05 glava 2 metodi aproksimacije amplitudnih i …dsp.etfbl.net/filtri/af/05 glava 2 metodi...

Glava 2

METODI APROKSIMACIJE

AMPLITUDNIH I FAZNIH

KARAKTERISTIKA ANALOGNIH FILTARA

Projektovanje filtara, pojam pod kojim podrazumijevamo određivanje funkcije prenosa sistema sa željenim karakteristikama, oslikava našu potrebu za idealnim filtrom, koji bi trebao da bez slabljenja propušta signale iz propusnog opsega, dok bi signali iz nepropusnom opsega trebali biti beskonačno oslabljeni, tako da njihova amplituda na izlazu filtra bude jednaka nuli. Takođe je poželjno postići da signali čije se sve frekvencijske komponente nalaze u propusnom opsegu prođu kroz filtar bez izobličenja. Međutim, funkcije prenosa sistema kojima realizujemo filtre su realne racionalne funkcije kompleksne učestanosti, sa konačnim brojem nula i polova. Prilikom projektovanja filtara realizibilnih ovom klasom funkcija prenosa, idealne karakteristike filtara nije moguće postići, već se one mogu samo aproksimirati. Stoga i specifikacije filtara moraju uzeti u obzir ove neidealnosti, te se u njima navode granične učestanosti propusnih i nepropusnih opsega, maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom i minimalno potrebno slabljenje u nepropusnom opsegu. Prilikom projektovanja, prvo se aproksimacionim metodima postiže željena amplitudna karakteristika, a zatim se fazna karakteristiku koriguje ekvalizatorima faze.

GLAVA 2

8

2.1 Funkcije prenosa analognih filtara

Podsjetimo se da je funkcija prenosa linearnih, vremenski invarijantnih sistema, iskazana kao količnik Laplasove transformacije odziva ( )Y s i Laplasove

transformacije eksitacije ( )X s pri nultim početnim uslovima, zapravo količnik

dva polinoma ( )N s i ( )D s sa realnim koeficijentima:

( ) ( )( )

( )( )

11 0

11 0

m mm mn n

n

Y s N sb s b s bH s

X s s a s a D s

−−

−−

+ + += = =

+ + +

, (2.1)

tzv. realna racionalna funkcija. Nakon faktorizacije polinoma u brojniku i nazivniku, funkcija prenosa se može zapisati u obliku:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2

1 2

m

n

Y s s z s z s zH s K

X s s p s p s p

− − −= =

− − −

. (2.2)

Budući da su koeficijenti funkcije ( )H s realni, njene nule i polovi dolaze u konjugovano kompleksnim parovima. Na Slici 2.1 je prikazan jedan mogući raspored nula i polova funkcije prenosa u kompleksnoj s ravni.

σ

jΩ-ravans

×

×

×

×

×

Slika 2.1 Mogući raspored nula i polova funkcije prenosa

u kompleksnoj s ravni.

Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara

9

Korijeni polinoma ( )D s su polovi funkcije prenosa ( )H s . Gledano u kompleksnoj s ravni, za stabilne sisteme vrijedi da se polovi funkcije prenosa nalaze u lijevoj poluravni, a karakteristični polinom ( )D s mora biti Hurvicov (Hurwitz) polinom, tj. imati sve koeficijente realne i pozitivne, a korijene u lijevoj poluravni.

Ako svi korijeni polinoma ( )N s leže na imaginarnoj osi ili u lijevoj

poluravni kompleksne s ravni, funkcija prenosa ( )H s se naziva minimalno fazna funkcija. Korijeni polinoma ( )N s su nule funkcije prenosa ( )H s .

Sa stanovišta amplitudne karakteristike nevažno je da li funkcija prenosa ima nule koje leže u lijevoj ili u desnoj poluravni, pod uslovom da su raspoređene na isti način. Pod tim podrazumijevamo da nule iz jedne poluravni predstavljaju sliku u ogledalu nula iz druge poluravni, tj. da su osno simetrične u odnosu na imaginarnu osu. Ipak treba voditi računa o tome da filtar sa funkcijom prenosa koja ima nule u lijevoj poluravni ima manju fazu, što u praktičnim realizacijama znači manje kašnjenje signala.

Primjer 2.1:

Odrediti amplitudne i fazne karakteristike filtara čije su funkcije prenosa

( )1

s zH s

s p

+=+

i ( )2

s zH s

s p

−=+

, gdje su z i p realne i pozitivne konstante.

Rješenje: Oba zadata sistema imaju istu amplitudnu karakteristiku:

( ) ( )2 2

1 2 2 2

zH H

p

Ω +Ω = Ω =Ω +

, (2.3)

ali su im fazne karakteristike različite:

( )1argH arctg arctgz p

Ω ΩΩ = − , (2.4)

GLAVA 2

10

( )2argH arctg arctgz p

π Ω ΩΩ = − − . (2.5)

Kako je:

2

arctgz

πΩ ≤ , (2.6)

slijedi:

( ) ( )2 1arg arg 2 0H H arctgz

π ΩΩ − Ω = − ≥ . (2.7)

Dakle, sistem sa funkcijom prenosa koja ima nulu u desnoj poluravni ima veću fazu. Razmatranje se lako proširi na sisteme sa više nula funkcije prenosa.

Da bi se olakšalo projektovanje filtara, vrši se normalizacija kompleksne učestanosti dijeljenjem sa pogodno odabranom normalizujućom učestanošću 0Ω , koja je najčešće jednaka graničnoj učestanosti propusnog opsega:

0

n

ss =

Ω. (2.8)

Analogno vrijedi za kružnu učestanost. Normalizovanu kružnu učestanost ćemo označavati malim slovom ω , tako da je:

0

ω Ω=Ω

. (2.9)

Radi jednostavnijeg postupka realizacije filtara vrši se i normalizacija impedanse dijeljenjem svih impedansi proizvoljno odabranom otpornošću 0R , čime se dobijaju normalizovane vrijednosti elemenata:

0

n

RR

R= , (2.10)

0

0nL L

R

Ω= , (2.11)


11

0 0nC C R= Ω . (2.12)

NP filtar kod koga je izvršena normalizacija učestanosti i normalizacija impedansi zvaćemo NP prototip.

2.2 Specifikacija amplitudne i fazne karakteristike

Zahtjevi koje treba da zadovolji filtar se obično zadaju u ustaljenom stanju, funkcijom prenosa:

( ) ( ) ( )izl ul s jH s V s V s

= Ω= , (2.13)

gdje je sa ( )ulV s označena Laplasova transformacija ulaznog, a sa ( )izlV s izlaznog napona na pristupnim krajevima filtra. Modul ove funkcije prenosa na imaginarnoj osi:

( ) ( )s j

H H s= Ω

Ω = (2.14)

je amplitudna karakteristika filtra, dok je njen argument na imaginarnoj osi:

( ) ( )( )args j

H sϕ= Ω

Ω = (2.15)

fazna karakteristika filtra.

Za određivanje funkcije prenosa filtra neophodno je postaviti zahtjeve koje filtar treba da zadovolji u pogledu amplitudne i fazne karakteristike. Uobičajeno je zahtjeve za amplitudnu karakteristiku izražavati u decibelima:

( ) ( ) ( ) [ ]20log dBM R HΩ = − Ω = Ω , (2.16)

gdje se sa ( )M Ω označava kriva pojačanja (magnituda), a sa ( )R Ω kriva slabljenja filtra. Za konkretnu učestanost govorimo o pojačanju, odnosno slabljenju filtra na toj učestanosti.

Zahtjevima u pogledu amplitudne karakteristike se zadaju granične frekvencije propusnih i nepropusnih opsega, pojačanje jednosmjerne

GLAVA 2

12

komponente, dozvoljena odstupanja slabljenja u propusnim opsezima i neophodna slabljenja u nepropusnim opsezima. Na Slici 2.2 prikazan je način specificiranja amplitudne karakteristike za različite tipove filtara. Ovdje su sa PO označeni propusni, sa NPO nepropusni, a sa TO prelazni opsezi. Kružne učestanosti pΩ , pnΩ i pvΩ su granične učestanosti propusnih, sΩ , snΩ i svΩ

nepropusnih opsega, dok pR , pnR , pvR označavaju slabljenja u propusnim, a

sR , snR , svR u nepropusnim opsezima.

Funkcija niskopropusnog filtra je da propusti spektralne komponente niskih frekvencija od jednosmjernog signala do željene granične frekvencije i da oslabi visokofrekvencijske komponente signala. Ovaj filtar se specificira graničnom učestanošću pΩ propusnog, graničnom učestanošću sΩ nepropusnog opsega,

pojačanjem jednosmjerne komponente, te slabljenjima u propusnom i nepropusnom opsegu. Slično se specificira i visokopropusni filtar. U praksi, propusni opseg visokopropusnog filtra se ne proteže do beskonačnosti, već je ograničen parazitnim kapacitivnostima. Propusnik i nepropusnik opsega imaju po dva prelazna opsega koji ne moraju biti simetrični, ali su filtri sa simetričnim prelaznim opsezima jednostavniji za projektovanje.

U nekim aplikacijama oblik fazne karakteristike nije bitan, te je dovoljno zadovoljiti zahtjeve za magnitudu. Međutim, postoje slučajevi kada je neophodno voditi računa o obliku fazne karakteristike, te se osim zahtjeva za amplitudnu karakteristiku specificira i željena fazna karakteristika ili željeno grupno kašnjenje, koje se definiše sa:

( ) ( )d

d

ϕτ

ΩΩ = −

Ω. (2.17)

Ako sistem treba da obezbijedi idealan prenos signala bez izobličenja, onda izlaz mora da bude savršena replika ulaza, eventualno pomnožen sa nekom konstantom K i zakašnjen za neko 0τ , tj.:

( ) ( )0y t Kx t τ= − . (2.18)

Funkcija prenosa takvog sistema je:

( ) 0sH s Ke τ−= . (2.19)

Ovakav sistem ima konstantnu amplitudnu karakteristiku K , linearnu faznu karakteristiku ( ) 0ϕ τΩ = − Ω i konstantno grupno kašnjenje ( ) 0τ τΩ = .

Sl

R

N

2

lika

snR

NPO

Ω

20lo

P

20 lo

a 2.

