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La logica dei predicati

Unit 2 – Corso di Logica e Teoria dell’Argomentazione

Sommario

• Quantificatori• Predicati e nomi• Formalizzazione• Regole di formazione• Modello e varianti

Osservazioni introduttive

• Nella logica proposizionale abbiamo utilizzato interi enunciati legati logicamente da operatori verofunzionali

• Nelle asserzioni categoriche abbiamo considerato la forma interna, considerando anche la quantificazione (portava alla distinzione tra asserzioni universali e particolari), che non è verofunzionale

• La logica dei predicati è un’estensione della logica proposizionale che permette di analizzare la struttura interna degli enunciati attraverso l’uso di predicati e di operatori di quantificazione

FORMALIZZAZIONE PREDICATIVA

Struttura proposizioni semplici

I tipo: proposizioni che asseriscono che un individuo specifico ha una certa proprietà o che esiste una certa relazione tra individui specifici• un certo individuo ha una certa proprietà: “Bob è

americano”, “3 è dispari”, ecc.• tra due o più individui sussiste una certa relazione:

“Dario è più alto di Aldo”, “Anna legge la Divina Commedia”, “Dario è figlio di Anna e Bob”, “I punti A, B, C, D sono i vertici di un quadrato”, ecc.

• usando descrizioni definite: “Il figlio di Anna e Bob è più alto di Aldo”, “Il filosofo greco che bevve la cicuta era maestro di Platone”, ecc.

Struttura proposizioni semplici (2)

• II tipo: proposizioni che asseriscono che una certa proprietà è posseduta da qualche individuo (senza specificare da chi specificamente) o da tutti, o che stabilisce l’esistenza di una relazione – “Tutti gli uomini sono mortali”, “Qualche numero è

dispari”, “Tutte le mogli del sultano sono bellissime”, ecc.• Ci sono modi diversi di quantificare (“tanti”,

“pochi”, “una parte trascurabile”, “più della metà”, “la maggior parte”, “quasi tutti”, ecc.)

• Si considerano solo due quantificatori: “ogni” e “qualche”, nel linguaggio ordinario esprimibili anche in molti modi diversi

Formalizzazione prop. I tipo

• Introduciamo lettere minuscole (a, b, c, …) dette costanti individuali per indicare i nomi degli individui

• Introduciamo lettere maiuscole (A, B, C, …) dette costanti predicative per indicare proprietà e relazioni

• In generale, le proposizioni del I tipo si formalizzano scrivendo una costante predicativa seguita da una o più costanti individuali– Aa, Bac, Cbba

Esempi

• Predicati a un posto (proprietà)– Bob è un uomo (b=Bob, U=uomo) Ub– Carla studia (c=Carla, S=studia) Sc

• Predicati a due posti (relazionali)– Carla ama Bob (c=Carla, b=Bob, A=ama) Acb– Bob è più studioso di Carla (b, c, S) Sbc

• Predicati a tre posti (relazionali)– Carla ha regalato un pesce a Bob (c,p,b,R) Rcpb– Carla ha inviato un’email a Bob Iceb

• Predicati a quattro posti (relazionali)– Alice è più alta di Dario di quanto Bob lo sia di Carla

Aadbc

Costantiindividuali? Costantipredicative?

Esempi con connettivi

Bob e Dario sono studentiBob o Dario sono studentiAnna è uno studente o un professoreAnna è più alta di Bob ma non di CarlaDario e Bob sono più alti di AnnaAd Anna piace Bob o DarioBob ha fatto conoscere Anna a DarioBob ha fatto conoscere Anna a Dario ma non a CarlaCarla si è fatta conoscere a Dario ma non ad Anna

Sb & SdSb v SdSa v PaAab & ~AacAda & AbaPab v PadCbadCbad & ~Cbac

Cccd & ~Ccca

Convenzione:d’orainpoiprendiamolaletterainizialedelnomeodellaproprietà/relazioneperdesignareunacostanteindividualeopredicativa.

