К1-Прв Колоквиум Задaчи

7/17/2019 К1-Прв Колоквиум Задaчи

http://slidepdf.com/reader/full/1-a563db854550346aa9a92b917 1/17

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Калкулус 1

Испитни и колоквиумски задачи за

Прв колоквиум

Композиција на функции

1.

(2)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)

Да се определи доменот и формулата за f g ако f (x)= и g(x)=

2.

(2) (Прв колоквиум Калкулус 1-група 2)

Да се определи доменот и формулата за g f ако f (x) и g(x)=

3.


Да се определи доменот и формулата за f g ако f (x)=

и g(x)=

4.


Да се определи доменот и формулата за g f ако f (x)= и g(x)=

5.

(3)(Прв колоквиум Калкулус 1-2012-Група 1)

Дадени се функциите . Одреди го доменот на g f и f g

6.

(3)(Прв колоквиум Калкулус 1-2012-Група 2)

Дадени се функциите . Одреди го доменот на g f и f g

7.

(4)(Писмен испит Калкулус 1 –јуни 2012-група 1)


8.

(4) Писмен испит Калкулус 1 –јуни 2012-група 2)


9.

(4) (Писмен испит Калкулус 1 –јуни 2012-група 3)


10.

(4) )(Писмен испит Калкулус 1 –јуни 2012-група 4)

Да се определи доменот и формулата за g f ако f (x)=

и g(x)=

11.

(3) (Прв колоквиум Калкулус 1-2009-група 2)

Да се определат домените на f g и g f и да се изразат експлицитно, ако

12.


Да се определат домените на f g и g f и да се изразат експлицитно, ако





13.


Најди ги формулите и домените на f g и g f ако

14.



15.



16.



17.


Да се определи доменот на функцијата f g и да се изрази експлицито, ако

18.


Да се определи доменот на функцијата g f и да се изрази експлицито, ако

19.



20.

(3) (Писмен испит Калкулус 1- февруари 2009)

Да се определи формулата и доменот на g f за

21.

(3)(Прв колоквиум Калкулус 1- летен курс 2009)


22. (3)(Прв колоквиум Калкулус 1 -2008-група 1)


23. (3)(Прв колоквиум Калкулус 1-2007-летни курсеви)






Скицирање график на функција

1.


Да се скицира графикот на функцијата

2.



3.



4.



5.



6.



7.


Скицирај го графикот на функцијата

8.



9.


Да се скицира графикот на функцијата 2

10.

(2)(Прв колоквиум Калкулус 1-2007-летни курсеви)


11.

(2)(Прв колоквиум Калкулус 1- група 1)

Скицирај го графикот на функцијата

Параметарски равенки

1.


Да се скицира кривата преку елиминирање на параметарот t

2.







3.

(3)( Прв колоквиум Калкулус 1-2009-група2)

Да се скицира кривата преку елиминирање на

параметарот t

4.

(3)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 1) Да се скицира кривата преку елиминирање на параметарот t

5.



6.


Да се скицира кривата преку елиминирање на

параметарот t

7.



8.

(4)(Писмен испит Калкулус 1-летен курс)


Текстуални задачи

1.

(1.5+0.5) (Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)

Според Кулоновиот закон, привлечната сила помеѓу позитивен и негативен точкаст

електричен полнеж е обратно пропорционална со квадратот на растојанието помеѓу

полнежите a.

Ако се знае дека привлечната сила помеѓу позитивен и негативен точкаст електричен

полнеж е 0.0005 Њутни кога нивното меѓусебно растојание е 0.3 метри, да се најде

константата на пропорционалност С(изразена во соодветни единици мерки)

b.

Колкава е привлечната сила помеѓу два спротивни точкасти електрични полнежи, кои

се на меѓусебно растојание од 3 метри?

2.


Во една лабораторија се правени испитувања за големината на силата со која голема метална

топка привлекува мало метално топче. Утврдено е дека привлечната сила помеѓу двете тела е

обратно пропорционална со квадратот на растојанието помеѓу нив.

a.

Под претпоставка дека привлечната сила помеѓу двете тела е 3.06 Њутни, кога

нивното меѓусебно растојание е 0.6 метри, да се најде константата на

пропорционалност К (изразена во соодветни единици мерки)

b.

Да се пресмета привлечната сила помеѓу двете тела кои се на меѓусебно растојание

од 7 метри

3.