TO

nO

snΩ

og H

pR

PO

og H

2

nO

PO

pnΩ

(H Ω

T

(H Ω

Ω

Sp(b)

pR

T

O

n pΩ

)Ω

Ω

TO

)Ω

pΩ

M

ecif VP

vTO

Ωpv

sΩ

eto

(a

(c

fikaP fi

svΩ

R

odi a

a)

c)

acijiltar

svR

N

sR

N

apro

e amr; (c

NPO

NPO

oks

mpc) f

vO

sima

plitufilta

Ω

Ω

acij

udnar P

Ω

Ω

e a

nih kPO

mp

kari (d

plitu

raktd) fi

dni

terifiltar

2

20

h i

stikr N

NP

20log

R

nPO

0log

faz

ka fNPO

sR

PO

g H

pnR

TO

n

pnΩ

g H

nih

filtaO.

Ω

( )H Ω

nO

NP

snΩn

( )Ω

ka

ara:

TO

sΩ

)

sR

TO

PO

n sΩ

rak

(a)

O

pΩ

vO

pΩsv

teri

(b)

(d)

NP

R

pv

istik

)

)

P fi

pR

PO

pvR

PO

ka a

filta

p

O

vO

ana

r;

log

Ω

Ω

nih

Ω

Ω

filta

13

ara

GLAVA 2

14

U slučaju kada je fazna karakteristika linearna:

( ) 0ϕ τΩ = − Ω , (2.20)

ako pretpostavimo da je signal na ulazu filtra prostoperiodična funkcija:

( ) 0cosx t t= Ω , (2.21)

signal na izlazu će biti:

( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0cos cos cosx t t t tϕ τ τ= Ω + Ω = Ω − Ω = Ω − . (2.22)

U ovom slučaju, kašnjenje signala u vremenu 0τ pri prolasku kroz filtar jednako je grupnom kašnjenju za tu učestanost:

( )0

0 0

d

d

ϕτ τΩ=Ω

Ω = − =Ω

. (2.23)

Grupno kašnjenje u ovom slučaju ne zavisi od učestanosti, što znači da sve frekvencijske komponente signala podjednako kasne pri prolasku kroz filtar.

Posmatrajmo sada filtar sa amplitudnom karakteristikom koja je jednaka jedinici i proizvoljnim oblikom fazne karakteristike. Amplitude pojedinačnih frekvencijskih komponenti se neće promijeniti prolaskom signala kroz ovakav filtar. Međutim, ako je fazna karakteristika nelinearna, fazno kašnjenje pojedinačnih frekvencijskih komponenti signala nije podjednako, te dolazi do promjene oblika signala.

Veza između faznog kašnjenja, tj. vremenskog pomaka pojedinačnih frekvencijskih komponenti signala na izlazu filtra u odnosu na frekvencijske komponente ulaznog signala, i grupnog kašnjenja nije jednostavna. Ona zavisi od oblika krive grupnog kašnjenja, odnosno fazne karakteristike. Na primjer, ako je u okolini posmatrane učestanosti grupno kašnjenje približno linearno, što znači da se fazna karakteristika u okolini te učestanosti može približno opisati kvadratnom zavisnošću:

( ) ( ) 20 0ϕ τΩ = − Ω Ω , (2.24)

približno fazno kašnjenje ove frekvencijske komponente signala se može odrediti iz:


15

( ) ( )( ) ( )200 0 0 0 0 0

0

cos cos cosx t t t tτϕ τ

= Ω + Ω = Ω − Ω = Ω − Ω

(2.25)

i iznosi 0τ . Za faznu karakteristiku kvadratnog oblika grupno kašnjenje očitano na mjestu odgovarajuće frekvencijske komponente signala približno je dva puta veće od njegovog faznog kašnjenja:

( )0

00 0 0

0

2 2d

d

τϕτ τΩ=Ω

Ω = − = ⋅ Ω =Ω Ω

. (2.26)

Što je nelinearnost fazne karakteristike više izražena, to je teže na ovaj način uspostaviti vezu između faznog i grupnog kašnjenja, te ćemo objašnjenje fizičkog značenja pojma grupnog kašnjenja potkrijepiti rezultatima simulacije.

U fizičkom smislu se grupno kašnjenje može posmatrati kao kašnjenje sporopromjenljive anvelope signala koji se sastoji od frekvencijskih komponenti iz uskog frekvencijskog opsega. Kašnjenje anvelope signala približno je jednako grupnom kašnjenju očitanom na frekvenciji one komponente signala koja se nalazi u sredini posmatranog frekvencijskog opsega.

Kako bismo ilustrovali značenje grupnog kašnjenja kao kašnjenja anvelope signala, posmatrajmo filtar sa faznom karakteristikom i grupnim kašnjenjem prikazanim na Slici 2.3. Dovedimo na ulaz filtra složenoperiodičan signal koji se sastoji od dvije komponente učestanosti 430Hzf = i 470Hzf = iz opsega gdje je fazna karakteristika nelinearna i gdje karakteristika grupnog kašnjenja ima izražene vrhove. Frekvencija anvelope ovog složenoperiodičnog signala iznosi 20Hzf = :

( ) ( )1 2 cos(2 430) 1 2 cos(2 470) cos(2 20)cos(2 450)π π π π⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ . (2.27)

Iz rezultata simulacije se može zaključiti da anvelopa složenoperiodičnog signala na izlazu kasni u odnosu na anvelopu ulaznog signala za približno 2.6ms koliko i iznosi grupno kašnjenje na učestanosti u sredini posmatranog frekvencijskog opsega, na učestanosti 450Hzf = .

GLAVA 2

16

Frequency

0Hz 200Hz 400Hz 600Hz 800HzVP(RL:2)

-200d

-100d

-0d

-270d

Phase

Frequency

0Hz 200Hz 400Hz 600Hz 800HzVG(RL:2)

0s

1.0ms

2.0ms

3.0msGroup Delay

Time

0s 20ms 40ms 60ms 80msV(V_in:+) V(RL:2)

-2.0V

0V

2.0VAmplitude

(a) (b)

(c)

Slika 2.3 (a) Fazna karakteristika; (b) grupno kašnjenje i (c) kašnjenje anvelope signala.

Prilikom projektovanja filtara sa zadatom amplitudnom i faznom karakteristikom može se desiti da sistem nije minimalno fazni, tj. da funkcija prenosa ima nule u desnoj poluravni kompleksne s ravni. Malo kasnije ćemo vidjeti da je sa stanovišta realizacije pasivnih filtara, koji se izvode u vidu ljestvičastih mreža, pogodno da nule funkcije prenosa budu na imaginarnoj osi.

Zbog toga se funkcija prenosa koja ima nule u desnoj poluravni kompleksne s ravni, tzv. neminimalno fazna funkcija prenosa ( )NH s , razdvaja na dvije funkcije prenosa i zapisuje u obliku proizvoda minimalno fazne funkcije prenosa ( )MH s i funkcije prenosa filtra svepropusnika ( )SOH s :


17

( ) ( ) ( )N M SOH s H s H s= ⋅ . (2.28)

Prvo se realizuje minimalno fazna funkcija prenosa ( )MH s koja ispunjava zahtjeve u pogledu amplitudne karakteristike, a zatim se željena fazna karakteristika postiže kaskadnim vezivanjem filtra svepropusnika opsega

( )SOH s . Kaskadnim vezivanjem filtra svepropusnika opsega se ne mijenja amplitudna karakteristika prvog filtra, jer je funkcija prenosa kaskadne veze jednaka proizvodu funkcija prenosa u kaskadnoj vezi, a amplitudna karakteristika filtra svepropusnika opsega je jednaka jedinici za svaku učestanost.

Razdvajanje funkcije prenosa ( )NH s projektovanog filtra na minimalno

faznu funkciju prenosa ( )MH s i funkciju prenosa filtra svepropusnika ( )SOH s se vrši na sljedeći način. Posmatrajmo prvo raspored nula i polova neminimalno fazne funkcije ( )NH s u kompleksnoj s ravni, kao na Slici 2.4. Dopunimo ovu sliku polovima i nulama u tačkama koje predstavljaju slike u ogledalu nula iz desne poluravni. Te dodatne nule i polove smo označili sa " ⊗ ". Svepropusna funkcija ( )SOH s se formira grupišući nule iz desne

poluravni u polinom u brojniku ( )SON s , a polove koji su njihova slika u

ogledalu iz lijeve poluravni u polinom u nazivniku ( )SOD s :

( ) ( )( )

SOSO

SO

N sH s

D s= . (2.29)

Minimalno fazna funkcija ( )MH s sadrži preostale polove i nule iz lijeve poluravni (uključujući imaginarnu osu).

Funkcija prenosa filtra svepropusnika ( )SOH s ima nule u desnoj poluravni i polove u lijevoj poluravni koji su slika u ogledalu nula iz desne poluravni, pa vrijedi da je:

( ) ( )SO SON s D s= ± − . (2.30)

GLAVA 2

18

σ

jΩ-ravans

⊗

⊗

⊗

×

×

×

dodatne nule

i polovi

Slika 2.4 Postupak razdvajanja neminimalno fazne funkcije prenosa na minimalno faznu funkciju prenosa i funkciju prenosa filtra svepropusnika.

Amplitudna karakteristika filtra sa ovako formiranim polinomima u brojniku u nazivniku njegove funkcije prenosa je:

( ) 1,H Ω = ∀Ω , (2.31)

te se zaista radi o filtru svepropusniku opsega sa frekvencijskom karakteristikom:

( )( )( )2 i

r

Dj arctg

DSOH e

Ω−

ΩΩ = , (2.32)

gdje je ( )rD Ω realni, a ( )iD Ω imaginarni dio polinoma ( )SOD Ω .

Dakle, na ovaj način možemo postići proizvoljnu faznu karakteristiku filtra, odnosno željeno kašnjenje, a da se pri tome ne promijeni prethodno postignuta amplitudna karakteristika. Zbog toga se filtar svepropusnik opsega naziva i ekvalizator faze ili kašnjenja.


