1 (ค31101) 4 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา...

เอกสารประกอบการเรยนวชาคณตศาสตร 1 (ค31101)

ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2560

เรอง จ านวนจรง

ชอ-นามสกล ……………………………………………………………………………………….

ชน ม.4 หอง……………………….. เลขท ………………………….

โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

วชาคณตศาสตร 1 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง จ านวนจรง

1

จ านวนจรง (Real numbers) แผนผงจ านวนจรงแสดงความสมพนธชนดตางๆ

จ านวนจรง (Real number ) ( )

เชน

สวนประกอบของจ านวนจรงสามารถสรปไดดงน

แทน เซตของจ านวนนบ จะได

I แทน เซตของจ านวนเตม จะได { , 2, 1,0,1,2,3, }I

I แทน เซตของจ านวนเตมบวก จะได {1,2,3, }I

I แทน เซตของจ านวนเตมลบ จะได { 1, 2, 3, }I

จ านวนอตรรกยะ (irrational number) ( )

เชน

จ านวนตรรกยะ (rational number) ( )

เชน

จ านวนเตม (Integers) ( )

เชน

จ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตม

(non-Integers ) เชน

จ านวนเตมลบ (Negative-Integers) ( )

เชน

ศนย (zero) จ านวนเตมบวก (Natural number)

เชน


2

แทน เซตของจ านวนเฉพาะทเปนบวก จะได

Q แทน เซตของจ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทเขยนเปนเศษสวนได

เชน จ านวนเตม(บวก ลบ ศนย) เศษสวน(เศษแท เศษเกน เศษคละ) ทศนยม ทศนยมซ า รากทถอดลงตว

Q แทน เซตของจ านวนอตรรกยะ คอ จ านวนทเขยนเปนเศษสวนไมได

เชน รากทถอดไมลงตว ทศนยมไมซ า และ e

R แทนเซตของจ านวนจรง คอจ านวนทประกอบดวยจ านวนตรรกยะกบจ านวนอตรรกยะ

ตวอยางท 1 จงพจารณาจ านวนทก าหนดใหในแตละขอวาเปนจ านวนอะไรบาง

จ านวนนบ จ านวนเตมลบ จ านวนเตม จ านวน ตรรกยะ

จ านวน อตรรกยะ

1. 0

2. 6

2

3. 2

5

4. 0.7

5. 2

6. 3

5

7. 9 25

8. 1

9. 5 3

10. 1 4

11. 22

7

12. 3.14 13. 3.666 14. 1.121231234

15. 12

3


3

ตวอยางท 2 จงบอกวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ

…………………….1. 0.010101010... เปนจ านวนตรรกยะ

…………………….2. 0.210210210210... เปนจ านวนตรรกยะ

…………………….3. 0.434334334... เปนจ านวนตรรกยะ

…………………….4. 0.46666... เปนจ านวนตรรกยะ

…………………….5. 0 เปนจ านวนเตมบวก

…………………….6. 0 เปนจ านวนจรง

…………………….7. จ านวนทเขยนไดในรปทศนยมซ าไมเปนจ านวนตรรกยะ

…………………….8. จ านวนทเขยนไดในรปทศนยมซ าไมเปนจ านวนอตรรกยะ

…………………….9. 2a a ไมวา a เปนจ านวนจรงใดใด

…………………….10. มจ านวนจรง x ท x 1 2


4

2. สมบตของจ านวนจรงเกยวกบการบวกและการคณ

2.1 การเทากนในระบบจ านวน

ใชสญลกษณ “ = ” แทนการเทากน เชน 5 2 7 , 40.5

8

คณสมบตของการเทากนของจ านวนจรง เมอ a,b และ c เปนจ านวนจรงใดๆ

สมบต นยาม ตวอยาง 1. สมบตการสะทอน a a 2. สมบตสมมาตร ถา a b แลว b a 3. สมบตถายทอด ถา a b และ b c แลว a c 4. สมบตการบวกดวยจ านวนเทากน ถา a b แลว a c = b c 5. สมบตการคณดวยจ านวนเทากน ถา a b แลว ac bc

ตวอยางท 3 ก าหนดตวแปรทกตวเปนจ านวนจรงใดๆ จงพจารณาขอความในแตละขอวาใชคณสมบตใด

ขอความ คณสมบต 1. 5 a a 5 2. ถา a 2c 2a c แลว 2a c a 2c 3. ถา a 2c 2a c แลว a 2c 2 2a c 2 4. ถา a b 10 และ 10 2b c แลว a b 2b 10 5. ถา a 2c 2a c แลว 5(a 2c) 5(2a c) 6. 5 a a 5 7. ถา 2ac 4b c แลว 2ac 4 4b c 4 8. ถา 2a 3b d c และ d c a 2b แลว

2a 3b a 2b

9. ถา 2ac 4b c แลว 2ac 1(4b c)

2 2

10. ถา 2ac 4b c แลว 4b c 2ac


5

ตวอยางท 4 ก าหนดตวแปรทกตวเปนจ านวนจรงใดๆ จงพจารณาขอความในแตละขอแลวใชเปนคณสมบตชวย

เตมขอความใหสมบรณ

ใชคณสมบตการถายทอด

1. ถา 2a 3b c และ c a 2b แลว 2a 3b = ……………………………………..

2. ถา d c 2(a 3b) และ d c 3(a 2b) แลว 2(a 3b) = ……………………………………..

3. ถา 2(5 3x) 3x และ 3x 7 2x 2(5 3x) = ……………………………………..

4. ถา 7 3x x 2y และ 2x 5 x 2y แลว 7 3x = ……………………………………..

ใชคณสมบตการบวกเขาและการคณเขา

5. ถา x 4 แลว x 3 = ……………………………………..

