С.В.Анулова, А.Ю.Веретенников, Н.В.Крылов, Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. — ВИНИТИ, 1989. Т. 49. С. 5—260 Изложены основные вопросы стохастического исчисления, относящиеся к:

свойствам винеровского процесса и его связи с уравнениями в частных производных, рассмотрены сильные и слабые решения стохастических дифференциальных уравнений, эволюционные уравнения. Большое внимание уделено стохастическому интегрированию по семимартингалам и случайным: мерам, абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер, предельным теоремам для семимартингалов.

Предисловие 7 Глава 1. Введение в стохастическое исчисление (Н. В. Крылов) 9 § 1. Броуновское движение и винеровский процесс 9 § 2. Вероятностная конструкция решения уравнения теплопроводности.

Связь винеровского процесса с оператором Лапласа 18

§ 3. Интеграл Ито и правила дифференцирования сложных стохастических функций

21

§ 4. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Теоремы Гирсанова

30

§ 5. Стохастические дифференциальные уравнения с граничными условиями 37 Литература 40 Глава 2. Стохастические дифференциальные и эволюционные

уравнения 42

I. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) (С.В.Анулова, А.Ю.Веретенников)

42

§ 1. Сильные решения стохастических дифференциальных уравнений 42 § 2. Слабые решения стохастических дифференциальных уравнений с

негладкими коэффициентами в Ed 54

§ 3. Дифференцирование решений СДУ по начальным данным 59 § 4. Инвариантная мера диффузионного процесса 62 § 5. Носитель диффузии 64 § 6. Стохастические дифференциальные уравнения в областях 68 Литература 77

II. Стохастические эволюционные уравнения (А. Ю. Веретенников) 80 § 1. Введение 80 § 2. Мартингалы и стохастические интегралы в гильбертовых пространствах 81 § 3. Формула Ито для квадрата нормы 86 § 4. Стохастические дифференциальные уравнения монотонного типа в

банаховых пространствах 87

§ 5. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных. I. Первая краевая задача для нелинейных уравнений параболического типа

90

§ 6. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных. II. Задача Коши для линейных уравнений второго порядка

92

Литература 94 III. Стохастическое исчисление вариаций (исчисление Маллявэна).

Применения к стохастическим дифференциальным уравнениям (А.Ю.Веретенников)

95

§ 1. Введение 95 § 2. Стохастические производные 96 § 3. Правила исчисления Маллявэна 100 § 4. Гладкость плотности (схема доказательства) 102 § 5. Подход Висмута. 1. 104 § 6. Подход Висмута. 2. Стохастические дифференциальные уравнения 105 § 7. Стохастические дифференциальные уравнения (гладкость плотности по

обратным переменным) 111

Литература 113 Глава 3. Стохастическое исчисление на вероятностных пространствах с

фильтрациями (Р.Ш.Липцер, А.Н.Ширяев) 114

I. Элементы общей теории случайных процессов 114 § 1. Аксиоматика Колмогорова и стохастический базис 114 § 2. Моменты остановки, согласованные случайные процессы, опциональная

и предсказуемая 0-алгебры. Классификация моментов остановки 116

§ 3. Мартингалы и локальные мартингалы 120 § 4. Возрастающие процессы. Разложение Дуба-Мейера. Компенсаторы 122 § 5. Случайные меры. Целочисленные случайные меры 124 § 6. Локально квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая

характеристика 126

§ 7. Разложение локальных мартингалов 127 II. Семимартингалы. Стохастические интегралы 128

§ 1. Семимартингалы. Квадратическая вариация. Квазимартингалы 128 § 2. Конструкция стохастических интегралов по семимартингалам 130 § 3. Формула Ито 133 § 4. Конструкция стохастических интегралов по случайным мерам 134 § 5. Характеристики семимартингалов. (Триплет предсказуемых

характеристик T=(B, C, ν). Проблемы мартингалов и семимартингалов. Примеры

136

§ 6. Интегральное представление локальных мартингалов 140 § 7. Устойчивость класса семимартингалов относительно ряда

преобразований 141

III. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений

142

§ 1. Локальная плотность. Разложение Лебега 142 § 2. Теорема Гирсанова и ее обобщение. Преобразование предсказуемых

