パーティクルフィルタによる 4ファクター確率ボラ...

.

.

. ..

.

.

パーティクルフィルタによる４ファクター確率ボラティリティ金利モデルの推定と

債券アービトラージ戦略への応用

島井　祥行

一橋大学大学院国際企業戦略研究科金融戦略・経営財務コース

2012年 3月 22日

島井　祥行 (一橋 ICS FS) パーティクルフィルタによる４ファクター確率ボラティリティ金利モデルの推定と債券アービトラージ戦略への応用2012年 3月 22日 1 / 26

はじめに

研究背景

安定的な超過収益を得る投資戦略としてアービトラージ戦略が挙げられる。アービトラージ戦略とは、「相対的に割安な資産に投資すると同時に、これと類似した割高な資産をショートするトレーディング戦略」である。

アービトラージ型のヘッジファンドは高パフォーマンスであったが、ロシア危機・アジア通貨危機などを凌ぐことはできず多くが衰退した。市場の混乱を乗り越えられるような、より安定的なアービトラージ戦略を考案しようと考えたのが本研究のきっかけである。

債券のアービトラージ戦略として、金利モデル「2+」(3ファクターモデル)を用いたアービトラージ戦略がある (四塚（2005))。

本研究では、「2+」を拡張した金利モデル (LSCVモデル)を提案し、それを Liu-West(2001)のパーティクルフィルタで推定し、新しいアービトラージ戦略を導入する。


先行研究

先行研究

確率金利モデル債券アービトラージ戦略に利用されてきたアフィンモデルとしては「2+」がある (四塚 (2005))。確率ボラティリティを含んだアフィンモデルとしては、Heidari andWu(2009)による LCVモデルなどがある。

確率金利モデルの推定法カルマンフィルタ (Chen and Scott(2003))、MCMC(Fruhwirth-Schnatter and Geyer(1998))、無香カルマンフィルタ(Bali et al.(2009))などがある。日本では、Takahashi and Sato(2001)が Kitagawa(1996)のモンテカルロフィルタが有効であることを示しており、円スワップ市場を対象に推定を行っている。

アービトラージ戦略債券アービトラージとしては四塚 (2005)、三上・四塚（2000）、Duarte,Longstaff, and Yu(2005)、Bali, Heidari, and Wu(2009)などがある。相対価格トレードとしては Gatev,Goetzmannand Rouenhorst(2006)がある。


４ファクター確率ボラティリティ金利モデル

４ファクター確率ボラティリティ金利モデル

.LSCVモデル (level,slope,central tendency, and volatility)..

.

. ..

.

.

dX1,t = α1 (X2,t + X3,t − X1,t) dt +√

X4,t dW1,t ,

dX2,t = α2 (X2 − X2,t) dt + σ2 dW2,t ,

dX3,t = α3 (X3 − X3,t) dt + σ3 dW3,t ,

dX4,t = α4 (X4 − X4,t) dt + σ4

√X4,t (ρ dW1,t +

√1− ρ2 dW4,t) ,

rt = X1,t , α1 > α2 > α3 ≥ 0 .

「２＋」と LCVモデルを拡張した LSCVモデル。

X1 ∼ X4 は観測できない状態変数。r = X1 は「瞬間スポットレート」、X2 は「スロープ・ファクター」、X3 は「レベル・ファクター」、 X4 は「確率ボラティリティ」だと想定できる。

イールドカーブに対する主成分分析の枠組みと整合的。「確率ボラティリティ」を考慮するという事は、イールドカーブの「曲率」に目を向けているのに等しい。


パーティクルフィルタパーティクルフィルタとは

パーティクルフィルタとは

.パーティクルフィルタ..

.

. ..

.

.

事後分布に従う重み付き粒子を時間更新するアルゴリズム。

すなわち観測 yt が与えられた時、1時刻前の重み付き粒子群πt−1 =

∑Ni=1 w

(i)t−1δ(x(i)0:t−1,ψ

(i))から現在の時刻の重み付き粒子群

πt =∑N

i=1 w(i)t δ

(x(i)0:t ,ψ

(i))を数値計算により得る手続きであるa 。

ax は状態変数、w はウェイト、ψ はパラメータ、δ はデルタ関数、N は粒子数

パーティクルフィルタは、逐次モンテカルロ法の最適フィルタ問題への適用として位置付けられ、動的システムの状態推定問題を状態空間中の多数のパーティクルの数値計算により近似的に解く方法である。

パーティクルフィルタに関してはいくつか方法が提案されているが、本稿では Liu and West (2001)の方法を基本として Petris et al.(2009)による拡張を取り入れた上、推定精度を高める工夫を施している。