6. ถา x y 10 แลว ……………………. = 10 ( 4)

7. ถา 3x 4 แลว 1(3x)

3 = ……………………………………..

8. ถา 3xy y ab แลว ……………………. = abc

9. ถา a b xy 5y แลว a b c = ……………………………………..

10. ถา 2a b2xy 5y

5

แลว 2a b

5( )5

= ……………………………………..

ตวอยางท 5 จงพจารณาวาแตละขนตอนใชคณสมบตอะไรเขามาแกปญหา

1. ก าหนดให a 2x 5 และ a 13 จงหาคา x

วธท า a = 2x 5

2x 5 = a (1) …………………………………………………………………

a = 13 (2) …………………………………………………………………

2x 5 = 13 (3) …………………………………………………………………

2x 5 ( 5) = 13 ( 5) (4) …………………………………………………………………

2x = 8

12x

2 = 1

82 (5) …………………………………………………………………

x = 84

2


6

2. ก าหนดให 7(2x y) 14 , a 3 3b 1 และ a 3 2x y จงหาคา b

วธท า 7(2x y) = 14 (1) …………………………………………………………………

17(2x y)

7 = 1

147 (2) ………………………………………………………………

2x y = 2

a 3 = 2x y (3) ………………………………………………………………

a 3 = 2 (4) ………………………………………………………………

a 3 = 3b 1 (5) ………………………………………………………………

3b 1 = 2 (6) ………………………………………………………………

3b 1 1 = 2 1 (7) ………………………………………………………………

3b = 3

13b

3 = 1

33 (8) ………………………………………………………………

b = 1


7

2.2 สมบตของจ านวนจรง

หมายเหต เครองหมาย แทนดวย , , ,

1. สมบตปด (Closed Property)

บทนยาม a,b U การกระท า มคณสมบตปด กตอเมอ a b U

เชน

2. สมบตการสลบท (Commutative Property)

บทนยาม a,b U การกระท า มคณสมบตสลบท กตอเมอ a b b a

เชน

3. สมบตการจดหม (เปลยนกลม) (Associative Property)

บทนยาม a,b U การกระท า มคณสมบตจดหม กตอเมอ (a b) c a (b c)

เชน

4. สมบตการมเอกลกษณ (Identity Property)

บทนยาม a,e U ถา e เปนเอกลกษณและเปนคาคงทเพยงคาเดยว

ภายใตการกระท า จะไดวา a e a e a

ดงนน เอกลกษณการบวกคอ…………………………

ดงนน เอกลกษณการคณคอ………………………………


8

5. สมบตการมอนเวอรส (Inverse Property)

อนเวอรสการบวก ในระบบจ านวนจรงอนเวอรสการบวกของจ านวนจรง a หมายถง จ านวนจรงทบวกกบ

a แลวไดผลลพธเปน 0 จะใชสญลกษณ a นนคอ a ( a) 0 ( a) a

ตวอยางท 6 อนเวอรสการบวกของจ านวนจรง

จ านวนจรง (a) อนเวอรสการบวก ( a) a ( a) 0 ( a) a

5 5

0.3 3

2 1

4

อนเวอรสการคณ ในระบบจ านวนจรงอนเวอรสการคณของจ านวนจรง a โดยท a 0 หมายถง จ านวน

จรงทคณกบ a แลวไดผลลพธเปน 1 จะใชสญลกษณ 1a แทนอนเวอรสการคณของจ านวนจรง a นนคอ 1 1a a 1 a a

ตวอยางท 7 อนเวอรสการคณของจ านวนจรง

จ านวนจรง (a) อนเวอรสการคณ 1(a ) 1 1a a 1 a a

8 1

8

1

2

2 1.3


9

6. สมบตการแจกแจง

นนคอ a(b c) ab ac

เชน

สรปสมบตของระบบจ านวนจรงเกยวกบการบวกและการคณ

สมบต(Property) การบวก(Addition) การคณ(Multiplication) 1. สมบตปด (Closed Property)

a b a b

2. สมบตการสลบท (Commutative Property)

a b b a ab ba

3. สมบตการเปลยนหม (Associative Property)

(a b) c a (b c) (ab)c a(bc)

4. การมเอกลกษณ (Identity Property)

a 0 a 0 a เอกลกษณการบวกส าหรบทกๆ a คอ 0

a 1 a 1 a เอกลกษณการคณส าหรบทกๆ a คอ 1

5. การมอนเวอรส (Inverse Property)

ส าหรบ a จะมจ านวน a โดยท

a ( a) ( a) a 0 เรยก a วาเปนอนเวอรสการบวก หรอตวผกผนการบวกส าหรบ a

ส าหรบ a และa 0 จะมจ านวน 1a โดยท 1 1a a a a 1

เรยก 1a วาเปนอนเวอรสการคณ หรอตวผกผนการคณส าหรบ a

6. สมบตการแจกแจง (Distributive Property)

