座標変換：transformations between coordinate systems •直交座標：orthogonal coordinate system •デカルト座標：Cartesian coordinate system •円柱座標：cylindrical polar coordinate system •球座標： spherical polar coordinate system •ヤコビアン： Jacobian •参考文献：藤本「現代数学レクチャーズC-1 ベクトル解析」第５章、培風館 •前編：701「ヤコビアン・直交座標・座標変換（１）」

（付録） 「ヤコビアン・直交座標・座標変換（２）」 1. ヤコビ行列 2. 座標変換 3. Ｔ行列 4. 直交基底ベクトル 5. 偏微分 6. 代数的な手法

暫定版 修正・加筆の可能性あり

７０２－1

ヤコビ行列（１）

ヤコビ行列

逆行列

( )( )

, ,, ,

x x xu v w

x y z y y yu v w u v w

z z zu v w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ヤコビ行列：Jacobian matrix ヤコビ行列式（ヤコビアン）：Jacobian determinant

( )( )

, ,, ,

u u ux y z

u v w v v vx y z x y z

w w wx y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )( )

( )( )

1 0 0, , , ,

0 1 0, , , ,

0 0 1

x y z u v wu v w x y z

∂ ∂ = ∂ ∂

当然のことですが

( )( )

( )( )

1 0 0, , , ,

0 1 0, , , ,

0 0 1

u v w x y zx y z u v w

∂ ∂ = ∂ ∂

７０２－2

ヤコビ行列（２）

確認：簡単のため、二行二列（但し、確認作業は途中まで）

７０２－3

( )( )

( )( )

( )( )

,,,,

,,

x x x xu v dx u vdu dux y u v u vdy u vdv y y dv y yu v u v

u v u vu u u ux y

dx dxu v x y x ydy v v dy v vx y x y

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )( )

,,

du x ydv x y

=

逆行列

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

, , , ,,

, , , ,dx du du dxx y u v x y u v

Idy dv dv dyu v x y u v x y

∂ ∂ ∂ ∂ = = → = ∂ ∂ ∂ ∂

ヤコビ行列（３）

省略：三行三列も似たようなもの

７０２－4

( )( )

( )( )( )

( )( )

, ,, ,

, ,, ,

, ,

, ,, ,

x x xu v wdu du dx u v w

x y z y y ydv dv dy u v wu v w u v w

dw dw dz u v wz z zu v wu u ux y zdx

u v w v v vdyx y z x y z

dzw w wx y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

( )( )( )

, ,, ,, ,

dx du x y zdy dv x y zdz dw x y z

=

逆行列

( )( )

( )( )

, , , ,, , , ,

x y z u v wI

u v w x y z∂ ∂

=∂ ∂

ヤコビ行列（４）

まとめ

７０２－5

( )( )

( )( )

, , , ,, , , ,

u u ux x xx y zu v w

x y z u v w y y y v v vu v w x y z u v w x y z

z z z w w wu v w x y z

x u x v x w x u x v x w x u xu x v x w x u y v y w y u z v

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

1 0 00 1 00 0 1

v x wz w z

y u y v y w y u y v y w y u y v y wu x v x w x u y v y w y u z v z w zz u z v z w z u z v z w z u z v z wu x v x w x u y v y w y u z v z w z

∂ ∂+ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

1 3x u x v x wu x v x w x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ → + + = ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

注意：一瞬、３と思ってしまう！

1 1

1 1sin sin

r re e e er

r re e e err re e e er

rr x y z

r

x y z

x y z

x y zr r r r

x y zr r

x y zr r z z z

θθ

θ

φφ

φ

θ φ φ φ

θ φ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + ∂ ∂ ∂ ∂∂

座標変換（１）

直交基底ベクトル：球座標（701-17）

直交基底ベクトル：一般化

1 1

1 1

1 1

uu x y z

u u u

vv x y z

v v v

ww x y z

w w w

x y zh u h u u u

x y zh v h v v v

x y zh w h w w w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r re e e er

r re e e er

r re e e er

一例：球座標

, ,

sin cos ,sin sincos

u r vwx ry rz r

θφ

θ φθ φθ

= =====

1

sin

r rh

h r

h rθ θ

φ φ θ

= ∂ =

= ∂ =

= ∂ =

r

r

r

スケール因子：球座標

７０２－6

座標変換（２）

直交基底ベクトル：ｕ成分のみ

1 1 1 1uu x y z

u u u u u

x y zh u h u h u h u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂r re e e er