パーティクルフィルタアルゴリズムの概要

アルゴリズムの概要 (1)

...1 状態変数ベクトルの初期値ベクトル (x(1)0 , ψ(1)), . . . , (x

(N)0 , ψ(N)) を発

生させ、π0 =∑N

i=1 w(i)0 δ

(x(i)0 ,ψ(i))

を計算する (w0 = N−1)。

...2 以下のステップを各時点 t = 1, . . . ,T に対して適用する。...1 i = 1, . . . ,N に対して、ψ = Eπt−1(ψ)、Σ = Varπt−1(ψ)を計算し、

µ(i) = aψ(i)+(1−a)ψ , σ(i) = h2Σ , x(i)t = E (xt | xt−1 = x

(i)t−1, ψ = µ(i))

を得る1 。次に、Ef (·;γ(i))(ψ) = µ(i) ,Varf (·;γ(i))(ψ) = σ(i) を満たすような γ(i) を算出する。

...2 次のステップを k = 1, . . . ,N まで繰り返す。...1 P(Ik = i) ∝ w

(i)t−1π(yt | xt = x

(i)t , ψ = µ(i)) を満たすような Ik を計算

する。...2 j = 1, . . . , J に対して、f (·; γ(Ik )) により乱数を発生させた結果を、ψ(k)

に代入する。...3 π(xt | xt−1 = x

(Ik )t−1, ψ = ψ(k)) により乱数を発生させた結果を、x

(k)t に代

入し、x(k)0:t = (x

(Ik )0:t−1, x

(k)t ) を計算する。

1h2 = 1− a2 , 0.974 < a < 0.995島井　祥行 (一橋 ICS FS) パーティクルフィルタによる４ファクター確率ボラティリティ金利モデルの推定と債券アービトラージ戦略への応用2012年 3月 22日 6 / 26

パーティクルフィルタアルゴリズムの概要

アルゴリズムの概要 (2)

...2 (続き)...2 (続き)

...4 wt(k) を計算する。

w(k)t =

π(yt | xt = x(k)t , ψ = ψ(k))

π(yt | xt = x(Ik )t , ψ = µ(Ik ))

.

...5 w を標準化する。

w (i) =w (i)∑Nj−1 w

(i).

...6 有効標本数 Neff =(∑N

i=1(w(i)i )2

)−1

を計算する。

...7 Neff < N0 であった場合、P((x0:t , ψ) = (x

(i)0:t , ψ

(i)))= w

(i)t によってリ

サンプリングし、(x(1)0:t , ψ

(1)), . . . , (x(N)0:t , ψ

(N)) によってラベルしなおし、w

(i)t = N−1 によって更新する。

...8 πt =∑N

i=1 w(i)t δ

(x(i)0:t ,ψ

(i))を求める。


数値例状態空間表現

システムモデル

.システムモデル..

.

. ..

.

.

X1,t+1 − X1,tX2,t+1 − X2,tX3,t+1 − X3,tX4,t+1 − X4,t

=

0α2X2 − λ2σ2α3X3 − λ3σ3

α4X4

−

α1 −α1 −α1 λ10 α2 0 00 0 α3 0

0 0 0 α4 + ρσ4λ1 +√

1 − ρ2σ4λ4

X1,tX2,tX3,tX4,t

∆t

+

1 0 0 00 σ2 0 00 0 σ3 0

ρσ3 0 0√

1 − ρ2σ4

√√√√√√√

X4 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 X4

w1w2w3w4

√∆t .

a

aλ1, λ2, λ3, λ4 はリスクの市場価格。システムノイズ w1 ∼ w4 は互いに独立な標準正規分布に従う。

LSCVモデルを、実測度 P からリスク中立測度 P∗ に測度変換する。

オイラー近似により離散化する。


数値例状態空間表現

観測モデル

円 LIBOR、スワップ市場を対象に推定を行う。具体的には、LIBORの半年、スワップ金利の 1年、2年、5年、7年、10年、15年、20年を用いる (2004年 1月 7日から 2011年 8月 10日までの 397時点の週次データ)。

.LIBORと金利スワップ..

.

. ..

.

.

Lt(Xt , τn) =

(1

P(Xt , t, t + τn)− 1

)1

τn, St(Xt , τn) =

1− P(Xt , t, t + τn)

0.5∑2τ

i=1 P(Xt , t, t + 0.5i).

.観測モデル..

.

. ..

.

.