a(b c) ab ac


10

Worksheet 1 สมบตของจ านวนจรง

1. จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผด

……………….1) ผลบวกของจ านวนเตมเปนจ านวนเตม

……………….2) ผลบวกของจ านวนนบเปนจ านวนนบ

……………….3) ผลบวกของจ านวนเตมลบเปนจ านวนจรง

……………….4) มคาประมาณ 22

7 และ เปนจ านวนตรรกยะ

……………….5) สามารถหาจ านวนนบทมากทสดซงนอยกวา 10 ได

……………….6) มจ านวนเตมทมากกวา -1 แตนอยกวา 1

……………….7) 0.1234567... เปนจ านวนอตรรกยะ

……………….8) ถา x เปนจ านวนตรรกยะแลว x เปนจ านวนอตรรกยะ

……………….9) ผลคณของจ านวนเตมเปนจ านวนเตม

……………….10) ถา x เปนจ านวนอตรรกยะ แลว x เปนจ านวนค

……………….11) ถา x เปนจ านวนอตรรกยะ แลว x เปนจ านวนค

……………….12) ถา x เปนจ านวนอตรรกยะแลว x เปนจ านวนอตรรกยะ

……………….13) เซตของจ านวนอตรรกยะมสมบตปดการคณ

……………….14) เซตของจ านวนอตรรกยะมสมบตปดการบวก

……………….15) a,b เปนจ านวนอตรรกยะแลว ab เปนจ านวนอตรรกยะ

……………….16) a,b เปนจ านวนตรรกยะแลว a b เปนจ านวนตรรกยะ

……………….17) a,b เปนจ านวนตรรกยะแลว a b เปนจ านวนอตรรกยะ

……………….18) a,b เปนจ านวนอตรรกยะแลว a b เปนจ านวนอตรรกยะ

……………….19) 0.123เปนจ านวนตรรกยะ

……………….20) ถา a b เปนจ านวนตรรกยะแลว a,b เปนจ านวนตรรกยะ

……………….21) ผลคณของจ านวนจรงเปนจ านวนจรง

……………….22) จ านวนเตมหารจ านวนเตม ไดจ านวนตรรกยะ

……………….23) ไมมจ านวนเตมทนอยทสดในจ านวนนบ


11

2. จงบอกสมบตของจ านวนจรงตอไปน

ค าถาม คณสมบต

1. 3 เปนจ านวนจรง

2. 5 เปนจ านวนจรง

3. 8 (2 3) 8 (3 2) 4. (3 5) 7 7 (3 5) 5. (1 8) 6 1 (8 6) 6. 3 0 3 7. มจ านวนจรงทบวกกบ 8.666... แลวได 0 8. (ab)c (ba)c 9. (ab)c c(ab) 10. (ab)c a(bc) 11. 1 3 3 12. 1 1 1

13. 1 4 1 4203 107 (203 107) ( )

5 5 5 5

14. (10 a)(10 b) 10(10 a b) ab

3. ก าหนด U จงหาอนเวอรสการบวกภายใตการกระท าตอไปน

ค าถาม อนเวอรสการบวก ค าถาม อนเวอรสการบวก 1. 7 2. 5 3. 9 4. 10 5. 3.25 6. 2.5 7. 9.999... 8. 1.332 9. 10. 3

4

11. 8

7 12. 4

13. 2 14. 5 2

3


12

4. ก าหนด U จงหาอนเวอรสการคณภายใตการกระท าตอไปน

ค าถาม อนเวอรสการคณ ค าถาม อนเวอรสการคณ 1. 7 2. 5

3. 1

3 4. 1

8

5. 3

4 6. 7

6

7. 2 8. 5

9. 3

5

10. 7

5

11. 1 2

3

12. 2

3 5

5. ในแตละระบบทประกอบดวยเซตค าตอบตอไปนและกระท าดวยการบวกและการคณของสมาชกในเซต

จงตรวจสอบวามคณสมบตดงกลาวหรอไม

เซต การบวก การคณ ปด เปลยน

กลม เอกลกษณ อน

เวอรส ปด เปลยน

กลม เอกลกษณ อน

เวอรส 1. 2. I 3. 4. {0,1,2,3,...} 5. { 1,0,1} 6. {0,1,2,3,4,5} 7. {0,2,4,6,...} 8. {0,1,2} 9. { 1,1} 10. {0}


13

3. การแกสมการก าลงสอง

พหนาม (Polynomial) คอ ผลบวกของกลมตวแปรทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก

การแยกตวประกอบของพหนาม คอ การท าพหนามใหเปนวงเลบคณกน โดยทแตละวงเลบนนจะเปนพห

นามทดกรต ากวาพหนามดกรทก าหนดและการแยกตวประกอบ (แยกเปนวงเลบคณกน)

2.1 การแยกตวประกอบของพหนามในรป 2ax bx c โดย a 0,b 0 และ c 0

ถาพหนามมการแยกใหเปนวงเลบคณกน มวธการท า 3 วธ คอ

1. วธการดงตวรวม

2. วธการอางองจากสตร ผลตางก าลงสอง มสตรดงน 2 2a b (a b)(a b)

3. วธการอางองจากสตร ก าลงสองสมบรณ มสตรดงน 2 2 2(a b) a 2ab b

1. การดงตวรวม (คณสมบตการแจกแจง)

ตวอยางท 9 จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

พหนาม แยกตวประกอบ พหนาม แยกตวประกอบ

1. 24x 3x 7. 239y 26y

2. 212x 4x 8. 2625z 75z

3. 2x 5x 9. 3 2x 5x

4. 221x 14x 10. 25x 10x

5. 29x 15x 11. 23x 9x

6. 2x 3x 12. 81x 54


1. 23x 6x = 2. 3 2x x x 1 =

3. 210x 15x = 4. 27x 12x =

5. 3 22x 7x 3x = 6. 3 2x 5x 16x 80 =


14

2. ใชหลกของ ผลตางก าลงสอง มสตรดงน 2 2a b (a b)(a b)


