…1. Çok deĞİŞkenlİ doĞrusal regresyon modelİ …

…1.ÇOK DEĞİŞKENLİ DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ…

Y=1 + 2 X2 + 3 X3 + u

Y=1 + 2 X2 + 3 X3 +...+ k Xk + u

Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanabilir.

EKKY varsayımları çoklu regresyon analizinde de geçerlidir.

1

Tütün Miktarı59.2065.4062.3064.7067.4064.4068.0073.4075.7070.70

Gelir

76.2 91.7106.7111.6119.0129.2143.4159.6180.00193.0

Fiyat

23.5024.4032.1032.4031.1034.1035.3038.7039.6046.70

…ÇOK DEĞİŞKENLİ DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ…

2

…ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ…

33221i XbXbbY

Katsayıların Tahmini

Normal Denklemler ile,Ortalamadan Farklar ile,

3

…NORMAL DENKLEMLER…

Y=? , n , X2=? , X3=? ,YX2= ? , YX3= ?, X2X3= ? , X2

2=? , X32=?

32

232133

33222

122

33221

bXbXXbXYX

bXXbXbXYX

bXbXbnY

3

2

4

Tütün Miktarı

Y59.2065.4062.3064.7067.4064.4068.0073.4075.7070.70

Gelir

X2

76.2 91.7106.7111.6119.0129.2143.4159.6180.0193.0

Fiyat

X3

23.5024.4032.1032.4031.1034.1035.3038.7039.6046.70

Y=671.20X2=1310.40 X3=337.90

YX2 YX34511.045997.186647.417220.528020.608320.489751.2011714.613626.013645.1

1391.201595.761999.832096.282096.142196.042400.402840.582997.723301.69

YX2=89454.17YX2=22915.64

5

X2X3 X32

1790.702237.483425.073615.843700.904405.725062.026176.527128.009013.10

552.2595.3

1030.411049.76

967.21162.811246.091497.691568.162180.89

X2X3=46555.35 X32=22915.64

X22

5806.448408.89

11384.8912454.5614161.0016692.6420563.5625472.1632400.0037249.00

X22=184593.14

6


321

321

321

b63.11850b35.46555b 90.33764.22915

b35.46555b14.184593b 40.131017.89454

b90.337b 40.1310b 10671.20

7


321

321

b35.46555b14.184593b 40.131017.89454

b90.337b 40.1310b 10671.20

-131.04/

321

321

b35.46555b14.184593b 40.131017.89454

b44278.42b 82.171718b 40.310105.87954-

32 b93.2276b32.1287412.1500

8


321

321

b63.11850b35.46555b 90.33764.22915

b90.337b 40.1310b 10671.20

321

321

b63.11850b35.46555b 90.33764.22915

b64.14171b 42.44278b 90.3372679.852-

32 b99.432b93.227679.235

-33.79/

9


32

32

b99.432b93.227679.235

b93.2276b32.1287412.1500

-5.26 /

32

32

bb

bb

ˆ93.2276ˆ65.1197626.1240

ˆ93.2276ˆ32.1287412.1500

2b67.89786.259

2895.0ˆ 2b

10


3b( ˆ93.2276)2895.032.1287412.1500

9781.0ˆ 3b

3b93.227612.372712.1500

3b93.22762227

11


2362b1 .ˆ

)..ˆ 0.9781(90337(0.2895) 401310b 10671.20 1

5033036379b 10671.20 1 ..ˆ

1b 10622.34 ˆ

12

32i X97810X289502362Y ...ˆ


13

…ORTALAMADAN FARKLAR YOLUYLA…

33221 XbXbYb ˆˆˆ

y=? , x2=?, x3=??2X?Y

2333223

3232222

xbxxbyx

xxbxbyx

ˆˆ

ˆˆ

?3X

yx2=?, yx3=?, x2x3=?, x22=?, x3

2=?

