1 第四章 多變數函數的微分學 § 4.1 偏導數定義 定義 4.1.1 極限值 ■. 2 定理...
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1
第四章 多變數函數的微分學§ 4.1 偏導數定義定義 4.1.1 極限值
■
ApVpfAp
00)(lim
)( pf
2
定理 4.1.1 極限值的基本定理 (1) 極限值的唯一性 :若 存在，則 其值必為唯一。 (2) 若 且 ( 與 為常數 )， 則
且
為常數且
)(lim pfAp
)(lim pfAp
mpgAp
)(lim m
))(lim()(lim())()((lim pgpfpgpfApApAp
mpgpfpgpfApApAp
))(lim))((lim())()((lim
0)(,)(lim
)(lim)
)(
)((lim
pg
mpg
pf
pg
pf
Ap
Ap
Ap
0m
kkpfkpkfApAp
,))(lim())(lim(
Rk
3
(3) 若 為多項式函數，則
(4) 若 為有理函數，則 其中 與 均為多項式函數 且 。
(5) 若 存在且點 以及點 ，則
反之亦然。 □
)(pf
)()(lim AfpfAp
)( ph
)(pg
)( pf
0)(,0)( Agpg
)(lim pfAp
),( yxP
)),(lim(lim)),(lim(lim0000
yxfyxfxxyyyyxx
),( 00 yxA
),(lim),(),( 00
yxfyxyx
)(
)(
)(
)(lim)(lim
Ag
Af
pg
pfph
ApAp
4
一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限值是否存在 :
若點 及點 ，則
(1) 若 且 ，而且 ，則 不存在。
(2) 若 ，則 不存在。
(3) 若 ，則 不存在。
),( yxP ),( 00 yxA
),(lim),(),( 00
yxfyxyx
myxfyxyx
),(lim),(),( 00 m
)(lim pfAp
),(lim),(lim 0),(),(
0),(),( 000000
yxfyxfyxyxyxyx
)(lim pfAp
)),(lim(lim)),(lim(lim0000
yxfyxfxxyyyyxx
)(lim pfAp
5
例 1. 試求下列各題的極限值。
(1) 若函數 但 ，試決定 。
(2) 若函數 但 ，試決定 。
(3) 若函數 但 ，試決定 。
(4) 若函數 但 ，試決定 。
222
),(,),( RyxVyx
xyyxf
)0,0(),( yx
),(lim)0,0(),(
yxfyx
2),(,),( RyxVyx
xyyxf
)0,0(),( yx
),(lim)0,0(),(
yxfyx
2),(,),( RyxVyx
yxyxf
)0,0(),( yx
),(lim)0,0(),(
yxfyx
244
22
),(,),( RyxVyx
yxyxf
)0,0(),( yx
),(lim)0,0(),(
yxfyx
6
解 : (1) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則
若 ，則我們有
若 ，則我們有 得知 不存在 ■
Rmmxy , ),( yx),(lim
)0,0(),(yxf
yx
44
22
)0,0(),(44
22
)0,0(),( )(
)(limlim
mxx
mxx
yx
yxyxyx
4
2
)0,0(),(44
42
)0,0(),( 1lim
)(lim
m
m
mxx
xmyxyx
0m
001
0
1lim),(lim
4
2
)0,0(),()0,0(),(
m
myxf
yxyx
2
1
11
1
1lim),(lim
4
2
)0,0(),()0,0(),(
m
myxf
yxyx
1m
),(lim)0,0(),(
yxfyx
7
(2) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則
■
Rmmxy , ),( yx
),(lim)0,0(),(
yxfyx
mxx
mxx
yx
xyyxyx
)(limlim
)0,0(),()0,0(),(
)1(lim
2
)0,0(),( mx
mxyx
01
lim)0,0(),(
xm
myx
8
(3) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 ■
Rmmxy , ),( yx),(lim
)0,0(),(yxf
yx
mxx
mxx
yx
yxyxyx
)0,0(),()0,0(),(
limlimm
m
m
myx
1
1
1
1lim
