Glava 2
METODI APROKSIMACIJE
AMPLITUDNIH I FAZNIH
KARAKTERISTIKA ANALOGNIH FILTARA
Projektovanje filtara, pojam pod kojim podrazumijevamo određivanje funkcije prenosa sistema sa željenim karakteristikama, oslikava našu potrebu za idealnim filtrom, koji bi trebao da bez slabljenja propušta signale iz propusnog opsega, dok bi signali iz nepropusnom opsega trebali biti beskonačno oslabljeni, tako da njihova amplituda na izlazu filtra bude jednaka nuli. Takođe je poželjno postići da signali čije se sve frekvencijske komponente nalaze u propusnom opsegu prođu kroz filtar bez izobličenja. Međutim, funkcije prenosa sistema kojima realizujemo filtre su realne racionalne funkcije kompleksne učestanosti, sa konačnim brojem nula i polova. Prilikom projektovanja filtara realizibilnih ovom klasom funkcija prenosa, idealne karakteristike filtara nije moguće postići, već se one mogu samo aproksimirati. Stoga i specifikacije filtara moraju uzeti u obzir ove neidealnosti, te se u njima navode granične učestanosti propusnih i nepropusnih opsega, maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom i minimalno potrebno slabljenje u nepropusnom opsegu. Prilikom projektovanja, prvo se aproksimacionim metodima postiže željena amplitudna karakteristika, a zatim se fazna karakteristiku koriguje ekvalizatorima faze.
GLAVA 2
8
2.1 Funkcije prenosa analognih filtara
Podsjetimo se da je funkcija prenosa linearnih, vremenski invarijantnih sistema, iskazana kao količnik Laplasove transformacije odziva ( )Y s i Laplasove
transformacije eksitacije ( )X s pri nultim početnim uslovima, zapravo količnik
dva polinoma ( )N s i ( )D s sa realnim koeficijentima:
( ) ( )( )
( )( )
11 0
11 0
m mm mn n
n
Y s N sb s b s bH s
X s s a s a D s
−−
−−
+ + += = =
+ + +
, (2.1)
tzv. realna racionalna funkcija. Nakon faktorizacije polinoma u brojniku i nazivniku, funkcija prenosa se može zapisati u obliku:
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 2
1 2
m
n
Y s s z s z s zH s K
X s s p s p s p
− − −= =
− − −
. (2.2)
Budući da su koeficijenti funkcije ( )H s realni, njene nule i polovi dolaze u konjugovano kompleksnim parovima. Na Slici 2.1 je prikazan jedan mogući raspored nula i polova funkcije prenosa u kompleksnoj s ravni.
σ
jΩ-ravans
×
×
×
×
×
Slika 2.1 Mogući raspored nula i polova funkcije prenosa
u kompleksnoj s ravni.
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
9
Korijeni polinoma ( )D s su polovi funkcije prenosa ( )H s . Gledano u kompleksnoj s ravni, za stabilne sisteme vrijedi da se polovi funkcije prenosa nalaze u lijevoj poluravni, a karakteristični polinom ( )D s mora biti Hurvicov (Hurwitz) polinom, tj. imati sve koeficijente realne i pozitivne, a korijene u lijevoj poluravni.
Ako svi korijeni polinoma ( )N s leže na imaginarnoj osi ili u lijevoj
poluravni kompleksne s ravni, funkcija prenosa ( )H s se naziva minimalno fazna funkcija. Korijeni polinoma ( )N s su nule funkcije prenosa ( )H s .
Sa stanovišta amplitudne karakteristike nevažno je da li funkcija prenosa ima nule koje leže u lijevoj ili u desnoj poluravni, pod uslovom da su raspoređene na isti način. Pod tim podrazumijevamo da nule iz jedne poluravni predstavljaju sliku u ogledalu nula iz druge poluravni, tj. da su osno simetrične u odnosu na imaginarnu osu. Ipak treba voditi računa o tome da filtar sa funkcijom prenosa koja ima nule u lijevoj poluravni ima manju fazu, što u praktičnim realizacijama znači manje kašnjenje signala.
Primjer 2.1:
Odrediti amplitudne i fazne karakteristike filtara čije su funkcije prenosa
( )1
s zH s
s p
+=+
i ( )2
s zH s
s p
−=+
, gdje su z i p realne i pozitivne konstante.
Rješenje: Oba zadata sistema imaju istu amplitudnu karakteristiku:
( ) ( )2 2
1 2 2 2
zH H
p
Ω +Ω = Ω =Ω +
, (2.3)
ali su im fazne karakteristike različite:
( )1argH arctg arctgz p
Ω ΩΩ = − , (2.4)
GLAVA 2
10
( )2argH arctg arctgz p
π Ω ΩΩ = − − . (2.5)
Kako je:
2
arctgz
πΩ ≤ , (2.6)
slijedi:
( ) ( )2 1arg arg 2 0H H arctgz
π ΩΩ − Ω = − ≥ . (2.7)
Dakle, sistem sa funkcijom prenosa koja ima nulu u desnoj poluravni ima veću fazu. Razmatranje se lako proširi na sisteme sa više nula funkcije prenosa.
Da bi se olakšalo projektovanje filtara, vrši se normalizacija kompleksne učestanosti dijeljenjem sa pogodno odabranom normalizujućom učestanošću 0Ω , koja je najčešće jednaka graničnoj učestanosti propusnog opsega:
0
n
ss =
Ω. (2.8)
Analogno vrijedi za kružnu učestanost. Normalizovanu kružnu učestanost ćemo označavati malim slovom ω , tako da je:
0
ω Ω=Ω
. (2.9)
Radi jednostavnijeg postupka realizacije filtara vrši se i normalizacija impedanse dijeljenjem svih impedansi proizvoljno odabranom otpornošću 0R , čime se dobijaju normalizovane vrijednosti elemenata:
0
n
RR
R= , (2.10)
0
0nL L
R
Ω= , (2.11)
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
11
0 0nC C R= Ω . (2.12)
NP filtar kod koga je izvršena normalizacija učestanosti i normalizacija impedansi zvaćemo NP prototip.
2.2 Specifikacija amplitudne i fazne karakteristike
Zahtjevi koje treba da zadovolji filtar se obično zadaju u ustaljenom stanju, funkcijom prenosa:
( ) ( ) ( )izl ul s jH s V s V s
= Ω= , (2.13)
gdje je sa ( )ulV s označena Laplasova transformacija ulaznog, a sa ( )izlV s izlaznog napona na pristupnim krajevima filtra. Modul ove funkcije prenosa na imaginarnoj osi:
( ) ( )s j
H H s= Ω
Ω = (2.14)
je amplitudna karakteristika filtra, dok je njen argument na imaginarnoj osi:
( ) ( )( )args j
H sϕ= Ω
Ω = (2.15)
fazna karakteristika filtra.
Za određivanje funkcije prenosa filtra neophodno je postaviti zahtjeve koje filtar treba da zadovolji u pogledu amplitudne i fazne karakteristike. Uobičajeno je zahtjeve za amplitudnu karakteristiku izražavati u decibelima:
( ) ( ) ( ) [ ]20log dBM R HΩ = − Ω = Ω , (2.16)
gdje se sa ( )M Ω označava kriva pojačanja (magnituda), a sa ( )R Ω kriva slabljenja filtra. Za konkretnu učestanost govorimo o pojačanju, odnosno slabljenju filtra na toj učestanosti.
Zahtjevima u pogledu amplitudne karakteristike se zadaju granične frekvencije propusnih i nepropusnih opsega, pojačanje jednosmjerne
GLAVA 2
12
komponente, dozvoljena odstupanja slabljenja u propusnim opsezima i neophodna slabljenja u nepropusnim opsezima. Na Slici 2.2 prikazan je način specificiranja amplitudne karakteristike za različite tipove filtara. Ovdje su sa PO označeni propusni, sa NPO nepropusni, a sa TO prelazni opsezi. Kružne učestanosti pΩ , pnΩ i pvΩ su granične učestanosti propusnih, sΩ , snΩ i svΩ
nepropusnih opsega, dok pR , pnR , pvR označavaju slabljenja u propusnim, a
sR , snR , svR u nepropusnim opsezima.
Funkcija niskopropusnog filtra je da propusti spektralne komponente niskih frekvencija od jednosmjernog signala do željene granične frekvencije i da oslabi visokofrekvencijske komponente signala. Ovaj filtar se specificira graničnom učestanošću pΩ propusnog, graničnom učestanošću sΩ nepropusnog opsega,
pojačanjem jednosmjerne komponente, te slabljenjima u propusnom i nepropusnom opsegu. Slično se specificira i visokopropusni filtar. U praksi, propusni opseg visokopropusnog filtra se ne proteže do beskonačnosti, već je ograničen parazitnim kapacitivnostima. Propusnik i nepropusnik opsega imaju po dva prelazna opsega koji ne moraju biti simetrični, ali su filtri sa simetričnim prelaznim opsezima jednostavniji za projektovanje.
U nekim aplikacijama oblik fazne karakteristike nije bitan, te je dovoljno zadovoljiti zahtjeve za magnitudu. Međutim, postoje slučajevi kada je neophodno voditi računa o obliku fazne karakteristike, te se osim zahtjeva za amplitudnu karakteristiku specificira i željena fazna karakteristika ili željeno grupno kašnjenje, koje se definiše sa:
( ) ( )d
d
ϕτ
ΩΩ = −
Ω. (2.17)
Ako sistem treba da obezbijedi idealan prenos signala bez izobličenja, onda izlaz mora da bude savršena replika ulaza, eventualno pomnožen sa nekom konstantom K i zakašnjen za neko 0τ , tj.:
( ) ( )0y t Kx t τ= − . (2.18)
Funkcija prenosa takvog sistema je:
( ) 0sH s Ke τ−= . (2.19)
Ovakav sistem ima konstantnu amplitudnu karakteristiku K , linearnu faznu karakteristiku ( ) 0ϕ τΩ = − Ω i konstantno grupno kašnjenje ( ) 0τ τΩ = .
Sl
R
N
2
lika
snR
NPO
Ω
20lo
P
20 lo
a 2.
