A négy alapművelet

Ez az a témakör, amit elvileg mindenki ismer már. Még te is, Pistike. A négy alapművelet az

összeadás, kivonás, szorzás, osztás. Ebben a sorrendben ismerkedtünk meg velük, már kora ifjú

éveinkben. A kivonás az összeadás ellentett művelete, megfordítása, más szóval 1 művelete.

Az inverz művelet mindig arra utal, hogy quasi2 visszafelé, fordítva végezzük el a műveltet. Mintha az

eredményt és a kiindulási adatokat felcserélnénk és úgy „oldanánk meg” a feladatot. Éppen így az

osztás a szorzásnak az inverz művelete. Majd később sok ilyen műveletpárt megismersz, mikor

egyikük a másik inverze.

Összeadás Mikor egyszerűen csak sorolod a tőszámok neveit, arra is ráfoghatjuk, hogy akkor is

összeadást végzel. Hiszen a sorban következő szám mindig az előzőhöz képest -gyel

nagyobb. Így az nem más mintha olyan összeadások eredményeit mondanád sorban, amik így néznek

ki:

Kényelmi szempontokból az emberiség korán felismerte, hogy elég fárasztó lenne eszeket mindig ily

módon nevezni, hogy

Ugyanis mindig voltak és lesznek is, akik nem figyeltek eléggé a másik szavára, és már nem tudták,

hogy hányadik -nél is jár a beszélő. Így állandóan félreértések voltak. Ez újabb bizonyítéka annak,

1 Invertálni: megfordítani, kifordítani.

2 Quasi: mint, mintegy, szinte. Ismerős lehet a Quasimodo névből.

hogy az emberi lustaság és találékonyság viszi előre a világot. Mert ezekhelyett ma már inkább

röviden azt mondjuk, hogy

Bár a nagyon kicsik inkább úgy mondják, hogy

Mint az első számpiramisunkon kiválóan látszik, és amúgy is mondtam már, a sorban

következő mindig eggyel nagyobb, mint az előtte lévő. Mi van, ha nem mindig egyet adunk az

előzőhöz? Hanem? Pl. kettőt. Kezdjük most is -től a számolást:

Így kissé gyorsabban haladunk, bár némelyek kimaradtak. A páros számok maradtak ki, és csak a

páratlanokat mondtuk ki. A párosak tehát:

Miért pont páros és páratlan a nevük? Mert ha páros számú tárgyam, pl. almám3 van. Akkor ezeket

tudom kettesével, párokba csoportosítani. Ha viszont páratlan számú csokim, akkor mindig lesz egy,

akinek nincs párja.4

De nem kell olyan szép szabályosan viselkedni mindig. Válaszunk ki mondjuk, két számot

5 és adjuk azokat össze!

Most cseréljük fel a tagokat:

Bármely számokat választjuk is ki, azok ugyanazt az eredményt adják összegzésre, bármilyen

sorrendben adom is össze őket. Lehetnek többen is egy összegben,6 ez akkor is igaz.

3 Az alma a matematikában az orvosi ló szerepét játssza, rajta mutatnak be mindent. Még a törteket is. 4 A csoki esetén erős a veszély, hogy valaki már megette a párját. 5 Véletlenszerűen.

6 Az szó alatt gyakran az összeadás eredményét értjük, de olykor magát a számokat az összeadással

együtt is nevezzük így.

És ezt akárhány számra el lehet játszani, de az inkább legyen házi feladat. Adjál össze minden számot,

amit csak bírsz! Ha elfáradsz, akkor legalább kevesebbet fogsz rosszalkodni, és anyád is boldog lesz.

Mivel a sorrend mindegy, így elnevezésben sem teszünk különbséget közöttük. Az összegben minden

tagot névvel illetünk.

Kivonás Észrevehető, hogy mikor két vagy több ilyen számot összeadtunk, akkor az eredmény mindig

nagyobb lett, mint közülük bármelyik. Lehetne valami olyat is csinálni a számokkal, mikor valamilyen

művelet hatására az eredmény kisebb lesz, legalább az egyiküknél? Igen, ezt a műveletet hívjuk

kivonásnak. Ő az a varázsló, aki csökkenti az egyik számot éppen a másik szám nagysága szerint. Itt az

eredményt hívjuk. Akiből kivonjuk a másikat, mivel az ő értéke lesz kisebb, csökkenni,

kisebbedni fog, így az ő neve Amelyiket kivonom, és az ő értékének megfelelően7

éppen annyival lesz kisebb az előbb megismert kisebbítendő, az nevet viseli.

De e művelet elvégzésénél vannak olyan esetek; mikor kisebb számból vonunk ki nagyobbat;

hogy negatív számot kapunk. Ha önmagát vonjuk ki egy számból, akkor nullát kapunk. Ezt

tudományosul úgy mondjuk, hogy „

A számegyenesen könnyen elvégezhetjük a kisebb számok összeadását és kivonását. Ha egy

számhoz hozzá akarunk adni egy másikat, akkor az első számot megkeressük a számegyenesen, és

annyival lépünk jobbra, amennyi a másik szám. Ha ki akarjuk vonni az egyikből a másikat, akkor a

megkeressük a számegyenesen, majd innen lépünk annyit, amennyi a

értéke. Nyilván azért balra, mert erre csökkennek a számok a számegyenesen.8

7 „Az ő értékének megfelelően.” Ez olyan biblikus lett nem?