)0,0(),(
0m 101
01
1
1lim),(lim
)0,0(),()0,0(),(
m
myxf
yxyx
2m21
21
1
1lim),(lim
)0,0(),()0,0(),(
m
myxf
yxyx
),(lim)0,0(),(
yxfyx
3
9
(4) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則
若 ，則我們有
若 ，則我們有 得知 不存在 ■
Rmmxy , ),( yx
),(lim)0,0(),(
yxfyx 44
22
)0,0(),(44
22
)0,0(),( )(
)(limlim
mxx
mxx
yx
yxyxyx
4
2
)0,0(),(44
42
)0,0(),( 1lim
)1(lim
m
m
xm
xmyxyx
0m 001
0
1lim),(lim
4
2
)0,0(),()0,0(),(
m
myxf
yxyx
1m2
1
11
1
1lim),(lim
4
2
)0,0(),()0,0(),(
m
myxf
yxyx
),(lim
)0,0(),(yxf
yx
10
定義 4.1.2 連續 函數 在點 連續 ■ 在上面的定義裡，我們有明確的數學定義，即
此時必須滿足下列三個條件 : (1) 函數值 存在 ( 即點 必定在函數 的定義 域內 )。 (2) 極限值 存在。 (3) ( 即“極限值等於函數值” )。 當然，倘若函數 在其定義域 中的任意點均連
續，則稱函數 在 中為連續函數。
)( pf A )()(lim AfpfAp
ApVAfpfAp
00)()(lim )()( Afpf
)(Af A )( pf
)(lim pfAp
)()(lim AfpfAp
f D
Df
11
定理 4.1.2 連續的基本性質 (1) 倘若 與 在點 均為連續函數，則 與 與 以及 ( 為常數且
) 在點 均為連續函數。 (2) 倘若 為單變函數且 為多變數函數，使得 在點 連續且 在 連續，則合成函數 亦在點 連續。 (3) 多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義 域內均為連續函數。 □
f
f
g
g g
A
A
A
)( gf
)( fg )0)(( ggf)(kf k Rk
A
)(Af
gof
A
12
例 3. 試討論下列各函數的連續性。
(1) 若 且
(2)
33
2
),(yx
yxyxf
)0,0(),( yx
0)0,0( f
21),(
x
yxyxf
13
解 :(1) 點 的定義域 又 考慮通過原點之直線 上的點 ，則
在點 之外均為連續。 ■
),()0,0( yxf
Rmmxy ,),( yx
33
2
)0,0(),()0,0(),(lim),(lim
yx
yxyxf
yxyx
33
3
)0,0(),(33
2
)0,0(),( )1(lim
)(
)(lim
xm
mx
mxx
mxx
yxyx
0)0,0(1 3
fm
m
),( yxf )0,0(
14
(2) 點 的定義域， 且 又
在任何實數點 均為連續。 ■
)(),( 00 xfyx RxV 0Ry 0
),(lim)0,0(),(
yxfyx
),(11
lim 000
002)0,0(),(
yxfx
yx
x
yxyx
),( yxf ),( 00 yx
15
§ 4.2 偏導數與微分 定義４ .2.1 第一階偏導數 假設函數 被定義在點 的某個鄰 域 內，則函數 在點 對 的第一 階偏導數為
而函數 在點 對 的 第一階偏導數為
■
),( yxf ),( bap
D ),( yxf
p
x
h
bafbhafpfD
h
),(),(lim)(
01
),( yxf
p
y
h
bafkbafpfD
k
),(),(lim)(
02
16
定義 4.2.2 第一階偏導數 假設函數 的定域義為 ，則函數 對
的第一階偏導數為 而函數 對 的第一階偏導數為 ■
同理，函數 對 的偏導數為 。 事實上， 的偏導數還有其它的通用符號 :
),( yxf D ),( yxf x
h
yxfyhxfyxfD
h
),(),(lim),(
01
),( yxf y
k
yxfkyxfyxfD
k
),(),(lim),(
02
),,( zyxf
zyx ,, fDfDfD 321 ,,),,( zyxf
x
ffffD x
11
y
ffffD y
22
z
ffffD z
33
17
例 1. 試求下列各函數的第一階偏導數。 (1)
解 : (1)
■
yxy
xxyyxf sectancos),(
y
x
xyxyy
x
fyxfD 2
1 sec2
1sin),(
yxyxy tansec
y
xy
xxyx
y
fyxfD 22
3
2 sec2
