第7回 2006年12月4日

機械力学１

咀嚼発話センサ

GPS

超音波

ブルートゥース

腕運動ウォッチ

足圧シューズ

ウェアラブルセンサで行動予測，情感推定，ネット情報提供．

鈴木規之（新日鐵）

保坂寛（新領域創成科学研究科）

機械力学との関係？

専門：情報機器，センシング

２．１自由度不減衰系の自由振動３．１自由度減衰系の自由振動４．１自由度系の強制振動５．２自由度系の自由振動および強制振動６．ラプラス変換による強制振動の解析７．ラグランジュの方程式１．序論

12/11 講義12/18 中間試験1/ 9 （火） 講義

1/15 講義

1/22 講義1/29 予備3/ 5（月）最終試験

授業予定

演習問題 「3．力学の基礎」～「7．強制振動」および問8.1，8.2，8.8，8.9，教科書6.3.3

のうち，◎○△の問題

＝授業で解いたもの，教科書に載っているもの

12/18 中間試験

試験範囲

強制振動について，第２章，４章で正弦波状外力が作用する場合を

扱った．これは，回転機などで実用上重要であることと，計算が簡単だ

からである．実際の振動系では，衝撃力やステップ状の外力など，周

期的でない外力も多数存在する．非周期的外力に対する応答計算も，

外力，慣性力，ばね力，減衰力の釣合により運動方程式を立て，その

特解と基本解を求め，初期条件を満足するように基本解の未定係数を

決めればよい．基本解は正弦波入力と同じであるが，特解は外力ごと

にうまく解の形を仮定する必要がある．多くの場合，解の仮定が難しく，

ステップ入力などごく限られた場合にしか特解を得ることが出来ない．

これに対し，任意の入力に対して機械的に解を求められる便利な方

法があり，その１つがラプラス変換法である．導出には複素積分を必

要とするが，使うだけなら，高級な数学知識は一切不要である．本章で

は，ラプラス変換による振動の計算法を説明する．

6．ラプラス変換による強制振動の解析教科書 101ページ

ラプラス変換

s：複素数F(s)：複素関数無限積分が収束 →Re[s]>0

∫∞ −=

0)()( dtetfsF st

[ ])()( tfLsF =

∫∞+

∞−=

i

i

stdsesFi

tfσ

σπ)(

21)(

[ ])()( 1 sFLtf −=σ>0 o )0(>σ

t

s( )i虚

実

tとsの変数域

L：ラプラス演算子

ラプラス逆変換

6.1 ラプラス変換とラプラス逆変換

∫ ∫∞+

∞−

∞ −

=

i

i

stst dsedtetfj

tfσ

σπ 0)(

21)(

時間tの関数fから，複素数sの関数Fへの

積分変換

ラプラス逆変換の証明

フーリエ級数展開（周期関数により近似，三角関数による表示）

フーリエ変換（変数変換，周期無限大．級数→積分）

∑∞

=

+

+=

1

0 2sin2cos2

)(n

nn Ttnb

Ttnaatf ππ

∑∞

−∞=

=n

Ttni

nectfπ2

)(

∫∞

∞−= ωω

πω deFtf ti)(

21)(

∫∞+

∞−=

i

i

stdsesFi

tfσ

σπ)(

21)( ∫

∞ −=0

)()( dtetfsF st

∫∞

∞−

−= dtetfF tiωω )()(

∫−−

= 2

2

2

)(1 T

TTtni

n dtetfT

cπ

積分変数の変換 ωσ is +=

教科書p.102．コラム12

（複素積分とフーリエ級数の知識が必要．理解しなくてよい）

nTπω 2

= ncnF

ωπ2

=

tの関数fとnの関数cの

変換式

∞→T

0)( =tf )0( <t

tの関数fとωの関数Fの

変換式

6.2 ラプラス変換の計算例と公式

右辺を部分積分

第２項を部分積分

のラプラス変換attf sin)( =∫∞ −=0

sin)( atdtesF st

∫∞ −

∞− −

−=

00

coscos1 atdteasate

astst

∫∞ −−=0

cos1 atdteas

ast

+

−= ∫

∞ −∞

−0

0sinsin11 atdte

asate

aas

astst

)(12

2sF

as

a−=

22

2

2

1

1

)(asa

asasF

+=

+=

0sin1

0=

∞− ate

ast

Re[s]>0[ ] 0)( =∞=t

[ ]a

t 1)0( −==

)(sF=∫

コラム12 ラプラス逆変換の例 sin(at)

