08 – logica dei predicati · predicativa prima degli argomenti cui riferita, senza distinguere se...

08 – LOGICA DEI PREDICATI PREREQUISITI - Il linguaggio dell'insiemistica (Capitolo 1). - La logica delle proposizioni (Capitolo 7). OBIETTIVI DIDATTICI - Saper individuare costanti, variabili e predicati. - Saper usare correttamente i quantificatori. - Saper costruire Formule Ben Formate. - Saper individuare l'insieme di verit… di una proposizione aperta. - Conoscere i legami tra operazioni logiche ed insiemistiche. - Conoscere le regole di deduzione e saperle applicare. PARAGRAFI ED ESERCIZI 1. VARIABILI, PREDICATI E QUANTIFICATORI 2. DALLA LOGICA ALL'INSIEMISTICA 3. LA DEDUZIONE

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

1. VARIABILI, PREDICATI E QUANTIFICATORI 1.1 VARIABILI E COSTANTI INDIVIDUALI In matematica si incontrano spesso frasi del tipo "Tutti i numeri naturali divisibili per 9 sono divisibili per 3" ; "Esiste un numero naturale pari che è numero primo"; "Non esistono triangoli in cui un lato è maggiore della somma degli altri due". Queste frasi si differenziano da quelle del tipo "Il numero 18 è divisibile per 9, quindi è divisibile per 3" ; "Il 2 è un numero naturale pari primo" ; "Nel triangolo di vertici A(1, 1), B(1, 5) e C(3, 4), il lato AB è minore della somma degli altri due". Infatti nelle frasi del primo tipo si parla di elementi generici di un insieme universo (dei numeri naturali, dei triangoli), mentre in quelle del secondo si parla di particolari elementi (il numero 18, il 2, il triangolo ABC di vertici assegnati) di tali insiemi. Un generico elemento di un insieme fissato si può indicare con una lettera, ad esempio , ,x y …; un particolare elemento di un insieme può essere o indicato esplicitamente (il numero 18, ecc.) o indicato con una lettera, ad esempio , ,a b …. Questi esempi portano alle seguenti DEFINIZIONI (variabile individuale, costante individuale) Si dice che una lettera , ,x y … è una variabile individuale se essa indica un generico elemento di un insieme. Si dice che una lettera , ,a b … è una costante individuale se essa indica un particolare elemento di un insieme. ESEMPI 1. La frase "Ogni numero naturale divisibile per 6 è divisibile per 3" si può scrivere "Per ogni x∈N se x è divisibile per 6, allora x è divisibile per 3" oppure "Per ogni x∈N , se x è divisibile per 2a, allora x è divisibile per a", dove x è una variabile individuale che indica un generico numero naturale ed a una costante individuale che indica il numero 3. 2. La frase "Per due punti distinti passa una sola retta" si può scrivere "Per ogni P∈Π e per ogni Q∈Π , esiste una ed una sola retta r tale che P r∈ e Q r∈ ", dove P e Q sono variabili individuali che indicano generici punti del piano Π ed r è una variabile individuale che indica una generica retta del piano. Come è consuetudine in geometria, le lettere che individuano i punti sono state scritte in maiuscolo. APPLICHIAMO ... Come nei precedenti esempi, sostituite con una variabile o con una costante individuale le parole che indicano un generico o un particolare elemento di un insieme universo, introducendo un opportuno simbolo per indicarlo.

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1. Per un punto del piano passano infinite rette. 2. Esistono numeri naturali divisibili per 3. 3. Non esistono numeri naturali divisibili per 0. 4. Il quadrato di ogni numero razionale diverso da zero è positivo. 5. Ogni quadrato ha i lati di uguale lunghezza. 1.2 COSTANTI PREDICATIVE E FUNZIONALI Torniamo a esaminare le frasi "Il numero 18 è divisibile per 9, quindi è divisibile per 3"; "Il 2 è un numero naturale pari primo". Nella prima si mette in relazione il 18 con il 9 e, di conseguenza, con il 3; nella seconda si esprimono due proprietà del numero 2. Usando il simbolismo introdotto nel terzo capitolo, possiamo sostituire "è divisibile per" con D e scrivere la prima frase nella forma "Risulta 18 9D , quindi 18 3D ". Se indichiamo con P la proprietà "è pari" e con Q quella "è primo", la seconda frase si può scrivere nella forma "Risulta 2P e 2Q ". Nella frase "Il quadrato di un numero razionale non nullo è positivo" si esprime invece una proprietà che riguarda il risultato dell'elevamento al quadrato di un generico numero razionale diverso da zero. Questi esempi introducono le seguenti DEFINIZIONI (predicato, costante predicativa, funzione, costante funzionale) Si chiama predicato una proprietà posseduta da un elemento (generico o particolare) di un insieme universo o anche una relazione tra due o più elementi (generici o particolari) di tale insieme; un predicato è indicato simbolicamente da una lettera del tipo P, Q, …, chiamata costante predicativa, seguita dalle variabili o costanti individuali cui esso si riferisce, detti argomenti del predicato. Un procedimento (ad esempio di calcolo) che, a partire da uno o più elementi di un insieme universo, fornisce come risultato un elemento di quell'insieme si chiama funzione e si indica con una lettera, per esempio f, g, ..., detta costante funzionale, seguita da parentesi tonde entro le quali poniamo la lettera che indica l'elemento (o le lettere, separate da virgole, che indicano gli elementi) su cui si è operato. ESEMPI 1. Se D è la costante predicativa che indica "è divisibile per" e P quella che indica "è pari", la frase "Ogni numero naturale divisibile per 4 è pari" si può scrivere "Per ogni x∈N , se 4xD , allora Px ". 2. Se f( ) è la costante funzionale che indica l'elevamento al quadrato e P la costante predicativa che indica "è positivo", la frase "Il quadrato di ogni numero razionale non nullo è positivo" si può scrivere "Per ogni x∈Q tale che 0x ≠ , risulta f ( )P x ". Ovviamente la proprietà "è positivo" si scrive di solito con ">0", per cui la frase diventa : "Per ogni x∈Q tale che 0x ≠ , risulta f(x)>0". 3. Se P è la costante predicativa che indica "è positivo" ed s( , ) la costante funzionale che indica la somma, la frase "La somma di due numeri interi positivi è positiva" si può scrivere "Per ogni x∈Z e per ogni y∈Z , se Px e Py , allora s( , )P x y ".

