1

Ch9 Other Univariate statistical

Process Monitoring and Control Techniques

在 Short production runs 的情況，使用 及 R chart

的一個簡單技巧就是在 control chart 上，使用一

deviation form nominal （而不使用測量的變數值），

此稱為 DNOM control chart 。

X

Example ：見附表1及附圖。

2

在應用 DNOM 方法時，必須注意到三件事：

1. 對不同的 parts ，其 standard deviation 皆大致相同。

若 standard deviation 不同時，則應採 standardized

and R chart 。2. 當所有 parts 的 sample size 是常數時， DNOM 的效果最佳。3. 當 nominal specification 是 desired target value 時，

DNOM 更具有 intuitive appeal 。 （在某些情況， process 無法或不能以 nominal dimension 當 center 。 e.g. parts 僅有 one-sided specifications 時，通常

nominal dimension 就不會被 specified 。在此情況下，則以（ historical process average ）取代 nominal dimension 。）

X

X

3

UCL, 0Center , LCL ,

UCL, LCL , Let

part for of valuenominal

part for of range averageLet

22

43

AAR

TXX

DDR

RR

ixT

ixR

i

ijsj

i

jsj

i

i

Standardized and R chart

（當各 parts 的 standard deviation 相異時使用）：X

4

在 Short production runs 的情況，若欲建立 attribute

C.C. ，採用較 attribute 的 standardized control chart

即可（ UCL= ＋ 3 ， LCL= － 3 ），此不僅可將不同 part

的 attribute C.C. 畫在同一張圖，亦可處理 sample size

不同的情況。

見附表2。

5

Examples of correlated process data （如附圖）。

Example ： A tank with volume V ， with input and output

material streams having flow rate f （如附圖）。

SPC with autocorrelated process data

6

( 2 ) 假設在 tank 中的物質的濃度是 homogeneous ，則

( 1 ) 令 = 在時間 t 時，注入物質的濃度。 = 在時間 t 時，流出物質的濃度。

tW

tX

)1(

)constant time( where,

)out rate -in rate(

0T

t

t

ttt

ttt

eWX

f

VT

dt

dXTWX

V

fXfW

dt

dX

7

若假設取樣的間隔為△ t ，則

T

t

t-T

t

tt

T

t

T

t

T

t

T

tt

t

a

X-aaWeXWXX

eeWeWeWXX

e-1 e wher

,)1()1)((

)1()1()1(

10101t

0001t

8

考慮 measurement error

T

t

tt eaXXCorr

1),( 1

T

t 1 0.5 0.25 0.10

0.37 0.61 0.78 0.90

9

ACF （如附圖）。

Schwhat C.C. and Moving range C.C. （如附圖）。

Sampling less frequency ： every 10th observations.

－ reduce correlation

如附圖10、 11（ in control ）。缺點： ( 1 ) loss information ； less effective. ( 2 ) longer time to detect process shift.

1000 個 的 time plot （如附圖）。tX

（如附圖）。1 v.s. tt XX

10

Model-Based Approaches

1. Time Series Model

e.g. AR （ 1 ） model 由 data 建立模型，求 及殘差項

對 建立其管制圖。

ttt εXξX 1

,ξ

Normal i.i.d. ˆttt XXe

te

11

e.g. Viscosity measurement from a chemical process. sampling rate ： every hour

見附圖12

與附圖13（ Sample ACF ） Strong positive correlation at lag 1 ， → 在 Schewhart C.C. 的 out of control signal 未必正確。 建立模型： 建立殘差項： 的管制圖。

ttt XXe ˆ

ttt εXX 1 847.004.13

88.01 r

見附圖14 → in statistical control.

2. Other Time Series Models ARIMA（ p , d , q）

12

An approximate EWMA procedure for correlated data

e.g. 對一個 IMA （ 0 , 1 ）的過程，即 （ process mean drift quickly ）

當 時，

（為 EWMA 的預測值， i.e. ）

在時間 t 的 IMA （ 0 , 1 ）的一步最佳預測。

11 tttt XX

1 tt ZX !ˆ

1)1( ttt ZXZ

13

一步預測誤差

0.mean i.i.d., ~ )1(ˆ tXXe ttt

（註）縱使當 process mean 並非 drift very quickly ，仍 可以找到一個相對應的 ，使其 EWMA 產生不 錯的一步預測值。

故對於 correlated data ，我們可以將 EWMA 視為

time series 模型的一種 approximation ，並對其一步

預測誤差建立管制圖，如附圖。

可經 minimize 求得 值，

2

te

如附圖（ viscosity data ）。

14

與由 time series 模型所得的殘差管制圖（如附圖）

略有不同，但兩者同時指出在 t = 90 時，可能出現

assignable cause 。 此外，亦可將原始資料與 EWMA 的預測值，同

畫於

一張 control chart 。

15

在常態假設下，

3

3

9973.0]3)1(ˆ3)1(ˆ[

9973.0)33(

1

1

tt

tt

ttt

t

zLCL

zUCL

tXXtXP

eP

此稱為 Moving center-line EWMA control chart ，如附圖。由於一般的 operating personal often feel more comfortable about moving center-line EWMA control chart ，故對 correlated data 的 monitoring ，我們將同時採用 的 control chart 與 moving center-line 的 EWMA control chart 。

