1. a modell formálisan · 1. a modell formálisan az általunk ázoltv mesterséges gazdaság két...

1. A modell formálisan

Az általunk vázolt mesterséges gazdaság két szerepl®vel � reprezentatív fogyasztóvalés vagyonkezel®vel � m¶ködik. A gazdasági szerepl®k két id®szakra vonatkozóan hoz-nak döntéseket, és két piacon � az árupiacon és a vagyoneszközök piacán � kerülnekkapcsolatba egymással.

A megadott feltételek mellett a modell egyrészt a két gazdasági szerepl® bizonyos válto-zókkal kapcsolatos döntéseit jellemz® magatartási egyenletekb®l, másrészt a piacokonzajló eseményeket leíró piaci egyensúlyi feltételekb®l áll.

A magatartási egyenletek levezetéséhez meg kell vizsgálnunk, hogy mit csinálnak agazdasági szerepl®k, mi motiválja ®ket, és milyen tényez®k hatására lennének hajlan-dóak döntésüket módosítani, azaz meg kell oldanunk a fogyasztó és a vagyonkezel®problémáját.

1.1. A fogyasztó problémája

A reprezentatív fogyasztó olyan els®-, és második periódusbeli fogyasztási szintet ke-res, amely a költségvetési korlátok id®beli sorozata mellett biztosítja az életpálya-hasznosság maximumát.

Az ágens el®tt álló feladat megfogalmazása során használt fogalmak � életpálya-hasznosság, költségvetési korlátok id®beli sorozata � némi magyarázatot igényel, így aprobléma formális megoldása el®tt tisztázzuk mit értünk ezen tényez®k alatt.

Életpálya-hasznosság. A reprezantatív fogyasztó els® periódusbeli fogyasztását C1-el, második periódusbeli fogyasztását C2-vel jelöljük. Az ágensnek a probléma formálismegoldása során azt kell eldöntenie, mekkora legyen a C1 és a C2 értéke. Feltételez-zük, hogy a fogyasztó által az els®, illetve a második periódusban realizált hasznosságaz adott periódus fogyasztásának függvénye. Feltételezzük továbbá, hogy a több ter-mék magasabb hasznosságot jelent, de a fogyasztás növekedésével a pótlólagos termékelfogyasztása egyre kisebb-és-kisebb mértékben növeli a gazdasági szerepl® elégedett-ségének szintjét. Az egyid®szakos hasznossági függvényt u (.)-val, a fogyasztási szintszerinti els®-, illetve második deriváltat uCt-vel és uCt,Ct-vel jelölve a fenti feltételekformálisan a következ® alakot öltik

uCt > 0, uCt,Ct < 0, t = 1, 2-re.

Az életpálya-hasznosság az egyid®szakos hasznossági függvények súlyozott átlaga

U = u (C1) + βu (C2) , (1)

ahol U az életpálya-hasznosság értéke, β pedig az úgynevezett id®preferencia para-méter, amit nevezhetünk személyes diszkont faktornak, vagy türelmetlenségi (türel-mességi) indexnek is. A személyes diszkont faktorral azt kívánjuk érzékeltetni, hogya fogyaszó mind az els®, mind a második periódusbeli fogyasztást hasznosnak tartja,de döntenie az els® periódusban kell, s ebb®l a periódusból nézve egy biztos azonnalifogyasztás magasabb pótlólagos hasznot jelent, mint egy második periódusbeli pótló-lagos termékre szóló ígéret. Az id®preferencia paraméter tehát nulla és egy közé esik0 < β < 1.

1

Nem mindegy az sem, hogy a β pontosan hol helyezkedik el a (0, 1) intervallumon. Mi-nél közelebb van β nullához, annál jobban megéri a fogyasztónak els® periódusbeli ter-mékeket felhalmozni, hiszen második periódusbeli pótlólagos fogyasztással (βuC2

) csaknagyon kis mértékben lenne képes növeli hasznosságát. Ha az életpálya-hasznosságifüggvényben megjelen® β nullához közeli, a fogyasztót türelmetlennek nevezzük. El-lenkez® esetben � ha a β egyhez esik közel � a fogyasztó türelmes.

Az id®preferencia nagysága számít, mert a kés®bbiekben mindig arra leszünk kiván-csiak, hogy milyen felfételek mellett hajlandó a fogyasztó lemondani els® periódusbelifogyasztásról a második periódusbeli fogyasztás javára, vagy fordítva: milyen feltételekmellett lenne hajlandó elcserélni a második periódusbeli termékét els® periódusbeli ter-mékre. Tételezzük fel, hogy a fogyasztónk mindkét periódusban rendelkezik bizonyosmennyiség¶ termékkel � mondjuk almával � és lehet®sége van arra, hogy készletét id®-ben átcsoportosítsa. Nevezzük relatív árnak azt a változót, amely megmutatja, hogy afogyasztónak mennyi els® periódusbeli almát kell �zetnie egy pótlólagos második peri-ódusbeli alma elfogyasztásának lehet®ségéért. Ha a fogyasztó türelmes (a β pereméterértéke egyhez közeli), bizonyos feltételek mellett nagyobb relatív ár mellett is hajlandólesz els® periódusbeli almát második periódusbeli almára cserélni, ha türelmetlen (a βparaméter értéke nullához közeli), akkor a csere csak alacsony relatív ár mellett mehetvégbe.

Költségvetési korlát. A fogyasztó az (1) alakban felírt életpálya-hasznosságot költ-ségvetési korlátok id®beli sorozata mellett kívánja maximálizálni. Feltételezzük, hogyaz ágens mind az els®, mind a második id®szakban exogén jövedelmet realizál. Ajövedelm reáljövedelem, azaz értékét termékegységben fejezzük ki.

Jelöljük Y1-el a fogyasztó els® periódusbeli exogén jövedelmét, Y2-vel pedig azt a ter-mékemennyiséget, amelyhez a gazdasági szerepl® a második periódusban jut hozzá.A költségvetési korlátnak azt kell megmutatnia, hogy a megszerzett forrásokat a fo-gyasztó mire költi. Egyáltalán nem biztos, hogy egy adott periódusban reálizált jö-vedelem megegyezik az adott id®szaki fogyasztás értékével. A gazdasági szerepl®neklehet®sége van arra, hogy bizonyos kamat (1 + r2) mellett betéteket helyezzen el egyvagyonkezel®nél, vagy ugyanilyen kamat mellett hitelt vegyen fel. A kamat szintje mára betételhelyezés/hitelfelvétel id®pontjában ismert, de ki�zetés csak a következ® perió-dusban történik. Az (1 + r2) kifejezésben a kamatláb melletti alsó intexként megjelen®2-es szám a lejárat id®szakára utal.

Jelöljük B2-vel a fogyasztó által az els® periódusban felhalmozott vagyon nagyságát.Az alsó indexben található 2-es szám arra utal, hogy bár a fogyasztó az vagyont az els®periódusban halmozta fel, a rendelkezésre álló forrásait e tevékenység majd a másodikperióduban módosítja. A B2 értéke lehet pozitív és negatív is.

• Ha B2 > 0, akkor a fogyasztó betétet helyezett el a vagyonkezel®nél, így a má-sodik periódusban az elhelyezett betét kamattal megnövelt értékének megfelel®mértékben növekszik a felhasználható források mennyisége.

• Ha B2 < 0, akkor a fogyasztó hitelt vett fel a vagyonkezel®t®l, így a másodikperiódusban (1 + r2)B2 nagyságú tartozást kell vissza�zetnie.

A B2 valójában egy második periódusbeli termékre szóló követelést megtestesít® esz-köz. Amikor a fogyasztó betétet helyez el a vagyonkezel®nél, B2 darab els® periódusbelitermékért B2-darab második periódusbeli termékre szóló követelést megtestesít® esz-

2

közt vásárol t®le. Hitelfelvételnél pedig |B2| egységnyi termékkel egyenérték¶ eszköztad el a vagyonkezel®nek. Nevezzük B2-t ezentúl vagyoneszköznek, vagy reálkötvény-nek, ahol a "reál" jelz® azt hangsúlyozza, hogy ez az eszköz nem jöv®beli jövedelemre,hanem jöv®beli termékre szóló követelést testesít meg.

A költségvetési korlátnak mindig azt kell kifejeznie, mire költi a gazdasági szerepl® arendelkezésére álló forrásokat, azaz:

rendelkezésre álló források = kiadások.

Az els® periódusban a fogyasztó Y1 darab terméknek megfelel® jövedelmet kap, melyetfogyasztásra C1, valamint kötvényvásárlásra B2 fordít. Az els® periódus költségvetésikorlátja így a következ® formában adható meg:

els® periódusbeli jövedelmek = kiadások az els® periódusban

Y1 = C1 +B2 (2)

A második id®szakban a gazdasági szerepl® megkapja az Y2 nagyságú exogén jövedel-met, visszavásároltatja kötvényeit a vagyonkezel®vel, így szert tesz (1 + r2)B2 egyégnyipótlólagos jövedelemre, s forrásait teljes egészében fogyasztásra fordítja. A másodikperiódus költségvetési korlátja formálisan az alábbi alakban írható fel:

második periódusbeli jövedelmek = kiadások a második periódusban

Y2 + (1 + r2)B2 = C2 (3)

Két megjegyzés a költségvetési korlátokkal kapcsolatosan.

• Egyrészt a fogyasztó az els® periódusban nem csak kötvényeket vásárolhat, ha-nem hitelt is felvehet. Ez a költségvetési korlát felírásának módját nem érinti,az els® periódusban Y1 továbbra is megegyezik a C1 és a B2 összegével, csak B2

negatív lesz, így az elemek átrendezésével a korlát továbbra is a rendelkezésreálló források és a kiadások egyez®ségét követeli meg. Hasonló elvek alapján amásodik költségvetési korlátban a bal oldalon szerepl® (1 + r2)B2 els® periódus-beli hitelfelvétel esetén negatív lesz, amely azt mutatja, hogy a fogysztónak az Y2jövedelemb®l nem csak a C2-nek megfelel® fogyasztást kell �nanszíroznia, mertehhez hozzáadódik a (1 + r2)B2 abszolút értékével megegyez® mérték¶ "hitel-törlesztés" is.

• Másrészt: érdemes észrevenni, hogy a második periódusban a fogyasztó már nemhalmoz fel vagyont, és hitelt sem vesz fel, azaz B3 = 0. A vagyonfelhalmozás(B3 > 0) nem lenne optimális, mert a gazdasági szerepl® életpálya-hasznosságátcsak a fogyasztás növeli, így ha életének utolsó periódusában fogyasztási cikkekvásárlása helyett kötvényvásárlásra fordítaná a rendelkezésére álló forrásokat,nem maximalizálná hasznosságát. Hitelt (B3 < 0) pedig ebben a periódusbansenki sem hajlandó a gazdasági szerepl®nek nyújtani, mert az az ígéret, miszerinta felvett hiteleket a következ® periódusban kamattal megnövelve �zeti vissza, aszóba forgó "következ® periódus" hiánya miatt nem teljesíthet®.

Intertemporális költségvetési korlát. A két egyid®szakos költségvetési korlátegyetlen közös elemet tartalmaz: a fogyasztó által tartott vagyoneszközök (B2) ál-lományát. Ha (3)-ból kifejezzük B2-t, és visszahelyettesítjük (2)-be, akkor megkapjuk

3

C1, Y1első periódus

C2, Y2második periódus

Y2

Y1

D

B

A

ábra 1. Az intertemporális költségvetésikorlát negatív meredekség¶. Amennyibena fogyasztó Y1, Y2 jövedelem-folyammal ren-delkezik, a D pont reprezentálja kezdetikészletállományát. A költségvetési korláttengelyekkel való metszéspontja azt mu-tatja meg, hogy maximálisan mennyi ter-méket fogyaszthat a gazdasági szerepl® azadott id®szakban, ha megfelel® kötvényvá-sárlási/kötvényértékesítési tranzakciók vég-rehajtásával teljes életpálya jövedelmét át-csoportosítja az adott periódusra, és otthasználja fel.

az úgynevezett intertemporális költségvetési korlátot.

Y1 +Y2

1 + r2= C1 +

C2

1 + r2(4)

Az intertemporális költségvetési korlát megmutatja, hogy a fogyasztó az életpálya-jövedelme teljes elköltése mellet mely els®-, illetve második periódusbeli fogyasztásicikkeket tartalmazó jószágkosarak megvásárlására képes.

Míg az egyid®szakos költségvetési korlátok arra világítottak rá, hogy az egyes periódu-sokban a fogyasztó fogyasztása a megtakarítási/hitelfelvételi lehet®ség miatt kisebb,vagy nagyobb is lehet, mint az adott periódus jövedelme, az intertemporális költségve-tési korlát már azt állítja, hogy az egész életpályára vonatkozóan megtakarítás, vagyhitelfelvétel már nem lehetséges, azaz a gazdasági szerepl® életpályája-jövedelménekjelenértéke meg kell hogy egyezzen az életpálya-fogyasztás jelenértékével.

A 1. ábra az intertemporális költségvetési korlátot mutatja egy olyan koordinátarend-szerben, amelynek vízszintes tengelyén az els® periódus jövedelmét és fogyasztását(Y1, C1), függ®leges tengelyén a második periódus jövedelmét és fogyasztását (Y2, C2)mérjük. Miután mind a jövedelmet, mind a fogyasztást termékegységben fejezzük ki,e két kategória nyugodtan szerepelhet azonos tengelyen.

Az ábra jól mutatja az intertemporális költségvetési korlát három fontos jellemvonását:

1. a korlát negatív meredekség¶ és a meredekség a kamat függvénye,

2. az intertemporális költségvetési korlát tartalmazza a kezdeti készletet reprezen-táló jószágkosarat,

3. és a tengelyekkel való metszéspontja azt mutatja meg, mennyi els®-, vagy máso-dik periódusbeli terméket tudott volna vásárolni a fogyasztó akkor, ha a teljeséletpálya-jövedelmét az adott periódusban használja fel.

Az intertemporális költségvetési korlát negatív meredekség¶ és a mere-dekség a kamat függvénye. Induljunk ki a kezdeti készletállományt reprezentáló

4

(Y1, Y2) jószágkombinációból. Ha a fogyasztó egy pótlólagos második periódusbeliterméket szeretne vásárolni, akkor adott jövedelm-folyam mellett kénytelen lemondanibizonyos nagyságú els® periódusbeli fogyasztásról. Az állítás fordítva is igaz: egypótlólagos els® periódusbeli termék elfogyasztása csak bizonyos mennyiség¶ másodikperiódusbeli termék feláldozása révén válik lehet®ve.

Ha a függ®leges tengelyen a második periódusbeli fogyasztást, a vízszintes tengelyenpedig az els® peridósubeli fogyasztást ábrázoltuk, akkor az intertemporális költségve-tési egyenes meredekségére vonatkozó kérdés helyesen: mennyi második periódusbelitermékr®l kell lemondani a pótlólagos els® periódusbeli fogyasztás érdekében, átfogal-mazve: mekkora az els® periódusbeli jószág második periódusbeli jószágban kifejezettára. A válasz: (1 + r2). Ekkora a pótlólagos els® periódusbeli fogyasztás alternatíva-költsége, azaz ennyi pótlólagos második periódusbeli terméket vásárolhatott volna az afogyasztó, aki a pótlólagos els® periódusbeli fogyasztási cikket inkább vagyoneszközrecseréli az (1 + r2) hozamot kínáló vagyonkezel®nél.

A fenti eredmény formálisan az (4) egyenlet C2-re való átrendezéséb®l azonnal látható.

C2 = (1 + r2)

(Y1 +

Y21 + r2

)− (1 + r2)C1, (5)

A korlát meredeksége − (1 + r2), ahol a negatív el®jel arra utal, hogy a pótlólagostermék megszerzése érdekében másik jószágból fogyasztott mennyiséget kell feláldozni,(1 + r2) pedig az els® periódusbeli termék második periódusbeli termékben kifejezettára.

