07 trabalho e energia cinetica
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Verso preliminar7 de setembro de 2002
Notas de Aula de Fsica
07. TRABALHO E ENERGIA CINTICA............................................................................ 2MOVIMENTO EM UMA DIMENSO COM FORA CONSTANTE....................................................... 2TRABALHO EXECUTADO POR UMA FORA VARIVEL................................................................ 2
Anlise unidimensional ................................................................................................. 3Anlise tridimensional ................................................................................................... 4
TRABALHO REALIZADO POR UMA MOLA.................................................................................. 4UMA PARTCULA EM QUEDA LIVRE......................................................................................... 6ENERGIA CINTICA.............................................................................................................. 7TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINTICA........................................................................ 7POTNCIA .......................................................................................................................... 7
Potncia mdia ............................................................................................................. 7Potncia instantnea..................................................................................................... 8
SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 904 .................................................................................................................................. 909 ................................................................................................................................ 1011 ................................................................................................................................ 1117 ................................................................................................................................ 1226 ................................................................................................................................ 1327 ................................................................................................................................ 1432 ................................................................................................................................ 1537 ................................................................................................................................ 1638 ................................................................................................................................ 18
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Cap 07 [email protected] 2
07. Trabalho e energia cintica
Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia. Se uma foraexecutou um trabalho W sobre um corpo ele aumentou a energia desse corpo de W .
Esse definio, algumas vezes parece no estar de acordo com o nosso entendi-mento cotidiano de trabalho. No dia-a-dia consideramos trabalho tudo aquilo que nos pro-voca cansao. Na Fsica se usa um conceito mais especfico.
Movimento em uma dimenso com fora constante
F!
d
F!
d!
W = F d dFFdW!!
== cos
O trabalho realizado por uma fora constante definido como o produto do deslo-camento sofrido pelo corpo, vezes a componente da fora na direo desse deslocamen-to. Se voc carrega uma pilha de livros ao longo de uma caminho horizontal, a foraque voc exerce sobre os livros perpendicular ao deslocamento, de modo que nenhumtrabalho realizado sobre os livros por essa fora. Esse resultado contraditrio com asnossas definies cotidianas sobre fora, trabalho e cansao!
Trabalho executado por uma fora varivel
Para uma anlise inicial, vamos considerar o grfico do trabalho versus desloca-mento para uma fora constante que atua na direo do deslocamento.
Como foi definido anteriormente
W = F d
que a rea debaixo da curva, ou seja oretngulo compreendido entre as posi-es inicial e final vezes o valor da foraaplicada. Ou seja:
W = 40 . (3,8 - 2) = 72Joules
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Anlise unidimensional
Quando est atuando sobre umcorpo uma fora varivel que atua nadireo do deslocamento, o grfico daintensidade da fora versus o desloca-mento tem uma forma como a da figuraao lado. O trabalho executado por essa for-a igual a rea abaixo dessa curva.Mas como calcular essa rea se a curvatem uma forma genrica, em princpio? Uma primeira aproximao para oclculo dessa rea seria dividir a rea aser calculada em pequenos retngulos,como esses pontilhados da figura aolado. A rea abaixo da curva contnuaseria aproximada pelo retngulo defini-do pela reta pontilhada. Se chamarmos o trabalho entre asposies 2 e 2,6 de Wi , teremoscomo aproximao para esse trabalho oproduto da fora F(xi) = 22,7 vezes odeslocamento xi = 2,6 - 2,0 = 0,6 . Ouseja:
Wi = F(xi)xi
O trabalho total, ao longo de todoo percurso considerado ser a somados trabalhos de cada pequeno percur-so:
W = i Wi = i F(xi)xi A aproximao da curva pelos re-tngulos vai ficar tanto mais prxima doreal quanto mais subdivises conside-rarmos. E no limite em que xi formuito pequeno a aproximao ser umaigualdade. Ou seja:
=
iiix
xxFLimWi
)(0
A equao anterior a prpria definio de integral, e desse modo o trabalho execu-tado por uma fora varivel entre uma posio inicial i e uma posio final f ser:
= fi
dxxFW )(
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Anlise tridimensional
Vamos considerar uma fora)(rF!!
que atua em um corpo de mas-sa m , ao longo de uma trajetriaque vai do ponto inicial i at o pontofinal f , ao longo de uma curva C
=C
rdrFW!!!
