03 metodos de soluciÃ³n

8/19/2019 03 Metodos de soluciÃ³n

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Programación Lineal

Métodos de resolución


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IO1 R.Delgadillo 2

Introducción Conceptos Forma canónica y estándar de un P.L. Método Simplex Dualidad Propiedades

Interpretación económica


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IO1 R.Delgadillo

Conceptos Conjunto convexo: Un conjunto de

puntos S es convexo, si el segmento delínea que une cualquier par de punto de

S esta en S. Esto es, S es un conjunto convexo, si

para todo

0,1 )1( 21 para

S x x

S xi


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Conceptos

A B A B A

B

AB

A

B

Conjuntos convexos

Conjuntos no convexos


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Conceptos Punto extremo: Un punto P es

denominado punto extremo (esquina) ,si todo segmento de línea que esta

completamente en S y contiene a P,tiene a P como punto extremo delsegmento de línea.

Esto es si P no puede ser representadocomo una combinación convexaestricta de dos puntos distintos en S.

)1,0(


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Conceptos

x3

x2

P.

.

.

Punto extremo


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Conceptos Región Factible: Es un conjunto de

todos los puntos que satisfacen todaslas restricciones del problema

Teorema 1: La región factible de unproblema de programación lineal es unconjunto convexo y tiene un número

finito de puntos extremos.


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Conceptos Solución óptima: Es un punto de la

región factible con mayor valor de laF.O. (problema de Max)

Teorema 2: Todo problema deprogramación lineal que tiene soluciónóptima, tiene un punto extremo que es

óptimo.


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Problemas de PL

Forma genérica ó canónica de un PPL, sedenomina así cuando se escribe

objetivofunciónladetoscos

0

,..1;,...,1 ..

Zmax 1

j

j

i jij

o

n

j j j

cdonde

x

n jmib xaa s

c xc


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Problemas de PL

Variables artificiales: se denominan así alas variables que se agregan alproblema con la finalidad de hacer una

restricción de desigualdad en igualdad. Si la restricción es >= la variable artificial es

de exceso

Si la restricción es


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Problemas de PL

Forma normal ó estándar de un PPL, sedenomina así cuando se escribe

Esto es, todas las restricciones son de igualdad

objetivofunciónladetoscos

0

,..1;,...,1 ..

Zmax

1

j

j

i jij

o

n

j

j j

cdonde

x

n jmib xaa s

c xc


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Ejemplo: Dado el siguiente problema en la forma

genéricaMax z = 3x1 + 4x2

s.a. x1 + x2


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Ejemplo: La forma normal se obtiene agregando

las variables de holguraMax z = 3x1 + 4x2

s.a. x1 + x2 + x3 = 9x1 + 2 x2 + + x4 = 16x1, x2 , x3, x4 > 0


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Conceptos Base: De un espacio vectorial es cualquier

conjunto de vectores que pertenezcan alespacio y que además: Son linealmente independientes Son un conjunto generador del espacio vectorial.

Ejemplo:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3- 0 0

2 1 0

0 1 1v1 v2 x3 v1 v2 v3


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Conceptos Dado un sistema de ecuaciones lineales, de n

variables y m restricciones:

suponga n ≥ m,=> si n-m variables tomen valor =0,garantiza que las m variables restantesasuma valores únicos.

b AX


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Conceptos Solución Básica: Es una solución que

satisface Ax = b y cuyas VB ≥0 y VNB = 0.

así las columnas asociadas a las VB sonlinealmente independiente.

Solución Básicas posible: Son solucionesbásicas con valores de sus variables todos ≥0

Solución Básica degenerada: Son

soluciones básicas en las que algunas VBtoman valor igual a cero.


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Conceptos Solución Básica óptima: Es una

solución básica posible y cuyo valor deZ (F.O.) es máximo.

Solución adyacente básica posiblesDos soluciones básicas posibles sonadyacentes, si sus conjuntos de

variables básicas tienen m-1 variablesbásicas en común.