Тим од научници направиле испитувања за големината на силата со која Месечината

привлекува објект кој се наоѓа на одредено растојание од нејзиниот центар, при што се





претпоставува дека Месечината има форма наа топка. Било утврдено дека привлечната сила

помеѓу Месечината и објектот е обратно пропорционална со квадратот на растојанието

помеѓу полнежите

a.

Ако се знае дека привлечната сила помеѓу двете тела е 1.2 Њутни кога нивното

меѓусебно растојание е 0.3 метри, да се најде константата на пропорционалност

М(изразена во соодветни единици мерки)

b.

Колкава е привлечната сила помеѓу двете тела кои се на меѓусебно растојание од 4

метри?

4.


Во една лабораторија се правени испитувања за големината на јачината на еден извор на

светлина во точка која се наоѓа на одредено раастојаание од изворрот на светлина. Било

утврдено дека јачината на светлината во некоја точка е обратно пропорционална со

квадратот на растојанието од точката ддо изворот на светлина.

a.

Ако се знае дека јачината на светлината во една точка е 4.8 Лукса, кога растојанието

од точката до изворот е 0.8 метри, да се најде константата на пропорционалност Р

(изразена во соодветни единици мерки)

b.

Да се пресмета јачината на светлината во една точка која е на растојание од 1.2 метриод изворот

5.

(7)(Прв колоквиум Калкулус 1-2012-група 1)

Една топка се движи во текот на времето нагоре надоле. Висината на топката за даден

временски момент е зададено со функцијата

a. Да се скицира функцијата на брзината во однос на времето t, за

b.

Одредете колава е максималната висинска разлика на топката, како и периодот на

функцијата

c.

Друга топка е пуштена да паѓа вертикално надолу од висина 20m со константна

брзина

во простор во кој гравитацијата не се зема предвид. Кога таа ќе

дојде до земја запира. Да се одреди функцијата на висина на топката во секојвременски момент (заедно со доменот) и истата да се скицира.

d.

Со помош на теоремата за меѓувредност да се докаже дека постои време во кое и

двете топки имаат иста брзина

6.


Еден автомобил ја менува својата брзина во зависност од времето според дадената функција

e.

Да се скицира функцијата на брзината во однос на времето t, за

f.

Одредете колава е максималната разлика на брзината, како и периодот на функцијата

g.

Друг автомобил се движи со константно забрзување. Кога автомобилот стартува

тој е во мирување. По 2 секунди истиот се наоѓа на 8 метри од почетната

локација. Крајната локација е на 100 метри. Да се одреди функцијата на брзина на

автомобилот во секој временски момент (заедно со доменот) и истата да се скицира.

h.

Со помош на теоремата за меѓувредност да се докаже дека постои време во кое и

двата автомобила имаат иста брзина





7.


Градежна фирма располага со одредени резерви на градежен материјал. Таа пресметала

дека ако со материјалот што е на располагаање изгради 50 куќи, ќе може да ги продаде

секоја по 190 000 долари, а ако изгради 70 куќи тогаш секоја куќа може да ја продава по 170

000 долари. Цената на куќите зависи линеарно од бројот на истите.

a. Да се најде равенката на цената на куќата во зависност од бројот на изградени куќи.

b.

Кој е најголемиот број куќи кои смее да ги изгради претпријатието, за цената да биде

позитивна?

8. (3)(Прв колоквиум Калкулус 1-2010-група 2)

Фармацевтска компанија располага со одредени резерви на витаамински супстанци за

производство на витамински продукти. Таа пресметала дека ако со материјалот што е на

располагаање произведе 180 000 производи, ќе може да ги продаде секоја по 50 долари, а

ако произведе 200 000 производи, тогаш секој производ може да го продава по 40 долари.

Цената на производот е линеарна функција во зависност од бројот на истите.

a.

Да се најде равенката на цената на продуктот во зависност од бројот на произведени

продукти.

b.

Кој е најголемиот број на продукти кои може да ги произведе компанијата, за ценатада биде позитивна?


Козметичка компанија располага со одредени резерви на супстанци за производство на

козметички препарати. Таа пресметала дека ако со материјалот што е на располагаање

произведе 120 000 производи, ќе може да ги продаде секој по 80 долари, а ако произведе

180 000 производи, тогаш секој производ може да го продава по 60 долари. Цената на

производот е линеарна функција во зависност од бројот на истите.

a.

Да се најде равенката на цената на продуктот во зависност од бројот на произведени

продукти.

b.

Кој е најголемиот број на продукти кои може да ги произведе компанијата, за ценатада биде позитивна?

10.


