[บทท�� 7 การดลและโมเมนตั�ม]

โมเมนตั�ม (Momentum)

จากแรงสุ�ทธิ� มี�ค่�าเท�าก�บมีวลค่�ณค่วามีเร�ง และค่วามีเร�งค่�ออนุ�พั�นุธิ�ของค่วามีเร�ว

แรงสุ�ทธิ�ท� กระท!าต่�ออนุ�ภาค่มี�ค่�าเท�าก�บอ�ต่ราการเปล� ยนุแปลงของปร�มีาณ mv เท�ยบก�บเวลา

เร�ยกปร�มีาณนุ�&ว�า “โมีเมีนุต่�มี (momentum) หร�อ โมีเมีนุต่�มีเชิ�งเสุ*นุของอนุ�ภาค่”

dv dF ma m mv

dt dt

2

กฎของน�วตั�นในร�ปโมเมนตั�ม3

p mvเข�ยนุสุมีการโมีเมีนุต่�มีได้*เป-นุ มี�หนุ�วยเป-นุ kg.m/s

กฎข*อท� สุองของนุ�วต่�นุในุร�ปของโมีเมีนุต่�มี

แรงสุ�ทธิ�ท� กระท!าต่�ออนุ�ภาค่มี�ค่�าเท�าก�บอ�ต่ราการเปล� ยนุแปลงโมีเมีนุต่�มีของอนุ�ภาค่เท�ยบก�บเวลา

dpF

dt

การดล (Impulse)4

นุ�ยามี การด้ล(Impulse) ของแรงสุ�ทธิ�ว�าเป-นุผลค่�ณของแรงสุ�ทธิ�ก�บชิ�วงเวลา

จากกฎข*อท� 2 ของนุ�วต่�นุในุร�ปโมีเมีนุต่�มี

J F t

2 1

2 1

2 1 2 1

p pF

t t

F t t p p

แรงดล5

แรงท� ก�อให*เก�ด้การด้ล เร�ยกว�า แรงด้ล“ ”

การด้ลค่�อพั�&นุท� ใต่*กราฟระหว�าง แรงก�บเวลา

2

1

t

t

J F t dt

2 1avJ F t t

ทฤษฎ�การดล-โมเมนตั�ม6

การเปล� ยนุแปลงโมีเมีนุต่�มีของอนุ�ภาค่ระหว�างชิ�วงเวลาหนุ2 งมี�ค่�าเท�าก�บการด้ลของแรงสุ�ทธิ�ท� ท!าต่�ออนุ�ภาค่ในุระหว�างชิ�วงเวลานุ�&นุ

2 1J p p

7

ตั�วอย่ างท�� ตั�วอย่ างท�� 7-1 7-1 ปาล�กบอลมีวล 0.40 kg ใสุ�ก!าแพังอ�ฐ ล�กบอลชินุก!าแพังขณะท� ก!าล�งเค่ล� อนุท� ไปทางซ้*ายในุแนุวระด้�บด้*วยอ�ต่ราเร�ว 30 m/s และกระด้อนุไปทางขวาในุแนุวระด้�บด้*วยอ�ต่ราเร�ว 20 m/s a)จงหาการด้ลของแรงสุ�ทธิ�ท� ท!าต่�อล�กบอลในุระหว�างการชินุของล�กบอลก�บก!าแพังb)ถ้*าล�กบอลสุ�มีผ�สุก!าแพังอย��นุานุ 0.010 ว�นุาท� จงหาแรงในุแนุวระด้�บท� ก!าแพังกระท!าต่�อล�กบอลในุระหว�างการชินุนุ�&นุu = -30 m/s

v = 20 m/s

+x

a) การด้ลหาได้*จาก 2 1J p p

เมี� อ p1 ค่�อโมีเมีนุต่�มีของล�กบอลก�อนุชินุก!าแพังp2 ค่�อโมีเมีนุต่�มีของล�กบอลหล�งชินุก!าแพัง

1 0.40 30 12 kg m/sp mu

2 0.40 20 8.0 kg m/sp mv

8.0 12 20 kg m/sJ

8

b) แรงเฉล� ยท� ล�กบอลกระท!าก�บก!าแพัง avJ F t

av

JF

t

202000 N

0.010avF

กฎการคงตั�วของโมเมนตั�ม9

จากกฎของนุ�วต่�นุ

เมี� อไมี�มี�แรงภายนุอกมีากระท!า

ถ้*าไมี�มี�แรงสุ�ทธิ�ภายนุอกไปกระท!าท� ว�ต่ถ้� โมีเมีนุต่�มีของว�ต่ถ้�จะมี�ค่�าค่งท�

dpF

dt

0dp

dt

constantp mv

10

พั�จารณาการชินุของอนุ�ภาค่ 2 ต่�ว ขณะท� ชินุก�นุจะมี�แรง F1 และ F2 ท� กระท!าต่�ออนุ�ภาค่ต่�วท� 1 และต่�วท� 2 ในุชิ�วงเวลาสุ�&นุๆ เมี� อแรง F1 และ F2 เป-นุฟ8งก�ชิ�นุของเวลา