Yn,t =

{Lt(Xt , τn) + vn,t n = 1

St(Xt , τn) + vn,t n = 2, . . . , 8 a .

aτn は満期までの期間、vn,t は互いに独立な正規ノイズ


数値例推定結果

パラメータの推定結果

α1 α2 α3 α4 X2 X3

√X4 ρ

0.4 0.387 0.118 0.833 0.0201 0.0158 0.0049 0.186

λ1 λ2 λ3 λ4 σ2 σ3 σ4

-0.00352 -0.00265 -0.00081 -0.00016 0.00312 0.00395 0.00237√v1

√v2

√v3

√v4

√v5

√v6

√v7

√v8

0.00022 0.00067 0.00036 0.00048 0.00033 0.00072 0.00066 0.00058

各パラメータは、

(α1 ∼ α4, X2 ∼ X4, σ2 ∼ σ4, v1 ∼ v8) > 0 ,

−1 < ρ < 1 , (λ1 ∼ λ4) < 0 , α1 > α2 > α3 > 0 ,

の範囲に収まっており想定通りである。

概ね経済的な直観にも合う値となっており、先行研究と比較しても違和感のない数字になっている。



パラメータ分布の時系列推移 (一部)0.01

20.

016

0.02

0

x3

5% probability50% probability95% probability

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

1.6e

−05

2.2e

−05

2.8e

−05

x4


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

−0.0

040

−0.0

030

−0.0

020

λλ1


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

−0.0

025

−0.0

020

−0.0

015

λλ2


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

−1e−

03−8

e−04

−6e−

04

λλ3


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 −0.0

020

−0.0

010

0.00

00

λλ4


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

ρρ


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

時間と共に分布の幅が狭まっており、説明力の弱い粒子が徐々に消滅し、説明力の強い粒子が生き残ってゆく様子が描写されている。



理論イールドと観測イールド（クロスセクション）

0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

2005/3/30

Maturity

%

observationestimation

0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

2007/3/28

Maturity

%


0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

2008/9/24

Maturity

%


0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

2009/3/25

Maturity

%


0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

2011/3/30

Maturity

%


0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

2011/8/10

Maturity

%


リーマン・ショックの直後 (2008年 9月 24日)含め、どの時点においても理論イールドと観測イールドは概ね一致している。



状態変数の意味

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

X1

Libor6M

R2=0.93

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

01

23

4

−1.4

−1.2

−1.0

−0.8

−0.6

X2Swap5Y−Swap20Y

R2=0.74

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

X3

Swap20Y

R2=0.71

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

0.00

20.

004

0.00

60.

008

1020

3040

5060X3

Volatility of Topix

R2=0.54

X1 と LIBOR6ヶ月、X2 と 5年スワップ-20年スワップ、X3 と 20年スワップの相関は相応に高く、各状態変数はモデル構築時に想定したファクターと整合的。X4 と TOPIXボラティリテの間には正の相関がある。リーマン・ショック時は TOPIX程上昇していないが、それ以外の期間は連動している。



理論イールドと観測イールド（時系列）0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Libor6M

%

estimationobservation

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

R2=1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Swap1Y

%


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

R2=0.99

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Swap2Y%


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

R2=0.97

0.4

0.8

1.2

1.6

Swap5Y

%


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

R2=0.96

0.6

1.0

1.4

1.8

Swap7Y

%


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

R2=0.96

1.0

1.4

1.8

2.2

Swap10Y

%


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

R2=0.95

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

Swap15Y

%


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

R2=0.9

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

Swap20Y

%


2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

R2=0.86

理論イールドと観測イールドを時系列で比較する。決定係数は、(0.5, 1, 2, 5, 7, 10, 15, 20)の年限毎に (1, 0.99, 0.97, 0.96, 0.96, 0.95, 0.9, 0.86)。