1. 2x 4 = 2. 2x 9 =

3. 29x 25 = 4. 249x 4 =

5. 225x 81 = 6. 22x 1 =

7. 4 2x x = 8. 3x 16x =

9. 4x 16 = 10. 32x 8x =

11. 29a 25 = 12. 225y 144 =

3. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง 2 2 2(a b) a 2ab b


1. 2x 4x 4 = 2. 2x 4x 4 =

3. 2x 6x 9 = 4. 2y 8y 16 =

5. 24x 12x 9 = 6. 225x 20x 4 =

7. 2x 5x 6 = 8. 2x 4x 3 =

9. 2x 5x 4 = 10. 2x x 12 =

11. 22x 3x 1 = 12. 22x 5x 2 =

13. 22x 9x 10 = 14. 23x 17x 10 =

15. 24x 5x 6 = 16. 24x 8x 3 =

17. 26x 35x 6 = 18. 210x 19x 6 =

ใชหลกของ ก าลงสองสมบรณ มสตรดงน 2 2 2(a b) a 2ab b

การท าพหนาม 3 พจนใหเปนก าลงสองสมบรณ มขนตอนการท าดงน

1) ท าใหสมประสทธของ 2x เปน 1

2) น า “2” หาร ส.ป.ส ของ x ไดเทาใด น ามายกก าลงสองแลวบวกเขาและลบออก

3) ยบ 3 พจนใหเหลอ 2 พจนโดยใชสตรของผลบวกและผลตางทงหมดยกก าลงสอง


15

3.1 การแยกตวประกอบโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณโดยไมเขาฟอรม

การแยกตวประกอบโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ สามารถท าโดยใชแนวคดดงน

ตวอยางท 13 2x 2x 5 =

=

=

ดงนน 2x 2x 5 =

จาก 2 2x a = (x a)(x a)

จะได 2(x 1) 6 =

=

ตวอยางท 14 จงใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1) 2x 6x 2 2) 2x x 1

3) 2x 6x 5 4) 2x 4x 4


16

3.2 การแกสมการก าลงสองโดยใชสตร

ถา 2ax bc c 0 แลว 2b b 4ac

x2a

1. ถา 2b 4ac 0 แลว คา x ทไดเปนจ านวนจรงและไดคา x 2 คา

2. ถา 2b 4ac 0 แลว คา x ทไดเปนจ านวนจรงและไดคา x เพยง 1 คา

3. ถา 2b 4ac 0 แลว คา x ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง คาทไดเปนจ านวนจนตภาพ

ตวอยางท 15 จงหาค าตอบของสมการตอไปน โดยใชสตร

1) 23x 11 0

2) 2x x 5 0

3) 2x 6x 9 0


17

3.2 การแกสมการพหนามก าลงสองตวแปรเดยว

ถา a และ b เปนจ านวนจรงและ ab 0 แลว a หรอ b อยางนอยหนงตวตองเปนศนย

ตวอยางท 16 จงหาค าตอบของสมการ x(x 2) 0

ตวอยางท 17 จงหาค าตอบของสมการ (x 2)(x 3) 0

ตวอยางท 18 จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน

1. 2x(x 3) 0 2. (2x 1)(x 4) 0

3. x(x 2) 0 4. (x 1)(x 5) 0

5. (3x 2)(5x 3) 0 6. 3x(x 5) 0

7. (x 3)(x 2) 0 8. 2(x 2) 0

9. (3x 2)(5x 3) 0 10. 3x(x 5) 0


18

ตวอยางท 19 จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน

1. 22x 15 x 2. 2x 1 x 1

3 4

3. 2 25x 4x 21 (x 2) 4. x 1 2

21 x

5. 2 2(3x 2) 6x x 6 6. 2 2(2 x 3) (x 2)


19

ตวอยางท 20 ในหอประชมของโรงเรยนแหงหนงพบวา จ านวนเกาอในแตละแถวนอยกวาจ านวนแถวทงหมดใน

หอประชมอย 8 ถามเกาอทงหมด 609 ตว อยากทราบวาในแตละแถวมเกาอกตว

วธท า

ตวอยางท 21 จงหาความยาวของดานประกอบมมฉากของรปสามเหลยม ABC จากรปทก าหนด

วธท า

x 3 x 1

x 2

A

B C


20

ตวอยางท 22 ตองการน าลวดหนามยาว 25 วา มาลอมทดนรปสเหลยมผนผา โดยลอมเพยงสามดานเทานน

เนองจากอกดานหนงตดกบแมน า จะตองลอมทดนใหกวางยาวเทาไร จงท าใหไดพนทเทากบ 75 ตารางวา

วธท า

ตวอยางท 23 ทดนรปสเหลยมพนผา กวาง 15 วา ยาว 20 วา ตองการท าถนนรอบทดนแปลงน โดยกวางของ

ถนนเทากนโดยตลอด สวนทดนทเหลอตรงกลางมพนท 126 ตารางวา จงหาความกวางของถนน

วธท า

ตวอยางท 24 จงหาจ านวนเตมบวกสองจ านวนซงตางกนอย 6 และผลบวกก าลงสองของแตละจ านวนเปน 306

วธท า


21

ตวอยางท 25 จงหาจ านวนคบวกสองจ านวนทเรยงตดกน ทมผลคณเทากบ 165

วธท า

ตวอยางท 26 นกเรยนทงหมดในหองหนงตองการสงบตรอวยพรใหเพอนทกคนในหองคนละหนงใบ พบวาใชบตร

อวยพรทงหมด 420 ใบ นกเรยนในหองนมทงหมดกคน

วธท า


22

Worksheet 2: การแยกตวประกอบของพหนาม

1.จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน (แสดงวธท าลงสมด)

1. 2x 7x 12 2. 2x 4x 12 3. 2x x 2 4. 2x 2x 3

5. 2x 5x 4 6. 2x 6x 5 7. 2x 7x 12 8. 2x 5x 6

9. 2x 3x 10 10. 2x 6x 8 11. 2x 4x 12 12. 2x 5x 14

13. 2x 7x 18 14. 2x x 12 15. 2x 2x 15 16. 2x 9x 18

17. 2x x 20 18. 2x 3x 28 19. 2x 2x 48 20. 2x 16x 63

21. 25x 45 22. 24x 9 23. 22x 5x 3 24. 22m 7m 4

25. 23x 3x 36 26. 235m 18m 8 27. 2(4 x 3) 49 28. 212m 8m 1

29. 22n n 3 30. 3 23x 9x 31. 2(x 2) 12(x 2) 36

32. 2 2 2(x 2) 18(x 2 x) 81x

2. จงหาคา m ของพหนามในรปก าลงสองสมบรณในแตละขอตอไปน

1. 2 2x mx 4 (x 2) 2. 2 2x mx 16 (x 4)