dseasa

iasaL sti

i∫∞+

∞−

− ⋅+

=

+

σ

σπ 22221

21

[ ] [ ]aisais −+= ReRe

[ ] )()(limRe sFzszszs

−=→

dsas

aei

st

∫ += 222

1π

無限積分=周回積分

コーシーの留数定理

関数Fのzにおける留数

ati

eie aitait

sin22

=−

+=−

複素平面上の積分留数の定理を利用

σ

-ai

R ai

o Re

Im半円の積分０（ジョルダンの補助定理）

ｰ∞

+∞

（理解できなくてよい）

tst aeae σ<

2222 aRas +≈+

Rds π≈∫01

22 →≈⋅+ R

RaR

ae tπ

σ

分子

分母

積分路長

半円積分

attf cos)( =

∫∞ −=0

cos)( atdtesF st

のラプラス変換

ヒント①Re[s]>0．②部分積分を２回

問8.8 （全員）

を求めよ

attf cos)( =

∫∞ −=0

cos)( atdtesF st

dtatesa

sst∫

∞ −−=0

sin1

+

−−= ∫

∞ −∞

− dtatesaate

ssa

sstst

00

cossin11

)(12

2sF

sa

s−= 22

2

2

1

1

)(ass

sassF

+=

+

=

dtatesaate

sstst ∫

∞ −∞

− −

−=

00

sincos1

右辺を部分積分

第２項を部分積分

のラプラス変換

0sin1

0=

∞− ate

ast

[ ] 0)( =∞=t[ ]

