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CAPITULO 2:MODELOS UNITARIOS
INTERTEMPORALMENTE SEPARABLES
Económico José Alberto MolinaDepartamento de Análisis Económico
Facultad de Ciencias Económicas y EmpresarialesUniversidad de Zaragoza
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Economía
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“Modelos Unitarios Intertemporalmente
Separables”
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ÍNDICE
2.1. El sistema lineal de gasto
2.2. El sistema translog
2.3. El sistema de demanda casi ideal
2.4. El modelo de Rotterdam
2.5. Evidencia empírica
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A partir de la definición de sistema completo de ecuaciones de demanda, también denominado
genéricamente modelo unitario del consumidor:
qi = qi(p,y) (i = 1, ..., n)
el primer paso de su estudio consiste en la especificación concreta de su función de preferencias.
La literatura ha planteado distintas alternativas:
i) partir de una función de utilidad y obtener las ecuaciones;
ii) especificar la función indirecta de utilidad y, a partir del Teorema de Roy, obtener las funciones de demanda;
iii) postular una función de gasto, generar las demandas hicksianas, y expresar después la utilidad en términos de
los precios y la renta por medio de la función indirecta;
iv) formular directamente las funciones de demanda.
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Desde una perspectiva intuitiva podemos concretar algunas ventajas de unas formulaciones sobre otras.
Los especificaciones iii) y iv) presentan el atractivo de que resulta más sencillo aplicar la intuición
para formular a priori la forma más adecuada de las funciones de gasto o demanda que intuir la característica funcional de las funciones directa o indirecta de utilidad.
Por su parte, las formulaciones i) y ii) presenta el inconveniente de ser más laboriosa, de tal forma que, en
ocasiones, deben realizarse complejos cálculos de optimización para obtener las funciones de demanda.
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1.- EL SISTEMA LINEAL DE GASTO
iγ 0
El sistema lineal de gasto (Linear Expenditure System) fue propuesto inicialmente por Stone (1954) y se formula
a partir de una función de utilidad Stone-Geary:
puede interpretarse como el consumo mínimo de subsistencia de tal forma que qi > i . Además, i > 0 para
que la función sea monótona creciente y también
Calculamos las condiciones de primer orden:
(i = 1, ..., n)
∑pi qi = y
n
1i
iβii γq)u(q
1βn
ii
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i1
iiin
i
iβii
1iii
1n
ij
jβjj
1iβiii
iλpuγqβγqγqβγqγqβ
q
u
q
i 0
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Si dividimos entre sí todas las n-1 primeras ecuaciones y la n-ésima para eliminar el multiplicador:
y multiplicando por pi nos queda la expresión del gasto
Sustituyendo en la restricción presupuestaria estas expresiones de gasto:
n
i1
nnn
1iii
λp
λp
uγqβ
uγqβ
n
i
ii
nn
n
i
p
p
γq
γq
β
β nni
n
n
iii γq
p
p
β
βγq
nnnn
iiiii γqp
β
βγpqp
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n
iinn
n
ni
n
iii
n
ii βγq
β
ppqpy
n nn
n n i i ii in
ny p γ
i ip i(q ) y p q γ βn n n n
p βn i
i
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y, recordando que , derivamos la ecuación genéricade demanda marshalliana del LES en términos de cantidades:
(i = 1, ..., n)
desarrollando:
(i = 1, ..., n)
o, en términos de gasto:
(i=1,…,n)Así pues, el sistema completo de ecuaciones de demanda
del LES para n bienes incluye n ecuaciones con n+1 parámetros por ecuación:
i
jn
jj
iii p
γpy
βγq
i
nniii
i
11i
iiii p
pγβ...γβ...
p
pγβ
p
yβγq
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ii
1
i i i i i 1 1 i i n np q p γ β y p γ ... p γ ... p γ
p1q1 = p11 + 1 (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)
p2q2 = p22 + 2 (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)
...
pnqn = pnn + n (y - p1 1 - ... - pi i - ... - pn n)
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El LES se define a partir de una función de utilidad de buen comportamiento cuya relación marginal de
sustitución del sistema satisface el principio de decrecimiento:
de tal forma que el modelo satisface las condiciones de agregación (Engel y Cournot), homogeneidad y simetría, por
lo que no será necesario contrastar su imposición.
Adicionalmente, el LES presenta una serie de características teóricas que se derivan directamente de las
elasticidades gasto y precio.
En primer lugar, puesto que u(q) es monótona creciente, (βi > 0), entonces, todos los bienes son normales, es decir, no
pueden aparecer bienes inferiores en el modelo:
ij j j ji i i ii i
j 2j i i j ij j j j
U β dRMS βq γ q γdqRMS 0
dq U β dq βq γ q γ
0p
β
y
q
i
ii
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En segundo lugar, la elasticidad gasto revela que no todos los bienes pueden ser de lujo y no todos los bienes pueden
ser de primera necesidad.
En tercer lugar, la elasticidad precio directa nos permite afirmar que en el LES todos los bienes presentan
demandas inelásticas:
n
jjjiii
i
i
i
i
n
jjj
ii
i
i
i
i
ii
γpyβγp
yβ
p
β
p
γpy
βγ
y
p
β
q
y
y
q
q
ye
2i
n
jjji
iii
2i
n
jjjiiii
i
i
i
i
i
iyii
p
γpyβ
γβq
1
p
γpyβpγβ
q
p
p
q
q
pe
1
q
β1γ
q
γγβ
q
qγqγβ
q
1
i
ii
i
iii
i
iiiii
i
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En cuarto lugar, las elasticidades cruzadas permiten constatar que en este modelo todos los bienes son
complementarios brutos entre sí:
(i ≠ j = 1, ..., n)
Finalmente, podemos comprobar también que todos los bienes son sustitutivos netos, de acuerdo con el
signo positivo del efecto de sustitución cruzado:
(i ≠ j = 1, ..., n)
0qp
γpβ
p
γβ
q
p
p
q
q
pe
ii
jji
i
ji
i
j
j
i
i
jyij
0γqp
β
p
βq
p
γβ
y
p
qS ii
i
i
i
ij
i
jiij
j
iij
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2.- SISTEMA TRANSLOG
y
pln
y
plnβ
2
1
y
plnααy,v ln j
n
i
n
j
iij
in
ii0p
El sistema de funciones translog de Christensen, Jorgenson y Lau (1975) parte de aproximar la función
indirecta de utilidad por una forma cuadrática en logaritmos de los cocientes entre los precios y el gasto:
Partiendo del Teorema de Roy y recordando que
ii
lnv p,y lnpw
lnv p,y lny
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dlnp 1idp pi i
i i i i i ii i
ij
V ln V ln V ln VV Y
p p ln p p q ln pq w
V V ln V ln V ln VYppY ln Y ln Y ln Y
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Para obtener las derivadas anteriores desarrollamos la función indirecta:
2n
nnin
ni1n
n1
2i
ii1i
i1
i11i
21
11
nn
ii
110
y
plnβ
2
1...
