…1.ÇOK DEĞİŞKENLİ DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ…
Y=1 + 2 X2 + 3 X3 + u
Y=1 + 2 X2 + 3 X3 +...+ k Xk + u
Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanabilir.
EKKY varsayımları çoklu regresyon analizinde de geçerlidir.
1
Tütün Miktarı59.2065.4062.3064.7067.4064.4068.0073.4075.7070.70
Gelir
76.2 91.7106.7111.6119.0129.2143.4159.6180.00193.0
Fiyat
23.5024.4032.1032.4031.1034.1035.3038.7039.6046.70
…ÇOK DEĞİŞKENLİ DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ…
2
…ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ…
33221i XbXbbY
Katsayıların Tahmini
Normal Denklemler ile,Ortalamadan Farklar ile,
3
…NORMAL DENKLEMLER…
Y=? , n , X2=? , X3=? ,YX2= ? , YX3= ?, X2X3= ? , X2
2=? , X32=?
32
232133
33222
122
33221
bXbXXbXYX
bXXbXbXYX
bXbXbnY
3
2
4
Tütün Miktarı
Y59.2065.4062.3064.7067.4064.4068.0073.4075.7070.70
Gelir
X2
76.2 91.7106.7111.6119.0129.2143.4159.6180.0193.0
Fiyat
X3
23.5024.4032.1032.4031.1034.1035.3038.7039.6046.70
Y=671.20X2=1310.40 X3=337.90
YX2 YX34511.045997.186647.417220.528020.608320.489751.2011714.613626.013645.1
1391.201595.761999.832096.282096.142196.042400.402840.582997.723301.69
YX2=89454.17YX2=22915.64
5
X2X3 X32
1790.702237.483425.073615.843700.904405.725062.026176.527128.009013.10
552.2595.3
1030.411049.76
967.21162.811246.091497.691568.162180.89
X2X3=46555.35 X32=22915.64
X22
5806.448408.89
11384.8912454.5614161.0016692.6420563.5625472.1632400.0037249.00
X22=184593.14
6
…NORMAL DENKLEMLER…
321
321
321
b63.11850b35.46555b 90.33764.22915
b35.46555b14.184593b 40.131017.89454
b90.337b 40.1310b 10671.20
7
…NORMAL DENKLEMLER…
321
321
b35.46555b14.184593b 40.131017.89454
b90.337b 40.1310b 10671.20
-131.04/
321
321
b35.46555b14.184593b 40.131017.89454
b44278.42b 82.171718b 40.310105.87954-
32 b93.2276b32.1287412.1500
8
…NORMAL DENKLEMLER…
321
321
b63.11850b35.46555b 90.33764.22915
b90.337b 40.1310b 10671.20
321
321
b63.11850b35.46555b 90.33764.22915
b64.14171b 42.44278b 90.3372679.852-
32 b99.432b93.227679.235
-33.79/
9
…NORMAL DENKLEMLER…
32
32
b99.432b93.227679.235
b93.2276b32.1287412.1500
-5.26 /
32
32
bb
bb
ˆ93.2276ˆ65.1197626.1240
ˆ93.2276ˆ32.1287412.1500
2b67.89786.259
2895.0ˆ 2b
10
…NORMAL DENKLEMLER…
3b( ˆ93.2276)2895.032.1287412.1500
9781.0ˆ 3b
3b93.227612.372712.1500
3b93.22762227
11
…NORMAL DENKLEMLER…
2362b1 .ˆ
)..ˆ 0.9781(90337(0.2895) 401310b 10671.20 1
5033036379b 10671.20 1 ..ˆ
1b 10622.34 ˆ
12
…ORTALAMADAN FARKLAR YOLUYLA…
33221 XbXbYb ˆˆˆ
y=? , x2=?, x3=??2X?Y
2333223
3232222
xbxxbyx
xxbxbyx
ˆˆ
ˆˆ
?3X
yx2=?, yx3=?, x2x3=?, x22=?, x3
2=?