TO
nO
snΩ
og H
pR
PO
og H
2
nO
PO
pnΩ
(H Ω
T
(H Ω
Ω
Sp(b)
pR
T
O
n pΩ
)Ω
Ω
TO
)Ω
pΩ
M
ecif VP
vTO
Ωpv
sΩ
eto
(a
(c
fikaP fi
svΩ
R
odi a
a)
c)
acijiltar
svR
N
sR
N
apro
e amr; (c
NPO
NPO
oks
mpc) f
vO
sima
plitufilta
Ω
Ω
acij
udnar P
Ω
Ω
e a
nih kPO
mp
kari (d
plitu
raktd) fi
dni
terifiltar
2
20
h i
stikr N
NP
20log
R
nPO
0log
faz
ka fNPO
sR
PO
g H
pnR
TO
n
pnΩ
g H
nih
filtaO.
Ω
( )H Ω
nO
NP
snΩn
( )Ω
ka
ara:
TO
sΩ
)
sR
TO
PO
n sΩ
rak
(a)
O
pΩ
vO
pΩsv
teri
(b)
(d)
NP
R
pv
istik
)
)
P fi
pR
PO
pvR
PO
ka a
filta
p
O
vO
ana
r;
log
Ω
Ω
nih
Ω
Ω
filta
13
ara
GLAVA 2
14
U slučaju kada je fazna karakteristika linearna:
( ) 0ϕ τΩ = − Ω , (2.20)
ako pretpostavimo da je signal na ulazu filtra prostoperiodična funkcija:
( ) 0cosx t t= Ω , (2.21)
signal na izlazu će biti:
( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0cos cos cosx t t t tϕ τ τ= Ω + Ω = Ω − Ω = Ω − . (2.22)
U ovom slučaju, kašnjenje signala u vremenu 0τ pri prolasku kroz filtar jednako je grupnom kašnjenju za tu učestanost:
( )0
0 0
d
d
ϕτ τΩ=Ω
Ω = − =Ω
. (2.23)
Grupno kašnjenje u ovom slučaju ne zavisi od učestanosti, što znači da sve frekvencijske komponente signala podjednako kasne pri prolasku kroz filtar.
Posmatrajmo sada filtar sa amplitudnom karakteristikom koja je jednaka jedinici i proizvoljnim oblikom fazne karakteristike. Amplitude pojedinačnih frekvencijskih komponenti se neće promijeniti prolaskom signala kroz ovakav filtar. Međutim, ako je fazna karakteristika nelinearna, fazno kašnjenje pojedinačnih frekvencijskih komponenti signala nije podjednako, te dolazi do promjene oblika signala.
Veza između faznog kašnjenja, tj. vremenskog pomaka pojedinačnih frekvencijskih komponenti signala na izlazu filtra u odnosu na frekvencijske komponente ulaznog signala, i grupnog kašnjenja nije jednostavna. Ona zavisi od oblika krive grupnog kašnjenja, odnosno fazne karakteristike. Na primjer, ako je u okolini posmatrane učestanosti grupno kašnjenje približno linearno, što znači da se fazna karakteristika u okolini te učestanosti može približno opisati kvadratnom zavisnošću:
( ) ( ) 20 0ϕ τΩ = − Ω Ω , (2.24)
približno fazno kašnjenje ove frekvencijske komponente signala se može odrediti iz:
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
15
( ) ( )( ) ( )200 0 0 0 0 0
0
cos cos cosx t t t tτϕ τ
= Ω + Ω = Ω − Ω = Ω − Ω
(2.25)
i iznosi 0τ . Za faznu karakteristiku kvadratnog oblika grupno kašnjenje očitano na mjestu odgovarajuće frekvencijske komponente signala približno je dva puta veće od njegovog faznog kašnjenja:
( )0
00 0 0
0
2 2d
d
τϕτ τΩ=Ω
Ω = − = ⋅ Ω =Ω Ω
. (2.26)
Što je nelinearnost fazne karakteristike više izražena, to je teže na ovaj način uspostaviti vezu između faznog i grupnog kašnjenja, te ćemo objašnjenje fizičkog značenja pojma grupnog kašnjenja potkrijepiti rezultatima simulacije.
U fizičkom smislu se grupno kašnjenje može posmatrati kao kašnjenje sporopromjenljive anvelope signala koji se sastoji od frekvencijskih komponenti iz uskog frekvencijskog opsega. Kašnjenje anvelope signala približno je jednako grupnom kašnjenju očitanom na frekvenciji one komponente signala koja se nalazi u sredini posmatranog frekvencijskog opsega.
Kako bismo ilustrovali značenje grupnog kašnjenja kao kašnjenja anvelope signala, posmatrajmo filtar sa faznom karakteristikom i grupnim kašnjenjem prikazanim na Slici 2.3. Dovedimo na ulaz filtra složenoperiodičan signal koji se sastoji od dvije komponente učestanosti 430Hzf = i 470Hzf = iz opsega gdje je fazna karakteristika nelinearna i gdje karakteristika grupnog kašnjenja ima izražene vrhove. Frekvencija anvelope ovog složenoperiodičnog signala iznosi 20Hzf = :
( ) ( )1 2 cos(2 430) 1 2 cos(2 470) cos(2 20)cos(2 450)π π π π⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ . (2.27)
Iz rezultata simulacije se može zaključiti da anvelopa složenoperiodičnog signala na izlazu kasni u odnosu na anvelopu ulaznog signala za približno 2.6ms koliko i iznosi grupno kašnjenje na učestanosti u sredini posmatranog frekvencijskog opsega, na učestanosti 450Hzf = .
GLAVA 2
16
Frequency
0Hz 200Hz 400Hz 600Hz 800HzVP(RL:2)
-200d
-100d
-0d
-270d
Phase
Frequency
0Hz 200Hz 400Hz 600Hz 800HzVG(RL:2)
0s
1.0ms
2.0ms
3.0msGroup Delay
Time
0s 20ms 40ms 60ms 80msV(V_in:+) V(RL:2)
-2.0V
0V
2.0VAmplitude
(a) (b)
(c)
Slika 2.3 (a) Fazna karakteristika; (b) grupno kašnjenje i (c) kašnjenje anvelope signala.
Prilikom projektovanja filtara sa zadatom amplitudnom i faznom karakteristikom može se desiti da sistem nije minimalno fazni, tj. da funkcija prenosa ima nule u desnoj poluravni kompleksne s ravni. Malo kasnije ćemo vidjeti da je sa stanovišta realizacije pasivnih filtara, koji se izvode u vidu ljestvičastih mreža, pogodno da nule funkcije prenosa budu na imaginarnoj osi.
Zbog toga se funkcija prenosa koja ima nule u desnoj poluravni kompleksne s ravni, tzv. neminimalno fazna funkcija prenosa ( )NH s , razdvaja na dvije funkcije prenosa i zapisuje u obliku proizvoda minimalno fazne funkcije prenosa ( )MH s i funkcije prenosa filtra svepropusnika ( )SOH s :
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
17
( ) ( ) ( )N M SOH s H s H s= ⋅ . (2.28)
Prvo se realizuje minimalno fazna funkcija prenosa ( )MH s koja ispunjava zahtjeve u pogledu amplitudne karakteristike, a zatim se željena fazna karakteristika postiže kaskadnim vezivanjem filtra svepropusnika opsega
( )SOH s . Kaskadnim vezivanjem filtra svepropusnika opsega se ne mijenja amplitudna karakteristika prvog filtra, jer je funkcija prenosa kaskadne veze jednaka proizvodu funkcija prenosa u kaskadnoj vezi, a amplitudna karakteristika filtra svepropusnika opsega je jednaka jedinici za svaku učestanost.
Razdvajanje funkcije prenosa ( )NH s projektovanog filtra na minimalno
faznu funkciju prenosa ( )MH s i funkciju prenosa filtra svepropusnika ( )SOH s se vrši na sljedeći način. Posmatrajmo prvo raspored nula i polova neminimalno fazne funkcije ( )NH s u kompleksnoj s ravni, kao na Slici 2.4. Dopunimo ovu sliku polovima i nulama u tačkama koje predstavljaju slike u ogledalu nula iz desne poluravni. Te dodatne nule i polove smo označili sa " ⊗ ". Svepropusna funkcija ( )SOH s se formira grupišući nule iz desne
poluravni u polinom u brojniku ( )SON s , a polove koji su njihova slika u
ogledalu iz lijeve poluravni u polinom u nazivniku ( )SOD s :
( ) ( )( )
SOSO
SO
N sH s
D s= . (2.29)
Minimalno fazna funkcija ( )MH s sadrži preostale polove i nule iz lijeve poluravni (uključujući imaginarnu osu).
Funkcija prenosa filtra svepropusnika ( )SOH s ima nule u desnoj poluravni i polove u lijevoj poluravni koji su slika u ogledalu nula iz desne poluravni, pa vrijedi da je:
( ) ( )SO SON s D s= ± − . (2.30)
GLAVA 2
18
σ
jΩ-ravans
⊗
⊗
⊗
×
×
×
dodatne nule
i polovi
Slika 2.4 Postupak razdvajanja neminimalno fazne funkcije prenosa na minimalno faznu funkciju prenosa i funkciju prenosa filtra svepropusnika.
Amplitudna karakteristika filtra sa ovako formiranim polinomima u brojniku u nazivniku njegove funkcije prenosa je:
( ) 1,H Ω = ∀Ω , (2.31)
te se zaista radi o filtru svepropusniku opsega sa frekvencijskom karakteristikom:
( )( )( )2 i
r
Dj arctg
DSOH e
Ω−
ΩΩ = , (2.32)
gdje je ( )rD Ω realni, a ( )iD Ω imaginarni dio polinoma ( )SOD Ω .
Dakle, na ovaj način možemo postići proizvoljnu faznu karakteristiku filtra, odnosno željeno kašnjenje, a da se pri tome ne promijeni prethodno postignuta amplitudna karakteristika. Zbog toga se filtar svepropusnik opsega naziva i ekvalizator faze ili kašnjenja.