st 1)0( −==

Re[s]>0

ヒント①Re[s]>0．②部分積分を２回

単位ステップ関数u(t)のラプラス変換

u(0)は，0，１ ，1/2などいろいろある．どれでも結果は同じ．

[ ] ∫∞ −=0

)()( dttuetuL st

∫∞ −=0

dte st

∞−

−=

0

1 stes

s1

= Re[s]>0ステップ関数

u

0

1

t

u(0)は有限なら何でもよい．1でも0でも1/2でも結果は同じ

[ ] ∫∞ −=

0)()( dttuetuL st ∫∫

∞ −− +=ε

εdttuedttue stst )()(

0

011)()(0

→⋅⋅<⋅⋅< −−∫ εεε

tuedttue stst

sdtedtedttue ststst 11)(

0=→⋅⋅= ∫∫∫

∞ −∞ −∞ −

εε

無限小区間の積分なのでゼロ

u

0

1

t

21

ε

u

0

1

tε

u

0

1

tε

ラプラス変換の微分公式

のラプラス変換

のラプラス変換

dtdf

∫∞ −=

0dt

dtdfe

dtdfL st

[ ]fsLf +−= )0(

2

2

dtfd

dtdf

dtdfsL

dtfdL )0(2

2−

=

[ ]dtdffssFs )0()0()( −−=

[ ] ∫∞ −∞− +=00 fdtesfe stst

dtdfsfsFs )0()0()(2 −−=

部分積分

第１項：Re[s]>0→

第２項：sF

[ ] 0)( =∞=t[ ] )0()0( ft ==

)0()( fssF −=元の関数fのラプラス変換が分かれば，微分f’のラプラス変換はすぐに求まる

初期値

)0()0()0()( )1(21 −−− −−−−=

nnnnn

nffsfssFs

dtfdL L&

)(sFsdtfdL nn

n=

)0()( fssFdtdfL −=

dtdfsfsFs

dtfdL )0()0()(22

2−−=

１階微分

２階微分

ｎ階微分

0)0()0()0( === fff &&& のとき

ste の微分と同じ形

指数関数の積の公式

[ ] ∫∫∞ −−∞ − ==

0

)(

0)()()( dtetfdtetfetfeL tbsstbtbt

[ ] )()( bsFtfeL bt −=

∫∞ −=

0)()( dtetfsF st

)(tfebt

でsをs-bとしたものtと積分区間は同じ

この形の関数は減衰振動でよく現れる

主な関数のラプラス変換

atcosh

ata

sinh1

atcos

ata

sin1

t

)(tu

)(tδ

22 ass−

221as −

22 ass+

221as +

21s

s1

1

)(tf )(sF

atea

bt sinh1( ) 22

1abs −−

( ) 22 absbs−−

−atebt cosh

atea

bt sin1( ) 22

1abs +−

att cos

atat sin

2

atebt cos

( )222

22

as

as

+

−

( )222 as

s

+

( ) 22 absbs+−

−

)(tf )(sF

( ) 1=∫+

−xdx

ε

εδ

デルタ関数

o

( )xδ

x幅0

高さ∞

面積

δ=dtdu

ラプラス変換の公式

)( tfe at )( asF −

dtdf )0()( fssF −

2

2

dtfd )0()0()(2 fsfsFs ′−−

)0()0(

)0()()1(2

1

−−

−

−−′−

−nn

nn

ffs

fssFs

Ln

n

dtfd

指数関数の積

微分

２階微分

高階微分

)( tf )( sF

のラプラス変換 を用いて，

と のラプラス変換形を求めよ．

◎問8.9（全員）

atcos 22 ass+

)cosh(at )sin(at

)cos()cosh( iatat −= を導け．

)(cos1)sin( atdtd

aat −= に微分公式用いよ．

ヒント オイラーの公式

⋅−

+⋅−=

−= )0cos(1)(cos1)][sin( 22 a

asss

aat

dtd

aLatL

)cos(22

)cosh()()(

iateeeeatiatiiatiatat

−=+

=+

=−−−−

2222 )()][cos()][cosh(

ass

iassiatLatL

−=

−+=−=

2222

2

22

22

22

2 11asa

asa

aasas

ass

a +=

+−

−=

++

−+

−=

sin(at) 微分公式

cosh(at) 定数の置き換え

[ ] 22cosassatL+

= からの公式の導出

1

6.3 ラプラス変換による運動方程式の解法

6.3.1 不減衰系の自由振動

両辺ラプラス変換

微分公式

Xは不明

0=+ kxxm &&

,

0)0( xx = 0)0( vx =&

)0()0(][ 2 xsxXsxL &&& −−=

( )002 vsxmkXXms +=+

mksvsx

kmsvsxmX

/)(

200

200

++

=++

=

mk

n =ω

( ) 0002 =+−− kXvsxXsm

220

220

nn sv

ssx

ωω ++

+=

運動方程式

初期条件m

k

x

重力無視

220

220)(

nn sv

ssxsX

ωω ++

+=

ラプラス変換公式