Az intertemporális költségvetési korlát tartalmazza a fogyasztó kezdetikészleteit magába fogalaló jószágkosarat A 1. ábrán a D pont jelöli az ágenskezdeti jövedelem-kombinációját. A fogyasztó mindkét periódusban megteheti, hogyadott id®szaki készleteinek megfelel® fogyasztást eszközöl. Az a (C1, C2) jószágkosár,ahol

C1 = Y1

C2 = Y2

életpálya-jövedelem teljes elköltése mellett biztosan megvalósítható.

Az intertemporális költségvetési korlát vízszintes tengellyel való metszés-pontja (a 1. ábrán a B pont) megmutatja, mekkora lenne a fogyasztó els®periódusbeli fogyasztása, ha teljes életpálya-jövedelmét ebben az id®szak-ban szeretné felhasználni. A fogyasztó a második periódusbeli jövedelme terhéremaximálisan Y2

1+r2egységnyi hitelt képes felvenni, s ezen termékmennyiséget kiegé-

szítve az els® periódusban realizált Y1 jövedelemmel az els® periódusban

C1 = Y1 +Y2

1 + r2(6)

terméket fogyaszthat, ha valóban hajlandó teljesen a második periódusbeli fogyasztáslehet®ségér®l (C2 = 0).

Az intertemporális költségvetési korlát függ®leges tengellyel való metszés-pontja (a 1. ábrán az A pont)megmutatja, mekkora lenne a fogyasztó másodikperiódusbeli fogyasztása, ha teljes életpálya-jövedelmét a második id®szak-ban szeretné felhasználni. A fogyasztó az els® periódusbeli jövedelme befektetésé-vel a második periódusbeli jövedelmét Y2-t (1 + r2)Y1 mértékben képes kiegészíteni,

5



Y2

Y1

D

B

A

A’

B’

ábra 2. A kamatláb növekedésének hatásáraaz intertemporális költségvetési korlát me-redeksége növekszik. A kamatváltozás nemérinti azt a jószágkosarat, amely szerint afogyasztó minden periódusban az adott id®-szaki jövedelemnek megfelel® fogyasztást va-lósít meg (C1 = Y1;C2 = Y2), így a kezdetikészeleket reprezentáló D pontot az új, meg-változott meredekség¶ költségvetési egyenesis tartalmazza.



Y2

Y1

D

B

A

A’

B’

ábra 3. A kamatláb csökkenésének hatá-sára az intertemporális költségvetési korlátmeredeksége csökken. A kamatváltozás nemérinti azt a jószágkosarat, amely szerint afogyasztó minden periódusban az adott id®-szaki jövedelemnek megfelel® fogyasztást va-lósít meg (C1 = Y1;C2 = Y2), így a kezdetikészeleket reprezentáló D pontot az új, meg-változott meredekség¶ költségvetési egyenesis tartalmazza.

így életpálya-jövedelme teljes átcsoportosításával a második periódusben maximálisan

C2 = (1 + r2)Y1 + Y2 (7)

terméket fogyaszthat.

Az intertemporális költségvetési korlát alakját módosító tényez®k. A (5) , (6)és (7) összefüggések alapján a kamatláb, az els® periódusbeli exogén jövedelem, vala-mint a második periódusbeli exogén jövedelem változásának hatására megváltozik azintertemporális költségvetési korlát alakja.

A kamatláb növekedésének intertemporális költségvetési korlátra gyakorolt hatásátmutatja a 2. ábra, míg a kamatláb csökkenése a 3. ábrának megfelel® módon változ-tatja a költségvetési korlátot.

A kamatláb növekedése kett®s hatást fejt ki. Egyrészt növeli az els® periódusbelijószág második periódusbeli termékben kifejezett árát, így az új kamat mellett a fo-gyasztónak több második periódusbeli terméket kell feláldoznia annak érdekében, hogyegységnyivel növelhesse fogyasztását az els® periódusbeli termékb®l, mely geomeria-ilag a korlát meredekségének növekedését jelenti. Másrészt exogén jövedelem-folyam

6



Y2

Y1

D

B

A

A’

B’

D’

Y1,új

ábra 4. Az els® periódusbeli jövedelem nö-vekedése anélkül növeli a fogyasztó életpálya-jövedelemének jelenértékét, illetve jöv®beliértékét, hogy hatást gyakorolna a költség-vetési korlát meredekségére. Az intertem-porális költségvetési korlát tehát az eredeti-vel párhuzamosan jobbra tolódik. Miután amásodik periódusbeli jövedelem nem válto-zik, az eredeti készetállományt reprezentálóD pont helyett D' lesz a fogyasztó kezdetikészleteit magába foglaló jószágkosár.

mellett csökkenti az életpálya-jövedelem jelenértékét és növeli az életpálya-jövedelemjöv®beli értékét, így akkor, ha a fogyasztó teljes jövedelmét az els® periódusban kívánjafelhasználni, csökken a maximálisan vásárolható termékek mennyisége (a 2. ábrán a Bpont helyett a B' lesz a költségvetési egyenes vízszintes tengellyel való metszéspontja),illetve ha teljes jövedelmét a második periódusben szeretné termékek vásárlására for-dítani, növekszik az elérhet® termékek mennyisége (az A pont az A'-be tolódik). Azeredeti, és a kamatláb-változás után kialakuló költségvetési korlátnak egyetlen közöspontja van: a D pont. Ha a fogyasztó mindkét periódusban pontosan annyit fogyasz-tana, amennyi a rendelkezésre álló jövedelme (C1 = Y1 és C2 = Y2), akkor helyzetét akamatláb változása nem befolyásolná.

A kamatláb csökkenése a fentiekhez hasonló, de értelemszer¶en az ott leírtakhoz képestellentétes irányú változáshoz vezet. Az intertemporális költségvetési korlát meredek-sége csökken � kisebb lesz az els® periódusbeli termék második periódusbeli jószágbankifejezett ára. Ugyanakkor növekszik a fogyasztó életpálya-jövedelmének jelenértéke((Y1 + Y2

1+r2↓

)↑), azaz a 3. ábra B pontja a B'-be mozdul, és csökken az életpálya-

jövedelem jöv®beni értéke ((Y1 (1 + r2) ↓ +Y2) ↓), így a függ®leges tengellyel való met-széspont az A helyett A' lesz. Miután a C1 = Y1;C2 = Y2 helyzetet reprezentálójószágkosarat a kamatváltozás nem érinti, a költségvetési egyenes a D pont körül for-dul el balra.

Az els® periódusban realizált exogén jövedelem növekedésének az intertemporális költ-ségvetési korlátra gyakorolt hatását a 4 ábra mutatja, míg a jövedelem csökkenés a 5ábrán vázolt irányba mozdítja a költségvetési korlátot.

Az els® periódus jövedelme a fogyasztó életpálya-jövedelmének jelenértékét, és jöv®beliértékét is befolyásolja, így Y1 bármely irányú változása módosítja az intertemporálisköltségvetési korlát tengellyekkel való metszéspontját. Jövedelem növekedés eseténa metszéspontok kifelé tolódnak, míg a jövedelem csökkenése az origó felé tolja ametszépontokat. Nem módosul viszont az egyenes meredeksége, mert a meredekségetmeghatározó tényez®t, az els® periódusbeli termék második periódusbeli termékbenkifejetett árát (1 + r2) csak a kamatláb változása módosíthatná. Az intertemporálisköltségvetési korlát az eredetivel párhuzamosan mozdul el.

Érdemes meg�gyelni a kezdeti készletállományt reprezentáló D pont mozgását. A jöve-

7



Y2

Y1

D

B

A

A’

B’

D’

Y1,új

ábra 5. Az els® periódusbeli jövedelemcsökkenése anélkül csökkenti a fogyasztóéletpálya-jövedelemének jelenértékét, illetvejöv®beli értékét, hogy hatást gyakorolna aköltségvetési korlát meredekségére. Az inter-temporális költségvetési korlát tehát az ere-detivel párhuzamosan balra tolódik. Miutána második periódusbeli jövedelem nem válto-zik, az eredeti készetállományt reprezentálóD pont helyett D' lesz a fogyasztó kezdetikészleteit magába foglaló jószágkosár.

delem csak az els® periódusban változott, így a D pont Y2-nek megfelel® koordinátájaaz eredeti szinten marad, azaz a D pont vízszintesen mozdul el, jövedelem növekedésesetén jobbra, jövedelem csökkenés esetén balra.

Összefoglalva: az els® periódusbeli jövedelem növekedése az eredetivel párhuzamosanjobbra tolja a fogyasztó intertemporális költségvetési korlátját, míg az els® periódusbelijövedelem csökkenése az eredetivel párhuzamosan balra mozdítja azt.

A második periódusban realizált exogén jövedelem növekedésének az intertemporálisköltségvetési korlátra gyakorolt hatását a 6 ábra mutatja, míg a jövedelem csökkenéshatása a 7 ábrán látható.

A kamatláb nem változik, így nem változhat az intertemporális költségvetési kor-lát meredeksége sem. Az Y2 növekedése esetén a költségvetési egyenes az eredeti-vel párhuzamosan felfelé tolódik, míg a jövedelem csökkenése az eredetivel párhu-zamosan lefelé mozdítja azt. A második periódusbeli jövedelem része a fogyasztóéletpálya-jövedelmének, így annak növekedése megemeli az életpálya-jövedelem jelen-



Y2

Y1

D

B

A

A’

B’

D’Y2,új

ábra 6. A második periódusbeli jövede-lem növekedése anélkül növeli a fogyasztóéletpálya-jövedelemének jelenértékét, illetvejöv®beli értékét, hogy hatást gyakorolna aköltségvetési korlát meredekségére. Az inter-temporális költségvetési korlát tehát az ere-detivel párhuzamosan jobbra (felfelé) tolódik.Miután az els® periódusbeli jövedelem nemváltozik, az eredeti készetállományt reprezen-táló D pont helyett D' lesz a fogyasztó kezdetikészleteit magába foglaló jószágkosár.

8



Y2

Y1

D

B

A

A’

B’

D’Y2,új

ábra 7. A második periódusbeli jövede-lem csökkenése anélkül csökkenti a fogyasztóéletpálya-jövedelemének jelenértékét, illetvejöv®beli értékét, hogy hatást gyakorolna aköltségvetési korlát meredekségére. Az in-tertemporális költségvetési korlát tehát azeredetivel párhuzamosan balra (lefelé) to-lódik. Miután az els® periódusbeli jöve-delem nem változik, az eredeti készetállo-mányt reprezentáló D pont helyett D' lesza fogyasztó kezdeti készleteit magába foglalójószágkosár.

értékét((Y1 + Y2↑

1+r2

)↑)és jöv®beli értékét is (((1 + r2)Y1 + Y2 ↑) ↑), míg csökkenése

ellentétes irányú hatást fejt ki.

Az el®z® bekezdésben zárójelbe tett "felfelé", illetve "lefelé" kifejezések szerepeltetéseszándékos. A kezdeti készletállománynak (az ábrákon a D pont) csak a második pe-riódusbeli jövedelmet reprezentáló része változott, az els® id®szak exogén jövedelemeaz eredeti szinten maradt, így Y2 növekedése mellett a D pont függ®legesen mozdulfelfelé, Y2 csökkenése esetén pedig lefelé.

A következ® táblázatban összefoglaltuk az intertemporális költségvetési korlát alakjátmódosító tényez®ket, és azok hatását.

Hatás

Azintertemporálisköltségvetési

korlátmeredeksége


korlát vízszintestengellyel valómetszéspontja


korlátfüggõleges

tengellyel valómetszéspontja

Kezdetikészletet

reprezentálójószágkosár

Összefoglalva

Kamat növekedése meredekebb lesz balra mozdul felfelé mozdul nem változikA költségvetési korlát akezdeti készletállománykörül jobbra fordul.

Kamat csökkenése laposabb lesz jobbra mozdul lefelé mozdul nem változikA költségvetési korlát akezdeti készletállomány

körül balra fordul.

Elsõ periódusbeli jöve-delem növekedése

nem változik jobbra mozdul felfelé mozdul jobbra mozdul

A költségvetési korlát azeredetivel

párhuzamosan jobbratolódik.

Elsõ periódusbeli jöve-delem csökkenése

nem változik balra mozdul lefelé mozdul balra mozdul


párhuzamosan balratolódik.

Második periódusbeli jö-vedelem növekedése

nem változik jobbra mozdul felfelé mozdul felfelé mozdul


párhuzamosan felfelétolódik.

Második periódusbeli jö-vedelem csökkenése

nem változik balra mozdul lefelé mozdul lefelé mozdul


párhuzamosan lefelétolódik.

9

Optimális választás. A reprezentatív fogyasztó célja azon els®, illetve másodikperiódusbeli fogyasztás (fogyasztási pálya) kiválasztása, amely a (4) korlát mellettmaximalizálja a (1) alakban adott célt.

A problémát formálisan a Lagrange-módszert használva érdemes megoldani, ahol azúgynevezett Lagrange függvény a következ® formában adható meg:

L = célfüggvény + lagrange multiplikátor× (a korlát 0-ra rendezve)

azaz jelen esetben

L = u (C1) + βu (C2) + λ

(Y1 +

Y21 + r2

− C1 −C2

1 + r2

)(8)

ahol λ a Lagrange-multiplikátor.

A reprezentatív fogyasztó azt a C1, C2 kombinációt választja, amely mellett a Lagrangefüggvény döntési változók szerinti els® deriváltja 0-val lesz egyenl®, így az els®rend¶feltétel C1-szerint az alábbi formában adható meg:

uC1− λ = 0, (9)

míg a C2 szerinti a következ® alakot ölti:

βuC2− λ 1

1 + r2= 0. (10)

A Lagrange-multiplikátorra egy ideig nem lesz szükségünk, érdemes azt a (9) − (10)egyenletekb®l megfelel® átalakításokkal eliminálni. (9)−b®l kifejezve λ-t, és a kapottformulát visszahelyettesítve (10)-be átrendezés után az

uC1 = (1 + r2)βuC2 (11)

képlethez jutunk. (11)-t Euler egyenletnek hívjuk.

Az Euler egyenlet azt mutatja, hogy ha a fogyasztó egy pótlólagos els® id®szaki ter-mék sorsáról való döntés során két alternatívát mérlegelhet, akkor optimális választásmellett a két alternatívából származó póltólagos haszon nem különbözhet egymás-tól. Márpedig a fogyasztónak egy pótlólagos els® periódusbeli termék felhasználásátillet®en valóban két lehet®sége van.

1. Egyrészt elfogyaszthatja ezt a pótlóalgos terméket, mely lépés uC1 egységgelnövelné az életpálya hasznosságát ((11) egyenlet bal oldala).

2. Ha nem kívánja a pótlólagos terméket még az els® periódusban felhasználni,akkor elcserélheti azt egy vagyoneszközre, melynek kibocsátója � a vagyonkezel®� megígéri, hogy a második periódusban 1+r2 darab terméket ad vissza. Mindenegyes második periódusbeli termék βuC2

mértékben növeli a fogyasztó életpályahasznát, így 1 + r2 darab második periódusbeli termék (1 + r2)βuC2 nagyságúpótlólagos hasznot eredményez ((11) egyenlet jobb oldala).