3. 2 2x 2mx 100 (x 10) 4. 2 2x 3mx 81 (x 9)

5. 2 2x 4x m (x 2) 6. 2 2x 8x m (x 4)

7. 2 2x 10x m (x 5) 8. 2 2(x mx m) (x 2)

9. 2 24x mx 16 (2x 4) 10. 2 29x mx 4 (3x 2)

3. จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน โดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ

1. 2x 6x 16 2. 2x 2x 15

3. 2x 5x 2 4. 2x 8x 14

5. 2x 5x 8 6. 2x 4x

6. 2x 3x 7. 28 4x x


23

4. จงแยกตวประกอบของพหนามโดยใชสตร

1. 22x 8 0 2. 23x 6x 0

3. 2x 4x 12 0 4. 2x 3x 28 0

5. 24x 5x 6 0 6. 23x 27 0

7. 2x x 20 0 8. 23x 17x 10 0

9. 2x 4x 2 0 10. 23x 5 0

11. 2x 5x 4 0 12. 2x 7x 11 0

5. จงหาค าตอบของสมการตอไปน โดยการแยกตวประกอบ

1. 22x 5x 3 0 2. 22m 7m 4 0

3. 22n 9n 18 0 4. 25n 7n 0

5. 2(x 3) 4 6. 2x

x 49

7. 21x 7x 12

2 8. n(n 1) 32

6. จงหาค าตอบของสมการโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ

1. 2x 4x 2 0 2. 2x 5x 3 0

3. 2x 7x 2 0 4. 2x 7x 4 0

5. 2x 3x 2 0

7. จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน

1. (x 5)(x 3) 0 2. 7x(2x 3) 0

3. (x 3)(x 3) 0 4. (2x 3)(5x 4) 0

5. (7 x 2)(5x 1) 0 6. 2(x 3) 0

7. 2 2(5 x) (3x 1) 8. 2 2(x 4) (2 x 1)

9. 2 2(2 x 3) (x 2) 10. 3x 1 0

2x


24

การไมเทากน ในการเปรยบเทยบจ านวนสองจ านวน นอกจากการเปรยบเทยบวาเทากนหรอไมเทากนแลวยงมการ

เปรยบเทยบวา มากกวาหรอนอยกวาไดโดยเขยนใหอยในรปสญลกษณ

เชน ให n เปนจ านวนเตม เชน

n 5 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..

n 1 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..

n 3 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..

n 10 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..

n 5 หมายถง……………………………………………………………………………………………………………………..

ประโยคทมสญลกษณ , , , หรอ ขางตน เรยกวา อสมการ

ตวอยางท 27 การเขยนสญลกษณการไมเทากนแทนขอความ

1. n มากกวา 4 เขยนแทนดวย

2. m นอยกวา 1

2 เขยนแทนดวย

3. x นอยกวาหรอเทากบ 8 เขยนแทนดวย

4. y นอยกวาหรอเทากบ 2 เขยนแทนดวย

5. x มากกวาหรอเทากบ 0 เขยนแทนดวย

6. x ไมเทากบ 3 เขยนแทนดวย

สรปบทนยาม a b หมายถง a ไมมากกวา b

a b หมายถง a ไมนอยกวา b

a b c หมายถง a b และ b c





25

สมบตการไมเทากน

ให a,b,c เปนจ านวนใดๆ

1. สมบตการถายทอด ถา a b และ b c แลว a c

เชน

2. สมบตการบวกดวยจ านวนเทากน ถา a b แลว a c b c

เชน

3. สมบตการลบดวยจ านวนเทากน ถา a c b c แลว a b

เชน

4. สมบตการคณดวยคาคงททเทากน

4.1 ถา a b และ c 0 แลว ac bc

4.2 ถา a b และ c 0 แลว ac bc

เชน

5. สมบตการหารดวยคาคงททเทากน

4.1 ถา ac bc และ c 0 แลว a b

4.2 ถา ac bc และ c 0 แลว a b

เชน

6. ถา ab 0 แลว (a 0 แลว b 0) หรอ (a 0 และ b 0)

เชน

7. ถา ab 0 แลว (a 0 แลว b 0) หรอ (a 0 และ b 0)

เชน


26

ชวง (Interval) ชวงเปนสบเซตของจ านวนจรง เราสรางชวงขนเพอใชเปนสญลกษณแทนจ านวนจรงทอยในรปของอสมการ “ชวง” จงเปนเซตและเราสามารถเขยน ชวง แทนไดดวยเสนจ านวนจรง บทนยาม ให a,b และ a b 1. ชวงเปด (a,b) หมายถง {x | a x b} 2. ชวงปด [a,b] หมายถง {x | a x b} 3. ชวงครงเปด (a,b] หมายถง {x | a x b} 4. ชวงครงเปด [a,b) หมายถง {x | a x b} 5. ชวงอนนต (a, ) หมายถง {x | a x } = {x | x a} [a, ) หมายถง {x | a x } = {x | x a} ( ,a) หมายถง {x | x a} = {x | x a} ( ,a] หมายถง {x | x a} = {x | x a} 6. ชวง ( , ) หมายถง {x | x } = เซตของจ านวนจรง ( )