Proposizioni che quantificano

“qualcuno ama Bob” ->“esiste un x tale che x ama Bob” ->“esiste un x tale che Axb” ->-> ∃xAxb“tutti amano Bob” ->“per ogni x, x ama Bob” ->“per ogni x si ha che Axb” ->-> ∀xAxb x

variabile individuale

(posto vacante)Funzioni proposizionali

Axb

ProposizioniAab∃xAxb∀xAxb

∃quantificatore

particolare

∀quantificatore

universale

Formalizzare le asserzioni universali

• Ogni S è P, ovvero:per ogni individuo, se esso è S allora esso è P– abbiamo esplicitato un condizionale– sostituiamo ‘x’ a ‘individuo’:

per ogni x, se x è S, allora x è P– dunque: ∀x(Sx→Px)

• Ogni S non è P– per ogni x, se x è S, allora x non è P– abbiamo esplicitato un condizionale e la

negazione del conseguente– dunque: ∀x(Sx→~Px)

Formalizzare le asserzioni particolari

• Qualche S è P– per qualche x, x è S e x è P– abbiamo esplicitato una congiunzione– dunque: ∃x(Sx&Px)

• Qualche S non è P– per qualche x, x è S e x non è P– abbiamo esplicitato una congiunzione e la

negazione del secondo congiunto– dunque: ∃x(Sx&~Px)

Chiarimento

• Perché “Ogni S è P” si formalizza con ∀x(Sx→Px) e non con ∀x(Sx&Px)?– Usando la congiunzione si asserirebbe che tutti gli

individui dell’universo sono contemporaneamente uomini e mortali, il che in generale è banalmente falso

• Se ‘ogni S è P’ si formalizza con ∀x(Sx→Px), perché ‘qualche S è P’ non si formalizza con ∃x(Sx→Px) ?– Poiché il condizionale è automaticamente vero quando

l’antecedente è falso, se non esiste nessun U allora ∃x(Sx→Px) sarebbe sempre vera

– Invece ∃x(Sx&Px) è vero solo se esiste davvero un S che è anche P

Esempi

I pesci sono rossiQualche pesce è rossoQualche pesce non è rossoNon ci sono pesci rossiNessun pesce è rosso

Esistono pesci non rossiNon tutti i pesci sono rossiNon esistono pesci non rossiNessun pesce non è rosso (ogni pesce non è non-rosso)

∀x(Px→Rx)∃x(Px&Rx)∃x(Px&~Rx)~∃x(Px&Rx)(1)∀x(Px→~Rx)(2) ~∃x(Px&Rx)∃x(Px&~Rx)~∀x(Px→Rx)~∃x(Px&~Rx)∀x(Px→Rx)

Forza espressiva

• Possiamo rappresentare tutte le strutture logiche proposizionali/categoriali, isolatamente e in combinazione, e strutture non rappresentabili in nessuna delle due teorie– "Tutto ha un costo” (predicato C) ∀xCx– "Qualcosa mi puzza” (predicato P) ∃xPx

• Possiamo quantificare su più individui– "C’è qualcosa che vogliono tutti" ∃x∀yVyx– "Tutti vogliono tutto" ∀x∀yVxy

• Possiamo considerare più di 2 predicati– “Gli atleti sono in forma e in salute” ∀x(Ax→(Fx&Sx))– "C’è una ragazza desiderata da tutti gli studenti maschi”

(R,D,S,M) ∃x(Rx&∀y((Sy&My)→Dyx))

Esempi formalizzazione

I pesci rossi non sono grandi

Ogni pesce è o rosso o grandeCerti pesci sono rossi ma non grandiI pesci sono rossi ma non grandi

Nessun pesce che boccheggia è grandeCi sono pesci rossi che, se fa freddo, boccheggianoI pesci rossi non nuotano se non fa freddoAlcuni pesci rossi nuotano solo se fa freddoI pesci rossi sono più belli dei pesci gialli

(1) ∀x((Px&Rx)→~Gx)(2) ~∃x((Px&Rx)&Gx)∀x(Px→(Rx v Gx))

∃x(Px&(Rx&~Gx))(1) ∀x(Px→(Rx&~Gx))(2) ∀x(Px→Rx)&∀x(Px→~Gx))