характеристик 144

§ 3. Интеграл Хеллингера и процесс Хеллингера 146 § 4. Общие и предсказуемые критерии абсолютной непрерывности и

сингулярности вероятностных мер 149

§ 5. Частные случаи 151 Комментарий к главе 3 155 Литература 157 Глава 4. Мартингалы и предельные теоремы для случайных процессов

(Р.Ш. Липцер, А.Н.Ширяев) 159

I. Теория: слабая сходимость вероятностных мер на метрических пространствах

159

§ 1. Введение 159 § 2. Разные типы сходимостей. Топология Скорохода 161 § 3. Краткий обзор ряда классических предельных теорем теории

вероятностей 167

§ 4. Сходимость процессов с независимыми приращениями 180 § 5. Сходимость семимартингалов к процессам с независимыми

приращениями 191

§ 6. Относительная компактность и плотность семейств распределений семимартингалов

204

§ 7. Сходимость семимартингалов к семимартингалу 206 § 8. О проблеме мартингалов 214

II. Применения: принцип инвариантности и диффузионная аппроксимация 217 § 1. Принцип инвариантности для стационарных и марковских процессов 217 § 2. Стохастический принцип усреднения в моделях без диффузии 232 § 3. Диффузионная аппроксимация семимартингалов. Принцип усреднения в

моделях с диффузией 235

§ 4. Диффузионная аппроксимация для систем с физическим белым шумом 239 § 5. Диффузионная аппроксимация для семимартингалов с нормальным

отражением в выпуклой области 243

Комментарий к главе 4 250 Литература 251

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Альдус (Aldous D. J.) 205, 250, 252 Алюшина Л. А. 80, 94 Анулова С. В. 40 Баклан В. В. 80, 94 Барлоу (Barlow М. Т.) 53, 54, 78 Басе (Bass R. F.) 79 Башелье (Bachelier L.) 9 Белл (Bell D. R.) 95, 106, 111, 113 Бернулли Я. (Bernoulli J.) 167 Бернштенн С. Н. 30, 40, 41, 115, 157

Биллингсли (Billingsley P.) 77, 250, 251

Биркгоф (Birkhoff G. D.) 221 Висмут (Bisrnut J. M.) 95, 96, 103,

106, 107, 113 Бихтелер (Bichteler К.) 96, 113 Благовещенский Ю. Н. 59, 61, 77 Бобров А. А, 176 Боголюбов Н. Н. 232 Больман (Bohlmann G.) 115, 158 Боровков А. А. 250, 251

Броун (Brown R.) 9 Бутов А. А. 250, 251 Бхаттачария (Bhattacharya R. N.) 250,

252 Ван Шуппеп (Van Schuppen J. H.)

157, 159 Варадан (Varadhan S. R. S.) 47, 68, 72,

76 Ватанабэ (Watanabe S.) 30, 40, 41, 44

45 46, 47, 48, 52, 54, 64, 69, 79, 95, 96, 103, 104, 110, 111, 113, 114, 155, 156, 158, 185

Вентцель А. Д. 37, 41, 156, 157, 250, 251

Веретенников А. Ю. 33, 41, 46, 47, 48, 49, 52, 63, 77, 96, 106, 113

Винер (Wiener N.) 9, 96, 156 Вио (Viot M.) 88, 95 Вишик М. И. 92, 94 Волконский В. А. 250, 251 Вонг (Wong E.) 157, 159 Гаво (Gaveau B.) 113 Генис И. Л. 40, 41 Гильберт (Hilbert D.) 114, 158 Гирсанов И. В. 34, 35, 41, 144, 157 Гихман И. И. 30, 31, 40, 41, 47, 155,

156, 157, 250, 251 Гнеденко Б. В. 178, 179, 251 Голдштейн (Goldstein S.) 250, 252 Гордин М. И. 250, 251 Григелионис Б. И. 157, 250, 251, 252 Далецкий Ю. Л. 80, 94 Данфорд (Dunford N.) 81, 94 Деллашери К. (Dellacherie С.) 155,