sin),(
yxyxy
xtansec
2
18
定理 4.2.1 倘若 為包含兩個自變數的函數，則 與 亦
為包含兩個自變數的函數，而且 與 的第一階偏
導數 亦存在。 □ 定理 ４ .2.1 裡四個函數稱為函數 的第二偏導
數，其常用的符號為
f fD1 fD2
fD1 fD2
)(),( 1211 fDDfDD )(),(, 2221 fDDfDD
f
112
2
1111 )()( ffx
f
x
f
xfDDfD xx
12
2
1212 )()( ffxy
f
x
f
yfDDfD xy
21
2
2121 )()( ffyx
f
y
f
xfDDfD yx
222
2
2222 )()( ffy
f
y
f
yfDDfD yy
19
同理，多變數函數的高階導數亦有其明確的定義，例
如倘若 為包含三個自變數的函數，則我們將有九個第二階導數以及二十七個第三階導數，其他情況依此類推，例如
1113
3
2
2
111111 )()( ffx
f
x
f
xfDDfD xxx
123
22
123123 )()( ffxyz
f
xy
f
zfDDfD xyz
yxzxyxz
f
xfDDfD
f
43
21312131 )()(
2131ff yxzx
f
20
例 2. 若 ，試求 ， 與
解 :
■
xyz ez
yexzyxf 2),,( 123f
yx
f
2
3
2
3
yz
f
)2()(2
12xyz e
z
yxe
yx
f
yxy
ff
xyz e
zxze
12
)2
1()( 2
2
21xyz ezex
xy
f
xyx
ff
xyz e
zxze
12
yzxyz ezxez
zexyy
f
yy
f 2222
2
)1
()(
)1
2()( 123123xyz e
zxze
zfDf
xyzyz ez
xyzexe2
122
)1
2()(2
2
3xyz e
zxze
xyx
f
xyx
f
xyz ez
ze1
2
)()( 222
2
2
3yzezx
zy
f
zyz
f
yzyz ezyxzex 2222
21
定理 4.2.2 假設 為包含兩個變數的函數，倘若 與 在
二度空間某開區域 為連續，則 ; 同理，倘若函數 的高階偏導數在某開區域 為連續，則 ， □ 同理，倘若 的高階偏導數為連續函數，則我們有
f fD12fD21
2R fDfD 2112 f 2R
221212122112121211 , ffffff 221111222112122121211212 ffffff
),,( zyxf
321131123121231121132131
1132131213211132112312131231
231213132123
ffffff
fffffff
ffff
22
例 3.若 ，若 而且 ，試
證明 與 均存在但不相等。
證明 :
22
22 )(),(
yx
yxxyyxF
)0,0(),( yx 0)0,0( F
)0,0(12F )0,0(21F
x
yxFyxF
),(
),(1
222
223222
)(
2)()3)((
yx
xyxxyyyxyx
222
5324
)(
4
yx
yyxyx
y
yxFyxF
),(
),(2 222
222322
)(
)2)(()3)((
yx
yyxxyxyxyx
222
45
)(
5
yx
xyx
23
我們得證 ■
000
lim)0,0()0,(
lim)0,0(00
1
hh
FhFF
hh
000
lim)0,0(),0(
lim)0,0(00
2
kk
FkFF
kk
k
FkFF
k
)0,0(),0(lim)0,0( 11
012
1
0)(lim
4
5
0
k
k
k
k
h
FhFF
h
)0,0()0,(lim)0,0( 22
021
1
0)(lim
4
5
0
hh
h
h
)0,0()0,0( 2112 FF
24
定義 4.2.3 可微分 (的 ) 假設 為 與 的函數且定義在點 的
某個鄰域 ，倘若存在常數 以及 與 的函數 與 ，使得對任意向量 且 而言，恒有
(1) 。 (2) 當 。 則稱函數 在點 為可微分的。 ■
f x y ),( baP D NM , h k
jkihv
Dkbha ),(
khNkMhvpf 21),(
0limlim 21 )0,0(),( kh
f p
25
定義 4.2.4 微分 假設 為 與 的函數且定義在點
的某個鄰域 ，倘若存在常數 以及 與 ，則對任意向量 且 而言，我們稱函數 在點 的微分或全微分為
■ 因此，假設 為 與 的函數，而且其第一
階偏導數 與 均存在，則函數 的全
微分為
f x y ),( baP
NM ,D h kjkihv
Dkbha ),(
f p
kNhMvpdf ),(
kpfDhpfD )()( 21