y
pln
y
plnβ
2
1...
y
pln
y
plnβ
2
1
...y
plnβ
2
1...
y
pln
y
plnβ
2
1
...y
pln
y
plnβ
2
1...
y
plnβ
2
1
y
plnα...
y
plnα...
y
plnααy,lnv p
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0 1 1 i iln p ln y ... ln p ln y ...
...lny2lnplnylnpβ2
11
22111
...lnylnylnplnylnplnplnpβ2
1 21i1ii1
...lny2lnplnylnpβ2
1i
22iii
lny2lnplnylnpβ2
1n
22nnn
Calculamos las derivadas logarítmicas suponiendo que ij = ji:Microeconomía
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...lnylnpβ
2
1α
lnp
y,lnv11ii
i
p
lnylnpβ2
1...2lny2lnpβ
2
1...lnylnpβ
2
1niniii1i1
n n
ki ik k i ik
k k
pα β lnp lny α β ln
y
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...α...α...ααlny
y,lnvni21
p
...lnplnp2lnyβ2
1i11i
nnniii1ii1 2lnp2lnyβ2
1...2lnp2lnyβ
2
1...lnplnp2lnyβ
2
1
ni21 α...α...αα
...
pp
ylnβ
2
1
p
ylnβ
i1
2
1i1
11
nnn
iii
1i
2
i1 p
ylnβ...
p
ylnβ...
pp
ylnβ
2
1
ni21 α...α...αα
i1i
11i
111 p
ylnβ
2
1
p
ylnβ
2
1
p
ylnβ
nnn
iii
1i1
ii1 p
ylnβ...
p
ylnβ...
p
ylnβ
2
1...
p
ylnβ
2
1...
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ni21 α...α...αα
...
p
ylnβ
2
1...
p
ylnβ
i1i
111
nnn
iii
1i1 p
ylnβ...
p
ylnβ...
p
ylnβ
...
y
plnβ...
y
plnβα...α...αα i
1i1
11ni21
n
j
kn
κjk
n
jj
nnn
iii
1i1 y
plnβα
y
plnβ...
y
plnβ...
y
plnβ
Por tanto:
(i = 1, ..., n)
n
j
kn
kjk
n
jj
kn
kiki
i
y
plnβα
y
plnβα
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(i = 1, ..., n)
Asumiendo por simplicidad:
Dado que esta función no impone ninguna propiedad teórica, es posible contrastar la simetría: ij = ji, i,
j = 1, ..., n, i ≠ j; y la negatividad: i 0, i = 1, ..., n.
y
plnβ...
y
plnβα...α
y
plnβ...
y
plnβα
wn
n
jjn
1n
jj1n1
nin
1i1i
i
n ni
j M jk Mkj j
α α 1; β β
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1 n1 11 1n
11 11 nM1 Mn
1 nn n1 nn
nn n1 nM1 Mn
p pα β ln ... β ln
y yw
p p-1 β ln ... β ln
y y
p pα β ln ... β ln
y yw
p p-1 β ln ... β ln
y y
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3.- EL SISTEMA DE DEMANDA CASI LINEAL
El sistema de demanda casi ideal (AIDS) de Deaton y Muellbauer (1980a) presenta una forma que se deriva de
una función de gasto que caracteriza las preferencias PIGLOG;:
log c(p,u) = (1-u) log a(p) + u log b(p)
donde 0 < u < 1, de forma que las funciones linealmente homogéneaS a(p) y b(p) se pueden interpretar como el
gasto de subsistencia (u = 0) y aquél que corresponde a una situación de máxima satisfacción (u = 1).
Los autores eligen log a(p) y log b(p) de tal manera que la función de gasto resultante sea una forma flexible:
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k
n n nβ
0 k k kj k j 0 kk k j k
1log a p α α logp γ logp logp log b p log a p β p
2
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Sustituyendo obtenemos la siguiente función de gasto:
log c(p,u) = log a(p) - u log a(p) + u log b(p) =
siendo i, i y parámetros.
Las funciones de demanda se obtienen a partir de la función de costes aplicando el Teorema de Hotelling
multiplicando ambos lados de la igualdad por p i/c(p,u):
donde wi es la participación presupuestaria en el bien i.