1 1 1

f

i

t

f i

t

p p F dt

และ 2 2 2

f

i

t

f i

t

p p F dt

เมี� อบวกสุมีการท�&ง 2 เข*าด้*วยก�นุจะได้*

1 1 2 2 1 2

f

i

t

f i f i

t

p p p p F F dt

จากกฎข*อท� 3 ของนุ�วต่�นุ1 2

1 2 0

F F

F F

1 2 1 2f f i ip p p p ผลรวมีของโมีเมีนุต่�มีหล�งชินุเท�าก�บผลรวมีของโมีเมีนุต่�มีก�อนุชินุ

11

ตั�วอย่ างท�� ตั�วอย่ างท�� 7-27-2 นุ�กแมี�นุป9นุถ้�อป9นุยาวมีวล M = 3.00 kg อย�างหลวมีๆ ในุมี�อของเขาในุล�กษณะท� ท!าให*ป9นุยาวกระด้อนุถ้อยหล�งได้*อย�างอ�สุระเมี� อถ้�กย�ง เขาย�งล�กป9นุมีวล m = 5.00 g ไปในุแนุวระด้�บด้*วยอ�ต่ราเร�ว vb = 300 m/s ค่วามีเร�วของการกระด้อนุของป9นุยาว vR มี�ค่�าเท�าใด้ จงหาโมีเมีนุต่�มีและพัล�งงานุสุ�ด้ท*ายของล�กป9นุและของป9นุยาวว�ามี�ค่�าเท�าใด้

จากกฎการค่งต่�วของโมีเมีนุต่�มี ได้*โมีเมีนุต่�มีของระบบต่ามีแนุวแกนุ x ก�อนุย�งป9นุเท�าก�บหล�งย�งป9นุก�อนุย�งโมีเมีนุต่�มีของป9นุยาว และล�กป9นุเป-นุศู�นุย�หล�งย�งโมีเมีนุต่�มีของป9นุยาว

R Rp Mv

หล�งย�งโมีเมีนุต่�มีของล�กป9นุ

b bp mv

จากกฎการค่งต่�วของโมีเมีนุต่�มี

0 R bMv mv

0.00500300 0.500 m/s

3.00R b

mv v

M

12

โมีเมีนุต่�มีและพัล�งงานุจลนุ�ของล�กป9นุหล�งย�ง 0.00500 300 1.50 kg m/sb bp mv

221 10.00500 300 225 J

2 2b bK mv

โมีเมีนุต่�มีและพัล�งงานุจลนุ�ของป9นุยาวหล�งย�ง

3.00 0.500 1.50 kg m/sR Rp Mv

221 13.00 0.500 0.375 J

2 2R RK mv

การชน1

3

ถ้*าในุการชินุมี�แต่�แรงภายในุระหว�างอนุ�ภาค่เท�านุ�&นุ การชินุจะเป-นุไปต่ามีกฎการอนุ�ร�กษ�โมีเมีนุต่�มี ค่�อ โมีเมีนุต่�มีก�อนุชินุเท�าก�บโมีเมีนุต่�มีหล�งชินุ

พัล�งงานุจลนุ�ก�อนุการชินุและภายหล�งการชินุค่�อ2 2

1 1 2 2

2 21 2

1 2

1 1

2 2

2 2

i

i i

K mu m u

p p

m m

2 21 1 2 2

2 21 2

1 2

1 1

2 2

2 2

f

f f

K m v m v

p p

m m

การชนแบบไม ย่$ดหย่& น1

4

การชินุท� พัล�งงานุจลนุ�ท�&งหมีด้ไมี�ค่งท� เร�ยกการชินุแบบนุ�&ว�า การชินุแบบไมี�ย�ด้หย��นุ “ (inelastic collision)

1 1 2 2 1 2mu m u m m v

15

ตั�วอย่ างท�� ตั�วอย่ างท�� 7-37-3 ballistic pendulum ใชิ*ในุการหาค่วามีเร�วของล�กป9นุ เมี� อเป<ามีวล m2 = 5.4 kg และกระสุ�นุมีวล m1 = 9.5 g ถ้*าย�งกระสุ�นุด้*วยค่วามีเร�ว u กระสุ�นุฝั8งในุเป<ามีวล m2 ท!าให*เค่ล� อนุท� ไปได้*ค่วามีสุ�ง h = 6.3 cm จงหาค่วามีเร�วก�อนุชินุ u จากการค่งต่�วของโมีเมีนุต่�มี

โมีเมีนุต่�มีของระบบก�อนุชินุ = โมีเมีนุต่�มีของระบบหล�งชินุโมีเมีนุต่�มีก�อนุชินุ 1 0ip m u

โมีเมีนุต่�มีหล�งชินุ

1 2fp m m v

1 1 2

1 2

1

mu m m v

m mu v

m

16

ชิ�วงท� สุองหล�งการชินุ เป<าและล�กป9นุเค่ล� อนุท� ไปด้*วยก�นุ แรงท� กระท!าต่�อระบบค่�อนุ!&าหนุ�ก (แรงอนุ�ร�กษ� ) สุ�วนุแรงต่2งเชิ�อกไมี�ได้*ท!างานุ พัล�งงานุกลรวมีของระบบมี�ค่�าค่งต่�ว