f x y),(1 yxfD ),(2 yxfD ),( yxf
dyy
yxfdx
x
yxfyxdf
),(),(),(
dyyxfDdxyxfD ),(),( 21
26
例 4. 試求函數 ( 即 ) 在
各 定點 與向量 的全微分。 解 :
■
jivpx
yyxf
),1,2(,tan),( 1 1,1 kh
p v
222
2
1
)(1),(
yx
y
x
yx
y
yxfD
222
2
)(1
1
),(yx
x
x
yxyxfD
kpfDhpfDvpdf )()(),( 21
5
11
12
21
12
12222
27
定理 4.2.3 倘若函數 在點 為可微分的 ( differentiable ) ，而
且 ，則 □ 證明 :
且 當 時我們有
#
f p
jkihv
0),(),(
lim)0,0(),(
v
vpdfvpfkh
khvpdfvpf 21),(),(
22
2
22
1),(),(
khkh
h
v
vpdfvpf
122
10
kh
h 222
20
kh
k
)0,0(),( kh )0,0(),( 21
v
vpdfvpfkh
),(),(
lim)0,0(),(
0)(lim22
2
22
1
)0,0(),(
kh
k
kh
hkh
28
由定理 4.2.3 ，我們因此得到 亦即我們有
其中 。
),(),(),( bafkbhafvpf
),( vpdf
kpfDhpfD )()( 21
),(),(),( vpdfbafkbhaf
kpfDhpfDbaf )()(),( 21
),( bap
29
例 5. 試利用微分法求 的近似值。 解 : 設 則 ,
取 則
即 ■
22 )03.4()98.2(
22),( yxyxf
221 ),(yx
xyxfD
222 ),(yx
yyxfD
kijkihvp
03.002.0),4,3(
)03.4,98.2(f
)03.0()4,3()02.0()4,3()4,3( 21 fDfDf
22 )03.4()98.2( 012.5)03.0(5
4)02.0(
5
35
30
例 6. 一等腰三角形的三邊長為 呎、 呎、 呎且其頂角為 弳。倘若把此三角形的兩等腰 長增加一吋且頂角增加 徑， 試問其面積 改變若干 ? 解 : 兩腰長為 且頂角為 之等腰三角形的面積為
取 則其面積的改變量為
平方呎 ■
3 3 33 6
02.0
A
x
sin2
1),( 2xxA
cos2
1),(,sin),( 2
21 xxADxxAD
jijkihvp
)02.0(12
1),
6,3(
),(),( vpdAvpA
kpADhpAD )()( 21
)02.0()6
,3(12
1)
6,3( 21
ADAD
)02.0()6
cos32
1(
12
1)
6sin3( 2
203.0
31
例 7. 倘若 ，若 而且 ，試證明
與 均存在，但是函數 在點 是不可 微分的。 證明 :
取
44
22
),(yx
yxyxF
)0,0(),( yx 0)0,0( F
)0,0(1FD )0,0(2FD F )0,0(
h
FhFFD
h
)0,0()0,0(lim)0,0(
01
000
lim0
hh
k
FkFFD
k
)0,0(),0(lim)0,0(
02
000
lim0
kk
jkihvp
),0,0(
32
則
即不存在 由定理 4.2.3 得知 在點 為不可微分的。
■
0)()(),( 21 kpFDhpFDvpdF
)0,0()0,0(),( FkhFvpF
44
22
kh
kh
v
vpdFvpFkh
),(),(
lim)0,0(),(
22
44
22
)0,0(),(
0lim
kh
kh
kh
kh
2244
22
)0,0(),( )(lim
khkh
khkh
),( yxF )0,0(P
33
定理 4.2.4 倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為
連續。 □ 證明 : 函數 在點 為可微分的 取 ，則由定理 7.2.3 得知
即由定義 7.1.2 得知函數 在點 為連續。 #
f ),( baP f P
f ),( baP jkihv
0),(),(lim)0,0(),(
vpdfvpfkh
),(),(),( vpfbafkbhaf
),(lim)0,0(),(
kbhafkh
),(lim),()0,0(),(
vpfbafkh
),(lim),()0,0(),(
vpdfbafkh
))()((lim),( 21)0,0(),(
kpfDhpfDbafkh
),( baf
f ),( baP
34
定理 4.2.5 假設 為二變數函數且定義在點 的某個鄰 或 。倘
若其一階偏導數 與 在 存在且在點 為連續函數，則函數 在點 為可微分的。 □