k
kβk0
k
kβk0 puβalogpuβalogualogualog pppp
k
kβk0jk
n
k
n
jkj
n
kkk0 puβlogplogpγ
2
1logpααu,logc p
ijγ
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i
ih
p
u,c
p
i
ii
i
i
iw
u,c
hp
logp
u,logc
u,c
p
p
u,c
p
p
p
p
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Para obtener esta derivada logarítmica comenzamos:
nnii110 logpα...logpα...logpααu,c log p
n11ni11i
2111 logplogpγ
2
1...logplogpγ
2
1...logpγ
2
1
...logplogpγ2
1...logplogpγ
2
1...logplogpγ
2
1n22ni22i1221
...logplogpγ2
1...logpγ
2
1...logplogpγ
2
1niin
2iii1ii1
2nnninni1nn1 logpγ
2
1...logplogpγ
2
1...logplogpγ
2
1
nβn
iβi
2β2
1β10 ...p...pppuβ
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Derivando:
Dado que:
Por tanto, nos queda:
siendo:
nniiii22i11ii
ilogpγ
2
1...logpγ
2
1...logpγ
2
1logpγ
2
1α
logp
u,logc
p
...logpγ2
1...logpγ
2
1logpγ
2
1nin2i21i1
i
iβinβ
n1β
10 logp
p...ppuβ
iβ
iii1iβ
iii
i
i
iβi
i
iβi pβppβ
logp
p
p
p
logp
p
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k
nβn0ij
n
jijii puββlogpγαw
jiijij γγ2
1γ
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El agente racional gastará íntegramente su renta:
y = c(p,u) log y = log c(p,u)
de donde:
y, sustituyendo en las demandas hicksianas, obtenemos las marshallianas:
k
kβk0jk
n
k
n
jkj
n
kkk0 puβlogplogpγ
2
1logpααu,logc p
jkn
k
n
jkj
n
kkk0
k
kβk0 logplogpγ
2
1logpααlogypuβ
jn
jijii logpγαw
jkn
k
n
jkj
n
kkk0i logplogpγ
2
1logpααlogyβ
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(i = 1, ..., n)
Desarrollando la ecuación de demanda :
(i = 1 , ..., n)
Así pues, el AIDS para n bienes incluye n ecuaciones con n+2 parámetros por ecuación:
P
ylogβlogpγαw ij
n
jijii
jkn
k
n
jkj
n
kkk0 logplogpγ
2
1logpααlogP
P
ylogβlogpγ...logpγlogpγαw inin2i21i11i
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P
ylogβlogpγ...logpγlogpγαw
...P
ylogβlogpγ...logpγlogpγαw
P
ylogβlogpγ...logpγlogpγαw
nnnn2n21n1nn
2n2n22212122
1n1n21211111
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Este AIDS también puede obtenerse haciendo uso de la función de beneficio en el consumo correspondiente a la
función de gasto PIGLOG :
Siendo , por tanto,
Partimos de la función de beneficio:
(p,r) = Max U{r u - c(p,u)}
cuya condición de primer orden establece que
Aplicando esta condición a la función de gasto PIGLOG:
de donde tomamos logaritmos y despejando:
k
kβk0 puβa logu,logc pp
k
kβk0 pβd p k
n
kk0 logpβlogβlogd p
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r
u
u,c
p
c p,u logc p,u rc p,u d p c p,u r c(p,u)=
u u d(p)
rlog loga p
d prlogc p,u loga p ud p log u
d p d p
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Sustituyendo en la fórmula del beneficio:
Recordando que:
(i = 1, ..., n)
rlog loga p
d p r r rπ p,r ru c p,u r log loga p 1
d p d p d p d p
r[log r log d(p) log(P) 1]
d(p)
0 k k0 k k 0 k k kj k j logβ β logp
k k k j
1 rlogr logβ β logp α α logp γ logp logp 1
2 e
i i
i i i
π p,r π p,r 1q q
p logp p
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Calculamos la siguiente derivada:
[(log r - log d(p)-log a(p) -1] =
(i = 1, ..., n)
Por tanto, la función de demanda frischiana es:
(i = 1, ..., n)
klogpkβ0logβe
rjlogp
jijγiαiβ
ilogp
r,π p
2klogpkβ0logβ
riβklogpkβ0logβe
e
p
pp
d
rβ1)loga()logd(logrrlogpγαβ ijj
ijii
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i i ij j ij
ii
β α γ logp r logr logd(p) loga(p) 1 β r
qd p p
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Ahora bien, sabemos que el coste marginal de la utilidad constituye un parámetro inobservable en este tipo de
sistemas de demanda. La solución consiste en remplazar dicho parámetro por el gasto utilizando la identidad presupuestaria, tras recordar que c(p,u)d(p) = r, es decir, r = y d(p), y sustituyendo en la
función frischiana, nos queda la siguiente función de demanda marshalliana expresada en cantidades:
(i = 1, ..., n)
por consiguiente, en términos de participaciones:(i = 1, ..., n)
Es decir:(i = 1, ..., n)
ecuación que vuelve a definir el AIDS.
i i ij j ij
ii
β α γ logp yd(p) logy loga(p) 1β yd(p)
-qd p p
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i i
i i i ij j ij
p q yw logp log 1
y a p
n
i i ij j ij
yw logp log
a p
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Las restricciones que la teoría impone sobre el modelo son agregación, homogeneidad, simetría y negatividad, la
cuales podrán verificarse contrastando ciertas restricciones lineales sobre los parámetros del sistema.
En primer lugar, la condición de agregación exige:
(j = 1, ..., n)
En segundo lugar, la propiedad de homogeneidad establece que las funciones son homogéneas de grado cero
en precios y renta, dado > 0:
wi (p, y) = wi (p,y) (i = 1, ..., n)
En tercer lugar, la simetría impone que:
Sij = Sji ij = ji (i≠j, i,j = 1, ..., n)
n n n n
i i ij ii i i i
w 1 α 1; γ β 0
0γn
jij
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Por último, la condición de negatividad establece que la matriz de efectos de sustitución cruzados {Sij} sea semidefinida negativa. Esta última propiedad, a
diferencia de las anteriores, no puede ser impuesta como restricción sobre los parámetros del modelo, sin embargo
podemos contrastar dicha condición calculando las raíces características de la matriz {kij} cuyo elemento
genérico se obtendrá a partir de los parámetros estimados:
siendo Sij el efecto de sustitución cruzado entre los bienes i y j, y el delta de Kronecker. En consecuencia, si la matriz {kij} es semidefinida negativa entonces quedará
garantizada la propiedad de negatividad dado que las raíces características de esta última tendrán los mismos
signos que las correspondientes a la matriz {Sij} de Slutsky.
i j ijij ij i j i ij i j
p q S yk log w w w
y P
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Obtengamos ahora las expresiones de las elasticidades.
Comenzamos con las elasticidades precio. Dado que :
donde ij es el delta de Kronecker.