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OSSERVAZIONI Forse avrete notato che, mentre nel linguaggio comune in genere il soggetto di una frase precede il predicato verbale, che a sua volta precede i complementi, in logica si usa scrivere la costante predicativa prima degli argomenti cui è riferita, senza distinguere se essi sono soggetti o complementi. Tuttavia, quando un predicato ha due argomenti, si usa scrivere anche la costante predicativa tra le due lettere che li indicano ; con tale convenzione, la frase dell'esempio 1 diventa "Per ogni x∈N , se 4Dx , allora Px ". Notiamo inoltre che un predicato biargomentale si può pensare come una relazione tra due insiemi, nel senso della definizione data nel terzo capitolo. Per questo motivo il concetto di predicato si può pensare come la generalizzazione di quello di relazione. APPLICHIAMO ... Come nei precedenti esempi, sostituite con una costante predicativa le parole che indicano proprietà o relazioni e con una costante funzionale quelle che indicano operazioni o procedimenti. 1. Esiste almeno un elemento x∈N tale che x è primo. 2. Per ogni x∈N , se x è divisibile per 9, allora x è divisibile per 3. 3. Per ogni x∈Z e per ogni y∈Z , se x è negativo ed y è negativo, allora il loro prodotto è positivo. 4. Per ogni {0}x∈ −Q , il cubo di x è concorde con x. 5. Per ogni x Q∈ , insieme dei quadrati, risulta che x ha i lati di uguale lunghezza. 1.3 I QUANTIFICATORI Riprendiamo alcune frasi già viste. Un primo tipo è dato da "Tutti i numeri naturali divisibili per 9 sono divisibili per 3"; "Esiste un numero naturale pari che è numero primo"; "Non esistono triangoli in cui un lato è maggiore della somma degli altri due"; un secondo tipo è dato da "Il numero 18 è divisibile per 9, quindi è divisibile per 3"; "Il 2 èun numero naturale pari primo"; "Nel triangolo di vertici A(1, 1), B(1, 5) e C(3, 4), il lato AB è minore della somma degli altri due". Abbiamo già evidenziato che nelle frasi del primo tipo, a differenza di quelle del secondo, si parla di elementi generici di un insieme universo ; inoltre in esse compaiono termini quali "tutti", "esiste", "non esistono", che in un certo senso quantificano gli elementi ai quali si riferisce il predicato. Nel linguaggio comune vi sono altre espressioni che svolgono la stessa funzione, come "quasi tutti", "molti", "la maggior parte", "pochi", tuttavia in quello matematico sono generalmente sufficienti "per ogni" ed "esiste". Possiamo pertanto dare le seguenti DEFINIZIONI (quantificatore universale, quantificatore esistenziale) L'espressione "per ogni" si chiama quantificatore universale e si indica con il simbolo ∀ .

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La parola "esiste" si chiama quantificatore esistenziale e si indica con il simbolo ∃ . Il quantificatore ∀ si utilizza per indicare che una proposizione è vera per ogni elemento dell'insieme universo; il quantificatore ∃ si utilizza invece per indicare che esiste almeno un elemento dell'insieme universo per il quale è vera una proposizione. ESEMPI 1. La frase "Per ogni x∈N risulta che se 4Dx , allora Px , dove D è la costante predicativa "è divisibile per" e P quella che indica "è pari", usando il simbolismo dei quantificatori diventa "

x∀ ∈N , se 4Dx , allora Px "; con tale scrittura intendiamo affermare che "Se 4Dx , allora Px " è vera qualunque sia il numero naturale x. 2. La frase "Esiste x∈Q tale che f ( )P x ", dove f è la costante funzionale che indica l'elevamento al quadrato e P quella predicativa che indica "è positivo", usando il simbolismo dei quantificatori diventa: " x∃ ∈Q tale che f ( )P x ". Ovviamente la proprietà "non è negativo" si scrive di solito con ">", per cui la frase diventa " x∃ ∈Q tale che f ( ) 0x > "; con tale scrittura intendiamo affermare che " f ( ) 0x > " è vera per almeno un numero razionale x. 3. La frase "Per ogni x∈Z e per ogni y∈Z , se Px e Py , allora s( , )P x y ", dove P è la costante predicativa che indica "è positivo" ed s( , ) quella funzionale che indica la somma, usando il simbolismo dei quantificatori diventa " x∀ ∈Z e y∀ ∈Z , se Px e Py , allora s( , )P x y ". OSSERVAZIONI Abbiamo detto che due quantificatori sono sufficienti per sviluppare un discorso matematico; ne basterebbe addirittura uno solo, considerato che il quantificatore esistenziale si può ricondurre a quello universale e viceversa. Infatti, ad esempio, la frase "Esiste un alunno che non ha studiato la storia" equivale a "Non tutti gli alunni hanno studiato la storia", mentre la frase "Tutti gli alunni hanno studiato la matematica" equivale a "Non esiste un alunno che non ha studiato la matematica". Tuttavia, per evitare che l'eccesso di sintesi vada a scapito della chiarezza, si preferisce mantenere separati i due quantificatori, ai quali a volte se ne affiancano due altri: "non esiste", che si indica con il simbolo ∃/ , ed "esiste un unico", che si indica con |∃ . APPLICHIAMO ... Come nei precedenti esempi, sostituite le parole che indicano proprietà o relazioni con una costante predicativa, quelle che indicano operazioni o procedimenti con una costante funzionale, "per ogni" ed "esiste" con i relativi simboli. 1. Esiste almeno un x∈N tale che x è un numero composto. 2. Per ogni x∈N , se x è multiplo di 2 e di 3, allora x è multiplo di 6. 3. Per ogni x∈Z e per ogni y∈Z , se x è negativo ed y è positivo, allora il loro prodotto è negativo. 4. Per ogni x∈Q , la quarta potenza di x è maggiore o uguale a zero. 5. Esiste almeno un x∈Q tale che x è un numero periodico semplice.