Прехранбена компанија располага со одредени резерви на супстанци за производство на

печива. Таа пресметала дека ако со материјалот што е на располагаање произведе 100 000

производи, ќе може да ги продаде секој по 50 денари, а ако произведе 120 000 производи,

тогаш секој производ може да го продава по 30 денари. Цената на производот е линеарна

функција во зависност од бројот на истите.

a. Да се најде равенката на цената на продуктот во зависност од бројот на произведени

продукти.

b.

Кој е најголемиот број на продукти кои може да ги произведе компанијата, за цената

да биде позитивна?

11.


Термометрите се калибрирани со користење на така наречената тројна точка на вода, која е

273.16 К на Келвинова скала или 0.01⁰ С на Целзиусова скала. Водата врие на 100⁰ С или

373.15 К.





a.

Претпоставувајќи дека температурата во Келвини-Тк и Целзиусовата температура Тс се

поврзани линеарно, да се определи равенството кое ја претставува Тк како функција

од Тс

b.

На колку Кeлвини водата замрзнува, ако е познато дека замрзнува на 0⁰С?

12.


Резистентен термометар е уред кој ја одредува температурата со мерење на отпорот на тенка

жица чиј отпор варира со температурата, Отпорот R во оми(Ω) се менува линеарно со

температурата Т во ⁰С, Отпорот R=123.4Ω кога Т=20⁰С и R=133.9 Ω кога Т=45⁰С

a. Да се определи равенството кое го претставува отпорот R како функција од

температурата Т?

b.

Ако температурата е 50⁰С колкав е отпорот на жицата во термометарот?

13.


Термометрите се калибрирани со користење на така наречената тројна точка на вода, која е

273.16 К на Келвинова скала или 0.01⁰ С на Целзиусова скала. Водата врие на 100⁰ С или

373.15 К.

a.

Претпоставувајќи дека температурата во Келвини-Тк и Целзиусовата температура Тс сеповрзани линеарно, да се определи равенството кое ја претставува Тс како функција

од Тк

b. Апсолутната нула е 0К, колку ⁰С е апсолутната нула?

14.

(3)(Прв колоквиум Калкулус 1 – група 4)

Постојат два најчесто користени системи за мерење на температурата, Целзиусов и

Фаренхајтов. Водата замрзнува на 0⁰С или 32 F, а врие на 100 ⁰С или 212F .

a.

Претпоставувјќи дека Целзиусовата температура Тс и Фаренхајтовата ТF се поврзани

линеарно, најди го равенството што ги поврзува

b.

Најди го коефициентот на правец на правата која го претставува равенството меѓу Тс и

ТF ако ТF е претставена на хоризонталната оска. c.

Нормалната телесна температура е 98.6F. Колкава е нормалната телесна температура

во ⁰С?

15.

(4)(Писмен испит Калкулус 1-август 2009)

Брзината v на едно тело се менува линеарно со забрзувањето а на тоа тело.

a.

Ако е дадено дека брзината на телото е 13m/s при забрзување од 3 m/s2 и дека

брзината на телото е 17 m/s при забрзување од 5 m/s2 да се определи равенката која

ја изразува брзината на телото преку забрзувањето

b. При колкаво забрзување брзината е 3 пати поголема од забрзувањето?

16.

(4)(Калкулус 1- јуни 2007)

Притисокот Р во водата се менува линеарно со растојанието h од површината.

a.

Ако е дадено дека притисокот е 1 атмосфера(1 atm) на површината 5.9 atm на длабочина од

50 метри да се определи равенката која го изразува притисокот преку длабочината.

b.

На која длабочина притисокот е дупло поголем отколку на површината?





Лимеси

1.

(1+2)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)

Да се пресметаат лимесите

a.

b.

2. (1+2)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 2)


a. b.

3.



a. b.

4.


Да се пресметаат лимесите a.

b.

5.



a. b.

6.

(2+3)(Прв колоквиум Калкулус 1-2009-група 2)

Да се пресметаат лимесите:

a.

b.

7.

(2+3)(Прв колоквиум Калкулус 1-2009-група 4)

Да се пресметаат лимесите:

a. b.

8.

(2.5+1.5)(Прв колоквиум Калкулус 1-2010-група 1)

Да се определи:

a. b.

9.


Да се определи: a.

b.

10.



a.

b.





11.



a.

b.

12. (1+2)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)


a. b.

13.



a. b.

14.



a.

b.

15.



a. b.

16.

(2+1+2)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 2)


a.

b. c.

17. (2+1+2)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 4)

Да се пресметаат лимесите a.

b. c.

18.