A partir de esta expresión podemos obtener las elasticidades precio marshallianas, , considerando igual
a cero:
i
ii p
ywq
i
j
i i iij ij
j j j j j
logq logw logp logwlogy logye
logp logp logp logp logp logp
y iij ij
j
logwe
logp
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Obtengamos la derivada:
siendo:
Así pues, la expresión final de la elasticidad precio marshalliana es:
(i , j = 1, ..., n)
La elasticidad renta viene dada por:
(i = 1, ..., n)
i iij i
j j i j i
logw w 1 logP 1
logp logp w logp w
n
j kj kkj
logPlogp
logp
i i ii
i
logq logwe 1 1
logy logy w
jiyij
uij weee
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4.- EL MODELO DE ROTTERDAM El modelo de Rotterdam no se asocia a ninguna función de
utilidad concreta. Fue propuesto inicialmente por Barten (1964 y 1967) y Theil (1965) y desarrollado después por
Theil (1975 y 1976).
Partimos de un sistema de demanda genérico:qi = qi (p,y)
que lo aproximamos directamente mediante su diferenciación logarítmica:
es decir:
siendo eijy y ei la elasticidad precio marshalliana y la
elasticidad renta, respectivamente.
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logq logq logq logq logqni i i i idlogq dlogp ... dlogp dlogy dlogp dlogyi 1 n jlogp logp logy logp logyj1 n j
ny
i ij j ij
dlogq e dlogp e dlogy
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Para obtener la ecuación de demanda, recordamos la Ecuación de Slutsky
Y sustituyendo:
y multiplicando ambos lados por wi :
Siendo ahora:
entonces:
y uij ij j ie e w e
n nu
i ij j i j i jj j
dlogq e dlogp e dlogy w e dlogp n n
uij j i j j
j j
e dlogp e dlogy w dlogp
n nu
i i i ij j i i j jj j
w dlogq w e dlogp w e dlogy w dlogp
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j i ju i i i iij i ij
i j ju u
p ppp q q qw e
y q p y p
p q q qyi i i iw e pi i i iy q y y
i
n n
i i ij j i j jj j
w dlogq dlogp dlogy w dlogp
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El término entre corchetes es, donde:
Para verlo, diferenciamos la ecuación presupuestaria:
Por tanto:
n
j jj
y p q
n
j j
jjjn
j j
jjjj
n
jj
n
jjj p
dp
y
qp
q
dq
y
qp
y
dydpqdqpdy
n n
j j i jj j
dlogy w dlogq w dlogp dlogq dlogp
n
j jj
dlogy dlogy dlogp dlogy w dlogp
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yy
p
yd log
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Consiguientemente, el Modelo de Rotterdam viene expresado por:
desarrollando:
(i = 1, ..., n)
Así pues, el sistema completo de ecuaciones de demanda Rotterdam para n bienes incluye n ecuaciones con n+1
parámetros por ecuación:
1 1 11 1 1n n 1
2 2 21 1 2n n 2
n n n1 1 nn n n
w dlogq dlogp ... dlogp dlogy
w dlogq dlogp ... dlogp dlogy
...
w dlogq dlogp ... dlogp dlogy
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n*
i i ij j ij
w dlogq dlogp dlogy
i i i1 1 in n iw dlogq dlogp ... dlogp dlogy
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Las condiciones teóricas a imponer pueden también verificarse contrastando algunas restricciones
lineales sobre los coeficientes del modelo.
La propiedad de agregación exige:
y (j = 1, ..., n)
En segundo lugar, la propiedad de homogeneidad establece:
(i = 1, ..., n)
En tercer lugar, la simetría impone:
(i, j = 1, …, n)
1μn
ii 0θ
n
iij
0θn
jij
jiij θθ
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Finalmente, vamos a concretar fácilmente las elasticidades gasto y elasticidades precio marshallianas y hicksianas a partir de las expresiones que ya hemos
obtenido directamente.
En primer lugar, recordamos que , por tanto la elasticidad precio hicksiana será:
(i, j = 1, ..., n)
Análogamente, de i = wi ei obtenemos la expresión de la elasticidad gasto:
(i = 1, ..., n)
Finalmente, la Ecuación de Slutksy nos permite obtener la elasticidad precio marshalliana:
(i, j = 1, ..., n)
uijiij ewθ
i
ijuij w
θe
i
ii w
μe
ijuij
yij ewee
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5.- EVIDENCIA EMPÍRICA
Especificación econométrica
Partimos de la especificación genérica :
Cuya formulación estocástica se obtiene añadiendo aditivamente una perturbación aleatoria por ecuación:
Las perturbaciones aleatorias ui representan variables estocásticas que recogen cambios en las preferencias,
errores de medida en las variables dependientes y el efecto de variables independientes omitidas.
1 1 1 2 n
2 2 1 2 n
n n 1 2 n
w w p ,p ,...,p ,y
w w p ,p ,...,p ,y
...
w w p ,p ,...,p ,y
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1 1 1 2 n 1
2 2 1 2 n 2
n n 1 2 n n
w w p ,p ,...,p ,y u
w w p ,p ,...,p ,y u
...
w w p ,p ,...,p ,y u
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Algunas propiedades teóricas que debe cumplir un sistema completo de ecuaciones de demanda, implican restricciones sobre el modelo. Por ejemplo, la condición
de agregación .
Así pues, de las n ecuaciones del sistema, sólo n-1 son independientes de tal forma que para evitar la
singularidad de la matriz de varianzas, debemos eliminar una ecuación cualquiera del sistema inicial y
estimar el subsistema de las n-1 ecuaciones restantes:
el cual puede expresarse matricialmente como:
0ui
i
1 1 1 2 n 1
2 2 1 2 n 2
n-1 n-1 1 2 n n-1
w w p ,p ,...,p ,y u
w w p ,p ,...,p ,y u
...
w w p ,p ,...,p ,y u
1 1 1
2 2 2
n 1 n 1 n 1
w uX
w uX
... ... ...
w uX
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Suponemos la existencia de T observaciones por variable, tenemos:
wit = Xt i + uit
siendo:
Podemos escribir el sistema de forma compacta:
w = Xb + u
donde w ((n-1)T 1) es el vector columna de variables endógenas,
X ((n-1)T x (n-1)n) es la matriz de variables exógenas,
β ((n-1)n x 1) es el vector de parámetros y, finalmente,
u ((n-1)T x 1) es el vector columna de perturbaciones aleatorias.
iT
i2
i1
i
w
...
w
w
w
nT2T1T
n22212
n12111
xxx
xxx
xxx
X
in
i2
i1
i
β
...