156, 157, 158 Долеан-Дэд (Doleans-Dade С.) 155,

156, 158 Донскер (Donsker M.) 15, 188, 252 Досс (Doss H.) 52, 79, 250, 252 Дуб (Doob J.) 155, 157 Дьёндь (Gyongy I.) 52, 80, 94, 250,

252 Дюрр (Diirr D.) 250, 252

Жако Д. (Jacod J.) 96, 113, 155, 156, 157, 158, 180, 250, 252

Закаи (Zakai M.) 95, 96, 97, 98, 99, 100, 102, 103, 104, 105, 107, 114

Звонкий А. К. 33, 41, 45, 46, 47, 53 77 Зеликурт (De Zelicourt С.) 251, 252 Золотарев В. М. 176, 251 Ибрагимов И. А. 250, 251 Икэда (Ikeda N.) 30, 40, 41, 46, 52, 54,

55, 56, 64, 69, 71, 76, 77, 103, 104, 110, 111, 113

Ито (Ito К.) 22, 31, 36, 37, 41, 77, 96, 113, 133, 155, 158

Йорп (Yoeurp Ch.) 156, 159 Кабанов Ю. М. 156, 157 Казамаки (Kazamaki N.) 41 Какутани (Kakutani S.) 157, 158 Картан (Cartan H.) 51, 77 Клепцына М. Л. 48, 49, 50, 52, 77 Коган Я. А. 250, 251 Колмогоров А. Н. 31, 41, 115, 157,

177, 179, 251 Конвей (Conway E. D.) 56, 79 Красносельский М. А. 51, 53, 65, 78,

240, 250, 251 Крылов Н. В. 40, 41, 47, 50, 53, 54, 59,

60, 61, 64, 77, 78, 80, 85, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 96

Кунита (Kunita H.) 156, 158 Курреж (Courrege Ph.) 156, 158 Кусуока (Kusuoka S.) 96, 106 Ладыженская О. А. 47, 78 Лаплас (Laplace P. S.) 168, 173 Лебег (Lebesgue H.) 142 Лебедев В. А. 56, 79, 251 Леви П. (Levy P.) 182, 184, 252 Лизе (Liese F.) 158 Линдвалл (Lindvall Т.) 252 Линдеберг (Lindeberg J. W.) 175, 176,

252 Линник Ю. В. 250, 251 Лионе (Lions P. L.) 40, 41, 74, 79

Липцер Р. Ш. 42, 43, 44, 69, 75, 78, 156, 157, 158, 180, 250, 251, 253

Лифшиц Б. А. 250, 251 Ломиицкий (Lomnicki A.) 115, 158 Ляпунов А. М. 173, 175 Маккин (McKean H. Р.) 77, 78 Малютов М. Б. 40, 41 Маллявэ» (Malliavin P.) 95, 96, 113 Манабе (Manabe S.) 49, 79 Марков А. А. 173 Мацкявнчюс В. 52, 78, 250, 251 Мейер (Меуег Р. А.) 155, 156, 158,

253 Мельников А В. 50, 78, 79 Мсмэн (Memin J.) 156, 158, 180, 252 Метпвье (Metivier M.) 88, 95, 155, 158 Мизсс (von Mises R.) 115, 159 Микулявичюс P. 250, 251, 252 Мишел (Michel D.) 96, 106, 113, 114 Муавр (de Moivre A.) 168 Накао (Nakao S.) 46, 79 Нисио (Nisio M.) 48, 79 Никольский С. М. 41, 90, 94 Новиков А. А. 34, 41 Норрис (Morris N.) 96, 106, 111, 114 Нуалар (Nualart D.) 96, 114 Олейник О. А. 95, 113 Ори (Orey S.) 156, 159 Нарду (Pardoux E.) 79, 80, 85, 95 Петтис (Pettis В. J.) 81 Покровский А. В. 51, 53, 65, 78, 240,

250, 251 Портепко Н. И. 40, 41 Прохоров Ю В. 172 Пуассон (Poisson S. D.) 170, 185 Радкевич E. A. 95, 113 Райков Д. А. 176 Рао (Rao К. М.) 156, 159 Рейман (Reiman M.) 70, 71, 79 Розовский Б. Л. 80, 85, 87, 88, 89, 92,