)(
onde a integrao considerada ao
)(rF!!
rd!
f
ilongo da trajetria usada pelo corpo.
De modo geral a fora considerada como:
),,(),,(),,()( zyxFkzyxFjzyxFirF zyx ++=!!
edzkdyjdxird ++=
!
[ ] ++= fi
Zyxif dzzyxFdyzyxFdxzyxFW ),,(),,(),,(
onde a integrao feita ao longo da curva C que define a trajetria do corpo.
Trabalho realizado por uma mola
Vamos analisar o movimento de um sistema composto por um bloco de massa mque est sobre uma superfcie horizontal sem atrito, e tem preso a si uma mola. A outraextremidade da mola est fixa. Quando a mola est num estado relaxado ela no estdistendida ou comprimida. Nessa situao ela no exerce fora alguma no bloco.
Mola relaxada
x = 0
Quando o bloco se desloca da posio relaxada ou de equilbrio a mola exerce so-bre ele uma fora restauradora que para que ele retorne posio de equilbrio original.Quando o deslocamento na parte positiva do eixo x a fora restauradora aponta para osentido negativo desse eixo, e quando o deslocamento se d na parte negativa do eixo xa fora restauradora aponta para o sentido positivo desse eixo.
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Quando o deslocamento do bloco muito pequeno em comparao dimenso damola podemos considerar o que chamado de pequenas oscilaes, e neste caso pode-mos dizer que a fora restauradora proporcional ao deslocamento do bloco em relao sua posio de equilbrio. essa aproximao tambm conhecida como Lei de Hooke, epode ser expressa do seguinte modo:
rkF!!
=
onde chamamos k de constante elstica da mola.
Mola distendida
x = 0
Se o bloco se deslocou na parte positiva do eixo x , temos que xir =!
e portanto
a fora aponta para o sentido negativo do eixo: ixkF =!
Mola comprimida
x = 0
Se o bloco se deslocou na parte negativa do eixo x , temos que xir =!
e por-
tanto a fora aponta para o sentido positivo do eixo: ixkF =!
.
O trabalho realizado pela mola para levar o corpo de uma posio inicial at umaposio final ser:
( ) rdrkrdFW fi
f
iif
!!!!==
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Como o deslocamento se d no eixo x , temos que:
==
= dxxrdrdxirdxir !!
!
!
logo, o trabalho realizado pela mola ser
( )22222 if
x
x
f
iif xx
kxkdxxkWf
i
===
Uma partcula em queda livre
Quando uma partcula se movimenta sob a aoda gravidade, esta a nica fora que nela atua. Quando a partcula estiver subindo, o desloca-mento elementar rd
! e a fora peso tm sentidos contr-
rios, logo o trabalho executado pela fora peso entre asposies inicial e final ser:
( ) ( ) == fi
f
iif dymgdyjjmgW
Wif = - mg ( yf - yi )
Partcula subindo
y final
rd!
gm!
incio
Quando a partcula estiver descendo, o desloca-mento elementar rd
! e a fora peso tm mesmo sentido,
logo o trabalho executado pela fora peso entre as posi-es inicial e final ser:
( ) ( ) == fi
f
iif dymgdyjjmgW
Wif = mg ( yf - yi )
Partcula descendo
y incio
rd!
gm!
final
Quando a partcula est subindo a fora peso executa uma trabalho negativo, ecomo conseqncia diminui a energia cintica da partcula. Por outro lado, quando a par-tcula est descendo a fora peso executa uma trabalho positivo, e como conseqnciaaumenta a energia cintica da partcula.