A fogyasztónak egészen addig megéri a második alternatívát � fogyasztása második pe-riódusra való halasztását � választani, amíg úgy érzi, hogy abból magasabb pótlólagoshasznot szerezhet. Formálisan

uC1 < (1 + r2)βuC2 . (12)

10

A C1 csökkentése a negatív meredekség¶ határhaszon miatt növeli uC1-t, míg a má-

sodik periódusbeli fogyasztás növelése csökkenti az adott periódus határhasznát uC2-

t, így (12) bal és jobb oldala közti különbség a fogyasztás id®beli átcsoportosításamellett egyre kisebb lesz, s®t egy bizonyos C1, C2 kombináció mellett nullává válik.Ebben a pontban a fogyasztó elérte az optimumot, tovább nem cserél. Ha mégismegtenné, egy pótlólagos els® periódusbeli termék fogyasztásából származó határ-haszon nagyobbá válna, mint a második alternatíva választásából származó határ-haszon (uC1

> (1 + r2)βuC2), azaz a gazdasági szerepl® a cserével többet veszítene,

mint amennyit nyerne, így életpálya hasznossága csökkenne. Ez az eset egy racionálisfogyasztó számára elképzelhetetlen.

Az Eulet egyenlet önmagában még nem elég ahhoz, hogy a fogyasztó problémáját adottfeltételek mellett megoldjuk. A C1 és C2 nagyságának meghatározásához szükség vanaz intertemporális költségvetési korlátra is. (11) és (4) együtt alkotják a fogyasztóúgynevezett magatartási egyenleteit, azt a függvény-halmazt, amely megmutatja, hogya fogyasztó a döntése szempontjából exogén változók adott szintje mellett hogyandönt az általa meghatározni kívánt endogén változókról. A magatartási egyenletekformálisan mindig az adott gazdasági szerepl® problémájának megoldásához tartozóels®rend¶ feltételek és korlátok.

Miután az

uC1= (1 + r2)βuC2

Y1 +Y2

1 + r2= C1 +

C2

1 + r2

egyenletrendszerben (1 + r2) , Y1 és Y2 a fogyasztó problmája szempontjából exogén(adott és ismert) változók, e két egyenlet segítségével C1 és C2 nagysága egyértelm¶enmeghatározható.

A probléma geometriailag is ábrázolható. Olyan koordináta rendszerben dolgozunk,ahol a vízszintes tengelyen az els® periódus fogyasztását és jövedelmét mérjük, a füg-g®leges tengelyre pedig C2 és Y2 kerül. Az intertemporális költségvetési korlát egynegatív meredekség¶ egyenesként jeleníthet® meg (lásd 1 ábra). Azt is tudjuk, hogyaz ágensnek 1 + r2 darab második periódusbeli terméket kell feláldoznia ahhoz, hogyadott készletek mellett egy pótlólagos egységgel növelhesse els® periódusbeli termékb®lvaló fogyasztását (azaz az els® periódusbeli termék második periódusbeli termékbenkifejezett ára 1 + r2) megegyezik a költségvetési korlát meredekségének abszolút érté-kével.

A fogyasztó ízlésvilágát negatív meredekség¶ közömbösségi görberbékb®l álló rend-szer jellemzi, ahol a görbék által reprezentált hasznossági szint az origótól távolodvanövekszik. Az ágens a rendelkezésére álló források �gyelembevétele mellett kívánjaa hasznosságát maximalizálni, így azt a közömbösségi görbét keressük, amely éppenérinti az intertemporális költségvetési korlátot. Ett®l a közömbösségi görbét®l jobbraelhelyezked® közömbösségi görbék ugyan magasabb hasznosságot biztosító jószágkom-binációkat tartalmaznak, de ezek a jószágkosarak a fogyasztó számára az exogén válto-zók adott szintje mellett nem elérhet®k. A balra elhelyezked® közömbösségi görbékenlév® jószágkosarak választása pedig nem lenne optimális, hiszen létezik másik olyanjószágkosár, amely elérhet®, és magasabb hasznosságot biztosít. Az érintési pont jelöliki a fogyasztó számára optimális C1, C2 kombinációt.

A fenti gondolatmenetet mutatja a 8 ábra, ahol az optimális választás az A pont,amely mellett az intertemporális költségvetési korlátot éppen érinti a közömbösségi

11



C1

C2

A

D

Bábra 8. A fogyasztó optimális választása azA pont, ahol a közömbösségi görbe érinti azintertemporális költségvetési egyenest. A Bponttal jelölt jószágkosár ugyan magasabbhasznossági szintet biztosítana a fogyasztószámára, de adott jövedelem-folyam és ka-matláb mellett nem megvalósítható, a D pontválasztása pedig nem lenne racionális, mertvan olyan jószágkosár, amely magasabb hasz-nosságot eredményez, és ugyanúgy megvaló-sítható, mint a D pont.

görbe, így az A pontban az intertemporális költségvetési egyenes meredeksége pontosanmegegyezik a közömbösségi görbe meredekségével.

A közömbösségi görbe adott pontban vett meredeksége azt mutatja, hogy mennyi má-sodik periódusbeli fogyasztási cikkr®l kell lemondania a gazdasági szerepl®nek ahhoz,hogy egy pótlólagos els® periódusbeli termékkel a kiindulási pontnak megfelel® hasz-nossági szintet érje el. Más megfogalmazásban: hogyan tudja a fogyasztó hasznosságiszint változása nélkül helyettesíteni egymással a második és az els® periódusbeli ter-méket. Fromálisan az így de�niált helyettesítési határráta a következ® alakban adhatómeg:

MRS =dC2

dC1.

Követelmény az is, hogy a fogyasztó hasznossága a csere következtében ne változzon.Az U = u (C1) + βu (C2) formában felírt életpálya hasznossági függvényt els® fokonTaylor-sorba fejtve, és a kiindulási pontnak megfelel® hasznosságot kivonva (csak aváltozásra vagyunk kiváncsiak) az

uC1dC1 + βuC2

dC2 = 0

összefüggéshez jutunk, melyet átrendezve a helyettesítési határrátára adott összefüggésújrafogalmazható:

MRS =dC2

dC1= − uC1

βuC2

.

A költségvetési egyenes meredeksége azt mutatja meg, hogy mennyi második periódus-beli termékr®l kell a fogyasztónak lemondania annak érdekében, hogy adott készletekés kamatláb mellett egy pótlólagos els® periódusbeli terméket fogyaszthasson, azazmekkora az els® periódusbeli termék második periódusbeli termékben kifejezett ára.Miután a fogyasztó egy els® periódusbeli termék fogyasztásának kés®bbre való halasz-tásával (azaz vagyoneszközre való elcserélésével) 1 + r2 darab második periódusbelitermékhez jut hozzá, pontosan 1 + r2 darab második periódusbeli termékr®l kell le-mondania annak érdekében, hogy egy pótlólagos els® periódusbeli termékhez jusson.Atfogalmazva: ha az ágens az els® periódusban egységnyivel több jószágot akar fogyasz-tani, így egységnyi hitelt vesz fel, a következ® id®szakban 1 + r2 egységnyi tartozást

12

kell vissza�zetnie, azaz akkori készletéb®l 1 + r2 darab terméket kell feláldoznia. Aköltségvetési egyenes meredeksége tehát

dC2

dC1= − (1 + r2) .

Optimális választás mellett a helyettesítési határrátának meg kell egyeznie az inter-temporális költségvetési korlát meredekségével

uC1

βuC2

= (1 + r2) ,

amely összefüggés átrendezve a fogyasztó problémájának megoldáshoz tartozó els®-rend¶ feltétel, az Euler egyenletet ((11) egyenlet). Az a feltétel tehát, hogy a gazdaságiszerepl® egyik rendelkezésére álló alternatíva választásával sem növelheti jobban élet-pálya hasznosságát, geometriailag úgy jelenik meg, hogy a közömbösségi görbe és azintertemporális költségvetési korlát meredekségének meg kell egyeznie. És az az elvá-rás, hogy a fogyasztó az adott készletek és kamat mellett maximalizálja a hasznosságátmegköveteli, hogy az optimális választás legyen rajta az intertemporális költségvetésikorláton. Az Euler egyenlet (két görbe meredeksége megegyezik) (11) és az inter-temporális költségvetési korlát (érintési pont) (4) egyértelm¶en kijelöli a gazdaságiszerepl® számára maximális életpálya-hasznosságot biztosító jószág-kombinációt.

1.2. A vagyonkezel® problémája

A vagyonkezel® azt ígéri, hogy az általa megadott kamat mellett hajlandó a fogyasz-tótól vagyoneszközöket vásárolni (hajlandó a fogyasztónak hitelt nyújtani), és/vagyhajlandó a fogyasztónak vagyoneszközöket értékesíteni (hajlandó a fogyasztó megta-karításait kezelni). Ráadásul vagyoneszköz kínálata/kereslete tökéletesen rugalmas,azaz adott kamat mellett a fogyasztó igényei határozzák meg a vagyoneszközök tény-legesen forgalmazott mennyiségét.

A vagyonkezel®nek a fentieknek megfelel®en egyetlen feladata van a mesterséges gaz-daságunkban: rögzítenie kell a kamatot. A gazdasági szerepl® magatartási egyenletetehát a következ®:

1 + r2 = 1 + r (13)

Érdemes ismét hangsúlyozni, hogy a vagyoneszköz egy jöv®beli termékre szóló követe-lés, így

• amikor a vagyonkezel® vagyoneszközt vásárol a fogyasztótól, akkor terméket ada fogyasztónak, azaz megnöveli a gazdaságban létez® termékek kínálatát,

• amikor vagyoneszközt értékesít a fogyasztónak, a felkínált vagyoneszközért ter-mékek átadását várja a fogyasztótól, azaz keresletet támaszt a gazdaság termékeiiránt.

13

1.3. Piaci egyensúlyi feltételek

A mesterséges gazdaságot magatartási egyenletek és piaci egyensúlyi feltételek alkot-ják, így a két gazdasági szerepl® magatartásának jellemzésén túl szükségünk van annakformális leírására is, hogy mi történik modellünk két piacán: az árupiacon, illetve avagyoneszközök piacán.

Az árupiacon a rendelkezésre álló termék mennyiségének (kínálat) kell megegyeznie aziránta megnyilvánuló kereslettel. A t-edik periódusban (t lehet 1, vagy 2) Yt darab ter-mék van a gazdaságban. A fogyasztó ebb®l elfogyaszt Ct-t, a maradékot megtakarítja.Ha a megtakarítás pozitív, akkor a gazdasági szerepl® az Yt−Ct-nek megfelel® termék-mennyiséget a vagyonkezel®nél elcseréli reálkötvényre, azaz a vagyonkezel® Yt−Ct-nekmegfelel® mennyiség¶ terméket �fogyaszt�, ekkora nettó keresletet támaszt a termékekiránt. Jelöljük a vagyonkezel® által felhasznált els® periódusbeli termékek mennyiségétVt-vel. Ha a megtakarítás negatív, akkor a fogyasztó Ct−Yt nagyságú hitelt kénytelenfelvenni a vagyonkezel®t®l, azaz a vagyonkezel® Ct−Yt darab terméket ad a fogyasztóáltal kibocsátott reálkötvényekért. Vt ≡ Yt − Ct ebben az esetben is a vagyonkezel®nettó keresletét mutatja a t-edik periódusbeli termékek iránt, csak ennek értéke amegadott feltételek mellett már negatív.

Az árupiaci egyensúlyi feltételnek azt kell megmutatnia, hogy az adott periódusbanrendelkezésre álló termékeket ki, milyen mértékben használja fel, így az els®, illetve amásodik periódus piaci egyensúlyi feltételei a következ® alakban adhatók meg:

Y1 = C1 + V1, illetve (14)

Y2 = C2 + V2. (15)

A vagyoneszközök piacán a fogyasztó és a vagyonkezel® cserél vagyoneszközt termékre.Ha a fogyasztó az els® periódusban megtakarít, akkor B2 egységnyi keresletet támasztvagyoneszközök iránt, azaz B2 darab terméket hajlandó feláldozni annak érdekében,hogy a vagyonkezel® által kibocsátott eszközhöz hozzájusson. A vagyonkezel® pedighajlandó V1 darab terméket "elfogadni" a fogyasztótól, ennyi vagyoneszközt bocsát ki(kínálat). A vagyoneszköz piaci egyensúlyt ebben az id®szakban a

V1 = B2 (16)

egyenlet adja meg. Ha a fogyasztó hitelfelvev®, a (16) egyenlet továbbra is fennáll,csak a kereslet és kínálat fogalma cserél®dik meg. A fogyasztó bocsátja ki az eszközt(kínálat), és a vagyonkezel® hajlandó azokat megvásárolni (kereslet) V1 darab els®periódusbeli terméket �zetve értük.

A második periódusban az a fogyasztó, aki az els® id®szakban megtakarított, (1 + r2)B2

jövedelemre számíthat els® periódusbeli befektetései után. A vagyonkezel® pedighajlandó V2 darab második periódusbeli terméket feláldozni annak érdekében, hogyvisszavásárolja a fogyasztónál lév® eszközöket. A vagyoneszközök piacán az egyensúlytebben a periódusban az

(1 + r2)B2 = V2 (17)

összefüggés biztosítja. Ha a fogyasztó az els® periódusban hitelfelvev® volt akkor avagyoneszközök piacán továbbra is (17) írja le az egyensúlyi helyzetet, csak a keresletiés kínálati oldal felcserél®dik.

14

1.4. A modell egyenletei

A modellt magatartási egyenletek, és piaci egyensúlyi feltételek alkotják, így a fo-gyasztó, és a vagyonkezel® magatartását jellemz® (4) , (11) és (13) mellett az árupiaconés a vagyoneszközök piacán zajló folyamatokat leíró (14) , (15) , (16) és (17) egyenle-tek adják meg azt a rendszert, amely alapján a következ® endogén változók értékekiszámítható:

1. fogyasztás az els® periódusban C1,

2. fogyasztás a második periódusban C2,

3. kamat 1 + r2,

4. els® periódusbeli vagyonfelhalmozás B2,

5. második periódusbeli vagyonfelhalmozás (1 + r2)B2,

6. a vagyonkezel® nettó kereslete az els® periódusbeli termék iránt V1,

7. a vagyonkezel® nettók kereslete a második periódusbeli termék iránt V2.

A modell egyenletei összefoglalva:

uC1 = (1 + r2)βuC2

Y1 +Y2

1 + r2= C1 +

C2

1 + r21 + r2 = 1 + r

Y1 = C1 + V1

Y2 = C2 + V2

B2 = V1

V2 = (1 + r2)B2

Érdemes észrevenni, hogy a kamatot a harmadik egyenlet rögzíti, így exogén jövedelem-folyam mellett C1 és C2 az els® két egyenletb®l kiszámítható. Az eredményeket fel-használva a negyedik és ötödik egyenlet adja a vagyonkezel® nettó keresletét. Végülaz utolsó két egyenlet a fogyasztó vagyonfelhalmozásáról szolgáltat kvantitatív infor-mációkat.

2. Az optimális választást módosító események

Releváns gazdasági kérdések megválaszolása során leginkább arra vagyunk kiváncsiak,mely tényez®k hatására változik a fogyasztó fogyasztási pályája, és az adott tényez®milyen irányban és milyen mértékben befolyásolja az optimális választást.

