060200 eym examen

5/9/2018 060200 EyM Examen - slidepdf.com

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1

PROBLEMA 1

PROBLEMA 3

EXAMEN PRIMERA SEMANA. Febrero 2006

M

a

g

ne

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y



2

Sobre un segmento rectilíneo de longitud a y unasemicircunferencia de radio 2a y centro en el punto A (0,

a, 0) se distribuye una densidad lineal de carga P (véasefigura). Calcular el campo eléctrico y el potencial en el punto A.

Z

Y

a

2a

A

PROBLEMA 1. Cálculo de campo eléctrico y potencial (aportaciones infinitesimales)

Pasos previos: cálculo del campo creado por una densidad linealde carga P (ver cálculo 1.1) y del campo creado por una densidadconstante P sobre una semicircunferencia (ver cálculo 1.2)

Campo del segmento rectilíneo:

Campo de la semicircunferencia:

¼½»

¬« ¹

º ¸©

ª¨ ! z y uu

a E

TTT1

51

52

4

0TI P

a

u E z

02

TI

PTT

!

Campo total en A: ¼½

»¬«

¹ º

¸©ª

¨! z y uu

a E

TTT1

5

1

5

2

4

0TI

P

Cálculo del potencial creado por una densidad lineal de carga (ver cálculo 1.3) y por una densidad lineal sobreuna semicircunferencia (ver cálculo 1.4).

15ln4 0

!TI

PV

04

I

P

!V

Campo del segmento rectilíneo:

Campo de la semicircunferencia:

Potencial en A

15ln4 0

! T TI

PV

M

a

g

ne

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y



3

PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales)

Z

Y

a/2

a

Por una espira, formada por una semicircunferencia ydos tramos rectos tal como indica la figura, circula la

corriente I . Calcular el campo magnético en el origen decoordenadas.

Pasos previos: cálculo del campo magnético creado por unfilamento rectilíneo que conduce la corriente I (ver cálculo 3.1) y del campo magnético creado por una

corriente I sobre una semicircunferencia (ver cálculo 3.2)

Puesto que todos los elementos conductores están situados en el planoYZ, el campo magnético resultante en el origen tendrá la dirección deleje X (perpendicular al plano del esquema)

Bd T

El campo magnético en origen de los tramos rectilíneos estará dirigido

en sentido entrante (compruébese con la regla de la mano derecha). Eldel tramo semicircular está dirigido en sentido saliente. Puesto que ladistancia de los elementos de corriente del tramo semicircular al origenes mayor, el campo neto debe ser de sentido entrante (se comprobará).

M

a

g

ne

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y



4

M

a

g

ne

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y

PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales, continuación)

? A xuh

I B

TT! 21

0 sensen4

UUT

Q

A) Tramos rectilíneos

Según la orientación de la espira respecto a los ejes coordenados, el campode cada tramo rectilíneo se expresa como

Z

Y

a/2

a

donde h = a/2 y los ángulos U1 y U2 son para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y 30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es lamisma porque en el resultado final figura la suma de los senos de los ángulos).

1

2

3

xu

a

I B

TT¼

½

»¬«

!2

3

2

1

2/40

1T

Q

xu

a

I B

TT¼

½

»¬«

!2

1

2

3

2/40

2T

Q

B) Tramo semicircular: su sentido es saliente xua

I B

TT

40

3 Q

!

X

x x u

a

I u

a

I B B B B

TTTTTT

42

1

2

3

2/42 00

321 Q

T

Q¼

½

»¬«

!!

Campo total:

À¿¾

°¯®

¼½

»¬«

! x x uua

I TT

2

1

2

34

40 T T

Q

? A xua

I TT! T

T

Q132

40



5

CÁLCULOS M

a

g

n

e

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y



6

h

Z

Y

L

Cálculo 1.1. Campo eléctrico debido a densidad lineal de carga P en un punto arbitrario P.

Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuidasobre un segmento de longitud L con la orientación mostradaen la figura.

dz

PUU1

U2

z

UUT I

P

T I

Psencos

44 20

20

z y z y uur

dzd d

r

dzd

TTTTT!!

yd T

zd T

r

d T

dzdq P!Calculemos el campo en P

Relación entre el ángulo U y la coordenada z:

Utgh z !(El signo negativo obedece a que cuando la coordenada z decrece, elángulo U aumenta, pues su sentido positivo es el sentido antihorario)U

Ud

hd z 2cos

!

UU

UTI

UUPsencos

cos/4

cos/22

0

2

z y uuh

d h E d

TTT!

U2

22

cos

hr !

UUT I

UPsencos

4

0 z y uu

h

d TT! Límites de integración: -U1 y U2

!

2

104

sencosU

U

UTI

UUPd

h

uu E

z y

TTT 2

1cossen

4

0

UU

UUTI

P

! z y uuh

TT ? A21120

coscossensen4

UUUU

T I

P! z y uu

h

TT

El ánguloU es positivo en sentido antihorario y su línea de referencia es lahorizontal que pasa por P; por tanto los ángulos por encima de la horizontalque pasa por P tienen una contribución negativa a E z ya que su seno esnegativo (esto es lo que se muestra en el dibujo, pues se ha pintado unelemento d z por encima de esa horizontal). Los elementos d z por debajo de esa

horizontal tienen contribución positiva, pues su seno es positivo. Véase quetodas las contribuciones a E y son positivas, pues cos U = cos (-U).Tomamos como origen este punto

Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando h = a, L = 2a, cosU1 = 1/�5, senU1 = 2/�5, U2 = 0

¼½

»

¬

«

¹ º

¸

©ª

¨

! z y uua E

TTT

15

1

5

2

4

0TI

P

VOLVER

VOLVER Cálculo 3.1

M

a

g

n

e

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y



7

U0

Cálculo 1.2. Campo eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal P) en su centro.