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Energia cintica
Define-se a energia cintica de uma partcula de massa m que viaja com veloci-dade v , como:
2
21 vmK =
Mostraremos adiante que o trabalho realizado pela resultante de foras que atuaem uma corpo igual variao da sua energia cintica, ou seja:
Wif = K = Kf - Ki
Teorema do trabalho - energia cintica
Considere uma partcula de massa m que se move sob a ao de uma resultantede foras F . O trabalho W realizado por esta fora dobre a partcula ser:
( ) == fi
f
idxmadxxFW )(
mas, por outro lado
( ) ( )( )dvmvdtdtdv
dtdxmdt
dtdx
dtdvmdx
dtdvmdxma =
=
=
=
ou seja:222
21
21
21
if
f
i
f
imvmvvmvdvmW ===
Considerando que2
21 vmK =
temosKKKW if ==
Potncia
A potncia mede a capacidade de um sistema produzir (ou absorver) energia. Ela a razo entre a energia produzida (ou absorvida) e o intervalo de tempo necessrio paraessa produo (ou absoro).
Dependendo do nosso interesse ou dos nossos instrumentos podemos desejarmedir a potncia mdia ou potncia instantnea.
Potncia mdia
Nos d a medida da energia produzida (ou absorvida) W num certo intervalo detempo t .
tWP =
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Potncia instantnea
Nos d a medida da energia produzida (ou absorvida) num intervalo de tempomuito pequeno, da instantnea. til quando queremos acompanhar a produo (ou ab-soro) de energia de maneira precisa.
dtdW
tWLimP
t=
= 0
vFPdtrdFPrdFdW
!!!!!!
===
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Soluo de alguns problemas
Captulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio
04 Um objeto de 102kg est inicialmente movendo-se em linha reta com uma velocida-de de 53m/s . Se ele sofre uma desacelerao de 2m/s2 at ficar imvel:
a) Qual a intensidade da fora utilizada?
amNPF!!!!
=++
Decompondo as foras segundo eixoscartesianos, encontramos:
=
=
0PN
maF
v0 v = 0 N
!
F!
P!
d!
Logo:F = ma = 204N
b) Qual a distncia que o objeto percorreu antes de parar?
av
dadvv2
2202
02
== = 702,25m
c) Qual o trabalho realizado pela fora de desacelerao?
Podemos calcular o trabalho de duas maneiras equivalentes:
====
202
1 mvKWFddFW
!!
W = - 143.259Joules
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Captulo 7 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio
09 A figura ao lado mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento deum peso P . Suponha que o atrito seja desprezvel e que as duas polias de baixo, squais est presa a carga, pesem juntas 20N . Uma carga de 840N deve ser levan-tada 12m .
a) Qual a fora mnima F!
necessriapara levantar a carga?
Ao puxar a corda exercendo a foraN!
, executaremos um certo trabalho W. Ao elevar o peso P , o conjunto deroldanas executar, tambm, um certotrabalho. Esses dois trabalhos seroiguais, pois a energia em questo aquela que fornecemos ao atuar com afora F
! . A fora mnima que o con-
junto de roldanas deve fazer atuar so-bre o corpo para elev-lo com velocida-de constante de uma altura H igualao peso do corpo, logo:
W = P H
Para elevar o corpo de uma altura H ,
H T
!
F!
P!
L
deveremos puxar a corda ( com F!
) de um comprimento L , logo:
W = F Le como esses trabalhos so iguais:
PLHFFLPHW ===
Para descobrir qual a relao entre H e L deste problema, vamos fazer umaanalogia com outros tipos de arranjos de roldanas.
H = LF = P F
! H = L/2F = P/2 F
! H = L/3F = P/3 F
!
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No arranjo mais simples, o da esquerda da figura anterior, temos 1 corda e umtirante. No arranjo seguinte temos 2 cordas e um tirante e no terceiro arranjo te-mos 3 cordas e um tirante.No nosso problema temos 4 cordas e um tirante, logo:
H = L/4F = P/4 = ( 840 + 20)/4= 215N
b) Qual o trabalho executado para levantar a carga at a altura de H = 12m ?