スケール因子：ｈ

2 2 2

u ux y zh

u u u u∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ rr

単位ベクトル

2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

uu x y z

u u u u u

u uu u u

x y zh u h u h u h u

x y zh u h u h u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂

r re e e er

e e

７０２－7

座標変換（３）

ベクトル成分要素：一般化

( )( )

, ,

, ,

,

, ,

x x y y z z x y z xyz

u u v v w w u v w uvw

x x y y z z

u u v v w w

A A A A A A

A A A A A A

A A AA A A

= + + =

= + + =

= = =

= = =

A e e e

e e e

A e A e A eA e A e A e

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u u uu x u x

v y v yv v v

w z w zuvw xyz uvw xyz

w w w

x y zh u h u h u A A

x y z A T Ah v h v h v

A Ax y z

h w h w h w

−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = → = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

A e A eA e A eA e A e

座標変換：次頁参照

デカルト座標

球座標

各成分要素

Ｔ行列：逆行列の導入 注意：ヤコビ行列ではない！

７０２－8

注意：基底ベクトルが異なる

７０２－9

座標変換（４）

計算例：途中で基底ベクトルが変わることに注意！

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

x y zu u u

u u

v v x y zv v v

w wuvw uvw

x y zw w w

u u u

x y zh u h u h u

Ax y zA

h v h v h vA

x y zh w h w h w

x y zh u h u h u

∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

=

A e e e

A eA e A e e eA e

A e e e

1 11 1

1 1 1

x x u x

y y v yv v v

z z w zxyz xyz uvw xyz

w w w

A A Ax y z T A A T A

h v h v h vA A A

x y zh w h w h w

− −

∂ ∂ ∂ = → = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

A eA eA e

下添字：基底ベクトル

Ｔ行列（１）

特徴：Ｔ行列は直交行列（orthogonal matrix）

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

u u u u v w

t

v v v u v w

w w w u v w

u u u v u w

v u v v v

x y z x x xh u h u h u h u h v h w

x y z y y yT T T Th v h v h v h u h v h w

x y z z z zh w h w h w h u h v h w

−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=e e e e e ee e e e e

1 0 00 1 00 0 1

w

w u u u u u

=

ee e e e e e

直交行列（orthogonal matrix） • ユニタリ行列（行列要素：複素数）の実数版（ 行列要素：実数） • 直交行列＝実数行列、ユニタリ行列＝複素行列

1 1t tT T T T I T T− −= = ⇔ =７０２－10

７０２－11

直交基底ベクトル：一般化

Ｔ行列の転置（逆）行列

Ｔ行列（２）

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u x u y u z

v x

u u u

v v vv y v z

w x w y

w

w

t

w w

z

T T

x y zh u h u h u

x y zh v h v h v

x y zh w h w h w

−

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂

= = = ∂ ∂

e e e e e ee e e e e ee e e e e e

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u x y z x y z

v x y z x y z

w

u x u y u z

v x v y v z

w x w

u u u

x y z x y zy w

v v v

w wz

w

x y zh u h u h u

x y zh v h v h v

x y zh w h w h w

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂

= + + = + +

= + + =

∂

+ +

= + + = + +

e e e e e e

e e e e e e

e e e e

e e e e e e e

e e e e e e e

e e e e e e ee e

７０２－12

直交基底ベクトル：一般化

Ｔ行列

Ｔ行列（３）

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u v w

u v w

u x v x w x x u x v x w

u y v y w y y u y v y w

u z v z w z z u z v z w

u v w

x x xh u h v h w

y y yh u h v h w

z z zh u h v h

T

w

= = =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂

∂ ∂∂ ∂ ∂

e e e e e e e e e e e ee e e e e e e e e e e ee e e e e e e e e e e e

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1

1 1 1

x u v w u v w

y u v w u v w

z

x u x v x w

y u y v y w

z u z

u v w

u v w u v wv z

u v w

u ww

v

x x xh u h v h w

y y yh u h v h w

z z zh u h v h w

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂

= + + = + +

= + + =

∂

+ +

= + + = + +

e e e e e e

e e e e e e

e e e e

e e e e e e e

e e e e e e e

e e e e e e ee e

７０２－13

Ｔ行列（４）

直交基底ベクトル：一般化

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u x y zu u u

v x y zv v v

w x y zw w w

x y zh u h u h u

x y zh v h v h v

x y zh w h w h w

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

e e e e

e e e e

e e e e

1 1 1

1 1 1

1 1 1

x u v wu v w

y u v wu v w

z u v wu v w

x x xh u h v h w

y y yh u h v h w

z z zh u h v h w

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

e e e e

e e e e

e e e e

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u u u

t

v v v

w w w

x y zh u h u h u

x y zTh v h v h v

x y zh w h w h w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u v w

u v w

u v w

x x xh u h v h w

y y yTh u h v h w

z z zh u h v h w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

座標変換

Ｔ行列

Ｔ行列の転置行列

７０２－14

Ｔ行列（５）

Ｔ行列の転置（逆）行列

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u u uu x u y u z

tv x v y v z

v v vw x w y w z

w w w

x y zh u h u h u

x y zT Th v h v h v

x y zh w h w h w

−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

e e e e e ee e e e e ee e e e e e

Ｔ行列

1 1 1

1 1 1

1 1 1

u v wu x v x w x

u y v y w yu v w

u z v z w z

u v w

x x xh u h v h w

y y yTh u h v h w

z z zh u h v h w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

e e e e e ee e e e e ee e e e e e

Ｔ行列とは：一言でいえば ｘｙｚ基底ベクトルとｕｖｗ基底ベクトルの内積の一覧表

７０２－15

Ｔ行列（６）

Ｔ行列は便利：ｕｖｗ基底ベクトルをｘｙｚ基底ベクトルで表現したいとき

( ) ( ) ( )

1 10 00 0

010

u x v x w x u x

u y v y w y u y

u z v z w z u z xyz

u x x u y y u z z u

u x v x w x

u y v y w y

u z v z w z

T

T

= =

= + + =

=

e e e e e e e ee e e e e e e ee e e e e e e e

e e e e e e e e e e

e e e e e ee e e e e ee e e e e e

( ) ( ) ( )

( )

010

0 00 01 1

v x

v y

v z xyz

v x x v y y v z z v

u x v x w x w x

u y v y w y w y

u z v z w z w z xyz

w x x

T

=

= + + =

= =

= +

e ee ee e

e e e e e e e e e e

e e e e e e e ee e e e e e e ee e e e e e e e

e e e e

( ) ( )w y y w z z w+ =e e e e e e

７０２－16

Ｔ行列（７）

Ｔ行列の転置（逆）行列は便利：ｘｙｚ基底ベクトルをｕｖｗ基底ベクトルで表現したいとき

( ) ( ) ( )

1

1

1 1 10 0 00 0 0

1 10 00 0

u x u y u z u xt

v x v y v z v x

w x w y w z w x uvw

x u u x v v x w w x

u x u yt

T T

T T

−

−

= = =

= + + =

= =

e e e e e e e ee e e e e e e ee e e e e e e e

e e e e e e e e e e

e e e e

( ) ( ) ( )

1

010

1 10 00 0

u z u y

v x v y v z v y

w x w y w z w y uvw

y u u y v v y w w y

u x u y u zt

v x v y v z

w x w y w z

T T−

=

= + + =

= =

e e e ee e e e e e e ee e e e e e e e

e e e e e e e e e e

e e e e e ee e e e e ee e e e e e

( ) ( ) ( )