การเขยนชวงบนเสนจ านวนจรง

(a,b) =

[a,b] =

[a,b) =

(a,b] =

(a, ) =

[a, ) =

( ,a) =

( ,a] =

( , ) =

a

a

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b


27

ชวง (Interval)

ชนดของชวง สญลกษณ หมายถง ตวอยาง แสดงเสนจ านวน

ชวงเปด (a,b) {x | a x b} (2,5)

ชวงปด [a,b] {x | a x b} [2,5]

ชวงครงเปด (a,b] {x | a x b} (2,5]

ชวงครงเปด [a,b) {x | a x b} [2,5)

ชวงอนนต (a, ) {x | x a} (2, )

ชวงอนนต [a, ) {x | x a} [2, )

ชวงอนนต ( ,a) {x | x a} ( ,2)

ชวงอนนต ( ,a] {x | x a} ( ,2]

ชวงอนนต ( , ) {x | x } ( , )


28

ตวอยางท 28 จงเตมขอมลในตารางใหสมบรณ

ขอ กราฟบนเสนจ านวน เซต ชวง 1.

{x | 4 x 5} ( 4,5)

2.

3.

4.

{x | 2 x 7}

5.

{x | 5 x 1}

6.

{x | 3 x 1 x 3}

[ 3,1) [3, )

7.

8.

{x | 8 x 5 x 3}

9.

[ 12, 5)

10.

[ 5, 3] [2,4] 11.

( , 8) [ 2,3) [5, )

4 5

10

1

3 3

4 4 8


29

ตวอยางท 29 จงเขยนชวงตอไปนบนเสนจ านวนจรง

1. A (2,5) 2. B [ 1,4]

3. C [2,5) 4. D ( 1,5]

5. E (2, ) 6. F ( ,3]

Worksheet4: สมบตการเทากนและชวง

1. พจารณาขอความตอไปนวาถกหรอผด โดยท a,b,c

……………………… 1. ถา a b แลว a b เปนจ านวนจรงลบ

……………………… 2. ถา a b แลว a b เปนจ านวนจรงบวก

……………………… 3. ถา a b และ b c แลว a c

……………………… 4. ถา a b แลว a c b c

……………………… 5. ถา a c b c แลว a b

……………………… 6. ถา a b แลว ac bc

……………………… 7. ถา a b และ c 0 แลว ac bc

……………………… 8. ถา a b และ c 0 แลว ac bc

……………………… 9. ถา ac bc แลว a b

……………………… 10. ถา ab 0 แลว a 0 และ b 0

……………………… 11. ถา ab 0 แลว a 0 และ b 0


30

2. จงเตมขอมลในตารางใหสมบรณ

ขอ กราฟบนเสนจ านวน เซต ชวง 1.

2.

3.

4(m 3) 3(m 2) {x | 3 x 9}

4.

{x | x 6}

5.

{x | x 10}

6.

{x | x 1 3 x 7}

7. (3,8)

8. ( 10,2] (2,10]

9. [ 9, 1] (7,15)

10.

( , 2) (1,4] (8, )

10


31

3. จงเขยนชวงค าตอบตอไปน แทนกราฟบนเสนจ านวน

1. (1,3) 2. ( 3,6]

3. [ 2,4) 4. [ 3,0]

5. ( ,6] 6. (8, )

7. ( , ) 8. ( ,0)

9. [0,5) 10. ( 2,3]


32

การแกอสมการของจ านวนจรง

การแกอสมการคอ การหาเซตค าตอบของอสมการ

ตวอยางท 30 จงแกสมการตอไปนและแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน

1. x 5 2 2. x 1 0

3. 2n 8 4. x2

3

ตวอยางท 31 จงแกอสมการตอไปน พรอมทงแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน

1. x 3 9 2. x 5 3


33

การแกอสมการพหนาม

ขนตอนการแกอสมการพหนาม จะใชคณสมบตพนฐานเรองการบวกลบคณและหารคาคงทเขาไปทง 2 ขาง

ในอสมการ ซงสามารถสรปออกมาได 2 ขอ คอ

1. ยายขาง บวก ลบ ท าไดเลย เครองหมายอสมการเหมอนเดม

2. ยายขาง คณหาร ท าไดแตตองมขอตองระวงดงตอไปน

2.1 ตวทคณหรอหารหรอยายไปคณหรอหารเปนบวก เครองหมายอสมการเหมอนเดม

2.2 ตวทคณและหาร หรอยายไปคณหรอหาร เปนคาลบ เครองหมายอสมการตองเปลยนเปนตรงขาม

2.3 ตวทคณหรอหารทง 2 ขาง ไมทราบวาเปนบวกหรอลบ

สรป สมบตการคณดวยจ านวนลบ จะท าใหเครองหมายของอสมการเปลยนไปดงน

1) เครองหมาย เปลยนเปน เชน

2) เครองหมาย เปลยนเปน เชน

ตวอยางท 32 จงแกอสมการตอไปนและตอบในรปชวง

1. x 2 2) x7 1

2

ตวอยางท 33 จงแกอสมการและตอบในรปชวง

1) 4(x 1) 8 2) 5x 7 3x 1


34

ตวอยางท 34 จงหาเซตค าตอบของอสมการ

1. 7 x 6

10 2 5 2. 8 3x 4

3. 3(2x 5) 16 4(3x 2) 8 4. 2(8 5x) 9 3(4x 7) 1

ตวอยางท 35 จงแกอสมการ 3 6x 1 3 และตอบในรปชวง


35


1. 3x 5 2x 3 2

4 9 3

2. 2(3x 1) 4 2(6 x)