W = P H = (840 + 20) 12 = 10.320Joule
c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda?
L = 4H = 48m
d) Qual o trabalho executado pela fora F!
para realizar esta tarefa?
W = F L = 10.320Joules
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11 Uma arca de 50kg empurrada por uma distncia de 6m , com velocidade cons-tante, numa rampa com inclinao de 300 por uma fora horizontal constante. O co-eficiente de atrito cintico entre a arca e a rampa 0,20 .
a) Calcule o trabalho realizado pela fora aplicada.
Como a arca se move com velocidadeconstante, a acelerao nulo e por-tanto:
0=+++ NPFFa!!!!
Decompondo as foras, encontramos:
=
=
0sen
0cos
aFPF
PN
y x N
! F
!
aF!
d!
P
!
F = Fa - P sen = C N + P senMas Fa = C N , logo
F = P ( sen + C cos )
dFdFWF ==!!
= 1.979,22Joule
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b) Calcule o trabalho realizado pelo peso da arca.
dPWP!!
= = - P d sen = - 1.470Joules
c) Calcule o trabalho realizado pela fora de atrito.
dFW aa!!
= = - Fa d = C N d= C P d cos = -509,22
fcil perceber que nulo o trabalho executado pela resultante de foras. Po-demos mostrar isso de diversas maneiras:
( ) 0=+++=+++= NaPFaR WWWWdNFPFW !!!!!O trabalho executado pela normal nulo pois ela perpendicular ao vetor deslo-camento.
WR = K = 0
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17 Qual o trabalho realizado por uma fora jixF 32 +=!
(em Newtons) , onde x estem metros, que exercida sobre uma partcula enquanto ela se move da posioinicial jiri 32 +=
! (em metros) at a posio final jirf 34 =
! (em metros) ?
ri = ( 2, 3 )rf = ( -4 , -3 )
Como no foi mencionada a trajet-ria, podemos escolher diversospercursos para a partcula entre ospontos inicial e final.Vamos calcular o trabalho usandoduas trajetrias: a reta que une osdois pontos e uma parbola quepassa por eles.Como j foi dito anteriormente:
=C
if rdFW!!
[ ] += fi
yxif dyyxFdxyxFW ),(),(
a) Vamos considerar inicialmente a trajetria retilnea y(x) = x + 1
A imposio da trajetria no clculo da integral acontece quando usamos na for-a e nas diferenciais a dependncia y(x) definida pela trajetria.
dxdxdyxyxFdxxyxFrdF yx
+= ))(,())(,(!!
Teremos desse modo, todo o integrando como funo de x .
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Neste problema:
jixF 32 +=!
e 1=dxdy
logo( )dxxdxdxxrdF 3232 +=+= !!
( ) ( ) ( ) JxxdxxWif 618122434163324
2
4
2
4
2
2==+=+=+=
+
+
+
b) Vamos considerar inicialmente a trajetria parablica y = - x2/2 + 5 .
Neste problema:
jixF 32 +=!
e xdxdy
=
( ) dxxdxxdxxrdF =+= 32!!
( ) JxdxxWif 641621
2
4
2
24
2====
+
+
No foi por acaso que o resultado do trabalho executado entre dois pontos, poressa fora, no dependeu da trajetria. Existe uma categoria de foras - chama-das foras conservativas - para as quais o trabalho entre dois pontos s dependedesses pontos. De modo geral, uma fora ),( trF
!! conservativa quando o seu
rotacional nulo, ou seja:0),( = trF
!!