001

u z

v z

w z uvw

z u u z v v z w w z

=

= + + =

e ee ee e

e e e e e e e e e e

７０２－17

計算例（１）

1

cos sin 0 cos sin 0sin cos 0 , sin cos 00 0 1 0 0 1

tT T Tφ φ φ φφ φ φ φ−

− = = − =

Ｔ行列：円柱座標

円柱座標：Ｔ行列を利用してρφｚ基底ベクトルをｘｙｚ基底ベクトルで表現

1 1 1

1 0 00 cos sin , 1 sin cos , 00 0 1

1 0 00 cos sin , 1 sin cos , 00 0 1

x y x y z z

x y z z

T T T

T T T

ρ φ

ρ φ ρ φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ− − −

= = + = = − + = =

= = − = = + = =

e e e e e e e e

e e e e e e e e

円柱座標：Ｔ行列の転置（逆）行列を利用してｘｙｚ基底ベクトルをρφｚ基底ベクトルで表現

７０２－18

計算例（２）

座標変換

xt

y

z zz xyz

A AA T AA A

ρ

φ

ρφ

=

x

y

z zxyz z

A AA T AA A

ρ

φ

ρφ

=

Ｔ行列の直交性を利用：円柱座標

cos sin

co

sin

s sin

sin

cos

cosx y

x y

z z

x

y

z z

ρ

φ

ρ φ

ρ φ

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

= +

= +

=

=

= +

=

−

−

e e ee e ee e

e e ee e ee e

1

cos sin 0sin cos 00

cos sin 0sin cos 0

00 1 0,

1

tT T Tφ φφ

φ φφ φ φ−

= = =

−

−

Ｔ行列：円柱座標

Ｔ行列の直交性を利用：球座標

計算例（３）

sin cos sin sin cos

cos cos cos si

sin cos cos cos sinsin sin cos sin cos

cos sin

n sin

sin cos

r x y z

x y z

x y

x r

y r

z r

θ

φ

θ φ

θ φ

θ

θ φ θ φ θ

θ φ θ φ θ

φ φ

θ φ θ φ φ

θ φ θ φ φ

θ θ

= + +

= +

= +

= +

= + +

=

−

−

−

−

e e e ee e e ee e e

e e e ee e e ee e e

,sin cos cos cos sinsin sin cos sin c

sin cos sin sin coscos cos cos sin sin

sin cosos

cos s n0 i 0

tT Tθ φ θ φ θ θ φ θ φ φ

θ φ θ φ φθ φ θ φ θφ φ θ θ

−−

= = −−

Ｔ行列：球座標

座標変換

r xt

y

z xyzr

A AA T AA Aθ

φ θφ

=

x r

y

z xyz r

A AA T AA A

θ

φ θφ

=

７０２－19

直交基底ベクトル（１）

別表記：計算例（次頁）

u u u x u y u z

v v v x v y v z

w w w x w y w z

u u uh u h h hx y zv v vh v h h hx y z

w w wh w h h hx y z

∂ ∂ ∂= ∇ = + +

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= ∇ = + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= ∇ = + +∂ ∂ ∂

e e e e

e e e e

e e e e

直交基底ベクトル：参照702-6

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

uu x y z

u u u u u

vv x y z

v v v v v

ww x y z

w w w w w

x y zh u h u h u h u

x y zh v h v h v h v

x y zh w h w h w h w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r re e e err re e e err re e e er

７０２－20

直交基底ベクトル（２）

計算例：ヤコビ行列 注意：702-5と逆順序

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

, , , , , , , ,, , , , , , , ,

u u u x x xx y z u v w

u v w x y z x y z u v w v v v y y yx y z u v w u v w x y z x y z u v w

z z zw w wu v wx y z

u x u y u z u x u yx u y u z u x v y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

u z u x u y u zv z v x w y w z w

v x v y v z v x v y v z v x v y v zx u y u z u x v y v z v x w y w z w

w x w y w z w x w y w z w x w y w zx u y u z u x v y v z v x w y w z w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