19

2.3 Aproksimacija amplitudne karakteristike NP filtra

Da bi realizacija filtara bila moguća linearnim, vremenski invarijantnim električnim mrežama, čije su funkcije prenosa realne i racionalne funkcije:

( ) ( )( )

( )( )

11 0

11 0

m mm mn n

n

Y s N sb s b s bH s

X s s a s a D s

−−

−−

+ + += = =

+ + +

, (2.33)

u istom obliku treba, na osnovu postavljenih zahtjeva, odrediti i funkciju prenosa filtra. Međutim, ovakvim oblikom funkcije prenosa se ne mogu postići frekvencijske karakteristike idealnog filtra, već ih je moguće samo aproksimirati. Pri tome, kvadrat amplitudne karakteristike normalizovanog NP filtra:

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 22

2 2

PN N NH

D D ED

ωω ω ωω

ω ω ωω

−= = =

− (2.34)

u propusnom opsegu 1ω ≤ treba da aproksimira jedinicu uz maksimalno dozvoljeno slabljenje dato sa [ ]pR dB , dok u nepropusnom opsegu >1ω treba da

aproksimira nulu sa slabljenjem većim od minimalno propisanog slabljenja, datog sa [ ]sR dB . U prethodnim relacijama smo koristili oznake:

( ) ( ) ( )2P N Nω ω ω= − , (2.35)

( ) ( ) ( )2E D Dω ω ω= − . (2.36)

U daljnjem izlaganju nećemo posebno naglašavati da li se radi o normalizovanom ili nenormalizovanom filtru jer na to ukazuju same oznake koje se koriste za učestanost kao nezavisnu varijablu. Za normalizovanu kompleksnu učestanost s nećemo uvoditi posebnu oznaku, osim kada to bude neophodno, jer je skoro uvijek iz konteksta jasno da li se radi sa normalizovanim ili nenormalizovanim kompleksnim učestanostima.

Maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu dato sa [ ]pR dB

određuje dozvoljenu valovitost 2ε amplitudne karakteristike u propusnom opsegu:

GLAVA 2

20

( ) 0.12 2

2

120log 10log 1 10 1

1

pR

p pR R ε εε

= − = + = −+

. (2.37)

Slično, ako je minimalno propisano slabljenje u nepropusnom opsegu [ ]sR dB , onda je dozvoljena valovitost 2δ amplitudne karakteristike u

nepropusnom opsegu data sa:

( ) 0.12 2

2

120log 10log 1 10 1

1sR

s sR R δ δδ

= − = + = −+

. (2.38)

Na Slici 2.5 je prikazana idealna amplitudna karakteristika NP filtra i granice u kojima treba da se nađe amplitudna karakteristika dobijena aproksimacionim metodama. Funkcije prenosa drugih tipova filtara (VP filtra, filtra PO i filtra NPO) mogu se dobiti iz funkcije prenosa NP filtra frekvencijskim transformacijama, o kojima će više riječi biti u daljnjem tekstu.

Definišimo karakterističnu funkciju ( )K s kao realnu racionalnu funkciju, takvu da je:

( )( )

2

2

1

1H

Kω

ω=

+. (2.39)

Za karakterističnu funkciju ( )K s vrijedi da je:

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

2 2 2

2 22 2 2

11 ˆ

D N FK

H N N

ω ω ωω ε

ω ω ω

−= − = = . (2.40)

Dakle, karakteristična funkcija ( )K s se definiše tako da ( ) 2K ω

aproksimira nulu u propusnom opsegu, uz dozvoljenu valovitost datu sa 2ε , te

da bude veće od minimalnog propisanog slabljenja u nepropusnom opsegu datog sa 2 ,δ kao na Slici 2.6.

Opšti problem aproksimacije funkcije prenosa NP filtra se svodi na pronalaženje racionalne karakteristične funkcije:


21

(a) (b)

Slika 2.5 (a) Amplitudna karakteristika idealnog NP filtra i (b) granice u kojima treba da se nađe amplitudna karakteristika realnog NP filtra.

Slika 2.6 Izgled karakteristične funkcije na imaginarnoj osi.

( )H ω ( )H ω

1 1

2

1

1 ε+

2

1

1 δ+1 ωω

sω1

NPOPO

1rω 2rω 3rω 1zω 2zω ω

( ) 2K ω

2ε

2δ

GLAVA 2

22

( ) ( )( )

F sK s

N sε= , (2.41)

takve da:

1. ( )F s ima korijene na jω osi u propusnom opsegu,

2. ( )N s ima korijene na jω osi u nepropusnom opsegu,

3. ( ) 2 2 , 1K ω ε ω≤ ≤ ,

4. ( ) 2 2 , sK ω δ ω ω≥ ≥ .

Nule polinoma ( )F s su nule refleksije ir

ω , tako da za signale tih učestanosti

imamo idealnu transmisiju signala ( ) 1ir

H ω = . Nule polinoma ( )N s su nule

transmisije, označene sa iz

ω . Signali tih učestanosti uopšte ne prolaze kroz filtar,

jer je ( ) 0iz

H ω = .

Iz Furijeove analize znamo da je amplitudna karakteristika sistema sa realnim impulsnim odzivom parna funkcija učestanosti. Nakon određivanja

kvadrata amplitudne karakteristike ( ) 2H ω u obliku (2.34), kao količnik dva

parna polinoma ( )2P ω i ( )2E ω , te zamjene 2ω sa 2s− , polinome ( )2P s− i

( )2E s− treba faktorizovati, odnosno napisati u obliku:

( ) ( ) ( )2P s N s N s− = − , (2.42)

( ) ( ) ( )2E s D s D s− = − , (2.43)

kako bismo mogli odrediti racionalnu funkciju ( ) ( ) ( )H s N s D s= .

Pri određivanju polinoma ( )D s iz (2.43), koristimo činjenicu da polinom

( )2E s− , da bi bio paran, mora imati korijene simetrične u odnosu na ishodište.

Budući da ( )D s mora biti Hurvicov polinom, on treba da sadrži sve korijene

od ( )2E s− iz lijeve poluravni kompleksne s ravni. Polinom ( )N s je

eksplicitno određen izborom nula transmisije na jω osi u nepropusnom opsegu:


23

( ) ( )2 2 i

i

m

zi

N s k s ω= +∏ , (2.44)

gdje je k konstanta, dok su iz

ω nule transmisije reda im . Ako je 0,im i= ∀ ,

onda filtar nema konačnih nula transmisije, tako da je ( )N s k= i

( ) ( )H s k D s= .

Koeficijenti funkcije prenosa u (2.33) se mogu odrediti na osnovu položaja nula i polova funkcije prenosa u kompleksnoj s ravni. Ovi koeficijenti su se ranije zadavali tabelarno (najčešće do reda 10), dok se u novije vrijeme za njihovo određivanje koriste softverski paketi, kao što je npr. MATLAB.

Stepen n u funkciji prenosa filtra (2.33) nazivamo red filtra. Red filtra se bira u zavisnosti od toga kojom brzinom treba da raste slabljenje na visokim frekvencijama. Amplitudna karakteristika filtra na visokim frekvencijama teži nuli sa faktorom 1 n mω − , a slabljenje raste sa ( )20 n m− dB/dekadi:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

1 120log 10 20log 20log 20log

10

20log 10 20log 20log10 20 .

n m n m

n m n m n m

H H

n m

ω ωωω

ω ω

− −

− − −

− − − ≈ − − − =

= − = = −

(2.45)

2.3.1 Batervortovi filtri

Niskopropusni Batervortovi (Stephen Butterworth, 1885–1958) filtri imaju maksimalno ravnu amplitudnu karakteristiku u propusnom opsegu, što znači da je ona jednaka jedinici za 0ω = (idealna transmisija jednosmjerne komponente signala), i da su sve moguće derivacije greške transmisije, koja se definiše sa:

( ) ( ) ( )( )

2

222

11

KH

K

ωω ω

ωΔ = − =

+, (2.46)

jednake nuli za 0ω = , tj.:

( )0 0K = , (2.47)

GLAVA 2

24

( )

( )( )

2

22

0

0, 1,2,3,1

i

i

Kdi

Kdω

ω

ωω=

= = +

(2.48)

Budući da je ( ) 2K ω količnik dva polinoma po 2ω , tj.:

( ) ( ) ( )2 4 2

2 0 1 2n

na a a aK

N N

ω ω ωωω ω

+ + + +=−

, (2.49)

kako bismo zadovoljili navedene uslove mora biti 0ia = , 0,1, , 1i n= − , odnosno sve nule refleksije moraju biti u ishodištu, tako da je:

( )( )

( )( )

2

2

2 2 2

1

1 nn

NH

K N a

ωω

ω ω ω= =

+ +. (2.50)

Stepen n polinoma u nazivniku mora biti bar za jedan veći od stepena m polinoma u brojniku da bi transmisija bila jednaka nuli kada s→ ∞ . Dakle, za proizvoljan polinom ( )N s , odnosno za proizvoljan set nula transmisije, možemo konstruisati NP funkciju prenosa sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom u propusnom opsegu.

Parametar na se određuje na osnovu maksimalnog dozvoljenog slabljenja u propusnom opsegu. Iz postavljenih zahtjeva da slabljenje monotono raste sa učestanošću, a da ne smije biti veće od maksimalno dozvoljenog slabljenja u propusnom opsegu datog preko valovitosti

2ε , za kvadrat amplitudne karakteristike na granici propusnog opsega vrijedi:

( ) 2

2

11

1H

ε=

+. (2.51)

Poredeći ovaj izraz sa vrijednošću kvadrata amplitudne karakteristike na granici propusnog opsega:

( )

( )

( )

( )

2 2

2

22

1 11

111

nnn

H Haa

NN

ωωω

= =++

, (2.52)


25

za NP filtar sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom dobijamo valovitost u propusnom opsegu:

( )

0.122

10 11

pRna

Nε = = − , (2.53)

što nam omogućava da odredimo koeficijent na na osnovu date vrijednosti

slabljenja pR , ako smo prethodno odredili polinom nula transmisije ( )N s .

Veoma važan specijalni slučaj NP funkcije prenosa sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom je funkcija prenosa bez konačnih nula transmisije, sa ( ) 1N s = :

( ) 2

2 2

1

1 nH ω

ε ω=

+. (2.54)

Amplitudne karakteristike normalizovanih NP filtara sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom i bez konačnih nula transmisije za

2, 3, 4n = su prikazane na Slici 2.7.