總之，倘若 為多變數函數，則我們得知 (1) 倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為連 續。 (2) 倘若函數 的一階導數存在且在點 為連續，則函數 在點 為可微分的。即，若 與 均連續，則 必 可微分。 (3) 倘若函數 的二階導數為連續函數，則 ; 倘 若函數 的三階導數為連續函數，則有
，高階導數則依此類推。
f ),( baP F D
fD1 fD2 D P
f
Pf
f
f
PP
f
f
f
P
P
),( yxf x ),( yxf y
f
fDfD 2112 f
221212122112121211 , ffffff
35
§ 4.3 鏈導法則與隱函數的導數 ( the chain rule ) 定義 7.3.1 若 為 之一可微分函數，而 又為 之可微分函數，則
於 的導數存在，而且為 ■ 定義 7.3.2 偏微分 ( 偏導數 ) 若 為 之一可微分函數，令 而且 對於 之偏
微分均存在，而且為 ; ■
w x x t w
tdt
dx
dx
dw
dt
dw
w x ),( vuxx x vu,
u
x
x
w
u
w
v
x
x
w
v
w
36
定理 4.3.1 鏈導法則 ( the chain rule ) (1) 若 為 與 之一可微分函數，而且 及 均為 之可微分函數，則 對於 而言均為 可微分函數，而且為 (2) 若 為 與 之一可微分函數，令 與 而且 與 對於 之偏微分均存在，則
對於 之一階偏導數均存在，而且為
□
),( yxfw x y )(txx )(tyy
t ))(),(( tytxfw t
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
),( yxfw x y ),( vuxx ),( vuyy
x y vu,
)),(),,(( vuyvuxfw
vu,
u
y
y
w
u
x
x
w
u
w
v
y
y
w
v
x
x
w
v
w
37
由上面定理 4.3.1 得知，如果 而且 ，則我們有 ; 同理，如果 而且 ，則我們有
),,( zyxfw
)(),(),( tzztyytxx
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
t
x
x
w
dt
dw
),,( zyxfw ),(),,( tszztsxx
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
w
z
w
t
z
z
w
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
38
例 1. 試求 ，若
解 :
■
dt
dw zxyyzxw cossin
1,, 23
t
tzeytx t
zxx
yzyz
xx
wsin
2sin
2
1
zxy
yzy
xy
y
wcos
2
1cos
2
zxz
xyyz
z
xy
z
wsin
2cos
2
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
)sin2
sin2
1)(3( 2 zx
x
yzyz
xt
)cos2
1cos
2)(2( 2 zx
yyz
y
xze t
)sin2
cos2
()1(
12
zxz
xyyz
z
xy
t
39
例 2. 試求 與 ，若
解 :
■
u
z
v
z
uvyvuxy
xz ln,ln,tan 1
v
u
v
xv
uu
x
,ln2
1
uvv
y
u
v
u
yln
2
1,
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
)ln2
1)(
2
1
1
1( v
uxyy
x
))(
21
1(
3
2 u
v
y
x
y
x
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
))(2
1
1
1(
v
u
xyy
x
)ln
2
1)(
21
1(
2
3u
vy
x
y
x
40
例 3. 倘若我們有 試求 解 :
■
rtztsysrxyx
zw cot,sin,cos,
22
2
t
w
s
w
r
w
,,
0,sin,cos
t
xsr
s
xs
r
x
tst
yt
s
y
r
ycos,sin,0
rt
z
s
zrt
r
zcot,0,csc2
r
z
z
w
r
y
y
w
r
x
x
w
r
w
)csc(2
)(cos)(
2 222222
2
rtyx
zs
yx
xz
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
)(sin)(
2)sin(