[ ] 22cosassatL+

=

na ω→

txs

xsL nn

ωω

cos 022

01 =

+−

22

1sin1as

ata

L+

=

tvs

vL nnn

ωωω

sin 1 022

01 =

+−

tv

txx nn

n ωω

ω sincos 00 +=

両辺ラプラス逆変換

6.3.2 不減衰系の正弦波強制振動

両辺ラプラス変換．X不明

tFkxxm ωcos=+&& 0)0( =x 0)0( =x&

[ ] 222 )0()0(

ω+=+−−

ssFkXxsxXsm &

[ ] 22cosassatL+

=

ω→a

( ) 222

ω+=+

ssFXkms

( )( )2222 ωω ++⋅=

sss

mF

n

( )( ) ( )( )222222 / ωω ++⋅=

++⋅=

smkss

mF

skmssFX

ラプラス変換表に無い！

m

k

x

tF ωcos

0 0

mk

n =ω

部分分数展開

ω≠ωn

+−

+−⋅= 222222

1

nn ss

ss

mFX

ωωωω

( )( )ttm

Fx nn

ωωωω

coscos22 −

−=

( )( )2222nss

smFX

ωω ++⋅=

[ ] 22cosassatL+

= ω→a na ω→

簡単な分数に直す

( ) 222 ω+

=s

smFX

( )222sin

2 assat

atL

+=

ω→a

ttmFx ω

ωsin

2=

ω=ωn のとき

( )( )2222nss

smFX

ωω ++⋅=

共振

解の仮定にノウハウ不要

部分分数に分解できない

２乗の２乗になる．ラプラス変換表にある．

6.3.3 減衰振動系のステップ応答

)(tFukxxcxm =++ &&&

0)0()0( == xx &

時間領域解法

c

m x

k

)( tFu

Fkxxcxm =++ &&& 0≥t

kFx =

特解

基本解（３章）

0=++ kxxcxm &&& 02 2 =++ xxx nn ωζω &&&

tex λ= 02 22 =++ nn ωλζωλ

u

0

1

t（定数）

mkn =ωnm

cω

ζ2

=

( )21 1 ζζωλ −+−= in ( )2

2 1 ζζωλ −−−= in

titi nn eCeCxωζζωζζ

−−−

−+−

+=22 1

2

1

1

基本解

02 22 =++ nn ωλζωλtex λ=

21 ζωω −= nd( )titit ddn eCeCe ωωζω −− += 21

CCC =+ 21

( ) DiCC =− 12

( ) ( )

−

−++

+=−−

−

ieeiCCeeCCe

titititit

ddddn

22 1221

ωωωωζω

( )tDtCe ddtn ωωζω sincos += −

複素共役

基本解の線形結合

( )tDtCex ddtn ωωζω sincos += −

2 kF

mFxn

==ω

基本解

特解

一般解

初期条件

( )tDtCekFx dd

tn ωωζω sincos ++= −

0)0( =+= CkFx 0)0( =+−= DCx dn ωζω&

kFC −=

kF

kFD

d

n21 ζ

ζωζω

−−=−=

−+−= − tte

kFx dd

tn ωζ

ζωζω sin1

cos12

解

減衰振動系のステップ応答（ラプラス変換）

部分分数に分解

)(tFukxxcxm =++ &&& 0)0()0( == xx &

[ ]s

uL 1=

22 211

nnsssmF

ωζω ++⋅⋅=

++

+−=

++

+−⋅= 22222 2

212

211

nn

n

nn

n

n sss

skF

sss

smFX

ωζωζω

ωζωζω

ω

c

m x

k

)( tFu

u

0

1

t

21

2 kmωn =

mk

n =ω

mkc

2=ζ

両辺ラプラス変換

sFkXcsXXms 12 ⋅=++

sF

kcsmsX

++= 2

1

u(0)は何でもよい

分母：sの2次式，分子：1次式

( ) 221sin1

absate

aL bt

+−=

[ ]

( ) 22cosabs

bsateL bt

+−−

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

⋅

++−

++

+−=

++−

++

+−=

++

+−=

+−+

+−=

ndndn

n

dn

n

dn

n

dn

n

nnn

n

sss

skF

sss

skF

ss

skF

ss

skFX

ζωωζωωζω

ζω

ωζω

ζω

ωζω

ζω

ωζω

ζω

ωζωζω

ζω

2222

2222

22

222

11

1

21

21

　　

　　

　　

+

+++

−=sss

skFX

nn

n 12

222 ωζω

ζω

21 ζωω −= nd

da ω→

nb ζω−→

[ ]s

uL 1=

−−= −− tetetu

kFtx d

tn

dnd

tn ωω

ζωω ζωζω sin1cos)()(

−−−= −− tete

kF

dtn

dtn ω

ζ

ζω ζωζω sin1

cos12

da ω→

nb ζω−→

( ) ( )

