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CAPÍTULO ONCE
Valoración de opcionesTodas las condiciones en las siguientes páginas son basadas en el supuesto que los mercados de opciones son eficientes. Es decir, en el siguiente análisis no tomamos en cuenta costos de transacciones ni el valor monetario del tiempo. Por eso, no hay niguna posibilidad de hacer ganancias de arbitraje.
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La fórmula de Black y Scholes
Opciones europeas
Seis parámetros:
El precio actual del activo subyacente S
El tiempo hasta el vencimiento T
El precio de ejercicio X
La tasa de interés sin riesgo r
La volatilidad
Los dividendos D, q
Para entender la fórmula de Black y Scholes es necesario comprender la distribución normal.
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La volatilidad
• La volatilidad es la desviación estándar del rendimiento proporcionado por compuesto continuo en un año.
• La desviación estándar del rendimiento en tiempo δt es .
• Si el precio de una acción es de 50 dólares y su volatilidad es del 25 por ciento anual, ¿cuál es la desviación estándar de la variación del precio en un día?
σ δt
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Estimación de la volatilidad mediante datos históricos
(págs. 269-271)1. Tomamos las observaciones de precios
S0, S1, . . . , Sn en ntervalos de años.2. Definimos la rentabilidad del compuesto
continuo como:
3. Calculamos la desviación estándar, s, de ui ´s.4. La estimación de la volatilidad histórica es:
uS
Sii
i
=
ln
1
sˆ
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Las fórmulas de valoración del modelo Black-Scholes
(pág. 273)
T
d2 =
donde d1 =
ln(S0/X) + (r + σ 2/2)T
σ
c = S0N(d1) - Xe-rT N(d2)
p = Xe-rT N(-d2) - S0N(-d1)
ln(S0/X) + (r - σ 2/2)T
Tσ= d1 - Tσ
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La función N(x)
• N(x) es la probabilidad de que una variable distribuida normalmente con media cero y desviación estándar 1 sea menor que x.
• Véanse las tablas al final del libro.
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EJEMPLO
S = $97,25/acción
X = $90
T = 15 días
= 0,299043
r = 0,0821
D = 0
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Dividendos• Las opciones europeas sobre acciones que
pagan dividendos se valoran sustituyendo de la fórmula de Black-Scholes el precio de las acciones menos el valor actual de los dividendos.
• Solamente se deberían incluir los dividendos con fechas ex-dividendo durante la vida de las opciones.
• El dividendo debería ser la reducción esperada en el precio esperado de las acciones.
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Opciones de compra Americanas
• Una opción de compra Americana sobre una acción que no paga dividendos no debería ejercerse anticipadamente.
• Una opción de compra Americana sobre una acción que paga dividendos sólo debería ejercerse inmediatamente antes de una fecha ex-dividendo.