Использование пакета GALA-3.0 для анализаи решения краевых задач

Бибердорф Э.А.Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН

Новосибирский государственный университет

Попова Н.И.Институт ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН

1

GALA-3.0 – Guaranteed Accuracy in Linear Algebra

зарегистрирован 9.9.2010 в Реестре программ для ЭВМ Федеральнойслужбы по интеллектуальной собственности и товарным знакая, свиде-тельство № 20615904

Контроль точности вычислений* Рост объемов вычислений ⇒ неконтролируемый рост по-

грешностей.* Широкое использование математического обеспечения в

прикладных областях ⇒ отсутствие профессиональногоанализа свойств задачи и адекватной интерпретации ре-зультата вычислений.

* Высокие требования к точности в ряде прикладных обла-стей (физика, инженерия и др.) вступают в противоречиес отсутствием гарантии точности многих вычислитель-ных методов.

В пакете реализованы алгоритмы, допускающие использование методаобратного анализа погрешностей

2

Структура пакета GALA-3.0

3

Модуль SweepMod. Основная процедура Sweep - чис-ленное решение краевой задачи для линейных систем ОДУметодом ортогональной прогонки

d

dxu = A(x)u+ f(x)

Lu|x=0 = ϕ, Ru|x=d = ψ

4

Задачи для функции Грина:

d

dxG(x, ξ) = A(x)G(x, ξ)

LG|x=0 = 0, RG|x=d = 0, G(ξ + 0, ξ)−G(ξ − 0, ξ) = I

d

dxGL(x) = A(x)GL(x)

LGL|x=0 = Il, RGL|x=d = 0

d

dxGR(x) = A(x)GR(x)

LGR|x=0 = 0, RGR|x=d = Ir

u(x) = GL(x)ϕ+∫ d

0G(x, ξ)f(ξ)dξ +GR(x)ψ

5

Функция Грина как критерий обусловленности краевой за-дачи:

u(x) = GL(x)ϕ+∫ d

0G(x, ξ)f(ξ)dξ +GR(x)ψ

d

dxu = A(x)u+ f(x)

Lu|x=0 = ϕ, Ru|x=d = ψ

d

dxu = A(x)u+ f(x)

Lu|x=0 = ϕ, Ru|x=d = ψ

‖∆u‖ ≤K(φ+ α‖u‖)

1− αK

‖G‖, ‖GL‖, ‖GR‖ ≤ K

‖∆A‖, ‖∆L‖, ‖∆R‖ ≤ α

‖∆f‖, ‖∆ϕ‖, ‖∆ψ‖ ≤ φ

Кузнецов С.В. "Развитие метода ортогональной прогонки 1988

6

7

Использование прогонки для решенияэволюционных задач

Метод прямых

∂

∂tu+A(t, x)

∂

∂xu = f(t, x)

un − un−1

τ+A(tn, x)

d

dxun = f(tn, x)

d

dxun =

−1

τA−1un+A−1

(f(tn, x) +

un−1

τ

)

8

Корректность начально-краевой задачи

∂

∂tu+A(t, x)

∂

∂xu = f(t, x)

Lu|x=0 = ϕ(t), Ru|x=d = ψ(t)

u|t=0 = u0

На границе римановы инварианты, соответствующие УХО-ДЯЩИМ характеристикам, должны выражаться через рима-новы инварианты, соответствующие ПРИХОДЯЩИМ харак-теристикам.

Lu|x=0 = ϕ(t) ⇒ R→i = Φ(t, R←1 , . . . , R←j )

Ru|x=d = ϕ(t) ⇒ R←i = Ψ(t, R→1 , . . . , R→k )

9

Проявление некорректности начально-краевой задачи на вре-менном слое

∂

∂tu+A(t, x)

∂

∂xu = f(t, x)

Lu|x=0 = ϕ(t), Ru|x=d = ψ(t)

u|t=0 = u0

⇓

d

dxun =

−1

τA−1un +A−1

(f(tn, x) +

un−1

τ

)

Если УХОДЯЩИЙ риманов инвариант НЕ выражается черезПРИХОДЯЩИЕ, то на временном слое t = tn

‖Gn‖ ≈ ed/τ

10

Если УХОДЯЩИЙ риманов инвариант НЕ выражается черезПРИХОДЯЩИЕ, то на временном слое t = tn

‖Gn‖ ≈ ed/τ

11

Течение крови в сосуде

∂

∂tU +B(U)

∂

∂xU = S(U), U = (A,Q)T

12