Za ovaj slučaj, kad slabljenje monotono opada sa porastom učestanosti, red filtra n se određuje iz uslova da slabljenje na graničnoj učestanosti nepropusnog opsega sω treba da bude veće od propisanog minimalno potrebnog slabljenja sR , na sljedeći način:

( )1 2

2 2

120log 20log

1s s sns

H R Rωε ω

− ≥ − ≥ +

, (2.55)

( ) ( )

( )

0.12 2 2 2

0.12

10log 1 10 1

2 log log 10 1 ,

s

s

Rn ns s s

Rs

R

n

ε ω ω ε

ω ε

−

−

+ ≥ ≥ −

≥ − (2.56)

( )0.12log 10 1

2log

sR

s

nε

ω

− − ≥ . (2.57)

GLLAVA

26

za

K

Za

rapo

1

1 ε+

A 2

6

D

amij

Korij

adr

spoolov

2ε

1

Slik

Da b

jeni

jeni

ržav

oređva z

H

ka 2

bism

imo

i ov

vaju

đenza

(H ω

2.7

mo

o ω

vog

ući

ne n =

)ω

Ampn

odr

2ω s

g po

sam

uni2,3=

Ampmakprop

2n =

red

sa −

olin

s

mo

s

ifor3,4

plitksimpus2, 3

dili l

(H

2s−

nom

2nks =

kor

ks =

rmn je

tudnmalnnom, 4.

loka

( )ω

2 i i

ma s

1

ε=

rije

ε −=

no da

1

ne kno m o

acij

) 2=

izje

1

su p

(2

1

ε−

ne

1ne

−

nat na

karravops

je p

H=

edn

1+

polo

)1−

iz l

2

2

kje

+

a ra Sl

raktvnosegu

polo

(H ω

ačim

( 1−

ovi

1n+

lijev

1

2

n

n

+ +

radilici

terism au i b

ova

)Hω

mo

)1n ε

i pr

1

ε=

ve p

,π

ijus2.8

n

stikampbez

a ov

(H −

o na

2 2sε

reno

2

1e

εpolu

k

u 8.

4n =

ke nplitz ko

vog

)ω−

aziv

2n =

osn

(j n+

ura

0=

1ε −

n4

normtudnona

g filt

)1

=

vnik

0=

ne f

1 2k+ +

avni

0,1,2

1n ,

n =

manom

ačni

tra,

1 ε+

k do

.

funk

) ,k π

i im

2,

na

3

alizom kih n

, u i

2

1

ε ω

obij

kcij

k∈

mam

,n

a r

n =

ovakaranula

izra

2nω

jen

e fi

∈

mo

1n −

azm

2=

anihaktea tr

azu

og

filtra

.

želj

1

mak

h Nerisrans

:

izra

a:

jen

ku

NP fstiksmi

aza

e p

18

filtaomisije

a sa

polo

080

ara m u e za

nu

ove:

n .

ω

sa

a

ulom

:

R

ω

(

m:

(

(

(

Rasp

(2.5

(2.5

(2.6

(2.6

pore

58)

59)

60)

61)

ed


27

4

π6

π8

π

2n = 3n = 4n =

1 1 1σ σ σ

jΩ jΩ jΩ

Slika 2.8 Lokacije polova Batervortovog filtra za 2,3,4n = .

Iz 0.12 10 1pRε = − za 1ε = dobijamo da je 3pR dB= slabljenje na granici

propusnog opsega, za 1ω = . Odgovarajući NP filtar bez konačnih nula transmisije sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom ima funkciju prenosa oblika:

( ) 11 1

1

1n nn

H ss b s b s−

−

=+ + + +

(2.62)

i naziva se Batervortov (Butterworth) filtar. U literaturi se često i oni filtri bez konačnih nula transmisije sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom kod kojih je 1ε ≠ nazivaju Batervortovi filtri.

Koeficijenti ib se računaju na osnovu položaja polova u kompleksnoj s ravni zavisno od reda filtra. Nekada su ovi koeficijenti zadavani tabelarno, dok se u novije vrijeme koriste softverski paketi koji olakšavaju ove proračune bez korišćenja tabela.

Kako se pri određivanju reda filtra uzima prvi cio broj veći ili jednak dobijenom rezultatu za n na osnovu (2.57), to znači da je istim redom filtra moguće zadovoljiti i strožije zahtjeve od postavljenih. Stoga je moguće, nakon

usvajanja vrijednosti za n , na osnovu izraza 0.1

22

10 1sR

ns

εω

−= , pronaći novu

vrijednost za valovitost ε u propusnom opsegu, koja će osigurati slabljenje na granici nepropusnog opsega jednako minimalnom dozvoljenom slabljenju sR . Pri tome se u propusnom opsegu dobije maksimalno slabljenje manje od onog

GLAVA 2

28

određenog zahtjevima i prvobitnom vrijednošću za ε , a učestanost na kojoj slabljenje iznosi maksimalno dozvoljenih pR [dB] postaje veća od jedan. Sa

promjenom vrijednosti za ε mijenja se poluprečnik kružnice u kompleksnoj ravni na kojoj su raspoređeni polovi prenosne funkcije Batervortovog filtra, a samim tim i funkcija prenosa filtra.

2.3.2 Čebiševljevi filtri

Pokazalo se mnogo efikasnijim, umjesto monotono rastuće greške aproksimacije u propusnom opsegu kod filtara sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom, grešku aproksimacije rasporediti ravnomjerno u propusnom ili nepropusnom opsegu. Filtre sa jednolikim oscilacijama amplitudne karakteristike nazivamo Čebiševljevi (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894) filtri ako je greška aproksimacije ravnomjerno raspoređena u propusnom opsegu, a inverzni Čebiševljevi filtri ako je greška aproksimacije ravnomjerno raspoređena u nepropusnom opsegu.

Čebiševljevi filtri

Raspoređivanjem greške aproksimacije ravnomjerno u cijelom propusnom opsegu nastaju filtri sa karakterističnom funkcijom ( )K s u obliku polinoma

koji osciluje uniformno između 0 i 2ε u propusnom opsegu:

( ) ( )2 2 2nK Cω ε ω= , (2.63)

gdje je:

( )1 1nC ω− ≤ ≤ za 0 1ω≤ ≤ . (2.64)

Mi se nećemo zadržavati na rigoroznim metodima za određivanje polinoma ( )nC ω , ali je očito da polinom:

( ) ( )cosnC nω ω= Φ (2.65)

osciluje uniformno između -1 i 1 i to sa rastućom frekvencijom kad n raste.

Iz poznatog matematičkog identiteta koji se dokazuje indukcijom:


29

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 3 2 5 4

7 6

3cos 2 cos 2 cos 2 cos

1! 2!3 5

2 cos3!

n n n n n n

n n

n nnn

n n n

ω ω ω ω

ω

− − − − −

− −

−Φ = Φ − Φ + Φ

− −− Φ +

(2.66)

slijedi da je ( )cosn ωΦ polinom po ω ako je:

( ) ( )1cos , 1ω ω ω−Φ = ≤ . (2.67)

Čebiševljev polinom reda n je:

( ) ( )1cos cos , 1nC nω ω ω−= ≤ . (2.68)

U nepropusnom opsegu, za 1ω ≥ , 1cos ω− nije definisano, te se za ( )nC ω usvaja hiperbolna kosinusna funkcija koja monotono raste za 1ω > :

( ) ( )1ch chnC nω ω−= . (2.69)

Prvih nekoliko Čebiševljevih polinoma u propusnom opsegu ima oblik:

( )0 cos0 1C ω = = , (2.70)

( ) ( )11 cos 1 cosC ω ω ω−= ⋅ = , (2.71)

( ) ( ) ( ) 21 1 2

2 cos 2 cos 2 cos cos 1 2 1C ω ω ω ω− − = ⋅ = − = − , (2.72)

( ) ( ) ( ) ( ) 31 1 1 3

3 cos 3 cos 3cos cos 4 cos cos 3 4C ω ω ω ω ω ω− − − = ⋅ = − + = − + , (2.73)

( ) ( )1 2 44 cos 4 cos 1 8 8C ω ω ω ω−= ⋅ = − + . (2.74)

Postoji rekurzivna trigonometrijska relacija:

( ) ( )cos 1 2cos cos cos 1n x nx x n x + = − − (2.75)

koja, kad se primijeni na Čebiševljeve polinome, postaje:

GLAVA 2

30

( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

0 1

2 , 1,2,

1, .

n n nC C C n

C C

ω ω ω ωω ω ω

+ −= − =

= =

(2.76)

Čebiševljev polinom n -tog reda ima sljedeće osobine:

1. ( )0 1nC ω≤ ≤ za 1ω ≤ , dok je ( ) 1nC ω > za 1ω ≥ ,

2. ( )nC ω je monotono rastući polinom za 1ω ≥ i za svako n ,

3. ( )nC ω je paran polinom ako je n parno, a neparan ako je n neparno,

4. ( )0 1nC = za n parno,

5. ( )0 0nC = za n neparno.

Dakle, ako se za aproksimaciju amplitudne karakteristike NP filtra koriste Čebiševljevi polinomi, funkcija prenosa NP filtra sa jednolikim oscilacijama u propusnom opsegu i bez konačnih nula transmisije se određuje iz:

( ) ( )2

2 2

1

1 n

HC

ωε ω

=+

, (2.77)

gdje je ( )nC ω Čebiševljev polinom reda n .

Amplitudna karakteristika Čebiševljevog filtra ( )H ω ima jednolike

oscilacije u cijelom propusnom opsegu. ( )0 1H = za neparno n , a

( ) 20 1 1H ε= + za parno n , dok je ( ) 21 1 1 ,H nε= + ∀ . Dalje, ( )H ω

monotono opada za 1ω > . Postoji n kritičnih tačaka u propusnom opsegu

gdje ( )H ω poprima maksimalnu ili minimalnu vrijednost.

Na Slici 2.9 prikazane su amplitudne karakteristike normalizovanih Čebiševljevih filtara za red filtra 2,3,4n = .

P

o

ta

o

1

1+

Sli

Polo

odre

ako

odno

2

1

ε+

ika

ovi

eđu

o da

s

osn

1

2.9

Če

uju n

a je:

s σ=

no:

(H

M

9 AN

biš

na

:

σ +

H

( )ω

eto

AmNP

evl

slje

jω+

(H s

)

odi a

mpliP Če

jev

edeć

ω =

)s H⋅

apro

itudebiš

og

(H

ći n

coj

(H −

oks

dneševl

filt

( )ω

nači

ξ

(os α

)s−

sima

kaljev

tra s

) 2=

in. U

ξ =

α +

σ

w

) =

1

acij

arakvih

se i

1=

+

Uv

α +

jβ+

sσ =

c=

(H

e a

kterfilt

iz k

2ε+

vedi

jβ+

)β =

sinα

cosα

( )ω

mp

ristitara

kvad

2 co

imo

β =

cj=

siα

coα

2

ω

plitu

ike a za

drat

(2

1

os

o oz

cos

cos

inh

osh

s

jω=

=

n =

dni

nora n =

ta a

(1

cn

zna

1ss

j−

cα

β ,

h β ,

1=

4=

h i

rma2,=

amp

cos−

aku:

s

j.

cosh

,

ε+

n

faz

aliz, 3,

plitu

1 ω−

:

h β

2

1

coε

3=

nih

zova4 .

udn

)ω

sβ +

2

1

os

n3

ka

ani

ne k

inα

(nξ

2n =

rak

h

kara

sinα

)ξ.