Az Euler egyenlet és az intertemporális költségvetési korlát egyértelm¶en meghatá-rozta mekkora lesz a gazdasági szerepl® kereslete az els®-, illetve második periódusbelitermékek iránt. Így azok a fogyasztó problémája szempontjából exogén változók, és

15



Y2

Y1C1

C2 A

B

J

D

Y1,újC1,új

C2,újH

FG

E

K

ábra 9. Az els® periódusban realizált jöve-delem növekedése az eredetivel párhuzamo-san jobbra tolja az intertemporális költség-vetési korlátot, így módosult a fogyasztó op-timális választása. Az életpálya hasznosságmaximumát biztosító jószágkoság a B pont-nak megfelel® (C1;C2) kombináció lesz. Azalapesethez képest mind az els® periódus fo-gyasztása, mind a második periódus fogyasz-tása növekedett. Az els® periódusban a jö-vedelem növekedés mértéke meghaladja a fo-gyasztás változását, így a fogyasztó els® peri-ódusbeli megtakarítása az alapesethez képestnövekszik.

paraméterek, amelyek befolyásolják a fogyasztó intertemporális költségvetési korlát-jának, valamint életpálya hasznossági függvényének az alakját, hatással lesznek azoptimális választásra is. Módosul a fogyasztási pálya, ha

1. megváltozik a fogyasztó els® periódusban realizált jövedeleme Y1,

2. megváltozik a fogyasztó második periódusban realizált jövedeleme Y2,

3. a vagyonkezel® az eredetit®l eltér® szinten rögzíti a kamatlábat 1 + r2,

4. illetve megváltozik a fogyasztó id®preferenciáját jellemz® β paraméter.

2.1. Az els® periódusbeli jövedelem változásának hatása

Ha növekszik az fogyasztó els® periódusbeli jövedeleme, akkor növeszik a fogyasztóéletpálya-jövedelmének jelenértéke is, így a haszonmaximalizáló fogyasztó az els® pe-riódusban többet költ. Kiadásai között megjelenik a fogyasztás és a vagyoneszközvásárlás is. Az életpálya-jövedelem jelenértékének növekedése a normális ízlésvilággalrendelkez® gazdasági szerepl®t mindkét kiadási tétel megemelésére ösztönzi. Növek-szik tehát az els® periódusbeli termék iránti fogyasztási kereslet, és miután növekszika megtakarítás (vagy csökken a felvett hitel). A megtakarítás révén emelked® másodikperiódusbeli források hatására növekszik C2.

A gazdasági esemény hatását mutatja a 9. ábra. Az els® periódusbeli jövedelemszintjének emelkedése az eredetivel párhuzamosan jobbra tolja az intertemporális költ-ségvetési korlátot (a kezdeti készletállomány az E pontból a D pontba mozdul), így akorábbi feltételek mellett választani kívánt A jószágkosarat ugyan a fogyasztó továbbrais megengedheti magának, de már nem tartja optimálisnak. Az új költségvetési egye-nes egy magasabb hasznosságot reprezentáló közömbösségi görbét érint. Ez az érintésipont (B pont) lesz lesz az új optimális választás. A B pont az eredeti feltételek mel-lett választani kíván A jószágkosárhoz képest több els® periódusbeli terméket és többmásodik periódusbeli terméket tartalmaz (az els® periódusbeli fogyasztás változásátmutatja a G szakasz, míg a második periódusbeli fogyasztás a H szakasznak megfelel®mértékben változik).

16



Y2

Y1 C1

C2

ABE

K

C2,új

C1,újY1,új

H

GF

J

D

ábra 10. Az els® periódusban realizált jöve-delem növekedése az eredetivel párhuzamo-san jobbra tolja az intertemporális költség-vetési korlátot, így módosult a fogyasztó op-timális választása. Az életpálya hasznosságmaximumát biztosító jószágkoság a B pont-nak megfelel® (C1;C2) kombináció lesz. Azalapesethez képest mind az els® periódus fo-gyasztása, mind a második periódus fogyasz-tása növekedett. Az els® periódusban a jö-vedelem növekedés mértéke meghaladja a fo-gyasztás változását, így a fogyasztó els® pe-riódusban felhalmozott adósságállománya azalapesethez képest csökken.

Az ábrát úgy készítettük, hogy a jellemzett ágens az eredeti jövedelmi viszonyok mel-lett az els® id®szakban kevesebbet fogyasztott, mint az adott periódusban realizált jö-vedelme, azaz els® periódusbeli megtakarítása pozitív (vagyoneszközt vásárol B2 > 0).Az Y1 növekedésének hatására a fogyasztó megemeli minden els® periódusbeli kiadásitételét, így növekszik a megtakarítása is (B2 ↑). Az ábrán is jól látható, hogy a jöve-delem változást reprezentáló F szakasz nagyobb, mint a fogyasztás változást mutató Gszakasz, így az új megtakarítási szint (K szakasz) is meghaladja az alapesethez tartozómegtakarítást (J szakasz).

A 10. ábrán az Y1 növekedésének egy olyan fogyasztóra gyakorolt hatását mutatjukbe, aki az eredeti jövedelmi viszonyok mellett hitelt vett volna fel az els® periódusban(vagyoneszközt értékesít B2 < 0). Az Y1 növekedése az ® kiadásait is növeli, s®t, mi-tuán az ágens a pótlólagos jövedelemnek csak bizonyos hányadát költi fogyasztásra (ajövedelem változást mutató F szakasz továbbra is nagyobb, mint a fogyasztás változástjellemz® G szakasz), a felvett hitelek mennyisége csökken. A �megtakarítás� (B2) tehátebben az esetben is növekszik, de a B2 egy negatív szám, így ennek növekedése aztjelenti, hogy a fogyasztó által éerékesített vagyoneszközök mennyisége � a fogyasztóáltal felvett hitelek nagysága � csökken. A felvenni kívánt hitelek eredeti nagyságátmutataja a J szakasz. Ezt a tételt az els® id®szak jövedelmének növekedése biztosancsökkenti (az új hitelmennyiség a K szakasznak megfelel®).

Az els® periódus jövedelmének csökkenése a fentiekkel ellentétes irányú változást okoz.

Érdemes kiemelni, hogy az els® periódus jövedelmének változása nem csak az els®periódus fogyasztási szintjét módosította, hatással volt a második periódusbeli fo-gyasztásra is. A múlt tehát számít: az életpálya mentén optimalizáló ágens korábbidöntései befolyásolják az aktuális döntési környezetet, így magát a döntést is.

Az alábbi táblázatban összefoglaltuk az els® periódusbeli jövedelem változásának en-dogén változókra gyakorolt hatását:

17

HatásMi történik azintertemporális

költségvetési korláttal?

Hogyan változikaz elsõ periódusfogyasztása?

Hogyan változika másodikperiódus

fogyasztása?

Hogyan változika fogyasztóáltal realizált

haszon?

Mi történik afogyasztó elsõperiódusbeli

megtakarításá-val?

Az elsõ periódusbelijövedelem növekszikés alapesetben az elsõperiódus megtakarításapozitív lett volna.

Az eredetivelpárhuzamosan jobbra

tolódik.Növekszik. Növekszik. Növekszik. Növekszik.

Az elsõ periódusbeli jö-vedelem csökken és alap-esetben az elsõ perió-dus megtakarítása pozi-tív lett volna.

Az eredetivelpárhuzamosan balra

tolódik.Csökken. Csökken. Csökken. Csökken.

Az elsõ periódusbelijövedelem növekszikés alapesetben az elsõperiódus megtakarításanegatív lett volna.

Az eredetivelpárhuzamosan jobbra

tolódik.Növekszik. Növekszik. Növekszik. Növekszik.

Az elsõ periódusbeli jö-vedelem csökken és alap-esetben az elsõ perió-dus megtakarítása nega-tív lett volna.

Az eredetivelpárhuzamosan balra

tolódik.Csökken. Csökken. Csökken. Csökken.

A múlt számít: az életpálya mentén optimalizáló ágens korábbi döntései befolyásolják az aktuális döntést.

2.2. A második periódusbeli jövedelem változásának hatása � várt ese-mény

Ha az alapesethez képest növekszik a fogyasztó második periódusban realizált jöve-delme, és erre a változásra a gazdasági szerepl® számított, akkor az életpálya jövedelemjelenértékének növekedése miatt növekszik mindkét periódus fogyasztása. Az életpályajövedelem pozitív irányú változása ugyanis már az els® periódusban arra készteti a fo-gyasztót, hogy a jöv®beli magasabb várható jövedelme terhére növelje els® periódusbelifogyasztását. Ha alapesetben az els® periódusban pozitív megtakarítása volt (vagyon-eszközt vásárolt, B2 > 0), akkor a változás hatására a gazdasági szerepl® csökkenti ezenmegtakarítások szintjét, ha alapesetben hitelt volt kénytelen felvenni (vagyoneszköztértékesített ki, B2 < 0), akkor adósság-állományának nagysága növekszik.

A fenti gondolatmenetet szemlélteti a 11 és a 12 ábra. A második periódusbeli jövede-lem növekedése mindkét ábrán az eredetivel párhuzamosan jobbra (felfelé) mozdítja azintertemporális költségvetési korlátot (az alapeset kezdeti készeteit mutató E pont he-lyett D pont jelöli ki a kezdeti készletállománynak megfelel® jövedelem-kombinációt).A korábban optimálisnak tartott A jószágkosár továbbra is elérhet® a fogyasztó szá-mára, de ezt választva már nem maximalizálja hasznosságát. Az új optimális választásaz új intertemporális költségvetési korlát és egy magasabb hasznossági szintet repre-zentáló közömbösségi görbe érintési pontjának megfelel® jószágkosár lesz (az ábrákonez a B pont). A B kosár az alapesetbeli optimális választásnál több els® periódusbelifogyasztási cikket és több második periódsubeli fogyasztási cikket tartalmaz (G és Hszakasz reprezentálja a fogyasztás változását).

A fogyasztó els® periódusbeli fogyasztása az els® periódusban realizált jövedelem nö-vekedése nélkül növekszik, így a fogyasztó ebben az id®szakban kénytelen csökkenteni

18



Y2

Y1C1

C2 A

B

E

DY2,új

C1,új

C2,újH

F

G

J

K

ábra 11. A második periódusban realizáltjövedelem növekedése az eredetivel párhuza-mosan jobbra tolja az intertemporális költ-ségvetési korlátot, így módosult a fogyasztóoptimális választása. Az életpálya hasznos-ság maximumát biztosító jószágkoság a Bpontnak megfelel® (C1;C2) kombináció lesz.Az alapesethez képest mind az els® perió-dus fogyasztása, mind a második periódusfogyasztása növekedett. Az els® periódusbannem változik a fogyasztó jövedelme, növek-szik viszont a fogyasztása, így a fogyasztóels® periódusbeli megtakarítása az alapeset-hez képest csökken.



Y2

Y1 C1

C2

AB

E

D

C2,új

C1,új

Y2,új

H

G

F

K

J

ábra 12. A második periódusban realizáltjövedelem növekedése az eredetivel párhuza-mosan jobbra tolja az intertemporális költ-ségvetési korlátot, így módosult a fogyasztóoptimális választása. Az életpálya hasznos-ság maximumát biztosító jószágkoság a Bpontnak megfelel® (C1;C2) kombináció lesz.Az alapesethez képest mind az els® perió-dus fogyasztása, mind a második periódusfogyasztása növekedett. Az els® periódusbannem változik a fogyasztó jövedelme, növek-szik viszont a fogyasztása, így a fogyasztóels® periódusban felhalmozott adósságállo-mánya az alapesethez képest növekszik.

19

megtakarításait (a 11 ábrán J szakasz helyett K szakasz mutatja a megtakarításoknagyságát), vagy növelni adósságállományát (a 12 ábrán a J szakasz helyett az Kszakasz mutatja a felvett hitelek állományát).

A második periódusbeli jövedelem csökkenése a fent vázolt folyamatokkal ellentétesirányú változásokhoz vezet.

Fontos hangsúlyozni, hogy a fogyasztó egy második periódusbeli jövedelem-változáshatására módosította els® periódusbeli fogyasztásának és vagyoneszköz felhalmozásá-nak értékét. Az adott periódusban hozott döntéseket (a gazdasági szerepl® magatartá-sát) tehát nem csak a múltbeli események befolyásolják, hanem a jöv®beli folyamatok-ról alkotott elképzelés is. A várakozások számítanak. S®t a várakozások jelen esetbenracionálisak, ahol a "racionális" jelz® arra vonatkozik, hogy a gazdasági szerepl® amegváltozott információk alapján a céljainak és a korlátainak megfelel®en módosítjadöntését.

A fenti eredményeket az alábbi táblázatban foglaltuk össze:





fogyasztása?


haszon?



A második periódusbelijövedelem növekszik ésalapesetben az elsõ pe-riódus megtakarítása po-zitív lett volna.

Az eredetivelpárhuzamosan felfelé

tolódik.Növekszik. Növekszik. Növekszik. Csökken.

A második periódusbelijövedelem csökken ésalapesetben az elsõperiódus megtakarításapozitív lett volna.

Az eredetivelpárhuzamosan lefelé

tolódik.Csökken. Csökken. Csökken. Növekszik.

A második periódusbelijövedelem növekszik ésalapesetben az elsõ pe-riódus megtakarítása ne-gatív lett volna.


tolódik.Növekszik. Növekszik. Növekszik. Csökken.

A második periódusbelijövedelem csökken ésalapesetben az elsõperiódus megtakarításanegatív lett volna.


tolódik.Csökken. Csökken. Csökken. Növekszik.

A jövõ számít: az életpálya mentén optimalizáló ágens jövõbeli eseményekre vonatkozó várakozásai befolyásoljákaz aktuális döntést.

2.3. A második periódusbeli jövedelem változásának hatása � váratlanesemény

Az el®z® szakaszban feltételeztük, hogy a fogyasztó el®re látja második periódusbelijövedelmének alakulását. Más lesz az optimális fogyasztási pálya, ha a második pe-riódusbeli jövedelem változására a gazdasági szerepl® nem számít, azaz a másodikperiódusban a gazdaságot pozitív, vagy negatív jövedelmi sokk éri.

20



Y2

Y1C1

C2 A

B

E

DY2,új

C2,új

H

F

J

K

ábra 13. Amennyiben a fogyasztó a máso-dik periódusbeli jövedelem növekedésére nemszámít, els® periódusbeli fogyasztása nemkülönbözik az alapeset els® periódusbeli fo-gyasztásától, amelyet az A pontnak megfe-lel® C1 szint mutat. A második periódus-beli jövedelem-növekedés így teljes egészébena második periódusbeli fogyasztásban csapó-dik le (F szakasz megegyezik a H szakasszal),azaz a fogyasztó a K pontnak megfelel® fo-gyasztási kosarat választja. Érdemes meg-�gyelni, hogy ha a jövedelem-változásról afogyasztó már az els® periódusban értesül,akkor számára a B ponttal jelölt fogyasz-tási cikk-kombináció lett volna az optimális,amely magasabb hasznossági szintet képvisel,mint a jelenleg választott K pont.



Y2

Y1 C1

C2

AB

E

D

C2,új

Y2,új

H

F

K

J

ábra 14. Az el®z® ábrán bemutatott hely-zethez nagyon hasonló alakul ki akkor is,ha a fogyasztó alapesetben az els® periódus-ban hitelfelvev®ként lép fel. Miután a má-sodik periódusbeli jövedelem-változásról nemtud, az els® periódus fogyasztási szintje nemkülönbözik az alapesetben optimális C1-t®l.A második periódusbeli jövedelem-növekedésitt is teljes egészében a második periódusbelifogyasztásban csapódik le (F szakasz meg-egyezik a H szakasszal), azaz a fogyasztóa K pontnak megfelel® fogyasztási kosaratválasztja. Ebben az esetben is meg�gyel-het®, hogy az információ hiány hasznosság-csökkenésben mérhet® költséget okoz a gaz-dasági szerepl®nek, mert ha az Y2 növe-kedésér®l már az els® periódusban tudottvolna, nem a K, hanem a nagyobb hasznos-sági szintet képvisel® B pontot tartotta volnaoptimálisnak.

A fogyasztó továbbra is teljes információhalmaz alapján, céljait és korlátait �gye-lembevéve dönt (máshogy megfogamazva: racionális várakozásokkal jellemezhet®), deaz els® periódusban még nem rendelkezik olyan információval, amely alapján arrakövetkeztethetne, hogy a második periódusban valamilyen jövedelem-változással kellmajd szembenéznie, így a kezdetben optimálisnak vélt fogyasztási-megtakarítási pályamegegyezik az alapeset fogyasztási-megtakaítási pályájával, s a második periódusbelijövedelem változása kizárólag a második periódus fogyasztásában csapódik majd le.