β
β
β
iT
i2
i1
i
u
...
u
u
u
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Dada la forma diagonal por bloques de la matriz X, la aplicación de MCO al sistema sería equivalente a la aplicación de MCO a cada ecuación por separado.
Sin embargo, la estimación del modelo w = X + u por MCO no sería optima si consideramos los supuestos habituales de errores con media cero: E(uit) = 0, i y t
correlación contemporánea:
E( uit2 ) = ii, i y t, E(uit, ujt) = ij, i,j y t
pero no serial:
E(uit, uis) = 0, i y t≠s , E(uit, ujs) = , i,j y t ≠ s.
La contemporánea indica que las endógenas están relacionadas entre sí en cada instante del tiempo a través
de sus componentes estocásticos.
Por su parte, la inexistencia de correlación seria, indica que las variables endógenas no están relacionadas entre sí en
distintos momentos del tiempo.
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Así pues, E(u) = 0, y matriz de varianzas E(uu') = ∑ V = IT, siendo:
y el producto de Kronecker.
La naturaleza de esta matriz de varianzas, en particular, la existencia de correlación contemporánea indica que cada
una de las variables endógenas del modelo contiene información relevante acerca de las demás, lo cual sugiere que la estimación conjunta de las distintas ecuaciones de
demanda será más eficiente que el tratamiento individualizado de cada una de ellas, dado que en el primero de los casos podemos beneficiarnos de la información que
proporcionan las correlaciones que existen entre los términos de error.
nnn2n1
2n2221
1n1211
σσσ
......
σσσ
σσσ
Σ
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Consiguientemente, el sistema de ecuaciones de demanda debería considerarse como un grupo y
estimarse por mínimos cuadrados generalizados (MCG).
Sabemos que el estimador MCG de β es:
b* = (X' V-1 X)-1 X' V-1 Y
siendo V-1 = ∑-1 IT.
Ahora bien, dado que ∑ es desconocida, resulta operacionalmente complicado obtener b*.
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Para solucionar este problema, Zellner (1962) propuso un procedimiento bietápico en el que se
sustituye por una estimación obtenida a partir de los residuos calculados al aplicar MCO a cada una de las
ecuaciones del subsistema por separado, y, posteriormente, se utiliza dicha matriz estimada para
deducir el vector de parámetros MCG.
Al estimador que se obtiene siguiendo este procedimiento se le conoce como estimador SURE
(Ecuaciones de Regresión Aparentemente no Relacionadas) :
= (X‘ -1 X)-1 X' -1 W
siendo -1 la estimación de V-1.
*b̂ V̂
V̂
V̂
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Este método SURE de estimación conjunta, como demuestra Zellner, proporciona estimadores eficientes y asintóticamente equivalentes a los que se obtienen a
través del método de Máxima Verosimilitud con Información Completa.
Las ventajas concretas de este tipo de estimación residen, por un lado, en la ganancia de eficiencia al
tener en cuenta la correlación contemporánea entre las perturbaciones
y, en segundo lugar, en la posibilidad de contrastar una propiedad teórica que implica restricciones entre los parámetros de las diferentes ecuaciones, esto es, la
simetría de los coeficientes ij. Microeconomía
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Una vez estimado el modelo, debemos aplicarle distintos contrastes de especificación con el fin de
asegurarnos que nuestro sistema cumple las propiedades econométricas deseadas, esto es, con el
propósito de asegurarnos de que los residuos se ajusten a una estructura típica de ruido blanco.
En particular, dado el tipo de datos con los que trabajamos, series temporales, contrastaremos la
autocorrelación conjunta del sistema por medio de dos estadísticos fundamentales, el test de Harvey (1982) y
el estadístico .Microeconomía
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El test de Harvey (1982)
Partimos del modelo inicial expresado genéricamente wit = Xt i + uit, realizando, en primer lugar, las regresiones de los residuos obtenidos para cada una de las ecuaciones estimadas del modelo inicial, con sus valores retardados un período, uit = riuit-1 + it, donde ri es el coeficiente de
autocorrelación individual y eit es una perturbación aleatoria distribuida normalmente con media cero y
matriz de varianzas y covarianzas constante.
El producto del tamaño muestral por la suma de dichos coeficientes de autocorrelación elevados al cuadrado se
distribuye asintóticamente como una 2 con tantos grados de libertad como regresiones de los residuos se han
realizado.
Rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación cuando el valor del estadístico de Harvey es mayor que
el valor crítico de tablas de la distribución χ2.
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El estadístico se deriva de forma similar al anterior.
Volvemos a partir del modelo expresado genéricamente wit = Xt i + uit, asumiendo que el término de error se especifica
como uit = uit-1 + it, donde es el coeficiente de autocorrelación común a todas las ecuaciones del sistema y
it es una perturbación aleatoria distribuida como hemos especificado en el párrafo anterior.
Sustituyendo ahora esta hipótesis en el modelo inicial obtenemos
wit = Xt i + wit-1 - Xt-1 i) + it.
La significatividad individual del coeficiente de autocorrelación se contrasta por medio del estadístico t de
Student asintótico deducido de la estimación conjunta.
Rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación, H0: , si el valor de la t del coeficiente estimador es
mayor que el valor crítico de tablas.
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Además de estos contrastes conjuntos, la literatura econométrica ha propuestos otros contrastes individuales
que se formulan para cada ecuación estimada.
Respecto a la autocorrelación, los estadísticos habituales son el test de Durbin (la h de Durbin si las ecuaciones
son dinámicas) y el test de Godfrey (1978). Este último se calcula realizando, en primer lugar, la regresión de los residuos obtenidos de la estimación del modelo inicial,
con sus valores retardados y las variables explicativas del modelo, calculándose el R2 de esta regresión. El producto
del tamaño muestral por dicho R2 se distribuye asintóticamente como una χ2 con tantos grados de
libertad como retardos de los residuos hemos incluido en la regresión. Microeconomía
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Finalmente, el uso de series temporales también permite el contraste de heteroscedasticidad dinámica o
perturbaciones ARCH a través del test de Engle (1982), el cual se calcula elevando al cuadrado los residuos y
realizando la regresión de estos últimos únicamente con sus valores retardados, obviamente también al
cuadrado, de donde obtenemos un R2. El producto del tamaño muestral por dicho R2 se distribuye
asintóticamente como una 2 con tantos grados de libertad como retardos de los residuos al cuadrado
incluimos en la regresión
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Respecto a los estadísticos usados para contrastar las hipótesis teóricas, el test más usual es estadístico de
Wald (W) el cual se distribuye asintóticamente como una 2 con tantos grados de libertad como restricciones
estamos contrastando.