2

teri

akt

nh β

istik

teris

β ,

ka a

stik

ana

ke:

log

ω

nih

(2.7

(2.7

(2.8

(2.8

(2.8

(2.8

filta

31

78)

79)

80)

81)

82)

83)

ara

GLAVA 2

32

Lokacija polova Čebiševljevog filtra se određuje iz uslova da nazivnik funkcije prenosa bude jednak nuli:

( ) ( )( )2 21 cos 0 1 cos 1 cos 0 1 cos 0n j n j n j nε ξ ε ξ ε ξ ε ξ+ = + − = ± = , (2.84)

odakle slijedi da je:

( )cos cos cos cosh sin sinhj

n n jn n n j n nξ α β α β α βε

= + = − = ± , (2.85)

1

cos cosh 0 sin sinhn n n nα β α βε

= ∧ = ± . (2.86)

Rješenja sistema jednačina zapisanog sa (2.85) i (2.86) su:

12 1 1 1, sinh , 0

2k k

kk

n nα π β

ε−−= ± = ± > , (2.87)

pa su realni i imaginarni dijelovi polova od ( ) ( )H s H s− koji se nalaze u lijevoj poluravni sljedeći:

11 1 2 1sinh sinh sin , 1,2, ,

2k

kk n

n nσ π

ε− − = − =

, (2.88)

11 1 2 1cosh sinh cos , 1,2, ,

2k

kk n

n nω π

ε− − = =

. (2.89)

Koristeći identitet 2 2sin cos 1x x+ = , možemo pisati:

2 2

2 1 2 1

11 1 1 1

sinh sinh cosh sinh

k kw

n n

σ

ε ε− −

+ =

, (2.90)

što znači da polovi k k ks jσ ω= + leže na elipsi čije su ose 11 1sinh sinha

n ε− =

(kraća) i 11 1cosh sinhb

n ε− =

(duža).

Sa poznatim polovima , 1,2, ,ks k n= , funkcija prenosa Čebiševljevog filtra poprima oblik:


33

( )( )

( )1

11 1 0

1

1 21

2

n

n n nn n

kk

H ss b s b s b

s s

ε

ε

−

−−

=

= =+ + + +−∏

. (2.91)

Slično kao kod Batervortovog filtra, koeficijenti ib se računaju na osnovu položaja polova u kompleksnoj s ravni.

Pri dizajniranju Čebiševljevog filtra imamo dva parametra: valovitost ε koja je određena maksimalnim dozvoljenim slabljenjem u propusnom opsegu

0.110 1pRε = − i red filtra n , koji se određuje iz uslova za slabljenje sR na graničnoj učestanosti nepropusnog opsega sω :

( )2 2

110log

1 sn s

RCε ω

− ≥+

, (2.92)

( )0.11 2

1

cosh 10 1

cosh

pR

s

nε

ω

−

−

−≥ . (2.93)

Inverzni Čebiševljevi filtri

Inverzni Čebiševljev filtar ima monotono opadajuću amplitudnu karakteristiku u propusnom opsegu i jednolike oscilacije u nepropusnom opsegu, te konačne nule transmisije, kao na Slici 2.10.

Kvadrat amplitudne karakteristike ovog filtra je dat sa:

( ) ( )( )

2 22

2 2

1

1 1n

n

CH

C

ε ωω

ε ω=

+. (2.94)

Inverzni Čebiševljev filtar je jednako efikasan kao Čebiševljev filtar u smislu da je isti red filtra potreban da se zadovolje postavljeni zahtjevi za amplitudnu karakteristiku.

GLLAVA

34

grvasitpr

1

A 2

4

Mrupnarijatuacreno

1

1 δ+

Slik

Slik

Međunomacijecijaos s

2δ

1

ka 2

ka 2

utimm ke g

amaslik

(H

2.10

2.11

m, kašgrupa kake il

( )ω

0 A

1 (

ponjepnoada li po

AmČeb

Ka(a)

ostoenjuog su oda

mplibiše

arakČeb

oje u. Č

kama

atak

itudevlj

kterbiše

veČebšnjeale ka,

dnejevi

ristievlj

elikbišeenjavarinv

1

e kaih f

ike jev

ke revljea nrijacverz

arakfilta

grui (b

razlevi negcijezni

n

kterara

upnb) in

likefilt

go ie kaČe

4=

ristiza

nog nve

e utri inv

ašnjbiš

4

ike n =

kašerzn

u nu p

verzenjevlj

n =

no2,=

šnjeni Č

njihpro

zni ja vjevi

3=

orm3, 4

enjaČeb

hoviopuČe

veomi fil

n

maliz4 .

a fibiše

im usnoebišma ltri

2=

zov

iltarevlje

faom ševlvaim

2

vani

ra 8ev f

azniop

ljevžneaju

ih N

8. refilta

im psegvi fe, kpre

NP

edaar.

kagu filtrkao edn

inv

a za

arakim

ri, Sšto

nos

verz

a:

ktermaju

Sliko sut.

znih

ristiu izka u sis

ω

h

ikamzraž2.1stem

ω

maženi1. mi

i ije U za


35

2.3.3 Eliptički filtri

Raspoređivanjem greške aproksimacije i unutar propusnog i unutar nepropusnog opsega, uz iste postavljene zahtjeve dobija se manji red filtra u poređenju sa filtrima sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom i filtrima sa jednolikim oscilacijama.

Rezultujuća karakteristična funkcija ( )K s mora biti racionalna funkcija sa

konačnim nulama refleksije ir

ω i konačnim nulama transmisije iz

ω .

Karakteristična funkcija:

( ) ( )2 2 2nK Tω ε ω= (2.95)

sa jednakim maksimumima 2ε u propusnom opsegu i jednakim minimumima u nepropusnom opsegu, može se ostvariti eliptičkim funkcijama ( )nT ω , te se rezultujući filtri, sa kvadratom amplitudne karakteristike:

( ) ( )2

2 2

1

1 n

HT

ωε ω

=+

(2.96)

zovu eliptički filtri, ili Kauerovi (Wilhelm Cauer, 1900-1945) filtri. Eliptička (u literaturi poznata i kao Čebiševljeva) racionalna funkcija ( )nT ω je data sa:

( ) ( )222

2 21

i

i

ns z

ni z

T kω ω ω

ωω ω=

−=

−∏ (2.97)

za n parno, a sa:

( ) ( )( )221 2

2 21

i

i

ns z

ni z

T kω ω ω

ω ωω ω

−

=

−=

−∏ (2.98)

za n neparno.

Sve frekvencije su normalizovane tako da je granica propusnog opsega 1pω = . Konstanta k se određuje iz uslova da su maksimumi oscilacija u

propusnom opsegu jednaki jedinici, te valovitost ε određuje veličinu oscilacija u propusnom opsegu i računa se kao obično.

GLAVA 2

36

Kada nivo oscilacija amplitudne karakteristike u nepropusnom opsegu teži ka nuli, eliptički filtri postaju jednaki Čebiševljevim filtrima, a kada se gube oscilacije u propusnom opsegu, ovi filtri postaju inverzni Čebiševljevi filtri. Eliptički filtri teže Batervortovim filtrima kada nivoi oscilacija u oba opsega, propusnom i nepropusnom, teže ka nuli.

Eksplicitno određivanje reda filtra n je veoma teško i zahtijeva izračunavanje eliptičkih integrala. Umjesto toga, često se koriste parametarske krive. U nepropusnom opsegu je ( )2 2 1nTε ω , pa ako je sR slabljenje na

granici nepropusnog opsega za sω ω= , možemo uspostaviti sljedeću relaciju

između ( )n sT ω , sR i ε :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 22 2

2 2

120log 10log 10log 1

1

10log 20log 20log

s s n sn s

n s n s

R H TT

T T

ω ε ωε ω

ε ω ε ω

= − = − = + ≈+

≈ = +, (2.99)

tako da je:

( )120log 20logs n sR T ω

ε+ ≈ . (2.100)

Na osnovu (2.97) i (2.98) se izračunaju Čebiševljeve racionalne funkcije na granici nepropusnog opsega ( )n sT ω za različite vrijednosti reda filtra n .

Dobijene vrijednosti se porede sa vrijednošću ( )n sT ω koja se dobije u

zavisnosti od minimalnog propisanog slabljenja u nepropusnom opsegu i valovitosti ε , na osnovu (2.100). Na taj način se radi predikcija reda filtra, pa se zatim provjerava da li su ispunjeni svi postavljeni zahtjevi. Ako nisu, red filtra se povećava dok se ne postignu željene karakteristike.

Nakon određivanja potrebnog reda filtra, kada su poznati svi parametri, mogu se odrediti nule i polovi funkcije prenosa ( )H s . Analitički proračuni položaja polova i nula u kompleksnoj s ravni, na osnovu kojih se određuju koeficijenti u funkciji prenosa eliptičkih filtara:

( )( )2

11

1 1 0

m

ii

n nn

H s aH s

s b s b s b=

−−

+=

+ + + +

∏

, (2.101)

izpza

je

o

ek

N

tr

n

Sl

zlazroga am

Pedin

ko

kviv

Na

rans

epr

Alici

1

1 δ+

1

1 ε+

ze grammp

Paranici

fre

vale

pri

smi

rop

Amp2.1

Sl

2δ

1

2ε

iz me litu

amei. N

ekv

ent

imj

isije

pusn

plit12.

lika

H

okko

udn

etarNule

venc

tno

er,

e ω

nom

tudn

a 2.

(H ω

M

kviraoji pnu k

r He re

cije

pR

za

izω ,

m o

ne

12

)ω

eto

a oprorkara

H efle

e

p i

a d

, ta

opse

kar

AN

odi a

overačuakte

se eksi

sω

sR )

date

ako

egu

rakt

AmpNP

apro

e kunaeris

birije

, t

), za

e v

o d

u. T

teri

plituelip

oks

knjigavatiku

ra

irω

tj. ωatim

vrije

a T

Tada

stik

udnptič

1

sima

ge. aju ou fi

tak i n

irωm ωedn

(nTa je

ke N

ne kčkih

acij

Poveiltra

ko nul

zω⋅

sω

nost

)ω

e nT

NP

karah fil

n

e a

ri e koa.

da le t

izω =

i st

ti R

im

(ω eli

akteltar

4n =

mp

prooef

vrtran

sωtepe

pR ,

ma

)ω p

ipti

erisa za

4

plitu

ojekficij

šnansm

. O

ena

, R

jed

potp

čkih

stika n

n =

dni

ktovent

a vmisij

Od

a n ,

sR

dna

pun

h fi

ke n2n =

3=

h i

vante n

vrijeje ω

čet

, tri

i

ake

no p

filta

norm2, 3,

n

faz

nju na o

edn

izω

tiri

i se

sω

m

poz

ara z

mal, 4 .