14
…ORTALAMADAN FARKLAR…
Tütün Miktarı
Y59.2065.4062.3064.7067.4064.4068.0073.4075.7070.70
Gelir
X2
76.2 91.7106.7111.6119.0129.20143.4159.6180.0193.0
Fiyat
X3
23.5024.4032.1032.4031.1034.1035.3038.7039.6046.70
Y=671.20X2=1310.40 X3=337.90
y
-7.92-1.72-4.82-2.420.28-2.720.886.288.583.58
-54.84-39.34-24.34-19.44-12.04-1.8412.3628.5648.9661.96
-10.29-9.39-1.69-1.39-2.690.311.514.915.8112.91
1267Y . 04131X2 . 7933X3 .
x3x2
15
…ORTALAMADAN FARKLAR…
yx2 yx3 x2x3 x22 x3
2
yx3=235.79
434.367.66117.347.04-3.375.0010.88179.3420.0221.8
81.5016.158.153.36-0.75-0.841.3330.8349.8546.22
564.3369.441.1327.0232.39-0.5718.66140.2284.4799.9
yx2=1500.12 x2x3=2276.93
3007.431547.64
592.4377.9144.93.39152.7815.6
2397.083839.04
x22=12878.32 x3
2 =432.99
105.888.172.861.937.240.102.2824.1133.76166.67
16
…ORTALAMADAN FARKLAR…
32
32
b99432b93227679235
b932276b3212878121500
ˆ.ˆ..
ˆ.ˆ..
-5.26 /
32
32
b932276b6511976261240
b932276b3212878121500
ˆ.ˆ..
ˆ.ˆ..
2b67.89786.259
2895.0ˆ 2b
17
3b93227628950(3212878121500 ˆ.)...
9781.0ˆ 3b
3b93.227612.372712.1500
3b93.22762227
…ORTALAMADAN FARKLAR…
18
…ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI…
Y
X .
X
Y
XX
YYE i
ii0xiyxi
/
/lim
•Nokta Elastikiyet
•Ortalama Elastikiyet
21
…NOKTA ELASTİKİYET…
X20 = 140 X30 = 38
)(.)(..ˆ 3897810140289502362Y0
5965Y0 .ˆ
32i X97810X289502362Y ...ˆ
22
0
2
2YX
Y
X .
X
YE
20 ˆ
0
202
Y
X .b
ˆˆ
65.59
140 28950E
20YX . 0.62
…NOKTA ELASTİKİYET…
Tütünün gelir elastikiyeti
23
0
3
3YX
Y
X .
X
YE
30 ˆ
0
303
Y
X .b
ˆˆ
65.59
38 97810E
30YX . -0.57
…NOKTA ELASTİKİYET…
Tütünün fiyat elastikiyeti
24
…ORTALAMA ELASTİKİYET…
Y
X .
X
YE i
iiXY
Y
X . b i
iˆ
7933X 04311X ; 1276Y 32 .;..
32i X97810X289502362Y ...ˆ
1267
131.04 .28950E
2XY .. = 0.57
1267
33.79 .97810E
3XY .. = -0.49
25
…ÇOK DEĞİŞKENLİ DOĞRUSAL REGRESYON MODELİNDE TAHMİNİN STANDART HATASI…
kn
es
2i
?ˆ iY ?)ˆ( 2i
2ii eYY
32i X97810X289502362Y ...ˆ
27
KATSAYI TAHMİNLERİNİN VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
1) Tek açıklayıcı değişkenli model
2) İki açıklayıcı değişkenli model
Bu ifadeler determinantla şöyle yazılabilir.
1 2 2 Y b b X u
22 2
1ˆvar ubx
1 2 2 3 3Y b b X b X u
232
2 22 22 3 2 3
ˆvar u
xb
x x x x
222
3 22 22 3 2 3
ˆvar u
xb
x x x x
28
Sapmalar biçiminde yazılmış iki açıklayıcı değişkenli modelin normal denklemleri şöyledir.
22 2 2 3 2 3
ˆ ˆ( ) ( )x y b x b x x
(2) 23 2 2 3 3 3
ˆ ˆ( ) ( )x y b x x b x
Parantez içindeki terimler, örnek gözlemlerinden hesaplanmış determinantlardır ise bilinmeyenlerdir. 2 3
ˆ ˆb ve b
(1)
29
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
(1) ve (2) nolu denklemin sağ tarafında yer alan bilinenler, determinant kalıbında yazılabilir.