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OSSERVAZIONE Nelle frasi viste spesso compaiono la "e", la "o", e così via, con valore vero-funzionale, pertanto possono essere sostituite dai simboli dei corrispondenti connettivi, studiati nel precedente capitolo, come mostrato nei seguenti ESEMPI 1. La frase " x∀ ∈N , se 4Dx , allora Px ", dove D è la costante predicativa "è divisibile per" e P quella che indica "è pari", usando il simbolismo dei connettivi diventa " ( 4 )x Dx Px∀ ∈ →N ". 2. La frase " x∀ ∈Z e y∀ ∈Z , se Px e Py , allora s( , )P x y ", dove P è la costante predicativa che indica "è positivo" ed s( , ) quella funzionale che indica la somma, usando il simbolismo dei connettivi diventa " ( ) ( ) ( ) s( , )( )( )x y Px Py P x y∀ ∈ ∧ ∀ ∈ ∧ →Z Z ". 3. La frase "Esiste almeno un numero naturale x tale che x è pari e x è primo", indicano "è pari" con P ed "è primo" con Q, si può scrivere " ( )x Px Qx∃ ∈ ∧N ". APPLICHIAMO ... Come nei precedenti esempi, sostituite le parole che indicano proprietà o relazioni con una costante predicativa, quelle che indicano operazioni o procedimenti con una costante funzionale, quelle che indicano connettivi con i relativi simboli, "per ogni" ed "esiste" con i relativi simboli. 1. Per ogni x∈N , x non è divisibile per lo zero. 2. Esiste almeno un x∈N tale che x è multiplo di 2 e x è multiplo di 5. 3. Per ogni x∈Z , se 0a = , allora il prodotto a x⋅ è nullo. 4. Esiste almeno un x∈Q tale che la quarta potenza di x è uguale a 1. 5. Per ogni x∈Q risulta 2 2x ≠ . 1.4 LE FORMULE BEN FORMATE Abbiamo ora tutto quello che serve per costruire il linguaggio della logica. Disponiamo infatti di un alfabeto formato da • costanti individuali: , , ,a b c …; • variabili individuali: , , ,x y z … ; • costanti predicative: , , ,P Q R …; • costanti funzionali : f, g, h, …; • simboli per i connettivi: , , , , ,∧ ∨ ∨ → ↔ ; • simboli per i quantificatori: ,∀ ∃ ; • simboli ausiliari: parentesi tonda aperta " ( " e chiusa " ) ", la virgola " , " ed i due punti " : ". Con questo alfabeto possiamo costruire gli oggetti del linguaggio della logica, detti termini; essi sono: • le costanti individuali , , ,a b c …; • le variabili individuali , , ,x y z … ; • le espressioni del tipo f(a,...), g(x,...), h(a,...,x,...), ... , dove f, g, h, ..., sono costanti funzionali ad

uno o più argomenti che operano su costanti e/o variabili individuali;

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• le espressioni del tipo f( 1,t … ), g( 1,..., ,a t …), h( 1,..., ,x t …), k( 1,..., ,..., ,a x t …), ... , dove 1,t … sono termini nel senso precisato nei tre casi precedenti ed f, g, h, k, ..., sono costanti funzionali ad uno o più argomenti che operano su termini e/o costanti e/o variabili individuali;

• nient'altro è un termine. ESEMPI 1. Nella frase "Se x è un numero intero non nullo, 2x è un intero positivo", x è una variabile, quindi è un termine; 2x è anch'esso un termine, poiché è stato ottenuto elevando x alla seconda. Se indichiamo con p(x,n) l'elevamento di x alla potenza ennesima, risulta infatti 2 p( , 2)x x= . 2. Nella frase "Se x ed y sono numeri reali, 2 2 1x y+ + è un numero reale positivo", x e y sono variabili, 1 è una costante, quindi sono termini; 2 2,x y , come visto nel precedente esempio, sono termini, quindi 2 2 1x y+ + è anch'esso un termine, poiché è stato ottenuto come somma di tre termini. Se indichiamo con p( , ) l'elevamento a potenza e con s( , , ) la somma dei tre argomenti, risulta infatti 2 2 1x y+ + = s(p(x,2), p(y,2),1). Siamo ora in grado di costruire le formule atomiche e le formule ben formate. Le formule atomiche sono espressioni del tipo 1t ,P … , dove P Š una costante predicativa e 1t ,… sono termini. Le formule ben formate, indicate anche con FBF, che è acronimo (cioè sigla formata dalle iniziali) di "Formule Ben Formate", sono: • le formule atomiche; • le formule, dette composte, , , , ,A B A B A B A B A B∧ ∨ ∨ → ↔ , dove A e B sono formule

atomiche, dette sottoformule di quelle composte; • le formule, anch'esse composte , ( ), ( : )A xA x A∀ ∃ , dove A è una formula atomica, detta

sottoformula di quella composta; • le formule, anch'esse composte, , , , ,A B A B A B A B A B∧ ∨ ∨ → ↔ , dove A e B sono formule

composte, dette sottoformule immediate delle precedenti; • le formule, anch'esse composte , ( ), ( : )A xA x A∀ ∃ , dove A è una formula composta, detta

sottoformula immediata delle precedenti; • nient'altro è una FBF. A completamento di quanto detto, diamo le seguenti DEFINIZIONI (indice, campo d'azione di un quantificatore) La FBF ( )xA∀ , che si legge "per ogni x risulta A" è detta quantificazione universale di A con indice x; la formula (atomica o composta) A, oltre che sottoformula della precedente, è detta anche campo d'azione del quantificatore ∀ . La FBF ( : )x A∃ , che si legge "esiste almeno un x tale che A" è detta quantificazione esistenziale di A con indice x; la formula (atomica o composta) A, oltre che sottoformula della precedente, è detta anche campo d'azione del quantificatore ∃ . ESEMPI 1. La frase "Il numero 2 è primo" si può scrivere " 2P ", dove P indica "è primo"; P2 è una FBF atomica.

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2. La frase "Il doppio di ogni numero naturale è un numero pari" si può scrivere " ( )( d( ))x P x∀ ∈N ", dove P ora significa "è pari" e d(x) è un termine che indica il doppio di x. Si tratta di una FBF composta, in particolare è una quantificazione universale con indice x della formula atomica d( )P x , che quindi costituisce il campo d'azione di ∀ . 3. La frase "Esiste almeno un numero naturale divisibile per 3 e per 5" si può scrivere

: ( 3 5)x Px Px∃ ∈ ∧N , dove P ora significa "è divisibile per". Si tratta di una FBF composta, in particolare è una quantificazione esistenziale con indice x della formula composta 3 5Px Px∧ , che quindi costituisce il campo d'azione di ∃ . APPLICHIAMO ... Precisate il tipo di quantificazione presente nelle FBF ottenute dal precedente "Applichiamo ...", individuando indice e campo d'azione di ogni quantificatore. OSSERVAZIONE In questo capitolo e nel precedente abbiamo descritto il "linguaggio della logica" utilizzando la lingua italiana, mettendo spesso in risalto analogie, ma anche differenze. Abbiamo utilizzato quindi un linguaggio ML per descriverne un altro L; ML viene detto metalinguaggio, mentre L è chiamato linguaggio oggetto. Nel nostro caso, ML è la lingua italiana, L il linguaggio della logica. 2. DALLA LOGICA ALL'INSIEMISTICA 2.1 OCCORRENZE LIBERE E VINCOLATE DI UNA VARIABILE Esaminiamo le frasi "Ogni numero naturale è divisibile per 2 o per 3"; "Esiste almeno un numero naturale che è divisibile per 2 o per 3"; "Il numero naturale x è divisibile per 2 o per 3"; "Qualunque sia il numero naturale y, il numero naturale x è divisibile per 2 o y è divisibile per 3". Scrivendole sotto forma di FBF, utilizzando D per indicare "è divisibile per", esse diventano

( 2 3)x Dx Dx∀ ∈ ∨N ; : ( 2 3)x Dx Dx∃ ∈ ∨N ;

( ) ( 2 3)x Dx Dx∈ ∧ ∨N ; ( 2 3)y Dx Dy∀ ∈ ∨N .