te

16

10 ,ˆ )1( ˆ )(

25.1ˆ

10 ,)1(||

(MAD)deviation absoluteMean )(

ˆ1

ˆ )(

21

22

t

1t

1

22

ttt

t

t-t

n

t t

eiii

-αeα

ii

en

i

估計 的幾種方法：

2

17

由於 EWMA 並非所 correlated process 的 optimal

forecasting schems ，故無法解釋某些 data 的

autocorrelation 。在此狀況下，可合併採用 tracking

signals 的方法來 improve performance 。

Residual 的 Shewhart control chart 對於 small shift並

不 sensitive 。

→ 建議可採用 cusum or EWMA C.C. on residuals 。

18

Lu and Reynolds （ 1999 ）對於應用 EWMA 在監測

correlated data 的建議： 1. 當 autocorrelation 確實為 inherent part of the proces

s ，則不宜採用傳統的參數估計方法及管制圖。2. 用來建立模型及估計參數的觀測值個數需夠多，若

觀測值個數太少，則需小心 out of control 的 signal亦可能是由於不良的參數估計所造成，並應儘量隨時增加觀測值。

3. 當 correlation 是 low to moderate level ，則在 detecting process mean shift 方面，一般 Schewhart chart of the observation 的表現勝於 Shewhart chart of the residuals ，除在 large shifts 則 EWMA 優於 Shewhart.對 large shift ，

EWMA of the observation ＜ EWMA of the residuals.

對 small shift ， EWMA of the observation EWMA of the residuals.≧

19

在很多實際應用上， EWMA of the observation及

Shewhart chart of residual 仍是一個很好的

combination 。 當 ACF 呈現相關性，仍需檢測原始資料的 time plot ，

以確定 autocorrelation 卻實是該 process 的 inherent

part ，而非由 assignable cause 所造成。

e.g. 見附圖 18 ， 在 t = 50 時， mean 由 100 → 105 在 t = 100 時， mean → 95 分段畫 ACF 圖（附圖 19 ）， 呈現無相關。

20

由 Runger and Willemain （ 1996 ）所提出的

unweighted batch means （ UBM ），用來

monitoring autocorrelated process data ，常

被使用於分析 output from computer simulation

models 或 long time series with high autocorrelation 。

A Model-Free Approach

－ The Batch mean Control Chart

21

b

iibjj jX

bX

1)1( ,...2,1 ,

1

meanbatch unweightedjth thee.g.

UBM 將 successive groups of sequential observations

break into chatches with equal weights 。

22

Summary ：

( 1 ) 附圖 22 ； ( 2 ) 附圖 23 。

如何決定 batch size b 的大小。

e.g. AR(1) model ， b 的選取，欲使得 降到 0.1 ， 可選取 b=1 ，再 doubling b ，使其達到此效果。 data （見附圖 6 ）， 1000 observations with Batch means using b=10 （見附圖 20 ）， → no correlation. Control chart for batch mean （見附圖 21 ）， → process is in control.

)1(

7.0)1(ˆ

48

9-6 ECONOMIC DESIGN OF CONTROL CHARTS

Statistical design of C.C.: 利用 與 來決定

• Economic design of C.C.: 以經濟考量來決定

k

h

n

管制界限抽樣頻率樣本大小

khn ,,

0ARL 1ARL

49

• 所考慮之成本參數有三種：

(1) The costs of sampling and testing. -

where 是固定成本 , 是變動成本 .

(2) out-of-control 的訊號之確認及調整 process 之成本 .

(3) 生產不合格品的成本 - 以平均成本表示 .

naa 21 2a1a

50

• Weiler(1952) 提出 , 就 control chart 而言 , 最適樣本大小是

when control limits are used

when control limits are used

when control limits are used

when control limits are used

• 只考慮使檢驗個數 ( 成本 ) 為極小之最適解 , 所以稱為semieconomic designs

x

2

0.12

n 09.3

2

1.11

n

2

65.6

n

2

4.4

n

3

58.2

33.2

51

• Duncan(1956) 提出： 基本假設：

(1) 起始狀態是 in control.

(2) The assignable cause is assumed to occur according to

a Poisson process with an intensity of occurrences

per hour.