∀x((Px&Bx)→~Gx)∃x((Px&Rx)&(F→Bx))

(1) ~F→∀x((Px&Rx)→~Nx)(2) ~F→~∃x((Px&Rx)&Nx)

∃x((Px&Rx)&(Nx→F))

∀x((Px&Rx)&∀y((Py&Gy)→Bxy))∀x((Px&Rx)→∀y((Py&Gy)&Bxy))

Cautele e osservazioni

• L’individuazione delle forma logica non è meccanica– “Anna ama Bob”, “Bob è amato da Anna”, “Anna ha la proprietà

di amare Bob”

• La scelta delle variabili non influenza il significato– ∃x∀yPyx e ∃y∀zPzy sono equivalenti

• Variabili differenti non si riferiscono a oggetti necessariamente diversi– In “a qualcuno piace tutto” (∃x∀yPyx) si asserisce che a

quel qualcuno piace anche se stesso• Le stesse variabili usate in congiunzione con due

quantificatori non designano necessariamente gli stessi oggetti– ∃xPbx&∃xPcx

LINGUAGGIO PREDICATIVO

Alfabeto del linguaggio predicativo

• Simboli logici– connettivi: ~, v, &, →, ⟷– quantificatori: ∀, ∃– variabili: lettere minuscole (da ‘u’ in poi) e

pedici (u1, u2, ecc.)– parentesi: (, )

• Simboli non logici – Costanti individuali: lettere minuscole (da ‘a’ a

‘t’) e pedici– Costanti predicative: lettere maiuscole e pedici

Formule

• Una formula è una qualunque sequenza di simboli logici e non logici nel dizionario– ~∀xTxc ∀x∀yGxy &xG→c

• Una formula è atomica se consiste di una sola lettera predicativa seguita da nessuna o da alcune costanti individuali– B Ga Dabc

Regole di formazione e formule ben formate (fbf)

• Nella logica predicativa le regole sono:1)qualunque formula atomica è una fbf2)se ϕ è una fbf, allora lo è anche ~ϕ3)se ϕ e ψ sono fbf, allora lo sono anche (ϕ&ψ),

(ϕvψ), (ϕ→ψ) e (ϕ⟷ψ)4)se ϕ è una fbf contenente una costante

individuale α, allora qualunque espressione ∀βϕβ/α o ∃βϕβ/α è una fbf, dove ϕβ/α è il risultato della sostituzione di una o più occorrenze di α in ϕ con una variabile β non presente in ϕ

5)niente altro è una fbf

Osservazioni

Una variabile può essere introdotta solo con la regola 4, per cui un quantificatore la deve precedere

– ∀xTxc [fbf: Tbc à∀xTxc] Txc [non-fbf: x?]

Non si può aggiungere una variabile già presente– ∀x∃x(Tx&Bx) [non-fbf: quantificazione di Tx? Bx?]

È possibile che più quantificatori usino la stessa variabile solo quando ciò avviene attraverso le regole 2) e 3)

– ∀xTx & ∃xBx [fbf]

Perché non sono fbf?

• ∃xPxy• (Gc)• ∀xGx&Hx• ∀x(Gx)• (∀xGx)• ∃x∀yGx• ∀x∃x(Gx&~Hx)• ∃xGx & ~∃xHx

– Se mancano solo le parentesi più esterne si accetta per convenzione come fbf

SEMANTICA PREDICATIVA

Semantica predicativa

• I quantificatori non sono verofunzionali – cioè non possiamo determinare il valore di verità di

‘∃xAx’ in termini di ‘Ax’ in quanto quest’ultimo non è un enunciato

• L’idea è di interpretare ‘x’ all’interno di un modello (o struttura interpretativa), cioè una coppia <D, I> in cui – D è un dominio (o universo, o un insieme di oggetti)– I è un’interpretazione dei simboli non logici (costanti e

predicati) che compaiono nelle fbf, con cui si assegna un significato alle costanti individuali e ai predicati

Estensionalità

Intensionale

L’uomo è un animale razionale

Estensionale

Verità/Falsità nel modello

Predicato a 0 posti (es.: P)valore di verità dato direttamente dal modello

Predicato a n posti con costanti individuali (es.: Tab) Vero nel modello ⟷ gli oggetti designati dalle costanti appartengono alla classe di oggetti designati dal predicato;

fbf che inizia con quantificatore universale (∀xBx) Vera nel modello ⟷ è vero ogni suo esempio;

fbf che inizia con quantificatore particolare (∃xDx)Vera nel modello ⟷ è vero almeno un suo esempio

Esempio

• Dominio: l’insieme {Trump, Conte, Mattarella}.