No obstante, dado que dicho test se encuentra sesgado hacia el rechazo de la hipótesis nula, normalmente se
corrige por un factor de corrección para tratar de aproximar su distribución asintótica a la finita.
En este sentido, podemos citar el factor propuesto por Mauleón (1984), el cual se define de la siguiente forma: FC = (1- n/T)(1- k/T), siendo n el número de ecuaciones estimadas del sistema, k el promedio de parámetros por
ecuación y T el tamaño muestral.
Consiguientemente, el test de Wald corregido (W x FC) también se distribuirá como una 2 con tantos grados de
libertad como restricciones contrastemos.
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Resultados empíricos
En los estudios económicos de carácter aplicado la fase inicial del tratamiento de los datos requiere una atención especial, ya que en dicha etapa aparecen una serie de cuestiones que deben ser resueltas correctamente si se desea que la base de datos
finalmente disponible sea lo suficientemente fiable como para realizar posteriores análisis descriptivos y/o
econométricos.
Considerando series temporales, podemos plantear es la necesidad de agregar un determinado número de categorías o magnitudes en un número menor para
soslayar previsibles problemas de sobreparametrización econométrica.
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Considerando el caso particular de que las magnitudes sean las series nominales y reales (t = 1964, ..., 1995)
de gastos en las siguientes ocho categorías iniciales de gasto (j = 1, ..., 8), podemos agregarlas en un número
menor de acuerdo con las mayores participaciones presupuestarias de las magnitudes iniciales:
1: Alimentos, bebidas y tabaco: 30.19%
2: Vestido y calzado: 9.46%
3: Alquileres, calefacción y alumbrado: 13.94%
4: Muebles, accesorios, menaje y gastos corrientes de la vivienda: 7.68%
5: Servicios médicos y gastos sanitarios: 4.14%
6: Transporte y comunicaciones: 12.21%7: Esparcimiento, espectáculos, enseñanza y cultura:
6.54%8: Otros bienes y servicios: 15.81%
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En particular, agregamos las categorías iniciales 4, 5, 7 y 8 en una genérica que también denominamos Otros
bienes y servicios.
Por tanto, nos quedan cinco categorías finales de gasto:
1. Alimentación
2. Vestido y calzado
3. Alquileres y energía
4. Transporte y comunicaciones
5. Otros bienes y serviciosMicroeconomía
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El gasto nominal de la nueva magnitud, GN(5)t, se calcula directamente sumando los valores nominales
de las categorías iniciales que incluye:
GN(5)t = VN(4)t + VN(5)t + VN(7)t + VN(8)t
Por otro lado, para obtener el gasto real, ,
debemos, en primer lugar, calcular el precio de la nueva categoría, , como índice ponderado de los
precios correspondientes a los grupos incluidos en la misma y, posteriormente, dividir el gasto nominal entre
dicho índice:
1986t
t1986t
5IP
5GN5GR Microeconomía
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Antes de la estimación, es muy conveniente un detallado y exhaustivo análisis descriptivo.
Así, realizamos un primer análisis de las cantidades demandadas en términos reales, esto es, referidas a un
año base de referencia, presentando algunos estadísticos básicos (media, desviación típica, valores mínimo y
máximo), así como las tasas anuales medias de crecimiento real para todo el período muestral, 1965-95, y
también para distintos subperíodos en los que hemos dividido dicho período, en concreto, 1965-69, 1970-73,
1974-79, 1980-84, 1985-89, 1990-95.
Los puntos de corte han sido elegidos teniendo en cuenta los años más representativos de las tres últimas décadas
entre los que destacamos los años de ámbas crisis del petróleo e intentando también contar con subperíodos de
longitud similar.
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En segundo lugar, presentamos un estudio de los precios, también referidos a un mismo año base de
referencia. Al igual que en el caso anterior, calculamos ciertos estadísticos básicos, así como las tasas
anuales medias de inflación de las categorías de bienes y del gasto total, también para todo el período muestral y para los mismos subperíodos concretados
anteriormente.
Finalmente, exponemos un análisis de las participaciones presupuestarias que cada grupo de
gasto representa sobre el gasto total. También presentamos la media, la desviación típica y los
valores mínimo y máximo para las cinco categorías de bienes, exponiendo, a continuación, la evolución de dichas participaciones a lo largo de todo el período
muestral.
