (a) A tensão normal no pino σ e (b) Atensão de cisalhamento média τ na placa. Dado: P =124 kN, d =19 mm e t =6,35 mm

(a) Tensão normal no pino σ :

⇒⋅

⋅==

2

4

d

P

A

P

π σ Pa ,345437=σ

P

d

t

Pino

Placa(b) Tensão de cisalhamento média τ na placa:

⇒⋅⋅== t d

P

A

V

π τ Pa ,148327=τ



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● Apresentado o sistema da figura, determinar: (a) A tensão normal no pino σ e (b) Atensão de cisalhamento média τ na placa. Dado: P =124 kN, d =19 mm e t =6,35 mm

(a) Tensão normal no pino σ :

⇒⋅

⋅==

2

4

d

P

A

P

π σ Pa ,345437=σ

P

d

t

Pino

Placa(b) Tensão de cisalhamento média τ na placa:

⇒⋅⋅== t d

P

A

V

π τ Pa ,148327=τ



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● Dado o aparelho de apoio (borracha+aço) da figura,determinar o deslocamento horizontal d do aparelho

quando o mesmo está sujeita a uma força cortante V .São conhecidas as dimensões do aparelho a-b-h e omodulo de elasticidade transversal da borracha G .

(a) Tensão de cisalhamento τ :

⇒= AV τ

a

h

bV

Vd

γ

a

h(b) Distorção γ :

⇒⋅=τ G

baV ⋅

=τ

G

τ γ =

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(c) Deslocamento d :

( ) ⇒⋅=⇒== hd hd tg γ γ γ

a

h

bV

Vd

γ

a

h

Gba

hV d

⋅⋅

⋅=

Nota 1: Admitiu-se tg( γ )= γ porque d é um valor muito pequeno;

Nota 2: O resultado apresentado é uma abordagem simplificada doproblema, porém apresenta resultados relativamente precisos para a>>h .

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● Apresentada a viga da figura, determinar a tensãode cisalhamento no pino do apoio 1 (diâmetro

d pino =8 mm). Sabe-se que P =10 kN.

(a) Reação R 1 no apoio 1:

⇒⋅

⋅=⋅⇒=∑3

2

3

012

LP

L R M

L/3 2⋅L/3

Pdpino

Apoio 1 Apoio 2

d p i n o

Apoio 1(Vista frontal)

P R ⋅=⋅ 21

(b) Tensão de cisalhamento no pino do apoio 1:

( )( )

⇒⋅⋅=⇒= 2

1 24

pinod / R

AV

π τ τ

Pa ,944198=

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● Apresentada a ligação da figura (todas as placasapresentam espessura t ), determinar a maior tensão de

cisalhamento no parafuso τ parafuso (diâmetro d ). Dados:P 1=3 kN, P 2 =1,8 kN, P 3 =2,4 kN, t =5 mm e d =6 mm.

(a) A maior tensão de cisalhamento no parafuso τ parafuso :

⇒= AV

parafusoτ

d

P1

P1

P2

P2

P3

t

( ) ⇒

⋅−⋅=

4

22

31

/ d PP

parafusoπ

τ

MPa , parafuso 66263=



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2.22. Exemplo 16: Aplicação didática● Apresentada a alavanca mostrada na figura, determinar atensão de cisalhamento na chaveta (admitir que a tensãode contato entre a alavanca e a chaveta é uniformemente

distribuída em b/2 ). Para o problema são conhecidos osvalores de P , L, b , d e c .

(a) Força de cisalhamento na chaveta:

( ) ⇒=∑ 0eixodoCentro M c

Eixo

Alavanca

Chaveta

L

P

d

b

b/2b/2

(a) Tensão de cisalhamento na chaveta:

⇒=V

τ

⋅= cb A

:Sendo

⇒

+⋅=⋅

42

bd V LP

bd

LPV

+⋅

⋅⋅=

2

4

( )bd cb

LP

+⋅⋅⋅

⋅⋅=

2

4τ

02- mec sol ii- trac_comp_cisalha

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