⋅

++−

+++

−= ndndn

n

sss

skFX ζω

ωζωωζωζω

222211

( ) 221sin1

absate

aL bt

+−=

[ ]( ) 22cos

absbsateL bt

+−−

=

[ ]s

uL 1=

不連続関数があっても問題なし

（t>0)

−

−

+−= − )cos(

1

11

2

2

φωζ

ζ ζω tekF

dtn

21tan

ζ

ζφ−

=

x

kF

o tステップ応答

−

+± − tne

kF ζω

ζ

ζ2

2

1

11

−

−

+−= − )cos(

1

11

2

2

φωζ

ζ ζω tekFx d

tn

上記の計算ではステップ関数の不連続性が問題とならなかった．またt<0におけるu=0が計算の中で現れず，仮にt<0でu=1であっても同じ解が導かれる．しかしt<0のuや不連続性が解に影響する場合もあり，それは次の例で説明する．また，時間領域解法で現れた特解と基本解は，実はラプラス変換法の中でも現れている．２つの解法の関係については，6. 4節で説明する．

x

k c

m ( )tf

6.4 ラプラス変換による任意外力の応答計算

( ) ( ) 00 0 ,0 vxxx == &① ②

⑥

⑦

ラプラス変換

( )sXx→③

④

⑤

⑧

)(tfkxxcxm =++ &&&

( )sFf →( ) ( )002 xsxXsx &&& −−→

( )0xsXx −→&

{ } { } FkXxsXcvsxXsm ooo =+−+−−2

（未知）

（表の値を代入）

初期値を代入

kcsmsmv

kcsmscmsx

kcsmsFX

+++

+++

+++

= 20202

ooo mvcxmsxFkXcsXXms +++=++2

ラプラス逆変換

⑧

+++

+++

+

++= −−−

kcsmsmLv

kcsmscmsLx

kcsmsFLx 2

102

102

1

⑩

kcsmsmv

kcsmscmsx

kcsmsFX

+++

+++

+++

= 20202

⑨

mkn /=ω 21 ζωω −= nd

簡単な分数に分解

=x

000 == vx の解（特解） 00 == vf の解（基本解）

00 == xf の解（基本解）

tev dt

dn ω

ωζω sin1

0−

+− ttex d

d

nd

tn ωωζωωζω sincos0

++−

kcsmsFL 2

1+

+

⑩ =x

000 == vx の解（特解） 00 == vf の解（基本解）

00 == xf の解（基本解）

tev dt

dn ω

ωζω sin1

0−

+− ttex d

d

nd

tn ωωζωωζω sincos0

++−

kcsmsFL 2

1+

+

「特解＋２つの基本解」の形になっている．これは，時間領域解法で運動方程式を解くときと，同じ形である．特解と基本解の選び方には無数のパターンがあり，時間領域解法では，どれを選

ぶかは解く人の勝手である．一方ラプラス変換では，特解と基本解は表により一意に与えられる．ラプラス変換で決まる特解と基本解はどのようなものであろうか．⑩の第2項，第3項を見ると，基本解の係数は，xoおよびvoであり，初期条件をそのまま用い

たものになっている．時間領域解法の場合，基本解の係数を決めるのに，連立方程式を解く必要があった．ラプラス変換では，初期条件がそのまま係数になるという，最も便利な基本解が選ばれるのである．またこれに対応して，特解は，初期条件がすべてゼロの時の解が選ばれるのである．