2n =

nih

filosn

ost su

pa

e mo

po

minim

zna

za

lizo.

2

ka

ltarnovu

t pou u

aram

ogu

otre

mu

ato.

n =

ovan

rak

ra u p

ojačge

met

u sp

ebn

ume

2,=

nih

teri

korpost

čanom

tra

pec

no

e d

3, 4

h

istik

ristitav

nja metr

filt

cific

je

dovo

4 su

ka a

ićemljen

burijsk

tra

cirat

pr

oljn

u p

ana

monih

ude koj

ε

ti n

ron

ne

prika

ω

log

o gzah

jedsim

i

neov

naći

vis

aza

ω

nih

gotohtje

dnamet

δ

visn

nu

ine

ane

filta

37

ove eva

aka triji

(ili

no.

ule

e u

na

ara

GLAVA 2

38

2.4 Aproksimacija fazne karakteristike

Funkcije prenosa koje se koriste za aproksimaciju fazne karakteristike ili grupnog kašnjenja imaju konstantnu amplitudnu karakteristiku na svim frekvencijama. To su filtri svepropusnici, čija funkcija prenosa ima oblik:

( ) ( )( )

( )( )

SO SOSO

SO SO

N s D sH s

D s D s

−= = . (2.102)

Parametri funkcije prenosa (2.102) se biraju tako da ona aproksimira željeno kašnjenje. Normalizacija frekvencijske varijable pri aproksimaciji faznih karakteristika filtara se vrši sa 0 01 τΩ = , gdje je 0τ kašnjenje jednosmjerne komponente.

Za aproksimaciju fazne karakteristike koriste se Beselovi (Bessel) filtri. Na osnovu:

( ) ( ) ( )jH H e ϕ ωω ω= , (2.103)

( ) ( )d

d

ϕ ωτ ω

ω= − , (2.104)

možemo izraziti faznu karakteristiku filtra na sljedeći način:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2j j

s jH H H e H s H s eϕ ω ϕ ω

ωω ω ω

=⋅ = = ⋅ − , (2.105)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2j

s jH s H s H s H s e ϕ ω

ω=⋅ = ⋅ − , (2.106)

( ) ( )( )

1ln

2s j

H s

j H sω

ϕ ω=

=−

. (2.107)

Grupno kašnjenje:

( ) ( )d

d

ϕ ωτ ω

ω= − (2.108)

dobijamo na sljedeći način:


39

( ) 1 ( )

ln2 ( )

s j

d d H s

d j d H s ω

ϕ ωω ω =

=

− . (2.109)

Izvodom logaritamske funkcije iz (2.109), uz smjenu s jω= dobija se:

( ) 1 ( ) ( )

2 ( ) ( )

d H d H

d j H d H

ϕ ω ω ωω ω ω ω

−= − . (2.110)

Koristeći formulu za izvod količnika iz (2.110), dobijamo:

[ ]2

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )

d H H H H H

d j H H

ϕ ω ω ω ω ω ωω ω ω

′ ′− − − −=−

, (2.111)

[ ]2

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )

d H j H H j H H

d j H H

ϕ ω ω ω ω ω ωω ω ω

′ ′− ⋅ − + ⋅ −=−

. (2.112)

U (2.111) je sa ( )H ω ′ označen izvod po ω , dok je u (2.112) je sa ( )H ω′ označen izvod po jω . Nakon smjene s jω = u (2.112) dobijamo:

[ ]2

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )s j

d H s H s H s H s H s

d H s H sω

ϕ ωω

=

′ ′− − + −=−

, (2.113)

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )s j

d H s H s H s H s

d H s H s ω

ϕ ωω =

′ ′− + −=−

, (2.114)

( ) 1 ( ) ( )

2 ( ) ( )s j

d H s H s

d H s H sω

ϕ ωω

=

′ ′ −= + − . (2.115)

Kako je ( ) ( )d

d

ϕ ωτ ω

ω= − , konačno se za grupno kašnjenje na imaginarnoj osi

dobija:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

' ' '1

2s j s j

H s H s H s

H s H s H sω ω

τ ω= =

−= − + = − −

P , (2.116)

GLAVA 2

40

gdje je sa ( )⋅P označen parni dio funkcije.

Množenjem brojnika i nazivnika funkcije prenosa ( )H s sa ( )N s− dobijamo:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

N s N s Q sH s

D s N s P s

−= =

−, (2.117)

pa grupno kašnjenje možemo zapisati u obliku:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

' ' '1

2s j s j

P s P s P s

P s P s P sω ω

τ ω= =

−= + = −

P . (2.118)

Problem pronalaženja funkcije prenosa ( )H s sa željenim grupnim

kašnjenjem ( )τ ω se svodi na pronalaženje polinoma ( ) ( ) ( )P s N s D s= − ⋅

takvog da ( ) ( )( )P' s P sP duž jω ose aproksimira željeno kašnjenje. Često je

za to potrebna pomoć numeričkih metoda. Jednom kad se pronađe polinom ( )P s mora se izvršiti njegova faktorizacija na ( )N s− i ( )D s , pri čemu je

( )D s Hurvicov polinom stepena n ne manjeg od stepena m polinoma ( )N s .

Dakle, ( )P s mora u lijevoj poluravni da ima najmanje toliko korijena koliko ih ima u desnoj poluravni.

Jednačina (2.118) se sad može koristiti za pronalaženje aproksimacije funkcije prenosa NP filtra bez konačnih nula transmisije u obliku:

( ) 0sH s Ke τ−= , (2.119)

što je idealna funkcija prenosa mreže bez izobličenja, koja samo unosi konstantno kašnjenje 0τ i konstantno pojačanje 20logK .

Nakon normalizacije amplitudne karakteristike sa K :

( ) 0sH s e τ−= , (2.120)

i kompleksne učestanosti s sa 0 01 τΩ = , dobijamo funkciju prenosa normalizovanog filtra:


41

( ) 0 0

0

1

s s

s

ss

H s e e eτ− −

Ω −

→Ω

= = = . (2.121)

Potrebno je pronaći funkciju prenosa u obliku:

( ) ( )0 0

11 1 0

n nn

b bH s

s b s b s b D s−−

= =+ + + +

(2.122)

koja na neki način aproksimira funkciju se− . Uvrštavajući ovakav oblik funkcije prenosa (2.122) u izraz (2.118) za grupno kašnjenje, dobijamo:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

' ' ' '1

2 2s j s j

D s D s D s D s D s D s

D s D s D s D sω ω

τ ω= =

− − + −= + = − −

. (2.123)

Grupno kašnjenje ( )τ ω u (2.123) nije konstantno, ali može aproksimirati konstantu. Ako prilikom aproksimacije želimo da racionalna funkcija (2.123) bude maksimalno ravna, na sličan način kao kod Batervortovih filtara, (2.123)

treba svesti na oblik 2

2 2nn

N

N a ω+, gdje je n stepen polinoma ( )D s . Kako je

polinom u brojniku (2.123) stepena 2 1n − , a u nazivniku stepena 2n sa

koeficijentom uz najviši stepen 2nω jednakim ( )2 1

n− , to znači da na jω osi moramo zadovoljiti uslov da je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 ' ' 2 1n nD s D s D s D s D s D s s− = − + − + − , (2.124)

odnosno:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1' ' 1

2nns D s D s D s D s D s D s

+− − + − − − = − , (2.125)

što se može svesti na:

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 12 ' 1nns D s D s D s D s

+− − − − = − P . (2.126)

Diferenciranjem po s dobijamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }'' 2 ' 2 0sD s n s D s nD s D s − + + − = P , (2.127)

GLAVA 2

42

što mora da vrijedi za svako s , ako hoćemo da ( )H s ima maksimalno ravno

kašnjenje. Kako ( ) 0D s ≡ nije koristan rezultat, vrijedi da je:

( ) ( ) ( ) ( )'' 2 ' 2 0sD s n s D s nD s− + + ≡ . (2.128)

Matematičkom indukcijom se može dokazati da je rješenje diferencijalne jednačine po ( )D s date sa (2.128) Hurvicov polinom:

( ) ( )( )1

2 !, , 0,1, , 1, 1

2 ! !

ni

i i nn ii

n iD s b s b i n b

i n i−=

−= = = − =

− . (2.129)

Zbog veze (2.129) sa Beselovim polinomima, rezultujući filtri se nazivaju Beselovi filtri. Beselovi polinomi višeg reda se mogu dobiti rekurzivnom formulom:

( ) ( ) ( ) ( )21 22 1n n nD s n D s s D s− −= − + . (2.130)

Sa porastom reda filtra n raste tačnost aproksimacije grupnog kašnjenja. Posmatrajmo:

( )( )

( )

( )0

!

2 ! !2 ! 12 !2 ! ! 2 ! 2 !

2 !

ni

n i i

n

n i n ib nnb i n i n in i

− −

− −= ⋅ = ⋅

−−

. (2.131)

Kada n→ ∞ dobijamo:

( )0

1 1

2 ! !2

ii

i i

b n

b i in−→ ⋅ = , (2.132)

( ) 0

000 0

1lim lim

1!

s

nn n iii

ii

bH s e

bsb sib

−∞→∞ →∞

==

= = =

, (2.133)

kao što smo i željeli. Naravno, za konačan red filtra n , funkcija prenosa ( )H s sa konačnom greškom aproksimira amplitudnu karakteristiku i grupno kašnjenje.

(a (b

Sl

a)

b)

lika

a 2.

13 (au

M

a) Su za

eto

Slabavis

odi a

bljennos

apro

nje sti o

oks

i (bod

sima

b) gred

acij

grešda f

e a

ška filtr

mp

grura.

plitu

upn

dni

nog

h i

g ka

faz

ašnj

nih

enj

ka

a B

rak

Bese

teri

elov

istik

vih

ka a

filt

ana

tara

log

a

nih filta

43

ara

GLLAVA

44

takmnofil

2.

Oprda(ovrijodizm2.fil

A 2

4

Jeko

moguormltra

.5

snorocea jeodnoijemdzivme15-ltara

S

edanda

u smali

i n

ovnes, edinosn

me pv pđu -2.2a.

lika

n jea obse kzov

norm

Ka

ne prinič

no poraoravr

20 p

a 2.

edinbje korvanmal

ara

parikazni da

asta astešneprik

.14

ni pov

istine glizo

akt

ramzan

odim

rτe sae i kaza

Pje

0

0.