７０２－21

u x u y u z u x u y u z u x u y u zx u y u z u x v y v z v x w y w z wv x v y v z v x v y v z v x v y v zx u y u z u x v y v z v x w y w z w

w x w y w z w x w yx u y u z u x v y v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, ,

, ,

e e ee e ee e e

e e e

e e e

u u v v w w

u u v v w w

u u v v w w

u u v v w w

x y z

w z w x w y w zz v x w y w z w

u h u h u hv h v h v h Iw h w h w h

h u h v h w

x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ ∇ ∇ = ∇ ∇ ∇ = ∇ ∇ ∇

= ∇ = ∇ = ∇

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

直交基底ベクトル（３）

計算続き

∇：デカルト座標系

７０２－22

偏微分：円座標

円座標：circular polar coordinates

( )( )

( )( )

1

, , 1, ,

cos sincos sin1

sin cossin cos

x x y xx y x y

Iy xy yx y

x y

x y

x y

ρ ρρ θ ρ θ θ θ

θ θρ θ ρρ ρρ θ

ρ ρθ θ

ρ θ ρ θρθ θ

θ θ θ θρρ ρ

−∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = → = =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = = = −∂ ∂ − ∂ ∂

x y x yρ θ θ ρ∂ ∂ ∂ ∂

−∂ ∂ ∂ ∂

cossin

xy

ρ θρ θ

==

逆行列：circular polar coordinates

cos , sin ,

sin , cos

x x

y y

θ ρ θρ θ

θ ρ θρ θ

∂ ∂= = −

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂

偏微分：ヤコビ行列の応用例

７０２－23

偏微分：球座標（１）

球座標：spherical polar coordinates

sin cos , sin sin , cos

sin cos , cos cos , sin sin

sin sin , cos sin , sin cos

cos , sin , 0

r

r

r

x r y r z r

x x xx x r x rry y yy y r y rrz z zz z r zr

θ φ

θ φ

θ φ

θ φ θ φ θ

θ φ θ φ θ φθ φ

θ φ θ φ θ φθ φ

θ θθ φ

= = =

∂ ∂ ∂∂ ≡ = ∂ ≡ = ∂ ≡ = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ≡ = ∂ ≡ = ∂ ≡ =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ≡ = ∂ ≡ = − ∂ ≡ =∂ ∂ ∂

逆行列：circular polar coordinates

1 0 00 1 00 0 1

r x y z

r x y z

r x y z

x x x r r ry y yz z z

θ φ

θ φ

θ φ

θ θ θφ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

７０２－24

偏微分：球座標（２）

逆行列：circular polar coordinates

sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos

cos sin 0

x y z

x y z

x y z

r r r r rr r I

r

θ φ θ φ θ φθ φ θ φ θ φ θ θ θθ θ φ φ φ

− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂

1

sin cos cos cos sin sin cos sin sin cossin sin cos sin cos cos cos cos sin sin

cos sin 0 sin cos 0

sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos

cos sin 0

tTT TT I

r rr r

r

θ φ θ φ φ θ φ θ φ θθ φ θ φ φ θ φ θ φ θθ θ φ φ

θ φ θ φ θ φθ φ θ φ θ φθ θ

− = =

− → − − −

−=

−

sin cos sin sin coscos cos cos sin sin

sin cos 0sin sin

r r r

r r

θ φ θ φ θθ φ θ φ θ

φ φθ θ

−

−

Ｔ行列：球座標

７０２－25

偏微分：球座標（３）

sin cos sin sin coscos cos cos sin sin

sin cos 0sin sin

x y z

x y z

x y z

r r r

r r r

r r

θ φ θ φ θθ φ θ φ θθ θ θ

φ φ φ φ φθ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂

−

逆行列：circular polar coordinates

sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos

cos sin 0

x y z

x y z

x y z

r r r r rr r I

r

θ φ θ φ θ φθ φ θ φ θ φ θ θ θθ θ φ φ φ

− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂

特徴：Ｔ行列の直交性を利用して偏微分を計算

７０２－26

代数的な手法（１）

行列式：determinant

( )