22 2 3
22 3 3
x x xA
x x x
Her bir parametrenin varyansı, bu parametreye ilişkin minör determinantının (bütün) determinanta bölümünün
2u İle çarpımıdır. Yani…
30
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
22 2 3
2 2 22 3 3 3 32 2 2
2 2 22 2 3 2 2 3
2 22 3 3 2 3 3
ˆvar u u u
x x x
x x x x xb
Ax x x x x x
x x x x x x
Ve..
için 2ˆvar b
22 2 2 3 2 3
ˆ ˆ( ) ( )x y b x b x x (2) 2
3 2 2 3 3 3ˆ ˆ( ) ( )x y b x x b x
(1)
31
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
3ˆvar b için
22 2 3
2 2 22 3 3 2 22 2 2
3 2 22 2 3 2 2 3
2 22 3 3 2 3 3
ˆvar u u u
x x x
x x x x xb
Ax x x x x x
x x x x x x
32
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
3) Üç açıklayıcı değişkenli model 1 2 2 3 3 4 4Y b b X b X b X
Normal denklemin sağ tarafında görülen bilinen terimlerin determinantı şöyledir:
22 2 3 2 4
22 3 3 3 4
22 4 3 4 4
x x x x x
x x x x x B
x x x x x
33
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
Daha önce iki açıklayıcı değişkenli model için açıklanan işlemleri burada da yenilersek varyansları determinant cinsinden şöyle yazabiliriz.
22 2 3 2 4
2 22 3 3 3 4 3 3 4
2 22 4 3 4 4 3 4 42 2
2ˆvar u u
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x xb
B B
2ˆvar b için:
1 2 2 3 3 4 4Y b b X b X b X
34
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
22 2 3 2 4
2 22 3 3 3 4 2 2 4
2 22 4 3 4 4 2 4 42 2
3ˆvar u u
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x xb
B B
35
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
22 2 3 2 4
2 22 3 3 3 4 2 2 3
2 22 4 3 4 4 2 3 32 2
4ˆvar u u
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x xb
B B
36
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
Katsayı tahminlerinin varyanslarını gösteren daha önceki ifadeler incelenecek olursa, şu genelleme yapılabilir.
k sayıda açıklayıcı değişken içeren bir modelin tahminlerinin varyansı iki determinantın birbirine oranından hesaplanabilir.
37
…VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ…
21 1 2 1
1 2 1 2 2
21 22
21 1 2 1
1 2 1 2 2
21 2
ˆvar
k
k
k k k
k u
k
k
k k k
x x x x x
x x x x x x
x x x x xb
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
Örneğin ˆkb nın varyansı aşağıdaki ifadedir.
38
…Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon Modelinde Tahminin Standart Hatası…
Tütün
Y
59.2065.4062.3064.7067.4064.4068.0073.4075.7070.70
Gelir
X2
76.2 91.7106.7111.6119.0129.2143.4159.6180.0193.0
Fiyat
X3
23.5024.4032.1032.4031.1034.1035.3038.7039.6046.70
Y=671.20
61.3045564.9115161.7226462.8477666.2615966.2801969.2173770.5817375.6072472.42623
16. 671Y
Y
-2.100.490.581.851.14
-1.88-1.222.820.09
-1.73
4.4291310.2386220.3333453.4307931.2959773.535114
1.481997.9426460.008604
2.97987
e e2
e = 0.040
e2 = 25.68
39
… Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart Hataları…
310
25.682
kn
es i 6686.3 =1.9154
232
23
22
23
2 )()ˆ(
xxxx
xsbs
2)93.2276()99.432)(38.12878(
99.4329154.1
=0.0637
40
… Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart Hataları…
232
23
22
22
3 )()ˆ(
xxxx
xsbs
2)93.2276()99.432)(38.12878(
38.128789154.1
=0.3473
2 2 2 22 3 3 2 2 32
1 2 2 22 3 2 3
1( ) .