93, 94 Розанов Ю. А. 250, 251 Розенблатт (Rosenblatt M.) 250, 253

Ротарь В. И. 176, 251 Сам Лазаро (Sam Lazaro J.) 253 Сафонов М. В. 64, 78 Севастьянов Б. А. 63, 78 Серфлинг (Serfling R. J.) 250, 253 Скороход А. В. 30, 40, 41 47 49, 56

62, 63, 69, 78, 96, 113, 155, 156, 157, 250, 251

Смолуховский (Smoluchowski) 9 Смородинский А. В. 250, 251 Солонников В. А. 47, 78 Статулявичюс В. А. 250, 252 Стерлинг (Stirling) 169 Стоун (Stone C.) 250, 253 Стрикер (Stricker C.) 156, 159 Струк (Strook D. W.) 47, 58, 66, 68,

72, 76, 79, 95, 96, 106, 111, 114 Сусмап (Sussman H. J.) 52, 79 Танака (Tanaka H.) 40, 42, 53, 74, 79,

253 Тихонов А. Н. 20 Торонджадзс Т. А. 50, 78, 79 Траубер (Trauher P.) 113 Туати (Touati A.) 250, 253 Уральцев а II. II. 47, 78 Фсдоренко И. В. 50, 78 Фиск (Fisk D. L.) 156, 158 Фрейдлин М. И. 40, 41, 59, 61, 77,

250, 251 Харрисон (Harrison M.) 70, 71, 79 Хаусман (Haussmann U.) 105, 113 Хейде (Heyde С. С.) 250, 252 Хеллингер (Hellinger E.) 146, 147, 148 Хёрмандер (Hormander L.) 95, 96,

106, 113 Хида (Hida T.) 96, 113 Хинчин А. Я. 176, 177, 218, 221, 252 Холл (Hall P.) 250, 252 Цирельсон Б. С. 44, 53 Чебышев П. Л. 171, 172, 173 Ченцов Н. Н. 250 Чикин Д. О. 250, 252 Читашвили Р. Я. 53, 78, 79

Шалейо-Морей (Chaleyot-Maurel M.) 106

Шварц (Schwartz J. T.) 81, 94 Шига (Shiga Т.) 49, 79 Шигекава (Shigekawa I.) 95, 100, 114 Ширяев А. Н. 42, 43, 44, 69, 75, 78,

156, 157, 158, 180, 250, 251, 252, 253

Шницман (Sznitman A. S.) 40, 41, 74, 79

Шрёдингср (Schrodinger E.) 96 Эйнштейн (Einstein A.) 9 Эллиот (Elliott R. J.) 155, 156, 158 Ямада (Yamada T.) 44, 45, 46, 48 49,

79

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ σ-алгебра инвариантных множеств

217 σ -алгебра опциональная 117 σ -алгебра предсказуемая 117, 193 Анализ прямой 174 Базис стохастический 115, 192 Вальда тождества 27 Вариация квадратическая 128 Величина случайная (терминальная)

81, 120 Возвратность винеровского процесса

21 Время локальное 38 График 117 — момента остановки 117 Группа преобразований,

сохраняющая меру 220 Движение броуновское 9 Дифференциал стохастический 25 Дифференцирование в нормах Lp 59 — по начальным данным 59 — — параметру 60 — поточечное 59 Единственность решения СДУ — — — в области 74 — — — — — сильная 74 — — — — — слабая 77 — — — по распределению 43 — — — — траекториям 43, 74 — — — сильная 43, 74 — — — слабая 43 — стационарной меры 62 Задача Скорохода 70 Закон повторного логарифма 12

Замена времени случайная 142 Интеграл стохастический 130, 134 — Хелингера 146 Интервалы стохастические 116 Квазимартингал 129 Ковариация квадратическая 129 — — предсказуемая (квадратическая

характеристика) 126 Компенсатор 123, 125 — случайной меры 125 — предсказуемый 123 — процесса 123 Коэффициент равномерно сильного

перемешивания 2i24 — сильного перемешивания 224 Кумулянта 196 Мартингал 82, 120, 160, 192 — в гильбертовом пространстве 82 — квадратично интегрируемый 121 — локально квадратично

интегрируемый 126 — непрерывный со значением в H 85 — ортогональный 127 — равномерно интегрируемый 120 Мартингала локального интегральное