0.

parave ti ngrešovan

ter

metri su

dskompu

dea 10kraani

Paraedin

.1

.5

.91

amgrenumškene f

ris

ri fu naočn

ulsnefin0% ajnj

su

ameničn

τ

etaeškemer grfrek

stik

filtaa Slni ni oniše

nae v

u pr

etri nom

dτ

τ

r, re bričkrupkve

ke

ara lici odz

odzie kaa 90vrijerim

prem o

rτ

red buduki pnog

enci

fil

ko2.1

ziv iv dao 0% ednjeri

elazodsk

γ

Beu p

postg kije

lta

oji 14.

ddosvrijsv

nosti je

znokoč

γ

eselprihtup

kašnω =

ra

u Kaoststigjemojeti jdin

og pčno

lovohvapci njen= Ω

u

vreašnjetigngne me k

kredi

ničn

procom

og atljivili

nja

0τΩ ,

vr

emeenjene

svkojrajniničnih

cesodz

filtvo diju

, ka

rem

ens

dτpo

vojue je

nje včnogod

a pzivu

tra maagrpro

ao š

me

kom selov

u me pvrijg osko

priku.

n , ale.ramocešto

ens

m e devinumakpotredn

odskočn

aza

mo Z

mi kntimje p

sk

domefinu ssimrebnnoskoč

nih i

ani n

ora a o

koji ma prik

kom

meniše svo

malnno sti. čnoi im

na

bitodr

pru

kaz

m d

nuka

je nu

daPre

og ompu

nor

ti peđirikazavano

do

odao v

kravrij jedemaodzulsn

rma

pažlivanazujvisno na

om

drevrijeajnjjedndin

ašenjzivanih

aliz

ljivonje ju nosa Sl

men

đujemeje nos

ničnje γa. Nod

zova

o ored

slabsti lici

nu

ju e pvrist),

ni oγ jeNa dziv

ano

odabda bljeod 2.1

preotrijed

doodske raslik

va n

om

abrafilt

enjared

13.

elazrebndnook kočazlikamnek

an, tra a i da

zni no sti se čni ka

ma kih

Sl

S

lika

Slik a 2.

S

ka 2

16

Slika

2.15

Jere

a 2.

M

5 J

edinda

.17

eto

Jedi

ničn2,4

Je

odi a

inič

ni o4,6 i

edin

apro

čni

odski 8.

ničn

2 4

2

2 4

oks

od

koč

ni o

4 6

4

4 6

sima

sko

čni

ods

8

6

8

acij

očn

od

skoč

8

e a

ni od

ziv

čni

mp

dziv

vi Č

od

plitu

vi B

ebi

dziv

dni

Bate

išev

vi B

h i

erv

vljev

Bese

faz

vort

vih

elov

nih

tovi

filt

vih

ka

ih f

tara

filt

rak

filta

a sa

tara

teri

ara

a 3

a red

istik

red

dB

da

ka a

da 2

sla

2,4

ana

2,4,6

ablj

4,6 i

log

6 i

enj

i 8.

nih

8.

em

filta

45

m

ara

GLLAVA

46

A 2

6

S

Sli

Slik

ika

ka 2

S

2.1

2.19

Slik

18

9 Ire

ka 2

Im

Impeda

2.20

2

2

2

mpu

pulsa 2,4

0 I

4 6

4

64

ulsn

sni 4,6

Imp

6 8

64

86

ni o

odz i 8

puls

86

odzi

zivi8.

sni

ivi B

i Če

odz

Bat

ebi

zivi

terv

šev

i Be

vort

vljev

ese

tov

vih

lov

vih f

filt

vih

filta

tara

filta

ara

a sa

ara

red

a 3 d

red

da 2

dB

da 2

2,4,

sla

2,4,

,6 i

ablje

,6 i

8.

enje

8.

emm


47

2.6 Uporedne karakteristike analognih filtara

Za datu specifikaciju amplitudne karakteristike, red eliptičkog je manji nego red Čebiševljevog filtra, dok je Batervortov filtar najvećeg reda. Osnovni razlog za ove razlike leži u distribuciji greške aproksimacije i konačnim nulama transmisije, zbog kojih eliptički filtri imaju vrlo strmu karakteristiku u prelaznom opsegu. Uporedne amplitudne karakteristike filtara istog reda prikazane su na Slici 2.21, za red filtra pet, maksimalno dozvoljeno slabljenje u PO od 3 dB i minimalno potrebno slabljenje u NPO od 30 dB. Prelazni opseg je najširi kod Batervortovog filtra, nešto uži kod Čebiševljevog, dok eliptički filtri imaju najstrmiju amplitudnu karakteristiku u prelaznom opsegu. Najzahtjevniji parametar pri specifikaciji filtara je širina prelaznog opsega. Na primjer, pri projektovanju NP filtra sa maksimalnim dozvoljenim slabljenjem u PO od 0.5 dB i minimalnim propisanim slabljenjem od 23 dB u NPO, pri

1.6sω = , potreban je Batervortov filtar osmog reda, Čebiševljev petog i eliptički filtar trećeg reda. Za iste specifikacije slabljenja, ali sa 1.1sω = umjesto

1.6sω = , potreban je Batervortov filtar trideset i devetog reda, Čebiševljev filtar desetog reda i eliptički filtar petog reda. Manji uticaj na red filtra imaju propisana slabljenja, tako da se pri 1.1sω = , ali uz dozvoljeno slabljenje u PO od 3 dB i minimalno potrebno slabljenje od 30 dB u NPO, dobije da su potrebni Batervortov filtar trideset i sedmog reda, Čebiševljevi filtri desetog reda i eliptički petog reda, čije su karakteristike prikazane na Slici 2.22.

Sljedeće što nas zanima kad poredimo filtre je fazna karakteristika, odnosno grupno kašnjenje. Za isti red filtra, Čebiševljevi i eliptički filtri imaju nelinearnije fazne karakteristike i krive grupnog kašnjenja sa izraženijim vrhovima od Batervortovih filtara. Na Slici 2.23 prikazane su fazne karakteristike Batervortovog, Čebiševljevog, inverznog Čebiševljevog i eliptičkog filtra petog reda. Međutim, ovakav način poređenja nije u potpunosti korektan, već je bolje porediti filtre koji zadovoljavaju iste zahtjeve, umjesto filtara istog reda. Na Slici 2.24 prikazane su fazne karakteristike za Batervortov filtar trideset i sedmog reda, Čebiševljev filtar desetog reda, inverzni Čebiševljev filtar desetog reda i eliptički filtar petog reda čije amplitudne karakteristike zadovoljavaju sljedeće zahtjeve: 1kHzpF = , 1.1kHzsF = ,

3dBpR = i 30dBsR = . Primjetno je da u najvećem dijelu propusnog opsega

eliptički i inverzni Čebiševljev filtar imaju manji nagib fazne karakteristike, a time i manje grupno kašnjenje.

GLLAVA

48

Sli

Sli

A 2

8

ika

ika

2.2

2.2

21

22

20

Am(ppe

Am(crČere

pR

20

0log

mpplavetog

mprnoebišda

p =

0log

g H

plituvo),g re

plituo), Čšev(ze

3d

g H

(H F

udn inveda

udnČeb

vljevlen

dB i

(F

) [dF

ne kvera.

ne kbiševogno)

i sR

) [d

]dB

karazno

karaevljeg filkoj

s =

]dB

akteog Č

akteevotra i is

30d

eristČeb

eristog fdespun

dB

tikebiše

tikefiltrsetonjav

.

e Bevlj

e Bra dog rvaju

ateevo

atedeseredu za

rvoog (

rvoetogda (aht

orto(crv

ortog recrvtjev

ovoven

ovoeda venove: F

og (cno)

og fi(pl

o), i

pF

crni el

filtralavoi eli

1=

no), lipti

a tro), iptikH

Čeičko

rideinvičkoz ,

ebišog

esetverzog

sF

ševl(ze

t i sznofiltr

1=

ljevlen

edmog ra p.1k

F

vog no)

mog

petoHz

[F

[HzF

filtr

g re

og ,

Hz]

z]

ra

eda

]

a

Sl

Sl

lika

lika

a 2.

a 2.

23

24

ar

ar

Finre

F(cČre

R

rgH

rgH

M

aznnvereda

azncrnoČebieda

pR =

(H F

(H F

eto

ne krzn.

ne ko), išev(ze

3d=

)[rF

)[rF

odi a

karanog

karaČebvljevelen

dB

]rad

]rad

apro

akteČe

aktebiševogno)

i R

]

oks

erisebiš

erisevljg filko

sR =

sima

stikševl

stikjevoltra

oji is

30=

acij

ke Bljev

ke Bog a despu

0dB

e a

Batevog

Batefiltr

esetunja

B .

mp

ervo(cr

ervora dtogavaj

plitu

ortorven

ortodesred

ju z

dni

ovono)

ovoetoda (zah

h i

og ( i e

og fog r(crvtjev

faz

(crnelipt

filtrredavenve:

nih

no),tičk

ra tra (pno),

pF

ka

, Čekog

rideplav

i e1=

rak

ebig (ze

esetvo),lipt

1kH

teri

ševelen

t i s invtičk

Hz ,

istik

vljevno)

sedverkog

sF

ka a

vog filt

moznofilt

1=

ana

g (ptra

og rog tra 1.1k

[F

[F

log

plavpet

reda

petkHz

]Hz

[Hz

nih

vo), tog

a

tog z ,

]

]z

filta

49

g

ara

GLLAVA

50

Sli

Sli

jedElizrBa

A 2

0

ika

ika

Udinliptrežater

2.2

2.2

porničntičkenirvo

25

26

rednih ki i je

orto

Je(pl

Imeli

dne odsČeos

ovi f

dinavo

mpuipti

karsko

ebišcilafiltr

nično), e

ulsnčko

rakočniševlacijeri.

ni oelip

ni oog (

kteriih iljeve i

dskptič

odzi(zel

istiki im

vi fii d

kočkog

ivi Bleno

ke mpuiltriduž

ni og (z

Bato) i

filtulsni, čiže

odzzele

tervi Be

taranih iji stra

zivi eno)

vortesel

a u od

se pajan

Ba) i B

tovlov

vredzivpol

nje

aterBes

vogog

emeva nlovi

pr

rvorselo

(cr(crv

ensna Si narela

rtovovo

rno)ven

komSlicalazzno

vogog (c

), Čno)

m dci 2ze bog

g (ccrv

Čebfilt

dom.25bližpr

crnoveno

biševtra

men i Sže iroce

o), o) f

vljetreć

nu Slicimaesa

Čebfiltr

evoćeg

prici 2agin

n

bišera tr

og (pg red

ikaz.26

narnnego

evljreće

plavda.

zan, renoj o B

jevoeg r

vo)

e sesp

osBes

og red

),

u pektsi, iselo

da.

prektivnimaovi

ko no. aju

i


51

2.7 Frekvencijske transformacije

Iz NP prototipa mogu se izvesti funkcije prenosa ostalih tipova filtara. Označimo sa:

s jσ ω= + (2.134)

normalizovanu kompleksnu učestanost NP filtra tako da je 1ω = granica propusnog opsega, zatim sa:

s jσ ω= + (2.135)

normalizovanu kompleksnu učestanost željenog filtra i sa Ω nenormalizovanu frekvenciju.

