2. DEFORMACIJA 1 2. DEFORMACIJA 2.2. TENZOR DEFORMACIJE 2.2.1. Pomak, duljinska i kutna deformacija Pod nazivom deformiranje tijela podrazumijeva se promjena oblika i dimenzija tijela. Uzrok deformiranju tijela osim vanjskog opterećenja, može biti promjena temperature, vlažnosti, promjene u strukturi tijela itd.

Pomak δv

je vektor koji spaja početni položaj čestice s položajem u deformiranom stanju tijela.

Aδr

B

deformirani oblik

C

x

y

z

FB FC

O Fi

F3 F2

F1

Fn

A A1

početni oblik

Aδr

uA vA

wA

..

l

l+Δl

Na slici je pomak čestice A:

1A AA=δv

.

jv

iv

Aδr

uA vA

wA

..

z

y

xO

A

A1

kv

Vektor pomaka δv

u pravokutnom x, y, z – koordinatnom sustavu izražava se pomoću svojih komponenti:

kwjviuvvvv

++=δ .

U općem slučaju komponente pomaka ovise o položaju čestice u tijelu te vrijedi:

),,( zyxuu = , ),,( zyxvv = , ),,( zyxww = .

Deformacija je skup geometrijski definiranih veličina koje jednoznačno definiraju deformiranje beskonačno malog elementa tijela.

Potrebno je definirati 9 veličina koje tvore simetrični tenzor 2.reda. Te su veličine duljinske i kutne deformacije.

Duljinska deformacija definira se kao relativno produljenje, tj.:

ll

l

Δ=→

lim0

ε ,

gdje su: l - početna duljina dužine, a ∆l – produljenje pri deformiranju.

Za ε > 0 – dužina se produljuje, a kod ε < 0 – dužina se skraćuje. Kutna deformacija definira se kao promjena prvobitnog pravog kuta.

2. DEFORMACIJA 2 Radi jednostavnosti definiranja tih veličina rabi se ravninski model na slici.

iFv

1Fv

2Fv

nFv 4F

v

3Fv

početni oblik

A B

C

A1B1

C1

π/2−γABC

δA

deformirani oblik

x

y

O

Prave deformacije u točki A definiraju se u Oxy – koordinatnom sustavu izrazima:

xεε =−=→ AB

ABBA 11

ABAB lim ,

yεε =−=→ AC

ACCA 11

ACAC lim ,

yxγπγ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∠−=

→→ 111

ACABABC CBA

2lim

Također vrijede jednakosti:

xyyx γγ = , yzzy γγ = , xzzx γγ = .

Predznak kutne deformacije je pozitivan ako se kut koji čine pozitivne koordinatne osi ili negativne koordinatne osi smanjuje. Kutna deformacija još se naziva i posmična deformacija, jer su uz nju vezana posmična naprezanja.

Tenzorske kutne deformacije definirane su izrazima:

xyyxyx εγε ==21 , yzzyzy εγε ==

21 , zxxzxz εγε ==

21 .

Obujamna ili volumenska deformacija definira se kao relativna promjena obujma, tj.:

VV

V

Δ=Θ→0

lim , gdje je ∆V- promjena početnog obujma V.

U području malih deformacija, reda veličine 10−3, obujmna je deformacija jednaka približno zbroju duljinskih deformacija za tri međusobno okomite osi:

εεεεεεε 1321 Izyx =++=++≈Θ ,

tj., obujamna deformacija jednaka je prvoj invarijanti tenzora malih deformacija. Jedinica za duljinske deformacije je bez ikakve oznake ili npr. kod mjerenja m/m ili češće 10−6 m/m= 1 μm/m (engl. microstrain).

Jedinica za kutne deformacije je jedinica kuta, tj. radijan, a oznaka je rad ili 10−6 rad = 1 μrad.

2. DEFORMACIJA 3 2.2.2. Tenzor malih deformacija

Za definiranje deformacije u točki tijela potrebno je poznavati 9 podataka, tj. tri duljinske deformacije koje se odnose na tri međusobno okomite dužine (npr. u pravcima osi Oxyz – koordinatnog sustava ⇒ εx, εy, εz), te šest kutnih deformacija (γx y=γy x, γz y=γy z, γx z=γz x).

Komponente deformacije predstavljaju komponente simetričnog tenzora 2. reda kojima matrica u tenzorskim odnosno tehničkim oznakama glasi:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzyzx

zyyyx

zxyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

εγγγεγγγε

εεεεεεεεε

ε2/2/

2/2/2/2/

.

2.3. RAVNINSKA DEFORMACIJA Stanje je deformacije ravninsko, ako je ispunjen uvjet:

),,(),,(),,( yxyxyx yxyxyyxx γγεεεε === 0=== zyzxz γγε .

2.3.1. Transformacija komponenata tenzora deformacije Kako je deformacija simetričan tenzor 2. reda kao i naprezanje, svi izrazi

izvedeni za naprezanje vrijedit će i za deformaciju, ako se σx, σy i τxy zamijene

sa εx, εy i γxy/2.