5 7 3

3. 2 3x 7 20 4. 5 4x 9 7

5. 7 3 2x 5 6. 3 x 6 2x x 3


36

การแกอสมการก าลงสองตวแปรเดยว

ใชหลกในการหาค าตอบ

ขนท 1 ท าใหสมการทางขวามอเปน 0

ขนท 2 ท าใหการแยกตวประกอบของพหนาม เชน (x a)(x b)(x c) 0

ขนท 3 หาคาวกฤตของอสมการ เชน คาวกฤตของ x 2 คอ x 2 0 ดงนน x 2

คาวกฤตของ x 2 คอ x 2 0 ดงนน x 2

ขนท 4 น าคาวกฤตไปลงบนเสนจ านวน เชน (x a)(x b)(x c) 0

จะไดคาวกฤตดงน x a 0 หรอ x b 0 หรอ x c 0

แสดงวา x a หรอ x b หรอ x c

ขนท 5 เขยนเสนจ านวนแลแบงตามชวง โดยก าหนดเครองหมายทอยขวาสดเปนบวกแลวสลบชวงตอมาทางซาย

เปนลบ บวก ดงน

ขนท 6 ค าตอบขนกบเครองหมายของอสมการ

ถาเครองหมายอสมการเปน กเลอกใชชวงเปด (บวก) ไปตอบ

ถาเครองหมายอสมการเปน กเลอกใชชวงปด (บวก) ไปตอบ

ถาเครองหมายอสมการเปน กเลอกใชชวงเปด (ลบ) ไปตอบ

ถาเครองหมายอสมการเปน กเลอกใชชวงปด (ลบ) ไปตอบ

ตวอยางท 37 จงหาเซตค าตอบในรปชวงของอสมการ

1. (x 1)(x 3) 0 2. (x 1)(x 2) 0

3. (x 2)(x 2) 0 4. (x 1)(x 4) 0


37

5. x(x 2) 0 6. 3x(x 3) 0

7. (2x 1)(3x 2) 0 8. (5x 2)(4x 3) 0

9. (3x 4)(5x 6) 0 10. (3 x)(5 x) 0

ตวอยางท 37 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2x 2x 3


38

ตวอยางท 38 จงหาเซตค าตอบของสมการ 2 1

3 x x 2

ตวอยางท 39 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 2

2x 25xx 9

2

ตวอยางท 40 จงหาเซตค าตอบของอสมการ 3 x 15

x x


39


1. 2 221 5x 4x x 5x 4 2. 2 25x 7x 50 3x x 50

3. 2 28x 9x 12 3(x 2) 4. 214 x x 2

6. 22(24 x) x 8. x(2x 1) 2x 1

3 7


40

9. 2 24x 10x 19 x 10x 1 10. 2 2x 2x 5 5x 2x 3

11. 2x

1 x4 12.

2x3x 5

2

13. x 1 3

x 2x

14. x 1

02 x


41

Worksheet5: การแกอสมการพหนาม

แสดงวธท าลงสมด

1. จงหาคา x ทสอดคลองกบอสมการในแตละขอตอไปน

1) 2x 4 0 2) 7x 5 0 3) 5x 1 0

4) 3x 9 0 5) 3 7x 2 6) 8 2x 4

7) 4x 6 2x 7 8) 6 5x 4 5x 9) 2x 15 7x 8 6x

10) 2(7x 8) 7(2 x) 26 11) 3 x 5x 3x 2 12) 7(x 3) 6(2x 3) 2

13) (x 2)(x 3) x(x 4) 14) (x 3)(x 1) x(x 6) 15) 3x 2 9x 11

3 7

16) 2x 1 2 x 8

5 3 6

17) 5(x 9) 3(x 1)

136 4

18) 3(x 3) 2(x 2)5

4 5

19) 2 x 3 6 20) 4 3x

5 12

21) 3 5 4x 9 22) 2 x 2x 1 3x 5

23) 2 x 5 2x 8 5x 24) x 12 2x 5 17 4x

2. จงแกอสมการตอไปนและแสดงค าตอบโดยใชเสนจ านวน

1) 3x 2 4 6x 2) 6x 5

3) 2x 5 3 4) 4(m 3) 3(m 2)

5) 2x 16 6) 2x 4

7) 2x 6x 9 0 8) (x 3)(x 2) 0

9) 2x 5x 4 0 10) (x 3)(x 2) 0

11) (x 2)0

(x 8)

12)

2

2

x0

x 1

13) 1 1

x 2x 3

14) 3 1

x 3 4 2x


42

3. จงหาเซตค าตอบในรปชวงของอสมการในแตละขอตอไปน

1) (x 3)(x 4) 0 2) (x 4)(x 5) 0

3) (x 4)(x 8) 0 4) (x 2)(x 4) 0

5) (3x 5)(2x 3) 0 6) (2x 1)(4x 5) 0

7) x(x 3) 0 8) x(x 6) 0

9) 2x 4x 21 0 10) 214 5x x 0

11) 23x 4 13x 12) 26x 19x 10

4. จงหาเซตค าตอบของสมการ

1) 2 22x 3x 8 x 3x 8 2) 2 23x 6x 10 6x 6x 12

3) 2 22x 6x 10 6x 9x 10 4) 2 24(2 x 1) (2 3x)

5) 2 220 10x 3x 2 3x 2x 6) 2 19x5x 3

2

7) 2x 1x

6

8)

2x 12 x

2

9) 2x1 x

2 10) 3 2 x

2x x

11) 2 3x x

2 12) 2x 1

0x 3

13) x 11

2x 1


43

คาสบบรณ (Absolute Value)

คาสมบรณของจ านวนจรง a เขยนแทนดวย | a | หมายถง ระยะหางระหวางจด 0 ถงจด a บนเสนจ านวน