• Costanti e predicatit Trumpj Jovanottim MattarellaA {Trump, Jovanotti}B {Jovanotti, Mattarella}D insieme degli italianiP insieme delle personeE relazione di maggiore età (il 1^ più anziano del 2^)

DjBtEmjAt & Bm~DjDt→Bm∃x~Dx∀x(Dx & Ax)∀x(Px→Dx)

VFVVFVVFF

Esempio di c-variante

• Dominio: l’insieme delle cose di questo mondo

• Costanti e predicatit Trumpj Jovanottim MattarellaD insieme degli

italianiP insieme delle

persone• c individuo

qualsiasi

∃x~Px ?Costruiamo la c-variante (ogni interpretazione di c dà un nuovo modello)Nella c-variante in cui ‘c’ è interpretata come il Colosseo si ha che ~Pc è vera, dunque∃x~Px V∀xPx ?Nella c-variante in cui ‘c’ è interpretata come il Colosseo è falsa, dunque ∀xPx F

Esempio Interpretazione∃x(~Tx&Nx)∃x(Cx&~Gx)∃x((Cx&Gx)&Bx)∀x(Bx→Cx)∀x(Px→Tx)∀x((Bx&~Cx)→~Px)∃x((Cx&Px)vTx) ∃x(Tx&Nx)&∃xCx∀x(Cx→∀y(Ty→Dxy) ∃x(Cx&∃y(Ty&Sxy))

‘T’staper‘triangolo’, ‘C’ staper‘cerchio’,‘N’ staper‘nero’, ‘B’ staper‘bianco’,‘P’ staper‘piccolo’, ‘G’ staper‘grande’,‘D’ staper‘piùadestradi’,‘S’ staper‘piùasinistradi’.

VFVFVVVVFV

Verità/falsità logica e validità

• Due definizioni importanti nel par 6.5 (Varzi) • Nella logica predicativa (Varzi, p. 185) una fbf è:

– logicamente vera se è vera in ogni modello (ad es. ∃xPx v ~∃xPx)

– logicamente falsa se è falsa in ogni modello (ad es. ∃xPx & ~∃xPx)

• Una forma argomentativa è (Varzi, p. 175): – valida se non esiste alcun modello in cui le premesse

sono vere mentre la conclusione è falsa– invalida se esiste almeno un modello in cui le premesse

sono vere mentre la conclusione è falsa• Se una forma è valida, allora la conclusione è

conseguenza logica delle premesse

Il ruolo particolare dell’identità

Alice e Bob hanno la stessa mamma

Alice e Bob hanno un papà diverso∃xMxa & ∃yMyb

∃xPxa & ∃yPyb

Sarebbe utile avere un predicato a 2 posti con1) corrispondente al predicato “è identico a” (I)2) significato stabile∃x∃y(Mxa & Myb & Ixy)

∃x∃y(Pxa & Pyb & ~Ixy)

Per la stabilità ed il suo ruolo particolare adottiamo 2 convenzioni: “=“, in mezzo (a=b)

m A. Manzoni I è scrittore italianod Dante Alighieri M è migliore dic La Divina Commedia S ha scritto

Manzoni non è DanteLa Divina Commedia esisteDante ha scritto la Div. Comm.Se Manzoni è Dante, ha scritto la Div. Com.Solo Dante ha scritto la Div. Comm.Dante è il miglior scrittore italianoNessuno scrittore italiano è meglio di Dante Esiste almeno uno scrittore italianoEsiste al massimo uno scritt. italianoEsiste esattamente uno scritt. ItalianoMeno di 2 individui hanno scritto la D.C.