( )
X x X x x xVar b s
n x x x x
41
…Çok Değişkenli Doğrusal Regresyon Modelinde Belirlilik Katsayısı…
2RTD
RBD
2
2
y
y
2
3322
y
yxbyxb
90.228
)79.235)(9781.0()12.1500(2895.0 = 0.8879 0.89
2RTD
HBD1
2
2
y
e1
90.228
68.251
= 0.112R1
TD
HBD
2
2
y
e
90.228
68.25
= 0.8879 0.89
42
…Düzeltilmiş Belirlilik Katsayısı…
2R
kn
1n)R1(1 2
310
110)89.01(1 = 0.86
R2 değeri yeni bağımsız değişken eklendiğinde daima artar, R2 de payın değeri artarken payda aynı kalır. Bu sakıncayı ortadan kaldırabilmek için aşağıdaki düzeltilmiş belirlilik katsayısı hesaplanabilir:
2 2R RÇoklu korelasyon katsayısı (R) : Y bağımlı değişkeni ile X bağımsız değişkenleri arasındaki ilişkinin derecesini göstermektedir.
43
…Basit Korelasyon Katsayıları…
2yxr
222
212
yx
yxr
)90.228)(38.12878(
12.1500 = 0.8737
3yxr
223
313
yx
yxr
)90.228)(99.432(
79.235
32xxr
23
22
3223
xx
xxr
)99.432)(38.12878(
93.2276
23xxr
22
23
2332
xx
xxr
)38.12878)(99.432(
93.2276
= 0.7490
= 0.9642
= 0.9642
44
…Kısmi Korelasyon Katsayıları…
2333223
3232222
xbxxbyx
xxbxbyx
3232222
ˆˆ xxbyxxb
3232222 xxbxbyx
22xİfadenin her iki yanı bölünürse
45
…Kısmi Korelasyon Katsayıları…
22
3232
2
22 x
xxb
x
yxb
323122 bbbb X2’nin Y’ye
Toplam EtkisiX2’nin Y’ye
Doğrudan Etkisi
X2’nin Y’ye Dolaylı Etkisi= -
)1768.0)(9781.0(1165.02895.0 2894.02895.0
46
…Kısmi Korelasyon Katsayıları…
)r1)(r1(
rrrr
223
213
2313123.12
)r1)(r1(
rrrr
223
212
2312132.13
)r1)(r1(
rrrr
213
212
1312231.23
])9642.0(1][)7490.0(1[
)9642.0)(7490.0(8737.022
=0.8623
])9642.0(1][)8737.0(1[
)9642.0)(8737.0(7490.022
= -0.7242
])7490.0(1][)8737.0(1[
)7490.0)(8737.0(9642.022
=0.9612
47
…Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi…
1.Aşama H0: 2 = 0
H1: 2 0
2.Aşama = ? = 0.05 ; = n-k
3.Aşama
t,sd =? t0.05,7=? =2.365
?)b(s
bbt
2
*22
hes
0637.0
02895.0 =4.5447
4.Aşama |thes= 4.5447 | > |ttab= 2.365 |
H0 hipotezi reddedilebilir
S.d.=? =10-3 = 7
48
…Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi…
1.Aşama H0: 3 = 0
H1: 3 0
2.Aşama = ? = 0.05 ; S.d.=? = n-k
3.Aşama
t,sd =? t0.05,7=? =2.365
?)b(s
bbt
3
*33
hes
3473.0
09781.0 =2.8163
4.Aşama |thes= 2.8163 | > |ttab= 2.365|
H0 hipotezi reddedilebilir
=10-3 = 7
49
…Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi…
1.Aşama H0: 2 = 3 = 0
H1: i 0
2.Aşama = ? = 0.05 ; f1=? = k-1 = 3-1=2
F,f1,f2 =? F0.05,2,7=?
= n-k f2=?