Izrazi za transformaciju komponenata deformacije kod rotacije osnovnog koordinatnog sustava Oxy za kut ϕ u zarotirani koordinatni sustav yxO glase:

ϕ

εydy

ϕ

x

y

x

y B1

M

O

A

Bπ/2−γxy

A1

dx

dy

εxdx

ϕ

εydy

x

y

x

F1

M

O

E

F π/2−γxy E1

dxdy εxdx

a)osnovni koordinatni sustav b) zarotirani koordinatni sustav

• u matričnom obliku, gdje su za kut ϕ rotacije osi: ϕϕ sin,cos == nm :

[ ]M

ε

M⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yx

y

x

yx

y

x

γεε

γεε

T ,

a matrica transformacije je:

[ ] .)( ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

22

22

22

nm2mn2mnmnmn

mnnm

εT

2. DEFORMACIJA 4 • u razvijenom obliku:

ϕϕγϕεϕεε cossinsincos 22yxyxx ++= ,

ϕϕγϕεϕεε cossincossin 22yxyxy −+= ,

)sin(coscossin)(2 22 ϕϕγϕϕεεγ −+−−= yxyxyx ,

• odnosno, nakon trigonometrijskih transformacija:

ϕγ

ϕεεεε

ε 2sin2

2cos22

yxyxyxx +

−+

+= ,

ϕγ

ϕεεεε

ε 2sin2

2cos22

yxyxyxy −

−−

+= ,

ϕγϕεεγγ 2cos2sin)( yxyxxyyx +−−== .

Prva i druga invarijanta ravninske deformacije su:

const. 211 =+=+=+= εεεεεεε yxyxI ,

const. 2122

2 =⋅=−⋅=−⋅= εεεεεεεεε yxyxyxyxI .

2.3.2. Glavne deformacije Glavne deformacije ε1 i ε2 određene su izrazom:

[ ]222,1 )(

21

yxyxyx γεεεεε +−±+= .

Glavni pravci deformacija 1 i 2 određeni su kutom ϕo za koji vrijedi izraz:

yx

yx

εεγ

ϕ−

=o2tan .

U primjeni, izrazi za glavne deformacije ε1 i ε2 te za kut ϕo koji određuje glavne pravce deformacija, rabe se kod obrade podataka duljinskih deformacija u nekoj točki na površini opterećene konstrukcije, određenih pomoću tzv. mjernih rozeta (elektrootpornih tenzometara) kod uporabe metode tenzometrije.

2. DEFORMACIJA 5 2.3.3. Mohrova kružnica deformacije Mohrova kružnica deformacije konstruira se analogno Mohrovoj kružnici naprezanja. Na osi apscisa nanose se duljinske deformacije, a na osi ordinata polovične kutne deformacije. Ako je γxy > 0 , γyx < 0 crtaju se ispod osi ε, dok se γxy < 0 i γyx > 0 crtaju iznad vodoravne osi ε. Koordinate točaka komponenti deformacije u točki tijela kod crtanja Mohrove kružnice deformacija su:

−γx y /2+γy x /2

O εD

B

E

CS

A

F

γx y/2

γx y/2

ε2

εy

εy

εx

ε1

εx

ϕo

ϕ

12

x

y

x

y

Mjerilo: 1 cm = λε

+γx y /2−γy x /2

H

G

n

γx y max /2

P

εS

ϕN

Sve točke deformacija u presjecima kroz neku točku M nalaze se na kružnici, a za dva međusobno okomita presjeka nalaze se na suprotnim krajevima promjera kroz središte S kružnice.

ε1

εxεy

εx

ϕo

ϕ

1

xy

x

yεy (π/2− γx y)

M A

B

x

F E

M

x

2

M

D

C

ε2

A (εx, γx y/2)

B (εy, γy x/2)

γx y = γy x > 0

γx y= γy x < 0

E (εx, γx y/2)

F (εy, γy x/2)

C (ε1, 0)

D (ε2, 0)

(π/2− γx y)

εS

ϕNn1

x

H G

M

γ x y max < 0

G (εS, γ x y max /2)

H (εS, γ x y max /2)

π /2 − γx y max

d) n

εS

2.4. PROSTORNA DEFORMACIJA Komponente tenzora deformacije transformiraju se prema zakonima za transformaciju komponenata tenzora 2. reda, analogno kao i kod tenzora naprezanja.

Glavne deformacije 321 εεε ≥≥ određuju se rješavanjem kubne jednadžbe:

0322

13 =−+− εεε εεε III ,

2. DEFORMACIJA 6 gdje su invarijante tenzora deformacije:

const. 3211 =++=++= εεεεεεε zyxI ,

const. =⋅+⋅+⋅=−−−⋅+⋅+⋅= 133221222

2 εεεεεεεεεεεεεεεε xzzyyxxzzyyxI

const. =⋅⋅=−−−+= 321222

3 2 εεεεεεεεεεεεεεεε yxxzzy zyxxzzyyxzyxI

Kod izotropnih materijala glavni pravci deformacija ε1, ε2 podudaraju se s glavnim pravcima naprezanja σ1, σ2.

Kod anizotropnih materijala to nije slučaj te se pravci glavnih deformacija moraju odrediti prema izrazima tenzorskog računa.

Primjeri: deformacije kod ravninskog stanja naprezanja tijela.