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Tabla 1Cantidades demandadas (año base 1986)
Grupos de bienes Media Desv. típica Mínimo Máximo
Alimentación 5026.89 849.02 3186.80 5885.79
Vestido y calzado 1744.93 357.61 1086.86 2328.60
Aluileres y energía 2693.89 580.47 1531.12 3542.60
Transporte y comunic. 2511.90 1110.59 542.82 4189.39
Otros bienes y servicios 7390.42 2592.50 3095.14 11890.72
Total 19430.89 5309.38 9681.03 27168.40
Grupos de bienes 1965-69
1970-73 1974-79 1980-84 1985-89
1990-95 1965-95
Alimentación 4.39 4.64 2.88 -0.61 0.54 0.79 2.00
Vestido y calzado 4.38 5.63 0.48 0.31 4.59 0.29 2.37
Aluileres y energía 5.54 4.94 3.33 0.60 1.71 -0.65 2.42
Transporte y comunic. 18.47 13.58 3.92 0.01 8.82 0.22 6.96
Otros bienes y servicios
8.18 7.07 3.05 1.40 5.79 2.54 4.47
Total 6.57 6.33 2.85 0.36 4.25 1.17 3.40
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Tabla 2Precios (año base 1986)
Grupos de bienes Media Desv. est. Mínimo Máximo
Alimentación 0.6431 0.4802 0.1125 1.5453
Vestido y calzado 0.6473 0.5202 0.0851 1.5832
Aluileres y energía 0.6551 0.5558 0.0863 1.9783
Transporte y comunic. 0.6516 0.5461 0.1075 1.7500
Otros bienes y servicios 0.6297 0.5499 0.0668 1.6981
Total 0.6423 0.5296 0.0876 1.6960
Grupos de bienes 1965-69 1970-73 1974-79 1980-84 1985-89 1990-95 1965-95
Alimentación 6.19 8.79 16.21 9.99 7.25 4.66 8.95
Vestido y calzado 7.64 10.37 17.77 11.30 8.56 4.21 10.03
Aluileres y energía 5.96 6.99 19.87 16.40 5.32 9.39 11.03
Transporte y comunic. 1.81 4.56 21.21 15.51 5.16 6.96 9.67
Otros bienes y servic. 7.22 9.95 20.45 14.56 7.52 6.03 11.13
Total 6.22 8.59 18.68 13.12 6.90 6.13 10.14Microeconomía
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Tabla 3Participaciones presupuestarias (%)
Grupos de bienes Media Desv. est. Mínimo Máximo
Alimentación 30.19 7.56 19.71 42.99
Vestido y calzado 9.46 1.13 7.62 10.90
Aluileres y energía 13.94 1.33 12.01 16.57
Transporte y comunic. 12.21 2.74 6.87 15.72
Otros bienes y servicios 34.18 6.32 24.30 44.05
Grupos de bienes 1964 1970 1975 1980 1985 1990 1995
Alimentación 42.26 36.94 35.17 28.05 24.91 21.76 19.71
Vestido y calzado 10.90 10.44 10.22 8.07 8.64 8.88 7.62
Alquileres y energía 15.57 14.44 13.32 16.49 14.50 12.55 13.21
Transporte y comunic. 6.87 9.53 10.47 13.54 13.68 15.20 15.38
Otros bienes y servic. 24.38 28.72 30.79 33.84 38.39 41.59 44.05
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Tras la fase descriptiva, comenzamos la estimación econométrica de los modelos con el sistema lineal de
gasto:
Comprobamos que esta versión estática del LES exhibe graves problemas de autocorrelación dado que el valor del test de Harvey resultante es H = 58.61, el
cual supera ampliamente el valor crítico de tablas de la distribución 2 con 4 grados de libertad al nivel de
significación clásico del 5%, 9.49.
p1tq1t = p1t1t + 1 (yt - p1t 1t -... - pnt nt) + u1t
p2tq2t = p2t2t + 2 (yt - p1t 1t - ... - pnt nt) + u2t
...
pn-1tqn-1t = pn-1tn-1t + n-1 (yt - p1t 1t - ... - pnt nt) + un-1t
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Por tanto, constatamos empíricamente una hipótesis muy poco plausible del LES derivada de su carácter estático,
esto es, el hecho de que los parámetros i son constantes en el tiempo, sobre todo en la medida en que se desee
seguir adoptando su interpretación habitual de cantidades mínimas necesarias para cubrir las necesidades más
indispensables, dado que resulta difícil aceptar que ésta medida subjetiva de qué es lo imprescindible no varíe como
consecuencia de la experiencia del pasado.
En este sentido, Pollak y Wales (1969) dinamizan el sistema incorporando la formación lineal de hábitos de consumo que consiste en expresar gi en función de una
tendencia temporal, it = i + i1 t, del consumo del período anterior, it = i + i1 qit-1, o, en general, de una variable que represente el consumo pasado, it = i + i1 zit-1, por ejemplo,
la media del consumo durante los tres últimos períodos anteriores al corriente.
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Hemos adoptado estas generalizaciones en nuestra aplicación empírica constatando que los graves problemas de autocorrelación no se corrigen.
Así, la dinamización del parámetro it = i + i1 t proporciona un valor del test de Harvey H = 52.25,
mientras que la formulación it = i + i1 qit-1 dá lugar a un valor H = 28.28.
Finalmente, hemos costruido una dinamización conjunta de la siguiete forma it = i + i1 qit-1 + i2 t, volviendo a
constatar graves problemas de autocorrelación detectados por un valor del test H =20.58,
considerablemente más bajo que las cifras anteriores, pero todavía muy por encima del valor crítico de tablas al
5%, 9.49.
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Así pues, podemos concluir que el Sistema Lineal de Gasto, tanto en su versión estática como en diferentes versiones dinámicas, presenta graves problemas de
autocorrelación utilizando las series temporales españolas desde 1964 hasta 1995 de los cinco grupos
de gasto especificados en el tema anterior, esto es, Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía,
Transporte y comunicaciones y, finalmente, Otros bienes y servicios.
Consiguientemente, el modelo estimado no satisface los mínimos requisitos econométricos para ser
utilizado en la obtención de conclusiones válidas desde un punto de vista estrictamente económico.Microeconomía
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En segundo lugar, estimamos el sistema translog:
Volviendo a constatar la presencia de graves problemas de autocorrelación. En concreto, el valor del test de
Harvey resultante es H = 60.84, el cual es claramente superior que el valor crítico de tablas de la distribución 2 con 4 grados de libertad al nivel de significación del
5%, 9.49.
1t nt1 11 1n
t t1t 1t
1 11t ntM1 Mn
t t
1t ntn-1 n-11 n-1n
t tn-1t n 1t
n n1t ntM1 Mn
t t
p pln ... ln
y yw u
p p-1 ln ... ln
y y
...
p pln ... ln
y yw u
p p-1 ln ... ln
y y
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Dado este problema, procedemos a dinamizar el sistema introduciendo una tendencia temporal como nueva variable exógena constatando que los graves
problemas de autocorrelación detectados no se corrigen.
Así, la dinamización del modelo proporciona un valor del test de Harvey H = 25.39, todavía por encima del valor
crítico de tablas al 5%, 9.49.
Por tanto, concluimos que el sistema translog, tanto en su versión estática como en su versión dinámica,
presenta graves problemas de autocorrelación utilizando las series temporales españolas desde 1964
hasta 1995 de Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía, Transporte y comunicaciones y,
finalmente, Otros bienes y servicios.
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En tercer lugar, estimamos la versión estática del AIDS:
Constatando de nuevo la existencia de ciertos problemas de autocorrelación. En este caso, el valor del test de Harvey
resultante es H = 32.89, el cual se sitúa por encima del valor crítico de tablas de la distribución 2 con 4 grados de libertad
al nivel de significación del 5%, 9.49.