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
19
2.3 Aproksimacija amplitudne karakteristike NP filtra
Da bi realizacija filtara bila moguća linearnim, vremenski invarijantnim električnim mrežama, čije su funkcije prenosa realne i racionalne funkcije:
( ) ( )( )
( )( )
11 0
11 0
m mm mn n
n
Y s N sb s b s bH s
X s s a s a D s
−−
−−
+ + += = =
+ + +
, (2.33)
u istom obliku treba, na osnovu postavljenih zahtjeva, odrediti i funkciju prenosa filtra. Međutim, ovakvim oblikom funkcije prenosa se ne mogu postići frekvencijske karakteristike idealnog filtra, već ih je moguće samo aproksimirati. Pri tome, kvadrat amplitudne karakteristike normalizovanog NP filtra:
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 22
2 2
PN N NH
D D ED
ωω ω ωω
ω ω ωω
−= = =
− (2.34)
u propusnom opsegu 1ω ≤ treba da aproksimira jedinicu uz maksimalno dozvoljeno slabljenje dato sa [ ]pR dB , dok u nepropusnom opsegu >1ω treba da
aproksimira nulu sa slabljenjem većim od minimalno propisanog slabljenja, datog sa [ ]sR dB . U prethodnim relacijama smo koristili oznake:
( ) ( ) ( )2P N Nω ω ω= − , (2.35)
( ) ( ) ( )2E D Dω ω ω= − . (2.36)
U daljnjem izlaganju nećemo posebno naglašavati da li se radi o normalizovanom ili nenormalizovanom filtru jer na to ukazuju same oznake koje se koriste za učestanost kao nezavisnu varijablu. Za normalizovanu kompleksnu učestanost s nećemo uvoditi posebnu oznaku, osim kada to bude neophodno, jer je skoro uvijek iz konteksta jasno da li se radi sa normalizovanim ili nenormalizovanim kompleksnim učestanostima.
Maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu dato sa [ ]pR dB
određuje dozvoljenu valovitost 2ε amplitudne karakteristike u propusnom opsegu:
GLAVA 2
20
( ) 0.12 2
2
120log 10log 1 10 1
1
pR
p pR R ε εε
= − = + = −+
. (2.37)
Slično, ako je minimalno propisano slabljenje u nepropusnom opsegu [ ]sR dB , onda je dozvoljena valovitost 2δ amplitudne karakteristike u
nepropusnom opsegu data sa:
( ) 0.12 2
2
120log 10log 1 10 1
1sR
s sR R δ δδ
= − = + = −+
. (2.38)
Na Slici 2.5 je prikazana idealna amplitudna karakteristika NP filtra i granice u kojima treba da se nađe amplitudna karakteristika dobijena aproksimacionim metodama. Funkcije prenosa drugih tipova filtara (VP filtra, filtra PO i filtra NPO) mogu se dobiti iz funkcije prenosa NP filtra frekvencijskim transformacijama, o kojima će više riječi biti u daljnjem tekstu.
Definišimo karakterističnu funkciju ( )K s kao realnu racionalnu funkciju, takvu da je:
( )( )
2
2
1
1H
Kω
ω=
+. (2.39)
Za karakterističnu funkciju ( )K s vrijedi da je:
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
2 2 2
2 22 2 2
11 ˆ
D N FK
H N N
ω ω ωω ε
ω ω ω
−= − = = . (2.40)
Dakle, karakteristična funkcija ( )K s se definiše tako da ( ) 2K ω
aproksimira nulu u propusnom opsegu, uz dozvoljenu valovitost datu sa 2ε , te
da bude veće od minimalnog propisanog slabljenja u nepropusnom opsegu datog sa 2 ,δ kao na Slici 2.6.
Opšti problem aproksimacije funkcije prenosa NP filtra se svodi na pronalaženje racionalne karakteristične funkcije:
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
21
(a) (b)
Slika 2.5 (a) Amplitudna karakteristika idealnog NP filtra i (b) granice u kojima treba da se nađe amplitudna karakteristika realnog NP filtra.
Slika 2.6 Izgled karakteristične funkcije na imaginarnoj osi.
( )H ω ( )H ω
1 1
2
1
1 ε+
2
1
1 δ+1 ωω
sω1
NPOPO
1rω 2rω 3rω 1zω 2zω ω
( ) 2K ω
2ε
2δ
GLAVA 2
22
( ) ( )( )
F sK s
N sε= , (2.41)
takve da:
1. ( )F s ima korijene na jω osi u propusnom opsegu,
2. ( )N s ima korijene na jω osi u nepropusnom opsegu,
3. ( ) 2 2 , 1K ω ε ω≤ ≤ ,
4. ( ) 2 2 , sK ω δ ω ω≥ ≥ .
Nule polinoma ( )F s su nule refleksije ir
ω , tako da za signale tih učestanosti
imamo idealnu transmisiju signala ( ) 1ir
H ω = . Nule polinoma ( )N s su nule
transmisije, označene sa iz
ω . Signali tih učestanosti uopšte ne prolaze kroz filtar,
jer je ( ) 0iz
H ω = .
Iz Furijeove analize znamo da je amplitudna karakteristika sistema sa realnim impulsnim odzivom parna funkcija učestanosti. Nakon određivanja
kvadrata amplitudne karakteristike ( ) 2H ω u obliku (2.34), kao količnik dva
parna polinoma ( )2P ω i ( )2E ω , te zamjene 2ω sa 2s− , polinome ( )2P s− i
( )2E s− treba faktorizovati, odnosno napisati u obliku:
( ) ( ) ( )2P s N s N s− = − , (2.42)
( ) ( ) ( )2E s D s D s− = − , (2.43)
kako bismo mogli odrediti racionalnu funkciju ( ) ( ) ( )H s N s D s= .
Pri određivanju polinoma ( )D s iz (2.43), koristimo činjenicu da polinom
( )2E s− , da bi bio paran, mora imati korijene simetrične u odnosu na ishodište.
Budući da ( )D s mora biti Hurvicov polinom, on treba da sadrži sve korijene
od ( )2E s− iz lijeve poluravni kompleksne s ravni. Polinom ( )N s je
eksplicitno određen izborom nula transmisije na jω osi u nepropusnom opsegu:
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
23
( ) ( )2 2 i
i
m
zi
N s k s ω= +∏ , (2.44)
gdje je k konstanta, dok su iz
ω nule transmisije reda im . Ako je 0,im i= ∀ ,
onda filtar nema konačnih nula transmisije, tako da je ( )N s k= i
( ) ( )H s k D s= .
Koeficijenti funkcije prenosa u (2.33) se mogu odrediti na osnovu položaja nula i polova funkcije prenosa u kompleksnoj s ravni. Ovi koeficijenti su se ranije zadavali tabelarno (najčešće do reda 10), dok se u novije vrijeme za njihovo određivanje koriste softverski paketi, kao što je npr. MATLAB.
Stepen n u funkciji prenosa filtra (2.33) nazivamo red filtra. Red filtra se bira u zavisnosti od toga kojom brzinom treba da raste slabljenje na visokim frekvencijama. Amplitudna karakteristika filtra na visokim frekvencijama teži nuli sa faktorom 1 n mω − , a slabljenje raste sa ( )20 n m− dB/dekadi:
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
1 120log 10 20log 20log 20log
10
20log 10 20log 20log10 20 .
n m n m
n m n m n m
H H
n m
ω ωωω
ω ω
− −
− − −
− − − ≈ − − − =
= − = = −
(2.45)
2.3.1 Batervortovi filtri
Niskopropusni Batervortovi (Stephen Butterworth, 1885–1958) filtri imaju maksimalno ravnu amplitudnu karakteristiku u propusnom opsegu, što znači da je ona jednaka jedinici za 0ω = (idealna transmisija jednosmjerne komponente signala), i da su sve moguće derivacije greške transmisije, koja se definiše sa:
( ) ( ) ( )( )
2
222
11
KH
K
ωω ω
ωΔ = − =
+, (2.46)
jednake nuli za 0ω = , tj.:
( )0 0K = , (2.47)
GLAVA 2
24
( )
( )( )
2
22
0
0, 1,2,3,1
i
i
Kdi
Kdω
ω
ωω=
= = +
(2.48)
Budući da je ( ) 2K ω količnik dva polinoma po 2ω , tj.:
( ) ( ) ( )2 4 2
2 0 1 2n
na a a aK
N N
ω ω ωωω ω
+ + + +=−
, (2.49)
kako bismo zadovoljili navedene uslove mora biti 0ia = , 0,1, , 1i n= − , odnosno sve nule refleksije moraju biti u ishodištu, tako da je:
( )( )
( )( )
2
2
2 2 2
1
1 nn
NH
K N a
ωω
ω ω ω= =
+ +. (2.50)
Stepen n polinoma u nazivniku mora biti bar za jedan veći od stepena m polinoma u brojniku da bi transmisija bila jednaka nuli kada s→ ∞ . Dakle, za proizvoljan polinom ( )N s , odnosno za proizvoljan set nula transmisije, možemo konstruisati NP funkciju prenosa sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom u propusnom opsegu.
Parametar na se određuje na osnovu maksimalnog dozvoljenog slabljenja u propusnom opsegu. Iz postavljenih zahtjeva da slabljenje monotono raste sa učestanošću, a da ne smije biti veće od maksimalno dozvoljenog slabljenja u propusnom opsegu datog preko valovitosti
2ε , za kvadrat amplitudne karakteristike na granici propusnog opsega vrijedi:
( ) 2
2
11
1H
ε=
+. (2.51)
Poredeći ovaj izraz sa vrijednošću kvadrata amplitudne karakteristike na granici propusnog opsega:
( )
( )
( )
( )
2 2
2
22
1 11
111
nnn
H Haa
NN
ωωω
= =++
, (2.52)
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
25
za NP filtar sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom dobijamo valovitost u propusnom opsegu:
( )
0.122
10 11
pRna
Nε = = − , (2.53)
što nam omogućava da odredimo koeficijent na na osnovu date vrijednosti
slabljenja pR , ako smo prethodno odredili polinom nula transmisije ( )N s .
Veoma važan specijalni slučaj NP funkcije prenosa sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom je funkcija prenosa bez konačnih nula transmisije, sa ( ) 1N s = :
( ) 2
2 2
1
1 nH ω
ε ω=
+. (2.54)
Amplitudne karakteristike normalizovanih NP filtara sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom i bez konačnih nula transmisije za
2, 3, 4n = su prikazane na Slici 2.7.