представление 141 — — непрерывная составляющая 127 — — чисто разрывная составляющая

127 Мера инвариантная 62, 228 — локально абсолютно непрерывная

143 — пуассоновская расширенная 125 — случайная 124

— — интегрируемая 124 — — опциональная 124 — — предсказуемая 124 — — целочисленная 125 Метод стохастических экспонент 198 Момент марковский 27, 116 — — вполне достижимый 119 — остановки 27, 116, 192 Мост броуновский 32 Непрерывность абсолютная

локальная 14 — — мер (сингулярность мер) 151 — — — в случае дискретного

времени 151, 152 — — — для марковских процессов

со счетным множеством состояний 154, 155

— — — — процессов с независимыми приращениями 153, 154

— — — — семимартингалов с гауссовой мартингальной частью 152

— — — — — с условием локальной единственности 155

— — — — точечных процессов 152, 153

Неравенство Харнака 64 Нерегулярность траекторий 12 Оператор инфинитезимальный 228 — полугруппы 227 Отображение измеримое 81 — сильно измеримое 81 — слабо измеримое 81 Плотность локальная 143 Подмножество вполне измеримое 81

Последовательность предвещающая марковских моментов 118

— слабо сходящаяся к мере 15 Правила исчисления Маллявэна 100 L-предел 59 LB-предел 59 Представление каноническое 183

Пренебрежимость асимптотическая 176

Принцип инвариантности 218 — отражения 16 — усреднения Боголюбова

стохастический 232 Проблема субмартингальная 139 Проблемы мартингалов 55, 136 Проекция дуально предсказуемая 123 — опциональная 117, 119 — предсказуемая 117, 193 Произведение характеристических

функций 174 Производная Маллявэна 96 — по направлению 98 L-производная 60 3? LB-производная 60 Пространство вероятностное 115 — польское 163 — Соболева 90 Процесс F-адаптированный 117 — винеровский 9, 10, 23, 126 — — одномерный 9 — возрастающий 12!2 — вполне измеримый 81 — действительный случайный

простой 23 — диффузионный 31 — квазинепрерывный слева 119 — локальной плотности 143 — мультивариантный точечный 126 — опциональный 117, 119 — Орнштейна — Уленбека 31 — предсказуемый 117, 118, 119, 193 — произвольный 203 — случайный 117 — — простой 23 — стандартный 10 — Хеллингера порядка а 147 — — порядка нуль 148 Процессы марковские общие 62 — случайные неразличимые 118 Разложение Дуба — Майера 123

— каноническое 128, 183 193 — Лебега 143 — локальных мартингалов 127 Распределений процессы 15 Решение единственное по

траекториям 43 — СДУ в области 71 — — — — сильное 71 — — — — слабое 71 — — потраекторное 43, 52 — — сильное 43 — — слабое 55 — — строгое 43 Свойство строго марковское 19 Семимартингал 128, 193 Скорость сходимости 63 Снос сингулярный 69 Стохастическое дифференциальное

уравнение (СДУ) 31, 42 — — — в области 68 — — — с отражением 70 — — — — последействием 42 Субмартингал 120 Супермартингал 120, 160 Существование винеровского

процесса 10 — предельного процесса 30 Теорема Гирсанова 144 — о квадратичной вариации 13 — функциональная предельная 15 Теоремы сравнения 49

— существования сильного решения 50

Тождества Вальда 27 Топология Скорохода 164 Траектория наиболее вероятная 67,

68 Тренд 183 Триплет предсказуемых

характеристик 137, 183, 194 Уравнение Долеан-Дэд 133 — Ланжевена 32 — теплопроводности 18 Условие Линдеберга 175 — Ляпунова 175 — полной интегрируемости 51 — сильной параболичности 91 Фильтрация 115 Форма билинейная 98 Формула замены переменных 133 — Ито 25, 26, 28, 133 — Стирлинга 169 Функция интегрирования по частям

104 — переходная 227 — «урезания» 178 — характеристическая 174 Характеристика квадратическая 126 Чисто разрывная составляющая М

127 Экспонента мартингальная 33 — обобщенная 181 — стохастическая 134