~m=d∃x x=cSdcm=d → Smc

∀x(Sxc⟷x=d)Id&∀x((Ix&~x=d)→Mdx)

∀x(Ix→~Mxd)~∃x(Ix&Mxd)∃xIx

∀x∀y((Ix&Iy)→x=y)∃x(Ix&∀y(Iy→x=y)∀x∀y((Sxc&Syc)→x=y)

m A. Manzoni I è scrittore italianod Dante Alighieri M è migliore dic La Divina Commedia S ha scritto

Meno di 2 individui hanno scritto la D.C.

Almeno 2 individui hanno scritto la D.C.

Esattamente 2 individui hanno scritto la D.C.

Al più 2 individui hanno scritto la D.C.

Più di 2 individui hanno scritto la D.C.

∀x∀y((Sxc&Syc)→x=y)

∃x∃y((Sxc&Syc)&~x=y)

∃x∃y((Sxc&Syc)&~x=y)&∀z(Szc→(z=x v z=y))

∀x∀y∀z(((Sxc&Syc)&Szc)→((z=x v z=y)v x=y))

∃x∃y∃z(((Sxc&Syc)&Szc)&((~z=x & ~z=y)& ~x=y))

ULTERIORI ESERCIZI


Alcune cose sono rosseNon esistono cose rosse Non si dà il caso che qualunque cosa sia rossaEsistono cose rosse e cose non rosseO tutto è rosso o niente lo è

Tutto è o rosso o non rossoAlcuni pesci sono rossi e altri noCerti pesci sono rossi e grandiQualche pesce rosso è grandeAlcuni pesci rossi non sono grandiCerti pesci sono rossi, altri sono grandiNon esistono pesci rossi

∃xRx~∃xRx~∀xRx

∃xRx&∃x~Rx(1) ∀xRx v ~∃xRx(2) ∀xRx v ∀x~Rx∀x(Rx v ~Rx)∃x(Px&Rx)&∃x(Px&~Rx)∃x(Px&(Rx&Gx))∃x((Px&Rx)&Gx)∃x(Px&Rx)&~Gx)∃x(Px&Rx)&∃x(Px&Gx)

~∃x(Px&Rx)


Tutti i pesci rossi sono grandiTutti i pesci rossi boccheggianoEsistono pesci rossi che non boccheggianoTutti i pesci rossi, se non fa freddo, boccheggianoSe fa freddo i pesci non nuotano

Alcuni pesci rossi nuotano solo se fa freddo

∀x((Px&Rx)→Gx)∀x((Px&Rx)→Bx)∃x((Px&Rx)&~Bx)

∀x((Px&Rx)&(~F→Bx))

F→∀x(Px→~Nx)F→~∃x(Px&Nx)∃x((Px&Rx)&(Nx→F))


Senza eccezioni, i pesci sono rossiSe qualcosa è rosso allora è un pesceSe c’è qualcosa rossa, c’è un pesceSe una cosa è rossa, è un pesceSe una cosa è rossa, i pesci sono rossiSe ogni cosa è rossa, allora i pesci sono rossiA volte i pesci sono rossi…(e a volte non sono rossi?)Un pesce è rosso (?)…(uno solo?)…(tutti?)Un pesce è sempre rosso Solo i pesci sono rossi I pesci boccheggianti nuotano

∀x(Px→Rx)∀x(Rx→Px)∃xRx→∃xPx∀x(Rx→Px)∃xRx→∀x(Px→Rx)∀xRx→∀x(Px→Rx)

∃x(Px&Rx)∃x(Px&Rx)&∃x(Px&~Rx)

∃x(Px&Rx)∀x(Px→Rx)∀x(Px→Rx)∀x(Rx→Px)∀x((Px&Bx)→Nx)


Solo i pesci boccheggianti nuotano Se qualcosa boccheggia non è un pesce rossoSe c’è qualcosa rosso che nuota, non è un pesceI pesci che nuotano boccheggianoTutti i pesci che nuotano boccheggiano, a meno che non siano rossiTutti e soli i pesci rossi nuotanoTra tutti i pesci che nuotano, solo quelli rossi boccheggianoTra tutti i pesci che nuotano, solo quelli rossi non boccheggiano