14

…ORTALAMADAN FARKLAR…

Tütün Miktarı

Y59.2065.4062.3064.7067.4064.4068.0073.4075.7070.70

Gelir

X2

76.2 91.7106.7111.6119.0129.20143.4159.6180.0193.0

Fiyat

X3

23.5024.4032.1032.4031.1034.1035.3038.7039.6046.70

Y=671.20X2=1310.40 X3=337.90

y

-7.92-1.72-4.82-2.420.28-2.720.886.288.583.58

-54.84-39.34-24.34-19.44-12.04-1.8412.3628.5648.9661.96

-10.29-9.39-1.69-1.39-2.690.311.514.915.8112.91

1267Y . 04131X2 . 7933X3 .

x3x2

15


yx2 yx3 x2x3 x22 x3

2

yx3=235.79

434.367.66117.347.04-3.375.0010.88179.3420.0221.8

81.5016.158.153.36-0.75-0.841.3330.8349.8546.22

564.3369.441.1327.0232.39-0.5718.66140.2284.4799.9

yx2=1500.12 x2x3=2276.93

3007.431547.64

592.4377.9144.93.39152.7815.6

2397.083839.04

x22=12878.32 x3

2 =432.99

105.888.172.861.937.240.102.2824.1133.76166.67

16


32

32

b99432b93227679235

b932276b3212878121500

ˆ.ˆ..

ˆ.ˆ..

-5.26 /

32

32

b932276b6511976261240

b932276b3212878121500

ˆ.ˆ..

ˆ.ˆ..

2b67.89786.259

2895.0ˆ 2b

17

3b93227628950(3212878121500 ˆ.)...

9781.0ˆ 3b

3b93.227612.372712.1500

3b93.22762227


18

).)(.().)(.(.ˆ 79339781004131289501267b1

2362b1 .ˆ


19

32i X97810X289502362Y ...ˆ


Gelir FiyatTütün miktarı

20

…ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI…

Y

X .

X

Y

XX

YYE i

ii0xiyxi

/

/lim

•Nokta Elastikiyet

•Ortalama Elastikiyet

21

…NOKTA ELASTİKİYET…

X20 = 140 X30 = 38

)(.)(..ˆ 3897810140289502362Y0

5965Y0 .ˆ

32i X97810X289502362Y ...ˆ

22

0

2

2YX

Y

X .

X

YE

20 ˆ

0

202

Y

X .b

ˆˆ

65.59

140 28950E

20YX . 0.62


Tütünün gelir elastikiyeti

23

0

3

3YX

Y

X .

X

YE

30 ˆ

0

303

Y

X .b

ˆˆ

65.59

38 97810E

30YX . -0.57


Tütünün fiyat elastikiyeti

24

…ORTALAMA ELASTİKİYET…

Y

X .

X

YE i

iiXY

Y

X . b i

iˆ

7933X 04311X ; 1276Y 32 .;..

32i X97810X289502362Y ...ˆ

1267

131.04 .28950E

2XY .. = 0.57

1267

33.79 .97810E

3XY .. = -0.49

25


33221i XbXbbY

32i X97810X289502362Y ...ˆ

26

…ÇOK DEĞİŞKENLİ DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNDE TAHMİNİN STANDART HATASI…

kn

es

2i

?ˆ iY ?)ˆ( 2i

2ii eYY

32i X97810X289502362Y ...ˆ

27

KATSAYI TAHMİNLERİNİN VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…

1) Tek açıklayıcı değişkenli model

2) İki açıklayıcı değişkenli model

Bu ifadeler determinantla şöyle yazılabilir.

1 2 2 Y b b X u

22 2

1ˆvar ubx

1 2 2 3 3Y b b X b X u

232

2 22 22 3 2 3

ˆvar u

xb

x x x x

222

3 22 22 3 2 3

ˆvar u

xb

x x x x

28

Sapmalar biçiminde yazılmış iki açıklayıcı değişkenli modelin normal denklemleri şöyledir.

22 2 2 3 2 3

ˆ ˆ( ) ( )x y b x b x x

(2) 23 2 2 3 3 3

ˆ ˆ( ) ( )x y b x x b x

Parantez içindeki terimler, örnek gözlemlerinden hesaplanmış determinantlardır ise bilinmeyenlerdir. 2 3

ˆ ˆb ve b

(1)

29

…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…

(1) ve (2) nolu denklemin sağ tarafında yer alan bilinenler, determinant kalıbında yazılabilir.