Ezt mutatja a 13 és a 14 ábra.

Míg a 13 ábra alapesete egy olyan fogyasztót jellemez, aki az els® periódusban ke-vesebbet fogyaszt, mint a rendelkezésre álló jövedelme, így képes vagyoneszközöketfelhalmozni, a 14 ábrával jellemzett gazdasági szerepl® az els® periódus jövedelmétmeghaladó fogyasztási szintet csak hitel felvételével tudja fedezni. Mindkét ábrán azA pont jelöli a kezdeti optimális választásnak megfelel® jószágkosarat és E pont a kez-

21

deti készletek állományát. A második periódusbeli jövedelem változása a fogyasztótváratlanul éri (a készleteket reprezentáló jószágkosár E-b®l D-be mozdul). Az els®periódusbeli folyamatok azonban már lezajlottak. Utólag a fogyasztó sem a C1 sem afelhalmozott vagyon, vagy a felvett hitelek állományának módosítására nem képes. Y2emelkedésére egyetlen döntési változója módosításával reagálhat: megváltoztathatjaa második periódusbeli fogyasztást. Az is könnyedén belátható, hogy C2 pontosan ajövedelem változásának megfelel® mértékben emelkedik, azaz ∆Y2 � mindkét ábrán azF szakasz � pontosan megegyezik ∆C2-vel � amit az ábrákon a H szakasz reprezentál.A gazdasági szerepl® a K pontnak megfelel® (C1;C2) kombinációt fogyasztja.

Érdemes észrevenni, hogy ha a fogyasztó a második periódusbeli jövedelem emelke-désér®l el®re tudott volna, akkor az új optimális választás a B pont lehetett volna,amely a K jószágkosárnál magasabb hasznossági szint elérését tette volna lehet®vé.Az információhiány hasznosság-csökkenésben megjelen® költséget okoz.

A második periódusbeli jövedelem váratlan csökkenése (negatív jövedelmi sokk) a fen-tiekkel ellentétes irányú változásokat eredményezne.

A második periódusbeli exogén jövedelemi sokk endogén változókra gyakorolt hatásátfoglalja össze a következ® táblázat:





fogyasztása?


haszon?



A második periódusbelijövedelem váratlanul nö-vekszik és alapesetbenaz elsõ periódus meg-takarítása pozitív lettvolna.


tolódik.Nem változik. Növekszik. Növekszik. Nem változik.

A második periódusbelijövedelem váratlanulcsökken és alapesetbenaz elsõ periódus meg-takarítása pozitív lettvolna.


tolódik.Nem változik. Csökken. Csökken. Nem változik.

A második periódusbelijövedelem váratlanul nö-vekszik és alapesetbenaz elsõ periódus meg-takarítása negatív lettvolna.


tolódik.Nem változik. Növekszik. Növekszik. Nem változik.

A második periódusbelijövedelem váratlanulcsökken és alapesetbenaz elsõ periódus meg-takarítása negatív lettvolna.


tolódik.Nem változik. Csökken. Csökken. Nem változik.

A jövõ számít: az életpálya mentén optimalizáló ágens jövõbeli eseményekre vonatkozó várakozásai befolyásoljákaz aktuális döntést.

22



Y2

Y1C1

C2 A

B

F

Y1,újC1,i

C2,i

E

D

C1,p

Y2,új

C2,p

G

ideiglenes

permanens

permanens

ábra 15. Mind a permanens, mind az ide-iglenes jövedelem emelkedése jobbra toljaaz intertemporális költségvetési korlátot, depermanens esetben az eltolódás mértéke na-gyobb, mert itt az életpálya-jövedelemfolyammindkét eleme megváltozik, ellentétben azideiglenes jövedelemváltozással, ahol csak azels® periódus készletei módosulnak. Az alap-eset kezdeti készletállományát reprezentáló Epont ideiglenes jövedelemváltozás esetén azF pontnak megfelel® helyre tolódik, míg per-manens jövedelemváltozás mellett a G pontreprezentálja majd az új készletállományt.

2.4. Ideiglenes versus tartós jövedelemváltozás

A fogyasztás változásának iránya tekintetében mindegy, hogy a jövedelem csak egyperiódusban, vagy permanens módon növekszik, vagy csökken. Az optimális jószágko-sárra gyakorolt mennyiségi hatás azonban eltér®. A tartós jövedelemváltozás életpályajövedelemre gyakorolt er®teljesebb hatása miatt a két periódus fogyasztásának válto-zása permanens jövedelemváltozás esetén nagyobb lesz, mint ideiglenes jövedelemvál-tozás mellett, így általánosan elmondható, hogy míg az ideiglenes jövedelemváltozáshatása inkább a megtakarításban, addig a permanens jövedelemváltozás hatása inkábba fogyasztásban csapódik le.

Az 15. ábra alapján mind a jövedelem tartós növekedése, mind az ideiglenes jöve-delem emelkedés jobbra tolja az intertemporális költségvetési korlátot. Az eltolódásmértéke azonban nem azonos. Ideiglenes jövedelemváltozás esetén csak az els® perió-dus jövedelme módosult (a kezdeti készleteket reprezentáló pont E-b®l F-be tolódott),míg a permanens jövedelemváltozás megemeli mindkét periódus jövedelmét (a kezdetikészleteket tartalmazó jószágkosarat E helyett G testesíti meg).

Permanens jövedelemváltozás esetén a költségvetési korlát nagyobb mérték¶ eltolódásaaz eredményezi, hogy az új optimális választás � melyet az 16. ábrán a D jószágkosármutat � az ideiglenes változást feltételez® esethez képest több els®-, illetve másodikperiódusbeli fogyasztási cikket tartalmaz, így elfogyasztásával a gazdasági szerepl® ma-gasabb életpálya hasznosságot realizál. Az ábrán az is látszik, hogy mind az ideiglenes,mind a permanens jövedelemváltozás megemeli a fogyasztási pálya mindkét eleménekszintjét, de a változás mértéke permanens jövedelemváltozás esetén nagyobb.

A jövedelem permanens emelkedése az ideiglenes jövedelemváltozás esetéhez képestvalóban nagyobb mérték¶ fogyasztás változáshoz vezet, de hogyan módosítja az els®periódus megtakarításainak értékét? A 17. ábrán azon feltételezés mellett vázoltuk afogyasztó problémáját, hogy ideiglenes jövedelem változás esetén az els® periódusbanrendelkezésre álló készletek növekedtek, és a változás nagysága pontosan megegyezika tartós jövedelemváltozás esetében meg�gyelt els® periódusbeli készletváltozással. A∆Y1 tehát mindkét esetben ugyanakkora, a ∆C1 viszont permanens jövedelemváltozás

23



Y2

Y1C1

C2 A

B

F

Y1,újC1,i

C2,i

E

D

C1,p

Y2,új

C2,p

G

ideiglenes

permanens

perm

anen

s

ideiglen

es

ábra 16. A permanens jövedelemváltozáséletpálya-jövedelem jelenértékére gyakorolter®teljesebb határsa miatt C1 jobban növek-szik permanens jövedelemváltozás mellett,mint az ideiglenes jövedelemváltozás esetén.Az ábrán C1,i−C1 szakasz mutatja az ideigle-nes jövedelemváltozás által kiváltott fogyasz-tás emelkedést, míg C1,p − C1 a permanensjövedelemváltozás fogyasztásra gyakorolt ha-tását reprezentálja. C1,p − C1 > C1,i − C1.



Y2

Y1C1

C2 A

B

F

Y1,újC1,i

C2,i

E

D

C1,p

Y2,új

C2,p

G

megtakarítás ideiglenes változás mellett

megtakarítás permanens változás mellett

ábra 17. Miután Y1mind permanens, mindideiglenes jövedelemváltozás esetén azonosmértékben változott, az el®z® ábrán is ki-emelt nagyobb fogyasztás-változás perma-nens jövedelemváltozás mellett kisebb meg-takarítás változást eredményez.

24

mellett nagyobb, így ideiglenes jövedelemváltozás mellett a

∆Y1,tartós = ∆C1,tartós + ∆B2,tartós

∆Y1,ideiglenes = ∆C1,ideiglenes + ∆B2,ideiglenes

∆Y1,tartós = ∆Y1,ideiglenes

∆C1,tartós > ∆C1,ideiglenes

összefüggéseket szem el®tt tartva a vagyoneszközök változása (megtakarítás) csak na-gyobb lehet

∆B2,tartós < ∆B2,ideiglenes.

Az ábra alapján ideiglenes jövedelemváltozás mellett a megtakarítást az Y1,új − C1,i

különbség adja, míg permanens jövedelemváltozás mellett a fogyasztó Y1,új − C1,p

betétet helyez el a vagyonkezel®nél. Egyértelm¶en látszik, hogy

Y1,új − C1,i > Y1,új − C1,p,

azaz teljesül, hogy az ideiglenes jövedelemváltozás hatása általában a megtakarításban,míg permanens jövedelemváltozás hatása általában a fogyasztásban csapódik le.

2.5. A kamat változásának hatása

A kamat változása módosítja az el®s periódusbeli fogyasztási cikk második periódus-beli jószágban kifejezett árát, illetve ennek reciprokát: azt az árarányt, amely meg-mutatja, hogy els® periódusbeli termékben kifejezve mennyibe kerül a fogyasztónakegy pótlólagos második periódusbeli jószág adott jövedelemfolyam melletti elfogyasz-tása. Emelked® kamatláb (de adott kezdeti készletállomány) mellett a fogyasztónaktöbb második periódusbeli termékr®l kell lemondania annak érdekében, hogy egy pót-lólagos egységgel növelhesse az els® periódusbeli jószágból elfogyasztott mennyiséget,míg alacsonyabb kamatláb csökkenti a pótlólagos els® periódusbeli jószág érdekébenfeláldozandó második periódusbeli termékek mennyiségét. Formálisan

relatív ármásodik periódusbeli termék

els® periódusbeli termék

= 1 + r,

így

1. ha 1+r ↑, az els® periódusbeli termék második periódusbeli termékben kifejezettrelatív ára ↑, illetve

2. ha 1+r ↓, az els® periódusbeli termék második periódusbeli termékben kifejezettrelatív ára ↓ .

A fenti állítás reciproka is igaz, ha a fogyasztó a kamatláb növekedésével szembesül,adott jövedelem folyam mellett egyre kevesebb els® periódusbeli jószágot kell adniaegy pótlólagos második periódusbeli jószágért, alacsonyabb kamatláb mellett pedig akorábbinál több els® periódusbeli terméket lesz képes elcserélni egy pótlólagos másodikperiódusbeli jószágra.

relatív ár els® periódusbeli termék

második periódusbeli termék

=1

1 + r,

így

25

1. ha 1 + r ↑, a második periódusbeli termék els® periódusbeli jószágban kifejezettrelatív ára ↓, illetve

2. ha 1 + r ↓, a második periódusbeli termék els® periódusbeli jószágban kifejezettrelatív ára ↑ .

A kamat változása a relatív ár változás miatt a fogyasztót a fogyasztás id®beli átrende-zésére készteti. A változás nagysága, és annak iránya azonban két további tényez®t®lis függ

1. mennyire türelmes, vagy türelmetlen a fogyasztó, azaz mekkora az életpályahasznossági függvényben megjelen® β paraméter,

2. illetve mekkora és milyen irányú a kamatlábváltozás miatt fellép® jövedelmi ha-tás.

Személyes diszkont faktor. Míg 11+r egyfajta relatív árat, azaz piaci diszkont

faktort jelöl, és azt mutatja meg, mennyi els® periódusbeli terméket kell a fogyasztónakfeláldoznia egy pótlólagos második periódusbeli termék érdekében, a β paramétertszemélyes olyan diszkont faktorként vezettük be, amely megmutatja, hogy a fogyasztómennyi els® periódusbeli termékr®l akar lemondani annak érdekében, hogy második

periódusbeli termékeket fogyasszon(βuC2

uC1

). Nagyobb β mellett a fogyasztó számára

értékesebbek a jöv®beli folyamatok, így hajlandó lesz több els® periódusbeli termékfogyasztását feladni egy pótlólagos második periódusbeli jószágért. A kétfajta diszkontfaktor közti nagyságrendi viszony három lehet®séget jelöl ki.

1. A piaci diszkont faktor meghaladja a személyes diszkont faktort(

11+r > β

).

Ebben az esetben adott jövedelem és adott árak mellett a fogyasztónak többels® periódusbeli terméket kell elcserélnie második periódusbeli termékre, mintamennyit ízlésvilága mellett szeretne. Miután adott piaci viszonyok mellett a fo-gyasztó ízlésvilágához viszonyítva túl drága els® periódusbeli termékeket cserélnimásodik periódusbeli termékekre, az optimális fogyasztói kosárban az els® peri-ódusbeli jószágok száma meghaladja majd a második periódubeli termékekét, afogyasztási pálya id®ben csökken®.

2. A piaci diszkont fakror éppen megegyezik a személyes diszkont faktorral(

11+r = β

).

Ekkor adott jövedelem és adott árak mellett a fogyasztó pontosan ugyanannyiels® periódusbeli terméket kénytelen elcserélni második periódusbeli termékre,mint amennyit ízlésvilága mellett szeretne, így valószín¶, hogy fogyasztói ko-sarában az els® periódusbeli jószágok száma megegyezik a második periódubelitermékek számával, a fogyasztási pálya vízszintes.

3. A piaci diszkont faktor a személyes diszkont faktornál kisebb(

11+r < β

). Eb-

ben az esetben adott jövedelem és adott árak mellett a fogyasztó kevesebb els®periódusbeli terméket kényszerül elcserélni második periódusbeli termékre, mintamennyit ízlésvilága mellett szeretne. Miután adott piaci viszonyok mellett afogyasztó ízlésvilágához viszonyítva meglehet®sen olcsón cserélhet® els® perió-dusbeli termékek második periódusbeli termékekre, az optimális fogyasztói ko-sárban az els® periódusbeli jószágok száma alulmúlja majd a második periódubelitermékekét, a fogyasztási pálya id®ben növekv®.

26

A kamat növekedése csökkenti a második periódusbeli termék els® periódusbeli ter-

mékben kifejezett árát(

11+r ↓

), így arra készteti a fogyasztót hogy relatíve több má-

sodik periódusbeli, és kevesebb els® periódusbeli jószágot fogyasszon. ∆C1 és ∆C2

nagysága azonban függ attól is, hogy a fogyasztó milyen id®preferencia indexel rendel-kezik. Nagyobb β mellett (amikor a fogyasztó értékesnek tartja a második periódusbeliterméket) a kamat emelkedése (piaci relatív ár csökkenése) jobban növeli a másodikid®szaki jószágok mennyiségét, míg kisebb β mellett (amikor a fogyasztó kevésbé tartjaértékesnek a második periódusbeli terméket) a kamat emelkedésének (piaci relatív árcsökkenésének) a mennyiségi hatása már kisebb.

Jövedelmi hatás. A kamatváltozás nem csak a második periódusbeli termék els®

periódusbeli termékben kifejezett relatív árát(

11+r

)módosítja, hanem a fogyasztó

rendelkezésére álló jövedelem-folyam jelenértékét, és jöv®beli értékét is. A teljes hatásígy két részre bontható: helyettesítési hatásra, illetve jövedelmi hatásra.