∀x(Nx→(Px&Bx))∀x(Bx→~(Px&Rx))

∃x((Rx&Nx)→~Px)

∀x((Px&Nx)→Bx)∀x((Px&Nx)→(~Rx→Bx))

∀x((Px&Rx)⟷Nx)∀x((Px&Nx)→(Bx→Rx))

∀x((Px&Nx)→(~Bx→Rx))

Esempi formalizzazioneBob vuole tuttoQualcuno vuole tuttoA Bob non piace nullaNulla piace a BobC’è qualcosa che a Carla non piaceC’è qualcosa che piace a Bob e AnnaA Bob piace qualcosa che piace a AnnaC’è qualcosa che piace a Bob, e qualcosa che piace a AnnaLe cose che piacciono a Bob non piacciono a AnnaSe Bob si piace, allora a Bob piace qualcosaSe Bob non si piace, allora non gli piace nulla

∀xVbx∃x∀yVxy∀x~Pxb∀x~Pxb∃x~Pxc∃x(Pxb & Pxa)∃x(Pxb & Pxa)∃xPxb & ∃xPxa

∀x(Pxb→~Pxa)

Pbb→∃xPbx

~Pbb→∀x~Pxb


Se a Bob piace qualcosa, allora gli piace qualunque cosaA tutti piace almeno qualcosaC’è almeno qualcosa che piace a tuttiC’è almeno una cosa a cui piace tuttoA tutti piace tutto

Ad Anna piace uno studenteAd uno studente piace una ballerinaA qualche studente piace ogni ballerinaC’è una ballerina che piace a tutti gli studentiBob ha fatto conoscere una ballerina a uno studenteUno studente ha fatto conoscere un suo amico a una ballerina

∃xPxb→∀xPxb

∀x∃yPyx∃x∀yPxy∃x∀yPyx∀x∀yPyx

∃x(Sx&Pxa)∃x∃y((Sx&By)&Pyx)∃x(Sx&∀y(By→Pyx))∃x(Bx&∀y(Sx→Pxy)

∃x∃y(Bx&(Sy&Cbyx)

∃x∃y∃z((Sx&By)&(Axz&Cxzy))

Esempi formalizzazioneOgni triangolo è più a destra dei cerchi

I triangoli sono più in alto di un cerchio

I triangoli neri sono più a sinistra dei cerchi

Un cerchio è più in alto di un quadrato bianco

C’è un triangolo nero piccolo a destra di un cerchio grande

Tutti i cerchi bianchi sono più destra dei quadrati neri

∀x(Tx→∀y(Cy→Dxy))

∀x(Tx→∃y(Cy&Axy))

∀x((Tx&Nx)→∀y(Cy→Sxy))

∃x(Cx&∃y((Qy&By)&Axy))

∃x(((Tx&Nx)&Px)&∃y((Cy&Gy)&Dxy))

∀x((Cx&Bx)→∀y((Qy&Ny)→Dxy))‘T’staper‘triangolo’, ‘Q’ staper‘quadrato’,‘C’ staper‘cerchio’, ‘N’ staper‘nero’,‘B’ staper‘bianco’, ‘P’ staper‘piccolo’,‘G’ staper‘grande’, ‘A’ staper‘piùinaltodi’,‘D’ staper‘piùadestradi’, ‘S’ staper‘piùasinistradi’.


∃x(~Tx&Nx)

∃x(Cx&~Gx)

∃x((Cx&Gx)&Bx)

∀x(Bx→Cx)

∀x(Px→Tx)

∀x((Bx&~Cx)→~Px)

∃x((Cx&Px)vTx)

~∃x(Qx&Gx)

C’è un oggetto nero che non è un triangolo

C’è un cerchio che non è grande

C’è un cerchio grande bianco

Tutti gli oggetti bianchi sono cerchi

Gli oggetti piccoli sono triangoli

Gli oggetti bianchi che non sono cerchi non sono piccoli

C’è un cerchio piccolo oppure un triangolo

Non c’è alcun quadrato grande


∃x((Tx&Gx)&Nx)&∃x(Cx&Bx)