8 Hacsaknem fordítva rajzoltuk a számegyenest. De lehet, hogy csak fejjel lefelé tartjuk. Ezt érdemes megnézni,

nehogy már ilyen apróságon múljon egy ilyen egyszerű művelet helyessége.

Szorzás Mikor az ember már megunja, hogy az egyszerű összeadással olyan nagyon lassan nőnek a

számok akkor előveszi az eggyel magasabb fokozatba váltó műveletet, a Ez hasonlít az

összeadáshoz. Mikor azt mondjuk, hogy „ , akkor arra gondolunk, hogy darab -ast

adunk össze:

Szerencsére, ha azt mondjuk, hogy „ akkor is hasonló dologra gondolunk:

De ami az egészben a legszebb, az az, hogy mindegy hogy milyen sorrendben végezzük a szorzást,

akkor is ugyanazt kapjuk.

Sőt több számot is összeszorozhatunk, és a sorrendet akkor is felcserélhetjük. A dologban csak az a

csúnyaság, hogy mivel a szorzásnál már gyorsan nőnek az eredmények, néven, kis számok

esetén sincs mindig elég ujjunk, hogy modellezve, szemléltessük a számolásunkat.

Itt jön az első magolni való. A félemetes szorzótábla! Amitől sokan még gimnazista korukban is

félnek. Pedig jó ellenszer egy másik félelmetes dologra: a 9, kérem szépen! Legyen hát

világosság:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Egy adott szorzás elvégzéséhez megkeressük a két ; ez a nevük; az egyiket a legfölső

sorban, a másikat a táblázat balszélső oszlopában, és a kettőjük oszlopa, ill. sora metszetében találjuk

a szorzatuk eredményét. Lásd az ábrán kijelölt három számot, a -ot, -et és -t.Tehát a táblázatból

9 Tessék nyugodtan megsértődni! Az úgyis csak azt jelenti, hogy te sem tudod a szorzótáblát.

azt olvassuk ki, hogy . Vagy azt, hogy . Nyilván mindegy hogy vagy

tagot mondjuk előbb a szorzatban.

Vedd észre, hogy a táblázat tartományában minden sok legalább kétszer fordul

elő, az és a , meg néhány más kivételével! Vagyis nem is kell olyan sok számot megtanulnod,

mint elsőre tűnik. Van néhány szám, ami négyszer is előfordul. Keresd meg ezeket! Másold le a

táblázatot, és tanuld meg, ismerkedj meg vele közelebbről. Ja hogy ismeretlenekkel nem állsz szóba?

Azon ne múljon! Bemutatlak benneteket egymásnak:

― Szorzó Tábla, this is Buta Diák. Buta Diák, this is Szorzó Tábla. Most már a Facebookon is

bejelölheted.

Aztán készítsd el önállóan, anélkül, hogy valahonnan másolnád! Ha megérted ennek a

szerkezetét, akkor észre fogod venni, hogy nem is olyan nehéz megjegyezni a szorzótáblát. Ha mégis

elfelejtenéd valaha a konkrét számokat, akkor ezzel a módszerrel mindig ki tudod számolni.

Osztás No, ha előbb megtanultuk gyorsabban is növelni a számokat, mint az összeadás estén, akkor

most tanuljuk meg gyorsabban csökkenteni is őket, mint a kivonással! Ez a művelet az .

Az osztás a szorzás inverz művelete. Tehát az egyik művelet helyes elvégzését ellenőrizhetjük a

másikkal. Ez ismét olyan művelet, mely kivezet az eddigi említett számok, az egész számok közül. Ha

olyan számmal osztunk, aki nincs meg egészszer a másikban, akit osztunk vele, tört számot kapunk. A

tört számokra külön fejezetet írtam, az most nem írom le ide is. Akit osztunk, az nevet

viseli, akivel osztunk, az pedig az A művelet eredménye a . Mivel az osztás és

szorzás közt az említett kapcsolat van, nevezetesen, hogy egyikük a másiknak a fordított művelete,

nem tudod elvégezni az osztást, ha nem ismered a szorzótáblát. A szorzótábla megtanulása tehát

nem öncélú időpocsékolás, mint azt lelked legmélyén még most is hiszed. Ha nem tanulod meg,

mindig hátrányban leszel. A szorzótáblát osztásra is tudod használni.

Például, ha arra vagy kíváncsi, hogy a -ben

hányszor van meg a , akkor keresd ki a táblázat

a balszélén a -et, majd az ő sorában, a

táblázat belsejében a -öt, végül a fölött

megleled az eredményt: Nyilván ha a

táblázat legfelső sorában keresed meg a hetest,

majd az ő oszlopában a harmincötöt, a módszer

akkor is működik. Ezen nincs mit csodálkozni. Házi feladatként gondolkozz el rajta, hogy ez miért igaz!

Keresd ki a táblázatból:

Műveletek sorrendje Ha több műveletet is el kell végeznünk egy feladatban, egyenletben, vagy bármilyen

számolási folyamatban, akkor nem mindegy, hogy melyiket végezzük el előbb és melyiket később! A

és az magasasbb rendű műveletek, mint az és . A magasabb

rendűeket mindig előbb végezzük el, mint az alacsonyabb rendűeket.10 Az azonos rendűek egymás

közt bármilyen sorrendben elvégezhetők. Tehát mindegy, hogy előbb osztunk-e és csak utána

szorzunk, vagy fordítva. Ugyanígy a kivonás és összeadás sorrendje is felcserélhető. Bátran tegyük

meg, ha úgy könnyebb lesz a számolás.