Nella prima e seconda FBF la variabile x si trova due volte nel campo d'azione ( 2 3)Dx Dx∨ di un quantificatore di indice x, nella terza x compare due volte, ma non sono presenti quantificatori, infine nella quarta il campo d'azione di ∀ contiene le variabili x ed y, ma solo y è indice del quantificatore.

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Diciamo pertanto che nella prima e seconda formula x ha due occorrenze vincolate da un quantificatore, nella terza x ha due occorrenze libere, nella quarta formula x ha una occorrenza libera, mentre y ne ha una vincolata, come precisato nelle seguenti

DEFINIZIONI (occorrenze libere e vincolate di una variabile)

Si chiama occorrenza vincolata della variabile individuale x all'interno di una FBF ogni posizione di x nel campo d'azione di un quantificatore che ha come indice x stessa; ogni altra posizione di x all'interno della stessa FBF, che non sia indice di un quantificatore, si chiama occorrenza libera di x.

ESEMPI

1. Individuiamo le occorrenze vincolate di x nella seguente FBF

( )( )x A Px Qx Rxy∀ ∈ ∧ ∨ ,

dove le parentesi consentono di individuare senza ambiguità il campo di azione del quantificatore.

Nell'immagine a fianco una freccia ascendente evidenzia il quantificatore, le frecce discendenti evidenziano le occorrenze di x da esso vincolate.

La variabile indice x è evidenziata in rosso; tale variabile, come si può notare, ha nella stessa FBF due occorrenze vincolate ed una libera. L'unica occorrenza di y è libera, poiché non è indice né si trova nel campo d'azione di un quantificatore di indice y.

2. Individuiamo le occorrenze vincolate di x ed y nella seguente FBF

: s( )( ( )) ( )x A y A y x Px Qy∀ ∈ ∃ ∈ = ∧ → ,

dove le parentesi consentono di individuare senza ambiguità il campo di azione di ogni quantificatore.

Nell'immagine a fianco una freccia ascendente evidenzia il quantificatore, le frecce discendenti evidenziano le occorrenze della variabile indice da esso vincolate.

Le variabili indice sono evidenziate in rosso ; l'ultima occorrenza di x e l'ultima di y sono libere, poiché non sono indice né si trovano nel campo d'azione di un quantificatore di uguale indice.

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APPLICHIAMO ...

Individuate le occorrenze vincolate di x nelle seguenti FBF

1. ( ) ( : )Px Qx x A Rx→ ∨ ∃ ∈ .

2. : ( )( ) ( )Px Rx x A Px Qx∨ ↔ ∀ ∈ → .3. ( : ( )) ( )x A Px Qx Rx Px∃ ∈ → ∨ ∧ .

Individuate le occorrenze vincolate di x e di y nelle seguenti FBF

4. ( : )( ) ( )Px Py x A y A Ryx∧ → ∀ ∈ ∃ ∈ .

5. ( ) : )( ) ( )x A y A Pxy Px Qy∃ ∈ ∧∃ ∈ ∨ → .

6. ( : )( ) ( )x A y A Pxy Qx Qy∀ ∈ ∃ ∈ ↔ → .

2.2 FORMULE CHIUSE E FORMULE APERTE

Riprendiamo in esame le formule

( 2 3)x Dx Dx∀ ∈ ∨N ; : ( 2 3)x Dx Dx∃ ∈ ∨N ;

( ) ( 2 3)x Dx Dx∈ ∧ ∨N ; ( 2 3)y Dx Dy∀ ∈ ∨N .

Abbiamo già detto che nella prima e seconda formula la variabile x ha due occorrenze vincolate da un quantificatore, nella terza x ha due occorrenze libere, nella quarta formula x ha una occorrenza libera ed y ne ha una vincolata, pertanto nelle prime due FBF tutte le occorrenze di x o sono indice di un quantificatore o sono vincolate da esso, mentre ciò non accade nelle ultime due. Diamo pertanto le successive

DEFINIZIONI (formula chiusa, formula aperta)

Una FBF si dice formula chiusa o enunciato se tutte le occorrenze delle variabili in essa presenti o sono indice di un quantificatore o sono vincolate da esso; in caso contrario, ossia se almeno una delle occorrenze di una delle variabili è libera, la FBF si dice formula aperta.

Questa distinzione ha un'importante conseguenza nel momento in cui diamo un significato alle costanti predicative e funzionali che compaiono in una FBF e scegliamo un opportuno insieme universo, se cioè diamo una interpretazione della FBF. Infatti ognuna delle interpretazioni già viste delle prime due FBF

"Ogni numero naturale è divisibile per 2 o per 3", "Esiste almeno un numero naturale che è divisibile per 2 o per 3",

ha valore di verità indipendente dalla variabile x: la prima frase è falsa, essendo falso che qualunque naturale x è divisibile per 2 o per 3, la seconda è vera, poiché vi è almeno un naturale divisibile per 2 o per 3".

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Invece il valore di verità di ognuna delle interpretazioni già date alle ultime due FBF

"Il numero naturale x è divisibile per 2 o per 3", "Qualunque sia il numero naturale y, il numero naturale x è divisibile per 2 o y è divisibile per 3",

dipende dalla variabile x, nel senso che per alcuni numeri naturali esse possono vere, per altri possono risultare false. Notiamo che, per quanto riguarda l'ultima, il valore di verità non dipende dalla variabile y. Tali considerazioni portano alla seguente

DEFINIZIONE (insieme di verità)

Si chiama insieme di verità di una interpretazione di una FBF aperta, contenente una variabile x, il sottoinsieme dell'insieme universo i cui elementi, sostituiti alla x, rendono vera l'interpretazione della FBF.

OSSERVAZIONE

Se una FBF aperta contiene più variabili , ,...x y , l'insieme di verità di una sua interpretazione è l'insieme delle coppie, o terne, e così via, di elementi che, sostituiti ad , ,x y …, rendono vera tale interpretazione della formula. Notiamo inoltre che l'interpretazione di una FBF è una proposizione, che si dice aperta se la FBF è aperta, si dice chiusa se la FBF è chiusa; pertanto si può parlare anche di insieme di verità di una proposizione aperta, inteso come il sottoinsieme dell'insieme universo i cui elementi la rendono vera.