Za ovaj slučaj, kad slabljenje monotono opada sa porastom učestanosti, red filtra n se određuje iz uslova da slabljenje na graničnoj učestanosti nepropusnog opsega sω treba da bude veće od propisanog minimalno potrebnog slabljenja sR , na sljedeći način:
( )1 2
2 2
120log 20log
1s s sns
H R Rωε ω
− ≥ − ≥ +
, (2.55)
( ) ( )
( )
0.12 2 2 2
0.12
10log 1 10 1
2 log log 10 1 ,
s
s
Rn ns s s
Rs
R
n
ε ω ω ε
ω ε
−
−
+ ≥ ≥ −
≥ − (2.56)
( )0.12log 10 1
2log
sR
s
nε
ω
− − ≥ . (2.57)
GLLAVA
26
za
K
Za
rapo
1
1 ε+
A 2
6
D
amij
Korij
adr
spoolov
2ε
1
Slik
Da b
jeni
jeni
ržav
oređva z
H
ka 2
bism
imo
i ov
vaju
đenza
(H ω
2.7
mo
o ω
vog
ući
ne n =
)ω
Ampn
odr
2ω s
g po
sam
uni2,3=
Ampmakprop
2n =
red
sa −
olin
s
mo
s
ifor3,4
plitksimpus2, 3
dili l
(H
2s−
nom
2nks =
kor
ks =
rmn je
tudnmalnnom, 4.
loka
( )ω
2 i i
ma s
1
ε=
rije
ε −=
no da
1
ne kno m o
acij
) 2=
izje
1
su p
(2
1
ε−
ne
1ne
−
nat na
karravops
je p
H=
edn
1+
polo
)1−
iz l
2
2
kje
+
a ra Sl
raktvnosegu
polo
(H ω
ačim
( 1−
ovi
1n+
lijev
1
2
n
n
+ +
radilici
terism au i b
ova
)Hω
mo
)1n ε
i pr
1
ε=
ve p
,π
ijus2.8
n
stikampbez
a ov
(H −
o na
2 2sε
reno
2
1e
εpolu
k
u 8.
4n =
ke nplitz ko
vog
)ω−
aziv
2n =
osn
(j n+
ura
0=
1ε −
n4
normtudnona
g filt
)1
=
vnik
0=
ne f
1 2k+ +
avni
0,1,2
1n ,
n =
manom
ačni
tra,
1 ε+
k do
.
funk
) ,k π
i im
2,
na
3
alizom kih n
, u i
2
1
ε ω
obij
kcij
k∈
mam
,n
a r
n =
ovakaranula
izra
2nω
jen
e fi
∈
mo
1n −
azm
2=
anihaktea tr
azu
og
filtra
.
želj
1
mak
h Nerisrans
:
izra
a:
jen
ku
NP fstiksmi
aza
e p
18
filtaomisije
a sa
polo
080
ara m u e za
nu
ove:
n .
ω
sa
a
ulom
:
R
ω
(
m:
(
(
(
Rasp
(2.5
(2.5
(2.6
(2.6
pore
58)
59)
60)
61)
ed
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
27
4
π6
π8
π
2n = 3n = 4n =
1 1 1σ σ σ
jΩ jΩ jΩ
Slika 2.8 Lokacije polova Batervortovog filtra za 2,3,4n = .
Iz 0.12 10 1pRε = − za 1ε = dobijamo da je 3pR dB= slabljenje na granici
propusnog opsega, za 1ω = . Odgovarajući NP filtar bez konačnih nula transmisije sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom ima funkciju prenosa oblika:
( ) 11 1
1
1n nn
H ss b s b s−
−
=+ + + +
(2.62)
i naziva se Batervortov (Butterworth) filtar. U literaturi se često i oni filtri bez konačnih nula transmisije sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom kod kojih je 1ε ≠ nazivaju Batervortovi filtri.
Koeficijenti ib se računaju na osnovu položaja polova u kompleksnoj s ravni zavisno od reda filtra. Nekada su ovi koeficijenti zadavani tabelarno, dok se u novije vrijeme koriste softverski paketi koji olakšavaju ove proračune bez korišćenja tabela.
Kako se pri određivanju reda filtra uzima prvi cio broj veći ili jednak dobijenom rezultatu za n na osnovu (2.57), to znači da je istim redom filtra moguće zadovoljiti i strožije zahtjeve od postavljenih. Stoga je moguće, nakon
usvajanja vrijednosti za n , na osnovu izraza 0.1
22
10 1sR
ns
εω
−= , pronaći novu
vrijednost za valovitost ε u propusnom opsegu, koja će osigurati slabljenje na granici nepropusnog opsega jednako minimalnom dozvoljenom slabljenju sR . Pri tome se u propusnom opsegu dobije maksimalno slabljenje manje od onog
GLAVA 2
28
određenog zahtjevima i prvobitnom vrijednošću za ε , a učestanost na kojoj slabljenje iznosi maksimalno dozvoljenih pR [dB] postaje veća od jedan. Sa
promjenom vrijednosti za ε mijenja se poluprečnik kružnice u kompleksnoj ravni na kojoj su raspoređeni polovi prenosne funkcije Batervortovog filtra, a samim tim i funkcija prenosa filtra.
2.3.2 Čebiševljevi filtri
Pokazalo se mnogo efikasnijim, umjesto monotono rastuće greške aproksimacije u propusnom opsegu kod filtara sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom, grešku aproksimacije rasporediti ravnomjerno u propusnom ili nepropusnom opsegu. Filtre sa jednolikim oscilacijama amplitudne karakteristike nazivamo Čebiševljevi (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894) filtri ako je greška aproksimacije ravnomjerno raspoređena u propusnom opsegu, a inverzni Čebiševljevi filtri ako je greška aproksimacije ravnomjerno raspoređena u nepropusnom opsegu.
Čebiševljevi filtri
Raspoređivanjem greške aproksimacije ravnomjerno u cijelom propusnom opsegu nastaju filtri sa karakterističnom funkcijom ( )K s u obliku polinoma
koji osciluje uniformno između 0 i 2ε u propusnom opsegu:
( ) ( )2 2 2nK Cω ε ω= , (2.63)
gdje je:
( )1 1nC ω− ≤ ≤ za 0 1ω≤ ≤ . (2.64)
Mi se nećemo zadržavati na rigoroznim metodima za određivanje polinoma ( )nC ω , ali je očito da polinom:
( ) ( )cosnC nω ω= Φ (2.65)
osciluje uniformno između -1 i 1 i to sa rastućom frekvencijom kad n raste.
Iz poznatog matematičkog identiteta koji se dokazuje indukcijom:
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
29
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1 3 2 5 4
7 6
3cos 2 cos 2 cos 2 cos
1! 2!3 5
2 cos3!
n n n n n n
n n
n nnn
n n n
ω ω ω ω
ω
− − − − −
− −
−Φ = Φ − Φ + Φ
− −− Φ +
(2.66)
slijedi da je ( )cosn ωΦ polinom po ω ako je:
( ) ( )1cos , 1ω ω ω−Φ = ≤ . (2.67)
Čebiševljev polinom reda n je:
( ) ( )1cos cos , 1nC nω ω ω−= ≤ . (2.68)
U nepropusnom opsegu, za 1ω ≥ , 1cos ω− nije definisano, te se za ( )nC ω usvaja hiperbolna kosinusna funkcija koja monotono raste za 1ω > :
( ) ( )1ch chnC nω ω−= . (2.69)
Prvih nekoliko Čebiševljevih polinoma u propusnom opsegu ima oblik:
( )0 cos0 1C ω = = , (2.70)
( ) ( )11 cos 1 cosC ω ω ω−= ⋅ = , (2.71)
( ) ( ) ( ) 21 1 2
2 cos 2 cos 2 cos cos 1 2 1C ω ω ω ω− − = ⋅ = − = − , (2.72)
( ) ( ) ( ) ( ) 31 1 1 3
3 cos 3 cos 3cos cos 4 cos cos 3 4C ω ω ω ω ω ω− − − = ⋅ = − + = − + , (2.73)
( ) ( )1 2 44 cos 4 cos 1 8 8C ω ω ω ω−= ⋅ = − + . (2.74)
Postoji rekurzivna trigonometrijska relacija:
( ) ( )cos 1 2cos cos cos 1n x nx x n x + = − − (2.75)
koja, kad se primijeni na Čebiševljeve polinome, postaje:
GLAVA 2
30
( ) ( ) ( )
( ) ( )1 1
0 1
2 , 1,2,
1, .
n n nC C C n
C C
ω ω ω ωω ω ω
+ −= − =
= =
(2.76)
Čebiševljev polinom n -tog reda ima sljedeće osobine:
1. ( )0 1nC ω≤ ≤ za 1ω ≤ , dok je ( ) 1nC ω > za 1ω ≥ ,
2. ( )nC ω je monotono rastući polinom za 1ω ≥ i za svako n ,
3. ( )nC ω je paran polinom ako je n parno, a neparan ako je n neparno,
4. ( )0 1nC = za n parno,
5. ( )0 0nC = za n neparno.
Dakle, ako se za aproksimaciju amplitudne karakteristike NP filtra koriste Čebiševljevi polinomi, funkcija prenosa NP filtra sa jednolikim oscilacijama u propusnom opsegu i bez konačnih nula transmisije se određuje iz:
( ) ( )2
2 2
1
1 n
HC
ωε ω
=+
, (2.77)
gdje je ( )nC ω Čebiševljev polinom reda n .
Amplitudna karakteristika Čebiševljevog filtra ( )H ω ima jednolike
oscilacije u cijelom propusnom opsegu. ( )0 1H = za neparno n , a
( ) 20 1 1H ε= + za parno n , dok je ( ) 21 1 1 ,H nε= + ∀ . Dalje, ( )H ω
monotono opada za 1ω > . Postoji n kritičnih tačaka u propusnom opsegu
gdje ( )H ω poprima maksimalnu ili minimalnu vrijednost.
Na Slici 2.9 prikazane su amplitudne karakteristike normalizovanih Čebiševljevih filtara za red filtra 2,3,4n = .
P
o
ta
o
1
1+
Sli
Polo
odre
ako
odno
2
1
ε+
ika
ovi
eđu
o da
s
osn
1
2.9
Če
uju n
a je:
s σ=
no:
(H
M
9 AN
biš
na
:
σ +
H
( )ω
eto
AmNP
evl
slje
jω+
(H s
)
odi a
mpliP Če
jev
edeć
ω =
)s H⋅
apro
itudebiš
og
(H
ći n
coj
(H −
oks
dneševl
filt
( )ω
nači
ξ
(os α
)s−
sima
kaljev
tra s
) 2=
in. U
ξ =
α +
σ
w
) =
1
acij
arakvih
se i
1=
+
Uv
α +
jβ+
sσ =
c=
(H
e a
kterfilt
iz k
2ε+
vedi
jβ+
)β =
sinα
cosα
( )ω
mp
ristitara
kvad
2 co
imo
β =
cj=
siα
coα
2
ω
plitu
ike a za
drat
(2
1
os
o oz
cos
cos
inh
osh
s
jω=
=
n =
dni
nora n =
ta a
(1
cn
zna
1ss
j−
cα
β ,
h β ,
1=
4=
h i
rma2,=
amp
cos−
aku:
s
j.
cosh
,
ε+
n
faz
aliz, 3,
plitu
1 ω−
:
h β
2
1
coε
3=
nih
zova4 .
udn
)ω
sβ +
2
1
os
n3
ka
ani
ne k
inα
(nξ
2n =
rak
h
kara
sinα
)ξ.