=4.74
Y=1 + 2 X2 + 3 X3 + u
Y=1 + u
(Sınırlandırılmamış Model)(SM)
(SR)
=10-3=7
(Sınırlandırılmış Model)(SR)
50
…Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi…
3.Aşama
=27.7221?)kn/()R1(
)1k/(RF
2
2
hes
)310/()8879.01(
)13/(8879.0
4.Aşama Fhes= 27.7221 > Ftab= 4.74
H0 hipotezi reddedilebilir
51
…Varyans Analiz Tablosu…
Değişkenlik SKT sd SKTO Fhes F-Anlamlılık
RBD
HBD
TD
203.2235 101.61173-1 27.7060 [0.0005]
25.6725
228.8960
10-3 3.6675
10-1
52
…Güven Aralıkları…
= 0.2895 2.365 (0.0637) )b(stb 22/2 0.1370 < 2 < 0.4381
)b(stb 32/3 = -0.9781 2.365 (0.3473)
-1.7887 < 3 < -0.1466
53
En Yüksek Olabilirlik Yöntemi
İstatistikte, tüm anakütleler kendilerine karşılık gelen bir olasılık dağılımı ile tanımlanırlar.
Basit(sıradan) en küçük kareler yöntemi, özünde olasılık dağılımları ile ilgili herhangi bir varsayım içermez.
Bu yüzden, çıkarsama yapmada BEK tek başına bir işe yaramaz.
BEK, genel bir tahmin yaklaşımından çok regresyon doğrularını bulmada kullanılabilecek bir hesaplama yöntemi olarak görülmelidir.
54
BEK yönteminden daha güçlü kuramsal özellikler gösterenbir başka nokta tahmincisi EYO, yani “en yüksek olabilirlik”(maximum likelihood) yöntemidir.
En yüksek olabilirlik yönteminin ardında yatan temel ilke şubeklentidir:
“Rassal bir olayın gerçekleşmesi, o olayın, gerçekleşme olasılığının en yüksek olay olmasındandır.”
Bu yöntem, 1920’li yıllarda˙Ingiliz istatistikçi Sir Ronald A.Fisher (1890-1962) tarafından bulunmuştur.
Ki-kare testi, bayesgil yöntemler ve çeşitli ölçüt modelleri gibi birçok istatistiksel çıkarım yöntemi, temelde EYO yaklaşımına dayanmaktadır.
55
EYO yöntemini anlayabilmek için, elimizde dağılım katsayıları
bilinen farklı anakütleler ve rassal olarak belirlenmiş bir
örneklem olduğunu varsayalım:
Bu örneklemin farklı anakütlelerden gelme olasılığı farklı ve bazı
ana kütlelerden gelme olasılığı diğerlerine göre daha yüksektir.
Elimizdeki örneklem, eğer bu anakütlelerden birinden alınmışsa,
“alınma olasılığı en yüksek anakütleden alınmış olmalıdır” diye
düşünülebilir.
56
Kısaca:
1. Anakütlenin olasılık dağılımı belirlenir veya bu yönde bir
varsayımda bulunulur.
2. Eldeki örneklem verilerinin, hangi katsayılara sahip anakütleden
gelmiş olma olasılığının en yüksek olduğu bulunur.
YALTA (2007 – 2008 Ders Notları)
57
X
Y
Xi
b1
b1 + b2Xi
Y = b1 + b2X
Y = b1 + b 2X + u modelinde katsayıların en yüksek olabilirlik tahminleri yapılmadan önce modelde hata terimi olmadığını ifade edelim. Nokta ile gösterilen yerde Y değerine karşılık gelen X değerinin Xi değerine eşit olduğu görülmektedir.
Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olabilirlik Tahminleri
58
Eğer modele hata terimini eklersek hataların belli bir ortalama ve varyansa bağlı
olarak normal dağıldığını varsayabiliriz.
X
Y
Xi
b1
b1 + b2Xi
Y = b1 + b2X
59
Şekilde gösterilen dağılış hata teriminin önceden tahmin edilen dağılışıdır.
Gerçekte hata teriminin dağılışının belli bir değere bağlı olarak modelde normal
dağıldığını varsayabiliriz.
X
Y
Xi
b1
b1 + b2Xi
Y = b1 + b2X
60
X
Y
Xi
b1
b1 + b2Xi
Y = b1 + b2X
Ayrıca yatay eksene göre bakıldığında; şekilde gösterilen dağılış X=Xi durumunda
Y’nin tahmini dağılımını da ifade etmektedir.