(2+1+2)(Прв колоквиум Калкулус 1-летен курс 2009)


a.

b. c.

19.

(1+1+2)(Прв колоквиум Клкулус 1-2007-летни курсеви)

Пресметај:

a.

b.

c.

20.

(1+1+2)(Прв колоквиум Калкулус 1-2005-група 1)

Пресметај:

a.

b. c.





21.


Да се пресмета

22.


Да се пресмета

23.

(2)(Писмен испит Калкулус 1- јуни 2012-група 1)

Да се пресмета лимесот:

24.



25.



26.



27.

(3)(Писмен испит Калкулус 1-август 2012-група 1)


28.



29.

(3)(Писмен испит Калкулус 1-август 2012-група 3)Да се определи:

30.


Да се определи: 31.

(4)(Писмен испит Калкулус 1-февруари 2009)


32.



33. (3+3)(Писмен испит Калкулус 1- јуни 2006-група 2)


a.

b.





34.

(3+5)(Писмен испит Калкулус 1-февруари 2007)


a. b.

35.

(4)(Писмен испит Калкулус 1-октомври 2006)

Дали постои ? Објасни.

36.

(2+4)(Писмен испит Калкулус 1-август 2009)


a.

b. Нека , да се определи и

37.

(2+4)( Калкулус 1- јуни 2007)


a.

b. Нека , да се се определи и

Пресметување лимеси по формална дефиниција

1.

(3)( Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)

Користејќи ја соодветната дефиниција за гранична вредност докажете дека

2.



3.



4.



5.


Да се докаже дека лимесот е точен (по дефиниција):





6.


Да се докаже дека лимесот е точен (по дефиниција):

7.


Според дефиниција на поимот лимес, да се докаже дека



9.


Да се докаже по дефиниција дека:



11.





13. (3)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)


14.



15.



16.

(2)(Прв колоквиум Калкулус 1-2009-летен курс)

Според дефиницијата за лимес, докажи дека

17. (2)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)

Како гласи

дефиницијата за лимес? Искористи ја за да докажеш дека

18.


Како гласи дефиницијата за лимес? Искористи ја за да докажеш дека





19.


Како гласи дефиницијата за лимес? Искористи ја за да докажеш дека



21.



22.

(1)(Прв колоквиум Калкулус 1-2007-летни курсеви)

Со помош на дефиницијата за лимес, докажи дека


Со помош на

дефиницијата за лимес, докажи дека

24. (2)(Писмен испит Калкулус1- јануари 2010-група 1)


25.

(2)(Писмен испит Калкулус1- јануари 2010-група 2)


26. (3)(Писмен испит Калкулус 1-февруари 2009)


Непрекинатост на функција

1.

(3) ( Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)

Да се определи во кој дел од дефиниционата област, следната функција е непрекината. Да се

образложи одговорот.

2.




3.








4.




5.


Нека

a. Да се определат вредностите на константите k и m, ако е можно, т.ш. функцијата ќе

биде непрекината насекаде

b. Да се пресмета и

6.


Нека

c. Да се определат вредностите на константите k и m, ако е можно, т.ш. функцијата ќе

биде непрекината насекаде

d.

Да се пресмета и

7.



скицира функцијата и да се образложи одговорот.

8.








9.




10.




11.

(5)(Писмен испит Калкулус 1- јануари 2011-група 1) Да се провери дали е непрекината следната функција:

12.

(5)(Писмен испит Калкулус 1- јануари 2011-група 2)

Да се провери дали е непрекината следната функција:

13.

(4) (Писмен испит Калкулус 1- јуни 2012-група 1)



14.








15.




16.




17.


Дали функцијата е непрекината насекаде? (образложи)

18.



19.

(3)(Прв колоквиум Калкулус 1-група 1)Дали функцијата е непрекината насекаде? (образложи)

20.



21.



22.

(2)(Писмен испит Калкулус 1- јуни 2009)


23.


За функцијата да се определи функција со индентичен график, но без прекин.

24.







25.


За функцијата

да се определи функција со индентичен график, но без прекин.

26.

(4)(Писмен испит Калкулус 1-февруари 2007)


27.



28.


Ако е можно, најдете вредност за константата k за која функцијата

ќе

биде секаде непрекината

29.


Да се определат вредности на константите k и m, ако е можно, за кои функцијата

е биде непрекината насекаде (одговорот да се

образложи)

30.



е биде непрекината насекаде (одговорот да се образложи)

31.




32. (4)(Писмен испит Калкулус 1-август 2012-група 4)



К1-Прв Колоквиум Задaчи

Documents