2
teri
akt
nh β
istik
teris
β ,
ka a
stik
ana
ke:
log
ω
nih
(2.7
(2.7
(2.8
(2.8
(2.8
(2.8
filta
31
78)
79)
80)
81)
82)
83)
ara
GLAVA 2
32
Lokacija polova Čebiševljevog filtra se određuje iz uslova da nazivnik funkcije prenosa bude jednak nuli:
( ) ( )( )2 21 cos 0 1 cos 1 cos 0 1 cos 0n j n j n j nε ξ ε ξ ε ξ ε ξ+ = + − = ± = , (2.84)
odakle slijedi da je:
( )cos cos cos cosh sin sinhj
n n jn n n j n nξ α β α β α βε
= + = − = ± , (2.85)
1
cos cosh 0 sin sinhn n n nα β α βε
= ∧ = ± . (2.86)
Rješenja sistema jednačina zapisanog sa (2.85) i (2.86) su:
12 1 1 1, sinh , 0
2k k
kk
n nα π β
ε−−= ± = ± > , (2.87)
pa su realni i imaginarni dijelovi polova od ( ) ( )H s H s− koji se nalaze u lijevoj poluravni sljedeći:
11 1 2 1sinh sinh sin , 1,2, ,
2k
kk n
n nσ π
ε− − = − =
, (2.88)
11 1 2 1cosh sinh cos , 1,2, ,
2k
kk n
n nω π
ε− − = =
. (2.89)
Koristeći identitet 2 2sin cos 1x x+ = , možemo pisati:
2 2
2 1 2 1
11 1 1 1
sinh sinh cosh sinh
k kw
n n
σ
ε ε− −
+ =
, (2.90)
što znači da polovi k k ks jσ ω= + leže na elipsi čije su ose 11 1sinh sinha
n ε− =
(kraća) i 11 1cosh sinhb
n ε− =
(duža).
Sa poznatim polovima , 1,2, ,ks k n= , funkcija prenosa Čebiševljevog filtra poprima oblik:
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
33
( )( )
( )1
11 1 0
1
1 21
2
n
n n nn n
kk
H ss b s b s b
s s
ε
ε
−
−−
=
= =+ + + +−∏
. (2.91)
Slično kao kod Batervortovog filtra, koeficijenti ib se računaju na osnovu položaja polova u kompleksnoj s ravni.
Pri dizajniranju Čebiševljevog filtra imamo dva parametra: valovitost ε koja je određena maksimalnim dozvoljenim slabljenjem u propusnom opsegu
0.110 1pRε = − i red filtra n , koji se određuje iz uslova za slabljenje sR na graničnoj učestanosti nepropusnog opsega sω :
( )2 2
110log
1 sn s
RCε ω
− ≥+
, (2.92)
( )0.11 2
1
cosh 10 1
cosh
pR
s
nε
ω
−
−
−≥ . (2.93)
Inverzni Čebiševljevi filtri
Inverzni Čebiševljev filtar ima monotono opadajuću amplitudnu karakteristiku u propusnom opsegu i jednolike oscilacije u nepropusnom opsegu, te konačne nule transmisije, kao na Slici 2.10.
Kvadrat amplitudne karakteristike ovog filtra je dat sa:
( ) ( )( )
2 22
2 2
1
1 1n
n
CH
C
ε ωω
ε ω=
+. (2.94)
Inverzni Čebiševljev filtar je jednako efikasan kao Čebiševljev filtar u smislu da je isti red filtra potreban da se zadovolje postavljeni zahtjevi za amplitudnu karakteristiku.
GLLAVA
34
grvasitpr
1
A 2
4
Mrupnarijatuacreno
1
1 δ+
Slik
Slik
Međunomacijecijaos s
2δ
1
ka 2
ka 2
utimm ke g
amaslik
(H
2.10
2.11
m, kašgrupa kake il
( )ω
0 A
1 (
ponjepnoada li po
AmČeb
Ka(a)
ostoenjuog su oda
mplibiše
arakČeb
oje u. Č
kama
atak
itudevlj
kterbiše
veČebšnjeale ka,
dnejevi
ristievlj
elikbišeenjavarinv
1
e kaih f
ike jev
ke revljea nrijacverz
arakfilta
grui (b
razlevi negcijezni
n
kterara
upnb) in
likefilt
go ie kaČe
4=
ristiza
nog nve
e utri inv
ašnjbiš
4
ike n =
kašerzn
u nu p
verzenjevlj
n =
no2,=
šnjeni Č
njihpro
zni ja vjevi
3=
orm3, 4
enjaČeb
hoviopuČe
veomi fil
n
maliz4 .
a fibiše
im usnoebišma ltri
2=
zov
iltarevlje
faom ševlvaim
2
vani
ra 8ev f
azniop
ljevžneaju
ih N
8. refilta
im psegvi fe, kpre
NP
edaar.
kagu filtrkao edn
inv
a za
arakim
ri, Sšto
nos
verz
a:
ktermaju
Sliko sut.
znih
ristiu izka u sis
ω
h
ikamzraž2.1stem
ω
maženi1. mi
i ije U za
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
35
2.3.3 Eliptički filtri
Raspoređivanjem greške aproksimacije i unutar propusnog i unutar nepropusnog opsega, uz iste postavljene zahtjeve dobija se manji red filtra u poređenju sa filtrima sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom i filtrima sa jednolikim oscilacijama.
Rezultujuća karakteristična funkcija ( )K s mora biti racionalna funkcija sa
konačnim nulama refleksije ir
ω i konačnim nulama transmisije iz
ω .
Karakteristična funkcija:
( ) ( )2 2 2nK Tω ε ω= (2.95)
sa jednakim maksimumima 2ε u propusnom opsegu i jednakim minimumima u nepropusnom opsegu, može se ostvariti eliptičkim funkcijama ( )nT ω , te se rezultujući filtri, sa kvadratom amplitudne karakteristike:
( ) ( )2
2 2
1
1 n
HT
ωε ω
=+
(2.96)
zovu eliptički filtri, ili Kauerovi (Wilhelm Cauer, 1900-1945) filtri. Eliptička (u literaturi poznata i kao Čebiševljeva) racionalna funkcija ( )nT ω je data sa:
( ) ( )222
2 21
i
i
ns z
ni z
T kω ω ω
ωω ω=
−=
−∏ (2.97)
za n parno, a sa:
( ) ( )( )221 2
2 21
i
i
ns z
ni z
T kω ω ω
ω ωω ω
−
=
−=
−∏ (2.98)
za n neparno.
Sve frekvencije su normalizovane tako da je granica propusnog opsega 1pω = . Konstanta k se određuje iz uslova da su maksimumi oscilacija u
propusnom opsegu jednaki jedinici, te valovitost ε određuje veličinu oscilacija u propusnom opsegu i računa se kao obično.
GLAVA 2
36
Kada nivo oscilacija amplitudne karakteristike u nepropusnom opsegu teži ka nuli, eliptički filtri postaju jednaki Čebiševljevim filtrima, a kada se gube oscilacije u propusnom opsegu, ovi filtri postaju inverzni Čebiševljevi filtri. Eliptički filtri teže Batervortovim filtrima kada nivoi oscilacija u oba opsega, propusnom i nepropusnom, teže ka nuli.
Eksplicitno određivanje reda filtra n je veoma teško i zahtijeva izračunavanje eliptičkih integrala. Umjesto toga, često se koriste parametarske krive. U nepropusnom opsegu je ( )2 2 1nTε ω , pa ako je sR slabljenje na
granici nepropusnog opsega za sω ω= , možemo uspostaviti sljedeću relaciju
između ( )n sT ω , sR i ε :
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
2 22 2
2 2
120log 10log 10log 1
1
10log 20log 20log
s s n sn s
n s n s
R H TT
T T
ω ε ωε ω
ε ω ε ω
= − = − = + ≈+
≈ = +, (2.99)
tako da je:
( )120log 20logs n sR T ω
ε+ ≈ . (2.100)
Na osnovu (2.97) i (2.98) se izračunaju Čebiševljeve racionalne funkcije na granici nepropusnog opsega ( )n sT ω za različite vrijednosti reda filtra n .
Dobijene vrijednosti se porede sa vrijednošću ( )n sT ω koja se dobije u
zavisnosti od minimalnog propisanog slabljenja u nepropusnom opsegu i valovitosti ε , na osnovu (2.100). Na taj način se radi predikcija reda filtra, pa se zatim provjerava da li su ispunjeni svi postavljeni zahtjevi. Ako nisu, red filtra se povećava dok se ne postignu željene karakteristike.
Nakon određivanja potrebnog reda filtra, kada su poznati svi parametri, mogu se odrediti nule i polovi funkcije prenosa ( )H s . Analitički proračuni položaja polova i nula u kompleksnoj s ravni, na osnovu kojih se određuju koeficijenti u funkciji prenosa eliptičkih filtara:
( )( )2
11
1 1 0
m
ii
n nn
H s aH s
s b s b s b=
−−
+=
+ + + +
∏
, (2.101)
izpza
je
o
ek
N
tr
n
Sl
zlazroga am
Pedin
ko
kviv
Na
rans
epr
Alici
1
1 δ+
1
1 ε+
ze grammp
Paranici
fre
vale
pri
smi
rop
Amp2.1
Sl
2δ
1
2ε
iz me litu
amei. N
ekv
ent
imj
isije
pusn
plit12.
lika
H
okko
udn
etarNule
venc
tno
er,
e ω
nom
tudn
a 2.
(H ω
M
kviraoji pnu k
r He re
cije
pR
za
izω ,
m o
ne
12
)ω
eto
a oprorkara
H efle
e
p i
a d
, ta
opse
kar
AN
odi a
overačuakte
se eksi
sω
sR )
date
ako
egu
rakt
AmpNP
apro
e kunaeris
birije
, t
), za
e v
o d
u. T
teri
plituelip
oks
knjigavatiku
ra
irω
tj. ωatim
vrije
a T
Tada
stik
udnptič
1
sima
ge. aju ou fi
tak i n
irωm ωedn
(nTa je
ke N
ne kčkih
acij
Poveiltra
ko nul
zω⋅
sω
nost
)ω
e nT
NP
karah fil
n
e a
ri e koa.
da le t
izω =
i st
ti R
im
(ω eli
akteltar
4n =
mp
prooef
vrtran
sωtepe
pR ,
ma
)ω p
ipti
erisa za
4
plitu
ojekficij
šnansm
. O
ena
, R
jed
potp
čkih
stika n
n =
dni
ktovent
a vmisij
Od
a n ,
sR
dna
pun
h fi
ke n2n =
3=
h i
vante n
vrijeje ω
čet
, tri
i
ake
no p
filta
norm2, 3,
n
faz
nju na o
edn
izω
tiri
i se
sω
m
poz
ara z
mal, 4 .