)(
2222
2
222
2
tyx
yzsr
yx
xz
t
z
z
w
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
)(cot2
)cos()(
222
2
222
2
ryx
zts
yx
yz
41
定理 4.3.2 隱函數的導數 (1) 若 為 與 之一可微分函數，且 為
之一可微分函數，則 對於 而言為一微
分 函數，而且
以及
0),( yxFw x y )(xfy x
0),( yxfw x
0),(
dx
dy
y
F
x
F
dx
dy
y
F
dx
dx
x
FyxFDx
)(xf
y
Fx
F
dx
dy
42
(2) 若 為 與 以及 之一可微分函數，且
為 與 之一可微分函數，則 對於 與 而言為一可微分函數，而且
以及
0),,( zyxFw x y z
),( yxfz x y 0),,( zyxFw
x y
0),,(
x
z
z
F
x
F
x
z
z
F
dx
dx
x
FzyxFDx
0),,(
y
z
z
F
y
F
y
z
z
F
dy
dy
y
FzyxFD x
z
Fy
F
y
z
z
Fx
F
x
z
,
43
例 4. 若 滿足方程式 試求 與 解 : 令 則
■
),( yxfz 05443232 xzzyyx
x
z
y
z
5),,( 443232 xzzyyxzyxF
33 42 xxyx
F
322 23 yzyxy
F
322 43 zzyz
F
322
33
43
42
zzy
xxy
z
Fx
F
x
z
322
322
43
23
zzy
yzyx
z
Fy
F
y
z
44
定義 4.4.1 極值 ( extrema ) 設 為二變數函數， 為 定域義的子集合且 為 上一點，則 (1) 當 ，我們稱 為函數 在 的極大值 ( maximum value ) 。 (2) 當 ，我們稱 為函數 在 的極小值 ( minimum value ) 。 (3) 當 為函數 在 的極大值或極小值，我們稱
為 在 的極值 ( extreme value 或 extremum ) 。 ■
f fS ),( 00 yx S
SyxVyxfyxf ),(),,(),( 00),( 00 yxf ),( yxf
S
SyxVyxfyxf ),(),,(),( 00),( 00 yxf ),( yxf
S
),( 00 yxf ),( yxf S
),( 00 yxf ),( yxf S
45
定義 4.4.2 相對極值 ( relative extremum ) 設 為二變數函數，而且存在以 為半徑且以點
為圓心之點 的鄰域 ，則 (1) 若 ，我們稱 為函數 在 的相對極大值 ( relative maximum value ) 或 局部極大值 ( local maximum ) 。 (2) 若 ，我們稱 為函數 在 相對的極小值 ( relative minimum value ) 或 局部極小值 ( local minimum ) 。 (3) 若 為函數 在 的相對極大值或相極小值， 則我們稱 為函數 在 的相對極值或局部 極值。 ■
f r ),( 00 yxA
A ),( rAB
),(),(),,(),( 00 rAByxVyxfyxf ),( 00 yxf ),( yxf
),( rAB
),(),(),,(),( 00 rAByxVyxfyxf ),( 00 yxf ),( yxf
),( rAB
),( 00 yxf
),( 00 yxf
),( yxf
),( yxf
),( rAB
),( rAB
46
定義 4.4.3 絕對極值 ( absolute extremum ) 設 為二變數函數且定義域為 以及點 ，則 (1) 若 ，我們稱 為函數 的絕
對 極大值 ( absolute maximum ) 。
(2) 若 ，我們稱 為函數 的絕對
極小值 ( absolute minimum ) 。
(3) 若 為函數 的絕對極大值或絕對極小值，則我 們稱 為函數 的絕對極值。 ■
f D Dyx ),( 00
DyxVyxfyxf ),(),,(),( 00
DyxVyxfyxf ),(),,(),( 00
),( 00 yxf
),( 00 yxf
),( 00 yxf
),( 00 yxf
),( yxf
),( yxf
),( yxf
),( yxf
47
定理 4.4.1 極值檢驗法 ( test for extrema ) 設 為二變數函數且定義域為一開集合 ( open set ) ，
而且在 內函數 的第一階與第二階偏導數均為連續。令函數 的定義域為 且 ，倘若存在一點 使得 與 ，則