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26 Uma fora nica age sobre um corpo que est se movendo em linha reta. A figura aseguir mostra o grfico da velocidade em funo do tempo para esse corpo. Determi-ne o sinal (positivo ou negativo) do trabalho realizado pela fora sobre o corpo nosintervalos AB , BC, CD e DE
AB Neste intervalo a curva uma reta,que passa pela origem, e portanto avelocidade uma funo crescentedo tempo at atingir um certo valorv0 , e tem a forma:
v = a1 t
O movimento unidimensional e avelocidade crescente, logo a foraatua na direo do deslocamento edesse modo:
0>== FddFWAB!!
v
B C
+ A D t 0 t1 t2 t3 t4
- E
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BC Neste intervalo a velocidade constante v0 , logo a acelerao nula e por-tanto a fora resultante tambm nula. Consequentemente o trabalho da foraresultante ser nulo:
WBC = 0
CD Neste intervalo a velocidade decrescente, iniciando o intervalo com valor v0 eterminando com velocidade nula. A forma funcional do tipo:
v = v0 - a2 ( t - t2 )
onde a2 > 0 . O movimento unidimensional e a velocidade decrescente, logoa fora atua na direo contrria ao deslocamento e desse modo:
0== FddFWDE!!
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27 Uma mangueira de incndio desenrolada puxando-se horizontalmente uma de suasextremidades ao longo de uma superfcie sem atrito com velocidade constante de2,3m/s . A massa de 1m de mangueira 0,25kg .Qual a energia cintica fornecidapara desenrolar 12m de mangueira?
A fora F!
uma fora varivel porque medida que a mangueira desenroladauma maior parte dela passa a se movi-mentar em contato com o solo e atritan-do-se com ele. Como o atrito vai aumen-tado a fora externa deve aumentar paraque a mangueira desenrolada tenha velo-cidade constante.
0=+++ PNFF a!!!!
PNFFFF
PN
CCa
a
===
=
=
0
0
F!
N!
aF!
F!
P!
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onde P a parte da mangueira que est em movimento. A densidade linear demassa da mangueira passvel de ser calculada:
LM
= = 0,25kg/mQuando a mangueira tiver um comprimento x desenrolado e em movimento, o pesodessa parte ser P(x) onde:
P(x) = g xEnto:
F(x) = C g xO trabalho ser:
=== Lo
L
oCC
LgdxxgdxxFW2
)(2
Apesar do enunciado ter induzido uma soluo nessa direo, no se pode resolverdesse modo pois no se conhece o coeficiente de atrito C entre a mangueira e opiso.
No entanto a soluo muito mais simples! E noutra direo, j que no se pediu otrabalho para vencer o atrito enquanto se desenrola, mas para se vencer a inrcia.
O trabalho da fora resultante igual variao da energia cintica. Existe uma for-a, e no essa fora F
! mencionada, responsvel por tirar do repouso, aos poucos
- infinitesimalmente, cada parte da mangueira. Ela atua por um instante! O trabalhoque ela produz aquele necessrio para colocar TODA a mangueira em movimentode velocidade constante.
( ) 2221
21 vLMvKW === = 7,935Joules
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32 Um homem que est apostando corrida com o filho, tem a metade da energia cinticado garoto, que tem a metade da massa do pai. Esse homem aumenta a sua veloci-dade em 1m/s e passa a ter a mesma energia cintica da criana.Quais eram as velocidades originais do pai e do filho?
Vamos equacionar as vrias informaes fornecidas:
i.
=
= 22
21
21
21
21
GGHHGH VMVMKK
ii. GHGH MMMM 22
==
iii. ( ) 22211
21
GGHH VMVM =+
Usando i. e ii. encontramos:
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( ) HGGHGGHG VVVVVMVM 24412
21 2222
===
Usando ii. e iii. encontramos:
( )( ) ( )2
12112
21 2222 G
HGGHG
VVVMVM =+=+
Usando os dois ltimos resultados, encontramos:
( ) ( )12
122
21 22
2
===+ HHH
H VVVV
e finalmente:VH = 2,41m/s e VG = 4,82m/s
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37 Um caixote com uma massa de 230kg est pendurado na extremidade de uma cor-da de 12m de comprimento. Ele empurrado com uma fora horizontal varivel F
! ,
at desloc-lo de 4m horizontalmente.
a) Qual o mdulo de F!
quando o caixote se encontra na posio final?