2n =
nih
filosn
ost su
pa
e mo
po
minim
zna
za
lizo.
2
ka
ltarnovu
t pou u
aram
ogu
otre
mu
ato.
n =
ovan
rak
ra u p
ojačge
met
u sp
ebn
ume
2,=
nih
teri
korpost
čanom
tra
pec
no
e d
3, 4
h
istik
ristitav
nja metr
filt
cific
je
dovo
4 su
ka a
ićemljen
burijsk
tra
cirat
pr
oljn
u p
ana
monih
ude koj
ε
ti n
ron
ne
prika
ω
log
o gzah
jedsim
i
neov
naći
vis
aza
ω
nih
gotohtje
dnamet
δ
visn
nu
ine
ane
filta
37
ove eva
aka triji
(ili
no.
ule
e u
na
ara
GLAVA 2
38
2.4 Aproksimacija fazne karakteristike
Funkcije prenosa koje se koriste za aproksimaciju fazne karakteristike ili grupnog kašnjenja imaju konstantnu amplitudnu karakteristiku na svim frekvencijama. To su filtri svepropusnici, čija funkcija prenosa ima oblik:
( ) ( )( )
( )( )
SO SOSO
SO SO
N s D sH s
D s D s
−= = . (2.102)
Parametri funkcije prenosa (2.102) se biraju tako da ona aproksimira željeno kašnjenje. Normalizacija frekvencijske varijable pri aproksimaciji faznih karakteristika filtara se vrši sa 0 01 τΩ = , gdje je 0τ kašnjenje jednosmjerne komponente.
Za aproksimaciju fazne karakteristike koriste se Beselovi (Bessel) filtri. Na osnovu:
( ) ( ) ( )jH H e ϕ ωω ω= , (2.103)
( ) ( )d
d
ϕ ωτ ω
ω= − , (2.104)
možemo izraziti faznu karakteristiku filtra na sljedeći način:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2j j
s jH H H e H s H s eϕ ω ϕ ω
ωω ω ω
=⋅ = = ⋅ − , (2.105)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2j
s jH s H s H s H s e ϕ ω
ω=⋅ = ⋅ − , (2.106)
( ) ( )( )
1ln
2s j
H s
j H sω
ϕ ω=
=−
. (2.107)
Grupno kašnjenje:
( ) ( )d
d
ϕ ωτ ω
ω= − (2.108)
dobijamo na sljedeći način:
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
39
( ) 1 ( )
ln2 ( )
s j
d d H s
d j d H s ω
ϕ ωω ω =
=
− . (2.109)
Izvodom logaritamske funkcije iz (2.109), uz smjenu s jω= dobija se:
( ) 1 ( ) ( )
2 ( ) ( )
d H d H
d j H d H
ϕ ω ω ωω ω ω ω
−= − . (2.110)
Koristeći formulu za izvod količnika iz (2.110), dobijamo:
[ ]2
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
d H H H H H
d j H H
ϕ ω ω ω ω ω ωω ω ω
′ ′− − − −=−
, (2.111)
[ ]2
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
d H j H H j H H
d j H H
ϕ ω ω ω ω ω ωω ω ω
′ ′− ⋅ − + ⋅ −=−
. (2.112)
U (2.111) je sa ( )H ω ′ označen izvod po ω , dok je u (2.112) je sa ( )H ω′ označen izvod po jω . Nakon smjene s jω = u (2.112) dobijamo:
[ ]2
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )s j
d H s H s H s H s H s
d H s H sω
ϕ ωω
=
′ ′− − + −=−
, (2.113)
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )s j
d H s H s H s H s
d H s H s ω
ϕ ωω =
′ ′− + −=−
, (2.114)
( ) 1 ( ) ( )
2 ( ) ( )s j
d H s H s
d H s H sω
ϕ ωω
=
′ ′ −= + − . (2.115)
Kako je ( ) ( )d
d
ϕ ωτ ω
ω= − , konačno se za grupno kašnjenje na imaginarnoj osi
dobija:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
' ' '1
2s j s j
H s H s H s
H s H s H sω ω
τ ω= =
−= − + = − −
P , (2.116)
GLAVA 2
40
gdje je sa ( )⋅P označen parni dio funkcije.
Množenjem brojnika i nazivnika funkcije prenosa ( )H s sa ( )N s− dobijamo:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
N s N s Q sH s
D s N s P s
−= =
−, (2.117)
pa grupno kašnjenje možemo zapisati u obliku:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
' ' '1
2s j s j
P s P s P s
P s P s P sω ω
τ ω= =
−= + = −
P . (2.118)
Problem pronalaženja funkcije prenosa ( )H s sa željenim grupnim
kašnjenjem ( )τ ω se svodi na pronalaženje polinoma ( ) ( ) ( )P s N s D s= − ⋅
takvog da ( ) ( )( )P' s P sP duž jω ose aproksimira željeno kašnjenje. Često je
za to potrebna pomoć numeričkih metoda. Jednom kad se pronađe polinom ( )P s mora se izvršiti njegova faktorizacija na ( )N s− i ( )D s , pri čemu je
( )D s Hurvicov polinom stepena n ne manjeg od stepena m polinoma ( )N s .
Dakle, ( )P s mora u lijevoj poluravni da ima najmanje toliko korijena koliko ih ima u desnoj poluravni.
Jednačina (2.118) se sad može koristiti za pronalaženje aproksimacije funkcije prenosa NP filtra bez konačnih nula transmisije u obliku:
( ) 0sH s Ke τ−= , (2.119)
što je idealna funkcija prenosa mreže bez izobličenja, koja samo unosi konstantno kašnjenje 0τ i konstantno pojačanje 20logK .
Nakon normalizacije amplitudne karakteristike sa K :
( ) 0sH s e τ−= , (2.120)
i kompleksne učestanosti s sa 0 01 τΩ = , dobijamo funkciju prenosa normalizovanog filtra:
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
41
( ) 0 0
0
1
s s
s
ss
H s e e eτ− −
Ω −
→Ω
= = = . (2.121)
Potrebno je pronaći funkciju prenosa u obliku:
( ) ( )0 0
11 1 0
n nn
b bH s
s b s b s b D s−−
= =+ + + +
(2.122)
koja na neki način aproksimira funkciju se− . Uvrštavajući ovakav oblik funkcije prenosa (2.122) u izraz (2.118) za grupno kašnjenje, dobijamo:
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
' ' ' '1
2 2s j s j
D s D s D s D s D s D s
D s D s D s D sω ω
τ ω= =
− − + −= + = − −
. (2.123)
Grupno kašnjenje ( )τ ω u (2.123) nije konstantno, ali može aproksimirati konstantu. Ako prilikom aproksimacije želimo da racionalna funkcija (2.123) bude maksimalno ravna, na sličan način kao kod Batervortovih filtara, (2.123)
treba svesti na oblik 2
2 2nn
N
N a ω+, gdje je n stepen polinoma ( )D s . Kako je
polinom u brojniku (2.123) stepena 2 1n − , a u nazivniku stepena 2n sa
koeficijentom uz najviši stepen 2nω jednakim ( )2 1
n− , to znači da na jω osi moramo zadovoljiti uslov da je:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 ' ' 2 1n nD s D s D s D s D s D s s− = − + − + − , (2.124)
odnosno:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1' ' 1
2nns D s D s D s D s D s D s
+− − + − − − = − , (2.125)
što se može svesti na:
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 12 ' 1nns D s D s D s D s
+− − − − = − P . (2.126)
Diferenciranjem po s dobijamo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }'' 2 ' 2 0sD s n s D s nD s D s − + + − = P , (2.127)
GLAVA 2
42
što mora da vrijedi za svako s , ako hoćemo da ( )H s ima maksimalno ravno
kašnjenje. Kako ( ) 0D s ≡ nije koristan rezultat, vrijedi da je:
( ) ( ) ( ) ( )'' 2 ' 2 0sD s n s D s nD s− + + ≡ . (2.128)
Matematičkom indukcijom se može dokazati da je rješenje diferencijalne jednačine po ( )D s date sa (2.128) Hurvicov polinom:
( ) ( )( )1
2 !, , 0,1, , 1, 1
2 ! !
ni
i i nn ii
n iD s b s b i n b
i n i−=
−= = = − =
− . (2.129)
Zbog veze (2.129) sa Beselovim polinomima, rezultujući filtri se nazivaju Beselovi filtri. Beselovi polinomi višeg reda se mogu dobiti rekurzivnom formulom:
( ) ( ) ( ) ( )21 22 1n n nD s n D s s D s− −= − + . (2.130)
Sa porastom reda filtra n raste tačnost aproksimacije grupnog kašnjenja. Posmatrajmo:
( )( )
( )
( )0
!
2 ! !2 ! 12 !2 ! ! 2 ! 2 !
2 !
ni
n i i
n
n i n ib nnb i n i n in i
− −
− −= ⋅ = ⋅
−−
. (2.131)
Kada n→ ∞ dobijamo:
( )0
1 1
2 ! !2
ii
i i
b n
b i in−→ ⋅ = , (2.132)
( ) 0
000 0
1lim lim
1!
s
nn n iii
ii
bH s e
bsb sib
−∞→∞ →∞
==
= = =
, (2.133)
kao što smo i željeli. Naravno, za konačan red filtra n , funkcija prenosa ( )H s sa konačnom greškom aproksimira amplitudnu karakteristiku i grupno kašnjenje.
(a (b
Sl
a)
b)
lika
a 2.
13 (au
M
a) Su za
eto
Slabavis
odi a
bljennos
apro
nje sti o
oks
i (bod
sima
b) gred
acij
grešda f
e a
ška filtr
mp
grura.
plitu
upn
dni
nog
h i
g ka
faz
ašnj
nih
enj
ka
a B
rak
Bese
teri
elov
istik
vih
ka a
filt
ana
tara
log
a
nih filta
43
ara
GLLAVA
44
takmnofil
2.