61
Y değeri b1 + b2Xi e yaklaştıkça göreceli olarak daha yüksek yoğunluğa sahip olmaktadır.
X
Y
Xi
b1
b1 + b2Xi
Y = b1 + b2X
62
X
Y
Xi
b1
b1 + b2Xi
Y = b1 + b2X
Bununla birlikte b1 + b2Xi den uzaklaştıkça yoğunluk azalmaktadır.
63
Yi ‘nin ortalama değeri b1 + b2Xi ve hata terimlerinin standart sapması da s,
olduğunu varsayarsak.
X
Y
Xi
b1
b1 + b2Xi
Y = b1 + b2X
64
Yi ’lerin olasılık yoğunluk fonksiyonları f(Yi) fonksiyonu ile ifade edilebilir.
X
Y
Xi
b1
b1 + b2Xi
Y = b1 + b2X
2
21 21
21
)(
ii XY
i eYf
65
Tek denklemli ekonometrik modellerin tahmininde EKKY dışında kullanılan
alternatif yöntem En Yüksek Olabilirlik Yöntemidir. Büyük örneklerde her iki
yöntemde yakın sonuçlar vermektedir.
Küçük örneklerde ise EYOBY’de
nes /22 olup sapmalıdır.
2/22 nes sapmasızdır.
EKKY’de ise
İki Değişkenli Basit Regresyon Modelinin En Yüksek Olabilirlik Yöntemi İle Tahmini
66
EYOBY’’nin regresyon modeline uygulanışı şöyledir:
iii uXbbY 21
Y bağımlı değişkeninin
ii XbbYE 21)( ortalamalı
2)var( sYi
varyanslı normal ve Yi değerlerinin bağımsız dağıldığı varsayılmaktadır. Yani
)s,Xbb(NY 2i21i (1)
67
Bu ortalama ve varyansla Yi nin Y1, Y2,…,Yn değerlerinin
bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:
),|,...,,( 22121 sXbbYYYf in
Y’ler birbirinden bağımsız olduğundan, bu bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, n tane bireysel yoğunluk fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabilecektir.
2 2 21 2 n 1 2 i 1 1 2 1 2 1 2 2
2n 1 2 n
f (Y ,Y ,...,Y | b b X ,s ) f (Y | b b X ,s ).f (Y | b b X ,s ) ...f (Y | b b X ,s )
(2)
(2) deki f(Yi), (1) deki ortalama ve varyanslı normal dağılımlı yoğunluk
fonksiyonu olup şöyle ifade edilir:68
2
21 21
21
)(
ii XY
i eYf
2
212
21
1
211211
21
...2
1)(...)(
nn XYXY
n eeYfYf
(3)
(3)’ü (1) deki her Yi yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
(4)
(4) de Yi ler bilindiğinde ve b1,b2 ve s2 ler bilinmediğinde (4) ifadesine en
yüksek olabilirlik fonksiyonu adı verilir ve L(b1,b2,s2) şeklinde gösterilir.
Ortak yoğunluk fonksiyonları her bir yoğunluk fonksiyonunun çarpımına eşittir.
69
1 1 2 1 n 1 2 nY β β X Y β β X1 1
2 2 22 σ 2 σ1 2 1 n
1 1L β ,β ,σ | Y ,...,Y e ... e
σ 2π σ 2π
21 21
( )2 21 2
1, ,
( 2 )
i iY X
n nL e
En yüksek olabilirlik yöntemi bilinmeyen bi parametrelerinin, verilen Y’nin
gözlenme olasılığının ençok(maksimum) olacak tarzda tahmini esasına dayanır.
Bu sebepten b’lerin EYOBY’ ile tahmin için (5) fonksiyonunun maksimumunun
araştırılması gerekir. Bu türevdir, türev için en kısa yol (5) in log. nın
alınmasıdır.
(5)
70
2XY
2
12XY
2
1 n21n1211
e2
1...e
2
1lnLln
221i2 XY
2
12ln
2
nln
2
nLln
01XY
2*2
1Lln2
21i
1
0XXY
2*2
1Llni2
i21i
2
i21i XnY
22i1ii i
XXYX
71