Ha viszont zárójel is van a nyitott mondatban, egyenletben, akkor előbb a zárójelen belül

végezzük el az ott kijelölt műveleteket.

Tehát előbb a pirossal jelzett műveletek legyenek elvégezve! Így ez lesz belőle:

Mint mondtam itt, mivel már csak azonos rangú műveletek vannak, kényelmi szempontból fel is

cserélhetjük azt, hogy melyik műveletet végezzük el előbb. Ezt most zárójellel fogom jelölni, te pedig

próbáld ki, hogy mindegyik esetben ugyanazt kapod-e! Igen, ugyanazt kell kapnod. Ha nem hiszed,

számolj utána! Tehát előbb mindig a zárójelben lévőket számold ki!

Sőt a tagokat is felcserélhetem, csak arra kell vigyázni, hogy az előjelükkel együtt tegyem őket ide

vagy oda! Nem tévedés, igen, előjelet mondtam, te meg csak lesel, hogy hol vannak itt előjelek.

Az összeadás jele, a mindig értelmezhető pozitív előjelként is egy egyenlet

megoldása során. Végül is azt jelenti, hogy egy pozitív számot adunk hozzá a többi taghoz. A kivonás

jele, a - - pedig mindig értelmezhető negatív előjelként, vagyis úgy, hogy egy negatív

számot adunk hozzá a többiekhez. De jaj, vigyázz! A számológépek nem ilyen rugalmasan kezelik ezt!

Miként a Klári néni se, aki sikítva írja be az egyest, ha azt mondod neki, hogy „a kivonás az negatív, az

összeadás az pozitív”. Ugyanis úgy nem jelent semmi értelmes dolgot. Inkább, ne is mond sehogy se,

10

Nem fajelméleti indoklás kívánkozik ide, hanem az, hogy ha nem így teszed, akkor más eredményt kapsz, mint ami a helyes lenne. Az oroszlánoknál is mindig a legerősebbek esznek előbb, még akkor is, ha nem is vettek részt a vadászatban.

ha nem tudod helyesen megjegyezni, amit itt elmondtam, csak alkalmazd! Ezek szerint az előbbi sor

így is felírható:

Nyilván ha legelőre11 teszek egy pozitív tagot, akkor az előjelét elhagyhatom. Vagyis ha egy olyan

valakit teszek előre, akire összeadás volt kiszabva, akkor azt a jelet nem kell kiírnom, de az se

baj, ha kiírom. Ezeket itt fent, most mind add össze! Ha nem ugyanazt kapod mindegyikre, akkor

valamit rosszul csináltál. Vagy én írtam el egy előjelet, vagy összeadás, kivonás műveletet.

A zárójeles tag szorzása Gyakran nem is írjuk ki a szorzást a zárójel és a szorzótényezője közé. Akkor

sem, ha előtte áll, akkor sem, ha mögötte áll. De tudnod kell, hogy szorzás van ott kijelölve, és nem

egyszerűen csak elhagyod a zárójelet, mikor azt mondják, hogy „bontsd fel a zárójelet”!

Annyit tesz, hogy

De helyette állhatna az is, hogy

Az is ugyanazt az eredményt adná:

Puszta számok között sosem hagyhatom el a szorzásjelet, mert az zavart és elégedetlenséget,

továbbá minden szintű lázadásokat, nyugtalanságokat okozna a hallgatóság köreiben. Mert ugye,

Bármilyen kényelmes is lenne. Ha így akarjuk elvégezni, akkor inkább hozzá se fogjunk, úgy is

oktondiság lesz belőle.

Az osztás műveletének egyéb jelölése Gyakran találkozhatsz azzal a jelenséggel is, hogy

Ez ugyanazt jelenti, mint az, hogy

11 A legelőre, ahol a bocik is legelnek.

Természetesen itt is előbb a zárójelben lévő műveletet kell elvégezni. Figyeld meg, hogy míg az

utóbbi esetben nem hagyható el a zárójel, a törtes esetben nem kell kiírni! De az se baj, ha kiírod:

Azonban semmiképpen sem teheted meg azt, hogy csak az egyik zárójelben lévő számra végzed el az

osztást, és a másikra nem. Pl. ezek egyike sem jelenti már ugyanazt, mint az előbbiek. Sőt egymással

sem egyenlőek:

És ezt így jelöljük röviden:

Ugye látod, hogy az egyenlőségjel át van húzva? Ez azt jelent, hogy nem egyenlőek ezek a kifejezések.

Ne azt mond később, hogy tőlem azt tanultad, hogy ezek egyenlőek, mert én nem azt mondtam!

Számold ki őket külön és rájössz, hogy ezek nem lehetnek egyenlőek!

Pozitív és negatív számok szorzása Ha két azonos előjelű számot szorzunk össze, akkor a szorzat pozitív előjelű lesz. Ha

különböző előjelűeket, akkor pedig negatív lesz az eredmény. Hogy miért? Ha pozitívat szorzunk

pozitívval, akkor gondolom, nem okoz nagy fejtörést, hogy az eredmény is pozitív lesz. Ha az egyikük

negatív, akkor mindig gondolkodhatunk imigyen:

A mínusz hármat bontsuk fel így:

Ekkor ezt kapjuk az eredeti szorzásra:

Azaz

Ami nem más, mint

Hiszen a mínusz eggyel való szorzás azt az utasítást kódolja, hogy vegyük az ellentettjét,

annak, akit szorzunk mínusz eggyel. Azaz, változtassuk meg az illető szám

előjelét.