OASの時系列推移

●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●

●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●

●

●

●●

●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

●

●●●●●

●●●●●●●●●●●●●

●●

●●●●●●●

●

●

●

●

●●●●●●●●●●●●●●●

●●

●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●

●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

−40

−20

020

40

Libor6M

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●

●●●●●●●●

●●

●

●●●●●●●●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●●●●●

●

●

●●●●●●●●●●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

●●●●●●●●●●●●

●●●

●●●●●●●

●

●

●

●●●

●●●●●●●●●●●●●

●

●●●●●

●●●●●●●●●

●●●●●●●

●●●

●

●●●

●●●

●●●●●●●●

●●

●●

●●

●●●

●●●

●●●●●

●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●

●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●

−40

−20

020

40

Swap1Y

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

●●●●●●●●●●●●

●

●

●

●●●●●

●●●

●

●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●

●●●●

●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●

●

●

●

●

●

●●●●●●●

●

●

●

●●

●

●●●

●

●

●●●●●

●

●●●●●●

●

●

●

●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●

●●●●●●

●●●●●●●●●

●●

●●●●●

●

●

●

●●●

●●●●

●●●●

●●●

●●

●

●

●●

●●

●●●●●

●●●●●●●

●●●●

●

●

●

●

●●●

●●

●

●

●●●●●●

●

●●

●

●

●●

●●●

●●●

●●●●●

●●

●●●

●●●●●●●

●●●●●●●●

●●●●●●●●●●

●●●●●●●●

●●●●●●●

●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●

●●●●

●●●●●●

●●●●

●

●●●●●●●

●●

●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

−40

−20

020

40Swap2Y

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

●●

●

●●

●●●●●●

●

●

●

●

●●●●

●

●●●

●

●

●

●●

●

●

●●●

●

●●●

●●●●

●

●●●●●

●●●

●

●●●●●●●

●●●●

●●●●●

●

●●●●

●●

●●

●●

●●

●

●●

●

●●●

●●●

●

●

●

●●●●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●●●●

●

●

●

●

●●

●

●●

●

●

●

●●●●●

●

●●

●●

●●

●

●

●

●●●●●

●

●

●●●

●●

●

●●●●●●●

●●

●

●

●●

●●●●

●●

●●

●●●●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●●

●●

●●●●

●

●●

●

●

●●

●●

●●●●●

●

●●

●●●●

●●●●

●

●

●

●

●●

●

●●

●

●●●

●●●●

●

●●

●

●

●●

●

●●●●●

●●●

●

●●

●

●●●

●●●●●●

●

●●●

●●

●●●●

●●●

●

●●●●●

●

●●

●●●●●

●●●

●●

●

●

●

●

●●●●●●●

●●●●●●●●●●

●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●

●●

●●●●

●●●

●

●●●●

●●

●

●●●●

●●

●

●

●

●●

●

●

●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●

−40

−20

020

40

Swap5Y

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

●●

●

●●

●●●●●●

●

●

●

●

●●●●

●

●

●●

●

●

●

●●●

●

●●●

●

●●●

●

●

●

●

●

●●

●●●

●●●

●

●

●●●●●

●

●●●●

●●●●●

●

●●●●

●●

●●

●●

●●

●●●

●

●●●

●●●

●

●

●

●

●

●●

●

●●●

●

●

●

●

●

●

●●●●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●●●●●

●

●●

●●

●●●

●

●

●●●●●●

●

●●●

●●

●●●●●●●●

●●

●

●

●●

●●●●

●

●

●

●

●●●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●●

●●

●●●

●

●

●●

●

●

●●●●

●

●●●●

●

●

●

●

●●●

●●●●

●

●

●

●

●●

●

●●

●

●●●

●●●●

●

●●

●

●

●●

●

●●●●●

●●●

●

●●

●

●●

●

●●●

●●●

●

●

●●

●●

●

●●●

●●●

●

●●●●●

●

●

●

●●●

●●

●●●

●●

●

●

●

●

●●

●●●●●

●●●●●●

●●●●

●●●●

●

●●●●

●

●●●●●

●

●●●●

●●

●●●●

●●●

●

●●●●

●●

●

●●

●●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●●