(3)The process 不會自行修正 .

52

• 考慮之 Model

where ：每一 cycle 之每一小時之淨獲利 .

：每一 cycle 之平均總獲利 .

：每一 cycle 之平均總時間 .

)(

)(max)(max

,,,, TE

CEAE

khnkhn

)(AE

)(CE

)(TE

53

• A cycle : 從 in control 之狀態下開始生產到發現 assignable cause 又除去 assignable cause 的這段時間 . 故包括了四個時期 :

(1) the in control period.

(2) the out of control period.

(3) the time to take a sample and interpret the results.

(4) the time to find the assignable cause.

.

54

• A cycle 所需之平均時間

.:

.:

.1

.

,

1)(

.:1

)1

(1

)(

1

)1(

)1(

causesssignableathefindtotimetheD

gn

shiftprocesssARLhh

causeassignable

jjcauseassignabledte

dtjhte

causeassignable

where

Dgnh

TE

hj

jh

t

hj

jh

t

說明結果所需時間

之平均所需時間偵測到

發生的平均時間則在這個區間中個樣本之間

與發生在第假設

發生平均等待時間對於

)(TE

55

• A cycle 平均之總獲利

where : in control 之狀態 , 每小時之淨獲利 . : out of control 之狀態 , 每小時之淨獲利 . : 發現 assignable cause 的單位成本 . : 調查 a false alarm 的單位成本 . : type I error : 固定成本 : 變動成本

: assignable cause 發現前 , 錯誤警訊發生之 平均次數

h

TEnaa

e

eaaDgn

hVVCE

h

h )()(

1)

1(

1)( 213310

)(CE

0V

1V3a

3a

1a

2a

h-

h-

e-1

e

56

• Set : in the out of control state 之每小時之 懲罰成本

104 VVa

)(min)(max

)1

(1

1)

1(

)(

)(

)1

(1

)(1

)1

(1

)(

)()(

,,,,

33421

0

213310

LEAE

Dgnh

ee

aaDgnh

a

h

naaLE

where

LEV

Dgnh

hnaa

ee

aaDgnh

VV

TE

CEAE

khnkhn

h

h

h

h

57

• Example 9-5

有一個製造商生產不回收的汽水瓶 , 瓶壁的厚度是重要的品質特性 , 如果瓶壁太薄 , 瓶子會因充填的壓力而爆炸 . 因此為了減少成本 , 這家製造商希望設計一的最經濟的

control chart 來監測製程 .

已知

x

100$

50$,25$,0167.0,2,1

05.020

1120,1.0,1

4

33

21

a

aahrghrD

hraa

58

n Optimum k Optimum h Alpha Power Cost

1 2.3 0.45 0.0214 0.3821 14.712 2.51 0.57 0.0117 0.6211 11.913 2.68 0.66 0.0074 0.7835 10.94 2.84 0.71 0.0045 0.877 10.515 2.99 0.76 0.0028 0.9308 10.38

6 3.13 0.79 0.0017 0.9616 10.39

7 3.27 0.82 0.0011 0.9784 10.48

8 3.4 0.85 0.0007 0.988 10.6

9 3.53 0.87 0.0004 0.9932 10.75

10 3.66 0.89 0.0003 0.9961 10.9

11 3.78 0.92 0.0002 0.9978 11.06

12 3.9 0.94 0.0001 0.9988 11.23

13 4.02 0.96 0.0001 0.9993 11.39

14 4.14 0.98 0 0.9996 11.56

15 4.25 1 0 0.9998 11.72

Figure 9-24 Optimum solution to Example 9-5

59

n Optimum k Optimum h Alpha Power Cost

1 2.31 0.37 0.0209 0.3783 19.172 2.52 0.46 0.0117 0.6211 15.713 2.68 0.54 0.0074 0.7835 14.484 2.84 0.58 0.0045 0.877 14.015 2.99 0.62 0.0028 0.9308 13.88

6 3.13 0.65 0.0017 0.9616 13.91

7 3.27 0.67 0.0011 0.9784 14.04

8 3.4 0.69 0.0007 0.988 14.21

9 3.53 0.71 0.0004 0.9932 14.41

10 3.66 0.73 0.0003 0.9961 14.62

11 3.78 0.75 0.0002 0.9978 14.84

12 3.9 0.77 0.0001 0.9988 15.06

13 4.02 0.78 0.0001 0.9993 15.28

14 4.14 0.8 0 0.9996 15.5

4aFigure 9-25 Optimum chart design for Example 9-5 with =$150.