Da quanto detto, risulta che il valore di verità dell'interpretazione di una FBF chiusa non dipende dagli elementi che si sostituiscono alle variabili, ossia una formula chiusa o è sempre vera o è sempre falsa, a seconda dell'interpretazione data alle lettere (costanti predicative, funzionali, ecc.). Invece una interpretazione di una FBF aperta per alcuni elementi è vera, mentre è falsa per altri, come chiarito dai seguenti

ESEMPI

1. Esaminiamo la FBF ( 2 3)x Dx Dx∀ ∈ ∨N , che è chiusa.Se interpretiamo la costante predicativa D nel significato di "è divisibile per", allora essa risulta falsa, in quanto non è vero che ogni numero naturale è divisibile per 2 o per 3, poiché esistono dei numeri, come 5, 7, ecc., che non sono divisibili né per 2 né per 3. Se però interpretiamo la costante predicativa D nel significato di "si può aumentare di", allora essa risulta vera, in quanto ad ogni numero naturale si può addizionare 2 o 3. Se infine interpretiamo la costante predicativa D nel significato di "si può diminuire di", allora essa risulta falsa, in quanto non da tutti i numeri naturali si può sottrarre 2 o 3: infatti da 0 e da 1 non si può sottrarre né 2 né 3. 2. Esaminiamo la FBF : ( 2 3)x Dx Dx∃ ∈ ∧N , che è chiusa.Se diamo alla costante predicativa D il significato di "è divisibile per", allora essa risulta vera, in quanto esiste almeno un naturale divisibile per 2 e per 3, ad esempio 6. 3. Esaminiamo la FBF ( ) ( 2 3)x Dx Dx∈ ∧ ∨N , che è aperta.Se attribuiamo alla costante predicativa D ancora il significato di "è divisibile per", allora l'interpretazione della formula risulta vera per alcuni numeri, come 2, 3, 4, 6, 9, 10, e così via, mentre risulta falsa per altri, come ad esempio 1, 5, 7, 11, e così via.

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Se prendiamo come insieme universo {0,1, ,8,9}U = … , l'insieme di verità dell'interpretazione scelta è { }0,2,3,4,6,9V = . 4. Consideriamo le FBF ( ) ,x A Px Qx x AP Qx∀ ∈ ∨ ∀ ∈ ∨∀ , entrambe chiuse.Se prendiamo come insieme universo A = N ed attribuiamo alle costanti predicative ,P Q rispettivamente i significati "è pari", "è dispari", allora l'interpretazione della prima formula, ossia "Ogni numero naturale è pari o dispari", risulta vera, mentre quella della seconda, cioè "Ogni numero naturale è pari oppure ogni numero naturale è dispari", è falsa. 5. Esaminiamo la FBF ( 2 p( , )2)y Dx D x y∀ ∈ →N , che è una formula aperta, perché le occorrenzedi x non sono indice di ∀ , quindi non sono vincolate da esso. Se interpretiamo la costante predicativa D ancora nel significato di "è divisibile per" e la costante funzionale p nel significato di "prodotto tra", la FBF precedente diventa la proposizione "Per ogni numero naturale y, se il numero x è divisibile per 2, allora anche il prodotto tra x ed y è divisibile per 2". Il suo insieme universo è il prodotto cartesiano ×N N , che è anche il suo insieme di verità, poiché, qualunque sia x, l'implicazione materiale "Se il numero x è divisibile per 2, allora anche il prodotto tra x ed y è divisibile per 2" è vera per ogni y.

OSSERVAZIONI

Gli esempi precedenti evidenziano che ad una FBF chiusa si possono dare diverse interpretazioni, alcune vere, altre false ; analogamente, partendo da una FBF aperta si possono ottenere più proposizioni aperte, con differenti insiemi di verità. Nel capitolo precedente abbiamo visto che, se le proposizioni .p q p q→ ↔ sono tautologie, scriviamo rispettivamente ,p q p q⇒ ⇔ . Se, alla luce di quanto visto, .p q p q→ ↔ sono proposizioni aperte, le scritture ,p q p q⇒ ⇔ si usano anche per indicare che esse sono vere indipendentemente dagli elementi sostituiti alle variabili, ossia che i loro insiemi di verità coincidono con l'insieme universo. Ad esempio, se .p q p q→ ↔ sono proposizioni aperte che contengono solo la variabile x, le scritture ,p q p q⇒ ⇔ equivalgono a ( ), ( )x p q x p q∀ → ∀ ↔ .

Nel confronto tra linguaggio logico e linguaggio comune, abbiamo notato che l'espressione linguistica "se e solo se" si usa anche nelle definizioni; pertanto, quando una equivalenza è una definizione o una sua immediata conseguenza, si usa, in luogo di ⇔ , il simbolo :⇔ . FINE OSS.

APPLICHIAMO ...

Date una opportuna interpretazione alle seguenti FBF e, se chiuse, stabilitene il valore di verità, se aperte, determinatene l'insieme di verità.

1. Px Qx→2. ( )x A Px Qx∀ ∈ →3. : ( )x A Px Qx∃ ∈ →4. ( : )x A y A Ryx∀ ∈ ∃ ∈5. ( )Px y AQxy∧ ∀ ∈6. ( : )x A y A Pxy∀ ∈ ∃ ∈

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Tra le seguenti proposizioni, individuate l'insieme di verità di quelle aperte, il valore di verità di quelle chiuse, considerando {0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9}U = come insieme universo.

7. Per ogni x U∈ , x non è divisibile per lo zero.8. Il numero x U∈ è multiplo di 2 e di 5.9. Per ogni x U∈ , il prodotto 0 x⋅ è nullo.10. Se y U∈ , esiste almeno un x U∈ tale che il prodotto x y⋅ è uguale ad 1.11. Per ogni x U∈ risulta 2 2x ≠ .

2.3 DALLE OPERAZIONI LOGICHE A QUELLE INSIEMISTICHE

Riprendiamo ora alcuni concetti incontrati trattando l'insiemistica, per formalizzarli con il linguaggio della logica e per metterne in evidenza alcuni interessanti aspetti.

Partiamo dall'inclusione tra insiemi, definita come segue

"A è un sottoinsieme di B quando si verifica che se x appartiene ad A, allora x appartiene anche a B".

Con i simbolismi insiemistici e logici, tale proposizione diventa

: ( ) ( )( ) ( )A B x A x B⊆ ⇔ ∈ ⇒ ∈ .