( )

0

det

cos cos sin sin sin cos sin sincos sin

cos sin sin cos sin sin sin cos

cos

r r

r r

r r

rr

r

x x x x x xA y y y y y y

z z z z z

x x x xA z z

x y y y

r r rr

r r r

θ φ θ φ

θ φ θ φ

θ φ θ

θ φ φθ

θ φ φ

θ φ θ φ θ φ θ φθ θ

θ φ θ φ θ φ θ φ

θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= ∂ − ∂

∂ ∂ ∂ ∂

− −= − −

=

2 2 2 3

2

cos sin cos sincos sin sin sin sin

sin cos sin cos

sin cos sin

sin

r r r r

r r

r

φ φ φ φθ θ θ θ θ

φ φ φ φ

θ θ θ

θ

− −+

= +

= 参照：701-18

やや計算が面倒になります！

７０２－27

余因子：cofactor

2 211

12

13

21

cos sin sin cossin cos

sin 0

sin sin sin coscos sin cos

cos 0

sin sin cos sinsin

cos sin

cos cos sin sin

r

r

r

r

y y r rr

z z r

y y rr

z z

y y rr

z z r

x x r rz z r

θ φ

θ φ

φ

φ

θ

θ

θ φ

θ φ

θ φ θ φθ φ

θ

θ φ θ φθ θ φ

θ

θ φ θ φφ

θ θ

θ φ θ φ

∂ ∂∆ = = =

∂ ∂ −

∂ ∂∆ = − = − =

∂ ∂

∂ ∂∆ = = = −

∂ ∂ −

∂ ∂ −∆ = − = −

∂ ∂ −2

22

23

sin sinsin 0

sin cos sin sincos sin sin

cos 0

sin cos cos coscos

cos sin

r

r

r

r

r

x x rr

z z

x x rr

z z r

φ

φ

θ

θ

θ φθ

θ φ θ φθ θ φ

θ

θ φ θ φφ

θ θ

=

∂ ∂ −∆ = = =

∂ ∂

∂ ∂∆ = − = − =

∂ ∂ −

代数的な手法（２）

７０２－28

続き、余因子：cofactor

231

232

33

cos cos sin sincos sin

cos sin sin cos

sin cos sin sinsin

sin sin sin cos

sin cos cos cos0

sin sin cos sin

r

r

r

r

x x r rr

y y r r

x x rr

y y r

x x ry y r

θ φ

θ φ

φ

φ

θ

θ

θ φ θ φθ θ

θ φ θ φ

θ φ θ φθ

θ φ θ φ

θ φ θ φθ φ θ φ

∂ ∂ −∆ = = =

∂ ∂

∂ ∂ −∆ = − = − = −

∂ ∂

∂ ∂∆ = = =

∂ ∂

余因子行列：adjugate matrix（the transpose of the cofactor matrix）

2 2 2 2 211 21 31

212 22 32

13 23 33

sin cos sin sin cos sincos sin cos cos sin sin sin

sin cos 0

r r rA r r r

r r

θ φ θ φ θ θθ θ φ θ θ φ θ

φ φ

∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆ ∆ −

代数的な手法（３）

７０２－29

逆行列：inverse matrix

( )

1

1 1

2 2 2 2 2

22

det

sin cos sin sin cos sin1 cos sin cos cos sin sin sinsin

sin cos 0

r x y z

r x y z

r x y z

x y z

x

x x x r r rAA A y y y

Az z z

r r rr r r

rr r

r r r

θ φ

θ φ

θ φ

θ θ θφ φ φ

θ φ θ φ θ θθ θ φ θ θ φ θ

θφ φ

θ

−

− −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − −

∂ ∂ ∂∂ ∂

sin cos sin sin coscos cos cos sin sin

sin cos 0sin sin

y z

x y z

r r r

r r

θ φ θ φ θθ φ θ φ θθ θ

φ φ φ φ φθ θ

∂ = − ∂ ∂ ∂

−

代数的な手法（４）

７０２－30