A helyettesítési hatás a relatív árak változásának keresletre gyakorolt hatását mutatjaváltozatlan jövedelem mellett. A hatás el®jelét illet®en nem nagyon vannak kétségek:a kamatláb növekedése relatíve olcsóbbá teszi a második periódusbeli terméket, míg akamatláb csökkenése megdrágítja azt, így 1 + r ↑ mellett C1 tekintetében a helyette-sítési hatás negatív (a fogyasztó a drágább terméket az olcsóbbal helyettesíti), 1 + r ↓mellett pedig pozitív (ismét a drágább terméket helyettesíti az ágens egy olcsóbb ter-mékkel, csak most a C1 vált relatíve olcsóbbá).

A jövedelmi hatás azonosítása egy kicsit bonyolultabb feladat. A jövedelmi hatásnakazt kell megmutatnia, hogy adott relatív ár mellett milyen keresleti hatással jár a ren-delkezésre álló jövedelem megváltozása. E jövedelmi hatás el®jele más lesz egy olyanfogyasztónál, aki a kiinduló állapotban hitelt vett volna fel, és más egy olyan gazdaságiszerepl®nél, aki az els® periódusban az adott id®szaki jövedelménél kevesebb fogyasz-tást tartott volna optimálisnak. A kamatláb növekedése rontja a nettó hitelfelvev®jövedelmi helyzetét � az adósság kamatterhe növekszik �, így ®t a megváltozott kamatadott relatív ár mellett kisebb kiadási szint megvalósítására ösztönözi, ugyanakkorjavítja a nettó hitelnyújtó jövedelmi helyzetét � a megtakarításból származó kamatjö-vedelem növekszik �, így az ® számára a kiadások szintjének emelése lesz az optimális.Azaz 1 + r ↑ mellett az eredetileg hitelfelvev® fogyasztó negatív jövedelmi hatássalszembesül, míg a pozitív megtakarítással rendelkez® fogyasztó számára a jövedelmihatás pozitív. A kamatláb csökkenése a fentiekkel ellentétes irányú hatást vált ki.

Az eredményeket a 18 és a 19 ábra szemlélteti. Mindkét ábra a kamatláb növekedé-sének hatását mutatja, és e változás mindkét ábrán az intertemporális költségvetésikorlát meredekségének növekedéséhez vezet. Pontosan fogalmazva az intertemporá-lis költségvetési korlát az kezdeti készletállományt reprezentáló pontot változatlanulhagyva jobbra (kifelé) fordul.

A hitelfelvev® fogyasztó számára a kamat emelkedése rossz hír, a számára relevánsköltségvetési korlát szakasz az eredeti költségvetési korlát alatt halad, így az elér-het® jószágkosarakkal a korábbinál alacsonyabb hasznossági szintet realizálhat. Haa fogyasztó jól viselked® közömbösségi görbékkel jellemezhet® ízlésvilággal rendelke-zik, akkor C1 változásának iránya egyértelm¶en meghatározható. A relatív árváltozása második periódubeli terméket olcsóbbá teszi, így C1 tekintetében a helyettesítésihatás negatív. A jövedelmi hatás is biztosan negatív, mert az adósságot érint® na-gyobb kamatteher a fogyasztó vásárlóerejét csökkenti. A helyettesítési-, és jövedelmihatás öszegeként adódó teljes hatás így csak negatív lehet, azaz az els® periódusbeli

27



Y2

Y1 C1

C2

AB

E

C2,új

C1,új

MN

J

L K

P

ábra 18. A kamatláb növekedésének hatá-sára az intertemporális költségvetési korlátaz eredeti készletállományt reprezentáló Epont körül jobbra fordul (meredeksége nö-vekszik). A fogyasztó alapesetben hitelt vettvolna fel, így a kamat-változás jövedelmi ha-tása negatív (K szakasz). A helyettesítési ha-tás is negatív, mert 1 + r növekedése az els®periódusbeli fogyasztási cikkben kifejezve ol-csóbbá teszi a második periódusbeli termé-ket, így az optimalizáló fogyasztót relatívetöbb második periódusbeli termék fogyasz-tására és kevesebb els® periódusbeli termékfogyasztására ösztönzi (a helyettesítési hatásnagysága: L szakasz). A negatív jövedelmihatás és a negatív helyettesítési hatás össze-geként kialakuló teljes hatás is negatív, azaz1 + r növekedése csökkenti azon fogyasztóels® periódusbeli fogyasztását, aki alapeset-ben hitelt vett volna fel ebben a periódusban.



Y2

Y1C1

C2

A

E

C2,új

C1,új

MN

J

L

P

B

ábra 19. A kamatláb növekedésének hatá-sára az intertemporális költségvetési korlátaz eredeti készletállományt reprezentáló Epont körül jobbra fordul (meredeksége növek-szik) annál a fogyasztónál is, aki az els® pe-riódusban megtakarítást halmozott volna fel.Ebben az esetben azonban a kamat-változásjövedelmi hatása pozitív (K szakasz). A he-lyettesítési hatás itt is negatív, mert 1 + rnövekedése az els® periódusbeli fogyasztásicikkben kifejezve olcsóbbá teszi a másodikperiódusbeli terméket, így az optimalizáló fo-gyasztót relatíve több második periódusbelitermék fogyasztására és kevesebb els® perió-dusbeli termék fogyasztására ösztönzi (a he-lyettesítési hatás nagysága: L szakasz). Apozitív jövedelmi hatás és a negatív helyet-tesítési hatás összegeként kialakuló teljes ha-tás kérdéses, azaz 1 + r növekedése növel-heti, csökkentheti, de változatlan szinten ishagyhatja azon fogyasztó els® periódusbelifogyasztását, aki alapesetben megtakarításthalmozott volna fel ebben a periódusban.

28

fogyasztás biztosan csökken. A második periódusbeli fogyasztás változása kérdéses.A jövedelmi hatás C2 tekintetében negatív (az adósság kamatterhe növekedett), de ahelyettesítési hatás pozitív (ez a termék lett relatíve olcsóbb, a fogyasztó C2-re próbálhelyettesíteni), így a teljes hatás lehet pozitív, nulla, vagy negatív.

Az els® periódusban alapesetben pozitív megtakarítást képz® fogyasztó számára akamat emelkedése a megtakarítás révén realizált jövedelem növekedése miatt pozitívjövedelmi hatást eredményez. A C1 változásának irányában azonban nem lehetünkbiztosak, hiszen 1 + r ↑ relatíve megdrágítja az els® periódusbeli fogyasztást, így ahelyettesítési hatás negítv (a drága els® periódusbeli fogyasztási cikket a gazdaságiszerepl® a relatíve olcsó második periódusbeli jószágra cseréli). A pozitív jövedelmihatás és a negatív helyettesítési hatás ered®jeként kialakuló teljes hatás lehet pozitív,negatív és nulla is. A második periódus fogyasztása viszont biztos, hogy növekszik,mert a pozitív jövedelmi hatás mellett megjelen® pozitív helyettesítési hatás csak po-zitív teljes hatást eredményezhet.

Az eredményeinket az alábbi táblázatokban foglaltuk össze:

Jövedelmi hatás Helyettesítési hatás Teljes hatás

A fogyasztó az elsõ periódusban hitelfelvevõ lett volna és a kamat növek-szik

C1 változása negatív negatív negatív

C2 változása negatív pozitív lehet pozitív, negatív ésnulla

A fogyasztó az elsõ periódusban hitelnyújtó lett volna és a kamat növekszik

C1 változása pozitív negatív lehet pozitív, negatív ésnulla

C2 változása pozitív pozitív pozitív

A fogyasztó az elsõ periódusban hitelfelvevõ lett volna és a kamat csökken

C1 változása pozitív pozitív pozitív

C2 változása pozitív negatív lehet pozitív, negatív ésnulla

A fogyasztó az elsõ periódusban hitelnyújtó lett volna és a kamat csökken

C1 változása negatív pozitív lehet pozitív, negatív ésnulla

C2 változása negatív negatív negatív

3. Kiterjesztések

Egy kétszerepl®s, csupán két id®szak döntéseit átölel® mesterséges gazdaságtól talánirreális lenne komoly és konkrét gyakorlati hasznot várni. Egyes gazdaságpolitikai be-avatkozások, vagy gazdasági események hatásainak értékelését árnyaló üzenete viszontmár ennek az egyszer¶ modellnek is van. A beavatkozás tervezése, vagy egy gaz-dasági esemény várható hatásainak megítélése során a döntéshozónak mindenképpen

29

�gyelembe kell vennie, hogy

1. a múltbeli döntések számítanak,

2. a jöv®re vonatkozó várakozások számítanak,

3. különbség van az el®re látható (anticipált) és az el®re nem látható (sokkszer¶)változás fogyasztási pályára gyakorolt hatása között,

4. a bizonytalanság a fogyasztónak hasznosság-csökkenésben kifejezhet® költségetokoz,

5. különbség van a permanens és az ideiglenes jövedelemváltozás fogyasztási pályáragyakorolt hatása között, valamint

6. a kamatláb változásának fogyasztási pályára gyakorolt hatása a helyettesítési ésa jövedelmi hatás összegeként alakul ki.

Ahhoz, hogy a modell segítségével releváns gazdasági kérdések tágabb körére kap-hassunk kvantitatív választ, érdemes kib®víteni a modellt. Mesterséges gazdaságunkebb®l a szempontból rendkívül rugalmas. A b®vítésre számos lehet®ség adódik.

1. Ha úgy véljük, hogy a gazdasági esemény, vagy gazdaságpolitikai beavatkozáshatása két periódusnál hosszabb távot érint, �gyelembe vehetünk több id®szakot.

2. Ha arra vagyunk kiváncsiak, hogy egy esemény miként rendezi át a gazdaságiszerepl®k megtakarításait, b®víthetjük a modellt olyan fogyasztói csoportokkal,melyeket az eltér® magatartás különít el egymástól.

3. Ha az adatok vizsgálata során arra a következtetésre jutunk, hogy egyes változókbizonyos eseményekre id®ben elnyújtott módon reagálnak, olyan tényez®ket � ne-vezzük ezeket reálrigiditásoknak � illeszthetünk a modellbe, melyek kiválthatjákezt a hatást.

4. És persze kívül lehet több piacunk és több gazdasági szerepl®nk is.

A fejezet további részében a több id®szak, a több fogyasztói típus és a reálrigiditástanulmányozására koncentrálunk, a több piac és több gazdasági szerepl® modellbeillesztésének hatásait a könyv további részeiben tárgyaljuk.

3.1. Több id®szak

Ha a reprezentatív gazdasági szerepl®nek nem kett®, hanem több id®szakig m¶köd®gazdaságban kell exogén jövedelemfolyam, és a vagyonkezel® által adott kamatlábmellett döntéseket hoznia, a probléma, és a megoldás menete nem, csak a megoldáshozszükséges egyenletek száma változik meg.

A fogyasztó továbbra is azon fogyasztási pálya kiválasztásában érdekelt, amely azéletpálya-hasznosság maximumát biztosítja. Az életpálya hasznosság az egyid®szakoshasznosságok súlyozott átlaga, ahol az egyid®szakos hasznossági függvény az adott

30

periódus fogyasztásának csökken® ütemben növekv® függvénye. Csupán az "életpálya"fogalmát terjesztjük ki két id®szakról T id®szakra. Formálisan:

U = u (C1) + βu (C2) + β2u (C3) + ...+ βT−1u (CT ) =

=

T∑t=1

βt−1u (CT ) (18)

ahol uCt> 0, uCt,Ct

< 0, és β egy nulla és egy közé es® konstans.

A gazdasági szerepl® minden periódusban exogén jövedelemmel rendelkezik (Y1, Y2, ..., YT ).Az egyes id®szakokban lehet®sége van arra, hogy konstans, a vagyonkezel® által meg-határozott kamatláb mellett hitelt vegyen fel, vagy megtakarításokat halmozzon fel.A költségvetési korlátok id®beli sorozata így a következ® alakban írható fel:

Y1 = C1 +B2

Y2 + (1 + r2)B2 = C2 +B3

Y3 + (1 + r3)B3 = C3 +B4

...

YT + (1 + rT )BT = CT

Érdemes észrevenni, hogy a fogyasztó az utolsó periódusban továbbra sem kíván va-gyont felhalmozni és továbbra sem tud hitelt felvenni, így a T -edik periódus költség-vetési korlátjának kiadási oldalán BT+1 már nem szerepelhet.

Két egymást követ® id®szak költségvetési korlátja között a vagyoneszköz teremt kap-csolatot, így ha a legutolsó korlátból kifejezzük BT -t és visszahelyettesítjük a T−1-edikperiódus korlátjába, majd a kapott egyenletb®l kifejezzük BT−1-et és visszahelyette-sítjük a T−2-edik periódus korlátjába, s a "kifejezzük-visszahelyettesítjük" lépést mégT − 3-szor végrehajtjuk, megkapjuk az intertemporális költségvetési korlátot:

Y1 +Y2

(1 + r2)+

Y3(1 + r2) (1 + r3)

+ ...+YT

Ts=2 (1 + rs)

= C1 +C2

(1 + r2)+

C3

(1 + r2) (1 + r3)+ ...+

CTTs=2 (1 + rs)

mely a diszkontfaktorokra adott de�níciók segítségével

∆1 = 1

∆2 =1

1 + r2=2s=2

1

(1 + rs)

∆3 =1

(1 + r2) (1 + r3)=3s=2

1

(1 + rs)...

∆T =1

(1 + r2) (1 + r3)× ...× (1 + rT )=Ts=2

1

(1 + rs)

a következ® egyszer¶ alakban is felírható:

T∑t=1

∆tYt =

T∑t=1

∆tCt (19)

31

Az intertemporális költségvetési korláttal továbbra is azt hangsúlyozzuk, hogy báradott periódusban a fogyasztó költhet többet, vagy kevesebbet is, mint az adott pe-riódus jövedelme, de az életpálya-jövedelem jelenértékének már meg kell egyeznie azéletpálya-fogyasztás jelenértékével.

A célkövet® gazdasági szerepl® azt a fogyasztási pályát keresi, amely (19) korlát mellettbiztosítja a (18) formában megadott életpálya-hasznosság maximumát. A problémáta Lagrange-módszer felhasználásával oldjuk meg, és keressük azokat a (C1, C2, ..., CT ),amelyek mellett a

L =

T∑t=1

βt−1u (CT ) + λ

(T∑t=1

∆tYt −T∑t=1

∆tCt

)

alakban felírható Lagrange-függvény döntési változók szerinti els® deriváltja nullávalegyezik meg. Ezek az els® rend¶ feltételek:

uC1− λ = 0

βuC2− λ∆2 = 0

β2uC3− λ∆3 = 0

...

βT−1uCT− λ∆T = 0,

melyekb®l a Lagrange-multiplikátor kihelyettesítése, és az egyenletek átrendezése utánT − 1 darab Euler egyenletet kapunk:

uC1 = (1 + r2)βuC2

uC2 = (1 + r3)βuC3

...

uCT−1= (1 + rT )βuCT

Ez a T − 1 darab Euler egyenlet, valamint a T darab egyid®szakos költségvetési korlátadott jövedelem-folyam, illetve kamat-pálya mellett megadja a fogyasztó által opti-málisnak ítélt fogyasztási (C1, C2, ..., CT ), illetve vagyonfelhalmozási (B2, B3, ..., BT )palya értékeit, összesen 2T − 1 darab endogén változót.

Az Euler egyenletek sorozata, illetve az egyid®szakos költségvetési korlátok halmazaegyértelm¶en jellemzi a reprezentatív fogyasztó magatartását, így ez a 2T − 1 darabegyenlet alkotja a gazdasági szerepl® magatartási egyenleteinek halmazát.

A vagyonkezel® minden periódusban megadja azt a kamatot, amely mellett hajlandóvagyoneszközt termékre, vagy terméket vagyoneszközre cserélni. Miután kamat kétperiódus között létezik, a vagyonkezel® magatartását T − 1 darab egyenlet jellemzi

1 + r2 = 1 + r2

1 + r3 = 1 + r3

...