Quindi è vero che A B⊆ se e solo se ( ) ( )x A x B∈ → ∈ è vera per ogni x. Possiamo dire, in un certo senso, che la relazione "⊆ " d'inclusione tra insiemi corrisponde a quella tra proposizioni aperte contenenti la stessa variabile così definita

p è in relazione ⇒ con q se e solo se la proposizione p q→ è vera per ogni x.

Pertanto, se p q⇒ , l'insieme di verità A di p è incluso in quello B di q.

Passiamo ora all'uguaglianza tra insiemi, definita come segue

"A è uguale a B quando si verifica che x appartiene ad A se e solo se x appartiene anche a B".


: ( ) ( )( ) ( )A B x A x B= ⇔ ∈ ⇔ ∈ .

Quindi è vero che A B= se e solo se ( ) ( )x A x B∈ ↔ ∈ è vera per ogni x.

Logi

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Possiamo dire, in un certo senso, che la relazione "=" di uguaglianza tra insiemi corrisponde a quella tra proposizioni aperte contenenti la stessa variabile così definita

p è in relazione ⇔ con q se e solo se la proposizione p q↔ è vera per ogni x.

Pertanto, se p q⇔ , l'insieme di verità A di p Š uguale a quello B di q.

Consideriamo ora l'unione tra insiemi, definita come segue

"L'elemento x dell'insieme universo U appartiene all'unione di A con B se e solo se x appartiene ad A oppure x appartiene a B".


: ( ) ( )( ) ( )x A B x A x B∈ ∪ ⇔ ∈ ∨ ∈ .

Quindi è vero che x A B∈ ∪ se e solo se ( ) ( )x A x B∈ ∨ ∈ ; se pertanto ,A B sono gli insiemi di verità rispettivamente delle proposizioni aperte ,p q contenenti la sola variabile x, l'insieme di verità di p q∨ è A B∪ .

Possiamo dire, in un certo senso, che l'operazione "∪ " di unione tra insiemi corrisponde a quella tra proposizioni aperte contenenti la stessa variabile data dal connettivo "∨ ".

L'intersezione tra insiemi è definita come segue

"L'elemento x dell'insieme universo U appartiene all'intersezione di A con B se e solo se x appartiene ad A e x appartiene a B".


: ( ) ( )( ) ( )x A B x A x B∈ ∩ ⇔ ∈ ∧ ∈ .

Quindi è vero che x A B∈ ∩ se e solo se ( ) ( )x A x B∈ ∧ ∈ ; se pertanto A, B sono gli insiemi di verità rispettivamente delle proposizioni aperte ,p q contenenti la sola variabile x, l'insieme di verità di p q∧ è A B∩ .

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Possiamo dire, in un certo senso, che l'operazione "∩ " di intersezione tra insiemi corrisponde a quella tra proposizioni aperte contenenti la stessa variabile data dal connettivo "∧ ".

Vediamo ora il caso della differenza simmetrica tra insiemi, definita come segue

"L'elemento x dell'insieme universo U appartiene alla differenza simmetrica tra A e B se e solo se o x appartiene solo ad A o x appartiene solo a B".


: ( ) ( )( ) ( )x A B x A x B∈ ∨⇔ ∈ ∈ .

Quindi è vero che x A B∈ se e solo se ( ) ( )x A x B∈ ∨ ∈ ; se pertanto A, B sono gli insiemi di verità rispettivamente delle proposizioni aperte p, q contenenti la sola variabile x, l'insieme di verità di p q∨ è A B .

ABA B∆p q∨

.

Possiamo dire, in un certo senso, che l'operazione " " di differenza simmetrica tra insiemi corrisponde a quella tra proposizioni aperte contenenti la stessa variabile data dal connettivo ∨ .

Consideriamo adesso il complementare di un insieme, definito come segue

"L'elemento x dell'insieme universo U appartiene al complementare di A se e solo se x non appartiene ad A".


( ) : ( )x A x A∈ ⇔ ∈ .

Quindi è vero che x A∈ se e solo se x A∈ ; se pertanto A è l'insieme di verità della proposizione p, l'insieme di verità di p è A .

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UA

p

A

Possiamo dire, in un certo senso, che l'operazione " " di complementare su un insieme corrisponde a quella su una proposizione aperta data dal connettivo , che, non a caso, è indicato con lo stesso simbolo.

Infine, nel caso del prodotto cartesiano tra insiemi, definito come segue

"La coppia ( , )x y di elementi dell'insieme universo U appartiene al prodotto cartesiano tra A e B se e solo se x appartiene ad A e y appartiene a B",

usando i simbolismi insiemistici e logici otteniamo

( , ) : ( ) ( )( ) ( )x y A B x A y B∈ × ⇔ ∈ ∧ ∈ .

Quindi è vero che ( , )x y A B∈ × se e solo se ( ) ( )x A y B∈ ∧ ∈ ; se pertanto A è l'insieme di verità della proposizione aperta p contenente la variabile x e B è quello della proposizione aperta q contenente la variabile y, l'insieme di verità di p q∧ è A B× . Possiamo dire, in un certo senso, che l'operazione "×" di prodotto cartesiano tra insiemi corrisponde a quella tra proposizioni aperte contenenti due variabili distinte data dal connettivo "∧ ".

OSSERVAZIONE

L'operazione di differenza tra insiemi non corrisponde ad un solo connettivo logico. Infatti la differenza tra due insiemi è definita come segue

"L'elemento x dell'insieme universo U appartiene alla differenza tra A e B se e solo se x appartiene solo ad A ed x non appartiene solo a B".


: ( ) ( )( ) ( )x A B x A x B∈ − ⇔ ∈ ∧ ∈/ .

Quindi è vero che x A B∈ − se e solo se ( ) ( )x A x B∈ ∧ ∈ ; se pertanto A, B sono gli insiemi di verità rispettivamente delle proposizioni aperte p, q contenenti la sola variabile x, A B− è l'insieme di verità di p q∧ .

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A B

A B-

p q∧

Analogamente, ai connettivi condizionale "→ " e bicondizionale "↔ " non corrisponde una sola operazione insiemistica. Infatti le proposizioni p q→ e p q∨ , come visto, sono equivalenti, quindi hanno lo stesso insieme di verità ; pertanto, se A è l'insieme di verità di p e B quello di q, l'insieme di verità di p q→ è A B∪ .

UA∪B

p q→

A

B

Per quanto riguarda p q↔ , essa è equivalente a p q∨ , quindi, se A è l'insieme di verità di p e B quello di q, l'insieme di verità di p q↔ è A B .

AB

p q↔U

A B∆

ESEMPIO

Consideriamo le proposizioni aperte

p : "Il numero naturale di una cifra x è multiplo di 3", q : "Il numero naturale di una cifra x è primo".