Oprda(ovrijodizm2.fil
A 2
4
Jeko
moguormltra
.5
snorocea jeodnoijemdzivme15-ltara
S
edanda
u smali
i n
ovnes, edinosn
me pv pđu -2.2a.
lika
n jea obse kzov
norm
Ka
ne prinič
no poraoravr
20 p
a 2.
edinbje korvanmal
ara
parikazni da
asta astešneprik
.14
ni pov
istine glizo
akt
ramzan
odim
rτe sae i kaza
Pje
0
0.
0.
parave ti ngrešovan
ter
metri su
dskompu
dea 10kraani
Paraedin
.1
.5
.91
amgrenumškene f
ris
ri fu naočn
ulsnefin0% ajnj
su
ameničn
τ
etaeškemer grfrek
stik
filtaa Slni ni oniše
nae v
u pr
etri nom
dτ
τ
r, re bričkrupkve
ke
ara lici odz
odzie kaa 90vrijerim
prem o
rτ
red buduki pnog
enci
fil
ko2.1
ziv iv dao 0% ednjeri
elazodsk
γ
Beu p
postg kije
lta
oji 14.
ddosvrijsv
nosti je
znokoč
γ
eselprihtup
kašnω =
ra
u Kaoststigjemojeti jdin
og pčno
lovohvapci njen= Ω
u
vreašnjetigngne me k
kredi
ničn
procom
og atljivili
nja
0τΩ ,
vr
emeenjene
svkojrajniničnih
cesodz
filtvo diju
, ka
rem
ens
dτpo
vojue je
nje včnogod
a pzivu
tra maagrpro
ao š
me
kom selov
u me pvrijg osko
priku.
n , ale.ramocešto
ens
m e devinumakpotredn
odskočn
aza
mo Z
mi kntimje p
sk
domefinu ssimrebnnoskoč
nih i
ani n
ora a o
koji ma prik
kom
meniše svo
malnno sti. čnoi im
na
bitodr
pru
kaz
m d
nuka
je nu
daPre
og ompu
nor
ti peđirikazavano
do
odao v
kravrij jedemaodzulsn
rma
pažlivanazujvisno na
om
drevrijeajnjjedndin
ašenjzivanih
aliz
ljivonje ju nosa Sl
men
đujemeje nos
ničnje γa. Nod
zova
o ored
slabsti lici
nu
ju e pvrist),
ni oγ jeNa dziv
ano
odabda bljeod 2.1
preotrijed
doodske raslik
va n
om
abrafilt
enjared
13.
elazrebndnook kočazlikamnek
an, tra a i da
zni no sti se čni ka
ma kih
Sl
S
lika
Slik a 2.
S
ka 2
16
Slika
2.15
Jere
a 2.
M
5 J
edinda
.17
eto
Jedi
ničn2,4
Je
odi a
inič
ni o4,6 i
edin
apro
čni
odski 8.
ničn
2 4
2
2 4
oks
od
koč
ni o
4 6
4
4 6
sima
sko
čni
ods
8
6
8
acij
očn
od
skoč
8
e a
ni od
ziv
čni
mp
dziv
vi Č
od
plitu
vi B
ebi
dziv
dni
Bate
išev
vi B
h i
erv
vljev
Bese
faz
vort
vih
elov
nih
tovi
filt
vih
ka
ih f
tara
filt
rak
filta
a sa
tara
teri
ara
a 3
a red
istik
red
dB
da
ka a
da 2
sla
2,4
ana
2,4,6
ablj
4,6 i
log
6 i
enj
i 8.
nih
8.
em
filta
45
m
ara
GLLAVA
46
A 2
6
S
Sli
Slik
ika
ka 2
S
2.1
2.19
Slik
18
9 Ire
ka 2
Im
Impeda
2.20
2
2
2
mpu
pulsa 2,4
0 I
4 6
4
64
ulsn
sni 4,6
Imp
6 8
64
86
ni o
odz i 8
puls
86
odzi
zivi8.
sni
ivi B
i Če
odz
Bat
ebi
zivi
terv
šev
i Be
vort
vljev
ese
tov
vih
lov
vih f
filt
vih
filta
tara
filta
ara
a sa
ara
red
a 3 d
red
da 2
dB
da 2
2,4,
sla
2,4,
,6 i
ablje
,6 i
8.
enje
8.
emm
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
47
2.6 Uporedne karakteristike analognih filtara
Za datu specifikaciju amplitudne karakteristike, red eliptičkog je manji nego red Čebiševljevog filtra, dok je Batervortov filtar najvećeg reda. Osnovni razlog za ove razlike leži u distribuciji greške aproksimacije i konačnim nulama transmisije, zbog kojih eliptički filtri imaju vrlo strmu karakteristiku u prelaznom opsegu. Uporedne amplitudne karakteristike filtara istog reda prikazane su na Slici 2.21, za red filtra pet, maksimalno dozvoljeno slabljenje u PO od 3 dB i minimalno potrebno slabljenje u NPO od 30 dB. Prelazni opseg je najširi kod Batervortovog filtra, nešto uži kod Čebiševljevog, dok eliptički filtri imaju najstrmiju amplitudnu karakteristiku u prelaznom opsegu. Najzahtjevniji parametar pri specifikaciji filtara je širina prelaznog opsega. Na primjer, pri projektovanju NP filtra sa maksimalnim dozvoljenim slabljenjem u PO od 0.5 dB i minimalnim propisanim slabljenjem od 23 dB u NPO, pri
1.6sω = , potreban je Batervortov filtar osmog reda, Čebiševljev petog i eliptički filtar trećeg reda. Za iste specifikacije slabljenja, ali sa 1.1sω = umjesto
1.6sω = , potreban je Batervortov filtar trideset i devetog reda, Čebiševljev filtar desetog reda i eliptički filtar petog reda. Manji uticaj na red filtra imaju propisana slabljenja, tako da se pri 1.1sω = , ali uz dozvoljeno slabljenje u PO od 3 dB i minimalno potrebno slabljenje od 30 dB u NPO, dobije da su potrebni Batervortov filtar trideset i sedmog reda, Čebiševljevi filtri desetog reda i eliptički petog reda, čije su karakteristike prikazane na Slici 2.22.
Sljedeće što nas zanima kad poredimo filtre je fazna karakteristika, odnosno grupno kašnjenje. Za isti red filtra, Čebiševljevi i eliptički filtri imaju nelinearnije fazne karakteristike i krive grupnog kašnjenja sa izraženijim vrhovima od Batervortovih filtara. Na Slici 2.23 prikazane su fazne karakteristike Batervortovog, Čebiševljevog, inverznog Čebiševljevog i eliptičkog filtra petog reda. Međutim, ovakav način poređenja nije u potpunosti korektan, već je bolje porediti filtre koji zadovoljavaju iste zahtjeve, umjesto filtara istog reda. Na Slici 2.24 prikazane su fazne karakteristike za Batervortov filtar trideset i sedmog reda, Čebiševljev filtar desetog reda, inverzni Čebiševljev filtar desetog reda i eliptički filtar petog reda čije amplitudne karakteristike zadovoljavaju sljedeće zahtjeve: 1kHzpF = , 1.1kHzsF = ,
3dBpR = i 30dBsR = . Primjetno je da u najvećem dijelu propusnog opsega
eliptički i inverzni Čebiševljev filtar imaju manji nagib fazne karakteristike, a time i manje grupno kašnjenje.
GLLAVA
48
Sli
Sli
A 2
8
ika
ika
2.2
2.2
21
22
20
Am(ppe
Am(crČere
pR
20
0log
mpplavetog
mprnoebišda
p =
0log
g H
plituvo),g re
plituo), Čšev(ze
3d
g H
(H F
udn inveda
udnČeb
vljevlen
dB i
(F
) [dF
ne kvera.
ne kbiševogno)
i sR
) [d
]dB
karazno
karaevljeg filkoj
s =
]dB
akteog Č
akteevotra i is
30d
eristČeb
eristog fdespun
dB
tikebiše
tikefiltrsetonjav
.
e Bevlj
e Bra dog rvaju
ateevo
atedeseredu za
rvoog (
rvoetogda (aht
orto(crv
ortog recrvtjev
ovoven
ovoeda venove: F
og (cno)
og fi(pl
o), i
pF
crni el
filtralavoi eli
1=
no), lipti
a tro), iptikH
Čeičko
rideinvičkoz ,
ebišog
esetverzog
sF
ševl(ze
t i sznofiltr
1=
ljevlen
edmog ra p.1k
F
vog no)
mog
petoHz
[F
[HzF
filtr
g re
og ,
Hz]
z]
ra
eda
]
a
Sl
Sl
lika
lika
a 2.
a 2.
23
24
ar
ar
Finre
F(cČre
R
rgH
rgH
M
aznnvereda
azncrnoČebieda
pR =
(H F
(H F
eto
ne krzn.
ne ko), išev(ze
3d=
)[rF
)[rF
odi a
karanog
karaČebvljevelen
dB
]rad
]rad
apro
akteČe
aktebiševogno)
i R
]
oks
erisebiš
erisevljg filko
sR =
sima
stikševl
stikjevoltra
oji is
30=
acij
ke Bljev
ke Bog a despu
0dB
e a
Batevog
Batefiltr
esetunja
B .
mp
ervo(cr
ervora dtogavaj
plitu
ortorven
ortodesred
ju z
dni
ovono)
ovoetoda (zah
h i
og ( i e
og fog r(crvtjev
faz
(crnelipt
filtrredavenve:
nih
no),tičk
ra tra (pno),
pF
ka
, Čekog
rideplav
i e1=
rak
ebig (ze
esetvo),lipt
1kH
teri
ševelen
t i s invtičk
Hz ,
istik
vljevno)
sedverkog
sF
ka a
vog filt
moznofilt
1=
ana
g (ptra
og rog tra 1.1k
[F
[F
log
plavpet
reda
petkHz
]Hz
[Hz
nih
vo), tog
a
tog z ,
]
]z
filta
49
g
ara
GLLAVA
50
Sli
Sli
jedElizrBa
A 2
0
ika
ika
Udinliptrežater
2.2
2.2
porničntičkenirvo
25
26
rednih ki i je
orto
Je(pl
Imeli
dne odsČeos
ovi f
dinavo
mpuipti
karsko
ebišcilafiltr
nično), e
ulsnčko
rakočniševlacijeri.
ni oelip
ni oog (
kteriih iljeve i
dskptič
odzi(zel
istiki im
vi fii d
kočkog
ivi Bleno
ke mpuiltriduž
ni og (z
Bato) i
filtulsni, čiže
odzzele
tervi Be
taranih iji stra
zivi eno)
vortesel
a u od
se pajan
Ba) i B
tovlov
vredzivpol
nje
aterBes
vogog
emeva nlovi
pr
rvorselo
(cr(crv
ensna Si narela
rtovovo
rno)ven
komSlicalazzno
vogog (c
), Čno)
m dci 2ze bog
g (ccrv
Čebfilt
dom.25bližpr
crnoveno
biševtra
men i Sže iroce
o), o) f
vljetreć
nu Slicimaesa
Čebfiltr
evoćeg
prici 2agin
n
bišera tr
og (pg red
ikaz.26
narnnego
evljreće
plavda.
zan, renoj o B
jevoeg r
vo)
e sesp
osBes
og red
),
u pektsi, iselo
da.
prektivnimaovi
ko no. aju
i
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
51
2.7 Frekvencijske transformacije
Iz NP prototipa mogu se izvesti funkcije prenosa ostalih tipova filtara. Označimo sa:
s jσ ω= + (2.134)
normalizovanu kompleksnu učestanost NP filtra tako da je 1ω = granica propusnog opsega, zatim sa:
s jσ ω= + (2.135)
normalizovanu kompleksnu učestanost željenog filtra i sa Ω nenormalizovanu frekvenciju.