Por consiguiente, Deaton y Muellbauer (1980a) plantean dinamizar el modelo especificando el término independiente
en términos de la variable endógena retardada y una tendencia temporal, . Constatamos que dicha generalización presenta un valor del test de Harvey, H = 4.55, que resuelve
los problemas de autocorrelación.
t1t 10 11 1t 1n 1 1t
t
t2t 20 21 1t 2n 1 2t
t
tn 1t n 10 n 11 1t n 1n 1 n 1t
t
yw logp ... log u
P
yw logp ... log u
P
...
yw logp ... log u
P
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Consiguientemente, pasamos a contrastar las hipótesis teóricas de homogeneidad y simetría, obteniendo unas cifras del test de Wald corregido, WC = 18.14 para la homogeneidad y WC = 59.45 para la homogeneidad y
simetría, que superan los valores críticos de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de
significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente. Por lo tanto, ambas hipótesis resultan rechazan
estadísticamente.
Dado este resultado, probamos con otras dos dinamizaciones que resultan al eliminar una de las dos
nuevas variables.
Así, la formulación it = i + wit-1 da lugar a un estadístico H = 15.32, superior al valor crítico y que, por
lo tanto, rechaza la ausencia de autocorrelación.
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La segunda nueva dinamización, it = i + i2 t, proporciona un valor del test de Harvey H = 5.30, inferior
al valor crítico 9.49, por lo que acepta la ausencia de autocorrelación.
Consiguientemente, al igual que hemos hecho en el caso anterior, procedemos a contrastar las hipótesis teóricas
de homogeneidad y simetría en esta nueva versión dinámica del modelo. Los valores del test de Wald
corregido,WC = 24.29 para la condición de homogeneidad y WC = 90.97 para la homogeneidad y simetría conjuntamente, vuelven a ser mayores de las
cifras de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente, por lo que ambas hipótesis teóricas
vuelver a resultar rechazadas estadísticamente.
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En definitiva, podemos concluir que la versión estática, así como las diferentes versiones dinámicas estimadas del Sistema de Demanda Casi Ideal tampoco satisfacen los mínimos requisitos al utilizar las series temporales españolas desde 1964 hasta 1995 de Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía, Transporte y
comunicaciones y, finalmente, Otros bienes y servicios.
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En cuarto lugar, estimamos el Modelo de Rotterdam:
que presenta valor del test de Harvey H = 4.59, claramente por debajo del valor crítico de tablas de la 2 con 4 grados de
libertad al nivel del 5%, 9.49, por lo que rechazamos la presencia de autocorrelación.
Seguidamente, contrastamos las hipótesis teóricas de homogeneidad y simetría. Los valores del test de Wald
corregido, WC = 7.21 para la condición de homogeneidad y WC = 16.72 para la homogeneidad y simetría
conjuntamente, son inferiores que las cifras de tablas de la distribución 2 con 4 y 10 grados de libertad al nivel de
significación del 5%, 9.49 y 18.30, respectivamente, por lo que ambas hipótesis teóricas son aceptadas
estadísticamente. Consiguientemente, imponemos homogeneidad y simetría sobre la versión libre del modelo
obteniendo así la versión restringida.
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1t 1t 11 1t 1 t 1t
2t 2t 21 1t 2 t 2t
n 1t n 1t n 11 1t n 1 t n 1t
w dlogq dlogp ... dlogy u
w dlogq dlogp ... dlogy u
...
w dlogq dlogp ... dlogy u
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Contrastamos la existencia de autocorrelación en esta nueva versión, obteniendo un valor del test de Harvey, H =
4.97, por lo que volvemos a rechazar claramente la presencia de problemas de autocorrelación.
La versión homogénea y simétrica del sistema de Rotterdam satisface los requisitos econométricos y
microeconómicos que le permiten representar adecuadamente la conducta de los consumidores
españoles desde 1964 hasta 1995 cuando dividen su renta entre Alimentación, Vestido y calzado, Alquileres y energía, Transporte y comunicaciones, y Otros bienes y
servicios.
Los parámetros estimados del modelo elegido, esto es, el sistema de Rotterdam homogéneo y simétrico aparecen
en la Tabla 4.
Constatamos que el grupo Alquileres y energía es el que presenta un mayor número de coeficientes estimados
estadísticamente significativos al 5%, en concreto, cuatro de los cinco parámetros de los precios, así como el
correspondiente a la renta.
También observamos que el resto de parámetros del modelo que acompañan a la variable renta también son
individualmente significativos al 5%.
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Los parámetros estimados del modelo elegido, esto es, el sistema de Rotterdam homogéneo y simétrico aparecen
en la Tabla 4.
Constatamos que el grupo Alquileres y energía es el que presenta un mayor número de coeficientes estimados
estadísticamente significativos al 5%, en concreto, cuatro de los cinco parámetros de los precios, así como el
correspondiente a la renta.
También observamos que el resto de parámetros del modelo que acompañan a la variable renta también son
individualmente significativos al 5%.
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Tabla 4Parámetros estimados
Grupos de bienes i
Alimentación
Vestido y calzado
Alquileres y energía
Transporte y comun.
Otros bienes y servic.
El asterisco (*) indica parámetro significativo al 5%. Los t-ratios aparecen entre paréntesis.
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Finalmente, las elasticidades evaluadas en los valores medios muestrales se exponen en la Tabla 5.
Tabla 5Elasticidades medias
Alimentación Vestido y calzado
Alquileres y energía
Transporte y comunicac.
Otros bienes y servicios
Gasto
Precio marshallianas
Alimentación
-0.1812(-1.71)
Vestido y calzado
Alquileres y energía
Transporte y com.
Otros bienes y serv.
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Precio hicksianas Alimentación Vestido y calzado
Alquileres y energía
Transporte y comunicac.
Otros bienes y servicios
Alimentación
Vestido y calzado
Alquileres y energía
Transporte y com.
Otros bienes y serv.
El asterisco (*) indica elasticidad significativa al 5%. Los t-ratios aparecen entre paréntesis.
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