∃x(Qx&Nx)&∃x(Qx&Px)

∀x(Qx→∀y(Cy→Sxy))

∀xQx→∀y(Cy→By)

∀x((Cx&Gx)→∃y(Ty→Sxy))

~∀x(Cx→∃y(Qy&Dxy))

∃x((Tx&Bx)&∀y(Cy→Axy))

Ci sono un triangolo grande nero e un cerchio bianco

Ci sono un quadrato nero ed un piccolo

I quadrati sono più a sinistra dei cerchi

Se sono tutti quadrati allora ogni cerchio è bianco

Ogni cerchio grande è più a sinistra di ogni triangolo

Non tutti i cerchi hanno più a destra un quadrato

C’è un triangolo bianco più in alto di ogni cerchio

Esempi Interpretazione∃x(~Tx&Nx)∃x(Cx&~Gx)∃x((Cx&Gx)&Bx)∀x(Bx→Cx)∀x(Px→Tx)∀x((Bx&~Cx)→~Px)∃x((Cx&Px)vTx)

‘T’staper‘triangolo’, ‘Q’ staper‘quadrato’,‘C’ staper‘cerchio’, ‘N’ staper‘nero’,‘B’ staper‘bianco’, ‘P’ staper‘piccolo’,‘G’ staper‘grande’, ‘A’ staper‘piùinaltodi’,‘D’ staper‘piùadestradi’, ‘S’ staper‘piùasinistradi’.

VFVFVVV

Esempi Interpretazione~∃x(Qx&Gx) ∃x((Tx&Gx)&Nx)&∃x(Cx&Bx)∃x(Qx&Nx)&∃x(Qx&Px)∀x(Qx→∀y(Cy→Sxy))∀xQx→∀y(Cy→By)∀x((Cx&Gx)→∃y(Ty&Sxy))~∀x(Cx→∃y(Qy&Dxy))∃x((Tx&Bx)&∀y(Cy→Axy))

FVFVVVFF


Esempi Interpretazione∃x((Cx&Bx)&∃y((Qy&Ny)&Dxy))∃x((Tx&Nx)&∀y((Cy&Gy)→Dxy)) ∀x((Cx&Bx)→∀y((Cy&Ny)→Axy)) ~∃x((Qx&Nx)&∀y(Cy→Axy))

VVVV



∀x(Ix→Sex)

∀x(Px→∀y((Sy&Cyl)→Ayx))

∀x((Px&~Ixl)→Nx)

∀x(Px→∃y(Sy&Axy))

∀x((Sx&∀yCxy)→∀z(Pz→Azx))

∀x((Px&~Ixl)→∀z(Sz→~Czl))

∀x(Ex→∀y((Sy&Pyx)→Syx))

Chiunque si impegna superera ̀ l’esame di logica. (I,S,e)

Ogni professore è apprezzato dagli studenti che capiscono la logica. (P,A,S,C)I professori che non insegnano logica sono noiosi. (P,I,N,l)

Ogni professore annoia qualche studente. (P,S,A)

Gli studenti che capiscono tutto sono annoiati da qualunque professore. (S,C,A,P)Se un professore non insegna bene la logica, gli studenti non la capiscono. (P,I,S,C,l)Ogni studente che prepara bene un esame lo supera.

Esempi formalizzazione∃xSx

∃x∃y(Sx&Sy&~(x=y))

∃x∃y∃z(Sx&Sy&Sz&~(x=y)&~(x=z)&~(y=z))

∀x∀y((Sx&Sy)→x=y)

∀x∀y∀z((Sx&Sy&Sz)→(x=y v x=z v y=z))

∃x(Sx&∀y(Sy→x=y)

∃x∃y((Sx&Sy&~(x=y))&∀z(Sz→((z=x)v(z=y))))

C’e ̀ almeno uno studente.Ci sono almeno due studenti.Ci sono almeno tre studenti.

C’e ̀ al massimo uno studente.

Ci sono al massimo due studenti.

C’è esattamente uno studente.

Ci sono esattamente due studenti.

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