MPSI-MecaniqueI-Oscillateurharmonique-Regimelibre page1/4Oscillateurharmonique-RegimelibreLimportance de loscillateur harmonique ` a un degre de liberte en physique,justiequonluiconsacreunchapitre.Tabledesmati`eres1 Oscillateurharmonique 12 Oscillationslibres 12.1 Pulsationpropre-Isochronismedesoscillations . . . . . . . 12.2Etude energetique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Oscillationslibresamorties 23.1 Tempsderelaxation-Facteurdequalite . . . . . . . . . . . 23.2 Regimepseudo-periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Regimeaperiodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.4 Regimecritique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5Etude energetique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 OscillateurharmoniqueOn appelle oscillateur harmonique tout syst`eme ` a un degre de liberte dontlevolutionaucoursdutemps(enlabsencedamortissementetdexcita-tion)estregiparlequationdierentiellesuivante:d2xdt2+20 x = 0quellequesoitlanaturephysiquedelavariablex.Loscillateur harmonique evoluedansun puitsdepotentiel detypeparabo-lique:soit:Ep(x) = Ep(0) +12kx2soit:Ep(x)Ep(0) +12kx2auvoisinagedunepositiondequilibrestable(voircoursprecedent).Loscillateur harmonique est soumis `a une force de rappel proportion-nelle`ax:F= dEpdx= kx2 Oscillationslibres2.1 Pulsationpropre-Isochronismedesoscillationsx(t) = xm cos(0t +) x(t) = xm0 sin(0t +) = v(t)xmetsontdeterminesparlesconditionsinitiales.Six(0) = x0etv(0) = v0alors:xm=

x20 +

v00

2tan = v00x0Laperiode T0=20est independante des conditions initiales ; cest uneproprieteimportantedeloscillateurharmoniqueappeleeisochronismedesoscillations.DamienDECOUT- Derni`eremodication: janvier2007MPSI-MecaniqueI-Oscillateurharmonique-Regimelibre page2/42.2EtudeenergetiqueEm= Ec +Ep=12mx2m20 sin2(0t +) +12kx2m cos2(0t +) =12kx2mCalculonslavaleurmoyennedeEpEp =1T

T0Ep(t)dt =kx2m2cos2(0t +) =kx2m4dememe:Ec =kx2m4Pendantlemouvement,ilya equipartition,enmoyenne,desformescine-tiquesetpotentiellesdelenergie.Ep = Ec =Em23 Oscillationslibresamorties3.1 Tempsderelaxation-FacteurdequaliteAvecamortissement,lequationdierentielledevient:m x = kx h xquelonmetsouslaforme: x + 2 x +20x = 0avec2 =hmet20=km,ouencore: x + x+20x = 0o` u est une constante ayant la dimension dun temps qui est appelee tempsderelaxationdeloscillateur,0etantsapulsationpropre.Pour decrire loscillateur amorti, on peut preferer au couple (0,) le couple(0,Q), Qetantunparam`etresansdimensionappelefacteurdequalitedenipar:Q = 0= 2T0=02=m0hUnesolutionenexp(rt)existesi:r2+ 2r +20= 0Suivantlesignedudiscriminantreduit,plusieursregimessontpossibles:

= 2203.2 Regimepseudo-periodiqueSilesfrottementssontfaiblesalors < 0,Q >12et

< 0x(t) = et(Acos t +Bsin t)enintroduisantlapseudo-pulsationtelleque2= 20 2(

= 2=(i)2etr = i). x = et(Acos t +Bsin t) + et(Asin t +Bcos t)

x(0) = A = x0 x(0) = A+ B= v0x(t) = et(x0 cos t +v0 +x0sin t)DamienDECOUT- Derni`eremodication: janvier2007MPSI-MecaniqueI-Oscillateurharmonique-Regimelibre page3/4Une telle evolution de retour vers un etat permanent est qualiee derelaxation;ceretoursefaitauboutdequelques.T=2=T0

1

0

2=T0

1 14Q2estlapseudo-periode.Ladeterminationexperimentalede=ln

x(t)x(t +T)

appeledecrementlogarithmiquepermetdecalculerlefacteurdequalite: = T=0T2Q=

Q2143.3 RegimeaperiodiqueSilesfrottementssontimportantsalors> 0,Q 0x(t) = et(Acosh

t +Bsinh

t)avec2= 220(r =

). x = et(Acosh

t +Bsinh

t) + et

(Asinh

t +Bcosh

t)

x(0) = A = x0 x(0) = A+

B= v0x(t) = et(x0 cosh

t +v0 +x0

sinh

t)3.4 RegimecritiqueSi = 0,Q =12et

= 0x(t) = et(At +B)DamienDECOUT- Derni`eremodication: janvier2007MPSI-MecaniqueI-Oscillateurharmonique-Regimelibre page4/4(r = ). x = et(At +B) + etA

x(0) = B= x0 x(0) = B +A = v0x(t) = et((v0 +x0)t +x0)Leregimecritiquenestjamaisrealisephysiquementexactement.3.5EtudeenergetiquedEmdt= Pnc= hv2< 0DamienDECOUT- Derni`eremodication: janvier2007