Ideja se sastoji u određivanju funkcije preslikavanja:
( )s F s= , (2.136)
koja će transformisati propusne i nepropusne opsege željenog filtra u propusni, odnosno nepropusni opseg NP filtra. Ako u funkciji prenosa NP filtra kompleksnu učestanost s zamijenimo sa ( )F s , dobićemo funkciju prenosa željenog filtra.
Kako je funkcija prenosa željenog filtra realna racionalna funkcija, slijedi da funkcija preslikavanja ( )F s mora biti neparna realna racionalna funkcija takva da je:
( ) ( )s j F j jfω ω ω= = = . (2.137)
Frekvencijska transformaciona funkcija:
( )fω ω= (2.138)
se bira tako da sve propusne opsege željenog filtra transformiše u propusni opseg NP filtra 1ω ≤ , a sve nepropusne opsege željenog filtra u nepropusni
opseg NP filtra 1ω > . Zbog jednoznačnosti preslikavanja, frekvencijska
transformaciona funkcija je monotono rastuća, te ( )f ω ima jednostruke
GLLAVA
52
nu
nefreda
A 2
2
ule
eproekvate
aωopuvencsa:
ia u
usncijs
ω =
Sl
u sv
nomske
f=
lika
vak
m otra
(f ω
s =
a 2.2
kom
opsansf
)ω =
F=
27
m p
seguform
K=
(F s
Pr
prop
u, mac
( 2ω
) =
rim
pus
kacion
2ω −
(K
mjer
sno
ko ne
1
2aω
( 2s
fre
m
jefun
)((ω
ω
(sω+
ekve
op
e pnkc
(2
2
ω
ω
−
)1
2
2
a
s
ω
+
enc
seg
prikcije
aω
ω
−
−
( 2s
ω+
cijsk
gu i
kaza(f
))
2
1
2
2
a
b
ω
ω
)1
2
2b
ω
ω
+
ke t
i je
ano( )ω
() (
(2
2aω
tran
edn
o n) i
(2
2
ω
ω
)2s +
nsfo
ost
na fun
2
ω
ω
−
−
( 2s
ω+
orm
truk
Slnkci
)1
2
2
m
a
b
ω
ω
)2
2
mb
ω
ω
+
mac
ke p
liciije
()
2ω
2
naω
cion
pol
2.pre
2ω −
).
ne f
love
.27eslik
2
naω
funk
e ω. Okav
),
kcij
ibωOpvanj
je.
u
šte ja F
sva
fo(F s
(2
(2
ako
form)s
2.13
2.14
om
me su
39)
40)
T
o
ωfi
ωsabtr
F
se
Tran
Upse
pω =
iltra
ω >a (2eskrans
Funk
e fu
nsf
Učeeg
1=
a ω1> .
2.13konsfo
kcij
unk
form
stan
pΩ
. P
ω ≤
Pr
39)načnrm
jom
kcija
Sli
mac
nos
p , t
rop
1≤ ,
ri to
. Onosacio
m pr
a pr
ika
M
cija
sti Vtako
pusn
a n
om
Oveti, ona
resl
ren
2.2
eto
a n
VPo d
ni o
nep
me f
zauz
a fu
lika
nosa
28
odi a
isk
P filda j
ops
rop
frek
ahtjf
unk
avan
a N
Tru psu
apro
kopr
ltra e n
seg
pus
kven
eve( )1f
kcija
nja
NP f
ranspro
u šra
oks
rop
se norm
VP
ni o
nijs
e će) 1=a je
:
filtr
sforopuafir
sima
pus
noma
P fi
ops
ska
e z1 , :
ra p
rmausnirani
acij
snog
ormalizo
iltra
seg
tra
adokao
prev
aciji i ni.
e a
g u
malizova
a ωVP
ansf
ovoo n
ω =
s =
vod
a pnepr
mp
u vi
zujana
ω ≥
P fil
form
oljitna
1
ω=
1
s=
di u
proprop
plitu
isok
u sgra
1≥
ltra
mac
ti fuSli
ω.
fun
puspusn
dni
kop
sa ganič
treb
a ωcio
unkci
nkc
snogni o
h i
prop
grančna
ba
ω <
na
kcija2.2
ciju
g i ops
faz
pus
nična uč
pre
1< u
fun
a k28.
pr
nepseg
nih
sni
nomčes
eslik
u n
nkc
kojaPr
eno
proNP
ka
fil
m utan
kati
epr
cija
a imrem
osa
opuP fil
rak
ltar
učesnost
i u
rop
tre
ma ma t
VP
snoltra
teri
r
stant pr
pro
usn
eba
poltom
P fil
og oa. P
istik
nošrop
opu
ni o
da
l ωme,
iltra
opsrop
ka a
šću pusn
usn
opse
a im
ω =fr
a.
segapusn
ana
prnog
ni op
eg N
ma o
0 rekv
a Vni o
log
opug o
pse
NP
obli
i nven
(2
(2
VP fops
nih
usnopse
eg N
P fil
ik d
nuluncijs
2.14
2.14
filtrsezi
filta
53
nog ega
NP
ltra
dat
u u ska
41)
42)
a i
ara
GLAVA 2
54
Transformacija niskopropusnog filtra u filtar propusnik opsega
Da bi propusni opseg filtra PO l uω ω ω≤ ≤ preslikala u propusni opseg NP
filtra 1ω ≤ , a nepropusne opsege filtra PO lω ω< i uω ω> u nepropusni
opseg NP filtra 1ω > i pri tome zadovoljila opštu formu datu sa (2.139),
frekvencijska transformaciona funkcija treba da ima oblik kao na Slici 2.29, tj. da bude monotono rastuća sa nulom u 1ω = i polovima u nuli i
beskonačnosti:
2 1
Kωω
ω−= . (2.143)
Granične učestanosti propusnog opsega lω i uω se preslikavaju u 1± . Stoga
rješavanjem jednačine 2 11 1 0
Kω ω ω= ± − = dobijamo 1
u l Kω ω −− = i
1l uω ω = . Dakle, normalizujuća učestanost 0Ω treba da bude geometrijska
sredina graničnih učestanosti 0 l uΩ = Ω Ω , dok je parametar K zapravo faktor kvaliteta:
0 01
u l u l
K QBω ω
Ω Ω= = = =− Ω − Ω
, (2.144)
gdje je:
u lB = Ω − Ω (2.145)
širina propusnog opsega.
Dakle, funkcija preslikavanja kojom se funkcija prenosa NP filtra prevodi u funkciju prenosa filtra PO je data sa:
2 2
0 1 1s ss Q
B s s
Ω + += = . (2.146)
fiši
T
nnpfup
trp
Tiltroirin
Tran
Fepra frevunkren
Fransrop
Trebom ne o
nsf
Frekropfiltavodikcijinosa
Freksfopusn
Sli
ba PO
oba
form
kvenpusnar Pi fui pa fil
kvenrmna
ika
naO, pre
mac
ncinogPOunkpresltra
nciaciji ob
M
2.2
apomko
elaz
cija
ijskag op do
kcijuslikaa PO
ijskajomba p
eto
29
med kzna
a n
a trpseobiu pavaO:
a tm sepre
odi a
Trpršra
nutkoga op
isk
ranega.ili fprenanja
rane doelaz
apro
ransopuafir
ti dga opseg
kopr
sfo Tofiltanosa k
nsfoobina
oks
sforusnani
da obaga s
rop
rmo zar Na N
koja
s =
ormije sop
sima
rmani i ni.
ova nsu p
pus
acioznačNPNP a p
1
Q=
macisimseg
acij
acijnep
va neprpod
snog
onači d
PO. filt
prev
2Q s
ionmetriga.
e a
a pprop
traropdjed
g fi
a fuda b
Sttra
vod
1
s
+
na fičn
mp
proppus
ansfpusndna
filtr
unkbi ptogau f
di f
1=
funkni fil
plitu
pussni
formna ake.
ra u
kcijaprima jefunfunk
0
B
Ω
kcijltar
dni
snogop
maop
u fil
a (2mjee ž
nkcikcij
2
s
s
ja jr N
h i
g i seg
cijaseg
ltar
2.14enoželjeiju ju
1
s
+
je pPO
faz
nepg N
a uga i
r n
41) om enaprepre
.
prikO sa
nih
proP f
uvijima
epr
mifun
a fuenoeno
kaza jed
ka
opufiltr
ek aju
rop
ijennkcunkosa osa
anadna
rak
sniha. P
repo
pusn
nja pcijekcija
filtN
a nakim
teri
h oPro
zulojed
nik
pozpre
a ptra P
na Sm o
istik
opseopu
ltujdnak
k op
zicijesli
presNPfilt
Slicoso
ka a
ega sni
e sko
pseg
je pikavslikaPO tra
ci 2bin
ana
filtop
simsla
ga
propvnjaavareu
2.30nam
log
tra psez
metrablje
pusa (2anjacipfun
(2
0. Oma
nih
POzi su
ričnenj
sno2.14a koročnkc
2.14
Ovou o
filta
55
O u u
nim e i
og i 42) oja čna ciju
47)
om oba
ara