−40

−20

020

40

Swap7Y

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

●●

●

●●

●●●●●●

●

●●

●

●●●●●

●

●●

●

●

●

●●●

●

●●●

●

●●●

●

●

●

●

●

●●●●

●

●●

●

●

●

●●●

●●

●

●●

●●

●●●●●

●

●●●●

●●

●●

●●

●●

●●●

●

●●●

●●●

●

●

●

●

●●●

●

●●●

●

●

●

●

●●●●●●

●

●

●

●

●

●

●

●●●

●

●

●●●●●

●

●●

●●

●●●

●

●

●●●●

●●

●

●●●

●●

●●●●●●●●

●●

●

●

●●

●●●●

●

●

●

●

●●●

●●

●

●●●

●

●

●

●

●●

●●

●●●

●

●

●●

●

●

●●●

●

●

●●●●

●

●

●

●

●●●

●●●●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●●●

●●●●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●●●●

●●●

●

●●

●

●●●

●●●●

●●

●

●

●●

●●●

●●●

●●

●

●

●●●●●

●

●

●

●●●●●

●

●●

●●

●

●

●

●

●●●●●●●

●

●●●●●

●●

●●

●●●●

●

●●●●

●

●●

●●●

●

●●●●

●●

●●●●

●●

●

●

●●●●

●

●

●

●●

●●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●●●●●●●●●●●●

●●●●

−40

−20

020

40

Swap10Y

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

●●

●

●●

●

●●●

●●

●

●●

●

●●●●●

●

●●

●

●

●

●●●

●

●●●

●

●●●

●●

●

●

●

●●●●

●

●●●

●

●

●●●

●●

●

●●

●●

●●●●●

●

●●●●

●●

●●

●●

●●●●●

●

●●●

●●●

●●

●

●

●●●

●

●●●

●

●

●

●

●●●●●●

●

●

●

●

●●

●

●

●●

●

●

●●●●●

●

●●

●●

●●●

●

●

●●●●

●●

●●

●●

●●

●●●●●●●●

●●

●

●

●●

●●●●

●

●

●●

●●●

●●●

●●

●●●

●

●

●●

●●

●

●●

●

●

●

●●

●

●●●●

●

●●●●

●

●

●

●

●●●

●●●●

●

●

●

●

●●●

●

●

●

●●●

●●●●

●

●●

●

●

●●

●

●

●●●●

●●●

●

●●

●

●●●

●●●●

●●

●

●

●●

●

●●

●●●●●

●

●

●●●●●

●

●

●

●●●

●●

●

●

●

●●

●

●

●

●●●●●●

●

●

●

●●●●●

●●

●●

●●●●

●●

●

●●

●

●

●

●●●●

●●

●●

●●

●●

●●

●●

●

●

●●●●

●

●

●

●

●

●●

●●

●

●

●

●●

●

●

●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●

●

−40

−20

020

40

Swap15Y

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

●●

●

●

●

●

●●●

●●

●

●●

●

●●●●●

●

●●

●

●

●

●●●

●

●●●

●

●

●●

●●

●

●

●●●●●

●

●

●

●

●

●

●●●

●●

●●●

●●

●●●●●

●

●●●●●●

●●

●●

●●●●

●

●

●

●●

●

●●

●●●

●

●●●●

●●●

●

●

●

●

●●

●●●●

●●●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●●●●●

●

●●●●

●●●

●

●●●●●

●●

●●

●●

●●

●●●

●●●●●

●●

●●

●●

●●●●

●

●

●●

●●●

●●●

●●●●

●

●

●

●●

●●

●

●●●

●●

●●

●

●●●●

●

●●●●

●

●

●●

●●●

●●●●

●

●

●●

●●●

●

●

●

●●●

●●●●

●

●

●

●

●●●

●

●

●●●●

●●●

●

●●●

●●●

●●●●

●●

●

●

●●

●●●

●●●●●

●

●

●

●●●●

●

●

●

●

●●

●●

●

●

●

●●

●●

●

●●●●●●●

●

●

●●●●●

●●●

●

●●●●

●

●

●

●●

●

●

●

●●●●

●●

●●

●●

●●

●●

●●

●

●

●●●●

●

●

●

●

●

●●

●●

●●

●

●●

●

●

●●●

●●●●●●●●●●●●

●●●

●

−40

−20

020

40

Swap20Y

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

理論イールドと観測イールドの差である予測誤差を OAS(Option AdjustedSpread)と呼ぶ。乖離の幅は概ね 10～20bp内に収まっている。



ファクターローディング

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

b1(τ) τ

maturity

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

b2(τ) τ

maturity

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

0 5 10 15 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

b3(τ) τ

maturity

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

0 5 10 15 20

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

b4(τ) τ

maturity

X1 では年限が延びると共に減衰していく。X2 のピークは 3～4年であり、X3 のピークは 7～9年（債券先物のゾーン）。X4 の最下点は 5年近辺となっている。

