1 三角関数の復習

1.1 三角関数とは

三角関数は、角度と x座標、ｙ座標を関連づけます XY座標に、原点を中心半径 1の円を書きます。そこ

に、適当な角度で線を引きます。角度の測り方は x軸から反時計まわりに測ります。今、角度を θ （シータ）

とします。このとき、線と円周の交点の x 座標が cos θ（コサイン　シータ）、y 座標が sin θ（サイン　シー

タ）となります。どちらがどちらかわからない場合は、筆記体の sと cを使って覚える方法があります。

x

y

x

y

θ θ

sinθ

cosθ

1 1

s

c

x

y

θsinθ

1

cosθ

また、線の傾き(=高さ底辺

)と角度 θ を結びつけるのが tan関数（タンジェント関数）です。この実習では

tanはあまり使いません。

1.2 特別な角度の三角関数の値

一般に、cos θ や、sin θ の値を求めるのは簡単ではありません。関数電卓やコンピュータが必要です。しか

しいくつか特別な角度では求めることができます。

1.2.1 0◦, 90◦, 180◦, 270◦

これは簡単です。下の図のようになるのは明らかです。

x

y

x

y

x

y

x

y

0°90°

180°270°

cos0 1

sin 0 0

° =

° =

cos90 0

sin 90 1

° =

° =

cos180 1

sin180 0

° = −

° =

cos 270 0

sin 270 1

° =

° = −

1

1.2.2 30◦, 60◦, 45◦

a

bc

2 2 2c a b= +

三平方の定理

（ピタゴラスの定理）

これは、すぐにはわかりませんが、三平方の定理を使って、少し考えればわ

かります。

三平方の定理（あるいはピタゴラスの定理）とは、直角三角形において、

（斜辺の長さ）2 ＝（底辺の長さ）2 　＋（高さ）2

というものでした。

直角二等辺三角形

底辺の長さが 1の直角二等辺三角形に（二等辺三角形なので、高さも 1になる）、三平方の定理を使って斜

辺の長さを求めてみます。

すると、下の図のような計算から、斜辺の長さは√2であることがわかります。

ここで全体をで割ると、斜辺の長さが 1の直角二等辺三角形の底辺と高さは 1√2であることがわかります。

x2 2 2

2

1 1

2

2

x

x

x

= +

=

=45°

45°

2

1

2

底辺が１の長さの直角二等辺三角形に三平方の定理を使うと

斜辺の長さが　　

であることがわかる

全体を　　で割ると

斜辺の長さが１の直角二等辺三角形の

底辺と高さの長さは1

2 である

1

2

2

2

1

1

1

1

1

45°

45°

45°

45°

2

正三角形の半分

一辺の長さが２の正三角形を半分にしたものを考えます。

出来た三角形は、底辺がの長さが 1、斜辺の長さが 1になります。これに三平方の定理を使って、高さを求

めてみましょう。

答は√2です。

全体を 2で割ると、斜辺の長さが 1の場合、底辺の長さは 1√2、高さは

√32 となることがわかります。

60°

60° 60°

60°

30°

1

2x

2 2 2

2

2

2 1

4 1

3

3

x

x

x

x

= +

= +

=

=

2 2

2

60°

30°

1

2

3

60°30°

1

1

2

3

2

一辺の長さが２の正三角形を考える

これを半分にして

三平方の定理で高さを求める

全体を２で割る

3

この結果から、斜辺の長さが 1 の、三種類の三角形の底辺の長さと高さがわかりました。（左の三角形は、

正三角形の半分の三角形を横倒しにしたもので、右の三角形と実質的には同じものである）

1

2

1

2

1

45°

45°60°30°

1

2

3

2

1

60°30°

1

2

1

3

2

x

yy

y

30° 45°

60°

11

1

3cos30

2° =

1cos 45

2° =

1cos60

2° =

sin 30

1

2

°

=

sin 45

1

2

°

=

sin 60

3

2

°

=

x

x

これから

cos 30◦ =

√3

2≈ 0.87

cos 45◦ =1√2≈ 0.71

cos 60◦ =1

2= 0.5

sin 30◦ =1

2= 0.5

sin 45◦ =1√2≈ 0.71

sin 60◦ =

√3

2≈ 0.87

ということがわかります。

4

さらに、対称性を利用して、120◦、135◦、150◦、210◦、225◦、240◦、300◦、315◦、330◦ の sinと cosもわか

ります。以上より、三角関数の sin、cosが手計算で求められるのは下に示す角度です。

30° 45° 60°x

0°

90° 120° 135° 150°

180° 210° 225°

270°

240°

300° 315° 330°

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

y

y

y

y

y