22 2 3

22 3 3

x x xA

x x x

Her bir parametrenin varyansı, bu parametreye ilişkin minör determinantının (bütün) determinanta bölümünün

2u İle çarpımıdır. Yani…

30


22 2 3

2 2 22 3 3 3 32 2 2

2 2 22 2 3 2 2 3

2 22 3 3 2 3 3

ˆvar u u u

x x x

x x x x xb

Ax x x x x x

x x x x x x

Ve..

için 2ˆvar b

22 2 2 3 2 3

ˆ ˆ( ) ( )x y b x b x x (2) 2

3 2 2 3 3 3ˆ ˆ( ) ( )x y b x x b x

(1)

31


3ˆvar b için

22 2 3

2 2 22 3 3 2 22 2 2

3 2 22 2 3 2 2 3

2 22 3 3 2 3 3

ˆvar u u u

x x x

x x x x xb

Ax x x x x x

x x x x x x

32


3) Üç açıklayıcı değişkenli model 1 2 2 3 3 4 4Y b b X b X b X

Normal denklemin sağ tarafında görülen bilinen terimlerin determinantı şöyledir:

22 2 3 2 4

22 3 3 3 4

22 4 3 4 4

x x x x x

x x x x x B

x x x x x

33


Daha önce iki açıklayıcı değişkenli model için açıklanan işlemleri burada da yenilersek varyansları determinant cinsinden şöyle yazabiliriz.

22 2 3 2 4

2 22 3 3 3 4 3 3 4

2 22 4 3 4 4 3 4 42 2

2ˆvar u u

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x xb

B B

2ˆvar b için:

1 2 2 3 3 4 4Y b b X b X b X

34


22 2 3 2 4

2 22 3 3 3 4 2 2 4

2 22 4 3 4 4 2 4 42 2

3ˆvar u u

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x xb

B B

35


22 2 3 2 4

2 22 3 3 3 4 2 2 3

2 22 4 3 4 4 2 3 32 2

4ˆvar u u

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x xb

B B

36


Katsayı tahminlerinin varyanslarını gösteren daha önceki ifadeler incelenecek olursa, şu genelleme yapılabilir.

k sayıda açıklayıcı değişken içeren bir modelin tahminlerinin varyansı iki determinantın birbirine oranından hesaplanabilir.

37


21 1 2 1

1 2 1 2 2

21 22

21 1 2 1

1 2 1 2 2

21 2

ˆvar

k

k

k k k

k u

k

k

k k k

x x x x x

x x x x x x

x x x x xb

x x x x x

x x x x x x

x x x x x

Örneğin ˆkb nın varyansı aşağıdaki ifadedir.

38

…Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon Modelinde Tahminin Standart Hatası…

Tütün

Y

59.2065.4062.3064.7067.4064.4068.0073.4075.7070.70

Gelir

X2

76.2 91.7106.7111.6119.0129.2143.4159.6180.0193.0

Fiyat

X3

23.5024.4032.1032.4031.1034.1035.3038.7039.6046.70

Y=671.20

61.3045564.9115161.7226462.8477666.2615966.2801969.2173770.5817375.6072472.42623

16. 671Y

Y

-2.100.490.581.851.14

-1.88-1.222.820.09

-1.73

4.4291310.2386220.3333453.4307931.2959773.535114

1.481997.9426460.008604

2.97987

e e2

e = 0.040

e2 = 25.68

39

… Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart Hataları…

310

25.682

kn

es i 6686.3 =1.9154

232

23

22

23

2 )()ˆ(

xxxx

xsbs

2)93.2276()99.432)(38.12878(

99.4329154.1

=0.0637

40

… Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart Hataları…

232

23

22

22

3 )()ˆ(

xxxx

xsbs

2)93.2276()99.432)(38.12878(

38.128789154.1

=0.3473

2 2 2 22 3 3 2 2 32

1 2 2 22 3 2 3

1( ) .

