050 確率と確率分布
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確率と確率分布
確率分布 累積分布関数、密度関数 二項分布、正規分布
2004.06.18 二項分布その２の数式修正2004.06.19 一般の正規分布の置換の式を追加2005.05.14 二項分布の分布関数の図を追加2007.05.09 二項分布その３追加、演習追加2008.06.04 演習問題追加2010.06.12 累積分布関数説明追加
事象 Event
事象の演算 和事象 A ∪ B union 積事象 A ∩ B intersection 余（補）事象 Ac complement 差事象 A － B difference
事象の関係 排反事象 A ∩ B =φ
特殊な事象 全事象 Ω 空事象 φ
和事象 A ∪ B union
積事象 A ∩ B intersection
余（補）事象 Ac
complement
差事象 A － B difference
対称差事象Symmetric difference
排反事象 A ∩ B =φ
A と B とが同時に起きることはない
確率 Probability
11
1
)Pr()Pr(
),2,1()(
)Pr()Pr()Pr(
0)Pr(1)Pr(
1)Pr(0
ii
ii
ijj
ji
AA
iAA
BABA
BA
A
互いに排反
排反事象
範囲
確率分布 Probability distribution
どんな値をどんな確率でとるか
離散型分布とりうる値が有限、ないし可算無限
連続型分布とりうる値が非可算無限 ( ある区間内の値 )
),2,1()Pr( ipaX ii
)Pr(
0)Pr(
bXa
aX
0
二項分布 (Binomial distribution)
1 回の試行 ( 実験 ) で A という事象が起きるか、 起きないか
A という事象が起きる確率が p 、 起きない確率が q=1-pこの試行をｎ回行ったとき、 A が起きる回数を X と
する。X の分布を二項分布といい、
X ～ Bi(n, p)と表す。
二項分布 その２
X の取り得る値 ｎ回中の回数なので 0, 1, 2, …, n
Pr(X=k) = A がｎ回中ｋ回起きる確率 = nCk pk(1-p)n-k
分布関数
][
0
][
0
)1(
)Pr()(
x
k
knkxn
x
kk
ppC
pxXxF
二項分布 その３
二項分布 Bi(10,1/6) さいころを 10 回振っ
て、 1 の目が出る回数 X の分布
kkk
knkkn
k
C
ppC
kXp
1010 )
6
11()
6
1(
)1(
)Pr(
0.1550454
)6
5()
6
1(
123
8910
)6
11()
6
1(
)3Pr(
73
3103310
3
C
Xp
( 累積 ) 分布関数 CDF
x 以下 ( 未満 ) の値を取る確率 ｘの関数F(x)=Pr(X≦x)
二項分布 Bi(10, 1/6) の場合 取りうる値は 0, 1, 2, … , 10 F(1.5)=Pr(X ≦1.5)=Pr(X=0 または X=1)
=Pr(X=0)+Pr(X=1)
二項分布 Bi(10,1/6) の分布関数
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xx
pb
ino
m(x
x, 1
0, 1
/6)
階段関数 (step function)
> pbinom(x,10,1/6) [1] 0.1615056 0.4845167 0.7752268 0.9302722 0.9845380 0.9975618 0.9997325 [8] 0.9999806 0.9999992 1.0000000 1.0000000
密度関数 PDFProbability Density Function
分布関数 (CDF) F(x)=Pr(X<x)
密度関数 (pdf)分布関数 F(x) が ｘ に関して微分可能なとき f(x)=dF(x)/dx
微分と積分の関係より
xdttfxF )()(
ｘ
)(xf
( 累積 ) 分布関数 CDFCummulative Distribution Function
1)(lim
0)(lim
)()(lim
)()()(
1)(0
)()5.169()5.170()5.1705.169Pr(
)()()()Pr(
)()Pr()(
0
2121
5.170
5.169
xF
xF
aFxF
xxxFxF
xF
dxxfFFX
dxxfaFbFbXa
dttfxXxF
x
x
ax
b
a
x
一様分布 (uniform distribution)
ルーレット 円周上に 0 から１の値 針を回し、止まったところの値
0.1
.2
.3
.9
一様分布 その２
X の取り得る値 区間 [0, 1) 内の全ての値
特にどこに針が止まりやすいわけではない
確率
分布関数
abab
bXa
全円周
)Pr(
xxXxXxF )0Pr()Pr()(
区間 [0, 1] の一様分布
正規分布 (normal dist.)
分布関数 Φ(z)密度関数 φ(z)
dttzZz
zz
z
)(}Pr{)(
]2
exp[2
1)(
2
正規分布表の使い方
数表は「標準正規分布」 Z ～ N(0,1)Pr(X<0.91)
一般の正規分布と標準正規分布
)Pr(]2
exp[2
1
:
:1
]2
)(exp[
2
1)Pr(
2
2
2
bZ
adz
z
z
baxdxdz
xz
dxx
bXa
b
a
b
a
ba
演習
Z ～ N(0,1) 、 X ～ N(158,25) のとき次の確率を求めよ。
の値 となる
の値 となる
kkX
X
Z
Z
kkZ
Z
Z
Z
05.0)|158Pr(| )8
)160150Pr( )7
)2|Pr(| )6
)1|Pr(| )5
05.0)Pr( )4
)12Pr( )3
)1Pr( )2
)10Pr( )1