Ilyen egyszerű. Nyilván az sem gond, ha a második szám negatív a szorzatban, de ilyenkor

mindenképpen írjunk zárójelet, mert hiába gondoljuk, hogy jól látszik a szorzásnak kitett pont, nem

mindenki fogja látni.

Vagy akár el is hagyhatjuk a szorzás jelet:

Ez az előbbiek szerint:

A mínusz egyet és nyolcat felcserélhetjük, hiszen a szorzat ettől nem fog változni.

Ami nem más, mint:

--------------------------

Ha két negatívat szorzunk; mint már mondtam; akkor pozitív lesz az eredmény:

A mínusz ötöt bontsuk fel, mint az imént már láttuk.

Tegyük hátulra az ötöst, akár egy pótkereket. Mint láttuk már a szorzandók felcserélhetők:

Csempésszük be az ötöst a zárójelbe:

Végezzük el a szorzást a zárójelen belül, ugye emlékszünk, hogy az negatív lesz. Az előbb

láttuk!

Mit is jelent a mínusz eggyel való szorzás? Amit mellesleg írhatunk így is, ugyanis maga az egy

a szorzást nem változtatja meg:

Na, látod már? Mit jelent ez? Az előbb tanultuk! A zárójel előtti mínusz mindig azt jelent,

hogy a zárójelben lévőnek az ellentétes előjelű változatára gondolj! Vagyis ez

Ha azt látod, hogy

Mire gondolsz automatikusan? Arra, hogy ez nem más, mint mínusz három:

Miért? Mert a zárójel előtti mínusz, , azt jelenti, hogy ellentettjére kell

változtatni a zárójelben lévő számot.

Ha azt látod, hogy

Akkor mire gondolsz? Arra, hogy ez biza a mínusz tíz:

Miért? Mert most a zárójel előjele pozitív, ami arra utasít, hogy ne változtasd meg a

zárójelben lévő szám előjelét.

A következő táblázat segít, hogy könnyen megjegyezd a szabályt:

Ha szavakban akarod megjegyezni, akkor az a legegyszerűbb, ha azt jegyzed meg, hogy:

És a következőt muszáj ordítva mondanom, mert az emberek mindig elkövetik ezt a balgaságot:

VAN, AKI ÚGY JEGYZI MEG EZT A TÁBLÁZATOT, HOGY:

PLUSZ MEG PLUSZ AZ PLUSZ. MÍNUSZ MEG MÍNUSZ AZ PLUSZ.

MÍNUSZ MEG PLUSZ AZ MÍNUSZ. PLUSZ MEG MÍNUSZ AZ MÍNUSZ .

ááááááááááááááááááÁÁÁÁÁÁÁÁÁ!

Mit gondoltok mért nem jó ez? Azért mert az a bizonyos MEG az összeadás másik rövid

megnevezése. És amikor az ilyen diák, aki csak magol, meg a magol, meg magol, meg magol…és azt

sem tudja, hogy mit, az nem fog rá emlékezni, hogy a szabály, amit ő igyekezett „megtanulni” az

vonatkozik és nem ! Miért mondanak a – helyett? Rejtély!

Az ilyen― mondanom se kell nem a legtehetségesebb diákok― már egy héten belül a

következő hibákat követik el:

Meg olyat is, hogy

Mit gondolsz miért? Mert közben a „ mondják magukban:

PLUSZ MEG PLUSZ AZ PLUSZ. MÍNUSZ MEG MÍNUSZ AZ PLUSZ.

MÍNUSZ MEG PLUSZ AZ MÍNUSZ. PLUSZ MEG MÍNUSZ AZ MÍNUSZ .

ááááááááááááááááááÁÁÁÁÁÁÁÁÁ!

Tehát ne legyél rest értelmesen gondolkodni, akkor is elég népes lesz az ostobák tábora, ha nem

csatlakozol hozzájuk. Önként ne legyél tagja az ilyen kluboknak. Lehet, hogy jó bulinak gondolod, de a

világnak nem a gyengeelméjűekre van szüksége. Mindig gondolkodj! Utolsó leheletedig! Ha nagyon

bután gondolkodsz, fenn áll a veszély, hogy még a bolondok sem vesznek be a klubba. Ember, ne

legyél ostoba! Ne akarj élő cáfolata lenni annak az elméletnek, hogy az embert a gondolkodás emeli

az állatok fölé!

Miként a szorzásra úgy az osztásra is hasonlóan igaz az előbbi szabály:

Ennek végig játszadozása, a bemutatott módon, legyen házi feladat!

Ha több mint kettő előjeles számot kell összeszoroznod,12 akkor az előbbi szabály szerint már

sejtheted, hogy ha páros számú13 a negatív tényeződ14 van, akkor pozitív, ha páratlan számú negatív

tényeződ van, akkor negatív lesz a szorzat. Ez osztásra is igaz. Sőt, még osztás és szorzás egymás után

végzésére is. Bármilyen sorrendben. Miért? Házi feladat, hogy elgondolkodj rajta.

12

Vigyázzunk, ha a helyett -t írunk, egészen mást jelent a szó. 13

Ezt a matematikusok szeretik úgy is mondani, hogy 14 Aki még nem jött volna rá, annak súgom, hogy a az a más néven.

Többjegyű egész számok Az a bizonyos , itt egynél többet jelent. Tehát akár kettőt is érthetünk alatta.15 Az

egyjegyű számokat még könnyű fejben összeadni-kivonni, szorozni-osztani. Sőt el is várjuk tőletek,

hogy képesek legyetek az elvégzésére.