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Ejemplo Grafique e identifique, soluciones

básicas, soluciones básicas posibles,solucion básica óptima.

max z = 3x1 + 4x2s.a. x1 + x2


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Ejemplo

Agregando las variables de holgura se tiene:Max z = 3x1 + 4x2s.a. x1 + x2 + x3 = 9

x1 + 2 x2 +x4 = 16x1, x2, x3, x4 > 0


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Ejemplo

(0,0,9,16)(9,0,0,7}

(16,0,-7,0)

(2,7,0,0)

(0,9,0,-2)

(0,8,1,0)

x2=0

x4=0x1=0

x3=0 Sol. óptima

Sol. básica

Sol. Básica factible


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Método Simplex Idea conceptual: Desde que las soluciones que

optimizan la F.O. se encuentran en la

frontera de la región Factible y enparticular en los vértices de esta. Elsimplex localiza un vértice de la región

y salta para el siguiente vérticeadyacente de forma que mejore el valorde la F.O.


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Sistema de ecuaciones lineares Dado Ax = b , A de dimensión m x n, x de

dimensión n y b de dimensión m Si la matriz A es inversible ( esto es m=n ) =>

Ax = b , tiene como única solución x=Ab por otro lado, si el rango de la matriz

aumentada ( A|b ) es mayor que el rango de lamatriz A => Ax = b no tiene solución.

Si el rango de ( A|b ) es igual al rango de A eigual k < n, => Ax = b tiene infinitas soluc.


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Método Simplex (conceptos) Dado Ax = b, un sistema de ecuaciones

consistente indeterminado (n>m) Se puede escribir: A= (B,N ) , donde

B mxm inversible y N mx(n-m). Las columnasde la matriz B, son vectores dedimensión m , que constituyen una

base del espacio R, denominase a B como matriz básica.

m


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Método simplex

Sea Equivalentemax z = Cx max z = C B x B +C N x N

s.a. s.a. Ax = b Bx B + Nx N = b

x > 0 x B > 0, x N > 0 de donde:x B = B b – B Nx N

z = C B B b -(C B B N -C N ) x N -1 -1

-1 -1


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Método simplex En la tabla:

x N x B

x B B N I B b

z C B B N-C N 0 C B B b

Una solución inicial es:

x N = 0, x B = B b, z= C B B b

-1

-1

-1

-1

-1

-1


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Método Simplex (algoritmo)

1. Determine una solución básica factible2. Verifique si la solución es óptima: vea si los

costos reducidos en el tablero son ceros onegativos, en ese caso pare, Sol óptima.

3. Determine una nueva solución básicafactible:-variable que entra a la base xj = coef máspositivo

-variable que sale de la base = min{B b/a.j/a.j>0 }

4. Regresar a paso 2

-1


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Método Simplex Ejemplo:

max z = 3x1 + 4x2s.a. x1 + x2 < 9

x1 + 2 x2 < 16x1, x2 > 0


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Método simplex

Agregando las variables de holgura se tiene:Max z = 3x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4s.a. x1 + x2 + x3 = 9

x1 + 2 x2 +x4 = 16x1, x2, x3, x4 > 0


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Método simplex La primera base factible es la

formada por las variables de holgura: VB1 = { x3, x4}

VNB1 = { x1, x2} , x1 = x2 = 0=> x3 = 9

x4 = 16Z = 0


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Método Simplex

x1 x2 x3 x4x3 1 1 1 0 9x4 1 2 0 1 16-z 3 4 0 0 0

VB={x3=9,x4=16}

VNB={x1=x2=0}


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Método Simplex Evaluamos si SBF es óptima;

observemos que si x1 ó x2 0Z crece.=> (x3, x4) no es solución óptima.

Criterio de solución óptima: todoslos coeficientes de las variables nobásicas son ceros o negativos


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Método Simplex Generamos otra base, por el intercambio

de una de las variables básicas por otravariable no básica; esto es, sale una variablede la base y entra una variable de la no base.

