LISTA DE EXERCICIOS LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS

PROFESSOR: KITO 1. (Fuvest 2006) Na figura a seguir, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é

a) 1712

b) 1912

c) 2312

d) 2512

e) 2912

2. (Pucsp 2008) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte.

Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros,

a) (5 3)

3 b)

(8 3)3

c) (10 3)

3 d) 5 3

e) 10 3 3. (Fgv 2008) Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que med(BÂD) =120°, med(ABC) = med(ADC) = 90°, AB = 13 e AD = 46. A medida do segmento AC é a) 60. b) 62. c) 64. d) 65. e) 72. 4. (Uece 2008) Em um triângulo, as medidas de seus lados, em metros, são três números inteiros consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor. A medida do menor lado deste triângulo é a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m 5. (Unicamp 2006) Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro

da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente. a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO. b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F. 6. (Ufscar 2006) Se os lados de um triângulo medem x, x + 1 e x + 2, então, para qualquer x real e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a a) x / (x + 1). b) x / (x + 2). c) (x + 1) / (x + 2). d) (x - 2) / 3x. e) (x - 3) / 2x. 7. (Ufpa 2008) Considere as seguintes informações: - De dois pontos A e B, localizados na mesma

margem de um rio, avista-se um ponto C, de difícil acesso, localizado na margem oposta;

- Sabe-se que B está distante 1000 metros de A; - Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado

para medir ângulos) foram obtidas as seguintes

medidas: BÂC=30° e A B C= 80°. Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o comprimento da ponte será de aproximadamente Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340 a) 524 metros b) 532 metros c) 1048 metros d) 500 metros e) 477 metros Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70° =

0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340 8. (Fatec 2009) Sejam α, β e γ, as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Se senα/senβ = 3/5, senα/senγ = 1 e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do maior lado desse triângulo é: a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25. 9. (Fuvest 2009) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120°, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a: a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125 10. (Unicamp 2010) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras

a seguir ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Suponha que a rampa que Laura deve subir

tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0,99 . Suponha, também, que cada

pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.

b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.

11. (Unemat 2010) Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e = 900 .

Qual a medida do segmento AD?

a) 3 b) 4 3 c) 100 3

d) 25 12 3 e) 2 3 12. (Uerj 2010) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano.

O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A. Considere que: • o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas;

• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC. Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x)

c) 2y sen(x) 16 cos (x)

d) 2y cos(x) 16 sen (x) 13. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30º, e o vale 105º, como mostra a figura:

a) 12,5. b) 12,5 2 . c) 25,0. d) 25,0 2 . e) 35,0. 14. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e

14MN 4 .Então, DM é igual a

a) 2

4 b)

22

c) 2 d) 3 2

2 e)

5 22

15. (G1 - IFAL 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30º e os lados que formam cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. a) 6 cm b) 3 cm c) 3 3 cm

d) 7 cm e) 15 3 cm

16. (Ufg 2010) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir.

A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono.

GABARITO:

1) E 2) C 3) B 4) B 5) a) DO = 5 cm, EO = 7 cm e FO = 7 cm b) DE = 2 29 cm, DF = 130 cm e EF = 7 2 cm 6) E 7) A 8) D 9) D 10) 100 passos = 100. 3,15 = 315m a) Na figura 1 sen2 = 1 – cos2

sen2 = 1 - 299,0

sen2 = 0,01 sen = 1/100 b) na figura 2

aplicando o teorema dos cossenos.

222 = b2 + b2 – 2b.b.23

cmb

b

b

3222

)32.(22

3232.

3122

2

22

11) D 12) D 13) B 14) B 15) D

16) ˆQAR 360 240 120 .