เชน | 2 | หมายถง ระยะจากจด 0 ถงจดทแทนจ านวน 2 ซงเทากบ 2 หนวย

| 2 | หมายถง ระยะจากจด 0 ถงจดทแทนจ านวน 2 ซงเทากบ 2 หนวย

บทนยาม ให a เปนจ านวนจรง

a a 0

| a | 0 a 0

a a 0

หรอ a ; a 0| a |

a ; a 0

สมบตของคาสมบรณ

ให a,b เปนจ านวนจรงใดๆ

1. | a | = | a |

2. | ab | = | a || b |

3. a

b = | a |

| b | เมอ b 0

4. | a b | = | b a |

5. 2| a | = 2 2| a | a

ถา ถา

ถา


44

ตวอยางท 43 จงหาคาของคาสมบรณตอไปน

1. |7| = 2. | 7 | =

3. | 0 | = 4. | 5 | =

ตวอยางท 44 จงหาคาสมบรณตอไปน

1. |3 x 4| = 2. | ( 2)(5) | =

3. 7

3 = 4. 36

3

=

5. | 2 3 | = 6. 2| 4 | =

7. 2| 3 | = 8. | 2 6 | =


1. | 8 2 | = 2. | 2 8 | =

3. | 4 8 |

| 2 |

= 4. | 48 | =

5. |15 32 | = 6. | 32 15 | =

7. | 18 12 | = 8. | 18 |

| 36 |

=

9. | 25 |

| 50 |

= 10. | 4 ( 12) | =


1. | 15 10 |

| 20 |

= 2. | 10 5 |

| 20 |

=

3. | 5 10 |

| 20 |

=


45

การแกสมการคาสมบรณ

ทฤษฎบท ถา a เปนจ านวนจรงบวกใดๆ ถา | x | a แลว x a หรอ x a

ขอควรระวง ตองรวา “ a เปนเลขบวก” จงจะกระจายไดหรอถอดจากคาสมบรณ

ตวอยางท 47 จงหาคา x จากสมการตอไปน

1. | x | = 5 2. | x 3 | 7

3. | x 2 | 9 4. | x 2 | 3

5. | x 8 | 12 6. 1 1

| x 3 | 15


46

การแกอสมการคาสมบรณ

โดยทวไป ถา a เปนจ านวนจรงบวกใดๆ

| x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ a x a

และ | x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ a x a

เชน | x | 2 หมายความวา ระยะทางจากจด x ไปยงจด 0 บนเสนจ านวนทนอยกวา 2 หนวย

เขยนแสดงบนเสนจ านวน ไดดงน คอ………………………………………………………………………………..

เชน | x | 2 หมายความวา ระยะทางจากจด x ไปยงจด 0 บนเสนจ านวนทนอยกวา 2 หนวย

เขยนแสดงบนเสนจ านวน ไดดงน คอ………………………………………………………………………………..

| x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ x a และ x a

และ | x | a มความหมายเชนเดยวกนกบ x a และ x a

เชน | x | 3 เขยนแสดงบนเสนจ านวน ไดดงน คอ…………………………………………

เชน | x | 3 เขยนแสดงบนเสนจ านวน ไดดงน คอ………………………………………….


47

ตวอยางท 48 จงหาเซตค าตอบของ

1. | x 3 | 2 2. | 3x 1| 5

3. | 2x 5 | 8 4. | 4x 3 | 6

5. | 2x 1| 3 6. 1 | 2x 1| 7

7. 2 | 2 3x | 5 8. 2x 3| | 1

5


48

Worksheet 6: การแกสมการและอสมการคาสมบรณ

1. จงพจารณาขอความตอไปนถกและผด โดยท a,b

……………………1) 12 |12 | ………………………2) | 6 | 6

……………………3) | 2 5 | | 2 | | 5 | ………………………4) | 2 5 | | 2 | | 5 |

……………………5) | 2 5 | | 5 2 | ………………………6) | 2 5 | | 2 | | 5 |

……………………7) 2 2| 6 | ( 6) ………………………8) 3 3| 5 | ( 5)

……………………9) | 6 | | 6 | ………………………10) | (2)( 3) | | 2 || 3 |

……………………11) 2 | 2 |

3 | 3 |

………………………12) | 3 | | 3 |

……………………13) | 2 | | 2 | ………………………14) | 4 | | 3 |

……………………15) 2 2| 5 | | 5 | ………………………16) | 7 | 7

……………………17) 3 3| 3 | | 3 | ………………………18) | a | 0

……………………19) | a | a ………………………20) ถา | a | a แลว a

……………………21) ถา | a | a แลว a 0 ………………………22) ถา | a | | b | แลว a b

……………………23) ถา | a | | b | แลว 2 2a b ………………………24) ถา | a | | b | แลว a b

……………………25) ถา | a | 2 แลว a 2 ………………………26) ถา | a | 2 แลว | a | 2

(แสดงวธท าลงสมด)

2. จงหาผลลพธตอไปน

1) | 2 | | 3 4 | 2) || 3 | | 3 2 6 ||

3) || 4 ( 8 6) | | 2 (4 1 2 3) || 4) | 4 |

5) | 5 | | 3 | 2 1||

3. จงแสดงคา x บนเสนจ านวน เมอก าหนดให

1) | x | 5 2) | x | 4 3) | x | 7 4) | x | 3

5) | x | 5 6) | x | 0 7) | x | 0 8) | x | 0


49

4. จงหาค าตอบของสมการคาสมบรณตอไปน

1) | x 2 | 6 2) | x 2 | 3 3) | 2x 4 | 8

4) | 4 2x | 6 5) | 3 5x | 1 6) | 2x 1| 2 3x

5. จงแกอสมการคาสมบรณตอไปน

1) | x | 4 2) | x 2 | 5

3) | x 4 | 3 4) | 3x 6 | 3

5) | 5x 10 | 10

1 (ค31101) 4 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา...

Documents