VOLVER

P Rd U

Z

YU

d U R

yd T

z E d T

E d T

Sea un arco de circunferencia de U0 radianes y radio R con densidad lineal P C/m

El sentido positivo del

ángulo U es el antihorario. UUT I

UP

T I

UP

sencos44 020

z y z y uu R

d

d d R

Rd

d

TTTTT

!

!

Límites de integración: 0 y U0

´ !

0

00

sencos4

U

UUTI

UP z y uu

R

d E

TTT 0

00

cossen4

UUUTI

P z y uu

R

TT!

? A1cossen4

00

0

! UUTI

P z y uu

R E

TTT

Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, U0 = T rad

a

u E z

02

TI

PTT

! M

a

g

n

e

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y



8

Cálculo 1.3. Potencial eléctrico debido a densidad lineal de carga P en un punto arbitrario P.

h

Z

Y

L

d z

PUU1

U2

z

dzdq P!

Tomamos como origen este punto

VOLVER Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuidasobre un segmento de longitud L con la orientación mostradaen la figura.

r

d zd V

04TI

P!

Calculemos el potencial en P

UTI

UUP

cos/4

cos/

0

2

h

d h! r

Ucosh

r !

!

2

1

sec4 0

U

UUUTI

Pd V

Utgh z ! UUd

hd z 2cos

!

UTI

UP

cos4 0

d ! UU

TI

Pd sec

4 0

!

2

1tansecln4 0

UUUUTI

P!

2

1tansecln

4 0

UUUU

TI

P

!V _ a _ a12120

tantansecsecln4

UUUUTI

P!

_ a _ a12120

tantansecsecln4

UUUUTI

P!V

Caso particular planteado en nuestro problema:h = a, L = 2a, cosU1 = 1/�5, secU1 = �5, senU1 = 2/�5, tanU1 = 2

U2 = 0, cosU2 = 1, secU2 = 1, senU2 = 0, tanU2 = 015ln

4 0

!T I

PV

M

a

g

n

e

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y



9

Cálculo 1.4. Potencial eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal P) en su centro.

VOLVER

U0

P Rd U

Z

YU

d U R

El sentido positivo del

ángulo U es el antihorario.00 44 TI

UP

TI

UP d

R

Rd

d V

!!Límites de integración: 0 y U0

´!

0

004

U

T I

UPd V 0

004

UUTI

P!

0

0

4

TI

PU!V

Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, U0 = T rad

04 I

P!V

Sea un arco de circunferencia de U0 radianes y radio R con densidad lineal P C/m

M

a

g

n

e

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y



10

M

a

g

n

e

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y

Cálculo 3.1. Campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario.

E

U

l d I T

r

h

r u

T

d T

EU ! 90

EU sincos !

20

4 r

ul Id Bd r

TTT v

!T

Q

El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un puntocomo el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha delconductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura)

Cálculo del campo por Biot y Savart:

u I d l ul I d r

TTT�!v Esen

Vector unitario perpendicular al planode la figura, entrante a la izquierda y

saliente a la derecha de la misma

u Id l T

�! Ucos

ur

Id l T�! U

T

Qcos

4 20

Utghl !

UU d

h

d l

2cos!

l

UUUU

T

QU

T

Qd

h

h I

r

I d l dB cos

cos/

cos/

4cos

4 22

20

20 !!

Ucos

hr !

UUT

QU

T

Qd

h

I

r

Id l dB cos

4cos

40

20 !!

Módulo dB

!

2

1

cos4

0

U

U

UUT

Qd

h

I B

l d I T

h

r uT

Bd T

U

r

U1

U2

Discusión de lossignos en Cálculo 1.1.

? A120 sensen

4UU

T

Q!

h

I ? A21

0 sensen4

UUT

Q!

h

I

VOLVER

CASO PARTICULAR: En nuestro problema h = a/2 y los ángulos U1 y U2 son,respectivamente, para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es la misma porque en elresultado final figura la suma de los senos de los ángulos).



11

Cálculo 3.2. Campo magnético de un conductor semicircular en su centro.

VOLVER Z

Y

a

a

U

l Id T

d U

r uT

El campo magnético en el centro debido a cada elemento de corrientetiene sentido saliente (compruébese con la regla de la mano derecha)

20

4 r

ul Id Bd r

TTT v

!T

Q

Bd T

ua

Id l T�! 90sen

4 20

T

Q Los vectores dl y ur son perpendicularesEl vector u es unitario y saliente

UT

Q

T

Qd

a

Ia

a

I d l dB

20

20

44!!Módulo dB U

T

Qd

a

I dB

40!

Para calcular el campo en el origen producido por un arco de circunferenciade U0 radianes debemos integrar entre los límites U = 0 y U = U0 .

´!

0

0

0

4

U

UT

Qd

a

I B 0

0

4U

T

Q

a

I !

Si se trata de una semicircunferencia U0 = T

ua

I B

TT

40 Q

! M

a

g

n

e

t

i

s

m

o

E

l

e

c

t r

i

c

i

d

a

d

y

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