A többjegyű számok között is vannak olyanok, melyekre könnyedén elvégezhető a fejben

számolás bárki számára. De tetszőlegesen vett többjegyű számok és tetszőlegesen kiválasztott diák

esetén már nem várjuk el, hogy mindig fejben történjen a számolás. Papíron való számolás is

megengedett. Ezt megkönnyíti a tízes számrendszerben felírt alakok használata. Ez egy helyi értékes

felírás. A legutolsó helyen, jobb szélen vannak a legkisebb helyi értékűek, az Ettől eggyel

balra a Ettől eggyel balra a

Majd így sorban az stb.

Tehát mikor azt írjuk, hogy , akkor az annyit jelent, hogy

Azonban ennek felírása hosszadalmas, és teljesen felesleges is lenne minden alaklommal, ezért is

használjuk a rövidebb alakot: . Hiszen ebben is benne van mindaz az információ, ami a

hosszabb alakban. Feltéve, hogy mindenki tudja, hogy tízes számrendszerben van felírva az adott

szám. De erről majd egy másik fejezetben.16

Tehát minden számjegy a felírt számban elfoglalt helye alapján tájékoztat arról, hogy mennyit

is ér, mit jelöl. Innen a megnevezés. Tehát ha egy szám a tízesek helyén van, akkor tíz a

helyi értéke. Ha a százasok helyén, akkor száz a helyi értéke, az ezresek helyén ezer, stb.

Egy számjegy pedig az a szám, amit önmagában is jelöl. Vagyis maga a szám. Pl.

a alaki értéke: hét, a alaki értéke: kettő, a alaki értéke: három. Függetlenül attól, hogy milyen

helyi értéken szerepelnek, azaz hol találhatóak a többjegyű számban.

A pedig pont az előbbi kettő érték szorzata egy adott számjegyre nézve. Pl. ha

a számban a alaki értéke , helyi értéke , és a valódi értéke pedig Ugyanebben a

számban a helyi értéke , alaki értéke , valódi értéke pedig . A helyi értéke

ugyanebben a számban , alaki értéke , valódi értéke pedig Tehát a valódi érték a számjegy

tényleges értéke, amennyit ér az adott számban, helyi érték helyesen felírva. Röviden, ha az alaki

értéket -val, a helyi értéket -val, a valódi értéket pedig -vel jelöljük, akkor helyes a következő

képlet:

---------------------------

15

De még felette is. 16 A c. fejezetben.

Adjuk meg a következő számok számjegyeinek, alaki, helyi, és valódi értékét!

A alaki értéke: , helyi értéke: , mert az ezresek helyén áll. Valódi értéke:

Az alaki értéke: , helyi értéke: , mert a százasok helyén áll. Valódi értéke:

A alaki értéke: , helyi értéke: , mert a tizesek helyén áll. Valódi értéke:

A alaki értéke: , helyi értéke: , mert az egyesek helyén áll. Valódi értéke:

A alaki értéke: , helyi értéke: , mert az ezresek helyén áll. Valódi értéke:

A alaki értéke: , helyi értéke: , mert a százasok helyén áll. Valódi értéke:

A alaki értéke: , helyi értéke: , mert a tízesek helyén áll. Valódi értéke:

Az alaki értéke: , helyi értéke: , mert az egyesek helyén áll. Valódi értéke:

A többi felírása pedig legyen házi feladat!

Többjegyű számok esetén nagyon fontos, hogy ha összeadjuk, vagy kivonjuk őket, akkor a számítás

során a megfelelő helyi értékű számjegyeket írjuk egymás alá. Vagyis a számokat jobbszélső, és nem

a balszélső felükkel illesztjük egymás alá.

Többjegyűszámok összeadása Ezt is elvégezheted fejben, de inkább azt javaslom, hogy papíron végezd, mint a lecsapott

légy. Annak is akkor van haszna, ha helyi értékeknek megfelelően írod egymás alá az összeadandó

számok számjegyeit. Egyesek alá az egyeseket, tízesek alá a tízeseket, százasok alá a százasokat, stb.

Ezután, „a kutyáktól ellesett módszerrel”, hátulról kezdjük a számolást:

, a tíz a nulláját leírjuk, a tíz első számjegyét az

egyet megjegyezzük, és maradékként hozzáadjuk a

következő oszlophoz. Ezt a maradékot kis zöld -essel

jelöltem. . A tizenhét utolsó számjegyét, a

hetet leírjuk, első számjegyét, az egyet, a következő, eggyel

balra lévő oszlophoz adjuk. Ez ismét egy kis ződd egyes lett.

. Az ötöt leírjuk. Maradék nincs. Több

összeadandó számot tartalamazó oszlop sincs, így készen

vagyunk. Mit írtunk le? A -t, a -et és az -öt. De mivel

hátulról-előre írtuk le, ezért ez -et jelent.

Az előző oszlopból származó maradékokat az alábbi feladatban is végig zölddel jelöltem, és hagytam

is nekik egy sort alul, hogy jobban látszódjanak. Nyílván azokat egyáltalán nem kell leírni,17 elég, ha

egy pillanatra megjegyezzük, hogy az előző oszlop maradéka mennyi volt, és hozzáadjuk a

következőhöz.

Fontos, hogy az így egymás alá írt számokat, ne vízszintesen adjuk össze!

. Huszonnégy utolsó

számjegyét, a négyet, leírjuk a vonal alá, és a

maradékot a kettest hozzáadjuk a következő

oszlophoz. . A szokásos

módon a hatost leírjuk a vonal alá, a maradék

egyest a következő oszloppal vesszük számításba.