円スワップ市場は、先物市場や国債市場の影響を強く受けていると読み取れる。


イールドの予測可能性イールドの統計分析

イールドの統計分析

満期平均標準偏差歪度超過尖度自己相関 AR(1) P値

1 5 10 20 半減期 R2 ADF PP6m 0.42 0.35 0.27 -1.2 1 0.98 0.95 0.88 189.6 1 0.99 0.991y 0.51 0.33 0.18 -1.22 0.99 0.97 0.94 0.86 136.33 0.99 0.98 0.992y 0.6 0.33 0.27 -1.2 0.99 0.96 0.9 0.8 81.25 0.99 0.87 0.953y 0.72 0.34 0.37 -1.24 0.99 0.94 0.87 0.75 60.75 0.98 0.72 0.94y 0.84 0.34 0.42 -1.2 0.99 0.93 0.85 0.71 49.2 0.98 0.65 0.825y 0.97 0.34 0.44 -1.09 0.98 0.92 0.83 0.68 41.39 0.97 0.58 0.746y 1.09 0.34 0.42 -0.95 0.98 0.91 0.81 0.65 35.59 0.97 0.52 0.667y 1.22 0.32 0.39 -0.82 0.98 0.9 0.79 0.62 31.18 0.96 0.44 0.578y 1.34 0.31 0.36 -0.73 0.98 0.89 0.78 0.59 28.19 0.96 0.37 0.499y 1.45 0.3 0.33 -0.66 0.97 0.88 0.76 0.56 25.83 0.96 0.31 0.4310y 1.55 0.28 0.3 -0.63 0.97 0.87 0.75 0.54 23.86 0.95 0.26 0.3715y 1.91 0.25 0.08 -0.54 0.96 0.84 0.7 0.44 17.93 0.93 0.09 0.1620y 2.13 0.24 -0.17 -0.43 0.96 0.83 0.69 0.42 15.89 0.93 0.07 0.0930y 2.29 0.26 -0.49 -0.44 0.96 0.86 0.75 0.51 18.54 0.94 0.08 0.09

平均 1.22 0.31 0.23 -0.88 0.98 0.9 0.81 0.64 53.97 0.96 0.49 0.59

自己相関はラグ１で 0.96から 1.00であり平均は 0.98。AR(1)モデルに当てはめると、半減期は平均で 53.97週になる。イールドは正の相関が非常に高く持続的だと評価できる。

ADF検定・PP検定によると、全てのイールドが有意水準 5%で単位根であるという帰無仮説を棄却できない。


イールドの予測可能性 OASの統計分析

OASの統計分析

満期平均標準偏差歪度超過尖度自己相関 AR(1) P値

1 5 10 20 半減期 R2 ADF PP6m 0 0.02 1.78 10.67 0.54 0.07 0.06 -0.08 1.14 0.3 0.01 0.011y 0.04 0.04 -1.09 3.24 0.62 0.32 0.34 0.12 1.47 0.39 0.08 0.012y 0.01 0.05 -0.09 1.06 0.61 0.4 0.25 0.06 1.41 0.38 0.02 0.013y 0 0.06 0.38 1.24 0.51 0.29 0.12 0.01 1.04 0.27 0.01 0.014y -0.01 0.06 0.51 1.19 0.46 0.24 0.11 0.05 0.89 0.22 0.01 0.015y -0.02 0.07 0.54 0.78 0.43 0.21 0.13 0.09 0.81 0.19 0.01 0.016y -0.02 0.07 0.4 0.57 0.4 0.16 0.1 0.07 0.76 0.17 0.01 0.017y -0.01 0.07 0.4 0.55 0.36 0.09 0.08 0.06 0.69 0.14 0.01 0.018y 0 0.07 0.14 0.99 0.35 0.05 0.04 0.01 0.65 0.13 0.01 0.019y 0.01 0.07 -0.07 1.42 0.34 0.04 0.04 0.01 0.64 0.12 0.01 0.0110y 0.02 0.07 -0.02 0.97 0.35 0.05 0.08 0.05 0.66 0.13 0.01 0.0115y 0.02 0.08 -0.28 1.25 0.55 0.28 0.27 0.15 1.16 0.31 0.01 0.0120y -0.01 0.09 -0.84 2.69 0.61 0.33 0.28 0.09 1.39 0.38 0.02 0.0130y -0.13 0.13 -1.3 2.29 0.81 0.63 0.55 0.33 3.3 0.67 0.08 0.01

平均 -0.01 0.07 0.03 2.07 0.5 0.23 0.17 0.07 1.15 0.27 0.02 0.01

自己相関はラグ 1で 0.34から 0.81であり平均は 0.5。AR(1)モデルに当てはめると、半減期は平均 1.15週になる。OASは正の相関はあるがイールド程持続的ではない。

ADF検定・PP検定によると、1年・30年スワップの ADF検定を除き、有意水準5%で単位根であるという帰無仮説を棄却できる。


イールドの予測可能性金利の予測可能性

金利の予測可能性

イールドの生データは単位根に近い動きをしており、イールド自体の動きを予測するのは困難。

OASは単位根ではなく、イールドの生データよりも平均回帰性が強いため、予測できる可能性が高い。

確率金利モデルは、直接イールドの予測に利用するのではなく、イールドを分解するツールとして使うのが有効だと考えられる。

イールドを、OASからなる平均回帰性の強い予測し得る部分と、それ以外の持続性が高く予測しにくい部分（＝理論イールド）とに分け、ポートフォリオ運用に活かす運用戦略が可能になる。(Bali etal.(2009))