x

)62.0,99.2,5()76.0,99.2,5(),,(1504

a

hkn )76.0,99.2,5(,採用

60

n Optimum k Optimum h Alpha Power Cost

1 2.53 0.4 0.0114 0.2981 19.592 2.72 0.53 0.0065 0.5432 16.033 2.87 0.62 0.0041 0.7238 14.744 3 0.7 0.0027 0.8413 14.25 3.13 0.75 0.0017 0.9102 13.99

6 3.27 0.78 0.0011 0.9483 13.95

7 3.4 0.82 0.0007 0.9707 14

8 3.52 0.84 0.0004 0.9837 14.1

9 3.65 0.87 0.0003 0.9906 14.24

10 3.77 0.89 0.0002 0.9947 14.38

11 3.89 0.92 0.0001 0.997 14.53

12 4 0.94 0.0001 0.9983 14.69

13 4.12 0.96 0 0.999 14.85

14 4.23 0.98 0 0.9994 15.01

15 4.34 1 0 0.9997 15.17

Figure 9-27 Optimum chart design for Example 9-5 with =$150.

x33 aa

61

n Optimum k Optimum h Alpha Power Cost

4 2.22 0.53 0.0264 0.4129 15.475 2.27 0.58 0.0232 0.4865 14.576 2.31 0.64 0.0209 0.5555 13.957 2.35 0.69 0.0188 0.6163 13.58 2.39 0.73 0.0168 0.6695 13.18

9 2.43 0.77 0.0151 0.7157 12.95

10 2.47 0.81 0.0135 0.7556 12.79

11 2.5 0.85 0.0124 0.7929 12.69

12 2.54 0.88 0.0111 0.8223 12.62

13 2.58 0.91 0.0099 0.8474 12.59

14 2.61 0.94 0.0091 0.8711 12.59

15 2.65 0.96 0.008 0.8893 12.61

16 2.69 0.99 0.0071 0.9049 12.65

17 2.72 1.02 0.0065 0.9197 12.71

18 2.76 1.04 0.0058 0.9309 12.77

19 2.79 1.06 0.0053 0.9417 12.85

20 2.83 1.08 0.0047 0.9497 12.94

21 2.87 1.1 0.0041 0.9566 13.03

22 2.9 1.12 0.0037 0.9633 13.13

23 2.94 1.14 0.0033 0.9683 13.24

24 2.97 1.16 0.003 0.9731 13.35

Figure 9-26 Optimum chart design for Example 9-5 withx 0.1

62

n Optimum k Optimum h Alpha Power Cost

1 2.07 0.71 0.0385 0.4721 16.312 2.33 0.82 0.0198 0.6909 13.253 2.53 0.9 0.0114 0.8249 12.14 2.71 0.95 0.0067 0.9015 11.635 2.87 0.98 0.0041 0.9454 11.45

6 3.03 1.01 0.0024 0.9692 11.43

7 3.18 1.04 0.0015 0.9826 11.48

8 3.32 1.06 0.0009 0.9903 11.58

9 3.46 1.08 0.0005 0.9945 11.7

10 3.59 1.1 0.0003 0.9969 11.84

11 3.72 1.11 0.0002 0.9982 11.98

12 3.85 1.13 0.0001 0.999 12.12

13 3.97 1.15 0.0001 0.9994 12.27

14 4.09 1.17 0 0.9997 12.42

15 4.21 1.18 0 0.9998 12.56

xFigure 9-28 Optimum chart design for Example 9-5 with =$21a

63

1. 最佳的樣本大小 主要由 決定 ( 例如 :

2. 會影響抽樣頻率 .( 例如 )

3. 會影響 control limit 之寬度 .

4a

n

405.0

201021

1022

n

n

n

ha ,4

33 , aa

結論 :

141

,52

n

n

62.0150

76.0100

4

4

ha

ha

78.0,27.3,6100

76.0,99.2,550,25

33

33

hknaa

hknaa

64

4. 抽樣成本改變對 n, k, h 三個參數都會造成影響。 固定成本 a1 增加 抽樣間隔加長、較大的樣本數 ( 附表 9-28)

變動成本 a2 越大 抽樣次數越少、管制界限越窄 ( 附表 9-29)

5. 異常原因平均每小時發生次數影響抽樣間隔 ( 附表 9-30)

6. 最經濟的管制圖設計對於成本係數是否估算錯誤相當不敏感

7. 使用一般任意設計的 管制圖應特別小心x

65

其他適當地選擇單一可歸屬原因的模式可獲致多重可歸屬原因模式的效果適當地改善可歸屬原因發生的模式經濟模式設計管制圖難被採用的原因 :

1. 數學模式及最適化過程過於複雜 2. 成本與其他模式參數的估計不易

採用經濟模式的基本準則 : 評估各項目的價值或成本，使採用的製程管制的經濟設計獲致最大的生產價值。