Ideja se sastoji u određivanju funkcije preslikavanja:

( )s F s= , (2.136)

koja će transformisati propusne i nepropusne opsege željenog filtra u propusni, odnosno nepropusni opseg NP filtra. Ako u funkciji prenosa NP filtra kompleksnu učestanost s zamijenimo sa ( )F s , dobićemo funkciju prenosa željenog filtra.

Kako je funkcija prenosa željenog filtra realna racionalna funkcija, slijedi da funkcija preslikavanja ( )F s mora biti neparna realna racionalna funkcija takva da je:

( ) ( )s j F j jfω ω ω= = = . (2.137)

Frekvencijska transformaciona funkcija:

( )fω ω= (2.138)

se bira tako da sve propusne opsege željenog filtra transformiše u propusni opseg NP filtra 1ω ≤ , a sve nepropusne opsege željenog filtra u nepropusni

opseg NP filtra 1ω > . Zbog jednoznačnosti preslikavanja, frekvencijska

transformaciona funkcija je monotono rastuća, te ( )f ω ima jednostruke

GLLAVA

52

nu

nefreda

A 2

2

ule

eproekvate

aωopuvencsa:

ia u

usncijs

ω =

Sl

u sv

nomske

f=

lika

vak

m otra

(f ω

s =

a 2.2

kom

opsansf

)ω =

F=

27

m p

seguform

K=

(F s

Pr

prop

u, mac

( 2ω

) =

rim

pus

kacion

2ω −

(K

mjer

sno

ko ne

1

2aω

( 2s

fre

m

jefun

)((ω

ω

(sω+

ekve

op

e pnkc

(2

2

ω

ω

−

)1

2

2

a

s

ω

+

enc

seg

prikcije

aω

ω

−

−

( 2s

ω+

cijsk

gu i

kaza(f

))

2

1

2

2

a

b

ω

ω

)1

2

2b

ω

ω

+

ke t

i je

ano( )ω

() (

(2

2aω

tran

edn

o n) i

(2

2

ω

ω

)2s +

nsfo

ost

na fun

2

ω

ω

−

−

( 2s

ω+

orm

truk

Slnkci

)1

2

2

m

a

b

ω

ω

)2

2

mb

ω

ω

+

mac

ke p

liciije

()

2ω

2

naω

cion

pol

2.pre

2ω −

).

ne f

love

.27eslik

2

naω

funk

e ω. Okav

),

kcij

ibωOpvanj

je.

u

šte ja F

sva

fo(F s

(2

(2

ako

form)s

2.13

2.14

om

me su

39)

40)

T

o

ωfi

ωsabtr

F

se

Tran

Upse

pω =

iltra

ω >a (2eskrans

Funk

e fu

nsf

Učeeg

1=

a ω1> .

2.13konsfo

kcij

unk

form

stan

pΩ

. P

ω ≤

Pr

39)načnrm

jom

kcija

Sli

mac

nos

p , t

rop

1≤ ,

ri to

. Onosacio

m pr

a pr

ika

M

cija

sti Vtako

pusn

a n

om

Oveti, ona

resl

ren

2.2

eto

a n

VPo d

ni o

nep

me f

zauz

a fu

lika

nosa

28

odi a

isk

P filda j

ops

rop

frek

ahtjf

unk

avan

a N

Tru psu

apro

kopr

ltra e n

seg

pus

kven

eve( )1f

kcija

nja

NP f

ranspro

u šra

oks

rop

se norm

VP

ni o

nijs

e će) 1=a je

:

filtr

sforopuafir

sima

pus

noma

P fi

ops

ska

e z1 , :

ra p

rmausnirani

acij

snog

ormalizo

iltra

seg

tra

adokao

prev

aciji i ni.

e a

g u

malizova

a ωVP

ansf

ovoo n

ω =

s =

vod

a pnepr

mp

u vi

zujana

ω ≥

P fil

form

oljitna

1

ω=

1

s=

di u

proprop

plitu

isok

u sgra

1≥

ltra

mac

ti fuSli

ω.

fun

puspusn

dni

kop

sa ganič

treb

a ωcio

unkci

nkc

snogni o

h i

prop

grančna

ba

ω <

na

kcija2.2

ciju

g i ops

faz

pus

nična uč

pre

1< u

fun

a k28.

pr

nepseg

nih

sni

nomčes

eslik

u n

nkc

kojaPr

eno

proNP

ka

fil

m utan

kati

epr

cija

a imrem

osa

opuP fil

rak

ltar

učesnost

i u

rop

tre

ma ma t

VP

snoltra

teri

r

stant pr

pro

usn

eba

poltom

P fil

og oa. P

istik

nošrop

opu

ni o

da

l ωme,

iltra

opsrop

ka a

šću pusn

usn

opse

a im

ω =fr

a.

segapusn

ana

prnog

ni op

eg N

ma o

0 rekv

a Vni o

log

opug o

pse

NP

obli

i nven

(2

(2

VP fops

nih

usnopse

eg N

P fil

ik d

nuluncijs

2.14

2.14

filtrsezi

filta

53

nog ega

NP

ltra

dat

u u ska

41)

42)

a i

ara

GLAVA 2

54

Transformacija niskopropusnog filtra u filtar propusnik opsega

Da bi propusni opseg filtra PO l uω ω ω≤ ≤ preslikala u propusni opseg NP

filtra 1ω ≤ , a nepropusne opsege filtra PO lω ω< i uω ω> u nepropusni

opseg NP filtra 1ω > i pri tome zadovoljila opštu formu datu sa (2.139),

frekvencijska transformaciona funkcija treba da ima oblik kao na Slici 2.29, tj. da bude monotono rastuća sa nulom u 1ω = i polovima u nuli i

beskonačnosti:

2 1

Kωω

ω−= . (2.143)

Granične učestanosti propusnog opsega lω i uω se preslikavaju u 1± . Stoga

rješavanjem jednačine 2 11 1 0

Kω ω ω= ± − = dobijamo 1

u l Kω ω −− = i

1l uω ω = . Dakle, normalizujuća učestanost 0Ω treba da bude geometrijska

sredina graničnih učestanosti 0 l uΩ = Ω Ω , dok je parametar K zapravo faktor kvaliteta:

0 01

u l u l

K QBω ω

Ω Ω= = = =− Ω − Ω

, (2.144)

gdje je:

u lB = Ω − Ω (2.145)

širina propusnog opsega.

Dakle, funkcija preslikavanja kojom se funkcija prenosa NP filtra prevodi u funkciju prenosa filtra PO je data sa:

2 2

0 1 1s ss Q

B s s

Ω + += = . (2.146)

fiši

T

nnpfup

trp

Tiltroirin

Tran

Fepra frevunkren

Fransrop

Trebom ne o

nsf

Frekropfiltavodikcijinosa

Freksfopusn

Sli

ba PO

oba

form

kvenpusnar Pi fui pa fil

kvenrmna

ika

naO, pre

mac

ncinogPOunkpresltra

nciaciji ob

M

2.2

apomko

elaz

cija

ijskag op do

kcijuslikaa PO

ijskajomba p

eto

29

med kzna

a n

a trpseobiu pavaO:

a tm sepre

odi a

Trpršra

nutkoga op

isk

ranega.ili fprenanja

rane doelaz

apro

ransopuafir

ti dga opseg

kopr

sfo Tofiltanosa k

nsfoobina

oks

sforusnani

da obaga s

rop

rmo zar Na N

koja

s =

ormije sop

sima

rmani i ni.

ova nsu p

pus

acioznačNPNP a p

1

Q=

macisimseg

acij

acijnep

va neprpod

snog

onači d

PO. filt

prev

2Q s

ionmetriga.

e a

a pprop

traropdjed

g fi

a fuda b

Sttra

vod

1

s

+

na fičn

mp

proppus

ansfpusndna

filtr

unkbi ptogau f

di f

1=

funkni fil

plitu

pussni

formna ake.

ra u

kcijaprima jefunfunk

0

B

Ω

kcijltar

dni

snogop

maop

u fil

a (2mjee ž

nkcikcij

2

s

s

ja jr N

h i

g i seg

cijaseg

ltar

2.14enoželjeiju ju

1

s

+

je pPO

faz

nepg N

a uga i

r n

41) om enaprepre

.

prikO sa

nih

proP f

uvijima

epr

mifun

a fuenoeno

kaza jed

ka

opufiltr

ek aju

rop

ijennkcunkosa osa

anadna

rak

sniha. P

repo

pusn

nja pcijekcija

filtN

a nakim

teri

h oPro

zulojed

nik

pozpre

a ptra P

na Sm o

istik

opseopu

ltujdnak

k op

zicijesli

presNPfilt

Slicoso

ka a

ega sni

e sko

pseg

je pikavslikaPO tra

ci 2bin

ana

filtop

simsla

ga

propvnjaavareu

2.30nam

log

tra psez

metrablje

pusa (2anjacipfun

(2

0. Oma

nih

POzi su

ričnenj

sno2.14a koročnkc

2.14

Ovou o

filta

55

O u u

nim e i

og i 42) oja čna ciju

47)

om oba

ara

GLLAVA

56

A 2

6

Slikka 22.300 TTrau psu

ansfpropšra

forpusfira

masni iani.

acijai ne

a prepr

ropopu

pusnusn

nih ni o

i npse

nepreg N

ropNP

pusnfilt

nogtra.

g opPr

pseropu

ga usn

filtrni o

ra Npse

NPezi

PO

05 glava 2 metodi aproksimacije amplitudnih i …dsp.etfbl.net/filtri/af/05 glava 2 metodi...

Documents