次節では、パーティクルフィルタによる推定結果を利用し、LSCVモデルに基づく債券アービトラージ戦略について議論する。


債券アービトラージ投資戦略ヘッジポートフォリオの構築

ヘッジポートフォリオの構築

本節では、円スワップ市場を投資対象として、LSCVモデルを用いた債券アービトラージ投資戦略を提案し、その有効性をバックテストする。

観測イールドを、予測し得るＯＡＳと予測しにくい理論イールドに分割し、理論イールド部分についてはリスクをすべてヘッジする。そのようなポートフォリオをヘッジポートフォリオと呼ぶ。

LSCVモデルは「瞬間スポットレート」、「スロープ・ファクター」、「レベル・ファクター」、「確率ボラティリティ」の４つのリスクを内包している。4つのリスクを完全にヘッジするためには、５つの金利スワップへの投資が必要となる。

まず初めに、金利スワップのイールドカーブ上で (2, 5, 7, 10, 20)年の5本を選び、ヘッジポートフォリオを構築する。


債券アービトラージ投資戦略ミスプライスの観察方法

ミスプライスの観察方法.ミスプライスの観察方法..

.

. ..

.

.

...1 ４ファクターモデルである LSCVモデルを推定する。イールドカーブを代表すると考えられる 8個の年限から、パーティクルフィルタによって推定を行う。

...2 流動性が特に高い 5つ (2, 5, 7, 10, 20)のイールドを選びヘッジポートフォリオを構築する。ここでは OAS要因と時価変動要因を両方組み込んだ OASエクスポージャーを導入してミスプライスを管理するa 。

OASEXPt =5∑

i=1

wt,TiOASt,TiDURt,Ti .

...3 観測 OASエクスポージャー＞ (＜)OAS理論エクスポージャーであれば、ヘッジポートフォリオをロング (ショート)する。

...4 OASエクスポージャーが平均回帰したらポジションを閉じる。

aTi は満期、DURt,Ti は金利感応度、wt,Ti はウェイト


債券アービトラージ投資戦略閾値を設けたトレーディング手法

閾値を設けたトレーディング手法

リスクが完全にヘッジされているため、ヘッジポートフォリオへの投資はOASエクスポージャーへの投資と置き換えることができる。

AR(1)過程を仮定し半減期を計算する。半減期情報を基準に、スプレッドが収束する水準と収束までの所要時間を理論的に定めることができる。

.閾値を設けたトレーディング手法..

.

. ..

.

.

...1 t 時点における過去１年（＝ 52時点）の平均 µt 、標準偏差 σt、そして半減期 HLt を計算する。

...2 t 時点の水準が µt + aσt を上回っていればヘッジポートフォリオをロング、µt − aσt を下回っていればヘッジポートフォリオをショートする。t 時点の水準が、µt + aσ と µt − aσt の間であれば投資を見送る。

...3 投資ホライズンを b ·HLt 週間と定め、b ·HLt 週間の間に、µt + ( 12 )

b(yt − µt)まで収束すればその時点でポジションを閉じる。収束しなければ b ·HLt 週間後にポジションを閉じるa 。

aa、b はある定数、yt は t 時点の OASエクスポージャー、HLt は t 時点の半減期


債券アービトラージ投資戦略バックテスト結果

バックテスト結果

閾値ポジションポジション勝率収束率累積リターン平均クローズ平均分散最大値最小値歪度超過尖度シャープ構築回数構築率 (%) (%) (%) (bp) 期間 (week) (bp) (bp) (bp) (bp) レシオ

Case A1：horizon= 1 ·HLt

1σt 96 45 64 24 58.41 1.8 0.57 1.63 6.3 -4.46 0.42 4.23 1.891.5σt 56 26 72 27 56.11 1.85 0.94 1.62 6.3 -2.19 0.79 3.86 3.062σt 20 9 86 24 31.37 1.86 1.49 1.75 6.3 -2.19 0.49 4.02 4.53

平均 57 27 74 25 48.63 1.83 1 1.66 6.3 -2.95 0.57 4.04 3.16


1σt 96 45 69 26 93.95 4.78 0.91 1.9 6.3 -4 0.19 3.85 1.591.5σt 56 26 72 22 70.7 5.05 1.18 1.96 6.3 -3.84 0.45 3.77 1.932σt 20 9 81 19 35.25 5.1 1.68 2.1 6.3 -0.71 1.17 3.19 2.55