. Egy egyest írunk a vonal alá, és

a maradék is egy egyes, amit a következő oszlop

kap meg prémiumként. . Maradék

nyista, az oszlopok is elfogytak, mint a tegnapi

torta, készen vagyunk. Mit írtunk le a vonal alá?

-et. Ez az összeadás eredménye.

17

Soha semmit nem kell. Egyszerűen csak vannak jobb és rosszabb lehetőségek, az okos ember ezekből választ, de nem hagyja, hogy bárki, vagy bármi kényszerítse.

Többjegyű számok kivonása Itt is zöld lesz az „oszlopmaradék”, amit most is a következő oszlop alá írunk, és abból még

azt is levonjuk. A kivonást is a kutyáktól ellesett módszerrel, hátulról kezdjük. Nem feltétlenül tudjuk

kivonni abból az egyjegyű számból az alatta lévőt, amelyik éppen soron következik, ilyenkor azt a

nyilvánvalóan kisebb számot megtoldjuk egy tízessel. Így már eléggé felnőttes (nagy) lesz, hogy végre

kivonhassuk már az alatta levőt.

, az nem megy. Ezért helyette, . A hármat

leírjuk, és maradt az , ez a következő oszlopból lesz

levonva. Így a . A nullát leírjuk, maradék

nyista. . Le is írjuk a négyet, maradék nyista.

. Leírjuk az egyet, maradék nem van. Az

eredmény: .

─ Nem értem, miért maradt az az -es? ─ kérdi Zolika.

─ Mert -ből vontuk ki a -at, és a -nek a tizesek helyén lévő számjegye éppen . Ezt az

információt örökítjük tovább a következő oszlopba. Ezt mondjuk maradéknak. ─ válaszol Emese.

Pontosabban, azért mert azt a bizonyos -est abból az oszlopból kölcsönöztük, onnan vettük el,

hogy az -es -essé nőhessen. Ezért kell ténylegsen is levonni. Mivel a tízesek oszlopában eggyel

kevesebb lett ezáltal a tízesek száma, hogy imígyen elraboltuk onnan, hogy növelhessük az egyesek

kisebbítendőjét.

Mielőtt elfelejteném mondani, , hogy ellenőrzéssel meggyőződj minden eredményünk

helyességéről! Az ellenőrzés úgy történik, hogy a kivonandót és az eredményt összeadjuk. Ha

megkapjuk ezáltal a kisebbítendőt, akkor 18 Ha nem kapjuk meg, akkor valami

hiba esett a kivonás során.

─ Egyszerűbben fogalmazva, hogy a Zolika is megértse, ─ mondja Emese ─ Ecsém, add össze

a két kisebbet, oszt csá. Ha nem kapod vissza a legnagyobbat, akkor nem tudsz számolni.

─ Szerintem, enélkül is tudjuk, hogy a Zolika nem tud számolni! ─ vigyorog Pisti.

18 (németül)

Itt is ki kell pótolnunk a -est -esre: . A nyolcat

leírjuk, a maradék -et a következő oszlopból levonjuk. Így:

. Maradék nyista. A önmagában kevés, így

aztán helyette, Maradék van, hiszen -ből

vontunk le. Az -et, mint maradékot, le is vonjuk a

következő oszlopból is: Ezt a nullát nem kell

leírni, hiszen ő lenne az első számjegy. Eredmény:

No de mi van akkor, ha egy kisebb számból akarnak levonatni velünk egy nagyobb számot? Az

eredmény negatív lesz. Azonban a helyes kiszámításhoz, cseréljük meg a sorrendet, a nagyobb

számból vonjuk ki a kisebbet, és vegyük ennek az ellentettjét, azaz mínusz egyszeresét! Ezt jelöltem

úgy, hogy a zárójel elé is kiírtam a mínuszt. Mivel ekkor a fordított sorrendben elvégzett kivonásra

pozitívat kapunk, és nem szeretném, ha a művelet közben elfelejtődne, hogy ennek a mínusz

egyszeresét kell kapnunk, mert éppen fordítva kellett volna kivonni.

Ha azt hiszed, hogy ez feleslegesen tekergetett diákszívatás, akkor tévedsz! Ha az eredeti sorrendben

vonnád ki, akkor bociságot19 kapnál. Amiről ellenőrzéssel meg is győződhetsz. Mivel az összeadást

már tanultuk, és könnyebb is, mint a kivonás, ezért ezt rátok merem bízni.

Tehát felcseréljük a kisebbítendőt és kivonandót. De ne

felejtsük el az eredmény előjelét is megváltoztatni

negatívra! Négyet leír, maradék nyista.

Nyóccat leír, maradék

Nyócc leír, maradék Leír semmi,

maradék semmi. Kész vagyunk. (Na, szép is lett vón, ha

van maradék! Honnan is lett vón!) Eredmény: Ill.

. De az feltehetően ugyanaz.

Na, még egy ilyet!

─ Zolika, utolsó lehetőség, hogy megértsed. ─ nyögi be Emese.

19 Marhaságot.

Felcseréljük a kisebbítendőt és kivonandót.

Leír hat, maradék

Három leír, maradék

. Egyet leír,

marad a nyista. Nem , hanem

Kettőt leír, marad az

Egyet leír, és kitesz mínusz

előjel. ’redmény:

Többjegyű számok szorzása Elébb vegyük mán az egyjegyűvel való szorzását a többjegyűnek! Mert különben senki sem

fogja érteni a továbbiakat.