( )

X x X x x xVar b s

n x x x x

41

…Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon Modelinde Belirlilik Katsayısı…

2RTD

RBD

2

2

y

y

2

3322

y

yxbyxb

90.228

)79.235)(9781.0()12.1500(2895.0 = 0.8879 0.89

2RTD

HBD1

2

2

y

e1

90.228

68.251

= 0.112R1

TD

HBD

2

2

y

e

90.228

68.25

= 0.8879 0.89

42

…Düzeltilmiş Belirlilik Katsayısı…

2R

kn

1n)R1(1 2

310

110)89.01(1 = 0.86

R2 değeri yeni bağımsız değişken eklendiğinde daima artar, R2 de payın değeri artarken payda aynı kalır. Bu sakıncayı ortadan kaldırabilmek için aşağıdaki düzeltilmiş belirlilik katsayısı hesaplanabilir:

2 2R RÇoklu korelasyon katsayısı (R) : Y bağımlı değişkeni ile X bağımsız değişkenleri arasındaki ilişkinin derecesini göstermektedir.

43

…Basit Korelasyon Katsayıları…

2yxr

222

212

yx

yxr

)90.228)(38.12878(

12.1500 = 0.8737

3yxr

223

313

yx

yxr

)90.228)(99.432(

79.235

32xxr

23

22

3223

xx

xxr

)99.432)(38.12878(

93.2276

23xxr

22

23

2332

xx

xxr

)38.12878)(99.432(

93.2276

= 0.7490

= 0.9642

= 0.9642

44

…Kısmi Korelasyon Katsayıları…

2333223

3232222

xbxxbyx

xxbxbyx

3232222

ˆˆ xxbyxxb

3232222 xxbxbyx

22xİfadenin her iki yanı bölünürse

45


22

3232

2

22 x

xxb

x

yxb

323122 bbbb X2’nin Y’ye

Toplam EtkisiX2’nin Y’ye

Doğrudan Etkisi

X2’nin Y’ye Dolaylı Etkisi= -

)1768.0)(9781.0(1165.02895.0 2894.02895.0

46


)r1)(r1(

rrrr

223

213

2313123.12

)r1)(r1(

rrrr

223

212

2312132.13

)r1)(r1(

rrrr

213

212

1312231.23

])9642.0(1][)7490.0(1[

)9642.0)(7490.0(8737.022

=0.8623

])9642.0(1][)8737.0(1[

)9642.0)(8737.0(7490.022

= -0.7242

])7490.0(1][)8737.0(1[

)7490.0)(8737.0(9642.022

=0.9612

47

…Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi…

1.Aşama H0: 2 = 0

H1: 2 0

2.Aşama = ? = 0.05 ; = n-k

3.Aşama

t,sd =? t0.05,7=? =2.365

?)b(s

bbt

2

*22

hes

0637.0

02895.0 =4.5447

4.Aşama |thes= 4.5447 | > |ttab= 2.365 |

H0 hipotezi reddedilebilir

S.d.=? =10-3 = 7

48

…Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi…

1.Aşama H0: 3 = 0

H1: 3 0

2.Aşama = ? = 0.05 ; S.d.=? = n-k

3.Aşama

t,sd =? t0.05,7=? =2.365

?)b(s

bbt

3

*33

hes

3473.0

09781.0 =2.8163

4.Aşama |thes= 2.8163 | > |ttab= 2.365|


=10-3 = 7

49

…Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi…

1.Aşama H0: 2 = 3 = 0

H1: i 0

2.Aşama = ? = 0.05 ; f1=? = k-1 = 3-1=2

F,f1,f2 =? F0.05,2,7=?

= n-k f2=?

=4.74

Y=1 + 2 X2 + 3 X3 + u

Y=1 + u

(Sınırlandırılmamış Model)(SM)

(SR)

=10-3=7

(Sınırlandırılmış Model)(SR)

50

…Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi…

3.Aşama

=27.7221?)kn/()R1(

)1k/(RF

2

2

hes

)310/()8879.01(

)13/(8879.0

4.Aşama Fhes= 27.7221 > Ftab= 4.74


51

…Varyans Analiz Tablosu…

Değişkenlik SKT sd SKTO Fhes F-Anlamlılık

RBD

HBD

TD

203.2235 101.61173-1 27.7060 [0.0005]

25.6725

228.8960

10-3 3.6675

10-1

52

…Güven Aralıkları…

= 0.2895 2.365 (0.0637) )b(stb 22/2 0.1370 < 2 < 0.4381

)b(stb 32/3 = -0.9781 2.365 (0.3473)

-1.7887 < 3 < -0.1466

53

En Yüksek Olabilirlik Yöntemi

İstatistikte, tüm anakütleler kendilerine karşılık gelen bir olasılık dağılımı ile tanımlanırlar.