1 + rT = 1 + rT

32

ahol "felülvonással" jelöltük a vagyonkezel® által rögzített kamatlábat.

A modell lezárásához az egyes piacokon zajló események jellemzése is szükséges.

Az árupiacon akkor van egyensúly, amikor a felkínált (rendelkezésre álló) termékekmennyisége megegyezik a gazdasági szerepl®k által felhasznált termékmennyiséggel.Az els® periódusban Y1 darab terméket kap a fogyasztó, ebb®l C1 darabot ® használ fel,V1 darab iránt pedig a vagyonkezel® támaszt keresletet úgy, hogy jöv®beli fogyasztásraszoló követelést megtestesít® vagyoneszközért cserébe els® periódusbeli terméket fogadel a fogyasztótól, így egyensúly esetén

Y1 = C1 + V1.

V1 természetesen lehet negatív is, ekkor a vagyonkezel® ennyivel növeli a fogyasztó ren-delkezésére álló termékek mennyiségét. A második, harmadik ... T -edik periódusbanhasonló érvelés alapján hasonló formában írható fel az árupiaci egyensúlyi feltétel:

Y2 = C2 + V2,

Y3 = C3 + V3,

...

YT = CT + VT .

A vagyoneszközök piacán pedig a fogyasztó és a vagyonkezel® között jön létre tranz-akció, melynek keretében a gazdasági szerepl®k vagyoneszközt cserélnek termékre, így

V1 = B2,

V2 = B3 − (1 + r2)B2,

V3 = B4 − (1 + r3)B3,

...

VT = − (1 + rT )BT .

A modell magatartási egyenletekb®l és piaci egyensúlyi feltételekb®l áll, azaz tartal-maz

1. T − 1 darab Euler egyenletet,

2. T darab költségvetési korlátot,

3. T − 1 darab egyenletet, amelyek azt írják le, hogy a vagyonkezel® az egyes id®-szakokban milyen szinten rögzítette a kamatlábat,

4. T darab árupiaci egyensúlyi feltételt, és

5. T darab egyensúlyi feltételt a vagyoneszközök piacára vonatkozóan.

Ezen egyenletek alapján a következ® endogén változók határozhatók meg:

1. a fogyasztó által optimálisnak tartott fogyasztási szint minden periódusra vo-natkozóan (T darab változó),

33

2. a fogyasztó vagyonfelhalmozása (T − 1 darab változó),

3. a kamat (T − 1 darab változó), és

4. a vagyonkezel® termékek iránti kereslete (T darab változó).

Érdemes észrevenni, hogy ha a vagyoneszközök piacára felírt egyensúlyi feltételek tel-jesülnek, akkor az árupiaci egyensúlyi feltételek és a költségvetési korlátok nem külön-böznek egymástól, így a 4T − 2 endogén változó optimális értékének meghatározásárapontosan 4T − 2 darab egyenletet tudunk felhasználni.

3.1.1. Számpélda I. � Jövedelem

Ha a vizsgált gazdaság reprezentatív fogyasztója id®ben konstans jövedelem-folyammalrendelkezik, és a vagyonkezel® által meghatározott kamatláb 1 + rt = 1

β minden t-re,akkor a fogyasztás sem fog id®ben változni. S®t, a fogyasztó a teljes els® periódusbelijövedelmét fogyasztásra költi, a második periódusban sem lesz megtakarítása, s ígytovább, azaz

Y1 = C1,

Y2 = C2,

...

YT = CT .

Igazán bonyolult számítást az az eset sem igényel, ahol a jövedelemfolyam ugyan nemkonstans, de id®beli alakulását a fogyasztó ismeri. Ekkor az intertemporális költség-vetési korlátból az Euler egyenletek felhasználásával az els® periódusbeli fogyasztáskiszámolható, s az Euler egyenletekbe C1-et visszahelyettesítve a fogyasztási pályaösszes eleme meghatározható. Ha például a jövedelem-folyam els® 10 eleme 10 egy-ségnyi, s a fogyasztó a 11. periódusban egy jelent®s jövedelem növekedésre számít,mely a pályát 10,5 egységnyi szintre emeli, a jövedelem jelenértéke β = 0, 98 és id®benkonstans 1 + rt = 1

β kamat mellett

Y1 +Y2

1 + r+ ...+

Y10

(1 + r)9 +

Y11

(1 + r)10 +

Y12

(1 + r)11 + ...+

YT

(1 + r)T−1

= 10 + 0, 98 · 10 + ...+ 0, 989 · 10 + 0, 9810 · 10, 5 + 0, 9811 · 10, 5 + ...+ 0, 98T−1 · 10, 5 =

= 10

(1− 0, 9810

1− 0, 98

)︸︷︷︸véges mértani sor

+ 10, 5

(0, 9810

1− 0, 98

)︸︷︷︸

végtelen mértani sor

= 520, 4268

Az intertemporális költségvetési korlát alapján ennek kell megegyeznie a fogyasztás-folyam jelenértékével

520, 4268 = C1 +C2

1 + r+

C3

(1 + r)2 + ...+

CT

(1 + r)T−1 . (20)

34

Kihasználva, hogy 1+rt = 1β az Euler egyenletekb®l az alábbi összefüggésekhez jutunk

uC1= (1 + r2)βuC2

−→ uC1= uC2

uC2= (1 + r3)βuC3

−→ uC2= uC3

...

uCT−1= (1 + rT )βuCT−1

−→ uCT−1= uCT

melyek csak akkor teljesülhetnek, ha C1 = C2 = ... = CT. Ebb®l, illetve a (20)egyenletb®l

520, 4268 = C1 +C1

1 + r+

C1

(1 + r)2 + ...+

C1

(1 + r)T−1 =

= C1 + βC1 + β2C1 + ...+ βT−1C1 =C1

1− β

képlet adódik, melyb®l már kiszámítható az els® periódusbeli fogyasztás értéke

C1 = 10, 4085

Bár a számítások toll-papír-számológép felhasználásával sem okoznak különösebbproblémát (feltéve, ha tudjuk a véges és a végtelen mértani sor összegképletét és ismer-jük az intertemporális költségvetési korlát, valamint az Euler egyenletek felírásánakmódját), erre a számpéldára már hasznos egy MATLAB kódot írni. A program szem-pontjából fontos információk:

1. Az els® 10 periódusban a fogyasztó 10 egységnyi jövedelemet realizál, utána ajövedelem 10,5 egységnyi szintre emelkedik, s ezen a szinten marad egészen T-ig.

2. Az els® periódus fogyasztása a jövedelem-folyam jelenértékének (1− β)-szorosa,és a fogyasztás id®ben nem változik.

3. β = 0, 98.

A megoldás menete:

1. Kiszámoljuk a jövedelem-folyam jelenértékét az els® 10 periódusra.

2. Kiszámoljuk a jövedelem-folyam jelenértékét a 11. periódustól kezd®d®en.

3. Kiszámoljuk az els® periódus fogyasztását.

4. Ábrázoljuk a jövedelem és a fogyasztás id®beli alakulását.

A MATLAB kód

1 clear all2 close all

35

A clear all és close all parancsokat érdemes minden új MATLAB kód eseténkiadni. A clear all megakadályozza, hogy a program egy adott paramétert, vagyváltozót egy korábbi programban használt értéken vegyen �gyelembe, a close allpedig bezárja a nem használt ablakokat (például korábban készített ábrákat � ez akés®bbiek során majd igen hasznos parancsnak fog bizonyulni).

A következ® lépés a paraméterek és az exogén változók defíniálása és a hozzájuk tartozóértékek rögzítése. Ismert a jövedelemfolyam els® 10 elemének értéke, valamit tudjukazt is, hogy a 11. periódustól a jövedelem 10,5-re változik, tudjuk, hogy mekkora afogyasztó magatartását jellemz® id®preferencia, illetve ismert a kamat.

3 Y1 = 10;4 Y2 = 10.5;5 beta = 0.98;6 R = 1/beta;

A jövedelem jelenértékének kiszámítása során felhasználjuk, hogy a 11. periódustólkezdve sem a gazdasági szerepl® jövedelme nem változik, sem a kamat, így a jelenértékezen része kifejezhet® a

10, 5

(0, 9810

1− 0, 98

)(21)

összefüggéssel, az els® tíz periódusból származó jövedelem jelenértékéhez azonban a

10 + 0, 98 · 10 + ...+ 0, 989 · 10 (22)

sor értékét kell kiszámolnunk. (22)-t felfoghatjuk egy olyan vektor elemeinek össze-geként, amelyben az eredeti jövedelem és a diszkontfaktor megfelel® kitev®vel ellátottértékeinek szorzatai szerepelnek:

10 · 0, 980

10 · 0, 981

10 · 0, 982

...10 · 0, 989

(23)

(23) létrehozásához el®ször el® kell állítanunk egy olyan vektort, amely 0-tól 9-ig egye-sével növekv® sorrendben tartalmazza a számokat.

7 n = [0:1:9];

(23) az n vektor, az elemenként való hatványozást kifejez® .^ parancs, valamint egyegyszer¶ szorzás felhasználásával adódik.

8 A = Y1*beta.^n;

A sum(...) parancs az A vektor elemeinek összegeként létrehozza (22)-t, így ajövedelem jelenértéke sum(A) és (21) összegeként kapható meg.

9 PV = sum(A) + Y2*beta^10/(1-beta);

36

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12Jövedelem−folyam és fogyasztás idõbeli alakulása

JövedelemFogyasztás

ábra 20. A jövedelem az eredeti 10 egység-nyi szintr®l a 11. periódusban 10,5-re mó-dosul, s tartósan ezen a szinten marad. Afogyasztó tökéletesen informált a jövedelemalakulásával kapcsolatosan, így az 1 + r =1β

összefüggésnek köszönhet®en fogyasztása

id®ben nem változik.

A kamat a diszkontfaktor reciproka, és az ágens a jövedelem kés®bbi alakulásával kapcsolatosan nem nézszembe bizonytalansággal, így a fogyasztás id®ben konstans. Az intertemporális költségvetési korlát és azEuler egyeletek sorozatának felhasználásával

PV =C1

1− β,

ahol PV a jövedelem jelenértékét jelöli, így a fogyasztás a jövedelem jelenértékének és az 1 − β-nak aszorzataként határozható meg.

10 C = PV*(1-beta);

Érdemes az eredeményeket egy ábrán is vázolni. Az els® 10 periódusban a fogyasztó jövedelme 10 egység,utána 10,5. Az [Y1*ones(1,10) Y2*ones(1,40)] kifejezés egy olyan vektort hoz létre, mely 50 periódusnakmegfelel® id®távon mutatja a fogyasztó jövedelmének alakulását. A fogyasztás id®ben nem változik, ezt azadott szakaszon a [C*ones(1,50)] vektor mutatja. Az ábrát az alábbi parancsok kiadásával kaphatjuk meg:

11 figure(1)12 plot([Y1*ones(1,t) Y2*ones(1,50-t)],’Color’,[0.8 0.008 0.008],’LineWidth’,2)13 hold on14 plot(C*ones(1,50),’Color’,[0.436 0.278 0.588],’LineWidth’,2)15 ylim([0 12]);16 legend1 = legend({’Jövedelem’,’Fogyasztás’});17 title(’Jövedelem-folyam és fogyasztás id\U{151}beli alakulása’,’FontSize’,16)

ahol a plot(...) parancs az ábra kirajzolására szólítja fel a programot, a hold on segítségével azt tudjukelérni, hogy a két változó ugyanazon az ábrán jelenjen meg, legend(...) adja a feliratokat és title(...)az ábra címét. A Color és a LineWidth parancsok a vonalak színét és vastagságát rögzítik.

Az eredményt az 20. ábra mutatja. Jól látható, hogy a bár a jövedelem a 11. peri-ódustól kezdve magasabb, mint az ezt megel®z® id®szakokban, a fogyasztás id®belenteljesen kisimított pályán mozog, mert az optimalizáló gazdasági szerepl® számára ajövedelem-folyam alakulása már az els® periódusban ismert volt. Ha a gazdasági sze-repl®t a 11 periódusbeli gazdasági esemény váratlanul érte volna, a fogyasztás pályájatökéletesen követte volna az Y pályáját.

Hasonló programot kell írnunk, és a fogyasztás id®beli alakulása szempontjából hasonlóeredményeket kapunk, ha a fogyasztó id®ben meglehet®sen ingadozó, de már az els®periódusban ismert jövedelem-pályával szembesül.

Tételezzük fel, hogy a jövedelem pályája nem konstans 10 egység, hanem 10 egységkörül ingadozik konstans szórással. Ilyen feltételek mellett a feladat nem nehezebb,mint az el®z® probléma, de a konkrét számítás már igen. Megterhel® lenne toll-papír-számológép felhasználásával kiszámítani a jövedelem jelenértékét még akkor is, haazt gondoljuk, hogy a nagyon távoli jöv® Y -jait nyugodtan vehetjük 10-nek, mert a

37

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10



ábra 21. A jövedelem 10 egységnyi szint kö-rül ingadozik. A fogyasztó tökéletesen infor-mált a jövedelem alakulásával kapcsolatosan,így az 1+r = 1

βösszefüggésnek köszönhet®en

fogyasztása id®ben nem változik

jelenértékszámítás során Y833 = 10, 189 mellett a 0, 189 · 0, 98832 (a jövedelem 10-t®l valóeltérése a 833-adik periódusban szorozva a diszkontfaktorral) elhanyagolhatóan kicsi.A MATLAB-nak azonban nem okoz többlet terhet egy viszonylag kicsi vektor helyettegy nagy vektor elemeit összegezni (még akkor sem, ha a vektor elemeinek száma 833).Ilyenkor már tényleg érdemes programot használni a megoldáshoz.

A MATLAB kód az új jövedelem-folyam rögzítése és a képletek szükséges átalakításaután a következ® lesz

1 clear all2 close all3

4 Y1 = 10*ones(1,833)+randn(1,833);5 Y2 = 10;6 beta = 0.98;7 R = 1/beta;8 n = [0:1:832];9

10 A = Y1.*beta.^n;11 PV = sum(A)+Y2*beta^833/(1-beta);12 C = PV*(1-beta);13

14 figure(1)15 plot(Y1(1:50),’Color’,[0.8 0.008 0.008],’LineWidth’,2)16 hold on17 plot(C*ones(1,50),’Color’,[0.436 0.278 0.588],’LineWidth’,2)18 hold off19 ylim([0 12]);20 legend1 = legend({’Jövedelem’,’Fogyasztás’});21 title(’Jövedelem-folyam és fogyasztás id\U{151}beli alakulása’,’FontSize’,16)

A kapott ábrát a 21 mutatja. A jövedelem 10 egységnyi szint körül ingadozik, de afogyasztás az 1 + r = 1

β feltétel, és a fogyasztó tökéletes informáltsága miatt továbbrais konstans, a megadott értékek mellett C = 10, 0087 egység. Figyelem!!! A fentiprogram véletlenszám-generátort tartalmaz, így többszöri futtatásakor a fogyasztásranyilván nem kapunk azonos értékeket!

Az ábra alapján vannak olyan id®szakok, amelyekben az ágens jövedelme meghaladjafogyasztásának nagyságát, míg más periódusokban a gazdasági szerepl® valószín¶leghitel felvételével kénytelen �nanszírozni kiadásait. Érdemes tehát a fenti MATLABkód folytatásával kirajzoltatni a vagyonállomány id®beli alakulását is.