y

y

y

y y

y y

y y

y y

5

1.3 実習

実習 1-1

以下の表を埋めましょう。ルートが含まれる場合は、正確な値と概算の小数も記入しましょう。

角度 θ sin θ cos θ

0◦

30◦

45◦

60◦

90◦

120◦

135◦

150◦

180◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦

6

実習 1-2

実習 1-1の表を使って、sin θ と cos θ のグラフを書きましょう。まず、実習 1-1で求めた点を書き入れ（プ

ロットするといいます）、それをなめらかにつないでグラフを完成させましょう。

0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°45°135° 225° 315°

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

-0.8

-0.9

1

0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°45°135° 225° 315°

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

-0.8

-0.9

1

sinθ

cosθ

7

いくつかの決められた角度以外の一般的は角度での sinや cosの値は、関数電卓やコンピュータを使わない

と求められません。しかしここで使った角度の sin、cosは電卓やコンピュータがなくても求められるように

しておきましょう。

1.4 一般的な角度での三角関数

一般的な角度での sin、cos を計算するために、コンピュータを使います。関数電卓では角度の単位は deg

（度）ないし rad（ラジアン）が選べる場合が多いですが、Excelでは、三角関数を使う場合は、角度の単位は

ラジアンを使うことになっています。

1.4.1 ラジアン

ラジアンは角度の単位です、半径が 1の円の円弧の長さを使って角度を表します。

半径 1の円の円周は 2π です。よって、一周分の角度、すなわち 360◦ は 2π ラジアンになります。同様に考

えて、180◦ は π ラジアン、90◦ は π2 ラジアンになります。

θ

1

x

y

O

円弧の長さで

角度を表現するθ

1

x

y

O

θ

1

x

y

O

θ

1

x

y

O

θ＝360°なら、

弧の長さは２π

θ＝180°なら、

弧の長さは π

θ＝90°なら、

弧の長さは2

π

一般に

度で表した角度 =ラジアンで表した角度

π× 180

ラジアンで表した角度 =度で表した角度

180× π

という関係があります。

8

1.4.2 実習

実習 1-3

Excelを使って、度で表した角度をラジアンで表した角度に直してみましょう。

まず、データの説明、θ（度）、θ（ラジアン）を書きましょう。

次に、0から 360までの数列を作ります。0、1まで書いたら、両方を選択して、右下の■を下に下げれば簡

単です。

Excelでは π を pi()で表すことができます。度からラジアンに直す式

=B3/180*2*pi()

を打ち込み、■を下に下げて、表を完成させましょう。

360◦ が 2π になっていることを確認しましょう。180◦、90◦ などの値も確認しましょう。

9

実習 1-4

ラジアン単位で表した角度を使って、sin θのグラフを書きましょう。

まず、表を作ります。データの説明 sin θを打ち込み、その下に

=sin(c3)

を打ち込み、■を下に下げて、表を完成させましょう。

表ができたら、θ（ラジアン）と sinθの列を選択し、グラフを作ります。挿入タブから、散布図を選びま

す。（平滑線：なめらかな曲線）がいいでしょう。

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実習 1-5

同様にして、cos θ も計算してみましょう。

さらに、横軸を度で表した θ を選んで、sin θ、cos θ のグラフを作り、前に手書きで書いたグラフと比較し

てみましょう。（間をあけて表を選択するときは、ctrlキーを押しながら選択する）

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実習 1-6

前の実習では、1◦ 刻みで 0◦ から 360◦ まで計算しました。Excel を使ってもけっこう大変だったと思い

ます。そこで、簡単のためにもう少し間引いてみたらどうなるでしょう。極端な例として、0◦、90◦、180◦、

270◦、360◦ の 4点だけで計算してみましょう。

新しいシートを出して、前と同じように計算します。

そして、やはり同様にグラフを書いてみます。

1◦ 刻みで計算したグラフと比べると、少し違っています。データ数が少なすぎると正しい結果が得られま

せん。しかし、あまりデータ点が多いのもデータ処理が大変です。

この問題は、またあとで議論します。

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