Basit(sıradan) en küçük kareler yöntemi, özünde olasılık dağılımları ile ilgili herhangi bir varsayım içermez.

Bu yüzden, çıkarsama yapmada BEK tek başına bir işe yaramaz.

BEK, genel bir tahmin yaklaşımından çok regresyon doğrularını bulmada kullanılabilecek bir hesaplama yöntemi olarak görülmelidir.

54

BEK yönteminden daha güçlü kuramsal özellikler gösterenbir başka nokta tahmincisi EYO, yani “en yüksek olabilirlik”(maximum likelihood) yöntemidir.

En yüksek olabilirlik yönteminin ardında yatan temel ilke şubeklentidir:

“Rassal bir olayın gerçekleşmesi, o olayın, gerçekleşme olasılığının en yüksek olay olmasındandır.”

Bu yöntem, 1920’li yıllarda˙Ingiliz istatistikçi Sir Ronald A.Fisher (1890-1962) tarafından bulunmuştur.

Ki-kare testi, bayesgil yöntemler ve çeşitli ölçüt modelleri gibi birçok istatistiksel çıkarım yöntemi, temelde EYO yaklaşımına dayanmaktadır.

55

EYO yöntemini anlayabilmek için, elimizde dağılım katsayıları

bilinen farklı anakütleler ve rassal olarak belirlenmiş bir

örneklem olduğunu varsayalım:

Bu örneklemin farklı anakütlelerden gelme olasılığı farklı ve bazı

ana kütlelerden gelme olasılığı diğerlerine göre daha yüksektir.

Elimizdeki örneklem, eğer bu anakütlelerden birinden alınmışsa,

“alınma olasılığı en yüksek anakütleden alınmış olmalıdır” diye

düşünülebilir.

56

Kısaca:

1. Anakütlenin olasılık dağılımı belirlenir veya bu yönde bir

varsayımda bulunulur.

2. Eldeki örneklem verilerinin, hangi katsayılara sahip anakütleden

gelmiş olma olasılığının en yüksek olduğu bulunur.

YALTA (2007 – 2008 Ders Notları)

57

X

Y

Xi

b1

b1 + b2Xi

Y = b1 + b2X

Y = b1 + b 2X + u modelinde katsayıların en yüksek olabilirlik tahminleri yapılmadan önce modelde hata terimi olmadığını ifade edelim. Nokta ile gösterilen yerde Y değerine karşılık gelen X değerinin Xi değerine eşit olduğu görülmektedir.

Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olabilirlik Tahminleri

58

Eğer modele hata terimini eklersek hataların belli bir ortalama ve varyansa bağlı

olarak normal dağıldığını varsayabiliriz.

X

Y

Xi

b1

b1 + b2Xi

Y = b1 + b2X

59

Şekilde gösterilen dağılış hata teriminin önceden tahmin edilen dağılışıdır.

Gerçekte hata teriminin dağılışının belli bir değere bağlı olarak modelde normal

dağıldığını varsayabiliriz.

X

Y

Xi

b1

b1 + b2Xi

Y = b1 + b2X

60

X

Y

Xi

b1

b1 + b2Xi

Y = b1 + b2X

Ayrıca yatay eksene göre bakıldığında; şekilde gösterilen dağılış X=Xi durumunda

Y’nin tahmini dağılımını da ifade etmektedir.

61

Y değeri b1 + b2Xi e yaklaştıkça göreceli olarak daha yüksek yoğunluğa sahip olmaktadır.