L'insieme universo è quello dei numeri naturali di una cifra {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}U = , l'insieme di verità di p è A = {3, 6, 9}, mentre quello di q è B = {2, 3, 5, 7}.

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L'insieme di verità di q è quello cui appartengono i numeri di una cifra che non sono primi, ossia {0, 1, 4, 6, 8, 9}, che è il complementare B di B.

L'insieme di verità di p q∧ è quello cui appartengono i numeri di una cifra che sono multipli di 3 e che sono primi, ossia l'insieme {3}, che è l'intersezione A B∩ di A con B.

L'insieme di verità di p q∨ è quello cui appartengono i numeri di una cifra che sono multipli di 3 o che sono primi, ossia l'insieme {2, 3, 5, 6, 7, 9}, che è l'unione A B∪ di A con B.

L'insieme di verità di p q∨ è quello cui appartengono i numeri di una cifra o che sono multipli di 3 o che sono primi, ossia l'insieme {2, 5, 6, 7, 9}, che è la differenza simmetrica A B tra A e B.

APPLICHIAMO ...

Date le proposizioni aperte

p : "Il numero x U∈ è multiplo di 4", q : "Il numero x U∈ è divisibile per 2",

con { :1 20}U x x= ∈ ≤ ≤N insieme universo, detti A l'insieme di verità di p e B l'insieme di verità di q, verificate che l'insieme di verità di

1. p è A ,2. q è B ,3. p q∧ è A B∩ ,4. p q∨ è A B∪ ,5. p q∨ è A B ,6. p q∧ è A B− ,7. ( )p q p∨ ∧ è ( )A B A∪ ∩ ,8. p q→ è A B∪ ,9. p q↔ è A B ,

3. LA DEDUZIONE

Affrontiamo ora un argomento su cui torneremo anche nel prossimo capitolo, dedicato alla geometria. Ci proponiamo di esaminare, sia pur brevemente, i procedimenti che, partendo da una proposizione vera, consentono di pervenire ad un'altra proposizione, anch'essa vera poiché tale è quella di partenza. Questi procedimenti sono conosciuti con il nome di deduzioni o di dimostrazioni o di inferenze logiche.In matematica si fa largo uso di tali tecniche per affermare la verità di una proposizione, che viene di solito chiamata enunciato; un enunciato si presenta o come una proposizione chiusa o, più spesso, sotto forma di implicazione.

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ESEMPI

1. Un enunciato di aritmetica afferma che "Per ogni numero naturale composto n esiste almeno unnumero primo p tale che n è divisibile per p", che è una proposizione chiusa, in quanto sono presenti due quantificatori. 2. Un enunciato di geometria afferma che "In ogni triangolo isoscele gli angoli alla base sonocongruenti", che è una proposizione chiusa, in quanto vi è un quantificatore; tale teorema si può anche scrivere sotto forma di implicazione: "Se un triangolo ha due lati congruenti, allora gli angoli opposti sono congruenti".

Se l'enunciato si presenta sotto forma di implicazione, in esso distinguiamo l'antecedente p, che viene chiamato ipotesi, e il conseguente q, detto tesi. L'enunciato e la dimostrazione, che permette di stabilirne la verità, formano, complessivamente, un teorema. Se esso si presenta sotto forma di implicazione, si indica simbolicamente con p q⇒ , che si legge "se p, allora q".

Ricordiamo che la scrittura p q→ ha un significato ben diverso da p q⇒ ; la prima infatti è una proposizione ottenuta con il connettivo vero-funzionale "→ ", che può essere vera o falsa, a seconda dei valori di p e q; invece p q⇒ indica che p q→ è una tautologia, pertanto, se p è vera, anche q è vera.

Dalla logica delle proposizioni sappiamo che p q→ non è logicamente equivalente a q p→ ; se quindi risulta p q⇒ , non è detto che si abbia anche q p⇒ , nel senso che, se p q→ è una tautologia, non è detto che lo sia anche q p→ . Se si verifica che q p⇒ , si dice che il teorema p q⇒ è invertibile e q p⇒ viene detto teorema inverso del precedente. Un teorema invertibile p q⇒ e il suo teorema inverso q p⇒ possono essere riassunti in un unico teorema, indicato con p q⇔ , che si legge "p se e solo se q" o anche "condizione necessaria e sufficiente affinché p è q". Se il teorema p q⇒ non è invertibile, si dice che q è condizione necessaria, ma non sufficiente, per p. Se invece è vero solo il teorema inverso di p q⇒ , ossia q p⇒ , si dice che q è condizione sufficiente, ma non necessaria, per p.

ESEMPI

1. Il teorema dell'aritmetica "Esistono infiniti numeri primi" non si presenta sotto forma diimplicazione, pertanto non ha senso chiedersi se è invertibile.

2. Il teorema di aritmetica "Se un numero è divisibile per 3, allora la somma delle sue cifre èdivisibile per 3" è invertibile, ossia è vero pure che "Se la somma delle cifre di un numero è divisibile per 3, allora esso è divisibile per 3". Pertanto possiamo affermare che "Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3", che si può esprimere anche nella forma "Condizione e sufficiente affinché un numero sia divisibile per 3 è che la somma delle sue cifre sia divisibile per 3".

3. L'enunciato "Se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2" è vero, ma non invertibile.Ad esempio, il numero 6 è divisibile per 2, ma non per 4. Pertanto "Un numero è divisibile per 2" è

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una condizione necessaria, ma non sufficiente, per "Un numero è divisibile per 4", ossia un numero divisibile per 4 è necessariamente divisibile per 2.

4. L'enunciato "Se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 8" è falso, mentre è verol'enunciato inverso, ossia "Se un numero è divisibile per 8, allora è divisibile per 4". Pertanto "Un numero è divisibile per 8" è una condizione sufficiente, ma non necessaria, per "Un numero è divisibile per 4", ossia basta che un numero sia divisibile per 8 affinché sia divisibile per 4, ma, ovviamente, non è necessario.

APPLICHIAMO ...

Nei seguenti enunciati, scritti sotto forma di implicazione, distinguete ipotesi e tesi, individuando le condizioni necessarie, quelle sufficienti e quelle necessarie e sufficienti.

1. Se un triangolo è rettangolo, allora il quadrato costruito sul lato maggiore è equivalente allasomma dei quadrati costruiti sugli altri due lati. 2. Un triangolo è rettangolo se il quadrato costruito sul suo lato maggiore è equivalente alla sommadei quadrati costruiti sugli altri due lati. 3. Se una equazione intera è di grado dispari, allora ha almeno una soluzione reale.4. Se due rette sono parallele ad una terza retta, allora sono parallele tra loro.5. Se due rette sono perpendicolari ad una terza retta, allora sono parallele tra loro.