─ Kivéve a gyevi bírót! ─ kiált fel Emese.

Természetesen ezt is hátulról végezzük, hogy az esetleges maradékokat illendően

kezelhessük. Ha nem így tennénk, akkor sosem tudnánk, hogy mi van a maradékokkal. A meg nem jó.

Leír20 , maradoz a , amit majd hozzá is

adunk a következő szorzathoz. , hozzáadjuk a

hatot: Leír az mar a . Hozzádjuk

a mar-t: Leír a mar az . Uccsó szorzás. . Hozzáad a mar: .

Leír a teljes Eredmény:

20 Nem az adóból.

. Leír a mar az .

Hozzáad a mar: Leír az mar a

. Hozzáad a mar: Leír az , mar az . Hozzáad az : Leír

a , mar a . Hozzáad a-a-a a : Leír az egész

Eredmény:

Leír a , mar az . Meg ugye az

előbbi mar: Leír az , mar a . Plusz a

mar: Leír a , mar a . . Plusz a mar: Leír a , marad .21

. Meg az előbbi maradék: Leír a Eredmény:

─ Laci, elég lesz már! Ezt már a Zolika is érti, az meg nem célunk. ─ Vajon ki mondta ezt?

Naná, hogy Emese.

Most már nem fogom leírni zölddel a maradékokat, hanem tessék figyelni! A legmagasabb

helyi értékűvel kezdjük a szorzást. Leírjuk az első sor szorzatot, éppen úgy mintha csak a hárommal

szoroznánk: . Majd a következő sor szorzat egy számjeggyel jobbra csúsztatva íródik

le. Ez alá megint egy jeggyel jobbra csúsztatva, jön a következő sor.

Ezután összeadjuk a sorokat. De csak azokat ám, amik a szorzatokból jöttek ki! Azt nem adjuk hozzá,

ami csak a szorzandó volt! Itt tehát a három sor lesz összeadva. A vonal is éppen azt jelzi, hogy a

felette lévőt nem adjuk a többihez.

Az elcsúsztatások éppen azért történtek, hogy a

megfelelő helyi értékek kerüljenek egymás alá. A már

tanult módon összeadjuk őket. Maradékokra ügyelve!

Ezt nem részletezem. Aki annyira Zolika, hogy nem érti,

az menjen még vissza a keltetőbe, mert még nem értett

meg erre.

21

Úgy látszik, Zolika sem érzi magát eléggé Zolikának, mert nem ment haza. Vagy csak vár valakire.

Mit is mondjak ehhez? Magáért beszél. Már

profi vagy nem? Értesz mindent. Nem? Akkor

miért hozzám jársz órára? Tessék addig

próbálkozni, míg rá nem jössz! Én ugyan nem

segítek. Mi vagyok én, katasztrófa

mentőcsoport?

-----------------------------

Figyeljé má! Ha az előzőben nem

segítettem, akkor pont ebben fogok?

He-he-he. Azért annyit segítek, hogy az

egyessel való szorzás leírása helyett,

inkább az eredeti szorzandót is

hozzáadjuk a többi szorzathoz, azért is

nincs itt aláhúzva a szorzandó.

---------------------------------

Itt halkan, ordítva mint az állat, megjegyzem, hogy ha a legkisebb helyi értékűvel kezdjük a szorzást,

akkor balra kell csúsztatni a sorokat, a következő sort mindig egy jeggyel balra. Hiszen így érjük el

hogy az egyesek, tízesek, százasok, s a többiek, rendesen a helyükre kerüljenek. Ezt itt most nem

akarom bemutatni. Ha valakit érdekel, próbálja ki! A Zolikának meg majd megmutatom külön. Bár

inkább nem is kéne, mert túl terheljük vele az operációs rendszerét, s lefagy mint állat.

Többjegyű számok osztása Maradékos osztásnak nevezzük. Főleg, mikor nem nulla a maradék. Itt az ellenőrzés úgy

történik, hogy az osztót és a hányadost összeszorozva, majd ehhez a maradékot adva kacsintjuk meg,

hogy vajh az osztandót kaptuk e viszont. A Zolika kedvért: Az az, akivel osztunk, a az

osztási eredmény. Ő áll az egyenlőség jel után, ha netán nem találnád. Az az, akit elosztunk

az . Sejtheted, hogy itt is az ellenőrzés lesz a Házi feladatod. A házi feladat nagyon fontos,

mert ezzel dumálhatod ki, hogy miért nem mosogattál el.

Az részosztási maradékokat minden sorban, azaz minden lépésben visszaszorzással állapíthatjuk meg

a legkönnyebben. Azaz egy osztási lépés után mindig az éppen aktuális utolsó jegyét véve a

hányadosnak, beszorozzuk véle az osztót. És az így kapott szorzatot kell levonnunk a részosztandóból.

Így kapjuk a részmaradékot. Mely nem az igazi maradék, hacsak nem hagyjuk abba itt az egész

osztást. Mert abban az esetben sem igen, hanem nem. Lássuk ezt az első példán:

A -et osztjuk -mal. Mindig számjegyenként osztunk, kivéve mikor nem. Azaz megnézzük, hogy

az osztandó első számjegyében megvan-e az osztó. Itt nincs, tehát a eset áll elő. Most

levesszük az első jeggyel együtt a következőt is, ami az első lépésnél, nem is levétel csak kijelölés.