Az els® periódusban felvett hitel/felhalmozott megtakarítás az els® periódus jövedel-mének és fogyasztásának különbségeként adódik

B2 = Y1 − C1

38

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−6

−4

−2

0

2

4

6A vagyonállomány idõbeli alakulása




A következ® periódusban már �gyelembe kell venni az els® periódusban felvett hi-tel/falhalmozott vagyon értékét, így a vagyonállomány a mindig a következ® képletteladható meg

Bt+1 = Yt + (1 + rt)Bt − Ctahol t = 2, 3, ..., T . Az általános formulából látszik, hogy egy adott periódus vagyon-állományának nagyságát a szóban forgó periódus jövedelme és fogyasztása, valamintaz el®z® periódusban felhalmozott vagyon befolyásolja, így a számítások egy for ...end ciklussal végezhet®k el. A szükséges kód-kiegészítés:

22 B(1) = Y1(1)-C;23

24 for i = 2:50;25 B(i) = Y1(i)+R*B(i-1)-C;26 end27

28 figure(2)29 plot(B,’Color’,[0.8 0.008 0.008],’LineWidth’,2)30 ylim([-6 6]);31 hy = graph2d.constantline(0,’LineStyle’,’:’,’Color’,[.7 .7 .7]);32 changedependvar(hy,’y’);33 title(’A vagyonállomány id\U{151}beli alakulása’,’FontSize’,16)

A kapott eredményt a 22. ábra mutatja. Fontos, hogy a 21. és a 22. ábrák akód többszöri futtatása esetén különbözhetnek az itt bemutatott ábráktól, mert arandn(1,500) parancs egy 0 várható érték¶, konstans szórású valószín¶ségi válto-zókat tartalmazó vektort hoz létre � minden futtatásnál újat.

Az 22. ábrán az is látszik, hogy a vagyonállomány nem követi teljesen a fogyasztás és ajövedelem 21. ábrán meg�gyelhet® különbségét. Állomány jelleg¶ mutatóról van szó.Ha a gazdasági szerepl® a t-edik periódusban adósságot halmozott fel, s fogyasztása at+1-edik periódusban is nagyobb, mint adott id®szaki jövedelme, az adósságállománymindaddig növekedni fog (B csökken), amíg Yt − Ct > Yt+1 − Ct+1.

3.1.2. Számpélda II. � Bizonytalanság

Technikailag egy fokkal nehezebb a dolgunk akkor, ha a fogyaztó jövedelem-folyamátsokkok (el®re nem látható változások) érik. Tételezzük fel, hogy a fogyasztó id®benkonstans jövedelem-folyamra számít, melynek értéke minden periódusban 10 egység.A kamatot a vagyonkezel® továbbra is 1 + r = 1

β szinten rögzíti, és β = 0, 98. Ilyen fel-tételek mellett az optimális fogyasztási pálya C1 = C2 = ... = CT = 10. De mi történik

39

akkor, ha a ténylegesen realizált jövedelem eltér a fogyasztó által várt jövedelemt®l?Tegyük fel például, hogy az els® periódus jövedelme nem 10, hanem 10, 5. A fogyasztókénytelen módosítani fogyasztási pályáját, mert a korábban tervezett fogyasztási szer-kezet már nem optimális számára. Miután az intertemporális költségvetési korlátnaktovábbra is fenn kell állnia, és a fogyasztó a többi periódusban továbbra is 10 egységnyijövedelemre számít,

Y1 +Y2

1 + r+

Y3

(1 + r)2 + ...+

YT

(1 + r)T−1 = C1 +

C2

1 + r+

C3

(1 + r)2 +

...+CT

(1 + r)T−1

10, 5 + 0, 98 · 10 + 0, 982 · 10 + ...+ 0, 98T−1 · 10 = C1 + 0, 98 · C1 + 0, 982 · C1 +

...+ 0, 98T−1 · C1

10, 5 +0, 98 · 10

1− 0, 98=

C1

1− 0, 98

adódik, amely alapján a fogyasztó minden periódusban Ct = 10, 01 egységnyi fogyasz-tást tervez. De mi történik, ha a jövedelem a második periódusban sem a fogyasztóvárakozásainak megfelel®en alakul, legyen mondjuk Y2 = 8 egység. A fogyasztó amásodik periódus elején kénytelen újra elvégezni az optimalizálási feladatot. Az els®periódusban realizált 10, 5 egységnyi jövedelmet, de csak 10, 01 egységnyi terméketfogyasztott, így felhalmozott B2 = 0, 49 egyégnyi vagyont. Erre a megtakarításra avagyonkezel® kamatot is hajlandó �zetni, így a második periódusban gazdasági szerep-l®nk az adott id®szaki exogén jövedelmen túl (1 + r)B2 = 1

0,980, 49 = 0, 5 egységnyitöbbletforrást használhat. Jövedelme viszont a várt szintt®l eltér®en csak 8 egység, ígykénytelen újraszámolni az optimális fogyasztási pályát, amely az alábbi összefüggésekalapján

(1 + r)B2 + Y2 +Y3

1 + r+

Y4

(1 + r)2 + ...+

YT

(1 + r)T−1 = C2 +

C3

1 + r+

C4

(1 + r)2 +

...+CT

(1 + r)T−1

0, 5 + 8 + 0, 98 · 10 + 0, 982 · 10 + ...+ 0, 98T−1 · 10 = C2 + 0, 98 · C2 + 0, 982 · C2 +

...+ 0, 98T−1 · C2

8, 5 +0, 98 · 10

1− 0, 98=

C2

1− 0, 98

C2 = C3 = ... = CT = 9, 97 lesz.

A minta talán már ebb®l a két lépésb®l is látható. Ha a fogyasztó jövedelem-pályájátsokkok érik, akkor

1. fontossá válik, hogy mekkora az el®z® periódusban felhalmozott vagyon értéke,valamint

2. a gazdasági szerepl® az intertemporális költségvetési korlát és az Euler egyen-letek felhasználásával kénytelen minden periódusban újra-és-újra meghatározniaz adott (de a várakozásokhoz képest módosult) feltételek mellett optimumotbiztosító fogyasztási pályát.

Ez utóbbi pont technikailag ismét egy for...end ciklust kíván. A programozásistratégia:

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10






1. Rögzítjük a paraméterek és az exogn változók értékét. Az exogén változók között külön szerepeltetjükazt a jövedelem-folyamot, amit ténylegesen megvalósul Y1, és azt, amire a gazdasági szerepl® számítY2.

2. A for...end ciklus segítségével az adott periódusban ténylegesen megvalósuló jövedelem és az el®z®periódus vagyonállománya mellett minden periódusben újraszámoljuk az ágens számára optimálisfogyasztási szintet.

3. A for...end cikluson belül az egyid®szakos költségvetési korlátból kiszámoljuk a következ® periódusinduló vagyonállományának értékét.

4. Az eredményeket ábrázoljuk.

A fenti stratégiának megfelel® MATLAB kód:


4 Y1 = 10*ones(1,1000)+randn(1,1000);5 Y2 = 10;6 beta = 0.98;7 R = 1/beta;8 B(1) = 0;9

10 for i = 1:1000;11 PV(i) = R*B(i)+Y1(i)+Y2*beta/(1-beta);12 C(i) = PV(i)*(1-beta);13 B(i+1) = Y1(i)+R*B(i)-C(i);14 end15

16

17 figure(1)18 plot(Y1(1:50),’Color’,[0.8 0.008 0.008],’LineWidth’,2)19 hold on20 plot(C(1:50),’Color’,[0.436 0.278 0.588],’LineWidth’,2)21 hold off22 ylim([0 12]);23 legend1 = legend({’Jövedelem’,’Fogyasztás’});24 title(’Jövedelem-folyam és fogyasztás id\U{151}beli alakulása’,’FontSize’,16)25

26 figure(2)27 plot(B(2:51),’Color’,[0.8 0.008 0.008],’LineWidth’,2)28 ylim([-6 6]);29 hy = graph2d.constantline(0,’LineStyle’,’:’,’Color’,[.7 .7 .7]);30 changedependvar(hy,’y’);31 title(’A vagyonállomány id\U{151}beli alakulása’,’FontSize’,16)

Az eredményeket a 23. és 24. ábrák mutatják. A 23. ábrán vázolt fogyasztásipálya alapján a fogyasztóban van bizonyos fogyasztás-kisimító hajlam, azaz ha képesrendelkezésre álló termékeit id®ben szétosztani, akkor er®sen ingadozó jövedelmi pálya

41

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−6

−4

−2

0

2

4

6A vagyonállomány idõbeli alakulása




mellett meg is teszi azt, így a jövedelem-folyam volatilitása nagyobb lesz, mint afogyasztás volatilitása. A jövedelem-folyamot ér® sokkok esetén azonban a fogyasztásmár nem lesz id®ben konstans, mint abban az esetben volt, amikor a fogyasztó ajövedelem-pályát el®re ismerte, hanem a jövedelem ingadozásával együtt ingadozik.Érdemes kiszámolni a szórást, melyet MATLAB-ban az std(X) függvény ad meg.Azt fogjuk tapasztalni, hogy a fogyasztás szórása

1. nem nulla, azaz a fogyasztás id®ben ingadozik,

2. a jövedelem szórásánál kisebb, azaz a fogyasztás a jövedelemhez képest kevésébévolatilis,

3. de a fogyasztás szórása a jövedelem szórásához képest a reálisnál alacsonyabb, azaz a fogyasztó"túlzott mértékben" simítja fogyasztási pályáját.

Reálisabb fogyasztási pályát kapunk, ha feltételezzük, hogy a fogyasztó az adott id®szaki jövedelem vártjövedelemt®l való eltérésére a jövedelem kés®bbi alakulásával kapcsolatos várakozási bizonyos mérték¶ mó-dosításával reagál. Ha tényleges jövedelme eltér a 10 egységnyi várt jövedelmt®l, akkor úgy véli, hogy αszázalékos a valószín¶sége annak, hogy a változás tartós, így a következ® periódusokban majd ezzel a ma-gas/alacsony jövedelemmel kell szembenéznie, és 1 − α a valószín¶sége annak, hogy a kés®bbiekben mégis10 egységnyi forrást tud felhasználni. Minél magasabb az α értéke, annál jobban követi a fogyasztási pályaa jövedelem id®beli alakulását.

Az eredmények szemléltetéséhez a korábban használt programot csak két helyen kell módosítani:

1. a paraméterek között rögzíteni kell az α értékét, illetve

2. a for...end ciklusban szerepl® jelenérték-számítás PV(i) = R*B(i)+Y1(i)+Y2*beta/(1-beta) alakbanfelírt képletét fel kell váltani a PV(i) = R*B(i)+Y1(i)+((1-alpha)*Y2+alpha*Y1(i))*beta/(1-beta)összefüggéssel.


4 Y1 = 10*ones(1,1000)+randn(1,1000);5 Y2 = 10;6 beta = 0.98;7 R = 1/beta;8 B(1) = 0;9 alpha = 0.5;

10

11 for i = 1:1000;12 PV(i) = R*B(i)+Y1(i)+ ((1-alpha)*Y2+alpha*Y1(i))*beta/(1-beta);13 C(i) = PV(i)*(1-beta);14 B(i+1) = Y1(i)+R*B(i)-C(i);15 end

42

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10






0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506

7

8

9

10

11


JövedelemFogyasztás alpha=0.5 mellettFogyasztás alpha=0.7 mellett




16

17

18 figure(1)19 plot(Y1(1:50),’Color’,[0.8 0.008 0.008],’LineWidth’,2)20 hold on21 plot(C(1:50),’Color’,[0.436 0.278 0.588],’LineWidth’,2)22 hold off23 ylim([0 12]);24 legend1 = legend({’Jövedelem’,’Fogyasztás’});25 title(’Jövedelem-folyam és fogyasztás id\U{151}beli alakulása’,’FontSize’,16)26

27 figure(2)28 plot(B(2:51),’Color’,[0.8 0.008 0.008],’LineWidth’,2)29 ylim([-6 6]);30 hy = graph2d.constantline(0,’LineStyle’,’:’,’Color’,[.7 .7 .7]);31 changedependvar(hy,’y’);32 title(’A vagyonállomány id\U{151}beli alakulása’,’FontSize’,16)

Az eredményeket a ??. és ??. ábrák mutatják.

43

3.1.3. Számpélda III. � Kamat

A kamat megváltozása egyrészt módosítja a fogyasztó jövedelmének jelenértékét (jö-vedelmi hatás), másrészt a fogyasztás id®beli szerkezetének átalakítására készteti agazdasági szerepl®t (helyettesítési hatás). Eltér® lesz a fogyasztás-változás mértéke

1. ideiglenes és permanens kamat változás esetén, valamint

2. el®re várható, és váratlan kamat változás mellett.

Tételezzük fel, hogy a fogyasztó minden periódusban 10 egység körül ingadozó jöve-delemmel rendelkezik. Életpálya-hasznosságát a

∑∞t=1 β

t−1 lnCt függvény adja meg,ahol β = 0, 98. Alapesetben a vagyonkezel® által meghatározott kamatláb 1 + r = 1

β

minden periódusban. Két változást fogunk vizsgálni:

1. mi történik a fogyasztási pályával, ha a 11. és 12. periódusok között érvényeskamat nem 1

β , hanem 1 + r12 = 1, 04?

2. mi történik a fogyasztási pályával, ha a kamat a 11. periódustól kezdve (el®szöra 11. és 12. periódusok között érvényesül® kamat változik meg) nem 1

β , hanem1 + r12 = 1 + r13 = ... = 1 + rT = 1, 04?

Mindkét esetben feltételezzük, hogy a fogyasztó a változásra már az els® periódusbanszámított.

Az intertemporális költségvetési korlát általános esetben az

∞∑t=1

∆tYt =

∞∑t=1

∆tCt

alakban adható meg, ahol ∆ diszkont-faktorra teljesül, hogy

∆1 = 1

∆2 =1

1 + r2

∆3 =1

(1 + r2) (1 + r3)...

∆11 =1

(1 + r2) (1 + r3)× ...× (1 + r11)

∆12 =1

(1 + r2) (1 + r3)× ...× (1 + r11) (1 + r12)...

∆T =1

(1 + r2) (1 + r3)× ...× (1 + r11) (1 + r12)× ...× (1 + rT )

Könnyen ellen®rizhet®, hogy (24) korlát jobb oldala az Euler egyenletek felhasználá-sával továbbra is

∞∑t=1

∆tCt =C1

1− β

44

alakra hozható, így a fogyasztási pálya meghatározásához csak a jövedelem-folyamjelenértékét kell kiszámítanunk. Csak két kamatszintünk van 1

β = 1, 0204, illetve1, 04. Ideiglenes kamat-változás mellett a jövedelem-folyam jelenértéke

∞∑t=1

∆tYt = Y1 +Y2

1, 0204+

Y31, 02042

+

...+Y11

1, 020410+

Y121, 020410 · 1, 04

+Y13

1, 020411 · 1, 04+

...+YT

1, 0204T−2 · 1, 04

míg permanens esetben

∞∑t=1

∆tYt = Y1 +Y2

1, 0204+

Y31, 02042

+

...+Y11

1, 020410+

Y121, 020410 · 1, 04

+Y13

1, 020410 · 1, 042+

...+YT

1, 020410 · 1, 04T−11

Ha lenne egy olyan vektorunk, amely a diszkontfaktorok sorozatát tartalmazza, ajelenérték-számítás két szakasztra bontható: els® lépésként egy egyszer¶ sum(Y.*diszkontfaktor)paranccsal kiszámoljuk a jelenérték els® 1000, vagy 8000, vagy 15000 elemének az össze-gét, majd hozzáadunk egy végtelen mértani sort (amelynek az összegképlete ismert).Miután a diszkontfaktorok sorozata egy for...end ciklussal megadható, a feladatkönnyedén elvégezhet®.

A MATLAB kód a következ® lesz

3.2. Több gazdasági szerepl®

3.3. Fogyasztói szokások

45

1. a modell formálisan · 1. a modell formálisan az általunk ázoltv mesterséges gazdaság két...

Documents