X

Y

Xi

b1

b1 + b2Xi

Y = b1 + b2X

62

X

Y

Xi

b1

b1 + b2Xi

Y = b1 + b2X

Bununla birlikte b1 + b2Xi den uzaklaştıkça yoğunluk azalmaktadır.

63

Yi ‘nin ortalama değeri b1 + b2Xi ve hata terimlerinin standart sapması da s,

olduğunu varsayarsak.

X

Y

Xi

b1

b1 + b2Xi

Y = b1 + b2X

64

Yi ’lerin olasılık yoğunluk fonksiyonları f(Yi) fonksiyonu ile ifade edilebilir.

X

Y

Xi

b1

b1 + b2Xi

Y = b1 + b2X

2

21 21

21

)(

ii XY

i eYf

65

Tek denklemli ekonometrik modellerin tahmininde EKKY dışında kullanılan

alternatif yöntem En Yüksek Olabilirlik Yöntemidir. Büyük örneklerde her iki

yöntemde yakın sonuçlar vermektedir.

Küçük örneklerde ise EYOBY’de

nes /22 olup sapmalıdır.

2/22 nes sapmasızdır.

EKKY’de ise

İki Değişkenli Basit Regresyon Modelinin En Yüksek Olabilirlik Yöntemi İle Tahmini

66

EYOBY’’nin regresyon modeline uygulanışı şöyledir:

iii uXbbY 21

Y bağımlı değişkeninin

ii XbbYE 21)( ortalamalı

2)var( sYi

varyanslı normal ve Yi değerlerinin bağımsız dağıldığı varsayılmaktadır. Yani

)s,Xbb(NY 2i21i (1)

67

Bu ortalama ve varyansla Yi nin Y1, Y2,…,Yn değerlerinin

bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

),|,...,,( 22121 sXbbYYYf in

Y’ler birbirinden bağımsız olduğundan, bu bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, n tane bireysel yoğunluk fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabilecektir.

2 2 21 2 n 1 2 i 1 1 2 1 2 1 2 2

2n 1 2 n

f (Y ,Y ,...,Y | b b X ,s ) f (Y | b b X ,s ).f (Y | b b X ,s ) ...f (Y | b b X ,s )

(2)

(2) deki f(Yi), (1) deki ortalama ve varyanslı normal dağılımlı yoğunluk

fonksiyonu olup şöyle ifade edilir:68

2

21 21

21

)(

ii XY

i eYf

2

212

21

1

211211

21

...2

1)(...)(

nn XYXY

n eeYfYf

(3)

(3)’ü (1) deki her Yi yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

(4)

(4) de Yi ler bilindiğinde ve b1,b2 ve s2 ler bilinmediğinde (4) ifadesine en

yüksek olabilirlik fonksiyonu adı verilir ve L(b1,b2,s2) şeklinde gösterilir.

Ortak yoğunluk fonksiyonları her bir yoğunluk fonksiyonunun çarpımına eşittir.

69

1 1 2 1 n 1 2 nY β β X Y β β X1 1

2 2 22 σ 2 σ1 2 1 n

1 1L β ,β ,σ | Y ,...,Y e ... e

σ 2π σ 2π

21 21

( )2 21 2

1, ,

( 2 )

i iY X

n nL e

En yüksek olabilirlik yöntemi bilinmeyen bi parametrelerinin, verilen Y’nin

gözlenme olasılığının ençok(maksimum) olacak tarzda tahmini esasına dayanır.

Bu sebepten b’lerin EYOBY’ ile tahmin için (5) fonksiyonunun maksimumunun

araştırılması gerekir. Bu türevdir, türev için en kısa yol (5) in log. nın

alınmasıdır.

(5)

70

2XY

2

12XY

2

1 n21n1211

e2

1...e

2

1lnLln

221i2 XY

2

12ln

2

nln

2

nLln

01XY

2*2

1Lln2

21i

1

0XXY

2*2

1Llni2

i21i

2

i21i XnY

22i1ii i

XXYX

71

4

221i

22

XY*2*

2

11

2

nLln

0

XYnLln3

221i

2

2

n

XY 221i2

72

…1. Çok deĞİŞkenlİ doĞrusal regresyon modelİ …

Documents