Vediamo ora le principali regole di deduzione.

IL MODUS PONENS

Partiamo dalle seguenti considerazioni.

"Se esco mentre piove senza ombrello, allora mi bagno" "Esco mentre piove senza ombrello" ---------------------- "Mi bagno"

L'ultima proposizione è vera se sono vere le prime due, quindi ne è una logica conseguenza. In generale possiamo dire che, se una implicazione p q→ è vera e se l'antecedente p è vero, anche il conseguente q è vero. Un ragionamento di questo tipo è detto modus ponens e può essere schematizzato come segue

Se è vera p q→ p q⇒ed è vera p o anche p -------------------- ---------- è vera q q

Talvolta esso viene indicato anche con (( ) )( )p q p q→ ∧ → , che, come potete verificare, è unatautologia.

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IL MODUS TOLLENS

Consideriamo il seguente ragionamento.

"Se parcheggio in divieto di sosta, allora corro il rischio di avere una multa" "Parcheggio in divieto di sosta" ------------------------------ "Corro il rischio di avere una multa"

Anche in questo caso l'ultima proposizione è vera se sono vere le prime due, quindi ne è una logica conseguenza. In generale possiamo dire che, se una implicazione p q→ è vera e se la negazione q del conseguente q è vera, ossia q è falsa, anche la negazione p dell'antecedente p è vera, ossia p è falsa. Un ragionamento di questo tipo Š detto modus tollens e può essere schematizzato come segue

Se è vera p q→ p q⇒ed è falsa p o anche q-------------------- ------------- è falsa q p

Talvolta esso viene indicato anche con (( ) )( )p q q p→ ∧ → , che, come potete verificare, è unatautologia.

LA DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO

La dimostrazione per assurdo è abbastanza frequente in matematica, in quanto consente di arrivare alla conclusione in maniera più semplice rispetto ad una dimostrazione diretta, basata ad esempio sul modus ponens. Essa consiste nel supporre vera la negazione b dell'enunciato b che si vuole dimostrare; se da b discende una contraddizione a a∧ , ossia si giunge alla conclusione che una proposizione a è sia vera che falsa, allora se ne deduce che b è falsa, quindi b è vera.

Tale ragionamento si schematizza di solito nel modo seguente ( ( ))( )b a a b→ ∧ → .

Se l'enunciato b da dimostrare si presenta sotto forma di implicazione p q→ , lo schema precedente diventa

( ) ( ) ( )(( ) )p q a a p q∧ → ∧ → → ,

poiché p q→ è equivalente a p q∧ . Pertanto, volendo dimostrare per assurdo un enunciato che si presenta sotto forma di implicazione p q→ , supporremo vere l'ipotesi e la negazione della tesi; se ciò porta ad una contraddizione, il

teorema è dimostrato.

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ESEMPI

1. Studiando l'aritmetica, abbiamo incontrato il teorema

"Esistono infiniti numeri primi".

Vediamo ora come il matematico greco Euclide, oltre duemila anni fa, dimostra tale teorema nel IX libro dei suoi Elementi; schematizziamolo sulla base delle nostre conoscenze. Ragionando per assurdo, egli nega l'affermazione precedente, supponendo vero che

"I numeri primi non sono infiniti".

Pertanto ne esisterà un numero finito. Successivamente egli dimostra che tale proposizione equivale a

"Esiste un numero primo p maggiore di tutti gli altri numeri primi".

Infatti noi sappiamo che l'insieme dei naturali N è totalmente ordinato rispetto alla relazione d'ordine del minore, pertanto possiamo scrivere un numero finito di naturali ordinati in senso crescente: 2 3 p< <…< . L'ultimo numero risulta maggiore dei precedenti. Tale ragionamento è di tipo modus ponens:

"Se un sottoinsieme di N è finito, allora contiene un numero maggiore di tutti gli altri" "Il sottoinsieme di N dei numeri primi è finito" ---------------------------------- "Il sottoinsieme di N dei numeri primi ne contiene uno maggiore di tutti gli altri"

A questo punto Euclide considera il numero q ottenuto del prodotto di tutti i numeri primi aumentato di uno, ossia

2 3 1q p= ⋅ ⋅…⋅ + .

Tale numero q risulta ovviamente maggiore di p, che è il più grande numero primo, pertanto q non può essere un numero primo, ma un numero composto, perciò deve essere divisibile per qualcuno dei numeri primi da 2 a p. Abbiamo quindi stabilito la verità della proposizione

"Esiste un numero primo {2,3, , }x p∈ … tale che il numero q è divisibile per x".

Tuttavia la divisione tra q ed uno qualunque dei numeri primi dà sempre resto 1, ad esempio

: 3q dà resto 1, in quanto 3 (2 ) 1q p= ⋅ ⋅…⋅ + .

Pertanto è vera anche la proposizione

"Non esiste un numero primo {2,3, , }x p∈ … tale che q è divisibile per x",

che è la negazione della precedente. Siamo quindi giunti ad una contraddizione, in quanto la proposizione

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"Esiste un numero primo {2,3, , }x p∈ … tale che q è divisibile per x"

è sia vera che falsa. Tale contraddizione nasce dall'avere supposto falsa la proposizione "Esistono infiniti numeri primi", che, pertanto, è vera.

2. Euclide dimostra per assurdo anche l'inverso del teorema "Se un triangolo ha due lati congruenti,gli angoli opposti sono congruenti", ossia

"Se un triangolo ha due angoli congruenti, i lati opposti sono congruenti".

Egli nega tale proposizione, supponendo vere l'ipotesi

"Un triangolo ha due angoli congruenti"

e la negazione della tesi

"I lati opposti non sono congruenti".

Ciò conduce ad una contraddizione, pertanto l'enunciato del teorema è vero.

OSSERVAZIONE

Nel teorema dell'esempio 1 si dimostra che il numero 2 3 1q p= ⋅ ⋅…⋅ + non è divisibile per i numeri primi da 2 a p, il che non significa che q stesso è un numero primo. Ad esempio, 2 3 5 1 31⋅ ⋅ + = è un numero primo, ma 2 3 5 7 11 13 1 30031⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = non è un numero primo, poiché 30031 59 509= ⋅ .

Come abbiamo visto, la dimostrazione di un teorema è una successione finita di ragionamenti di vario tipo, che partono da proposizioni, che si suppongono vere, dalle quali si deduce la verità di altre proposizioni. Se il teorema è scritto sotto forma di implicazione, è molto importante, pertanto, distinguere l'ipotesi dalla tesi, cioè distinguere quello che si suppone vero da quello che si deduce essere vero.

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08 – logica dei predicati · predicativa prima degli argomenti cui riferita, senza distinguere se...

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