Vamos considerar que o caixote des-locado com velocidade constante. Nadafoi mencionado respeito, ento esco-lheremos a situao mais simples, poisnesse caso a acelerao ser nula.Sendo assim, a segunda Lei de Newtonter a forma:
0=++ PFT!!!
Decompondo essas foras, encontra-mos:
=
=
0cos
0sen
PT
TF
y L
T!
F!
x
P!
s
tantan
cossen PF
PF
TT
===
Mas
PsL
sFsL
srs
=
==2222
tan = 796,90N
b) Qual o trabalho total executado sobre o caixote?
Como a resultante de foras nula, o trabalho executado por essa fora nulo.
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c) Qual o trabalho executado pela corda sobre o caixote?
O trabalho elementar executado pela fora F!
dado por:
cosdrFrdFdWF ==!!
Mas j foi mostrado que
F = P tan
e podemos observar que
dr = L dlogo
dWF = ( P tan) (L d) cos
dWF = L P sen d
== 0
sen dPLdWWf
iFF
( ) cos1cos0
== PLPLWF
L
rd!
F
!
s
Se considerarmos H como a altura que o caixote foi elevado:
H = L - L cos = L ( 1 - cos )e ento
WF = P H = m g HMas como
( ) 22221cos1 sLLL
sLLLH =
== =0,686m
temosWF = m g H = 1.546,90Joules
d) Qual o trabalho executado pelo peso do caixote?
O trabalho elementar executado pelafora P
! dado por:
( )090cos +== drFrdPdWP !!
dPLdrPdWP sensen ==
F
f
iPP WdLPdWW ===
0sen
WP = - m g H = - 1.546,90Joules
rd!
P!
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38 Um bloco de 250g deixado cair sobre uma mola vertical com uma constante demola k = 2,5N/cm . A compresso mxima da mola produzida pelo bloco de 12cm.
a) Enquanto a mola est sendo comprimida, qual o trabalho executado pela mola?
MF!
y = 0 rd
!
y = L
y
m = 250g = 0,25kgk = 2,5N/cm = 250N/mL = 12cm = 0,12m
O trabalho definido como:
= fi
rdFW!!
O elemento de integrao rd!
tem comprimento infinitesimal e aponta na dire-o de integrao, portanto neste caso teremos dyjrd =
! . Como foi definido
anteriormente, a fora que a mola exerce no objeto dada pela Lei de Hooke:
jykFM =!
e o trabalho executado por essa fora ser:
( ) ( ) 200 2
1 kLdyykdyjjykdWWLLf
iM ==== = - 1,8J
b) Enquanto a mola est sendo comprimida, qual o trabalho executado pelo peso dobloco?
gmjgmP ==!!
( ) ( ) mgLdymgdyjgmjdWW LLfi
P ==== 00
= + 0,294J
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c) Qual era a velocidade do bloco quando se chocou com a mola?
O trabalho executado pela fora resultante igual a variao da energia cintica.A fora resultante :
PFF MR!!!
+=
e o trabalho executado por essa fora ser:
( ) =+=+=+== fi
PM
f
iM
f
i
f
iMRR KWWrdPrdFrdPFrdFW
!!!!!!!!!
mW
vWmvKKKK RRiif2
21 2
===== = 3,47m/s
d) Se a velocidade no momento do impacto for multiplicada por dois, qual ser acompresso mxima da mola? Suponha que o atrito desprezvel.
Vamos considerar que nessa nova situao a mola se comprimir de H . Refa-zendo o raciocnio anterior, temos:
( ) 222 2221
21 mvvmKmgHkHWR ===+=
0420221 2222
=
=++k
mvHkmgHmvmgHkH
A nica soluo positiva dessa equao :
H = 0,23m