Tehát így most a -t osztjuk -mal, mert a a első két számjegye. Nos, erre 4 kapunk, amit

vidáman le is írunk az egyenlőségjel után. Fogjuk ezt a négyet és beszorozzuk véle a -t, vagyis az

osztót, és azt kapjuk, hogy . Ez meg azt jelent, hogy maradék nyista. Ezt a nyistát nulla képében le

is írjuk a leválasztott első két számjegy utolsó számjegye, azaz a -es alá. Majd levesszük melléje a

következő számjegyet, a -mat. Ezt láthatod így jelölve, hogy , ebben a egyszer van meg. Ezt az

-et le is írjuk az eredmény következő számjegyeként, azaz az egyenlőségjel utáni -es után. És

megint nincs ebben a lépésben sem maradék. Amit egy nullának a leírásával jelzünk a hármasa

alatt. Majd eme -hoz levesszük az osztó következő számjegyét az -öt. Így a lesz látható. Ebben a

egyszer van meg. Az erről tájékoztató -et le is írjuk az eredmény következő számjegyeként. Így

már virít az egyenlőség után. De még nem vagyunk készen! Fogjuk ez utóbbi -et, szorozzuk vele

a -at, s kapván kapjuk azt, hogy . Ami ugye vel kevesebb, mint az . Ezt a -est leírjuk a ötöse

alá, mert ebben a lépésben a a maradék. Levesszük melléje az osztandó következő számjegyét, az

-et, és így kapjuk a -et. Ezt a -et osztva -mal, -et kapunk. Amit le is írunk, mint az eredmény

következő számjegyét. Így az eredmény már -nek néz ki. Eme utolsó számjeggyel, a -tel

szorozzuk az osztót, a -mat. Ez pontosan . Ez megegyezik a legutóbbi lépesünk osztandójával.

Tehát a maradék ismét egy nyista, amit egyesek nullának is hívnak. Eme nullát leírjuk a utolsó

számjegye, az -es alá. És már vennénk is le a következő számjegyét az osztandónak, de már nincsen

neki több. Ami azt jelenti, hogy végére értünk az osztandónak. Így az osztásnak is, készen vagyunk.

Tehát azt kaptuk, hogy -et osztva -mal a hányados és nincs maradék.

A következő esetekben ugyanez a duma, így nem ismétlem meg. Nyisd ki a szemed, és rájössz

magadtól is!

Lássunk most olyanokat, mikor nem nulla a maradék!

És most jöjjenek azok az esetek, mikor az osztó is többjegyű!

Immár az osztó is többjegyű Ettől félnek a diákok a legjobban. Legalábbis ebben a témakörben. De mindenkit

megnyugtathatok, vannak ennél sokkal nehezebb dolgok is a matekban. Ilyenkor már a maradék is

lehet többjegyű, sőt a rész maradékok is. Nézzük ezt kissé részletesen, és akinek még mindig nem

sikerült az előbb rátok bízottak önálló megértése, annak esélye lesz most felzárkóznia Zolikához.

Ha a -ban mint a első számjegyében meg lenne a egészszer, akkor el is végeznénk vele az

osztás első lépését. De mivel nagyon nincs meg, ezért nem az első számjegyen, hanem az első kettőn,

a -en végezzük az operációt. Bejelöljük kis vesszővel a jobb füle mögött a -et. A -ben a

egyszer van meg, így az -et leírjuk az egyenlőségjel után. Ő lesz a hányados22 első számjegye. Eggyel

szorozva a -ot, hiszitek vagy sem, de bíz, pont -ot kapunk. Ez pedig -gyel kevesebb a -nél.

Így ezt a -et leírjuk a alá. De rendesen ám! A tizesek a tizes helyi értékű alá, az egyesek az

egyesek alá kerülnek. Levesszük az osztandó soron következő tagját, a -at. Így a keletkezik.

Látod, hogy hol van? Igen, az ilyesmit úgy kell olvasni, hogy közben nézzük a megfelelő illusztrációt,

ha van hozzá. És ehhez éppen van. No, -ban a megvan -szer. Ezt a -et le is írjuk, ezzel

tovább pontosítva a hányadost, aki az egyenlőség után, immár így néz ki . (Nem, az még nincs

ott. Csak úgy látszik, mintha ott lenne. De még nem is járunk ott.) Eme legutóbb leírt hányados

számjeggyel, a -essel szorozzuk a -ot. Amire is -et kapunk. Ez viszont éppen -gyel kevesebb,

22 Okádos, vagy okádós.

mint a , akit előbb kínuztunk a -felé osztással. Így eme maradékot, a -et, le is írjuk a alá,

de helyi érték helyesen ám! Ehhez a -hez levesszük a következő osztandó-számjegyet, a -et. Így a

válik a következő pácienssé. Ebben a megvan -ször. Ezt az -öt leírjuk a hányados következő

számjegyeként, mely így lesz. Az -tel mint a mostani lépés eredményével szorozzuk a -ot.

Ami -at ér. Ez meg -cel kevesebb, mint a , így le is írjuk helyi értékhelyesen a alá. Majd

észrevesszük, hogy az osztandónak, a -nek az utolsó számjegyét is elhasználtuk. Tehát véget ért

az osztás.

Persze nem csak egész számok léteznek, így igazából még ezeket az osztásokat lehet ám tovább is

folytatni, de azt itt nem tárgyaljuk. Akit érdekel, ismerkedjen meg vele a

c. fejezetben. A közönséges

megnevezés nem arra utal, hogy mocskos a pofája és illetlenül viselkedik, hanem arra, hogy

hétköznapi, egyszerű, mint a Zolika.

∎∎