Criterio para la variable que entra en labase: debe entrar la variable que tengamayor coeficiente positivo; que hace que Z

crezca rápidamente. En el ejemplo la variable que entra es x2.

X1 permanece con valor cero


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Método Simplex Criterio para la variable que sale de la

base: debe salir una VB que toma valor cerocuando la variable que entra (VNB) toma sumáximo valor. Esto es, limita el crecimientode la variable de entrada pues todas lasvariables deben ser ≥ 0 ( Xi ≥0).

entonces: min{B b/a.j/ a.j>0 }

min {9/1,16/2} = 2, que corresponde a la filade la variable x4 => sale x4 Repetimos el proceso hasta encontrar la

solución óptima

-1


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Método Simplex

x1 x2 x3 x4x3 1 1 1 0 9x4 1 2* 0 1 16

-z 3 4 0 0 0x3 1/2* 0 1 -1/2 1

x2 1/2 1 0 1/2 8-z 1 0 0 -2 -32

VB={x3=9,x4=16}

VNB={x1=x2=0}


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Método Simplex

x1 x2 x3 x4x1 1 0 2 -1 2x2 0 1 -1 1 7

-z 0 0 -2 -1 -34

sol óptima x1=2, x2=7, x3=4, x4=0 z= 34


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Método Simplex Problema de mínimo: Primer caso: hacer Min z = Max (-z)

y efectuar el algoritmo para resolver el

problema de mínimo. Segundo caso: modificar algoritmo

-variable que entra a la base xj = coef

más negativo- condición de parada es todos loscostos reducidos son ceros o positivos.


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IO1 R. Delgadillo 38

Dualidad La teoría de Dualidad es una propiedad

Matemática. Este concepto se aplica ala teoría de optimización.

La teoría de Dualidad introduce unnuevo test de optimalidad, comotambién nuevos algoritmos para

resolver problemas lineales.


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Dualidad Todo problema de programación

matemática existe asociado con otroproblema llamado Dual.

En particular, todo problema lineal(primal) tiene su correspondienteproblema dual

Denominemos por (P) al problemaprimal y (D) a su correspondiente dual.


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Dualidad (simétrica) Problema primal(P) max Cx

s.a

Ax < b x>0

Problema dual(D) min yb

s.a

yA> C y > 0


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Dualidad (simétrica) Problema primal

max 3x1+7x2 -4x3

s.a 2x1- x2 + x3 3-y1 +5y2 > 7y1 -2y2 > -4

y1,y2 > 0


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Dualidad (asimétrica) Problema primal(P) max Cx

s.a

Ax = b x>0

Problema dual(D) min yb

s.a

yA> C y libre


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Dualidad (asimétrica) Problema primal

max 3x1+2x2s.a

x1+ x2 = 65 x1-x2 = 12

x1,x2 > 0

Problema dualmin 6y1 +12 y2s.a

y1 +5y2 > 3y1 - y2 > 2y1, y2 libre


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Relación entre Primal y Dual FO. MAX FO. MIN

AMRestricc.

N Variables

NRestricc.

M Variables

tA

X es var. primal Y es variable dual

C b

bC


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Relación entre Primal y Dual Respecto a las desigualdadesProb. de Max Prob. de Min

oirrestrict

0

0

RESTRICC VARIABLES

oirrestrict

0

0

VARIABLES RESTRICC


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Dualidad- Propiedades Propiedad 3: Si x’ es una solución factible

de (P) e Y’ es una solución factible de (D) yentonces x’ será óptimo de (P) e

y’ sera óptimo de (D).

Propiedad 4: Si (P) tiene una soluciónóptima ilimitada entonces (D) será vacio.

Propiedad 5: Si x* es solución óptima de

(P) e y* es solución óptima de (D) entonces

b ycx ''

b ycx **


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Dualidad- Propiedades Teorema de dualidad (existencia):

Dado un par de problemas (primal y sudual) uno y solamemnte uno de las tres

afirmaciones es verdadero. Los dos problemas son vacios Uno es vacio y el otro ilimitado.