平均 57 27 74 22 66.63 4.97 1.26 1.99 6.3 -2.85 0.6 3.6 2.02


1σt 96 45 68 35 123.61 7.5 1.2 2.27 6.88 -5.2 0.12 3.02 1.391.5σt 56 26 68 32 90.68 8.12 1.51 2.51 6.88 -5.2 0.1 2.7 1.532σt 20 9 76 29 43.14 8.48 2.05 2.57 6.88 -1.19 0.49 1.97 1.98

平均 57 27 71 32 85.81 8.03 1.59 2.45 6.88 -3.87 0.24 2.56 1.63

全平均 57 27 73 26 67.02 4.95 1.28 2.03 6.5 -3.22 0.47 3.4 2.27

2006年 11月 16日から 2010年 12月 29日の週次の 216時点を投資機会と設定し、債券アービトラージ投資戦略をバックテスト。シャープレシオはＡ１平均 3.16、Ａ２平均 2.02、Ａ３平均 1.63と高い水準を確保。歪度がプラス (リターンがプラスに伸びている)になっている。「アービトラージ戦略は、平時は安定的だ市場混乱時は大きくマイナスになる」という説への反証となる。しかし、ヘッジポートフォリオが５本のスワップから組成されることを考慮すると、取引コストが想定以上にかかる可能性もあり、投資妙味があるかはわからない。


まとめ実証分析の結果

実証分析の結果

.LSCVモデルの推定結果からのインプリケーション (前半部分)..

.

. ..

.

.

瞬間ショートレートと確率ボラティリティの相関は正であり、スワップ金利は (株式程ではないが)売り圧力が強い局面でボラタイルになる傾向がある。

瞬間スポットレートの行き先・均衡水準はやや長めで５年ゾーンになっている。

円スワップ市場は先物市場や国債市場の影響を強く受けている。

.投資戦略のバックテスト結果からのインプリケーション (後半部分)..

.

. ..

.

.

バックテストの結果を見ると高パフォーマンスだが、取引コストを考慮すると投資妙味があるかはわからない。

全てのリスクをヘッジすると、トレードに見合うミスプライスは発生しない可能性がある。「市場に裁定機会は存在しない」という結論は、投資家にとっては悲劇であるがファイナンス理論とは整合的である。

円スワップのイールドが低金利・低ボラティリティであり、取引コスト考慮後で収益を確保できる程のミスプライスが発生していないとも解釈できる。高金利・高ボラティリティ市場 (新興国など)では、トレードに見合うだけのミスプライスが発生するかもしれない。


まとめ本論文の貢献

本論文の貢献

金利モデルを一般化状態空間モデルで表現し、状態推定やパラメータ推定の手法として Liu and West(2001)のパーティクルフィルタが適用可能であることを明らかにした。

イールドカーブの再現性の高い４ファクター確率ボラティリティ金利モデルを提案した。

OASエクスポージャーという新しい概念を取り入れた債券アービトラージ投資戦略を提案した。

時点によって変わる半減期の情報を利用して投資ホライゾンや売却ポイントを定める新しいトレード手法を導入した。


主要参考文献

主要参考文献

Bali,T.G., M.Heidari. and L.Wu.(2009), Predictability of Interest Rates and Interest-RatePortfolios, American Statistical Association Journal of Business and Economic Statistics,27(4),517-527.

Dai,Q. and K.Singleton.(2000), Specification Analysis of Affine Term Structure Models,Journal of Finance, 55 (5), 1943-1978.

Duarte,J., F.A.Longstaff, and F.Yu.(2007), Risk and Return in Fixed Income Arbitrage:Nickels in Front of a Streamroller?, Review of Financial Studies, 20(3), 769-811.

Gatev,E., W.Goetzmann. and K.Rouwenhorst.(2006), Pairs Trading: Performance of aRelative Value Arbitrage Rule, Review of Financial Studies,19,797-827.

Heidari,M. and L.Wu.(2009), A Joint Framework for Consistently Pricing Interest Ratesand Interest Rate Derivatives, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 44(3),517-550.

Liu,J. and M.West.(2001), Combined Parameter and State Estimation inSimulation-Based Filtering, in A.Doucent,N.De Freitas and N.Gordon(eds), SequentialMonte Carlo Methods in Practice,Springer,New York.

Petris,G., S.Petrone. and P.Campagnoli.(2009), Dynamic Linear Models withR,:Springer-Verlag.

Pitt,M.and Shephard.N.(1999), Filtering via Simulation: Auxiliary Particle Filters, Journalof the American Statistical Association,94,590-599.

四塚利樹 (2005),「イールドカーブ戦略の理論と実践」,早稲田大学ファイナンス総合研究所,working paper series.


パーティクルフィルタによる 4ファクター確率ボラ...

Documents