θ&&IN =

( )dtdLI

dtdN == θ&

図2.5 広がり

のある物体

dmN

V

r回転中心

∫= VdmrI 2

2mrI =

慣性能率慣性モーメント

集中質量

角運動量ωθ IIL == &

角運動量の法則

Iが時間の関数でも成り立つ３次元運動でも成り立つ．L,ω，Nはベクトル，Iはテンソル（行列）

証明はコラム３

2

21 mrI =

回転運動の方程式

円板

コラム３，４，５，６ 回転運動の話

rm

v

(a) 糸が柱に巻きつく場合 (b) 糸を下から引く場合

r

v

m

コラム4 エネルギ保存則と角運動量保存則の応用

エネルギー保存

constmv =2/2

角運動量保存（トルクが加わらない）

慣性能率

ωIL =0== NdtdL

2mrI =constmrIL === ωω 2

constrv == ω

T+U 一定

L一定

r2r１

A

B

C

D

E

F

G

H

コラム５ ブランコの運動

ωω 2mrIL ==2

22

21

21

BC

BC mv

rrmv

=

CCBB vmrvmr =

mg

mgconstmrv ==

a2

ωアクチュエータ

図5.4

m m

演習問題 問5.4

BC

BC v

rrv =

剛体の３次元回転

ｙ

ｘ

ω

v

v新

v

v新

ω新

N

外力

外力

３次元回転における角運動量の法則

NdtωdI

rr

=

近似的に

コラム6 コマの運動と剛体の3次元回転

ω大，向きの変化小，Iは軸対象

①赤い輪が角速度ωで回転．角速度ベクトルは右ねじの進む向き．

②輪に青い外力を加える．輪の速度vはv新の

ように斜め上向きになる．

③反対側ではvは下向きに変わる．

④輪全体では左に傾く

⑥２つの外力の合力は丸い矢の回転力となる．ベクトルで表すと，右ねじの進む向きの左向き．これはωの変化に比例．同じ向き

⑦比例定数をIとおく

⑤角速度ωの変化は左向き．青い矢．

( ) NωIdtd rr

=

ω

回転

モーメント

重力

N

床からの反力N

dtωdI

rr

=

コラム6 コマの運動

①コマが傾いて回っている．角速度ベクトルは右ねじの向きで，左上を向いている．

②重力により，コマを倒すモーメントが働く．向きは左回りの回転．ベクトル的には，右ねじの向きで手前向き．

③角運動量の法則により，ωはNの向きに変化

する．ωは手前倒れる．

④コマが手前を向くと，手前に倒す重力が働き，ωはそれと直角の右に向きを変える．

⑤次々とωの向きが変わり，歳差運動となる．

コマは左に倒れず，手前に倒れ，歳差運動が起こる

NdtdI

rr=ω

コインは倒れる側に向きを変える．

重力によるモーメント

遠心力

重力

ω N

自転

遠心力

進行方向方向変化

ω

N

コラム７ 転がるコインはなぜ倒れない

正面から見た図

N/Iω新

①コインが倒れないのは，角運動量の法則だけでは説明できない．コマがよりずっと遅い速度でもコインは倒れない．遠心力が効いている．

②コインが傾いて転がっている．ωは右ねじの向きで，左下を向いている．

③重力は左に倒す方法に働く．ベクトル的には，右ねじの向きで手前を向く．

④角運動量の法則により，ωはNの方向

に変化する．手前側に向きを変える．

⑤コインは左に向きを変え，左回りの円弧を描く．

⑥円弧運動により外向きの遠心力が働く．これはコインを立てる方向．よってコインは倒れない．

⑦もし角運動量の式が-Nであると，コインは右に向きを変え，点線のような

右向きの円弧を描く．遠心力は左向きに働き，コインはあっという間に倒れる．現実世界の法則と反するが，工夫すると実験できる．

⑤

ω

N

摩擦力

キャスタ角

復元モーメントの腕

フォーク接点

地球ゴマ自転車

自転車は倒れる側にハンドルが曲がる．

自転車のフォークはなぜ斜めか

右に傾いた場合

①自転車が倒れないのはなぜか．腰のバランスも効いているが，人が乗らなくても，勢いよく押し出せば，しばらくは倒れずに走る．角運動量の法則で説明できる．