Ambos admiten soluciones óptimas finitas(sus funciones objetivo en el punto óptimoasumen igual valor)


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Dualidad- Propiedades

Primal Dual

Óptimo finito Óptimo finito

Óptimo no-finito Óptimo no-finito

No tiene solución No tiene solución


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Dualidad- Propiedades Propiedad 6 (Complementaridad):

Si x’ es óptimo de (P) e y’ es óptimo de(D) entonces

(y’A – c) x’ = 0 e y’(Ax’ – b) = 0 Esta propiedad nos dice que:

Las variables duales y las variables de

holgura son complementares.


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Ej: máx z= 5x1+ 2x2s.a

x1 < 3x2 < 4

x1 + 2x2 < 9x1, x2>0

Resolver, sabiendo que los valores de las variablesduales correspondientes son:y1= 4, y2=0, y3=1 y ZD= 21


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Aplicando la propiedad de complementariedad,y’(Ax’ – b) = 0, se tiene:

y1(x1 – 3) =0y2(x2 – 4) =0

y3(x1 + 2x2 -9) = 0Reemplazando: y1= 4, y2=0, y3=1

4x1-12 =0 => x1 = 3

x1 +2x2-9 =0 => x2= 3 Y Zp = 5(3) +2(3) = 21


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Ej: máx zp= 5x1+ 2x2 min zd= 3y1+4y2+9y3s.a x1 < 3 s.a y1 + y3 ≥ 5

x2 < 4 y2+2y3 ≥ 2x1 + 2x2 < 9

x1, x2>0 y1, y2, y3>0

Resolver, y encontrar el valor de las variables primales yduales.


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IO1 R.Delgadillo 55

Dualidad-Propiedadesx1 x2 x3 x4 x5

x3 1* 0 1 0 0 3x4 0 1 0 1 0 4x5 1 2 0 0 1 9-z 5 2 0 0 0 0

x1 1 0 1 0 0 3x4 0 1 0 1 0 4x5 0 2* -1 0 1 6-z 0 2 -5 0 0 -15

x1 1 0 1 0 0 3x4 0 0 ½ 1 -½ 1x2 0 1 -½ 0 ½ 3-z 0 0 -4 0 -1 -21

y4 y5 y1 y2 y3

X1 = 3,X4= 1,X2= 3,

X3=X5=0,Zp=21

Y1=4, Y2=0, Y3=1,

Y4=Y5=0,

Zd= 21

Interpretación económica del


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Interpretación económica delproblema dual

Ej: max z= 60x1+ 30x2 +20x3s.a8x1 + 6 x2 + x3 < 48


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Suponga que un empresario desea comprartodos los recursos de la empresa,entonces éldebe determinar el precio que esta dispuestoa pagar por cada uno de los recursos:

y1= precio de un listón de maderay2 = precio de una hora de acabadoy3 = precio de una hora de carpintería

El precio total de los recursos es:48y1 + 20 y2 + 8y3



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Ya que desea minimizar el costo de la compramin 48y1 + 20 y2 + 8y3

el dueño de la empresa dice que los precios

deben ser justos esto es, el precio por lacantidad de recursos utilizados para producirun producto sea cuando menos la utilidadque este proporciona:

8y1 + 4y2 +2y3 > 606y1 + 2y2 +1.5 > 30y1 + 1.5y2 + 0.5y3 > 20



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Interpretación económica delproblema dual Así tenemos:

min 48y1+ 20y2 +8y3s.a

8y1 + 4y2 + 2y3 > 60 30 200

La variable dual se relaciona con el valor de losrecursos, por esta razón se denomina preciosombra


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Precio dual El precio dual o precio sombra es la

variación de la F.O. cuando el ladoderecho de una restricción cambia en

una unidad El precio dual es válido para el rango de

variación permitido, y constante en este

intervalo. El precio dual de una restricción inactiva

es cero


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