(1) 若 且 ，則 為函數 的相 對極大值。 (2) 若 且 ，則 為函數 的相 對極小值。 (3) 若 ，則 ，則 不為函數 的 極值，此時 為函數 圖形上的一馬鞍點 ( saddle point ) 或稱為鞍點。 (4) 若 ，則無法判斷 是否為函數 的極 值。 □
f D
D f
),( yxF D2
122211 )),((),(),(),( yxfyxfyxfyxF
Dyx ),( 000),( 001 yxf 0),( 002 yxf
0),( 00 yxF 0),( 0011 yxf ),( 00 yxf ),( yxf
0),( 00 yxF 0),( 0011 yxf ),( 00 yxf ),( yxf
0),( 00 yxF 0),( 00 yxF ),( 00 yxf ),( yxf
),( 00 yx ),( yxf
0),( 00 yxF ),( 00 yxf ),( yxf
48
例 1. 試求下列各函數的極值。 (1)
(2)
33 812),( yxyxyxf
)sin(sinsin),( yxyxyxf
49
解 : (1) 且
令 且令 與
則 或 ① 不為 的極值且 為 圖形上的一鞍 點。 ② 且 為 的相對極小值。 ■
yxyxf 123),( 21
xyxf 6),(11 12),(12 yxf
22 2412),( yxyxf
yyxf 48),(22
144288144486),( xyyxyxF
0),(1 yxf 0),(2 yxf
0
0
02412
01232
2
y
x
yx
yx
1
2
y
x
0144)0,0( F
)0,0(f f f)0,0(
0)1,2( F 0)1,2(11 f
8)1,2( f f
50
(2)
令 且令 與
)cos(cos),(1 yxxyxf
)cos(cos),(2 yxyyxf
)sin(sin),(11 yxxyxf
)sin(),(12 yxyxf
)sin(sin),(22 yxyyxf
))sin())(sinsin((sin),( yxyyxxyxF
0),(1 yxf 0),(2 yxf
51
則 且 且 且 或 或
① 無法判斷 下否為 的極值。 ② 且 為相對極大值。 ■
0)cos(cos
0)cos(cos
yxy
yxx
yx 02coscos xx
yx 0)1cos2(cos 2 xx
1(cos xyx )2
1cos x
y
x
3
3
y
x
0),( F
),( f f
04
9)
3,
3(
F 0)
3,
3(11
f
2
33)
3,
3(
f
52
例 2. 試求點 與平面 之間的最短距離。 解 : 設平面 上的一點 ，而且設點 ， 則我們有 ① 由 ① 得到
令函數
)2,1,1( 423 zyx
423 zyx ),,( cbaQ )2,1,1( P
423 cba
222 )2()1()1( cbaPQ
222 )42
1
2
3()1()1( babaPQ
222 )42
1
2
3()1()1(),( bababaf
)42
1
2
3(3)1(2),(1 baabaf
3
10
2
3
2
13 ba
22
5
2
3)4
2
1
2
3()1(2),(2 bababbaf
2
5),(,
2
3),(,
2
13),( 221211 bafbafbaf
53
且 令 與
平面 上點 與點 有最短的距離為 ■
),(),(),(),( 122211 bafbafbafbaF
014)2
3(
2
5
2
13 2
0),(11 baf
0),(1 baf 0),(2 baf
7
8
7
421
8
022
5
2
3
03
10
2
3
2
13
c
b
a
ba
ba
423 zyx )7
8,
7
4,
21
8(
Q )2,1,1( P
222 )27
8()1
7
4()1
21
8(
PQ
441
5614
54
例 3. 欲製造一具能容納 立方 米液體之無蓋長方體容器 ，則長、寬、高各為多少 米，可使表面積材料為最 少 ? 解 : 設此長方體容器的長、寬、高分別為 、 、 米，則體 積為 依題意，使用最少的材料做此長方體意謂求表面積 的 極小值。
V
x y z
xy
VzxyzV
A
yzxzxyyxA 22),(
Vyx
xyxy
VyxxyyxA )
11(2)(2),(
55
令 且令 與
此長方體底為一正方形且高為底之邊長的一半時 可使用最少的材料，此時長為 米、寬為 米、 高為 米。 ■
Vy
xyxAVx
yyxA2221
2),(,
2),(
1),(),(,4
),( 2112311 yxAyxAVx
yxA
Vy
yxA322
4),(
1)4
()4
(),(33
Vy
Vx
yxF
0),(1 yxA 0),(2 yxA
02
02
2
2
Vy
x
Vx
y
yxVzVyx2
1
2
12
2
12 33
3 2V3 2V
3 22
1V