4. 双曲型偏微分方程式の数値解法入門

双曲型の偏微分方程式（ partial differential equation, PDE ）の最も簡単なの例として 1 変数の線形 PDE 　 　 　 を考える ;

後の議論のために、放物型の偏微分方程式簡単な例として 1 変数の拡散方程式　　　　　　　　　　　　も思い出しておこう。 α は定数である。

この方程式の意味は大雑把に言って、 Δx のセル内に流入流出する f の量がフラックス その結果セル内で f が時間的に変化する割合が

Δxこの方程式は f (t － x/c) を解に持つ。

x

t

• 有限差分法　（　 Finite difference method ， PDE の数値解法の一つ）

線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例

(1) FTCS (Forward in Time and Central difference Scheme ，陽的オイラー法 ).

に代入して、

x

t

陽的 Euler 法では、　　　　の値を計算するのに、点線のピラミッドの形の下の部分が使われている。この部分を影響領域（ Domain of dependence ）と呼ぶ 　｡

x

t

影響領域　 Domain of dependence

この数値スキームの影響領域は物理的な影響領域を含んでいる必要がある。また，数値スキームの影響領域は差分法が異なると違ったものになる。

線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例

(1) FTCS (Forward in Time and Central difference Scheme ，陽的オイラー法 ).

(2) Lax (- Friedrich) scheme 　 （ラックス－フリードリッヒ） .

(3) Leap-Flog scheme 　 （リープフロッグ　蛙飛び）

(4) Lax-Wendroff scheme 　 （ラックス－ウェンドロフ）

(5) 1st order upwind scheme ， 1 次の風上差分

cf) 　拡散方程式　　　　　　　　　　　の差分スキーム（陽的オイラー法）

• Lax, Lax-Wendroff, 1 次風上の各スキームは、 FTCS scheme +. 拡散項 　　の形で解釈することが出来る。

線形波動方程式 の陽解法の例 － 別の見方

ここで、タイムステップ と格子点間隔 h を適当に調整して、　　　　　　となるように取ってみる。すると差分スキームは

となる。これは、　　　の値を計算するのに

前の時間ステップでの左右の格子点での値を平均していることになっている。→ 　平均すると関数の値がだんだん鈍っていって　 拡散していくように見える。

• Lax, Lax-Wendroff, 1 次風上の各スキームは、 FTCS scheme +. 拡散項 　　の形で解釈することが出来る

(1) 陽的オイラー法 (FTCS : 時間前進差分、空間中心差分 ).

(2) Lax (- Friedrich) 法 .

(3) Lax-Wendroff 法 .

(4) 1 次風上差分法　 1st order upwind scheme

( 負の特性速度 c の場合にもそのまま使える書き方。 )

( 拡散項が一番小さい )

線形波動方程式 の陽解法の幾つかの例　（続き）

精度から要求されるステップサイズ と h に対する制限

実際には は精度でよりも有限差分法の安定性でより強く制限される。

の差分法の記法のひとつとして、

PDE の数値解法の基本概念の要約　　（ ODE の場合と類似している）

• 大域差分誤差（ Global discretization error ）

• 局所打切り誤差（ Local truncation error ） : PDE の厳密解が有限差分方程式を満たしていない度

合い。ex.) One-step method.

Definitions: ( 適合性　 Consistency)

Definitions: ( 収束性　 Convergence)

Definitions: ( ゼロ安定性　 Zero-Stability 　， h ! 0 の時の安定性条件 )

Definitions: ( 絶対安定性 - h が有限の値に固定された時の安定性条件）

Remark: 安定性解析の目的は、摂動が増大しないことを保証する 　　　 0(h) の値を決めることである。摂動が増大しないためには、

ゼロ安定の場合には，行列 C0(h) のサイズは n ! 1 の極限で増大することもあることに注意せよ。

Theorem: (Lax’s equivalence theorem) Convergence ) Zero (or Absolute) - stability.Zero (or Absolute) - stability and Consistency ) Convergence.

境界面、　　 j–1/2, j+1/2 , 　 　 で流束（ flux ）を定義する。そして、 PDE を時間方向に陽的オイラー法で差分化する

有限体積差分法保存法則（保存形をした PDE ）の有限差分近似を導くのに適した考え方。

j+1jj–1

j–1/2 j+1/2

格子点間の中点を境界面にした仮想的な単位体積を考える。

ただし、境界面　 j-1/2, j+1/2… 　には格子点がない（データがない）！ 格子点での値　　　　　　　　　　　　　　　を使って流束　　　　を計算する。陽的 Euler, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind 法を　　　　を用いて書き直す。 (1) 陽的 Euler :

(2) Lax :

(3) Lax-Wendroff :

(4) 1st order upwind :

(1) 陽的 Euler :

ノイマンの安定性解析　 von Neumann stability analysis.

• 等間隔格子点と周期的境界条件を空間方向に仮定した下で、線形 PDE　　のを解くための数値スキームの安定性を解析する方法。

有限差分方程式が次の様な解を持っている場合を考える。

この場合、摂動 も同じく　　　　　　　　　　　　　の様に書ける。

この式に上のフーリエ級数展開を代入すると、　　　　　　　　　　となる。係数　　　　を増幅因子と呼ぶ。初期値 t = 0 まで戻れば、この式は　　　　　　　　　　とも書ける。

PDE の有限差分法の一段階公式（ one-step formula ）は、 h と τ に依存する行列 C0 を用いて一般に　　　　　　　　　　　 ，従って摂動　　　　　　　　　　　も同様に　　　　　　　　　　　　を満たす。

ノイマンの安定性解析　 von Neumann stability analysis. 　続き

θ が 0 に近いほうが、長波長、低周波モードに対応し、　 　 　 π に近いほうが、短波長、高周波モードに対応する。

これより、　　　　　　　　と　　　　　　　　が一般に各モードの増幅率と位相差を表す。

増幅因子　　　 は一般に複素数なので、振幅と位相にわけてやる。 増幅率

位相差

PDE 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 の解析解は f (t － x/c) なので、厳密な増幅率と位相差は、

ノイマンのゼロ安定性（ zero stability ）条件 :

ノイマンの絶対安定性（ absolute stability ）条件 :

線形の PDE に線形の差分法を適用した場合には、各モードは独立になる。従って、　　　　　　　　　　が 1以下ならばモードは増大しない。

（参考）離散フーリエ解析の公式

差分スキームのノイマンの安定性解析では離散フーリエ変換を利用した。このために必要な公式を下にまとめる。

格子点を　　　　　　　　　　　ととり、のように周期境界条件を課す。独立な点は従って、の N 点になる。これに対応して、 N個の独立な基底を取ることが出来る。

これより、離散フーリエ変換を次の様に定義できる；

公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　より、逆変換は

実空間と波数空間での l2 ノルムの値の間には Perceval の公式が成り立つ；

課題 4-2) FTCS, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind, の各有限差分法で、　　　　　　線形 PDE 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 を次の初期条件の場合に解け。

　　　　　　各数値スキームにより、シミュレーションの結果の様子が異なる。

　この理由を考察せよ。また、初期条件を変えてシミュレーション 　を実行してみよ。 (課題の解説を参照せよ。 )課題 4-3) FTCS, Lax, Lax-Wendroff, 1st order upwind, の差分法について

ノイマン解析を行い、シミュレーションの結果と比べてみよ。

課題 4-1) Lax-Wendroff 法が 2 次精度の有限差分スキームになっていることを示せ。