21 2 1 2

1

2m m v m m gh

2v gh

หาค่�า u ได้*เป-นุ 1 2

1

2m m

u ghm

0.0095 5.42 9.8 0.063

0.0095

633 m/s

17

พัล�งงานุจลนุ�ของระบบก�อนุชินุ

210.0095 633 1900 J

2iK

พัล�งงานุจลนุ�ของระบบหล�งชินุ

10.0095 5.4 2 9.8 0.063 3.34 J

2fK

พัล�งงานุงานุจลนุ�หายไปท!าให*ก*อนุไมี*แยกออก และล�กป9นุก�บก*อนุไมี*ร*อนุข2&นุ

การชนแบบย่$ดหย่& น1

8

การชินุท� พัล�งงานุจลนุ�ท�&งหมีด้ค่งท� เราเร�ยกการชินุแบบนุ�&ว�า การชินุแบบย�ด้หย��นุ “ (elastic collision)”

1 1 2 2 1 1 2 2mu m u m v m v

พัล�งงานุจลนุ�ก�อนุชินุ = พัล�งงานุจลนุ�หล�งชินุ

19

ตั�วอย่ างท�� ตั�วอย่ างท�� 7-47-4 กล�องสุองใบเค่ล� อนุท� ไปต่ามีพั�&นุท� ไมี�มี�แรงฝั9ด้ด้�งร�ปจงหาa)ค่วามีเร�วของกล�องมีวล 16. kg หล�งการชินุb)การชินุนุ�&เป-นุแบบย�ด้หย��นุหร�อไมี�

16. 24

5.5 m s

ก�อนุชินุ

16. 24

v

หล�งชินุ

4.9 m s

2.5 m s

20

a) ค่วามีเร�วของกล�องมีวล 1.6 kg หล�งชินุโมีเมีนุต่�มีก�อนุชินุ = โมีเมีนุต่�มีหล�งชินุ

1 1 2 2 1 1 2 2

1.6 5.5 2.4 2.5 1.6 2.4 4.9

mu m u m v m v

v

8.8 6.0 11.761.9 m/s

1.6v

b) การชินุนุ�&เป-นุแบบย�ด้หย��นุก�ต่�อเมี� อพัล�งงานุจลนุ�ก�อนุชินุเท�าก�บพัล�งงานุจลนุ�หล�งชินุ2 2

1 1 2 2

1 1

2 2iK mu m u พัล�งงานุจลนุ�ก�อนุชินุ

2 21 11.6 5.5 2.4 2.5

2 231.7 J

21

พัล�งงานุจลนุ�หล�งชินุ 2 21 1 2 2

1 1

2 2fK m v m v

2 21 11.9 5.5 2.4 4.9

2 231.7 J

พัล�งงานุจลนุ�ก�อนุชินุเท�าก�บหล�งชินุ ระบบไมี�มี�การสุ�ญเสุ�ยพัล�งงานุจลนุ�ด้�งนุ�&นุ การชินุนุ�&เป-นุแบบย�ด้หย��นุ

การชนแบบย่$ดหย่& นในสองม�ตั�2

2

โมีเมีนุต่�ต่�มีก�อนุชินุ = โมีเมีนุต่�มีหล�งชินุ

ในุแนุวแกนุ x 1 1 1 1 1 2 2 2cos cosmu m v m v

23

ตั�วอย่ างท�� ตั�วอย่ างท�� 7-57-5 ในุการเล�นุสุนุ�กเกอร�เกมีสุ�หนุ2 งผ�*เล�นุแทงล�กสุ�ขาวพั� �งเข*าชินุล�กสุ�แด้ง ท� มี�มีวลเท�าก�นุ หล�งชินุล�กขาวเค่ล� อนุท� ด้*วยค่วามีเร�ว 350 m/s ท!ามี�มี 22๐ ก�บแนุวเด้�มี ล�กสุ�แด้งมี�ค่วามีเร�ว 200. m/s จงหา1) มี�มีระหว�างท�ศูการเค่ล� อนุท� ของล�กสุ�แด้ง ก�บท�ศูทางเด้�มีของการเค่ล� อนุท� ของล�กขาว2 )ค่วามีเร�วเร� มีต่*นุของล�กสุ�ขาว

22๐

แกนุ x 1 2cos 22 cosmu mv mv

1 20 sin 22 sinmv mv แกนุ y

24

1 2

1

2

sin 22 sin

sin sin 22

3.50sin 22

2.000.655

v v

v

v

1sin 0.655 41

มี�มีระหว�างแนุวการเค่ล� อนุท� ของล�กสุ�แด้งหล�งชินุก�บท�ศูทางเด้�มีของล�กสุ�ขาวค่�อ 41๐

25

1 2cos 22 cos 41

3.5 0.927 2.00 0.755

4.75 m/s

u v v

แกนุ x 1 2cos 22 cosmu mv mv

หาค่วามีเร�วก�อนุชินุของล�กสุ�ขาวได้*จาก